تلحيص الرياضيات ثامن

‫بسم الله الرحمن الرحيم‬ ‫تــلخيص لــمادة الريــاضــيات‬ ‫الــصـف‪ -:‬الــثـــامن الأســـــــاسي‬ ‫مدرسة ‪ -:‬الزبيرية الأساسية المختلطة‬ ‫إعداد المعلمة ‪ -:‬عائـشة العــسوفي‬ ‫الـــــعـــام الدراسي ‪2021/2020‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫الاعداد الحقيقية‬

‫العدد الحقيقي‬ ‫الأعداد الطبيعية‪ -:‬هي مجموعة الأعداد الموجبة الصحيحة‬ ‫الأعداد الصحيحة‪ -:‬هي مجموعة الأعداد الخالية من الكسور والجذور وتشمل السالبة‬ ‫والموجبة والصفر‬ ‫الأعداد النسبية ‪ -:‬هي جميع الاعداد التي تكتب على صورة ( ا ‪ /‬ب ) ‪ ,‬بحيث ب لا‬ ‫تساوي صفر ‪ ,‬وتشمل أيضا الكسور العشرية المنتهية ‪ ,‬الكسور العشرية الدورية ‪,‬‬ ‫جذور لمربعات كاملة ‪ ,‬جذور لمكعبات كاملة‬ ‫الأعداد غير النسبية ‪ -:‬تشمل الكسور العشرية غير منتهية ‪ ,‬جذور لمربعات غير كاملة‬ ‫‪ ,‬جذور لمكعبات غير كاملة‬ ‫الاعداد الحقيقية ‪ -:‬هي مجموعة الاعداد النسبية وغير النسبية‬ ‫مثال ‪1 -:‬‬

‫مثال ‪2-:‬‬

‫في هذ الشكل توضيح للعلاقة بين مجموعات الاعداد برسمة اشكال فن‬

‫خصائص العمليات على الأعداد الحقيقية‬ ‫الخصائص‪-:‬‬ ‫‪ )1‬إذا كان أ ‪ ,‬ب ‪ ,‬عددين حقيقيين فان ‪-:‬‬ ‫‪ ,‬أ‪+‬ب=ب‪+‬أ‬ ‫أ*ب=ب*أ‬ ‫تسمى هذه الخاصية بالخاصية التبديلية على عملتي الجمع والضرب‬ ‫‪ )2‬إذا كانت أ ‪ ,‬ب ‪ ,‬ج ‪ ,‬أعداد حقيقية فان‬ ‫( أ ‪ +‬ب ) ‪ +‬ج = أ ‪ ( +‬ب ‪ +‬ج ) تسمى هذه الخاصية الخاصية التجميعية على عملية‬ ‫الجمع‬ ‫( أ * ب ) * ج = أ *( ب * ج ) ‪ ,‬تسمى الخاصية التجميعية على عملية الضرب‬ ‫‪ ) 3‬إذا كان أ ‪ ,‬ب ‪ ,‬ج ‪ ,‬إعداد حقيقية فان ‪-:‬‬ ‫أ*(ب‪+‬ج)=(أ*ب)‪(+‬أ*ج)‬ ‫تسمى هذه الخاصية خاصية توزيع الضرب على الجمع‬ ‫‪ ) 4‬أذا كان أ ‪ ,‬عدد حقيقي فان‬ ‫أ ‪ = 0 +‬أ ‪ ,‬يسمى الصفر العنصر المحايد لعملية الجمع‬ ‫أ * ‪ = 1‬أ ‪ ,‬يسمى العدد‪ 1‬عنصرا محايدا لعملية الضرب‬ ‫‪) 5‬اذا كان أ عدد حقيقي لا يساوي صفر فان‬ ‫أ ‪ - ( +‬أ ) =‪ , 0‬نسمي – أ نظير الجمعي للعدد أ ‪ ,‬معكوس العدد ا‬ ‫أ * ( ‪ /1‬أ ) = ‪ , 1‬نسمي ‪ /1‬أ نظير الضربي للعدد أ ‪ ,‬او مقلوب العدد أ‬ ‫‪ )6‬خاصية الضرب بالصفر ‪-:‬‬ ‫اذا كان أ عدد حقيقيا فان أ *‪ * 0= 0‬أ = ‪0‬‬

‫المعادلة ‪ -:‬طرفين بينهما إشارة مساواة تحتوي على ثوابت‬ ‫ومتغيرات تسمى على حسب اكبر أس للمتغير فيها ‪ ,‬وتسمى على‬ ‫حسب عدد المتغيرات فيها‬ ‫مثال ‪1 -:‬‬ ‫جدي النظير الجمعي للأعداد آلاتية ‪-:‬‬ ‫‪7/8 , 2.45- , 5‬‬ ‫‪7/8 2.45-‬‬ ‫العدد ‪5‬‬ ‫‪7/8- 2.45‬‬ ‫النظير الجمعي ‪5-‬‬ ‫مثال ‪2 -:‬‬ ‫جدي النظير الضربي للاعداد الاتية‬ ‫‪1.12 , 3/4 , 10 , 6-‬‬ ‫‪3/4 1.12‬‬ ‫‪10‬‬ ‫العدد ‪6‬‬ ‫‪4/3 112/100‬‬ ‫‪10/1‬‬ ‫النظير ‪6/1-‬‬ ‫الضربي‬

‫مثال ‪3 -:‬‬ ‫جدي قيمة س في كل مما يلي‬ ‫‪ + 2.12 )1‬س = ‪1‬‬ ‫نعمل هنا على نقل العدد ( ‪ ) 2.12‬إلى الطرف الأيسر‬ ‫بإضافة العدد ( ‪ ) 2.12-‬إلى الطرفين‬ ‫‪ + 2.12- 2.12‬س = ‪2.12 – 1‬‬ ‫س = ‪1.12-‬‬ ‫‪ 4 ) 2‬س – ‪ = 1‬س ‪11 +‬‬ ‫هنا يجب إن ننقل الحد (س ) إلى الطرف الأيمن ‪ ,‬نعمل على‬ ‫إضافة العدد ( ‪ -‬س ) إلى طرفي المعادلة‬ ‫‪ 4‬س – س – ‪ = 1‬س – س ‪11 +‬‬ ‫‪ 3‬س – ‪11 = 1‬‬ ‫في هذه الخطوة نعمل على إضافة العدد ( ‪ ) 1‬إلى طرفي المعادلة‬ ‫‪ 3‬س – ‪1 + 11 = 1 + 1‬‬ ‫‪ 3‬س = ‪12‬‬

‫هنا نتخلص من معامل س بالقسمة طرفي المعادلة على العدد (‬ ‫‪)3‬‬ ‫‪ 3‬س ‪3 / 12 = 3 /‬‬ ‫س=‪4‬‬

‫قوانين الأسس‬ ‫قوانين الأسس ‪-:‬‬ ‫‪ )1‬س ن * س م = س ن ‪ +‬م ‪ ,‬حيث م ‪ ,‬ن ‪ Э‬ص‬ ‫‪ ( )2‬س ص ) ن = س ن * ص ن‬ ‫‪ ( )3‬س ن ) م = س ن*م ‪ ,‬حيث ن ‪ ,‬م ‪ Э‬ص‬ ‫‪ )4‬س ن ÷ س م = س ن‪ -‬م ‪ ,‬حيث ن ‪ ,‬م ‪ Э‬ص‬ ‫‪ )5‬س ‪1 = 0‬‬ ‫‪ )6‬س ‪ / 1 = 1-‬س ن ‪ ,‬حيث ن ‪ Э‬ص ‪ ,‬س لا تساوي صفر‬ ‫‪ ( )7‬س ÷ ل ) ن = س ن ÷ ل ن ‪ ,‬حيث ن ‪ Э‬ص ‪ ,‬ل لا‬ ‫تساوي صفر‬ ‫‪ ( )8‬س ÷ ل )ن = ( ل ÷ س ) –ن ‪ ,‬حيث ن ‪ Э‬ص ‪ ,‬ل لا‬ ‫تساوي صفر‬ ‫( س ) م ‪ ,‬س ‪ -:‬تسمى الأساس ‪ ,‬م تسمى الأس‬ ‫مثال ‪1 -:‬‬ ‫اكتب ما يلي كقوة واحدة‪-:‬‬ ‫‪ )1‬ف ‪ * 5‬ف ‪7‬‬ ‫هنا عزيزتي الطالبة نلاحظ إن الأساس متشابه ‪ ,‬بينهما‬ ‫إشارة ضرب ‪ ,‬لذلك نجمع الأسس‬ ‫ف ‪ * 5‬ف ‪ = 7‬ف ‪7 +5‬‬ ‫= ف ‪12‬‬

‫‪ ( )2‬م ‪ * 2‬ن ‪4 ) 3‬‬ ‫لاحظي عزيزتي الطالبة ان الأساس هنا مختلف ‪ ,‬أي يوجد‬ ‫أساسين مرفوعين لأسين مختلفين ’ ثم رفعن لا أخر ‪ ,‬بينهما‬ ‫إشارة الضرب ‪,‬‬ ‫حس قوانين الأسس ( أساسين بينهما إشارة الضرب نوزع‬ ‫الأس )‬ ‫( م ‪ * 2‬ن ‪ ( =4 ) 3‬م ‪ ( * 4 ) 2‬ن ‪4 ) 3‬‬ ‫= م ‪ * 4*2‬ن ‪4 *3‬‬ ‫= م ‪ * 8‬ن ‪12‬‬ ‫‪ )3‬ع ‪ ÷ 10‬ع ‪7‬‬ ‫هنا نلاحظ أن الأساس ( ع ) أي أساس واحد ولكنه‬ ‫مرفوع لأسين مختلفين ‪ ,‬الأساسين بينهما إشارة طرح ‪,‬‬ ‫لذلك نطرح الأسس‬ ‫ع ‪ ÷ 10‬ع ‪ = 7‬ع ‪7 -10‬‬ ‫=ع‪3‬‬

‫‪ ( )4‬و ‪ ÷ 2‬ت ‪5 ) 3‬‬ ‫لاحظي عزيزتي الطالبة إن الأساس مختلف وبينه إشارة‬ ‫القسمة ولكن مرفوع لأس واحد وهو ( ‪ , ) 5‬لذلك نعمل‬ ‫على توزيع الأس إلى الأساسين‬ ‫( و ‪ ÷ 2‬ت ‪ ( =5 ) 3‬و ‪ ( ÷ 5 ) 2‬ت ‪5 ) 3‬‬ ‫= و ‪ ÷ 5*2‬ت ‪5 *3‬‬ ‫= و ‪ ÷ 10‬ت ‪15‬‬ ‫‪ )5‬س‪ * 7‬س ‪8‬‬ ‫هنا نلاحظ ان الاساس متشابه وبينهما اشارة الضرب ‪,‬‬ ‫لذلك نجمع الاسس‬ ‫س‪ * 7‬س ‪ =8‬س ‪8 * 7‬‬ ‫س ‪56‬‬ ‫مثال ‪2 -:‬‬ ‫جدي قيمة ما يلي ‪-:‬‬ ‫‪ 1 = 0 ) 5 ( ) 1‬أي عدد مرفوع لاس ‪ 0‬دائما يكون‬ ‫الناتج = ‪1‬‬

‫‪2- ) 4-( )2‬‬ ‫هنا عند وجود إشارة سالبة في الأس ‪ ,‬فاننا نعمل على‬ ‫اخذ مقلوب العدد وعكس اشارة الاس‬ ‫(‪2 ) 4 - ( ÷ 1 = 2- ) 4-‬‬ ‫= ‪) 4*4 ( ÷ 1‬‬ ‫= ‪16 ÷ 1‬‬ ‫‪4 ) 0.2 ( )3‬‬ ‫نلاحظ هنا وجود كسر عشري ‪ ,‬الطريقة الاسهل ان‬ ‫حول الكسر العشري الى كسر عادي‬ ‫‪10 ÷ 2 = 0.2‬‬ ‫( ‪4 )10 ÷ 2‬‬ ‫الاساس مختلف وبينه اشارة القسمة ‪ ,‬نعمل على توزيع‬ ‫الاس‬ ‫( ‪4 ) 10 ( ÷ 4 ) 2‬‬ ‫( ‪10000 ÷ ) 16‬‬

‫مثال ‪3 -:‬‬ ‫المعادلات الاسية ‪ -:‬هي المعادلات التي تحتوي على متغير‬ ‫موجود بالاس‬ ‫حل المعادلات الاسية الاتية ‪-:‬‬ ‫‪ ) 2 ( )1‬س = ‪32‬‬ ‫لحل المعادلات الاسية يجب ان تكوم الاساسات متساوية ‪,‬‬ ‫( ‪ ) 2‬س = ‪32‬‬ ‫( ‪ )2‬س = ( ‪5 ) 2‬‬ ‫بحثنا بالعدد ‪ , 32‬بحيث نجعله على شكل اساس واس‬ ‫نجد انه عبارة عن العدد ‪ 2‬مرفوع لاس ‪5‬‬ ‫بما ان الاساسات متساوية‬ ‫اذن الاسس متساوية‬ ‫س=‪5‬‬ ‫‪ ) 2 ) 11 (( )2‬س = ‪ 121‬في هذه المسالة يجب تكون الاساسات متشابه‪,‬‬ ‫‪*2‬س‬ ‫‪ 2‬الاساس (‪ )11‬مرفوع لاسين ‪ ,‬نعمل على الضرب الاسين( ‪)11( = ) 11‬‬ ‫‪2‬س‬ ‫‪ 2‬الاس فيه معادلة خطية نعمل على حلها(‪, )11( = )11‬‬

‫‪2‬س=‪2‬‬ ‫س =‪1‬‬ ‫‪ ) 0.25 ( )3.‬س = ( ‪) 0.125‬‬ ‫نعمل هنا على ان الاساسات تكون متشابه‬ ‫(( ‪ ) 2) 0.5‬س = ( ‪3 ) 0.5‬‬ ‫( ‪2 ) 0.5‬س = ( ‪3 ) 0.5‬‬ ‫‪ 2‬س = ‪ , 3‬بقسمة طرفي المعادلة على العدد ‪2‬‬ ‫(‪2‬س=‪2/)3‬‬ ‫س = ‪1.5‬‬

‫الصيغة العلمية‬ ‫الصيغة العلمية للعدد النسبي هي ( ا * ‪ 10‬ن ) ‪,‬‬ ‫حيث القيمة المطلقة للعدد أ تنتمي لمجموعة‬ ‫الاعداد [ ‪ 1‬و ‪ , ) 10‬ن عدد صحيح‬ ‫مثال ‪1 -:‬‬ ‫اكتب كلا من العداد الاتية بالصيغة العلمية‬ ‫‪1520000 )1‬‬ ‫‪1000000 * ) 1000000 /1 ( * 1520000‬‬ ‫‪1000000 * 1000000/1520000‬‬ ‫‪6 ) 10 ( * 1.52‬‬ ‫خطوات الحل‪-:‬‬ ‫‪ )1‬يجب ان نحدد اين نضع الفاصلة العشرية‬ ‫‪ )2‬نقسم على عدد مضاعفات للعدد ( ‪ , ) 10‬بحيث تكون‬ ‫عدد المنازل التي تم تحريك الفاصلة‬ ‫‪ )3‬الضرب في نفس العدد السابق‬

‫ب ) ‪0,00089‬‬ ‫‪)100000 /1 ( * )100000 ( * 0,00089‬‬ ‫‪) 5 ) 10 ( / 1 ( * 8.9‬‬ ‫‪5- ) 10 ( * 8.9‬‬

‫تبسيط التعابير الجذرية‬ ‫من القواعد الأساسية في إجراء العمليات الحسابية على الجذور‬ ‫هي‬ ‫‪ )1‬إذا كان جذر لعددين مختلفين بينهما إشارة الضرب او‬ ‫القسمة ‪ ,‬فانه يمكن ان ندمج العددين أسفل جذر واحد مع‬ ‫الاحتفاظ بالإشارة‬ ‫‪ )2‬يمكن ان نوزع الجذر لعددين مختلفين اذا كان بينهما‬ ‫إشارة الضرب والقسمة‬ ‫ملاحظة‪ -:‬الجذور المتشابه هي الجذور التي تمتلك نفس دليل‬ ‫الجذر ‪ ,‬العدد ما داخل الجذر متشابه‬

‫جدي ناتج ما يلي‬ ‫مثال ‪1 -:‬‬ ‫نلاحظ انه نجمع العوامل للجذور المتشابه‬ ‫ملاحظة ‪ -:‬العامل هنا هو العدد الذي يسبق الجذر‬

‫مثال ‪2-:‬‬

‫مثال ‪3-:‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫الانماط‬

‫الدرس الأول ‪ -:‬االانماط‬ ‫النمط ‪ -:‬هو تتابع من اعداد او رموز او اشكال وفق نظام معين او‬ ‫قاعدة معينة كما في المثال الاتي‬ ‫مثال ‪1 -:‬‬ ‫اكتشف قاعدة النمط فيما يلي ‪-:‬‬ ‫‪................ , 25 , 16 , 9 , 4 , 1 )1‬‬ ‫نلاحظ هنا ان الاعداد هي عبارة عن مربعات كاملة‬ ‫القاعدة هي ( س ) ‪2‬‬ ‫‪.......... , 8 , 16 , 32 , 64 , 128 )2‬‬ ‫عزيزتي الطالبة نلاحظ هنا اننا في كل مرة نقسم على‬ ‫العدد ( ‪) 2‬‬ ‫القاعدة ( س ÷ ‪) 2‬‬

‫الدرس الثاني ‪ -:‬المقادير الجبرية‬ ‫الحد الجبري ‪ -:‬حاصل ضرب ثابت في متغير او اكثر ‪ ,‬يسمى العدد‬ ‫الثابت هو معامل الحد الجبري ‪ ,‬اما المتغير فيسمى القسم الرمزي‬ ‫المقدار الجبري ‪ -:‬حاصل جمع او طرح حدين جبري او اكثر‬ ‫لايجاد القيمة العددية للحد الجبري او المقدار الجبري فاننا نعوض قيمة المتغير في‬ ‫بالقيمة المعطى‬ ‫مثال ‪1 -:‬‬ ‫جدي قيمة المقادير الجبرية الاتية علما ان ‪ ,‬س = ‪ , 2‬ص = ‪ , 1 -‬م = ‪ , 3-‬ن = ‪4‬‬ ‫‪5‬س – ‪ 2‬ص‬ ‫‪1-*2–2*5‬‬ ‫‪12 = 2 +10‬‬ ‫‪ 3 )3‬م ‪ – 2‬ن‬ ‫‪4– 2)3- (*3‬‬

‫‪4–9*3‬‬ ‫‪23 = 4 – 27‬‬ ‫مثال ‪2 -:‬‬ ‫‪ )1‬عبر عن التعابير اللفظية الاتية بتعابير جبرية‬ ‫خمسة امثال عدد ما مطروح منها العدد ‪ 2‬ليصيح الناتج ‪10‬‬ ‫‪ 5‬س – ‪10 = 2‬‬ ‫‪ )2‬مكعب عدد ما ضرب بالعدد سالب اثنان‬ ‫س‪2- * 3‬‬ ‫‪ 2 -‬س‪3‬‬ ‫‪ )3‬جمع عدد ما الى العدد ثمانية ليصبح الناتج مثلي ذلك العدد مقسوم على العدد‬ ‫اربعة‬ ‫م ‪2= 8+‬م‪4/‬‬

‫ضرب حد جبري في مقدار جبري‬ ‫عند ضرب الحد الجبري بالحد الجبري فاننا نضرب العوامل‬ ‫ونجمع الاسس للحدود المتشابهة‬ ‫مثال ‪1 -:‬‬ ‫جدي ناتج ما يلي ‪-:‬‬ ‫‪ 5 ) 1‬س * ‪ 35 = 7‬س‬ ‫‪ 4 – )2‬م* ‪ 2 -‬م = ‪ 8‬م ‪2‬‬ ‫‪ 7 – )3‬ص * ‪ 2‬ق = ‪ 14 -‬ص ق‬ ‫** عند ضرب الحد الجبري بالمقدار الجبري فاننا نستخدم خاصية‬ ‫توزيع الضرب على الجمع ‪ ,‬ونضرب العوامل ببعضها ‪ ,‬ونجمع‬ ‫الاسس بللحدود المتشابه‬

‫مثال ‪2 -:‬‬ ‫جدي ناتج ما يلي‬ ‫‪ 5 )1‬س * ( ‪ 2‬س – ‪ 3‬ص – ‪) 1‬‬ ‫( ‪5‬س * ‪ 2‬س ) ‪ 5 ( +‬س * ‪ 3 -‬ص ) ‪ 5 ( +‬س * ‪) 1 -‬‬ ‫‪ 10‬س ‪ 15 – 2‬س ص – ‪ 5‬س‬ ‫‪3–)2‬م‪2+2‬ب‪9*)7–3‬م‬ ‫(‪ 3 -‬م ‪ 9 * 2‬م ) ‪ 2 ( +‬ب ‪ 9 * 3‬م ) ‪ 9 * 7 - ( +‬م )‬ ‫‪ 27 -‬م ‪ 18 + 3‬ب ‪ 3‬م – ‪ 63‬م‬

‫الدرس الرابع ‪ -:‬ضرب مقدار جبري بمقدار اخر‬ ‫لإيجاد حاصل ضرب مقدار جبري في مقدار أخر ‪ ,‬يتم‬ ‫ضرب كل حد من الحدود المقدار الجبري الأول بجميع‬ ‫حدود المقدار الثاني ‪ ,‬وجمع النواتج‬ ‫هنالك طرق لعملية الضرب منها‬ ‫‪ )1‬الضرب العامودي‬ ‫‪ )2‬الضرب الأفقي‬ ‫مثال ‪1 -:‬‬ ‫جدي ناتج ما يلي‬ ‫( ‪ 2‬س – ‪ 5‬ص ‪ ( * ) 2 +‬س‪) 5 + 2‬‬ ‫( ‪2‬س * س ‪ 2 ( + ) 2‬س * ‪5- ( + ) 5‬ص * س‪- ( + ) 2‬‬ ‫‪5‬ص * ‪ * 2 ( + ) 5‬س‪) 5 * 2 ( + ) 2‬‬ ‫= ‪ 2‬س ‪ 10+ 3‬س ‪5-‬ص س‪ 25 – 2‬ص ‪ 2 +‬س ‪10 + 2‬‬ ‫= ‪ 2‬س‪2 + 3‬س ‪ 5 – 2‬س ‪ 2‬ص ‪ 25-‬ص ‪ 10 +‬س ‪10 +‬‬

‫‪ ( ) 2‬م – ‪ 2‬ص ‪ -4 ( * ) 3 +‬ص )‬ ‫باستخدام الضرب العامودي‬ ‫م–‪2‬ص‪3+‬‬ ‫‪ –4‬ص‬ ‫(‪*4‬م)‪2-*4(+‬ص)‪)3*4(+‬‬ ‫‪ - ( + 0‬ص * م ) ‪ - (+‬ص * ‪ 2 -‬ص ) ‪ - ( +‬ص * ‪) 3‬‬ ‫‪4‬م ‪ 8-‬ص ‪12+‬‬ ‫ص م ‪2 +‬ص‪ 3 – 2‬ص‬ ‫‪ 4‬م ‪ 11-‬ص – ص م ‪ 2+‬ص ‪12 + 2‬‬

‫الدرس الخامس ‪ -:‬تحليل المقادير الجبرية بإخراج العامل‬ ‫المشترك‬ ‫ع‪.‬م‪.‬أ‬ ‫اختصار العامل المشترك الأكبر‬ ‫تحليل المقدار الجبري يعني كتابة على صورة حاصل ضرب‬ ‫مقدارين جبري او اكثر ‪ ,‬كل منهما يسمى عاملا من العوامل‬ ‫المقدار الجبري الاصلي‬ ‫مثال ‪1 -:‬‬ ‫حلل كل من المقادير الجبرية الآتية بإخراج العامل المشترك‬ ‫‪ 15 )1‬س ‪ 20 – 3‬ص‪ 2‬س‬ ‫نحلل الحدود الجبرية‬ ‫‪ 15‬س ‪ * 5 * 3 = 3‬س *س * س‬ ‫‪ 20 -‬ص ‪ 2‬س= ‪ * 5 * 2 * 2 * 1 -‬ص * ص *س‬

‫نلاحظ هنا عزيزتي الطالبة ان االعوامل المشتركة بينهم‬ ‫هو العدد ( ‪ , ) 5‬القسم الرمزي المشترك بينهم هو‬ ‫(س)‬ ‫اذن ع ‪ .‬م ‪ .‬أ = ‪ 5‬س‬ ‫‪ 15‬س ‪ 20 – 3‬ص‪ 2‬س‬ ‫(‪5‬س*‪3‬س‪5(+)2‬س*‪4-‬ص‪)2‬‬ ‫‪5‬س (‪3‬س‪4–2‬ص‪)2‬‬

‫الدرس الخامس ‪ -:‬تحليل المقادير الجبرية بإلتجميع‬ ‫تسمى الطريقة التي تستعمل لتحليل مقدار جبري يتكون من أربعة‬ ‫حدد او أكثر‬ ‫(التحليل بتجميع الحدود ) ‪ ,‬حيث يجمع كل حدين حبرين معا ‪,‬‬ ‫ويحللان بإخراج العامل المشترك الأكبر مرتين‬ ‫مثال ‪1 -:‬‬ ‫حلل المقادير الآتية ‪-:‬‬ ‫‪ 6 )1‬س و ‪ 2 +‬و ص – ‪ 12‬س – ‪ 4‬ص‬ ‫لاحظي عزيزتي الطالبة ان الحدود الجبرية‬ ‫الموجودة ‪ ,‬لا يوجد بينها عامل مشترك ‪ ,‬لذلك سوف‬ ‫نستخدم طريقة التجميع ‪ ,‬أي نجمع كل حدين ‪,‬‬ ‫ونخرج منه العامل المشرك ‪ ,‬ثم في الخطوة الأخيرة‬ ‫يجب ان يوجد عامل مشترك بين الحدين ‪ ,‬نعمل على‬ ‫إخراجه‬

‫‪ 6‬س و – ‪12‬س ‪ 2 +‬و ص – ‪ 4‬ص‬ ‫هنا عملنا على تجميع الحدود التي يمكن ان نجد بينها‬ ‫عامل مشترك‬ ‫‪ 6‬س و – ‪12‬س ‪ 2 +‬و ص – ‪ 4‬ص‬ ‫( ‪ 6‬س و – ‪ 12‬س ) ‪ 2 ( +‬و ص – ‪ 4‬ص )‬ ‫‪6‬س(و–‪2+)2‬ص(و–‪)2‬‬ ‫عزيزتي الطالبة ‪ ,‬لاحظي انه عند اخراج العامل‬ ‫المشرك ‪ ,‬نتج حد متشابه بينهما ( و – ‪, ) 2‬‬ ‫هنا نعمل على اخراجه‬ ‫(و–‪6()2‬س‪2+‬ص)‬ ‫‪ )2‬ع م ‪ 6-‬ب ‪ 2+‬م ‪ 3-‬ب ع‬ ‫عم–‪3‬بع–‪6‬ب‪2+‬م‬ ‫( ع م – ‪ 3‬ب ع ) ‪ 6 - ( +‬ب ‪ 2 +‬م)‬ ‫ع ( م – ‪ 3‬ب ) ‪ 3 - ( 2+‬ب ‪ +‬م )‬ ‫عزيزتي الطالبة نلاحظ هنا أن القوسين متشابهين ‪,‬‬ ‫لاحظي أن إشارة معامل م موجبة في كلتا الحالتين ‪,‬‬ ‫وإشارة معامل ب سالبة‬ ‫( م – ‪ 3‬ب )( ع ‪) 2+‬‬

‫ملاحظة عند تجميع الحدود في الخطوةالاولى داخل‬ ‫الأقواس نضع إشارة ( ‪ ) +‬بين الأقواس‬ ‫الوحدة الثالثة‬ ‫الاقترانات‬

‫الاقتران‬ ‫الاقتران‪ -:‬هو علاقة تربط بين مسقطها س ( المجال )‬ ‫ق ( وس )ص=( االمدسى )‪ ,2‬ب‪+‬حيثبيرتبسط ك‪+‬لجعنصر في المجال‬ ‫بصورة واحدة فقط بالمدى‬ ‫ملاحظة ‪ -:‬العلاقة من أ إلى ب هي مجموعة الأزواج‬ ‫المرتبة ( س ‪ ,‬ص ) التي مساقطها الأولى س تنتمي الى‬ ‫المجموعة أ ‪ ,‬ومساقطها الثانية ص تنتمي إلى المجموعة‬ ‫ب‬

‫مثال ‪-:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫لديك العلاقات الاتية ‪ ,‬جدي مجال واالمدى لكل منها ‪,‬‬ ‫وبيني اذا كانت تمثل اقتران اولا ؟‬ ‫‪ )1‬ع = { ( ‪} ) 4, 4 ( , )3 , 3( , ) 2 ,2 ( , )1,1‬‬ ‫مجال ={ ‪} 4 , 3 , 2 , 1‬‬ ‫المدى = { ‪} 4 , 3 , 2 , 1‬‬ ‫تمثل اقتران لان كل عنصر في المجال له صورة‬ ‫واحدة فقط بالمدى‬ ‫‪ )2‬م = { ( ‪} ) 5, 3(,)1 ,2- (,) 2 -,1- (,) 2 ,1 -‬‬ ‫المجال ={ ‪} 3 , 2 - , 1 -‬‬ ‫المدى = { ‪} 5 , 1 , 2‬‬ ‫ليست اقتران لان هنالك عنصر في المجال ( ‪ )1 -‬له‬ ‫صورتان في المدى‬ ‫لايجاد صورة الاعداد في اقتران ما ‪ ,‬فاننا نعمل‬ ‫عللى تعويض هذه القيم في الاقتران للحصول على‬ ‫النتجية‬

‫مثال ‪-:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫جدي صورة كل من الاعداد الاتية في الاقتران الذي بجانبه‬ ‫ق ( س ) = ‪2‬س – ‪ , 1‬جدي صورة ق ( ‪) 1‬‬ ‫ق(‪1–1*2=)1‬‬ ‫ق(‪1=)1‬‬ ‫‪ ,‬جدي صورة ع (‪) 2-‬‬ ‫ع ( س ) = ‪7 – 9‬س‬ ‫ع (‪2 - * 7 – 9 =) 2-‬‬ ‫ع ( ‪14+ 9 = )2-‬‬ ‫ع( ‪23=) 2-‬‬ ‫***اختبار الخط الراسي هو اختبار نستخدمه لتوضيح اذا كانت‬ ‫العلاقة تمثل اقتران ام لا ‪ ,‬اذا قطع الاختبار العلاقة في نقطة‬ ‫واحدة فقط‬

‫مثال ‪-:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫في الشكل الأتي توضيح لاستخدام اختبار الخط الراسي‬ ‫ملاحظة‪ -:‬كلمة دالة تعني هنا اقتران‬

‫الاقتران الخطي‬ ‫الصورة العامة للاقتران الخطي هي ق ( س ) = أ س ‪ +‬ب ‪,‬‬ ‫حيث أ ‪ ,‬ب ‪ Э‬ح ‪ ,‬ويسمى‬ ‫أ معامل س ‪ ,‬ب الحد المطلق‬ ‫الاقتران الثابت ‪-:‬هو اقتران خطي قاعدته ق ( س ) = ب ‪,‬‬ ‫حيث ب ‪ Э‬ح‬ ‫مثال ‪-:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫لديك الافترانات الاتية ‪ ,‬بيني اذا كانت اقتران خطي ام اقتران ثابت ‪ ,‬مع تحديد العوامل‬ ‫‪ )1‬ق ( س ) = س – ‪4‬‬ ‫اقتران خطي ‪ ,‬لانه يكتب على الصورة العامة للاقتران الخطي‬ ‫أ=‪, 1‬ب=‪4-‬‬ ‫‪ )2‬ع (س ) = ‪ 5‬س ‪ 2 + 2‬س – ‪4‬‬ ‫ليس اقتران خطي لانه لا يكتب على الصورة العامة لاقتران الخطي‬

‫‪)3‬م (س ) = ‪ 9 -‬س‬ ‫اقتران خطي ‪ ,‬لانه يكتب على الصورة العامة للاقتران الخطي‬ ‫أ=‪ , 9-‬ب=‪0‬‬ ‫‪ )3‬ق ( س ) = ‪5‬‬ ‫اقتران ثابت ‪ ,‬لان معامل س = ‪0‬‬ ‫ب=‪5‬‬

‫تمثيل الاقتران الخطي بياني‬ ‫لتمثيل الاقتران الخطي يجب إتباع لخطوات الاتيه‬ ‫‪ )1‬تحديد المجال‪ -:‬أي القيم المسموح بالتعويض بها‬ ‫‪ )2‬تحديد العوامل‬ ‫‪ )3‬اختيار مجموعة من الإعداد من المجال‬ ‫‪ )4‬تعويض الأرقام التي تم اختيارها في الاقتران‬ ‫‪ )5‬ترتيب القيم على شكل أزواج مرتبة‬ ‫‪ )6‬تمثيل الأزواج المرتبة على المستوى الديكارتي‬ ‫‪ )7‬توصيل خط بين الأزواج‬ ‫مثال ‪-:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫مثلي الاقتران الخطي الأتي بياني‬ ‫ق(س) =‪2‬س‪2+‬‬ ‫المجال = ح‬ ‫أ=‪, 2‬ب=‪2‬‬ ‫س ‪1 0 1-‬‬ ‫ص‪4 2 0‬‬

‫ق(‪2+1-*2=)1-‬‬ ‫= ‪2 + 2-‬‬ ‫=‪0‬‬ ‫ق ( ‪2 +0 * 2 = ) 0‬‬ ‫=‪2+0‬‬ ‫=‪0‬‬ ‫ق(‪2+1*2=)1‬‬ ‫=‪2+2‬‬ ‫=‪4‬‬

‫خصائص الاقتران الخطي‬ ‫‪ )1‬اذا قطع منحنى الاقتران ق( س ) = أ س ‪ +‬ب محور السينات‬ ‫في النقطة ( ر ‪ ) 0 ,‬فان ر تسمى المقطع السيني لمنحنى‬ ‫الاقتران ق ‪ ,‬واذا قطع محور الصادات في النقطة ( ‪ , 0‬ن ) فان‬ ‫ن تسمى المقطع الصادي لمنحنى الاقتران ق ويساوي الثابت ب‬ ‫‪ )2‬يكون الاقتران الخطي ق( س ) = أ س ‪+‬ب متزايدا اذا كانت قيم‬ ‫ق ( س ) تزداد بازدياد قيم س ‪ ,‬ويكون عندها أ > ‪0‬‬ ‫‪ )3‬يكون الاقتران الخطي ق ( س ) = أ س ‪ +‬ب متناقصا اذا كانت‬ ‫قيم ق ( س ) تتناقص بازدياد قيم س ‪ ,‬ويكون عندها أ < ‪0‬‬

‫مثال ‪-:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫لديك الاقترانات الاتية ‪ ,‬بيني أي منها متزايد واي منها متناقص ‪ ,‬مع‬ ‫توضيح المقطع السيني ‪ ,‬والمقطع الصادي‬ ‫ق(س)=‪3-‬س‪2+‬‬ ‫‪)1‬‬ ‫اقتران متناقص لان أ < ‪0‬‬ ‫أ=‪3-‬‬ ‫المقطع الصادي = ب‬ ‫المقطع الصادي = ‪2‬‬ ‫المقطع السبني ‪ ,‬عندما ص = ‪0‬‬ ‫‪3 -‬س‪0=2+‬‬ ‫‪3-‬س=‪2-‬‬ ‫(‪3 -‬س = ‪3 - / ) 2 -‬‬ ‫س=‪3/2‬‬ ‫المقطع السيني = ‪0.66‬‬ ‫‪ )2‬ع ( س ) = ‪5‬س ‪15 +‬‬ ‫اقتران متزايد لان معامل س > ‪0‬‬ ‫أ=‪5‬‬

‫المقطع الصادي = ب‬ ‫المقطع الصادي = ‪15‬‬ ‫المقطع السيني عندما ص = ‪0‬‬ ‫‪ 5‬س ‪0 = 15 +‬‬ ‫‪5‬س = ‪15 -‬‬ ‫( ‪ 5‬س = ‪5 / ) 15 -‬‬ ‫س=‪3-‬‬ ‫المقطع السيني = ‪3 -‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫الاحصاء‬ ‫المتوسط الحسابي‬

‫عزيزتي الطالبة في هذه الوحدة سوف نتعلم عدة امور ‪ ,‬منها‬ ‫‪ )1‬إنشاء جداول تكرارية‬ ‫‪ )2‬إيجاد الوسط الحسابي ‪ ,‬الوسيط ‪ ,‬المنوال ‪ ,‬للبيانات المبوبة‬ ‫‪ )3‬نمثل الجدول التكراري على شكل منحنى‬ ‫‪ )4‬العلاقة بين مقاييس النزعة المركزية‬ ‫أولا ‪ -:‬إنشاء جداول تكرارية‬ ‫لإنشاء الجداول التكرارية‪ ,‬هنالك عدة خطوات وهي‬ ‫‪ )1‬تحديد الفترة التي سوف نبدأ فيها الجدول التكراري ‪ ,‬وتكون من خلال‬ ‫تحديد اقل مشاهدة في الجدول التكراري ‪ ,‬إما نبدأ في هذه المشاهدة او‬ ‫اقل منها‬ ‫‪ )2‬تحديد طول الفترة المناسبة‬ ‫‪ )3‬وضع القوانين المستخدمة‬ ‫طول الفئة = الحد الأعلى – الحد الأدنى ‪1+‬‬ ‫علما ان الحد الأدنى يوضع في المسقط السيني للفئة ‪ ,‬الحد الأعلى‬ ‫يوضع في المسقط الصادي‬ ‫** مركز الفئة ‪ ( -:‬الحد الأعلى ‪ +‬الحد الأدنى ) ‪2 /‬‬

‫** الحدود الفعلية ‪ -:‬هي ان نطرح ( ‪ ) 0.5‬من الحد الأدنى ونضيفه‬ ‫للحد الأعلى‬ ‫مثال ‪1 -:‬‬ ‫لديك المشاهدات الاتية نظميها في جدول تكراري طول الفئة فيه ( ‪) 6‬‬ ‫‪, 40 , 39 , 40 , 32 , 30 , 25 , 22 , 18 , 22 , 14 ,15 ,10‬‬ ‫‪13 , 33 ,32 , 12 , 34 , 16 , 26 , 27‬‬ ‫** لاحظي عزيزتي الطالبة‬ ‫انه حدد السؤال طول الفئة = ‪5‬‬ ‫يجب ان نحدد اقل مشاهدة ‪ ,‬اكبر مشاهدة‬ ‫اقل مشاهدة = ‪ , 10‬اكبر مشاهدة = ‪40‬‬ ‫نبدا اول فئة من ( ‪ , ) 14 – 10‬لانه حدد بالسؤال طول الفئة ‪5‬‬ ‫نكتب القانون‬ ‫طول الفئة = الحد الاعلى – الاحد الادنى‬ ‫= ‪1 + 10 – 14‬‬ ‫=‪5‬‬

‫حدود الفعلية‬ ‫مركز الفئة‬ ‫التكرار‬ ‫الفئات‬ ‫‪14.5 - 9.5‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪14 – 10‬‬ ‫‪19.5 – 14.5‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪19 – 15‬‬ ‫‪24.5 – 19.5‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪24 – 20‬‬ ‫‪29.5 -24.5‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪29 - 25‬‬ ‫‪34.5 – 29.5‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪34– 30‬‬ ‫‪39.5 -34.5‬‬ ‫‪37‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪39 – 35‬‬ ‫‪44.5 – 39.5‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪44 - 40‬‬ ‫بذلك عزيزتي اطالبة يتم انشاء جداول تكرارية‬

‫ثانيا ‪ -:‬المتوسط الحسابي‬ ‫لقد تعلمنا في الصفوف السابقة كيفية ايجاد الوسط الحسابي للمشاهدات‬ ‫سوف نستذكر معا تلك الخطوات‬ ‫الوسط الحسابي = مجموع المشاهدات ‪ /‬عددها‬ ‫مثال ‪2 -:‬‬ ‫لديك المشاهدات الاتية ‪-:‬‬ ‫‪40 , 96 , 77 , 68 , 45 , 55‬‬ ‫جدي الوسط الجسابي لها‬ ‫الوسط الحسابي = مجموع المشاهدات ‪ /‬عددها‬ ‫= ( ‪6 / ) 40+96+77+68+45+55‬‬ ‫= ‪6 / 381‬‬ ‫= ‪63.5‬‬ ‫ملاحظة‪-:‬‬ ‫عزيزتي الطالبة القانون السابق هو لإيجاد الوسط الحسابي للمشاهدات‪,‬‬ ‫في هذه الوحدة سوف نتعلم لإيجاد الوسط الحسابي لبيانات منظمة في‬ ‫جدول تكراري‬ ‫هنا نحتاج ان يوجد جدول تكراري ‪ ,‬نضيف فيه عامود ويسمى ( ت‬ ‫ر*سر)‬ ‫حيث ت ر = التكرار للفئة‬ ‫س ر = مركز الفئة‬