โจทย์คณิตศาสตร์#1

มีอะไรลองทายด.ู .. Math… 2562

บทที่ 1 บทนำ ทีม่ ำและควำมสำคัญ นักคณิตศาสตร์ชื่อ Benoit Mandelbrot (ค.ศ.1924 – 2010) ซ่ึงเป็นผู้ให้กาเนิดวิชา Fractal Geometry เคยกล่าวว่า “ส่ิงท่ีพบเห็นในธรรมชาติจานวนมากไม่สามารถอธิบายได้ด้วยรูปเรขาคณิต แบบยุคลิด ก้อนเมฆไม่ใช่ทรงกลม ภูเขาไม่ใช่รูปกรวย ชายฝั่งไม่ใช่วงกลม เปลือกไม้ไม่ได้ราบเรียบ หรือ สายฟ้าแลบไม่ได้ปรากฏเป็นเส้นตรง” แต่ส่ิงเหล่านี้คือแฟร็กทัล โดยแฟร็กทัล (Fractal) คือวัตถุ ทางเรขาคณิตท่ีมีสมบัติที่สาคัญซึ่งเรียกว่า มีรูปแบบเหมือนตัวเอง (Self-similar Pattern) ในระดับท่ี ต่างกัน หากดึงภาพเข้ามาดูท่ีระยะใกล้จะเห็นส่วนย่อยของภาพมีรูปร่างเหมือนส่วนใหญ่ เช่น ใบเฟิร์น สามารถเห็นสมบัติของแฟร็กทัลได้ชัดเจน หากขยายภาพของใบเฟิร์นจะเห็นแขนงย่อยของใบเฟิร์นมี รูปร่างเหมือนตัวเอง โดยธรรมชาติออกแบบสิ่งเหล่าน้ีเพื่อให้เกิดประสิทธิภาพสูงสุด และนอกจาก แฟร็กทัลที่เกิดข้ึนเองโดยธรรมชาติแล้ว มนุษย์ยังสามารถสร้างแฟร็กทัลได้จากรูปเรขาคณิตด้วย เช่น สร้างจากส่วนของเส้นตรง รูปสามเหลี่ยม หรือสร้างจากรูปลูกบาศก์ โดยใช้กระบวนการง่ายๆ กับรูป เรขาคณิตเหล่านี้ ซ้าๆ กันเป็นจานวนคร้ังไม่จากัด ก็จะได้แฟร็กทัลท่ีมีรูปแบบที่ซับซ้อนและน่าสนใจ เช่น เส้นโค้งฟวอนค็อก (Von Koch Curve) สามเหลี่ยมเซียร์พินสกี (Sierpinski Triangle) และเกล็ด หิมะคอ็ ก (Koch Snowflake) ทางคณะผจู้ ัดทามคี วามสนใจเกี่ยวกับแฟร็กทัลในเร่ืองของเกล็ดหิมะค็อก (Koch Snowflake) ท่ีเกิดจากการสร้างแฟร็กทัลด้วยรูปสามเหลี่ยม จึงจัดทาโครงงานเร่ืองเกล็ดหิมะค็อก (Koch Snowflake) มีความยาวรอบรูปเป็นอนันต์ในพื้นท่ีท่ีจากัด เพ่ือให้เกิดประโยชน์และสามารถนาไป ประยุกต์ใช้ในดา้ นอ่ืน สบื ไป วัตถุประสงค์ เพ่อื พิสจู น์ว่า เกล็ดหมิ ะค็อกนั้นมีความยาวรอบรปู เปน็ อนนั ตใ์ นพน้ื ที่ท่จี ากัด สมมติฐำน เกลด็ หิมะค็อกมีความยาวรอบรูปเปน็ อนันต์ในพืน้ ท่ีท่จี ากัด

ขอบเขตในกำรศึกษำ ขอบเขตของสงิ่ ทศี่ ึกษำ ในการศึกษาโครงงานคณติ ศาสตร์เรือ่ งเกล็ดหมิ ะค็อกมคี วามยาวรอบรูปเปน็ อนนั ตใ์ นพ้ืนทท่ี ่ี จากดั คณะผู้จัดทาใชค้ วามรเู้ รือ่ ง พนื้ ทส่ี ามเหลยี่ มด้านเทา่ ผลรวม หรือซกิ มา (sigma) ลาดับเรขาคณิต อนุกรมเรขาคณิต และลิมิต (limit) ในการศึกษาคน้ ควา้ ระยะเวลำในกำรศึกษำ วันท่ี 1 สิงหาคม 2562 - 30 สงิ หาคม 2562 นิยำมเชิงปฏบิ ตั ิกำร 1. แฟร็กทลั (Fractal) แฟร็กทัล มาจากคาว่า “Fractus” ซ่ึงเป็น คาในภาษาละติน แปลว่า “แตกหรือเศษส่วน” แฟร็กทัลมีสมบัติที่สาคัญซ่ึงเรียกว่า มีรูปแบบเหมือนตัวเอง (Self-similar Pattern) ในระดับที่ต่างกัน ซ่ึงหมายความว่า หากดึงภาพเข้ามาดูท่ีระยะใกล้จะเห็นส่วนย่อยของภาพมีรูปร่างเหมือนส่วนใหญ่ เชน่ ใบเฟริ ์นสามารถเหน็ สมบัตขิ องแฟรก็ ทัลได้ชดั เจน หากขยายภาพของใบเฟิร์นจะเห็นแขนงย่อยของ ใบเฟิรน์ มรี ูปร่างเหมือนตวั เอง สมบัติท่สี าคญั ของแฟร็กทัล อีกประเด็นหนึ่งคือ มีมิติที่ไม่เป็นจานวนเต็ม (Non-integer Dimension) นีจ่ ึงเปน็ ทีม่ าของคาว่าแฟร็กทลั 2. เกล็ดหิมะค็อก (Koch’s Snowflake) เกลด็ หิมะค็อก เป็นเส้นโคง้ ทางคณิตศาสตร์ โดยมคี ุณสมบัติ คอื มีความยาวเป็นอนันต์เน่ืองจาก ในแต่ละขั้นของการวาด เส้นตรงจะถูกแบ่งเป็นสามส่วน ส่วนที่อยู่ตรงกลางถูกแทนท่ีด้วยเส้นตรงสอง  เสน้ ทาให้ความยาวเพ่ิมข้ึนเป็น 43 ของความยาวเดิม ถ้าผ่านไป n ขั้นจะมีความยาวเป็น 43 n เท่า และเมื่อ n เข้าสอู่ นนั ต์ ทาให้ความยาวเปน็ อนนั ตด์ ้วย

ประโยชนท์ ค่ี ำดวำ่ จะได้รบั สามารถพิสูจน์ว่า เกลด็ หมิ ะค็อกนั้นมีความยาวรอบรปู เปน็ อนันตใ์ นพ้นื ท่ที จ่ี ากดั เนื้อหำวิชำคณิตศำสตร์ 1. พ้ืนท่ีสามเหลยี่ มด้านเทา่ 2. ผลรวม หรอื ซิกมา (sigma) 3. ลาดบั เรขาคณติ 4. อนกุ รมเรขาคณิต 5. ลมิ ิต (limit)

บทที่ 2 เอกสำรที่เก่ียวขอ้ ง คณะผู้จดั ทาโครงงานคณิตศาสตรเ์ รื่อง เกลด็ หมิ ะค็อก (Koch Snowflake) มีความยาวรอบรปู เปน็ อนนั ต์ในพนื้ ทท่ี ่ีจากัด ได้จดั เรยี งเอกสารทเ่ี ก่ยี วกบั โครงงานไวต้ ามลาดับดังน้ี 1. พืน้ ทีส่ ามเหลย่ี มดา้ นเท่า 2. ผลรวม หรือซกิ มา (sigma) 3. ลาดับเรขาคณิต 4. อนุกรมเรขาคณิต 5. ลมิ ิต (limit) 1. สำมเหล่ียมด้ำนเท่ำ 60 aa 60 60 a รูปสามเหล่ียมด้านเท่า คือรูปสามเหล่ียมชนิดหนึ่งที่ด้านทั้งสามมีความยาวเท่ากัน มุมภายใน แต่ละมุมมีขนาดเท่ากบั 60 องศา สตู รการหาพื้นทสี่ ามเหลย่ี มดา้ นเท่าคือ 3 a2 เม่ือ a คอื ความยาวดา้ น ส่วนความยาวรอบ 4 รูปสามเหล่ยี มดา้ นเทา่ ทม่ี ีควายาวด้าน a หนว่ ย จะเป็น 3a หนว่ ย

2. ผลรวม หรือซกิ มำ (sigma) 5  เป็นอกั ษรกรีก เรียกว่า “ซิกมา” หมายถึง ผลบวก หรือ summation เช่น  xi แทน i1 ผลบวกของข้อมูล xi ทุก ๆ ค่า จาก i  1 ถึง i  5 ซ่ึงมีข้อมูลทั้งงหมด 5 จานวน แล้วนาข้อมูล ทั้งหมดมาบวกกัน ซ่ึงเป็นเครื่องหมายที่ใช้ในการหาผลรวมของอนุกรมหรือลาดับที่มีรูปทั่วไป เป็นพหุนามดกี รไี มเ่ กนิ สาม การเขยี นผลบวกในรูป summation 1 2  3  4 ... n รูปท่วั ไปของพจน์ที่ n คอื an  n โดยท่ี n เร่มิ ท่ี n=1 ไปจนถงึ n =  และเขยี นแทนด้วย  n n1 สมบตั สิ าคญั ของ summation มี 3 ข้อ คือ 1. แยกบวกได้ 2. แยกลบได้ 3. ดงึ คา่ คงตัวมาดา้ นหนา้ ได้ โดยเขียนในรปู สมการคณติ ศาสตร์ไดด้ ังน้ี ถา้ ให้ an และ bn เป็นลาดับ และ k เปน็ ค่าคงตัว จะได้ n nn แยกผลบวก  (an  bn)  (an) (bn) i1 i1 i1 n nn แยกผลต่าง  (an  bn)  (an) (bn) i1 i1 i1 nn ดึงคา่ คงตวั  (k an)  k  (an) i1 i1 3. ลำดบั เรขำคณิต ให้ a1, a2, a3 , a4 ,..., an คอื แตล่ ะพจน์ของลาดับ เรียกลาดับที่ anan 1 เปน็ คา่ คงตัวทุกคา่ ของจานวนนับ n ว่า ลาดับเรขาคณติ (geomatric sequence) และเรยี กลาดับคงตวั นี้วา่ อตั ราส่วน ร่วม (common ratio)

ในกรณที ัว่ ไป ถ้าให้ a1, a2, a3 , a4 ,..., an เปน็ ลาดบั เรขาคณิต โดยท่ี a1 เปน็ พจน์แรก และ r เป็น อัตราส่วนรว่ ม จะเขียนพจน์อนื่ ๆ ของลาดบั เรขาคณิตในรปู ของ a1และ r ได้ดังนี้ a2 = a1 r a3 = a2 r = ( a1 r)r = a1 r2 a4 = a3 r = ( a1 r2 )r = a1 r3 MM M M an = an1 r = ( a1 rn2 )r = a1 rn1 ดังน้นั เมอื่ กาหนดให้ a1เปน็ พจนแ์ รกของลาดบั เรขาคณิตทมี่ ี anan 1 เทา่ กับ r เปน็ อตั ราสว่ นร่วม จะได้พจน์ท่ี n ของลาดบั เลขคณิตนี้คือ an = a1 rn1 4. อนกุ รมเรขำคณิต อนกุ รมที่ได้จากลาดับเรขาคณิตเรยี กวา่ อนุกรมเรขาคณติ (geomatric series) และอตั ราสว่ น ร่วมของลาดับเรขาคณติ จะเป็นอตั ราสว่ นร่วมของอนุกรมเรขาคณิตดว้ ย ในกรณที ั่วไปสามารถหาผลบวกของพจน์ n พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณติ a1  a1r  a1r2  a1r3  ...  a1rn1 ไดด้ งั นี้ ให้ Snเปน็ ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณติ ท่ีมี a1 เป็นพจน์แรก และมี r เป็น อัตราส่วนรว่ ม จะได้  จากSn  a1 a  rn 1r Sn  a1  anrrn1r 1 แต่ an  a1rn1 ดังนนั้ Sn  a11arnr , r  1  ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต Sn  a1 1 rn , r1 1r

หรือ Sn  a11arnr , r  1 5. ลมิ ิต (limit) โดยทัว่ ไปสาหรับฟังก์ชัน f ใด ๆ ทม่ี ีโดเมนและเรนจเ์ ปน็ สบั เซตของจานวนจรงิ ถา้ ค่าของ f(x) เข้าใกล้จานวนจรงิ L เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ a เรยี ก L วา่ ลิมิตของ f ที่ a และเขียนแทนด้วย สัญลักษณ์ lim f(x)  L x แต่ถา้ ไมม่ จี านวนจริง L ซง่ึ f(x) เขา้ ใกล้ L เม่ือ x มีค่าเข้าใกล้ a แล้วจะกล่าวว่า f ไม่มีลิมิตท่ี a และเขยี นแทนว่า lim f(x)  L หาคา่ ไมไ่ ด้ xa ลมิ ติ ของฟงั ก์ชนั คา่ จรงิ ที่จุดใดจุดหนึ่ง ให้ f เปน็ ฟงั ก์ชันคา่ จริง แลว้ เราจะเขยี น lim f(x)  L xa ก็ต่อเมอื่ สาหรับทุกค่าของ  > 0 (ไมว่ า่ จะเล็กเทา่ ใด) จะตอ้ งมี δ > 0 อย่างนอ้ ยหนง่ึ ค่า ที่ สาหรบั ทกุ ค่าของจานวนจริง x ท่ี 0 < |x-p| < δ, |f(x)-L| < ε ซง่ึ เป็นกรณีพิเศษของฟงั ก์ชันบนปริภมู ิองิ ระยะทางทีม่ ีท้ัง M และ N เป็นเซตของจานวนจรงิ และ d(x,y) = |x-y| หรอื เราจะเขียน lim f(x)   ก็ตอ่ เมือ่ สาหรับทุกค่าของ R > 0 (ไมว่ า่ จะใหญ่เทา่ ใด) จะตอ้ งมี δ > 0 อยา่ งน้อย xa หนึ่งค่า ที่ สาหรบั ทุกค่าของจานวนจริง x ท่ี 0 < |x-p| < δ, f(x) > R หรอื จะเขยี นวา่ lim f(x)   ก็ต่อเม่ือ สาหรบั ทกุ ค่าของ R < 0 จะตอ้ งมี δ > 0 อยา่ ง xa นอ้ ยหน่งึ ค่า ท่ี สาหรบั ทุกค่าของจานวนจรงิ x ท่ี 0 < |x-p| < δ, f(x) < R ลมิ ติ ของฟังกช์ นั ค่าจรงิ ณ อนันต์ ให้ f(x) เปน็ ฟงั ก์ชันค่าจริง เราจะพิจารณาลิมิตของฟังกช์ นั เม่ือ x เพ่ิมข้นึ หรือลดลงอย่างไม่มีท่ีสนิ้ สุดเราจะเขียน lim f(x)  L x

บทที่ 3 วธิ ีกำรดำเนินงำน สถำนทแ่ี ละระยะเวลำในกำรศกึ ษำ การศึกษาโครงงานคณิตศาสตร์เรอื่ ง เกล็ดหิมะค็อก (Koch Snowflake) มีความยาวรอบรูป เป็นอนันต์ในพน้ื ทที่ ่ีจากัด วธิ ดี ำเนินงำน จากการศึกษาโครงงานเรื่อง เกล็ดหิมะคอ็ ก (Koch Snowflake) มีความยาวรอบรูปเป็นอนันต์ ในพืน้ ที่ทจี่ ากัด โดยได้ทาการแบง่ ขน้ั ตอนการดาเนนิ งานเป็น 2 ขน้ั ตอน ตอนที่ 1 : พิสูจนว์ า่ เกลด็ หมิ ะค็อกมีพ้ืนท่ีที่จากดั ตอนที่ 2 : พสิ จู นว์ ่าเกล็ดหิมะค็อกมีความยาวรอบรปู ท่เี ป็นอนันต์ วธิ กี ำรดำเนนิ งำนตอนที่ 1 วธิ ีดำเนนิ งำน 1. ศึกษาหาขอ้ มลู เกี่ยวกับพ้นื ทข่ี องเกลด็ หมิ ะค็อก จากแหล่งขอ้ มลู ต่าง ๆ เชน่ หนังสอื อนิ เตอรเ์ น็ต หรือหอ้ งสมุด 2. สร้างวิธีการพสิ จู นเ์ พื่อหาพื้นทีท่ ี่จากัดของเกลด็ หิมะค็อก วิธีกำรดำเนนิ งำนตอนที่ 2 วธิ ีดำเนนิ งำน 1. ศกึ ษาหาขอ้ มลู ทเ่ี กีย่ วข้องในการพสิ จู น์วา่ เกล็ดหมิ ะค็อกมคี วามยาวรอบรปู เป็นอนนั ต์ จาก แหลง่ ข้อมูลตา่ ง ๆ เช่น หนังสอื อนิ เตอรเ์ นต็ หรอื ห้องสมุด 2. สร้างวิธกี ารพิสจู นเ์ พอ่ื พสิ จู นว์ า่ เกล็ดหมิ ะค็อกมคี วามยาวรอบรปู เปน็ อนันต์

บทท่ี 4 ผลกำรดำเนนิ งำน จากการศึกษาโครงงานเร่ือง เกล็ดหิมะคอ็ กมีความยาวท่ีเป็นอนนั ตใ์ นพืน้ ทที่ จี่ ากดั โดยไดท้ า การแบง่ ข้นั ตอนการดาเนนิ งานเปน็ 2 ขัน้ ตอน ผลการดาเนินงานเป็นดงั น้ี ตอนท่ี 1 : พิสจู น์วา่ เกลด็ หิมะค็อกมีพ้นื ที่ที่จากดั ตอนท่ี 2 : พิสจู น์ว่าเกล็ดหิมะค็อกมีความยาวรอบรูปท่เี ป็นอนนั ต์ ตอนที่ 1 : พสิ ูจน์วา่ เกล็ดหมิ ะค็อกมีพืน้ ท่ีท่จี ากัด ข้นั ตอนที่ 1 : สรา้ งเกลด็ หิมะค็อก A S หนว่ ย S หนว่ ย CB S หน่วย รูปท่ี 1 สรา้ งสามเหล่ียมดา้ นเท่า ABC ที่มคี วามยาวด้านเปน็ S หนว่ ย ขั้นตอนท่ี 2. : สรา้ งสามเหล่ยี มรปู ถดั ไป 2.1 พิจารณาที่เส้นตรงด้านใดด้านหน่งึ ของรูปสามเหล่ยี มดา้ นเท่า ABC ในที่ นจี้ ะพจิ ารณาที่ เส้นตรง AB A s หน่วย B

2.2 แบ่งเสน้ ตรง AB ออกเป็น 3 ส่วนเท่า ๆกัน กาหนดใหจ้ ุดทแี่ บง่ สว่ นเป็น D และ E 2.3 สรา้ งสามเหลย่ี มด้านเท่า DEF จากจดุ D และ E บนเสน้ ตรง AB โดยให้สามเหล่ียมดา้ น เทา่ DEF มีความยาวดา้ นเปน็ 1/3S หน่วย ขั้นตอนที่ 3 : สรา้ งรปู สามเหล่ียมด้านเท่าสาหรับทุกดา้ นๆของรปู สามเหล่ยี มดา้ นเท่า ABC โดยใชก้ ฎเกณฑ์ตามขั้นตอนท่ี 2.1-2.4 โดยทแ่ี ตล่ ะดา้ นของรูปใหมน่ ม้ี คี วามยาวเป็น 1/3S หนว่ ย mACB = 60.00 A mABC = 60.00 mCAB = 60.00 3.0 ซม. 3.0 ซม. mDFE = 60.00 mFED = 60.00 F D mEDF = 60.00 mGIH = 60.00 mIGH = 60.00 mGHI = 60.00 mLJK = 60.00 mJLK = 60.00 mJKL = 60.00 3.0 ซม. G 3.0 ซม. 3.0 ซม. 3.0 ซม. 3.0 ซม. 3.0 ซม. EH 3.0 ซม. 3.0 ซม. 3.0 ซม. 3.0 ซม. JK j' 3.0 ซม. B 3.0 ซม. 3.0 ซม. L

ขนั้ ตอนท่ี 4 : จากขัน้ ตอนท่ี 2.3 พิจารณาเส้นตรง DF 1 3 s หนว่ ย DF S 4.1 แบง่ เสน้ ตรง DF ออกเปน็ สามสว่ นท่เี ท่ากนั สรา้ งจุด G และ H ทจ่ี ดุ แบง่ 1 9 ������ หนว่ ย 1 ������ หนว่ ย 1 ������ หน่วย 9 9 D G HF S 4.2 สรา้ งสามเหล่ียมด้านเทา่ GHI ข้ึนมาโดยท่คี วามยาวของแตล่ ะด้านของสามเหลยี่ มดา้ นเท่า GHI เป็น 1/9S หน่วย ขั้นตอนที่ 5 : สรา้ งรปู สามเหลี่ยมดา้ นเทา่ ท่ีคล้ายกบั สามเหล่ยี มด้านเท่า GHI สาหรบั ทุก ๆ ด้านของรปู ที่ 2 โดยที่แต่ละด้านของรูปที่ 3 จะมีความยาวเป็น 1/9S หนว่ ยA จะได้รปู ดังน้ี mACB = 60.00 C2 A2 D2 F2 mABC = 60.00 U1 Z1 mCAB = 60.00 mDFE = 60.00 F P1 T1 D B2 E2 mFED = 60.00 F3 G mEDF = 60.00 X1 Y1 mGIH = 60.00 k' mIGH = 60.00 mGHI = 60.00 E3 G2 mLJK = 60.00 G3 mJLK = 60.00 mJKL = 60.00 E H mU1P1T1 = 60.00 o' C3 l mT1U1P1 = 60.00 mP1T1U1 = 60.00 D3 A3 J K N2 M2 m n B W2 P2 B3 O2 Q2 Y2 X2 R2 รูปท่ี 3 L

ขน้ั ตอนท่ี 6 : สร้างรูปสามเหลี่ยมเชน่ น้ีไปเร่อื ย ๆจะได้เปน็ เกลด็ หิมะค็อกตามภาพด้านล่างนี้ รูปท่ี 4 การหาจานวนของรูปสามเหล่ียมทีเ่ พ่ิมขนึ้ มาในแต่ละคร้ัง ครัง้ ที่ 1 มเี พิม่ ข้ึนมา 3 รูป ครง้ั ที่ 2 มเี พิ่มขน้ึ มา 12 รูป ครั้งท่ี 3 มเี พิ่มขนึ้ มา 48 รูป

จากสูตรลาดบั เรขาคณติ an  a1rn1 โดยที่ an คอื พจน์ที่ n a1 คอื พจน์ที่ 1 r คอื อตั ราส่วนรว่ มคงท่ี n คือ คร้งั ที่ จะได้ว่า an  3 * 4n1 หรอื 43 * 4n น่ันคือ ปริมาณของรูปสามเหลี่ยมท่ี เพิ่มขึ้นมาเป็น 3 × 4������ 4 การหาพ้ืนทข่ี องรปู สามเหลย่ี มด้านเทา่ ท่ีเพิ่มขึ้นมา พน้ื ที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าคือ 3  ดา้ น2 4 นั่นคอื สามเหล่ียมดา้ นเทา่ รปู แรกจะมีพนื้ ท่ีเป็น 3  s2 ตารางหนว่ ย 4 กาหนดให้พนื้ ทข่ี องรปู สามเหลีย่ มรูปเร่ิมต้นเป็น a0 ตารางหน่วย พื้นทข่ี องรูปสามเหลย่ี มดา้ นเท่าสดี าเปน็ 3  ดา้ น2 นั่นคือ 4  313 s 2  3  91 s2 คิดเปน็ 19 เทา่ ของ a0 4 4

พื้นท่ีของรูปสามเหลย่ี มดา้ นเทา่ สีดาเป็น 3  ดา้ น2 นน่ั คือ 4  391 s 2  3  811 s2 คิดเปน็ 811 เท่าของ a0 4 4 ดงั นัน้ สามเหลย่ี มรปู ใหมท่ ่ีเกิดข้ึนมานัน้ จะมีพ้นื ทเี่ ปน็ 91 เท่าของรปู สามเหลีย่ มดา้ นเท่าคร้ังกอ่ นหน้า นัน้ 1 ครัง้ เพราะฉะน้นั จะไดส้ ตู รพน้ื ท่ีของรปู สามเหลย่ี มด้านเท่าทเ่ี พิ่มข้ึนมา(รูปเดยี ว) เปน็ a0 9n เมอ่ื a0 เป็น พน้ื ทีข่ องรปู สามเหล่ียมด้านเทา่ รปู แรก n คือ จานวนครั้ง ขัน้ ตอนท่ี 7 : หาปรมิ าณของพืน้ ท่ขี องรูปสามเหลี่ยมดา้ นเท่าทเี่ พิ่มข้ึนมาทุกรูป จากสตู รการหาจานวนของรปู สามเหลย่ี มดา้ นเทา่ ทเ่ี พ่ิมขนึ้ มาในคร้ังที่ n เปน็ 43  4n รปู และจากสูตรการหาพน้ื ท่ขี องรปู สามเหล่ยี มทเ่ี พ่ิมข้นึ มาในครงั้ ท่ี n เป็น a0 9n จะไดส้ ตู รการหาพื้นทข่ี องรูปสามเหล่ยี มด้านเทา่ ทุกรูปในคร้งั ที่ n เป็น 43  4n  a0 ตารางหน่วย 9n  จดั รปู ออกมาจะได้เปน็ a0  43  49 n เมอ่ื n = 1,2,3 ขนั้ ตอนที่ 8 : การหาผลรวมของพื้นท่ขี องรปู สามเล่ียมดา้ นเท่าที่เกิดขึน้ มาทุกรปู จนตัง้ แต่ครั้งท่ี 1 จนถึงคร้ังที่ n จากสูตรการหาพน้ื ท่ขี องรปู สามเหลี่ยมดา้ นเทา่ ทกุ รูปในครั้งท่ี n เป็น  a0  43  49 n

ผลรวมของพ้ืนที่ของรูปสามเหลีย่ มด้านเท่าทุก ๆรูปทเ่ี กิดข้ึนมา(รวมถงึ รูปที่ 1 ด้วย) ตัง้ แตค่ ร้ังที่ 1 จนถงึ คร้งั ที่ n จะเป็น  a0 n a0  43  49 k  k 1 ดึงคา่ คงท่อี อกมา (ในท่นี ค้ี ือ 43 และ a0 ) จะได้ว่า  a0  a0  43  n 49 k     k 1 ดึงตัวรว่ ม a0 ออกมา  a01  43 n 49 k   k 1   จากn 49 k  แตกผลรวมออกมาจะได้ k 1    n  49 k  49  1861  76249  ...  49 n k 1 ดงึ 49 ออกจากสมการจะไดเ้ ป็น    49 1  49  1861  76249  ...  49 n1 จะไดว้ ่า  a0 1  43  49  n1 49 k        k0   a0 1  31  n1 49 k        k0 จากสูตรการหาอนกุ รมเรขาคณติ  sn a1 1 rn 1r

จะได้วา่ a1  1 , r  49   n1 1 1 49 n 1 49  49 k  k0 1  49  9 n 5  แทนคาตอบท่ีไดล้ งในสมการ   a0 1139 1 49    5       a0 1 13  95 1 49 n     a0 1 35 1 49 n ดงึ 35 ออกมาจากสมการจะได้     a50 5  3 1 49 n  เนอ่ื งจาก 49 n lim นั้นมคี ่าลเู่ ข้าสูศ่ ูนย์ x     ดงั นนั้a50 49 n 53 1  lim จงึ มคี ่าเท่ากบั x  a50 5  31  0  a50 5  3  85a0

นนั่ คอื พื้นท่โี ดยรวมทง้ั หมดของเกล็ดหิมะค็อกจะมีคา่ จากัดอยู่ท่ี 85a0 ตารางหน่วยเทา่ นั้น ข้ันตอนที่ 9 : พิสูจน์ว่าเกลด็ หมิ ะค็อกมีความยาวเป็นอนันต์ การหาจานวนด้านทีเ่ พ่ิมข้นึ มาในแตล่ ะคร้งั ของเกล็ดหิมะค็อก ครั้งท่ี 0 มดี า้ นท้ังหมด 3 ด้าน ครั้งที่ 1 มเี พม่ิ ขึน้ มาเป็น 12 ด้าน คร้ังที่ 2 มเี พิ่มขึน้ มาเปน็ 48 ดา้ น ครงั้ ที่ 3 มีเพิ่มขึน้ มาเป็น 192 ดา้ น จากสตู รลาดบั เรขาคณติ

an  a1rn1 คอื พจน์ที่ n โดยท่ี an คอื พจน์ที่ 1 คือ อตั ราสว่ นร่วมคงท่ี a1 r n คือ คร้งั ที่ จะได้ว่า an  3 4n น่นั คือ ปริมาณของรปู สามเหลี่ยมท่ีเพม่ิ ข้นึ มาเป็น 3 4n ซ่ึงในแต่ละครัง้ นนั้ ความยาวด้านของรปู เกลด็ หมิ ะค็อกจะลดจากเดมิ 31 เทา่ จากความยาว ดา้ นของรูปสามเหลยี่ มด้านเท่าครั้งลา่ สุด เพราะฉะนน้ั จะได้ความยาวรอบรูปของเกลด็ หิมะค็อกในแต่ละครง้ั จะเปน็  13 n  s 3 4n เมอ่ื n = 0,1,2,3,….   43 n  s 3 เมื่อ : n คือครัง้ ท(่ี เริม่ ต้นที่ 0 ) จากสมการขา้ งตน้  43 n  s 3   lim43 ns3 x  เน่ืองจาก 43 n lim นน้ั มีค่าลูเ่ ข้าสู่ค่า  x เพราะฉะน้นั จะได้ว่าเกลด็ หมิ ะค็อกนน้ั มีความยาวรอบรปู ท่ีเปน็ อนนั ต์ บทท่ี 5

สรุปและอภปิ รำยผล สรุปผลกำรดำเนินงำน จากการศึกษาเกล็ดหมิ ะค็อกทมี่ คี วามยาวไมจ่ ากัดในพน้ื ท่ีทีจ่ ากดั ซ่ึงสามารถเขยี น พืน้ ท่จี ากัดของรูปเกล็ดหิมะค็อกได้เป็น A  85a0 เม่อื : A แทนพน้ื ที่จากัดของรปู เกลด็ หิมะค็อก a0 แทนพนื้ ท่ขี องรปู สามเหลี่ยมด้านเทา่ รูปแรก(รปู ตน้ ฉบบั ) และความยาวรอบรูปของเกล็ดหิมะค็อกในแต่ละครง้ั จะเป็น  43 n  3 s หนว่ ย เมอ่ื : n คอื ครั้งท่ี (เรม่ิ ต้นจาก 0) ซ่ึงจะได้ว่าความยาวรอบรูปของเกลด็ หิมะค็อกนนั้ มีความยาวเป็นอนนั ต์ อภิปรำยผล เนื่องจากการศึกษาเกลด็ หมิ ะคอ็ กว่ามคี วามยาวท่ีไม่จากัดในพื้นทท่ี ีจ่ ากัด ในการหาพน้ื ที่ที่ จากดั ของเกลด็ หิมะ ค็อกทางคณะผู้จดั ทาได้ใช้วิธีการหาผลรวมของจานวนของรปู สามเหลีย่ มท่ีเพ่มิ ขึน้ มาคูณกบั พ้ืนที่ของรปู สามเหลยี่ มดา้ นเทา่ ในแตล่ ะครั้งทีเ่ พม่ิ ขน้ึ มาจะไดเ้ ปน็  a0n a0  43  49 k  k 1 จากน้ันใชส้ ูตรการหาอนกุ รมเรขาคณติ เพ่ือหาคา่ ของผลรวมของสมการ จะได้   a50 5  3149 n   สุดท้ายใช้ลมิ ิตเขา้ มาชว่ ยเพ่ือแก้สมการ จะได้ 85a0 สาหรบั ความยาวรอบรูปเกล็ดหิมะค็อกนัน้ สามารถหาไดโ้ ดยการนาจานวนดา้ นทเ่ี พิ่มขน้ึ มาใน แตล่ ะครง้ั คูณกับความยาวดา้ นในแต่ละครั้งจะได้เป็น  31 n  s 3 4n

จดั รปู ของสมการจะได้  43 n  s 3 นาลิมิตเขา้ มาแก้สมการจะได้  lim 43 ns3 x  เน่ืองจาก43 n lim นัน้ มคี า่ ลู่เขา้ สู่  ทาใหเ้ กล็ดหิมะค็อกมีความ x ยาวรอบรปู เป็นอนนั ต์ ขอ้ เสนอแนะ ขอ้ เสนอแนะเพอื่ นำไปต่อยอด นาไปประยุกต์เพอื่ หาพื้นท่ีของส่ิงของบางอย่างท่ีไม่ไดม้ รี ปู ร่างเรขาคณิต ข้อเสนอแนะเพือ่ กำรศึกษำต่อ 1. อาจใช้วิธีอนื่ ในการพิสูจนว์ า่ เกลด็ หิมะคอ็ กมีความยาวเป็นอนนั ต์ในพื้นทีท่ จ่ี ากดั 2. อาจลองพิสูจน์แฟรกทลั ในรปู แบบอื่นๆ