เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง เมทริกซ์

เอกสารประกอบการเรียน รายวิชา คณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เติม 3 (ค32201) ภาคเรียนที่ 1 ปกี ารศกึ ษา 2563 หนว่ ยการเรียนรู้ท่ี 2 เร่ือง เมทรกิ ซ์

คณิตศาสตรเพ่มิ เติม 3 (ค32201) เมทริกซ เมทริกซ (Matrix) เมทริกซ บทนิยาม 1 กำหนด m และ n เปนจำนวนเต็มบวก ชดุ ของจำนวนจรงิ mn จำนวน ซงึ่ เขียนเรียงกนั ในรปู a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn เรยี กวา เมทรกิ ซ (matrix) ชดุ ของสมาชกิ ที่เขียนในแนวนอนเรยี กวา แถว (row) ของเมทรกิ ซ ซง่ึ มีท้งั หมด m แถว ชุดของสมาชกิ ที่เขียนในแนวต้ังเรยี กวา หลัก (column) ของเมทริกซ ซึ่งมีทั้งหมด n หลกั เรียก aij วาเปน สมาชกิ (entry) ในแถวท่ี i และหลักท่ี j ของเมทริกซ ถา เมทริกซมี m แถว n หลัก จะเรยี ก m x n วา ขนาด (size) หรือ มติ ิ (dimension) ของ เมทรกิ ซ 15 เชน A = 6 4 มมี ติ ิ 3 x 2 หรือเปนเมทริกซขนาด 3 x 2 72 5 มีมิติ 3 x 1 หรอื เปนเมทริกซขนาด 3 x 1 B= 4 3 198 มมี ิติ 3 x 3 หรือเปนเมทริกซขนาด 3 x 3 C= 2 8 3 มีมติ ิ 2 x 3 หรือเปนเมทริกซขนาด 2 x 3 545 123 D= 4 5 6 ชัน้ มธั ยมศึกษาปท่ี 5 หนา 1 ครคู เณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพ่ิมเตมิ 3 (ค32201) เมทริกซ -1 5 9 2 2) a12 ตวั อยางที่ 1 กำหนด A = 2 0 1 4 จงหา 4) 2a24 + 3a22 4 3 -5 9 1) มติ ขิ อง A 3) a32 5) a41a34 วธิ ีทำ 1) มติ ิของ A คือ มติ ิ 3 x 4 2) a12 = 5 3) a32 = 3 4) 2a24 + 3a22 = 2(4) + 3(0) = 8 5) a41a34 = (4)(9) = 9 1 -2 10 9 0 167 ตัวอยางท่ี 2 กำหนด A = 2 3 , B = 5 1 4 , C = 2 5 8 จงหา -6 7 349 1) มิตขิ อง A 2) มิตขิ อง B 3) มิติของ C 4) a12b21 5) a32b23 + a12b21 + a11b22 6) a32b23c11 + a12b21 c22 + a11b22 c33 วธิ ที ำ 1) มติ ิของ A คือ มติ ิ 3 x 2 2) มติ ขิ อง B คือ มติ ิ 2 x 3 3) มิตขิ อง C คอื มิติ 3 x 3 4) a12b21 = (-2)(5) = -10 5) a32b23 + a13b21 + a11b22 = (7)(4) + (-2)(5) + (1)(1) = 28 - 10 + 1 = 19 6) a32b23c11 + a12b21 c22 + a11b22 c33 = (7)(4)(1) + (-2)(5)(5) + (1)(1)(9) = - 13 ช้นั มัธยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 2 ครคู เณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพม่ิ เติม 3 (ค32201) เมทริกซ การเทากนั ของของเมทรกิ ซ บทนิยาม 2 กำหนด A = aij และ B = bij mxn mxn A เทากบั B ก็ตอเมอ่ื m = p, n = q และ aij = bij สำหรบั ทุก i∈{1, 2, 3, ..., m} และ j∈{1, 2, 3, ..., n} เขยี นแทน A เทากบั B ดวย A = B 2 16 4 (-2)2 2 16 ตัวอยางที่ 3 กำหนด A = -1 1 , B = -1 และ C = 30 3 -1 log10 จงตรวจสอบวาเมทรกิ ซใดเปนเมทรกิ ซทีเ่ ทากนั วธิ ีทำ เนอื่ งจาก ตำแหนง แถวที่ 1 หลักที่ 1 คือ 2 = 4 ตำแหนง แถวที่ 1 หลกั ท่ี 2 คือ 16 = (-2)2 ตำแหนง แถวที่ 2 หลักท่ี 3 คือ -1 = 3 -1 ตำแหนง แถวท่ี 2 หลกั ที่ 4 คือ 1 = 30 = log10 2 16 4 (-2)2 2 16 ดงั นนั้ A = -1 , B= และ C = 1 -1 30 3 -1 log10 เปนเมทรกิ ซท่ีเทากนั ตัวอยางท่ี 4 จงหาคา a และ b ที่กำหนด a + b a - b = 16 4 วธิ ีทำ จากบทนยิ ามที่ 7 การเทากนั ของเมทริกซ จะได a + b = 16 …………………………….(1) a-b = 4 …………………………….(2) (1) + (2) ; 2a = 20 a = 10 นำ a = 10 แทนในสมการ (1) จะได 10 + b = 16 b =6 ดงั นน้ั ถา a + b a - b = 16 4 แลว a = 10 และ b = 6 ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 5 หนา 3 ครคู เณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพิม่ เติม 3 (ค32201) เมทริกซ การบวกเมทรกิ ซ บทนิยาม 3 กำหนด A = aij และ B = bij เปนเมทริกซที่มขี นาดเทากัน mxn mxn ผลบวกของเมทรกิ ซ A กับเมทรกิ ซ B คือ เมทริกซ C = cij mxn เม่ือ cij = aij + bij สำหรับทุก i∈{1, 2, 3, ..., m} และ j∈{1, 2, 3, ..., n} เขยี นแทน A บวก B ดวย A + B นัน่ คือ aij mxn + bij = aij + bij mxn mxn 1 30 2 -3 1 1 -5 9 ตัวอยางที่ 5 กำหนด A = -1 -4 2 , B = 0 5 1 และ C = 4 2 -5 จงหา (A + B) + C 1 3 0 2 -3 1 1 -5 9 วิธที ำ (A + B) + C = -1 -4 2 + 0 5 1 + 4 2 -5 1 + 2 3 - 3 0 + 1 1 -5 9 = -1 + 0 -4 + 5 2 - 1 + 4 2 -5 3 0 1 1 -5 9 = -1 1 1 + 4 2 -5 3+1 0-5 1+9 = -1 + 4 1 + 2 1 - 5 4 -5 10 = 3 3 -4 4 -5 10 ดงั นัน้ (A + B) + C = 3 3 -4 ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 5 หนา 4 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพ่ิมเตมิ 3 (ค32201) เมทรกิ ซ การลบเมทริกซ บทนยิ าม 4 กำหนด A และ B เปนเมทริกซทีม่ ขี นาดเทากนั เมทรกิ ซ A ลบดวยเมทริกซ B คือ ผลบวกของเมทริกซ A กับเมทริกซ -B เขยี นแทนดวย A - B นนั่ คือ A - B = A + (-B) -1 0 1 1 14 ตวั อยางท่ี 6 กำหนด A = 2 1 , B = 2 -1 และ C = -5 2 จงหา (A - B) - C 33 02 9 -5 -1 0 1 1 1 4 วธิ ที ำ (A - B) - C = 2 1 - 2 -1 - -5 2 3 3 0 2 9 -5 -1 - 1 0 + 1 1 4 = 2 - 2 1 - (-1) - -5 2 3 - 0 3 - 2 9 -5 -2 1 1 4 = 0 2 - -5 2 3 1 9 -5 -2 - 1 1 - 4 = 0 - (-5) 2 - 2 3 - 9 1 - (-5) -3 -3 = 50 -6 6 -3 -3 ดงั น้ัน (A - B) - C = 5 0 -6 6 ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 5 หนา 5 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพิ่มเตมิ 3 (ค32201) เมทริกซ การคณู เมทริกซดวยจำนวนจรงิ บทนยิ าม 5 กำหนด A = aij และ c เปนจำนวนจริง mxn ผลคณู ของ c กบั เมทริกซ A คอื เมทริกซ bij mxn เมอื่ bij = caij สำหรับทุก i∈{1, 2, 3, ..., m} และ j∈{1, 2, 3, ..., n} เขยี นแทนผลคูณของ c กับเมทรกิ ซ A ดวย cA นนั่ คือ c aij = caij mxn mxn -1 -3 7 -2 -4 9 -2 -4 9 ตัวอยางที่ 7 กำหนด A = 2 4 5 , B = 0 -8 1 , C = 0 -8 1 จงหา 1) 4C 4C = 2) 2A + 3B วิธีทำ 1) -2 -4 9 4 0 -8 1 -8 -16 36 = 0 -32 4 -8 -16 36 ดงั น้นั 4C = 0 -32 4 -1 -3 7 -2 -4 9 2) 2A + 3B = 2 2 4 5 + 3 0 -8 1 -2 -6 14 -6 -12 27 = 4 8 10 + 0 -24 3 -2 - 6 -6 - 12 14 + 27 = 4 + 0 8 - 24 10 + 3 -8 -18 41 = 4 -16 13 -8 -18 41 ดงั น้ัน 2A + 3B = 4 -16 13 ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 5 หนา 6 ครคู เณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพ่ิมเติม 3 (ค32201) เมทรกิ ซ การคณู เมทรกิ ซดวยเมทรกิ ซ บทนยิ าม 6 กำหนด A = aij และ B = bij pxq mxn ผลคณู ของเมทริกซ A และ B เขยี นแทนดวย AB จะนิยามได ก็ตอเมอื่ n = p และเมทริกซผลคูณ AB จะมขี นาด m x q ซึ่งมีสมาชกิ ในแถวท่ี i และหลักที่ j คอื ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + … + ainbnj สำหรบั ทุก i∈{1, 2, 3, ..., m} และ j∈{1, 2, 3, ..., q} -1 -3 7 -1 0 ตวั อยางท่ี 8 กำหนด A = 2 4 5 และ B = 2 1 จงหา AB และ BA 34 วิธีทำ AB = -1 -3 7 -1 0 2 4521 34 (-1)(-1) + (-3)(2) + (7)(3) (-1)(0) + (-3)(1) + (7)(4) = (2)(-1) + (4)(1) + (5)(3) (2)(0) + (4)(1) + (5)(4) 16 25 = 17 24 BA = -1 0 -1 -3 7 212 45 34 (-1)(-1) + (0)(2) (-1)(-3) + (0)(4) (-1)(7) + (0)(5) = (2)(-1) + (1)(2) (2)(-3) + (1)(4) (2)(7) + (1)(5) (3)(-1) + (4)(2) (3)(-3) + (4)(4) (3)(7) + (4)(5) 1 3 -7 = 0 -2 19 5 7 41 ช้ันมัธยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 7 ครูคเณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพ่ิมเตมิ 3 (ค32201) เมทรกิ ซ ตวั อยางที่ 9 บริษัทผลติ สีทาบานมสี ูตรในการผสมสขี าว สีแดง สเี หลอื ง และสีน้ำเงนิ ใหเปนสเี ขยี วกะหล่ำปลี สีมวงเปลอื กมังคุด และสีเหลืองกลวยหอม ดังตารางแสดงรอยละของสวนผสมตอไปนี้ รอยละสวนผสม สีท่ไี ด สเี ขียวกะหลำ่ ปลี สีมวงเปลือกมังคดุ สเี หลืองกลวยหอม สีขาว 80 72 86 สีแดง 0 14 0 สเี หลือง 10 0 14 สีนำ้ เงนิ 10 14 0 ถาบรษิ ัทตองการผลติ สีเขยี วกะหลำ่ ปลี 160 ลิตร สมี วงเปลอื กมังคุด 200 ลิตร และสีเหลือง กลวยหอม 100 ลติ ร จะตองใชสขี าว สีแดง สเี หลอื ง และสีนำ้ เงนิ อยางละเทาใด 0.8 0.72 0.86 0 0.14 0 วิธีทำ 1) กำหนด A = 0.1 0 0.14 แสดงขอมลู จากตารางแสดงรอยละของสวนผสม 0.1 0.14 0 160 กำหนด B = 200 เปนเมทริกซแสดงปรมิ าณของสที าบานแตละสที ี่ตองการผลติ 100 ดงั น้ัน AB = 0.8 0.72 0.86 0 0.14 0 160 0.1 0 0.14 200 0.1 0.14 0 100 (0.8)(160) + (0.72)(200) + (0.86)(100) 358 (0)(160) + (0.14)(200) + (0)(100) 28 = (0.1)(160) + (0)(200) + (0.14)(100) = 30 (0.1)(160) + (0.14)(200) + (0)(100) 44 นน่ั คือ ถาบริษัทตองการผลติ สีเขียวกะหลำ่ ปลี 160 ลติ ร สีมวงเปลือกมังคดุ 200 ลติ ร และ สีเหลืองกลวยหอม 100 ลติ ร จะตองใชสขี าว 358 ลติ ร สีแดง 28 ลิตร สเี หลือง 30 ลติ ร และสีนำ้ เงนิ 44 ลติ ร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 8 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพมิ่ เตมิ 3 (ค32201) เมทริกซ เมทรกิ ซศนู ย (Zero matrix) บทนิยาม 7 เมทริกซทม่ี ีชนาด m x n และสมาชกิ ทกุ ตำแหนงเปน 0 เรียกวา เมทรกิ ซศูนย (zero matrix) เขยี นแทนดวย 0mxn หรอื 0 ทฤษฎบี ท 1 กำหนด A, B, C และ 0 เปนเมทริกซที่มีขนาด m x n และ c, d เปนจำนวนจรงิ ใดๆ จะไดวา 1. A + B = B + A 2. A + (B + C) = (A + B) + C 3. A + 0 = 0 + A = A 4. A + (-A) = (-A) + A = 0 5. C(A + B) = cA + cB 6. (c + d)A = cA + dA 7. (cd)A = c(dA) 8. 1A = A 9. 0A = 0 เมทรกิ ซเอกลกั ษณ (Identity matrix) บทนิยาม 8 สำหรับจำนวนเต็มบวก n ใดๆ ให In เปนเมตริกซขนาด n x n ซึ่งมสี มาชิกในแถวที่ i และ หลกั ท่ี i เปน 1 สำหรับทุก i∈{1, 2, 3, ..., n} และสมาชิกในแถวที่ i และหลักท่ี j เปน 0 เมอื่ i ≠ j เรยี ก In วา เมทริกซเอกลักษณ (identity matrix) ขนาด n x n ทฤษฎีบท 2 กำหนด A = aij mxn , B = bij nxp และ C = cij จะไดวา pxq 1. A(BC) = (AB)C 2. 0rxmA = 0rxn และ A0nxr = 0mxr 3. ImA = A และ AIn = A 4. (cA)B = A(cB) = c(AB) เมอ่ื c เปนจำนวนจริง 5. A(B + D) = AB + AD เม่ือ D เปนเมทรกิ ซขนาด n x p 6. (A + E)B = AB + EB เม่ือ E เปนเมทริกซขนาด m x n ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 5 หนา 9 ครคู เณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพิ่มเตมิ 3 (ค32201) เมทรกิ ซ เมทรกิ ซจตั ุรัส (Square matrix) บทนิยาม 9 เมทริกซจัตุรสั หมายถงึ เมทริกซทีม่ จี ำนวนแถวเทากับจำนวนหลัก ทฤษฎีบท 3 กำหนดเมทริกซ A และ B เปนเมทรกิ ซจตั ุรสั ขนาด n x n แลว 1. (A + B)2 = A2 + BA + AB + B2 เมอื่ A ≠ B 2. (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 เมือ่ A = B เมทรกิ ซสลบั เปลีย่ น (Transpose of a matrix) บทนิยาม 10 กำหนด A = aij mxn ถา B = bij nxm โดยท่ี bij = aij สำหรบั i∈{1, 2, 3, ..., n} และ j∈{1, 2, 3, ..., m} จะเรยี ก B วา เมทรกิ ซสลับเปล่ียน (transpose of a matrix) ของ A เขยี นแทนดวย At ทฤษฎบี ท 4 สมบตั ขิ องเมทรกิ ซสลบั เปลี่ยน 1. (A + B)t = At + Bt เมอื่ A และ B เปนเมทริกซขนาด m x n 2. (AB)t = BtAt เม่อื A เปนเมทริกซขนาด m x n และ B เปนเมทริกซขนาด n x p 3. (At)t = A 4 (cA)t = cAt เมอื่ c เปนจำนวนจรงิ -1 1 2 1 -1 ตวั อยางที่ 10 กำหนด A = 0 2 และ B = 0 -2 3 จงหา (AB)t วิธที ำ AB = -1 1 2 1 -1 0 2 0 -2 3 AB = -2 + 0 -1 - 2 1 + 3 0+0 0-4 0+6 AB = -2 -3 4 ∴ (AB)t = -2 0 0 -4 6 -3 -4 46 ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 5 หนา 10 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพม่ิ เติม 3 (ค32201) เมทริกซ แบบฝกหดั ท่ี 1 เร่ือง การเทากนั ของเมทริกซ การบวกเมทริกซ การคณู เมทริกซ และเมทรกิ ซสลบั เปลีย่ น 2y - 3 4 5 2z 1. จงหา x, y และ z ที่ทำให x + y 1 = 3 1 2 x 7 2 2y 7 2. กำหนด 5 y 0 = 5 x - 1 0 คาของ xy เท่ากบั เท่าใด 1 12 3. กำหนด A = -1 1 3 เมทรกิ ซ X ท่ีทำให A + X = 2A - X เทากับเทาใด ช้นั มัธยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 11 ครคู เณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพิ่มเตมิ 3 (ค32201) เมทรกิ ซ 5a b 5a 64 5a + b 4. ให a, b, c, d เปนจำนวนจรงิ ถา 3 2c d = d - 1 3 + 2c 2d แลวคาของ b + c เทากับเทาใด [PAT 1 (ก.ค.53)/30] 1 a t -1 b c c-b 5. จงหา a, b, c และ d ที่ทำให 1 1 - 2 c -4 = b + d 3d x1 y 3 10 + x 0 t 6. ถา x และ y เปนจำนวนจรงิ ที่สอดคลองกับ 2 x - y + 2 -1 y = 7 7 - y แลวคาของ x + y เทากบั เทาใด [PAT 1 (พ.ย.57)/36] ช้ันมัธยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 12 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพม่ิ เติม 3 (ค32201) เมทริกซ 7. จงหาผลคณู ของเมทริกซตอไปน้ี 1 2 5 -3 1 3 -1 3 2 2) 2 0 -1 1 1) 2 -1 1 3 0 -1 1 0 0 -1 2 -2 0 3) 0 1 0 2 3 1 4) 3 2 1 1 0 0 1 2 4 -3 -1 1 0 2 1 2 -1 -1 5 2 x 5) -1 2 1 0 1 1 6) 4 -3 0 y 12 0 z ชั้นมัธยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 13 ครูคเณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพ่มิ เตมิ 3 (ค32201) เมทริกซ 1 3 112 -1 2 8. กำหนดเมทริกซ A = 2 -1 , B = -1 1 3 และ C = 0 1 จงหา 3 -2 1) ABC 2) AB + ACt 3) AtBt + 2C 4) A2 - 2BC 1 -1 9. กำหนด A = 3 2 จงหาเมทริกซทีบ่ วกกับ A แลวไดเมทรกิ ซตอไปน้ี xy 1) A2 2) z t ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 14 ครคู เณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพ่มิ เติม 3 (ค32201) เมทริกซ 0a1 10. กำหนดให a, b เปนจำนวนจริงซ่งึ ไมเทากับ 0 และ A = 0 0 b จำนวนเตม็ บวก n 000 ทนี่ อยที่สุด ทท่ี ำให An = 0 เทากบั เทาใด 1 0 x -1 2y -1 1 0 11. ให x, y, z และ w สอดคลองกับสมการ -1 w 0 y = z 2 -1 w คาของ 4w - 3z + 2y - x เทากับเทาใด [PAT 1 (ม.ี ค.53)/32] ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 15 ครคู เณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพมิ่ เตมิ 3 (ค32201) เมทรกิ ซ ดีเทอรมแิ นนต (Determinant) ของเมทรกิ ซขนาด 2 x 2 และ 3 x 3 บทนิยาม 11 กำหนด A เปนเมทริกซจัตุรสั ขนาด 2 x 2 ใดๆ ab เขยี นแทนดีเทอรมแิ นนตของ A ดวย det(A) หรือ A หรอื c d ab ถา det(A) = c d เม่อื a, b, c, d∈ แลว det(A) = ad - bc ตวั อยางที่ 11 จงหาดีเทอรมแิ นนตของเมทริกซตอไปน้ี 10 -2 1 1) 0 1 2) 4 2 10 = 1(1) - 0(0) วธิ ที ำ 1) 0 1 -2 1 =0 2) 4 2 = (-2)(2) - (4)(1) = -8 บทนิยาม 12 กำหนด A เปนเมทรกิ ซจัตรุ สั ขนาด 3 x 3 ใดๆ abc เขียนแทนดีเทอรมิแนนตของ A ดวย det(A) หรือ A หรือ d e f ghi abc ถา det(A) = d e f เมอ่ื a, b, c, d, e, f, g, h, i∈ ghi abcab แลว det(A) = d e f d e = aei + bfg + cdh - gec - hfa - idb gh i gh ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 หนา 16 ครูคเณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพ่ิมเติม 3 (ค32201) เมทรกิ ซ ตัวอยางที่ 12 จงหาดเี ทอรมิแนนตของเมทริกซตอไปน้ี 123 123 1) 0 2 6 2) 4 5 6 005 789 วิธีทำ 1) จากบทนยิ ามท่ี 12 การหาดเิ ทอรมแิ นนตของเมทรกิ ซขนาด 3 x 3 123 = 1(2)(5) + 2(6)(6) + 3(0)(0) - 0(2)(3) - 0(6)(1) - 5(0)(2) 026 005 = 10 2) จากบทนิยามที่ 12 การหาดิเทอรมแิ นนตของเมทริกซขนาด 3 x 3 123 = 1(5)(9) + 2(6)(7) + 3(4)(8) - 7(5)(3) - 8(6)(1) - 9(4)(2) 456 789 = 45 + 84 + 96 - 105 - 48 -72 =0 ดเี ทอรมิแนนต (Determinant) ของเมทริกซขนาด n x n บทนยิ าม 13 กำหนด A = aij nxn เมือ่ n ≥ 2 ดีเทอรมิแนนตของเมทรกิ ซทีไ่ ดจากการตัดแถวที่ i และหลกั ที่ j ของ A เรยี กวา ไมเนอร (Minor) เขียนแทนไมเนอรของ aij ดวย Mij(A) บทนยิ าม 14 กำหนด A = aij nxn เมื่อ n ≥ 2 ผลคณู ของ (-1)i+j และ Mij(A) เรยี กวา ตัวประกอบรวมเก่ียว (Cofactor) เขียนแทนตัวประกอบรวมเก่ียวของ aij ดวย Cij(A) ใชสญั ลกั ษณแทนโคแฟคเตอรเมทริกซของเมทริกซ A ดวย cof(A) ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 5 หนา 17 ครูคเณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพ่มิ เตมิ 3 (ค32201) เมทรกิ ซ บทนิยาม 15 กำหนด A = aij เม่ือ n ≥ 2 nxn ดีเทอรมิแนนตของ A คือ a11C11(A) + a12C12(A) + ... + a1nC1n(A) a11 a12 … a1n a2n เขยี นแทนดีเทอรมแิ นนซของ A ดวย det(A) หรือ a21 a22 … an1 an2 … ann 14 2 ตัวอยางท่ี 13 จงหาดีเทอรมแิ นนซของเมทริกซ A = 2 -2 -1 3 -3 5 วิธที ำ จากบทนิยาม 15 กระจายโคแฟกเตอรในแถวที่ 1 จะได M11 = -2 -1 = (-2)(5) - (-3)(-1) = -13 -3 5 M12 = -2 -1 = (-2)(5) - (3)(-1) = -7 35 M13 = 2 -2 = (2)(-5) - (3)(-2) = -4 3 -3 ∴ C11 = (-1)(1+1)M11 = (-1)2 (-13) = -13 C12 = (-1) M(1+2) = (-1)3 (-7) =7 12 C13 = (-1) M(1+3) = (-1)4 (-4) = -4 14 จากคาของ C11 , C12 และ C13 จะหา det(A) ไดดังน้ี det(A) = a11C11(A) + a12C12(A) + a13C13(A) = (1)(-13) + (4)(7) + (2)(-4) = -13 + 28 - 8 =7 14 2 ดังน้นั ดเี ทอรมแิ นนซของเมทรกิ ซ A = 2 -2 -1 หรือ det(A) คือ 7 3 -3 5 ช้ันมธั ยมศึกษาปที่ 5 หนา 18 ครคู เณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพ่ิมเติม 3 (ค32201) เมทริกซ ทฤษฎีบท 5 กำหนด A และ B เปนเมทริกซจัตรุ สั ทีม่ ขี นาดเทากนั และ I เปนเมทรกิ ซเอกลักษณ จะไดวา 1. det(I) = 1 2. det(At) = det(A) 3. det(AB) = det(A)det(B) 4. det(An) = [ det(A) ]n 5. det(A-1 ) = 1 เมอื่ det(A) ≠ 0 det(A) 6. det(kA) = kndet(A) เม่ือ n คือมติ ิของ A 7. ถา det(A) = det(B) แลว ไมจำเปนท่ี A = B 8. ถาสมาชิกของเมทรกิ ซ A มีแถวใดแถวหนึ่งหรอื หลักใดหลกั หน่งึ เปนศูนยทั้งหมด แลว det(A) เทากับศนู ย 9. ถาสมาชกิ ของเมทริกซ A มีสองแถวใดๆ หรอื สองหลักใดๆ เหมือนกัน แลว det(A) เทากับศนู ย 10. ถาเมทริกซ A ที่กำหนดใหมีสมาชิกในสามเหลี่ยมบนหรือสามเหล่ียมลางเปนศูนยท้ังหมด แลว det(A) เทากบั ผลคูณของสมาชิกในเสนทแยงมมุ หลัก (Main diagonal) 11. ถาสมาชกิ ในสองแถวใดๆ หรือสองหลักใดๆ เปน c เทาของกนั และกัน แลวดเี ทอรมแิ นนตจะเทากับศนู ย 12. ถาเมทริกซ B เกิดจากการสลบั แถวคใู ดคูหนง่ึ หรือหลักคใู ดคูหน่งึ ของเมทรกิ ซ A แลว det(B) = -det(A) 13. ถาเมทริกซ B เกิดจากการนำคาคงที่ c คูณแถวใดแถวหนงึ่ หรือหลักใดหลักหนึ่งของ เมทริกซ A แลว det(B) = c det(A) 14. ถาเมทริกซ B เกิดจากการนำคาคงที่ c คูณแถวใดหรือหลักใด แลวนำไปบวกกับแถว หรอื หลกั อีกอันหน่งึ จะไดวา det(B) = det(A) บทนิยาม 16 กำหนด A เปนเมทรกิ ซจัตรุ ัส 1. A เปนเมทริกซเอกฐาน (singular matrix) กต็ อเมื่อ det(A) = 0 2. A เปนเมทรกิ ซไมเอกฐาน (non-singular matrix) ก็ตอเม่อื det(A) ≠ 0 ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 5 หนา 19 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพิม่ เติม 3 (ค32201) เมทริกซ 123 ตวั อยางท่ี 14 จงหาดีเทอรมิแนนตของเมทริกซ 2 3 4 345 123 123 วิธีทำ 234 = 111 ทฤษฎีบท 5 ขอ 14 [(-1)R1+ R2 ] 345 345 123 ทฤษฎบี ท 5 ขอ 14 [(-1)R1+ R3 ] = 111 222 = 0 ทฤษฎบี ท 5 ขอ 11 [R3= 2R2 ] 12 3 ตัวอยางที่ 15 จงหาดีเทอรมแิ นนตของเมทริกซ 2 4 7 3 7 11 12 3 12 3 วิธที ำ 24 7 = 00 1 ทฤษฎีบท 5 ขอ 14 [2R1 - R2 ] 3 7 11 3 7 11 = (1)C23 (A) บทนยิ าม 15 กระจายโคแฟกเตอร R2 บทนิยาม 14 = (-1)2+3 1 2 3 7 = (-1)(1(7) - 2(3)) = (-1)(1(7) - 2(3)) ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 20 ครูคเณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพมิ่ เติม 3 (ค32201) เมทริกซ 123 ตวั อยางท่ี 16 จงหาดเี ทอรมิแนนตของเมทริกซ 0 3 0 024 123 วิธีทำ 0 3 0 = (3)C22 (A) บทนยิ าม 15 กระจายโคแฟกเตอร R2 024 = (-1)2+2 1 2 บทนิยาม 14 3 7 = (3)(1(4) - 3(0)) = 12 ตวั อยางท่ี 17 กำหนด A = 2 1 จงหา det(A4 ) 1 2 21 วธิ ีทำ เน่ืองจาก det(A4 ) = 1 2 = 2(2) - 1(1) = 3 จากทฤษฎบี ท 15 ขอ 4 det(An) = [ det(A) ]n จะได det(A4 ) = (det(A))4 = 34= 81 2 -1 3 ตัวอยางท่ี 18 กำหนด A = 0 -2 1 จงหา det(A5 ) 0 -1 1 2 -1 3 −2 1 วิธที ำ จาก det(A) = 0 -2 1 = (-1)1+1 (2) −2 1 = 2(-2(1) - 1(-1)) = -2 0 -1 1 จากทฤษฎีบท 15 ขอ 4 det(An) = [ det(A) ]n จะได det(A5 ) = (det(A))5 = (-2)5= -32 ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 21 ครคู เณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพมิ่ เตมิ 3 (ค32201) เมทรกิ ซ แบบฝกหัดท่ี 2 เรื่อง ดีเทอรมแิ นนซ 2 -3 1 3 -1 2 -1 0 2 0 2 -1 1 1. กำหนด A = 4 1 , B = 0 2 1 และ C = 0 1 2 2 จงหาคาของ 2 0 -1 1 -1 -1 0 1) M11(B) 2) M12(A) 3) M22(B) 4) M14(C) 5) C21(B) 6) C21(A) 7) C22(C) 8) C32(C) ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 22 ครูคเณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพิม่ เติม 3 (ค32201) เมทริกซ 2. จงหาดีเทอรมิแนนตของเมทริกซตอไปนี้ 2 -1 1) [21] 2) 6 3 2 -1 -2 1 3) 6 3 4) -3 2 2 -1 0 -2 2 3 5) 4 2 1 6) 1 -1 0 421 0 14 -2 1 4 23 1 7) 1 4 -2 8) 0 5 -2 3 6 -6 0 0 -2 ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 23 ครูคเณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพม่ิ เติม 3 (ค32201) เมทริกซ -2 2 5 123 9) 1 -1 -2 10) 7 2 3 3 -5 2 763 0 70 021 11) 1 3 5 12) 1 -1 2 -6 2 0 013 2 1 -1 a2 ab ac 13) 1 0 2 14) ab b2 bc 2 -1 1 ac bc c2 ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 24 ครคู เณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพ่มิ เตมิ 3 (ค32201) เมทริกซ 1 -1 2 1 02000 0 2 -1 0 2 1 2 -1 1 15) 1 1 0 -1 16) 0 -1 3 0 0 2 -1 1 2 10330 2 -1 2 0 1 x -1 6 3. กำหนด A = 2 5 7 ถาไมเนอรของ a32 เทากบั 37 และโคแฟกเตอรของ a23 เทากบั -32 4 2y 9 แลว x - y มคี าเทากับเทาใด 4. กำหนด det(A) = 1, det(B) = 2 และ det(C) = -3 คาของ det(A2BCtB-1) มีคาเทากับเทาใด ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 25 ครูคเณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพ่มิ เตมิ 3 (ค32201) เมทริกซ 01 11 1 -1 5. กำหนด A = 0 1 , B = 0 0 และ C = 0 2 คาของ det(2At + BC2 + BtC) เทากบั เทาใด [PAT 1 (ก.ค.53)/12] 1b 0 5 + 2a 2 5 6. ถา a และ b เปนจำนวนจริงที่สอดคลองกบั a 4 1 = -17 แลวคาของ 8 + a 2b a 5 a -a 2 - a 0 -a เทากบั เทาใด ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 26 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพิม่ เตมิ 3 (ค32201) เมทรกิ ซ 132 7. กำหนด A และ B เปนเมทริกซ มีมติ ิ 3x3 โดยที่ det(A) = 2 และ B = 0 -1 x เมอื่ x และ y 0 -2 y เปนจำนวนจริง ถา AB + 3A = 2I เม่อื I เปนเมทริกซเอกลักษณทมี่ ีมติ ิ 3x3 แลว x + y เทากับเทาใด [PAT 1 (ม.ี ค.56)/13] 132 8. กำหนด A = 0 -1 x โดยท่ี x และ y เปนจำนวนจรงิ 0 -2 y ถา C11(A) = 13 และ C21(A) = 9 แลว det(A) มคี าเทากบั เทาใด [PAT 1 (มี.ค.52)/21] ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 27 ครูคเณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพม่ิ เตมิ 3 (ค32201) เมทริกซ เมทรกิ ซผกผัน บทนิยาม 17 กำหนด A เปนเมทรกิ ซขนาด n x n ถามีเมทริกซ B ขนาด n x n ซงึ่ AB = BA = In แลวจะเรยี ก B วา เมทริกซผกผนั หรือตวั ผกผนั การคณู หรืออินเวอรการคูณของเมทรกิ ซ A เขียนแทนดวย A-1 ทฤษฎบี ท 5 ถา A มีเมทริกซผกผนั แลวเมทรกิ ซผกผนั ของ A จะมีเพียงเมทริกซเดยี วเทานั้น บทนยิ าม 18 กำหนด A เปนเมทรกิ ซขนาด n x n เมอ่ื n ≥ 2 เมทรกิ ซผูกพัน (adjoint matrix) ของ A คือ เมทริกซ [Cij(A)]t เขียนแทนเมทริกซผูกพนั ของ A ดวย adj(A) ทฤษฎีบท 6 กำหนด A เปนเมทรกิ ซขนาด n x n เมอื่ n ≥ 2 จะไดวา A มอี ินเวอรสการคูณ ก็ตอเมื่อ A เปนเมทริกซไมเอกฐาน น่นั คือ ถา det(A) ≠ 0 แลว A -1 = 1 adj(A) det(A) 123 ตัวอยางท่ี 19 กำหนดเมทริกซ A = 4 5 6 จงหาแอดจอยทเมทรกิ ซของเมทริกซ A 789 วธิ ีทำ เนือ่ งจาก adj(A) = [Cij(A)]t (บทนยิ าม 18) จะได M11 = 56 = (5)(9) - (8)(6) = -3 M12 = 89 = (4)(9) - (7)(6) = -6 M13 = = (4)(8) - (7)(5) = -3 M21 = 46 = (2)(9) - (8)(3) = -6 79 45 78 23 89 ช้ันมัธยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 28 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพ่มิ เติม 3 (ค32201) เมทริกซ = -12 M22 = 13 = (1)(9) - (7)(3) = -6 79 = -3 = -6 M23 = 12 = (1)(8) - (7)(2) = -3 78 M31 = 23 = (2)(6) - (5)(3) 56 M32 = 13 = (1)(6) - (4)(3) 46 M33 = 12 = (1)(5) - (4)(2) 45 C11 = (-1)1+1 M11 = -3 -3 C12 = (-1)1+2 M12 = 6 6 C13 = (-1)1+3 M13 = -3 -3 C21 = (-1)2+1 M21 = 6 C22 = (-1)2+2 M22 = -12 C23 = (-1)2+3 M23 = 6 C31 = (-1)3+1 M31 = -3 C32 = (-1)3+2 M32 = 6 C33 = (-1)3+3 M33 = -3 -3 6 -3 t -3 6 นน่ั คอื adj(A) = 6 -12 6 = 6 -12 -3 6 -3 -3 6 ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 29 ครูคเณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพ่มิ เติม 3 (ค32201) เมทรกิ ซ 2 -3 5 ตัวอยางท่ี 20 จงหาอินเวอรสการคณู ของเมทรกิ ซ A = 0 -1 5 004 วธิ ีทำ เนอ่ื งจาก A เปนเมทริกซจตั รุ ัส และจากทฤษฎีบท 15 ขอ 10 จะได det(A) = -8 และจากทฤษฎีบท 6 อินเวอรสการคูณของเมทริกซ คือ A-1= 1 adj(A) det(A) -1 5 = -4 05 =0 M13 = 0 -1 =0 M11 = 0 4 = -12 M12 = 0 4 =8 M23 = 00 =0 = -10 = 10 M33 = 2 -3 = -2 -3 5 25 00 M21 = 0 4 M22 = 0 4 2 -3 0 -1 -3 5 25 M31 = -1 5 M32 = 0 5 C11 = (-1)1+1M11 = -4 C12 = (-1)1+2C12 = 0 C13 = (-1)1+3M13 = 0 C21 = (-1)2+1M21 = 12 C22 = (-1) M2+2 =8 C23 = (-1)2+3M23 = 0 22 C31 = (-1) M3+1 = -10 C32 = (-1) M3+2 = -10 C33 = (-1)3+3C33 = -2 31 32 -4 0 0 t 1 12 8 0 จะได A-1 = -8 -10 -10 -2 -4 12 -10 ดงั นั้น A-1 = - 1 0 8 -10 8 0 0 -2 ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 5 หนา 30 ครูคเณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพิม่ เติม 3 (ค32201) เมทรกิ ซ ทฤษฎีบท 7 กำหนด A และ B เปนเมทริกซจัตรุ ัสทมี่ ีขนาดเทากนั โดยท่ี A และ B เปนเมทริกซไมเอกฐาน และ I เปนเมทรกิ ซเอกลักษณ จะไดวา 1. (AB)-1 = B-1A-1 , (A-1)-1 = A 2. A ⋅adj(A) = adj(A)⋅A = det(A)⋅I 3. det(adj(A)) = (det(A))n - 1 4. aij-1 = Cji (A) = (-1)i+jMji (A) 5. (A-1)t = (A t)-1 det(A) det(A) 7. (kA)-1 = 1 ⋅ A-1 , k ≠0 k ตวั อยางที่ 21 1 -1 3 1 2 1 จงหา det(A2 ⋅adj(B)⋅C-1 ) กำหนด A = 1 1 ,B= 1 2 , C= 3 1 วธิ ที ำ det( A2 ⋅adj(B)⋅C-1 ) = det(A2 )⋅det(adj(B))⋅det(C-1 ) ทฤษฎีบท 5 ขอ 3 = (det(A))2 ⋅det(adj(B))⋅(det(C))-1 ทฤษฎีบท 5 ขอ 4 = (det(A))2 ⋅(det(B))2-1 ⋅(det(C))-1 ทฤษฎบี ท 7 ขอ 3 = 22 ⋅ 5 ⋅ 1 -1 = -20 ตวั อยางท่ี 22 กำหนด A และ B เปนเมทริกซจัตรุ สั มิติ 4 x 4 และ I เปนเมทริกซเอกลักษณมิติ 4 x 4 วธิ ีทำ โดยท่ี A(adj(A)) - BA = I ถา det(B) = 0 แลว det(A) มีคาเทากับเทาใด จาก A(adj(A)) - BA = I det(A)⋅I - BA =I ทฤษฎีบท 7 ขอ 2 det(A)⋅I - I = BA (det(A) - 1)⋅I = BA take det ทง้ั สองขางของสมการ จะได det[(det(A) - 1)⋅I] = det(BA) (det(A) - 1)4 det(I) = det(BA) ทฤษฎบี ท 5 ขอ 6 (det(A) - 1)4 det(I) = det(B)⋅det(A) ทฤษฎีบท 5 ขอ 3 (det(A) - 1)4 = 0⋅det(A) แทน det(B) = 0 det(A) - 1 = 0 det(A) = 1 ช้ันมัธยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 31 ครูคเณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพ่มิ เตมิ 3 (ค32201) เมทริกซ แบบฝกหัดท่ี 3 เรื่อง เมทริกซผกผนั 1. จงอนิ เวอรสการคณู ของเมทริกซ A ตอไปนี้ 21 1) A = 1 2) A = 2 -1 3 2 -8 3 -1 3) A = -1 4 4) A = 0 2 2 -1 0 112 5) A = 2 3 1 6) A = 0 2 -1 120 -1 3 1 ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 32 ครูคเณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพิ่มเตมิ 3 (ค32201) เมทรกิ ซ 124 2. กำหนด A = -3 8 0 แลวสมาชิกในแถวท่ี 3 หลกั ที่ 1 ของ A-1 มีคาเทากับเทาใด 1 2 -1 -2 2 3 3. กำหนด At = 1 -1 0 แลวสมาชิกในแถวที่ 2 หลกั ท่ี 3 ของ A-1 มคี าเทากบั เทาใด 0 14 4. กำหนด A เปนเมทริกซขนาด 3 x 3 และ det(A) = -4 แลว det(adj(A)) มีคาเทากับเทาใด 102 5. กำหนด a เปนจำนวนจรงิ และ A = 0 3 0 ถา a < 8 และ det(adj(A)) = 36 40a แลว a มคี าเทากับเทาใด ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 33 ครคู เณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพิม่ เติม 3 (ค32201) เมทรกิ ซ 1 -1 6. กำหนด A = 2 1 ถา B เปนเมตรกิ ซที่ B = 3A-1 แลวคาของ det(2adj(B)) เทากบั เทาใด 7. กำหนด A, B เปนเมทริกซ 3 x 3 ถา AB = 2I โดยที่ I เปนเมทริกซเอกลักษณ และ adj(B) = 1A 2 แลว det(A) มคี าเทากับเทาใด 8. กำหนด A, B เปนเมทริกซจัตุรัสมติ ิ 3 x 3 และ I เปนเมทริกซเอกลักษณมติ ิ 3 x 3 1 1 -1 ถา AB = BA = I และ A = 2 1 3 แลว adj(B) เทากับเทาใด 10 1 ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 34 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพ่มิ เติม 3 (ค32201) เมทริกซ 4 -2 7 9. ให S เปนเซตของจำนวนจริง x ทั้งหมดท่ีทำใหเมทรกิ ซ x -1 3 เปนเมทรกิ ซเอกฐาน 20x และให y เทากับผลบวกของสมาชกิ ทงั้ หมดในเซต S y1 ถา A = -1 y แลว คาของ det(((At)-1)t)-1 เทากับเทาใด [PAT 1 (มี.ค.56)/33] 1a 10 10. กำหนดให A = b 4 , I = 0 1 เมื่อ a และ b เปนจำนวนจรงิ ที่ ab ≠ 0 และเมทริกซ A สอดคลองกับสมการ 2(A - I)-1 = 4I - A ขอใดถกู ตองบาง [PAT 1 (เม.ย.57)/7] 1) ab = 2 2) det(3A2AtA-1) = 324 ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 5 หนา 35 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพมิ่ เตมิ 3 (ค32201) เมทริกซ -1 2 -3 11. กำหนดให A, B และ C เปนเมทรกิ ซมมี ติ ิ 3 x 3 โดยที่ det(B) ≠ 0 ถา A = 2 1 1 3 -1 0 และ det(BtCB-1) = -4 แลว det(CtAC) เทากบั เทาใด [PAT 1 (ต.ค.55)/33] 2x 1 12. กำหนดให x เปนจำนวนเตม็ และ A = x x เปนเมทรกิ ซทม่ี ี det(A) = 3 ถา B เปนเมทริกซมีมติ ิ 2 x 2 โดยท่ี BA + BA-1 = 21 เม่ือ I เปนเมทรกิ ซเอกลักษณการคณู มติ ิ 2 x 2 แลวคาของ det(B) อยใู นชวงใดตอไปนี้ [PAT 1 (มี.ค.54)/12] 1) [1, 2] 2) [-1, 0] 3) [0, 1] 4) [-2, -1] ชัน้ มัธยมศึกษาปท่ี 5 หนา 36 ครคู เณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพม่ิ เติม 3 (ค32201) เมทรกิ ซ 13. กำหนด A, B และ C เปนเมทริกซไมเอกฐาน (non-singular matrix) มิติ 3 x 3 และ I เปนเมทริกเอกลกั ษณการคณู มิติ 3 x 3 abc ถา A = d e f เมื่อ a, b, c, d, e, f, g, h และ i เปนจำนวนจริง และ A3 = 2I, det(C-1) = 4 ghi -3g -3h -3i และ BtC = -a -b -c และ det(B) เทากบั เทาใด [PAT 1 (มี.ค.55)/30] 2d 2e 2f 14. กำหนดให A และ B เปนเมทริกซจัตรุ สั มิติเทากนั โดยท่ี det(A) ≠ 0 และ det(B) ≠ 0 ถา det(A-1+ B-1 ) ≠ 0 และ det(A + B) ≠ 0 แลว det(A + B)-1 ตรงกับขอใดตอไปนี้ [PAT 1 (มี.ค.57)/27] 1) B-1 (A-1+ B-1 )A-1 2) B-1 (A-1 + B-1 )-1A-1 3) B(A-1+ B-1 )A 4) B(A-1+ B-1 )-1A ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 5 หนา 37 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพ่ิมเตมิ 3 (ค32201) เมทริกซ 15. กำหนดให a, b, c, d, x และ y เปนจำนวนจริง และ 1 x a b -1 0 10 A = y -1 , B = c d , C = 0 1 และ I = 0 1 ถา A2 = I และ AB = 2C แลวคาของ det(B-1) เทากบั เทาใด [PAT 1 (ม.ี ค.55)/13] 0 x 0 -1 16. ถา det 2 0 2 2 = 1 แลว x มีคาเทากับเทาใด [PAT 1 (ต.ค.52)/1-12] x-1 315 17. กำหนดให A เปนเมทริกซทมี่ ีมิติ 3 x 3 และ det(A) ≠ 0 ขอใดตอไปนเ้ี ปนจริง [PAT 1 (ต.ค.55)/13] 1) (det(A))3 = det(adj(A)) 2) ถา A2 = 2A แลว det(A) = 2 18. กำหนดให A เปนเมทริกซทีม่ ีมติ ิ 2 x 2 และ det(A) = 4 ถา I เปนเมทริกซเอกลักษณและ A - 3I เปนเมทริกซเอกฐาน แลว det(A + 3I) เทากบั เทาใด [PAT 1 (ก.ค.52)/21] ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 5 หนา 38 ครคู เณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพิ่มเตมิ 3 (ค32201) เมทริกซ 19. กำหนดให A และ B เปนเมทริกซมิติ 3 x 3 โดยท่ี det(A) > 0 เมือ่ det(A adj(A)) - 2(det(A))2 - 3det(A) = 0 และ AB = I และ I เปนเมทริกซเอกลักษณการคูณ มิติ 3 x 3 ขอใดตอไปน้ีถูกตองบาง [PAT 1 (มี.ค.58)/21] 1) 7det(B) - det(At) < 0 2) det(2A - 3adj(B)) = 2 12 ab 20. กำหนดให A = 2 1 และ B = c d เมอ่ื a, b, c และ d เปนจำนวนจรงิ บวก โดยที่ abcd = 9 และ ad ≠ bc ถา AB-1 = B-1A และ det(AtB) = -24 แลวคาของ a + b + d +c เทากับเทาใด [PAT 1 (มี.ค.58)/26] ชั้นมธั ยมศึกษาปที่ 5 หนา 39 ครูคเณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพ่ิมเติม 3 (ค32201) เมทรกิ ซ การหาคำตอบของระบบสมการเชิงเสน บทนิยาม 19 ระบบสมการเชงิ เสนทมี่ ี m สมการ และมี n ตวั แปร คอื ระบบสมการทอี่ ยูในรปู a11x1 + a12x2 + + a1nxn= b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn= b2 am1x1 + am2x2 + + amnxn= bm เม่อื x1, x2, x3, …, xn เปนตัวแปร และ aij, bi เปนจำนวนจริง สำหรบั i∈{1, 2, 3, ..., m} และ j∈{1, 2, 3, ..., n} เรยี ก (r1, r2, r3, …, rn) วา n สง่ิ อนั ดบั (ordered n-tuple) (r1, r2, r3, …, rn) เปนคำตอบของระบบสมการ ก็ตอเมื่อ r1, r2, r3, …, rn เปนจำนวนจริงทเี่ มือ่ นำไปแทนตวั แปร x1, x2, x3, …, xn ตามลำดับ ในแตละสมการแลวไดสมการทเ่ี ปนจริง ทงั้ หมด สามารถเขียนระบบสมการน้ใี นรปู สมการเมทริกซ AX = B โดยท่ี a11 a12 a1n x1 b1 A = a21 a22 a2n , X = x2 , B = b2 am1 am2 amn xn bm ทฤษฎีบท 8 ถา AX = B แทนระบบสมการเชิงเสนท่มี ีจำนวนสมการเทากบั จำนวนตัวแปร และ A จะเปนเมทริกซจตั รุ ัสท่มี เี มทริกซผกผันแลว แลว X = A-1B เปนคำตอบของ AX = B หมายเหตุ ในการหาคำตอบของระบบสมการเชิงเสนโดยใชเมทริกซผกผนั ของเมทริกซของสมั ประสทิ ธ์ิ เชน ถาเมทริกซของสมั ประสทิ ธ์ิไมมีเมทรกิ ซผกผนั แลว ระบบสมการอาจมคี ำตอบเปนจำนวนอนนั ต หรือไมมีคำตอบก็ได พจิ ารณาระบบสมการ x + y = 1, 2x + 2y = 2 11 x 1 กำหนด A = 2 2 , X = y และ B = 2 11x 1 เขยี นระบบสมการในรูปสมการเมทริกซ AX = B จะได 2 2 y = 2 เนื่องจาก det(A) = 0 ดงั น้ัน A ไมมีเมทรกิ ซผกผนั ดังนั้นไมสามารถหาคำตอบของระบบสมการนี้ โดยใชเมทริกซผกผนั ของเมทรกิ ซสัมประสิทธ์ไิ ด ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 40 ครูคเณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพ่ิมเติม 3 (ค32201) เมทริกซ ตวั อยางท่ี 22 จงหาคำตอบของระบบสมการตอไปน้ี x + y = 3, 2x + 3y = 7 11 x 3 วธิ ที ำ กำหนด A = 2 3 , X = y และ B = 7 11x 3 เขียนระบบสมการในรูปสมการเมทรกิ ซ AX = B จะได 2 3 y = 7 หาเมทรกิ ซผกผนั ของ A จะได A-1 = 1 3 -1 3 -1 1(3)-1(2) -2 1 = -2 1 เน่อื งจาก X = A-1B x 3 -1 3 ดังนั้น y = -2 1 7 (3)(3) + (-1)(7) = (-2)(3) + (1)(7) 2 =1 น่ันคือ x = 2 และ y = 1 ดงั น้นั (2, 1) เปนคำตอบของระบบสมการ บทนยิ าม 20 สำหรับระบบสมการเชงิ เสนที่ประกอบดวย m สมการ n ตัวแปร ตอไปนี้ a11x1 + a12x2 + + a1nxn= b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn= b2 am1x1 + am2x2 + + amnxn= bm จะเรยี กเมทรกิ ซทอ่ี ยูในรปู a1n b1 a11 a12 a2n b2 a22 [A B] = a21 am1 am2 amn bm วา เมทรกิ ซแตงเตมิ ของระบบสมการ (Augmented matrix) ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 41 ครูคเณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพิ่มเตมิ 3 (ค32201) เมทรกิ ซ บทนิยาม 21 การดำเนนิ การตามแถวของเมทรกิ ซแตงเตมิ 1. สลับแถวที่ i และแถวที่ j ของเมทรกิ ซ แทนดวยสัญลักษณ Ri ↔ Rj 2. คณู สมาชิกในแถวท่ี i ดวยคาคงตวั c เม่ือ c ≠ 0 แทนดวยสญั ลกั ษณ cRi 3. คูณสมาชิกในแถวท่ี i ดวยคาคงตวั c เมอ่ื c ≠ 0 แลวนำไปบวกกับสมาชิกในแถวที่ j เม่อื i ≠ j แทนดวยสญั ลกั ษณ cRi + Rj (แทนผลลพั ธนใี้ นแถวที่ j) เรยี กการดำเนนิ การกับเมทริกซแตละแบบนวี้ า การดำเนนิ การตามแถวขั้นมูลฐาน (Elementary row operation) บทนยิ าม 22 ถาเมทริกซ B ไดจากการดำเนินการตามแถวบนเมทริกซ A จะกลาววา เมทริกซ A สมมลู กบั เมทริกซ B และเขียนแทนดวย A B บทนิยาม 23 กำหนด AX = B และ CX = D แทนระบบสมการเชงิ เสน ถา [A B] สมมลู กบั [C D]แลว AX = B และ CX = D มีคำตอบเหมอื นกนั -2 1 -2 4 -2 6 ตวั อยางที่ 23 จงแกสมการ 2X⋅ 0 2 - 3 2 = 1 0 -2 1 -2 4 -2 6 วิธที ำ จาก 2X⋅ 0 2 - 3 2 = 10 -2 1 -4 10 2X⋅ 0 2 = 42 -2 1 -2 5 X⋅ 0 2 = 21 -2 5 -2 1 -1 X = 2 1⋅0 2 = -2 5 ⋅ - 1 2 -1 2 1 4 0 -2 = - 1 -4 -8 4 4 -4 12 = -1 1 ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 42 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพ่มิ เตมิ 3 (ค32201) เมทรกิ ซ ตัวอยางที่ 24 จงหาคำตอบของระบบสมการเชงิ เสนตอไปน้ี 3x + 6y - z = 12 2y - 6z = -14 x + y + 2z = 9 3 6 -1 12 วิธีทำ เมทรกิ ซแตงเติมของระบบสมการนี้ คือ 0 2 -6 -14 11 2 9 ใชการดำเนนิ การตามแถวเพ่ือแปลงเมทรกิ ซแตงเตมิ ไดดังนี้ 3 6 -1 12 1 1 2 9 R1 ↔ R3 0 2 -6 -14 0 2 -6 -14 11 2 9 3 6 -1 12 11 2 9 0 2 -6 -14 0 3 -7 -15 -3R1 + R3 11 2 9 1 2 0 1 -3 -7 R2 0 3 -7 -15 1 0 5 16 -R2 + R1 0 1 -3 -7 0 0 2 6 -3R2 + R3 1 0 5 16 0 1 -3 -7 0 0 1 3 1 R3 2 1 0 0 1 -5R3 + R1 0 1 0 2 3R3 + R2 0 0 13 ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 5 หนา 43 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพมิ่ เตมิ 3 (ค32201) เมทรกิ ซ เมื่อแปลงเมทริกซแตงเตมิ นี้ใหอยใู นรปู ระบบสมการจะได x=1 y=2 z=3 ดงั นน้ั (1, 2, 3) เปนคำตอบของระบบสมการ ตัวอยางที่ 25 จงหาคำตอบของระบบสมการเชิงเสนตอไปน้ี x+y+z = 3 2x - 2y + z = 1 x - 3y = 0 1 1 13 วธิ ที ำ เมทริกซแตงเตมิ ของระบบสมการน้ี คือ 2 -2 1 1 1 -3 0 0 ใชการดำเนนิ การตามแถวเพื่อแปลงเมทริกซแตงเตมิ ไดดงั นี้ 1 1 13 1 1 13 2 -2 1 1 1 -3 0 0 0 -4 -1 -5 -2R1+ R2 0 -4 -1 -3 -R1+ R3 1 1 13 0 -4 -1 -5 0 0 0 2 -R2 + R3 เมื่อแปลงเมทรกิ ซแตงเติมน้ีใหอยใู นรูประบบสมการจะได x+y+z = 3 -4y - z = -5 0 =2 เนอ่ื งจาก ระบบสมการสุดทายไมมีคำตอบ ดังน้นั ระบบสมการตงั้ ตนจึงไมมีคำตอบดวย ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 44 ครคู เณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพม่ิ เติม 3 (ค32201) เมทรกิ ซ ตวั อยางที่ 26 จงหาคำตอบของระบบสมการเชิงเสนตอไปน้ี x+y = 3 2x - y + 3z = 6 x - 2y + 3z = 3 1 1 03 วิธีทำ เมทรกิ ซแตงเติมของระบบสมการนี้ คือ 2 -1 3 6 1 -2 3 3 ใชการดำเนินการตามแถวเพ่ือแปลงเมทริกซแตงเตมิ ไดดงั นี้ 1 1 03 1 1 03 2 -1 3 6 1 -2 3 3 0 -3 3 0 -2R1 + R2 0 -3 3 0 -R1 + R3 1 1 03 0 -3 3 0 0 0 0 0 -R2 + R3 1 1 0 3 -R2 + R1 0 1 -1 0 0 0 00 เมือ่ แปลงเมทรกิ ซแตงเตมิ นี้ใหอยูในรปู ระบบสมการจะได x+z = 3 ……….(1) y-z = 0 ……….(2) 0 =0 ……….(3) เนอ่ื งจาก สมการ (3) เปนจริงเสมอ จงึ หาเฉพาะคาของ x, y และ z ท่ีสอดคลองกบั สมการ (1) และ (2) ก็เพียงพอ จากสมการ (1) และ (2) จะได x = -z + 3 และ y = z จะเหน็ วาทง้ั x และ y ข้ึนอยูกบั z น่นั คือ สามารถเลือก z ใหเปนจำนวนจริงใดก็ได ในท่ีนใ้ี ห z = t เมือ่ t เปนจำนวนจริงใดๆ ดังนนั้ คำตอบของระบบสมการ คือ (-t + 3, t, t) เมื่อ t เปนจำนวนจรงิ ใดๆ ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 5 หนา 45 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพิม่ เติม 3 (ค32201) เมทริกซ แบบฝกหดั ท่ี 4 เร่อื ง การหาคำตอบของระบบสมการเชงิ เสน 1. จงหาคา X จากสมการ AXB + C = 2D 1 2 2 1 -6 5 4 -2 เม่ือกำหนดให A = -2 1 , B = -2 3 , C = -6 4 และ D = -3 1 2. จงหาคำตอบของระบบสมการเชงิ เสนตอไปนี้โดยใชเมทรกิ ซผกผัน 1) 5x + 17y = 1 2) 11x - 4y = 2 2x + 7y = -2 3x - y = 3 3. จงหาคำตอบของระบบสมการเชิงเสนตอไปนโี้ ดยใชเมทรกิ ซแตงเตมิ 1) 5x - 7y = 12 2) x - 3y = -5 x + 4y = -2 -2x + 6y = 10 ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 46 ครคู เณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพิม่ เตมิ 3 (ค32201) เมทรกิ ซ 3) x + 3y + z = 2 x - y - 3z = - 6 2x - 3y = 7 4) x - 3z = -1 3x + y - 2z = 3 2x + 2y + z = 3 ชั้นมัธยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 47 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพมิ่ เตมิ 3 (ค32201) เมทรกิ ซ 5) 2x - y - 4z = -1 3x - y - 5z = 0 x - 2y - 5z = -5 6) x - 2y - 7z = -6 3x + y - 2z = -2 2x + y + z = -2 ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 5 หนา 48 ครคู เณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพม่ิ เติม 3 (ค32201) เมทริกซ 1 -2 2 1 -2 3 2 4. กำหนด X เปนเมทรกิ ซทส่ี อดคลองกับสมการ 4 3 + 4X = 0 1 3 1 4 -3 1 แลวคาของ det(2Xt (X + Xt )) เทากับเทาใด [PAT 1 (ต.ค.53)/36] 11 xy 5. กำหนดให A = 1 -1 และ B = y z -2 0 ถา A-1BA = 0 4 แลวคาของ xyz เทากับเทาใด [PAT 1 (ต.ค.53)/12] ชั้นมัธยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 49 ครูคเณศ สมตระกลู