ลำดบั และอนุกรม 1 Oct 2019
สารบญั ลำดบั ........................................................................................................................................................................................ 1 ลำดบั เลขคณติ ......................................................................................................................................................................... 6 ตวั กลำงเลขคณิต .................................................................................................................................................................. 16 ลำดบั เรขำคณิต..................................................................................................................................................................... 18 ตวั กลำงเรขำคณติ ................................................................................................................................................................. 28 ลำดบั เวยี นเกิด ...................................................................................................................................................................... 31 อนกุ รม................................................................................................................................................................................... 35 สญั ลกั ษณซ์ ิกมำ.................................................................................................................................................................... 38 อนกุ รมเลขคณติ .................................................................................................................................................................... 43 อนกุ รมเรขำคณิต................................................................................................................................................................... 53
ลำดบั และอนกุ รม 1 ลำดบั ลำดบั คอื กำรนำสงิ่ ตำ่ งๆ (ซงึ่ มกั จะเป็นตวั เลข) มำเรยี งอยำ่ งมีลำดบั เช่น 8 , 3 , 4 , 1 , 3 , 12 โดยเรำจะเรยี กแตล่ ะตวั ในลำดบั วำ่ “พจน”์ เช่น ลำดบั 5 , 2 , 10 , 12 , 8 จะมี พจนท์ ่ี 1 คอื 5 , พจนท์ ่ี 2 คอื 2 , พจนท์ ี่ 4 คอื 12 เป็นตน้ และ เรำนยิ มใชต้ วั แปร ������ แทนแตล่ ะพจนใ์ นลำดบั โดย พจนท์ ี่ 1 จะแทนดว้ ย ������1 พจนท์ ่ี 2 จะแทนดว้ ย ������2 … พจนท์ ่ี ������ จะแทนดว้ ย ������������ เช่น ลำดบั 5 , 7 , 9 , 11 , … , 41 จะมี ������1 = 5 , ������2 = 7 , ������5 = 13 , ������8 = 19 บำงที เรำอำจเจอลำดบั ที่มพี จน์ “ตอ่ ไปเรอื่ ยๆ ไมม่ ที ่สี นิ้ สดุ ” เชน่ 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , … ลำดบั พวกนี้ จะมี “…” ตอ่ ทำ้ ยเพื่อบอกวำ่ มพี จนต์ อ่ ทำ้ ยไปเรอ่ื ยๆ เรำจะเรยี กลำดบั ประเภทนวี้ ำ่ “ลำดบั อนนั ต”์ แตถ่ ำ้ ในลำดบั มีจำนวนพจน์ เป็นจำนวนจำกดั เรำจะเรยี กวำ่ เป็น “ลำดบั จำกดั ” เชน่ 1 , 2 , 3 , 4 , … เป็นลำดบั อนนั ต์ 3,5,7 เป็นลำดบั จำกดั 2 , 4 , 6 , … , 200000 เป็นลำดบั จำกดั ในกรณีทตี่ วั เลขในลำดบั เรยี งอยำ่ งมีระเบียบ เรำมกั จะสำมำรถเดำ “สตู ร” สำหรบั หำพจนท์ เ่ี รำตอ้ งกำรได้ โดยเรำจะเรยี กสตู รดงั กลำ่ ววำ่ “สตู รพจนท์ ่วั ไป” เชน่ ลำดบั 5 , 7 , 9 , 11 , … , 41 จะมสี ตู รพจนท์ ่วั ไป คอื ������������ = 2������ + 3 ������8 = (2)(8) + 3 = 19 ถำ้ มีสตู รนี้ เรำจะหำพจนไ์ หนทตี่ อ้ งกำรก็ได้ เช่น ������5 = (2)(5) + 3 = 13 ������1 = (2)(1) + 3 = 5 ������2 = (2)(2) + 3 = 7 ในทำนองกลบั กนั เรำใชส้ ตู รพจนท์ ่วั ไป หำวำ่ ตวั เลขทกี่ ำหนด เป็นพจนท์ เี่ ทำ่ ไหรไ่ ด้ โดยกำรแกส้ มกำรยอ้ นกลบั เชน่ ลำดบั ������������ = 2������ + 3 ถำ้ อยำกรูว้ ำ่ 29 เป็นพจนท์ ่เี ทำ่ ไหร่ ใหแ้ กส้ มกำร 29 = 2������ + 3 26 = 2������ 13 = ������ ถำ้ อยำกรูว้ ำ่ 19 เป็นพจนท์ ่เี ทำ่ ไหร่ ใหแ้ กส้ มกำร 19 = 2������ + 3 16 = 2������ 8 = ������ ถำ้ อยำกรูว้ ำ่ ลำดบั 5 , 7 , 9 , 11 , … , 41 มกี ี่พจน์ ใหแ้ กส้ มกำร 41 = 2������ + 3 38 = 2������ 19 = ������
2 ลำดบั และอนกุ รม บำงที เรำนิยมเขียนลำดบั เป็น เซตของคลู่ ำดบั (������, ������) โดยให้ ������ แทน “ลำดบั ที่” และให้ ������ แทน “พจน”์ เช่น ลำดบั 2 , 4 , 6 , 8 , … สำมำรถเขยี นอกี แบบไดเ้ ป็น { (1, 2) , (2, 4) , (3, 6) , (4, 8) , … } หรอื เขียนเป็นแบบบอกเง่ือนไขไดเ้ ป็น { (������, ������) | ������ ∈ I+ ∧ ������ = 2������} ดงั นนั้ บำงทเี รำอำจกลำ่ ววำ่ “ลำดบั คอื ควำมสมั พนั ธท์ มี่ ีโดเมนเป็นจำนวนเต็มบวก” ก็ได้ แบบฝึกหดั 1. จงหำ 4 พจนแ์ รกของลำดบั ซง่ึ มสี ตู รพจนท์ ่วั ไปดงั ตอ่ ไปนี้ 1. ������������ = 2������ + 1 2. ������������ = 3������ − 1 3. ������������ = ������2 4. ������������ = (������ + 1)2 5. ������������ = 2������ 6. ������������ = 10������ 2. ลำดบั หนง่ึ มสี ตู รพจนท์ ่วั ไป คอื ������������ = 5������ − 3 จงหำวำ่ 32 เป็นพจนท์ เี่ ทำ่ ไรของลำดบั นี้ 3. ลำดบั หนง่ึ มีสตู รพจนท์ ่วั ไป คอื ������������ = 4������ + 3 จงหำวำ่ ลำดบั นี้ มีบำงพจนเ์ ทำ่ กบั 29 หรอื ไม่ 4. ถำ้ พจนส์ ดุ ทำ้ ยของลำดบั ������������ = 3������ + 2 มคี ำ่ 56 จงหำวำ่ ลำดบั นมี้ กี ่ีพจน์
ลำดบั และอนกุ รม 3 5. จงหำวำ่ พจนส์ ดุ ทำ้ ยทม่ี คี ำ่ นอ้ ยกวำ่ 100 ของลำดบั ������������ = 2������ + 5 คอื พจนท์ ี่เทำ่ ใด 6. ลำดบั หนง่ึ มีสตู รพจนท์ ่วั ไป คอื ������������ = ������(������ + 1) จงหำวำ่ ลำดบั นมี้ ีกี่พจนท์ ่ีมคี ำ่ นอ้ ยกวำ่ 110 7. จงหำวำ่ ลำดบั ������������ = 35 − 2������ มกี ี่พจนท์ มี่ ำกกวำ่ 0 8. จงหำวำ่ ใน 20 พจนแ์ รกของลำดบั ������������ = ������ + 2 มกี ี่พจนท์ เี่ ป็นเลขคู่ 9. จงหำวำ่ ใน 30 พจนแ์ รกของลำดบั ������������ = (−1)������ มีก่ีพจนท์ เ่ี ป็นจำนวนเต็มบวก
4 ลำดบั และอนกุ รม 10. จงหำวำ่ ใน 40 พจนแ์ รกของลำดบั ������������ = ������ + (−1)������ มีกี่พจนท์ เี่ ป็นเลขคู่ 11. จงหำสตู รพจนท์ ่วั ไปของลำดบั ตอ่ ไปนี้ 2. 3 , 3 , 3 , 3 , … 1. 1 , 2 , 3 , 4 , … 3. 1 , 4 , 9 , 16 , … 4. 4 , 9 , 16 , 25 , … 5. 2 , 4 , 8 , 16 , … 6. −1 , 1 , −1 , 1 , … 7. 10 , 100 , 1000 , 10000 , … 8. 9 , 99 , 999 , 9999 , … 12. ถำ้ ������������ = 2������−1 แลว้ ขอ้ ใด ผิด [O-NET 58/22] 3������−2 3 4 1. ������1 = 1 2. ������2 = 3. ������3 = 1 4. ������4 = 7 5. ������5 = 31 10 13
ลำดบั และอนกุ รม 5 13. ถำ้ ������������ = 2−(−1)������������ แลว้ ขอ้ ใดถกู [O-NET 57/19] 2������+3 2 1 4 1 11 7 1. ������1 = 5 2. ������2 = 7 3. ������3 = − 9 4. ������4 = 5. ������5 = 13 14. ใน 40 พจนแ์ รกของลำดบั ������������ = 3 + (−1)������ มกี ่ีพจน์ ท่ีมีคำ่ เทำ่ กบั พจนท์ ี่ 40 [O-NET 53/21] 15. พจนท์ ี่ 8 ของลำดบั 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , … เทำ่ กบั เทำ่ ใด [O-NET 59/20] 5 9 13 17 21
6 ลำดบั และอนกุ รม ลำดบั เลขคณติ ลำดบั เลขคณติ คอื ลำดบั ท่เี พมิ่ หรอื ลดอยำ่ งคงท่ี โดยกำรบวก 1 , 1.5 , 2 , 2.5 , 3 ตวั อยำ่ งลำดบั เลขคณิต เชน่ 5 , 8 , 11 , 14 , 17 1, 2, 1, 4, 5 , 2 4 , 1 , −2 , −5 , −8 33 33 แต่ 2 , 4 , 8 , 16 ไมเ่ ป็นลำดบั เลขคณิต เพรำะบวกเพิม่ ไมค่ งท่ี เรำเรยี กคำ่ คงท่ี ที่นำมำบวก วำ่ “ผลตำ่ งรว่ ม” ซง่ึ แทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ ������ เช่น 5 , 8 , 11 , 14 → ������ = 3 1,3,5,7 → ������ = 2 → ������ = 0 5 , 3 , 1 , −1 → ������ = −2 5,5,5,5 1, 3, 2, 5 → ������ = 1 22 2 จะเห็นวำ่ ถำ้ เอำสองพจนท์ ่อี ยตู่ ดิ กนั ในลำดบั เลขคณิต มำลบกนั (พจนข์ วำ ลบ พจนซ์ ำ้ ย) จะไดผ้ ลลพั ธเ์ ทำ่ กบั ������ เสมอ เชน่ ลำดบั เลขคณิต 5 , 8 , 11 , 14 , … จะเห็นวำ่ 8 − 5 = 11 − 8 = 14 − 11 = 3 = ������ ตวั อยำ่ ง ถำ้ ลำดบั ������ , 2������ − 1 , ������ + 8 เป็นลำดบั เลขคณติ แลว้ จงหำผลตำ่ งรว่ มของลำดบั นี้ วธิ ีทำ เนื่องจำกลำดบั นเี้ ป็นลำดบั เลขคณิต ดงั นนั้ พจนท์ ่ีอยตู่ ดิ กนั ลบกนั ตอ้ งเทำ่ กนั ทกุ คู่ จะได้ (2������ − 1) − (������) = (������ + 8) − (2������ − 1) 2������ − 1 − ������ = ������ + 8 − 2������ + 1 2������ = 10 ������ = 5 แทนคำ่ ������ ลงในลำดบั จะได้ 5 , 9 , 13 ดงั นนั้ ผลตำ่ งรว่ ม (������) = 9 − 5 = 4 # ตวั อยำ่ ง ลำดบั เลขคณิตชดุ หนง่ึ มีผลบวกและผลคณู ของสำมพจนแ์ รก เทำ่ กบั 9 และ 15 ตำมลำดบั จงหำสำมพจนแ์ รก ของลำดบั นี้ วิธีทำ ขอ้ นี้ เรำจะใชว้ ิธีสมมติ ������ สรำ้ งสมกำร แลว้ แกส้ มกำร ในโจทยป์ ระเภทนี้ เรำนยิ มใชเ้ ทคนคิ “สมมติให้ ������ แทนพจนก์ ลำง” เพอื่ ควำมสมดลุ ในกำรตดั เลข แตล่ ะพจนใ์ นลำดบั เลขคณิต ตอ้ งหำ่ งกนั ������ ดงั นนั้ จะไดส้ ำมพจนน์ ี้ คอื ������ − ������ , ������ , ������ + ������ สำมพจนแ์ รก บวกกนั ได้ 9 ดงั นนั้ (������ − ������) + (������) + (������ + ������) = 9 3������ = 9 ������ = 3 แทนคำ่ ������ จะได้ สำมพจนน์ ี้ คือ 3 − ������ , 3 , 3 + ������ สำมพจนน์ ี้ คณู กนั ได้ 15 ดงั นนั้ (3 − ������)(3)(3 + ������) = 15 9 − ������2 =5 4 = ������2 2 , −2 = ������ แทนคำ่ ������ = 2 จะได้ สำมพจนน์ ี้ คือ 1 , 3 , 5 ������ = −2 จะได้ สำมพจนน์ ี้ คอื 5 , 3 , 1 (มี 2 คำตอบ) #
ลำดบั และอนกุ รม 7 สตู รแรกทต่ี อ้ งจำใหข้ นึ้ ใจ คอื สตู รพจนท์ ่วั ไปของลำดบั เลขคณติ # # ������������ = ������1 + (������ − 1)������ ตวั อยำ่ ง จงหำพจนท์ ่ี 21 ของลำดบั เลขคณิต 100 , 97 , 94 , 91 , … , 10 และจงหำวำ่ ลำดบั นมี้ กี ี่พจน์ วิธีทำ จำกลำดบั ทีใ่ ห้ จะเหน็ วำ่ ������1 = 100 และ ������ = −3 ดงั นนั้ สตู รพจนท์ ่วั ไปของลำดบั นี้ คอื ������������ = 100 + (������ − 1)(−3) = 100 + −3������ + 3 = −3������ + 103 ดงั นนั้ พจนท์ ่ี 21 = ������21 = −3(21) + 103 = −63 + 103 = 40 และ ถำ้ ตอ้ งกำรหำวำ่ ลำดบั นมี้ กี ีพ่ จน์ ตอ้ งแกส้ มกำร 10 = −3������ + 103 3������ = 93 ������ = 31 ดงั นนั้ ลำดบั นมี้ ี 31 พจน์ ตวั อยำ่ ง ลำดบั เลขคณิตชดุ หนง่ึ มี ������4 = 20 และ ������10 = 38 จงหำสตู รพจนท์ ่วั ไปของลำดบั นี้ วิธีทำ จำกสตู ร ������������ = ������1 + (������ − 1)������ แทน ������ = 4 จะได้ ������4 = ������1 + (4 − 1)������ 20 = ������1 + 3������ (1) ������10 = ������1 + (10 − 1)������ แทน ������ = 10 จะได้ 38 = ������1 + 9������ (2) (2) − (1) : 38 − 20 = (������1 + 9������) − (������1 + 3������) 18 = ������1 + 9������ − ������1 − 3������ 18 = 6������ ������ = 3 แทน ������ = 3 ใน (1) 20 = ������1 + 3(3) ������1 = 20 − 9 = 11 ดงั นนั้ จะไดส้ ตู รพจนท์ ่วั ไปคือ ������������ = 11 + (������ − 1)(3) = 11 + 3������ − 3 = 8 + 3������ ตวั อยำ่ ง จงหำวำ่ ตงั้ แต่ 100 ถึง 500 มจี ำนวนทห่ี ำรดว้ ย 7 ลงตวั ทงั้ หมดก่ีจำนวน วิธีทำ ตวั แรกตงั้ แต่ 100 ขนึ้ ไป ท่หี ำรดว้ ย 7 ลงตวั คือ 105 ตวั ถดั ไปคือ 112 , 119 , 126 , … และตวั สดุ ทำ้ ยทหี่ ำรดว้ ย 7 ลงตวั คือ 497 คำตอบของขอ้ นี้ คือ “จำนวนพจน”์ ในลำดบั 105 , 112 , 119 , 126 , … , 497 จะเหน็ วำ่ ลำดบั นเี้ ป็นลำดบั เลขคณิต มี ������1 = 105 และ ������ = 7 ดงั นนั้ จะไดส้ ตู รพจนท์ ่วั ไปของลำดบั นี้ คอื ������������ = 105 + (������ − 1)(7) = 105 + 7������ − 7 = 98 + 7������
8 ลำดบั และอนกุ รม # เรำสำมำรถหำวำ่ ลำดบั นมี้ ีก่ีพจน์ โดยกำรหำวำ่ ตวั สดุ ทำ้ ยของลำดบั นี้ คอื พจนท์ เ่ี ทำ่ ไหร่ โดยกำรแทน ������������ ดว้ ย 497 แลว้ แกห้ ำคำ่ ������ : 497 = 98 + 7������ 399 = 7������ ������ = 399 = 57 7 จะไดว้ ำ่ 497 คือพจนท์ ี่ 57 ดงั นนั้ ลำดบั นมี้ ี 57 พจน์ น่นั คอื ตงั้ แต่ 100 ถึง 500 มีจำนวนทหี่ ำรดว้ ย 7 ลงตวั ทงั้ สนิ้ 57 จำนวน แบบฝึกหดั 1. จงพิจำรณำวำ่ ลำดบั ในขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ เป็นลำดบั เลขคณิต พรอ้ มทงั้ หำผลตำ่ งรว่ ม 1. 3 , 5 , 7 , 9 , … 2. 1 , 4 , 9 , 16 , … 3. 3 , 6 , 9 , 12 , … 4. 12 , 22 , 32 , 42 , … 5. 3 , 1 , −1 , −3 , … 6. −3 , 5 , −7 , 9 , … 7. 1 , 2 , 3 , 2 , 1 , 2 , 3 , … 8. 1 , 2 , 1 , 4 , … 9. 2 , 4 , 8 , 16 , … 33 3 10. 1 , 1 , 3 , 3 , 5 , 5 , … 11. ������ , ������ + 2 , ������ + 4 , … 12. ������ , 2������ , 3������ , 4������ , … 2. ถำ้ ลำดบั ������ + 1 , 2������ + 1 , 4������ − 2 เป็นลำดบั เลขคณิตแลว้ จงหำคำ่ ������
ลำดบั และอนกุ รม 9 3. ลำดบั เลขคณิตชดุ หนง่ึ มีผลบวก 3 พจนแ์ รก เทำ่ กบั 3 และผลคณู 2 พจนแ์ รก เทำ่ กบั −2 จงหำผลตำ่ งรว่ ม 4. ลำดบั เลขคณิตชดุ หนงึ่ มีผลบวก 5 พจนแ์ รก เทำ่ กบั 20 ถำ้ พจนท์ ี่สี่ มำกกวำ่ พจนท์ ีส่ อง อยู่ 6 จงหำพจนท์ ่ี 4 5. จงหำสตู รพจนท์ ่วั ไปของลำดบั เลขคณิต 3 , 5 , 7 , 9 , … 6. จงหำสตู รพจนท์ ่วั ไปของลำดบั เลขคณิต 3 , 5 , 2 , 3 , … 22 7. จงหำสตู รพจนท์ ่วั ไปของลำดบั เลขคณิต 1 , 1 , 1 , … 632
10 ลำดบั และอนกุ รม 8. จงหำพจนท์ ่ี 30 ของลำดบั 1 , 4 , 7 , 10 , … 9. จงหำวำ่ ลำดบั 2 , 6 , 10 , … , 42 มกี ี่พจน์ 10. จงหำวำ่ ลำดบั 100 , 97 , 94 , 91 , … มีก่ีพจน์ ที่เป็นจำนวนเต็มบวก 11. ลำดบั เลขคณติ ชดุ หนง่ึ มี ������1 = 5 และ ������5 = 13 จงหำสตู รพจนท์ ่วั ไปของลำดบั นี้ 12. ลำดบั เลขคณติ ชดุ หนง่ึ มี ������3 = 11 และ ������8 = 21 จงหำสตู รพจนท์ ่วั ไปของลำดบั นี้
ลำดบั และอนกุ รม 11 13. ลำดบั เลขคณิตชดุ หนงึ่ มี ������2 = 1 และ ������5 = 10 จงหำคำ่ ของ ������8 14. ลำดบั เลขคณติ ชดุ หนงึ่ มี ������5 − ������2 = 30 จงหำคำ่ ผลตำ่ งรว่ ม 15. ลำดบั เลขคณติ ชดุ หนง่ึ มี ������15 − ������4 = 22 ถำ้ ������10 = 21 จงหำสตู รพจนท์ ่วั ไปของลำดบั ชดุ นี้ 16. จงหำวำ่ ระหวำ่ ง 200 กบั 300 มีกี่จำนวนที่ 2. หำรดว้ ย 5 ลงตวั 1. หำรดว้ ย 3 ลงตวั
12 ลำดบั และอนกุ รม 4. หำรดว้ ย 3 หรอื 5 ลงตวั 3. หำรดว้ ย 3 และ 5 ลงตวั 5. หำรดว้ ย 3 ไมล่ งตวั 6. หำรดว้ ย 5 เหลอื เศษ 2 17. จงหำวำ่ ตงั้ แต่ 150 ถึง 450 มีจำนวนที่หลกั หนว่ ยลงทำ้ ยดว้ ย 8 ทงั้ หมดก่ีจำนวน 18. นำยดำกเู้ งินมำจำนวนหนง่ึ โดยจำ่ ยคนื เดือนแรก 200 บำท และในเดือนถดั ไป นำยดำตอ้ งจำ่ ยเพ่ิมขนึ้ ทกุ ๆเดือน โดยจะตอ้ งจำ่ ยคืนมำกขนึ้ เดอื นละ 50 บำท หลงั จำกชำระหมด พบวำ่ ในเดือนสดุ ทำ้ ย นำยดำจำ่ ยคืน 950 บำท จง หำวำ่ นำยดำ จำ่ ยเงินคืนทงั้ สนิ้ กีเ่ ดอื น
ลำดบั และอนกุ รม 13 19. นำย ก มีเงินในกระปกุ 20 บำท และจะหยอดกระปกุ วนั ละ 3 บำททกุ ๆวนั นำย ข มเี งินในธนำคำร 300 บำท และ จะฝำกเพมิ่ วนั ละ 20 บำททกุ ๆวนั ในวนั ท่ี นำย ก มเี งินในกระปกุ 44 บำท นำย ข จะมเี งินในธนำคำรเทำ่ ไร 20. ลำดบั เลขคณติ ในขอ้ ใดตอ่ ไปนมี้ บี ำงพจนเ์ ทำ่ กบั 40 [O-NET 52/17] 1. ������������ = 1 − 2������ 2. ������������ = 1 + 2������ 3. ������������ = 2 − 2������ 4. ������������ = 2 + 2������ 21. กำหนดให้ 3 , 1 , 1 , … เป็นลำดบั เลขคณิต ผลบวกของพจนท์ ่ี 40 และ พจนท์ ่ี 42 เทำ่ กบั เทำ่ ใด 22 [O-NET 53/20] 22. พจนท์ ี่ 31 ของลำดบั เลขคณิต − 1 , − 1 , − 1 , … เทำ่ กบั เทำ่ ใด [O-NET 51/13] 20 30 60
14 ลำดบั และอนกุ รม 23. ลำดบั –24 , –15 , –6 , 3 , 12 , 21 , … , 1776 มีกี่พจน์ [O-NET 56/21] 24. กำหนดให้ ������ เป็นจำนวนจรงิ ถำ้ 5 − 7������ , 3������ + 28 , 5������ + 27 , … , 2������3 − 3������ + 1 เป็นลำดบั เลขคณิต แลว้ ลำดบั นมี้ กี ่ีพจน์ [O-NET 57/21] 25. ให้ ������1 , ������2 , ������3 , … เป็นลำดบั เลขคณติ ถำ้ ������4 = 5������1 และ ������10 = 39 แลว้ ������1 เทำ่ กบั เทำ่ ใด [O-NET 59/21] 26. ถำ้ พจนท์ ี่ 5 และ พจนท์ ี่ 10 ของลำดบั เลขคณิตเป็น 14 และ 29 ตำมลำดบั แลว้ พจนท์ ี่ 99 เทำ่ กบั เทำ่ ใด [O-NET 56/20]
ลำดบั และอนกุ รม 15 27. ถำ้ ������1, ������2, ������3, … เป็นลำดบั เลขคณิต ซงึ่ ������30 − ������10 = 30 แลว้ ผลตำ่ งรว่ มของลำดบั เลขคณิตนี้ มคี ำ่ เทำ่ กบั เทำ่ ใด [O-NET 50/12] 28. ถำ้ ผลบวกและผลคณู ของสำมพจนแ์ รกของลำดบั เลขคณิตท่มี ี ������ เป็นผลตำ่ งรว่ ม เทำ่ กบั 15 และ 80 ตำมลำดบั แลว้ ������2 มคี ำ่ เทำ่ กบั เทำ่ ใด [O-NET 49/1-12] 29. ลำดบั เลขคณิต −43, −34, −25, … มพี จนท์ ม่ี ีคำ่ นอ้ ยกวำ่ 300 อยกู่ ่ีพจน์ [O-NET 54/31] 30. ปำ้ จ๊เุ รมิ่ ขำยขนมครกในวนั ที่ 3 มกรำคม ในวนั แรกขำยไดก้ ำไร 100 บำท และในวนั ตอ่ ๆไปจะขำยไดก้ ำไรเพม่ิ ขนึ้ จำกวนั กอ่ นหนำ้ วนั ละ 10 บำททกุ วนั จงหำวนั ท่ีของเดอื นมกรำคมทปี่ ำ้ จ๊ขุ ำยไดก้ ำไรเฉพำะในวนั นนั้ 340 บำท [O-NET 49/1-11]
16 ลำดบั และอนกุ รม ตวั กลำงเลขคณิต “ตวั กลำงเลขคณิต” ระหวำ่ ง ������ กบั ������ หำไดจ้ ำกสตู ร ������+������ 2 จะเห็นวำ่ ถำ้ ������ เป็นตวั กลำงเลขคณิตระหวำ่ ง ������ กบั ������ แลว้ จะไดว้ ำ่ ลำดบั ������ , ������ , ������ เป็นลำดบั เลขคณติ เสมอ เช่น ตวั กลำงเลขคณิต ระหวำ่ ง 23 กบั 91 คือ ซงึ จะเหน็ วำ่ 23 , 57 , 91 เรยี งกนั เป็นลำดบั เลขคณิต ท่ีมีผลตำ่ งรว่ ม คือ 34 ตวั กลำงเลขคณิต “������ จำนวน” ระหวำ่ ง ������ กบั ������ คอื ตวั เลข ������ ตวั ที่แทรกระหวำ่ ง ������ กบั ������ แลว้ ไดล้ ำดบั เลขคณิต โดยแตล่ ะคทู่ ่ีอยตู่ ดิ กนั จะมผี ลตำ่ งรว่ ม ������ = ������−������ ������+1 เชน่ ถำ้ จะหำตวั กลำงเลขคณิต 3 จำนวน ระหวำ่ ง 23 กบั 91 จะไดแ้ ตล่ ะตวั ตำ่ งกนั ������ = 91−23 = 17 3+1 ดงั นนั้ ตวั กลำงเลขคณิต 3 จำนวน ระหวำ่ ง 23 กบั 91 คอื 40 , 57 , 74 ซงึ่ จะเหน็ วำ่ 23 , 40 , 57 , 74 , 91 เป็นลำดบั เลขคณิต ทมี่ ผี ลตำ่ งรว่ ม คือ 17 แบบฝึกหดั 1. จงหำตวั กลำงเลขคณิต ระหวำ่ ง 12 และ 38 2. จงหำตวั กลำงเลขคณิต ระหวำ่ ง −3 และ 9 3. ถำ้ ตวั กลำงเลขคณิตระหวำ่ ง 2 กบั ������ คอื 13 แลว้ จงหำคำ่ ������ 4. จำนวนคหู่ นงึ่ มตี วั กลำงเลขคณิตคอื 10 ถำ้ จำนวนคนู่ หี้ ำ่ งกนั 6 แลว้ จงหำจำนวนคนู่ ี้
ลำดบั และอนกุ รม 17 5. จงหำตวั กลำงเลขคณิต 4 จำนวน ระหวำ่ ง 17 กบั 32 6. จงหำตวั กลำงเลขคณิต 3 จำนวน ระหวำ่ ง 1 กบั 25 7. จงหำตวั กลำงเลขคณิต 4 จำนวน ระหวำ่ ง −8 กบั 17 8. ถำ้ ตวั กลำงเลขคณิต 2 จำนวน ระหวำ่ ง ������ และ ������ คอื 12 และ 20 แลว้ จงหำ ������ และ ������
18 ลำดบั และอนกุ รม ลำดบั เรขำคณิต ในหวั ขอ้ ที่แลว้ เรำเรยี นลำดบั เลขคณิต ซง่ึ เป็นลำดบั ทเ่ี พ่มิ หรอื ลด อยำ่ งคงที่ โดยกำร “บวก” ในหวั ขอ้ นี้ จะพดู ถงึ ลำดบั เรขำคณิต ซง่ึ เป็นลำดบั ทเี่ พม่ิ หรอื ลด อยำ่ งคงท่ี โดยกำร “คณู ” ตวั อยำ่ งลำดบั เรขำคณิต เช่น 2 , 6 , 18 , 54 3 , −6 , 12 , −24 10 , 5 , 5 , 5 , … 2 4 แต่ 1 , 4 , 9 , 16 ไมใ่ ช่ลำดบั เรขำคณิต เพรำะคณู เพมิ่ ไมค่ งที่ เรำเรยี กคำ่ คงท่ี ที่นำมำคณู วำ่ “อตั รำสว่ นรว่ ม” ซง่ึ แทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ ������ เช่น 2 , 6 , 18 , 54 → ������ = 3 3 , −6 , 12 , −24 → ������ = −2 5, 5, 5, 5 → ������ = 1 10, 5, 5 , 5 → ������ = 1 2 4 2 1, √2 , 2 , 2√2 → ������ = √2 จะเหน็ วำ่ ถำ้ เอำสองพจนท์ อ่ี ยตู่ ดิ กนั ในลำดบั เรขำคณิต มำหำรกนั โดยเอำพจนข์ วำเป็นตวั ตงั้ หำรดว้ ย พจนซ์ ำ้ ยท่อี ยตู่ ดิ กนั จะไดผ้ ลลพั ธเ์ ทำ่ กบั ������ เสมอ เชน่ ในลำดบั เรขำคณิต 2 , 6 , 18 , 54 , … จะเห็นวำ่ 6 = 18 = 54 = 3 = ������ 2 6 18 ตวั อยำ่ ง ปัจจบุ นั คนสำมคน มีอำยุ 5 , 17 , 47 ปี จงหำวำ่ อีกกี่ปี อำยขุ องคนทงั้ สำมจงึ จะเรยี งเป็นลำดบั เรขำคณิต วิธีทำ เม่ือผำ่ นไป ������ ปี อำยขุ องคนทงั้ สำม จะกลำยเป็น 5 + ������ , 17 + ������ , 47 + ������ ปี ตำมลำดบั ลำดบั นจี้ ะเป็นลำดบั เรขำคณติ เมอื่ 17+������ = 47+������ 5+������ 17+������ (17 + ������)(17 + ������) = (47 + ������)(5 + ������) 289 + 34������ + ������2 = 235 + 52������ + ������2 54 = 18������ 3 = ������ น่นั คอื อีก 3 ปี อำยขุ องคนทงั้ สำมจงึ จะเรยี งเป็นลำดบั เรขำคณิต # ตวั อยำ่ ง ลำดบั เรขำคณิตชดุ หนง่ึ มผี ลบวกและผลคณู ของสำมพจนแ์ รก เทำ่ กบั 13 และ 27 ตำมลำดบั จงหำสำมพจน์ แรกของลำดบั นี้ วธิ ีทำ ขอ้ นี้ เรำจะใชว้ ิธีสมมติ ������ สรำ้ งสมกำร แลว้ แกส้ มกำร ในโจทยป์ ระเภทนี้ เรำนยิ มใชเ้ ทคนคิ “สมมติให้ ������ แทนพจนก์ ลำง” เพื่อควำมสมดลุ ในกำรตดั เลข แตล่ ะพจนใ์ นลำดบั เรขำคณติ ตอ้ งหำ่ งกนั เป็นทวีคณู ของ ������ ดงั นนั้ จะไดส้ ำมพจนน์ ี้ คอื ������ , ������ , ������������ ������ สำมพจนแ์ รก คณู กนั ได้ 27 ดงั นนั้ (������������) (������)(������������) = 27 ������3 = 27 ������ = 3 แทนคำ่ ������ จะได้ สำมพจนน์ ี้ คอื 3 , 3 , 3������ ������
ลำดบั และอนกุ รม 19 สำมพจนน์ ี้ บวกกนั ได้ 13 ดงั นนั้ 3 + 3 + 3������ = 13 # # ������ = 13������ =0 # 3 + 3������ + 3������2 =0 3������2 − 10������ + 3 = 3, 1 (������ − 3)(3������ − 1) 3 ������ แทนคำ่ ������ = 3 จะได้ สำมพจนน์ ี้ คือ 1 , 3 , 9 ������ = 1 จะได้ สำมพจนน์ ี้ คอื 9 , 3 , 1 (มี 2 คำตอบ) 3 สตู รถดั มำท่ีตอ้ งจำใหข้ นึ้ ใจ คือ สตู รพจนท์ ่วั ไปของลำดบั เรขำคณิต ������������ = ������1������������−1 ตวั อยำ่ ง จงหำพจนท์ ่ี 10 ของลำดบั เรขำคณติ 1 , √2 , 2 , 2√2 , … วธิ ีทำ จะเหน็ วำ่ ลำดบั นมี้ ี ������1= 1 และ ������ = √2 ดงั นนั้ สตู รพจนท์ ่วั ไป คอื ������������ = (1)∙ (√2)������−1 ดงั นนั้ พจนท์ ่ี 10 = ������10 = (1)∙ (√2)10−1 = (√2)9 = 16√2 ตวั อยำ่ ง ลำดบั เรขำคณิตชดุ หนงึ่ มี ������3 = 2 และ ������7 = 2592 จงหำสตู รพจนท์ ่วั ไปของลำดบั นี้ วิธีทำ จำกสตู ร ������������ = ������1������������−1 แทน ������ = 3 จะได้ ������3 = ������1������3−1 (1) 2 = ������1������2 แทน ������ = 7 จะได้ ������7 = ������1������7−1 (2) 2592 = ������1������6 (2) ÷ (1) : 2592 = ������1������6 2 ������1������2 1296 = ������4 ±4√1296 = ������ 8 ) 1296 1296 = 8 × 9 × 9 × 2 9 ) 162 = 23 × 32 × 32 × 2 9 ) 18 = 24 × 34 2 4√1296 = 4√24 × 34 = 2×3 = 6 ±6 = ������ แทน ������ = ±6 ใน (1) : 2 = ������1(±6)2 ดงั นนั้ สตู รพจนท์ ่วั ไป คอื ������1 = 2 = 1 36 18 ������������ = 1 ∙ 6������−1 กบั ������������ = 1 ∙ (−6)������−1 (สองคำตอบ) 18 18
20 ลำดบั และอนกุ รม ตวั อยำ่ ง ลกู บอลตกจำกท่ีสงู 6400 เมตร เมื่อตกถึงพนื้ ลกู บอลจะกระดอนกลบั ขนึ้ ไปไดส้ งู เป็นครงึ่ หนงึ่ ของควำมสงู ทต่ี ก ลงมำเสมอ ถำ้ ปลอ่ ยใหล้ กู บอลกระดอนตอ่ ไปเรอื่ ยๆ จงหำวำ่ หลงั จำกกำรตกถงึ พนื้ ครงั้ ท่ี 10 ลกู บอล จะ กระดอนกลบั ขนึ้ ไปไดส้ งู เทำ่ ไหร่ วธิ ีทำ ในกำรกระดอนครงั้ แรก ลกู บอลจะขนึ้ ไปไดส้ งู 3200 เมตร ในกำรกระดอนครงั้ ท่สี อง ลกู บอลจะขนึ้ ไปไดส้ งู 1600 เมตร ในกำรกระดอนครงั้ ที่สำม ลกู บอลจะขนึ้ ไปไดส้ งู 800 เมตร จะเหน็ วำ่ ควำมสงู ของลกู บอลกระดอนกลบั เรยี งกนั เป็นลำดบั เรขำคณิต ทม่ี ี ������1 = 3200 และ ������ = 1 2 3200∙ (1)������−1 จะไดส้ ตู รพจนท์ ่วั ไปของลำดบั นี้ คือ ������������ = 2 ดงั นนั้ ครงั้ ท่ี 10 ลกู บอลจะกระดอนสงู = 3200∙ (21)10−1 = 3200 = 6.25 เมตร # 29 แบบฝึกหดั 1. จงพจิ ำรณำวำ่ ลำดบั ในขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ เป็นลำดบั เรขำคณิต พรอ้ มทงั้ หำอตั รำสว่ นรว่ ม 1. 2 , 4 , 6 , 8 , … 2. 1 , 4 , 16 , 64 , … 3. 1 , 10 , 100 , 1000 , … 4. 625 , 125 , 25 , 5 , … 5. 0.8 , 0.08 , 0.008 , … 6. 5 , 5 , 5 , 5 , … 7. √1 , √2 , √3 , √4 , … 8. 1 , −1 , 1 , −1 , … 9. 24 , 8 , 8 , 8 , … 10. 3 , 3√3 , 9 , 9√3 39 12. 8 , −4√2 , 4 , −2√2 11. 81 , −27 , 9 , −3 13. ������ , 2������ , 3������ , 4������ , … 14. ������ , ������2 , ������3 , ������4 , … เมอ่ื ������ ≠ 0 2. จงหำสตู รพจนท์ ่วั ไปของลำดบั ตอ่ ไปนี้ 2. 48 , 24 , 12 , … 1. 5 , 15 , 45 , … 4. 1, − 1 , 1 , − 1 , … 3. 2 , 2√2 , 4 , 4√2 , … 2 4 8
ลำดบั และอนกุ รม 21 3. จงหำพจนท์ ี่ 7 ของลำดบั 2 , 4 , 8 , … 4. กำหนดลำดบั 162 , −54 , 18 , … จงหำคำ่ ของ ������7 5. กำหนดลำดบั 1, 1, 1, 1, … จงหำคำ่ ของ ������10 27 9√3 9 3√3 6. จงหำวำ่ 243 เป็นพจนท์ ีเ่ ทำ่ ไร ของลำดบั 1 , √3 , 3 , … 7. จงหำวำ่ ลำดบั 5 , 5√2 , 10 , … , 40 มีกี่พจน์ 8. ลำดบั เรขำคณิตชดุ หนง่ึ มผี ลบวกและผลคณู ของสำมพจนแ์ รก เทำ่ กบั 6 และ −64 ตำมลำดบั จงหำสำมพจนแ์ รก ของลำดบั นี้
22 ลำดบั และอนกุ รม 9. ถำ้ ลำดบั ������ − 1 , ������ + 3 , 2������ เป็นลำดบั เรขำคณิต แลว้ จงหำคำ่ ������ 10. เดก็ 3 คน มีอำยุ 1 , 5 และ 13 ปี จงหำวำ่ อกี ก่ีปี อำยขุ องเดก็ ทงั้ สำมจึงจะเรยี งกนั เป็นลำดบั เรขำคณิต 11. ลำดบั เรขำคณิตชดุ หนงึ่ มี ������5 = 24 และ ������7 = 96 จงหำ ������ 12. ลำดบั เรขำคณิตชดุ หนงึ่ มี ������1 = 2 และ ������3 = 50 จงหำสตู รพจนท์ ่วั ไป 13. ลำดบั เรขำคณิตชดุ หนง่ึ มี พจนท์ ่ี 10 มคี ำ่ เป็น 9 เทำ่ ของพจนท์ ่ี 6 ถำ้ ������3 = 3 แลว้ จงหำ ������5
ลำดบั และอนกุ รม 23 14. ลำดบั เรขำคณิตชดุ หนงึ่ มี ������4 = 24 และ ������7 = −192 จงหำสตู รพจนท์ ่วั ไป 15. ลำดบั เรขำคณิตชดุ หนงึ่ มี ������2 = 15 และ ������7 = 3645 จงหำสตู รพจนท์ ่วั ไป 16. เลยี้ งแบคทเี รยี ชนดิ หนงึ่ ไว้ 10 ตวั พบวำ่ เมื่อใหอ้ ำหำร แบคทีเรยี จะเพมิ่ จำนวนเป็น 2 เทำ่ ทกุ ๆนำที (เช่น นำทที ี่ 1 เพ่ิมเป็น 20 ตวั , นำทที ่ี 2 เพ่มิ เป็น 40 ตวั , นำทที ่ี 3 เพมิ่ เป็น 80 ตวั ) จงหำสตู รสำหรบั คำนวณจำนวนแบคทเี รยี เมอ่ื เวลำผำ่ นไป ������ นำที พรอ้ มทงั้ หำจำนวนแบคทเี รยี เมอ่ื เวลำผำ่ นไป 5 นำที 17. ลกู เหมน็ กอ้ นหนง่ึ หนกั 1000 กรมั พบวำ่ ลกู เหมน็ จะระเหดิ เลก็ ลง 10% ทกุ ๆ 1 นำที (เชน่ นำทที ่ี 1 เหลอื 900 กรมั , นำทที ่ี 2 เหลอื 810 กรมั , นำทีท่ี 3 เหลอื 729 กรมั เป็นตน้ ) จงหำสตู รสำหรบั คำนวณนำ้ หนกั ของลกู เหม็น หลงั ผำ่ นไป ������ นำที
24 ลำดบั และอนกุ รม 18. เลยี้ งไวรสั ชนดิ หนง่ึ ไว้ 1000 ตวั พบวำ่ เม่อื ใหอ้ ำหำร ไวรสั จะเพิ่มจำนวนขนึ้ 10% ทกุ ๆนำที (เช่น นำทีที่ 1 เพ่ิมเป็น 1100 ตวั , นำทีท่ี 2 เพม่ิ เป็น 1210 ตวั , นำทที ี่ 3 เพ่มิ เป็น 1331 ตวั ) จงหำสตู รสำหรบั คำนวณจำนวนไวรสั เมือ่ เวลำผำ่ นไป ������ นำที 19. ฝำกเงิน 1000 บำท กบั ธนำคำรแหง่ หนง่ึ ซงึ่ ใหด้ อกเบยี้ 10% ตอ่ ปีแบบทบตน้ จงหำสตู รสำหรบั คำนวนจำนวนเงิน ฝำกเม่อื เวลำผำ่ นไป ������ ปี 20. ลำดบั เรขำคณิตในขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ มีอตั รำสว่ นรว่ มอยใู่ นชว่ ง (0.3, 0.5) [O-NET 49/1-8] 1. 3, 5 , 25 , … 2. 2, 4 , 8 , … 4 48 3 9 9 16 3. 4, 3, 4 , … 4. 5, 4, 5 , … 21. ลำดบั ในขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ เป็นลำดบั เรขำคณิต [O-NET 50/13] 1. ������������ = 2������ ∙ 32������ 3. ������������ = 3������2 2. ������������ = 2������ + 4������ 4. ������������ = (2������)������
ลำดบั และอนกุ รม 25 22. กำหนดให้ ������1, ������2, ������3 เป็นลำดบั เรขำคณติ โดยที่ ������1 = 2 และ ������3 = 200 4. 100 ถำ้ ������2 คือคำ่ ในขอ้ ใดตอ่ ไปนแี้ ลว้ ขอ้ ดงั กลำ่ วคอื ขอ้ ใด [O-NET 52/18] 1. −20 2. −50 3. 60 23. พจนท์ ี่ 10 ของลำดบั เรขำคณิต √3 , √6 , … ตรงกบั เทำ่ ใด [O-NET 57/24] 24. พจนท์ ี่ 16 ของลำดบั เรขำคณิต 1 , 1 , 1 , … เทำ่ กบั เทำ่ ใด [O-NET 50/31] 625 125√5 125 25. ถำ้ พจนท์ ่ี 4 และพจนท์ ี่ 7 ของลำดบั เรขำคณิตเป็น 54 และ 1458 ตำมลำดบั แลว้ พจนแ์ รกเทำ่ กบั เทำ่ ใด [O-NET 56/38] 26. ถำ้ พจนท์ ี่ 5 และ พจนท์ ่ี 8 ของลำดบั เรขำคณิตเป็น 1 และ − 1 ตำมลำดบั แลว้ พจนท์ ี่ 4 เทำ่ กบั เทำ่ ใด 2 16 [O-NET 57/23]
26 ลำดบั และอนกุ รม 27. ลำดบั เรขำคณิตลำดบั หนงึ่ มผี ลบวกและผลคณู ของ 3 พจนแ์ รกเป็น 13 และ 27 ตำมลำดบั ถำ้ ������ เป็นอตั รำสว่ นรว่ ม ของลำดบั นแี้ ลว้ ������ + 1 มีคำ่ เทำ่ กบั เทำ่ ใด [O-NET 54/16] ������ 28. ถำ้ ������1, ������2, ������3, … เป็นลำดบั เลขคณิตและผลตำ่ งรว่ มไมเ่ ป็นศนู ย์ แลว้ ขอ้ ใดผิด [O-NET 57/20] 1. |������10 − ������11| = |������21 − ������20| 2. ������9 + ������14 = ������11 + ������12 3. ������15−������12 = 1 ������7−������4 4. ถำ้ ������������ = ������������ − 5 ทกุ ๆ ������ แลว้ ������1, ������2, ������3, … เป็นลำดบั เลขคณิต 5. ถำ้ ������������ = 5������������������ ทกุ ๆ ������ แลว้ ������1, ������2, ������3, … เป็นลำดบั เรขำคณิต 29. ถำ้ ������1 , ������2 , ������3 , … เป็นลำดบั เรขำคณิต แลว้ ขอ้ ใด ผิด [O-NET 58/21] 1. 5������1 , 5������2 , 5������3 , … เป็นลำดบั เรขำคณิต 2. ������12 , ������22 , ������32 , … เป็นลำดบั เรขำคณิต 3. ������1 , ������22 , ������33 , … เป็นลำดบั เรขำคณิต 4. ������1������2 , ������2������3 , ������3������4 , … เป็นลำดบั เรขำคณติ 5. ������1 , ������2 , ������3 , … เป็นลำดบั เรขำคณิต ������2 ������3 ������4 30. กำหนดให้ ������1, ������2, ������3, … เป็นลำดบั เรขำคณติ [O-NET 51/28] จงพิจำรณำวำ่ ลำดบั ในขอ้ ใดตอ่ ไปนเี้ ป็นลำดบั เรขำคณิต 1. ������1 + ������3, ������2 + ������4, ������3 + ������5, … 2. ������1������2, ������2������3, ������3������4, … 3. 1 , 1 , 1 , … ������1 ������2 ������3
ลำดบั และอนกุ รม 27 31. พิจำรณำลำดบั ของรูปสเี่ หลย่ี มจตั รุ สั ที่มดี ำ้ นยำวดำ้ นละ 1 หนว่ ยตอ่ ไปนี้ 11 1 1 รูปท่ี 1 , รูปที่ 2 , รูปท่ี 3 , รูปที่ 4 , … พนื้ ทขี่ องบรเิ วณแรเงำในรูปท่ี 10 มีคำ่ เทำ่ กบั ก่ีตำรำงหนว่ ย [O-NET 58/25] 32. กำหนดให้ ������ , ������������ , ������������2 , … , ������������������−1 เป็นลำดบั เรขำคณิตท่มี ี ������ พจน์ ซงึ่ ผลรวมของ 3 พจนส์ ดุ ทำ้ ยเป็น 4 เทำ่ ของผลรวมของ 3 พจนแ์ รก ถำ้ พจนท์ ่ี 3 คือ 22 แลว้ พจนส์ ดุ ทำ้ ยมคี ำ่ เทำ่ ใด [O-NET 59/22] 33. บรษิ ัทแหง่ หนงึ่ ซือ้ เครอ่ื งจกั รมำในรำคำ ������ บำท คดิ คำ่ เสอ่ื มรำคำคงท่ี 15% ตอ่ ปี กลำ่ วคอื รำคำเครอ่ื งจกั รจะลดลง 15% ของมลู คำ่ คงเหลอื ในแตล่ ะปีทกุ ปี ถำ้ ใชเ้ ครอื่ งจกั รผำ่ นไป ������ ปี แลว้ มลู คำ่ คงเหลอื ของเครอ่ื งจกั รนเี้ ทำ่ กบั เทำ่ ใด [O-NET 59/23]
28 ลำดบั และอนกุ รม ตวั กลำงเรขำคณิต ตวั กลำงเรขำคณติ ระหวำ่ ง ������ กบั ������ หำไดจ้ ำกสตู ร ±√������������ ซง่ึ ถำ้ ������ เป็นตวั กลำงเรขำคณิตระหวำ่ ง ������ กบั ������ แลว้ จะไดว้ ำ่ ลำดบั ������ , ������ , ������ เป็นลำดบั เรขำคณิตเสมอ เช่น ตวั กลำงเรขำคณติ ระหวำ่ ง 7 กบั 175 คอื ±√7 ∙ 175 = ±√7 ∙ 175 = ±√7 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 7 = ±35 ซงึ่ จะเหน็ วำ่ 7 , ±35 , 175 เรยี งกนั เป็นลำดบั เรขำคณิต ท่ีมอี ตั รำสว่ นรว่ ม คือ 5 และ −5 ตวั กลำงเรขำคณิต ������ จำนวน ระหวำ่ ง ������ กบั ������ คือ ตวั เลข ������ จำนวน ทแ่ี ทรกระหวำ่ ง ������ กบั ������ แลว้ ไดล้ ำดบั เรขำคณิต โดยลำดบั เรขำคณติ ดงั กลำ่ ว จะมีอตั รำสว่ นรว่ มสอดคลอ้ งกบั สมกำร ������������+1 = ������ ������ สงิ่ ทตี่ อ้ งระวงั ในกำรแกส้ มกำรหำ ������ คือ ถำ้ ������ + 1 เป็นเลขคู่ จะหำ ������ ไดเ้ ฉพำะกรณีที่ ������ ≥ 0 เทำ่ นนั้ ������ และ ถำ้ ������ + 1 เป็นเลขคู่ คำ่ ������ จะเป็นไดท้ งั้ บวกและลบ (เพรำะ บวก หรอื ลบ ยกกำลงั คู่ ก็ไดบ้ วกเทำ่ กนั ) ตวั อยำ่ ง จงหำตวั กลำงเรขำคณิต 5 จำนวน ระหวำ่ ง 4 กบั 108 # วธิ ีทำ ตอ้ งหำจำนวน 5 จำนวน ทแี่ ทรกระหวำ่ ง 4 กบั 108 แลว้ ไดล้ ำดบั เรขำคณติ กอ่ นอื่น หำ ������ โดยแกส้ มกำร ������5+1 = 108 4 ������6 = 27 ������6 = 33 ������ = ±6√33 = ±3(36) = ±3(21) = ±√3 ดงั นนั้ ตวั กลำง 5 จำนวนนนั้ คอื 4 , 4√3 , 12 , 12√3 , 36 , 36√3 , 108 หรอื 4 , −4√3 , 12 , −12√3 , 36 , −36√3 , 108 ก็ได้ แบบฝึกหดั 2. −5 และ −20 1. จงหำตวั กลำงเรขำคณิตระหวำ่ งจำนวนตอ่ ไปนี้ 1. 4 และ 36 3. 15 และ 45 4. ������ และ ������5 2. ถำ้ ตวั กลำงเรขำคณิต ระหวำ่ ง 3 กบั ������ คือ ±15 แลว้ จงหำคำ่ ������
ลำดบั และอนกุ รม 29 3. จำนวนคหู่ นง่ึ มตี วั กลำงเรขำคณิตคือ ±10 ถำ้ จำนวนคนู่ หี้ ำรกนั ได้ 4 แลว้ จงหำจำนวนคนู่ ี้ 4. จงหำตวั กลำงเรขำคณิต 2 จำนวน ระหวำ่ ง 6 กบั 48 5. จงหำตวั กลำงเรขำคณิต 2 จำนวน ระหวำ่ ง 8 และ 27 6. จงหำตวั กลำงเรขำคณิต 3 จำนวน ระหวำ่ ง −5 กบั −405 7. จงหำตวั กลำงเรขำคณิต 4 จำนวน ระหวำ่ ง 3 กบั 384√2
30 ลำดบั และอนกุ รม 8. ถำ้ ตวั กลำงเรขำคณิต 3 จำนวน ระหวำ่ ง ������ และ ������ คือ 2 , 4 , 8 แลว้ จงหำ ������ และ ������ 9. ถำ้ ตวั กลำงเรขำคณติ 2 จำนวน ระหวำ่ ง ������ และ ������ คือ 6 และ 9 แลว้ จงหำ ������ และ ������
ลำดบั และอนกุ รม 31 ลำดบั เวยี นเกิด ในหวั ขอ้ กอ่ นหนำ้ เรำไดร้ ูจ้ กั คำวำ่ “สตู รพจนท์ ่วั ไป” ไปแลว้ สตู รพจนท์ ่วั ไป คือ สตู รทใี่ ชค้ ำนวณพจนไ์ หนก็ได้ โดยแทน ������ ในสตู รดว้ ยเลขพจนท์ เี่ รำตอ้ งกำร ตวั อยำ่ งสตู รพจนท์ ่วั ไป เช่น ������������ = ������2 + 1 , ������������ = 3 − 4������ , ������������ = (������ + 1)(2������ + 1) เป็นตน้ อยำ่ งไรก็ตำม มสี ตู รพจนท์ ่วั ไปอกี แบบหนง่ึ ทีต่ วั สตู ร “ตอ้ งใชพ้ จนก์ ่อนหนำ้ ในกำรคำนวณ” เชน่ ������������ = ������������−1 + 1 → จะหำคำ่ ������������ ได้ ตอ้ งรูค้ ำ่ ������������−1 ก่อน เชน่ จะหำ ������4 ได้ ตอ้ งรู้ ������3 จะหำ ������3 ได้ ตอ้ งรู้ ������2 เป็นตน้ ������������ = ������������−1 − ������������−2 → จะหำคำ่ ������������ ได้ ตอ้ งรู้ ������������−1 กบั ������������−2 กอ่ น เชน่ จะหำ ������10 ได้ ตอ้ งรู้ ������9 กบั ������8 จะหำ ������9 ได้ ตอ้ งรู้ ������8 กบั ������7 เป็นตน้ เรำจะเรยี กลำดบั พวกนวี้ ำ่ “ลำดบั เวยี นเกิด” จะเห็นวำ่ ลำดบั ประเภทนยี้ งุ่ ยำก เพรำะสดุ ทำ้ ย เรำมกั ตอ้ ง “ไลห่ ำตงั้ แต่ ������1 ขนึ้ มำ” จนกวำ่ จะถงึ พจนท์ เ่ี รำตอ้ งกำร ตวั อยำ่ ง กำหนดให้ ������������ เป็นพจนท์ ่วั ไปของลำดบั ซง่ึ มี ������1 = 1 และ ������������ = 2������������−1 + 1 สำหรบั ������ = 2 , 3 , 4 , … จงหำคำ่ ของ ������4 วธิ ีทำ ก่อนอ่ืน โจทยบ์ อก ������1 = 1 เรำจะใชค้ ำ่ นเี้ ป็นจดุ เรมิ่ ตน้ แทน ������ = 2 ในสตู ร ������������ = 2������������−1 + 1 จะได้ ������2 = 2������1 + 1 = 2(1) + 1 = 3 แทน ������ = 3 ในสตู ร ������������ = 2������������−1 + 1 จะได้ ������3 = 2������2 + 1 = 2(3) + 1 = 7 แทน ������ = 4 ในสตู ร ������������ = 2������������−1 + 1 จะได้ ������4 = 2������3 + 1 = 2(7) + 1 = 15 ดงั นนั้ จะได้ ������4 = 15 # ตวั อยำ่ ง กำหนดให้ ������������ เป็นพจนท์ ่วั ไปของลำดบั ซงึ่ มี ������1 = 5 , ������������ =− 1 เมอ่ื ������ ≥2 จงหำคำ่ ของ ������300 ������������−1 วิธีทำ ขอ้ นี้ จะใหไ้ ลห่ ำตงั้ แต่ ������2 ไปถึง ������300 คงไมไ่ หว เรำจะหำตวั แรกๆ แลว้ สงั เกตแนวโนม้ ดกู ่อน แทน ������ = 2 จะได้ ������2 = −1 = −1 ������1 5 แทน ������ = 3 จะได้ ������3 = −1 = − 1 = −1 ∙ (− 5) = 5 จะเห็นวำ่ ������3 วนกลบั มำเทำ่ กบั ������1 −15 ������2 1 แทน ������ = 4 จะได้ ������4 = −1 = −1 ������3 5 ⋮ จะเห็นวำ่ คำ่ ของพจน์ จะสลบั 5 , − 1 , 5 , − 1 , 5 , − 1 , … 555 ดงั นนั้ จะไดส้ ตู รพจนท์ ่วั ไป แบบไมอ่ งิ กบั พจนก์ อ่ นหนำ้ คือ ������������ = 5 เมื่อ ������ เป็นเลขค่ี {− 1 เมื่อ ������ เป็นเลขคู่ 5 เนอื่ งจำก เป็นเลขคู่ ดงั นนั้ =−1 300 ������300 # 5
32 ลำดบั และอนกุ รม ตวั อยำ่ ง กำหนดให้ ������������ เป็นพจนท์ ่วั ไปของลำดบั ซง่ึ มี ������1 = 3 , ������������ = 2������������−1 เมอื่ ������ ≥ 2 จงหำ ������50 พรอ้ มทงั้ หำ สตู รพจนท์ ่วั ไปของ ������������ แบบไมต่ อ้ งใชพ้ จนก์ ่อนหนำ้ ในกำรคำนวณ วธิ ีทำ ขอ้ นี้ จะใชว้ ิธี “ไลจ่ ำก ������1 ขนึ้ มำ” หรอื จะ “แตกจำก ������������ ลงไป” ก็ได้ ถำ้ จะไลจ่ ำก ������1 ขนึ้ มำ เรำจะลองหำพจนต์ ำ่ งๆ แลว้ สงั เกตลกั ษณะของตวั เลข ดงั นี้ ������1 = 3 = 21 ∙ 3 ������2 = 2������1 = (2)(3) ������3 = 2������2 = (2)(21 ∙ 3) = 22 ∙ 3 ������4 = 2������3 = (2)(22 ∙ 3) = 23 ∙ 3 ⋮ จำกแนวโนม้ นี้ จะไดว้ ำ่ ������50 = 249 ∙ 3 # และจะไดส้ ตู รพจนท์ ่วั ไปคอื ������������ = 2������−1 ∙ 3 ถำ้ จะแตกจำก ������������ ลงไป เน่อื งจำก ������������ = 2������������−1 ดงั นนั้ พจนใ์ ดๆก็ตำม จะเทำ่ กบั สองเทำ่ ของพจนก์ อ่ นหนำ้ ดงั นนั้ ������������−1 = 2������������−2 ������������−2 = 2������������−3 ������������−3 = 2������������−4 ⋮ ดงั นนั้ เรำจะแตก ������������ ลงไปหำ ������1 ไดด้ งั นี้ ������������ = 2������������−1 = 2 ∙ 2������������−2 = 2 ∙ 2 ∙ 2������������−3 ⋮ = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ … ∙ 2 ������1 สง่ิ ท่ตี อ้ งระวงั คือ ตอ้ งนบั ดๆี วำ่ แถวสดุ ทำ้ ย มี 2 คณู กนั ทงั้ หมดก่ตี วั จะเหน็ วำ่ แถวลำ่ งสดุ เป็น ������1 แตแ่ ถวบนสดุ เป็น ������������−1 ดงั นนั้ มที งั้ หมด ������ − 1 แถว # ดงั นนั้ จะไดส้ ตู รพจนท์ ่วั ไป คอื ������������ = 2������−1 ∙ ������1 = 2������−1 ∙ 3 แบบฝึกหดั 1. กำหนดให้ ������������ เป็นพจนท์ ่วั ไปของลำดบั ซง่ึ มี ������1 = 2 และ ������������ = −������������−1 สำหรบั ������ = 2 , 3 , 4 , … จงหำคำ่ ของ ������20 2. กำหนดให้ ������������ เป็นพจนท์ ่วั ไปของลำดบั ซง่ึ มี ������1 = 3 และ ������������ = 3������������−1 เมอ่ื ������ ≥ 2 จงหำ ������60 พรอ้ มทงั้ หำ สตู รพจนท์ ่วั ไปของ ������������ แบบไมต่ อ้ งอิงกบั พจนก์ ่อนหนำ้
ลำดบั และอนกุ รม 33 3. กำหนดให้ ������������ เป็นพจนท์ ่วั ไปของลำดบั ซงึ่ มี ������1 = 1 และ ������������ = −2������������−1 เม่อื ������ ≥ 2 จงหำ ������35 พรอ้ มทงั้ หำสตู รพจนท์ ่วั ไปของ ������������ แบบไมต่ อ้ งองิ กบั พจนก์ อ่ นหนำ้ 4. กำหนดให้ ������������ เป็นพจนท์ ่วั ไปของลำดบั ซงึ่ มี ������1 =3 และ ������������ = ������������−1 เมอื่ ������ ≥ 2 จงหำ ������50 สตู รพจน์ ท่วั ไปของ ������������ แบบไมต่ อ้ งองิ กบั พจนก์ ่อนหนำ้ 2 5. ถำ้ ������������ เป็นพจนท์ ่วั ไปของลำดบั ซงึ่ มี ������5 = 9 และ ������������+1 = ������������ − 2 แลว้ ������11 เทำ่ กบั เทำ่ ใด [O-NET 58/23] 6. ถำ้ ������1 = 2 , ������2 = 1 และ ������������+2 = ������������+1 + ������������ เม่อื ������ = 1, 2, 3, … แลว้ ������11 เทำ่ กบั เทำ่ ใด [O-NET 56/22]
34 ลำดบั และอนกุ รม 7. กำหนดให้ ������������ เป็นพจนท์ ่ี ������ ของลำดบั ซง่ึ มี ������������+1 = ������������ + ������ เมื่อ ������ = 1, 2, … ถำ้ ������4 = 26 แลว้ ������1 + ������2 + ������3 เทำ่ กบั เทำ่ ใด [O-NET 59/37] 8. ถำ้ ������������ เป็นพจนท์ ่วั ไปของลำดบั ซง่ึ มี ������3 = 4 และ ������������+1 − ������������ = ������ แลว้ ������1 + ������7 เทำ่ กบั เทำ่ ใด [O-NET 58/36]
ลำดบั และอนกุ รม 35 อนกุ รม อนกุ รม คอื กำรนำตวั เลขในลำดบั มำบวกกนั เช่น ถำ้ มีลำดบั 4 , 9 , 16 , 25 , 36 จะไดอ้ นกุ รมของลำดบั นี้ คอื 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 90 ปกติ โจทยจ์ ะไมไ่ ดใ้ หเ้ รำบวกทกุ ตวั สว่ นใหญ่มกั จะใหเ้ รำบวกแค่ “������ ตวั แรก” เชน่ ในอนกุ รม 4 + 9 + 16 + 25 + 36 ผลบวก 3 ตวั แรกของอนกุ รมนี้ คอื 4 + 9 + 16 = 29 ผลบวก 4 ตวั แรกของอนกุ รมนี้ คอื 4 + 9 + 16 + 25 = 54 ผลบวก 1 ตวั แรกของอนกุ รมนี้ คอื 4 เรำนยิ มใชส้ ญั ลกั ษณ์ ������������ แทน “ผลบวก ������ ตวั แรก ของอนกุ รม” ดงั นนั้ ในอนกุ รมนี้ จะไดว้ ำ่ ������3 = 29 , ������4 = 54 และ ������1 = 4 เป็นตน้ ในทำนองกลบั กนั ถำ้ เรำมี ������ หลำยๆตวั เรำจะยอ้ นกลบั ไปหำคำ่ ของแตล่ ะตวั ในลำดบั ได้ เช่น ถำ้ เรำรูว้ ำ่ ������3 = 22 และ ������4 = 28 เรำจะหำ ������4 ได้ เพรำะ ������3 = ������1 + ������2 + ������3 ������4 = ������1 + ������2 + ������3 + ������4 ดงั นนั้ ������4 = ������4 − ������3 = 28 − 22 = 6 ถำ้ เรำรูว้ ำ่ ������56 = 430 และ ������57 = 418 เรำจะหำ ������57 ได้ เพรำะ ������57 = ������1 + … + ������56 + ������57 ������56 = ������1 + … + ������56 ดงั นนั้ ������57 = ������57 − ������56 = 418 − 430 = −12 ถำ้ เรำรูว้ ำ่ ������90 = 105 และ ������93 = 120 เรำจะหำ ������91 + ������92 + ������93 ได้ เพรำะ ������90 = ������1 + … + ������90 ������93 = ������1 + … + ������90 + ������91 + ������92 + ������93 ดงั นนั้ ������91 + ������92 + ������93 = ������93 − ������90 = 120 − 105 = 15 ตวั อยำ่ ง กำหนด ������������ = 3������2 + 1 จงหำ ������5 + ������6 วธิ ีทำ ������5 + ������6 จะหำไดจ้ ำก ������6 − ������4 เพรำะ ������6 = ������1 + … + ������4 + ������5 + ������6 ������4 = ������1 + … + ������4 ลบกนั จะหกั กนั เหลอื ������5 + ������6 ขอ้ นี้ ใหส้ ตู ร ������������ มำ แปลวำ่ เรำจะหำ ������ อะไรก็ได้ น่นั คือ ������6 = 3 ∙ 62 + 1 = 109 ������4 = 3 ∙ 42 + 1 = 49 ดงั นนั้ ������5 + ������6 = ������6 − ������4 = 109 − 49 = 60 #
36 ลำดบั และอนกุ รม 2. ������4 2. ������3 แบบฝึกหดั 1. กำหนดลำดบั 2 , 5 , 8 , 11 จงหำ 1. ������2 2. กำหนดให้ ������������ = ������2 + 1 จงหำ 1. ������1 3. กำหนดให้ ������������ = ������(������+1) จงหำ 1. ������1 2 2. ������10 3. ������15 4. ������6 + ������7 + ������8 4. กำหนดให้ ������������ = 35 − ������2 จงหำ 2. ������8 1. ������4 3. ������6 + ������7 4. ������1 + ������2 + ������3
ลำดบั และอนกุ รม 37 5. ผลบวก 3 พจนแ์ รกของลำดบั ������������ = (−1)������+1������ เทำ่ กบั เทำ่ ใด [O-NET 56/25] ������+1 6. ถำ้ ผลบวกของ ������ พจนแ์ รกของอนกุ รมหนงึ่ คอื ������������ = 3������2 + 2 แลว้ พจนท์ ่ี 10 ของอนกุ รมนมี้ คี ำ่ เทำ่ กบั เทำ่ ใด [O-NET 49/1-9]
38 ลำดบั และอนกุ รม สญั ลกั ษณซ์ ิกมำ หวั ขอ้ นี้ จะพดู ถงึ กำรใชส้ ญั ลกั ษณ์ ∑ (อำ่ นวำ่ “ซิกมำ”) เพอื่ เขยี น “หลำยๆตวั บวกกนั ” ใหอ้ ยใู่ นรูปสนั้ ๆ สญั ลกั ษณ์ b จะหมำยถงึ กำรนำกอ้ น มำบวกซำ้ ๆกนั หลำยๆกอ้ น ia โดยกอ้ นแรก ให้ ������ = ������ และ กอ้ นถดั ไป ใหเ้ พ่ิม ������ ขนึ้ ทีละ 1 ไปเรอ่ื ยๆ จนจบกอ้ นสดุ ทำ้ ยที่ ������ = ������ จดุ สนิ้ สดุ กอ้ นที่จะบวกซำ้ ๆ 25 = + + +…+ i6 ตวั วง่ิ จดุ เรม่ิ ตน้ ������ = 6 ������ = 7 ������ = 8 ������ = 25 เชน่ 6 ������2 + 1 = (32 + 1) + (42 + 1) + (52 + 1) + (62 + 1) i3 = 10 + 17 + 26 + 37 = 80 5 2������ − ������ = (23 − 3) + (24 − 4) + (25 − 5) i3 = 5 + 12 + 27 = 44 5 ������ = (1) + (2) + (3) + (4) + (5) i 1 = 15 12 4������ = (4 × 9) + (4 × 10) + (4 × 11) + (4 × 12) i9 = 36 + 40 + 44 + 48 = 168 4 ������(������ + 1) = (1)(1 + 1) + (2)(2 + 1) + (3)(3 + 1) + (4)(4 + 1) i 1 = 2 + 6 + 12 + 20 = 40 5 4 = (4) + (4) + (4) + (4) + (4) i 1 = 20 ในทำงกลบั กนั เรำตอ้ งสำมำรถรวบ “หลำยๆตวั บวกกนั ” ใหเ้ ป็นรูป ∑ ไดด้ ว้ ย โดยคำตอบจะอยใู่ นรูป k (สตู รพจนท์ ่วั ไป ท่ีเปลยี่ น ������ เป็น ������) เมื่อ ������ คอื จำนวนพจนท์ ีม่ ำบวกกนั i 1 ตวั อยำ่ ง จงเขยี น 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 ใหเ้ ป็นรูป ∑ วธิ ีทำ จะรวบ ∑ ตอ้ งหำ 2 อยำ่ ง คอื “สตู รพจนท์ ่วั ไป” กบั “จำนวนพจน”์ จะเห็นวำ่ ลำดบั นไี้ มใ่ ชท่ งั้ ลำดบั เลขคณิต หรอื ลำดบั เรขำคณิต จงึ ใชส้ ตู รไมไ่ ด้ ตอ้ งเดำสตู รพจนท์ ่วั ไปเอง เดำสตู รพจนท์ ่วั ไป จะได้ ������������ = ������2 จำนวนพจน์ หำไดโ้ ดยแกส้ มกำร 36 = ������2 (หรอื จะนบั เอำเลยก็ได)้ จะไดว้ ำ่ อนกุ รมนี้ มี 6 พจน์ เอำสตู รพจนท์ ่วั ไป เปลยี่ น ������ เป็น ������ วำงหลงั ∑ และใสจ่ ำนวนพจน์ จะได้ 6 ������2 # i 1
ลำดบั และอนกุ รม 39 ตวั อยำ่ ง จงเขยี น 5 + 8 + 11 + … + 38 ใหอ้ ยใู่ นรูป ∑ # # วธิ ีทำ จะเหน็ วำ่ ลำดบั นเี้ ป็นลำดบั เลขคณิต ทมี่ ี ������1 = 5 และ ������ = 3 ดงั นนั้ จะไดส้ ตู รพจนท์ ่วั ไป คือ ������������ = 5 + (������ − 1)(3) = 5 + 3������ − 3 = 3������ + 2 ถดั มำ หำจำนวนพจนท์ ีม่ ำบวกกนั โดยกำรแกส้ มกำร 38 = 3������ + 2 36 = 3������ 12 = ������ ดงั นนั้ 5 + 8 + 11 + … + 38 = 12 3������ + 2 i 1 ตวั อยำ่ ง จงเขยี น 3 + 6 + 12 + … + 1536 ใหอ้ ยใู่ นรูป ∑ วิธีทำ จะเห็นวำ่ ลำดบั นเี้ ป็นลำดบั เรขำคณิต ที่มี ������1 = 3 และ ������ = 2 ดงั นนั้ จะไดส้ ตู รพจนท์ ่วั ไป คือ ������������ = 3 ∙ 2������−1 ถดั มำ หำจำนวนพจนท์ ม่ี ำบวกกนั โดยกำรแกส้ มกำร 1536 = 3 ∙ 2������−1 512 = 2������−1 8 ) 512 512 = 8 × 8 × 8 8 ) 64 8 = 23 × 23 × 23 = 29 29 = 2������−1 9 = ������ − 1 10 = ������ ดงั นนั้ 3 + 6 + 12 + … + 1536 = 10 3 ∙ 2������−1 i 1 สมบตั ทิ ่ีสำคญั ของ ∑ มีดงั นี้ ถำ้ หลงั ∑ เป็นคำ่ คงที่ ใหเ้ อำคำ่ คงทค่ี ณู จำนวนพจนท์ ี่นำมำบวกกนั ไดเ้ ลย เช่น 4 8 7 = 7 × 4 = 28 5 = 5 × 8 = 40 i 1 i 1 10 9 −3 = −3 × 10 = −30 −2 = −2 × 7 = −14 i 1 i3 ดงึ “คำ่ คงที่” ที่คณู หรอื หำรอยู่ ออกมำคณู หรอื หำร นอก ∑ ได้ เช่น 55 99 4������ = 4 ������ −2������2 = −2 ������2 i 1 i 1 i 1 i 1 12 ������ = 1 12 6 − 3������3 = −3 6 ������ ������3 i9 3 3 i9 i 1 4 4 i 1
40 ลำดบั และอนกุ รม ∑ กระจำยในกำรบวกลบได้ แตก่ ระจำยในกำรคณู หำรไมไ่ ด้ เช่น 5 55 2������ − ������ = 2������ − ������ i3 i3 i3 แต่ 4 ≠ 4 i 4 1 ������(������ + 1) i i3 i3 i3 ถำ้ จะกระจำย 4 ������(������ + 1) เรำตอ้ งเปลยี่ น ������(������ + 1) ใหอ้ ยใู่ นรูปของกำรบวกลบกอ่ น i3 เชน่ 44 ������(������ + 1) = ������2 + ������ i3 i3 44 = ������2 + ������ i3 i3 แบบฝึกหดั 1. จงเขยี นผลบวกในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนี้ ใหอ้ ยใู่ นรูปท่ไี มม่ ี ∑ 1. 10 2. 6 3������ −������ i 1 i2 3. 5 4. 7 ������ ������3 i 1 ������+1 i 1 5. 7 6. 4 6 ������������ i3 i 1 7. 4 8. 10 −������ ∙ 2������ 1 + (−1)������ i2 i 1 9. 10 10. 5 2������������ + 1 (−1)������ ∙ ������ i 1 i 1
ลำดบั และอนกุ รม 41 2. จงเขยี นผลบวกในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนี้ ใหอ้ ยใู่ นรูป ∑ 2. 1 + 3 + 5 + … + 21 1. 2 + 4 + 6 + … + 10 3. 1 + 3 + 5 + … + 19 4. 1 + 1 + 1 + … + 1 2 4 6 20 2 4 8 64 5. 1 + 3 + 5 + … + 11 6. 1 + 2 + 4 + … + 64 2 4 8 64 7. 4 + 9 + 16 + … + 121 8. (1)(2) + (2)(3) + (3)(4) + … + (8)(9)
42 ลำดบั และอนกุ รม 10. 2 + 4 + 6 + … + 2������ 9. ������1 + ������2 + ������3 + … + ������10 3. ถำ้ 5 = −10 และ 5 แลว้ 5 1) ใกลเ้ คยี งกบั จำนวนเตม็ ใดมำกท่สี ดุ ������������ ���������2��� = 135 xi (xi i 1 i 1 i 1 [O-NET 59/5]
ลำดบั และอนกุ รม 43 อนกุ รมเลขคณติ # อนกุ รมเลขคณิต คือ อนกุ รมทเี่ กดิ จำกลำดบั เลขคณิต ตวั อยำ่ งอนกุ รมเลขคณิต เชน่ 5 + 8 + 11 + ... + 38 16 + 13 + 10 + … + 4 1 − 2 − 5 − … − 17 → 1 + (−2) + (−5) + … + (−17) แต่ 2 + 4 + 8 + … + 64 ไมใ่ ชอ่ นกุ รมเลขคณติ เพรำะ 2 , 4 , 8 , … , 64 ไมใ่ ช่ลำดบั เลขคณิต สมบตั ิท่ีสำคญั ของลำดบั เลขคณติ คือ เรำสำมำรถ “จบั คใู่ หผ้ ลบวกเทำ่ กนั ” ได้ เชน่ 10 + 12 + 14 + ... + 32 + 34 + 36 = (10 + 36) + (12 + 34) + (14 + 32) + … = 46 + 46 + 46 + … 18 + 13 + 8 + … + −2 + −7 + −12 = (18 + −12) + (13 + −7) + (8 + −2) + … = 6 + 6 + 6 +… และจำกสมบตั ดิ งั กลำ่ ว จะทำใหไ้ ดส้ ตู รสำหรบั หำผลบวกของอนกุ รมเลขคณติ ท่ีตอ้ งทอ่ ง จะมี 2 สตู ร ดงั นี้ ������������ = ������ (������1 + ������������) (1) สตู รแรก จะใชเ้ มื่อเรำรูพ้ จนส์ ดุ ทำ้ ย 2 (2) นอกนนั้ ใชส้ ตู รท่สี อง ������������ = ������ [2������1 + (������ − 1)������] 2 เมือ่ ������������ คอื ผลบวกของอนกุ รม ������1 คือพจนแ์ รก , ������������ คอื พจนส์ ดุ ทำ้ ย ������ คือจำนวนพจนท์ ี่นำมำบวก ������ คอื ผลตำ่ งรว่ มในลำดบั เลขคณิต ตวั อยำ่ ง จงหำคำ่ ของ 2 + 6 + 10 + … + 38 วธิ ีทำ โจทยข์ อ้ นเี้ ป็นอนกุ รมเลขคณิต และเน่อื งจำกเรำรูพ้ จนส์ ดุ ทำ้ ย ������������ = 38 ดงั นนั้ เรำจะใชส้ ตู รแรก และจะได้ ������1 = 2 , ������ = 4 แตจ่ ะเหน็ วำ่ สตู รแรกยงั ตอ้ งใช้ ������ อกี ตวั ������ คือ จำนวนพจนใ์ นลำดบั ตอ้ งหำโดยแกส้ มกำรสตู รพจนท์ ่วั ไป วำ่ 38 เป็นพจนท์ ี่เทำ่ ไหร่ เน่อื งจำก ������1 = 2 , ������ = 4 ดงั นนั้ สตู รพจนท์ ่วั ไป คอื ������������ = 2 + (������ − 1)(4) = 2 + 4������ − 4 = 4������ − 2 หำ ������ ไดจ้ ำกกำรแกส้ มกำร 38 = 4������ − 2 40 = 4������ 10 = ������ ดงั นนั้ 2 + 6 + 10 + … + 38 = ������ (������1 + ������������) 2 = 10 [2 + 38] = 200 2
44 ลำดบั และอนกุ รม ตวั อยำ่ ง จงหำผลบวก 12 พจนแ์ รก ของอนกุ รม 4 + 1 + (−2) + (−5) + ... วธิ ีทำ ขอ้ นี้ เรำไมร่ ูพ้ จนส์ ดุ ทำ้ ย ดงั นนั้ เรำจะใชส้ ตู รทีส่ อง แทนคำ่ ������1 = 4 , ������ = −3 , ������ = 12 จะได้ ������������ = ������ [2������1 + (������ − 1)������] 2 = 12 [2(4) + (12 − 1)(−3)] 2 = 6[8 + (−33)] = 6(−25) = −150 ดงั นนั้ ผลบวก 12 พจนแ์ รก = −150 # ตวั อยำ่ ง แทง่ ไมก้ องหนงึ่ ชนั้ บนสดุ มไี ม้ 5 แทง่ ชนั้ ถดั ลงมำมีไมเ้ พม่ิ ขนึ้ ชนั้ ละ 2 แทง่ ถำ้ กองนมี้ ีแทง่ ไมท้ งั้ หมด 285 แทง่ จงหำวำ่ ไมก้ องนมี้ ีก่ีชนั้ วิธีทำ ไมเ้ พม่ิ ชนั้ ละ 2 แทง่ ดงั นนั้ ชนั้ ทสี่ องมไี ม้ 7 แทง่ , ชนั้ ทีส่ ำมมี 9 แทง่ , ชนั้ ท่ีสมี่ ี 11 แทง่ , … เน่อื งจำกทงั้ กอง มี 285 แทง่ หมำยควำมวำ่ 5 + 7 + 9 + 11 + … = 285 จะเห็นวำ่ เป็นอนกุ รมเลขคณิต ทม่ี ี ������1 = 5 , ������ = 2 , ������������ = 285 ขอ้ นี้ ไมร่ ูพ้ จนส์ ดุ ทำ้ ย ดงั นนั้ เรำจะใชส้ ตู รทสี่ อง ������������ = ������ [2������1 + (������ − 1)������] 2 285 = ������ [2(5) + (������ − 1)(2)] 2 285 = ������ [10 + 2������ − 2] 2 285 = ������ [8 + 2������] 2 285 = 4������ + ������2 0 = ������2 + 4������ − 285 0 = (������ − 15)(������ + 19) ������ = 15 , −19 เนื่องจำก ������ คือจำนวนชนั้ เป็นลบไมไ่ ด้ ดงั นนั้ ������ เป็น −19 ไมไ่ ด้ # ดงั นนั้ ไมก้ องนมี้ ีทงั้ หมด 15 ชนั้ แบบฝึกหดั 2. 11 + 18 + 25 + … + 109 1. จงหำคำ่ ของอนกุ รมตอ่ ไปนี้ 1. 2 + 4 + 6 + … + 80
ลำดบั และอนกุ รม 45 3. 40 + 37 + 34 + … + 1 4. ผลบวก 12 พจนแ์ รก ของ 3 + 5 + 7 + … 5. ผลบวก 8 พจนแ์ รก ของ 7 + 4 + 1 + … 6. 10 3������ − 1 i 1 2. ลำดบั ชดุ หนงึ่ มี ������������ = 2������ + 1 จงหำคำ่ ของ ������10 3. ลำดบั ชดุ หนง่ึ มี ������������ = 3������ − 1 จงหำคำ่ ของ ������6 + ������7 + … + ������20 4. ลำดบั เลขคณติ ชดุ หนง่ึ มี ������5 = 17 และ ������9 = 33 จงหำคำ่ ของ ������7
46 ลำดบั และอนกุ รม 5. ลำดบั เลขคณิตชดุ หนงึ่ มี ������1 = 3 และ ������10 = 210 จงหำคำ่ ของ ������8 6. ลำดบั เลขคณิตชดุ หนง่ึ มี ������4 = 10 และ ������9 = 90 จงหำคำ่ ของ ������5 7. จงหำวำ่ จะตอ้ งบวกอนกุ รม 2 + 7 + 12 + … ไปก่ีพจน์ จึงจะไดผ้ ลบวกเทำ่ กบั 87 8. จงหำวำ่ จะตอ้ งบวกอนกุ รม 50 + 43 + 36 + … ไปก่ีพจน์ จงึ จะไดผ้ ลบวกเป็นจำนวนลบ 9. อนกุ รมเลขคณติ ชดุ หนงึ่ มี ������12 = 60 จงหำคำ่ ของ ������1 + ������12
ลำดบั และอนกุ รม 47 10. อนกุ รมเลขคณติ ชดุ หนงึ่ มี ������16 = 120 จงหำคำ่ ของ ������2 + ������15 11. อนกุ รมเลขคณิตชดุ หนง่ึ มี ������10 = 100 จงหำคำ่ ของ ������1 + ������2 + ������9 + ������10 12. อนกุ รมเลขคณิตชดุ หนงึ่ มี ������8 = 16 จงหำคำ่ ของ ������2 + ������3 + ������4 + … + ������7 13. จงหำผลบวกของจำนวนท่ีมีคำ่ ตงั้ แต่ 30 ถงึ 100 ทหี่ ำรดว้ ย 3 ลงตวั 14. นำยดำกเู้ งินมำจำนวนหนง่ึ โดยจ่ำยคนื เดือนแรก 200 บำท และในเดือนถดั ไป นำยดำตอ้ งจำ่ ยเพ่มิ ขนึ้ ทกุ ๆเดอื น โดยจะตอ้ งจำ่ ยคืนมำกขนึ้ เดอื นละ 50 บำท หลงั จำกชำระหมด พบวำ่ ในเดือนสดุ ทำ้ ย นำยดำจำ่ ยคืน 950 บำท จง หำวำ่ นำยดำ จำ่ ยเงินคนื รวมทงั้ สนิ้ กี่บำท
48 ลำดบั และอนกุ รม 15. นำย ก เรมิ่ เก็บเงินตงั้ แตว่ นั ท่ี 10 ก.ค. เพื่อซือ้ ของรำคำ 1900 บำท โดยวนั แรก เก็บได้ 100 บำท วนั ตอ่ มำเก็บได้ มำกขนึ้ วนั ละ 20 บำท จงหำวำ่ นำย ก เก็บเงินไดค้ รบในวนั ทเ่ี ทำ่ ไรของเดอื น ก.ค. 16. วนั ท่ี 3 ม.ค. นำย ก เรม่ิ ขจ่ี กั รยำนจำก กรุงเทพ ไป จนั ทบรุ ี โดยวนั แรก ขี่ได้ 50 กิโลเมตร วนั ตอ่ มำเรมิ่ เหน่ือย จงึ ขี่ ไดน้ อ้ ยลงทกุ วนั วนั ละ 2 กิโลเมตร 1. จงหำระยะทำงที่ นำย ก จะเดินทำงได้ หลงั สนิ้ วนั ที่ 10 ม.ค. 2. นำย ข เรมิ่ ขจี่ กั รยำนพรอ้ ม นำย ก โดยวนั แรก ขไี่ ด้ 10 กิโลเมตร และวนั ตอ่ มำเรมิ่ ฮึดสู้ จงึ ขไ่ี ดม้ ำกขึน้ ทกุ วนั วนั ละ 2 กิโลเมตร จงหำวำ่ นำย ข จะเดินทำงไดม้ ำกกวำ่ 200 กิโลเมตรไดใ้ นวนั ท่เี ทำ่ ไรของเดอื น ม.ค. 3. นำย ข จะเดนิ ทำงทนั นำย ก ไดใ้ นวนั ทเี่ ทำ่ ไรของเดอื น ม.ค.
Search