บทที่ 6 เมทริกซ์และตัวกำหนด

บทที่ 6 เมทริกซ์ และตวั กาหนด ในบทน้ีจะศึกษาเก่ียวกับ เมทริกซ์ การดาเนินการบนเมทริกซ์ เมทริกซ์สลับเปล่ียนเมทริกซ์ผกผนั ตวั กาหนด เมทริกซ์ผูกพนั และการใช้การดาเนินการบนเมทริกซ์ในการหาคาตอบของระบบสมการเชิงเส้น6.1 เมทริกซ์ ในชีวติ ประจาวนั เราจะพบเมทริกซ์อยเู่ สมอ แตเ่ ราอาจจะไมท่ ราบวา่ ส่ิงท่ีพบน้นั เป็นเมทริกซ์เช่น ขอ้ มูลจานวนนกั ศึกษาชายและนกั ศึกษาหญิงของคณะวิทยาศาสตร์ มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ลาปางจาแนกตามสาขาวชิ า ดงั ตารางต่อไปน้ี สาขาวชิ า นกั ศึกษาชาย(คน) นกั ศึกษาหญิง(คน)วทิ ยาศาสตร์ทว่ั ไป 12 21คณิตศาสตร์ 46 27คอมพิวเตอร์ 131 218สิ่งแวดลอ้ ม 34 26 จากตารางขา้ งตน้ ถา้ เราตดั หัวตารางและสาขาวิชาออกจะเหลือเพียงตวั เลขแสดงจานวนนกั ศึกษาชายและจานวนนักศึกษาหญิง แบ่งเป็ น 4 แถว แต่ละแถวมี 2 หลัก จากน้ันถ้าใส่วงเล็บปี กกา [ ] คร่อมชุดตวั เลขท้งั หมด เราจะไดเ้ มทริกซ์ดงั น้ี12 21 46 27 131 218 34 26  

206 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์บทนิยาม 6.1 เมทริกซ์(matrix) หมายถึง กลุ่มจานวนซ่ึงนามาเรียงเป็ นแถว (row) ตามแนวนอน และเป็ นหลกั ( column) ตามแนวต้งั โดยเขียนเรียงกนั ให้อยใู่ นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่ ปิ ดลอ้ มดว้ ยเครื่องหมายวงเลบ็ [ ] หรือ ( ) ถา้ A เป็นเมทริกซ์ท่ี มี m แถว n หลกั นน่ั คือ  a11 a12 a1n  a22 A  a 21 a 2 n  [aij ]m n  am2       a m1 a mn    โดย a ij แทนสมาชิกท่ีอยใู่ นในตาแหน่งแถวท่ี i หลกั ท่ี j เมื่อ i  1 , 2 , 3 , . . . , m และ j  1 , 2 , 3 , . . . , n เราจะเรียก A วา่ เป็นเมทริกซ์ขนาด m  nตัวอย่าง 6.1 พิจารณาเมทริกซ์ที่กาหนดใหต้ ่อไปน้ี 1) ให้ A  1 2 3 4 5   0  จะไดว้ า่ A เป็นเมทริกซ์ท่ีมี 2 แถว 3 หลกั หรือ A เป็นเมทริกซ์ขนาด 2  3โดยมี a11  1 , a12  2 , a13  3 , a22  4 , a23  5 a21  0  3 22) ให้ B   1 0     4 1  จะไดว้ า่ B เป็นเมทริกซ์ที่มี 3 แถว 2 หลกั หรือ B เป็นเมทริกซ์ขนาด 3  2โดยมี b11  3 , b12  2 b21  1 , b22  0 b31  4 , b32  1

บทที่ 6 เมทริกซ์ และตวั กาหนด 207  10 3) ให้ C   2      5  จะไดว้ า่ C เป็นเมทริกซ์ท่ีมี 3 แถว 1 หลกั หรือ C เป็นเมทริกซ์ขนาด 3  1โดยมี c11  10 , c21  2 , c31   5บทนิยาม 6.2 เมทริกซ์ท่ีมีแถวเดียวเรียกวา่ เมทริกซ์แถว (row matrix) เมทริกซ์ที่มีหลกั เดียวเรียกวา่ เมทริกซ์หลกั (column matrix)บทนิยาม 6.3 เมทริกซ์ที่มีจานวนแถวเท่ากบั จานวนหลกั เรียกวา่ เมทริกซ์จตั ุรัส (square matrix)บทนิยาม 6.4 เมทริกซ์ท่ีทุกจานวนมีค่าเทา่ กบั 0 เรียกวา่ เมทริกซ์ศูนย์ (zero matrix , null matrix) เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ [ 0 ]ตัวอย่าง 6.2 กาหนดให้ 1A   3  , B  1 3 5   5 1 6 0 0 0 1C  , D   0 0    0 0 จะไดว้ า่ A เป็นเมทริกซ์หลกั B เป็นเมทริกซ์แถว C เป็นเมทริกซ์จตั ุรัสขนาด 2  2 D เป็นเมทริกซ์ศูนย์บทนิยาม 6.5 ถา้ A เป็ นเมทริกซ์จตั ุรัสใดๆ ที่ aij  0 ทุกค่าท่ี i  j และ aij  0 ทุกคา่ ที่ i  j แลว้ จะเรียก A วา่ เป็นเมทริกซ์ทแยงมุม (diagonal matrix)

208 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ตัวอย่าง 6.3 พิจารณาเมทริกซ์ต่อไปน้ี 1 0 0 2 0 A   0 2 0  , B   0 2      0 0 3 จะไดว้ า่ A และ B เป็นเมทริกซ์ทแยงมุม เราจะเรียกสมาชิกในแต่ละตาแหน่ง a11 , a22 , . . . , ann ว่าเส้นทแยงมุมหลัก(main diagonal) ของเมทริกซ์จตั ุรัส ซ่ึงจากตวั อยา่ ง 6.3 จะไดว้ า่ เส้นทแยงมุมหลกั ของเมทริกซ์ Aคือ 1 , 2 , 3 และเส้นทแยงมุมหลกั ของเมทริกซ์ B คือ 2 , 2 แต่ถา้ สมาชิกในเส้นทแยงมุมหลกั ของเมทริซ์ใดก็ตามมีค่าเท่ากนั หมด เราจะเรียกเมทริกซ์น้นั วา่ สเกลาร์เมทริกซ์บทนิยาม 6.6 ถา้ A เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมใดๆ ที่ aij  1 ทุกคา่ i  j และ aij  0 ทุกค่า i  j แลว้ จะเรียก A วา่ เมทริกซ์เอกลกั ษณ์ (identity matrix , unit matrix) ซ่ึงเขียนแทนไดด้ ว้ ยสัญลกั ษณ์ In เมื่อ n คือจานวนแถวหรือจานวนหลกั ของ เมทริกซ์ทแยงมุม Aตวั อย่าง 6.3 พจิ ารณาเมทริกซ์เอกลกั ษณ์ต่อไปน้ี1 0 เป็นเมทริกซ์เอกลกั ษณ์เขียนแทนดว้ ย I2 เพราะเป็นเมตริกซ์จตั ุรัสขนาด 22 0 1  1 0 00 1 0  เป็นเมทริกซ์เอกลกั ษณ์เขียนแทนดว้ ย I3 เพราะเป็นเมตริกซ์จตั ุรัสขนาด 33 0 0 1บทนิยาม 6.7 ถา้ A เป็นเมทริกซ์จตั ุรัสใดๆ ที่มีสมาชิกในตาแหน่งใตเ้ ส้นทแยงมุมหลกั มีค่าเป็น ศูนยท์ ้งั หมด เราจะเรียก A ว่าเมทริกซ์สามเหล่ียมบน(upper triamgular matrix) แต่ถา้ A มีสมาชิกในตาแหน่งเหนือเส้นทแยงมุมหลกั มีค่าเป็ นศูนยท์ ้งั หมด เราจะ เรียก A วา่ เมทริกซ์สามเหล่ียมล่าง(lower triangular matrix)

บทท่ี 6 เมทริกซ์ และตวั กาหนด 209ตวั อย่าง 6.4 พิจารณาเมทริกซ์ต่อไปน้ี 1 3 2 A   0 4  1   0 0 1จะไดว้ า่ A เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน  1 0 0 0  0 2 0 0 B    1 1 2 0   2 0 0 2  จะไดว้ า่ B เป็นเมทริกซ์สามเหล่ียมล่างบทนิยาม 6.8 ให้ A  [aij]mn และ B  [bij]mn จะเรียกวา่ เมทริกซ์ A เทา่ กบั เมทริกซ์ B เขียนแทนดว้ ย A  B กต็ ่อเม่ือ aij  bij เมื่อ i  1 , 2 , 3 . . . , m และ j  1 , 2 , 3 . . . , nตวั อย่าง 6.5 ให้ A  1 3 5 , B 1 3 5 และ C 5 3 1 9 9  7 9  7 0   7 0  0      จะไดว้ า่ A  Bเพราะ a11  b11  1 a12  b12  3 a13  b13  5 a21  b21  7 a22  b22  9 a23  b23  0แต่ A  Cเพราะ a11  c11 a13  c13

210 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ จากบทนิยาม 6.7 จะไดว้ า่ เมทริกซ์ 2 เมทริกซ์จะเทา่ กนั ไดก้ ต็ อ่ เม่ือ ท้งั สองเมทริกซ์มีขนาดเท่ากนั และสมาชิกในแตล่ ะตาแหน่งเดียวกนั มีค่าเทา่ กนัตัวอย่าง 6.6 กาหนดให้ 3 x  2  3 5  y  1 4   2 4     จงหาค่าของ x และ yวธิ ีทา เมทริกซ์ท้งั สองเมทริกซ์จะเทา่ กนั กต็ ่อเม่ือสมาชิกในตาแหน่งเดียวกนั มีคา่ เทา่ กนัดงั น้นั จะไดว้ า่ x 25 x 7และ y  1  2 y  3นนั่ คือ x  7 และ y  36.2 การดาเนินการบนเมทริกซ์ การดาเนินการบนเมทริกซ์ในหัวขอ้ น้ีจะกล่าวถึง การบวก การลบ การคูณเมทริกซ์ดว้ ยสเกลาร์ การคูณเมทริกซ์ดว้ ยเมทริกซ์ ซ่ึงจะกล่าวดงั ต่อไปน้ี 6.2.1 การบวก การลบ เมทริกซ์ เราสามารถหาผลบวก และผลลบของเมทริกซ์สองเมทริกซ์ใด ๆ ท่ีมีขนาดเท่ากนั ได้ ดงั น้ีบทนิยาม 6.8 ถา้ A  [aij]mn และ B  [bij]mn แลว้ A  B  [aij  bij]mn ถา้ โดยที่ A  B มีขนาด mn นน่ั คือ  a11 a12 a1n   b11 b12 b1n  A  a 21 a22 a2n  ,B  b 21 b22 b 2 n           am1 am 2 a mn   b m1 bm2 b m n    

บทที่ 6 เมทริกซ์ และตวั กาหนด 211 จะไดว้ า่  a11  b11 a12  b12 a1n  b1n  a22  b22 AB  a 21  b 21 a2 n  b2 n   am2  bm2      a m1  b m1 amn  amn    จากบทนิยาม 6.8 จะได้ว่า เมทริกซ์สองเมทริกซ์ท่ีจะหาผลบวกหรือผลลบของท้งั สองเมทริกซ์ไดก้ ็ตอ่ เมื่อเมทริกซ์ท้งั สองมีขนาดเท่ากนั เมทริกซ์ผลลพั ธ์ก็จะมีขนาดเท่าเมทริกซ์เดิม แต่ถา้ เมทริกซ์ท้งั สองมีขนาดไมเ่ ทา่ กนั แลว้ จะไมส่ ามารถนามาบวกหรือลบกนั ได้ตวั อย่าง 6.6 จงหาผลบวกของเมทริกซ์ต่อปน้ี 1) A 1 0 5 2 ,B  4 3 2 1 2) 3 2 2 5  4 1   6 0  3)    วธิ ีทา จงหา A  B 1) 1 5 0 2 C  3 2  ,D   4 1       4 7   3 5  จงหา C  D A  1 5 4  , B  2 4 1 C  0 1 0 จงหา (A  B)  C AB  1  (4) 03 5  (2) 2  (1) 3 (2) 25  46 10    3 3 7 1  1 7 1  10 

212 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ (1)  0 (5)  (2)2) C  D  3  (4) 2 1    4  3 (7)  5  1 3    7 1     1 12 3) (A  B)  C  1  (2) (5)  4 4  (1)  0 1 0   3 9 5  0 1 0   3 8 56.2.2 การคูณเมทริกซ์ด้วยสเกลาร์บทนิยาม 6.9 ให้ A  [aij]mn แลว้ ผลคูณของสเกลาร์ k และ A เขียนแทนดว้ ย kA โดย Ak ซ่ึงมีคา่ เทา่ กบั [kaij]mn นนั่ คือ  a11 a12 a1n  ถา้ A  a 21 a22 a 2 n        a m 1 am2 a mn    แลว้ จะไดว้ า่  ka11 ka12 ka1n  kA  ka 21 ka22 ka 2 n        ka m 1 ka m 2 ka m n   

บทที่ 6 เมทริกซ์ และตวั กาหนด 213 1 3 0 1 0 0 1 1ตัวอย่าง 6.7 ให้ A   2 2  , B  0 0 0     0 1 1  2และ k 1  2 , k 2  จงหา 1) k1A 2) k2B 1 3 0วธิ ีทา 1) k1A   2  2 1  2    2 6 0  2  4 4    1 1 0 0 2 2) k2A   0 1 0    0 0 1  1 0 0  2   1   0 2 0   1  0 0 2  ทฤษฎบี ท 6.1 ให้ A , B , C และ [ 0 ] เป็นเมทริกซ์ขนาด m  n และ k1 , k2 เป็นสเกลาร์ ใดๆ จะไดว้ า่ 1. (A  B)  C  A  (B  C) 2. A  B  B  C 3. A  [ 0 ]  A  [ 0 ]  A 4. A  (A)  [ 0 ]  (A)  A 5. k1 ( A  B )  k1A  k1B

214 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ 6. ( k1  k2 )A  k1A  k2A 7. (k1k2 )A  k1 (k 2A) 8. 1A  Aพสิ ูจน์ ให้ A  [aij] , B  [bij] , C  [cij] เป็ นเมทริกซ์ขนาด m  n 1. (A  B)  C  A  (B  C) (A  B)  C  [(aij  bij )  cij ] จากนิยาม 6.8  [aij  (bij  cij )] คุณสมบตั ิการเปลี่ยนกลุ่มสาหรับการบวก  A  (B  C) ดงั น้นั จะไดว้ า่ (A  B)  C  A  (B  C)2. A  B  BC AB  [aij  bij ] จากนิยาม 6.8 คุณสมบตั ิสลบั ท่ีการบวก  [bij  aij ]  BC ดงั น้นั จะไดว้ า่ A  B  BC3. A  [ 0 ]  A  [ 0 ]  A A  [ 0 ]  [aij  0] จากนิยาม 6.8  [aij ]  A เพราะ 0 เป็นเอกลกั ษณ์การบวก  [0  aij ]  [0]  A จากนิยาม 6.8 ดงั น้นั จะไดว้ า่ A  [ 0 ]  A  [ 0 ]  Aขอ้ 4 ถึงขอ้ 8 ใหน้ กั ศึกษาพิสูจนเ์ ป็นแบบฝึกหดั

บทท่ี 6 เมทริกซ์ และตวั กาหนด 2156.2.3 การคูณเมทริกซ์ดวยเมทริกซ์บทนิยาม 6.10 ถา้ A  [aij] เป็ นเมทริกซ์ขนาด m  p และ B  [bij] เป็ นเมทริกซ์ ขนาด p n แลว้ ผลคูณของเมทริกซ์ A และ B เขียนแทนดว้ ย AB  [cij] จะเป็นเมทริกซ์ที่มีขนาด m  n โดยที่ c ij มีคา่ เท่ากบั ผลบวกของผลคูณของ สมาชิกในแถวท่ี i ของ A กบั สมาชิก ในแ ถวท่ี j ของ B นน่ั คือ  a11 a12 a1p   b11 b12 b1n  ถา้ A  a 21 a22 ap  ,B  b 21 b22 b 2 n            a m1 am2 a mp   b p1 bp2 b pn       c11 c12 c1n  แลว้ AB  c 21 c22 c 2 n        c m1 cm2 c mn    โดยที่ cij  ai1 b1 j  ai2 b2 j  . . .  aip bpj เมื่อ 1  i  m , 1  j  n จากบทนิยาม 6.10 การคูณของเมทริกซ์ A กับ B จะสามารถหาผลคูณของท้งั สองเมทริกซ์ไดก้ ็ต่อเมื่อจานวนหลกั ของเมทริกซ์ A เท่ากบั จานวนแถวของเมทริกซ์ B และเมทริกซ์AB ที่ไดจ้ ะมีจานวนแถวเท่ากบั เมทริกซ์ A และมีจานวนหลกั เทา่ กบั เมทริกซ์ B การหาสมาชิกแต่ละตาแหน่งใน AB ทาไดโ้ ดยการนาสมาชิกในแถวของ A จบั คู่คูณกบัสมาชิกในหลกั ของ B ซ่ึงแตล่ ะคูจ่ ะใหค้ า่ ของ C เพยี งหน่ึงค่า ดงั ตวั อยา่ งตอ่ ไปน้ี 1 2 3 3 1 0  0ให้ A   1 1  และ B  1 1 2     1 2 1เนื่องจาก A มีขนาด 23 และ B มีขนาด 33ดงั น้นั AB จะมีขนาด 23ซ่ึงหา AB ไดด้ งั น้ี

216 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ 1 2 3  3 1 0 0 1  1 1AB   1  2 2   1  1นาหลกั ที่ 1 ของ B มาคูณกบั แถวท่ี 1 ของ A จะได้ c11 คือดงั น้นั c11  ( 1  3 )  ( 2  1 )  ( 3  1 )  323 8นาหลกั ท่ี 2 ของ B มาคูณกบั แถวท่ี 1 ของ A จะได้ c12 คือดงั น้นั c12  ( 1  (1) )  ( 2  1 )  ( 3  2 )  1  2  6 7นาหลกั ท่ี 3 ของ B มาคูณกบั แถวที่ 1 ของ A จะได้ c13 คือดงั น้นั c13  ( 1  0 )  ( 2  2 )  ( 3  1 )  043 7นาหลกั ที่ 1 ของ B มาคูณกบั แถวท่ี 2 ของ A จะได้ c21 คือดงั น้นั c21  ( (1)  3 )  ( 0  1 )  ( 1  1 )  3  0  2  2นาหลกั ที่ 2 ของ B มาคูณกบั แถวที่ 2 ของ A จะได้ c22 คือดงั น้นั c22  ( (1)  (1) )  ( 0  1 )  ( 1  2 )  102 3นาหลกั ที่ 3 ของ B มาคูณกบั แถวที่ 3 ของ A จะได้ c33 คือดงั น้นั c33  ( (1)  0 )  ( 0  2 )  ( 1  1 )  001 1

บทที่ 6 เมทริกซ์ และตวั กาหนด 217 ดงั น้นั AB   c11 c12 c13    c 21 c22 c 23     8 7 7   2 3 1   ตัวอย่าง 6.8 จงหา AB และ BA เมื่อกาหนดให้  1 2 2 2 1 1 1 A   1 0  และ B   3     3 1 วธิ ีทา เน่ืองจาก A มีขนาด 32 มีขนาด 23 B มีขนาด 33 มีขนาด 22 ดงั น้นั AB และ BA 1 2  2 2 1 0  1 1 หา AB   1 1   3     3  (1 2)  (2  3) (1 2)  (2 1) (11)  (2  1)   (1 2)  (0  3) (1 2)  (0 1) (1 1)  (0  1)    (3 2)  (1 3) (3 2)  (11) (31)  (1 1)   8 0 1   2 2 1   9 5 2 

218 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ 2 2 1   1 2 1 1   1 BA   3   3 0     1  (2  2)  (2  0)  (11) (2 1)  (2  1)  (1 3)   (3 1)  (1 1)  ( 1 3) (3 2 )  (1 0 )  ( 1 1)    7 5   1 5    จากตวั อยา่ ง 6.8 จะพบวา่ AB ≠ BAตัวอย่าง 6.9 กาหนดให้ 2 0 1 2 2 1 3 A  0 1 0  ,B  0 0  และ C  0 0        2   4 4   6  จงหา 1) AB 2) A(B  C)วธิ ีทา 1) A มีขนาด 23 , B มีขนาด 32 ดงั น้นั AB มีขนาด 22 2 0 1 2 2 1 AB   0 0   0 0        4 4  0 0 (4) 0  4 4  0  (4)    000 000   0 0      2) A มีขนาด 23 (B  C) มีขนาด 32 ดงั น้นั A(B  C) มีขนาด 22

บทท่ี 6 เมทริกซ์ และตวั กาหนด 219 2 2 1 3B C   0 0    0 0       4 4  2  6   2 1 2  (3)  00 00    4  2 4  (6) 1 1  0 0    2 2  2 0 1 1 1 1A(B  C)   0 0   0 0        2 2  2  0  2 2  0  2   0  0  0 000    0 0   0 0   

220 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ 2 0 0 1 0 0ตวั อย่าง 6.10 กาหนดให้ A   0 1 0  ,B   0 2 0      0 0 3  0 0 1 จงหา AB และ BAวธิ ีทา A เป็นเมทริกซ์ขนาด 33 , B เป็นเมทริกซ์ขนาด 33ดงั น้นั AB และ BA เป็ นเมทริกซ์ขนาด 33 2 0 0 1 0 0AB  0 1 0   0 2 0     0 0 3  0 0 1  2  0  0 0  0  0 0  0  0 2 0 0   0 0 0 020 0  0  0    0 2 0       0  0  0 0  0  0 0  0  3  0 0 3เนื่องจาก A , B เป็นเมทริกซ์ทแยงมุม ดงั น้นั ผลคูณของ AB หาไดโ้ ดย การหาผลคูณของสมาชิกในเส้นทแยงมุมหลกั 2 0 0ดงั น้นั BA   0 2 0     0 0 3ตัวอย่าง 6.10 กาหนดให้ A 2 0 จงหา A 2 และ A 3วธิ ีทา 1  0 เน่ืองจาก A เป็นเมทริกซ์ทแยงมุม การหาผลคูณของ AA หรือ A 2 ทาไดโ้ ดยการหาผลคูณของจานวนในแนวเส้นทแยงมุมหลกั A2  22 0   0 ( 1) ( 1)    4 0  0 1   

บทท่ี 6 เมทริกซ์ และตวั กาหนด 221A3  23 0      0 ( 1)3  8 0   0 1 ทฤษฎบี ท 6.2 กาหนดให้ A , B , C เป็นเมทริกซ์ และ k เป็นสเกลาร์ จะไดว้ า่ 1. A ( BC )  ( AB ) C 2. A ( B  C )  AB  AC 3. ( A  C ) C  AC  BC 4. k ( AB )  ( kA ) B  A ( kB ) การพิสูจนใ์ หท้ าเป็นแบบฝึกหดั6.3 เมทริกซ์สลบั เปลย่ี น สาหรับเมทริกซ์ A ใด ๆ ถา้ นาสมาชิกในแถวที่ 1 ของเมทริกซ์ A มาเขียนเป็ นสมาชิกในหลกั ท่ี 1 ของเมทริกซ์ B ถา้ นาสมาชิกในแถวที่ 2 ของเมทริกซ์ A มาเขียนเป็ นสมาชิกในหลกั ที่ 2ของเมทริกซ์ B ทาเช่นน้ีไปจนครบทุกแถวของเมทริกซ์ A เราจะไดเ้ มทริกซ์ B ซ่ึงมีสมาชิกในหลกัที่ i เหมือนกบั สมาชิกในแถวท่ี i ของเมทริกซ์ A เราจะเรียกเมทริกซ์ B ที่เกิดจากการสลบั ที่แถวเป็นหลกั ของเมทริกซ์ A น้ีวา่ เมทริกซ์สลบั เปล่ียนของเมทริกซ์ Aบทนิยาม 6.11 ถา้ A  [aij ]mn แลว้ เมทริกซ์สลบั เปลี่ยน (transpose of matrix) ของ เมทริกซ์ A เขียนแทนดว้ ย AT โดยที่ AT  [a ji ] nmตัวอย่าง 6.11 กาหนดให้ A 3 1 2 จงหา AT 0  1 4   วธิ ีทา AT เกิดจากการสลบั แถวและหลกั ของ Aแถวท่ี 1 ของ A คือ 3 , 1 , 2 จะถูกสลบั ใหเ้ ป็นหลกั ท่ี 1 ของ ATแถวที่ 2 ของ A คือ 1 , 0 , 4 จะถูกสลบั ใหเ้ ป็นหลกั ท่ี 2 ของ AT

222 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์เมทริกซ์ A ซ่ึงมีจานวนแถว 2 แถว จานวนหลกั 3 หลกัจะไดเ้ มทริกซ์ AT ซ่ึงมีจานวนแถว 3 แถว มีจานวนหลกั 2 หลกัดงั น้ี 3 1 AT   1 0     2 4  4 0 0 2ตวั อย่าง 6.12 กาหนดให้ A  1 2  และ B   1  3      2 1    1 4 จงแสดงวา่ (A  B)T  AT  BTวธิ ีทา  40 02 AB   11 (2)  (3)    (2)  (1) 1  4  4 2   2  5  (A  B)T AT  BT  3 5   4 2 3   2 5 5 ดงั น้นั ( A  B )T   4 1 2 0 1 1   0 2 1   2 3 4      4  0 1 1 (2)  (1)  0  2 (2)  (3) 14    4 2 3  2 5 5     AT  BT

บทที่ 6 เมทริกซ์ และตวั กาหนด 223ทฤษฎบี ท 6.3 กาหนดให้ A , B และ C เป็นเมทริกซ์ท่ีสามารถหาผลบวก และผลคูณได้ และ k เป็นสเกลาร์จะไดว้ า่ 1. ( A  B )T  AT  BT 2. ( A B )T  AT BT 3. ( k A )T  kAT 4. ( AT )T Aพสิ ูจน์ ให้ A  [aij ] , B  [ bij ] , C  [cij ] และ k เป็ นสเกลาร์ 1. จะแสดงวา่ ( A  B )T  AT  BT (A  B)T  [aij  bij ]T จากบทนิยาม 6.8 จากบทนิยาม 6.11  [a ji  b ji ] จากบทนิยาม 6.8  [a ji ]  [b ji ] จากบทนิยาม 6.11  AT  BT ดงั น้นั ( A  B )T  AT  BTขอ้ 2 , 3 และ 4 ใหน้ กั ศึกษาพสิ ูจนเ์ ป็นแบบฝึกหดั

224 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์บทนิยาม 6.12 เมทริกซ์จตั ุรัส A เป็นเมทริกซ์เอกลกั ษณ์อนั ดบั n เขียนแทนดว้ ย In เมื่อ 1 0 0 0 0  แถวท่ี 1 0 1 0 0 0 In  0 0 1 0 0   0 0 0 1  แถวท่ี n หลกั ท่ี 1 หลกั ที่ n  1 เม่ือ i  j  หรือ In  [aij ]nn โดยท่ี a ij    0 เม่ือ i ≠ jตัวอย่าง 6.13 พิจารณาเมทริกซ์เอกลกั ษณ์ต่อไปน้ีI2  1 0  0 1    1 0 0I3   0 1 0   I5  0 0 1 จะไดว้ า่ I2 1 0 0 0 0 I3 0 1 0 0 0 I5  0 0 1 0 0 0 0 0 1 0  0 0 0 0 1  เป็นเมทริกซ์เอกลกั ษณ์อนั ดบั 2 เป็นเมทริกซ์เอกลกั ษณ์อนั ดบั 3 เป็นเมทริกซ์เอกลกั ษณ์อนั ดบั 5

บทที่ 6 เมทริกซ์ และตวั กาหนด 2256.4 เมทริกซ์ผกผนั เมทริกซ์จตั ุรัสบางเมทริกซ์สามารถหาเมทริกซ์ผกผนั ไดด้ งั บทนิยาม 6.12บทนิยาม 6.12 ถา้ A เป็นเมทริกซ์จตั ุรัสใดๆ แลว้ A จะมีเมทริกซ์ผกผนั (inverse matrix) A 1ก็ต่อเม่ือ AA1  I  A1Aเม่ือ I เป็นเมทริกซ์จตั ุรัสที่มีขนาดเดียวกบั เมทริกซ์ Aเมทริกซ์ผกผนั ของ A เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ A 1ตัวอย่าง 6.14 ให้ A 3 1 และ B  2 1 จงแสดงวา่  5 2   5 3 วธิ ีทา    AB  A1  B และ B1  A   (3 2)  (1 (5)) (3 (1))  (1 3)  (5 2)  (2  (5)) (5  ( 1))  ( 2  3)   BA   6  5 3 3  10  10 5  6    1 0 จะไดว้ า่ ดงั น้นั  0 1   (2 3)  (1 5) (21)  (2 (1))  ( 5 3)  ( 3  5) (51)(3 2)     65 22  15  15 5  6   1 0  0 1   AB  I  BA A1  B และ B1  A

226 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ เมทริกซ์จตั ุรัสใดๆ อาจไม่จาเป็ นตอ้ งมีเมทริกซ์ผกผนั ก็ได้ ถา้ เมทริกซ์จตั ุรัสใดมีเมทริกซ์ผกผนั เราจะเรียกเมทริกซ์น้นั วา่ เมทริกซ์ไม่เอกฐาน(non-singular matrix) และเรียกเมทริกซ์ท่ีไม่มีเมทริกซ์ผกผนั วา่ เมทริกซ์เอกฐาน(singular matrix)ตวั อย่าง 6.15 กาหนดให้ 1 0 0 2 3 A 1 0 0  , B  1 4     1 0 0 จงแสดงวา่ เมทริกซ์ A , B เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐานหรือเมทริกซ์เอกฐานวธิ ีทา 1) ถา้ A มี A 1 จะไดว้ า่ AA 1  I a b c กาหนดให้ A1   d e f    g h i  1 0 0 a b c ทาให้ AA1  1 0 0   d e f     1 0 0  g h i  a 0 0 1 0 0 AA1   d 0 0   0 1 0    g 0 0  0 0 1  ดงั น้นั A เป็นเมทริกซ์ท่ีไม่มีเมทริกซ์ผกผนั สรุปวา่ A เป็นเมทริกซ์เอกฐาน 2) ถา้ B มี B1 จะไดว้ า่ BB1  I ถา้ ให้ B1  a b  c d  

บทท่ี 6 เมทริกซ์ และตวั กาหนด 227 BB1  1 0a b  0 1   c d     2a  3c 2b  3d 1 0    a  4 c b  4d   0 1    จะไดว้ า่ 2a  3c  1 ………(1) a  4c  0 ……….(2)(1) 2(2) จะได้ (2a  3c)( 2a  8c) 10 11c  1 c 1  11 a  0  4c  4( 1)  4 11 11และจาก 2b  3d  0 ………(3) b  4d  1 ……….(4)(3)  2(4) จะได้ (2b  3d)  (2b  8d)  0  2 11d  2 d  2 11จาก (4) b  1  4d  1  4( 2 )  11 3 11  4 3 จะไดว้ า่ B1   11 11  1 2     11 11 ดงั น้นั B เป็นเมทริกซ์ไมเ่ อกฐาน

228 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์การหาเมทริกซ์ผกผนั ของ A ที่มีขนาด 22 น้ันทาได้โดยการใชบ้ ทนิยาม คือ ถ้า Aสามารถหา A 1 ได้ จะไดว้ า่ AA1  I  A1Aจากน้นั กาหนดให้ A 1  a b  c d   แลว้ แกส้ มการเพื่อหาค่าของ a , b , c และ d ท่ีสอดคลอ้ งกบั คาตอบของสมการ แต่ถา้ไมส่ ามารถหาค่า a , b , c และ d ที่สอดคลอ้ งกบั สมการไดแ้ สดงวา่ ไมส่ ามารถหา A 1 ได้ตวั อย่าง 6.16 จงหาเมทริกซ์ผกผนั ของ A เม่ือกาหนดให้ A 4 1  2 5    a bวธิ ีทา ถา้ A มีเมทริกซ์ผกผนั คือ A 1  แลว้  c d    4 1 a b 1 0 AA1    2 5   c d   0 1       4 1 a bหา AA1   2 5   c d       4a  c 4b d    2a  5c 2 b  5d   จากสมบตั ิการเทา่ กนั ของเมทริกซ์ จะไดว้ า่ 4a  c  1 ………(1) 2a  5c  0 ……….(2)(1)  2 (2) จะได้ (4a  c)  (4a  10c)  1 11c  1 c 1แทนคา่ c ใน (1) จะได้  11 4a  1  c 4a  1  ( 1 ) 11

บทที่ 6 เมทริกซ์ และตวั กาหนด 229 a 10 ………(3) ……….(4)  11( 4 ) 4b  d 5 22 0 2b  5d  1 (3)  2 (4) จะได้ (4b  d)  (4b  10d)  0  2 11d  2 d 2แทนค่า d ใน (1) จะได้ 11 4b  0d 4b  b 2 A1  11 1 22 5 1จะไดว้ า่  22 22  1 2     11 11 ตวั อย่าง 6.17 กาหนดให้ A a b จงหา A 1  c d    e fวธิ ีทา ให้ A1   g h   จากบทนิยาม AA 1  Iดงั น้นั a be f  1 0  c d   g h   0 1        ae  bg af  bh  1 0   ce  dg cf  dh  0 1    

230 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์จะไดว้ า่ 1 …………(1) , ad  bc ≠ 0 ae  bg  0 …………(2) , ad  bc ≠ 0 ce  dg  d …………(3) 0 …………(4)d (1) จะได้ aed  bgd  db(2) จะได้ ceb  dgb  d(3)  (4) จะได้ aed  ceb  d ( ad  cb ) e  ad  bc e แทนคา่ e ใน (2) จะได้ dg  c( d ) ad  bc g c( d ) g d ad  bc c af  bh  cf  dh  ad  bcd (5) จะได้ afd  bhd b(6) จะได้ cfb  dhb  0 …………(5)(7)  (8) จะได้ afd  cfb  1 …………(6) f ( ad  cb )  d …………(7) 0 …………(8)f  b b b ad  bcแทนค่า f ใน (5) จะได้ bh   a( ad b )  bc h a( b ) b ad  bc

บทท่ี 6 เมทริกซ์ และตวั กาหนด 231 h a  ad  bc  d b จะไดว้ า่ A 1  ad  bc ad  bc      c a   ad  bc ad  bc  1 d b A 1  ad  bc c a  จากตวั อยา่ ง 6.17 นอกจากการหาเมทริกซ์ผกผนั ของ A โดยใชบ้ ทนิยาม AA1  Iแลว้ ถา้ A เป็นเมทริกซ์จตั ุรัสขนาด 2  2 เราสามารถหา A 1 ไดจ้ าก A 1  1 d b ad  bc c a  เม่ือ A  a b และ ad  bc ≠ 0  c d   ซ่ึงวธิ ีการน้ีจะง่ายและสะดวกตอ่ การหา A 1 มากกวา่ วธิ ีการหาโดยใชบ้ ทนิยามตัวอย่าง 6.18 จงหาเมทริกซ์ผกผนั ของเมทริกซ์ A , B เม่ือกาหนด A  2 4 , B  2 6วธิ ีทา  3 1   1 3     หา A 1 เมื่อ A  2 4  3 1    ad  bc  2(1)  (4)3  2  12  14

232 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์  A 1  1 1 4 14  3 2     1 2   14 7  3 1    14 7  หา B1 เม่ือ B  2 6  1  3    ad  bc  2(3)  6(1)  6  6 0 เน่ืองจาก ad  bc  0 จึงไม่สามารถหา B1 ได้  1 2 ดงั น้นั A 1   14 7 แต่ B ไม่มีเมทริกซ์ผกผนั  3 1    14 7  ถา้ A และ B เป็ นเมทริกซ์จตั ุรัสขนาดเดียวกนั และมีเมทริกซ์ผกผนั แลว้ สมบตั ิต่อไปน้ีเป็ นจริ ง 1. (A1 )1  A 2. (AT )1  (A1 )T 3. (AB)1  B1A1 4. (A n )1  (A 1 )n  A n เม่ือ n เป็ นจานวนเตม็ บวก 5. (kA)1  1 A1 k

บทท่ี 6 เมทริกซ์ และตวั กาหนด 2336.5 ตัวกาหนด เราสามารถหาตวั กาหนดของเมทริกซ์ขนาด nn โดยอาศยั บทนิยาม 6.13 ดงั น้ีบทนิยาม 6.13 ให้ A เป็นเมทริกซ์ขนาด nn ตวั กาหนด(determinant)ของ A เขียนแทน ดว้ ย det(A) หรือ | A | โดยที่ 1. ถา้ A  [a11 ] แลว้ det(A)  a11 2. ถา้ A   a11 a12  แลว้  a 21 a 22    det(A)  a11a22  a12a21 a11 a12 a13    3. ถา้ A   a 21 a22 a 23  a31 a32 a33  แลว้ det(A)  a11a22a33  a12a23a31  a13a21a32  a31a22a13  a32a23a11  a33a21a12จากบทนิยาม 6.13 จะไดว้ า่ ถา้ A เป็นเมทริกซ์ขนาด 22 โดยท่ี A  a b  c d  แลว้ det (A)  ad  bcแต่ถา้ A เป็ นเมทริกซ์ขนาด 33 การหา det(A) อาจทาไดโ้ ดยการเติมหลกั ที่ 1และหลกั ที่ 2 ต่อทา้ ยเมทริกซ์เดิม จากน้นั หา det(A) โดยการหาผลบวกของผลคูณของสมาชิกในแนวเส้นทแยงมุมจากบนซา้ ยมาล่างขวา แลว้ ลบดว้ ยผลคูณของสมาชิกในแนวเส้นทแยงมุมจากล่างซา้ ยไปบนขวา ดงั ตวั อยา่ งต่อไปน้ีตวั อย่าง 6.19 จงหาตวั กาหนดของเมทริกซ์ตอ่ ไปน้ี 1) A  5 2 2) 1 0   2 3 1 B  1 2 1    1 1 1

234 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์  2 4 1 3) C   1 2 0   วธิ ีทา 1) 1 2 2  จาก A 5 2  1 0    det(A)  5(0)  (2) (1)  0  (2) 2 2 3 12) B   1 2 1    1 1 1เติมหลกั ที่ 1 และ 2 ต่อทา้ ยเมทริกซ์ B จะได้  2 3 1 2 3 det(B)  1 2 1 1  2 1 1 1 1 1   det(B)  (2)(2)(1)  (3)(1)(1)  (1)(1)(1)  (1)(2)(1)  (1)(1)(2)  (1)(1)(3)  4 31223 5 ดงั น้นั det(B)  5

บทท่ี 6 เมทริกซ์ และตวั กาหนด 235  2 4 13) C   1 2 0    1 2 2  เติมหลกั ท่ี 1 และ 2 ต่อทา้ ยเมทริกซ์ B จะได้ det(C)   det(C)  2 41 2 4   1 20 1 2 1 2 2 1 2  (2)(2)(2)  (4)(0)(1)  (1)(1)(2)  (1)(2)(1)  (2)(0)(2)  (2)(1)(4) 8 02208 0 การหาตวั กาหนดของเมทริกซ์ขนาด 33 นอกจากจะใช้วิธีเพ่ิมหลกั ท่ี 1 และหลกั ท่ี 2แลว้ หาผลบวกของผลคูณของสมาชิกในแนวทแยงมุมบนซ้ายมาล่างขวาลบดว้ ย ผลบวกของผลคูณของสมาชิกในแนวทแยงมุมจากล่างซ้ายมาบนขวา ตามวิธีการขา้ งตน้ แลว้ ยงั สามารถหาตวั กาหนดของเมทริกซ์ขนาด 33 หรือมากกวา่ โดยวธิ ีการลดทอนอนั ดบั ของตวั กาหนดให้นอ้ ยลงเรื่อยๆ จนสามารถหาตวั กาหนดไดง้ ่ายๆ และรวดเร็ว โดยอาศยั ค่าไมเนอร์และ โคแฟคเตอร์ ดงั จะกล่าวถึงตอ่ ไปน้ีบทนิยาม 6.14 ให้ A  [aij ]nn ไมเนอร์(minor) ของ a ij คือตวั กาหนดของสมาชิก A ที่เหลือจากการตดั แถวที่ i และหลกั ท่ี j ของ A ออกไป เขียนแทนดว้ ย M ijตัวอย่าง 6.20 กาหนดให้ A 3 1 จงหาไมเนอร์ของสมาชิก A ท้งั หมดวธิ ีทา  4 2    M11 คือ det(A) เมื่อตดั แถวท่ี 1 และหลกั ที่ 1 ออก  M11  -2

236 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ M12 คือ det(A) เมื่อตดั แถวท่ี 1 และหลกั ท่ี 2 ออก  M12  4 M 21 คือ det(A) เม่ือตดั แถวท่ี 2 และหลกั ที่ 1 ออก  M21  1 M 22 คือ det(A) เมื่อตดั แถวท่ี 2 และหลกั ท่ี 2 ออก  M22  3 1 2 4 ตวั อย่าง 6.21 จงหาไมเนอร์ของสมาชิกทุกตวั ใน A เม่ือกาหนดให้ A   3 1 2    0 2 0  1 2 4วธิ ีทา จากกาหนดให้ A  3 1 2  จะได้   0 2 0  1 2 M11  20  0  (4) 4 M12  3 2 0 0 0  00 M13  3 1 6 0 2  60 M21  24  8 2 0  08 M22  14 0 0 0  00 M23  12 2 0 2  20 M31  24 4  (4)  0 1 2 

บทที่ 6 เมทริกซ์ และตวั กาหนด 237 M32  14 M33  3 2  2  12  14 12 3 1  1  6  7บทนิยาม 6.15 ให้ A  [aij ]nn โคแฟคเตอร์(cofactor) ของ a ij เขียนแทนดว้ ย A ij โดยที่ A ij  (1)i j M ijตัวอย่าง 6.22 จงหาโคแฟคเตอร์ของสมาชิกทุกตวั ของ A เม่ือกาหนดให้ A  3 1  4 2    3 1วธิ ีทา จากกาหนดให้ A   4 จะได้ 2   โคแฟคเตอร์ของ 3  A11  (1)2 (1)  1 โคแฟคเตอร์ของ 4  A12  (1)3 (2)  2 โคแฟคเตอร์ของ 2  A21  (1)3 (4)  4 โคแฟคเตอร์ของ 1  A22  (1)4 (3)  3 1 2 4 ตัวอย่าง 6.2 จงหาโคแฟคเตอร์ของสมาชิกทุกตวั ของ A เมื่อกาหนดให้ A   3 1 2    0 2 0  1 2 4 วธิ ีทา จากกาหนดให้ A   3 1 2  จะได้   0 2 0  A11  (1)2 M11  4 1 2  20

238 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์A12  (1)3 M12  0 3 2  0 0A13  (1)4 M13  6 3 1  02A21  (1)3 M21  8 24  2 0A22  (1)4 M22  0 14  00A23  (1)5 M23  2 12  0 2A31  (1)4 M31  8 24  20A32  (1)5 M32  (2  12)  14 14   3 2

บทที่ 6 เมทริกซ์ และตวั กาหนด 239 A33  (1)6 M33  7 12   3 1ตวั อย่าง 6.24 จงหาโคแฟคเตอร์ของ a31 , a43 และ a44 เม่ือกาหนดให้ 2 0 3 1  A 1 1 2 1    3 4 1 2  0 2 3 1  2 0 3 1 วธิ ีทา จากกาหนดให้ A  1 1 2 1   3 4 1 2  0 2 3 1 จะได้ A31  (1)4 M31 0 3 1 0 3  1 2 1 1 2 2 3 1 2 3  063403 2 A43  (1)7 M43 2 0 12 0   1 1 1 1 1  3 423 4  (4  0  4  3  8  0) 11

240 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์A44  (1)8 M44 2 0 3 2 0  1 1 2 1 1 3 4 1 3 4   ( 2  0  12  9  16  0 ) 34 พิจารณาความแตกตา่ งระหวา่ งไมเนอร์ M ij กบั โคแฟคเตอร์ A ij ของสมาชิก a ij ของเมทริกซ์ A ท้งั สองคา่ จะแตกตา่ งกนั ตรงที่โคแฟคเตอร์มี (1)i j ซ่ึงก็คือเครื่องหมายของ M ijนนั่ เอง จะเห็นวา่ ถา้ i  j เป็นจานวนคูแ่ ลว้ (1)i j  1 ซ่ึงใหเ้ คร่ืองหมาย  แต่ถา้ i  jเป็ นจานวนค่ีแลว้ (1)i j  1 ซ่ึงให้เครื่องหมาย  ดงั น้นั เครื่องหมายของโคแฟคเตอร์ของสมาชิกแต่ละตวั ของ A เป็นดงั น้ี  เม่ือ A มีขนาด 22           เม่ือ A มีขนาด 33           เมื่อ A มีขนาด 44           เราจะใชไ้ มเนอร์และโคแฟคเตอร์ในการหาตวั กาหนดของเมทริกซ์จตั ุรัสขนาด nn(n 2 ) โดยวธิ ีการลดทอนโดยอาศยั บทนิยามตอ่ ไปน้ี

บทท่ี 6 เมทริกซ์ และตวั กาหนด 241บทนิยาม 6.16 ถา้ A เป็นเมทริกซ์จตั ุรัสขนาด nn (n 2 ) แลว้ det(A) จะมีค่าเท่ากบั ผลบวก ของผลคูณของสมาชิกในแถวใดแถวหน่ึง หรือ หลกั ใดหลกั หน่ึง กบั โคแฟคเตอร์ ของสมาชิกตวั น้นั นนั่ คือ a11 a12 a1j a1n   a 21 a22 a2 j a 2 n    ถา้ A    a i1 ai2 a ij a in      a n1 a n 2 a nj a nn  ถา้ เลือก แถวที่ i det(A)  ai1A i1  ai2A i2   aijA ij   ain A in ถา้ เลือกหลกั ที่ j det(A)  a1 jA1 j  a2 jA2 j   aijAij   anjA njตวั อย่าง 6.25 จงหาตวั กาหนดของเมทริกซ์ตอ่ ไปน้ี 1. 2. A  3 4 3.  2  1    1 2 4  A   3 1 2    0 2 0  2 0 3 1  A 1 1 2 1   3 4 1 2   0 2 3 1 

242 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์วธิ ีทา A  3 4 จะหา det(A) โดยวธิ ีการลดทอน 1. 1   2  ถา้ เลือกแถวท่ี 1 det(A)  3A11  4A12  3(1)2 (1)  (4)(1)3 (2)  3  8 5 ถา้ เลือกหลกั ที่ 2 det(A)  4A12  (1)A22  4(1)3 (2)  (1)(1)4 (3)  8  (3) 5 จะเห็นวา่ ไม่วา่ จะเลือกแถวใดหรือหลกั ใดก็ตาม ค่าของ det(A) จะมีค่าเท่ากนั คือ เทา่ กบั 5 1 2 4 2. A   3 1 2  จะหา det(A) โดยการลดทอน   0 2 0  เลือกแถวท่ี 3 det(A)  (0)A31  2A32  (0)A33  0  2(1)5 1 4 0 3 2  2 ( 2  12 )  28

บทที่ 6 เมทริกซ์ และตวั กาหนด 243 หรือ เลือกแถวที่ 1 det(A)  1A11  2A12  4A13  1(1)2 1 2  2(1)3 3 2  4(1)4 3 1 2 0 0 0 0 2 det(A)  (0  4)  (2)(0)  4(6  0)  4  0  24  28 หรือ เลือกหลกั ที่ 3 det(A)  4A13  (2)A23  (0)A33  4(1)4 3 1  (2)(1)5 1 2 0 2 0 2 0  4(6  0)  2(2  0)  0  24  4  28 ดงั น้นั det(A)  28 2 0 3 1 3. A 1 1 2 1     3 4 1 2   0 2 3 1  เลือกแถวท่ี 1 det(A)  2A11  (0)A12  (3)A13  1A14  2A11  0  3A13  A14

244 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ 1 2 1 เลือกแถวที่ 1A11  (1)2 4 1 2 231 (1)(1)2 1 2  2(1)3 4 2  (1)(1)4 4 1 3 1 2 1 2 3 (1  6)  2(4  4)  (12  2) 7  0  14 7 1 1 1 เลือกแถวท่ี 3A13  (1)4 3 4 2 0 2 1 0 2(1)5 1 1  (1)(1)6 1 1 3 2 3 4 0  2(2  3)  (4  3) 10  7 17 1 1 2 เลือกแถวที่ 1A14  (1)5 3 4 1 02 3 ( 1(1)2 4 1  3(1)3 1 2 2 3 2 3  0)   ( 1(12  2)  3(3  4) )   ( 14  21)  7คา่ det(A)  2A11  3A13  A14  2(7)  3(17)  7  44

บทที่ 6 เมทริกซ์ และตวั กาหนด 245ถา้ A เป็นเมทริกซ์จตั ุรัสขนาด nn โดยเฉพาะ ถา้ n  3 แลว้ เราสามารถใชค้ ุณสมบตั ิต่อไปน้ีเพอื่ ช่วยในการหาตวั กาหนดของเมทริกซ์ใหไ้ ดง้ ่ายข้ึน ดงั น้ี1. ถา้ สมาชิกแถวใดแถวหน่ึงหรือหลกั ใดหลกั หน่ึงของ A มีคา่ เป็น 0 หมดแลว้ det(A)  0เช่น1.1 เมื่อ A 0 1  0 3   01 จะได้ det(A)  0 3  0 0 0 01.2 เมื่อ A  1 2 3   4 5 6  000 จะได้ det(A)  1 2 3 เลือกแถวท่ี 1 456  (0)A11  (0)A12  (0)A13 02. ถา้ สมาชิกใน 2 แถวใดๆ (หรือ 2 หลกั ใดๆ) ของ A มีคา่ เท่ากนั แลว้ det(A)  0 เช่น 121det(A)  1 3 1 เลือกหลกั ท่ี 1  111   1(1)2 3 1  1(1)3 2 1  1(1)4 2 1  1 1 1 1 3 1 (3  1)  (2  1)  (2  3) 211 0

246 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์3. ถา้ สมาชิกในแถว(หรือหลกั ) หน่ึงเป็น k เท่าของอีกแถว(หรือหลกั )หน่ึง โดยท่ี k ≠ 0 แลว้ det(A)  0 เช่น 1 3 2A  3 9 6  เลือกหลกั ท่ี 1   3 1 1 6 2 3 2det(A)  9 1 3 1 9 6 1(1)2 1  3(1)3 1  2(1)4  (9  6)  3(  3  2)  2(18  18)  15  15  0 04. ถา้ เมทริกซ์ B ไดจ้ ากการสลบั ท่ี 2 แถวใดๆ(หรือ 2 หลกั ใดๆ) ของเมทริกซ์ A แลว้ det(B)   det(A) เช่น 1 2 0 3 2 1A  3 2 1 , B   1 2 0      2 3 1  2 3 1จะเห็นวา่ B เกิดจากการสลบั ท่ีของ แถวที่ 1 และ 2 ของ Adet(A)  1(1)2 2 1  2(1)3 3 1  0(1)4 3 2 3 1 2 1 2 3  (2  3)  2( 3 2)  5  10  5det(B)  1(1)3 2 1  2(1)4 3 1  0(1)5 3 2 3 1 2 1 2 3  (2  3)  2( 3  2)  5  10 5 จะไดว้ า่ det(B)   det(A)5. ถา้ เมทริกซ์ B ไดจ้ ากการนาสเกลาร์ k คูณแถวใดแถวหน่ึง (หรือหลกั ใดหลกั หน่ึง)ของ A แลว้ det(B)  k det(A)

บทท่ี 6 เมทริกซ์ และตวั กาหนด 247 1 1 2  3 3 6 A  3 2 2  , B   3 2 2      2 0 1  2 0 1 จะเห็นวา่ B เกิดจากการนา 3 คูณในแถวท่ี 1 ของ Adet(A)  2(1)4 1 2  0  1(1)6 1 1 2 2 3 2  2(2  4)  (2 3)  4  5 1det(B)  2(1)4 3 6  0  1(1)6 3 3 2 2 3 2  2(6  12)  (6 9)  12  15 3จะไดว้ า่ det(B)  3 det(A) จากสมบตั ิขอ้ น้ี ถา้ B  kA เมื่อ A เป็นเมทริกซ์ขนาด nnจะไดว้ า่ det(B)  det(kA)  knAเช่น A 1 2 , B  4 8  3  1   12  4     det(A)  (1  6)  5det(B)  (16  96)  80  16(5)  42 (5)เน่ืองจาก B  4A และ A เป็นเมทริกซ์ขนาด 22 det(B)  42 det(A)

248 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์6. ถา้ แยกสมาชิกในแถว(หรือหลกั )ใดๆ ออกมาเป็ นผลบวกของจานวนใดๆแล้ว det(A) สามารถแยกออกเป็นผลบวกของตวั กาหนด 2 จานวน เช่น 23 4 11 21 22det(A)  0 1 5 0 1 5 0 2 1 0 2 1 12 2 11 2det(B)  0 1 5  0 1 5 0 2 1 02 1det(A)  2(1)2 1 5 2 1  0  0  2 ( 1  10)  22det(B)  ( 1(1)2 1 5  0  0 )  ( 1(1)2 1 5 2 1 2 1  0  0 )  ( 1  10)  ( 1  10)  22  det(A) จะไดว้ า่ det(A)  ( 11)  ( 11)  227. ถ้าเมทริกซ์ B ไดจ้ ากการนาสเกลาร์ k ใดๆ ไปคูณแถวใดแถวหน่ึง(หรือหลกั ใด หลกั หน่ึง) แลว้ นาไปบวกกบั อีกแถวหน่ึง(หรือหลกั หน่ึง) แลว้ det(A)  det(B) เช่น 0 1 1A  2 3 2    1 1 3นา 2 ไปคูณกบั แถวท่ี 3 แลว้ นาไปบวกกบั แถวท่ี 2 ใหเ้ ป็นเมทริกซ์ B จะได้แถวที่ 2 ของเมทริกซ์ B มีสมาชิกเป็น 2(1)  2  0 , 2(1)  3  5 ,2(3)  2  4 ดงั น้ี

บทท่ี 6 เมทริกซ์ และตวั กาหนด 249 0 1 1 B  0 5 4   1 1 3  011det(A)  2 3 2 1 1 3  0  1(1)3 2 2  1(1)4 2 3 1 3 1 1  (6  2)  ( 2  3)  4  (5)  9 01 1det(B)  0 5 4 1 1 3  0  0  1(1)4 1 1 5 4  ( 4  5)  9 นน่ั คือ det(A)  det(B)8. ถา้ A และ B เป็นเมทริกซ์จตั ุรัสที่มีขนาดเทา่ กนั แลว้det(AB)  det(A) · det(B)เช่น A  1 2 , B 1 0  3 4   2 1      1 4 0  2 3 2AB    3  8 0  4   5 4    det(A)  (4  6)  2det(B)  (1  0)  1det(AB) (12  10)  2

250 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ ดงั น้นั det(AB)  det(A) · det(B) จากสมบตั ิขอ้ น้ี ถา้ B  A n เมื่อ n เป็นจานวนเตม็ บวกแลว้ det(A n )  (det(A))n9. ถา้ a เป็นเมทริกซ์สามเหล่ียมใดๆ(สามเหล่ียมบนหรือสามเหล่ียมล่าง) แลว้ det(A) จะเทา่ กบั ผลคูณของสมาชิกในเส้นทแยงมุมหลกั เช่น1 2 1 1 0 0A  0 2 1  , B   1 2 0    0 0 3   3 0 4 A เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง , B เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนdet(A)  3(1)6 1 2 0 2det(A)  3( 2  0) 6พิจารณาสมาชิกในเส้นทแยงมุมหลกั ไดแ้ ก่ 1 , 2 , 3 และ 123  6  det(A) 1 0 0det(B)  1 20 3 04 4(1)6 1 0 1 2  4( 2  0)  8พจิ ารณาสมาชิกในเส้นทแยงมุมหลกั ไดแ้ ก่ 1 , 2 , 4และ 1  2  4  8  det(B) จากสมบตั ิขอ้ น้ี พจิ ารณาเมทริกซ์เอกลกั ษณ์ In ซ่ึงเป็นเมทริกซ์สามเหล่ียมขนาด n  n ซ่ึงมีสมาชิกในเส้นทแยงมุมหลกั เป็น 1 ทุกตวั ดงั น้นัจะไดว้ า่ det(I)  1

บทที่ 6 เมทริกซ์ และตวั กาหนด 25110. det(AT )  det(A) เม่ือ A เป็ นเมทริกซ์จตั ุรัสใดๆ เช่น  3 1 4A  2 0 3     1 1 2  3 2 1 จะไดว้ า่ A  AT  1 0 1 4 3 2  det(A)  24และ det(AT )  24ดงั น้นั det(AT )  det(A)11. ถา้ A เป็นเมทริกซ์จตั ุรัสที่ไม่เอกฐาน หรือ A เป็นเมทริกซ์ที่มีเมทริกซ์ผกผนัแลว้ det(A 1 )  1 เช่น det( A ) 1 2A จะได้ det(A)  ( 4  6 )  2  3 4    1 4 2และ A1  2   3 1    2 1    3 1     2 2 ดงั น้นั det(A 1 )  (2)( 1)  3 1  2 22 1นน่ั คือ det(A 1 )  det( A ) เราจะใชค้ ุณสมบตั ิต่างๆท้งั 11 ขอ้ น้ีมาช่วยในการหาตวั กาหนดของเมทริกซ์ที่กาหนดให้ไดง้ ่ายข้ึน ดงั ตวั อยา่ งต่อไปน้ี

252 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ตวั อย่าง 6.26 จงหาตวั กาหนดของเมทริกซ์ A และ B ต่อไปน้ี 1)  3 4 1 2 0   6 4 3 0 0   A  2 0 0 0 0  1 4 0 0 0  3   3 2 1 6  1 1 1 3 2) B  2 2 3 1  2 1  0 1  1 3 2 2   วธิ ีทา det(A)  3 4 1 2 0 1) 6 4 3 0 0 2 0 0 0 0 1 4 0 0 0 3 2 3 1 6 สลบั ที่แถวที่ 3 กบั 1 แทนดว้ ย R3  R1 2 0 0 0 0 6 4 3 0 0 det(A)  () 3 4 1 2 0 1 4 0 0 0 3 2 3 1 6

บทท่ี 6 เมทริกซ์ และตวั กาหนด 253สลบั ท่ีแถวที่ 4 กบั 2 แทนดว้ ย R4  R2 2 0 0 0 0 1 4 0 0 0det(A)  ()() 3 4 1 2 0 6 4 3 0 0 3 2 3 1 6สลบั ที่แถวท่ี 3 กบั 4 แทนดว้ ย R4  R3 0 0 2 0 0 0 0 0 1 4 0 0 6det(A)  ()()() 6 4 3 0 3 4 1 2 3 2 3 1จะไดเ้ มทริกซ์สามเหลี่ยมบน หาผลคูณของสมาชิกในเส้นทแยงมุมหลกั det(A)   (2)(4)(3)(2)(6)  288

254 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ 1 1 1 32) det(B) 2 2 3 1 det(B)  0 1 2 1 1 det(B) 1 3 2 2 5 det(B) 1 1 1 3 5 0 1 2 1 R3  R2  () 2 2 3 1 1 3 2 2 1 1 1 3 0 1 2 1  () 0 0 5 7 R3   2R1  R3 1 3 2 2 1 1 1 3 0 1 2 1 R4  R1  R4  () 0 0 5 7 02 1 5 1 1 1 3 0 1 2 1  () 0 0 5 7 R 4  (2)R 2  R 4 0 0 3 7 1 1 1 3 0 1 2 1 1 R 3 5  () 0 0 1  7 5 0 0 3 7 1 1 1 3 0 1 2 1 R4  3R3  R4  () 0 0 1  7 5 0 0 0 14 5