تلخيص تاسع رياضيات

‫بسم الله الرحمن الرحيم‬ ‫تلخيص لمادة الرياضيات‬ ‫الصف‪ -:‬التاسع الأساسي‬ ‫مدرسة ‪ -:‬الزبيرية الأساسية المختلطة‬ ‫إعداد المعلمة ‪ -:‬عائشة العسوفي‬ ‫العام الدراسي ‪2021/2020‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫تحليل المقادير الجبرية‬

‫الدرس الأول ‪ -:‬الفرق بين المربعين‬ ‫عزيزتي الطالبة عبارة الفرق بين المربعين‬ ‫هي عبارة عن حدين بينهما إشارة سالب ويجب ان يكون الأس‬ ‫الخارجي لكل حد عبارة عن اس تربيع ا واس لعدد زوجي بحيث‬ ‫نستطيع تحليل الأس‬ ‫مثال ‪1 -:‬‬ ‫العبارة الآتية هي ( س ‪ - 2‬ص‪) 2‬‬ ‫نلاحظ هنا إن الحد الأول هو عبارة عن س مرفوع للأس ‪2‬‬ ‫وكذلك الحد الثاني ص مرفوع لأس ‪ ,2‬إذن عند التحليل فإننا نفتح‬ ‫قوسين نضع بالقوس الأول ( س ‪ +‬ص ) والقوس الثاني ( س –‬ ‫ص)‬ ‫عزيزتي‪ -:‬عند التحليل يجب إن تكون إشارة ما داخل القوس‬ ‫الأول موجبة وإشارة ما داخل القوس الثاني سالبة‬ ‫مثال ‪2 -:‬‬ ‫حلل العبارة الآتية‪ 25( -:‬س ‪ 49 – 2‬ص‪ ) 2‬إلى عواملها الأولية‬

‫نلاحظ هنا عزيزتي الطالبة ان الحد الاول عبارة عن مربع كامل‬ ‫وكذلك الحد الثاني ‪ ,‬بذلك نرجع الحدين الى اصلهما‬ ‫( ‪ 5‬س )‪ 7( - 2‬ص )‪ 5 ( = 2‬س ‪ 7 +‬ص)( ‪ 5‬س – ‪ 7‬ص )‬ ‫مثال ‪-: 3‬‬ ‫حلل العبارة الآتية الى عواملها الأولية ‪-:‬‬ ‫‪5‬م ن‪ 125 – 3‬ن م‪3‬‬ ‫نلاحظ هنا ان الحدين ليس مربعين كاملين لذلك يجب إن نعمل‬ ‫على اخراج عامل مشترك بينهما وهو ( ‪ 5‬م ن)‬ ‫الحل‪ 5 ( -:‬م ن ) ( ن‪ 25 – 2‬م‪) 2‬‬ ‫= ( ‪ 5‬م ن ) ( ( ن )‪ 5( – 2‬م )‪) 2‬‬ ‫=(‪5‬من)(ن‪5+‬م)(ن–‪5‬م)‬

‫الدرس الثاني ‪ -:‬تحليل العبارة‬ ‫التربيعية‬ ‫الصورة العامة للعبارة التربيعية ‪ -:‬ا س ‪ + 2‬ب س ‪ +‬ج‬ ‫حيث ا = معامل س‪ , 2‬ب = معامل س ‪ ,‬ج = الحد المطلق‬ ‫حتى تسمى معادلة تربيعية يجب ان يكون معامل س ‪ 2‬موجود‬ ‫مثال ‪1 -:‬‬ ‫أي من العبارات الاتية عبارة تربيعية ولماذا ؟‬ ‫‪ 5 ) 1‬س‪ 3 – 2‬س ‪4 +‬‬ ‫هنا معادلة تربيعية لان معامل س‪ , 5 = 2‬لانها تكتب على‬ ‫الصورة العامة للاقتران التربيعي‬ ‫‪6 ) 2‬س ‪7-‬‬ ‫ليست عبارة تربيعية ‪ ,‬لانها لا تكتب على الصورة العامة للمعادلة‬ ‫التربيعية ‪ ,‬أي معامل س‪ 2‬غير موجود‬ ‫**تحليل العبارة التربيعية‬ ‫عند تحليل العبارة التربيعية فإننا ننتبه إلى معامل س‪ 2‬إذا كان = ‪1‬‬ ‫فان الحل يكون كما يلي ‪-:‬‬

‫مثال ‪2 -:‬‬ ‫حلل العبارة الآتية ‪ -:‬س‪ 7 - 2‬س ‪ 10 +‬إلى عواملها الأولية‬ ‫نلاحظ هنا ان ا = ‪ , 1‬ب = ‪ , 7-‬ج = ‪10‬‬ ‫هنا نضرب قيمة ا * ج‬ ‫والناتج نحلله الى عددين ناتج جمعهما يكون العدد ب‬ ‫بمعنى ‪10 =10*1‬‬ ‫أي عددين ناتج ضربهما يكون ‪ 10‬وناتج جمعهما يكون ‪7-‬‬ ‫(س–‪ ()5‬س–‪)2‬‬ ‫تحليل عبارة تربيعية معامل س‪ 2‬اكبر من ‪1‬‬ ‫هنا نضرب معامل س‪ 2‬في الحد المطلق أي ( أ * ج ) ‪ ,‬ثم نعمل‬ ‫على تحليل العدد الناتج الى عددين ناتج جمعهما يكون معامل ( س‬ ‫)‬ ‫مثال ‪ -:3‬حلل العبارة الاتية الى عواملها الاولية‬ ‫‪2‬س‪ 13 + 2‬س – ‪7‬‬ ‫لاحظي عزيزتي الطالبة ‪ -:‬ان أ = ‪ , 2‬ب = ‪ , 13‬ج= ‪7-‬‬ ‫نعمل هنا على ضرب أ * ج = ‪14- = 7- * 2‬‬

‫ثم نعمل على تحليل العدد ( ‪ ) 14-‬الى عددين حاصل جمعهما‬ ‫يكون العدد ( ‪ , ) 13‬لاحظي ان العدد ( ‪ ) 14-‬سالب ‪ ,‬اما العدد‬ ‫( ‪ ) 13‬موجب ‪ ,‬لذلك العددين يكون احدهما سالب والاخر موجب‬ ‫ثم نحلل كما يلي ‪-:‬‬ ‫‪2‬س‪ ) 14-1 ( + 2‬س ‪2 = 7-‬س‪14+ 2‬س – ‪1‬س – ‪7‬‬ ‫=( ‪2‬س‪14+2‬س )‪1- ( +‬س‪) 7-‬‬ ‫نخرج هنا عامل مشترك بين القوسين‬ ‫= ‪2‬س( س‪(1-) 7+‬س‪)7+‬‬ ‫=( ‪2‬س ‪ ( ) 1-‬س‪) 7+‬‬

‫الدرس الثاني‪-:‬مجموع مكعبين ‪,‬‬ ‫الفرق بين المكعبين‬ ‫عبارة مجموع مكعبين هي عبارة تحتوي على حدين يكون كل‬ ‫منهما مكعب كامل وبينهما إشارة موجبة‬ ‫مثال ‪1-:‬‬ ‫‪8‬م‪ +3‬ب ‪3‬‬ ‫لاحظي ان الحد الاول مكعب كامل وكذلك الحد الثاني‬ ‫اما عبارة الفرق بين مكعبين فهي عبارة تحتوي على حدين يكون‬ ‫كل منهما مكعب كامل ولكن بينهما اشارة سالبة‬ ‫مثال ‪2-:‬‬ ‫‪1000‬س‪ - 3‬ص‪3‬‬ ‫تحليل عبارة مجموع مكعبين ‪-:‬‬

‫نحلل الحدين الى عواملها الاولية ‪ ,‬ثم نفتح قوسين ‪ ,‬نضع بالقوس‬ ‫الاول ( الحد الاول ‪ +‬الحد الثاني ) ‪ ,‬اما بالقوس الثاني فنضع (‬ ‫مربع الحد الاول – الحد الاول * الحد الثاني ‪ +‬مربع الحد الثاني‬ ‫)‬ ‫مثال ‪3 -:‬‬ ‫حلل العبارات التالية الى عواملها الاولية‬ ‫‪27 )1‬س‪1000+ 3‬ص‪ 3 ( = 3‬س)‪10( + 3‬ص)‪3‬‬ ‫= ( ‪3‬س‪10+‬ص) ( (‪3‬س)‪3(- 2‬س*‪10‬ص)‪10( +‬ص)‪)2‬‬ ‫=(‪3‬س ‪10+‬ص )( ‪9‬س‪30- 2‬س ص ‪100+‬ص‪)2‬‬ ‫‪16)2‬م ‪54 + 6‬ب ‪9‬‬ ‫نلاحظ عزيزتي الطالبة ان معامل الحد الاول ومعامل الحد الثاني‬ ‫ليس مكعب كامل لذلك يجب ان نخرج عامل مشترك بينهما ‪,‬‬ ‫وكذلك القسم الرمزي للحد الاول والقسم الرمزي للحد الثاني ليس‬ ‫على شكل مكعب كامل لذلك يجب ان نعمل على تغير شكلهما الى‬ ‫ان يصبح الاس الخارجي عبارة عن مكعب كامل‬ ‫‪16‬م‪54 + 6‬ب‪ 8 (2 = 9‬م‪ 27+ 6‬ب‪) 9‬‬ ‫= ‪2( ( 2‬م‪ 3( ( + 3)2‬ب‪) 3) 3‬‬ ‫=‪2(2‬م‪3+2‬ب‪4 ( )3‬م‪6-4‬م‪ 2‬ب‪9 + 3‬ب‪)6‬‬

‫**اما عبارة الفرق بين الربعين فهي نفس خطوات عبارة مجموع‬ ‫مكعبين ولكن نبدل في اشارة ما داخل الاقواس‬ ‫مثال ‪4 -:‬‬ ‫حلل العبارات التالية الى عواملها الاولية‬ ‫‪27 )2‬س‪1000- 3‬ص‪ 3 ( = 3‬س)‪10( - 3‬ص)‪3‬‬ ‫= ( ‪3‬س‪10-‬ص) ( (‪3‬س)‪3(+ 2‬س*‪10‬ص)‪10( +‬ص)‪)2‬‬ ‫=(‪3‬س ‪10-‬ص )( ‪9‬س‪30+ 2‬س ص ‪100+‬ص‪)2‬‬ ‫لاحظي عزيزتي الطالبة ‪ -:‬ان أ = ‪ , 2‬ب = ‪ , 13‬ج= ‪7-‬‬ ‫نعمل هنا على ضرب أ * ج = ‪14- = 7- * 2‬‬ ‫ثم نعمل على تحليل العدد ( ‪ ) 14-‬الى عددين حاصل ضربهما‬ ‫يكون العدد ( ‪ , ) 13‬لاحظي ان العدد ( ‪ ) 14-‬سالب ‪ ,‬اما العدد‬ ‫( ‪ ) 13‬موجب ‪ ,‬لذلك العددين يكون احدهما سالب والاخر موجب‬ ‫ثم نحلل كما يلي ‪-:‬‬

‫‪2‬س‪ ) 14-1 ( + 2‬س ‪2 = 7-‬س‪14+ 2‬س – ‪1‬س – ‪7‬‬ ‫=( ‪2‬س‪14+2‬س )‪1- ( +‬س‪) 7-‬‬ ‫نخرج هنا عامل مشترك بين القوسين‬ ‫= ‪2‬س( س‪(1-) 7+‬س‪)7+‬‬ ‫=( ‪2‬س ‪ ( ) 1-‬س‪) 7+‬‬

‫الدرس ‪ -:‬العامل المشترك الاكبر ‪,‬‬ ‫والمضاعف المشترك الاكبر‬ ‫اختصار العامل المشترك الأكبر هو‪ -:‬ع ‪ .‬م ‪ .‬ا‬ ‫اختصار المضاعف المشترك الأصغر هو ‪ -:‬م‪ .‬م‪ .‬ا‬ ‫العامل المشترك الأكبر للمقادير ‪ -:‬هو ان نحلل المقادير الجبرية‬ ‫إلى عواملها الأولية ‪ ,‬ثم نعمل على ترتيب المقادير الاوليه بشكل‬ ‫مرتب أسفل بعض ‪ ,‬ثم نحدد العامل المشترك بينهم‬ ‫ملاحظة‪ -:‬قد لا يوجد عامل مشترك اكبر بين المقادير ‪ ,‬في هذه‬ ‫الحالة يكون العامل المشترك الأكبر = ‪1‬‬ ‫مثال ‪1 -:‬‬ ‫جدي العامل المشترك الأكبر ‪ ,‬والمضاعف المشترك الأكبر‬ ‫للمقادير الجبرية الاتية‬ ‫‪ 9‬س‪3 , 1- 2‬س‪ 4– 2‬س ‪27 , 1+‬س‪1- 3‬‬ ‫نحلل كل عبارة لوحدها‬ ‫‪9‬س‪ -: 1- 2‬هنا عبارة فرق بين مربعين‬ ‫( ‪3‬س ‪3() 1+‬س‪) 1-‬‬

‫اما عبارة ‪3‬س‪4- 2‬س‪ , 1+‬هنا نضرب أ * ج‬ ‫‪3=1*3‬‬ ‫نبحث في عددين حاصل ضربهما ‪ 3+‬وناتج جمعهما =‪4-‬‬ ‫هما ( ‪) 1- , 3-‬‬ ‫‪3‬س‪4- 2‬س‪3 = 1+‬س‪ ) 3-1- ( + 2‬س ‪1+‬‬ ‫= ‪3‬س‪3- 2‬س ‪1-‬س ‪1+‬‬ ‫=( ‪3‬س‪3- 2‬س) ‪ 1- (+‬س ‪) 1+‬‬ ‫= ‪3‬س ( س‪ ( 1- ) 1-‬س‪)1-‬‬ ‫=( ‪3‬س ‪ ( )1-‬س‪)1-‬‬ ‫اما عبارة ‪27‬س‪ ,1- 3‬فهي عبارة فرق مكعبين‬ ‫نحلل الحدين الى عواملها الاولية ( ‪3‬س)‪3)1( - 3‬‬ ‫= ( ‪3‬س ‪9 ( ) 1-‬س‪3+ 2‬س ‪) 1 +‬‬ ‫الآن نعمل على ترتيب المقادير أسفل بعض‬ ‫‪ 9‬س‪3 (= 1- 2‬س ‪3() 1-‬س‪) 1+‬‬ ‫‪3‬س‪ 4– 2‬س ‪3 (= 1+‬س ‪ ( )1-‬س‪)1-‬‬ ‫‪27‬س‪3 ( = 1+ 3‬س ‪9 ( ) 1-‬س‪3+ 2‬س ‪) 1 +‬‬

‫نلاحظ هنا ان ع ‪ .‬م ‪ .‬ا = (‪3‬س‪)1-‬‬ ‫اما بالنسبة للمضاعف المشترك الاكير فهي نفس الخطوات ولكن‬ ‫عند ايجاد المضاعف ‪ ,‬نكتب العامل ‪ ,‬ثم نكتب باقي المقادير‬ ‫الجبرية الاخرى‬ ‫م‪.‬م‪.‬ا= ( ‪3‬س‪ ( ) 1-‬س‪9 ( )1-‬س‪3+ 2‬س ‪3 ( ) 1 +‬س‪) 1+‬‬

‫الدرس السابع ‪ -:‬المقادير الكسرية‬ ‫المقادير الكسرية ‪:‬‬ ‫هي عبارة عن مقادير جبرية تكون موجودة بالبسط والمقام‬ ‫فكرة الدرس إن نعمل على اختصار المقادير الموجودة بالبسط مع‬ ‫المقادير الموجودة بالمقام لنحصل على ابسط صورة بين المقدارين‬ ‫هنا نستخدم الدروس السابقة ‪ -:‬أي نحلل كل عبارة موجودة الى‬ ‫عواملها الأولية ثم نقوم بالاختصار بين العوامل المشتركة‬ ‫مثال ‪1 -:‬‬ ‫اختصري المقادير الجبرية الآتية الى ابسط صورة‬ ‫( ج ‪ ( / ) 125- 3‬ج‪) 25- 2‬‬ ‫هنا نحلل العبارة الأولى ( ج‪ ) 125- 3‬الى عواملها الأولية‬ ‫نلاحظ هنا أنها عبارة فرق بين مكعبين‬

‫( ج ‪ ( ) 5-‬ج‪5+ 2‬ج ‪) 25+‬‬ ‫إما عبارة ( ج ‪ , ) 25- 2‬فهي عبارة فرق بين مربيعين كاملين‬ ‫( ج ‪ ( ) 5-‬ج‪)5+‬‬ ‫نرتب الحدود بشكلها الأصلي‬ ‫( ج ‪ ( / ) 125- 3‬ج‪=) 25- 2‬‬ ‫( ج ‪ ( ) 5-‬ج‪5+ 2‬ج ‪ (/ ) 25+‬ج ‪( ) 5+‬ج‪)5-‬‬ ‫لاحظي عزيزتي الطالب هان هنالك حد مشترك بين البسط والمقام‬ ‫وهو ( ج‪ , ) 5-‬نعمل على اختصاره لتصبح العبارة بالشكل‬ ‫النهائي ( ج‪5+ 2‬ج ‪ (/) 25+‬ج‪)5+‬‬

‫الدرس االثامن ‪ -:‬المعادلة الكسرية‬ ‫المعادلة ‪-:‬‬ ‫هي عبارة عن طرفين بينهما اشارة = ‪ ,‬تحتوي على ثوابت‬ ‫ومتغيرات ‪ ,‬وتسمى حسب اكبر اس للمتغير فيها ‪ ,‬وحسب عدد‬ ‫المتغيرات بها‬ ‫المعادلة الكسرية‬ ‫‪ -:‬هي معادلة تحتوي على مقادير جبرية بالمقام‬ ‫حل المعادلة‬ ‫‪ -:‬هي ايجاد قيم المتغير او المجهول الموجود بالمعادلة‬

‫هنا عزيزتي الطالبة نقوم بحل المعادلة الكسرية ‪ ,‬بتحليل المقادير‬ ‫الجبرية إلى عواملها ‪ ,‬واختصار العوامل المشتركة ‪ ,‬لنحصل‬ ‫على معادلة خطية أو تربيعية ‪ ,‬ثم نقوم بحلها‬ ‫مثال ‪1-:‬‬ ‫حل المعادلة الكسرية الآتية ‪-:‬‬ ‫(س‪5+2‬س‪ ( / )4+‬س‪10= ) 4+‬‬ ‫نلاحظ إن المقدار الجبري الموجود بالبسط هو عبارة عن عبارة‬ ‫تربيعية معامل س‪1 = 2‬‬ ‫( س‪5+ 2‬س ‪ ( = ) 4+‬س ‪ ( ) 4+‬س‪) 1 +‬‬ ‫نرتب المقدار الموجود بالبسط مع المقدار الموجود بالمقام‪ ,‬ثم‬ ‫نعمل على اختصار العامل المشترك بينها وهو ( س ‪) 4 +‬‬ ‫( س‪5+ 2‬س ‪ ( /) 4+‬س ‪10= ) 4 +‬‬ ‫( س ‪ ( ) 4+‬س‪ ( /) 1 +‬س ‪10= ) 4 +‬‬ ‫( س ‪10 = ) 1 +‬‬ ‫هنا حصلنا على معادلة خطية بمتغير واحد‬ ‫س‪10= 1+‬‬ ‫س ‪ , 1-10= 1-1+‬نعمل على إضافة العدد ( ‪ ) 1-‬لطرفين‬

‫س=‪9‬‬ ‫الوحدة الثانية‬ ‫المتباينات الخطية بمتغير واحد‬

‫الدرس الأول ‪ -:‬الفترات‬ ‫الفترات هي‬ ‫‪-:‬‬ ‫من طرق التعبير عن المجموعات الجزئية غير المنتهية من‬ ‫مجموعة الاعداد الحقيقية‬ ‫انواع الفترات‬ ‫‪ )1‬الفترات المحدودة ‪ -:‬هي الفترات التي يمكن ايجاد طولها‬ ‫وتنقسم الى قسمين‬ ‫أ) الفترات المغلقة ويرمز لها [ أ ‪ ,‬ب ]‬ ‫يرمز برمز المجموعة { س ‪ :‬أ ≤ س ≤ ب ‪ ,‬س ‪ Э‬ح}‬ ‫ب ) الفترة المفتوحة ( أ ‪ ,‬ب )‬ ‫يرمز لها برمز المجموعة { س ‪ :‬أ< س < ب ‪ ,‬س ‪ Э‬ح }‬ ‫ت ) الفترة نصف المغلقة ونصف المفتوحة‬ ‫يرمز لها بالرمز [ أ ‪ ,‬ب ) او ( أ ‪ ,‬ب ]‬ ‫يرمز لها برمز بالمجموعة { س ‪ :‬أ ≤ س < ب ‪ ,‬س ‪ Э‬ح }‬

‫او بالرمز المجموعة‬ ‫{س‪:‬أ<س≤ب‪,‬س‪Э‬ح}‬ ‫لإيجاد طول الفترة فان القانون هو ‪ -:‬ب – ا‬ ‫مثال ‪1 -:‬‬ ‫جدي طول الفترات الآتية ‪-:‬‬ ‫ف ‪ , ] 10 , 8[ = 1‬ف ‪) 7 , 5- ( = 2‬‬ ‫طول الفترة الأولى = ب – ‪1‬‬ ‫= ‪8-10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫طول الفترة الثانية = ب – ا‬ ‫=‪5--7‬‬ ‫=‪12‬‬ ‫ملاحظة مهمة ‪ -:‬في الفترة نضع في‬ ‫المسقط الأول العدد الأصغر ‪ ,‬إما في‬ ‫المسقط الثاني فإننا نضع العدد الأكبر‬ ‫*** عند تمثيل الفترات على خط الاعداد فاننا نعمل على‬ ‫الخطوات الاتية ‪-:‬‬

‫‪ )1‬رسم خط الإعداد‬ ‫‪ )2‬نرتب الأرقام على خط الإعداد‬ ‫‪ )3‬نحدد بداية الفترة ونهاية الفترة برسم دائرة صغيرة حول‬ ‫الأرقام‬ ‫‪: )4‬إذا كانت الفترات مغلقة فإننا نضل الدائرة كاملة ‪ ,‬إما اذا‬ ‫كانت مفتوحة فاننا لا نضلل الدائرة تبقى كما هي‬ ‫‪ )5‬نعمل على رسم خط ونضلله بين بداية الفترة وبين نهاية‬ ‫الفترة‬ ‫مثال – ‪2‬‬

‫‪ )2‬الفترات غير محدودة المحدودة‬ ‫هي الفترات التي لا يمكن حساب طولها ‪ ,‬لانها تحتوي‬ ‫على رمز الانفنتي ( أي الاعداد الما لا نهاية )‬ ‫أ) [أ ‪)ꝏ ,‬‬ ‫ب) ( أ ‪] ꝏ ,‬‬ ‫لاحظي عزيزتي الطالبة هنا ان بداية الفترة عبارة عن رقم‬ ‫‪ ,‬ونهايتها عبارة عن رمز ‪ , ꝏ‬لان هذا رمز يدل على‬ ‫مجموهة الاعداد الما لا نهاية الموجبة ‪ ,‬و يجب ان يكون‬ ‫العدد الاصغر هو في المسقط الاول ‪ ,‬العدد الاكبر في‬ ‫المسقط الثاني‬ ‫التعبير عنهما برمز المجموعة‬ ‫[أ ‪{ =)ꝏ ,‬س ‪ :‬س ≥ أ ‪ ,‬س ‪ Э‬ح }‬ ‫( أ ‪{= ]ꝏ ,‬س ‪ :‬س > أ ‪ ,‬س ‪ Э‬ح }‬ ‫ت)(‪, ꝏ-‬أ]‬ ‫ث ) (‪ , ꝏ-‬أ )‬ ‫نلاحظ هنا ان بداية الفترة هي سالب ما لا نهاية ‪ ,‬اما في المسقط‬ ‫الثاني فيوجد الرقم‬ ‫لان سالب ما لا نهاية هي اصغر الاعداد ‪ ,‬وبذلك تضع‬ ‫في المسقط الاول التعبير عنهما برمز المجموعة‬ ‫(‪ , ꝏ-‬أ )= {س ‪ :‬س < أ ‪ ,‬س ‪ Э‬ح }‬

‫(‪ , ꝏ -‬أ ] ={س ‪ :‬س ≤ أ ‪ ,‬س ‪ Э‬ح }‬ ‫*** عند تمثيل الفترات على خط الإعداد فإننا نعمل على‬ ‫الخطوات الآتية ‪-:‬‬ ‫‪ )1‬رسم خط الإعداد‬ ‫‪ )2‬نرتب الأرقام على خط الإعداد‬ ‫‪ )3‬نحدد بداية الفترة اونهاية الفترة برسم دائرة صغيرة حول‬ ‫الرقم‬ ‫‪: )4‬إذا كانت الفترات مغلقة فإننا نضل الدائرة كاملة ‪ ,‬إما اذا‬ ‫كانت مفتوحة فاننا لا نضلل الدائرة تبقى كما هي‬ ‫‪ )5‬نعمل على رسم خط ونضلله بين الرقم ونوصلة الي‬ ‫الاعداد لاخر حط الاعداد اما الموجب او السالب ‪ ,‬حسب‬ ‫اشارة الما لا نهاية المعطاة‬ ‫مثال –‪3‬‬

‫مثال‪4-:‬‬ ‫لديك مجموعة من الفترات مع تمثيلها على خط الاعداد‬

‫الدرس الثاني‪-:‬المتباينات وخصائصها‬ ‫المتباينة هي‬ ‫‪ -:‬هي ‪-:‬‬ ‫علاقة رياضية تعبر عن اختلاف قيمة مقدارين رياضيين‪,‬‬ ‫وتستخدم فيها واحدة أو أكثر من أشارات التباين > ‪≥ , ≤ , < ,‬‬ ‫خصائص المتباينات‬ ‫من خصائص المتباينات‬ ‫إن إشارة المتباينة تبقى كما هي في الحالات الاتية ‪-:‬‬ ‫‪ )1‬إضافة عدد موجب للطرفين المتباينة‬ ‫‪ )2‬طرح عدد سالب من طرفي المتباينة‬ ‫‪ )3‬ضرب طرفي المتباينة بعدد موجب‬ ‫‪ )4‬قسمة طرفي المتباينة على عدد موجب‬ ‫تتغير إشارة المتباينة في الحالات الآتية‬ ‫‪ )1‬ضرب طرفي المتباينة بعدد سالب‬

‫‪ )2‬اخذ مقلوب طرفي المتباينة‬ ‫‪ )3‬قسمة طرفي المتباينة على عدد سالب‬ ‫مثال ‪1 -:‬‬ ‫لديك المتباينة الاتية جدي ناتج ما يلي ‪:‬‬ ‫‪9 < 5-‬‬ ‫‪ )1‬اضافة العدد ( ‪ ) 2‬الى طرفي المتباينة‬ ‫‪2 + 9 < 2+ 5-‬‬ ‫‪11 < 3-‬‬ ‫‪ )2‬طرح العدد ( ‪ ) 1‬من طرفي المتباينة‬ ‫‪1 – 9 < 1- 5 -‬‬ ‫‪8 < 6-‬‬ ‫‪ ) 3‬ضرب المتباينة بالعدد ( ‪) 4‬‬ ‫‪4*9<4*5 -‬‬ ‫‪36 < 20 -‬‬ ‫‪ )4‬ضرب المتباينة بالعدد ( ‪) 1 -‬‬

‫‪1 - * 9 < 1 - * 5-‬‬ ‫‪9- > 5‬‬ ‫‪ )5‬قسمة طرفي المتباينة على العدد ( ‪) 2‬‬ ‫‪2/9<2/5 -‬‬ ‫‪4.5 < 2.5 -‬‬ ‫‪ )6‬قسمة طرفي المتباينة على العدد ( ‪) 1 -‬‬ ‫‪1-/ 9 < 1- / 5-‬‬ ‫‪9- > 5‬‬

‫الدرس الثالث‪ -:‬المتباينة الخطية بمتغير واحد‬ ‫المتباينة الخطية بمتغير واحد هي ‪-:‬‬ ‫هي تعبير جبري خطي بمتغير واحد يحوي إشارة او إشارتين من‬ ‫إشارات التباين ( < ‪ , ) ≥ ,≤ , > ,‬ومجموعة حلها هي عبارة‬ ‫عن مجموعات جزئية من مجموعة الإعداد الحقيقية‬ ‫حل المتباينة‬ ‫هو إيجاد قيم المتغير فيها‬ ‫عزيزتي الطالبة ‪ ,‬خطوات حل المتباينة الخطية بمتغير واحد هي‬ ‫نفس خطوات حل المعادلة الخطية بمتغير واحد ‪ ,‬ولكن الاختلاف‬ ‫إن المعادلة تحتوي على إشارة (= ) اما المتباينة فإنها تحتوي‬ ‫على إحدى إشارات التباين ( < ‪) ≥ ,≤ , > ,‬‬

‫مثال ‪1 -:‬‬ ‫جدي مجموعة حل للمتباينة الخطية الآتية‬ ‫هنا معامل س = ‪1‬‬ ‫‪ )1‬س – ‪9 < 3‬‬ ‫‪ ,‬لذلك يجب ان نتخلص‬ ‫العدد ( ‪ , ) 3 -‬بإضافة‬ ‫لعدد ( ‪ ) 3‬إلى طرفيها‬ ‫س ‪3 + 9 < 3 + 3-‬‬ ‫س < ‪12‬‬ ‫مجموعة الحل ( ‪-‬ما لانهاية ‪) 12 ,‬‬ ‫نلاحظ هنا إن قيمة س هي اصغر من العدد ( ‪ , ) 12‬لذلك يجب ان‬ ‫نستخدم إشارة (‪ -‬ما لانهاية ) ( ‪ ,)ꝏ‬وتكون الفترة مفتوحة ‪ ,‬لأننا‬ ‫لم نستخدم المساواة مع إشارة التباين‬

‫‪ 5 - 23- )2‬س ≥ س ‪3 +‬‬ ‫نعمل هنا على تجميع الحدود المتشابه أي‬ ‫اضافة العدد ( ‪ -‬س ) الى طرفي المتبايتة‬ ‫‪ 5- 23-‬س – س≥ س – س ‪3 +‬‬ ‫‪6-23 -‬س ≥ ‪3‬‬ ‫إضافة العدد ( ‪ ) 23‬إلى طرفي المتباينة‬ ‫‪ 6- 23 + 23-‬س ≥ ‪23+ 3‬‬ ‫‪ 6-‬س ≥ ‪26‬‬ ‫نقسم طرفي المتباينة على العدد ( ‪ , ) 6 -‬عند القسمة على عدد‬ ‫سالب فاننا نغير اشارة المتباينة‬ ‫( ‪]ꝏ, -4.3 -‬‬ ‫( ‪6-‬س ≥‪6-/)26‬‬ ‫س ≤‪4.3-‬‬ ‫مجموعة الحل‬

‫الدرس الرابع‪ -:‬المتباينات المركبة بمتغير واحد‬ ‫المتباينة المركبة بمتغير واحد هي ‪-:‬‬ ‫هي متباينة تنتج عند دمج متباينتين خطيتين بمتغير واحد‬ ‫مثال ‪1 -:‬‬ ‫جدي مجموعة حل للمتباينة المركبة الآتية‬ ‫‪ 2 + 3 < 7- )1‬س≤ ‪5‬‬ ‫هنا معامل س موجودة في ‪,‬الطرف الاوسط فقط ‪ ,‬لذلك‬ ‫نتخلص من العدد (‪ ) 3‬باضافة العدد ( ‪ ) 3 -‬الى المتباينة ‪ ,‬ثم من‬ ‫معامل (س )‬ ‫‪ 2 + 3 + 3- < 3-7-‬س≤‪3 – 5‬‬ ‫‪ ,‬هنا نقسم على معامل س‬ ‫‪ 2 < 10-‬س ≤ ‪2‬‬ ‫‪ 2 < 2/10-‬س ‪2 / 2 ≤ 2 /‬‬ ‫‪ < 5-‬س ≤ ‪1‬‬ ‫مجموعة الحل ( ‪] 1 , 5-‬‬

‫مثال ‪2 -:‬‬ ‫جدي مجموعة الحل للمتباينة المركبة الاتية ‪-:‬‬ ‫‪ 2 – 7‬س ≥ ‪ 3+ 12‬س ≥ ‪ 2-‬س‪17+‬‬ ‫هنا عزيزتي الطالبة ‪ -:‬نلاحظ وجود ( س ) في اطراف المتباينة ‪,‬‬ ‫لذلك يجب التخلص من ( س ) بإضافة العدد ( ‪ 2‬س ) الى‬ ‫المتباينة‬ ‫‪ 2 – 7‬س ‪2 +‬س ≥ ‪ 3+ 12‬س ‪2 +‬س ≥ ‪2-‬س ‪2+‬س ‪17+‬‬ ‫‪ 5+ 12 ≥ 7‬س ≥ ‪17 +‬‬ ‫هنا نعمل على إضافة العدد ( ‪ ) 12 -‬الى طرفي المتباينة‬ ‫‪5 + 12 – 12 ≥ 12-7‬س ≥ ‪12-17+‬‬ ‫‪5 ≥ 5-‬س ≥ ‪5‬‬ ‫نقسم المتباينة على العدد ( ‪) 5‬‬ ‫(‪5 ≥ 5-‬س ≥ ‪5/)5‬‬ ‫‪ ≥1-‬س ≥ ‪1‬‬ ‫مجموعة الحل ‪ -:‬مجموعة خالية ‪ ,‬لأنه لايوجد عدد اكبر من‬ ‫( ‪ )1‬واقل من العدد ( ‪) 1-‬‬

‫الوحدة الثالثة‬ ‫الاقتران التربيعي‬

‫الاقتران التربيعي ورسم منحناه‬ ‫الصورة العامة للاقتران ألتربيعي‬ ‫ق(س)=اس‪+2‬بس‪+‬ج‬ ‫حيث أ = معامل س ‪ , 2‬ب ‪ :‬معامل س ‪ ,‬ج الحد المطلق‬ ‫المجال‬ ‫** المجال‪ -:‬هي مجموعة القيم المسموح بها للتعويض‬ ‫بالاقتران ( أي قيم س )‬ ‫المدى‬ ‫المدى‪ -:‬هي مجموعة القيم الناتجة من تعويض قيم ( س‬ ‫) في الاقتران ‪ ,‬أي قيم ( ص ) ‪ ,‬وتحدد من رسمة‬ ‫الاقتران من خلال المسقط الصادي في إحداثيات الرأس‬

‫معادلة محور التماثل‬ ‫معادلة محور التماثل‪ -:‬سالب معامل س مقسوم على ‪ 2‬في‬ ‫معامل س ‪2‬‬ ‫معادلة محور التماثل = ‪ -‬ب ‪ 2 /‬أ‬ ‫إحداثيات رأس القطع‬ ‫( ‪-‬ب ‪ 2 /‬أ ‪ ,‬ق ( ‪ -‬ب ‪ 2 /‬أ )‬ ‫القيمة العظمى او القيمة الصغرى‬ ‫القيمة العظمى تكون موجودة اذا كان معامل س ‪ 2‬سالب ‪ ,‬تحدد عند‬ ‫قيمة المسقط السيني في إحداثيات الرأس‬ ‫اما القيمة الصغرى فتكون موجودة عندما تكون قيمة معامل س ‪ 2‬موجب ‪,‬‬ ‫وتحدد عندما قيمة المسقط السيني في إحداثيات الرأس‬

‫نقاط تقاطع المنحنى مع محور السينات‬ ‫نقاط تقاطع المنحنى مع محور السينات هي نقاط تقاطع‬ ‫بين رسمة المنحنى مع محور السينات‬ ‫نقاط تقاطع المنحنى مع محورا لصادات‬ ‫هي نقاط تقاطع بين رسمة المنحنى مع محور الصادات‬ ‫مثال ‪1 -:‬‬ ‫ارسمي الاقتران التربيعي الاتي بياني‬ ‫ق(س)=‪2-‬س‪2‬‬ ‫أ = ‪ , 2-‬ب = ‪ , 0‬ج = ‪0‬‬

‫المجال = ح ‪ ,‬مجموعة الاعداد الحقيقية‬ ‫معادلة محور التماثل = ‪ -‬ب ‪ 2 /‬أ‬ ‫= ‪ -‬صفر ‪2- * 2 /‬‬ ‫= صفر‬ ‫إحداثيات رأس القطع = ( ‪ -‬ب ‪ 2 /‬أ ‪ ,‬ق ( ‪ -‬ب ‪ 2 /‬أ )‬ ‫=(‪, 0‬ق(‪))0‬‬ ‫=(‪)0,0‬‬ ‫ملاحظه تم تعويض العدد ( ‪ ) 0‬في الاقتران التربيعي‬ ‫ناخذ مجموعة قيم تكون اكبر واصغر من العدد ( ‪) 0‬‬ ‫س ‪2 1 1- 2-‬‬ ‫ص ‪4- 2- 2- 8-‬‬ ‫ملاحظة ‪ -:‬يتم تعويض القيم ( س ) في الاقتران‬ ‫عند تمثيل الاقتران نجد مايلي ‪-:‬‬

‫قيمة العظمى عندما س = ‪0‬‬ ‫المدى ص ≤ ‪0‬‬ ‫نقاط تقاطع المنحنى مع محور السينات‬ ‫س=‪0‬‬ ‫نقاط تقاطع المنحنى مع محور الصادات ص = ‪0‬‬

‫أصفار الاقتران التربيعي‬ ‫أصفار الاقتران التربيعي ‪ -:‬هي نقاط تقاطع المنحنى مع‬ ‫محور السينات‬ ‫عند تمثيل الاقتران ألتربيعي بياني‪ ,‬فان أصفار الاقتران‬ ‫هي نقاط تقاطع المنحنى مع محور السينات‬ ‫هنالك عدة احتمالات لاصفار الاقتران ‪-:‬‬ ‫‪)1‬ان يكون هنالك صفران للاقتران ألتربيعي‬ ‫( أي أن المنحنى قطع محور السينات في نقطتين )‬ ‫‪ )2‬أن يكون هنالك صفر واحد فقط‬ ‫( أي إن المنحنى قطع محور السينات في نقطة واحدة )‬ ‫‪ )3‬ان لا يوجد صفر اقتران‬ ‫( أن لا يتقاطع المنحنى مع محور السينات )‬

‫مثال ‪2-:‬‬ ‫لديك الرسومات الآتية جدي أصفار الاقتران‬ ‫نلاحظ عزيزتي الطالبة ان المنحنى قطع محور السينات في نقطة‬ ‫واحدة ‪ ,‬لذلك يوجد صفر واحد للاقتران هو س‪0= 1‬‬ ‫نلاحظ هنا عزيزتي الطالبة ان المنحنى قطع محور السينات في‬ ‫نقطتين ‪ ,‬لذلك يوجد صفران هما س‪ , 2 =1‬س‪2- =2‬‬

‫في هذه الصورة عزيزتي الطالبة نلاحظ أن المنحنى الأول لم‬ ‫يقطع محور السينات ‪ ,‬أي لا يوجد أصفار اقتران‬ ‫أما في الرسمة الثانية ‪ ,‬فان المنحنى قطع محور السينات في نقطة‬ ‫واحدة ‪ ,‬أي يوجد صفر واحد للاقتران‬ ‫س‪0=1‬‬

‫حل المعادلة التربيعية بياني‬ ‫الصورة العامة للمعادلة التربيعية في متغير‬ ‫واحد‬ ‫أ س‪ + 2‬ب س ‪+‬ج = ‪0‬‬ ‫حيث أ لا تساوي صفرا‬ ‫يسمى حل المعادلة هو جذر للمعادلة‬ ‫لحل المعادلة التربيعية بياني ‪ ,‬فيجب ان نكتب المعادلة‬ ‫على شكل اقتران ‪,‬‬ ‫لذلك تسمى المعادلة المرافقة للاقتران ق‬ ‫لاحظي عزيزتي الطالبة أن أصفار الاقتران ألتربيعي هي‬ ‫نفسها جذور المعادلة التربيعية ‪ ,‬أي نفسها نقاط تقاطع‬ ‫المنحنى مع محور السينات‬ ‫مثال ‪-:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫مثلي المعادلة التربيعية الاتية بياني ‪-:‬‬ ‫س‪2-2‬س‪0=1-‬‬

‫نعمل على كتابة الاقتران ‪ ,‬لهذه المعادلة‬ ‫ق(س)=س‪2–2‬س–‪1‬‬ ‫‪ ,‬ج = ‪1-‬‬ ‫** المجال= ح‬ ‫** العوامل‬ ‫ا = ‪ , 1‬ب = ‪2-‬‬ ‫**معادلة محور التماثل = ‪ -‬ب ‪ 2 /‬أ‬ ‫= ‪1*2/2--‬‬ ‫=‪2/2‬‬ ‫=‪1‬‬ ‫** احداثيات راس القطع = ( ‪ -‬ب ‪ 2 /‬أ‪ ,‬ق ( ‪ -‬ب ‪2/‬أ)‬ ‫= (‪, 1‬ق(‪)1‬‬ ‫= ( ‪) 2- , 1‬‬ ‫س ‪3 2 0 1-‬‬ ‫‪2 1- 1-‬‬ ‫ص‪2‬‬ ‫بعد ان ناخذ مجموعة من القيم ونعوضها في الاقتران‬ ‫نعمل على تمثيل الاقتران على المستوى الديكارتي‬

‫لاحظي عزيزتي الطالبة أن المنحنى قطع محور السينات‬ ‫في نقطتين ‪ ,‬أي يوجد صقران للاقتران ‪ ,‬أي يوجد جذران‬ ‫للمعادلة التربيعية‬

‫حل المعادلة التربيعية بإكمال المربع‬ ‫مربع مجموع حدين ‪-:‬‬ ‫( أ ‪+‬ب ) ‪ = 2‬أ‪ 2+ 2‬أ ب ‪ +‬ب‪2‬‬ ‫مربع فرق بين حدين ‪-:‬‬ ‫( أ – ب )‪ = 2‬أ‪ 2– 2‬أ ب ‪ +‬ب‪2‬‬ ‫لكي نكمل المربع في المعادلة من النوع أ س ‪ + 2‬ب س = ج ‪,‬‬ ‫**نضيف ونطرح منه مربع نصف العدد ب ‪ ,‬بشرط أن تكون أ = ‪1‬‬ ‫** خطوات حل المعادلة التربيعية بإكمال المربع ‪-:‬‬ ‫‪ )1‬نجعل الحد المطلق في الطرف الأيسر للمعادلة‬ ‫‪ )2‬نجعل ( أ ) = ‪1‬‬ ‫‪ )3‬نجد قيمة مربع ( نصف معامل س )‬ ‫‪ )4‬أضف مربع نصف معامل س لكل من الطرفين‬

‫‪ )5‬نحلل المقدار الثلاثي في الطرف الأيمن ونكتبه كمربع على‬ ‫صورة ( س ‪ +‬ثابت ) ‪2‬‬ ‫‪ )6‬خذ الجذر ألتربيعي للطرفين‪ ,‬سينتج معادلتان خطيتان‬ ‫‪ )7‬أكمل حل المعادلتين الخطيتين وستحصل على خلين للمعادلة‬ ‫التربيعية‬ ‫مثال ‪1 -:‬‬ ‫حل المعادلة التربيعية الآتية باستخدام طريقة إكمال المربع‬ ‫‪4‬س – ‪2‬س ‪0= 6+ 2‬‬ ‫‪ )1‬نجعل الحد المطلق ( ‪ ) 6‬في الطرف الايسر للمعادلة‬ ‫‪4‬س–‪2‬س‪6–0=6–6+2‬‬ ‫‪4‬س ‪ 2-‬س ‪6- = 2‬‬ ‫‪ )2‬نجعل معامل س ‪ , 1 = 2‬بقسمة المعادلة على ( ‪) 2 -‬‬ ‫( ‪ 4‬س – ‪ 2‬س ‪2- / ) 6 - = 2‬‬

‫‪2-‬س ‪ +‬س ‪3 = 2‬‬ ‫‪ )3‬نكتب المعادلة‬ ‫س‪2–2‬س=‪3‬‬ ‫‪ )4‬نجد نصف معامل س‬ ‫( ‪1- = ) 2 / 2-‬‬ ‫‪ )5‬نجد مربع نصف معمل ( س )‬ ‫( ‪1 = 2 ) 1-‬‬ ‫‪ )6‬نضيف العدد ( ‪ ) 1‬الى طرفي المعالة ‪ ,‬ثم نعمل على‬ ‫تحليل العبارة التي حصلنا عليها‬ ‫س‪2–2‬س‪1+3=1+‬‬ ‫س ‪ 2- 2‬س ‪4 = 1 +‬‬ ‫( س ‪ ( ) 1-‬س – ‪4 = ) 1‬‬ ‫(س–‪4=2)1‬‬ ‫‪ )7‬ناخذ الجذر التربيعي للطرفين‬ ‫( س – ‪2-+ = )1‬‬

‫(س–‪2=)1‬‬ ‫س ‪1 + 2 + 1 + 1-‬‬ ‫س=‪3‬‬ ‫س–‪1+2-=1+1‬‬ ‫س=‪1-‬‬

‫حل المعادلة التربيعية بطريقة القانون العام‬