Important Announcement
PubHTML5 Scheduled Server Maintenance on (GMT) Sunday, June 26th, 2:00 am - 8:00 am.
PubHTML5 site will be inoperative during the times indicated!

Home Explore คณิตศาสตร์

คณิตศาสตร์

Published by ปาริฉัตร วลมา, 2020-10-22 08:00:05

Description: ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

Search

Read the Text Version

ความสมั พนั ธ์ และฟังกช์ นั 26 Oct 2017

สารบัญ คอู่ นั ดบั ..................................................................................................................................................................................... 1 ผลคณู คาร์ทเี ซยี น..................................................................................................................................................................... 3 ความสมั พนั ธ์............................................................................................................................................................................ 5 กราฟของความสมั พนั ธ์............................................................................................................................................................ 9 รูปกราฟทีค่ วรจา ................................................................................................................................................................... 13 กราฟของอสมการ................................................................................................................................................................. 15 โดเมน และ เรนจ์ ................................................................................................................................................................... 20 โดเมนและเรนจ์ จากการพจิ ารณาชว่ งคา่ ............................................................................................................................. 26 โดเมนและเรนจ์ จากกราฟ.................................................................................................................................................... 29 อินเวอร์ส................................................................................................................................................................................ 31 กราฟของอินเวอร์ส................................................................................................................................................................ 34 ฟังก์ชนั ................................................................................................................................................................................... 36 สญั ลกั ษณ์แทนฟังก์ชนั ......................................................................................................................................................... 41 ฟังก์ชนั กาลงั สอง................................................................................................................................................................... 48 ฟังก์ชนั เอกซ์โพเนนเชยี ล....................................................................................................................................................... 59

ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 1 คอู่ นั ดบั คอู่ นั ดบั คือ การนาสองสง่ิ มาเขียนเป็นคอู่ ยา่ งมลี าดบั เชน่ (3, 2) , (−1, 0) , ( 3 , ������) , (สมชาย, 5) เป็นต้น 2 การสลบั ตาแหนง่ ของคา่ ในคอู่ นั ดบั จะทาให้กลายเป็นคนละอนั กลา่ วคอื (3, 2) ≠ (2, 3) กลา่ วคอื คอู่ นั ดบั 2 คู่ จะเทา่ กนั ได้ ก็เม่ือ สมาชิกตวั หน้าเทา่ กนั และ สมาชิกตวั หลงั เทา่ กนั ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ������ และ ������ ทท่ี าให้ (3, ������ + ������) = (������ + 1, 5������) วธิ ีทา คอู่ นั ดบั จะเทา่ กนั ได้ เมอื่ สมาชิกตวั หน้าเทา่ กนั และสมาชิกตวั หลงั เทา่ กนั (3, ������ + ������) = (������ + 1, 5������) 3 = ������ + 1 ������ + ������ = 5������ 2 = ������ ������ + 2 = 10 ������ = 8 ดงั นนั้ คาตอบ คือ ������ = 8 และ ������ = 2 # # ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ������ และ ������ ทที่ าให้ (3������, 2������ + 1) = (8 − 2������, 2������ − ������) วธิ ีทา ข้อนที ้ าเหมอื นเดมิ เพียงแตส่ มการยงุ่ ขนึ ้ นนั่ คอื จะได้ 3������ = 8 − 2������ และ 2������ + 1 = 2������ − ������ 3������ = 8 − 2������ จดั รูปได้เป็น 3������ + 2������ = 8 (1) 2������ + 1 = 2������ − ������ จดั รูปใหม่ ได้เป็น 2������ − 3������ = 1 (2) (3) 2 × (1): 6������ + 4������ = 16 (4) 3 × (2): 6������ − 9������ = 3 (3) − (4): 13������ = 13 (1): ������ = 1 3������ + 2 = 8 3������ = 6 ������ = 2 ดงั นนั้ คาตอบ คือ ������ = 2 และ ������ = 1 แบบฝึกหดั 1. จงหาคา่ ������ และ ������ ท่ที าให้คอู่ นั ดบั ตอ่ ไปนเี ้ทา่ กนั 1. (������ , ������ − ������) = (2������ − 3 , ������ + ������)

2 ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 2. (2������ − ������ , ������ + 2������) = (−4 , 1 + ������) 2. ถ้า ������ = {(1, 1), (1, 2), (1, 3)} , ������ = {(1, 1), (2, 1), (3, 1)} จงหา ������(������ ∪ ������) 3. ถ้า ������ = {(1, (1, 1)), (1, (1, 2)), (2, (1, 1))} , ������ = {((1, 1), 1), ((1, 2), 1), ((2, 1), 1)} จงหา ������(������ ∪ ������)

ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 3 ผลคณู คาร์ทีเซยี น # “ผลคณู คาร์ทีเซยี น” ระหวา่ ง เซต ������ กบั เซต ������ แทนได้ด้วยสญั ลกั ษณ์ ������ × ������ หมายถงึ “เซตของคอู่ นั ดบั ” ทงั้ หมดท่ี “ตวั หน้ามาจาก ������” และ “ตวั หลงั มาจาก ������” เชน่ {1, 2, 3} × {������, ������} = {(1, ������), (1, ������), (2, ������), (2, ������), (3, ������), (3, ������)} {������, ������} × {������, ������} = {(������, ������), (������, ������), (������, ������), (������, ������)} {������, ������} × {0, 1} = {(������, 0), (������, 1), (������, 0), (������, 1)} {0, 1} × {������, ������} = {(0, ������), (0, ������), (1, ������), (1, ������)} {1, 2} × {������, {������}} = {(1, ������), (1, {������}), (2, ������), (2, {������})} {1, 2, 3} × { } = { } {1, 2, 3} × { { } } = {(1, { }), (2, { }), (3, { })} ปกตแิ ล้ว ������ × ������ จะไมเ่ ทา่ กบั ������ × ������ เพราะลาดบั ก่อนหลงั ในคอู่ นั ดบั มีความสาคญั กลา่ วคอื (������, 1) ≠ (1, ������) อยา่ งไรก็ตาม ������ × ������ อาจเทา่ กบั ������ × ������ ได้ ในกรณีที่ ������ = ∅ หรือ ������ = ∅ หรือ ������ = ������ จะเห็นวา่ ������ × ������ จะมจี านวนสมาชกิ = จานวนสมาชกิ ใน ������ × จานวนสมาชิกใน ������ ซง่ึ เขยี นเป็นสญั ลกั ษณ์ได้วา่ ������(������ × ������) = ������(������) ∙ ������(������) เช่น ถ้า ������ มีสมาชิก 4 ตวั และ ������ มสี มาชกิ 9 ตวั แล้ว ������ × ������ จะมีสมาชิก 4 × 9 = 36 ตวั เป็นต้น และสดุ ท้ายทค่ี วรรู้ (แตไ่ มต่ ้องจา) คือ ผลคณู คาร์ทเี ซียน สามารถกระจายใน ∪ , ∩ และ − ได้ กลา่ วคอื ������ × (������ ∪ ������) = (������ × ������) ∪ (������ × ������) ������ × (������ ∩ ������) = (������ × ������) ∩ (������ × ������) ������ × (������ − ������) = (������ × ������) − (������ × ������) ตวั อยา่ ง จงหาจานวนสมาชิกของ {{1, 3}, { }} × {1, {1}, {1, {2}}} พร้อมทงั ้ เขยี นผลลพั ธ์ วธิ ีทา ก่อนอนื่ ต้องรู้ก่อนวา่ เซตทมี่ าคณู กนั มสี มาชิกกีต่ วั อะไรบ้าง {{1, 3}, { }} มสี มาชิก 2 ตวั คือ {1, 3} และ { } {1, {1}, {1, {2}}} มีสมาชกิ 3 ตวั คือ 1 และ {1} และ {1, {2}} ดงั นนั้ ผลคณู ของสองเซตนี ้จะต้องมสี มาชิก 2 × 3 = 6 ตวั ซง่ึ จะวาดเป็นแผนภาพการจบั คไู่ ด้เป็น {1, 3} 1 {1} {} {1, {2}} ดงั นนั ้ ผลคณู = { ({1, 3}, 1) , ({1, 3}, {1}) , ({1, 3}, {1, {2}}) , ( { } , 1) , ( { } , {1}) , ( { }, {1, {2}}) }

4 ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 2. {1, 2, 3, … , 10} × {1, 2, 3, … , 10} 4. {1, {1}, {1, 2}} × {{1, 2}} แบบฝึกหดั 6. {1, 2} × {1, (2, 3)} 1. จงหาจานวนสมาชิกในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี ้ 1. {������, ������, ������} × {������, ������} 3. {1, 2} × {1, {2, 3}} 5. {สมชาย , สมปอง} × {สมหญิง , สมชาย} 2. จงหาผลคณู คาร์ทเี ซยี นตอ่ ไปนี ้ 2. {1, {2}} × {2, {1}} 1. {������, ������, ������} × {������, ������} 3. {สมชาย , สมปอง} × {สมชาย} 4. {1, 2} × {1, (2, 3)} 3. ข้อใดถกู ต้อง 2. (������, 2) ∈ {������, 2, ������} × {1, ������, 3} 1. (������, 2) ∈ {������, ������, ������} × {1, 2, 3} 4. (������, 2) ∈ {������, 2, ������} × {������, 2, ������} 3. (������, 2) ∈ {1, ������, 3} × {������, 2, ������} 4. กาหนดให้ ������ = {1, 2} และ ������ = {������, ������} คอู่ นั ดบั ในข้อใดตอ่ ไปนี ้เป็นสมาชิกของผลคณู คาร์ทีเซยี น ������ × ������ [O-NET 52/12] 2. (������, ������) 3. (������, 1) 4. (1, 2) 1. (2, ������)

ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 5 ความสมั พนั ธ์ ความสมั พนั ธ์ คือ ความเกีย่ วข้องกนั ระหวา่ งกลมุ่ สองกลมุ่ เชน่ ความสมั พนั ธ์ “แอบชอบ” ระหวา่ ง กลมุ่ ผ้ชู าย ซง่ึ ประกอบด้วย สมชาย สมหวงั สมปอง และ สมบตั ิ ไปยงั กลมุ่ ผ้หู ญิง ซงึ่ ประกอบด้วย สมหญิง สมศรี และสมหมาย โดย สมชาย แอบชอบ สมหญิง สมชาย สมหญิง สมหวงั แอบชอบ สมหญิง สมหวงั สมศรี สมปอง สมหมาย และ สมบตั ิ แอบชอบ สมศรีและสมหญิง สมบตั ิ เราจะสามารถเขยี นแผนภาพความสมั พนั ธ์ “แอบชอบ” ระหวา่ งกลมุ่ ผ้ชู าย ไปยงั กลมุ่ ผ้หู ญิง ได้ดงั รูป สง่ิ ทีต่ ้องระวงั คือ ความสมั พนั ธ์สว่ นใหญ่ “สลบั ท่ีไมไ่ ด้” นน่ั คือ การท่ี สมชาย แอบชอบ สมหญิง ไมไ่ ด้แปลวา่ สมหญิง แอบชอบ สมชาย และในบางกรณี กลมุ่ หน้า กบั กลมุ่ หลงั อาจเป็นกลมุ่ เดียวกนั ได้ด้วย สมชาย สมชาย เช่น ในการแขง่ ขนั ชกมวยแบบแบทเทลิ รอยลั ในกลมุ่ ผ้ชู าย สมหวงั สมหวงั พบวา่ สมชาย ชกโดน สมหวงั และสมบตั ิ สมปอง สมปอง และ สมบตั ิ ชกโดนสมปอง สมบตั ิ สมบตั ิ จะสามารถเขยี นแผนภาพได้กลมุ่ หน้ากบั กลมุ่ หลงั เป็นกลมุ่ เดยี วกนั ดงั รูป ในกรณีที่ กลมุ่ หน้ากบั กลมุ่ หลงั เป็นกลมุ่ เดียวกนั เราจะเรียกวา่ ความสมั พนั ธ์ “ในกลมุ่ ” ในเรื่องนี ้เรานิยมใช้สญั ลกั ษณ์ ������ เป็นตวั แปรแทนความสมั พนั ธ์ เชน่ ความสมั พนั ธ์ “แอบชอบ” จะแทนด้วย ������แอบชอบ ความสมั พนั ธ์ “ชกโดน” จะแทนด้วย ������ชกโดน นอกจากการวาดเป็นแผนภาพแล้ว เรายงั สามารถใช้ “เซตของคอู่ นั ดบั ” มาชว่ ยเขียนความสมั พนั ธ์ได้ด้วย โดย คอู่ นั ดบั (������, ������) จะมคี วามหมายวา่ ������ สมั พนั ธ์กบั ������ เช่น ������แอบชอบ = {(สมชาย, สมหญิง), (สมหวงั , สมหญิง), (สมบตั ิ, สมหญิง), (สมบตั ิ, สมศรี)} ������ชกโดน = {(สมชาย, สมหวงั ), (สมชาย, สมบตั ิ), (สมบตั ,ิ สมปอง)} โดยเราสามารถเขียนเซตเหลา่ นี ้ “แบบบอกเงื่อนไข” ได้ด้วย เชน่ ������แอบชอบ = {(������, ������) | ������ แอบชอบ ������} ������ชกโดน = {(������, ������) | ������ ชกโดน ������} และ เราสามารถใช้ผลคณู คาร์ทีเซยี น เพื่อชว่ ยบอกขอบเขตของความสมั พนั ธ์ได้ด้วย เช่น ������แอบชอบ = {(������, ������) ∈ เซตของผ้ชู าย × เซตของผ้หู ญิง | ������ แอบชอบ ������} เอาเฉพาะ ������ ในกลมุ่ ผ้ชู าย มาสมั พนั ธ์กบั ������ ในกลมุ่ ผ้หู ญิง

6 ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั ������ชกโดน = {(������, ������) ∈ เซตของผ้ชู าย × เซตของผ้ชู าย | ������ ชกโดน ������} เอาเฉพาะ ������ ในกลมุ่ ผ้ชู าย มาสมั พนั ธ์กบั ������ ในกลมุ่ ผ้ชู าย อยา่ งไรก็ตาม ความสมั พนั ธ์ทเี่ ราจะเจอในเร่ืองนี ้สว่ นใหญ่จะเป็นความสมั พนั ธ์ระหวา่ งตวั เลข เชน่ ������ยกกาลงั สอง ระหวา่ ง N ไปยงั R = { (������, ������) ∈ N × R | ������2 = ������ } = { (1, 1), (2, 4), (3, 9), … } ������มากกวา่ ระหวา่ ง I ไปยงั N = { (������, ������) ∈ I × N | ������ > ������ } = { (2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), … } ������หารลงตวั ภายใน N = { (������, ������) ∈ N × N | ������ หาร ������ ลงตวั } = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), … , (2, 2), (2, 4), (2, 6), …, (3, 3), (3, 6), (3, 9), … } ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ������ = {1, 2, 3, 4, 5} , ������ = {3, 4, 5, 6, 7} จงเขยี นความสมั พนั ธ์ “บวกกนั ได้ 6” ระหวา่ ง ������ ไปยงั ������ ทงั้ แบบแจกแจงสมาชิก และแบบบอกเง่ือนไข วธิ ีทา ข้อนี ้ระวงั ให้ดี โจทย์ต้องการความสมั พนั ธ์ ระหวา่ ง ������ ไปยงั ������ ดงั นนั้ ต้องเอา ������ ขนึ ้ ก่อน จะเห็นวา่ 3 + 3 = 6 31 42 4+2=6 53 64 และ 5 + 1 = 6 75 ดงั นนั ้ เขยี นความสมั พนั ธ์แบบแจกแจงได้เป็น ������ = { (3, 3), (4, 2), (5,1) } และ เขยี นแบบบอกเง่ือนไขได้เป็น ������ = { (������, ������) ∈ B × A | ������ + ������ = 6 } # แบบฝึกหดั 1. กาหนดให้ A = {1, 2, 3, … , 10} , ������ = {2, 4, 6, … , 20} จงเขยี นความสมั พนั ธ์ตอ่ ไปนี ้แบบแจกแจงสมาชกิ 1. ������ = {(������, ������) ∈ ������ × ������ | ������ = 3������} 2. ������ = {(������, ������) ∈ ������ × ������ | ������ = 3������ − 1} 3. ������ = {(������, ������) ∈ ������ × ������ | ������ = 3������} 4. ������ = {(������, ������) ∈ ������ × ������ | ������ < ������ − 15}

ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 7 5. ������ = {(������, ������) ∈ ������ × ������ | ������ > 2������ + 5} 6. ������ = {(������, ������) ∈ ������ × ������ | ������ = ������ + ������} 3 7. ������ = {(������, ������) ∈ ������ × ������ | ������ = |������ − 5|} 8. ������ = {(������, ������) ∈ ������ × ������ | ������ = 6������ − 1} 9. ������ = {(������, ������) ∈ ������ × ������ | ������ − ������ = −1} 2. กาหนดให้ ������ = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ������ = {1, 2, 3, … , 11, 12} ������ = {(������, ������) ∈ ������ × ������ | ������ = 2������ + ���2���} จานวนสมาชิกของ ������ เทา่ กบั เทา่ ไร [O-NET 51/7] 3. ถ้า ������ = {1, 2, 3, 4} และ ������ = {(������, ������) ∈ ������ × ������ | ������ ≤ ������} แล้ว จานวนสมาชิกในความสมั พนั ธ์ ������ เทา่ กบั เทา่ ไร [O-NET 50/9]

8 ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 4. กาหนดให้ ������ = {1, 2, 3} และ ������ = {2, 3, 5} ถ้า ������ = { (������, ������) ∈ ������ × ������ | ������ ≥ ������ − 1 } แล้ว ������ มจี านวนสมาชิกก่ีตวั [O-NET 57/33] 5. กาหนดให้ ������(������) แทนจานวนสมาชกิ ของเซต ������ ถ้า ������1 = {(−1, − 2), (0, − 1), (1, 2), (2, − 3), (3, 4)} และ ������2 = {(������, ������) | |������ + 1| = ������} แล้ว ������(������1 ∩ ������2) เทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 49/2-10] 6. ขบวนพาเหรดรูปสเี่ หลยี่ มผืนผ้าขบวนหนง่ึ ประกอบด้วยผ้เู ดินเป็นแถว แถวละเทา่ ๆกนั (มากกวา่ 1 แถว และแถวละ มากกวา่ 1 คน) โดยมีเฉพาะผ้อู ยรู่ ิมด้านนอกทงั้ สด่ี ้านของขบวนเทา่ นนั้ ทส่ี วมชดุ สแี ดง ซงึ่ มีทงั้ หมด 50 คน ถ้า ������ คือจานวนแถวของขบวนพาเหรด และ ������ คือจานวนคนทอี่ ยใู่ นขบวนพาเหรดแล้ว ข้อใดถกู ต้อง [O-NET 53/15] 1. 31������ − ������2 = ������ 2. 29������ − ������2 = ������ 3. 27������ − ������2 = ������ 4. 25������ − ������2 = ������ 7. กลั ยามธี รุ กิจให้เชา่ หนงั สอื เธอพบวา่ ถ้าคิดคา่ เชา่ หนงั สอื เลม่ ละ 10 บาท จะมีหนงั สอื ถกู เชา่ ไป 100 เลม่ ตอ่ วนั แต่ ถ้าเพมิ่ คา่ เชา่ เป็น 11 บาท จานวนหนงั สอื ที่ถกู เช่าจะเป็น 98 เลม่ ตอ่ วนั และถ้าเพิม่ คา่ เชา่ เป็น 12 บาท จานวน หนงั สอื ท่ีถกู เชา่ จะเป็น 96 เลม่ ตอ่ วนั กลา่ วคือ จานวนหนงั สอื ทถ่ี กู เชา่ ตอ่ วนั จะลดลง 2 เลม่ ทกุ ๆ 1 บาทของคา่ เช่าท่ี เพิม่ ขนึ ้ ถ้า ������ คือจานวนเงินสว่ นทเี่ พิม่ ขนึ ้ ของคา่ เชา่ ตอ่ เลม่ และ ������ คือรายได้จากคา่ เชา่ หนงั สอื ตอ่ วนั (หนว่ ย : บาท) แล้ว จงหาสมการแสดงรายได้ตอ่ วนั จากธรุ กิจนีข้ องกลั ยา [O-NET 56/10]

ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 9 กราฟของความสมั พนั ธ์ ในหวั ข้อท่ผี า่ นมา เราได้เรียนวิธีในการเขยี นความสมั พนั ธ์ ไป 3 วิธี ซง่ึ ได้แก่ แผนภาพการจบั คู่ , เซตแจกแจงคอู่ นั ดบั , และ เซตแบบบอกเง่ือนไข ในกรณีทเ่ี ป็นความสมั พนั ธ์ระหวา่ งตวั เลข เรายงั เขยี นความสมั พนั ธ์โดยใช้ “กราฟ” บนระนาบ X-Y ได้ด้วย โดยถ้า ������ สมั พนั ธ์กบั ������ ก็จะมจี ดุ (������, ������) อยบู่ นกราฟของความสมั พนั ธ์ ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ������ = {−2, −1, 0, 1, 2} จงเขยี นกราฟของความสมั พนั ธ์ ������ = {(������, ������) ∈ ������ × ������ | ������ = ������ + 1} วธิ ีทา ข้อนี ้ (������, ������) ∈ ������ × ������ ดงั นนั ้ ������ ∈ ������ และ ������ ∈ ������ โดย ������ จะสมั พนั ธ์กบั ������ เมื่อ ������ = ������ + 1 ดงั นนั ้ เขียน ������ แบบแจกแจงสมาชิกได้เป็น ������ = {(−2, −1), (−1, 0), (0, 1), (1, 2)} ซง่ึ จะเขียนกราฟได้ ตวั อยา่ ง จงเขยี นกราฟของความสมั พนั ธ์ ������ = {(������, ������) ∈ R × R | ������ = ������ + 1} # วิธีทา ข้อนสี ้ มการเหมือนกบั ข้อท่แี ล้ว คอื ������ = ������ + 1 ตา่ งกนั ตรงที่คราวนี ้������ กบั ������ เป็นอะไรก็ได้ใน R # นนั่ คอื ข้อนี ้������ กบั ������ เป็นเศษสว่ น ทศนยิ ม ติดรูท ได้หมด ขอแค่ ������ = ������ + 1 ดงั นนั้ ข้อนจี ้ ะมจี ดุ อื่นๆ ทพี่ ิกดั ������ , ������ เป็นทศนยิ ม แทรกอยรู่ ะหวา่ ง 4 จดุ จากข้อท่ีแล้ว เชน่ (−2.9, −1.9) , (−2.8, −1.8) , (−2.75, −1.75) , (−2.722, −1.722), … ถ้านาจดุ เหลา่ นไี ้ ปพลอ็ ตกราฟ จะเห็นวา่ จดุ จะเรียงเป็นตบั เกิดเป็น “เส้น” ซง่ึ จะได้กราฟของความสมั พนั ธ์ ดงั รูป ในกรณีที่เป็นความสมั พนั ธ์ ใน R เราสามารถละ {(������, ������) ∈ R × R | … } ในฐานทเี่ ข้าใจได้ เชน่ ถ้าโจทย์พดู ถงึ “ความสมั พนั ธ์ ������ = ������ + 1” โดยไมบ่ อกขอบเขตอะไรมาให้ ก็ต้องรู้ วา่ หมายถงึ ความสมั พนั ธ์ {(������, ������) ∈ R × R | ������ = ������ + 1} และในกรณีที่เป็นความสมั พนั ธ์ ใน R เรามกั จะได้กราฟ “เป็นเส้น” วธิ ีวาดกราฟ คือ ให้หาคอู่ นั ดบั ทสี่ อดคล้องกบั ความสมั พนั ธ์มาซกั สามสต่ี วั เพอ่ื ดแู นวโน้มของเส้นกราฟ เมอ่ื ได้แนวโน้มของกราฟแล้ว คอ่ ยลากเส้น

10 ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั # ตวั อยา่ ง จงเขยี นกราฟของความสมั พนั ธ์ ������ = |������| วิธีทา ข้อนไี ้ มบ่ อกขอบเขตอะไรมาให้ ดงั นนั้ ขอบเขตคอื (������, ������) ∈ R × R และจะได้กราฟ “เป็นเส้น” เราจะหาคอู่ นั ดบั ท่ีสอดคล้องกบั ความสมั พนั ธ์ดงั กลา่ วมาซกั สามสตี่ วั เพ่ือดแู นวโน้มของกราฟ จะได้ ������ = { … , (−2, 2), (−1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 2) , … } เม่อื ได้แนวโน้มของกราฟ จึงคอ่ ยลากเส้น ทานองกลบั กนั ถ้าโจทย์ให้กราฟของความสมั พนั ธ์มา เราต้องอา่ นการจบั คขู่ องความสมั พนั ธ์ได้ เชน่ ������ = 2 จบั คกู่ บั ������ = −1 ������ = 0 จบั คกู่ บั ������ = 1 ������ = 0 จบั คกู่ บั ������ = 2 , −2 ������ = −1 จบั คกู่ บั ������ = 2 ������ = 2 จบั คกู่ บั ������ = 0 ������ = 2 ไมไ่ ด้จบั คกู่ บั ������ ตวั ไหนเลย สงั เกตวา่ จดุ ทก่ี ราฟอยเู่ หนอื แกน X จะมีพิกดั ������ > 0 จดุ ท่กี ราฟตดั แกน Y จะมพี กิ ดั ������ = 0 จดุ ทก่ี ราฟ อยใู่ ต้ แกน X จะมพี ิกดั ������ < 0 จดุ ท่ีกราฟ ตดั แกน X จะมพี ิกดั ������ = 0 ตวั อยา่ ง จงหาจดุ ทีก่ ราฟ ������ = 2 + ������ − ������2 ตดั แกน X พร้อมทงั้ หาคา่ ������ ทก่ี ราฟอยเู่ หนอื แกน X วิธีทา จดุ ที่กราฟตดั แกน X จะมีคา่ ������ = 0 จดุ ทก่ี ราฟอยเู่ หนอื แกน X จะมีคา่ ������ > 0 0 = 2 + ������ − ������2 0 < 2 + ������ − ������2 ������2 − ������ − 2 = 0 ������2 − ������ − 2 < 0 (������ − 2)(������ + 1) < 0 (������ − 2)(������ + 1) = 0 +−+ ������ = 2 , −1 −1 2 ������ ∈ (−1, 2) ดงั นี ้กราฟจะตดั แกน X ท่ี (2, 0) , (−1, 0) และจะอยเู่ หนอื แกน X เมอื่ ������ ∈ (−1, 2) # แบบฝึกหดั 2. ������ = ������2 + 1 1. จงพจิ ารณาวา่ กราฟในข้อใด ผา่ นจดุ (−1, 1) 1. 3������ = 1 − 2������

ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 11 3. ������2 + ������2 = 2 4. ������ = 2������ − 3 2. จงหาจดุ ตดั แกน X และ จดุ ตดั แกน Y ของกราฟตอ่ ไปนี ้ 1. ������ + ������ = 1 2. ������ = 2������ + 1 32 3. ������ + 2 = |������ + 1| 4. |������| − 2 = |������ − 1| 5. ������ = ������2 − 1 6. ������2 = ������ − 1 3. จงหาคา่ ������ ทก่ี ราฟอยเู่ หนอื แกน X 2. ������ = 2������2 − ������ − 3 1. ������ = 2������ + 1 4. จงหาคา่ ������ ที่กราฟอยใู่ ต้แกน X 2. 2������ + 3������ = 6 1. ������ = 4������2 + 7������ − 2

12 ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 5. คา่ ของ ������ ท่ที าให้กราฟของฟังก์ชนั ������ = ������(2������) ผา่ นจดุ (3, 16) คือเทา่ ไร [O-NET 52/16] 6. กราฟของฟังก์ชนั ในข้อใดตอ่ ไปนี ้ตดั แกน X มากกวา่ 1 จดุ [O-NET 50/24] 1. ������ = 1 + ������2 2. ������ = |������| − 2 3. ������ = |������ − 1| 4. ������ = (1)������ 2 7. ทกุ ������ ในช่วงใดตอ่ ไปนที ้ ีก่ ราฟของสมการ ������ = −4������2 − 5������ + 6 อยเู่ หนอื แกน X [O-NET 51/8] 1. (− 2 , − 1) 2. (− 5 , − 3) 33 22 3. (1 , 6) 4. (1 , 3) 47 22 8. เมือ่ เขยี นกราฟของ ������ = ������������2 + ������������ + ������ โดยที่ ������ ≠ 0 เพอ่ื หาตาตอบของสมการ ������������2 + ������������ + ������ = 0 กราฟใน ข้อใดตอ่ ไปนแี ้ สดงวา่ สมการไมม่ คี าตอบทเี่ ป็นจานวนจริง [O-NET 52/22] 1. 5 2. 5 −5 5 −5 5 −5 −5 3. 5 4. 5 −5 5 −5 5 −5 −5

ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 13 รูปกราฟท่คี วรจา ������ = ������ ������ = ������ ������ ������ กราฟเส้นตรง ������ = ������������ + ������ ชนั = ������ ������ กราฟพาราโบลา ������ = −������2 ������ = ������2 ������ = −������2 ������ = ������2 กราฟรูท ������ = √������ ������ = −√������ ������ = √������ ������ = −√������ กราฟคา่ สมั บรู ณ์ ������ = −|������| ������ = |������| ������ = −|������| ������ = |������| กราฟอืน่ ๆ |������| + |������| = ������ ������������ = ������ ������������ = −������ ������2 + ������2 = ������2 ������ ������

14 ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 2. ������ = |������| แบบฝึกหดั 1. จงวาดกราฟของความสมั พนั ธ์ตอ่ ไปนี ้ 1. ������ = −2 3. ������ = ������2 4. ������ = √������ 5. ������2 + ������2 = 4 6. |������| + |������| = 4

ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 15 กราฟของอสมการ หวั ข้อนี ้จะพดู ถึงกรณีทม่ี ีเครื่องหมาย > หรือ < ในเงื่อนไขของความสมั พนั ธ์ ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ������ = {−2, −1, 0, 1, 2} จงเขยี นกราฟของความสมั พนั ธ์ ������ = {(������, ������) ∈ ������ × ������ | ������ ≥ ������ + 1} วิธีทา เขียน ������ แบบแจกแจงสมาชกิ ได้ ������ = { (−2, −1), (−2, 0), (−2, 1), (−2, 2), (−1, 0), (−1, 1), (−1, 2), (0, 1), (0, 2), (1, 2) } ซง่ึ จะนามาเขยี นกราฟได้ดงั รูป # ตวั อยา่ ง จงเขยี นกราฟของความสมั พนั ธ์ ������ = {(������, ������) ∈ R × R | ������ ≥ ������ + 1} วธิ ีทา ข้อนี ้อสมการเหมอื นกบั ข้อทแ่ี ล้ว คือ ������ ≥ ������ + 1 ตา่ งกนั ตรงทค่ี ราวนี ้������ กบั ������ เป็นอะไรก็ได้ใน R นน่ั คือ ข้อนี ้������ กบั ������ เป็นเศษสว่ น ทศนิยม ตดิ รูท ได้หมด ขอแค่ ������ ≥ ������ + 1 ดงั นนั้ ข้อนจี ้ ะมจี ดุ อน่ื ๆ ท่ีพิกดั ������ , ������ เป็นทศนิยม แทรกอยรู่ ะหวา่ งจดุ จากข้อทแ่ี ล้ว เชน่ (−1.9, −1.2) , (−0.8, 0.5) , (1.75, 2.53) , (2.722, 4.722), … ถ้านาจดุ เหลา่ นไี ้ ปพลอ็ ตกราฟ จะเห็นวา่ จดุ จะเรียงเป็นตบั เกิดเป็น “พนื ้ ท่ี” ซงึ่ จะได้กราฟของความสมั พนั ธ์ ดงั รูป # # ตวั อยา่ ง จงเขยี นกราฟของความสมั พนั ธ์ ������ = {(������, ������) ∈ R × R | ������ > ������ + 1} วิธีทา ข้อนคี ้ ล้ายข้อทแ่ี ล้ว เพยี งแตค่ ราวนี ้เปลยี่ น ≥ เป็น > กราฟทไ่ี ด้ ก็จะคล้ายข้อทแ่ี ล้ว แตห่ กั จดุ ท่ี ������ = ������ + 1 ออก ซง่ึ จดุ ทที่ าให้ ������ = ������ + 1 ก็คอื จดุ ตรงบริเวณเส้นแบง่ เขตนน่ั เอง เราจะใช้ “เส้นประ” เพ่ือบง่ บอกวา่ “ไมเ่ อา” จดุ บริเวณเส้นแบง่ เขต ดงั รูป วธิ ีวาดกราฟของความสมั พนั ธ์ทม่ี เี งื่อนไขเป็น “อสมการ” จะมีหลกั ดงั นี ้ 1. วาดเส้นกราฟด้วยวิธีเดมิ แบบสมการ ออกมาก่อน  ถ้าเป็น > หรือ < ให้วาดเส้นกราฟด้วยเส้นประ  ถ้าเป็น ≥ หรือ ≤ ให้วาดเส้นกราฟด้วยเส้นทบึ

16 ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 2. กราฟท่ไี ด้ จะแบง่ ระนาบ X-Y ออกเป็นสว่ นๆ สมุ่ จดุ ไหนก็ได้มาแทนในอสมการ ถ้าจดุ จากสว่ นไหนแทนแล้วอสมการเป็นจริง ให้แรเงาสว่ นนนั้ ตวั อยา่ ง จงเขยี นกราฟของความสมั พนั ธ์ ������ < ������2 วธิ ีทา ขนั้ แรก เขยี นกราฟ ������ = ������2 กอ่ น เนอ่ื งจากข้อนเี ้ป็นเครื่องหมาย < จงึ ต้องเขยี นด้วยเส้นประ จะเห็นวา่ กราฟแบง่ พนื ้ ท่ีออกเป็น 2 สว่ น คอื กบั จากนนั้ สมุ่ จดุ ไหนก็ได้จากแตล่ ะสว่ น มาแทน สว่ นที่ 1 สว่ นท่ี 2 สว่ นท่ี 1: สมุ่ จดุ (0, 1) มาแทนในอสมการ ได้ 1 < 02 ซง่ึ เป็นเทจ็ ดงั นนั้ ไมแ่ รเงา สว่ นท่ี 1 สว่ นท่ี 2: สมุ่ จดุ (1, 0) มาแทนในอสมการ ได้ 0 < 12 ซง่ึ เป็นจริง ดงั นนั้ แรเงา สว่ นที่ 2 ดงั นนั้ กราฟของความสมั พนั ธ์ ������ < ������2 คือ # ตวั อยา่ ง จงเขยี นกราฟของความสมั พนั ธ์ −1 ≤ ������ < 2 วธิ ีทา ข้อนี ้เป็นอสมการแบบ 3 ทอ่ น เราจะซอยมนั เป็นอสมการยอ่ ย 2 อนั คอื −1 ≤ ������ กบั ������ < 2 −1 ≤ ������ ต้องเขยี นด้วยเส้นทบึ ������ < 2 ต้องเขยี นด้วยเส้นประ จะเห็นวา่ กราฟแบง่ พนื ้ ทอ่ี อกเป็น 3 สว่ น คือ จากนนั้ สมุ่ จดุ ไหนก็ได้จากแตล่ ะสว่ น มาแทน สว่ นท่ี 1 สว่ นท่ี 2 สว่ นที่ 3 สว่ นท่ี 1: สมุ่ จดุ (−2, 0) มาแทนในอสมการ ได้ −1 ≤ −2 < 2 ซง่ึ ไมจ่ ริง ดงั นนั้ ไมเ่ อา สว่ นที่ 1 สว่ นท่ี 2: สมุ่ จดุ (0, 0) มาแทนในอสมการ ได้ −1 ≤ 0 < 2 ซงึ่ จริง ดงั นนั้ เอา สว่ นท่ี 2 สว่ นท่ี 3: สมุ่ จดุ (3, 0) มาแทนในอสมการ ได้ −1 ≤ 3 < 2 ซง่ึ ไมจ่ ริง ดงั นนั้ ไมเ่ อา สว่ นที่ 3 ดงั นนั้ กราฟของความสมั พนั ธ์ −1 ≤ ������ < 2 คือ #

ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 17 แบบฝึกหดั 2. ������ + ������ ≤ 2 1. จงวาดกราฟของความสมั พนั ธ์ตอ่ ไปนี ้ 1. ������ > ������ 3. ������ ≥ ������2 4. ������2 + ������2 < 4 5. ������ > |������| 6. |������| ≤ ������ 7. −1 < ������ < 2 8. 1 < ������ ≤ 2

18 ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 9. −2 ≤ ������ + ������ ≤ 2 2. ข้อใดตอ่ ไปนเี ้ป็นความสมั พนั ธ์ทม่ี ีกราฟเป็นบริเวณทีแ่ รเงา [O-NET 54/9] ������ = ������ 01 ������ = −������ 1. { (������, ������) | |������| ≥ ������ } 2. { (������, ������) | |������| ≤ ������ } 3. { (������, ������) | ������ ≥ |������| } 4. { (������, ������) | ������ ≤ |������| } 3. ถ้า ������ = { (������, ������)| |������ + 1| ≤ ������ และ y ≤ 2 } แล้ว พนื ้ ทข่ี องบริเวณ ������ เทา่ กบั ก่ีตารางหนว่ ย [O-NET 57/34]

ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 19 4. บริเวณทแ่ี รเงาเป็นกราฟของความสมั พนั ธ์ในข้อใด [O-NET 57/12] ������ ������ = ������2 1. { (������, ������) | ������2 − ������ < 0 และ ������ ≤ 1 } ������ = 1 2. { (������, ������) | ������2 − ������ < 0 และ ������ ≥ 1 } ������ 3. { (������, ������) | ������2 − ������ ≥ 0 และ ������ < 1 } 4. { (������, ������) | ������2 − ������ ≥ 0 และ ������ > 1 } 5. { (������, ������) | ������2 − ������ > 0 และ ������ ≤ 1 } 5. บริเวณท่ีแรเงาในข้อใดเป็นกราฟของความสมั พนั ธ์ { (������, ������) | ������ ≤ ������2, 0 ≤ ������ ≤ 1 } [O-NET 56/13] ������ ������ ������ 1 1 1 1. 0 ������ 2. 0 ������ 3. 0 ������ ������ ������ 1 1 4. 0 ������ 5. 0 ������

20 ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั โดเมน และ เรนจ์ “โดเมน” ของความสมั พนั ธ์ ������ แทนด้วยสญั ลกั ษณ์ D������ หมายถงึ เซตกลมุ่ ตวั หน้า “เฉพาะตวั ทไ่ี ด้โยง” “เรนจ์” ของความสมั พนั ธ์ ������ แทนด้วยสญั ลกั ษณ์ R������ หมายถึง เซตกลมุ่ ตวั หลงั “เฉพาะตวั ท่ีถกู โยง” เชน่ ถ้าย้อนกลบั ไปดคู วามสมั พนั ธ์ ������แอบชอบ กบั ������ชกโดน ในหวั ข้อก่อนหน้า จะได้โดเมน และ เรนจ์ ดงั นี ้ สมชาย สมหญิง สมชาย สมชาย สมหวงั สมศรี สมหวงั สมหวงั สมปอง สมหมาย สมปอง สมปอง สมบตั ิ สมบตั ิ สมบตั ิ D������ = { สมชาย , สมหวงั , สมบตั ิ } D������ = { สมชาย , สมบตั ิ } R������ = { สมหญิง , สมศรี } R������ = { สมหวงั , สมปอง , สมบตั ิ } ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ������ = {−2, −1, 0, 1, 2} และ ������ = { (������, ������) ∈ ������ × ������ | ������ = |������| } จงหา D������ และ R������ # วิธีทา จะเขยี น ������ เป็นแผนภาพก็ได้ หรือจะเขียนแบบแจกแจงสมาชิกก็ด้ ถ้าเขยี นความสมั พนั ธ์ ������ แบบแจกแจงสมาชกิ จะได้ ������ = { (−2, 2), (−1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 2) } ดงั นนั ้ D������ = {−2, −1, 0, 1, 2} = ������ R������ = { 0, 1, 2} ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ������ = { (������, ������) ∈ N × N | ������ = 3������ + 2 } จงหา D������ และ R������ # วิธีทา ก่อนอื่น ต้องรู้วา่ N คอื จานวนนบั (ซง่ึ กค็ ือ จานวนเต็มบวกนนั่ เอง) เขียนความสมั พนั ธ์ ������ แบบแจกแจงสมาชิก จะได้ ������ = { (1, 5), (2, 8), (3, 11), … } ดงั นนั ้ D������ = {1, 2, 3, …} = N R������ = {5, 8, 11, …} ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ������ = { (������, ������) ∈ R × R | ������ = 2������ } จงหา D������ และ R������ วิธีทา R คือ จานวนจริง ดงั นนั้ ������ กบั ������ เป็นได้หมด ไมว่ า่ จะเป็น เศษสว่ น ทศนยิ ม ติดรูท ตวั อยา่ งคอู่ นั ดบั ท่ีอยใู่ น ������ เช่น (0, 0) , (2,4) , (√3, 2√3) , ( 3 , 3) , (− 7 , −7) 2 2 จะเห็นวา่ ������ กบั ������ เป็นอะไรก็ได้ เราหาคใู่ ห้ทกุ ตวั ได้เสมอ ดงั นนั ้ D������ = R และ R������ = R # ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ������ = { (������, ������) ∈ R × R | ������ = ������2 } จงหา D������ และ R������ # วธิ ีทา ตวั อยา่ งคอู่ นั ดบั ที่อยใู่ น ������ เชน่ (1, 1) , (−3, 9) , (√2, 2) , (−√3, 3) จะเหน็ วา่ ������ เป็นอะไรก็ได้ เราเอา ������ มายกกาลงั สองก็จะได้คา่ ������ ทเ่ี ป็นคใู่ ห้มนั โยงได้ แต่ ������ เป็นเลขติดลบไมไ่ ด้ เพราะ ไมม่ ี ������ ไหนเลย ทีจ่ ะยกกาลงั สองแล้วตดิ ลบ ดงั นนั ้ D������ = R และ R������ = R+ ∪ {0}

ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 21 ในกรณีทขี่ อบเขตเป็น R × R เรามขี นั้ ตอนในการหาโดเมน และ เรนจ์ ดงั นี ้ ขนั้ ท่ี 1: จดั รูปสมการ ถ้าจะหาโดเมน ต้องจดั รูปสมการ แยก ������ ทงิ ้ ไปอีกฝั่ง ถ้าจะหาเรนจ์ ต้องจดั รูปสมการ แยก ������ ทงิ ้ ไปอกี ฝ่ัง สมการสว่ นใหญ่ที่โจทยใ์ ห้ จะมี ������ แยกทงิ ้ ไปอีกฝ่ังอยแู่ ล้ว ถ้าจะหาโดเมนก็ไมต่ ้องจดั รูป เช่น ������ = ������ + 1 , ������ = 2������+1 , ������ = √������ + 2 จะเป็นรูปทห่ี าโดเมนได้เลย ������−2 แตถ่ ้าจะหาเรนจ์ เรามกั ต้องออกแรงแยก ������ ทงิ ้ ไปอีกฝั่ง เชน่ ������ = ������ + 1 ������ = 2������+1 ������ = √������ + 2 ; ������ ≥ 0 ������2 = ������ + 2 ������ − 1 = ������ ������−2 ������2 − 2 = ������ ������������ − 2������ = 2������ + 1 ������������ − 2������ = 2������ + 1 ������(������ − 2) = 2������ + 1 ������ = 2������+1 ������−2 เวลาจดั รูป ให้ระวงั เคร่ืองหมายบวกลบให้ดี เนือ่ งจาก √ ตดิ ลบไมไ่ ด้ โดยเฉพาะตอนทีย่ กกาลงั สองทงั้ สองข้าง หรือ ถอดรูททงั้ สองข้าง เชน่ ยกกาลงั สองทงั้ สองข้าง ถอดรูททงั้ สองข้าง ������ = √������2 + 1 ������2 = ������2 − 1 ������2 = ������2 + 1 ; ������ ≥ 0 ������ = ±√������2 − 1 ต้องเขียน เพราะก่อนยก ต้องมี ± เพราะก่อนถอด ������ เป็นลบไมไ่ ด้ ������ เป็นได้ทงั ้ บวกและลบ ขนั้ ท่ี 2: หาวา่ ������ กบั ������ เป็นอะไรได้บ้าง → สว่ น หรือ ตวั หาร ห้ามเป็นศนู ย์ → ข้างใน √ ห้ามติดลบ เชน่ ������ = 5������ → ������ − 3 ≠ 0 ������−3 ������ ≠ 3 → D������ = R − {3} ������ = √������ + 2 → ������ + 2 ≥ 0 ������ = 3������ ������ ≥ −2 → R������ = [−2, ∞) → ������ + 2 > 0 → R������ = (−2, ∞) √������+2 ������ > −2 การตอบคาถามในเร่ืองโดเมนและเรนจ์ มกั จะต้องใช้สญั ลกั ษณ์จากเร่ืองเซต และชว่ ง อยบู่ อ่ ยๆ เชน่ R − {2, 3} → จานวนจริงทกุ ตวั ยกเว้น 2 กบั 3 R+ ∪ {0} → จานวนจริงบวกทกุ ตวั รวม 0 ด้วย [2, 5] → ทกุ จานวน ตงั้ แต่ 2 ถึง 5 (รวม 2 กบั 5 ด้วย) [2, 5) → ทกุ จานวน ตงั้ แต่ 2 ถึง 5 (รวม 2 แตไ่ มร่ วม 5) (2, 5] → ทกุ จานวน ตงั้ แต่ 2 ถงึ 5 (ไมร่ วม 2 แตร่ วม 5)

22 ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั (2, 5) → ทกุ จานวน ระหวา่ ง 2 กบั 5 (ไมร่ วม 2 ไมร่ วม 5) (−∞, 1] → ทกุ จานวน ท่ี ≤ 1 [1, ∞) → ทกุ จานวน ที่ ≥ 1 (−∞, 1) → ทกุ จานวน ที่ < 1 (1, ∞) → ทกุ จานวน ที่ >1 (−∞, 2) ∪ [5, ∞) → ทกุ จานวน ที่ < 2 หรือ ≥ 5 ตวั อยา่ ง จงหาโดเมน และ เรนจ์ ของความสมั พนั ธ์ ������ = 3������+1 2������−1 วธิ ีทา สมการทใ่ี ห้มา แยก ������ ทงิ ้ ไปอีกฝ่ังอยแู่ ล้ว ดงั นนั้ หาโดเมนได้เลย เนื่องจากตวั หารห้ามเป็นศนู ย์ ดงั นนั้ 2������ − 1 ≠ 0 ������ ≠ 1 จะได้ D������ = R − {21} 2 หาเรนจ์ ต้องจดั รูปสมการ แยก ������ ทงิ ้ ไปอีกฝ่ังกอ่ น ������ = 3������+1 2������−1 2������������ − ������ = 3������ + 1 2������������ − 3������ = ������ + 1 ������(2������ − 3) = ������ + 1 ������ = ������+1 2������−3 เนอ่ื งจากตวั สว่ นห้ามเป็นศนู ย์ ดงั นนั้ 2������ − 3 ≠ 0 ������ ≠ 3 จะได้ R������ = R − {23} # 2 # ตวั อยา่ ง จงหาโดเมน และ เรนจ์ ของความสมั พนั ธ์ ������ = √������2 − 4 วธิ ีทา สมการท่ีโจทยใ์ ห้ อยใู่ นรูปที่หา เรนจ์ ได้เลย เนื่องจากข้างใน √ ห้ามติดลบ ดงั นนั้ ������2 − 4 ≥ 0 (������ − 2)(������ + 2) ≥ 0 +−+ −2 2 จะได้ R������ = (−∞, −2] ∪ [2, ∞) ������ = √������2 − 4 ถดั มา หาโดเมน ต้องจดั รูปใหม่ แยก ������ ทงิ ้ ไปอีกฝ่ัง ������2 = ������2 − 4 ������2 + 4 = ������2 ; ������ ≥ 0 ±√������2 + 4 = ������ ใน √ ห้ามติดลบ ดงั นนั้ ������2 + 4 ≥ 0 และ ������ ≥ 0 จะได้ D������ = [0, ∞) (จริงเสมอ) ������ ∈ R ตวั อยา่ ง จงหาโดเมน และ เรนจ์ ของความสมั พนั ธ์ ������ = ������2 − 6������ + 5 วธิ ีทา สมการท่ีโจทย์ให้ อยใู่ นรูปที่หาโดเมนได้เลย จะเหน็ วา่ ข้อนี ้������ ไมเ่ ป็นตวั หาร และ ไมอ่ ยใู่ น √ ดงั นนั้ ������ เป็นได้ทกุ อยา่ ง จะได้ D������ = R

ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 23 ถดั มา หาเรนจ์ ต้องจดั รูป แยก ������ ทงิ ้ ไปอีกฝั่ง # ข้อนี ้จดั รูปยากหนอ่ ย เพราะมที งั้ ������ กาลงั สอง และ ������ กาลงั หนงึ่ เราต้องใช้กาลงั สองสมบรู ณ์ มารวบ ������2 กบั 4������ เข้าด้วยกนั ให้เหลอื ������ เดยี วกอ่ น ดงั นี ้ น2 ± 2นล + ล2 = (น ± ล)2 ������ = ������2 − 6������ + 5 ������ = ������2 − 2(������)(3) + 32 − 32 + 5 ������ = (������ − 3)2 − 4 จากนนั้ จงึ จดั รูป แยก ������ ทงิ ้ ไปอีกฝ่ัง ดงั นี ้ ������ + 4 = (������ − 3)2 ±√������ + 4 = ������ − 3 ±√������ + 4 + 3 = ������ เนื่องจากใน √ ห้ามตดิ ลบ ดงั นนั้ ������ + 4 ≥ 0 ������ ≥ −4 จะได้ R������ = [−4, ∞) แบบฝึกหดั 1. จงหาโดเมน และ เรนจ์ ของความสมั พนั ธ์ตอ่ ไปนี ้ 1. ������ = ������+1 2. ������ = 2������+1 ������ 3������−2 3. ������ = 2������+3 4. ������(������ − 1) = 2 2−������

24 ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 6. ������ = ������2 + 3 5. ������������ − 3������ + ������ + 2 = 0 7. ������ = ������2 + 4������ − 6 8. ������ = √������ + 1 9. ������ = √������2 − 4 10. ������ = √1 − ������2

ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 25 11. ������ = −√������ 12. ������ = −√4 − ������2 13. ������ = √4 − ������2 + 1 14. ������ = 2 − √������2 − 1 2. จงหาโดเมนของความสมั พนั ธ์ตอ่ ไปนี ้ 2. ������ = √������+2 1. ������ = √������2 − 3������ + 2 ������ 3. ������ = √(������+(1������)+(32)−������)

26 ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั โดเมนและเรนจ์ จากการพจิ ารณาช่วงคา่ อีกเทคนคิ หนง่ึ ในการหา โดเมน หรือ เรนจ์ คือ การ “พจิ ารณาช่วงคา่ ทเ่ี ป็นไปได้” ของพจน์ตา่ งๆ ในสมการความสมั พนั ธ์ หลกั ของวธิ ีนี ้คือ 1. เริ่มจาก “พจน์กาลงั สอง ≥ 0” หรือ “คา่ สมั บรู ณ์ ≥ 0” 2. คอ่ ยๆปรับเตมิ ให้ได้เป็นพจน์ทปี่ รากฏในสมการความสมั พนั ธ์ ตวั อยา่ ง จงหาโดเมน และ เรนจ์ ของความสมั พนั ธ์ ������ = (������ − 3)2 − 4 วิธีทา จะเหน็ วา่ มพี จนก์ าลงั สอง คอื (������ − 3)2 ดงั นนั้ เราจะใช้วิธีการพจิ ารณาชว่ งคา่ ทเี่ ป็นไปได้ โดยเร่ิมจาก “พจน์กาลงั สอง ≥ 0” แล้วปรับเตมิ จนได้เป็นพจน์ท่ปี รากฏในสมการความสมั พนั ธ์ (������ − 3)2 ≥ 0 ลบ 4 ทงั ้ สองข้าง (������ − 3)2 − 4 ≥ −4 เพราะ ������ = (������ − 3)2 − 4 ������ ≥ −4 เนือ่ งจาก ������ ≥ −4 ดงั นนั ้ จะได้ R������ = [−4, ∞) สาหรับโดเมน เนอื่ งจากสมการทีโ่ จทย์ให้ อยใู่ นรูปพร้อมหาโดเมนแล้ว # เนื่องจาก ������ ไมเ่ ป็นตวั หาร และ ไมอ่ ยใู่ น √ ดงั นนั้ D������ = R ตวั อยา่ ง จงหาโดเมน และ เรนจ์ ของความสมั พนั ธ์ ������ = 2 − |������ + 5| วธิ ีทา จะเห็นวา่ มพี จน์คา่ สมั บรู ณ์ คอื |������ + 5| ดงั นนั้ เราจะใช้วิธีการพจิ ารณาช่วงคา่ ท่เี ป็นไปได้ โดยเริ่มจาก |������ + 5| ≥ 0 คณู −1 ทงั ้ สองข้าง บวก 2 ทงั ้ สองข้าง −|������ + 5| ≤ 0 เพราะ ������ = 2 − |������ + 5| 2 − |������ + 5| ≤ 2 ������ ≤ 2 เนื่องจาก ������ ≤ 2 ดงั นนั ้ จะได้ R������ = [−∞, 2) สาหรับโดเมน เนื่องจากสมการท่โี จทย์ให้ อยใู่ นรูปพร้อมหาโดเมนแล้ว # เนื่องจาก ������ ไมเ่ ป็นตวั หาร และ ไมอ่ ยใู่ น √ ดงั นนั้ D������ = R

ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 27 ตวั อยา่ ง จงหาโดเมน และ เรนจ์ ของความสมั พนั ธ์ |������ − 2| + |������| = 5 # วิธีทา ข้อนี ้มีทงั้ |������ − 2| และ |������| เราจะแยกทาทีละตวั |������ − 2| ≥0 บวก |������| ทงั ้ สองข้าง เพราะ |������ − 2| + |������| = 5 |������ − 2| + |������| ≥ |������| จากสมบตั ิของคา่ สมั บรู ณ์ 5 ≥ |������| −5 ≤ ������ ≤ 5 เน่ืองจาก −5 ≤ ������ ≤ 5 ดงั นนั ้ R������ = [−5, 5] |������| ≥ 0 บวก |������ − 2| ทงั ้ สองข้าง |������ − 2| + |������| ≥ |������ − 2| เพราะ |������ − 2| + |������| = 5 จากสมบตั ขิ องคา่ สมั บรู ณ์ 5 ≥ |������ − 2| บวก 2 ตลอด −5 ≤ ������ − 2 ≤ 5 −3 ≤ ������ ≤ 7 เน่อื งจาก −3 ≤ ������ ≤ 7 ดงั นนั ้ D������ = [−3, 7] แบบฝึกหดั 2. ������ = 3 − (2 − ������)2 1. จงหาโดเมน และ เรนจ์ ของความสมั พนั ธ์ตอ่ ไปนี ้ 1. ������ = (������ + 2)2 + 5 3. ������ = |������ + 5| − 2 4. |������ + 3| = ������ − 1

28 ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 6. |������| + |1 − ������| = 1 5. ������ = −1 − |3 − ������| 7. |������| − |1 − ������| = 1

ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 29 โดเมนและเรนจ์ จากกราฟ ในกรณีท่ีโจทย์ให้ความสมั พนั ธ์มาในรูปกราฟ เราจะมวี ธิ ีหาโดเมนและเรนจ์ได้งา่ ยๆ โดยดวู า่ กราฟทใี่ ห้ คลมุ แกน X (โดเมน) และ แกน Y (เรนจ์) ในชว่ งบริเวณใดบ้าง ถ้าบนเส้นกราฟมวี งกลมโบๆ๋ ( ) หมายความวา่ “ไมม่ ”ี จดุ นนั้ อยบู่ นกราฟ แตถ่ ้าบนกราฟมวี งกลมทบึ ๆ ( ) หมายความวา่ “ม”ี จดุ นนั้ อยบู่ นกราฟ D������ = [−3, 3] D������ = [−3, 3] D������ = R − {0} D������ = R R������ = [−2, 2] R������ = [−3, 3] R������ = R − {0} R������ = [0, ∞) D������ = [0, ∞) D������ = R D������ = R − {0} D������ = (−∞,−2] ∪ [2, ∞) R������ = [0, ∞) R������ = [−2, 2] R������ = {−2, 1} R������ = R D������ = (−3, 2) D������ = [0, ∞) D������ = R D������ = [−1, 3) R������ = [−2, 2) R������ = R R������ = R R������ = (1, 3] D������ = R D������ = R D������ = R − {0} D������ = R R������ = R R������ = (0, ∞) R������ = R − {2} R������ = R

30 ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 2. แบบฝึกหดั 1. จงหาโดเมนและเรนจ์ ของความสมั พนั ธ์ตอ่ ไปนี ้ 1. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 31 อินเวอร์ส อนิ เวอร์สของความสมั พนั ธ์ ������ แทนด้วยสญั ลกั ษณ์ ������−1 หมายถงึ ความสมั พนั ธ์ท่ี “โยงกลบั ทาง” กบั ������ เช่น อนิ เวอร์สของ ������แอบชอบ ก็คอื ความสมั พนั ธ์ “ถกู ชอบ” ซง่ึ แทนด้วยสญั ลกั ษณ์ ������แอบชอบ−1 สมชาย สมหญิง สมหญิง สมชาย สมหวงั สมศรี สมศรี สมหวงั สมปอง สมหมาย สมหมาย สมปอง สมบตั ิ สมบตั ิ ������แอบชอบ ������แอบชอบ−1 จะเหน็ วา่ โดเมน และ เรนจ์ ของ ������−1 จะสลบั กนั กบั โดเมนและเรนจ์ของ ������ กลา่ วคอื D������ = R������−1 และ R������ = D������−1 ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ������ = {(1, 6), (2, 2), (3, 6), (4, 8)} จงหา ������−1 วิธีทา ������−1 คือ ความสมั พนั ธ์ท่ีโยงกลบั ทางกนั กบั ������ 12 2 1 24 4 2 36 6 3 48 8 4 ������ ������−1 จะได้ ������−1 = {(6, 1), (2, 2), (6, 3), (8, 4)} # จะเหน็ วา่ ������−1 ก็คอื การสลบั ������ กบั ������ ในคอู่ นั ดบั นน่ั เอง ดงั นนั้ ถ้าโจทย์ให้ ������ แบบบอกเงื่อนไข แล้วให้หา ������−1 เราก็แคส่ ลบั ������ กบั ������ เช่น ������ = {(������, ������) ∈ ������ × ������ | ������ = 2������ + 1} ������−1 = {(������, ������) ∈ ������ × ������ | ������ = 2������ + 1} (อยา่ ลมื เปลยี่ น ������ × ������ เป็น ������ × ������ ด้วย) ถ้าบางคนไมช่ อบสลบั ������ ������ ในคอู่ นั ดบั จะไปสลบั ������ ������ ตรงเง่ือนไขก็ได้ เช่น ������−1 = {(������, ������) ∈ ������ × ������ | ������ = 2������ + 1} และถ้าจะให้สวย ควรจดั รูปสมการให้ ������ แยกไปอยตู่ วั เดยี ว ������ = 2������ + 1 ������ − 1 = 2������ ������−1 = ������ 2 จะได้ ������−1 = {(������, ������) ∈ ������ × ������ | ������ = ������−1 } 2 ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ������ = {(������, ������) ∈ R+ × R | ������ = ������2 + 1} จงหา ������−1 วธิ ีทา จะสลบั ������ ������ ในคอู่ นั ดบั แล้วตอบ ������−1 = {(������, ������) ∈ R × R+ | ������ = ������2 + 1} ก็ได้ แตไ่ มค่ อ่ ยเป็นที่นิยม เพราะ การใช้ตวั แปร ������ แทนพกิ ดั แกน X และใช้ตวั แปร ������ แทนพิกดั แกน Y จะทาให้สบั สน คนสว่ นใหญ่ นิยมเปลยี่ น ������ ������ ตรงเงื่อนไข แล้วจดั รูปให้ ������ แยกไปอยตู่ วั เดียวมากกวา่

32 ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั นน่ั คอื ������−1 = {(������, ������) ∈ R × R+ | ������ = ������2 + 1} # จดั รูปให้สวยงาม ������ = ������2 + 1 ������ − 1 = ������2 ±√������ − 1 = ������ ดงั นนั ้ ������−1 = {(������, ������) ∈ R × R+ | ������ = ±√������ − 1} ตวั อยา่ ง จงหาอินเวอร์สของความสมั พนั ธ์ ������ = √������ − 2 # วิธีทา ข้อนใี ้ ห้มาแตส่ มการความสมั พนั ธ์ เราต้องรู้เองวา่ โจทย์หมายถงึ ������ = {(������, ������) ∈ R × R | ������ = √������ − 2 } ดงั นนั ้ ������−1 = {(������, ������) ∈ R × R | ������ = √������ − 2 } จดั รูปให้สวยงาม ������ = √������ − 2 ������2 = ������ − 2 ; ������ ≥ 0 ������2 + 2 = ������ ดงั นนั ้ ������−1 = {(������, ������) ∈ R × R | ������ = ������2 + 2 และ ������ ≥ 0 } หรือตอบสนั ้ ๆ วา่ ������−1 คือ ������ = ������2 + 2 โดยที่ ������ ≥ 0 แบบฝึกหดั 2. ������ = {(������, ������) ∈ ������ × ������ │ ������ = ������2 } 1. จงหาอนิ เวอร์สของความสมั พนั ธ์ตอ่ ไปนี ้ 1. ������ = {(1, 4), (2, 2), (3, 2)} 3. ������ = {(������, ������) ∈ R × R+ │ ������ = ������+1 } 4. ������ = 2 2 ������+1 5. ������ = 2������+1 6. ������ = 2 − ������ ������−3

ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 33 7. ������ = 2������2 + 1 8. ������ = √2������ + 1 9. ������2 + ������2 = 1 10. ������ = √4 − ������2

34 ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั กราฟของอนิ เวอร์ส จากหวั ข้อท่แี ล้ว อินเวอร์สของความสมั พนั ธ์ จะได้จากการสลบั ท่ี ������ กบั ������ ในคอู่ นั ดบั เชน่ คอู่ นั ดบั (2, −1) ใน ������ จะกลายเป็น (−1, 2) ใน ������−1 เป็นต้น ������ ������−1 เนื่องจาก ������ กบั ������−1 จะมี ������ กบั ������ สลบั กนั ������ = ������ ดงั นนั้ กราฟของ ������ กบั ������−1 จะสมมาตรกนั ตามแนว 45° (คอื แนว ) เสมอ ดงั นนั้ ถ้าให้กราฟของ ������ มา เราจะวาดกราฟของ ������−1 ได้โดยการสะท้อน ������ ไปตามแนว 45° เช่น ������−1 ������ = ������2 ������ = ������2 ������ ������ = √−������ ������ = √−������ ������ = 1 − |������| ������ = 1 − |������| ������ ������−1 ������ ������−1 ������ ������−1 ������ ������−1

ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 35 ������ ������−1 ������ ������−1 แบบฝึกหดั 1. จงวาดกราฟอนิ เวอร์สของความสมั พนั ธ์ตอ่ ไปนี ้ 1. ������ ������−1 2. ������ ������−1 3. ������ ������−1 4. ������ ������−1 5. ������ ������−1 6. ������ ������−1 7. ������ ������−1 8. ������ ������−1

36 ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั ฟังก์ชนั ฟังก์ชนั คือ ความสมั พนั ธ์ท่ี “ ������ แตล่ ะตวั ห้าม จบั คกู่ บั ������ เกิน 1 ตวั “ เช่น ������ = {(1, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 8)} → ไมเ่ ป็นฟังก์ชนั ������ = {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 7)} → เป็นฟังก์ชนั ������ = {(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2)} → เป็นฟังก์ชนั ตวั อยา่ ง จงพจิ ารณาวา่ ความสมั พนั ธ์ ������2 = ������ เป็นฟังก์ชนั หรือไม่ # วิธีทา ต้องคดิ วา่ มี ������ ตวั ไหนที่จบั คกู่ บั ������ หลายตวั ไหม จะเห็นวา่ มี ������2 อยใู่ นสมการความสมั พนั ธ์ ดงั นนั้ ������ เป็นบวก กบั ������ เป็นลบ จะยกกาลงั สองได้เทา่ กนั เชน่ ������ = 1 กบั ������ = −1 จะคานวณคา่ ������ ได้ 1 นน่ั คือ มี ������ = 1 ท่ีจบั คกู่ บั ������ = 1, −1 ดงั นนั้ ความสมั พนั ธ์ ������2 = ������ ไมเ่ ป็นฟังก์ชนั ปกติแล้ว ในสมการความสมั พนั ธ์ ถ้า ������ ถกู ยกกาลงั คู่ หรือ อยใู่ นเคร่ืองหมายคา่ สมั บรู ณ์ มกั จะไมใ่ ช่ฟังก์ชนั เพราะ ������ เป็นบวก กบั ������ เป็นลบ จะคานวณออกมาได้คา่ เทา่ กนั ทาให้มี ������ หนง่ึ คา่ ที่คกู่ บั ������ ได้สองตวั เช่น ������ = (������ + 1)2 → ไมเ่ ป็นฟังก์ชนั เพราะ มี (1, 0) กบั (1, −2) ในความสมั พนั ธ์ ������ = ������2 + 2������ + 5 → เป็นฟังก์ชนั ������2 + ������2 = 4 → ไมเ่ ป็นฟังก์ชนั เพราะ มี (0, 2) กบั (0, −2) ในความสมั พนั ธ์ 4������ = |������ + 1| → ไมเ่ ป็นฟังก์ชนั เพราะ มี (1, 3) กบั (1, −5) ในความสมั พนั ธ์ ������������ = 1 → เป็นฟังก์ชนั ������ = ������3 → เป็นฟังก์ชนั ������ = 2������ + 5 → เป็นฟังก์ชนั |������| + |������| = 1 → ไมเ่ ป็นฟังก์ชนั เพราะ มี (0, 1) กบั (0, −1) ในความสมั พนั ธ์ (������ − ������)(������ + ������) = 1 → ไมเ่ ป็นฟังก์ชนั เพราะจดั รูปได้เป็น ������2 − ������2 = 1 มี (2, √3) กบั (2, −√3) ในความสมั พนั ธ์ ในกรณีทโ่ี จทย์ให้กราฟของความสมั พนั ธ์มา แล้วถามวา่ ความสมั พนั ธ์ดงั กลา่ ว เป็นฟังก์ชนั หรือไม่ วธิ ีดงู า่ ยๆคอื ถ้าสามารถลากเส้นด่งิ ตดั กราฟได้มากกวา่ 1 จดุ แปลวา่ ไมใ่ ช่ฟังก์ชนั เพราะเส้นดงิ่ ทีต่ ดั กราฟหลายจดุ แปลวา่ มี ������ หนงึ่ ตวั ทีค่ กู่ บั ������ หลายตวั เชน่ ไมเ่ ป็นฟังก์ชนั เป็นฟังก์ชนั เป็นฟังก์ชนั ไมเ่ ป็นฟังก์ชนั

ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 37 เป็นฟังก์ชนั ไมเ่ ป็นฟังก์ชนั ไมเ่ ป็นฟังก์ชนั แบบฝึกหดั 2. {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} 1. ความสมั พนั ธ์ในข้อใดตอ่ ไปนี ้เป็นฟังก์ชนั 1. {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 1)} 3. {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4)} 4. {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1)} 5. {(1, 0), (2, 4), (3, 1), (3, 3)} 2. สมการความสมั พนั ธ์ในข้อใดตอ่ ไปนี ้เป็นฟังก์ชนั 2. ������ = 2������2 + 3 1. ������ = 2������ + 3 3. |������| + |������| = 1 4. ������ = √������ 5. ������ = ������2 − 2������ + 3 6. ������ = ������2 7. ������ = ������2 และ ������ ≥ 0 8. ������2 + ������2 = 1 9. ������2 + ������2 = 1 และ ������ ≥ 0 10. ������2 + ������2 = 1 และ ������ ≥ 0 11. ������2 + ������2 = 1 และ ������������ > 0

38 ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 3. 4. 8. 3. กราฟความสมั พนั ธ์ในข้อใดตอ่ ไปนี ้เป็นฟังก์ชนั 1. 2. 5. 6. 7. 9. 4. ความสมั พนั ธ์ในข้อใดเป็นฟังก์ชนั [O-NET 54/8] 2. { (0, 2), (1, 1), (2, 2), (3, 0) } 1. { (0, 1), (0, 2), (2, 1), (1, 3) } 4. { (1, 2), (0, 3), (1, 3), (2, 2) } 3. { (1, 1), (2, 0), (2, 3), (3, 1) } 5. ความสมั พนั ธ์ในข้อใดเป็นฟังก์ชนั [O-NET 53/11] 1. {(1, 2), (2, 3), (3, 2), (2, 4)} 2. {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 3)} 3. {(1, 3), (1, 2), (1, 1), (1, 4)} 4. {(1, 3), (2, 1), (3, 3), (4, 1)} 6. กาหนดให้ ������ = {������, ������, ������} และ ������ = {0, 1} ฟังก์ชนั ในข้อใดตอ่ ไปนี ้เป็นฟังก์ชนั จาก ������ ไป ������ [O-NET 49/1-4] 2. {(0, ������), (1, ������), (1, ������)} 4. {(0, ������), (1, ������)} 1. {(������, 1), (������, 0), (������, 1)} 3. {(������, 1), (������, 0)}

ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 39 7. แผนภาพของความสมั พนั ธ์ในข้อใดเป็นฟังก์ชนั ทมี่ ี {1, 2, 3, 4, 5} เป็นโดเมน และ {1, 2, 3, 4} เป็นเรนจ์ [O-NET 56/12] 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 1. 3 4 2. 3 4 3. 3 4 4 4 4 5 5 5 1 1 1 1 2 2 4. 2 3 5. 2 3 3 4 4 3 4 4 5 5 8. ให้ ������ = {1, 99} ความสมั พนั ธ์ใน ������ ในข้อใดไมเ่ ป็นฟังก์ชนั [O-NET 52/13] 1. เทา่ กบั 2. ไมเ่ ทา่ กบั 3. หารลงตวั 4. หารไมล่ งตวั 9. กาหนดให้ ������ = {(������, ������) | ������ ∈ ������, ������ ∈ ������ และ ������ หารด้วย ������ ลงตวั } ถ้า ������ = {2, 3, 5} แล้ว ความสมั พนั ธ์ ������ จะ เป็นฟังก์ชนั เม่อื ������ เทา่ กบั เซตใดตอ่ ไปนี ้ [O-NET 50/22] 1. {3, 4, 10} 2. {2, 3, 15} 3. {0, 3, 10} 4. {4, 5, 9}

40 ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 10. จากความสมั พนั ธ์ ������ ท่ีแสดงด้วยกราฟดงั รูป 3 2 1 −3 −2 −1 1 23 −1 −2 −3 ข้อใดตอ่ ไปนีถ้ กู ต้อง [O-NET 52/14] 1. ������ เป็นฟังก์ชนั เพราะ (1, 1), (2, 2) และ (3, 3) อยใู่ นแนวเส้นตรงเดยี วกนั 2. ������ เป็นฟังก์ชนั เพราะมจี านวนจดุ เป็นจานวนจากดั 3. ������ ไมเ่ ป็นฟังก์ชนั เพราะมจี ดุ (3, 3) และ (3, −1) อยบู่ นกราฟ 4. ������ ไมเ่ ป็นฟังก์ชนั เพราะมจี ดุ (1, 1) และ (−1, 1) อยบู่ นกราฟ 11. กราฟในข้อใดแสดงวา่ ������ เป็นฟังก์ชนั ของ ������ [O-NET 57/13] ������ ������ 3. ������ ������ 1. 2. ������ ������ ������ ������ 4. 5. ������ ������

ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 41 สญั ลกั ษณ์แทนฟังก์ชนั ปกติ เรานยิ มใช้ตวั แปร ������ แทนความสมั พนั ธ์ แตถ่ ้าความสมั พนั ธ์ไหน เป็นฟังก์ชนั เราจะนิยมใช้ตวั แปร ������ , ������ , ℎ แทน เช่น ������ = {(1, 2), (2, 4), (3, 6)} , ������ = {(1, 3), (2, 3), (3, 4)} , ℎ = {(2, 3), (5, 6)} นอกจากนี ้เรายงั ใช้สญั ลกั ษณ์ ������(������) , ������(������) , ℎ(������) แทน ������ ได้ด้วย เชน่ ฟังก์ชนั ������ = 2������2 + 1 จะเขยี นอีกแบบได้เป็น ������(������) = 2������2 + 1 และ ������(������) จะหมายถงึ คา่ ������ เมอื่ ������ = ������ เช่น ������(1) = คา่ ������ เมอื่ ������ = 1 ������(0) = คา่ ������ เมอ่ื ������ = 0 ������(−2) = คา่ ������ เมอ่ื ������ = −2 เป็นต้น เช่น ถ้า ������ = { (−1, 2) , (0, 5) , (1, 4) , (2, −1) , (3, 6) , (4, 3) } จะได้ ������(3) = 6 , ������(0) = 5 และ ������(−1) = 2 เป็นต้น และในกรณีท่ีโจทยใ์ ห้สมการของ ������(������) มา เราสามารถหา ������(������) ได้โดยแทนคา่ ������ = ������ ลงไปในสมการ ������(������) เชน่ ถ้า ������(������) = 2������ − 1 จะได้ ������(3) = 2(3) − 1 = 5 ������(1) = 2(1) − 1 = 1 ถ้า ������(������) = ������2 + 1 จะได้ ������(3) = 32 + 1 = 10 ������(0) = 02 + 1 = 1 ������(−1) = (−1)2 + 1 = 2 ������(������) = ������2 + 1 นอกจากนี ้ยงั แทนคา่ ������ เป็นอะไรอยา่ งอน่ื อยา่ งอ่นื แบบแปลกๆก็ได้ เช่น ������(−������) = (−������)2 + 1 ������(3������) = (3������)2 + 1 = ������2 + 1 = 9������2 + 1 ������(1 − ������) = (1 − ������)2 + 1 ������(√������ + 1) = √������ + 12 + 1 = 12 − 2������ + ������2 + 1 = ������ + 2 ; ������ ≥ −1 = ������2 − 2������ + 2 ������(������(������)) = (������(������))2 + 1 ทานองกลบั กนั ถ้าโจทย์ให้ ������(������) แบบทแ่ี ทนคา่ ������ แบบแปลกๆไปเรียบร้อยแล้ว เราต้องสามารถ “แปลงกลบั ” ให้เป็น ������(������) แบบปกติ ก่อนแทน ได้ เพ่ือปอ้ งกนั การสบั สนระหวา่ ง ������ กอ่ นแทน กบั ������ หลงั แทน เรามกั ใช้ตวั แปร ������ เข้ามาคน่ั แล้วแปลงกลบั เป็น ������ ตอนจบ ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ������(1 − ������) = ������2 − 2������ + 2 จงหา ������(������) วธิ ีทา ข้อนี ้เราต้องเปลยี่ น ������(1 − ������) ให้กลายเป็น ������(������) โดยจะเปลย่ี น ������(1 − ������) เป็น ������(������) ก่อน ให้ 1 − ������ = ������ ดงั นนั้ ������(1 − ������) = ������2 − 2������ + 2 ������(������) = (−������ + 1)2 − 2(−������ + 1) + 2 −������ = ������ − 1 = ������2 − 2������ + 1 + 2������ − 2 + 2 ������ = −������ + 1 = ������2 + 1 จะได้ ������(������) = ������2 + 1 เปลยี่ นตวั แปร ������ เป็น ������ กอ่ นตอบ จะได้ ������(������) = ������2 + 1 #

42 ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ������ (������−1) = ������2 − 1 จงหา ������(������) 2 วิธีทา ข้อนี ้เราต้องเปลยี่ น ������ (������−21) ให้กลายเป็น ������(������) โดยจะเปลยี่ น ������ (������−21) เป็น ������(������) ก่อน ให้ ������−1 = ������ ดงั นนั้ ������ (������−21) = ������2 − 1 2 ������(������) = (2������ + 1)2 − 1 ������ − 1 = 2������ ������ = 2������ + 1 ������(������) = 4������2 + 4������ + 1 − 1 = 4������2 + 4������ จะได้ ������(������) = 4������2 + 4������ เปลย่ี นตวั แปร ������ เป็น ������ จะได้ ������(������) = 4������2 + 4������ # # ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ������(√������ + 1) = ������2 + 1 จงหา ������(2) วธิ ีทา ข้อนี ้จะทาแบบข้อทแี่ ล้ว คอื หา ������(������) ออกมาก่อน แล้วคอ่ ยแทน ������ = 2 ก็ได้ แตว่ ธิ ีทง่ี า่ ยกวา่ คอื หา ������(2) โดยตรงเลย ดงั นี ้ โจทย์กาหนดให้ ������(√������ + 1) = ������2 + 1 เราจะหา ������ ( 2 ) ดงั นนั้ ต้องเทยี บ √������ + 1 = 2 แทนใน ������2 + 1 ได้ 32 + 1 → 10 ������ + 1 = 4 ������ = 3 ดงั นนั ้ ������(2) = 10 เนือ่ งจากฟังก์ชนั เป็นความสมั พนั ธ์ชนดิ หนง่ึ ดงั นนั้ โจทย์ในเรื่องความสมั พนั ธ์ ก็จะนามาถามกบั ฟังก์ชนั ได้ ตวั อยา่ ง จงหาโดเมน และ เรนจ์ ของฟังก์ชนั ������(������) = ������2 + 1 วิธีทา ข้อนี ้ทาเหมอื นกบั หาโดเมน และเรนจ์ ของความสมั พนั ธ์ ������ = ������2 + 1 จะเห็นวา่ สมการทโ่ี จทยใ์ ห้ อยใู่ นรูปท่หี าโดเมนได้เลย เนื่องจาก ������ ไมเ่ ป็นตวั หาร และ ไมอ่ ยใู่ น √ ดงั นนั้ D������ = R ถดั มา หาเรนจ์ เนื่องจาก มี ������2 อยใู่ นสมการความสมั พนั ธ์ ดงั นนั้ เราจะใช้วิธีพจิ ารณาชว่ งคา่ ทเ่ี ป็นไปได้ ������2 ≥ 0 ดงั นนั ้ R������ = [1, ∞) # ������2 + 1 ≥ 1 ������ ≥ 1 แบบฝึกหดั 1. กาหนดให้ ������ = {(1, 2), (2, 4), (3, 2), (4, 1)} จงหาคา่ ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี ้ 1. ������(1) 2. ������(2) + 1 3. ������(2 + 1) 4. ������(22) 5. (������(2))2 6. ������(������(1))

ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 43 2. กาหนดกราฟของฟังก์ชนั ������ ดงั รูป 2. ������(−1) จงหาคา่ ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี ้ 4. ������(−10) 1. ������(0) 2. ������(������) = √������ − 4 + 1 3. ������(������(3)) 3. จงหา D������ และ R������ 1. ������(������) = 2������ + 1 3. ������(������) = |������ + 1| 4. ������(������) = ������2 + 6������ + 1 4. กาหนดให้ ������(������) = 1 − 2������ − ������2 จงหา 2. ������(−������) 1. ������(2) 3. ������(������2) 4. ������(1 − ������)

44 ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 5. กาหนดให้ ������(������) = 2������ + 1 จงหา ������(������(������)) 6. กาหนดให้ ������(2������ + 1) = 4������ + 3 จงหา ������(������) 7. กาหนดให้ ������(������ − 1) = 2������ จงหา ������(������ + 1) 8. กาหนดให้ ������(√������2 + 1) = ������2 − 1 จงหา ������(2) 9. กาหนดให้ ������ ( ������ ) = 1 เมอ่ื ������ ≠ 0 และ ������ ≠ 1 จงหา ������(������) ������−1 ������

ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 45 10. ให้ ������ เป็นฟังก์ชนั ซงึ่ มโี ดเมนและเรนจ์เป็นสบั เซตของเซตของจานวนจริง โดยที่ ������(2������ + 1) = 4������2 + 14������ จงหา ������(������) 11. ถ้า ������ = {(1, 0), (2, 1), (3, 5), (4, 3), (5, 2)} แล้ว ������(2) + ������(3) มคี า่ เทา่ ใด [O-NET 49/2-1] 12. กาหนดให้กราฟของฟังก์ชนั ������ เป็นดงั นี ้ คา่ ของ 11������(−11) − 3������(−3)������(3) คอื เทา่ ไร [O-NET 53/13]

46 ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 13. ฟังก์ชนั ������ = ������(������) ในข้อใดมกี ราฟดงั รูปตอ่ ไปนี ้ [O-NET 49/1-7] Y ������ = ������(������) (0, 1) 1 X −1 0 2. ������(������) = 1 + |������| 4. ������(������) = |1 + ������| 1. ������(������) = 1 − |������| 3. ������(������) = |1 − ������| 14. ถ้า ������(������ − 2) = 2������ − 1 แล้ว ������(������2) มีคา่ เทา่ กบั เทา่ ไร [O-NET 54/11] 15. จานวนในข้อใดตอ่ ไปนเี ้ป็นสมาชิกของโดเมนของฟังก์ชนั ������ = ������ + 2������−1 [O-NET 52/15] ������2+3������+2 ������2−1 1. −2 2. −1 3. 0 4. 1 16. ถ้า ������(������) = 3 − √4 − ������2 แล้ว จงหา D������ และ R������ [O-NET 54/10]

ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 47 17. ถ้า ������(������) = √3 − ������ และ ������(������) = −2 + |������ − 4| แล้ว D������ ∪ R������ คอื ข้อใด [O-NET 53/12] 1. (−∞, 3] 2. [−2, ∞) 3. [−2, 3] 4. (−∞, ∞) 18. ถ้า ������(������) = 1 แล้ว เรนจ์ของ ������ คือเซตในข้อใด [O-NET 56/14] |������|−1 1. { ������ | −1 < ������ ≤ 0 } 2. { ������ | −1 ≤ ������ < 0 } 3. { ������ | ������ < −1 หรือ ������ > 0 } 4. { ������ | ������ < −1 หรือ ������ ≥ 0 } 5. { ������ | ������ ≤ −1 หรือ ������ > 0 }

48 ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั ฟังก์ชนั กาลงั สอง ฟังก์ชนั กาลงั สอง คอื ฟังก์ชนั ที่อยใู่ นรูป ������(������) = ������������2 + ������������ + ������ เมอ่ื ������, ������, ������ เป็นตวั เลขอะไรก็ได้ ที่ ������ ≠ 0 เชน่ ������(������) = 2������2 − ������ + 5 → ������ = 2 , ������ = −1 , ������ = 5 ������(������) = 3 + 2������ − ������2 → ������ = −1 , ������ = 2 , ������ = 3 ������(������) = ������2 → ������ = 1 , ������ = 0 , ������ = 0 ถ้านาฟังก์ชนั กาลงั สอง ไปวาดกราฟ จะได้กราฟทเี่ รียกวา่ “พาราโบลา” ซง่ึ จะมลี กั ษณะเป็นเส้นโค้งทมี่ กี ารวกกลบั  ถ้า ������ เป็นบวก จะได้พาราโบลา “หงาย” ถ้า ������ เป็นลบ จะได้พาราโบลา “ควา่ ” หงาย ควา่  จดุ ทพ่ี าราโบลา วกกลบั เรียกวา่ “จดุ ยอด” สตู รหาพกิ ดั ของจดุ ยอด คือ (− ������ , 4������������−������2) 2������ 4������ หงาย คว่า จดุ ยอด = จดุ ตา่ สดุ จดุ ยอด = จดุ สงู สดุ ไมม่ จี ดุ สงู สดุ ไมม่ ีจดุ ตา่ สดุ เพราะสงู ได้เร่ือยๆ เพราะต่าได้เร่ือยๆ  เรียกแนวเส้นตรงที่ผา่ กลางพาราโบลาวา่ “แกนสมมาตร” เวลาตอบแกนสมมาตร ให้ตอบเป็นสมการ ������ = − ������ 2������ = พิกดั ตวั หน้าของจดุ ยอด ตวั อยา่ ง จงวาดกราฟของฟังก์ชนั ������(������) = ������2 + 2������ − 5 พร้อมทงั้ บอกสมการแกนสมมาตร วธิ ีทา จะได้ ������ = 1 , ������ = 2 , ������ = −5 เนือ่ งจาก ������ = 1 เป็นบวก ดงั นนั้ เป็นกราฟหงาย จดุ ยอด เป็นจดุ ตา่ สดุ และมีพกิ ดั = (− ������ , 4������������−������2) 2������ 4������ = (− 2 , 4(1)(−5)−22 ) 2(1) 4(1) = (−1 , −424) = (−1 , −6) (−1, −6) สมการแกนสมมาตร คือ ������ = −1 # # ตวั อยา่ ง จงวาดกราฟของฟังก์ชนั ������(������) = 4 − ������2 พร้อมทงั้ บอกสมการแกนสมมาตร วธิ ีทา จะได้ ������ = −1 , ������ = 0 , ������ = 4 เนอ่ื งจาก ������ = −1 เป็นลบ ดงั นนั้ เป็นกราฟคว่า จดุ ยอด เป็นจดุ สงู สดุ และมีพกิ ดั = (− ������ , 4������������−������2) (0, 4) 2������ 4������ = (− 0 , 4(−41()−(41))−02) 2(−1) = (0, 4) สมการแกนสมมาตร คือ ������ = 0


Like this book? You can publish your book online for free in a few minutes!
Create your own flipbook