แผนการจัดการเรียนรู้ เรื่อง เวกเตอร์

บทนิยาม นเิ สธของเวกเตอรในระบบพิกัดฉาก กำหนด a, b และ c เปนจำนวนจริงใดๆ 1) นเิ สธของ a คอื - ba  หรือ  -a  b  -b บทนิยาม a a -a 2) นเิ สธของ b คือ -b หรอื -b c c -c การบวกเวกเตอรใ นระบบพิกัดฉาก กำหนด a, b, c, d, e และ f เปนจำนวนจริงใดๆ a c a + c a d a + d b d b + d b  e b e 1) + = 2)  + = + c  f   c + f  บทนยิ าม เวกเตอรศ ูนยในระบบพิกัดฉาก 1) 0 0 0 2) 0 0 บทนิยาม การลบเวกเตอรในระบบพิกัดฉาก กำหนด a, b, c, d, e และ f เปนจำนวนจริงใดๆ a c a - c a d a - d b d b - d b e  b e 1) - = 2) -  = - c  f   c - f  บทนิยาม การคณู เวกเตอรด ว ยสเกลาร กำหนด a, b, c และ α เปนจำนวนจรงิ ใดๆ a  αa  a αa α b αb b  αb  1) = 2) α  =  c αc

3. ผลการการเรียนรูท ่คี าดหวัง 1) ดานความรู (K) : นกั เรียนสามารถ - หาผลลพั ธของการบวก การลบเวกเตอร และการคูณเวกเตอรด วยสเกลาร 2) ดา นทักษะ / กระบวนการ (P) : นักเรยี นสามารถ - แกโจทยปญ หาเรื่อง เวกเตอรในระบบพิกัดฉาก ได - ใชเ หตุผลในการแกปญหาเวกเตอรในระบบพิกัดฉาก ได - เชื่อมโยงความรตู างๆ ของคณิตศาสตรได - สือ่ สาร สอื่ ความหมายทางคณติ ศาสตร และนำเสนอขอมูล 3) ดานคณุ ลักษณะอนั พึงประสงค (A) : นักเรยี น - ทำงานเปนระบบ รอบคอบ - มรี ะเบียบวินยั - มีความรบั ผิดชอบ 4. ดานคณุ ลกั ษณะของผเู รียนตามหลักสูตรมาตรฐานสากล 1) เปนเลิศวชิ าการ 2) สอื่ สองภาษา 3) ล้ำหนาทางความคดิ 4) ผลิตงานอยางสรา งสรรค 5. บรู ณาการตามหลักของปรัชญาเศรษฐกิจพอเพยี ง 1) หลักความมีเหตุผล ปฏบิ ตั งิ านโดยใชความคดิ แกป ญหาโดยใชปญ ญา 2) เงื่อนไขความรู 6. สมรรถนะสำคัญของผเู รียน 1) ความสามารถในการคดิ 2) ความสามารถในการแกปญ หา 7. ชิน้ งาน / ภาระงาน 1) แบบฝกหัดที่ 4 เร่ือง เวกเตอรในระบบพิกดั ฉาก ขอท่ี 1 - 5 8. การวดั และประเมินผล ผลการเรยี นรู วิธีการวัดผล เคร่อื งมือวดั ผล เกณฑการประเมิน ดานความรู (K) พิจารณาจากความ แบบฝกหดั ที่ 4 นกั เรียนทำแบบฝกหัด 1. หาผลลพั ธข องการ ถูกตองของแบบฝกหัด ขอ 1 - 5 ถกู ตองรอ ยละ 60 บวก การลบเวกเตอร ขึ้นไป ถือวา ผา นเกณฑ และการคณู เวกเตอร ทก่ี ำหนด ดว ยสเกลาร

ผลการเรยี นรู วิธกี ารวดั ผล เครือ่ งมือวัดผล เกณฑการประเมิน ดา นทกั ษะ / กระบวนการ (P) แบบประเมนิ ผลดาน นกั เรยี นไดคะแนนระดบั 1) แกโจทยปญหาเรื่อง การสงั เกต ทักษะ/กระบวนการ คุณภาพต้ังแต 3 คะแนน เวกเตอรในระบบพกิ ัด ขน้ึ ไป ถือวาผา น ฉาก ได แบบประเมินผลดา น ทกั ษะ/กระบวนการ นกั เรียนไดคะแนนระดับ 2) ใชเหตผุ ลในการ การสงั เกต คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน แกป ญ หาเวกเตอรใน แบบประเมนิ ผลดาน ขน้ึ ไป ถือวาผาน ระบบพิกัดฉาก ได ทักษะ/กระบวนการ นักเรยี นไดคะแนนระดบั 3) เช่ือมโยงความรูตา งๆ การสังเกต แบบประเมนิ ผลดา น คุณภาพตั้งแต 3 คะแนน ของคณติ ศาสตรไ ด ทักษะ/กระบวนการ ขึ้นไป ถือวา ผาน 4) สื่อสาร สอื่ การสังเกต นกั เรยี นไดคะแนนระดับ คณุ ภาพตั้งแต 3 คะแนน ความหมายทาง ขน้ึ ไป ถือวา ผา น คณติ ศาสตร และ นำเสนอขอมลู ดา นคณุ ลกั ษณะอันพึงประสงค (A) 1) ทำงานอยางเปน การสงั เกต แบบประเมิน นกั เรยี นไดคะแนนระดับ คุณลักษณะอันพงึ คุณภาพต้ังแต 2 คะแนน ระบบรอบคอบ ประสงค ขึน้ ไป ถือวาผาน 2) มีระเบียบวนิ ยั การสังเกต แบบประเมนิ นักเรียนไดคะแนนระดบั คุณลกั ษณะอนั พงึ คุณภาพตั้งแต 2 คะแนน 3) มคี วามรบั ผิดชอบ การสังเกต ประสงค ข้นึ ไป ถือวา ผา น แบบประเมิน นกั เรียนไดคะแนนระดบั คุณลกั ษณะอันพงึ คุณภาพต้ังแต 2 คะแนน ประสงค ข้นึ ไป ถือวาผา น

9. กิจกรรมการเรยี นรู ขนั้ นำ 1) ครูสนทนาทกั ทายนกั เรยี น แลว ทบทวนความรูเ ร่ือง เวกเตอรแ ละสมบัตขิ องเวกเตอร ดังนี้ บทนิยาม ปรมิ าณที่มีแตข นาดเพยี งอยางเดียว เรยี กวา ปรมิ าณสเกลาร (scalar quantity) บทนยิ าม สว นปรมิ าณที่มที ั้งขนาดและทศิ ทาง เรียกวา ปรมิ าณเวกเตอร (vector quantity) บทนิยาม u และ v มที ิศทางเดยี วกนั ก็ตอเมื่อ ถา แทนเวกเตอรด วยสวนของเสนตรงทม่ี ี บทนิยาม ทิศทางแลว สวนของเสนตรงทั้งสองขนานกนั หรอื อยูในแนวเสน ตรงเดียวกนั และมี บทนิยาม บทนยิ าม หวั ลูกศรไปทางเดยี วกนั u และ v มีทศิ ทางตรงกันขา ม ก็ตอเม่ือ ถา แทนเวกเตอรดว ยสว นของเสน ตรงที่มี ทิศทางแลวสวนของเสนตรงท้ังสองขนานกนั หรอื อยูในแนวเสน ตรงเดยี วกนั และมี หัวลูกศรตรงขามกัน u และ v ขนานกัน ก็ตอเมอ่ื เวกเตอรท ้งั สองมีทศิ ทางเดียวกันหรอื ทิศทางตรงกนั ขาม u เทา กับ v กต็ อ เมื่อ เวกเตอรทั้งสองมีขนาดเทา กนั และทิศทางเดยี วกัน นิเสธของ u uคือสัญเวลกกั เตษอณรนทเิ่ีมสขี ธนขาอดงเทuากเบัขียขนนแาดทขนอดงวยu ทิศทางของ -uแตม ที ิศทางตรงขา มกับ บทนิยาม เวกเตอรศ นู ย (zero vector) หมายถึง เวกเตอรทมี่ ีขนาดเปนศูนย หรอื เวกเตอรท่มี ี จดุ เรม่ิ ตนและจดุ สุดทา ยเปน จุดเดียวกนั ขัน้ สอน 1) ครบู รรยายเก่ยี วกบั เรอื่ ง เวกเตอรในระบบพิกัดฉาก พรอมตัวอยางดังนี้ เวกเตอรใ นระบบพิกัดฉาก บทนยิ าม 11 เวกเตอรในระบบพิกัดฉากสองมติ ทิ ีม่ ีจดุ เร่ิมตน ท่ีจดุ กำเนดิ และมีจดุ สน้ิ สดุ ทีจ่ ุด A(a, b) เขียนแทนดวยสัญลกั ษณ OA = a ดังรปู ท่ี 11 b รูปท่ี 11

บทนิยาม 12 กำหนด a และ b เปน จำนวนจริงใดๆ จะเขยี น a แทนเวกเตอรซ ่ึงเปนผลบวกของเวกเตอรสองเวกเตอร โดยที่ b 1. ถา a > 0 แลว เวกเตอรน ีจ้ ะมีทิศทางไปตามแนวแกน X ทางบวก เปน ระยะ a หนว ย 2. ถา a < 0 แลว เวกเตอรนีจ้ ะมที ศิ ทางไปตามแนวแกน X ทางลบ เปน ระยะ a หนว ย 3. ถา b > 0 แลว เวกเตอรนี้จะมที ิศทางไปตามแนวแกน Y ทางบวก เปน ระยะ b หนวย 4. ถา b < 0 แลว เวกเตอรนี้จะมีทิศทางไปตามแนวแกน Y ทางลบ เปนระยะ b หนว ย บทนิยาม 13 กำหนด a, b, c และ d เปนจำนวนจริงใดๆ แลว a = c กต็ อ เม่ือ a = c และ b = d b d บทนิยาม 14 ถา AB มีจุดเริ่มตน ที่ A(x1, y1) และจุดส้ินสุดท่ี B(x2, y2) เขียนแทน AB ดว ย x2 - x1  และถา x2 - x1 = a และ y2 - y1 =b y2 - y1  ดงั รปู ที่ 12 a Y y1) แลวจะเขียนแทน AB ดว ย b B(x2, y2) A(x1, y2 - y1 x2 - x1 X ตวั อยา งที่ 12 รูปท่ี 12 จงหา AB ซึง่ กำหนด A เปนจดุ เริ่มตนบนระนาบในระบบพิกัดฉากสองมติ ิ ดังรูปพรอมทงั้ บอกพกิ ดั ของจุดปลาย B 1) X 2) X A(1, 3) 2 B Y 2 BY 2 A(-3, -3) 3

วธิ ที ำ 1) เวกเตอรนจี้ ะมีทิศทางไปตามแนวแกน X ทางบวก เปนระยะ 2 หนว ย และ เวกเตอรน จี้ ะมที ิศทางไปตามแนวแกน Y ทางลบ เปนระยะ 2 หนว ย จะได จดุ B คือ (1 + 2, 3 - 2) = (3, 1) ดงั น้นั AB = 3 - 1 = 2 1 - 3 -2 2) เวกเตอรน้จี ะมที ิศทางไปตามแนวแกน X ทางบวก เปน ระยะ 3 หนว ย และ เวกเตอรน ี้จะมีทิศทางไปตามแนวแกน Y ทางบวก เปนระยะ 2 หนว ย จะได จุด B คือ (-3 + 3, -3 + 2) = (0, -1) ดงั นน้ั AB = 0 - (-3)  = 3 -1 - (-3)  2 ตัวอยา งท่ี 13 กำหนดให A(2, 3) และ AB = 4 จงหาจดุ B 5 วิธที ำ ให B(x, y) แทน จุด B จะได AB = x - 2 y - 3 4 = x - 2 5 y - 3 จากบทนยิ าม 13 จะได 4 = x - 2 และ 5 = y - 3 น่นั คอื x = 6 และ y = 8 ดังนนั้ จดุ B มพี ิกัดเปน B(6, 8)

ตวั อยางที่ 14 กำหนดให B(2, 3) และ AB = -4 จงหาจดุ A  5  วธิ ที ำ ให A(x, y) แทน จุด A จะได AB = 2 - x 3 - y -4 = 2 - x  5  3 - y จากบทนยิ าม 13 จะได -4 = 2 - x และ 5 = 3 - y น่นั คือ x = 6 และ y = -2 ดังน้นั จดุ A มีพิกดั เปน A(6, -2) บทนยิ าม 15 ให a, b, c เปนจำนวนจรงิ เวกเตอรในระบบพิกดั ฉากสามมติ ิท่มี จี ดุ เร่ิมตนท่ีจดุ กำเนดิ และ a b จุดสิน้ สุดท่ี P(a, b, c) เขียนแทนดว ยสญั ลกั ษณ c  ดังรูปที่ 13 รูปท่ี 13 ตวั อยางท่ี 15 จงหาเวกเตอรท ี่มีจุดเร่มิ ตนท่ีจุดกำเนดิ และจุดสน้ิ สดุ อยทู จ่ี ุดตอ ไปนี้ 1) P(3, 1, -2) 2) Q(0, -2, 5) OP 3 OQ 0 1  -2 วิธีทำ 1) =  2) = -2 5 

ตวั อยางที่ 16 จงเขียนเวกเตอรต อไปนี้ในระบบพิกัดฉากสามมติ เิ ดยี วกนั โดยใหจ ุดเร่มิ ตน อยทู จ่ี ดุ กำเนิด a = 2 b 1 c 4 -1 3    1) 2) =  3) =  0   3  4 -2 วธิ ที ำ เขยี นเวกเตอรโ ดยมจี ุดเริ่มตน ทีจ่ ดุ กำเนดิ ไดด ังน้ี บทนิยาม 16 เวกเตอรท ี่มีจดุ เริม่ ตนที่ P1(x1, y1, z1) และจดุ สน้ิ สดุ P2(x2, y2, z2) P1P2 x2 - x1    เขียนแทนดวย หมายถึง เวกเตอร  y 2 - y1  ดงั รูปท่ี 14 z2 - z1  รูปที่ 14

บทนยิ าม 17 การเทากนั ของเวกเตอรในระบบพกิ ดั ฉาก กำหนด a, b, c, d, e และ f เปนจำนวนจรงิ ใดๆ 1. a = c กต็ อ เม่ือ a = c และ b = d (เวกเตอรใ นระบบพิกดั ฉากสองมิต)ิ b d a d b e  2. =  ก็ตอ เม่ือ a = d, b = e และ c = f (เวกเตอรใ นระบบพิกัดฉากสามมติ ิ) c  f  บทนิยาม 18 นเิ สธของเวกเตอรในระบบพิกัดฉาก กำหนด a, b และ c เปน จำนวนจรงิ ใดๆ 1. นิเสธของ a คอื - a หรอื  -a  (เวกเตอรใ นระบบพกิ ัดฉากสองมติ )ิ b b -b a a -a b  - b  -b 2. นเิ สธของ  คือ หรอื (เวกเตอรใ นระบบพิกดั ฉากสามมิติ) c c -c บทนิยาม 19 การบวกเวกเตอรในระบบพิกดั ฉาก กำหนด a, b, c, d, e และ f เปน จำนวนจริงใดๆ 1. a + c = a + c (เวกเตอรใ นระบบพิกดั ฉากสองมติ )ิ b d b + d (เวกเตอรในระบบพกิ ัดฉากสามมิติ) a d a + d 2. b + e = b + e c  f   c + f 

บทนิยาม 20 เวกเตอรศ ูนยในระบบพิกัดฉาก 1. 0 (เวกเตอรใ นระบบพิกัดฉากสองมิติ) 0 0 (เวกเตอรใ นระบบพกิ ัดฉากสามมิติ) 2. 0 0 บทนยิ าม 21 การลบเวกเตอรในระบบพกิ ัดฉาก กำหนด a, b, c, d, e และ f เปนจำนวนจรงิ ใดๆ 1. a - c = a - c (เวกเตอรใ นระบบพิกัดฉากสองมติ ิ) b d b - d a d a - d (เวกเตอรในระบบพกิ ดั ฉากสามมิติ) 2. b - e = b - e c  f   c - f  บทนยิ าม 22 การคูณเวกเตอรด ว ยสเกลาร กำหนด a, b, c และ α เปนจำนวนจริงใดๆ 1. a =  αa  (เวกเตอรในระบบพิกัดฉากสองมติ ิ) α b αb a αa α b αb  2. =  (เวกเตอรในระบบพิกดั ฉากสามมิติ) c αc ตวั อยา งท่ี 17 กำหนดให P มีพกิ ัดเปน (3, 4, -4) และ Q มพี ิกดั เปน (5, 0, 7) จงหา PQ PQ =  5-3  5 - 3 2     -4  วิธีทำ  0 - 4  =  0 - 4  =  7 - (-4) 7 + 4 11

ตัวอยา งท่ี 18 กำหนดให u = 2 , v = -1 และ α = 3 จงหา u + v, u - v, -v และ αu วิธีทำ 3  4  u + v = 2 + -1 = 2 + (-1) = 2 - 1 = 1 3  4   3 + 4  3 + 4 7 u - v = 2 - -1 = 2 - (-1) = 2 + 1 = 3 3  4   3 - 4  3 - 4  -1 -v = (-1) -1 = (-1)(-1) = 1  4   (-1)(4)  -4 αu = (3) 2 = 3(2) = 6 3 3(3) 9 u = 1 v 3 1 u + 2v, 3u - v, -u 2 , 4  2 ตวั อยา งที่ 19 กำหนดให 4 =  และ α = - จงหา วธิ ีทำ 2 u 2v = 1 3 1 2(3) 1 6 1 + 6 7 2 4  2 2(4) 2  8 2 + 8 10 + + 2  = + =  + = = 4 2 4 2(2) 4 4 4 + 4  8  3u - v = 1 3 3(1) 3 3 3 3-3 0 3 2  4  3(2) 4    4      -  = -  =  6  -  =  6 - 4  =  2  4 2 3(4) 2 12 2 12 - 2 10 -u 1 (-1)1 -1 2   (-1)2 -2 = (-1)  =  = 4 (-1)4 -4

ขน้ั สรปุ 1) นกั เรียนและครรู ว มกันสรปุ ความรูเรอ่ื ง เวกเตอรในระบบพิกดั ฉาก ท่ีไดจ ากการเรยี น และเปด โอกาสใหน ักเรียนซกั ถามปญ หาหรือขอสงสัย 2) ครใู หน กั เรยี นทำแบบฝกหัดท่ี 4 เร่ือง เวกเตอรในระบบพกิ ัดฉาก ขอที่ 1 - 5 ใหเสร็จในชั่วโมง แตห ากนกั เรยี นทำไมเ สร็จในชวั่ โมง ใหน กั เรียนนำกลบั ไปทำเปนการบานแลวรว มเฉลยในชวั่ โมงถัดไป 3) ครแู นะนำใหนักเรียนคน ควาหาโจทยเพม่ิ เติมจากแหลงเรียนรูต า งๆ 10. สื่อ อุปกรณ และแหลงเรยี นรู 1) หนงั สือเรียนรายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร เลม 1 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง เวกเตอร

แผนการจัดกจิ กรรมการเรียนรู กลมุ สาระการเรยี นรคู ณิตศาสตร คณิตศาสตรเ พมิ่ เตมิ 3 ชวงชน้ั ท่ี 3 มัธยมศึกษาปท่ี 5 รหสั วิชา ค 32201 ภาคเรยี นที่ 1 ปการศึกษา 2563 เวลา 1 ช่ัวโมง หนวยการเรยี นรทู ี่ 3 เร่ือง เวกเตอร โรงเรียนมัธยมวัดเบญจมบพิตร ช่อื ครผู ูสอน นายคเณศ สมตระกูล แผนการจดั การเรยี นรูที่ 10 เร่อื ง เวกเตอรในระบบพกิ ดั ฉาก 1. ผลการเรยี นร/ู มาตรฐานการเรียนรู 1) หาผลลัพธข องการบวก การลบเวกเตอร และการคูณเวกเตอรด ว ยสเกลาร 2. สาระสำคัญ เถวา กเAตBอรมในจี รุดะเรบมิ่ บตพน กิ ทดั ี่ ฉAา(xก1,2yม1)ติ แิ ละจดุ สิน้ สุดท่ี B(x2, y2) บทนยิ าม เขยี นแทน AB ดว ย x2 - x1  และถา x2 - x1 = a และ y2 - y1 = b บทนยิ าม y2 - y1  แลวจะเขยี นแทน AB ดวย a b ให a, b, c เปน จำนวนจรงิ เวกเตอรในระบบพกิ ัดฉากสามมติ ทิ ่ีมีจดุ เริ่มตน ที่ a b จุดกำเนดิ และจดุ สิน้ สดุ ท่ี P(a, b, c) เขียนแทนดว ยสญั ลักษณ c  บทนยิ าม การเทา กันของเวกเตอรใ นระบบพกิ ดั ฉาก กำหนด a, b, c, d, e และ f เปนจำนวนจรงิ ใดๆ 1) a = c ก็ตอเมอ่ื a = c และ b = d b d a d 2) b = e กต็ อเมื่อ a = d, b = e และ c = f c  f 

บทนิยาม นเิ สธของเวกเตอรในระบบพิกัดฉาก กำหนด a, b และ c เปนจำนวนจริงใดๆ 1) นเิ สธของ a คอื - ba  หรือ  -a  b  -b บทนิยาม a a -a 2) นเิ สธของ b คือ -b หรอื -b c c -c การบวกเวกเตอรใ นระบบพิกัดฉาก กำหนด a, b, c, d, e และ f เปนจำนวนจริงใดๆ a c a + c a d a + d b d b + d b  e b e 1) + = 2)  + = + c  f   c + f  บทนยิ าม เวกเตอรศ ูนยในระบบพิกัดฉาก 1) 0 0 0 2) 0 0 บทนิยาม การลบเวกเตอรในระบบพิกัดฉาก กำหนด a, b, c, d, e และ f เปนจำนวนจริงใดๆ a c a - c a d a - d b d b - d b e  b e 1) - = 2) -  = - c  f   c - f  บทนิยาม การคณู เวกเตอรด ว ยสเกลาร กำหนด a, b, c และ α เปนจำนวนจรงิ ใดๆ a  αa  a αa α b αb b  αb  1) = 2) α  =  c αc

3. ผลการการเรียนรูทีค่ าดหวงั 1) ดา นความรู (K) : นักเรียนสามารถ - หาผลลัพธของการบวก การลบเวกเตอร และการคูณเวกเตอรดว ยสเกลาร 2) ดานทกั ษะ / กระบวนการ (P) : นักเรยี นสามารถ - แกโจทยป ญหาเร่ือง เวกเตอรในระบบพิกัดฉาก ได - ใชเหตุผลในการแกปญหาเวกเตอรในระบบพิกัดฉาก ได - เชอื่ มโยงความรตู า งๆ ของคณิตศาสตรไ ด - สือ่ สาร สื่อความหมายทางคณิตศาสตร และนำเสนอขอมูล 3) ดา นคณุ ลักษณะอันพึงประสงค (A) : นักเรยี น - ทำงานเปนระบบ รอบคอบ - มรี ะเบียบวินัย - มคี วามรบั ผิดชอบ 4. ดานคณุ ลักษณะของผูเ รยี นตามหลักสูตรมาตรฐานสากล 1) เปน เลศิ วชิ าการ 2) ส่ือสองภาษา 3) ลำ้ หนาทางความคดิ 4) ผลติ งานอยา งสรา งสรรค 5. บูรณาการตามหลกั ของปรชั ญาเศรษฐกจิ พอเพียง 1) หลักความมเี หตุผล ปฏิบตั งิ านโดยใชค วามคิด แกป ญหาโดยใชป ญญา 2) เงื่อนไขความรู 6. สมรรถนะสำคญั ของผูเรยี น 1) ความสามารถในการคดิ 2) ความสามารถในการแกป ญ หา 7. ช้ินงาน / ภาระงาน 1) แบบฝกหดั ท่ี 4 เร่ือง เวกเตอรในระบบพิกดั ฉาก ขอท่ี 6 - 10 8. การวดั และประเมินผล ผลการเรียนรู วธิ กี ารวดั ผล เครอ่ื งมอื วดั ผล เกณฑการประเมิน ดา นความรู (K) พิจารณาจากความ แบบฝกหัดที่ 4 นกั เรยี นทำแบบฝกหัด 1. หาผลลพั ธของการ ถกู ตองของแบบฝกหดั ขอ 6 - 10 ถูกตองรอ ยละ 60 บวก การลบเวกเตอร ข้นึ ไป ถือวา ผา นเกณฑ และการคณู เวกเตอร ทก่ี ำหนด ดว ยสเกลาร

ผลการเรียนรู วิธีการวดั ผล เครื่องมอื วัดผล เกณฑก ารประเมิน ดา นทักษะ / กระบวนการ (P) แบบประเมินผลดา น นักเรยี นไดคะแนนระดบั 1) แกโ จทยปญหาเร่ือง การสังเกต ทักษะ/กระบวนการ คุณภาพตั้งแต 3 คะแนน เวกเตอรใ นระบบพิกัด ขน้ึ ไป ถือวาผา น ฉาก ได แบบประเมินผลดา น ทักษะ/กระบวนการ นกั เรียนไดคะแนนระดบั 2) ใชเหตผุ ลในการ การสังเกต คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน แกปญหาเวกเตอรใน แบบประเมนิ ผลดา น ขึน้ ไป ถือวาผา น ระบบพิกัดฉาก ได ทกั ษะ/กระบวนการ นักเรียนไดคะแนนระดับ 3) เช่อื มโยงความรูตางๆ การสังเกต แบบประเมินผลดาน คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน ของคณิตศาสตรไ ด ทกั ษะ/กระบวนการ ขนึ้ ไป ถือวาผาน 4) สอ่ื สาร สื่อ การสงั เกต นักเรยี นไดคะแนนระดบั คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน ความหมายทาง ขน้ึ ไป ถือวา ผาน คณิตศาสตร และ นำเสนอขอมลู ดา นคณุ ลกั ษณะอันพงึ ประสงค (A) 1) ทำงานอยา งเปน การสงั เกต แบบประเมิน นักเรียนไดคะแนนระดบั คุณลกั ษณะอนั พงึ คุณภาพต้ังแต 2 คะแนน ระบบรอบคอบ ประสงค ขนึ้ ไป ถือวา ผาน 2) มรี ะเบยี บวนิ ยั การสงั เกต แบบประเมิน นกั เรียนไดคะแนนระดับ คุณลักษณะอันพึง คณุ ภาพต้ังแต 2 คะแนน 3) มคี วามรับผิดชอบ การสังเกต ประสงค ข้ึนไป ถือวาผาน แบบประเมิน นกั เรยี นไดคะแนนระดบั คุณลักษณะอันพงึ คุณภาพต้ังแต 2 คะแนน ประสงค ขึ้นไป ถือวาผา น

9. กิจกรรมการเรียนรู ข้นั นำ 1) ครสู นทนาทักทายนักเรียน แลว ทบทวนความรูเ รอื่ ง เวกเตอรในระบบพิกัดฉาก ดังนี้ บทนิยาม เถวากเAตBอรมใ นีจรุดะเรบิม่ บตพนกิ ทัด่ี ฉAา(xก1,2yม1)ติ แิ ละจดุ สิ้นสุดที่ B(x2, y2) เขยี นแทน AB ดว ย x2 - x1  และถา x2 - x1 = a และ y2 - y1 = b y2 - y1  แลวจะเขยี นแทน AB ดวย a b บทนยิ าม ให a, b, c เปนจำนวนจริง เวกเตอรใ นระบบพิกดั ฉากสามมติ ทิ ม่ี ีจดุ เร่ิมตน ท่ี a b จุดกำเนดิ และจุดสิ้นสุดท่ี P(a, b, c) เขียนแทนดวยสญั ลักษณ c  บทนยิ าม การเทา กันของเวกเตอรในระบบพิกดั ฉาก กำหนด a, b, c, d, e และ f เปนจำนวนจริงใดๆ 1) a = c ก็ตอเมื่อ a = c และ b = d b d a d 2) b = e กต็ อเมื่อ a = d, b = e และ c = f c  f  บทนิยาม นเิ สธของเวกเตอรใ นระบบพิกัดฉาก กำหนด a, b และ c เปน จำนวนจริงใดๆ a a  -a  a a -a b b -b b  - b  -b 1) นเิ สธของ คอื - หรือ 2) นิเสธของ  คอื หรือ c c -c

บทนิยาม การบวกเวกเตอรใ นระบบพิกัดฉาก กำหนด a, b, c, d, e และ f เปนจำนวนจริงใดๆ 1) a + c = a + c a d a + d b d b + d 2) b + e = b + e c  f   c + f  บทนยิ าม เวกเตอรศ นู ยในระบบพิกัดฉาก 1) 0 0 0 2) 0 0 บทนิยาม การลบเวกเตอรในระบบพกิ ัดฉาก กำหนด a, b, c, d, e และ f เปนจำนวนจรงิ ใดๆ 1) a - c = a - c a d a - d b d b - d 2) b - e = b - e c  f   c - f  บทนยิ าม การคณู เวกเตอรด ว ยสเกลาร กำหนด a, b, c และ α เปนจำนวนจริงใดๆ a  αa  a αa α b αb b  αb  1) = 2) α  =  c αc ข้ันสอน 1) ครใู หน ักเรยี นชว ยกนั ทำแบบฝกหัดท่ี 4 เรอ่ื ง เวกเตอรในระบบพิกดั ฉาก ขอที่ 6 - 10 2) ในระหวา งทนี่ ักเรียนชว ยกนั ทำแบบฝก หดั ครูจะคอยใหคำแนะนำและเปด โอกาสใหนกั เรยี น ไดถามขอสงสยั และเฉลยคำตอบในขอท่นี ักเรยี นทำเสรจ็ แลว เพือ่ ใหนกั เรยี นตรวจสอบความถกู ตองของ คำตอบ และเพื่อครูจะสามารถตรวจสอบความเขา ใจของนักเรียนในระหวางเรยี นได

ขนั้ สรุป 1) นกั เรียนและครูรวมกันสรปุ ความรู เรอื่ ง การบวกเวกเตอร การลบเวกเตอร และการคณู เวกเตอร ดว ยสเกลาร ทไ่ี ดจากการเรียน และครเู ปดโอกาสใหนักเรยี นซกั ถามปญ หาหรอื ขอสงสยั ตางๆ 2) ครใู หน ักเรยี นทำแบบฝก หัดท่ี 4 ขอท่ี 6 - 10 หากนักเรยี นทำไมเ สร็จในชวั่ โมง จะใหนักเรียนนำ กลบั ไปทำเปน การบาน แลว ครูและนกั เรียนจะรว มกันเฉลยในชวงโมงถัดไป 3) ครูแนะนำใหน ักเรียนคน ควา หาโจทยเพ่มิ เตมิ จากแหลงเรียนรูตา งๆ 10. สื่อ อุปกรณ และแหลงเรียนรู 1) หนงั สอื เรียนรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร เลม 1 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรยี น เรื่อง เวกเตอร

แผนการจัดกจิ กรรมการเรียนรู กลมุ สาระการเรยี นรคู ณิตศาสตร คณติ ศาสตรเ พิ่มเตมิ 3 ชวงชน้ั ท่ี 3 มัธยมศึกษาปที่ 5 รหัสวิชา ค 32201 ภาคเรยี นที่ 1 ปก ารศึกษา 2563 เวลา 1 ชั่วโมง หนวยการเรียนรทู ่ี 3 เร่อื ง เวกเตอร โรงเรียนมัธยมวัดเบญจมบพิตร ชอ่ื ครูผูสอน นายคเณศ สมตระกูล แผนการจัดการเรียนรทู ่ี 11 เร่ือง เวกเตอรใ นระบบพกิ ดั ฉาก 1. ผลการเรียนรู/มาตรฐานการเรียนรู 1) หาผลลัพธข องการบวก การลบเวกเตอร และการคูณเวกเตอรด ว ยสเกลาร 2. สาระสำคัญ u u สำหรับเวกเตอร ใดๆ เขยี นแทนขนาดของเวกเตอรดว ย ในระบบพกิ ัดฉากสองมติ แิ ละสามมติ ิ ขนาดของเวกเตอร หมายถงึ ความยาวของสว นของเสนตรงท่ี ระบุทิศทางที่แทนเวกเตอร บทนยิ าม ขนาดของเวกเตอรใ นระบบพิกัดฉาก กำหนด a, b, c, d และ f เปน จำนวนจริงใดๆ 1) ขนาดของเวกเตอร a คอื a2 + b2 b บทนิยาม a 2) ขนาดของเวกเตอร b คอื a2 + b2 + c2  c  เวกเตอรท ี่มีขนาดหน่ึงหนว ย เรียกวา เวกเตอรหนง่ึ หนวย (unit vector) บทนิยาม เวกเตอรห นึ่งหนว ยในระบบพิกัดฉากสองมิติ 1) เวกเตอร i = 1 คอื เวกเตอรห น่ึงหนวยที่ขนานกับแกน X และมที ิศทางบวก 0 2) เวกเตอร j = 0 คือ เวกเตอรหนึ่งหนวยท่ขี นานกบั แกน Y และมที ิทางบวก 1

เวกเตอรหนึ่งหนว ยในระบบพิกัดฉากสามมติ ิ 1) เวกเตอร i = 1 คือ เวกเตอรหนึ่งหนว ยที่ขนานกับแกน X และมีทิศทางบวก 0 0 2) เวกเตอร j = 0 คือเวกเตอรหนงึ่ หนวยทีข่ นานกบั แกน Y และมที ศิ ทางบวก 1 0 3) เวกเตอร k = 0 คือเวกเตอรห น่ึงหนวยท่ขี นานกับแกน Z และมีทศิ ทางบวก 0 1 บทนิยาม กำหนด a, b และ c เปนจำนวนจริงใดๆ บทนยิ าม 1) ถา u = a เปน เวกเตอรใดๆ ในระบบพิกดั ฉากสองมติ ิ แลว u = ai + bj b 2) ถา u = a เปน เวกเตอรใ ดๆ ในระบบพิกดั ฉากสามมิติ แลว u = ai + bj + ck b 2ก1))ำหเเววนกกดเเตตออuรรหหเปcนนนงึ่ึ่งเหหวนนกววเตยยอททรี่ี่ขขในนดาาๆนนแแแลลละะะมมuทีที ิิศ≠ศทท0าางงแเตดลระียงวขaกา ับมเปกนuบั จำคuนือวคนือจuuร-ิงuuใดๆ ทีไ่ มเปน ศูนย 3) เวกเตอรที่มีขนาดเทา กับ a หนวย และมที ศิ ทางเดยี วกบั u คือ ua ⋅u 4) เวกเตอรที่มขี นาดเทากบั a หนวย และมีทศิ ทางตรงขาม

3. ผลการการเรียนรูทคี่ าดหวงั 1) ดา นความรู (K) : นักเรียนสามารถ - หาผลลัพธข องการบวก การลบเวกเตอร และการคูณเวกเตอรด วยสเกลาร 2) ดา นทักษะ / กระบวนการ (P) : นักเรียนสามารถ - แกโ จทยปญ หาเรื่อง เวกเตอรในระบบพิกดั ฉาก ได - ใชเ หตผุ ลในการแกป ญหาเวกเตอรในระบบพิกัดฉาก ได - เช่ือมโยงความรตู า งๆ ของคณิตศาสตรได - สือ่ สาร ส่อื ความหมายทางคณิตศาสตร และนำเสนอขอมูล 3) ดานคณุ ลักษณะอนั พึงประสงค (A) : นักเรียน - ทำงานเปน ระบบ รอบคอบ - มีระเบยี บวนิ ยั - มคี วามรับผิดชอบ 4. ดา นคุณลักษณะของผเู รียนตามหลักสูตรมาตรฐานสากล 1) เปน เลิศวิชาการ 2) สอื่ สองภาษา 3) ล้ำหนาทางความคิด 4) ผลติ งานอยา งสรางสรรค 5. บูรณาการตามหลกั ของปรชั ญาเศรษฐกจิ พอเพียง 1) หลกั ความมเี หตผุ ล ปฏิบัติงานโดยใชค วามคดิ แกป ญหาโดยใชปญญา 2) เงือ่ นไขความรู 6. สมรรถนะสำคญั ของผเู รียน 1) ความสามารถในการคดิ 2) ความสามารถในการแกป ญ หา 7. ช้ินงาน / ภาระงาน 1) แบบฝกหัดที่ 5 เร่ือง ขนาดและเวกเตอรห นึง่ หนวยในระบบพกิ ดั ฉาก

8. การวัดและประเมนิ ผล ผลการเรียนรู วธิ กี ารวัดผล เครอื่ งมือวดั ผล เกณฑก ารประเมิน ดา นความรู (K) แบบฝก หัดที่ 5 นักเรยี นทำแบบฝกหัด 1. หาผลลพั ธข องการ พิจารณาจากความ ถกู ตองรอยละ 60 บวก การลบเวกเตอร ถกู ตองของแบบฝกหัด แบบประเมินผลดา น ขน้ึ ไป ถือวา ผา นเกณฑ และการคูณเวกเตอร ทักษะ/กระบวนการ ทก่ี ำหนด ดว ยสเกลาร แบบประเมนิ ผลดา น ทกั ษะ/กระบวนการ นักเรียนไดคะแนนระดบั ดานทกั ษะ / กระบวนการ (P) แบบประเมนิ ผลดา น คุณภาพตั้งแต 3 คะแนน 1) แกโ จทยป ญ หาเรื่อง การสังเกต ทกั ษะ/กระบวนการ ข้ึนไป ถือวา ผาน เวกเตอรใ นระบบพิกัด นกั เรยี นไดคะแนนระดับ ฉาก ได คุณภาพต้ังแต 3 คะแนน ข้นึ ไป ถือวาผา น 2) ใชเ หตุผลในการ การสงั เกต นักเรยี นไดคะแนนระดับ แกปญหาเวกเตอรใ น คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน ระบบพิกัดฉาก ได ขน้ึ ไป ถือวาผา น นักเรยี นไดคะแนนระดบั 3) เชอ่ื มโยงความรูตางๆ การสังเกต คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน ของคณติ ศาสตรได ข้นึ ไป ถือวา ผา น 4) สอ่ื สาร สื่อ การสังเกต แบบประเมินผลดา น นกั เรยี นไดคะแนนระดบั ทักษะ/กระบวนการ คุณภาพตั้งแต 2 คะแนน ความหมายทาง ข้ึนไป ถือวา ผาน แบบประเมิน นักเรยี นไดคะแนนระดบั คณติ ศาสตร และ คุณลกั ษณะอนั พึง คุณภาพต้ังแต 2 คะแนน ประสงค ขน้ึ ไป ถือวาผา น นำเสนอขอมูล แบบประเมิน นกั เรียนไดคะแนนระดับ คณุ ลกั ษณะอันพึง คุณภาพต้ังแต 2 คะแนน ดา นคุณลกั ษณะอนั พึงประสงค (A) ประสงค ขนึ้ ไป ถือวา ผา น แบบประเมิน 1) ทำงานอยา งเปน การสังเกต คณุ ลักษณะอนั พงึ ประสงค ระบบรอบคอบ 2) มีระเบียบวนิ ยั การสังเกต 3) มคี วามรับผดิ ชอบ การสังเกต

9. กจิ กรรมการเรียนรู ขน้ั นำ 1) ครูสนทนาทักทายนักเรียน แลวทบทวนความรูเ รือ่ ง เวกเตอรในระบบพิกัดฉาก ดงั น้ี ตวั อยา งที่ 18 กำหนดให u = 2 , v = -1 และ α = 3 จงหา u + v, u - v, -v และ αu วธิ ที ำ 3  4  u + v = 2 + -1 = 2 + (-1) = 2 - 1 = 1 3  4   3 + 4  3 + 4 7 u - v = 2 - -1 = 2 - (-1) = 2 + 1 = 3 3  4   3 - 4  3 - 4  -1 -v = (-1) -1 = (-1)(-1) = 1  4   (-1)(4)  -4 αu = (3) 2 = 3(2) = 6 3 3(3) 9 u = 1 v 3 1 u + 2v, 3u - v, -u 2 , 4  2 ตวั อยา งท่ี 19 กำหนดให 4 =  และ α = - จงหา วิธที ำ 2 u 2v = 1 3 1 2(3) 1 6 1 + 6 7 2 4  2 2(4) 2  8 2 + 8 10 + + 2  = + =  + = = 4 2 4 2(2) 4 4 4 + 4  8  3u - v = 1 3 3(1) 3 3 3 3-3 0 3 2  4  3(2) 4    4      -  = -  =  6  -  =  6 - 4  =  2  4 2 3(4) 2 12 2 12 - 2 10 -u 1 (-1)1 -1 2   (-1)2 -2 = (-1)  =  = 4 (-1)4 -4

ข้ันสอน 1) ครบู รรยายเก่ียวกบั เร่ือง ขนาดและเวกเตอรห นงึ่ หนวยในระบบพิกัดฉาก พรอมตัวอยางดังน้ี ขนาดของเวกเตอรใ นระบบพิกดั ฉาก ถา PQ เปน เวกเตอรในระบบพิกัดฉากสองมิติ Y P มี พิกัดเปน (x1, y1) และ Q มพี กิ ดั เปน (x2, y2) P(x1, y1) Q(x2, y2) ดงั รูปท่ี 15 จะได PQ = x2 - x1  และ y2 - y1 = b y2 - y1  O x2 - x1 = a PQ = (x2 - x1 )2 + (y2 - y1 )2 รปู ที่ 15 X ถา ให a = x2 - x1 และ b = y2 - y1 แลว จะได PQ = a และขนาดของ PQ เทา กับ b a2 + b2 หนว ย ถา AB เปน เวกเตอรในระบบพกิ ัดฉากสามมิติ A มีพกิ ัด เปน (x1, y1, z1) และ B มีพิกัดเปน (x2, y2, z2) Z ดังรูปที่ 16 จะได AB =  x 2 - x1  และ B(x2, y2, z2)  y 2 - y1    O A(x1, y1, z1) z2 - z1  Y AB = (x2 - x1 )2 + (y2 - y1 )2 + (z2 - z1 )2 ถาให a = x2 - x1 , b = y2 - y1 และ c = z2 - z1 แลว จะ X รูปที่ 16 ได AB = a และขนาดของ AB เทา กับ b  c  a2 + b2 + c2 หนวย

บทนยิ าม 23 ขนาดของเวกเตอรในระบบพกิ ดั ฉาก กำหนด a, b, c, d และ f เปน จำนวนจรงิ ใดๆ 1. ขนาดของเวกเตอร a คือ a2 + b2 (เวกเตอรในระบบพกิ ัดฉากสองมิติ) b (เวกเตอรใ นระบบพกิ ดั ฉากสามมติ ิ) a a2 + b2 + c2 2. ขนาดของเวกเตอร b คอื  c  ตัวอยางท่ี 20 จงหาขนาดของเวกเตอรต อไปน้ี วิธที ำ 1) u = a P มีพิกัดเปน (2, 1, 0) และ Q มีพิกัดเปน (-1, 1, 0) 2) b u = PQ โดยที่ 1) 32 + 42 = 9 + 16 = 25 ดังน้นั เวกเตอร u =5 5 หนวย มขี นาดเทากับ PQ = -1 - 2   2) PQ =  1 - 1  ดงั น้ัน  0 - 0  (-3)2 + 02 + 02 =9 นน่ั คือ เวกเตอร PQ =3 3 หนวย มีขนาดเทากบั

เวกเตอรห นงึ่ หนว ยในระบบพกิ ัดฉาก บทนยิ าม 24 เวกเตอรท ่ีมีขนาดหนงึ่ หนวย เรียกวา เวกเตอรห น่งึ หนว ย (unit vector) บทนิยาม 25 เวกเตอรหน่งึ หนวยในระบบพิกัดฉากสองมติ ิ 1. เวกเตอร i = 1 คอื เวกเตอรห นึ่งหนวยท่ขี นานกบั แกน X และมที ิศทางเปนบวก 0 2. เวกเตอร j = 0 คือ เวกเตอรห นึ่งหนว ยท่ีขนานกบั แกน Y และมีทิศทางเปนบวก 1 เวกเตอรหนง่ึ หนวยในระบบพิกัดฉากสามมติ ิ 1. เวกเตอร i = 1 คอื เวกเตอรหนึ่งหนวยท่ขี นานกับแกน X และมที ิศทางเปน บวก 0 0 2. เวกเตอร j = 0 คือ เวกเตอรหนึ่งหนว ยทข่ี นานกับแกน Y และมที ิศทางเปนบวก 1 0 3. เวกเตอร k = 0 คอื เวกเตอรหน่ึงหนวยทีข่ นานกับแกน Z และมีทศิ ทางเปนบวก 0 1 บทนิยาม 26 กำหนด a, b และ c เปน จำนวนจรงิ ใดๆ 1. ถา u = a เปนเวกเตอรใดๆ ในระบบพิกัดฉากสองมติ ิ แลว u = ai + bj b 2. ถา u = a เปนเวกเตอรใ ดๆ ในระบบพิกดั ฉากสามมติ ิ แลว u = ai + bj + ck b  c 

บทนยิ าม 27 12ก..ำหเเววนกกดเเตตuออรรเหห ปนนนึ่งง่ึ เหหวนนกเวว ตยยอททร่ีข่ีขในนดๆาานนแแแลลละะะมมuทีีท≠ิิศศทท0าางงแเตลดระียงวขaกา เับมปกน uบั จำคuนือวคนือจuuร-งิ ใuuดๆ ทไ่ี มเทากับศูนย 3. เวกเตอรท่ีมีขนาดเทากบั a หนว ย และมีทิศทางเดียวกบั u คือ ua ⋅u ตัวอยา งที่ 21 4. เวกเตอรท ี่มขี นาดเทา กับ a หนวย และมีทศิ ทางตรงขามกบั u คือ - ua ⋅u วิธีทำ เกวำกหเตนอดรหAนBึง่ หเปนน ว เยวทกี่มเตีทอศิ รททามี่ งจี เดดุ ียเรวม่ิ กตบั น ทAี่BA(ใ2น, ร-ูป3)ขแอลงะจi ดุ แสล้นิ ะสุดทj ี่ B(-4, 6) จงหา เนอื่ งจาก AB =  -4 -2 = -6 6 - (-3)  9  และ AB = (-6)2 + 92 = 36 + 81 = ดังนั้น เวกเตอรห นงึ่ หนว ยที่มีทิศทางเดยี วกับ A1B17คอื = 3 13 -6  -6   -2 13   9      i j 1 =  3 13  =  13  = -2 13 + 3 13 13 9   3 13  13 13 3   3 13   13 ตัวอยา งท่ี 22 กำหนด AB เปน เวกเตอรท่มี ีจุดเรม่ิ ตน ท่ี  2ใน, ร0ปู) ขแอลงะจiุด, สj้ินสแดุลทะี่ Bk(-2, 3, 1) จงหา เวกเตอรหนึ่งหนว ยทมี่ ีทิศทางตรงขามกับ AA(1B, AB -2 - 1 -3     วธิ ีทำ เนื่องจาก =  3 - 2  =  1  และ AB = 1 - 0   1  9+1+1 = 11 (-3)2 + (1)2 + (1)2 =

ดังนัน้ เวกเตอรห นึ่งหนว ยที่มีทศิ ทางตรงขามกบั AB คือ  3   3 11      -3  11   11  1   - 1   11  3 1111i - 1111j - 11 k - 11  1  =  =  - = 11 - 11  11   1  1   11  11       - 11  ตวั อยางท่ี 23 จงหาเวกเตอรท่ีมีขนาดเทากับ 10 และมีทิศทางเดียวกับ u = 2i + 5j วิธที ำ เนอ่ื งจาก u = (2)2 + ( 5)2 = 4 + 25 = 29 ดังน้ัน เวกเตอรท ่ีมขี นาดเทากับ 10 และมีทิศทางเดียวกบั u คือ u ตวั อยางที่ 24 10 วธิ ีทำ 29 จงหาเวกเตอรท่ีมขี นาดเทา กับ 5 และมที ิศทางตรงขามกับ u = i + 2j - 2k เนอื่ งจาก u = (1)2 + (2)2 + (-2)2 = 9 = 3 u u ดงั นั้น เวกเตอรที่มขี นาดเทากับ 5 และมีทิศทางตรงขา มกบั คือ - 5 3 ตวั อยางท่ี 25 3 วิธีทำ จงหาเวกเตอรท ่ีมขี นาดเทากับ 2 และขนานกับเวกเตอร -2  1  3 32 + (-2)2 + 12 = 14 เน่อื งจาก -2 =  1  3 2 3 ดังนัน้ เวกเตอรท ่ีมขี นาดเทา กับ 2 และขนานกบั เวกเตอร -2 คอื ± 14 -2  1   1 

ขัน้ สรปุ 1) นักเรยี นและครูรว มกันสรุปความรูเรือ่ ง ขนาดและเวกเตอรหน่งึ หนว ยในระบบพิกดั ฉาก ที่ไดจ าก การเรยี น และเปดโอกาสใหนักเรียนซักถามปญ หาหรือขอสงสยั 2) ครูใหนักเรียนทำแบบฝก หัดที่ 5 เรอ่ื ง ขนาดและเวกเตอรห นึ่งหนวยในระบบพิกัดฉาก ใหเสร็จ ในชว่ั โมง แตหากนักเรยี นทำไมเสร็จในชวั่ โมง ใหนักเรยี นนำกลับไปทำเปน การบานแลวรว มเฉลยในช่วั โมง ถดั ไป 3) ครแู นะนำใหนักเรยี นคนควา หาโจทยเ พ่ิมเตมิ จากแหลง เรียนรูตางๆ 10. ส่ือ อุปกรณ และแหลง เรยี นรู 1) หนงั สอื เรยี นรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร เลม 1 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรยี น เรื่อง เวกเตอร

แผนการจัดกิจกรรมการเรยี นรู กลมุ สาระการเรยี นรคู ณติ ศาสตร คณิตศาสตรเ พม่ิ เตมิ 3 ชว งชน้ั ท่ี 3 มัธยมศึกษาปที่ 5 รหสั วชิ า ค 32201 ภาคเรยี นที่ 1 ปการศึกษา 2563 เวลา 1 ชั่วโมง หนว ยการเรยี นรทู ่ี 3 เรอื่ ง เวกเตอร โรงเรียนมัธยมวัดเบญจมบพิตร ชอื่ ครูผสู อน นายคเณศ สมตระกูล แผนการจัดการเรียนรูท่ี 12 เร่อื ง ผลคูณเชิงสเกลาร 1. ผลการเรยี นร/ู มาตรฐานการเรียนรู 1) หาผลคณู เชงิ สเกลาร 2. สาระสำคญั แใ12ใแหห))ทลถถนพจะuuาาดะกิ,fไวัดแuuดvยเฉปล =า=ะuนuแกส⋅ลa⋅aสvvเiviะาก++มล=เอwปมาbาbaตินรนjcjเิเวปผจว+าแ+ลนกะลคไcเเยbตวดะkณูู dกอด เเuรvอแชตใท⋅ลิงอน=vสะรรวเcใะีก=ดviกบลๆ+ำaบา=หdรใพdนนdกิ+(jดรsiดั cะดb+เฉaบปงัeาlนบeนaก+้ีพrเjสวpิก+อcกัดrfงเofตมฉkdอติาuรกิหเใcสปรนtอือน)รงสเขะมวาบอกิตมงบเหิมตพริตuอิกอืิรaดัสแใ ,นฉาลbมาระ,กมะcสบิตv,อบิ dงเม,ขeติยี ิน บทนิยาม ทฤษฎบี ท 3แ16542))))))ละauuu0i(a⋅⋅⋅⋅u⋅uuv(⋅เvปiv====น+) 0สv=ujwเ⋅ก(u2⋅a)ลu=าj)ร⋅=u จv⋅ะkv=ได⋅+uวาk⋅u(a⋅=wv1) และ (v + w )⋅u = v ⋅u + w ⋅u และ i ⋅ j = j ⋅ k = j ⋅ k = 0

ทฤษฎบี ท ให u และ แvละเปนθเวเปกเนตขอนราใดดๆขอทง่ีไมมมุ ใรชะเวหกวเา ตงอรuศ นู แยละในvระซบ่ึงบพ0ิก0 ัด≤ฉθาก≤ส1อ8ง0ม0ิติ ทฤษฎีบท หรอื สามมิติ แ(มลมุ ะรมะีทหิศวทางาเงวเดกเียตวอกรับ หเวมกาเตยถองึรทม้ังุมสทอไ่ีงม)ใ จชะม ไมุดกวลา บั uซ⋅งึ่vมแี=ขนuขอvงมcุมoเsปθนรงั สที ขี่ นาน u และ v ให มุมระหวาง uuuเปนกกกเบบัับั วกvvvเตอเเเปปปรในนน ดแมมๆหุมุมปฉลในามารกนกะกบ็ตก็ต็ตอบอเอพมเเมิกมอ่ื ัด่ือ่ือฉuuาu⋅ก⋅v⋅สvvอ>=ง<0ม00ิติหรือสามมิติ จะไดวา 1) มมุ ระหวาง 2) มมุ ระหวาง 3) 3. ผลการการเรยี นรูทคี่ าดหวงั 1) ดา นความรู (K) : นักเรยี นสามารถ - หาผลคูณเชิงสเกลาร 2) ดานทักษะ / กระบวนการ (P) : นกั เรยี นสามารถ - แกโ จทยปญหาเร่ือง หาผลคูณเชิงสเกลาร ได - ใชเหตผุ ลในการแกป ญหาหาผลคณู เชิงสเกลาร ได - เชอื่ มโยงความรตู างๆ ของคณิตศาสตรได - สื่อสาร ส่ือความหมายทางคณติ ศาสตร และนำเสนอขอมูล 3) ดา นคณุ ลกั ษณะอันพึงประสงค (A) : นักเรียน - ทำงานเปนระบบ รอบคอบ - มีระเบยี บวนิ ยั - มคี วามรบั ผดิ ชอบ 4. ดา นคุณลักษณะของผูเรียนตามหลักสูตรมาตรฐานสากล 1) เปนเลิศวิชาการ 2) ส่อื สองภาษา 3) ล้ำหนา ทางความคิด 4) ผลิตงานอยา งสรางสรรค 5. บูรณาการตามหลกั ของปรัชญาเศรษฐกจิ พอเพยี ง 1) หลักความมีเหตผุ ล ปฏบิ ัตงิ านโดยใชความคิด แกป ญหาโดยใชป ญ ญา 2) เง่ือนไขความรู 6. สมรรถนะสำคัญของผูเ รยี น 1) ความสามารถในการคดิ 2) ความสามารถในการแกปญ หา

7. ชน้ิ งาน / ภาระงาน 1) แบบฝก หดั ที่ 6 เร่ือง ผลคูณเชงิ สเกลาร ขอ ท่ี 1 - 6 8. การวดั และประเมินผล ผลการเรยี นรู วิธีการวัดผล เครื่องมือวดั ผล เกณฑการประเมนิ ดานความรู (K) แบบฝกหดั ท่ี 6 ขอที่ นักเรยี นทำแบบฝกหดั 1. หาผลคณู เชงิ สเกลาร พจิ ารณาจากความ 1-6 ถกู ตองรอยละ 60 ขึ้นไป ถือวา ผาน ถูกตองของแบบฝกหัด นกั เรียนไดคะแนนระดับ ดา นทกั ษะ / กระบวนการ (P) แบบประเมนิ ผลดาน คุณภาพตั้งแต 3 คะแนน 1) แกโ จทยป ญหาเร่ือง การสงั เกต ทกั ษะ/กระบวนการ ขน้ึ ไป ถือวา ผาน หาผลคณู เชงิ สเกลาร ได นักเรียนไดคะแนนระดับ คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน 2) ใชเ หตผุ ลในการ การสงั เกต แบบประเมินผลดาน ขน้ึ ไป ถือวา ผา น แกป ญ หาหาผลคูณเชิง ทักษะ/กระบวนการ นกั เรียนไดคะแนนระดับ สเกลาร ได คุณภาพตั้งแต 3 คะแนน แบบประเมนิ ผลดาน ข้ึนไป ถือวา ผาน 3) เชอ่ื มโยงความรูตางๆ การสงั เกต ทกั ษะ/กระบวนการ นกั เรียนไดคะแนนระดบั ของคณติ ศาสตรได คุณภาพตั้งแต 3 คะแนน ขึ้นไป ถือวา ผาน 4) สอ่ื สาร สือ่ การสงั เกต แบบประเมินผลดาน ทกั ษะ/กระบวนการ นักเรยี นไดคะแนนระดับ ความหมายทาง คุณภาพต้ังแต 2 คะแนน แบบประเมนิ ขน้ึ ไป ถือวา ผาน คณิตศาสตร และ คุณลักษณะอนั พงึ นกั เรียนไดคะแนนระดับ ประสงค คณุ ภาพต้ังแต 2 คะแนน นำเสนอขอมลู แบบประเมนิ ขนึ้ ไป ถือวา ผา น คุณลกั ษณะอันพงึ นกั เรยี นไดคะแนนระดบั ดานคณุ ลกั ษณะอนั พึงประสงค (A) ประสงค คณุ ภาพต้ังแต 2 คะแนน แบบประเมนิ ขน้ึ ไป ถือวา ผา น 1) ทำงานอยางเปน การสังเกต คณุ ลกั ษณะอนั พึง ประสงค ระบบรอบคอบ 2) มีระเบียบวนิ ยั การสงั เกต 3) มคี วามรับผดิ ชอบ การสังเกต

9. กิจกรรมการเรียนรู ขน้ั นำ 1) ครูสนทนาทกั ทายนักเรยี น แลว ทบทวนความรูเ รื่อง ขนาดและเวกเตอรห น่งึ หนวยในระบบ พิกดั ฉาก ดงั น้ี ตวั อยา งท่ี 20 จงหาขนาดของเวกเตอรตอไปน้ี วธิ ีทำ 1) u = a P มีพิกดั เปน (2, 1, 0) และ Q มีพิกัดเปน (-1, 1, 0) 2) b u = PQ โดยที่ 1) 32 + 42 = 9 + 16 = 25 ดังนนั้ เวกเตอร u =5 5 หนวย มขี นาดเทากับ PQ = -1 - 2   2) PQ =  1 - 1  ดงั นนั้  0 - 0  (-3)2 + 02 + 02 =9 นน่ั คือ เวกเตอร PQ =3 3 หนว ย มขี นาดเทากับ ตวั อยางท่ี 23 จงหาเวกเตอรท ่ีมขี นาดเทากับ 10 และมีทิศทางเดยี วกับ u = 2i + 5j วธิ ที ำ เนือ่ งจาก u = (2)2 + ( 5)2 = 4 + 25 = 29 ดังน้ัน เวกเตอรท ่ีมีขนาดเทากับ 10 และมีทศิ ทางเดียวกบั u คอื u ตัวอยา งท่ี 24 10 วธิ ที ำ 29 จงหาเวกเตอรท ่ีมีขนาดเทา กับ 5 และมีทิศทางตรงขา มกบั u = i + 2j - 2k เนอื่ งจาก u = (1)2 + (2)2 + (-2)2 = 9 = 3 u u ดังน้นั เวกเตอรท ี่มีขนาดเทากับ 5 และมที ิศทางตรงขา มกบั คือ - 5 3

ข้นั สอน 1) ครูบรรยายเกย่ี วกับ เร่ือง ผลคณู เชิงสเกลาร พรอมตัวอยาง ดงั นี้ ผลคูณเชงิ สเกลาร (scalar product) ให u และ ผvลเคปูณนเเชวกิงสเตเกอรลใานรร (ะsบcบaพlaกิ rดั pฉrาoกdสuอcงมt)ิตขิหอรงือสuามแมลิตะิ a,vbเ,ขcีย,นdแ,ทeนแดลว ะย บทนิยาม 28 เปน สเกลาร fu⋅v อา นวา uยู ==uuดอ⋅⋅aavvทii วี bกำj หแนลดะดังvน้ี = ci + dj เปนเวกเตอรใ นระบบพิกัดฉากสองมติ ิ 1. ถา + + ej + fk เปน เวกเตอรใ นระบบพกิ ัดฉากสามมติ ิ = 2. จถะาไดu + bacj + cbkd และ v = di = + จะได ad + be + cf u 2i +u3⋅vj และ v -3(i2i++43jj)จ⋅ง(ห-3าi u+⋅4vj) ตวั อยางที่ 26 กำหนด = = = วิธที ำ = 2(-3) + 3(4) = -6 + 12 =6 u 4 v 1 u⋅v   -2 ตวั อยางท่ี 27 กำหนด =  1  และ = จงหา วธิ ีทำ -2 -3 u⋅v 4 1   ⋅  -2  =  1  -2 -3 = 4(1) + 1(-2) + (-2)(-3) = 4-2+6 =8

ทฤษฎบี ท 5 ให u, v และ w เปนเวกเตอรใดๆ ในระบบพิกัดฉากสองมติ หิ รอื สามมติ ิ ทฤษฎบี ท 6 แ341265......ละauuu0i(a⋅⋅⋅⋅u⋅uuv(เ⋅vปiv===น=+)ส0v=uเwjก⋅(u2ล⋅a) uา=jร)⋅u=จv⋅ะkvไ=ด⋅+วuาk⋅u(a⋅=wv1) และ (v + w ) ⋅u = v ⋅u + w ⋅u และ i ⋅ j = j ⋅ k = j ⋅ k =0 แใหละuθแเลปะนขvนาเปดนขอเวงกมเุมตรอะรหใดวๆา งทuี่ไมใ แชลเวะกเvตอซรึ่งศ นู0ย0  ในระบบพิกดั ฉากสองมิติหรอื สามมติ ิ ≤ θ ≤1800 (มุมระหวา งเวกเตอร หทมง้ั สาอยงถ)งึ ดมังมุรูปทท่ีไมี่ 1ใ ช8มจุมะกไลดับวาซ่ึงuม⋅ีแvขน=ขอuงมvุมเcปoนsรθังสีท่ีขนานและมีทิศทางเดียวกบั เวกเตอร รูปที่ 18 ทฤษฎบี ท 7 ให u และ v เuuuปนกกกเับัับบวกเvvvตอเเเปปปรในนน ดมมแๆหุุมมใปฉลนามา รกนะกบกต็กต็บต็อ อพเอ มเเิกมมอ่ื ัด่อื่ือฉuาuu⋅ก⋅v⋅สvvอ>ง=<ม00ิต0หิ รอื สามมติ ิ จะไดวา 1. มมุ ระหวา ง 2. มุมระหวา ง 3. มมุ ระหวา ง ตัวอยางท่ี 28 จงหาโคไซนของมุมระหวา ง u และ v เมื่อ u 2 v 2 u -4 v 2  3 1     1) = และ = 2) =  2  และ =  7   4  -1

วธิ ที ำ 1) เน่อื งจากทฤษฎบี ท 6 จะได cosθ = uu⋅vv ทฤษฎบี ท 8 และ u⋅v = 2(2) + 3(1) = 4+3= 7 u = 22 + 32 = 4 + 9 = 13 v = 22 + 12 = 4 + 1 = 5 ดังน้นั cosθ = 7 5 = 7 65 13 65 uu⋅vv 2) เนอ่ื งจากทฤษฎีบท 6 จะได cosθ = = -8 + และ u⋅v = (-4)(2) + 2(7) + 4(-1) 14 - 2 = 2 u = (-4)2 + 22 + 42 = 16 + 4 + 16 = 36 = 6 v = 22 + 72 + (-1)2 = 4 + 49 + 1 = 54 = 3 6 ดังน้ัน cosθ = 2 6) = 6 6(3 54 ถา uu≠+0vแ2ละ= vu≠20+ แvละ2 +θ2เปuน มvมุ cรoะsหθวาหงรอื u uกับ+ vv แลว u 2 + v 2 + 2u⋅v 1. 2= 2. u - v 2 = u 2 + v 2 - 2 u v cosθ หรอื u - v 2 = u 2 + v 2 - 2u⋅v 3. u + v 2 + u - v 2 = 2 u 2 + 2 v 2 4. u + v 2 - u - v 2 = 4u⋅v 5. (u + v)⋅(u - v) = u 2 - v 2 ตวั อยางที่ 29 กำหนด u และ vu เกปบั นเวvกเตอรในระนาบ โดยท่ี u = 6, v = 8, u - v = 2 37 วิธีทำ จงหามุมระหวาง จากทฤษฎีบท 8 จuะได- ว vา 2 = u 2 + v 2 - 2 u v cosθ (2 37 )2 = 62 + 82 - 2(6)(8)cosθ 148 = 36 + 64 - 96cosθ 96cosθ = -48

cosθ = - 48 96 cosθ 1 = - 2 จากทฤษฎบี ท 6 จะไดวา u θv = 120O 120O ดงั นั้น มุมระหวา ง กบั คอื จกงำหหานดuu- vและ v เปน เวกเตอรในระนาบ โดยท่ี u = 10, v = 5, u + v = 12 ตวั อยางท่ี 30 วิธีทำ จากทฤษฎuบี +ท 8v จ2ะ+ไดuว า - v 2 2 u 2 + 2 v 2 2(10)2 + 2(5)2 122 + uu - vv 2 = 200 + 50 144 + - 2 = 106 = uu - vv 2 = 106 - = ดงั น้นั u - v นัน่ คอื = 106 ขั้นสรุป 1) นักเรยี นและครูรว มกนั สรุปความรูเรื่อง ผลคูณเชิงสเกลาร ท่ีไดจากการเรียน และเปดโอกาสให นักเรียนซักถามปญหาหรือขอสงสัย 2) ครูใหนักเรียนทำแบบฝก หดั ที่ 6 ขอ ท่ี 1 - 6 เร่อื ง ผลคูณเชิงสเกลาร ใหเ สรจ็ ในชัว่ โมง แตห าก นกั เรยี นทำไมเสรจ็ ในชวั่ โมง ใหนักเรียนนำกลบั ไปทำเปนการบานแลวรวมเฉลยในช่ัวโมงถดั ไป 3) ครแู นะนำใหน ักเรยี นคนควา หาโจทยเพิ่มเตมิ จากแหลง เรียนรตู า งๆ 10. ส่ือ อุปกรณ และแหลง เรียนรู 1) หนงั สอื เรยี นรายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร เลม 1 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรยี น เรื่อง เวกเตอร

แผนการจัดกิจกรรมการเรยี นรู กลมุ สาระการเรยี นรคู ณติ ศาสตร คณิตศาสตรเ พม่ิ เตมิ 3 ชว งชน้ั ท่ี 3 มัธยมศึกษาปที่ 5 รหสั วชิ า ค 32201 ภาคเรยี นที่ 1 ปการศึกษา 2563 เวลา 1 ชั่วโมง หนว ยการเรยี นรทู ่ี 3 เรอื่ ง เวกเตอร โรงเรียนมัธยมวัดเบญจมบพิตร ชอื่ ครูผสู อน นายคเณศ สมตระกูล แผนการจัดการเรียนรูท่ี 13 เร่อื ง ผลคูณเชิงสเกลาร 1. ผลการเรยี นร/ู มาตรฐานการเรียนรู 1) หาผลคณู เชงิ สเกลาร 2. สาระสำคญั แใ12ใแหห))ทลถถนพจะuuาาดะกิ,fไวัดแuuดvยเฉปล =า=ะuนuแกส⋅ลa⋅aสvvเiviะาก++มล=เอwปมาbาbaตินรนjcjเิเวปผจว+าแ+ลนกะลคไcเเยbตวดะkณูู dกอด เเuรvอแชตใท⋅ลิงอน=vสะรรวเcใะีก=ดviกบลๆ+ำaบา=หdรใพdนนdกิ+(jดรsiดั cะดb+เฉaบปงัeาlนบeนaก+้ีพrเjสวpิก+อcกัดrfงเofตมฉkdอติาuรกิหเใcสปรนtอือน)รงสเขะมวาบอกิตมงบเหิมตพริตuอิกอืิรaดัสแใ ,นฉาลbมาระ,กมะcสบิตv,อบิ dงเม,ขeติยี ิน บทนิยาม ทฤษฎบี ท 3แ16542))))))ละauuu0i(a⋅⋅⋅⋅u⋅uuv(⋅เvปiv====น+) 0สv=ujwเ⋅ก(u2⋅a)ลu=าj)ร⋅=u จv⋅ะkv=ได⋅+uวาk⋅u(a⋅=wv1) และ (v + w )⋅u = v ⋅u + w ⋅u และ i ⋅ j = j ⋅ k = j ⋅ k = 0

ทฤษฎบี ท ให u และ แvละเปนθเวเปกเนตขอนราใดดๆขอทง่ีไมมมุ ใรชะเวหกวเา ตงอรuศ นู แยละในvระซบ่ึงบพ0ิก0 ัด≤ฉθาก≤ส1อ8ง0ม0ิติ ทฤษฎีบท หรอื สามมิติ แ(มลมุ ะรมะีทหิศวทางาเงวเดกเียตวอกรับ หเวมกาเตยถองึรทม้ังุมสทอไ่ีงม)ใ จชะม ไมุดกวลา บั uซ⋅งึ่vมแี=ขนuขอvงมcุมoเsปθนรงั สที ขี่ นาน u และ v ให มุมระหวาง uuuเปนกกกเบบัับั วกvvvเตอเเเปปปรในนน ดแมมๆหุมุมปฉลในามารกนกะกบ็ตก็ต็ตอบอเอพมเเมิกมอ่ื ัด่ือ่ือฉuuาu⋅ก⋅v⋅สvvอ>=ง<0ม00ิติหรือสามมิติ จะไดวา 1) มมุ ระหวาง 2) มมุ ระหวา ง 3) 3. ผลการการเรยี นรูทคี่ าดหวงั 1) ดา นความรู (K) : นักเรยี นสามารถ - หาผลคูณเชิงสเกลาร 2) ดานทักษะ / กระบวนการ (P) : นกั เรยี นสามารถ - แกโ จทยปญหาเร่ือง หาผลคูณเชิงสเกลาร ได - ใชเหตผุ ลในการแกป ญหาหาผลคณู เชิงสเกลาร ได - เชอื่ มโยงความรตู างๆ ของคณิตศาสตรได - สื่อสาร ส่ือความหมายทางคณติ ศาสตร และนำเสนอขอมูล 3) ดา นคณุ ลกั ษณะอันพึงประสงค (A) : นักเรียน - ทำงานเปนระบบ รอบคอบ - มีระเบยี บวนิ ยั - มคี วามรบั ผดิ ชอบ 4. ดา นคุณลักษณะของผูเรียนตามหลักสูตรมาตรฐานสากล 1) เปนเลิศวิชาการ 2) ส่อื สองภาษา 3) ล้ำหนา ทางความคิด 4) ผลิตงานอยา งสรางสรรค 5. บูรณาการตามหลกั ของปรัชญาเศรษฐกจิ พอเพยี ง 1) หลักความมีเหตผุ ล ปฏบิ ัตงิ านโดยใชความคิด แกป ญหาโดยใชป ญ ญา 2) เง่ือนไขความรู 6. สมรรถนะสำคัญของผูเ รยี น 1) ความสามารถในการคดิ 2) ความสามารถในการแกปญ หา

7. ช้ินงาน / ภาระงาน 1) แบบฝก หดั ที่ 6 เร่ือง ผลคูณเชงิ สเกลาร ขอท่ี 7 - 12 8. การวดั และประเมินผล ผลการเรียนรู วธิ ีการวัดผล เครอื่ งมือวดั ผล เกณฑการประเมิน ดา นความรู (K) แบบฝกหัดท่ี 6 ขอที่ นักเรียนทำแบบฝกหดั 1. หาผลคณู เชงิ สเกลาร พจิ ารณาจากความ 7 - 12 ถูกตองรอยละ 60 ขน้ึ ไป ถือวา ผาน ถูกตองของแบบฝกหัด นักเรยี นไดคะแนนระดับ ดานทักษะ / กระบวนการ (P) แบบประเมนิ ผลดา น คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน 1) แกโจทยป ญหาเรื่อง การสังเกต ทกั ษะ/กระบวนการ ขึ้นไป ถือวา ผา น หาผลคูณเชงิ สเกลาร ได นกั เรียนไดคะแนนระดบั คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน 2) ใชเ หตุผลในการ การสังเกต แบบประเมนิ ผลดาน ขึ้นไป ถือวาผา น แกป ญ หาหาผลคูณเชิง ทกั ษะ/กระบวนการ นกั เรียนไดคะแนนระดบั สเกลาร ได คุณภาพต้ังแต 3 คะแนน แบบประเมนิ ผลดา น ขน้ึ ไป ถือวา ผา น 3) เชอื่ มโยงความรูตางๆ การสังเกต ทักษะ/กระบวนการ นักเรียนไดคะแนนระดับ ของคณิตศาสตรไ ด คุณภาพตั้งแต 3 คะแนน ขึ้นไป ถือวา ผา น 4) สื่อสาร สื่อ การสังเกต แบบประเมินผลดา น ทกั ษะ/กระบวนการ นกั เรยี นไดคะแนนระดับ ความหมายทาง คุณภาพตั้งแต 2 คะแนน แบบประเมิน ขึ้นไป ถือวา ผา น คณิตศาสตร และ คุณลักษณะอนั พึง นักเรียนไดคะแนนระดับ ประสงค คณุ ภาพต้ังแต 2 คะแนน นำเสนอขอมูล แบบประเมนิ ขึน้ ไป ถือวาผา น คณุ ลักษณะอนั พงึ นักเรียนไดคะแนนระดับ ดานคณุ ลักษณะอันพึงประสงค (A) ประสงค คณุ ภาพต้ังแต 2 คะแนน แบบประเมิน ขึ้นไป ถือวาผา น 1) ทำงานอยางเปน การสังเกต คณุ ลกั ษณะอันพงึ ประสงค ระบบรอบคอบ 2) มีระเบียบวนิ ยั การสงั เกต 3) มีความรบั ผิดชอบ การสังเกต

9. กิจกรรมการเรยี นรู ขน้ั นำ 1) ครสู นทนาทกั ทายนักเรยี น แลว ทบทวนความรูเรอ่ื ง ผลคณู เชงิ สเกลาร ดังนี้ u 2i +u3⋅vj และ v -3(i2i++43jj)จ⋅ง(ห-3าi u+⋅4vj) ตัวอยางท่ี 26 กำหนด = = = วธิ ที ำ = 2(-3) + 3(4) = -6 + 12 =6 u 4 v 1 u⋅v   -2 ตวั อยางท่ี 27 กำหนด =  1  และ = จงหา วธิ ที ำ -2 -3 ตวั อยา งท่ี 29 วธิ ที ำ u⋅v 4 1   -2 =  1  ⋅ -2 -3 = 4(1) + 1(-2) + (-2)(-3) vu =8 กำหนด u และ เกปับนเวvกเตอรในระนาบ โดยท่ี u = 6, v = 8, u - v = 2 37 จงหามุมระหวาง จากทฤษฎีบท 8 จuะได- ว vา 2 = u 2 + v 2 - 2 u v cosθ (2 37 )2 = 62 + 82 - 2(6)(8)cosθ 148 = = 36 + 64 - 96cosθ 96cosθ = -48 cosθ - 48 96 1 cosθ = - 2 u θv = 120O 120O ดังนนั้ มมุ ระหวา ง กบั คอื

ตัวอยา งที่ 30 จกงำหหานดuu- vและ v เปนเวกเตอรในระนาบ โดยท่ี u = 10, v = 5, u + v = 12 วิธที ำ จากทฤษฎuบี +ท 8v จ2ะ+ไดuวา- v 2 2 u 2 + 2 v 2 122 + u - v 2 = 2(10)2 + 2(5)2 144 + u - v 2 = 200 + 50 uu vv = 106 - 2 = - = 106 ดังนั้น u - v นน่ั คอื = 106 ขน้ั สอน 1) ครใู หน ักเรยี นชว ยกนั ทำแบบฝก หดั ที่ 6 เร่ือง ผลคูณเชิงสเกลาร ขอ ท่ี 7 - 12 2) ในระหวางที่นักเรยี นชว ยกนั ทำแบบฝก หัด ครจู ะคอยใหคำแนะนำและเปดโอกาสใหน ักเรียนได ถามขอสงสยั และเฉลยคำตอบในขอทนี่ กั เรียนทำเสร็จแลว เพอ่ื ใหน ักเรียนตรวจสอบความถกู ตองของคำตอบ และเพ่ือครจู ะสามารถตรวจสอบความเขา ใจของนักเรียนในระหวางเรียนได ขนั้ สรปุ 1) นักเรียนและครรู วมกันสรุปความรู เรือ่ ง ผลคณู เชิงสเกลาร ท่ไี ดจากการเรยี น และครเู ปดโอกาส ใหนักเรยี นซกั ถามปญหาหรือขอสงสยั ตา งๆ 2) ครูใหนักเรยี นทำแบบฝก หัดท่ี 6 ขอ ท่ี 7 - 12 หากนักเรียนทำไมเ สร็จในชัว่ โมง จะใหนักเรยี นนำ กลับไปทำเปน การบาน แลว ครแู ละนกั เรียนจะรว มกันเฉลยในชว งโมงถดั ไป 3) ครูแนะนำใหนักเรียนคนควาหาโจทยเ พ่ิมเติมจากแหลง เรียนรูตา งๆ 10. ส่ือ อุปกรณ และแหลง เรยี นรู 1) หนังสอื เรยี นรายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร เลม 1 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง เวกเตอร

แผนการจัดกิจกรรมการเรยี นรู กลมุ สาระการเรยี นรคู ณติ ศาสตร คณิตศาสตรเ พม่ิ เตมิ 3 ชว งชน้ั ท่ี 3 มัธยมศึกษาปที่ 5 รหสั วชิ า ค 32201 ภาคเรยี นที่ 1 ปการศึกษา 2563 เวลา 1 ชั่วโมง หนว ยการเรยี นรทู ่ี 3 เรอื่ ง เวกเตอร โรงเรียนมัธยมวัดเบญจมบพิตร ชอื่ ครูผสู อน นายคเณศ สมตระกูล แผนการจัดการเรียนรูท่ี 14 เร่อื ง ผลคูณเชิงสเกลาร 1. ผลการเรยี นร/ู มาตรฐานการเรียนรู 1) หาผลคณู เชงิ สเกลาร 2. สาระสำคญั แใ12ใแหห))ทลถถนพจะuuาาดะกิ,fไวัดแuuดvยเฉปล =า=ะuนuแกส⋅ลa⋅aสvvเiviะาก++มล=เอwปมาbาbaตินรนjcjเิเวปผจว+าแ+ลนกะลคไcเเยbตวดะkณูู dกอด เเuรvอแชตใท⋅ลิงอน=vสะรรวเcใะีก=ดviกบลๆ+ำaบา=หdรใพdนนdกิ+(jดรsiดั cะดb+เฉaบปงัeาlนบeนaก+้ีพrเjสวpิก+อcกัดrfงเofตมฉkdอติาuรกิหเใcสปรนtอือน)รงสเขะมวาบอกิตมงบเหิมตพริตuอิกอืิรaดัสแใ ,นฉาลbมาระ,กมะcสบิตv,อบิ dงเม,ขeติยี ิน บทนิยาม ทฤษฎบี ท 3แ16542))))))ละauuu0i(a⋅⋅⋅⋅u⋅uuv(⋅เvปiv====น+) 0สv=ujwเ⋅ก(u2⋅a)ลu=าj)ร⋅=u จv⋅ะkv=ได⋅+uวาk⋅u(a⋅=wv1) และ (v + w )⋅u = v ⋅u + w ⋅u และ i ⋅ j = j ⋅ k = j ⋅ k = 0

ทฤษฎบี ท ให u และ แvละเปนθเวเปกเนตขอนราใดดๆขอทง่ีไมมมุ ใรชะเวหกวเา ตงอรuศ นู แยละในvระซบ่ึงบพ0ิก0 ัด≤ฉθาก≤ส1อ8ง0ม0ิติ ทฤษฎีบท หรอื สามมิติ แ(มลมุ ะรมะีทหิศวทางาเงวเดกเียตวอกรับ หเวมกาเตยถองึรทม้ังุมสทอไ่ีงม)ใ จชะม ไมุดกวลา บั uซ⋅งึ่vมแี=ขนuขอvงมcุมoเsปθนรงั สที ขี่ นาน u และ v ให มุมระหวาง uuuเปนกกกเบบัับั วกvvvเตอเเเปปปรในนน ดแมมๆหุมุมปฉลในามารกนกะกบ็ตก็ต็ตอบอเอพมเเมิกมอ่ื ัด่ือ่ือฉuuาu⋅ก⋅v⋅สvvอ>=ง<0ม00ิติหรือสามมิติ จะไดวา 1) มมุ ระหวาง 2) มมุ ระหวา ง 3) 3. ผลการการเรยี นรูทคี่ าดหวงั 1) ดา นความรู (K) : นักเรยี นสามารถ - หาผลคูณเชิงสเกลาร 2) ดานทักษะ / กระบวนการ (P) : นกั เรยี นสามารถ - แกโ จทยปญหาเร่ือง หาผลคูณเชิงสเกลาร ได - ใชเหตผุ ลในการแกป ญหาหาผลคณู เชิงสเกลาร ได - เชอื่ มโยงความรตู างๆ ของคณิตศาสตรได - สื่อสาร ส่ือความหมายทางคณติ ศาสตร และนำเสนอขอมูล 3) ดา นคณุ ลกั ษณะอันพึงประสงค (A) : นักเรียน - ทำงานเปนระบบ รอบคอบ - มีระเบยี บวนิ ยั - มคี วามรบั ผดิ ชอบ 4. ดา นคุณลักษณะของผูเรียนตามหลักสูตรมาตรฐานสากล 1) เปนเลิศวิชาการ 2) ส่อื สองภาษา 3) ล้ำหนา ทางความคิด 4) ผลิตงานอยา งสรางสรรค 5. บูรณาการตามหลกั ของปรัชญาเศรษฐกจิ พอเพยี ง 1) หลักความมีเหตผุ ล ปฏบิ ัตงิ านโดยใชความคิด แกป ญหาโดยใชป ญ ญา 2) เง่ือนไขความรู 6. สมรรถนะสำคัญของผูเ รยี น 1) ความสามารถในการคดิ 2) ความสามารถในการแกปญ หา

7. ช้นิ งาน / ภาระงาน 1) แบบฝก หดั ที่ 6 เร่ือง ผลคูณเชิงสเกลาร ขอท่ี 13 - 15 8. การวดั และประเมินผล ผลการเรยี นรู วิธีการวัดผล เครอื่ งมือวัดผล เกณฑก ารประเมิน ดา นความรู (K) แบบฝกหัดที่ 6 ขอท่ี นกั เรยี นทำแบบฝกหัด 1. หาผลคณู เชงิ สเกลาร พิจารณาจากความ 13 - 15 ถกู ตองรอ ยละ 60 ข้นึ ไป ถือวา ผาน ถกู ตองของแบบฝกหัด นักเรียนไดคะแนนระดับ ดานทกั ษะ / กระบวนการ (P) แบบประเมนิ ผลดา น คุณภาพต้ังแต 3 คะแนน 1) แกโ จทยป ญ หาเร่ือง การสงั เกต ทกั ษะ/กระบวนการ ข้นึ ไป ถือวา ผา น หาผลคูณเชงิ สเกลาร ได นักเรยี นไดคะแนนระดบั คุณภาพต้ังแต 3 คะแนน 2) ใชเหตผุ ลในการ การสงั เกต แบบประเมนิ ผลดา น ข้ึนไป ถือวาผาน แกปญ หาหาผลคูณเชงิ ทักษะ/กระบวนการ นักเรยี นไดคะแนนระดับ สเกลาร ได คุณภาพตั้งแต 3 คะแนน แบบประเมนิ ผลดาน ขึ้นไป ถือวาผาน 3) เชือ่ มโยงความรูตางๆ การสงั เกต ทกั ษะ/กระบวนการ นักเรยี นไดคะแนนระดบั ของคณิตศาสตรไ ด คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน ข้ึนไป ถือวา ผา น 4) สื่อสาร สอื่ การสงั เกต แบบประเมนิ ผลดาน ทักษะ/กระบวนการ นกั เรียนไดคะแนนระดบั ความหมายทาง คณุ ภาพต้ังแต 2 คะแนน แบบประเมิน ขึ้นไป ถือวาผา น คณติ ศาสตร และ คณุ ลักษณะอันพงึ นกั เรียนไดคะแนนระดับ ประสงค คุณภาพตั้งแต 2 คะแนน นำเสนอขอมลู แบบประเมิน ขึ้นไป ถือวา ผาน คณุ ลักษณะอันพงึ นักเรียนไดคะแนนระดับ ดา นคณุ ลกั ษณะอนั พงึ ประสงค (A) ประสงค คุณภาพต้ังแต 2 คะแนน แบบประเมนิ ข้ึนไป ถือวา ผาน 1) ทำงานอยางเปน การสงั เกต คณุ ลกั ษณะอันพึง ประสงค ระบบรอบคอบ 2) มีระเบียบวินยั การสังเกต 3) มีความรบั ผิดชอบ การสังเกต

9. กจิ กรรมการเรยี นรู ข้ันนำ 1) ครสู นทนาทักทายนักเรยี น แลว ทบทวนความรเู ร่อื ง ผลคณู เชิงสเกลาร ดงั นี้ ให u เแปลน ะสเvกลเาปรน ผเวลกคเูณตอเชรงิในสรเกะลบาบรพ (กิscดั aฉlาaกrสpอroงมdิตuหิctร)ือขสอางมมuิติ บทนิยาม และ f a, b, vc, d, e u⋅v และ เขียนแทนดว ย อานวา uยู ==uuดอ⋅⋅aavvทii ++==วี bกำj หแนลดะดังvน้ี = ci + dj เปน เวกเตอรใ นระบบพกิ ดั ฉากสองมติ ิ 1) ถา + ej + fk เปน เวกเตอรใ นระบบพกิ ัดฉากสามมิติ 2) จถะาไดu bacj + cbkd และ v = di + จะได ad + be + cf ให u, v และ w เปน เวกเตอรใ ดๆ ในระบบพิกดั ฉากสองมติ ิหรอื สามมติ ิ และ a เปน สเกลาร ทฤษฎบี ท จ346521))))))ะไauuu0ดi(⋅⋅ว⋅⋅u⋅uuv(า ⋅viv====+) 0v=ujw⋅(u2⋅a) u=j) ⋅uv⋅v= +u⋅u(a⋅wv) และ (v + w )⋅u = v ⋅u + w ⋅u = k ⋅ k = 1 และ i ⋅ j = j ⋅ k = j ⋅ k = 0 ทฤษฎีบท แใหละuθแเลปะนขvนาเปดนขอเวงกมเมุตรอะรหใดวๆางทuี่ไมใ แชลเวะกเvตอซรึง่ ศ ูน0ย0  ในระบบพิกดั ฉากสองมิตหิ รือสามมติ ิ ≤ θ ≤1800 (มมุ ระหวางเวกเตอร หมายถึง มวามุ ทu่ีไ⋅มvใช=ม ุมกuลับv ซึ่งมีแขนของมุมเปนรงั สที ีข่ นานและมีทิศทางเดยี วกบั เวกเตอรทัง้ สอง) จะได cosθ u และ v ทฤษฎีบท ให มมุ ระหวา ง uuuเปนกกกเับบับั วกvvvเตอเเเปปปรในนนดมมแๆหุมมุ ฉปลในามา รกนกะกบ็ตกต็็ตอบอเอพมเเมิกมื่อัด่ือ่อื ฉuuาu⋅ก⋅v⋅สvvอ>=ง<0ม00ติ หิ รอื สามมิติ จะไดว า 1) มมุ ระหวาง 2) มุมระหวาง 3)

ขั้นสอน 1) ครใู หนักเรียนแบงกลมุ ชว ยกันทำแบบฝกหัดท่ี 6 เรอื่ ง ผลคูณเชิงสเกลาร ขอที่ 13 - 15 และ นำเสนอหนาช้นั เรียน 2) ในระหวางทน่ี ักเรยี นชว ยกันทำแบบฝกหัด ครจู ะคอยใหคำแนะนำและเปด โอกาสใหนกั เรยี นได ถามขอสงสัย เพื่อครจู ะสามารถตรวจสอบความเขา ใจของนักเรียนในระหวางเรียนได ขนั้ สรุป 1) นกั เรียนและครรู วมกันสรุปความรู เรอ่ื ง ผลคณู เชิงสเกลาร ท่ไี ดจากการเรยี น และครเู ปดโอกาส ใหน กั เรียนซกั ถามปญหาหรอื ขอสงสัยตางๆ 2) ครูใหน ักเรียนแบงกลุม ทำแบบฝก หัดที่ 6 ขอท่ี 13 - 15 หากนกั เรยี นทำไมเสรจ็ ในชว่ั โมง จะให นักเรียนนำกลบั ไปทำเปนการบาน แลว ครแู ละนักเรยี นจะรวมกนั เฉลยในชว งโมงถัดไป 3) ครแู นะนำใหน กั เรียนคนควา หาโจทยเพม่ิ เตมิ จากแหลง เรยี นรตู า งๆ 10. ส่ือ อุปกรณ และแหลงเรียนรู 1) หนังสอื เรียนรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร เลม 1 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรยี น เร่ือง ฟงกชนั ตรีโกณมิติ

แผนการจัดกิจกรรมการเรยี นรู กลมุ สาระการเรยี นรคู ณติ ศาสตร คณิตศาสตรเ พม่ิ เตมิ 3 ชว งชน้ั ท่ี 3 มัธยมศึกษาปที่ 5 รหสั วชิ า ค 32201 ภาคเรยี นที่ 1 ปการศึกษา 2563 เวลา 1 ชั่วโมง หนว ยการเรยี นรทู ่ี 3 เรอื่ ง เวกเตอร โรงเรียนมัธยมวัดเบญจมบพิตร ชอื่ ครูผสู อน นายคเณศ สมตระกูล แผนการจัดการเรียนรูท่ี 15 เร่อื ง ผลคูณเชิงสเกลาร 1. ผลการเรยี นร/ู มาตรฐานการเรียนรู 1) หาผลคณู เชงิ สเกลาร 2. สาระสำคญั แใ12ใแหห))ทลถถนพจะuuาาดะกิ,fไวัดแuuดvยเฉปล =า=ะuนuแกส⋅ลa⋅aสvvเiviะาก++มล=เอwปมาbาbaตินรนjcjเิเวปผจว+าแ+ลนกะลคไcเเยbตวดะkณูู dกอด เเuรvอแชตใท⋅ลิงอน=vสะรรวเcใะีก=ดviกบลๆ+ำaบา=หdรใพdนนdกิ+(jดรsiดั cะดb+เฉaบปงัeาlนบeนaก+้ีพrเjสวpิก+อcกัดrfงเofตมฉkdอติาuรกิหเใcสปรนtอือน)รงสเขะมวาบอกิตมงบเหิมตพริตuอิกอืิรaดัสแใ ,นฉาลbมาระ,กมะcสบิตv,อบิ dงเม,ขeติยี ิน บทนิยาม ทฤษฎบี ท 3แ16542))))))ละauuu0i(a⋅⋅⋅⋅u⋅uuv(⋅เvปiv====น+) 0สv=ujwเ⋅ก(u2⋅a)ลu=าj)ร⋅=u จv⋅ะkv=ได⋅+uวาk⋅u(a⋅=wv1) และ (v + w )⋅u = v ⋅u + w ⋅u และ i ⋅ j = j ⋅ k = j ⋅ k = 0

ทฤษฎบี ท ให u และ แvละเปนθเวเปกเนตขอนราใดดๆขอทง่ีไมมมุ ใรชะเวหกวเา ตงอรuศ นู แยละในvระซบ่ึงบพ0ิก0 ัด≤ฉθาก≤ส1อ8ง0ม0ิติ ทฤษฎีบท หรอื สามมิติ แ(มลมุ ะรมะีทหิศวทางาเงวเดกเียตวอกรับ หเวมกาเตยถองึรทม้ังุมสทอไ่ีงม)ใ จชะม ไมุดกวลา บั uซ⋅งึ่vมแี=ขนuขอvงมcุมoเsปθนรงั สที ขี่ นาน u และ v ให มุมระหวาง uuuเปนกกกเบบัับั วกvvvเตอเเเปปปรในนน ดแมมๆหุมุมปฉลในามารกนกะกบ็ตก็ต็ตอบอเอพมเเมิกมอ่ื ัด่ือ่ือฉuuาu⋅ก⋅v⋅สvvอ>=ง<0ม00ิติหรือสามมิติ จะไดวา 1) มมุ ระหวาง 2) มมุ ระหวา ง 3) 3. ผลการการเรยี นรูทคี่ าดหวงั 1) ดา นความรู (K) : นักเรยี นสามารถ - หาผลคูณเชิงสเกลาร 2) ดานทักษะ / กระบวนการ (P) : นกั เรยี นสามารถ - แกโ จทยปญหาเร่ือง หาผลคูณเชิงสเกลาร ได - ใชเหตผุ ลในการแกป ญหาหาผลคณู เชิงสเกลาร ได - เชอื่ มโยงความรตู างๆ ของคณิตศาสตรได - สื่อสาร ส่ือความหมายทางคณติ ศาสตร และนำเสนอขอมูล 3) ดา นคณุ ลกั ษณะอันพึงประสงค (A) : นักเรียน - ทำงานเปนระบบ รอบคอบ - มีระเบยี บวนิ ยั - มคี วามรบั ผดิ ชอบ 4. ดา นคุณลักษณะของผูเรียนตามหลักสูตรมาตรฐานสากล 1) เปนเลิศวิชาการ 2) ส่อื สองภาษา 3) ล้ำหนา ทางความคิด 4) ผลิตงานอยา งสรางสรรค 5. บูรณาการตามหลกั ของปรัชญาเศรษฐกจิ พอเพยี ง 1) หลักความมีเหตผุ ล ปฏบิ ัตงิ านโดยใชความคิด แกป ญหาโดยใชป ญ ญา 2) เง่ือนไขความรู 6. สมรรถนะสำคัญของผูเ รยี น 1) ความสามารถในการคดิ 2) ความสามารถในการแกปญ หา