Lógica de primer orden

UNIVERSIDAD BANCARIA DE MÉXICO “Constancia Unidad y trabajo” INGENIERÍA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES RECONOCIMIENTO DE VALIDEZ OFICIAL DE ESTUDIOS DE LA SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA No. 2022241 DE FECHA 13 DE SEPTIEMBRE DE 2002. NOMBRE DE LA MATERIA Elementos y estructura de las computadoras NOMBRE DEL PROFESOR(A) Néstor Apolo López CUATRIMESTRE 2do cuatrimestre TÍTULO DEL TRABAJO O INVESTIGACIÓN Lógica de primer orden NOMBRE DE ALUMNO(S) López Nava Eduardo FECHA DE ENTREGA 19/04/21

1 ÍNDICE Título Páginas Tabla de contenido Introducción…………………………………………………………………………..… 2 1. Lógica de primer orden.................................................................. 3 1.1 Sintaxis y semántica........................................................................ 3 1.2 Términos......................................................................................... 4 1.3 Oraciones atómicas………………………………………….………………………… 5 1.4 Oraciones complejas……………………………………….…………………………. 5 1.5 Cuantificadores……………………………………………….…………………………. 6 1.5.1 Cuantificador universal………………………………………………………… 6 1.5.2 Cuantificador existencial y unicidad……..……………………………… 7 1.5.3 Cuantificadores anidados…………………………..……………………..… 7 1.6 Lógica de orden superior…………………..……………….……………………… 7 Conclusiones…………………………………………………………………………….… 8

2 Introducción El hecho de que las fórmulas atómicas representen proposiciones simples y no se pueda acceder a los elementos de la proposición, restringe la capacidad expresiva de la lógica proposicional. La lógica de primer orden incluye el concepto de término, como componente de las fórmulas atómicas, que hace referencia a los elementos que forman parte de las proposiciones simples. Considerar las sentencias: “Confucio es un hombre.” “Todos los hombres son mortales.” La inferencia trivial “Confucio es mortal” puede realizarse en la lógica de primer orden, pero no en la lógica proposicional.

3 1. Lógica de primer orden Permite hacer cuantificación sobre los objetos de un dominio, por ejemplo, puede expresar cosas como: \"Todas las máquinas son inteligentes”, “Algunas máquinas funcionan correctamente”, etc. Permite representar propiedades de los objetos particulares del dominio por medio de predicados y funciones. Permite trabajar con subconjuntos de objetos que pueden venir caracterizados por propiedades que se describen por medio de propiedades y funciones. 1.1 Sintaxis y semántica Los símbolos básicos a partir de los cuales se construyen las fórmulas del lenguaje son: Símbolos de Constantes: A, B, C, ..., Árbol, Luis. Símbolos de Funciones: f, g, h, ..., suma, resta. Cada símbolo de función tiene asociado un entero (>1) denominado grado o aridad, que indica cuantos argumentos tomará el símbolo de función. Símbolos de predicado: P, Q, R, ..., COLOR, PADRE Los símbolos de predicado también tienen asociado un grado o aridad. Símbolos de variable: x, y, z, x1, y1, z1, ... (contable) Conectores Lógicos: ¬, ∨, ∧, ↔, ⊃ Cuantificadores: ∀, cuantificador universal, para todo. ∃, cuantificador existencial, existe. Símbolos Auxiliares: (, ), , Un vocabulario, W, es una cuádrupla <C, F, P, d> donde C: conjunto finito de símbolos de constantes

4 F: conjunto finito de símbolos de función P: conjunto finito de símbolos de predicado d: función grado o aridad; d: F ∪ P ---> {1, 2, 3, ...} con la restricción de que C, F y P son disjuntos dos a dos. Supondremos, además, que no contienen símbolos de variable, conectores, cuantificadores, ni símbolos auxiliares. Una definición más adecuada es W=<F, P, d>, de modo que los símbolos de constante se consideran símbolos de función de grado 0. Además, F y P son contables. 1.2 Términos Los términos son las expresiones del lenguaje que se identifican con posibles objetivos del mundo. - Las constantes son términos del lenguaje (sirven para hablar de objetos específicos). - Las variables son términos del lenguaje (sirven para hablar de objetos genéricos). - Las funciones aplicadas a otros términos son también términos de lenguaje. Es decir, si f es un símbolo de función del lenguaje, de aridad n, y t1, …, tn son términos del lenguaje, entonces f(t1, …, tn) es también un término del lenguaje. Entonces, los términos del lenguaje son: - Por las constantes: 0, 1. - Por las variables: x, y, x1, … - Por las funciones: s(0), s(x), s(s(1)), + (x, 1), + (s(0), s(s(y))), …

5 1.3 Oraciones atómicas enunciados (oraciones que son verdaderas o falsas) simples, enunciados cuya verdad o falsedad no puede analizarse en función de enunciados más simples que ellos. Por ejemplo: - Mañana lloverá y nevará no es una proposición atómica: podemos analizar que será verdadera si son verdaderas dos proposiciones más simples que aparecen en ella: Mañana lloverá y Mañana nevará. Y podemos analizar que será falsa si una cualquiera de esas dos proposiciones más simples es falsa. - No lloverá mañana no es una proposición atómica: su verdad o falsedad dependen de una proposición más simple que ella: Lloverá mañana. Si ésta última proposición es verdadera, su negación será falsa. Y si fuese falsa, su negación será verdadera. Por tanto, No lloverá mañana depende de Lloverá mañana y por eso no es una proposición atómica. - Mañana lloverá es una proposición atómica: su verdad o falsedad sólo depende de un hecho: que mañana llueva. No hay una oración más sencilla de la que dependa la verdad o falsedad de Mañana lloverá. 1.4 Oraciones complejas Las proposiciones moleculares (compuestas o coligativas) contienen alguna conjunción gramatical típica o conectiva o el adverbio negativo “no”. Ejemplo: - La lógica y la matemática son ciencias formales. - El tiempo es absoluto o es relativo Según el tipo de conjunción que llevan, se clasifican en conjuntivas, disyuntivas, condicionales y bicondicionales, si llevan el adverbio de negación “no” se llaman negativas. - ‘El’ es un artículo y ‘de’ es una preposición. - El número dos es par, pero el número tres es impar.

6 1.5 Cuantificadores Los símbolos de expresiones cuantificados son: - Todos los S son P - Ningún S es P - Algunos S son P Necesitamos introducir nueva simbología. En lo que sigue, sean 9, K, A - expresiones aceptadas como bien escritas, en nuestro lenguaje formal y sean x, y, z variables. “Todos los …, son …” Símbolos: ↑→, A = Nosotros 1.5.1 Cuantificador universal El cuantificador universal es una “A” al revés, y se simboliza la última proposición. Existe en el lenguaje otra forma de expresar lo mismo. En vez de decir “Para cada x, x > 5” se puede decir: - Para todo x, x > 5. En ambos casos se simboliza: (V*)(*>5). Desde el punto de vista lógico “Para cada x” se usa en el mismo sentido que la frase “Para todo x”. El cambio de “cada” a “todo”, representa en el lenguaje usual el cambio de singular a plural, pero éste es un cambio superficial análogo a uno que se había observado antes para los nombres comunes. No se trata de un cambio lógico. “Todos los humanos respiran” se traduce de la misma manera que si dijéramos “Cada humano respira”. En el lenguaje corriente, en vez de decir “Para cada x, x es sabio”, se diría “Cada uno es sabio”.

7 1.5.2 Cuantificador existencial y unicidad La expresión “Ex 9” (‘E’ del revés) debe leerse de las siguientes maneras: - Existe un x tal, que 9. - Hay una x tal, que 9 Al dar una interpretación, las variables recorrerán sobre los elementos del universo de interpretación y siendo consecuentes con ello, las interpretaciones de “Ax” y “Ex”. Serán para todo elemento del universo de interpretación y existe un elemento del universo de interpretación. 1.5.3 Cuantificadores anidados Cuando un predicado depende de varias variables se pueden utilizar cuantificadores (universales y/o existenciales) para cada una de las variables. Si P(x, y): - 1.6 Lógica de orden superior Es el resultado técnico por antonomasia de LPO y que le valió de independencia es el Teorema de completud, cuya prueba fue la tesis doctoral de Kurt Gödel en 1929. Este presenta un sistema deductivo para LPO que es completo, sólido y efectivo. Técnicamente, se entiende que una fórmula válida en todos los modelos de la lógica clásica será deducible de los axiomas y reglas de inferencia previamente especificados.

8 Conclusiones Al concluir esta investigación podemos determinar que la lógica de primer orden, tiene como finalidad facilitar la solución de algunos o muchos problemas tales como: El cuantificado de objetos de un dominio, representación de propiedades de objetos en un dominio con predicado y funciones, trabajar con subconjuntos con características específicas. La lógica de primer orden es de técnica inmediata para la aplicación de técnicas desarrolladas, que se comportan de manera indecidible. Bibliografía Sintaxis y Semántica de la Lógica de Primer Orden - Fernando Sancho Caparrini (us.es) Aula de Filosofía - Lógica proposicional (google.com) Lgica de Primer Orden (uva.es)