CỦNG CỐ toán 8- TẬP 1-đã gộp

Website: tailieumontoan.com 3B. Thực hiện các phép tính sau: a) x + 4 : x + 5 : x + 6 với x ≠ −6; x ≠ −5 và x ≠ −4; x+5 x+6 x+4 b) 3x2 :  6x : 2x  với x≠0 và y ≠ 0. 7 y2  7y 3y    Dạng 2. Tìm phân thức thỏa mãn đẳng thức cho trước Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước: Bước 1. Đưa phân thức cần tìm về riêng một vế; Bước 2. Sử dụng quy tắc nhân và chia các phân thức đại số, từ đó suy ra phân thức cần tìm. 4A. Tìm phân thức A, biết 2x + 3y .A = 4x2 + 6xy với x≠−3 y và x ≠ y. x3 + y3 3x2 + 3xy + 3y2 2 4B. Cho đẳng thức a− 2b .B = a2 + 4ab + 4b2 với a ≠ − 1 b và a ≠ 2b. Tìm B. 27a3 + b3 9a2 − 3ab + b2 3 5A. Điền phân thức thích hợp vào chỗ trống: 4x2 + 8x +16 : (..) = (x x3 − 8 5) với x ≠ −1; x ≠ 2 và x ≠ 5. x3 − 5x2 − x + 5 +1)(x − 5B. Cho biết x : x + 3 : x + 5 : x + 7 : x + 9 : (...) = 3. Cho phân thức thích hợp để điền vào x +1 x +1 x +3 x +5 x +7 chỗ trống. III. BÀI TẬP VỀ NHÀ 6. Thực hiện các phép tính sau: a) 5xy 15xy3 với x ≠ 0; 3 và y ≠ 0; : 2x − 3 12 − 8x 2 b) (a2 − 25) : 4a + 20 với a ≠ −5 và a ≠ 1 . 3a −1 3 7. Làm tính chia: a) b2 + 2b 2b + 4 với b ≠ −2 và b ≠ 1; 3b2 − 6b + 3 : 5b − 5 b) 4u + 6v 4u2 +12uv + 9v2 với u ≠ 2 và u ≠ − 3 v. : u−2 8 −u3 2 8. Rút gọn biểu thức: a) m + 7 . m + 8 : m + 9 với m ≠ −9; m ≠ −8 và m ≠ −7; m+8 m+9 m+7 b) n + 7 :  n + 8 . n + 9  với n ≠ −9; n ≠ −8 và m ≠ −7. n + 8  n + 9 n + 7  9. Tìm phân thức P, biết: P. x 2 +3x = x2 − 9 với x ≠ −3; x ≠ 0 và x ≠ 4. x − 4 x2 − 4x 10. Tìm phân thức Q thỏa mãn đẳng thức sau: 4q2 − 4 = 4q2 +12q + 9 với q≠−3 và q ≠ 1. Q: 2q + 3 q −1 2 100 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

Website: tailieumontoan.com HƯỚNG DẪN 1A. a) Áp dụng quy tắc chia hai phân thức và rút gọn ta có kết quả là 3(1+ 3x) 1(x + 4) b) Tương tự a), tatinhs được kết quả là y + 2 y −1 1B. Tương tự 1A a) − 3 (9 + 3a + a2 ) b) 2(b-4)(7b-2) 5 2A. Tương tự 1A a) m2 − 2m b) 3 (u − 2v)(u + v) m2 − 9 4 2B. Tương tự 1A b) x − 2y a) (n −1)(n − 7) y (n + 5)(n + 4) 3A.Áp dụng quy tắc chia tắc chia nhiều phân thức (vaanxnhaan với nghịch đảo của các phân thức đứng sau dấu chia) ta tính được: a) 3 b) (t + 6)2 5 (t + 5)2 3B. Tương tự 3A a) (x + 4)2 b) x2 (x + 5)2 3y2 4A. Ta coi A là nhân tử chưa biết, để tìm A ta lấy tích chia cho thừa số đã biết. Khi đó ta tính đượ=c A 2 a(x − y) . 3 4B. Tương tự 4A. Ta có B=(3a+b)(a - 2b) 5A. Coi phân thức cần điền vào dấu ngoặc là số chia. Muốn tìm số chia, ta lấy số bị chia chia cho thương. Vậy phân thức cần tìm sẽ là 4 (x −1)(x − 2) 5B. Tương tự 5A. Phân thức cần tìm sẽ là x 3(x + 9) 6. Thực hiện theo quy tắc chia hai phân thức và rút gọn, ta tính được a) −4 b) 1 (a − 5)(3a −1) 3y2 4 7. Tương tự 6. Ta có: a) 5b b) −2(u2 + 2u + 4) 6(b −1) 2u + 3v 8. Tương tự 3A a) (m + 7)2 b) (n + 7)2 (m + 9)2 (n + 8)2 9. Tương tự 4A. Ta sẽ tìm được P= x−3 x2 10. Coi Q là đa thức bị chia, muốn tìm đa thức bị chia ta lấy đa thức thương nhân với đa thức chia nên Q = 4(2q + 3)(q + 1). Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 101

Website: tailieumontoan.com .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. 102 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

Website: tailieumontoan.com CHỦ ĐỀ 9. BIẾN ĐỐI CÁC BIỂU THỨC HỮU TỈ. GIÁ TRỊ CỦA PHÂN THỨC I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Biến đổi các biểu thức hữu tỉ - Biểu thức hữu tỉ là một phân thức hoặc biểu thị một dãy các phép toán: cộng, trừ, nhân chia trên những phân thức. - Biến đổi một hiểu thức hữu tỉ thành một phân thức nhờ các quy tắc của phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân thức đã học. 2. Giá trị của phân thức - Giá trị của một phân thức chỉ đuợc xác định với điều kiện giá trị của mẫu thức khác 0. - Chú ý: Biểu thức hữu tỉ có hai biến x và y thì giá trị của biểu thức đó chi đuợc xác định vói các cặp số (x;y) làm cho giá trị của mẫu thức khác 0. II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1. Biến đổi biểu thức hữu tỉ thành phân thức Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước: Bước 1. Sử dụng kết hợp các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia phân thức đại số đã học để biến đổi; Bước 2. Biến đổi cho tới khi được một phân thức có dạng A với A và B là các đa thức, B B khác đa thức 0. 1A. Biến đổi các biểu thức sau thành phân thức: 2+ 1 x≠ 1; x 2 a) A = 1 với x≠0 và 2 − x 1+ 4 B= a−2 b) 2a với a ≠ ±2. + 2a 1 + a2 + 4 1B. Đưa các biểu thức sau thành phân thức: y − 2 + 15 4 4y a) M= y+6−7 với y ≠ 0; y ≠ 3 và y ≠ 4; 2 y2 3b − 1 9b2 b) N= với b ≠ 0. 1 1 1 + 3b + 9b2 Dạng 2. Tìm điều kiện xác định của phân thức Phương pháp giải: Ta xác định các giá trị của biến để mẫu thức khác 0. 2A. Tìm x để giá trị của mỗi phân thức sau được xác định: a) 5x ; b) x 2 8 4 ; c) 4 2x +1 ; d) x − 2 . − x2 + 2x x3 − 27 2x + 6 2B. Tìm điều kiện xác định của mỗi phân thức sau: a) 4m ; b) 3n − 6 ; c) 3 ; d) 2u 2 3m − 8 n2 − 2n u3 − 3u + 2 . v2 + 5 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 103

Website: tailieumontoan.com Dạng 3. Thực hiện phép tính với các biểu thức hữu tỉ Phương pháp giải: Sử dụng kết hợp các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia phân thức đại số đã học để biến đổi. 3A. Thực hiện các phép tính sau: a) P =(4x2 −1)  1 − 1 −1 với x ≠ ± 1;  2x −1 2x +1 2 b) Q = x +3 3 − x2 + 69x + 9  :  3 9 + 3 1 x  với x≠0 và x ≠ ±3.   x2 − −  3B. Rút gọn các biểu thức sau: =a) A  4a + b + 4a − b  . a2 −16b2 với x ≠ 0 và x ≠ ±3.  a2 − 4ab a2 + 4ab  a2 + b2 b) B=  t t 2 + 1 :  − 3t 2  với t ≠ ±1 và t ≠ ±2.  + 1 4 − t2    4A. Cho biểu thức: P= x2 + 2x + x − 6 + 108 − 6x . 2x +12 x 2x(x + 6) a) Tìm điều kiện của biến x để giá trị của biểu thức đuợc xác định; b) Rút gọn phân thức; c) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng 3 ; 2 d) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng − 9 ; 2 e) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng 1. 4B. Cho phân thức x2 +10x + 25 . x+5 a) Với điều kiện nào của x thì giá trị của phân thức được xác định? b) Rút gọn phân thức; c) Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng 1; d) Có giá trị nào của x để giá trị của phân thức bằng 0 hay không? Dạng 4. Tìm x để giá trị của một phân thức đã cho thỏa mãn điêu kiện cho trước Phương pháp giải: Ta sử dụng các kiến thức sau: • A > 0 khi và chỉ khi A và B cùng dấu; B A > 0 khi và chỉ khi A và B trái dấu. B • Hằng đẳng thức đáng nhớ và chú ý a 2 ≥ 0 vói mọi giá trị của a . • Với a;b∈ Z và b ≠ 0 ta có: a ∈ Z ⇔ b ∈Ư (a). b 5A. Cho phân thức A = x + 2 với x ≠ 1. x −1 a) Tìm x để A > 1; b) Tìm x ∈ Z để A ∈ Z. 5B. Cho phân thức B = x2 − x + 2 với x ≠ 3. x−3 a) Tìm x để B > 0; b) Tìm x ∈ Z để B ∈ Z. 104 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

Website: tailieumontoan.com 6A. a) Tìm x để phân thức M = x2 8 đạt giá trị lớn nhất; − 4x +12 b) Tìm x để phân thức N = x2 −5 đạt giá trị nhỏ nhất. + 2x +11 6B. Cho biểu=thức C x2  x2 + 4 − 4  + 3. x− . x  2   a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức C; b) Rút gọn biểu thức C; c) Tìm x để C có giá trị nhỏ nhất. III. BÀI TẬP VỀ NHÀ 7. Đưa các biểu thức sau thành phân thức: 2a +1 a −3 a) A = 3 với a ≠ ±3; a2 −9 1− 6 b+3 b) B = b2 −10 với b ≠ ±3. 1 − b2 − 9 8. Biến đổi các biểu thức sau thành phân thức: 4 − 4n + n2 m m2 a) M = với m ≠ 0, n ≠ 0, n ≠ 2m; 1 −2 mn b) N= 1+ x với x ≠ −3. 3 1− x x+3 9. Tìm a để giá trị của mỗi phân thức sau được xác định: a) a2 −1 ; b) a2 2a +1 9 ; 9a2 −16 − 6a + c) 3a − 4 ; d) a +1 . 2a2 + 3a a3 − 4a2 + 3a 10. Tìm điều kiện xác định của mỗi phân thức sau: a) x − y ; b) u − 3v . x2 + 2y2 +1 (u −1)2 + (v + 2)2 11. Rút gọn biểu thức: a) P=  1 + 1 + 1  x2 + 4xy + 4y2  (x − 2y)2 − 4y2 + 2y)2  . 16x x2 (x b) Q = x2 + 81x +16 − x2 − 1 + 16  :  1 + x 1 4  . 8x   x+4 − 12. Rút gọn biểu thức: A= a2 + 2a + a − 5 + 50 − 5a . 2a +10 a 2a(a + 5) a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức A; b) Rút gọn biểu thức; c) Tính giá trị của biểu thức tại a = −1; d) Tìm giá trị của a để A = 0. Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 105

Website: tailieumontoan.com 13. Cho biểu thức sau: =D (x + 2)2 . 1 − x2  − x2 + 6x + 4 . x  x+2  x  a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức D; b) Rút gọn biểu thức D; c) Tìm giá trị x để D có giá trị lớn nhất.  x +12  x  14. a) Cho biểu thức E = .  x2 +1 2 1 + 1   x2 + x + 1  x  Chứng minh rằng: Giá trị của biểu thức E luôn bằng 1 với mọi giá trị x ≠ 0 và x ≠ −1; b) Cho biểu thức F=  x +1 + 3 − x+3 . 4x2 − 4.  2x − 2 x2 −1 2x + 2 5 Chứng minh rằng với những giá trị của x hàm F xác định thì giá trị của F không phụ thuộc vào x. 15. Cho biến thức sau: Q = 22xx2−+x82 − x3 − 2x2 4x − 8  . 2 + 1− x  . 2x2 +  x2 x  a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức Q; b) Rút gọn biểu thức Q; c) Tính giá trị của biểu thức Q khi x = 2017; d) Tìm x để biểu thức Q > 1 ; 2 e) Tìm x ∈ Z để giá trị biểu thức Q ∈ Z. 16. Cho biểu thức A= x2 − 3 + 2 . 2x a) Tìm x để A đạt giá trị lớn nhất; b) Tìm x để A ∈ Z. HƯỚNG DẪN 1A. =a) Ta có A 2=x +1 : 2x −1 2x +1 x x 2x −1 =b) Ta có B a=+ 2 : a2 + 4a + 4 a=+ 2 . a2 + 2a + 4 a2 + 2a + 4 a − 2 a2 + 2a + 4 a − 2 (a + 2)2 a2 − 4 =1B. a) Ta có M y=2 − 8y +15 : y2 − 7 y +12 y − 5 4 y 2 y 2( y − 4) b) Ta có N= 27b3 − 1 : 9b2 + 3b +=1 3b −1 9b2 9b2 2A. a) x ≠ -3. b)x ≠ ±2. c) x ≠0, x ≠ −1 d) x ≠ 3 2 2B. a) m ≠ 8 b) n ≠ 0 và n ≠ 2. c) v ∈  3 106 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

Website: tailieumontoan.com d) Chú ý: Biến đổi u3 - 3u + 2 = (u - 1)2 (u + 2). Từ đó tìm được điều kiện xác định là u ≠ -2 và u ≠ 1. 3A. a) Ta có P =(4x2 −1) (2x +1) − (2x −1) − (4x2 −1) =3 − 4x2 (2x +1)(2x −1) =b) Ta có Q =3x . (x + 3)(x − 3) 9 − 3x (x + 3) −x x+3 =3B. a) Ta có A =8(a2 + b2 ) . a2 −16b2 8 a(a2 −16b2 ) a2 + b2 a =b) Ta có B 2t=t++22 . 44−−4tt22 2−t 2 − 2t 4A. a) Tìm được x ≠ -6 và x ≠ 0. b) Gợi ý: x3 + 4x2 - 6x + 36 = (x + 6) (x2 - 2x + 6) Tìm được P = x2 − 2x + 6 2x c) Ta có P = 3 ⇔ x2 − 5x + 6 = 0 . Từ đó tìm được x = 2 hoặc x = 3 (TMĐK). 2 d) Tương tự câu c, tìm được x = -6 (KTM) hoặc x = -1 (TM) e) P = 1 ⇒ x2- - 4x + 6= 0 ⇔ (x- 2)2+ 2 = 0 (vô nghiệm) Vì (x - 2)2 + 2 ≥ 2 > 0 với mọi x. Do vậy x ∈∅. 4B. a) x ≠ -5. b) Ta có P= (x + 5)2= x + 5 x+5 c) Ta có P = 1 ⇔ x = -4 (TMĐK) d) Ta có P = 0 ⇔ x = -5 (loại). Do vậy x ∈∅. 5A. a) ta có A > 1 dẫn đến 3 > 0 ⇔ x > 1 (TMĐK) x −1 b) Ta có A= 1+ 3 nên A∈  ⇔ (x −1) nhận giá trị là Ư(8). Từ đó tìm được x −1 x ∈{−5; −1;1; 2; 4;5;7;11} 6A. a) Ta có x2 - 4x + 12 = (x - 2)2 + 8 ≥ 8 hay 1 ≤ 1 ⇒ N ≥ − 1 x2 + 2x +11 10 2 Giá trị nhỏ nhất của N = − 1 khi x = -1. 2 Chú ý: Ở bài 6A. Ta dựa vào lập luận. * Nếu M ≥ a ⇔ 1 ≤ 1 ; Ma * Nếu M ≤ a ⇔ 1 ≥ 1 ; Ma Với điều kiện cả M và a đều là các số dương, còn khi a < 0 thì không còn đúng nữa. 6B. a) x ≠ 0, x ≠ 2. b) Ta có C = x2 - 2x + 3. c) Ta có C = x2 - 2x + 3 = (x - 1)2 + 2 ≥ 2. Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của C = 2 khi x = 1. Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 107

Website: tailieumontoan.com 7. a) Ta có A = 3a − 3 . (a − 3)(a + 3) = a2 + 2a − 3 a−3 3 b) Ta có B= b − 3 : b 2 1 = (b − 3)2 b + 3 − 9 =8. a) Ta có M (=2mm−2 n)2 . n −m2nm (n − 2m)n m b) Ta có N =1 + x(x + 3) =x2 + 3x +1 33 3 9. a) a ≠ ± 4 b) a ≠ 3 3 c) a ≠ 0, a ≠ −3 d) a ≠ 0, a ≠ 1, a ≠ 3. 2 10. a) ∀x, y ∈  b) Chú ý: A2 + B2 ≥ 0 với ∀A, B . Dấu \"=\" xảy ra khi A= 0   B = 0 Từ đó tìm được điều kiện xác định là: u ≠ 1 và v ≠ -2. 11. a) Ta có P =4x2 . (x + 2 y)2 x (x − 2 y)2 (x + 2 y)2 16x 4(x − 2 y)2 Với x ≠ 0, x ≠ ± 2 y =b) Ta có Q (=x21−61x6)2 . x22−x16 8 với x ≠ 0, x ≠ ± 4 16 − x2 12. a) a ≠ 0, a ≠ − 5 b=) Ta có A a=3 + 4a2 − 5a a(=a −1)(a + 5) a −1 2a(a + 5) 2a(a + 5) 2 c) Thay a = -1 (TMĐK) vào a ta được A = -1 d) Ta có A = 0 ⇔ a = 1 (TMĐK) 13. a) x ≠ 0, x ≠ − 2 b) Ta có D = x2 - 2x - 2. c) Chú ý D = -x2 - 2x - 2 = -(x + 1)2 - 1 ≤ -1. Từ đó tìm được giá trị lớn nhất của D = -1 khi x = -1. 14. a) Rút gọn E ⇒ đpcm. b) Điều kiện xác định E là: x ≠ ±1 Rút gọn F ta thu được F = 4 ⇒ đpcm 15. a) x ≠ 2 và x ≠ 0 b) Rút gọn được Q = x +1 2x c) Thay x = 2017 (TMĐK) vào Q ta được Q = 1009 2017 d) Để Q > 1 , kết hợp với điều kiện ta được x > 0 và x ≠ 2. 2 e) Q =x +1 ⇒ 2Q =x +1 =1+ 1 2x x x Vì Q ∈  ⇒ 2Q ∈  ⇔ 1 ∈  ⇔ x ∈Ư(1). Ta kiểm tra lại: x 108 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

Website: tailieumontoan.com * x =1 ⇒ Q =1∈  (thỏa mãn) * x =−1 ⇒ Q =0 ∈  (thỏa mãn) Vậy x ∈{±1} 16. a) Tương tự 6A. ⇒Giá trị lớn nhất của A = 3 khi x = 1. b) Ta chứng minh được 0 < A ≤ 3 mà A ∈ ⇒ A ∈{1;2;3}. Ta có: * A =1⇒ x2 − 2x −1= 0 ⇒ x =1± 2 * A =2 ⇒ x2 − 2x + 1 =0 ⇒ x =1± 1 22 * A = 3 ⇒ x2 − 2x +1= 0 ⇒ x = 1 Vậy x ∈ 1± 2;1± 1 ;1  2 .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 109

Website: tailieumontoan.com .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. 110 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

Website: tailieumontoan.com ÔN TẬP CHUYÊN ĐỀ II (PHẦN I) I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Xem lại Tóm tắt lí thuyết từ Bài 1 đến Bài 9. II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN 1A. Tìm điều kiện của x để các phân thức sau xác định: a) 2x ; b) 1 x2 − 4x + 4 ; 2x −6 c) x ; d) 5 . 27x3 + 27x2 + 9x +1 4x − 3x 2 1B. Tìm điều kiện của biến để mỗi phân thức sau đây xác định. Khi đó chứng minh giá trị của phân thức luôn là hằng số: a) P = x2 − y2 ; (x + y)(3x − 3y) b) Q = 5kx − 5x − 3y + 3ky với k là hằng số khác − 3 . 25ks +15x + 9 y +15ky 5 2A. Tìm x, biết: a) x2 2x +1 4 − 2x + 5 =0 với x ≠ ±2; − 4x + x2 − 4 b) x 3 2 − 4x + x x 2 =0 với x ≠ ±2; − 4 − x2 + 2B. Với mỗi biểu thức sau, hãy tìm giá trị của y để giá trị tương ứng của biểu thức bằng 1: 1+ y2 + 4 a) M = 2 + 4 y với y ≠ −2 và y ≠ 0; y 1+ y2 − 7 y +1 với y ≠ −1và y ≠ 5 . b) N = 2− 7 2 y +1 3A. Tính giá trị của các biểu thức: a) A = 3m2 − 2m tại m = −8; 9m2 −12m + 4 b) B = n2 + 7n + 6 tại n = 1000001. n3 + 6n2 − n − 6 3B. Tìm giá trị nguyên của biến u để tại đó giá trị của mỗi biểu thức sau là một số nguyên: a) 3 với u ≠ 2; b) 3u2 − 2u +1 với u ≠ − 1 . 3u +1 3 u−2 4A. Chứng tỏ với x ≠ 0 và x ≠ ±a (a là một số nguyên), giá trị của biểu thức: P = a − xx2 ++ aa2 . 4a − 8a  x x−a  là một số chẵn. 4B. a) Với giả thiết là các biểu thức đều có nghĩa. Biến đổi mỗi biểu thức sau thành một phân thức đại số: Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 111

Website: tailieumontoan.com i) 1+ 1 ; ii) 1 + 1 1 ; iii) 1+ 1 ; 1+ 1 x 1+ 1+ 1 x x b) Em hãy dự đoán kết quả của phép biến đổi biểu thức 1+ 1 1 thành phân thức 1 1+ +1 1 + 1+ 1 1 x đại số và kiểm tra lại đoán đó. 5A. Cho phân thức T = t2 + 8t +16 t2 −16 . a) Với giá trị nào của t thì giá trị của phân thức được xác định ? b) Chứng tỏ phân thức rút gọn của phân thức đã cho là t + 4 . t−4 5B. Chứng tỏ mỗi cặp phân thức sau bằng nhau a) 2 và 2p+4 với p ≠ −2 và p≠ 5; 2p−5 2 p2 − p −10 , 2 b) 3 và 3q2 + 9 p , với q ≠ −3 và q ≠ −2. q+2 q3 + 5q2 + 6q III. BÀI TẬP VỀ NHÀ 6. Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định: a) 3x3 ; b) −4 x 2 ; − 1)( x 2 ( x + 2) 25 − 20x + 4x2 c) x2 − 9 d) x2 −9 x2 − 6x + 9 ; x2 + 6x + 9 . 2x x−3 7. Tìm a, biết: a) a + a =0 với a ≠ ±3; a2 − 9 (a + 3)2 b) a2 + 8 + 4 + a − 2 =0 với a ≠ −2. 2a 8. Tìm giá trị của y để giá trị của phân thức Y = 9y2 − 9y3 + y4 bằng: y3 − 3y2 a) -3; b) 5. 9. Tìm b nguyên để tại đó giá trị của mỗi biểu thức sau là một số nguyên: a) b với b ≠ −3; b) 2b3 − 4b2 +11b − 7 với b ≠ 4. b+3 b−4 112 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

Website: tailieumontoan.com HƯỚNG DẪN 1A.a a) Ta có phân thức 2x = x xác định ⇔ x ≠ 3 . 2x −6 x −3 b) Phân thức 1 =1 xác định ⇔ x≠2. x2 − 4x + 4 (x − 2)2 c) Phân thức x =x xác định ⇔ x ≠ −1 . 27x3 + 27x2 + 9x +1 (3x +1)2 3 d) Phân thức 5= 5 xác định ⇔ x ≠ 0 và x ≠ 4 4x − 3x2 x(4 − 3x) 3 1B. Tương tự 1A. Ta có: a) ĐKXĐ: x ≠ ± y . Khi đó, tìm được P = 1 3 =b) Ta có Q =5(k −1)x + 3(k −1) y (k −1)5x + 3y) 5(5k + 3)x + 3(5k + 3) y (5k + 3)(5x + 3y) ĐKXĐ của Q là 5x + 3y ≠ 0 Khi đó, giá trị của Q là A = k −1 là hằng số (do k là hằng số khác − 3) 5k + 3 5 2A. a) Biến đổi ta được (2x +1)(x + 2) − (2x + 5)(x − 2) =0 (x − 2)2 (x + 2) (x − 2)2 (x + 2) ⇔ (2x +1)(x + 2) − (2x + 5)(x − 2) =0 Giải ra ta được x = -3 (TMĐK) b) Biến đổi dđưa ề x2 + 5x + 6 = 0. Giải ra ta được x = -2 (KTMĐK) hoặc x = -3 (TMĐK) 2B. a) Đưa về y(y2 - 1) = 0. Giải ra ta đực y = 0 (KTMĐK) hoặc y = ±1 (TMĐK) b) Đưa về (y + 1)2 (y - 1) = 0. Giải ra ta được y = -1 (KTMĐK) hoặc y = 1 (TMĐK) 3A. a) Rút gọn ta được A = m 3m − 2 Thay m = -8 vào A được A = 4 13 b) Rút gọn ta được B = 1 n −1 Thay n = 1000001 vào B ta được: b = 10-6 3B. a) Tương tự 5A, 5B. Tìm được u ∈{±1;3;5} b) Ta có 3u2 − 2u −1= u −1 3u +1 Vậy với ∀u ∈  thì biểu thức có giá trị nguyên. 4A. Rút gọn được P = 4a. Do đó P là một số chẵn (vì a nguyên0 4B. a) i) x +1 x ii) 1+ 1 =1+ x =2x +1 1+ 1 x +1 x +1 x Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 113

Website: tailieumontoan.com iii) 1 + 1 =3x + 2 1 2x +1 1+ 1+ 1 x b) 8x + 5 5x + 3 5A. a) T xác định ⇔ t ≠ ±4. b) Phân tích tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn. 5B. a)=2 p + 4 =2( p + 2) 2 2 p2 − p −10 (2 p − 5)( p + 2) 2 p − 5 b) Tương tự câu a. 6. a) x ≠ 1. b) x ≠ 5 . c) x ≠ 0 và x ≠ 3 d) x ≠ ± 3 2 7. a) a ∈{−6;1} b) a = 0 8. ĐK: y ≠ 0 và y ≠ 3 . Ta có Y = y2 − 9 y + 9 y−3 a) Từ Y = -3 tìm được y = 0 (KTMĐK) hoặc y = 6 (TMĐK) b) Tìm được b ∈{−5; −4; −2; −1} b) Ta có 2b3 − 4b2 +11b − 7 = 2b2 + 4b + 27 + 101 b−4 b−4 Từ đó tìm được b ∈{−97;3;5;105} .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. 114 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

Website: tailieumontoan.com ÔN TẬP CHUYÊN II (PHẦN II) I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Xem phần Tóm tắt lý thuyết từ Bài 1 đến Bài 9. II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN 1A. Thực hiện các phép tính sau: a)  2 − 2  . x2 + 2 x +1 với x ≠ ±1;  −1 +1  8 x x b)  y3 4 + y 1 2  :  y− 2 − 2 y 4  với y≠0 và y ≠ ±2.  −4y +   y2 + 2y y+      1B. Chứng minh đẳng thức: a)  a2 − 3a − 27 − 6a2 − a3  . 1 − 2 − 3  =a +1 với a ≠ 0;3;  a2 + 9 9a + 3a2  a a2  a   b)  2 − 2 1. b +1 − 3 b − 3  : b −1 =6b với b ≠ 0; ±1.  5b + 5b 5 5  b 5(b − b 1) 2A. Cho biểu thức M =  x +1 + 3 − x+3  . x2 −1  2x − 2 x2 −1 2x + 2  . 15 a) Hãy tìm điều kiện của x để giá trị biểu thức được xác định; b) Chứng minh rằng biểu thức được xác định thì giá trị của nó không phụ thuộc vào giá trị của biến x. 2B. Tìm điều kiện của y để giá trị của biểu thức được xác định: 3y2 +1 a) y−3 ; b) 4 y . 2y −1 y−5 y+5 3A. a) Thay phân thức P = uv vào biểu thứ=c A uP − vP rồi rút gọn; u−v u+P v−P b) Thay hai phân thức P = 2mn và Q = 2mn vào biểu thức B= P2Q2 rồi rút gọn; m2 + n2 m2 + n2 P2 − Q2 3B. Chứng minh các biểu thức sau có giá trị không phụ thuộc vào biến: a− 3 a a2 − 3 ≠ 0; a) A= a2 + 2a +1 − 2a + 4 với a≠0 và aa b) B =2 − 2a3 − 2a .  a2 − a +1 − 1  với a ≠ ±1. a −1 a2 +1  2a a2 −1  4A. Tìm b nguyên để các biểu thức sau nhận giá trị nguyên: a) M = 3b2 − 4b −15 với b ≠ −2; b+2 b) N = b2 − b với b ≠ 3. b−3 4B. Chứng minh: a)  r + 2 2 :  r 2+ 4 + 4  2 + 1  =1 với mọi r ≠0 và r ≠ −2;  r   r2 +  r  r 2 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 115

Website: tailieumontoan.com b) r+2  r3 +  − 8r +7 > 0 với mọi r ≠ ±1. r −1 . r +1 2 r2 −1   5. Tìm giá trị nhỏ nhấ=t của P t2  t2 + 64 −16  + 17, với t ≠ 0 và t ≠ 8. . t  t − 8   III. BÀI TẬP VỀ NHÀ 6. Rút gọn các biểu thức sau: a) u 3 1 − u3 −u .  u 2 4 +4  với u ≠ ±1; − u2 +1  − 2u +1 1− u2  b)  1 3u + 2u  : 16u2 + 20u với u ≠ ± 1 .  − 4u 4u +1  1−16u +16u2 4 7. Chứng minh đẳng thức sau với v ≠ 0; ±1:  2 . 1 +1 + v2 1 + 1 .  1 + 1  1− v =v .  (v + 1)3 v + 2v v2 : v3 1− v 8. Biến đổi các biểu thức tỉ sau thành phân thức: m −m+2 m−2 m a) m −m−2 với m ≠ 0 và m ≠ ±2; m+2 m 3− 3 b) 5 m +1 với m ≠ −1 và m ≠ ±4. 16 − m2 m2 + 2m +1 9. Cho biểu thức: B=  x + 2 − 2 − x − 4x2  :  2 2 x − x + 3  .  2 − x x + 2 x2 − 4   − 2x − x2   a) Rút gọn biểu thức và tìm các giá trị của x để biểu thức xác định. b) Tìm các giá trị của x để B < 0. 10. Chứng minh giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến: 4p + 4 p +1 p −1 a) P= với p ≠ ±1; 2p+2 4p p −1 − p2 −1 b) Q = p2 −p 49 − p−7  2p−7 + p với p ≠ 0; ±7; 7 . p2 + 7 p : p2 + 7 p 7− p 2  11. Chứng tỏ: a) 3q − q2 + 3q  3q + 9 − 3q 9  =3 với mọi q ≠ 0; − 3 ; ±3; q−3 2q + 3 . q2 − 3q q2 −  2   b) 1− q2 .  q2 −  + 3q2 −14q + 3 <0 với mọi q ≠0 và q ≠ −3. 2q  q+ 1 2q2 + 6q  3  (r + 2)2  r2  r 2 +10r + 4 , r 1 +  r 12. Tìm giá trị lớn nhất của=Q .  − r 2  − với r ≠ −2 và r ≠ 0. 116 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

Website: tailieumontoan.com HƯỚNG DẪN 1A. a) Quy đồng mẫu thức và sử dụng hằng đẳng thức rồi rút gọn thu được x +1 2(x −1) b) Tương tự a) thu được 2 2− y 1B. Tương tự 1A, thực hiện phép tính đối với vế trái của mỗi đẳng thức. 2A. a) Tìm mẫu thức chung rồi xét mẫu thức chung khác 0 rút được x ≠ ±1. b) Thực hiện phép tính để thu gọn M chúng ta có M = 1 3 2B. a) y ≠ − 5; 1 b) y ≠ 0;5 2 3A. a) Thay phân thức P vào biểu thức A rồi rút gọn chúng ta thu được A= u + v với điều kiện các biểu thức có nghĩa. b) Tương tự a) ta có B = 1. 3B. a) A = 1 b) B = -2. 4A. a) Ta có M = (b + 2)(3b −10) + 5 = 3b −10 + 5 . Ta có, với b nguyên thì M nhận giá b+2 b+2 trị nguyên khi và chỉ khi b + 2 nhận giá trị ước của 5. Đáp số: b ∈{−7; − 3; −1; 3} b) Tương tự, ta có b ∈{−3;0; 1; 2; 4; 5; 6;9} 4B. a) HS tự làm. b) Thực hiện phép tính, rút gọn vế trái chúng ta thu được = r2 + 2r + 3 = (r + 1)2 + 2 > 0 với mọi r ≠ ±1. 5. P= t2 - 8t + 17 = (t - 4)2 + 1 Vậy P nhỏ nhất = 1. Dấu \"=\" xảy ra khi và chỉ khi t = 4. 6. a) 3u2 − 8u + 3 b) = 1− 4u (u2 +1)(u −1) 4(4u +1) 7. Biến đổi vế trái chúng ta thu được vế phải. m − m+2 m+ 2 m− 2 8. a) m−2 m = m m−2 m+2 m b) 3− 3 3m −12 5 m+1 = 5(m −1) = − 3(m +1) 16 − m2 16 − m2 5(m + 4) m2 + 2m +1 (m +1)2 9. a) Rút gọn thu được =B =4x(2 + x) : x − 3 4x2 với x ≠ ± 2; x ≠ 0; x ≠ 3 (2 − x)(2 + x) x(2 − x) x − 3 b) 4x2 < 0 ⇔ x − 3 < 0 ⇔ x < 3; x−3 Kết hợp điều kiện được 0 < x < 3; x ≠ ±2. 10. a) p = 2 b) Q= -1 11. a) HS tự làm Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 117

Website: tailieumontoan.com b) 1− q2 .  q2 3 −  + 3q2 −=14q + 3 −(q − 2)2 −1 < 0 với mọi q ≠ 0 và q ≠ − 3. 2q  q+ 1 2q2 + 6q  2  1. Q = -r2 - 2r - 6 = - (r + 1)2 - 5 Từ đó kết luận giá trị lớn nhất của Q là -5 tại r = -1. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. 118 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

Website: tailieumontoan.com ĐỀ KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ II Thời gian làm bài cho mỗi đề là 45 phút ĐỀ SỐ 1 PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (4 ĐIỂM) Khoanh vào câu trả lời đúng trong các câu sau: Câu 1. Biểu thức nào sau đây không phải là phân thức đại số? A. 2 . B. x . C. x2 – 4. D. x +1. x x +1 0 Câu 2. Rút gọn phân thức 4x3 y ta được kết quả là: 6x2 y4 A. 4 . B. 2x C. 2 xy3. D. x3 y 3y3 . x2 y4 . 6 3 Câu 3. Mẫu thức chung của các phân thức: x +1 x −1 2 là: x −1 , x +1, (x −1)2 A. x – 1. B. x + 1 C. (x – 1)2(x + 1). D. (x – 1)2. Câu 4. Phân thức nào sau đây là phân thức 2 − x ? 3x A. x + 2 . B. x − 2 . C. x − 2 . D. − x − 2 . 3x 3x x 3x Câu 5. Kết quả của phép tính x + 2 y − x − 2 y là: x−2y x+2y A. 8xy . B. 4xy . x2 − 4y2 x2 − 4y2 C. 8xy . D. 1. x2 − y2 Câu 6. Phép chia 2x3 : 4 x2 có kết quả là: 15 y2 5 y3 A. 1 xy. B. 8x5 . C. x . D. 6xy 75 y5 6 6y Câu 7. Cho đẳng thức: x3 − x2 = ... . Điền đa thức thích hợp để được đẳng thức đúng: x2 − 2x x−2 A. x – 1. B. x2. C. x2 – x D. x3 – x. Câu 8. Tìm x nguyên dương để biểu thức 3 nhận giá trị nguyên. x−2 A. x ∈{2;3;5}. B. x ∈{1; 2;3;5}. C. x ∈{−1;1;3;5}. D. x ∈{1;3;5}. PHẦN II. TỰ LUẬN (6 ĐIỂM) Bài 1. (3,0 điểm) a) Thực hiện phép tính: 6x − 9 ; với x ≠ 3 . 2x −3 2x −3 2 b) Thực hiện phép tính: x−6 + 3, với x ≠ 0; x ≠ 3. 3x − 9 x2 − 3x Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 119

Website: tailieumontoan.com c) Biến đổi biểu thức sau thành một phân thức: A= 3 + 3 3 , với x ≠ 0; x ≠ 1. + 3 x Bài 2. (2,5 điểm) Cho biểu thức M = a3 + 4a2 + 4a a3 − 4a . a) Xác định giá trị của a để biểu thức M có nghĩa. b) Rút gọn biểu thức M. c) Tìm giá trị của a để M = -3. Bài 3. (0,5 điểm) Cho hai số x và y thỏa mãn 4x2 – 4xy + y2 = 0 và x khác y. Tính giá trị biểu thức P = x + y . x− y HƯỚNG DẪN PHẦN I. TRẮC NGHIỆM Câu 1. D Câu 2. B Câu 3. C Câu 4. B Câu 5. A Câu 6. A Câu 7. C Câu 8. D PHẦN II. TỰ LUẬN Bài 1. a) Rút gọn thu được kết quả: 3; b) Ta có MC = 3x (x - 3) Thực hiện tính toán thu được kết quả: x2 − 6x + 9 = ( x − 3) 3x(x − 3) 3x c) Trước tiên biế=n đổi: 3 + 3 3(xx=+1) ; 3(x3+1) x x +1 x x Thay vào A và thu gọn ta được A = 4x + 3 x Bài 2.a) M có nghĩa khi a3 - 4a ≠ 0 ⇔ a ≠ {0; ±2} b) Rút gọn th=u được: M a=(a2 + 4a + 4) a+2 a(a2 − 4) a−2 c) M =−3 ⇔ a + 2 =−3 ⇔ a =1 (TMĐK) a−2 Bài 3. Biến đổi: 4x2 − 4xy + y2 =0 ⇔ (2x − y)2 =0 ⇔ 2x =y Thay y = 2x vào P ta được: .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. 120 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

Website: tailieumontoan.com ĐỀ SỐ 2 PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (4 ĐIỂM) Khoanh vào câu trả lời đúng trong các câu sau: Câu 1. Phân thức nghịch đảo của phân thức 2 là: 3x −1 A. 3x −1. B. 1− 3x . C. −2 . D. 2 . 2 2 3x −1 1− 3x Câu 2. Rút gọn phân thức 3ab + 9b ta được kết quả là: 4ab2 +12b2 A. 3 . B. 3ab . C. 3b . D. 3 . 4 4ab2 4 4b Câu 3. Điều kiện xác định của phân thức x là: x2 − 36 A. x ≠ 0. B. x ≠ −6 và x ≠ 6. C. x ≠ −36 và x ≠ 36. D. x ≠ 0 và x ≠ ±6. Câu 4. Biểu thức nào sau đây không là phân thức đại số? A. x −1 . B. x + y . C. x 1 . D. 2 . −1 0 3x − 3x 2x −3 + x +1 x +1 3x2 6x Câu 5. Kết quả của phép tính là: A. 5x − 5 . B. x2 + 3x − 3 C. x2 + 5x − 6 D. 3x − 2 . 6x2 . 6x2 . 3x2 + 6x 6x Câu 6. Phép chia 4a2 : 6a : 2a có kết quả là: 7b2 7b 3b A. a . B. 1. C. 2a . D. a4 . b 7b b4 Câu 7. Phân thức x2 + 2x bằng với phân thức nào sau đây? x3 + 8 A. x+2 B. x+2 C. x D. x x2 +8. x2 − 2x + 4 . x2 + 2x + 4. x2 − 2x + 4. Câu 8. Với giá trị của x thì phân thức x2 − 2x − 3 có giá trị bằng 0? x2 −1 A. x = −1. B. x = −1 hoặc x = 1. C. x = 3. D. x = −1 hoặc x = 3. PHẦN II. TỰ LUẬN (6 ĐIỂM) Bài 1. (2,5 điểm) Rút gọn biểu thức: a) M = 1+ x 2 2 − 2x 4 , với x ≠ ±2; x+2 − x2 − b) N = x2 + 5x + 6 : x2 + 4x + 4 , với x ≠ 0; −4; 2;3. x2 + x −12 x2 − 3x Bài 2. (3,0 điểm) Cho biểu thức: =A  a2 − 2 + 4 + a2 3  : a2 + 5 − 4 , với a ≠1 và a ≠ ±4.  5a −16  3a a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị biểu thức A khi a = 5. c) Tìm a nguyên để biểu thức A nhận giá trị nguyên. Bài 3. (0,5 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x2 2017 . − 6x +10 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 121

Website: tailieumontoan.com HƯỚNG DẪN PHẦN I. TRẮC NGHIỆM Câu 1. A Câu 5. C Câu 2. D Câu 6. B Câu 3. B Câu 7. D Câu 4. B Câu 8. C PHẦN II. TỰ LUẬN Bài 1.a) MTC = (x -2)(x + 2). Ta rút gọn được M = 1 x−2 b) Gợi ý: x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3); x2 + x −12 = (x − 3)(x + 4) =Ta có N (=x + 2)(x + 3) : (x + 2)2 x(x + 3) (x − 3)(x + 4) x(x − 3) (x + 2)(x + 4) Bài 2. a) Gợi ý: a2 − 5a + 4 = (a −1)(a − 4); a2 + 3a − 4 = (a −1)(a + 4) Ta rút gọn được A = a +1 a−4 b) Thay a = 5 vào biểu thức A tìm được A = 6 c) Ta biến đổi A= a +1 = 1+ 5 a−4 a−4 ⇒ A∈  ⇒ a ∈{−1;3;5;9} Bài 3. Chú ý: x2 − 6x +10 = (x − 3)2 +1 ≥ 1 ∀x . .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. 122 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

Website: tailieumontoan.com PHẦN B. HÌNH HỌC CHUYÊN ĐỀ I. TỨ GIÁC CHỦ ĐỀ 1. TỨ GIÁC I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT * Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD và DA; trong đó bất kỳ hai đoạn thẳng nào cũng không nằm trên một đường thẳng. * Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng mà bờ là đường thẳng chứa bất kỳ cạnh nào của tứ giác. * Chú ý: Khi nói đến tứ giác mà không chú thích gì thêm, ta hiểu đó là tứ giác lồi. a) Tứ giác lồi b) Tứ giác không lồi a) Tứ giác không lồi b) Không phải tứ giác * Định lý: Tổng các góc của một tứ giác bằng 3600. * Mở rộng: Tổng bốn góc ngoài ở bốn đỉnh của một tứ giác bằng 3600. II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1. Tính số đo góc Phương pháp giải: Sử dụng định lý tổng bốn góc trong một tứ giác. Kết hợp các kiến thức đã học về tính chất dãy tỉ số bằng nhau, toán tổng hiệu... để tính ra số đo các góc. 1A. Cho tứ giác ABCD biết A : B : C : D = 4 : 3 : 2 : 1 . a) Tính các góc của tứ giác ABCD. b) Các tia phân giác của C và D cắt nhau tại E. Các đường phân giác của góc ngoài tại các đỉnh C và D cắt nhau tại F. Tính CED và CFD. 1B. Tính số đo các góc C và D của tứ giác ABCD biết A = 120°, B = 90° và C = 2D. Dạng 2. Tìm mối liên hệ giữa các cạnh, đường chéo của tứ giác Phương pháp giải: Có thể chia tứ giác thành các tam giác để sử dụng bất đẳng thức tam giác. Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 123

Website: tailieumontoan.com 2A. Cho tứ giác ABCD. Chứng minh: a) Tổng hai cạnh đối nhỏ hơn tổng hai đường chéo; b) Tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy. 2B. Cho tứ giác ABCD và một điểm M thuộc miền trong của tứ giác. Chứng minh: a) MA + MB + MC + M D ≥ A B + CD; b) MA + MB + MC + MD ≥ 1 (AB + BC + CD + DA). 2 III. BÀI TẬP VỀ NHÀ 3. Cho tứ giác ABCD có AB = AD, CB = CD (ta gọi tứ giác ABCD trong trường hợp này là tứ giác có hình cánh diêu). a) Chứng minh AC là đường trung trực của BD. b) Tính B, D biết A = 100°, C = 60°. 4. Tứ giác ABCD có A − B =500. Các tia phân giác của C, D cắt nhau tại I và CID = 1150. Tính các góc A, B . 5. a) Chứng minh trong một tứ giác có hai đường chéo vuông góc, tổng bình phương của hai cạnh đối này bằng tổng các bình phương của hai cạnh đối kia. b) Tứ giác ABCD có AC vuông góc với BD. Biết AD = 5cm, AB = 2 cm, BC = 10 cm. Tính độ dài CD. 6. Cho tứ giác ABCD có A = B và BC = AD. Chứng minh: a) ∆DAB = ∆CBA, từ đó suy ra BD = AC; b) ADC = BCD; c) AB // CD. 7. Cho tứ giác ABCD, AB Cắt CD tại E, BC cắt AD tại F. Các tia phân giác của E và F cắt nhau tại I. Chứng minh a) EIF = ABC + ADC ; 2 b) Nếu BAD = 1300 và BCD = 500 thì IE ⊥ IF. HƯỚNG DẪN 1A. a) Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau. =A 14=40 , B 10=80 ,C 7=20 , D 360 b) Sử dụng tổng ba góc trong tam giác tính được CED = 1260 . Chú ý hai phân giác trong và ngoài tại mỗi góc của một tam giác thì vuông góc nhau, cùng với tổng bốn góc trong tứ giác, ta tính được CFD = 540 1B. HS tự chứng minh: =D 5=00 , C 1000 2A. a) Sử dụng tính chất tổng hai cạnh trong một tam giác thì lớn hơn cạnh còn lại cho các tam giác 124 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

Website: tailieumontoan.com OAB, OBC,OCD và ODA. b) Chứng minh tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi tứ giác sử dụng kết quả của a). Chứng minh tổng hai đường chéo nhỏ hơn chu vi tứ giác sử dụng tính chất tổng hai cạnh trong một tam giác thì lớn hơn cạnh còn lại cho các tam giác ABC, ADC, ABD và CBD. 2B. a) HS tự chứng minh b) Tương tự 2A a) 3. a) HS tự chứng minh b) Sử dụng tổng bốn góc trong tứ giác và chú ý B = D 4. Tính tổng C + D 5. a) Sử dụng Pytago b) Áp dụng a) 6. a) HS tự chứng minh b) HS tự chứng minh c) Sử dụng a), b) và tổng bốn góc trong tứ giác 7) a) Gọi IF ∩ CD ={N} Theo định lý về góc ngoài của tam giác NIE có F=IE FNE + E ; 2 DNF có FNE= D + E ; 2 Vậy FIF= D + E + F (1) . 2 ∆ADE có E = 1800 − (D + A1); DFC có F = 1800 − (D + C1); ⇒ E + F= 3600 − (2D + A1 + C1) = A1 + B1 + C1 + D − (2D + A1 + C1) = B1 − D; Thay vào (1) được EIF =D + B1 − D =D + B1 (ĐPCM) 22 b) Áp dụng a). .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 125

Website: tailieumontoan.com .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. 126 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

Website: tailieumontoan.com .............................................................................................................................................................................................. CHỦ ĐỀ 2. HÌNH THANG I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT * Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song. Hình thang ABCD (AB // CD): AB: đáy nhỏ CD: đáy lớn AD, BC: cạnh bên. * Nhận xét: - Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau. - Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và bằng nhau. Hình thang ABCD (AB // CD): AD//BC ⇒ AD = BC; AB = CD AB = CD ⇒ AD // BC; AD = BC. * Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông. II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1. Tính số đo góc Phương pháp giải: Sử dụng tính chất hai đường thẳng song song và tổng bốn góc của một tứ giác. Kết hợp các kiến thức đã học và tính chất dãy tỉ số bằng nhau, toán tổng hiệu … để tính ra số đo các góc. 1A. Cho hình thang ABCD (AB//CD) có D = 600. a) Tính chất B b) Biết D = 4 . Tính B và C. 5 1B. Cho hình thang ABCD (AB//CD) có A −=D 200,=B 2C. Tính các góc của hình thang. Dạng 2. Chứng minh hình thang, hình thang vuông Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa hình thang, hình thang vuông. 2A. Tứ giác ABCD có BC = CD và DB là tia phân giác D . Chứng minh rằng ABCD là hình thang và chỉ rõ cạnh đáy và cạnh bên của hình thang. 2B. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Vẽ về phái ngoài tam giác ACD vuông cân tại D. Tứ giácABCD là hình gì ? Vì sao? Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 127

Website: tailieumontoan.com Dạng 3. Chứng minh mối liên hệ giữa các cạnh, tính diện tích của hình thang, hình thang vuông 3A. Cho hình thang ABCD (AB//CD, AB < CD) hai tia phân giác của B và C cắt nhau ở I. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, CD lần lượt ở E và F. a) Tìm các hình thang. b) Chứng minh rằng tam giác BEI cân ở E và tam giác IFC cân ở F. c) Chứng minh EF = BE + CF. 3B. Cho hình thang vuông ABCD có A= D= 900 , AB = AD = 2 cm, DC = 4 cm và BH vuông góc với CD tại H. a) Chứng minh ∆ABD = ∆HDB. b) Chứng minh tam giác BHC vuông cân tại H. c) Tính diện tích hình thang ABCD. III. BÀI TẬP VỀ NHÀ 4. Tính các góc của hình thang ABCD (AB//CD) biết rằng: có=A 1 D, B −=C 500. 3 5. Cho hình thang ABCD (AB//CD) c=ó A 3=D, B C, AB = 3cm, CD = 4 cm. Tính đường cao AH của hình thang và tính diện tích hình thang. 6. Cho hình thang ABCD (AB//CD ) có CD = AD + BC. Gọi K là điểm thuộc đáy CD sao cho KD = AD. Chứng minh rằng: a) AK là tia phân giác cùa A ; b) KC = BC; c) BK là tia phân giác của B . 7. Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB = 4 cm. Vẽ về phía ngoài tam giác ACD vuông cân tại D. Tính diện tích tứ giác ABCD. HƯỚNG DẪN 1A. a) HS tự làm> Tìm được  = 1200 b) HS tự làm. Tìm được B = 480 và C = 1320 1B. Chú ý A, D và B, C là các cặp góc trong cùng phía. A = 1000 , D = 800 , B = 1200 , C = 600 2A. Chú ý tam giác CBD cân tại C. Khi đó cùng với DB là phân giác góc S ta chứng minh được ADB = CBD . 2B.HS tự chứng minh tứ giác ABCD là hình thang vuông. 3A.a) HS tự tìm b) Sử dụng các cặp góc so le trong của hai đường thẳng song song và tính chất tia phân giác. c) Suy ra từ b) 128 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

Website: tailieumontoan.com 3B. HS tự chứng minh. 4. Tương tự 1B. Ta tính đư=ợc A 4=50, D 13=50, B 11=50, C 650 5. Tương tự 1B. Tính được số đo củ=a A 13=50, B 9=00, C 9=00, D 450 , từ đó suy ra ABCD là hình thang vuông ⇒ BC ⊥ DC . Vận dụng nhận xét hình thang ABCH (AB//CH) có hai cạnh bên song song thì hai cạnh đáy bằng nhau, để tính được CH = 3cm, từ đó suy ra DH = 1cm. Chứng minh được ∆AHD vuông cân tại H ⇒ AH = 1cm ⇒ diện tích hình thang ABCD là 3,5cm2 6. a) Sử dụng các cặp góc so le trong và tính chất tam giác cân. b) HS tự chứng minh. c) Tương tự a). 7. Tương tự 2B. Ta chứng minh được ABCD là hình thang vuông. Từ đó tính được diện tích ABCD là: S ABCD = sABC + sACD = 1 AC.AB + 1 CA.DH = 1 .4.4 + 1 .4.2 =12cm2 2 2 2 2 (Với DH là đường cao tam giác ACD) .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 129

Website: tailieumontoan.com .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. 130 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

Website: tailieumontoan.com CHỦ ĐỀ 3. HÌNH THANG CÂN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Khái niệm Hình thang cân là hình thang có AB hai góc kề một đáy bằng nhau. 2. Tính chất - Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau. DC - Trong hình thang cân, hai đuờng chéo bằng nhau. 3. Dấu hiệu nhận biết - Hình thang có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau là hình thang cân. - Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân. Chú ý: Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau không phải luôn là hình thang cân. II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1. Tính số đo góc, độ dài cạnh và diện tích hình thang cân Phương pháp giải: Sử dụng tính chất hình thang cân về cạnh góc, đường chéo và công thức tính diện tích hình thang để tính toán. 1A. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có A = 2C . Tính các góc của hình thang cân. 1B. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có A = 3D . Tính các góc của hình thang cân. 2A. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có AH và BK là hai đường cao của hình thang. a) Chứng minh DH = CD − AB . 2 b) Biết AB = 6 cm, CD = 14 cm, AD = 5 cm, tính DH, AH và diện tích hình thang cân ABCD. 2B. Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) có A= B= 600 , AB = 4,5cm; AD = BC = 2 cm. Tính độ dài đáy CD và diện tích hình thang cân ABCD. Dạng 2. Chứng minh hình thang cân Phương pháp giải: Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình thang cân. 3A. Cho tam giác ABC cân tại A có BD và CE là hai đường trung tuyến của tam giác. Chứng minh BCDE là hình thang cân. 3B. Cho tam giác ABC cân tại A có BH và CK là hai đường cao của tam giác. Chứng minh BCHK là hình thang cân. Dạng 3. Chứng minh các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau trong hình thang cân 4A. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD ). Gọi O là giao điểm của AD và BC; Gọi E là giao điểm của AC và BD. Chứng minh: a) Tam giác AOB cân tại O; b) Các tam giác ABD và BAC bằng nhau; c) EC = ED; d) OE là trung trực chung của AB và CD. 4B. Cho tam giác ABC cân tại A và điểm M tùy ý nằm trong tam giác. Kẻ tia Mx song song vói BC cắt AB ở D, tia My song song với AC cắt BC ỏ E. Chứng minh DM=E 900 + A . 2 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 131

Website: tailieumontoan.com III. BÀI TẬP VỀ NHÀ 5. Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB bằng cạnh bên BC. Chứng minh CA là tia phân giác của BCD. 6. Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) có E và F lần lượt là trung điểm hai đáy AB và CD. Chứng minh EF vuông góc với AB. 7. Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) có hai đường chéo vuông góc với nhau. Chứng minh chiều cao của hình thang cân bằng nửa tổng độ dài hai cạnh đáy. 8. Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) có đường chéo BD vuông góc với cạnh bên BC và đồng thời DB là tia phân giác của ADC. a) Tính các góc của hình thang cân ABCD. b) Biết BC = 6 cm, tính chu vi và diện tích của hình thang cân ABCD. HƯỚNG DẪN 1A. Ta có A + D =1800 và =A 2=C 2D Suy ra C= D= 600, A= B= 1200 1B. Tương tự bài 1A. Ta có: C= D= 450, A= B= 1350 2A. a) Chứng minh ∆ADH = ∆BCK (ch-gnh) ⇒ DH = CK Vận dụng nhận xét hình thang ABKH (AB//KH) có AH//BK ⇒ AB = HK b) Vậy DH = CD − AB 2 c) DH = 4cm, AH = 3cm; SABCD = 30cm2 2B. Hạ CH và DK vuông góc với AB Ta có: A=K B=H 1 A=D 1cm 2 Từ đó: CD = 2,5cm CH = 3cm =S ABCD (=AB + CD).CD 7 3 cm2 2 2 3A. Sử dụng tính chất đường trung bình, ta chứng minh được DE//BC. 3B. Chứng minh ∆BKC = ∆CHB (ch-gnh) Suy ra CK = BH & AK = AH. Từ=đó AKH 1=800 − KAH ABC hay KH / /BC. 2 132 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

Website: tailieumontoan.com 4A. a) OAB = OBA suy ra ∆OAB cân tại O. b) HS tự chứng minh. c) ADB = BCA , suy ra EDC = ECD hay ∆ECD cân tại E. d) ta có: OA = OB, EA = EB, suy ra OE là đường trung trực của đoạn AB. Tương tự có OE cũng là đường trung trực của đoạn CD. Vậy OE là đường trung trực chung của AB và CD. 4B. Do MD / /BC ⇒ DME + MEB =1800 Suy ra DM=E 1800 − MEB =1800 − ACB =900 + A 2 5. Chứng minh: A=CB C=AB DCA . Suy ra CA là tia phân giác của BCD 6. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh: OE ⊥ AB. Tương tự, có OF ⊥ CD. Suy ra OF ⊥ AB. Vậy EF ⊥ AB. 7. Xét hình thang ABCD có các đường cao AH và BK. Từ A kẻ đường thẳng song song với BD cắt CD ở E ⇒ AB = ED. Chứng minh ACH = 450 . Do ∆EAC vuông cân ở A nên A=H C=H E=H AB + CD 2 a) ∆DBC vuông có BCD = 2BDC nên A=DC B=CD 600 và D=AB C=BA 1200 b) Tính được DC = 2.BC = 12cm, suy ra PABCD = 30cm. Hạ đường cao BK, ta có BK = 3 3cm . Vậy SABCD = 27 3cm2 .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 133

Website: tailieumontoan.com .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. 134 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

Website: tailieumontoan.com CHỦ ĐỀ 4. ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Đường trung bình của tam giác * Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác. * Định lí 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba. * Định lí 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy. 2. Đường trung bình của hình thang * Định nghĩa: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang. * Định lí 3: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song vói hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai. * Định lí 4: Đường trung bình của hình thang song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy. II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1. Sử dụng định nghĩa và định lí về đường trung bìn của tam giác để chứng minh Phương pháp giải: Sử dụng Định nghĩa đường trung bình của tam giác, Định lí 1, Định lí 2 để suy ra điều cân chứng minh. 1A. Cho tam giác ABC cân tại A, có M là trung điểm của BC. Kẻ tií Mx song song với AC cắt AB tại E và tia My song song với AB cắt AC tại F. Chứng minh: a) EF là đường trung bình của tam giác ABC; b) AM là đường trung trực của EF. 1B. Cho tam giác ABC, có AM là trung tuyến ứng với BC. Trên cạnh AB lấy điểm D và E sao cho AD = DE = EB. Đoạn CD cắt AM tại I. Chứng minh: a) EM song song vói DC; b) I là trung điểm của AM; c) DC = 4DI. Dạng 2. Sử dụng định nghĩa và định lí về đường trung bình của hình thang để chứng minh Phương pháp giải: Sử dụng Định nghĩa đường trung bình của hình thang, Định lí 3, Định lí 4 để suy ra điều cần chứng minh. 2A. Cho hình thang vuông ABCD tại A và D. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC. Chứng minh: b) BAF = CDF. a) ∆AFD cân tại F; 2B. Cho hình thang ABCD (AB//CD). Các đường phân giác ngoài của A và D cắt nhau tại E, các đường phân giác ngoài của B và C cắt nhau tại F. Chứng minh: a) EF song song với AB và CD; b) EF có độ dài bằng nửa chu vi hình thang ABCD. Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 135

Website: tailieumontoan.com Dạng 3. Sử dụng phối hợp đường trung bình của tam giác và đường trung bình của hình thang đê chứng minh Phương pháp giải: Sử dụng Định nghĩa đường trung bình của tam giác, Định nghĩa đường trung bình của hình thang và các Định lí : 1, 2, 3, 4 để suy ra điều cần chứng minh. 3A. Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AD, BD, AC, BC. Chứng minh: a) M, N, P, Q cùng nằm trên một đường thẳng; b) NP = 1 DC − AB . 2 3B. Cho hình thang ABCD (AB//CD) với AB = a, BC = b, CD = c và DA = d. Các tia phân giác của góc A và góc D cắt nhau tại E, các tia phân giác của B và C cắt nhau tại F. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AD và BC. a) Chứng minh M, E, N, F cùng nằm trên một đường thẳng. b) Tính độ dài MN, MF, FN theo a, b, c, d. III. BÀI TẬP VỀ NHÀ 4. Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Từ H kẻ tia Hx vuông góc với AB tại P và tia Hy vuông góc vói AC tại Q. Trên các tia Hx, Hy lần lượt lấy các điếm D và E sao cho PH = PD, QH = QE. Chứng minh: a) A là trung điểm của DE; b) PQ = 1 DE; 2 c) PQ = AH. 5. Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến ứng vói BC. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = 1 C. Kẻ Mx song song với BD và cắt AC tại E. Đoạn BD cắt AM tại I. 2 Chứng minh: a) AD = DE = EC; b) SAIB = SIBM; C)SABC = 2SIBC. 6. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của AD, BC, AC. a) Chứng minh EK song song với CD, FK song song với AB. b) So sánh EF và 1 ( AB + CD). 2 c) Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để ba điểm E, F, K thẳng hàng. Từ đó chứng minh EF = 1 (AB + CD). 2 7. Cho tứ giác ABCD. Có G là trung điểm của đoạn nối các trung điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi m là một đường thẳng không cắt cạnh nào của hình thang ABCD; Gọi A', B', C’, D’, G' lần lượt là hình chiếu của A, B, C, D, G lên đường thẳng m. Chứng minh GG' = 1 (AA'+BB'+CC'+DD’). 2 136 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

Website: tailieumontoan.com HƯỚNG DẪN 1a. a) Mx đi qua trung điểm M của BC và song song với AC. Suy ra Mx đi qua trung điểm E của AB (theo Định lí 1). Tương tự, ta được F cũng là trung điểm của AC. Khi đó EF trở thành đường trung bình của tam giác ABC; b) Do ME và MF cũng là đường trung bình nên có ME = MF = AE = AF. Suy ra AM là đường trung trực của EF. 1B. a) Ta có EM là đường trung bình của tam giác BCD ⇒ ĐPCM. b) DC đi qua trung điểm D của AE và song song với EM ⇒ DC đi qua trung điểm I của AM. c) Vì DI là đường trung bình của tam giác AEM nên DI = 1 EM.(1) 2 Tương tự, ta được: EM = 1 DC (2) 2 Từ (1) và (2) ⇒ DC = 4DI 2A. a) Ta có È là đường trung bình của hình thang ABCD. ⇒ EF//AB. Suy ra EF ⊥ AD Khi đó EF vừa trung tuyến, vừa là đường cao của tam giác AFD ⇒ ĐPCM. b) Tam giác AFD cân tại F nên EAF = EDF Suy ra FAB = CDF 2B. a) Gọi M và N lần lượt là giao điểm của AE, BF với CD. Ta có: ADE = 1 D ngoài, DAE = 1 A ngoài. 22 Mà A ngoài + D ngoài = 1800 (do AB//CD) ⇒ ADE + DAE =900 , tức là tam giác ADE vuông tại E. Khi đó, tam giác ADM cân tại D (do có DE vừa là đường phân giác, vừa là đường cao) và E là trung điểm của AM. Chứng minh tương tự, ta được F olaf trung điểm của BN. Từ khó, suy ra EF là đường trung bình của hình thang ABNM và ta được ĐPCM Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 137

Website: tailieumontoan.com b) Từ ý a), EF= 1 (AB + BC + CD + DA) 2 Lưu ý: Có thể sử dụng tính chất đường phân giác để chứng minh. 3A. a) Ta có MN là đường trung bình của tam giác ABD ⇒ MN / / AB Tương tự, ta được MP//CD và MQ//AB, CD. Như vậy, MN, MP, MQ cùng song song AB ⇒ ĐPCM. b) Ta có: 1 DC − AB = 1 2MP − 2MN = MP − MN = NP 22 3B.a)Gọi P và Q lần lượt là giao điểm của AE, AF với CD. Chứng minh tương tự 2B. b) Ta có: MN = 1 ( AB + CD) = 1 (a + c) 22 Lại có: c = CD = CQ + QD = BC + QD = b + QD (do tam giác BCQ cân) ⇒ QD = c - b. Trong hình thang ABQD có M là trung điểm của AD và MF//DQ nên chứng minh được F là trung điểm của BQ, từ đó chứng minh MF là đường trung bình của hình thang ABQD. Vì MF là đường trung bình của hình thang ABQD. ⇒ MF= 1 ( AB + DQ=) 1 (a + c − b) 22 Mặt khác, FN là đường trung bình của tam giác BCQ, tức là=FN 1=CQ 1 b. 22 4. a) Chứng minh được tam giác ADH và AEH cân tại A. Khi=đó: DAP H=AP , EAQ HAQ và AD = AH = AE. Từ đó, suy ra được A, A, E thẳng hàng và A là trung điểm DE. b) PQ là đường trung bình của tam giác DHE ⇒ ĐPCM. c) Có AH = AD = AE = 1 DE, mà PQ = 1 DE 22 ⇒ AH = PQ. 5. a) Theo định lý 1, trong tam giác BDC có: M là trung điểm của BC, ME//BD ⇒ E là trung điểm của DC ⇒ DE = EC = 1 DC. 2 Suy ra AD = DE = EC. 138 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

Website: tailieumontoan.com b) Từ ý a) D là trung điểm của AE. Suy ra ID là đường trung bình của tam giác AME hay IA = IM. Vậy SAIB= SIBM. c) Hạ hai đường cao AH và IK của tam giác ABC và IBC Chứng minh được IK là đường trung bình của tam giác AHM ⇒ IK = 1 AH. 2 Xét hai tam giác ABC và IBC có chung đáy BC và hai đường cao AH = 2IK ⇒ ĐPCM. 6. a) HS tự chứng minh. b) Xét tam giác EFK : EF ≤ EK + KF = 1 CD + 1 AB= 1 ( AB + CD); 222 c) Để E, F, K thẳng hàng, khi đó EF đồng thời song song với AB và CD. Tức là tứ giác ABCD là hình thang (AB//CD) Theo định lý 4,=EF 1 (AB + CD). 2 7. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AC và BD; E' và F' lần lượt là hình chiếu của E, F trên đường thẳng m. Khi đó, GG' là đường trung bình của hình thang EE'F'F ⇒ GG ' =1 EE' +FF'). 2 Mà EE' và FF' lần lượt là đường trung bình của hình thang AA'C'C và BB'D'D. ⇒ EE ' =1 (AA' +CC') và FF' = 1 (BB' +DD') 22 Thay vào (1) ta được ĐPCM. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 139

Website: tailieumontoan.com .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. 140 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

Website: tailieumontoan.com CHỦ ĐỀ 5. ĐỐI XỨNG TRỤC I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT • Hai điểm đối xứng qua một đường thẳng: Hai điểm được gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thảng nối hai điểm ấy. A đối xứng với A' qua d ⇔ d là trung trực của AA'. Khi đó ta còn nói: A' đối xứng với A qua d. Hoặc A và A' đối xứng nhau qua d. * Quy ước. Một điểm nằm trên trục đối xứng thì điểm đối xứng với nó qua trục đối xứng là chính nó. * Hai hình đối xứng qua một đường thẳng: Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu một điểm bất kì thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua đường thẳng d và ngược lại. * Nhận xét: Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với nhau qua một đường thắng thì bằng nhau. * Hình có trục đối xứng: Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu điểm đối xúng với mỗi điểm thuộc hình H qua đường thẳng d cũng thuộc hình H * Định lí: Đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy của hình thang cân là trục đối xứng của hình thang cân đó. II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1. Chứng minh hai điểm hoặc hai hình đối xứng với nhau qua một đường thẳng Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa hai điểm đối xúng hoặc hai hình đối xứng với nhau qua một đường thẳng. 1A. Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ đường cao AH. Lấy các đi K theo thứ tự trên AB, AC sao cho AI = AK. Chứng minh hai điếm I, K đối xứng với nhau qua AH. 1B. Cho tam giác cân ABC, có AM là trung tuyến ứng với BC. Chứng minh rằng cạnh AB đối xứng vói AC qua AM. Dạng 2. Sử dụng tính chất đối xứng trục để giải toán Phương pháp giải: Sử dụng nhận xét hai đoạn thẳng (góc, giác) đối xứng vói nhau qua một đường thẳng thì bằng nhau. 2A. Cho tam giác vuông ABC( A = 90°). Lấy M bất kì trên cạnh Gọi E, F lần lượt là các điếm đối xứng với M qua AB và AC. Chứng minh: A là trung điểm của EF. 2B. Cho đường thẳng d và hai điểm A, B (như hình vẽ). Tìm vị điểm C trên d để chu vi tam giác ABC nhỏ nhất. Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 141

Website: tailieumontoan.com III. BÀI TẬP VỀ NHÀ 3. Cho tam giác ABC có AB < AC, gọi d là đường trung trực của BC. Vẽ K đối xứng với A qua d. a) Tìm đoạn thẳng đối xứng với đoạn thẳng AB qua đường thẳng d; tìm đoạn thẳng đối xứng với đoạn thẳng AC qua đường thẳng d. b) Tứ giác AKCB là hình gì? 4. Cho tam giác ABC, có A = 60°, trực tâm H. Gọi M là điểm đối xứng với H qua BC. a) Chứng minh ∆BHC = ∆BMC. b) Tính BMC . 5. Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên đường phân giác của góc ngoài đỉnh C. Chứng minh AC + CB < AM + MB. 6. Cho tam giác nhọn ABC. Lấy M bất kì trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là các điểm đối xứng vói M qua AB và AC. Gọi I, K là giao điểm của EF với AB và AC. a) Chứng minh rằng MA là tia phân giác của IMK . b) Khi M cố định, tìm vị trí điểm P ∈ AB và Q ∈ AC để chu vi tam giác MPQ đạt giá trị nhỏ nhất. HƯỚNG DẪN 1A. Sử dụng tính chất của tam giác cân chỉ ra được AH là phân giác của góc IAK . Tiếp tục chỉ ra được AH là đường trung trực của IK. Từ đó suy ra điều phải chứng minh. 1B. Chứng minh được B đối xứng với C qua AM, A đối xứng với chính A qua AM. Từ đó suy ra điều phải chứng minh. 2A. Sử dụng tính chất đối xứng trục ⇒ AE = AF (=AM) (1). Sử dụng tính chất của tam giác cân ⇒ A=1 A2 ; A=3 A4 . Từ đó chỉ ra được E=AF 1800 ⇒ A, E, F thằng hàng (2). Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh. 2B. Gọi A' là điểm đối xứng của A qua d ⇒ A' cố định. Vì C ∈ d ⇒ CA = CA' (tính chất đối xứng trục). Ta có: P∆ABC = AB + AC + BC = AB + (CA' + CB) ≥ AB + BA' (không đổi. Dấu \"=\" xảy ra tức là chu vi tam giác nhỏ nhất khi C là giao điểm của d và BA'. 3. a) Đoạn thẳng đối xứng với AB, AC qua đường thẳng d lần lượt là KC, KB. b) ta có AK//BC (vì cùng vuông góc với d) và AC = KB (tính chất đối xứng trục) ⇒ tứ giác AKCB là hình thang cân. 4. a) Chứng minh được ∆BHC = ∆BMC (c.c.c). b) Gọi {C'} = CH ∩ AB. Sử dụng định lý tổng 4 góc trong 142 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

Website: tailieumontoan.com tứ giác AB'HC' ta tính được B' HC ' = 1200 B' HC ' = BHC Ta có (đối đỉnh) và BCH= BMC (doBHC= BMC) ⇒ BMC= 1200 5. Trên tia đối của tia CB lấy điểm A' sao cho CA' = CA. Sử dụng tính chất của tam giác cân ta có được CM là đường trung trực của AA' ⇒ MA = MA'. Sử dụng bất đẳng thức trong tam giác A'MB ta có: CA + CB = CA' + CB = BA' <MA' + MB ⇒ CA + CB < MA + MB. 6. a) Sử dụng tính chất đối xứng trục kết hợp với chứng minh tam giác bằng nhau ta có được E1 = M1 và F1 = M2 , mà E1 = F1 (Tính chất tam giác cân) ⇒ M1 =M2 ⇒ ĐPCM. b) Sử dụng tính chất đối xứng trục ta có PM = PE; QM = QF. Theo bất đẳng thức trong tam giacs MPQ, ta có: P∆MPQ = MP + PQ + QM= (PE + PQ) + QF ≥ EQ + QF ≥ EF. Do M cố định, tam giác ABC cố định ⇒ E, F, I, K cố định. Vậy (P∆MPQ)min = EF ⇔ P ≡ I, Q ≡ K. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 143

Website: tailieumontoan.com .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. 144 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

Website: tailieumontoan.com CHỦ ĐỀ 6. HÌNH BÌNH HÀNH I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT • Định nghĩa: Hình bình hành là tứ giác có các cặp cạnh đối song song. Tứ giác ABCD là hình bình hành ⇔  AB / /CD  AD / / BC  * Tính chất: Trong hình bình hành: - Các cạnh đối bằng nhau. - Các góc đối bằng nhau. - Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. * Dấu hiệu nhận biết: - Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành. - Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành. - Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành. - Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành. - Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành. II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1. Vận dụng tính chất của hình bình hành để chứng minh tính chất hình học Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa và các tính chất về cạnh, góc và đường chéo của hình bình hành. 1A. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điếm của AD, F là trung điểm của BC. Chứng minh: b) BE // DF. a) BE = DF và ABE = CDF; 1B. Cho hình bình hành ABCD. Gọi K, I lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Gọi M v à N lần lượt là giao điểm của AI và CK với BD. Chứng minh: a) ∆ ADM = ∆ CBN; b) MAC = NCA và IM//CN; c) DM = MN = NB. Dạng 2. Chứng minh tứ giác là hình bình hành Phương pháp giải: Vận dụng các dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình bình hành. 2A. Cho hình bình hành ABCD, đường chéo BD. Kẻ AH và CK vuông góc với BD ở H và ở K. Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành. 2B. Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Qua điểm O, vẽ đường thẳng a cắt hai đường thẳng AD, BC lần lượt tại E, F. Qua O vẽ đưòng thẳng b cắt hai cạnh AB, CD lần lượt tại K, H. Chứng minh tứ giác EKFH là hình bình hành. Dạng 3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, các đường thẳng đồng quy Phương pháp giải: Vận dụng tính chất về đường chéo của hình bình hành. 3A. Cho tam giác ABC và O là một điểm thuộc miền trong của tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA và L, M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn OA, OB, OC. Chứng minh rằng các đoạn thẳng EL, FM và DN đồng quy. Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 145

Website: tailieumontoan.com 3B. Cho hình bình hành ABCD, gọi O là giao điểm hai đường chéo. Trên AB lấy điểm K, trên CD lấy điểm I sao cho AK = CI. Chứng minh ba điểm K, O, I thẳng hàng. III. BÀI TẬP VỀ NHÀ 4. Cho hình bình hành ABCD (AB > BC). Tia phân giác của góc D cắt AB ở E, tia phân giác của góc B cắt CD ở F. a) Chứng minh DE//BE. b) Tứ giác DEBF là hình gì? 5. Cho tam giác ABC. Từ một điểm E trên cạnh AC vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB tại F và đường thăng song song vói AB cắt BC tại D. Giả sử AE = BF, chứng minh: a) Tam giác AED cân; b) AD là phân giác của góc A. 6. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA và I, K là trung điểm các đường chéo AC, BD. Chứng minh: a) Các tứ giác MNPQ, INKQ là hình bình hành. b) Các đường thẳng MP, NQ, IK đồng quy. 7. Cho tam giác ABC và H là trực tâm. Các đường thẳng vuông góc với AB tại B, vuông góc với AC tại C cắt nhau ở D. a) Chứng minh tứ giác BDCH là hình bình hành. b) Tính số đo góc BDC , biết BAC = 60°. 8. Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB. Từ C vẽ CE vuông góc với AB. Nối E với trung điểm M của AD. Từ M vẽ MF vuông góc với CE cắt BC tại N. a) Tứ giác MNCD là hình gì? b) Tam giác EMC là tam giác gì? c) Chứng minh BAD = 2AEM . HƯỚNG DẪN 1A.a) Ta chứng minh được BEDF là hình bình hành ⇒ BE = DF và EBF = CDF . Cách khác: ∆AEB = ∆CFD (c.g.c) suy ra BE = DF và ABE = CDF . b) Vì BEDF hình bình hành ⇒ ĐPCM. 1B.a) Chứng minh được AKCI là hình bình hành ⇒ ∆ADI = ∆CBK (c-c-c-) ⇒ ∆ADM = ∆CBN (g-c-g) b) Vì AKCI là hình bình hành ⇒ ĐPCM. c) Từ câu a) ⇒ DM= NB. Mặt khác MN = NB (định lý 1 của đường trung bình), từ đó suy ra ĐPCM. 2A. Ta chứng minh AH//CK, AH = CK (∆AHD = ∆CKB) ⇒ AHCK là hình bình hành (cặp cạnh đối song song và bằng nhau). 2B. Ta có ∆AOK = ∆COH ⇒ OK =OH, ∆DOE = ∆BOF ⇒ OE = OF ⇒ EHFK là hình bình hành. 3A. Gọi I trung điểm LE. Ta có DL//EN//OB và DL = EN = 146 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

Website: tailieumontoan.com 1 OB ⇒ DENL là hình bình hành. Tương tự chứng minh 2 LMEF là hình bình hành. Từ đó suy ra EL,FM, DN đồng quy tại I. 3B. Chứng minh được AKCI là hình bình hành ⇒ ĐPCM. 4.a) Ta có AED = EDC và A=BF EDC ⇒ DE / /BF (có góc ở vị trí đồng vị bằng nhau). b) Từ câu a) suy ra DEBF là hình bình hành. 5.a) Chứng minh BDEF là hình bình hành ⇒ ED= BF = AE ⇒ ∆AED cân ở E. b) Ta có BAD = DAC (vì cùng bằng ADE ) ⇒ AD là phân giác Â. 6. Tương tự bài 3A. 7. a) Vì BHCD có các cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành. b) Tứ giác ABCD có A=BD A=CD 900 mà BAC = 600 nên BDC = 1200 8.a) Ta có MNCD là hình bình hành. b) Chứng minh được F trung điểm CE ⇒ ∆EMC cân tại M. c) Chứng minh được A=EM F=ME F=MC C=MD D=CM MCB mà AE//MF nên B=AD F=MD 2C=MD 2AEM . .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 147

Website: tailieumontoan.com .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. 148 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

Website: tailieumontoan.com CHỦ ĐỀ 7. ĐỐI XỨNG TÂM I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT • Hai điểm đối xứng qua một điểm: Hai điểm được gọi là đối xứng với nhau qua điểm o nếu o là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm ấy. A đối xứng với A' qua O ⇔ O là trung điểm của AA’. Khi đó ta còn nói: A' đối xứng với A qua O hoặc A và A’ đối xứng nhau qua O. * Quy ước: Điểm đối xứng với điểm O qua điểm O chính là điểm O. * Hai hình đối xứng qua một điểm: Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu một điểm bất kì thuộc hình này đối xứng vói một điểm thuộc hình kia qua điểm O và ngược lại. * Nhận xét: Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với nhau qua một điểm thì bằng nhau. * Hình có tâm đối xứng: Điếm O gọi là tâm đối xứng cùa hình H nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình qua điểm O cũng thuộc hình H. * Định lí: Giao điểm hai đường chéo của hình bình hành là tâm đối xứng của hình bình hành đó. O là tâm đối xứng của hình bình hành ABCD. II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1. Chứng minh hai điểm hoặc hai hình đối xứng với nhau qua một điểm Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa hai điểm đối xứng hoặc hai hình đối xứng với nhau qua một điểm. 1A. Cho tam giác ABC. Gọi các điểm D, E theo thứ tự là trung điểm của AB và AC. Lấy P đối xứng vói B qua tâm E và Q đối xứng với qua tâm D. Chứng minh rằng hai điểm P, Q đối xứng với nhau qua tâm A. 1B. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Gọi E là điểm bất kì nằm ngoài tứ giác, E là điểm đối xứng với E qua M, G là điểm đối xứng với E qua Q, H là điểm đối xứng với G qua P. Chứng minh rằng E là điểm đối xứng với H qua điểm N. Dạng 2. Sử dụng tính chất đối xứng trục để giải toán Phương pháp giải: Sử dụng nhận xét hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng vói nhau qua một đuờng thẳng thì bằng nhau. 2A. Cho tam giác ABC. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB và AC. Một điểm M bất kì thuộc cạnh BC, có điểm đối xứng vói M qua điểm F là Q và điểm đối xứng của M qua điểm F là Q. Chứng minh: a) A thuộc đường thẳng PQ; b) BCQP là hình bình hành. 2B. Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh AD lấy điểm E và trên cạnh CB lấy điểm E sao cho AE = CF. Chứng minh rằng hai điểm E, F đối xứng với nhau qua giao điểm của các đường chéo AC, BD. Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 149