แผนการจัดการเรียนรู้ เรื่อง เวกเตอร์

7. ช้นิ งาน / ภาระงาน 1) แบบฝก หดั ที่ 6 เร่ือง ผลคูณเชิงสเกลาร ขอท่ี 16 - 18 8. การวดั และประเมินผล ผลการเรยี นรู วิธีการวัดผล เครอื่ งมือวัดผล เกณฑก ารประเมิน ดา นความรู (K) แบบฝกหัดที่ 6 ขอท่ี นกั เรยี นทำแบบฝกหัด 1. หาผลคณู เชิงสเกลาร พิจารณาจากความ 16 - 18 ถกู ตองรอ ยละ 60 ข้นึ ไป ถือวา ผาน ถกู ตองของแบบฝกหัด นักเรียนไดคะแนนระดับ ดานทกั ษะ / กระบวนการ (P) แบบประเมนิ ผลดา น คุณภาพต้ังแต 3 คะแนน 1) แกโ จทยป ญ หาเร่ือง การสงั เกต ทกั ษะ/กระบวนการ ข้นึ ไป ถือวา ผา น หาผลคูณเชงิ สเกลาร ได นักเรยี นไดคะแนนระดบั คุณภาพต้ังแต 3 คะแนน 2) ใชเหตผุ ลในการ การสงั เกต แบบประเมนิ ผลดา น ข้ึนไป ถือวาผาน แกปญ หาหาผลคูณเชงิ ทักษะ/กระบวนการ นักเรยี นไดคะแนนระดับ สเกลาร ได คุณภาพตั้งแต 3 คะแนน แบบประเมนิ ผลดาน ขึ้นไป ถือวาผาน 3) เชือ่ มโยงความรูตางๆ การสงั เกต ทกั ษะ/กระบวนการ นักเรยี นไดคะแนนระดบั ของคณิตศาสตรไ ด คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน ข้ึนไป ถือวา ผา น 4) สื่อสาร สอื่ การสงั เกต แบบประเมนิ ผลดาน ทักษะ/กระบวนการ นกั เรียนไดคะแนนระดบั ความหมายทาง คณุ ภาพต้ังแต 2 คะแนน แบบประเมิน ขึ้นไป ถือวาผา น คณติ ศาสตร และ คณุ ลักษณะอันพงึ นกั เรียนไดคะแนนระดับ ประสงค คุณภาพตั้งแต 2 คะแนน นำเสนอขอมูล แบบประเมิน ขึ้นไป ถือวา ผาน คณุ ลักษณะอันพงึ นักเรียนไดคะแนนระดับ ดา นคณุ ลกั ษณะอนั พงึ ประสงค (A) ประสงค คุณภาพต้ังแต 2 คะแนน แบบประเมนิ ข้ึนไป ถือวา ผาน 1) ทำงานอยางเปน การสงั เกต คณุ ลกั ษณะอันพึง ประสงค ระบบรอบคอบ 2) มีระเบียบวินยั การสังเกต 3) มีความรบั ผดิ ชอบ การสังเกต

9. กจิ กรรมการเรยี นรู ข้ันนำ 1) ครสู นทนาทักทายนักเรยี น แลว ทบทวนความรเู ร่อื ง ผลคณู เชิงสเกลาร ดงั นี้ ให u เแปลน ะสเvกลเาปรน ผเวลกคเูณตอเชรงิในสรเกะลบาบรพ (กิscดั aฉlาaกrสpอroงมdิตuหิctร)ือขสอางมมuิติ บทนิยาม และ f a, b, vc, d, e u⋅v และ เขียนแทนดว ย อานวา uยู ==uuดอ⋅⋅aavvทii ++==วี bกำj หแนลดะดังvน้ี = ci + dj เปน เวกเตอรใ นระบบพกิ ดั ฉากสองมติ ิ 1) ถา + ej + fk เปน เวกเตอรใ นระบบพกิ ัดฉากสามมิติ 2) จถะาไดu bacj + cbkd และ v = di + จะได ad + be + cf ให u, v และ w เปน เวกเตอรใ ดๆ ในระบบพิกดั ฉากสองมติ ิหรอื สามมติ ิ และ a เปน สเกลาร ทฤษฎบี ท จ346521))))))ะไauuu0ดi(⋅⋅ว⋅⋅u⋅uuv(า ⋅viv====+) 0v=ujw⋅(u2⋅a) u=j) ⋅uv⋅v= +u⋅u(a⋅wv) และ (v + w )⋅u = v ⋅u + w ⋅u = k ⋅ k = 1 และ i ⋅ j = j ⋅ k = j ⋅ k = 0 ทฤษฎีบท แใหละuθแเลปะนขvนาเปดนขอเวงกมเมุตรอะรหใดวๆางทuี่ไมใ แชลเวะกเvตอซรึง่ ศ ูน0ย0  ในระบบพิกดั ฉากสองมิตหิ รือสามมติ ิ ≤ θ ≤1800 (มมุ ระหวางเวกเตอร หมายถึง มวามุ ทu่ีไ⋅มvใช=ม ุมกuลับv ซึ่งมีแขนของมุมเปนรงั สที ีข่ นานและมีทิศทางเดยี วกบั เวกเตอรทัง้ สอง) จะได cosθ u และ v ทฤษฎีบท ให มมุ ระหวา ง uuuเปนกกกเับบับั วกvvvเตอเเเปปปรในนนดมมแๆหุมมุ ฉปลในามา รกนกะกบ็ตกต็็ตอบอเอพมเเมิกมื่อัด่ือ่อื ฉuuาu⋅ก⋅v⋅สvvอ>=ง<0ม00ติ หิ รอื สามมิติ จะไดว า 1) มมุ ระหวาง 2) มุมระหวาง 3)

ขั้นสอน 1) ครใู หนักเรียนแบงกลุม ชว ยกันทำแบบฝกหัดท่ี 6 เร่อื ง ผลคูณเชิงสเกลาร ขอที่ 16 - 18 และ นำเสนอหนาช้นั เรียน 2) ในระหวางทน่ี ักเรยี นชว ยกันทำแบบฝกหัด ครจู ะคอยใหค ำแนะนำและเปด โอกาสใหนกั เรยี นได ถามขอสงสัย เพื่อครจู ะสามารถตรวจสอบความเขา ใจของนักเรียนในระหวางเรียนได ขนั้ สรุป 1) นกั เรียนและครรู วมกันสรุปความรู เรอ่ื ง ผลคณู เชิงสเกลาร ท่ไี ดจากการเรยี น และครเู ปดโอกาส ใหน กั เรียนซกั ถามปญหาหรอื ขอสงสัยตางๆ 2) ครูใหน ักเรียนแบงกลมุ ทำแบบฝก หัดที่ 6 ขอท่ี 16 - 18 หากนกั เรยี นทำไมเสรจ็ ในชว่ั โมง จะให นักเรียนนำกลบั ไปทำเปนการบาน แลว ครแู ละนักเรยี นจะรวมกนั เฉลยในชว งโมงถัดไป 3) ครูแนะนำใหน กั เรียนคนควา หาโจทยเพม่ิ เตมิ จากแหลง เรยี นรตู า งๆ 10. ส่ือ อุปกรณ และแหลงเรียนรู 1) หนงั สอื เรียนรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร เลม 1 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรยี น เร่ือง ฟงกชนั ตรีโกณมิติ

แผนการจดั กิจกรรมการเรียนรู กลุม สาระการเรยี นรคู ณติ ศาสตร คณิตศาสตรเ พ่มิ เตมิ 3 ชวงชนั้ ที่ 3 มัธยมศึกษาปท่ี 5 รหัสวชิ า ค 32201 ภาคเรียนท่ี 1 ปการศึกษา 2563 เวลา 1 ชั่วโมง หนว ยการเรียนรูท่ี 3 เรื่อง เวกเตอร โรงเรียนมัธยมวัดเบญจมบพิตร ชื่อครผู สู อน นายคเณศ สมตระกลู แผนการจัดการเรียนรูท่ี 16 เร่ือง ผลคณู เชงิ เวกเตอร 1. ผลการเรยี นรู/มาตรฐานการเรยี นรู 1) หาผลคณู เชงิ เวกเตอร 2. สาระสำคญั ผใuหล×คuูณv=เชอิงaเาiวน+กวเbตาอjเวร+ก (เccตrkอoรsแsย ลู pะคrรoอvdสu=cเวdtก)iเข+ตอองeรjวuี+ fk v เขียนแทนดว ย u × v บทนิยาม และ ทฤษฎบี ท u v a d  bf - ce  ทฤษฎีบท b  e   ผลลพั ธของ × =  × คอื เวกเตอร  cd - af  หรอื ในรูป  c i jf  k ae - bd =a bc ดีเทอรม ิแนนต u × v = b c i - a c j + a b k e f d f d e def ใuหu××uvvแเลป=ะนเvuวกเเvปตนอsiเรnวท θกตี่ เเตั้งมฉอือ่ ารกใ θนกรบั เะปบนuบขพนแลกิาดะัดขฉvอากงมแสุมลามระะมมหิตขี วนิ ทาาง่ีไดมเuขปนน แาลนะกันvจะไดว า โดยท่ี 00 ≤ θ ≤1800 ใuห ×uvแ=ละ0v เปน เวกเตอรในระบบพกิ ดั ฉากสามมิติ ที่ขนานกัน จะไดว า

ทฤษฎีบท กำหนด u, v และ w เปนเวกเตอรในระบบพิกดั ฉากสามมิติ และ α เปน 35จ971))).)ำนuuuujว⋅น××××(vจk(uรvα×งิ =vใ==ดw)iๆ0-=)(=vα(×(uuu××) v) 142860)))) )u(kiu(u×××+-(jivvv==))+×k×j w(wu) = ((uu × vw))++((uv ×× ww)) v ) ⋅ = v) × (2u) × v w + = 3. ผลการการเรียนรูท ี่คาดหวัง 1) ดานความรู (K) : นักเรยี นสามารถ - หาผลคูณเชงิ เวกเตอร 2) ดา นทักษะ / กระบวนการ (P) : นกั เรยี นสามารถ - แกโ จทยป ญ หาเรื่อง หาผลคูณเชงิ เวกเตอร ได - ใชเหตผุ ลในการแกปญหาหาผลคูณเชิงเวกเตอร ได - เช่ือมโยงความรูตางๆ ของคณิตศาสตรไ ด - ส่ือสาร สอ่ื ความหมายทางคณติ ศาสตร และนำเสนอขอมูล 3) ดา นคณุ ลักษณะอนั พึงประสงค (A) : นักเรียน - ทำงานเปนระบบ รอบคอบ - มีระเบียบวินัย - มคี วามรบั ผิดชอบ 4. ดา นคณุ ลักษณะของผเู รียนตามหลักสูตรมาตรฐานสากล 1) เปน เลิศวชิ าการ 2) ส่ือสองภาษา 3) ลำ้ หนาทางความคิด 4) ผลติ งานอยางสรา งสรรค 5. บรู ณาการตามหลักของปรชั ญาเศรษฐกิจพอเพยี ง 1) หลักความมีเหตผุ ล ปฏบิ ัตงิ านโดยใชความคดิ แกปญหาโดยใชป ญ ญา 2) เงอื่ นไขความรู 6. สมรรถนะสำคญั ของผูเรียน 1) ความสามารถในการคิด 2) ความสามารถในการแกปญ หา

7. ชิน้ งาน / ภาระงาน 1) แบบฝกหดั ท่ี 7 เรื่อง ผลคณู เชิงเวกเตอร ขอท่ี 1 - 2 8. การวัดและประเมนิ ผล ผลการเรยี นรู วธิ กี ารวดั ผล เคร่อื งมอื วัดผล เกณฑก ารประเมิน ดา นความรู (K) แบบฝก หัดท่ี 7 เร่ือง นักเรียนทำแบบฝกหดั 1. หาผลคณู เชงิ เวกเตอร พจิ ารณาจากความ ขอ ท่ี 1 - 2 ถูกตองรอยละ 60 ข้นึ ไป ถือวาผานเกณฑ ถกู ตองของแบบฝกหดั นักเรียนไดคะแนนระดบั ดานทกั ษะ / กระบวนการ (P) แบบประเมนิ ผลดาน คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน 1) แกโ จทยปญ หาเรื่อง การสังเกต ทกั ษะ/กระบวนการ ขน้ึ ไป ถือวาผา น หาผลคณู เชิงเวกเตอร นกั เรยี นไดคะแนนระดับ ได แบบประเมินผลดาน คณุ ภาพตั้งแต 3 คะแนน ทักษะ/กระบวนการ ขึ้นไป ถือวาผาน 2) ใชเ หตผุ ลในการ การสงั เกต นกั เรียนไดคะแนนระดับ แกป ญ หาหาผลคูณเชงิ แบบประเมินผลดาน คุณภาพต้ังแต 3 คะแนน เวกเตอร ได ทกั ษะ/กระบวนการ ขน้ึ ไป ถือวาผา น นักเรยี นไดคะแนนระดบั 3) เชือ่ มโยงความรูตางๆ การสงั เกต คุณภาพตั้งแต 3 คะแนน ของคณติ ศาสตรไ ด ข้ึนไป ถือวา ผาน 4) ส่อื สาร สือ่ การสงั เกต แบบประเมนิ ผลดา น นกั เรยี นไดคะแนนระดับ ทักษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตั้งแต 2 คะแนน ความหมายทาง ขึ้นไป ถือวาผา น แบบประเมิน นกั เรยี นไดคะแนนระดับ คณิตศาสตร และ คณุ ลกั ษณะอนั พงึ คณุ ภาพต้ังแต 2 คะแนน ประสงค ขน้ึ ไป ถือวาผาน นำเสนอขอมูล แบบประเมิน นักเรยี นไดคะแนนระดับ คณุ ลกั ษณะอนั พงึ คณุ ภาพตั้งแต 2 คะแนน ดานคณุ ลักษณะอนั พงึ ประสงค (A) ประสงค ขน้ึ ไป ถือวา ผา น แบบประเมิน 1) ทำงานอยางเปน การสังเกต คุณลกั ษณะอันพึง ประสงค ระบบรอบคอบ 2) มีระเบยี บวนิ ยั การสงั เกต 3) มคี วามรับผิดชอบ การสงั เกต

9. กิจกรรมการเรยี นรู ข้ันนำ 1) ครสู นทนาทักทายนักเรยี น แลวทบทวนความรูเรือ่ ง ผลคณู เชิงสเกลาร ดงั นี้ ให u เแปลน ะสเvกลเาปรน ผเวลกคเูณตอเชริงใ นสรเกะลบาบรพ (กิscดั aฉlาaกrสpอroงมdิตuหิctร)ือขสอางมมuิติ บทนิยาม และ f a, b, vc, d, e u⋅v และ เขียนแทนดว ย อานวา uยู ==uuดอ⋅⋅aavvทii ++==วี bกำj หแนลดะดังvนี้ = ci + dj เปน เวกเตอรใ นระบบพกิ ดั ฉากสองมิติ 1) ถา + ej + fk เปน เวกเตอรใ นระบบพกิ ัดฉากสามมิติ 2) จถะา ไดu bacj + cbkd และ v = di + จะได ad + be + cf ให u, v และ w เปนเวกเตอรใ ดๆ ในระบบพิกัดฉากสองมติ ิหรอื สามมิติ และ a เปน สเกลาร ทฤษฎบี ท จ346521))))))ะไauuu0ดi(⋅⋅ว⋅⋅u⋅uuv(า ⋅viv====+) 0v=ujw⋅(u2⋅a) u=j) ⋅uv⋅v= +u⋅u(a⋅wv) และ (v + w )⋅u = v ⋅u + w ⋅u = k ⋅ k = 1 และ i ⋅ j = j ⋅ k = j ⋅ k = 0 ทฤษฎบี ท แใหละuθแเลปะนขvนาเปดนขอเวงกมเุมตรอะรหใ ดวๆางทu่ีไมใ แชลเวะกเvตอซรง่ึ ศ ูน0ย0  ในระบบพิกดั ฉากสองมิติหรือสามมติ ิ ≤ θ ≤1800 (มมุ ระหวางเวกเตอร หมายถึง มวามุ ทuี่ไ⋅มvใ ช=มมุ กuลับv ซึง่ มีแขนของมมุ เปนรงั สที ข่ี นานและมีทิศทางเดยี วกบั เวกเตอรทงั้ สอง) จะได cosθ u และ v ทฤษฎบี ท ให มมุ ระหวา ง uuuเปนกกกเบับับั วกvvvเตอเเเปปปรในนนดมมแๆหมุุมปฉลในามา รกนกะกบต็ก็ต็ตอบอเอพมเเมิกมอ่ื ดัื่ออื่ ฉuuาu⋅ก⋅v⋅สvvอ>=ง<0ม00ติ หิ รอื สามมิติ จะไดว า 1) มุมระหวา ง 2) มุมระหวา ง 3)

ขั้นสอน 1) ครบู รรยายเกีย่ วกับ เรอ่ื ง ผลคูณเชิงเวกเตอร พรอมตวั อยางดงั นี้ ผลคูณเชิงเวกเตอร (cross product) บทนิยาม 11 ใผuหล×คuูณv=เชอaงิาiเวน+กวbาเตjเอว+รก เc(ตckอroรแยsลsู ะคpรอrvoส=dเuวdcกitเ+ต) อขeรอjว งี+ufkและ v เขียนแทนดวย u × v u v a d  bf - ce  b e    ผลลัพธข อง × = ×  คอื เวกเตอร  cd - af  หรอื ในรปู ดเี ทอรมิแนนต i j k c   f  ae - bd a b c= u × v = b c i - a c j + a b k e f d f d e def ทฤษฎบี ท 9 เมอื่ ใuหθ×uเปvนแเลขปนะน าเดvวขกเอเปตงนอมเรมุ วทรกี่ตะเตห้ังฉอวาารกงใ นกuรบั ะบแuบละพแลิกvะัดฉโvาดกยแสทลาี่ มะ0มม0ติขี ≤นิ ทθาี่ได≤มเ1ขป8นน 0า0นuกดนั×งั รจปูvะทไี่ด=1ว 9า u v sinθ ทฤษฎบี ท 10 เสuปงั นเ×กเวตvกวเา=ตถอ-าร(vทu่ีต×ั้งแฉuลา)กะกvบั รเะปนนาเบวทกรเี่ผูปตาทอนร่ี 1ทu9่ีไมแข ลนะานvกันแลจะะมไดที วิศา ทาuงต×รงvขาแมลกะนั vดัง×นu้นั ให u และ v เปนเวกเตอรใ นระบบพกิ ัดฉากสามมิติ ที่ขนานกัน จะไดว า u × v = 0

u -1 v 1 u v   3 ตวั อยา งท่ี 31 ให =  0  และ = จงหา × วิธีทำ  3  i 4 j k ตวั อยางที่ 32 u × v = -1 0 3 วิธที ำ 1 34 ตัวอยา งที่ 33 วิธที ำ = 0 3 i - -1 3 j + -1 0 k 3 4 1 4 1 3 ((- 009(i4-+)9-)73ij(-3- )(3)k-i(4-) -(3-(31)-)0j)+k )k = ( (3-1))(j4+) ( (-1)(3) - 0(1) = = - จงหา u × v เมือ่ กำหนด u = 2i - 3j และ v = i - 5j i j k u × v = 2 -3 0 1 -5 0 = -3 0 i 2 )i00-j(+2(021) - -3 k + ( 2(-5) - (-3)(1) )k -5 0 - -1 -5 )j = 0(-5) = (-7(k-3)(0) 0(1) จงหาเวกเตอร i ×ij j k i × j = 1 0 0 010 = (100(0)00-i0-(1)10)i 0 j + -100(0)10)kj + = 0 0(0) )k k - (1(0) (1(1) - =

ทฤษฎบี ท 11 1ก5379.....ำหuuuuนj ⋅ด××××(vk(uuvα×,=v==vw)i0-=)(แv=ลα(ะ×(uuuw××) vเvป))⋅น wเวกเตอรในระบ42186บ..0..พ.u(kิกiu(ดัu×××+ฉ-(าjivvกv==ส))+า×k×jมw(มwu)ิต=ิ=+แ(ล(vuuะ) ××αvwเ)ป)+น+จ((uำvน×ว×นwwจ)ร)งิ ใดๆ = (2u) × v ตัวอยา งท่ี 34 วิธีทำ จ(iงห+าj(+i +2kj)+×2(k2i) -×j(2-i3-k)j - 3k ) 22--i((30i+()×j7-×ij)k-k-+3)(ik+3×j4-(jk)2-k×3-(ii)1×-(02k)(k)- +3×i2+j()j4-×j6(i+)k-2×(ij-k×)6(0j)) ตัวอยา งท่ี 35 = วธิ ีทำ uu = 2i = และ = vj v 2i+ j+ k) กำหนด - และ = จงหาคาของ sinθ เมือ่ θ เปน ขนาดของมุม ระหวาง i j k u × v = 2 -1 0 211 = -1 0 i - 2 0 j + 2 -1 k 1 1 2 1 2 1 (-i(--12)(1j )+-40k(1))i - (2(1) - 0(2))j + (2(1) - (-1)(2))k = = u × v = u = (-1)2 + (-2)2 + 42 = 1 + 4 + 16 = 21 v = 22 + (-1)2 + 02 = 4 + 1 + 0 = 5 22 + 12 + 12 = 4+1+1 = uu6×vv u v sinθ จะไดวา sinθ = เนอ่ื งจาก u ≠ 0, v ≠ 0 และ u × v = ดงั นน้ั sinθ = 21 = 21 = 7 = 70 56 30 10 10

ข้ันสรุป 1) นักเรียนและครรู วมกนั สรุปความรูเร่อื ง ผลคณู เชิงเวกเตอร ที่ไดจากการเรยี น และเปดโอกาสให นักเรยี นซกั ถามปญ หาหรือขอสงสยั 2) ครใู หน กั เรียนทำแบบฝก หัดท่ี 7 เร่อื ง ผลคณู เชงิ เวกเตอร ขอที่ 1 - 2 ใหเ สร็จในช่วั โมง แตหาก นักเรียนทำไมเสรจ็ ในช่วั โมง ใหนกั เรียนนำกลับไปทำเปน การบา นแลว รวมเฉลยในชัว่ โมงถัดไป 3) ครแู นะนำใหนักเรียนคน ควาหาโจทยเ พิม่ เติมจากแหลงเรียนรตู า งๆ 10. สื่อ อุปกรณ และแหลง เรียนรู 1) หนังสือเรียนรายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร เลม 1 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรยี น เรื่อง เวกเตอร

แผนการจัดกจิ กรรมการเรียนรู กลุมสาระการเรยี นรูคณติ ศาสตร คณิตศาสตรเ พิม่ เตมิ 3 ชวงชนั้ ที่ 3 มธั ยมศึกษาปท่ี 5 รหสั วิชา ค 32201 ภาคเรยี นที่ 1 ปการศกึ ษา 2563 เวลา 1 ชั่วโมง หนวยการเรียนรูที่ 3 เรอ่ื ง เวกเตอร โรงเรยี นมัธยมวัดเบญจมบพิตร ชอื่ ครผู สู อน นายคเณศ สมตระกลู แผนการจัดการเรียนรูท่ี 17 เรื่อง ผลคูณเชิงเวกเตอร 1. ผลการเรียนรู/มาตรฐานการเรยี นรู 1) หาผลคูณเชิงเวกเตอร 2. สาระสำคญั ผใuหล×คuณู v=เชอิงaเาiวน+กวเbตาอjเวร+ก (เccตrkอoรsแsยลู pะคrรoอvdสu=cเวdtก)iเข+ตอองeรjวuี+ fk v เขยี นแทนดว ย u × v บทนิยาม และ ทฤษฎีบท u v a d  bf - ce  ทฤษฎบี ท b  e   ผลลพั ธข อง × =  × คอื เวกเตอร  cd - af  หรือ ในรปู  c i jf  k ae - bd =a bc ดีเทอรมิแนนต u × v = b c i - a c j + a b k e f d f d e def ใuหu××uvvแเลป=ะน เvuวกเเvปตนอsiเรnวทθกต่ี เเต้ังมฉออ่ื ารกใ θนกรับเะปบนuบขพนแลกิาดะัดขฉvอากงมแสุมลามระะมมหติขี วนิ ทาางี่ไดมเuขปนน แาลนะกันvจะไดวา โดยท่ี 00 ≤ θ ≤1800 ใuห ×uvแ=ละ0v เปนเวกเตอรในระบบพิกดั ฉากสามมิติ ท่ีขนานกัน จะไดว า ทฤษฎีบท กำหนด u, v และ w เปน เวกเตอรในระบบพิกดั ฉากสามมิติ และ α เปน จำนวนจรงิ ใดๆ

1) uuuuj ⋅××××(vk(uvα×=v==w)i0-=)(=vα(×(uuu××) v) 142860)))) )u(kiu(u×××+-(jivvv==))+×k×j w(wu) = ((uu × vw))++((uv ×× ww)) 3) v ) ⋅ = v) × (2u) × v 5) w 7) + = 9. 3. ผลการการเรียนรทู ี่คาดหวงั 1) ดานความรู (K) : นักเรยี นสามารถ - หาผลคูณเชิงเวกเตอร 2) ดานทักษะ / กระบวนการ (P) : นักเรยี นสามารถ - แกโ จทยป ญหาเรื่อง หาผลคูณเชงิ เวกเตอร ได - ใชเหตผุ ลในการแกป ญหาหาผลคูณเชิงเวกเตอร ได - เช่ือมโยงความรตู างๆ ของคณิตศาสตรไ ด - สอ่ื สาร สอ่ื ความหมายทางคณิตศาสตร และนำเสนอขอมูล 3) ดานคุณลกั ษณะอนั พึงประสงค (A) : นักเรียน - ทำงานเปน ระบบ รอบคอบ - มรี ะเบียบวนิ ยั - มคี วามรบั ผดิ ชอบ 4. ดานคณุ ลักษณะของผเู รยี นตามหลกั สูตรมาตรฐานสากล 1) เปนเลิศวิชาการ 2) สือ่ สองภาษา 3) ลำ้ หนา ทางความคดิ 4) ผลิตงานอยางสรางสรรค 5. บูรณาการตามหลกั ของปรัชญาเศรษฐกจิ พอเพียง 1) หลกั ความมีเหตุผล ปฏิบัติงานโดยใชค วามคิด แกปญหาโดยใชป ญ ญา 2) เงื่อนไขความรู 6. สมรรถนะสำคัญของผูเรียน 1) ความสามารถในการคดิ 2) ความสามารถในการแกป ญหา 7. ชนิ้ งาน / ภาระงาน 1) แบบฝกหัดที่ 7 เรื่อง ผลคูณเชงิ เวกเตอร ขอที่ 3 - 5

8. การวัดและประเมนิ ผล ผลการเรยี นรู วธิ กี ารวดั ผล เครื่องมือวดั ผล เกณฑก ารประเมนิ ดานความรู (K) แบบฝก หดั ท่ี 7 เร่ือง นักเรียนทำแบบฝกหัด 1. หาผลคณู เชิงเวกเตอร พจิ ารณาจากความ ขอท่ี 3 - 5 ถูกตองรอ ยละ 60 ขึ้นไป ถือวา ผา นเกณฑ ถกู ตองของแบบฝกหัด นักเรียนไดคะแนนระดับ ดา นทกั ษะ / กระบวนการ (P) แบบประเมนิ ผลดาน คุณภาพต้ังแต 3 คะแนน 1) แกโ จทยป ญหาเรื่อง การสังเกต ทักษะ/กระบวนการ ขึน้ ไป ถือวา ผา น หาผลคูณเชิงเวกเตอร นักเรยี นไดคะแนนระดับ ได แบบประเมินผลดาน คุณภาพตั้งแต 3 คะแนน ทกั ษะ/กระบวนการ ขึ้นไป ถือวา ผา น 2) ใชเ หตผุ ลในการ การสงั เกต นักเรียนไดคะแนนระดบั แกป ญ หาหาผลคูณเชงิ แบบประเมนิ ผลดาน คุณภาพตั้งแต 3 คะแนน เวกเตอร ได ทกั ษะ/กระบวนการ ข้ึนไป ถือวาผาน นักเรยี นไดคะแนนระดบั 3) เชื่อมโยงความรูตางๆ การสังเกต คณุ ภาพตั้งแต 3 คะแนน ของคณิตศาสตรได ขึน้ ไป ถือวา ผา น 4) สอื่ สาร สื่อ การสงั เกต แบบประเมินผลดา น นกั เรยี นไดคะแนนระดบั ทักษะ/กระบวนการ คุณภาพต้ังแต 2 คะแนน ความหมายทาง ขึ้นไป ถือวา ผา น แบบประเมนิ นักเรยี นไดคะแนนระดับ คณติ ศาสตร และ คณุ ลกั ษณะอันพงึ คุณภาพตั้งแต 2 คะแนน ประสงค ขน้ึ ไป ถือวา ผา น นำเสนอขอมลู แบบประเมนิ นกั เรยี นไดคะแนนระดบั คุณลักษณะอนั พงึ คุณภาพต้ังแต 2 คะแนน ดานคุณลกั ษณะอันพึงประสงค (A) ประสงค ข้ึนไป ถือวา ผา น แบบประเมนิ 1) ทำงานอยา งเปน การสังเกต คุณลักษณะอนั พึง ประสงค ระบบรอบคอบ 2) มรี ะเบยี บวนิ ยั การสังเกต 3) มคี วามรบั ผิดชอบ การสงั เกต

9. กจิ กรรมการเรยี นรู ขั้นนำ 1) ครูสนทนาทักทายนกั เรียน แลวทบทวนความรเู รื่อง ผลคณู เชงิ เวกเตอร ดงั น้ี u -1 v 1 u v   3 ตัวอยา งที่ 31 ให =  0  และ = จงหา × วิธที ำ  3  i 4 j k ตวั อยางที่ 32 u × v = -1 0 3 วิธีทำ 1 34 = ((-03009(i4-+)943-)7i3ij-(-3- )(3-1)1k-i(4-) (43-(3-j1)+)(j4+)-11-(3-(3103)-)k0j)+k ((-1)(3) - 0(1))k = = = จงหา u × v เม่อื กำหนด u = 2i - 3j และ v = i - 5j i j k u × v = 2 -3 0 1 -5 0 = -3 0 i 2 )i00-j(+2(021) - -3 k + ( 2(-5) - (-3)(1) )k -5 0 - -1 -5 )j = 0(-5) = (-7(k-3)(0) 0(1)

ตวั อยา งที่ 33 จงหาเวกเตอร i ×ij j k วิธีทำ i × j = 1 0 0 ตัวอยา งที่ 34 010 วิธีทำ = (010(0)00-i0-(1)10)i 0 j + -100(0)01)kj + ตัวอยางที่ 35 = 0 วธิ ที ำ 0(0) )k k จ(iงห+าj(+i +2kj)+×2(k2i) -×j(2-i3-k)j - (1(0) (1(1) - = 3k ) - = 22--i((30i+()×j7-×ij)k-k-+3)(ik+3×j4-(jk)2-k×3-(ii)1×-(02k)(k)- +3×i2+j()j4-×j6(i+)k-2×(ij-k×)6(0j)) = = uu = 2i vj v 2i+ j+ k) กำหนด และ - และ = จงหาคาของ sinθ เม่ือ θ เปน ขนาดของมุม ระหวา ง i j k u × v = 2 -1 0 211 = -1 0 i - 2 0 j + 2 -1 k 1 1 2 1 2 1 (-i(--12)(1j )+-40k(1))i - (2(1) - 0(2))j + (2(1) - (-1)(2))k = = u × v = u = (-1)2 + (-2)2 + 42 = 1 + 4 + 16 = 21 v = 22 + (-1)2 + 02 = 4 + 1 + 0 = 5 22 + 12 + 12 = 4+1+1 = uu6×vv u v sinθ จะไดว า sinθ = เนอ่ื งจาก u ≠ 0, v ≠ 0 และ u × v = ดังน้ัน sinθ = 21 = 21 = 7 = 70 56 30 10 10

ข้นั สอน 1) ครใู หนักเรียนชว ยกนั ทำแบบฝก หดั ที่ 7 เรอ่ื ง ผลคูณเชิงเวกเตอร ขอท่ี 3 - 5 2) ในระหวางทน่ี ักเรียนชว ยกันทำแบบฝกหัด ครูจะคอยใหค ำแนะนำและเปดโอกาสใหน กั เรยี นได ถามขอสงสยั และเฉลยคำตอบในขอ ทน่ี ักเรยี นทำเสรจ็ แลว เพอ่ื ใหน ักเรียนตรวจสอบความถกู ตองของคำตอบ และเพ่ือครูจะสามารถตรวจสอบความเขาใจของนักเรยี นในระหวางเรยี นได ขนั้ สรปุ 1) นกั เรยี นและครรู ว มกนั สรุปความรู เรอ่ื ง ผลคณู เชิงเวกเตอร ทไ่ี ดจากการเรยี น และครเู ปด โอกาสใหน กั เรียนซกั ถามปญ หาหรอื ขอสงสยั ตา งๆ 2) ครูใหนกั เรียนทำแบบฝก หัดที่ 7 ขอท่ี 3 - 5 หากนักเรยี นทำไมเ สร็จในช่ัวโมง จะใหน ักเรียนนำ กลบั ไปทำเปน การบาน แลวครูและนักเรียนจะรวมกนั เฉลยในชว งโมงถดั ไป 3) ครแู นะนำใหน ักเรยี นคน ควา หาโจทยเพิ่มเตมิ จากแหลง เรียนรูตา งๆ 10. ส่ือ อุปกรณ และแหลงเรยี นรู 1) หนังสอื เรยี นรายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร เลม 1 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรียน เร่ือง เวกเตอร

แผนการจดั กิจกรรมการเรียนรู กลมุ สาระการเรียนรคู ณิตศาสตร คณิตศาสตรเ พิม่ เติม 3 ชว งชนั้ ท่ี 3 มัธยมศึกษาปท่ี 5 รหัสวชิ า ค 32201 ภาคเรยี นที่ 1 ปการศกึ ษา 2563 หนว ยการเรียนรูที่ 3 เร่อื ง เวกเตอร เวลา 1 ชั่วโมง ช่อื ครูผสู อน นายคเณศ สมตระกูล โรงเรียนมัธยมวัดเบญจมบพิตร แผนการจัดการเรียนรทู ่ี 18 เรื่อง การนำความรเู กยี่ วกับเวกเตอรใ นสามมิตไิ ปใชใ นการแกป ญหา 1. ผลการเรยี นรู/มาตรฐานการเรยี นรู 1) นำความรูเกีย่ วกับเวกเตอรในสามมติ ิไปใชในการแกป ญ หา 2. สาระสำคัญ θ เvปuนคvมอื มุ sรiพnะ้นืθหทวเข่ีปาองนงพuรูป้ืนทสแ่เีลข่ี หะอลงี่ยรvมปู ดสแาี่เลหนะลขี่ยนvมาดนsiาnดนθังขนนค้นั อืานจสทะว ม่ีไนดดี สว า ูงา นขพไอ้นืมงขทรน่ีขูปาอสนงี่เหรกปูลันสี่ยยามมาดวเาหนลuข่ียนมาแนคลอืะ v หนวดยงั นแนั้ ละกจuำาห×กนvดu = × ลh12า=กuจา×uกจvcดุ oกสsำนิ้θหสนปดุ ดรขิมทอารงตงสuรขเ่ี หอมลงาย่ีสยมี่เังหดรละา ่ยีนนมาขดบนาทานนีก่ ขซำนหง่ึ มานนี ดuทด,รวงยvตันvแลuแะลcะrosเθrปนถvดา า×θนrเถปา=น hมuมุเปรvนะหค×ววาาrงมยcuoาวsแθขลอะง=เสvนuต×⋅้ัง(vฉr า×จกะทrไี่)ด 3. ผลการการเรยี นรูที่คาดหวงั 1) ดานความรู (K) : นักเรยี นสามารถ - นำความรูเก่ียวกับเวกเตอรในสามมติ ไิ ปใชใ นการแกป ญหา 2) ดานทกั ษะ / กระบวนการ (P) : นักเรียนสามารถ - แกโ จทยป ญ หาโดยนำความรูเกยี่ วกับเวกเตอรในสามมิติไปใชในการแกป ญหาได - ใชเหตุผลโดยการนำความรูเกี่ยวกบั เวกเตอรใ นสามมติ ิไปใชในการแกป ญ หา ได - เช่อื มโยงความรตู า งๆ ของคณิตศาสตรได - ส่ือสาร สอ่ื ความหมายทางคณิตศาสตร และนำเสนอขอมูล 3) ดา นคุณลักษณะอันพึงประสงค (A) : นักเรยี น - ทำงานเปน ระบบ รอบคอบ - มรี ะเบียบวินัย - มคี วามรับผดิ ชอบ

4. ดานคณุ ลักษณะของผเู รียนตามหลักสตู รมาตรฐานสากล 1) เปน เลิศวิชาการ 2) สือ่ สองภาษา 3) ล้ำหนาทางความคดิ 4) ผลิตงานอยา งสรางสรรค 5. บรู ณาการตามหลักของปรชั ญาเศรษฐกิจพอเพียง 1) หลกั ความมเี หตผุ ล ปฏบิ ตั งิ านโดยใชค วามคดิ แกป ญหาโดยใชป ญญา 2) เงือ่ นไขความรู 6. สมรรถนะสำคัญของผูเรียน 1) ความสามารถในการคดิ 2) ความสามารถในการแกปญ หา 7. ชิ้นงาน / ภาระงาน 1) แบบฝกหัดท่ี 8 เร่ือง การใชเ วกเตอรในการหาพ้ืนทีข่ องรปู สี่เหลีย่ มดานขนาน และการหา ปริมาตรของทรางส่ีเหลีย่ มดานขนาน ขอ ท่ี 1 - 3 8. การวดั และประเมินผล ผลการเรยี นรู วิธีการวัดผล เครือ่ งมอื วัดผล เกณฑการประเมนิ ดานความรู (K) แบบฝกหดั ที่ 8 นักเรยี นทำแบบฝกหัด 1. นำความรูเกย่ี วกบั พิจารณาจากความ ขอที่ 1 - 3 ถูกตองรอยละ 60 เวกเตอรใ นสามมติ ิไปใช ถูกตองของแบบฝกหดั ข้ึนไป ถือวา ผานเกณฑ ในการแกปญหา แบบประเมินผลดา น ทักษะ/กระบวนการ นักเรียนไดคะแนนระดับ ดา นทักษะ / กระบวนการ (P) คณุ ภาพตั้งแต 3 คะแนน 1) แกโ จทยป ญ หาโดย การสังเกต แบบประเมินผลดาน ขน้ึ ไป ถือวาผา น นำความรูเ ก่ียวกบั ทักษะ/กระบวนการ เวกเตอรในสามมิติไปใช นกั เรยี นไดคะแนนระดับ ในการแกป ญ หาได แบบประเมินผลดาน คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน ทักษะ/กระบวนการ ขึ้นไป ถือวา ผาน 2) ใชเ หตผุ ลโดยการนำ การสงั เกต ความรูเ กี่ยวกับเวกเตอร นักเรยี นไดคะแนนระดบั ในสามมิติไปใชใ นการ คุณภาพต้ังแต 3 คะแนน แกป ญ หา ได ข้ึนไป ถือวาผาน 3) เชื่อมโยงความรูตางๆ การสังเกต ของคณิตศาสตรได

ผลการเรียนรู วิธกี ารวัดผล เครอื่ งมือวดั ผล เกณฑก ารประเมนิ 4) สอื่ สาร ส่ือ การสังเกต แบบประเมินผลดา น นกั เรยี นไดคะแนนระดบั ทักษะ/กระบวนการ คุณภาพต้ังแต 3 คะแนน ความหมายทาง ขึ้นไป ถือวาผาน คณติ ศาสตร และ นำเสนอขอมูล ดา นคณุ ลกั ษณะอันพึงประสงค (A) 1) ทำงานอยางเปน การสังเกต แบบประเมนิ นกั เรยี นไดคะแนนระดับ คุณลักษณะอนั พึง คุณภาพตั้งแต 2 คะแนน ระบบรอบคอบ ประสงค ขึ้นไป ถือวา ผาน 2) มรี ะเบยี บวนิ ยั การสงั เกต แบบประเมนิ นักเรียนไดคะแนนระดับ คุณลักษณะอนั พึง คุณภาพตั้งแต 2 คะแนน 3) มคี วามรับผดิ ชอบ การสังเกต ประสงค ขึ้นไป ถือวาผาน แบบประเมนิ นักเรียนไดคะแนนระดับ คุณลักษณะอนั พงึ คุณภาพต้ังแต 2 คะแนน ประสงค ขึ้นไป ถือวาผา น 9. กจิ กรรมการเรยี นรู ขัน้ นำ 1) ครูสนทนาทักทายนกั เรียน แลวทบทวนความรูเรือ่ ง ผลคณู เชิงสเกลาร และผลคณู เชิงสเกลาร ดังน้ี ให u เแปลนะสเvกลเาปรน ผเวลกคเูณตอเชริงในสรเกะลบาบรพ (กิscดั aฉlาaกrสpอroงมdติuหิctร)ือขสอางมมuิติ a, b, vc, d, e u⋅v บทนิยาม และ f และ เขยี นแทนดว ย อ21))านจถถuวะาา ⋅า ไvดuuย ู===uดอ⋅aaavทcii +++=วี bกำj หแนลดะดังvน้ี = ci + dj เปน เวกเตอรใ นระบบพกิ ัดฉากสองมติ จิ ะได + ej + fk เปน เวกเตอรใ นระบบพกิ ดั ฉากสามมติ ิ bbdj + ck และ v = di ad + be + cf

ทฤษฎีบท ให u, v และ w เปน เวกเตอรใ ดๆ ในระบบพิกดั ฉากสองมิติหรอื สามมติ ิ และ a เปน สเกลาร ทฤษฎีบท จ346521))))))ะไauuu0ดi(⋅⋅ว⋅⋅u⋅uuv(า⋅viv====+) 0v=ujw⋅(u2⋅a) u=j) ⋅uv⋅v= +u⋅u(a⋅wv) และ (v + w )⋅u = v ⋅u + w ⋅u ทฤษฎีบท = k ⋅ k = 1 และ i ⋅ j = j ⋅ k = j ⋅ k = 0 บทนิยาม แใหละuθแเลปะนขvนาเปดนขอเวงกมเุมตรอะรหใดวๆา งทu่ีไมใแชลเวะกเvตอซรงึ่ ศูน0ย0  ในระบบพิกดั ฉากสองมิตหิ รือสามมิติ ≤ θ ≤1800 (มมุ ระหวางเวกเตอร หมายถึง มวาุมทu่ีไ⋅มvใ ช=ม มุ กuลบัv ซ่ึงมีแขนของมุมเปน รงั สที ข่ี นานและมีทิศทางเดียวกบั เวกเตอรทัง้ สอง) จะได cosθ u และ v ให มุมระหวาง uuuเปนกกกเับบัับวกvvvเตอเเเปปปรในนนดแมมๆหมมุุ ปฉลในามารกนกะกบ็ตกต็็ตอบอเอพมเเมิกมอ่ื ัดื่อ่ือฉuuาu⋅ก⋅v⋅สvvอ>=ง<0ม00ิติหรือสามมิติ จะไดวา 1) มมุ ระหวาง 2) มุมระหวาง 3) ใผuหล×คuูณv=เชอิงaาเiวน+กวเาbตอเjวร+ก (เccตrkอoรsแยsลู pคะรroอvdสu=เcวdtก)iเขต+อองeรวjuี + fk และ v เขียนแทนดวย u × v u v a d  bf - ce  b  e   ผลลัพธของ × =  × คือ เวกเตอร  cd - af  หรอื ในรูป  c i jf  k ae - bd =a bc ดีเทอรมิแนนต u × v ef = b c i - a c j + a b k e f d f d e d

ทฤษฎบี ท เใuปหน×uขนvแาเดลปขะน อเvงวมกุมเเปตรนอะเหรวทวกีต่า เงตั้งฉอuารกใ นแกรลบั ะะบuบvพแโลกิ ดะัดยฉทvาี่ ก0แส0ลา≤มะมมθติขี≤นิ 1ทา8่ีได0มเ0ขปนนานuก×ัน vจะไ=ดว uา v sinθ เมือ่ θ ให u และ v เปนเวกเตอรใ นระบบพกิ ัดฉากสามมติ ิ ท่ีขนานกัน จะไดว า u × v = 0 ทฤษฎบี ท 13579ก)))))ำหuuuujน⋅××ด××(vk(uvuα×,=v==wv)i0-=)(แv=αล(×ะ(uuu×w×) ทฤษฎบี ท vvเ)ป)⋅น wเวกเตอรในระบบพ14286ิก0))))ัด)uฉ(kiu(าu×××ก+ส-(jiาvvv==ม))+ม×k×jิตwิ(wแu)ล==+ะ ((uαu ××เปvwน)จ)+ำ+น(ว(uvน×จ×รwงิ wใ)ด)ๆ v) = (2u) × v ขน้ั สอน 1) ครบู รรยายเกีย่ วกบั เร่ือง การใชเวกเตอรในการแกป ญหา พรอมตวั อยา งดงั น้ี การใชเวกเตอรใ นการหาพื้นท่ขี องรูปส่ีเหล่ียมดา นขนาน ดแuลานะ×ไมvvขนsแจ=iาnาลนกθะกรuจปูคันากอืทvย่ี สา2suiวว0nนθ×กสuำงูเvหปขแนนอคลดงพรือะ้นื ปูθทพสvขี่ื้นเ่เี ปหอทนลงหี่ขรมี่ยนอปู มุมวงสรดรยเี่ะูปาหหนสลวข่เี ่ยีหานมงลาด่ยีนuา มนดดแขางัลนนนะาขั้นนนvทาีม่นี รูปที่ 20 u v 1 ดงั นนั้ จะไดว าพืน้ ที่ของรูปสามเหลย่ี ม คือ 2 × ตัวอยางท่ี 36 จงหาพ้ืนที่ของรูปสามเหลีย่ มที่มจี ุดยอดท่ี A(1, -1, 3), B(2, 3, -2) และ C(1, 1, 5) AB AC วิธีทำ พนื้ ทขี่ องรปู สามเหล่ียม ABC เทากับ 1 × 2 เนอื่ งจาก AB =  2-1  =  1  = i + 4j - 5k 3 - (-1)  4     -2 - 3  -5

และ AC = 1-1  = 0 = 2j + 2k 1 - (-1) 2  5 - 3  i2j AB × AC = 14 k -5 02 2 = 4 -5 i - 1 -5 j + 1 4 k 2 2 0 2 0 2 = 1(84i(2-)2-j(-+5)2(2k))i - (1(2) - (-5)(0))j + (1(2) - 4(0))k = จะได AB × AC = 182 + (-2)2 + 22 = 324 + 4 + 4 = 332 = 2 83 ตวั อยา งท่ี 37 พดจงังนื้ หนทานั้ ขี่ พอรน้ื งปู ทรสูป่ีขาอสมงเี่ เหรหปูลล่ียสีย่ มเ่ีมหดลAา ่ียนBมCขดนมาาีพนนขื้นAนทBา่ี นC21DA(B2เทCา Dก8บั3เม)่ือA=BAB×=8A3iD+ตา3รjาง+ห4นkว ย, AD = 3i - 2j + k วิธที ำ i j k 134 AB × AD = 3 -2 1 = 3 14-114ij(---2)113)1ik- 4 j + -134(3)-3)2jk+ -2 1 = )k = 1(13i(1+) (1(1) (1(-2) - 3(3) จะได AB × AD = 112 + 112 + (-11)2 = 121+ 121+ 121 = 11 3 ดังนน้ั รูปสเี่ หลยี่ มดานขนาน ABCD มีพนื้ ที่ 11 3 ตารางหนว ย

การใชเ วกเตอรใ นการหาปริมาตรของทรงส่ีเหล่ยี มดานขนาน r จากรปู ที่ 21 กำหนดทรงสเ่ี หล่ียมดา นขนานซึง่ มี u, v เปนดาน และ ของ u มถθาายเhงัปรน เะปมนนมุ าครบะวทหา่ีกมวำยา หงานวuขดอดแงวเลยสะนvตvั้งแฉ×ลาะกrทrจลี่ ะาไกดจวาากจุดส้นิ สดุ h= u cosθ รปู ท่ี 21 u cosθดังvนั้น× ปrรมิ=าตuรขvอง×สี่เrหลcย่ี oมsดθาน=ขนuา⋅น(ทvร×งตrัน) เทา กับ ตวั อยางท่ี 38 เจAนงD่ือหงvา=จป×ารvกิมwปา=รติมรjาข+ตอรงk=ขทอรแงงลทสะรีเ่ หงสAล0ีเ่่ียFiหมล=ด่ียา1มwjนดขา=นนk1าiขนน+AาkนBเCทDาEกFับGHuโ⋅ด(ยvท×่ี ArB) = u = i + j , วิธที ำ 101 = (i01(1i+(+1)j11j-)-i⋅1k(-(i0+)10)ij 1 j + 0 1(101) )kj 1 1 1(1) )k = - (0(1) - + ( 0(0) - = u⋅(v × w ) = - k) = 1(1) + 1(1) + 0(-1) =2 =2 ดงั น้นั รูปสี่เหล่ียมดา นขนาน ABCD มีพนื้ ท่ี 11 3 ตารางหนว ย

ทฤษฎบี ท 12 uu,, vv และ ww อเปยนูบเนวกระเตนอารบใ เนดรยี ะวบกบันพกิก็ตัดอ ฉเามกื่อสาuม⋅ม(ติvิ w ) และ × = 0 ตัวอยา งที่ 39 จงตรวจสอบวา u = i + j + k, v = 2i + j + 2k, r = 3i + 4j + 3k อยบู นระนาบเดียวกันหรอื ไม วิธที ำ u⋅(v × w ) = 1  2 3  1 ⋅ 1×4     1  2 3  1 -5 1   = ⋅  0  1  5  ดงั นนั้ u = i + j + k, v = 2i + (j1+)(-25k) +แล(1ะ)(r0)=+3(i1+)(54)j + 3k= 0 = อยูบนระนาบเดียวกั ข้ันสรุป 1) นกั เรียนและครรู ว มกนั สรุปความรูเร่อื ง การหาพนื้ ท่ีของรปู ส่ีเหลี่ยมดา นขนานและการหา ปริมาตรของทรงสี่เหล่ียมดา นขนาน ที่ไดจ ากการเรยี น และเปดโอกาสใหนักเรียนซักถามปญ หาหรอื ขอสงสยั 2) ครูใหนกั เรียนทำแบบฝกหดั ท่ี 8 เร่ือง การใชเ วกเตอรใ นการหาพ้ืนที่ของรปู สเ่ี หลยี่ มดานขนาน และการหาปริมาตรของทรางส่ีเหลี่ยมดา นขนาน ขอท่ี 1 - 3 ใหเสร็จในชว่ั โมง แตหากนักเรยี นทำไมเ สร็จใน ชวั่ โมง ใหนกั เรียนนำกลับไปทำเปน การบา นแลว รว มเฉลยในช่วั โมงถัดไป 3) ครแู นะนำใหนกั เรียนคน ควาหาโจทยเ พิม่ เตมิ จากแหลง เรียนรูต างๆ 10. สื่อ อุปกรณ และแหลงเรยี นรู 1) หนังสือเรียนรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร เลม 1 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรยี น เรื่อง เวกเตอร

แผนการจดั กิจกรรมการเรียนรู กลมุ สาระการเรียนรคู ณิตศาสตร คณิตศาสตรเ พิม่ เติม 3 ชว งชนั้ ท่ี 3 มัธยมศึกษาปท่ี 5 รหัสวชิ า ค 32201 ภาคเรยี นที่ 1 ปการศกึ ษา 2563 หนว ยการเรียนรูที่ 3 เร่อื ง เวกเตอร เวลา 1 ชั่วโมง ช่อื ครูผสู อน นายคเณศ สมตระกูล โรงเรียนมัธยมวัดเบญจมบพิตร แผนการจัดการเรียนรูท่ี 19 เรื่อง การนำความรเู กยี่ วกับเวกเตอรใ นสามมิตไิ ปใชใ นการแกป ญหา 1. ผลการเรยี นรู/มาตรฐานการเรยี นรู 1) นำความรเู กี่ยวกับเวกเตอรในสามมติ ิไปใชในการแกป ญ หา 2. สาระสำคัญ θ เvปuนคvมอื มุ sรiพnะ้นืθหทวเข่ีปาองนงพuรูป้ืนทสแ่เีลข่ี หะอลงี่ยรvมปู ดสแาี่เลหนะลขี่ยนvมาดนsiาnดนθังขนนค้นั อืานจสทะว ม่ีไนดดี สว า ูงา นขพไอ้นืมงขทรน่ีขูปาอสนงี่เหรกปูลันสี่ยยามมาดวเาหนลuข่ียนมาแนคลอืะ v หนวดยงั นแนั้ ละกจuำาห×กนvดu = × ลh12า=กuจา×uกจvcดุ oกสsำนิ้θหสนปดุ ดรขิมทอารงตงสuรขี่เหอมลงาย่ีสยมี่เังหดรละา ่ยีนนมาขดบนาทานนีก่ ขซำนหง่ึ มานนี ดuทด,รวงยvตันvแลuแะลcะrosเθrปนถvดา า×θนrเถปา=น hมuมุเปรvนะหค×ววาาrงมยcuoาวsแθขลอะง=เสvนuต×⋅้ัง(vฉr า×จกะทrไี่)ด 3. ผลการการเรยี นรูที่คาดหวงั 1) ดานความรู (K) : นักเรยี นสามารถ - นำความรูเก่ียวกับเวกเตอรในสามมติ ไิ ปใชใ นการแกป ญหา 2) ดานทักษะ / กระบวนการ (P) : นักเรียนสามารถ - แกโ จทยปญ หาโดยนำความรูเกยี่ วกบั เวกเตอรในสามมิติไปใชในการแกป ญหาได - ใชเหตผุ ลโดยการนำความรูเกี่ยวกบั เวกเตอรใ นสามมติ ิไปใชในการแกป ญ หา ได - เช่อื มโยงความรตู า งๆ ของคณิตศาสตรได - ส่ือสาร สอ่ื ความหมายทางคณิตศาสตร และนำเสนอขอมูล 3) ดานคุณลักษณะอันพึงประสงค (A) : นักเรยี น - ทำงานเปน ระบบ รอบคอบ - มรี ะเบียบวินัย - มคี วามรบั ผดิ ชอบ

4. ดานคณุ ลักษณะของผเู รียนตามหลักสตู รมาตรฐานสากล 1) เปน เลิศวิชาการ 2) สอ่ื สองภาษา 3) ลำ้ หนาทางความคดิ 4) ผลติ งานอยา งสรางสรรค 5. บรู ณาการตามหลักของปรชั ญาเศรษฐกิจพอเพียง 1) หลกั ความมเี หตผุ ล ปฏบิ ตั งิ านโดยใชค วามคิด แกป ญหาโดยใชป ญ ญา 2) เง่อื นไขความรู 6. สมรรถนะสำคัญของผูเรียน 1) ความสามารถในการคดิ 2) ความสามารถในการแกปญ หา 7. ชิ้นงาน / ภาระงาน 1) แบบฝกหัดท่ี 8 เร่ือง การใชเ วกเตอรในการหาพ้ืนทีข่ องรปู สี่เหลีย่ มดานขนาน และการหา ปริมาตรของทรางส่ีเหลีย่ มดานขนาน ขอ ท่ี 4 - 7 8. การวดั และประเมินผล ผลการเรยี นรู วิธีการวัดผล เครือ่ งมอื วัดผล เกณฑการประเมนิ ดานความรู (K) แบบฝกหดั ที่ 8 นักเรยี นทำแบบฝกหัด 1. นำความรูเกยี่ วกบั พิจารณาจากความ ขอที่ 4 - 7 ถูกตองรอยละ 60 เวกเตอรใ นสามมติ ิไปใช ถูกตองของแบบฝกหดั ข้ึนไป ถือวา ผานเกณฑ ในการแกปญหา แบบประเมินผลดา น ทักษะ/กระบวนการ นักเรียนไดคะแนนระดับ ดา นทักษะ / กระบวนการ (P) คณุ ภาพตั้งแต 3 คะแนน 1) แกโ จทยป ญ หาโดย การสังเกต แบบประเมินผลดาน ขน้ึ ไป ถือวาผา น นำความรูเ ก่ียวกับ ทักษะ/กระบวนการ เวกเตอรในสามมิติไปใช นกั เรยี นไดคะแนนระดับ ในการแกป ญ หาได แบบประเมินผลดาน คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน ทักษะ/กระบวนการ ขึ้นไป ถือวา ผาน 2) ใชเ หตผุ ลโดยการนำ การสงั เกต ความรูเ กี่ยวกับเวกเตอร นักเรยี นไดคะแนนระดบั ในสามมิติไปใชใ นการ คุณภาพต้ังแต 3 คะแนน แกป ญ หา ได ข้ึนไป ถือวาผาน 3) เชื่อมโยงความรูตางๆ การสังเกต ของคณิตศาสตรไ ด

ผลการเรยี นรู วิธีการวดั ผล เครอ่ื งมือวดั ผล เกณฑการประเมิน 4) สื่อสาร สื่อ การสงั เกต แบบประเมินผลดาน นกั เรยี นไดคะแนนระดบั ทักษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตั้งแต 3 คะแนน ความหมายทาง ข้นึ ไป ถือวาผาน คณิตศาสตร และ นำเสนอขอมลู ดานคุณลกั ษณะอันพึงประสงค (A) 1) ทำงานอยา งเปน การสังเกต แบบประเมิน นักเรยี นไดคะแนนระดับ คุณลกั ษณะอนั พึง คุณภาพตั้งแต 2 คะแนน ระบบรอบคอบ ประสงค ข้นึ ไป ถือวาผา น 2) มรี ะเบียบวินัย การสงั เกต แบบประเมิน นกั เรยี นไดคะแนนระดบั คณุ ลักษณะอันพงึ คณุ ภาพต้ังแต 2 คะแนน 3) มีความรับผดิ ชอบ การสังเกต ประสงค ขึ้นไป ถือวา ผาน แบบประเมนิ นกั เรียนไดคะแนนระดับ คณุ ลกั ษณะอนั พงึ คณุ ภาพตั้งแต 2 คะแนน ประสงค ขึน้ ไป ถือวาผาน 9. กิจกรรมการเรียนรู ข้ันนำ 1) ครูสนทนาทกั ทายนักเรยี น แลวทบทวนความรเู รอ่ื ง การใชเ วกเตอรใ นการหาพืน้ ทข่ี องรูป สีเ่ หล่ยี มดา นขนาน และการหาปริมาตรของทรงสี่เหล่ียมดานขนาน ดังนี้ พจงื้นหทาขี่ พอ้นื งทรูปี่ขอสงเ่ี หรูปลย่ีสม่เี หดลาี่ยนมขดนาานนขAนBาCนDABเทCาDกับเมื่อABAB×=AiD+ 3j + 4k , AD = 3i - 2j + k ตัวอยา งที่ 37 i j k วิธที ำ 134 AB × AD = 3 -2 1 = 3 1411ij -- 1 4 j + 1 3 k = 1-12i 131k 1 3 -2 จะได AB × AD = + 112 + 112 + (-11)2 = 121+ 121+ 121 = 11 3 ดงั นนั้ รูปสี่เหล่ียมดา นขนาน ABCD มีพ้นื ท่ี 11 3 ตารางหนวย

ตวั อยางที่ 38 เจAนงDอื่หงา=จปารvกมิ ปา=รติมรjาข+ตอรงkขทอรแงงลทสะร่เี หงสAลีเ่่ยีFหมล=ดี่ยา มwนดขา=นนาiขนน+AาkนBเCทDาEกFับGHuโ⋅ด(ยvท×่ี ArB) = u = i + j , วธิ ีทำ i j k 011 v × w = 101 = (i10(1i+(+1)j11j-)-i⋅1k(-(i0+)01)ij 1 j + 0 1(101) )kj 1 1 1(1) )k = - (0(1) - + ( 0(0) - = u⋅(v × w ) = - k) =2 =2 ดงั น้ัน รูปสี่เหลย่ี มดานขนาน ABCD มีพืน้ ที่ 11 3 ตารางหนว ย ขน้ั สอน 1) ครใู หนกั เรยี นชว ยกันทำแบบฝกหดั ท่ี 8 เรื่อง การใชเวกเตอรใ นการหาพนื้ ที่ของรปู ส่ีเหลย่ี ม ดา นขนาน และการหาปริมาตรของทรางส่เี หลย่ี มดา นขนาน ขอ ที่ 4 - 7 2) ในระหวางทน่ี ักเรยี นชว ยกันทำแบบฝกหดั ครูจะคอยใหค ำแนะนำและเปด โอกาสใหนักเรียนได ถามขอสงสยั และเฉลยคำตอบในขอ ทนี่ ักเรยี นทำเสรจ็ แลว เพือ่ ใหนักเรียนตรวจสอบความถกู ตองของคำตอบ และเพ่ือครจู ะสามารถตรวจสอบความเขา ใจของนักเรยี นในระหวางเรียนได ข้ันสรปุ 1) นกั เรยี นและครรู ว มกันสรุปความรู เร่อื ง การใชเ วกเตอรในการหาพน้ื ทขี่ องรปู สเี่ หลี่ยม ดานขนาน และการหาปริมาตรของทรางสเ่ี หลย่ี มดานขนาน ท่ไี ดจ ากการเรยี น และครเู ปดโอกาสใหน กั เรยี น ซักถามปญหาหรอื ขอ สงสยั ตางๆ 2) ครใู หน ักเรียนทำแบบฝก หดั ที่ 8 ขอท่ี 4 - 7 หากนักเรียนทำไมเ สรจ็ ในชัว่ โมง จะใหนักเรียนนำ กลบั ไปทำเปน การบาน แลว ครูและนักเรียนจะรวมกันเฉลยในชวงโมงถดั ไป 3) ครูแนะนำใหนักเรียนคนควาหาโจทยเพิม่ เตมิ จากแหลง เรียนรูตางๆ 10. สื่อ อุปกรณ และแหลงเรียนรู 1) หนังสอื เรียนรายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร เลม 1 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง เวกเตอร

แผนการจดั กิจกรรมการเรยี นรู กลมุ สาระการเรยี นรูคณติ ศาสตร คณิตศาสตรเ พมิ่ เตมิ 3 ชวงชน้ั ที่ 3 มธั ยมศึกษาปที่ 5 รหัสวิชา ค 32201 ภาคเรียนท่ี 1 ปก ารศึกษา 2563 เวลา 1 ชั่วโมง หนว ยการเรียนรทู ่ี 3 เร่ือง เวกเตอร โรงเรียนมัธยมวัดเบญจมบพิตร ชอื่ ครูผสู อน นายคเณศ สมตระกลู แผนการจดั การเรียนรูท ่ี 20 เรือ่ ง ทดสอบหลงั เรียน เรื่อง เวกเตอร 1. ผลการเรียนร/ู มาตรฐานการเรยี นรู 1) หาผลลพั ธข องการบวก การลบเวกเตอร การคูณเวกเตอรดวยสเกลาร หาผลคูณเชงิ สเกลาร และ ผลคณู เชิงเวกเตอร 2) นำความรเู กย่ี วกับเวกเตอรในสามมติ ิไปใชใ นการแกปญ หา 2. สาระสำคัญ การแกโ จทยป ญหา เรือ่ ง เวกเตอร 3. ผลการการเรยี นรูท ค่ี าดหวงั 1) ดานความรู (K) : นกั เรยี นสามารถ - แกโจทยป ญหาท่ีกำหนดใหได 2) ดา นทกั ษะ / กระบวนการ (P) : นักเรียนสามารถ - แกโจทยป ญหาเร่ือง เวกเตอร ได - ใชเ หตผุ ลในการแกโจทยป ญ หา - เชอ่ื มโยงความรตู างๆ ของคณิตศาสตรได 3) ดานคุณลกั ษณะอันพึงประสงค (A) : นักเรยี น - มีความซื่อสัตย สุจรติ - มรี ะเบยี บวนิ ยั - มคี วามรับผิดชอบ 4. ดา นคุณลักษณะของผเู รียนตามหลักสูตรมาตรฐานสากล 1) เปนเลศิ วชิ าการ 2) สือ่ สองภาษา 3) ล้ำหนาทางความคดิ 4) ผลติ งานอยางสรา งสรรค

5. บูรณาการตามหลักของปรชั ญาเศรษฐกิจพอเพียง 1) หลกั ความมีเหตผุ ล ปฏิบตั งิ านโดยใชค วามคดิ แกป ญหาโดยใชป ญญา 2) เง่ือนไขความรู 3) เงือ่ นไขคุณธรรม ปฏบิ ตั งิ านตามความสามารถทีท่ ำได อยางพอเหมาะพอควร 6. สมรรถนะสำคัญของผเู รยี น 1) ความสามารถในการคดิ 2) ความสามารถในการแกป ญ หา 7. ช้นิ งาน / ภาระงาน 1) แบบทดสอบหลงั เรียน เร่ือง เวกเตอร จำนวน 20 ขอ 8. การวัดและประเมนิ ผล ผลการเรยี นรู วธิ กี ารวัดผล เครือ่ งมือวดั ผล เกณฑการประเมิน ดา นความรู (K) พจิ ารณาจากความ แบบทดสอบหลงั เรยี น นกั เรียนทำแบบฝกหัด 1. แกโ จทยปญหาท่ี ถกู ตองของแบบทดสอบ ถูกตองรอยละ 60 กำหนดใหได หลงั เรยี น ขึ้นไป ถือวา ผานเกณฑ ทก่ี ำหนด ดานทกั ษะ / กระบวนการ (P) แบบประเมินผลดา น 1) แกโจทยปญ หาเรื่อง การสังเกต ทกั ษะ/กระบวนการ นักเรียนไดคะแนนระดบั เวกเตอร ได คุณภาพต้ังแต 3 คะแนน ขึ้นไป ถือวา ผาน 2) ใชเหตุผลในการ การสังเกต แบบประเมนิ ผลดาน นักเรยี นไดคะแนนระดบั แกโ จทยป ญหา ทักษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตั้งแต 3 คะแนน ข้นึ ไป ถือวาผา น 3) เช่อื มโยงความรูตา งๆ การสงั เกต แบบประเมินผลดา น นักเรยี นไดคะแนนระดับ ของคณิตศาสตรไ ด ทักษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตั้งแต 3 คะแนน ข้ึนไป ถือวา ผาน

ผลการเรยี นรู วิธีการวดั ผล เคร่ืองมอื วัดผล เกณฑการประเมนิ ดานคณุ ลกั ษณะอันพงึ ประสงค (A) แบบประเมนิ นักเรยี นไดคะแนนระดบั 1) ทำงานอยา งเปน การสงั เกต คุณลักษณะอันพงึ คณุ ภาพต้ังแต 2 คะแนน ระบบรอบคอบ ประสงค ขนึ้ ไป ถือวาผาน 2) มรี ะเบยี บวนิ ัย การสังเกต แบบประเมนิ นกั เรียนไดคะแนนระดบั คณุ ลักษณะอันพึง คณุ ภาพตั้งแต 2 คะแนน 3) มคี วามรับผดิ ชอบ การสังเกต ประสงค ขึน้ ไป ถือวาผา น 4) มีความซื่อสตั ย สจุ รติ การสงั เกต แบบประเมิน นกั เรยี นไดคะแนนระดับ คณุ ลักษณะอันพึง คณุ ภาพต้ังแต 2 คะแนน ประสงค ขึน้ ไป ถือวา ผาน แบบประเมนิ นักเรียนไดคะแนนระดับ คณุ ลักษณะอนั พงึ คณุ ภาพต้ังแต 2 คะแนน ประสงค ขึน้ ไป ถือวา ผาน 9. กิจกรรมการเรยี นรู 1) ครูสนทนาทักทายกบั นกั เรียน พรอ มแจงรายละเอียดของการสอบ 2) ใหน ักเรียนทำแบบทดสอบหลงั เรียนเรอ่ื ง เวกเตอร เพ่ือวดั ความรูพื้นฐานของนักเรียนเปน เวลา 50 นาที 3) ครูตรวจแบบทดสอบหลังเรียนเรอื่ ง เวกเตอร รวบรวมคะแนน และแจง ผลคะแนนการสอบให นักเรียนทราบภายหลงั 10. สื่อ อุปกรณ และแหลงเรียนรู 1) แบบทดสอบหลังเรียน เรื่อง เวกเตอร จำนวน 20 ขอ