E-Book - Magnet (Test)

บทที่ 3 แรง/แม#่เห)ล0็กบ'แทล6#ทะ+ส่ี%03น&า(ม1แม4่เห%ล'็ก5 3 /#)0'6+%(+'.&5 แรงแมเ่ หลก็ และสนามแม่เหลก็ แม่เหล็กและอำนาจแม่เหล็กเป็นสาขาที่สำคัญมากสาขาหนึ่งในฟิสิกส์และในปัจจุบันได้นำเอา ความร้เู ก่ียวกับแม่เหลก็ ไฟฟ้ามาใชป้ ระโยชนก์ นั อยา่ งกวา้ งขวาง กล่าวคือมนษุ ย์ได้นำเอาวสั ดุแมเ่ หลก็ มาสร้างอุปกรณต์ ่างๆ มากหมาย อาทเิ ชน่ มเิ ตอร์ มอเตอร์ และลำโพรง รวมถึงเทปบนั ทึกเสียงและ วดี โี อ ตลอดจนฮารด์ ดิสเก็บขอ้ มูลของคอมพเิ ตอร์ นอกจากนยี้ ังมกี ารนำสนามแม่เหล็กมาประยกุ ต์ใช้ ทางการแพทยโ์ ดยนำมาสรา้ งอุปกรณ์สำหรับสแกนรา่ งกายมนษุ ย์ (MRI) เป็นตน้ ดงั นน้ั เราจงึ ควรมี ความรู้ ความเข้าใจพน้ื ฐานเก่ียวกบั วัสดุแมเ่ หล็ก อำนาจแมเ่ หลก็ สนามแม่เหล็กและแรงแมเ่ หล็ก ในเอกสารบทนี้จะอธิบายเกี่ยวกับวัสดุแม่เหล็กและสนามแม่เหล็ก แรงแม่เหล็กและทอร์คบน ตัวนำทมี่ ีกระแสไฟฟา้ การเคลือ่ นท่ีของประจุในสนามแมเ่ หลก็ สนามแม่เหลก็ เน่อื งจากกระแสไฟฟ้า รวมถงึ กฎของบโิ อต-์ ซาวาร์ต และกฎของแอมแปร์ 3.1 วสั ดุแมเ่ หล็กและสนามแมเ่ หลก็ 3.1.1 วสั ดแุ ม่เหล็ก วสั ดุแมเ่ หลก็ (magnetic material) คือ วตั ถใุ ดๆ ทอี่ ำนาจทางแมเ่ หลก็ (magnetism) คอื สามารถดงึ ดดู วตั ถุอืน่ ๆ ทีเ่ ป็นสารประกอบเหล็กได้ สารแม่เหล็กทม่ี อี ย่ใู นธรรมชาตซ่งึ ถกู คน้ พบครง้ั แรก คอื แมกเนไทต์ (Fe3O4) ทัง้ น้ีโดยทว่ั ไป เราจะพบวตั ถแุ ม่เหล็กอยูใ่ นแทง่ สเ่ี หลี่ยม หรือตัวยูเกือกมา้ ดังแสดงในภาพที่ 3.1 ภาพท่ี 3.1 วัตถทุ ่ีมีอำนาจแมเ่ หล็ก

ภาพท่ี 3.1 แสดงแท่งแมเ่ หลก็ จะเหน็ วา่ ประกอบด้วยสองขัว้ คือข้วั เหนอื (north pole ;N) และขวั้ ใต้ (south pole ; S) และไม่สามารถแบง่ แยกจากกนั ได้ ทงั้ น้ีถ้านำแท่งแม่เหล็กสองอนั เข้ามาใกล้กันจะพบว่าแท่งแม่เหล็กทั้งสองจะดึงดูดกันหรือผลักกันขึ้นอยู่กับขั้วของแม่เหล็กที่นำ มาเข้าใกล้กัน โดยที่ถ้าเป็นขั้วชนิดเดียวกันจะผลักกัน แต่ถ้าเป็นขั้วต่างชนิดกันจะดึงดูดกัน นอกจากนส้ี สารหรอื วัตถุทม่ี อี ำนาจแมเ่ หลก็ ยงั สามารถดดู โลหะช้ินเล็กๆได้ ซงึ่ โดยธรรมชาตแิ ล้ว แมเ่ หลก็ จะวางตวั อยูใ่ นแนวเหนอื - ใต้ เสมอ ดงั นน้ั มนษุ ยจ์ ึงใช้สนามแมเ่ หล็กในการบอกทิศใน การเดินทางทงั้ นี้เราจะวสั ดุแมเ่ หล็ก แบง่ ออกเป็นสามประเภท ใหญ่ๆ คอื 1. เฟอโรแมกเนติก (ferromagnetic) หมายถึง วัตถุที่มีความเป็นแม่เหล็ก แม้ว่าจะไม่มี สนามแม่เหล็กภายนอกมากระทำกับวัตถุนั้น อาทิเช่น เหล็ก โคบอล และนิเกิล 2. พาราแมกเนติก (paramagnetic) หมายถึง วัตถุที่มีความเป็นแม่เหล็กได้เล็กน้อย เมื่อมีสนามแม่เหล็กภายนอกมากระทำแต่จะมีความเป็นแม่เหล็กสูงขึ้นตาม อุณหภูมิ(อุณหภูมิคูรีย์) อาทิเช่น อลูมิเนียม แคลเซียม และ แพลททินัม 3. ไดอาแมกเนติก (diamagnetic) หมาถึง วัตถุที่มีอำนาจแม่เหล็กน้อยมากแม้ว่าจะมี สนามแม่เหล็กสูงภายนอกมากระทำ อาทิเช่น น้ำ ค.ศ. 1819 ฮานส์ ครสิ เตียน เออรส์ เตด (Hans Christian Oersted) นกั ฟสิ ิกสช์ าวเดนมาร์ก ได้ศึกษาอำนาจแม่เหล็กอย่างจริงจังและพบว่า เมื่อนำเข็มทิศไปวางไว้ใกล้ตัวนำที่มีกระแสไฟฟ้า ไหลผ่านเข็มทิศจะเบนไปจากเดิมซึ่งแสดงให้ว่ากระแสไฟฟ้าที่ไหลผ่านตัวนำนั้นสามารถทำให้เกิด สนามแม่เหลก็ ในตวั นำนนั้ ๆ ได้ และ ตอ่ มา ไมเคิล ฟาราเดย์ (Michael Faraday) นกั ฟสิ กิ สช์ าว อังกฤษ ได้ทำการศึกษากระแสไฟฟ้าในขดลวดเหนี่ยวนำและสรุปเป็นกฎเหนี่ยวนำของฟาราเดย์ ตอ่ จากน้ัน เจมส์ คลารก์ แมกซเ์ วลล์ (James Clerk Maxwell) ไดส้ รปุ ความสมั พันธข์ องไฟฟ้าและ แม่เหล็ก และตั้งเปน็ ทฤษฎที างไฟฟา้ และแม่เหลก็ ไดส้ ำเรจ็ รยี กวา่ สมการของแมกซ์เวลล์ 3.2.2 สนามแม่เหลก็ สนามแมเ่ หล็ก (magnetic field ; ) เป็น ปริมาณเวกเตอร์เหมือนกบั สนามไฟฟ้า แต่สนามแม่เหล็กจะเปน็ วงรอบปดิ เสมอโดยมีทศิ ทางจากพงุ่ ออกจากข้ัวเหนือ(N) ไปยงั ขัว้ ใต้ (S) เสมอ ซ่ึงเราสามารถแสดงใหเ้ ห็นทิศทางของสนามแมเ่ หลก็ โดยใช้ เข็มทิศทางรอบๆ แท่งแมเ่ หลก็ แล้วสงั เกตการเบนของปลายเข็มทศิ ดังภาพท่ี 3.2

ภาพที่ 3.2 ทิศของสนามแมเ่ หลก็ (College Physics, 9 edition, Raymond A. Serway ; 650) สนามแมเ่ หลก็ มีหน่วยเปน็ เทสลา (Tesla ; T ) หรือ เวเบอร์ต่อตารางเมตร ( Wb m2 ) และเกาส์ (Gauss ; G ) ซึง่ 1.0 เทสลา หรือ 1.0 เวเบอรต์ อ่ ตารางเมตร จะมีคา่ เท่ากับ 104 เกาส์ ทงั้ นส้ี นามแม่เหลก็ ของโลกมคี ่าประมาณ 10-5 เทสลา และสนามแมเ่ หลก็ ทมี่ นษุ ยส์ ามารถสร้าง ขึ้นได้ในหอ้ งปฎบิ ตั กิ ารมีคา่ ประมาณ 10 เทสลา ถ้าเรานำแท่งแม่เหล็กถาวรไปผูกไว้ในสนามแม่เหล็ก จะทำให้แท่งแม่เหล็กนั้นชี้ไปในแนว ทศิ เหนือ-ใต้ ตามขัว้ สนามแมเ่ หลก็ โลก ซงึ่ ปลายทชี่ ไี้ ปทศิ เหนอื เรียกว่า ขว้ั เหนอื และปลายท่ี ชี้ไปทิศใต้ เรียกว่า ข้วั ใต้ โดยเปรียบว่าโลกเปน็ แท่งแมเ่ หลก็ ท่ีมขี ั้วใต้อย่ทู ี่ ข้ัวโลกเหนือและ มขี ว้ั เหนืออย่ทู ี่ข้ัวโลกใต้ ภาพที่ 3.3 ขั้วของสนามแม่เหล็กโลก สนามแมเ่ หล็กแลข้ัวโลกทางภูมศิ าสตร์ http://www.lesa.biz/earth/lithosphere/earth-structure/magnetosphere

3.2 แรงลอเรนตซ์ เม่ือประจุ q เคลอ่ื นทผ่ี า่ นเข้าไปในบริเวณท่ีมที ั้งสนามไฟฟา้ และสนามแม่เหลก็ จะมีแรงเน่ืองจาก สนามท้ังสองน้นั กระทำต่อประจุ q โดยเรียกแรงดงั กล่าววา่ แรงโลเรนตซ์ (Lorentz force) !\" !\" !\" (3.1) FL = FE + FB เมอ่ื !\" และ !\" คือ แรงทางไฟฟา้ และแรงแม่เหลก็ ตามลำดับ FE FB 3.2.1 แรงทางไฟฟ้า !\" FE ถา้ วางประจุไฟฟา้ q ทต่ี ำแหนง่ ใดๆ ในบรเิ วณทม่ี ีสนามไฟฟา้ จะมแี รงทางไฟฟา้ !\" กระทำตอ่ ประจุไฟฟ้าดังกลา่ ว โดยที่ FE จะทศิ ทางเดียวกับสนามไฟฟา้ และขนาดของ แรงทางไฟฟา้ จะเปน็ ไปตามสมการ FE = qE (3.2) เม่อื คือขนาดของสนามไฟฟา้ และ มีขนาดเทา่ กบั 1.6x10-19 คูลอมบ์ 3.2.2 แรงแม่เหล็ก ถ้าประจไุ ฟฟ้า เคล่อื นทีเ่ ขา้ สู่บรเิ วณทม่ี สี นามแมเ่ หล็ก ด้วยควมเรว็ แล้วจะเกดิ !\" แรงเน่ืองจากสนามแมเ่ หล็กกระทำบนประจนุ ัน้ เรียกวา่ “แรงแม่เหล็ก FB (magnetic force)” ซึง่ เป็นไปตามสมการ !\" qv\" !\" FB B = × (3.3) และขนาดของแรงแมเ่ หลก็ FB หาไดจ้ าก FB = qvBsinθ (3.4) เมอื่ !\" คอื แรงแมเ่ หล็กซึ่งมีทศิ ตงั้ ฉากกบั ระนาบของความเร็ว และสนามแมเ่ หลก็ FB คือ อตั ราเรว็ ของการเคลอ่ื นทข่ี องประจไุ ฟฟา้ คือ ขนาดหรอื ความเข้มของสนามแมเ่ หลก็ และ θ คือมุมระหวา่ ง และ

ภาพที่ 3.4 ทิศทางของแรงแมเ่ หล็ก !\" ทีก่ ระทำต่อประจุบวกซ่ึงกำลังเคลื่อนท่ดี ้วยความเร็ว v! FB ในสนามแมเ่ หลก็ !\" (College Physics, 9 edition, Raymond A. Serway ; 653) B สนามแมเ่ หลก็ ขนาด 1.0 เทสลา หมายถึง ความเข้มของสนามที่ทำใหเ้ กดิ แรง 1.0 นิวตนั ท่ีทำใหป้ ระจขุ นาด 1.0 คลู อมบ์ ให้เคล่อื นทดี่ ว้ ยควมเรว็ 1.0 เมตรตอ่ วนิ าทีในทิศทต่ี ัง้ ฉากกับ สนามแมเ่ หลก็ น้นั และจากสมการ (3.4) เราจะเหน็ วา่ ถา้ ประจเุ คล่ือนทีเ่ ขา้ ใปในสนามแมเ่ หล็ก โดยมีทิศตั้งฉากกับสนามแม่เหล็กแล้ว ขนาดของแรงที่กระทำบนประจุนั้นจะมีค่าสูงสุด Fmax = qvB เพราะ sin90! =1 แตถ่ า้ ประจเุ คลือ่ นทีเ่ ขา้ ไปในสนามแม่เหล็กโดยมีทิศทาง ขนานกับสนามแม่เหลก็ แล้วแรงทกี่ ระทำบนประจนุ ั้นจะมคี ่าเป็น ศนู ย์ การหาทศิ ทางของแรงทก่ี ระทำบนประจบุ วก (positive charge) ท่เี คล่ือนท่ีเข้าไปในบรเิ วณท่ีมี สนามแมเ่ หลก็ นั้นทำไดโ้ ดยใช้ กฎมือขวา (right-hand rule) ดงั ภาพท่ี 3.5 ภาพท่ี 3.5 กฎมอื ขวาแสดงทศิ ทางแรงแมเ่ หล็ก !\" ที่กระทำบนประจุบวกซ่งึ กำลังเคล่อื นทดี่ ้วย !\" FB B ความเรว็ v! ในสนามแม่เหลก็ (Physics for Scientists and Engineers 8 edition, Serway&Jewett; 833)

เรากถ็สา้ ปามราะรจถุทใี่เชคก้ ลฎื่อมนอืทขใี่ วนาสไนดา้เชมน่แกมันเ่ หลแก็ ต่ทเปศิ น็ ทปารงะขจอลุงแบรง(nแมe่เgหaลtiก็ veF!\"cBhaทrg่ีเกeิด)ข้ึนเชจน่ ะมอีทเิ ลศิ ็กตตรรงอขน้าม ดังแสดงในภาพที่ 3.6 ภาพที่ 3.6 ทศิ ทางของแรงแมเ่ หลก็ ท่ีกระทำบนประจุบวกและประจุลบ (College Physics, 9 edition, Raymond A. Serway ; 653) ตวั อยา่ งที่ 3.1 ถา้ โปรตอนอนภุ าคหน่งึ เคลื่อนที่ด้วยอตั ราเรว็ 2.00 ×107 เมตรตอ่ วนิ าที เขา้ ไปใน แนวตั้งฉากกับบรเิ วณท่มี สี นามแมเ่ หลก็ ขนาด 3.50 ×10−5 เทสลา แล้ว จงหาขนาดของแรงแม่เหล็ก ที่กระทำบนโปรตอนและเปรยี บเทยี บกับแรงเน่อื งจากความโนม้ ถ่วงของโลกท่กี ระทำตอ่ โปรตอน (ประจุและมวลของโปรตรอนเท่ากับ 1.60 ×10−19 คลู อมบ์ และ 1.67 ×10−27 กโิ ลกรมั ตามลำดบั ) วิธีทำ ขนาดของแรงแมเ่ หลก็ FB = qvBsinθ = (1.60 × 10−19C)(2.00 × 107m/s)(3.50 × 10−5T)sin 90! = 1.12 × 10−16 N ขนาดของแรงเนื่องจากความโนม้ ถว่ งของโลก Fg = mg = (1.67 ×10−27 kg)(9.8m/s) = 1.64 × 10−26 N อตั ราสว่ นของขนาดของแรงแมเ่ หลก็ ต่อแรงเน่อื งจากความโนม้ ถ่วงของโลกท่กี ระทำต่อโปรตอน FB = 1.12 × 10−16 = 6.83 × 1010 Fg 1.64 × 10−26

ตัวอยา่ งท่ี 3.2 ถา้ โปรตอนอนุภาคหนึง่ เคลื่อนด้วยวามเร็ว 8.00 ×106 เมตรต่อวินาที ไปตามแนว แกน x เขา้ ไปในบรเิ วณท่ีมสี นามแม่เหลก็ ขนาด 2.50 เทสลาดว้ ยมมุ 60 องศา ดังภาพที่ 3.7 จงหา ก) ขนาดและทิศทางของแรงแม่เหลก็ ท่ีกระทำบนโปรตอน ข) ความเร่งเริ่มต้นของโปรตอน ภาพท่ี 3.7 โปรตอนเคลือ่ นท่ที ำมุม 60 องศากับสนามแมเ่ หล็ก วิธีทำ ก) หาทิศทางของแรงแม่เหลก็ จากกฎมอื ขวา พบวา่ มที ศิ ไปตามแนวแกน z และหาขนาดของแรงแม่เหล็ก จาก FB = qvBsinθ FB = (1.60 × 10−19C)(8.00 × 106m/s)(2.50T)sin 60! = 2.77 × 10−12 N ข) หาความเรง่ เรม่ิ ตน้ ของโปรตอน จาก กฎขอ้ สองของนิวตัน F = ma จะได้ 2.77 × 10−12 N = (1.67 × 10−27 kg)a จะได้ a = 2.77 × 10−12 N = 1.66 × 1015 m/s 1.67 × 10−27 kg ตอบ แรงแมเ่ หล็กขนาด 2.77 ×10−12 นวิ ตัน มที ิศไปทางแกน z

3.3 แรงแม่เหลก็ และทอรค์ บนตัวนำทมี่ กี ระแสไฟฟา้ 3.3.1 แรงแมเ่ หล็กเนอ่ื งจากกระแสไฟฟา้ !\" B ถ้าใหก้ ระแสไฟฟ้า I แกล่ วดตัวนำยาว ℓ ซึ่งวางอยู่ในบรเิ วณทม่ี ีสนามแม่เหลก็ แลว้ !\" จะมแี รงแมเ่ หล็ก FB กระทำบนประจุที่กำลังเคลื่อนท่อี ยู่ในลวดตัวนำน้ันๆ ดังภาพที่ 3.8(ก) (ก) (ข) ภาพที่ 3.8 ก) ทิศทางของแรงแมเ่ หลก็ เนื่องจากกระแสไฟฟ้า และ ข) กฎมอื ซา้ ยของเฟลมมิง (College Physics, 9 edition, Raymond A. Serway ; 656) จากแรงแม่เหล็ก !\" = qv\" × !\" และ v! = !ℓ t เมอื่ !ℓ คอื เวกเตอร์ท่ีแสดงทศิ ทางของ ℓ FB B จะได้ ( )!\"= q \"ℓ × !\" เมื่อ I = dq = q และ !ℓ × ! = ℓB sinθ t B dt t B FB ดังน้นั จะขนาดของแรงแมเ่ หล็กบนลวดตวั นำเน่ืองจากมีกระแสไฟฟ้าไหลผ่าน จงึ หาไดจ้ าก FB = IℓBsinθ (3.5) เมื่อ ทศิ ทางของแรงแม่เหล็ก หาไดโ้ ดยใช้ กฎมือซา้ ยของเฟลมมิง ดังภาพที่ 3.8(ข) เม่ือวางลวดตวั นำตรงยาวไวใ้ นบริเวณทม่ี ีสนามแมเ่ หล็ก !\" พ่งุ เข้า จากภาพท่ี 3.9(ก) B จะเห็นวา่ ถา้ ไม่มกี ระแสไฟฟา้ ไหลในลวดตวั นำ ( I = 0 ) จะไม่แรงกระทำตอ่ ลวดตวั นำ เพราะ ลวดตัวนำยังคงสภาพเดิม แตถ่ ้ามีกระแสไฟฟา้ ไหลในลวดตวั นำดงั ภาพท่ี 3.9(ข)-(ค) จะเหน็ วา่ มี แรงกระทำบนลวดตัวนำทำใหล้ วดตวั นำโคง้ งอไปจากแนวเดิม โดยทิศทางของแรงแม่เหล็ก และ กระแสไฟฟา้ เป็นไปตามกฎมือซ้าย

(ก) (ข) (ค) ภาพที่ 3.9 สนามแม่เหลก็ แรงแม่เหล็กและกระแสไฟฟา้ ในลวดตวั นำ (Physics for Scientists and Engineers 8 edition, Serway&Jewett; 843) ตวั อยา่ งท่ี 3.3 นำลวดตวั นำมวล 50.0 กรัม ยาว 10.0 เซนตเิ มตร ไปวางในแนวเหนอื -ใต้ ในบริเวณ ที่มีสนามแม่เหล็กสม่ำเสมอในแนวตะวันออก–ตะวันตก และเมื่อให้กระแสไฟฟ้า 20.0 แอมแปร์ แก่ลวดตวั นำโดยให้กระแสไหลจากทิศเหนอื ไปทศิ ใต้ ปรากฎวา่ ลวดตวั นำสามารถลอยนิง่ อยูก่ ับที่ใน บรเิ วณที่มสี นามแมเ่ หลก็ นั้นได้ จงหาขนาดและทิศทางของสนามแม่เหลก็ ดงั กลา่ ว วิธีทำ เน่อื งกระแสไฟฟา้ ไหลจากทศิ เหนือไปทิศใต้ และ !\" FB ตอ้ งมีทิศไปด้านบน เท่าน้นั ดงั นั้น จากกฎมอื ซ้ายของเฟลมมิง จะได้ว่า สนามแม่เหลก็ มที ิศทางจากตะวนั ตกไปตะวนั ออก แแมละเ่ หเสลน้ก็ ล!Fว\"ดBตมวั คี น่าำเจทะ่าลกอับยขนนงิ่ าอดยขกู่ อบั งทแรีไ่ ดง้ ก็ต่อเมื่อ ขนาดของแรง !\" เนื่องจากความโนม้ ถ่วง Fg แต่มีทศิ ตรงข้ามกัน น่นั คอื FB = Fg หรือ IℓB = mg ดงั นนั้ จะได้ B= mg = (50.0 × 10−3 kg)(9.8m/s2 ) = 245mT Iℓ (20.0)(0.10m) ตอบ สนามแมเ่ หล็กขนาด 245 มิลลเิ ทสลาโดยมีทิศทางจากตะวันตกไปตะวันออก

ตัวอยา่ งท่ี 3.4 ลวดตวั นำทองแดงเสน้ หนงึ่ มคี วามหนาแนน่ 8.92 ×103 กโิ ลกรมั ต่อลูกบาศกเ์ มตร ยาว 36.0 เมตร มีกระแสไฟฟา้ ไหลจากทิศตะวันออกไปยังทิศตะวันตก ขนาด 22.0 แอมแปร์ และ ถา้ ตัวนำวางอยใู่ นบริเวณทม่ี สี นามแมเ่ หล็กสม่ำเสมอขนาด 5.00 ×10−2 มลิ ลิเทสลามที ิศจากทิศใต้ ไปยงั ทศิ เหนอื แลว้ จงหา ก) ขนาดและทิศทางของแรงแมเ่ หล็กบนลวดตวั นำ ข) ขนาดของแรงเน่ืองจากความโนม้ ถว่ ง ถ้าลวดตัวนำมีพ้ืนทีห่ น้าตัด 2.50 ×10−6 ตารางเมตร วธิ ที ำ ก) หาขนาดของแรงแม่เหลก็ จาก FB = IℓBsinθ จะได้ FB = (22.0A)(36.0m)(5.00 × 10−5T)sin 90! = 3.96 × 10−2 N หาทิศทางได้จากกฎมือซา้ ยของเฟลมมิง จะได้ แรงแมเ่ หล็กมที ศิ ขนึ้ ด้านบน ข) ขนาดของแรงเนื่องจากความโน้มถว่ ง จาก Fg = mg เมือ่ ρ = m V และ V = Aℓ (ปริมาตรของลวดตวั นำ) ดงั น้นั จะได้ ( )m = ⎛ kg ⎞ ( ) ρℓA = ⎝⎜ 8.92 × 10 3 m3 ⎟⎠ 36.0 m 2.50 × 103−6 m3 = 0.803 kg ดงั นั้นจะได้ ( )Fg = mg = 0.803kg 9.80 m s2 = 7.87 N ตอบ แรงแมเ่ หลก็ มีขนาดเท่ากบั 3.96 ×10−2 นิวตนั ทิศข้นึ ดา้ นบน แรงเน่ืองจากความโนม้ ถ่วงมขี นาดเทา่ กบั 7.87 นวิ ตัน ทศิ พงุ่ ลงสู่ศูนย์กลางโลก

3.3.2 ทอร์คบนตวั นำที่มีกระแสไฟฟา้ พิจารณาลวดตัวนำขดเป็นสี่เหลี่ยมมุมฉากซึ่งวางอยู่ในบริเวณที่มีสนามแม่เหล็กสม่ำเสมอ และมีกระแสไฟฟ้า I ไหลอยูใ่ นตัวนำ ดงั ภาพท่ี 3.10 (ก) แรงแมเ่ หล็กทก่ี ระทำบนขดลวด ด้าน a มคี ่าเปน็ ศนู ย์ เพราะลวดตัวนำขนานกบั สนามแม่เหล็ก แตข่ นาดของแรงแม่เหล็กท่ี กระทำลวดตวั นำด้าน b หาได้จาก F1 = F2 = IbB (3.6) (ก) (ข) (ค) ภาพที่ 3.10 ก) ขดลวดตัวนำสี่เหลีย่ มกวา้ ง b ยาว a วางอยใู่ นสนามแม่เหลก็ ข) ทอรค์ รอบจดุ O และทิศทางของแรงแมเ่ หลก็ และ ค) ระนาบของตัวนำทำมุม θ ใดๆ กับสนามแมเ่ หลก็ (College Physics, 9 edition, Raymond A. Serway ; 659) จากภาพท่ี 3.10(ข) จะเห็นว่า แรงแม่เหลก็ !\" (แรงทกี่ ระทำทางดา้ นซ้ายของขดลวด F1 ตวั นำ) มที ิศพ่งุ ออกจากกระดาษ แต่แรงแมเ่ หล็ก !\" 2 (แรงทก่ี ระทำทางดา้ นขวาของขดลวด F ตัวนำ) มที ศิ พุ่งเขา้ กระดาษซ่งึ แรงแมเ่ หล็กท้ังสองจงึ ทำใหข้ ดลวดหมนุ รอบจุด O ในทิศ ตามเข็มนาฬกิ า ดงั นัน้ แรงทั้งสองจงึ ทำใหเ้ กิด ทอรค์ (Torque ; τ ) ทมี่ ีขนาดสงู สุด เป็น τ max = F1 a + F2 a = IbB a + IbB a = IabB (3.7) 2 2 2 2 เมอื่ a 2 คือ แขนโมเมนต์ของแรงแมเ่ หลก็ ท้ังสอง และกำหนดให้ A = ab ดงั นน้ั จะได้ τ max = IAB (3.8)

สมการ (3.8) เกิดขึ้นเมื่อระนาบของขดลวดตัวนำหนึ่งรอบซึ่งมีกระแสไฟฟ้า I และ พื้นที่หน้าตัด A วางอยู่ในแนวขนานกับสนามแม่เหล็กเท่านั้น แต่ถ้าระนาบของขดลวด ตัวนำ ทำมมุ θ กบั สนามแมเ่ หลก็ ดงั ภาพท่ี 3.1(ค) แล้ว เราจะหา ขนาดของทอรค์ ไดจ้ าก τ = IABsinθ (3.9) เมื่อ θ คอื มุมระหวา่ งระนาบของขดลวดตัวนำกับสนามแมเ่ หลก็ ถ้าลวดตัวนำขดเป็นรปู ทรงใดๆ โดยสามารถหาพืน้ ทีห่ นา้ ตดั ได้เป็น A จำนวน N รอบ แลว้ ทอรคแ์ ม่เหลก็ ทีเ่ กดิ ขึน้ สามารถหาได้จาก τ = NIABsinθ (3.10) เม่อื µ = NIA คือขนาดของ µ! โมเมนต์แมเ่ หลก็ (magnetic moment) ดงั นนั้ จะได้ τ = µBsinθ (3.11) ตวั อยา่ งที่ 3.5 ขดลวดตัวนำจำนวน 10 รอบขดเปน็ รปู สเี่ หลีย่ มขนาดv 0.80 × 0.60 เมตร วางอยู่ใน ระนาบ xy ถา้ ไห้กระแสไฟฟ้า 3.5 แอมแปร์แก่ขดลวดดงั กลา่ ว จงหา ก) ขนาดของโมเมนตแ์ มเ่ หลก็ และ ข) ขนาดของทอร์คเมือ่ ขดลวดทำมมุ 30 องศา กับสนามแม่เหลก็ ขนาด 50 ไมโครเทสลา วธิ ที ำ ก) หาขนาดของโมเมนตแ์ ม่เหลก็ จาก µ = NIA จะได้ µ = (10)(1.5A)(0.80m)(0.60m) = 7.2 A-m2 ข) หาขนาดของทอร์ค จาก τ = µBsinθ (College Physics, 660) จะได้ τ = (7.2 A-m2 )(50 × 10−6T)sin30! = 1.8 × 102 N-m ตอบ โมเมนตแ์ มเ่ หลก็ คอื 7.2 แอมแปร-์ ตารางเมตร และทอรค์ คือ 1.8 ×102 นิวตนั -เมตร

ตวั อย่างท่ี 3.6 ขดลวดตวั นำวงกลมรัศมี 14.0 เซนตเิ มตร ถา้ ให้กระแสไฟฟา้ 150 มลิ ลแิ อมแปร์ แกข่ ดลวดดงั กล่าว จงหา ก) ขนาดของโมเมนตแ์ มเ่ หลก็ และ ข) ขนาดของทอร์คเมอื่ ขดลวดทำมมุ 30 องศา กบั สนามแมเ่ หล็กขนาด 0.550 มลิ ลิเทสลา วิธที ำ พน้ื ท่ีวงกลม A = π R2 = π (0.14)2 = 6.16 ×10−2 m2 ก) หาขนาดของโมเมนตแ์ มเ่ หล็ก จาก µ = NIA จะได้ µ = (1)(150 × 10−3A)(6.16 × 10−2m2 ) = 9.24 × 10−3 A-m2 (College Physics, 660) ข) หาขนาดของทอรค์ จาก τ = µBsinθ จะได้ τ = (9.24 × 10−3A-m2 )(0.550 × 10−3T)sin30! = 2.54 × 10−6 N-m ตอบ โมเมนต์แม่เหลก็ 9.24 ×10−3 แอมแปร-์ ตารางเมตร และทอรค์ 2.54 ×10−6 นวิ ตนั -เมตร 3.4 การเคล่อื นทขี่ องประจไุ ฟฟ้าในสนามแม่เหลก็ การเขียนทศิ ทางของสนามแม่เหล็กบนกระดาษน้นั เราจะใช้เครือ่ งหมาย × แทน สนามแม่เหล็ก พงุ่ เขา้ ตั้งฉาก และ • แทน สนามแมเ่ หลก็ พ่งุ ออกต้ังฉากกับกระดาษ และความหนาแนน่ ของ เคร่อื งหมาย × หรือ • แสดงถงึ ความเขม้ หรือขนาดของสนามแม่เหล็ก น่ันคือถ้าเครอ่ื งหมาย × หรือ • อยู่ใกลช้ ิดกันมากแสดงว่าสนามแม่เหล็กมคี า่ มากกว่าเครอ่ื งหมาย × หรอื • อยูไ่ กลกนั (ก) (ข) ภาพที่ 3.11 สญั ลกั ษณแ์ ทนทศิ ของสนามแมเ่ หลก็ ก) พ่งุ ออกจากกระดาษ และ ข) พุ่งเขา้ กระดาษ (Physics for Scientists and Engineers 8 edition, Serway&Jewett; 835)

3.4.1 ประจุเคลอื่ นท่ีต้ังฉากกับสนามแม่เหลก็ พิจารณากรณีที่อนุภาคที่มีประจุบวกกำลังเคลื่อนที่อยู่ในบริเวณที่มีสนามแม่เหล็ก สม่ำเสมอโดยมีทิศทางของความเร็วตั้งฉากกับสนามแม่เหล็กที่มีทิศพุ่งเข้ากระดาษ ดงั ภาพท่ี 3.12 ภาพท่ี 3.12 ประจุบวกกำลงั เคลื่อนที่เปน็ วงกลมและตั้งฉากกบั สนามแม่เหล็ก (College Physics, 9 edition, Raymond A. Serway ; 662) การทอ่ี นุภาคใดๆ จะเคล่อื นที่เปน็ วงกลมอยใู่ นสนามแมเ่ หล็กได้น้ัน ขนาดของแรงแมเ่ หล็ก ทกี่ ระทำบนประจุ FB = qvB จะต้องเทา่ กับขนาดของแรงหนีศนู ย์กลาง FC = mv2 R นั้นคอื qvB = mv2 (3.12) R ดังนัน้ จะได้ R = mv (3.13) qB เมื่อ R คอื รศั มีของวงโคจรมหี นว่ ยเป็น เมตร (m) จากสมการ (3.13) จะเหน็ ว่า รศั มขี องวงโคจรจะเปน็ แปรผนั ตรงกบั โมเมนตัม (mv ) แตจ่ ะแปรผกผนั กบั ความเข้มของสนามแมเ่ หล็ก B และความถเ่ี ชิงมมุ ( ) และ คาบ ( ) ข องการเคลอ่ื นที่ของอนภุ าค หาไดจ้ ากสมการ (3.13) R = mv qB จะได้ qB = mv R และจาก v = ω R จะได้ qB = mω ดังนัน้ จะได้ ω = qB (3.14) m

ดงั น้นั จะเหน็ ไดว้ า่ ความถีเ่ ชิงมมุ ไมข่ ึ้นกับความเรว็ และรัศมวี งโคจร แต่จะข้ึนกับความเขม้ ของ สนามแม่เหลก็ เทา่ น้นั และจาก ω = 2π = 2π f จะได้ คาบ (T ) และความถีไ่ ซโคตรรอน fcyc T T = 2mπ (3.15) qB และ fcyc = qB (3.16) m ตัวอย่างท่ี 3.7 โปรตอนอนภุ าคหนึง่ มพี ลังงานจลน์ 5.20 เมกะอิเล็กตรอนโวลต์ วงิ่ เข้าไปในในแนว ตั้งฉากกับบริเวณที่มีสนามแม่เหล็กคงที่ขนาด 1.50 มิลลิเทสลา จงหาขนาดของแรงที่กระทำต่อ อนุภาคโปรตอนและขนาดของความเรง่ ของโปรตอน วธิ ที ำ พลงั งานจลน์ 1.00 อเิ ล็กตรอนโวลต์ (1.00eV ) มคี ่าเทา่ กับพลังงานจลน์ 1.60x10-19 จูล ดังน้ันพลงั งานจลน์ 5.20 เมกะอิเล็กตรอนโวลต์จะมพี ลงั งานจลน์ EK เท่ากบั EK = (5.20 × 106 eV)(1.60 × 10−19 J) = 8.32 × 10−13 J 1.00eV จากพลังงานจลน์ EK = 1 mv2 จะได้ 2 ซงึ่ จะได้ ความเรว็ 8.32 × 10−13 J = 1 (1.67 × 10−27 kg)v2 2 v = 3.16 × 107 m/s หาขนาดของแรงแมเ่ หล็ก FB = qvB = (1.60 × 10−19C)(3.16 × 107m/s)(1.50 × 10−3T) = 7.58 × 10−15 N หาขนาดของความเรง่ ของโปรตอน จาก กฎขอ้ สองของนิวตนั F = ma จะได้ 7.58 × 10−12 N = (1.67 × 10−27 kg)a ดงั นน้ั จะได้ a = 4.70 × 1015 m/s ตอบ แรงขนาด 7.58 ×10−15 นิวตนั และขนาดของความเรง่ 4.70 ×1015 เมตรต่อวินาที

ตัวอยา่ งท่ี 3.8 อิเลก็ ตรอนมพี ลังงานจลน์ 15.0 อิเลก็ ตรอนโวลต์ โคจรเป็นวงกลมในระนาบทตี่ ั้งฉาก กับสนามแมเ่ หล็กคงทข่ี นาด 130 ไมโครเทสลา จงหา ก) รศั มขี องวงโคจร ข) คาบและความถขี่ อง การเคลื่อนทีเ่ มอ่ื มวลของอิเล็กตรอน เท่ากบั 9.11×10−31 กโิ ลกรัม วธิ ีทำ จากพลงั งานจลน์ 1.00eV มคี า่ เท่ากับ 1.60 ×10−19 J ดังน้นั พลังงานจลน์ 15.0eV จึงเทา่ กับ (15.0eV)(1.60 × 10−19 J) = 2.40 × 10−18 J 1.00eV หาความเรว็ จากพลงั งานจลน์ EK = 1 mv2 2 ซ่ึงจะได้ ความเรว็ v = 2EK = 2(2.40 × 10−18 J) = 2.30 × 106 m/s m 9.11 × 10−31 kg ก) หารศั มีวงโคจร จาก R = mv = (9.11× 10−31kg)(2.30 × 106 m/s) qB (1.60 × 10−19 C)(1.30 × 10−4 T) = 0.101 m หรอื 10.1 cm ข) หาคาบของการเคลอื่ นที่ จาก T = 2mπ ( หรอื จาก ) qB จะได้ T = 2(9.11 × 10−31 kg)π หาความถ่ขี องการเคลอื่ นที่ (1.60 × 10−19 C)(1.30 × 10−4 T) = 2.75 × 10−7 s f = 1 = 1 T 2.75 × 10−7 s = 3.64 × 106 Hz = 3.64 MHz ตอบ รศั มขี องวงโคจร เทา่ กบั 10.1 เซนติเมตร คาบ เท่ากบั 2.75 ×10−7 วินาที และความถี่ เทา่ กบั 3.64 เมกะเฮิรตซ์

3.4.2 ประจุเคลื่อนทีโ่ ดยทำมุมใดๆ กบั สนามแม่เหล็ก ถ้าอนุภาคเคลอ่ื นทด่ี ้วยความเรว็ คงตัวและทำมุม θ ใดๆ ซึง่ ไมต่ ัง้ ฉาก หรอื ไม่ขนานกบั สนามแม่เหลก็ แลว้ อนภุ าคจะเคลื่อนท่ีเปน็ เกลียวทม่ี รี ัศมีคงตัวเท่ากันตลอด ดังภาพท่ี 3.13 นัน้ ความเรว็ ของการเคลอ่ื นที่ของอนุภาคนัน้ จะแบง่ ออกเป็นสองส่วน คือ 1. ความเรว็ ในแนวตั้งฉากกบั สนามแมเ่ หลก็ v!y ซง่ึ ทำใหอ้ นุภาคเคลอ่ื นที่เป็นวงกลม 2. ความเร็วในแนวขนานกบั สนามแม่เหล็ก v!x ซ่งึ ทำให้อนภุ าคเคลอื่ นทเี่ ปน็ เกลียวไปใน ทิศขนานกบั สนามแมเ่ หลก็ ภาพท่ี 3.13 การเคลื่อนท่ีเปน็ เกลียวภายในสนามแม่เหล็กของประจุบวก (College Physics, 9 edition, Raymond A. Serway ; 662) จาก FB = qvBsinθ เมอ่ื θ ≠ 90! และ FC = mvy2 R เมือ่ vx = v cosθ และ vy = vsinθ จะได้ qvBsinθ = m(vsinθ )2 R ดังนน้ั จะไดร้ ัศมขี องวงโคจร R = mvsinθ (3.17) qB หาคาบของการเคลอ่ื น (เวลาของการเคล่อื นทเี่ กลยี วครบหนงึ่ รอบ) จาก T = 2π R vy จะได้ (3.18) หาระยะห่างระหวา่ งเกลียว ได้จาก ดงั น้ัน จะได้ (3.19)

ตวั อยา่ งท่ี 3.9 อิเล็กตรอนตัวหน่งึ กำลงั เคลือ่ นที่อยูส่ นามแม่เหลก็ คงตัวขนาด 1.50 มลิ ลเิ ทสลา ดว้ ย ด้วยอตั ราเรว็ เมตรตอ่ วินาทแี ละทำมมุ 30 องศากับสนามแม่เหล็กดังกลา่ ว จงหา ก) รศั มขี องวงโคจร ข) คาบของการโคจร ค) ระยะห่างระหว่างเกลยี ว วธิ ที ำ ก) หารศั มวี งโคจร จาก R = mvsinθ qB เมือ่ sin 30! = 0.5 จะได้ R = (9.11× 10−31kg)(3.50 × 106 m/s)(0.5) (1.60 × 10−19 C)(1.50 × 10−3 T) = 6.64 × 10−3 m = 6.64 mm ข) หาคาบของการโคจร จาก จะได้ T = 2(9.11 × 10−31 kg)π (1.60 × 10−19 C)(1.50 × 10−3 T) = 2.38 × 10−8 s = 23.8 ns ค) หาระยะหา่ งระหว่างเกลยี ว จาก เม่อื จะได้ P = 2π (9.11× 10−31kg)(3.50 × 106 m/s)(0.87) (1.60 × 10−19 C)(1.50 × 10−3 T) = 7.25 × 10−2 m = 7.25 cm ตอบ รศั มีของวงโคจร เท่ากบั 6.64 มลิ ลเิ มตร คาบของการโคจร เทา่ กบั 23.8 นาโนวนิ าที ระยะห่างระหว่างเกลยี ว เท่ากับ 7.25 เซนตเิ มตร

3.5 สนามแม่เหลก็ เน่อื งจากกระแสไฟฟา้ เออร์สเตด (Oersted ; 182) พบวา่ ถา้ ใหก้ ระแสไฟฟ้าไหลผา่ นตวั นำ จะเกิดสนามแมเ่ หล็กรอบๆ ตวั นำน้นั ๆ โดยขนาดของสนามแม่เหล็กจะข้นึ กับลักษณะของตัวนำ ซง่ึ สามารถสรปุ ไดด้ งั น้ี 3.5.1 สนามแมเ่ หล็กบนตวั นำตรงยาว การทดลองของเออสเตรดแสดงให้เห็นว่าเมื่อให้กระแสไฟฟ้าแก่ตัวนำตรงยาวจะเกิด สนามแมเ่ หล็กรอบๆ รอบตวั นำนั้น สงั เกตไดจ้ ากเข็มทิศเบนออกไปจากแนวเดมิ ดังภาพท่ี 3.14 ซ่งึ ความเข้มของสนามแม่เหล็ก B จะแตกต่างกนั ไป โดยจะแปรตามปริมาณกระแสไฟฟ้า แต่จะแปรผกผนั กบั ระยะห่างจากตัวนำ r ดังน้นั จะไดค้ วามเข้มหรือขนาดของสนามแมเ่ หล็ก B = µ0I (3.20) 2π r เมื่อ µ0 = 4π ×10−7 T-m A คือความสามารถในการแผ่ซา่ นของอำนาจแมเ่ หล็กในสุญญากาศ ภาพที่ 3.14 การทดลองของเออสเตด (College Physics, 9 edition, Raymond A. Serway ; 664) การหาทิศทางของสนามเหล็กที่เกดิ ขน้ึ รอบๆ ตัวนำตรงยาวนนั้ เราสามารถทำไดโ้ ดยใช้ มือขวากำรอบตัวนำน้นั โดยให้ นิ้วหวั แมม่ ือ แทนทิศทางการไหลของกระแสไฟฟ้าในตัวนำ และ นิ้วทง้ั ส่ี แทน ทิศของสนามแม่เหล็ก ดงั ภาพท่ี 3.15 ภาพที่ 3.15 กฎมอื ขวา (College Physics, 9 edition, Raymond A. Serway ; 665)

3.5.2 สนามแม่เหลก็ บนขดลวดตัวนำวงกลม เมื่อให้กระแสไฟฟ้าไหลในขดลวดตวั นำวงกลม n รอบ จะมสี นามแม่เหล็กรอบๆ ตัวนำ นนั้ ซึ่งเราสามารถหาขนาดหรือความเข้มของสนามแมเ่ หล็ก ณ จดุ ศนู ย์กลาง (จุด ) ของขดลวด ตวั นำวงกลมที่มีรัศมี ดังภาพที่ 3.16 ได้จาก B = µ0NI (3.21) 2R เมื่อ µ0 = 4π ×10−7 T-m A และ N คือ จำนวนรอบของขดลวดตัวนำ การหาทิศทางของสนามเหล็กที่เกิดขึ้น ณ จุดศูนย์กลางขดลวดตัวนำวงกลมทำโดยใช้ มอื ขวากำตามรอบขดลดลวดวงกลม โดยให้ นว้ิ ทั้งส่ี แทน ทศิ ทางการไหลของกระแสไฟฟ้า ในขดลวดตัวนำวงกลม และ น้วิ หวั แม่มือ แทน ทิศของสนามแม่เหลก็ ภาพท่ี 3.16 สนามแมเ่ หลก็ ที่เกดิ จากกระแสไฟฟา้ ไหลในตวั นำวงกลม (Physics for Scientists and Engineers 8 edition, Serway&Jewett; 866) สนามแม่เหลก็ ทอ่ี ยู่ห่างจากจดุ ศูนย์กลาง เป็นระยะ x ใดๆ ที่จดุ ซ่ึงอยู่ในแนวเดยี วกบั จุดศนู ย์กลาง(จดุ )ของขดลวดตวั นำ โดยอยู่หา่ งออกไปเปน็ ระยะ x ดงั ภาพท่ี 3.16 หาไดจ้ าก Bx = µ0NIR2 (3.22) 2(x2 + R2 )

3.6 กฎของบโิ อต-์ ซาวารต์ และกฎของแอมแปร์ การหาขนาดหรือความเขม้ ของสนามแมเ่ หล็กนัน้ สามารถทำได้ดังน้ี 3.6.1 กฎของบโิ อต์ – ซาวารต์ การหาขนาดหรือความเข้มของสนามแมเ่ หลก็ รอบตวั นำที่ขดเปน็ รูปทรงใดๆ ยาว และ มกี ระแสไฟฟา้ แอมแปรไ์ หลผา่ นดังภาพที่ 3.17 นั้น ทำไดโ้ ดยใช้ กฎของบิโอต์ – ซาวารต์ (law of Biot and Savart) และสามารถหาทิศทางของสนามแมเ่ หล็กทีเ่ กดิ ขึน้ รอบๆ ตวั นำ โดยใชก้ ฎมือขวา โดย นวิ้ หัวแม่มือ แทนทศิ ทางการไหลของกระแสไฟฟา้ ในลวดตวั นำ และ น้วิ ทั้งส่ี แทน ทิศของสนามแม่เหลก็ ภาพที่ 3.17 สนามแมเ่ หลก็ ทเ่ี กดิ จากกระแสไฟฟา้ ในตวั นำรปู ทรงใดๆ ยาว เมตร (Physics for Scientists and Engineers 8 edition, Serway&Jewett; 863) การหาขนาดหรือความเข้มของสนามแม่เหล็ก นนั้ สามารถทำไดโ้ ดยแบ่งตวั นำออกปน็ ส่วนย่อยๆ ds! ซ่ึงเป็นเวกเตอรท์ ม่ี ที ิศทางเดยี วกับกระแสไฟฟา้ ทำให้เกิดสนามแม่เหลก็ ย่อยๆ มีทิศพงุ่ ออกหรอื พงุ่ เข้ากระดาษทจี่ ุด น้ันขึ้นกับทิศของกระแสไฟฟา้ และบริเวณทีส่ นใจ ซ่งึ อยู่ห่างตัวนำเปน็ ระยะ โดยมี เปน็ เวกเตอร์หนึง่ หนว่ ยแสดงทศิ ทางของ ( ) และ (3.23) สนามแมเ่ หล็กยอ่ ยๆ มที ิศตั้งฉากกบั ds! เสมอ ดังน้นั จะได้ !\" = µ0 Ids\" × r\" = µ0 Ids sinθ rˆ dB 4π r3 4π r2 ดงั นั้น ขนาดหรือความเขม้ ของสนามแมเ่ หลก็ จึงหาไดจ้ าก ∫B = µ0 Ids sinθ (3.24) 4π r2

ตัวอย่างท่ี 3.10 จงหาขนาดของสนามแม่เหลก็ ท่อี ยู่ห่างจากลวดตัวนำตรงยาวอนนั ต์ เป็นระยะ a ดงั ภาพที่ 3.18 ภาพท่ี 3.18 สนามแม่เหล็กทเ่ี กดิ กระแสไฟฟ้าในลวดตัวนำตรงยาว (Physics for Scientists and Engineers 8 edition, Serway&Jewett; 864) วิธีทำ จากกฎของบิโอต์ - ซาวารต์ ∫B =µ0 Ids sinθ 4π r2 และจากภพาท่ี 3.18 จะเห็นวา่ ds = dx และ , เปน็ คา่ ตัว ดงั นน้ั จะได้ =∫Bµ0 I dx sinθ ....... (A) 4π r2 ในการอนิ ทเิ กรตหาค่า B นั้น ทำไดโ้ ดยเปล่ยี น dx และ r ใหอ้ ยใู่ นเทอมของ θ ซ่ึงทำได้ดงั นี้ และจากภาพที่ 3.18 จะไดว้ ่า sinθ = a r และ cosθ = −x r หรอื r = a sinθ = a cscθ และ x = − r cosθ ดังนั้นจะได้ x = − a cotθ และ dx = a csc2 θdθ ......(B) กำหนดขอบเขตในการอนิ ทเิ กรตในช่วง θ1 ≤ θ ≤ θ2 ดงั นนั้ เราจึงสามารถเขียนสมการ (A) ไ่ ดเ้ ปน็ ∫ ( ) ∫B = µ0I θ2 sinθ a csc2 θ dθ = µ0 I θ2 (C) 4π θ1 (a cscθ )2 sinθ dθ 4π a θ1

µ0 I θ2 µ0 I θ2 µ0 I 4π a θ1 4π a sinθ dθ ∫ ( )B = 4π a θ1 = − cosθ = cosθ1 − cosθ2 ถา้ ลวดตวั นำยาวอนันต์ ขอบเขตในการอินทิเกรตจะอยู่ในชว่ ง 0 ≤ θ ≤ π ดังนนั้ จะได้ B= µ0 I ( cos 0 − cos π ) = µ0 I 4π a 2π a ตอบ สนามแม่เหลก็ ในลวดตวั นำตรงยาวอนันต์ ม่คา่ เท่ากับ µ0 I 2π a 3.6.2 กฎของแอมแปร์ ในบทที่ 1 เราสามารถลดปญั หาความยุ่งยาก ซับซอ้ นทางคณติ ศาสตรใ์ นการหาขนาดหรอื ความเขม้ ของสนามไฟฟ้า ได้โดยการใช้ กฎของเกาส์สำหรับสนามไฟฟ้า แต่เนื่องจากสนามแม่เหล็ก มีลักษณะเป็นวงรอบปิด ถ้าใช้กฎของเกาส์สำหรับแม่เหล็ก เน่อื งจากฟลกั ซ์แม่เหล็กสทุ ธิทผี่ ่านพื้นทหี่ น้าตัดใดๆ มีค่าเท่ากบั ศนู ย์ เพราะวา่ ฟลักซแ์ ม่เหล็กพุ่งเข้าเทา่ กับฟลักซ์แมเ่ หลก็ พุง่ ออกจากปัญหาดังกล่าว แอมปแ์ ปร์ (Adre’ Marie Ampere) นักฟสิ ิกสช์ าวฝรง่ั เศษ ไดท้ ำการศึกษาความสมั พันธ์ระหว่างสนามแมเ่ หลก็ กบั กระแสไฟฟ้าทไี่ หลในตัวนำ ซึ่ง แอมแปร์ ไดข้ อ้ สรปุ ว่า “ผลรวมเชงิ เส้นของสนามแมเ่ หลก็ รอบเสน้ ทางปิดใดๆ จะมคี ่าเทา่ ผลคณู ของกระแสไฟฟ้าทีไ่ หลในตวั นำทีอ่ ยู่ภายในเส้นทางปิดนนั้ กบั ” และเรียกข้อสรปุ ดงั กล่าวน้ีว่า กฎของแอมแปร์ (Ampere’ law) #∫ !\" i d\"ℓ = #∫ Bdℓcosθ = µ0 I (3.25) B คือ กระแสไฟฟ้าที่ไหลในตวั นำซึง่ อยู่ภายในเสน้ ทางปิด ใดๆ ของสนามแม่เหลก็ คือ เวกเตอร์ย่อยของเสน้ ทางปิด ใดๆ ของสนามแม่เหลก็ การเลือกหรือกำหนดเส้นทางปิดนั้น ควรเป็นเสน้ ทางปิดท่ีสมมาตร เชน่ วงกลม และควรเปน็ เส้นทางปดิ ท่ีสนามแม่เหล็กมคี ่าคงตวั และสมำ่ เสมอ และ เพ่อื เปน็ การหลีกเลี่ยงความยุ่งยากทาง คณติ ศาสตร์ ควรเลือกเสน้ ทางปิดท่ีทำให ้ กบั ทำมุม 0 หรอื 90 องศา ซึง่ กันและกัน

ตวั อย่างที่ 3.11 จากภาพท่ี 3.19 จงหาใชก้ ฎของแอมแปรห์ าขนาดของสนามแมเ่ หล็กทีจ่ ุด ใดๆ ซึง่ อยู่หา่ งจากตวั นำตรงยาวอนนั ต์ เปน็ ระยะ r = a เมือ่ มกี ระแสไฟฟ้า ไหลผา่ นตวั นำดังกลา่ ว ภาพท่ี 3.19 สนามไฟฟา้ เน่อื งจากกระแสไฟฟ้าในตวั นำตรงยสวอนนั ต์ (College Physics, 9 edition, Raymond A. Serway ; 666) วิธที ำ กำหนดเสน้ ทางปิดเป็นรูปวงกลม มรี ัศมี r = a และ มขี นาดคงทตี่ ลอดวงรอบปดิ รศั มี กับ มที ศิ ทางเดียวกนั ตลอดวงรอบปิด (ทำมุม 0 องศา) จากกฎของแอมแปร์ !∫ Bdℓcosθ = µ0I จะได้ B!∫ dℓ = µ0I และเนอ่ื งจากเสน้ ทางปดิ เป็นวงกลม ดังนนั้ จะได้ !∫ dℓ = 2πa (ความยาวของเส้นรอบวงกลม) ดังน้ันจะได้ B(2π a) = µ0 I ดังน้นั ขนาดของสนามแมเ่ หล็กเนอ่ื งจากกระแสไหลในตวั นำตรงยาว B = µ0 I 2π a

3.7 สรุป บทสรุป 1 วัสดุแม่เหล็กและสนามแมเ่ หล็ก 1.1 วสั ดแุ ม่เหล็ก คือ วตั ถุใดๆ ท่อี ำนาจทางแมเ่ หล็กสามารถดึงดดู วัตถทุ ม่ี สี ารประกอบเหล็กได้ แบ่งไดเ้ ปน็ 3 ประเภท คอื เฟอโรแมกเนตกิ พาราแมกเนติก และ ไดอาแมกเนติก 1.2 สนามแม่เหล็กคือความหนาแน่นของเส้นแรงแม่เหล็กต่อหนึ่งหน่วยพื้นซึ่งตั้งฉากกับเส้น สนามแม่เหล็กและเปน็ วงรอบปดิ เสมอโดยมที ิศทางจากพุง่ ออกจากข้วั เหนอื ไปยังขั้วใต้ เสมอ 2 แรงลอเรนตซ์ แรงโลเรนตซ์ (Lorentz force) !ค\"ือ แรงท!กี่\"ระท!ำ\"บนประจุทีเ่ คลื่อนที่ผ่านเขา้ ไปในบริเวณที่มี ท้ังสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก FL = FE + FB 2.1 แรงทางไฟฟ้า !\" แรงทางไฟฟ้า FE จะมที ศิ ทางเดียวกับสนามไฟฟา้ และขนาดของแรงทางไฟฟา้ FE = qE 2.2 แรงแมเ่ หลก็ ถา้ ประจไุ ฟฟ้า เคลื่อนท่เี ข้าสบู่ รเิ วณทม่ี ีสนามแมเ่ หล็ก ดว้ ยควมเร็ว ทำมุม θ กนั แลว้ จะเกิดแรงแมเ่ หล็กทมี่ ีขนาด FB = qvBsinθ !\" FB ถา้ เปน็ ประจลุ บ เชน่ อิเลก็ ตรอน ทิศทางของแรงแม่เหล็ก ทเี่ กดิ ขนึ้ จะมที ิศตรงข้าม

3 แรงแม่เหลก็ และทอร์คบนตวั นำทีม่ กี ระแสไฟฟา้ 3.1 แรงแมเ่ หลก็ เนอ่ื งจากกระแสไฟฟ้า ขนาดของแรงแม่เหล็ก FB ทเ่ี กิดจากกระแสไฟฟา้ I ไหลในตัวนำยาว ℓ วางอย่ใู นบรเิ วณท่ี !\" มสี นามแมเ่ หลก็ B คือ FB = IℓBsinθ 3.2 ทอรค์ บนตวั นำท่ีมกี ระแสไฟฟ้า ถ้าลวดตัวนำขดเปน็ รูปทรงใดๆ จำนวน N รอบ และมพี ื้นทหี่ นา้ ตดั A เท่ากนั ตลอด แล้วขนาดของทอรค์ทีเ่ กดิ จากกระแสไฟฟา้ I หาไดจ้ าก τ = NIABsinθ และ µ = NIA คอื ขนาดของ µ! โมเมนตแ์ มเ่ หล็ก 4 การเคลื่อนทข่ี องประจุในสนามแมเ่ หล็ก 4.1 ประจุเคล่ือนทตี่ ้ังฉากกบั สนามแมเ่ หลก็ qvB = mv2 R รศั มขี องวงโคจร R = mv qB ความถเี่ ชงิ มุม ω= qB m คาบการเคล่อื นท่ี T = 2mπ qB ความถ่ีไซโคตรอน fcyc = qB m

4.2 ประจเุ คลือ่ นท่ที ำมุมใดๆ กับสนามแมเ่ หล็ก qvBsinθ = m(vsinθ )2 R รัศมขี องวงโคจร R = mv sinθ qB คาบของการเคลื่อนที่ ระยะหา่ งระหว่างเกลียว 5 สนามแม่เหล็กเนื่องจากกระแสไฟฟา้ 5.1 สนามแมเ่ หลก็ บนลวดตัวนำตรงยาว B = µ0 I 2π r เมือ่ µ0 = 4π × 10−7 T-m A 5.2 สนามแมเ่ หลก็ บนขดลวดตวั นำวงกลม B = µ0NI 2R ทิศทางของสนามเหล็กท่เี กิดขน้ึ ณ จดุ ศูนย์กลางขดลวดตัวนำวงกลม หาโดยใช้ มอื ขวา กำตามรอบตวั นำวงกลม เมอ่ื น้ิวท้งั ส่ี แทน ทิศทางการไหลของกระแสไฟฟา้ ในตัวนำวงกลม และ นิว้ หวั แม่มอื แทน ทศิ ของสนามแม่เหล็ก สนามแม่เหล็กทอี่ ยหู่ ่างจากจดุ ศนู ย์กลางเป็นระยะ x ใดๆ ทจี่ ุด P ซง่ึ อยใู่ นแนวเดยี วกับ จุดศูนยก์ ลางของขดลวดตวั นำวงกลม โดย อยูห่ ่างออกไปเปน็ ระยะ x หาไดจ้ าก Bx = µ0nIR2 2(x2 + R2 )

6 กฎของบโิ อต–์ ซาวาร์ต ความเขม้ ของสนามแม่เหลก็ รอบตวั นำทข่ี ดเปน็ รูปทรงใดๆ ยาว ℓ มกี ระแสไฟฟ้า I ∫B = µ0 Ids sinθ 4π r2 7 กฎของแอมแปร์ ผลรวมเชิงเสน้ ของสนามแม่เหลก็ รอบเส้นทางปิดใดๆ จะมีคา่ เท่าผลคูณของกระแสไฟฟา้ ทไ่ี หลในตัวนำท่ีอยู่ภายในเส้นทางปดิ นน้ั กบั ε0 #∫ !\" i d\"ℓ = #∫ Bdℓcosθ = µ0 I B เส้นทางปิดรอบตวั นำควรเป็นเสน้ ทางปดิ ที่สมมาตรมีสนามแมเ่ หลก็ มีค่าคงตวั สม่ำเสมอ !\" d!ℓ และ B กบั ควรทำมุม 0 หรือ 90 องศา กัน สนามแมเ่ หล็กภายในของขดลวดโซลินอยด์ B = µ0nI เม่ือ n = N คอื จำนวนรอบต่อหน่ึงหน่วยความยาว ℓ

แบบฝกึ แหบบดั ฝกึปหรัดบะทจที่ำ3บทที่ 3 1) จงหาขนาดของแรงแม่เหล็กที่กระทำบนอิเล็กตรอนซึ่งกำลังเคลื่อนที่ในแนวตั้งฉากกับสนาม แม่เหลก็ สมำ่ เสมอ 5.00 เทสล ดว้ ยอัตราเร็ว 3.50 ×107 เมตรต่อวนิ าที 2) อเิ ล็กตรอนอนุภาคหน่ึงกำลงั เคล่อื นทีไ่ ปตามแกน x ด้วยอตั ราเรว็ 8.00 ×106 เมตรต่อวนิ าที ภายใตส้ นามแมเ่ หล็กสม่ำเสมอขนาด 25.0 มลิ ลิเทสลาในทศิ 60 องศากับแกน ในระนาบ ดังภาพท่ี 3.20 จงหาขนาดและทิศทางของแรงแม่เหล็กท่ีกระทำบนอเิ ลก็ ตรอน ภาพท่ี 3.20 สำหรบั แบบฝึกหดั ขอ้ 2 (College Physics, 9 edition, Raymond A. Serway ; 665) 3) จงหาความถไ่ี ซโคลตรอนของโปรตอนทอี่ ยู่ในสนามแมเ่ หล็กขนาด 5.20 เทสลา 4) จงหารัศมีของวงโคจรและระยะระหว่างเกลียวของโปรตอนตวั หน่ึงซึง่ เคล่อื นที่ด้วยความเรว็ เมตรตอ่ วินาที อยูใ่ นสนามแม่เหล็กขนาด 0.50 เทสลา 5) ให้กระแสไฟฟ้าขนาด 10.0 มิลลแิ อมแปร์แกข่ ดลวดตวั นำจำนวน 25 รอบ ซ่ึงขดเปน็ รปู ส่เี หล่ยี ม ขนาด 5.50x8.00 เซนติเมตร จงหาโมเมนตแ์ มเ่ หล็กและทอรค์ บนขดลวดดังกลา่ ว เมื่อใหส้ นาม แมเ่ หลก็ ขนาด 0.250 เทสลา ในทิศท่ขี นานกบั ขดลวดตวั นำนั้น

6) ลวดตัวนำมวล 20.0 กรัม ยาว 50.0 เซนติเมตร แขวนอยบู่ นตัวนำเบาทีย่ ดื หยุน่ ได้ อยใู่ นบริเวณ ทีม่ สี นามแมเ่ หล็กสม่ำเสมอ 1.00 เทสลา ดงั ภาพท่ี 3.21 แลว้ จงหาขนาดและทิศทางของกระแส ไฟฟา้ ที่ทำให้แรงตงึ ของตวั นำเบา เป็นศูนย์ ภาพท่ี 3.21 สำหรบั แบบฝกึ หัดข้อ 6 (College Physics, 9 edition, Raymond A. Serway ; 680) 7) ถา้ ให้กระแสไฟฟ้าขนาด 1.60 แอมแปร์ แก่ลวดตวั นำตรงยาวแลว้ จงหาขนาดของสนามแม่เหลก็ ทอ่ี ยหู่ ่างจากตัวนำดงั กล่าวเป็นระยะ 100 เซนตเิ มตร 8) ตัวนำตรงยาวสองเส้นวางขนานกันและแต่ตัวนำมีกระแสไฟฟ้าขนาด 5.00 แอมแปร์ ไหลในทศิ ทางเดียวกนั ดังภาพที่ 3.22 แล้ว จงหาขนาดและทศิ ทางของสนามแม่เหล็กทจี่ ดุ ภาพท่ี 3.22 สำหรับแบบฝึกหดั ข้อ 8

9) ตัวนำตรงยาวสองเสน้ L1 และ L2 ยาวเท่ากนั ℓ วางขนานกัน หา่ งกนั 10.0 เซนติเมตร ดัง ภาพท่ี 3.23 ถา้ ให้กระแสไฟฟ้า 5.00 แอมแปรแ์ กต่ ัวนำ L1 และ 8.00 แอมแปรแกต่ ัวนำ L2 และใหก้ ระแสทง้ั สองตวั นำมีทศิ ทางเดยี วกัน แล้ว จงหา 9.1) ขนาดของสนามแม่เหล็กทีเ่ กิดจากกระแสไฟฟ้าในตวั นำ L1 9.2) ขนาดของสนามแมเ่ หลก็ ท่เี กดิ จากกระแสไฟฟ้าในตวั นำ L2 9.3) แรงแมเ่ หล็กตอ่ ความยาว ทีต่ ัวนำ L1 และ L2 กระทำตอ่ กัน ภาพท่ี 3.23 สำหรบั แบบฝกึ หดั ขอ้ 9 (Physics for Scienctists and Engineers, 8 edition,. Serway and Jewett ; 867) 10) ตัวนำตรงยาวสี่อนั แตล่ ะอนั มีกระแสไฟฟ้าไหลผ่านขนาด 5.00 แอมแปร์ เทา่ กนั โดยท่ตี วั นำ A และ B กระแสไฟฟา้ มที ศิ พงุ่ เขา้ ในขณะที่ตัวนำ C และ D กระแสมีทิศพ่งุ ออก ดังภาพท่ี 3.24 จงหาขนาดและทิศทางของสนามแมเ่ หลก็ ท่จี ดุ P ซงึ่ เป็นจดุ กึง่ กลางของตวั นำท้ังส่ี ภาพที่ 3.24 สำหรบั แบบฝกึ หดั ขอ้ 10 (College Physics, 9 edition, Raymond A. Serway ; 684)