HÌNH HỌC_HK1

TÀI LIỆU ÔN TẬP MÔN TOÁN HÌNH HỌC-HỌC KÌ 1 GIÁO VIÊN: NGUYỄN NHÂN TÌNH NĂM HỌC: 2021 - 2022

Muïc luïc CHƯƠNG 1. VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN VECTƠ ................................................... 1 § 1,2,3. VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN VECTƠ ............................................................................ 1 Daïng toaùn 1. Chöùng minh ñaúng thöùc vectô ............................................................................ 2 Baøi taäp töï luaän ..................................................................................................................................... 17 Daïng toaùn 2. Tìm moâñun(ñoä daøi) vectô.................................................................................... 19 Baøi taäp töï luaän ..................................................................................................................................... 28 Daïng toaùn 3.Phaân tích vectô, chöùng minh thaúng haøng, song song............................. 29 Baøi taäp töï luaän ..................................................................................................................................... 46 Daïng toaùn 4. Tìøm taäp hôïp ñieåm thoûa heä thöùc vectô .......................................................... 49 Baøi taäp töï luaän ..................................................................................................................................... 53 Baøi taâïp traéc nghieäm ........................................................................................................................... 54 § 4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ ............................................................................................................................................ 60 Daïng toaùn 1. Baøi toaùn cô baûn ...................................................................................................... 61 Daïng toaùn 2. Tìm ñieåm ñaëc bieät................................................................................................... 63 Daïng toaùn 2.1. Tìm ñænh thöù tö cuûa hình bình haønh ........................................................ 63 Daïng toaùn 2.2. Tìm toïa ñoä tröïc taâm ......................................................................................... 65 Daïng toaùn 2.3. Tìm toïa ñoä chaân ñöôøng cao .......................................................................... 67 Daïng toaùn 2.4. Tìm toïa ñoä taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc.................................. 70 Daïng toaùn 2.5. Tìm toïa ñoä chaân ñöôøng phaân giaùc ............................................................ 72 Baøi taäp töï toång hôïp ............................................................................................................................. 81 Baøi taäp töï töï luaän................................................................................................................................. 89 Baøi taäp traéc nghieäm ........................................................................................................................... 92 CHƯƠNG 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ ........................................................................ 97 § 1. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ ..................................................................................................... 97 Daïng toaùn 1. Tích voâ höôùng vaø bình phöông tích voâ höôùng .......................................... 98 Daïng toaùn 2. Chöùng minh vuoâng goùc hoaëc heä thöùc thöôøng gaëp .................................... 105 Baøi taäp traéc nghieäm ........................................................................................................................... 113 § 2. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC ................................................................................................ 117 Daïng toaùn . Tính giaù trò cô baûn .................................................................................................... 118 Baøi taäp traéc nghieäm ........................................................................................................................... 127

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Véctơ và các phép toán trên véctơ 1Chöông VÉCTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN VÉCTƠ § 1, 2, 3. VÉCTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN VÉCTƠ   Các định nghĩa mở đầu  Véctơ là 1 đoạn thẳng có hướng:  Mét ®Çu ®­îc x¸c ®Þnh lµ gèc, cßn ®Çu kia lµ ngän. H­íng tõ gèc ®Õn ngän, gäi lµ h­íng cña vÐct¬. §é dµi cña vÐct¬ lµ ®é dµi ®o¹n th¼ng x¸c ®Þnh bëi ®iÓm ®Çu vµ ®iÓm cuèi cña vÐct¬.    Véctơ có gốc A, ngọn B được ký hiệu là AB và độ dài của véctơ AB được kí hiệu là AB  AB là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của véctơ. Ngoài ra, véctơ còn đcủưaợca kkííhhiiệệuublàởi một chữ cài in thường phía trên có mũi tên như a,  u, v,... độ dài a . b,  Véctơ không, kí hiệu  có:  §iÓm gèc vµ ®iÓm ngän trïng nhau. 0 §é dµi b»ng 0. H­íng bÊt kú.  Hai véctơ cùng phương khi chúng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song nhau:     AB  CD. th¼ng hµng. AB CD  A, B, C, D :  Hướng của hai véctơ: Hai véctơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. Ta chỉ xét hướng của hai véctơ khi chúng cùng phương.  Hai véctơ AB và CD gọi là cùng hướng, ký hiệu:      AB  CD. CD cïng h­íng. AB CD Hai tia AB,    Hai véctơ AB và CD gọi là ngược hướng, ký hiệu:      AB  CD. CD ng­îc h­íng. AB CD Hai tia AB,  Hai véctơ được gọi là bằng nhau khi chúng cùng hướng (cùng phương, cùng chiều) và cùng độ dài. AABB  CD     vµ  cïng h­íng. AB CD  CD hay AB  CD.  Hai véctơ được gọi là đối nhau khi chúng ngược hướng và cùng độ dài.  Các phép toán trên véctơ Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 1 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Véctơ và các phép toán trên véctơ a) Tổng của hai véctơ  Hệ thức Chasles (quy tắc ba điểm hayquy tắctam giác):  Với ba điểmA, B, C bất kỳ, ta có: AB  AC  CB.  Quy tắc ba điểm còn được gọi là hệ thức Chasles dùng để cộng các véctơ liên tiếp, cóthể mởrộng chotrườnghợp nhiềuvéctơ như sau: A1An  A1A2  A2A3  A3A4      An1An  Quy tắc hình bình hành DABC   AADB  AB  AD DC  Cho hình bình hành ABCD thì  DA  DC và  BC     Quy tắc hình bình hành dùng để cộng các véctơ chung gốc. a   a, (a  c a  c), a   a a.  Tính chất:  b  b   b)    (b   0  0   b) Hiệu hai véctơ   VÐct¬ ®èi cña vÐct¬ a, a.  Véctơ đối:  Tæng cña hai vÐct¬ ®èi kÝ hiÖu lµ   lµ vÐct¬ 0  (a) 0. : a       Hiệu hai véctơ: với ba điểm A, B, C bất kỳ, ta luôn có: AB  CB CA. c) Tích của một số với một véctơ a   Định nghĩa: cho một số thực  0. kk..aa k  0 và một véctơ Khi đó: ncïgn­gîch­h­ínígngvíviíiaakkhihikk00. . Tích k.a là một véctơ có : :    Tính chất: k.(a  b)  k.a  k.b , (k  h).a  k.a  h.a (1).a  a, 0.a    0.  k.b .  Điều kiện để hai véctơ a,     cùng phương là  k  để a b, (b 0)    Điều kiện để 3 điểm A, B, C thẳng hàng là  k   : AB  k.AC.  Tính chất trung điểm và trọng tâm tam giác a) Tính chất trung điểm    Nếu I là trung điểm của AB và M là điểm bất kỳ thì ta luôn có: 2MI  MA  MB. b) Tính chất trọng tâm Gọi G làtrọngtâm của tamgiác ABC vàM làđiểm bất kỳ, khi đó ta luôn có:  GA GB GC  0 và 3MG  MA  MB  MC.  Biểu thị một véctơ thông qua hai véctơ không cùng phương  Cho hai véctơ không cùng vpéhcưtơơnagvaà và b. Khi đó mọi véctơ c đều có thể biểu thị được một cmáachdnuby.nhất qua hai b, duy và n sao cho c  nghĩa là có nhất cặp số thực m Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 2 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Véctơ và các phép toán trên véctơ Daïng toaùn 1: Chöùng minh ñaúng thöùc veùctô   Phương pháp: Sử dụng quy tắc ba điểm (hệ thức Chasles), quy tắc hình bình hành, hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm kết hợp với các tính chất phép cộng, phép trừ, phép nhân để biến đổi tương đương cho biểu thức cần chứng minh. Khi đó ta có các hướng sau: — Hướng 1. Biến đổi một vế thành vế còn lại. Khi đó nếu xuất phát từ vế phức tạp, ta cần thực hiện việc đơn giản biểu thức. Còn nếu xuất phát từ vế đơn giản, ta cần thực hiện phép phân tích véctơ. — Hướng 2. Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức đã biết là luôn đúng (chẳng hạn: hệ thức trung điểm, trọng tâm,…). Hoặc ngược lại, biến đổi một đẳng thức véctơ là luôn đúng thành đẳng thức cần chứng minh.   Quy tắc ba điểm: Chèn C vào véctơ AB        Cộng: AB  AC  CA (chèn giữa).  Trừ: AB  CB CA (C cuối  C đầu)  Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD (quy tắc đường chéo hbh): AB    DB  DA  DC . DC  Tính chất trung điểm: Nếu I là trung điểm của AB và M là điểm bất kỳ. M    2MI  MA  MB. AI B  Tính chất trọng tâm: G là trọng tâm của tam giác ABC và M là điểm bất kỳ. AM      GA  GB  GC  0. DF G      MA  MB  MC  3MG. BE C Cần nhớ: G chia AE thành ba đoạn bằng nhau, tức có:  2  AG  AE. 3 BT 1. Cho 5 điểm A, B, C , D, E. Chứng minh rằng: Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 3 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Véctơ và các phép toán trên véctơ          a) AB  CD  EA  CB  ED. b) CD  EA  CA  ED. Cách 1. Biếnđổivế tráitheo vế phải Cách 1. ............................................................... Vế trái  AB  CD  EA ............................................................................. .............................................................................      .............................................................................  (AC  CB)  CD  (ED  DA) ............................................................................. .............................................................................      .............................................................................  (CB  ED)  (AC  CD  DA) Cách 2. ............................................................... .............................................................................     .............................................................................  CB  ED  (AD  DA) ............................................................................. .............................................................................     .............................................................................  CB  ED  (AD  AD) Cách 3. ............................................................... .............................................................................   .............................................................................  CB  ED  vế phải (đpcm). ............................................................................. ............................................................................. Cách 2. Biếnđổi vếphải theo vế trái. .............................................................................  CB  ED ............................................................................. Vế phải     (CA  AB)  (EA  AD)      AB  (CA  AD)  EA     AB  CD  EA  vế trái (đpcm). Cách 3. G iả sửta luôn có: AB  CD  EA  CB  ED        AB  (CD CB)  (EA  ED)  0      AB  BD  DA  0     AD  DA  0   0  0:luônđ úng.   Suy ra AB  CD  EA  CB  ED (đpcm) BT 2. Cho các điểm bất kì. Hãy chứng minh đẳng thức:            a) AB  BC  CD  DE  AE. b) AB  BC  CD  DE  EF  AF. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... .............................................................................         c) AC  BD  AD  BC. d) AB CD  AD CB. ............................................................................... ............................................................................. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 4 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Véctơ và các phép toán trên véctơ .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. ..............................................................................          e) AB CD  AC  BD. f) AB  BC  CD  DA  0. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. ..............................................................................         g) AB  AD  CB CD. h) BC  AB  DC  AD. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. ..............................................................................             i) AD  BE CF  AE  BF CD. j) AC  DE  DC CE  CB  AB. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. BT 3. Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của hai đường chéo AC, BD.    a) Chứng minh rằng: AB CD  2IJ. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 5 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Véctơ và các phép toán trên véctơ A IJ   Vế trái  AB CD B        (AI  IJ  JB)  (CI  IJ  JD)        AI CI  JB JD  2IJ  2IJ  vế phải (đpcm). 00 C D      b) Chứng minh rằng: AB  AD CB CD  4IJ .    Theo câu a), ta có: 2IJ  AB  CD (1)    Cũng theo câu a), ta có: 2IJ  AB  CD  .................................................................................... ....................................................................................................... (2) Cộng vế theo vế, ta được: ................................................................................................................... BT 4. Cho tứ giác ABCD. Gọi M , N theo thứ tự là trung điểm của các đoạn AD, BC .    a) Chứng minh rằng: AB  DC  2MN . A M D    Ta có: 2MN  MN  MN        (MA  AB  BN )  (MD  DC  CN )        (AB  DC )  MA MD  NB NC B 0 0 NC    AB  DC (đpcm)    b) Chứng minh rằng: AC  DB  2MN . ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................      c) Gọi I là trung điểm của MN . Chứng minh rằng: IA  IB  IC  ID  0. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. BT 5. Cho tam giác ABC, gọi M trung điểm của BC và I trung điểm của AM .     a) Chứng minh rằng: 2IA  IB  IC  0. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 6 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Véctơ và các phép toán trên véctơ A .................................................................................................. .................................................................................................. .................................................................................................. I .................................................................................................. .................................................................................................. B MC     b) Với O điểm bất kì. Chứng minh rằng: 2OA  OB  OC  4OI. ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ BT 6. Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD. Chứng minh:      A B a) OA OB  OC OD  0. E .............................................................................. O .............................................................................. .............................................................................. DC ..............................................................................         b) EA  EB  2EC  3AB. c) EB  2EA  4ED  EC. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. BT 7. Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của CD. Lấy N trên đoạn BM sao cho BN  2MN . Chứng minh rằng: Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 7 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Véctơ và các phép toán trên véctơ A      B a) 3AB  4CD  CM  ND  MN . ............................................................................. ............................................................................. ............................................................................. D C ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ...............................................................................       c) 3AN  4AB  2BD. b) AC  2AB  BD. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. BT 8. Cho hình bình hành ABCD có M trung điểm BC và G là trọng tâm tam giác ACD. a) Chứng minh rằng:     1  AM AB 2 AD. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 8 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Véctơ và các phép toán trên véctơ AD ...................................................................................................... G ...................................................................................................... ...................................................................................................... B MC ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................... ...................................................... ...................................................... b) Chứng minh rằng:    2   1  MG 3 AB 6 AD. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. BT 9. Cho tam giác ABC có D, M lần lượt là trung điểm của BC và AB, điểm N thuộc cạnh AC sao cho NC  2NA và gọi K là trung điểm của MN. A a) Chứng minh rằng:   1   1  AK 4 AB 6 AC . N ....................................................................................................... MK ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... B D C .......................................................................................................    b) Chứng minh rằng: 12KD  3AB  4AC. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. BT 10. Cho tamgiácABC. Trên hai cạnh AB, AC lần lượt lấy hai điểm D và E sao cho AD  2DB, CE  3EA. Gọi M là trung điểm của DE và I là trung điểm của BC. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 9 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Véctơ và các phép toán trên véctơ A a) Chứng minh rằng:   1   1  AM 3 AB 8 AC . E ....................................................................................................... ....................................................................................................... D ....................................................................................................... ....................................................................................................... B C ....................................................................................................... b) Chứng minh rằng:   1   3  MI 6 AB 8 AC . ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. BT 11. Cho tam giác ABC với I, J, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC , CA. Gọi D thuộc đoạn BC sao cho 3DB  2BC và M là trung điểm của AD.     A a) Chứng minh rằng: AK CJ  BI  0. ....................................................................................................... I K ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... B JD C ....................................................................................................... b) Chứng minh rằng:   1   5  BM 3 AC 6 AB. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. BT 12. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, I là trung điểm của BC và H là điểm đối xứng của C qua G. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 10 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Véctơ và các phép toán trên véctơ A a) Chứng minh:   2   1  H AH 3 AB 3 AC . MG .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. BIC .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. ..............................................................................       HB AB  AC IH AB AC .  b)  1 .  1  5 Chứng minh: 3 c) Chứng minh: 6 6 .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. BT 13. Cho tam giác ABC gọi G, H , O lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi D là điểm đối xứng của A qua O và M là trung điểm của cạnh BC. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 11 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Véctơ và các phép toán trên véctơ A    O a) Chứng minh: HB  HC  HD. ............................................................................. G ............................................................................. H ............................................................................. ............................................................................. BM C ............................................................................. ............................................................................. D .............................................................................         b) Chứng minh: HA  HB  HC  2HO. c) Chứng minh: HA  HB  HC  2OA. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... .............................................................................       d) Chứng minh: OA  OB  OC  OH . e) Chứng minh: OH  3OG. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... .............................................................................   f) Chứng minh: AH  2OM . ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. BT 14. Cho tam giác ABC . Dựngbên ngoài tam giác các hình bình hành ABIF, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng: RF  IQ  PS  0. H×nh vÏ Lêi gi¶i tham kh¶o Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 12 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Véctơ và các phép toán trên véctơ Ta có: PIRQSFIPRBCABCAQSF F R (1) A (2) (3) IB S Cộng vếtheovế của(1),(2),(3), tađược:   Q C RF  IQ  PS  (RA CS)  (AF IB)  (BQ PC)    0  0 0 P Suy ra: RF  IQ  PS  0 (đpcm). BT 15. Cho tứ giác ABCD. Dựng bên ngoài tứ giác các hình bình hành ABEF, BCGH , CDIJ, DAKL. H×nh vÏ      a) Chứng minh rằng: KF  EH GJ  IL  0. .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... ..........................................................................................     b) Chứng minh rằng: EL  HI  FK GJ . ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. BT 16. Chứng minh rằngcác tamABC,ABC  có cùng trọng tâm khi và chỉ khi đẳng thức sau được thỏa: AA  BB CC   0. Lêi gi¶i tham kh¶o Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 13 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Véctơ và các phép toán trên véctơ     Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có: GA GB GC  0.     Tương tự, G là trọng tâm của tam giác ABC  nên ta có: G A G B GC   0.   Do hai tam giác tam ABC, ABC  có cùng trọng tâm  G  G   GG   0. Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có:             AA  BB   CC   (AG  GG   G A)  (BG  GG   G B)  (CG  GG   G C )           (GAGB GC)  (GAGB GC)  3GG   3GG   0. 00      Điều kiện cần và đủ để ABC và ABC  có cùng trọng tâm là AA  BB CC   0.    Nhận xét. Để chứng minh hai điểm A và B trùng nhau, ta cần chứng minh AB  0. BT 17. Cho tam giác ABC . Gọi A là điểm đối xứng của A qua B, B là điểm đối xứng của B qua C, C  là điểm đối xứng của C qua A. Chứng minh rằng hai tam giác ABC và ABC  có cùng trọng tâm. H×nh vÏ Bµi lµm cña häc sinh ............................................................................................... ............................................................................................... ............................................................................................... ............................................................................................... ............................................................................................... ............................................................................................... ............................................................................................... ............................................................ ............................................................................................... ............................................................ ............................................................................................... ............................................................ ............................................................................................... ............................................................ ............................................................................................... ............................................................ ............................................................................................... ............................................................ ............................................................................................... ............................................................ ............................................................................................... ............................................................ ...............................................................................................       BT 18. Chotamgiác ABC và I, J, K xác định bởi: 2IB  3IC  0, 2JC  3JA  0 và 2KA  3KB  0. Chứng minh hai tam giác ABC và IJK có cùng trọng tâm. H×nh vÏ Bµi lµm cña häc sinh Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 14 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Véctơ và các phép toán trên véctơ .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. ................................................................. .............................................................................................. ................................................................. .............................................................................................. ................................................................. .............................................................................................. ................................................................. .............................................................................................. ................................................................. BT 19. Cho tứ giác ABCD. Các điểm M, N , P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC , CD, DA. Chứng minh hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm. H×nh vÏ Bµi lµm cña häc sinh .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. ................................................................. .............................................................................................. ................................................................. .............................................................................................. ................................................................. .............................................................................................. ................................................................. .............................................................................................. ................................................................. .............................................................................................. ................................................................. .............................................................................................. ................................................................. .............................................................................................. BT 20. Cho tam giác ABC đều tâm O và điểm M nằm bên trong tam giác. Gọi D, E, F     là hình chiếu của M trên BC , AC , AB. Chứng minh: MD  ME  MF  3 MO. 2 H×nh vÏ Häc sinh ®äc & bæ sung lêi gi¶i Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 15 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Véctơ và các phép toán trên véctơ A Từ điểm M dựng lần lượt các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác (như hình vẽ). S Tức PQ  BC, SR  AC, TU  AB. F U Khi đó: BPMP TM  BPMT là hình bình P E  BT MQ hành.    MT  MP  MB. O Tương tự CRMQ, ASMU là các hình bình hành. MMRU   B T D RC   MQ  MC .  MS  MA Ta có: PBT  MTR  QCR  MRT  60. Suy ra tam giácMTRlàtamgiác đều nên MD là trung tuyến  D là trung điểm của đoạn thẳng TR  2MD  MT  MR (1) Tương tự: .............................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................    Suy ra: 2ME  MU  MQ (2) Tương tự: .............................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................    Suy ra: 2MF  MP  MS (3) Ta lại có O làtâmcủa tamgiác đềuABC  O là trọng tâm tam giác ABC và M là điểm bất kỳ nên MA  MB  MC  3MO.          Cộng (1), (2), (3)  2MD  2ME  2MF  MT  MR  MU  MQ  MP  MS           2(MD  ME  MF )  (MT  MP)  (MR  MQ)  (MU  MS ) ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 16 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Véctơ và các phép toán trên véctơ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1. Cho 6điểmA, B, C, D, E, F. Chứng minh:         b) AD  BE  CF  AE  BF  CD. a) AB  DC  AC  DB. Câu 2. Cho tam giác ABC, gọi M trung điểm BC và I là trung điểm của AM . a) Chứng minh rằng: 2IA  IB  IC  0.     b) Với O là điểm bất kì. Chứng minh rằng: 2OA  OB  OC  4OI. Câu 3. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA và M là điểm tùy ý. Chứng minh rằng:   a) AF  BG  CH  DE  0.         b) MA  MB  MC  MD  ME  MF  MG  MH.     c) AB  AC  AD  4 AI với I trung điểm của FH. Câu 4. Cho hình bình hành ABCD có M trung điểm của BC và G là trọng tâm tam giác ACD. Chứng minh rằng:     AB  AD.   AD. a) AM  1 b) MG  2 AB  1 2 36   Câu 5. Cho tam giác ABC. Trên hai cạnh AB, AC lần lượt hai điểm D và E sao cho AD  2DB,   CE  3EA. Gọi M là trung điểm của DE và I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: a)   1   1  b)   1   3  AM AB AC. MI AB AC. 38 68 Câu 6. Cho tam giác ABC với I , J , K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA. Gọi D là điểm thuộc đoạn BC sao cho BD  2 BC và M là trung điểm của AD.   3   a) Chứng minh: AK  CJ  BI  0.    b) Chứng minh: 6BM  2AC  5AB. Câu 7. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, I là trung điểm của BC và H là điểm đối xứng của C qua G. Chứng minh rằng:  2  1   1    1  5  AH AB AC. HB AB  AC IH AB AC. a)    b)  . c)   33 3 66 Câu 8. Cho hình thang OABC. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của OB, OC. Chứng minh:  1    1    1   AM OB OA. BN OC  OB. MN OC  OB a)    b)  c)  . 2 22 Câu 9. Cho tam giác ABC có G, H , O lần lượt là trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi D là điểm đối xứng của A qua O và M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng:       a) HB  HC  HD. b) HA  HB  HC  2HO.     c) HA  HB  HC  2OA.       d) OA  OB  OC  OH. e) OH  3OG.   f) AH  2OM . Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 17 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Véctơ và các phép toán trên véctơ Câu 10. Cho tam giác ABC. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Gọi G là  trọng tâm tamgiác ABC.Chứng minh rằng:     a) AC  2 AM  BN . b) AM  BN  CP  0.      c) AM  BN  AP  BM  MC. Câu 11. Cho tứ giác ABCD. Dựng bên ngoài tứ giác các hình ABEF, BCGH , CDIJ , DAKL. Chứng minh rằng:         a) KF  EH  GJ  IL  0. b) EL  HI  FK  GJ . Câu 12. Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo BD lấy các điểm G và H sao cho DG  GH  HB. Gọi M , N là giao điểm của AH , BC và AG, DC. Chứng minh:        a) AB  AD  AG  AH. b) 2 AM  2 AN  3AC. Câu 13. Chứng minh rằng cáctamgiác ABC, ABC có cùng trọng tâm khi và chỉ khi đẳng thức sau được thỏa: AA  BB  CC  0. Câu 14. Cho tam giác ABC. Gọi A là điểm đối xứng của A qua B, B là điểm đối xứng của B qua C, C là điểm đối xứng của C qua A. Chứng minh: ABC và ABC có cùng trọng tâm. Câu 15. Cho tam giác và I, J, K xác định bởi:       và   ABC 2IB  3IC  0, 2JC  3JA  0 2KA  3KB  0. Chứng minh hai tam giác ABC và IJK có cùng trọng tâm. Câu 16. Cho tứ giác ABCD. Các điểm M , N , P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm.   Câu 17.Chotam giác ABC. Gọi M , N , P là những điểm được xác định bởi: MB  3MC, NC  3NA, PA3PB.Chứngminh rằng: a) 2OM  3OC  OB, O bất kỳ. b) ABC và MNP có cùng trọng tâm. Câu 18. Cho tam giác ABC cân tại A và điểm M bất kì nằm trong tam giác. Đường thẳng qua M song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Dựng MK vuông góc với BC tại K và gọi     I là trung điểm của BC. Chứng minh: 2MK  MD  ME  2MI. Câu 19. Cho tam giác ABC đều tâm O và điểm M bất kỳ nằm trong tam giác. Gọi D, E, F là hình chiếu của M trên BC, AC, AB. Chứng minh:       3  MD ME MF MO. 2 Câu 20. Cho đoạn thẳng AB. Trên đoạn AB lấy điểm C sao cho CA  m và S là điểm bất kỳ. CB n    Chứng minh rằng: SC  m .SA  n .SB. mn mn Câu 21. Cho hình chữ nhật ABCD có tâm là O và S là điểm bất kỳ. CMR: 2 2 2 2 SA  SB  SC  SD . Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 18 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Véctơ và các phép toán trên véctơ Daïng toaùn 2: Tìm moâñun (ñoä daøi) veùctô   Phương pháp: Để tính a    c  , ta thực hiện theo hai bước sau: b d  BđBiưưểớmớcc,2t1.í.nThBínicếhhnấđtđộtổrdiuàvniàg(mrđúiôểtđmguọ,nnh)ìbnciủhểaubìvtnhhdứựhcaàvnvéhàc,toơtrtọíannhgctbhâmất,h…cìnshadohọcchvođ ãvdcựhđaoơ.nvàgoiảqnuni htắấct.ba  Một số kiến thức hình học phẳng thường được sử dụng  Chiều cao tam giác đều  canh 3  Đường chéo hình vuông  cạnh 2. 2 Cho tam giác ABC vuông tại A, có AH là đường cao, AM là trung tuyến. Khi đó:  Pitago: BC 2  AB 2  AC 2     ABACBC  AB2  AC 2  BC 2  AC 2 .  BC 2  AB2  Trung tuyến: AM  1 BC. 2  AB2  BH.BC và AC 2  CH.CB.  1 1 1 và AH 2  HB.HC. AH 2 AB 2 AC 2  sin ABC  ®èi  AC ; cos ABC  kÒ  AB ; tan ABC  ®èi  AC  huyÒn BC huyÒn BC kÒ AB BT 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB  3(cm),  AC  4(cm). Gọi I là trung điểm của BC. Xác định và tính độ dài các véctơ:    C a) u  BA  BC. G ọi Mlà trung điểmcủa AC, tacó:   u  BA  BC  2BM  u  2BM  2 BM  2BM. 4cm M I A 3cm Ta có: MA  2 Pitago: AMB  MB  32  22  13. B Suy ra: u  2BM  2 13.    b) v  AB  AC.    c) w CA CB. ........................................................................... ................................................................................ ........................................................................... ................................................................................ ........................................................................... ................................................................................ ........................................................................... ................................................................................    d) x  2IACA. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 19 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Véctơ và các phép toán trên véctơ ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................   BT 2. Cho tam giác ABC đều cạnh a, gọi G là trọng tâm tam giác và H là trung điểm của BC. Tính theo a :   a) AB  AC . A G ............................................................................. ............................................................................. BH C ............................................................................. .............................................................................   ............................................................................. b) AB  AC . .............................................................................    c) GB GC . ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ...............................................................................  .............................................................................      d) GA GC . e) AH  BC . ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ...............................................................................  .............................................................................  BT 3. Cho hình chữ nhật ABCD có AB  3,  BC  4. Gọi M,  N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Tính: Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 20 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Véctơ và các phép toán trên véctơ A4    3 D a) AB  AC  AD . BM       Ta có: AB  AC  AD  (AB  AD)  AC   b) AM  AN . N  ........................................................................................... C ................................................................................................ ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................   BT 4. Cho hình chữ nhật ABCD tâm O và có AB  4,  AD  3. Gọi M,  N là các điểm tùy ý. Hãy tính: B   a) AC  BD . A4 3O       Ta có: AC  BD  2OC  2OD  2 OC OD  ............................................................................................ DC ................................................................................................    b) MA  MB  2MC . ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. BT 5. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O, lấy M là một điểm tùy ý. Chứng minh rằng các véctơ sau không đổi và tính độ dài của chúng:    a) u  OA CB. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 21 -

Môn: Hình học 10 B Chủ đề: Véctơ và các phép toán trên véctơ A M      a Ta có: u  OA CB  CO CB  .............. O ............................................................................. ............................................................................. ............................................................................. D C         b) v  CD  DA. c) x  2MA  MB  MC  2MD. ...............................................................................  Cầnnhớ: Ghép đồng hệ số,tức: ............................................................................... Ta có: x  2(MA  MD)  (MB  MC ) ...............................................................................  ......................................................................... ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. .............................................................................     d) y  3MA  MB  2MC .      e) z  3MA  MB  MC  MD.      Ta có: y  2(MA  MC )  (MA  MB) .............................................................................  ........................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. BT 6. Cho hình thoi ABCD có BAD  60 và cạnh là a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Tính theo a : Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 22 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Véctơ và các phép toán trên véctơ D   a) AB  AD . A 60o O ............................................................................. C .............................................................................   B b) BA  BC . ............................................................................. .............................................................................   c) OB  DC . .............................................................................. ............................................................................. .............................................................................. ............................................................................. .............................................................................. ............................................................................. .............................................................................. ............................................................................. .............................................................................. ............................................................................. BT 7. Cho tam giác ABC vuông tại A, có góc ABC  60, cạnh AB  a. Gọi I là trung điểm của BC. Tính độ dài các véctơ sau:    B a) a  AB  AC . 60o ............................................................................ aI ............................................................................ A ............................................................................    b) b  AB  AC. C ............................................................................     c) c  AB  IC  AC. .............................................................................. ............................................................................ .............................................................................. ............................................................................ .............................................................................. ............................................................................ .............................................................................. ............................................................................     d) d  BA  BI  IC . ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. BT 8. Cho tam giác ABC vuông tại A,  AB  7a, AC  24a. Gọi N và K lần lượt là trung điểm cạnh AC và BN. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 23 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Véctơ và các phép toán trên véctơ B     a) Chứng minh: 4AK  2AB  AC  0. K ............................................................................. 7a ............................................................................. A 24a N   ............................................................................. b) Tính AB  AC . ............................................................................. C .............................................................................   c) Tính 2AB  AC . ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. BT 9. Cho hình thoi ABCD cố định có tâm O, cạnh bằng a và góc ABC  60. Gọi I là trung điểm của đoạn DO và G là trọng tâm tam giác ABO.   A a) Tính theo a độ dài: BA  BC . B 60o G I ............................................................................. O D ............................................................................. a ............................................................................. C .............................................................................      b) Tính theo a độ dài BA  2BC . c) Chứng minh rằng: 4IC  3AB  AD. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. BT 10. Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH,  AB  a,  HC  2a,  (a  0).     a) Chứng minh rằng: AB  HC  AC  HB. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 24 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Véctơ và các phép toán trên véctơ B ....................................................................................... H ....................................................................................... a 2a ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... AC     b) Tính theo a : CA CB và AH  AC . ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. BT 11. CAhBoChình45th. aHnãgyctâínnh:ACBBC D có đáynhỏ AD  a và đường cao AH  a, góc AD  AC . AaD .................................................................................. .................................................................................. a .................................................................................. 45o H .................................................................................. B C .................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. BT 12. Cho hình thoi ABCD cạnh a, tâm O,  BAD  60,  G là trọng tâm tam giác ABD.   a) Tính AC  BD . Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 25 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Véctơ và các phép toán trên véctơ   ................................................................................................. b) Tính AB  2AG . ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. BT 13. Cho tam giác ABC cân tại A, có AB  4,  BC  6. Gọi AM,  BN,  CK lần lượt là trung tuyến của ABC và G là trọng tâm.     a) Chứng minh: AM  BN CK  0. ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. .................................................................................................   b) Tính GB GC . ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. BT 14. Cho hình bình hành ABCD, có tam giác ABC vuông tại C,  AD  8a,  AC  15a. Gọi M,  N lần lượt là trung điểm cạnh CD và AD.      a) C/minh: AB  MD  CB CD  MA. ............................................................................. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 26 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Véctơ và các phép toán trên véctơ    ............................................................................ b) Chứng minh: BD  2.CN  2.AM . ............................................................................ ............................................................................     c) Tính: AC  BC và AM CN . ............................................................................... ............................................................................ ............................................................................... ............................................................................ ............................................................................... ............................................................................ ............................................................................... ............................................................................ ............................................................................... ............................................................................ ............................................................................... ............................................................................ ............................................................................... ............................................................................ BT 15. Cho hình chữ nhật ABCD có AB  3a,  BC  4a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, E là trung điểm của GD,  F là trung điểm BC và M là điểm tùy ý.      a) C/M: MA  MB  MC  3MD  6ME    ............................................................................ b) Tính AB  AC  AD . ............................................................................ ............................................................................ ............................................................................ ............................................................................    c) Tính AB  AC  2AD . .............................................................................. ............................................................................ .............................................................................. ............................................................................ .............................................................................. ............................................................................ .............................................................................. ............................................................................ .............................................................................. ............................................................................ .............................................................................. ............................................................................ Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 27 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Véctơ và các phép toán trên véctơ BÀI TẬP TỰ LUẬN Câu 1.Cho tam giácABCđềucạnh a, gọiG là trọng tâm tam giác và H là trung điểm của BC.      Tính: AB  AC , AB  AC , GB  GC , GA  GC , AH  BC theo a.       Câu 2. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AB  a. Tính: AB  AC , AB  AC , AB  2AC . Câu 3. Cho hình chữ nhật ABCD có AB  3, BC  4. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC      và CD. Tính: AB  AC  AD và AM  AN . Câu 4. Cho hình chữ nhật ABCD tâm O và có AB  4, AD  3, M là điểm tùy ý. Tính:      AC  BD , MA  MB  2MC . Câu 5. Cho hình thoiA BCD có BAD60và cạnh là a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo  AC và BD. Tính: AB  AD , BA  BC , OB  DC . Câu 6. Cho tam giác ABC vuông tại A, có góc ABC  60, cạnh AB  a. Gọi I là trung điểm của BC. Tính độdài cácvéctơ sau:    a) a  AB  AC. b) b  AB  AC.     c) c  AB  IC  AC.     d) d  BA  BI  IC. Câu 7. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB  7a, AC  24a. Gọi N và K lần lượt là trung điểm cạnh AC và BN.         a) CMR: AK  BN  AN  BK. b) CMR: 4 AK  2AB  AC  0.     c) Tính AB  AC và 2 AB  AC . Câu 8. Cho hình thoi ABCD cố định có tâm O, cạnh bằng a và góc ABC  60. Gọi I la trung điểm của đoạn DO và Glà trọngtâm tamgiác ABO.    a) Tính: BA  BC và BA  2BC . b) Chứng minh rằng: 4IC  3AB  AD. Câu 9. Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH , AB  a, HC  2a.       a) Chứng minh rằng: AB  HC  AC  HB. b) Tính theo a : CA  CB và   AH  AC . Câu 10. Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AD và đường cao AH đều bằng a, ABC  45.    Hãy tính: CB  AD  AC . Câu 11.C ho hìnhthoiABCD cạnh a, tâm O, BAD  60, G là trọng tâm tam giác ABD. Tính AC  BD và AB  2 AG theo a. Câu 12. Cho tam giác ABC cân tại A, có AB  4, BC  6. Gọi AM , BN , CK lần lượt là trung tuyến của ABC và G là trọng tâm. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 28 -

Môn: Hình học 10     Chủ đề: Véctơ vàcác phép toán trên véctơ b) Tính: GB  GC . a) Chứng minh: AM  BN  CK  0. Câu 13. Cho hình bình hành ABCD, có tam giác ABC vuông tại C, AD  8a, AC  15a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm cạnh CD và AD.         b) CMR: BD  2CN  2 AM . a) CMR: AB  MD  CB  CD  MA.     c) Tính: AC  BC và AM  CN . Câu 14.Chohìnhchữ nhật ABCD có tâm O, AB  4, AD  3, M là điểm tùy ý. Chứng minh rằng u  3MA  MB  MC  MD không phụ thuộc vào M . Tính độ dài véctơ u . Câu 15. Cho hình chữ nhật ABCD có AB  3a, BC  4a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, E là trung điểm của GD, F là trung điểm của BC và M là điểm tùy ý. Chứng minh rằng:            MA  MB  MC  3MD  6ME và tính: AB  AC  AD , AB  AC  2 AD . Daïng toaùn 3: Phaân tích veùctô – Chöùng minh thaúng haøng – Song song   Phân tích véctơ (tính một véctơ theo 2 véctơ không cùng phương):  Phương pháp: dcDùuựnyagnvphàhấoưt nơsaộnoigd.cVhuonớ:igwmđọịni hvé.lucýt:ơ“wCh.vboa”ot.rKưgihớờiccđ2ũónvtgaétccìtómơhđuaư,i ợhvcư,  1ớ(nucặg, p gvsiảốitqh0uự)yckếht:ô,  ng  Hướng 1. Từ giả thiết xác định được tính chất hình học, rồi từ đó khai triễn véctơ cần biểu diễn bằng phương pháp xen điểm, hiệu 2 véctơ cùng gốc, qui tắc hình bình hành, tính chất trung điểm, trọng tâm, …  Hướng 2. Từ giả thiết lập được mối quan hệ véctơ giữa các đối tượng, rồi từ đó khai triễn biểu thức này bằng phương pháp xen điểm, hiệu 2 véctơ cùng gốc, qui tắc hình bình hành, tính chất trung điểm, trọng tâm, …  Chứng minh 3 điểm thẳng hàng (cùng phương, cùng gốc).    Phương pháp: Để chứng minh A,  B,  C thẳng hàng, ta chứng minh AB  k.AC   (1) Để nhận được (1), ta có thể lựa chọn 1 trong 2 hướng sau:  Hướng 1. Sử dụng các qui tắc biến đổi véctơ.    Hướng 2. Tính véctơ AB và AC thông qua một tổ hợp véctơ trung gian.   Lưu ý: Nếu khôngdễ nhận thấy k trong đẳng thức véctơ AB  k.AC, ta nên biểu thức phân tích véctơ AB và AC để tìm ra số thực k.  Chứng minh song song (cùng phương, không cùng gốc).    Phương pháp: Để chứng minh AB  DC, ta cần chứng minh AB  k.DC. Nhóm 1. Phân tích véctơ theo hai véctơ không cùng phương Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 29 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Véctơ và các phép toán trên véctơ BT 1. Cho hình vuông ABCD. Gọi M trung điểm của cạnh AB,  N là điểm sao cho A       AN  3 AC . Biểu thị (phân tích) véctơ MN ,  DN theo hai véctơ AB và AC . D 4    M B  Phân tích MN theo hai véctơ AB và AC :      Có MN  MA  AN  AM  AN  1   3  2 AB 4 AC . O Hoặc:       3   1  N MN AN AM 4 AC 2 AB.     Phân tích DN theo hai véctơ AB và AC : C Có      3       1  DN AN  AD 4 AC  (AC  AB) AB 4 AC . BT 2. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm của tam giác và I là điểm đối xứng của B qua G. Gọi M là trung điểm của BC.    A a) Phân tích AI theo AB và AC. I ............................................................................ ............................................................................ G C ............................................................................ ............................................................................ BM ............................................................................       b) Phân tích CI theo AB và AC. c) Phân tích MI theo AB và AC. ........................................................................... ............................................................................ ............................................................................ ........................................................................... ............................................................................ ............................................................................ ........................................................................... ............................................................................ ........................................................................... ...........................................................................     d) Phân tích AB,  AC theo AG và AI . ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 30 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Véctơ và các phép toán trên véctơ BT 3. Cho hình bình hành ABCD. Gọi I là trungđiểm củaC D,  Glà trọng tâm của tam giác BCI . Hãy phân tích các véctơ BI và AG theo AB và AD. B M C ............................................................................................ NG ............................................................................................ I ............................................................................................ A D ............................................................................................ ................................................................ ............................................................................................ ................................................................ ............................................................................................ ................................................................ ............................................................................................ ................................................................ ............................................................................................ BT 4. Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI  3BI. Gọi J là điểm trên cạnh BC kéo dài sao cho 5JB  2JC.     a) Phân tích các véctơ AI,  AJ theo AB và AC.         2IC  3IB  0  2(AC  AI )  3(AB  AI )  0     5AI  2AC  3AB  ............................................. Vì I th uộc đoạn BC và 2CI  3BI        T/tự: 5JB  2JC  5(AB  AJ )  2(AC  AJ )  2IC  3IB  0. Tương tự J nằm  ...................................................................................... ngoài đoạn BC và 5JB 2JCnên B nằm giữa C,  J và 5JB  2JC .  ......................................................................................    b) Gọi G là trọng tâm tâm giác ABC. Phân tích AG theo AI và AJ . Theo câu a), ta có: 5533   2     53AABB     AACB  851265AAII8319A6JAJ AB  5 AC  AI  2AC  5AI   2    2AC 3AJ AB 3 AC AJ     AG  AM AB  AC  Gọi M 2  21 là trung điểm của AB thì 32 3  ............................................................................................................................................................ BT 5. Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC.    A a) Phân tích các véctơ AB theo AK và BM .      AB  (AC  AB)  2BM M     2AB  AC  2MB (2) B K Lấy (1)  (2)  ................................................................ C Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 31 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Véctơ và các phép toán trên véctơ     ...................................................................................... Ta có: AB A C 2AK (1) Tương tự: BA  BC  2BM ............................................................................................     b) Phân tích các véctơ BC, C  A theo AK và BM . ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. BT 6.       Cho tam giác ABC, gọi I,  J,  K thỏa mãn: BC  3BI,  CA  3CJ và AB  3AK.     A a) Chứng minh rằng: IC  JA  KB  0. K ................................................................................................. J ................................................................................................. ................................................................................................. BI C .................................................................................................     b) Chứng minh rằng: AI  BJ CK  0. ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................     c) Biểu thị (phân tích) các véctơ IK,  IJ qua các véctơ AB và AC. ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ BT 7. Cho tam giácAB C cóI là trung điểm củacạnh BC. Gọi M là điểm thỏa mãn đẳng thức véctơ: 2MA  MB  3MC  AB  AC.    a) Hãy phân tích AM theo hai véctơ AB và AC. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 32 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Véctơ và các phép toán trên véctơ      Ta có: 2MA  MB  3MC  AB  AC         2MA  (MA  AB)  3(MA  AC )  AB  AC  ..........................................................................................  .......................................................................................... ................................................................................................ b) Chứng tỏ AMIB là hình bình hành. ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ Nhóm 2. Chứng minh ba điểm thẳng hàng   BT 8. Cho tam giác ABC. GọiM,  N,  P lần lượt là các điểm thỏa mãn: MB  2MC, NC  2NA,  PB  4PA. Chứng minh các điểm M,  N,  P thẳng hàng.     Hướng dẫn: Phân tích MN ,  MP theo AB, AC. A      P Ta có: MN  MC  CN  CB  2 CA 3 N       (AB  AC )  2 AC  AB  5 AC (1) BC 33      Tương tự: MP  MB  BP  2CB  4 BA 5      M  2(AB  AC )  4 AB  6 AB  2AC (2) MMNP 65AABB 532AACC 55 Từ (1),(2)    53MMPN    56MMPN     3AB  5AC  6AB  10AC  6AB  10AC  6AB  10AC Suy ra:    5     cùng phương và cùng điểm gốc M nên 6MN  5MP  MN  6 MP MN ,  MP ba điểm M,  N,  P thẳng hàng (đpcm).      BT 9. Cho tam giác ABC. Lấy các điểm P,  Q thỏa mãn: PA  2PB,  3QA  2QC  0. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh ba điểm P,  Q,  G thẳng hàng.     Hướng dẫn: Tính GP,  GQ theo AB và AC. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 33 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Véctơ và các phép toán trên véctơ P ................................................................................................. ................................................................................................. B ................................................................................................. G ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. AQ C ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................    ABC M,  N,  P MB  2MC  0, BT 10. Cho tamgiác   vàcác điểm được xác định bởi: NA  2NC  0,  PA  PB  0. a) Xác định các điểm M,  N,  P và vẽ hình.        Ta có: MB  2MC  0  MB  2(MB  BC )  0    BM  2BC, do đó C là trung điểm BM.    Ta có: NA  2NC  0  N nằm giữa A,  C và chia    đoạn AC thành 3 phần, đoạn AN chiếm 2 phần. Ta có PA  PB  0  P là trung điểm của đoạn AB. Suy ra:   2  và   1  AN AC NC AC . 3 3 b) Chứng minh ba điểm M,  N,  P thẳng hàng.     Hướng dẫn: Phân tích hai véctơ MP,  MN theo hai véctơ AB và AC. ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................      BT 11. Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M,  N là các điểm thỏa MA  2MB, 2NC  3NA  0 và G là trọng tâm tam giác ABC. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 34 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Véctơ và các phép toán trên véctơ     a) Chứng minh: AB CD  AD CB. ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ b) Chứng minh ba điểm G,  M,  N thẳng hàng. ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................    BT 12. Chotamgiác ABC có trung tuyến BI và các điểm H,  K thỏa BC  5BH  0 và 2BK  IK  0. A a) Xác định các điểm H,  K trên hình vẽ. ................................................................................................ I ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ B C ................................................................................................ ........................................................... ................................................................................................ ........................................................... ................................................................................................ ........................................................... ................................................................................................    b) Biểu diễn AK theo hai véctơ AB và AC. ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 35 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Véctơ và các phép toán trên véctơ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ c) Chứng minh ba điểm A,  H,  K thẳng hàng. ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ BT 13. Cho hình chữ nhật ABCD, có tâm O,  AB  4a,  AD  3a,  M là một điểm tùy ý. A E 4a B      F a) Chứng minh v  3MA  MB  MC  MD khôn g phụ thuộc vào vị trí điểm M. Tính độ dài véctơ v. 3a ................................................................................................ ................................................................................................ D C ................................................................................................ ........................................................... ................................................................................................ ........................................................... ................................................................................................ b) Gọi E,  F là hai điểm thỏa mãn:   1    4  Phân tích véctơ     AE 4 AB, CF 5 CA. DE và DF theo hai véctơ AB và AD, suy ra ba điểm D,  E,  F thẳng hàng. ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................       ABC . M,  N,  P MA  MB  0,  NA  2NC  0, BT 14. Chotam giác  Gọi là ba điểm thỏa: 3PB  4PC  0. Gọi G là trọng tâm của tam giác MNP. Chứng minh rằng ba điểm A,  G,  P thẳng hàng. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 36 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Véctơ và các phép toán trên véctơ     Hướng dẫn: Phân tích AP,  AG theo AB,  AC . ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ BT 15. Cho tam giác ABC cóG làtrọngtâmvà I trung điểm của cạnh BC. Gọi M,  N là các điểm định bởi: 3MA  MB  0,  2NB  3NC  0.    a) Chứng minh rằng: AB  AC  6GI. ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ b) Chứng minh ba điểm G,  M,  N thẳng hàng. ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ BT 16. Cho tam giác ABC đều cạnh a, có G là trọng tâm.Gọi Dlà điểm đối xứng của A qua B và E là điểm thỏa mãn đẳng thức véctơ: 5AE  2AC .     A a) Tính AB  AC và GA GB . G ................................................................................................ B ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ C ................................................................................................ Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 37 -

Môn: Hình học 10     Chủ đề: Véctơ và các phép toán trên véctơ b) Phân tích hai véctơ DE,  DG theo AB và AC. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. c) Chứng minh rằng ba điểm D,  E,  G thẳng hàng. ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ BT 17. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi O là trọng tâm tam giác BCD.     A B M a) Chứng minh rằng: AB  AC  AD  3AO. G ................................................................................................. ................................................................................................. O ................................................................................................. DC   b) Xác định và tính độ dài của véctơ u  AC  DB. ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ c) Gọi G làtrọngtâm củatam giác ABC và M,  N là các điểm được xác định bởi: AM  2AB,  5AN  2AC . Chứng minh rằng: M,  N,  G thẳng hàng. ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ BT 18. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, gọi I là trung điểm AB và M là trung điểm AI. Lấy điểm H đối xứng với C qua G.     A a) Chứng minh 2OA OH  OG  4OM, O bất kì. M ................................................................................................ I ................................................................................................ G ................................................................................................ B C ................................................................................................ Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 38 -

Môn: Hình học 10    Chủ đề: Véctơ và các phép toán trên véctơ     b) Gọi N là điểm xác định bởi 2NB  3NC  0. Tính AN ,  AG theo AB,  AC . ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ c) Chứng minh ba điểm G,  M,  N thẳng hàng. ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ BT 19. Cho hình bình hành ABCD có các điểm M,  I,  N lần lượt thuộc các cạnh AB,  BC, CD sao cho 3AM  AB, BI  k.BC, 2CN  CD. Gọi G là trọng tâm của tam giác BMN. Định k để ba điểm A,  G,  I thẳng hàng. Do G là trọng tâm của tam giác BMN, nên có:     3AG  AB  AN  AM       3AG  AB  1 (AC  AD)  1 AB 2 3      3AG  4 AB  1 AC  1 BC 3 2 2          3AG  4 AB  1 AC  1 (AC  AB)  AG  5 AB  1 AC 3 2 2 18 3          Theo đề: BI  kBC  BI  kBC  AI  AB  k(AC  AB)  AI  (1  k)AB  kAC .   Để ba điểm A,  G,  I thẳng hàng thì AI  mAG,  m    (1      m 158   1 AC  (1      5m   m  k)AB kAC AB 3 k )AB kAC 18 AB 3 AC  1k k  5m  1mk 3k 5k k  6 m 18  6 11 3 Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 39 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Véctơ và các phép toán trên véctơ     BT 20. Cho tam giác ABC có trọng tâm G,  I là điểm định bởi 5IA  7IB  IC  0.   a) Chứng minh: GI  2AB. ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................   b) Gọi O là giao điểm của AI, BG và BO  k.BG. Hãy tìm k. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. BT 21. Cho ABC có AD là phân giác, AB  6,  AC  8. Gọi M,  N là các điểm trên AC và BC thỏa AM  3 AC, BN  3 BC . Gọi H  AD AH  k  0. 4 4 thỏa mãn AD    A a) Phân tích AD theo AB,  AC . BD AB 6 3 Theo tính chất phân giác, ta có: DC  AC  8  4 Suy ra:   3     3  BD 4 DC BD 7 BC . M Ta có:         3  AD AB BD AB 7 BC B D N C      3    4   3  (1) AD AB 7 (AC  AB) 7 AB 7 AC    b) Phân tích AD theo hai véctơ BM và AN.        Đặt AD  xBM  yAN  x(AM  AB)  y(AB  BN )  x  43   AB  y AB  3 BC  x  43   AB  y AB  3   AB) AC 4 AC 4 (AC  3    1   3   x  1 yAB   3 x  3 yAC (2) 4 x AC  xAB 4 yAB 4 yAC 4 4 4 Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 40 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Véctơ và các phép toán trên véctơ Đồng nhất hệ số (1) và (2)  43 xx  1y  4  yx  20    20   32   4  7  21 AD 21 BM 21 AN . 3 3 32 4 y 7 21    c) Phân tích DQ theo AB,  AC với Q là trọng tâm của tam giác CMN. ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ d) Tìm k để ba điểm B,  H,  M thẳng hàng. ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ BT 22. Cho ABC, có trọng tâmG. Gọi M,  N lần lượtlà trung điểm của AB,  BC. Lấy  hai điểm I,  J sao cho: 2IA  3IC  0,  2JA  5JB  3JC  0. A a) Chứng minh rằng M,  N,  J thẳng hàng và J là trung điểm của BI . ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ B C ................................................................................................ ........................................................... ................................................................................................ ........................................................... ................................................................................................ ........................................................... ................................................................................................   b) Gọi E trên đoạn AB thỏa: AE  k.AB. Xác định k để C,  E,  J thẳng hàng. ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 41 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Véctơ và các phép toán trên véctơ ................................................................................................................................................................ BT 23. Cho hình bình hành ABCD. Gọi M,  N là hai điểm lần lượt thuộc đoạn AB và CD sao cho: AB  3AM,  CD  2CN.    AM B a) Tính AN theo các véctơ AB và AC. G ................................................................................................ ................................................................................................ D NC ................................................................................................ ........................................................... ................................................................................................ ........................................................... ................................................................................................    b) Gọi G là trọng tâm tam giác BMN, tính AG theo các véctơ AB và AC. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................      c) Gọi I là điểm định bởi BI  kBC . Tính véctơ AI theo các véctơ AB và AC. Tìm k để đường thẳng AI qua điểm G. ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ BT 24. Cho hình bình hành ABCD có: BAD  60,  AB  2a,  AD  BD. Gọi F là trung điểm của CD.     D F C a) Tính AB  AD ,   AB  2AD theo a. ................................................................................................. 60o 2a B ................................................................................................. A ................................................................................................. ........................................................... ................................................................................................. ........................................................... ................................................................................................. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 42 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Véctơ và các phép toán trên véctơ ........................................................... ................................................................................................. ........................................................... ................................................................................................. ........................................................... .................................................................................................      b) Gọi M,  N là hai điểmthỏa3AM  4AD và 3AN  AB  2AC. Hãy phân tích véctơ MN theo hai véctơ AB và AD. Chứng tỏ ba điểm M,  N,  F thẳng hàng. ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ BT 25. Cho ABCD là hình thang vuông tại A và D, có AB  AD  a, CD  2a. AB     a) Chứng minh: CD  AB  CB  AD. M ................................................................................................. K ................................................................................................. ................................................................................................. DH C .................................................................................................   b) Tính DB  DA theo a. ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ DC, điểm M  BC   Gọi H  thỏa mãn MB  3MC và gọi K b) là trung điểm của là giao điểm của DM và BH. Tính BK theo BD và BC . ................................................................................................................................................................ Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 43 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Véctơ và các phép toán trên véctơ ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. Nhóm 3. Chứng minh song song BT 26. Cho tam giác ABC có M làtrungđiểmcủa cạnhBC. Gọi D,  E lần lượt là các điểm thỏa mãn các đẳng thức: BD  4BA,  AE  3AC . Chứng minh: DE  AM.      có:DE  AE  AD  3AC  (3AB) D Ta    DE  3AB  3AC (1) Ta lại có:         1  AM AB BM AB 2 BC A    1     1   1  BM AB (AC AB) AB AC  2   2 2 C  6AM  3AB 3AC (2)   Từ (1),(2)  DE  6AM nên DE,  AM cùng phương E nhưng không cùng gốc, suy ra DE  AM (đpcm) BT 27. Cho tam giác ABC có trọng tâmG. Gọi M là trung điểm của cạnh BC và I là điểm thỏa mãn hệ thức: 4CI  AC  0. Chứng minh rằng: MP  BG. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 44 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Véctơ và các phép toán trên véctơ ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. A ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. BC ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. ........................................................... ................................................................................................. ........................................................... ................................................................................................. ........................................................... ................................................................................................. ........................................................... ................................................................................................. ........................................................... ................................................................................................. ........................................................... ................................................................................................. ........................................................... .................................................................................................   ABC . D,  E,  G 2AD  AB, BT 28. Cho tamgiác  Các điểm được xác định bởi các hệ thức: AE  2CE,  2GD  GC . A a) Chứng minh rằng: BE CD. ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. B C ................................................................................................. b) Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh: A,  G,  M thẳng hàng. ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 45 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Véctơ và các phép toán trên véctơ ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. BT 29. Cho hình bình hành ABCD có I là trung điểm CD.GọiG là trọng tâm tam giác BCI và điểm J thỏa mãn đẳng thức véctơ AB  4AJ  0. Chứng minh rằng D C a)   1    và   5   2  AI 2 AB AD AG 6 AB 3 AD. ................................................................................................ ................................................................................................ A B ................................................................................................ ........................................................... ................................................................................................ ........................................................... ................................................................................................ ........................................................... ................................................................................................ b) Chứng minh: CJ  AG. ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ BÀI TẬP TỰ LUẬN Câu 1. Cho hình vuông ABCD. Gọi M trung điểm của AB, N là điểm sao cho   3  Biểu AN AC. 4     thị (phân tích) véctơ MN , DN theo hai véctơ AB và AC. Câu 2. Cho hình bình hànhABCD.Gọi I làtrungđiểm của CD, G là trọng tâm của tam giác BCI. Hãy phân tích các véctơ BI và AG theo AB và AD. Câu 3. Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI  3BI. Gọi J là điểm trên cạnh BC kéo dài sao cho 5JB  2JC.    a) Phân tích các véctơ AI , AJ theo AB và AC.    b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Phân tích AG theo AI và AJ .   Câu 4. Cho AK và BM là haitrung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích các véctơ AB, BC, AC theo hai véctơ AK và BM . Câu 5. Cho tamgiácABCcó Ilà trung điểm của các cạnh BC. Gọi M là điểm thỏa mãn đẳng thức véctơ: 2MA  MB  3MC  AB AC.   a) Hãy phân tích véctơ AM theo hai véctơ AB và AC. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 46 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Véctơ và các phép toán trên véctơ b) Chứng tỏ AMIB là hình bình hành. Câu 6. Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB, BC lấy các điểm E, K sao cho AB  3AE, 5BK  3BC. Gọi F, I lần lượt là trung điểm của AC và EF.     a) Chứng minh rằng: 9 AE  5BK  6CF  0.     b) Phân tích AI , AK theo hai véctơ AB, AC . Từ đó suy ra A, I , K thẳng hàng. Câu 7. Cho hình chữ nhật ABCD, có tâm O, AB  4a, AD  3a, M là một điểm tùy ý.       a) CMR: v  3MA  MB  MC  MD không phụ thuộc vào vị trí điểm M . Tính độ dài v. b) Gọi E, F là hai điểm thỏa mãn:   1    4  Phân tích véctơ  và  AE AB, CF CA. DE DF 45   theo hai véctơ AB và AD. Từ đó suy ra ba điểm D, E, F thẳng hàng.      Câu 8. Cho tam giác ABC. Lấy các điểm P, Q thỏa mãn: PA  2PB, 3QA  2QC  0. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng P, Q, G thẳng hàng.    Câu 9. Cho tam giác ABC và các điểm M , N , P được xác định bởi hệ thức: MB  2MC  0,       NA  2NC  0, PA  PB  0. a) Xác định các điểm M , N , P và vẽ hình. b) Chứng minh ba điểm M , N , P thẳng hàng. Câu 10.Cho tam giác Gọi là ba điểm thỏa:        ABC. M, N, P MA  MB  0, NA  2NC  0, 3PB  4PC  0. Gọi G là trọng tâm của tam giác MNP. Chứng minh rằng ba điểm A, G, P thẳng hàng. Câu 11. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và I trung điểm của cạnh BC. Gọi M , N là các       điểm định bởi: 3MA  MB  0, 2NB  3NC  0.  1   IG AB  AC  a) Chứng minh rằng:  6 . b) Chứng minh ba điểm G, M , N thẳng hàng. Câu 12. Cho tam giác ABC đều cạnh a, cóG là trọng tâm. Gọi D là điểm đối xứng của A qua B và E là điểm thỏa mãn đẳng thứcvéctơ:5AE  2 AC. a) Tính AB  AC và GA  GB .     b) Phân tích hai véctơ DE, DG theo AB và AC. c) Chứng minh rằng ba điểm D, E, G thẳng hàng. Câu 13. Cho hình vuông ABCDcạnha. GọiO làtrọng tâm tam giác BCD. a) Chứng minh rằng: AB  AC  AD  3AO.   b) Tính: AC  DB . Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 47 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Véctơ và các phép toán trên véctơ c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC và M , N là các điểm được xác định bởi:    2  Chứng minh rằng: M, N, G thẳng hàng. AM  2 AB, AN  AC. 5 Câu 14. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, gọi I là trung điểm của AB và M là trung điểm của AI. Lấy điểm H đối xứng với C qua G.     a) Chứng minh I là trung điểm của GH và 2OA  OH  OG  4OM , với O bất kì.        b) Gọi N là điểm xác định bởi 2NB  3NC  0. Tính AN , AG theo AB và AC. c) Chứng minh: ba điểm M , N , G thẳng hàng. Câu 15. Cho ABC có trọng tâm G. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Lấy hai điểm       I , J sao cho: 2IA  3IC  0, 2JA  5JB  3JC  0. a) Chứng minh rằng: M , N , J thẳng hàng và J là trung điểm của BI.   b) Gọi E trên đoạn AB thỏa: AE  k.AB. Xác định k để C, E, J thẳng hàng. Câu 16. Cho hình bình hành ABCD. Gọi M , N là hai điểm lần lượt thuộc đoạn AB và CD sao cho AM  1 ; CN  1 . AB 3 CD 2   a) Tính AN theo các véctơ AB và AC.    b) Gọi G là trọng tâm tam giác BMN , tính AG theo các véctơ AB và AC.      c) Gọi I là điểm định bởi BI  k BC. Tính véctơ AI theo các véctơ AB và AC. Tìm k để đường thẳng AI qua điểm G. Câu 17. Cho hình bình hành ABCD có BAD  60, AB  2a, AD  BD. Gọi F là trung điểm CD.  a) Tính AB  AD , AB  2 AD theo a.      b) Gọi M , N là hai điểm thỏa 3AM  4 AD và 3AN  AB  2 AC. Hãy phân tích véctơ    MN theo hai véctơ AB và AD. Chứng tỏ ba điểm M , N , F thẳng hàng. Câu 18. Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh BC. Gọi D, E lần lượt là các điểm thỏa mãn     đẳng thức: BD  4BA, AE  3AC. Chứng minh: DE  AM . Câu 19. Cho tamgiác ABC có trọng tâm G. Gọi M là trung điểm của cạnh BC và I là điểm thỏa hệ thức: 4CI  AC  0. Chứng minh rằng: MP  BG.   Câu 20. Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, G được xác định bởi các hệ thức: 2 AD  AB,     AE  2CE, 2GD  GC. a) Chứng minh rằng: BE  CD. b) Gọi M là trung điểm của các cạnh BC. Chứng minh: A, G, M thẳng hàng. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 48 -