บทที่ 2 ความน่าจะเป็น

บทที่ 2 ความน่าจะเป็ น ในชีวติ ประจำวนั ของคนเรำน้นั จำเป็ นตอ้ งเผชิญกบั ปัญหำที่จะตอ้ งตดั สินใจวำ่ เหตุกำรณ์ต่ำงๆ จะเกิดข้ึนหรือไม่ ซ่ึงส่วนใหญ่เรำใช้วิธีกำรคำดคะเนโอกำสของกำรเกิดเหตุกำรณ์ต่ำงๆเช่น ถำ้ ออกเดินทำงในเวลำ 07.00 นำฬิกำ รถจะติดตอ้ งตดั สินใจเล่ียงไปใชเ้ ส้นทำงอื่น หรือถ้ำเลือกเรียนครุศำสตร์ สำขำคณิตศำสตร์ เมื่อจบแลว้ จะหำงำนทำไดง้ ่ำยเพรำะเป็ นสำขำขำดแคลนจึงตดั สินใจเลือกเรียน หรือเมื่อเห็นทอ้ งฟ้ ำมืดคร้ึมกค็ ำดคะเนวำ่ ฝนจะตกจึงตอ้ งเตรียมร่ม หรือเส้ือกนั ฝนก่อนออกเดินทำง เป็ นตน้ ในกำรคำดคะเนมกั จะคิดอยำ่ งคร่ำวๆ กำรตดั สินใจจึงอำจจะถูกหรืออำจจะผดิ ก็ได้ ในทำงคณิตศำสตร์จะมีกำรคำดคะเนโอกำสที่จะเกิดข้ึนหรือไม่ของเหตุกำรณ์ต่ำง ๆ เป็นจำนวนหรือตวั เลขหรือเปอร์เซ็นต์ เรำเรียกค่ำน้ีวำ่ ควำมน่ำจะเป็น2.1 ความหมายของความน่าจะเป็ น ควำมน่ำจะเป็ นของเหตุกำรณ์ หมำยถึงตัวเลขท่ีใช้บอกโอกำสของกำรเกิดข้ึนของเหตุกำรณ์ท่ีสนใจว่ำจะมีโอกำสเกิดข้ึนได้มำกน้อยเพียงใด ควำมน่ำจะเป็ นหำจำกอตั รำส่วนระหวำ่ งจำนวนเหตุกำรณ์ท่ีเกิดข้ึนตำมขอ้ สังเกตของกำรทดลองต่อจำนวนวิธีที่เป็ นไปไดท้ ้งั หมดในกำรทดลองน้นั เช่น ในกำรโยนเหรียญ 1 เหรียญ 2 คร้ัง ถำ้ ผลลพั ธ์ท่ีสนใจคือกำรข้ึนหวั หรือข้ึนกอ้ ยของเหรียญจะไดว้ ำ่ ปริภูมิตวั อยำ่ ง S1 = { HH , HT ,TH , TT } มีจำนวนผลลพั ธ์หรือจำนวนสมำชิกในปริภูมิตวั อยำ่ งจำนวน 4 ตวั หรือแทนดว้ ย n(S1) = 4 เม่ือพิจำรณำผลลพั ธ์ท่ีจะเกิดข้ึนแตล่ ะแบบพบวำ่ โอกำสในกำรที่จะเกิดผลลพั ธ์แต่ละแบบจะมีค่ำเท่ำ ๆ กนั ยกตวั อยำ่ งเช่นโอกำสที่เหรียญจะข้ึน HH , HT ,TH หรือ TT จะมีค่ำ 1 ใน 4 เท่ำกนั แต่ถำ้ กำรทดลองสุ่มน้ีผลลพั ธ์ที่สนใจคือจำนวนเหรียญท่ีข้ึนกอ้ ย จะไดป้ ริภูมิตวั อยำ่ งคือ S2 = { 0 , 1 , 2 } มีจำนวนสมำชิก3 ตวั แทนดว้ ย n(S2) = 3 เม่ือพิจำรณำผลลพั ธ์แต่ละแบบ โอกำสท่ีเหรียญจะข้ึนกอ้ ย 1 เหรียญจะเป็น 2 ใน 4 หรือ 1 ใน 2 ซ่ึงมำกกวำ่ โอกำสในกำรที่เหรียญจะข้ึนกอ้ ย 0 เหรียญหรือ 2 เหรียญซ่ึงมีโอกำสเกิดข้ึนเพยี ง 1 ใน 4 เทำ่ น้นัตัวอย่าง 2.1 บริษทั แห่งหน่ึงตอ้ งกำรสุ่มพนกั งำนไปประจำสำขำใหม่จำนวน 3 คน จงเขียนปริภูมิตวั อยำ่ งและจำนวนสมำชิกของปริภูมิตวั อยำ่ งเมื่อกำหนดใหผ้ ลลพั ธ์ที่สนใจคือ 1. เพศของพนกั งำนท้งั สำมคนท่ีสุ่มได้

58 ควำมน่ำจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ 2. จำนวนพนกั งำนท่ีเป็นหญิงจำกกำรสุ่มพนกั งำนจำนวน 3 คนวธิ ีทา สำมำรถเขียนปริภูมิตวั อยำ่ ง และจำนวนสมำชิกของปริภมู ิตวั อยำ่ ง ดงั น้ี 1. ให้ S1 แทนปริภูมิตวั อยำ่ งเม่ือผลลพั ธ์ที่สนใจคือเพศของพนกั งำนที่สุ่มได้ กำหนดให้ M แทนเพศชำย และ F แทนเพศหญิง จะไดว้ ำ่ S1 = { MMM , MMF , MFM , FMM , MFF , FMF , FFM , FFF } และ n(S1) = 8 2. ให้ S2 แทนปริภูมิตวั อยำ่ งเม่ือผลลพั ธ์ท่ีสนใจคือจำนวนพนกั งำนหญิง จะไดว้ ำ่ S2 = { 0 , 1 , 2 , 3 } และ n(S2) = 4 จำกตวั อยำ่ ง 2.1 พิจำรณำปริภูมิตวั อยำ่ ง S1 จะเห็นวำ่ สมำชิกแต่ละตวั ในปริภูมิตวั อยำ่ ง มีโอกำสเกิดข้ึนเท่ำๆ กนั คือมีโอกำสเกิดข้ึน 1 ใน 8 แต่เม่ือพิจำรณำ S2 สมำชิกแต่ละตวั มีโอกำสเกิดข้ึนไม่เท่ำกนั ดงั น้ี โอกำสที่จะสุ่มไมไ่ ดพ้ นกั งำนหญิงเลยมีค่ำ 1 ใน 8 โอกำสท่ีจะสุ่มไดพ้ นกั งำนหญิง 1 คน มีคำ่ 3 ใน 8 โอกำสท่ีจะสุ่มไดพ้ นกั งำนหญิง 2 คน มีคำ่ 3 ใน 8 โอกำสที่จะสุ่มไดพ้ นกั งำนหญิง 3 คนมีค่ำ 1 ใน 8 ในปริภูมิตวั อย่ำงหน่ึงๆ ประกอบดว้ ยเหตุกำรณ์หลำย ๆ เหตุกำรณ์ ซ่ึงบำงเหตุกำรณ์มีโอกำสเกิดข้ึนไดบ้ อ่ ย ๆ บำงเหตุกำรณ์มีโอกำสเกิดข้ึนนอ้ ย เรำเรียกโอกำสของกำรเกิดเหตุกำรณ์แตล่ ะเหตุกำรณ์วำ่ ควำมน่ำจะเป็นของเหตุกำรณ์บทนิยาม 2.1.1 ควำมน่ำจะเป็ นของเหตุกำรณ์(probability of events) หมำยถึงโอกำสในกำรท่ี จะเกิดเหตุกำรณ์น้นั ๆ เขียนสัญลกั ษณ์แทนดว้ ย P(A) เม่ือ A คือเหตุกำรณ์ที่ สนใจ สำหรับกำรคำนวณหำค่ำควำมน่ำจะเป็ นของเหตุกำรณ์จำกกำรทดลองสุ่มจะอำศัยบทนิยำมดงั ตอ่ ไปน้ี

บทที่ 2 ควำมน่ำจะเป็ น 59บทนิยาม 2.1.2 กำรทดลองสุ่มใดๆที่ผลลพั ธ์แตล่ ะวธิ ีมีโอกำสเกิดข้ึนเท่ำๆกนั ถำ้ จำนวน ผลลพั ธ์ท้งั หมดของกำรทดลองในปริภมู ิตวั อยำ่ ง S เท่ำกบั n(S) วิธี และจำนวน ผลลพั ธ์ของเหตุกำรณ์ A ที่สนใจเทำ่ กบั n(A) ควำมน่ำจะเป็นของกำรเกิด เหตุกำรณ์ A เขียนแทนดว้ ย P(A) จะคำนวณไดจ้ ำก P(A) = n(A) n(S ) ควำมน่ำจะเป็ นตำมบทนิยำม 2.1.2 เรียกว่ำควำมน่ำจะเป็ นแบบคลำสสิก (classicalpropability) เง่ือนไขของควำมน่ำจะเป็นตำมบทนิยำมน้ีคือ ทุกๆ สมำชิกในปริภูมิตวั อยำ่ ง S ตอ้ งมีโอกำสเกิดข้ึนเทำ่ ๆ กนั เช่น กำรโยนเหรียญท่ีเที่ยงตรงหรือมำตรฐำน กำรหยบิ สิ่งของโดยกำรสุ่มกำรโยนลูกเต๋ำท่ีเที่ยงตรงหรือมำตรฐำน เป็นตน้ตัวอย่าง 2.2 จงหำควำมน่ำจะเป็นในกำรกำรโยนลูกเต๋ำ 1 ลูก 1 คร้ัง แลว้ เกิดเหตุกำรณ์ที่ลูกเต๋ำข้ึนแตม้ คู่วธิ ีทา ในกำรโยนลูกเต๋ำ 1 ลูก 1 คร้ัง จะไดว้ ำ่ ปริภมู ิตวั อยำ่ ง S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } จะได้ n(S) = 6 วธิ ี ถำ้ A คือเหตุกำรณ์ท่ีลูกเต๋ำข้ึนแตม้ คู่ จะไดว้ ำ่ A = { 2 , 4 , 6 } จะได้ n(A) = 3 วธิ ี จำกบทนิยำม P(A) = n(A) n(S ) = 3 = 0.5 6 ดงั น้นั ควำมน่ำจะเป็นของกำรเกิดเหตุกำรณ์ A คือ เท่ำกบั 0.5ตัวอย่าง 2.3 ในกำรโยนเหรียญ 1 เหรียญ 3 คร้ัง จงหำควำมน่ำจะเป็นที่ 1. เหรียญข้ึนหนำ้ เหมือนกนั ท้งั 3 คร้ัง 2. เหรียญข้ึนหวั อยำ่ งนอ้ ย 2 คร้ัง 3. เหรียญข้ึนกอ้ ย 4 คร้ังวธิ ีทา ในกำรโยนเหรียญ 1 เหรียญ 3 คร้ัง เมื่อ H แทนกำรข้ึนหวั และ T แทนกำรข้ึนกอ้ ย จะไดป้ ริภมู ิตวั อยำ่ ง S = { HHH , HHT , HTH , HTT , THH , THT , TTH , TTT } จะได้ n(S) = 8 วธิ ี 1. เหรียญข้ึนหนำ้ เหมือนกนั ท้งั 3 คร้ัง

60 ควำมน่ำจะเป็ นและสถติ ิเบ้ืองตน้ ให้ A แทนเหตุกำรณ์ท่ีเหรียญข้ึนหนำ้ เหมือนกนั ท้งั 3 คร้ัง A = { HHH , TTT } จะได้ n(A) = 2 วธิ ีจะไดว้ ำ่ P(A) = n(A) n(S ) = 2 = 0.25 8ดงั น้นั ควำมน่ำจะเป็นท่ีเหรียญจะข้ึนหนำ้ เหมือนกนั ท้งั 3 คร้ัง เท่ำกบั 0.252. เหรียญข้ึนหวั อยำ่ งนอ้ ย 2 คร้ัง ให้ B แทนเหตุกำรณ์ท่ีเหรียญข้ึนหวั อยำ่ งนอ้ ย 2 คร้ัง B = { HHH , HHT , HTH , THH } จะได้ n(B) = 4 วธิ ีจะไดว้ ำ่ P(B) = n(B) n(S ) = 4 = 0.5 8ดงั น้นั ควำมน่ำจะเป็นท่ีเหรียญข้ึนหวั อยำ่ งนอ้ ย 2 คร้ัง เท่ำกบั 0.53. เหรียญข้ึนกอ้ ย 4 คร้ัง ให้ C แทนเหตุกำรณ์ที่เหรียญข้ึนกอ้ ย 4 คร้ัง C =  จะได้ n(C) = 0จะไดว้ ำ่ P(C) = n(C) n(S ) = 0 =0 8ดงั น้นั ควำมน่ำจะเป็นที่เหรียญจะข้ึนกอ้ ย 4 คร้ัง เทำ่ กบั 0บทนิยาม 2.1.3 กำรทดลองสุ่มใดที่กระทำซ้ำๆ กนั ภำยใตส้ ถำนกำรณ์เดียวกนั จำนวน N คร้ัง และไดผ้ ลลพั ธ์ของเหตุกำรณ์ A ท่ีสนใจจำนวน n คร้ัง ควำมน่ำจะเป็นของ เหตุกำรณ์ A เขียนแทนดว้ ย P(A) คำนวณไดจ้ ำก P(A) = n N เมื่อ N มีคำ่ มำก ๆ ( N   ) และเรียก n วำ่ ควำมถี่สมั พทั ธ์ของเหตุกำรณ์ A (relative frequency of event A ) N

บทท่ี 2 ควำมน่ำจะเป็ น 61ตัวอย่าง 2.4 ในกำรโยนเหรียญ 1 เหรียญ ที่ไม่ทรำบว่ำเป็ นเหรียญเท่ียงตรงหรือไม่ ถำ้ ตอ้ งกำรคำนวณหำค่ำควำมน่ำจะเป็ นที่เหรียญจะข้ึนกอ้ ยหรือข้ึนหัว เพ่ือบอกถึงลกั ษณะของเหรียญว่ำเที่ยงตรงหรื อไม่ จะต้องคำนวณโดยอำศัยบทนิยำม 2.1.3 โดยกำรโยนเหรี ยญไปเร่ื อยๆแลว้ จดบนั ทึกจำนวนคร้ังที่เหรียญข้ึนหวั หรือข้ึนกอ้ ย นนั่ คือ ถำ้ ให้ A เป็ นเหตุกำรณ์ท่ีเหรียญข้ึนกอ้ ย และ n เป็ นจำนวนคร้ังท่ีเหรียญข้ึนกอ้ ยจำกำรโยน N คร้ัง และกำรโยนเหรียญอนั น้ีทำซ้ำกันมำกๆ คร้ัง จะพบว่ำควำมถี่สัมพทั ธ์ n มีค่ำเข้ำใกล้ 1 และถ้ำจำนวนคร้ังของกำร N2โยนเหรียญเขำ้ ใกลอ้ นนั ตแ์ ลว้ ควำมถ่ีสัมพทั ธ์ n จะยิง่ เขำ้ ใกล้ 1 มำกย่งิ ข้ึน ซ่ึง 1 ก็คือ N2 2ควำมน่ำจะเป็นท่ีเหรียญจะข้ึนกอ้ ยนนั่ เอง นน่ั คือ P(A) = 1 2 แสดงวำ่ เหรียญดงั ที่กล่ำวมีควำมเที่ยงตรงตวั อย่าง 2.5 ในกำรโยนลูกเต๋ำ 2 ลูก 1 คร้ัง จงหำควำมน่ำจะเป็นที่ 1. ลูกเต๋ำข้ึนแตม้ เหมือนกนั 2. ลูกเต๋ำมีผลรวมของแตม้ ท่ีข้ึนไมน่ อ้ ยกวำ่ 10 3. ลูกเต๋ำข้ึนแตม้ ต่ำงกนั 2 แตม้วธิ ีทา กำรโยนลูกเต๋ำ 2 ลูก 1 คร้ัง จะไดป้ ริภูมิตวั อยำ่ ง S ดงั น้ี S = { (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) , (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6) , (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6) , (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6) , (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) } จะได้ n(S) = 36 1. ลูกเต๋ำข้ึนแตม้ เหมือนกนั ให้ A แทนเหตุกำรณ์ท่ีลูกเต๋ำข้ึนแตม้ เหมือนกนั A = { (1,1) , (2,2) , (3,3) , (4,4) , (5,5) , (6,6) } n(A) = 6 วธิ ี P(A) = n(A) n(S ) =6 36 =1 6 ดงั น้นั ควำมน่ำจะเป็นท่ีลูกเต๋ำข้ึนแตม้ เหมือนกนั เทำ่ กบั 1 6

62 ควำมน่ำจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ 2. ลูกเต๋ำมีผลรวมของแตม้ ท่ีข้ึนไมน่ อ้ ยกวำ่ 10 ให้ B แทนเหตุกำรณ์ท่ีลูกเต๋ำมีผลรวมของแตม้ ที่ข้ึนไม่นอ้ ยกวำ่ 10 B = { (4,6) , (5,5) , (5,6) , (6,4) , (6,5) , (6,6) } n(B) = 6 วธิ ี P(B) = n(B) n(S ) =6 36 =1 6 ดงั น้นั ควำมน่ำจะเป็นท่ีลูกเต๋ำมีผลรวมของแตม้ ที่ข้ึนไม่นอ้ ยกวำ่ 10 เท่ำกบั 1 6 3. ลูกเต๋ำข้ึนแตม้ ต่ำงกนั 2 แตม้ ให้ C แทนเหตุกำรณ์ท่ีลูกเต๋ำข้ึนแตม้ ตำ่ งกนั 2 แตม้ C = { (1,3) , (3,1) , (2,4) , (4,2) , (3,5) , (5,3) , (4,6) , (6,4) } n(C) = 8 วธิ ี P(C) = n(C) n(S ) =8 36 =2 9 ดงั น้นั ควำมน่ำจะเป็นที่ลูกเต๋ำข้ึนแตม้ ตำ่ งกนั 2 แตม้ เทำ่ กบั 2 9ตัวอย่าง 2.6 ในกำรคดั เลือกคณะกรรมกำร 2 คน จำกผูส้ มคั รท้งั หมด 10 คน ซ่ึงเป็ นผหู้ ญิง 4 คนและผชู้ ำย 6 คน จงหำควำมน่ำจะเป็นที่จะได้ 1. คณะกรรมกำรเป็นผหู้ ญิงท้งั 2 คน 2. คณะกรรมกำร 2 คนโดยมีสมชำยเป็นคณะกรรมกำรคนหน่ึงวธิ ีทา ให้ S แทนปริภูมิตวั อยำ่ งของกำรเลือกคณะกรรมกำร 2 คน จำกผสู้ มคั รท้งั หมด 10 คน จะได้ n(S ) = 10C2 = 10! 2!8! = 45 วธิ ี

บทที่ 2 ควำมน่ำจะเป็ น 63 1. ให้ A แทนเหตุกำรณ์ที่คณะกรรมกำรเป็นผหู้ ญิงท้งั 2 คน จะได้ n(A) = 4C2 = 4! 2!2! = 6 วธิ ี P(A) = n(A) n(S ) =6 45 =2 15 ดงั น้นั ควำมน่ำจะเป็นท่ีจะไดค้ ณะกรรมกำร 2 คน เป็ นผหู้ ญิงท้งั สองคน เท่ำกบั 2 15 2. ให้ B แทนเหตุกำรณ์ที่จะไดค้ ณะกรรมกำร 2 คน โดยมีสมชำยเป็นคณะกรรมกำร คนหน่ึง สำมำรถแบง่ ข้นั ตอนกำรคดั เลือกกรรมกำรเป็ น 2 ข้นั ตอน คือ ข้นั ตอนท่ี 1 เลือกสมชำยเป็นกรรมกำรได้ 1C1 วธิ ี ข้นั ตอนที่ 2 เลือกกรรมกำรอีก 1 คนจำกผสู้ มคั รท่ีเหลือได้ 9C1 วธิ ี จะได้ n(B) = 1C19C1 = 1 × 9! 1!8! = 9 วธิ ี P(B) = n(B) n(S ) =9 =1 45 5 ดงั น้นั ควำมน่ำจะเป็นที่จะไดก้ รรมกำร 2 คน โดยคนหน่ึงคือสมชำยเท่ำกบั 1 52.2 ความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์เดยี ว กำรคำนวณค่ำควำมน่ำจะเป็ นของเหตุกำรณ์ท่ีสนใจเพียงเหตุกำรณ์เดียว อำจทำไดโ้ ดยอำศัยบทนิยำม 2.1.1 แต่ในบำงคร้ังเหตุกำรณ์ที่สนใจอำจเป็ นเหตุกำรณ์ที่เกี่ยวข้องกับเหตุกำรณ์อ่ืนๆ กำรหำค่ำควำมน่ำจะเป็ นในกรณีดงั กล่ำวจะทำไดง้ ่ำยข้ึน ถำ้ ใชท้ ฤษฎีบทเบ้ืองตน้ของควำมน่ำจะเป็นดงั จะกล่ำวถึงตอ่ ไปน้ี

64 ควำมน่ำจะเป็ นและสถติ ิเบ้ืองตน้ทฤษฎบี ท 2.2.1 สำหรับปริภูมิตวั อยำ่ ง S ใดๆ จะไดว้ ำ่ P(S) = 1พสิ ูจน์ กำหนดให้ S แทนปริภมู ิตวั อยำ่ งและ n(S) แทนสมำชิกใน S n( S ) n( S )จำกบทนิยำม 2.1.1 จะไดว้ ำ่ P(S) = =1ดงั น้นั P(S) = 1ทฤษฎบี ท 2.2.2 สำหรับปริภูมิตวั อยำ่ ง S ใดๆ และ  เป็นเซตวำ่ ง จะไดว้ ำ่ P( ) = 0พสิ ูจน์ กำหนดให้  เป็นเซตวำ่ งนนั่ คือ n(  ) = 0 วธิ ีจำกบทนิยำม 2.1.1 จะไดว้ ำ่ P( ) = n() n(S ) = 0 n( S ) =0ดงั น้นั P( ) = 0ตวั อย่าง 2.7 ให้ S แทนปริภูมิตวั อยำ่ งในกำรทอดลูกเต๋ำ 1 ลูก 1 คร้ัง โดยที่ S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } จงหำ 1. ควำมน่ำจะเป็นของ S 2. ควำมน่ำจะเป็นของ วธิ ีทา จำก S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } จะได้ n(S) = 6 วธิ ี 1. จำกบทนิยำมควำมน่ำจะเป็ น P(A) = n(A) n(S )

บทท่ี 2 ควำมน่ำจะเป็ น 65ดงั น้นั จะได้ P(S) = n(S)นนั่ คือ n(S ) =6 6 =1 P(S) = 12. ให้ B แทนเหตุกำรณ์ท่ีลูกเต๋ำหงำยแตม้ 7จะได้ B =  นน่ั คือ n(B) = n( ) = 0จำกบทนิยำมควำมน่ำจะเป็ น P(B) = n(B) n(S )ดงั น้นั จะได้ P(  ) = n() n(S ) =0 6นน่ั คือ P( ) = 0ทฤษฎบี ท 2.2.3 ถำ้ A เป็นเหตุกำรณ์ ใด ๆ ท่ีเป็นเซตยอ่ ยในปริภมู ิตวั อยำ่ ง S จะไดว้ ำ่ 0  P(A)  1พสิ ูจน์ ให้ n(S) แทนจำนวนสมำชิกในปริภูมิตวั อยำ่ ง Sให้ n(A) แทนจำนวนสมำชิกในเหตุกำรณ์ Aถำ้ A เป็ นเซตยอ่ ยใน S หรือ A Sจะไดว้ ำ่ n(A)  n(S)แต่ 0  n(A)เพรำะฉะน้นั 0  n(A)  n(S)ดงั น้นั 0  n(A)  n(S) n(S) n(S) 0  P(A)  1

66 ควำมน่ำจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ทฤษฎบี ท 2.2.4 ถำ้ A เป็นเหตุกำรณ์ที่เป็นเซตยอ่ ยในปริภูมิตวั อยำ่ ง S และ A เป็ นส่วนเติมเตม็ ของเหตุกำรณ์ A แลว้ P(A) = 1  P( A )พสิ ูจน์ จำกแผนภำพของเวนน์-ออยเลอร์ จะไดว้ ำ่ A S n(A + n(A) = n(S) A n(A) + n(A) = n(S) A n(S) n(S) P(A) + P(A) = 1 ดงั น้นั P(A) = 1  P(A)2.3 ความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์หลายเหตุการณ์ ควำมสัมพนั ธ์ของเหตุกำรณ์ต้งั แต่ 2 เหตุกำรณ์ มีวิธีกำรหำค่ำควำมน่ำจะเป็ นแตกต่ำงกนั ไปข้ึนอยกู่ บั เง่ือนไขของเหตุกำรณ์ดงั น้ี 2.3.1 ความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์ทไ่ี ม่เกดิ ร่วมกนั (mutually exclusive event)ทฤษฎบี ท 2.3.1 ถำ้ A และ B เป็นเหตุกำรณ์ที่ไม่เกิดข้ึนร่วมกนั ในปริภมู ิตวั อยำ่ ง S หรือ (A B) =  จะไดว้ ำ่ P (A B) = P(A) + P(B)พสิ ูจน์ กำหนดให้ A  S และ B Sจำกบทนิยำม 2.1.1 จะไดว้ ำ่ P(A  B) = n(A  B) n(S )แต่เน่ืองจำก A B = ดงั น้นั n (A  B) = n(A) + n(B)นนั่ คือ P(A  B) = n(A) n(B) n(S ) = n(A) + n(B) n(S) n(S) = P(A) + P(B)ดงั น้นั P (A B) = P(A) + P(B) เมื่อ (A B) = 

บทที่ 2 ควำมน่ำจะเป็ น 67ทฤษฎบี ท 2.3.2 ถำ้ A1 , A2 , ... , An เป็นเหตุกำรณ์ท่ีเป็ นเซตยอ่ ยในปริภูมิตวั อยำ่ ง S โดยท่ีไมม่ ีเหตุกำรณ์ คูใ่ ดเลยท่ีเกิดข้ึนร่วมกนั หรือ Ai  Aj =  เม่ือ i , j = 1, 2, ... , n และ i  j จะไดว้ ำ่ P(A1  A2  ...  An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An)พสิ ูจน์ กำหนดให้ A1 , A2 , ... , An เป็ นเซตยอ่ ยใน S และ Ai  Aj =  เมื่อ i , j = 1, 2, ... , n และ i  j ใชห้ ลกั กำรอุปนยั ทำงคณิตศำสตร์ (mathematical induction) ให้ S(n) แทน P(A1  A2  ...  An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An) 1. ท่ี n = 1 จะได้ P(A1) = P(A1) ดงั น้นั S(1) เป็นจริง 2. สมมติให้ S(k) เป็นจริง ดงั น้นั P(A1  A2  ...  Ak) = P(A1) + P(A2) + ... + P(Ak) พิจำรณำ S(k+1) จะได้ P(A1  A2  ...  Ak  Ak + 1) = P((A1  A2  ...  Ak )  Ak + 1) = P(A1  A2  ...  Ak )  P( Ak + 1) เม่ือ (A1  A2  ...  Ak )  Ak + 1 =  จะได้ P(A1  A2  ...  Ak  Ak+1) = P(A1)  P(A2 )  ...  P(Ak )  P( Ak+1) เพรำะฉะน้นั S(k+1) เป็นจริง ดงั น้นั S(n) เป็นจริงทุกค่ำของ n นนั่ คือ P(A1  A2  ...  An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An) 2.3.2 ความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์ทเี่ กดิ ร่วมกนั (non - mutually exclusive event) ควำมน่ำจะเป็นของเหตุกำรณ์ที่เกิดร่วมกนั หำไดจ้ ำกบทนิยำมและทฤษฏีบทต่อไปน้ีบทนิยาม 2.3.1 เหตุกำรณ์ A และ B จะเรียกวำ่ เป็นเหตุกำรณ์ร่วม (non - mutually exclusive event) ก็ตอ่ เมื่อ A B  

68 ควำมน่ำจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ทฤษฎบี ท 2.3.3 ถำ้ A และ B เป็ นเซตยอ่ ยในปริภมู ิตวั อยำ่ ง S และ A B   แลว้ P(A  B)  P(A)  P(B)  P(A  B)พสิ ูจน์ กำหนดให้ A และ B เป็ นเซตยอ่ ยในปริภูมิตวั อยำ่ ง S และ A B   ซ่ึงแสดงโดยใชแ้ ผนภำพของเวน์-ออยเลอร์ไดด้ งั น้ี S ABจำกแผนภำพของเวนน์-ออยเลอร์ จะไดว้ ำ่ A  B  A  (A  B) โดยท่ี A (A  B)   และ B  (A B)  (A  B) โดยที่ (A B)  (A  B)  จำกทฤษฎีบท 2.3.1 P(A  B)  P(A)  P(A  B) -----------(1)และ P(B)  P(A  B)  P(A  B) -----------(2)(1)  (2) จะได้ P(A B)  P(B)  P(A)  P(A  B)  P(A B)  P(A  B) P(A  B)  P(B)  P(A)  P(A  B)ดงั น้นั P(A B)  P(A)  P(B)  P(A B)ทฤษฎบี ท 2.3.4 ถำ้ A , B , C เป็นเหตุกำรณ์ที่เป็นเซตยอ่ ยในปริภูมิตวั อยำ่ ง S แลว้ จะไดว้ ำ่ P(A  B C)  P(A)  P(B)  P(C)  P(A B)  P(A C)  P(B  C) P(A  B  C)พสิ ูจน์ กำหนด A , B , C เป็นเซตยอ่ ยในปริภมู ิตวั อยำ่ ง Sเน่ืองจำก A B C  A(B C)จำกทฤษฎีบท 2.3.3 P(A (B C))  P(A)  P(B C)  P(A (B C)) ---------- (1)และ P(B C)  P(B)  P(C)  P(B C)

บทที่ 2 ควำมน่ำจะเป็ น 69แทนค่ำ P(B C) ใน---------- (1) จะได้P(A  B C)  P(A)  P(B)  P(C)  P(B C)  P(A  (B C)) ---------- (2)จำกกฎกำรกระจำย A(B C)  (A B) (AC)เพรำะฉะน้นั P(A  (B C))  P(A  B)  P(A C)  P((A  B)  (A C))  P(A  B)  P(A C)  P(A  B C)แทนคำ่ P(A (B C)) ลงใน---------- (2) P(A  B C)  P(A)  P(B)  P(C)  P(B C) [(P(A  B)  P(A  C)  P(A  B C))]ดงั น้นั P(A B C)  P(A)  P(B)  P(C)  P(A B)  P(B C)  P(AC) P(A  B  C)ตัวอย่าง 2.8 ควำมน่ำจะเป็ นที่นำวีจะสอบผำ่ นวิชำคณิตศำสตร์เท่ำกบั 0.7 ควำมน่ำจะเป็ นท่ีเขำจะสอบผ่ำนวิชำคอมพิวเตอร์เท่ำกบั 0.5 และควำมน่ำจะเป็ นที่เขำจะสอบผำ่ นอยำ่ งนอ้ ย 1 วิชำเท่ำกบั 0.97 จงหำควำมน่ำจะเป็นที่เขำจะสอบผำ่ นท้งั สองวชิ ำวธิ ีทา ถ้ำให้ A และ B แทนเหตุกำรณ์ท่ีนำวีสอบผ่ำนในวิชำคณิตศำสตร์ และสอบผ่ำนวิชำคอมพิวเตอร์ตำมลำดบั จะไดว้ ำ่ P(A  B) = P(A)  P(B)  P(A  B) 0.97 = 0.7 + 0.5  P(A B) P(A B) = 1.2 – 0.97 = 0.23 ดงั น้นั ควำมน่ำจะเป็นที่นำวจี ะสอบผำ่ นท้งั สองวชิ ำเท่ำกบั 0.23ตวั อย่าง 2.9 ในกล่องใบหน่ึง บรรจุลูกปิ งปองท้งั หมด 12 ลูก เป็นสีแดง 4 ลูก สีขำว 3 ลูก สีเหลือง5 ลูก สุ่มหยบิ ลูกปิ งปองจำกกล่อง 3 ลูก จงหำควำมน่ำจะเป็นที่ 1. หยบิ ไมไ่ ดล้ ูกปิ งปองสีขำวเลย 2. หยบิ ไดล้ ูกปิ งปองสีละ 1 ลูกวธิ ีทา 1.หยบิ ไมไ่ ดล้ ูกปิ งปองสีขำวเลย ให้ S แทนปริภูมิตวั อยำ่ งในกำรหยบิ ลูกปิ งปอง 3 ลูกจำกกล่องท่ีมีลูกปิ งปอง 12 ลูก n(S) = 12C3 วธิ ี = 12! วธิ ี 3!9! = 220 วธิ ี

70 ควำมน่ำจะเป็ นและสถติ ิเบ้ืองตน้ให้ A แทนเหตุกำรณ์ท่ีหยบิ ไมไ่ ดล้ ูกปิ งปองสีขำวเลย กรณีจะหยิบลูกปิ งปองโดยไม่ไดส้ ีขำวเลย จะทำเสมือนวำ่ แยกลูกปิ งปอง 3 ลูกจำกลูกปิ งปองสีขำวออกจำกสีอ่ืนๆ แลว้ ทำกำรหยบิ ลูกปิ งปอง 3 ลูก จำกลูกปิ งปองท่ีเหลือ9 ลูก จะได้ n(A) = 9C3 วธิ ี = 9! วธิ ี 3!6! = 84 วธิ ีจะไดว้ ำ่ P(A) = n(A) n(S ) = 84 220 = 21 55ดงั น้นั ควำมน่ำจะเป็นท่ีจะหยบิ ไมไ่ ดล้ ูกปิ งปองสีขำวเลยคือ 21 552. หยบิ ไดล้ ูกปิ งปองสีละ 1 ลูกให้ B แทนเหตุกำรณ์ท่ีหยบิ ไดล้ ูกปิ งปองสีละ 1 ลูก ถำ้ ตอ้ งกำรเหตุกำรณ์ที่หยบิ ไดล้ ูกปิ งปองสีละ 1 ลูก โดยแยกลูกปิ งปองแต่ละสีแลว้ หยบิ สีละ 1 ลูก จะได้ n(B) = 4C13C15C1 วธิ ี = 4 3 5 วธิ ี = 60 วธิ ีจะไดว้ ำ่ P(B) = n(B) n(S ) = 60 220 =3 11ดงั น้นั ควำมน่ำจะเป็นท่ีจะหยบิ ไดล้ ูกปิ งปองสีละลูกคือ 3 11ตัวอย่าง 2.10 นกั เรียนช้นั ม.1 ของโรงเรียนแห่งหน่ึงจำนวน 150 คน จำกกำรสำรวจพบวำ่ มีนกั เรียนที่เป็นสมำชิกชุมนุมคณิตศำสตร์ 52 คน มีนกั เรียนที่เป็นสมำชิกชุมนุมวทิ ยำศำสตร์ 78 คน มีนกั เรียนท่ีเป็นสมำชิกชุมนุมภำษำองั กฤษ 65 คน มีนกั เรียนท่ีเป็นสมำชิกชุมนุมคณิตศำสตร์และวทิ ยำศำสตร์ 23 คน

บทท่ี 2 ควำมน่ำจะเป็ น 71 มีนกั เรียนท่ีเป็นสมำชิกชุมนุมคณิตศำสตร์อยำ่ งเดียว 11 คน มีนกั เรียนท่ีเป็นสมำชิกชุมนุมวทิ ยำศำสตร์อยำ่ งเดียว 46 คน มีนกั เรียนที่เป็นสมำชิกชุมนุมท้งั สำมชุมนุม 5 คนถำ้ สุ่มนกั เรียนมำ 1 คน จงหำควำมน่ำจะเป็นท่ี 1. จะไดน้ กั เรียนที่เป็นสมำชิกชุมนุมภำษำองั กฤษเพียงอยำ่ งเดียว 2. จะไดน้ กั เรียนที่เป็นสมำชิกชุมนุมวทิ ยำศำสตร์และภำษำองั กฤษ 3. จะไดน้ กั เรียนท่ีเป็นสมำชิกชุมนุมคณิตศำสตร์หรือชุมนุมภำษำองั กฤษ 4. จะไดน้ กั เรียนท่ีเป็นไม่เป็ นสมำชิกชุมนุมใดเลย 5. จะไดน้ กั เรียนท่ีเป็นสมำชิกชุมนุมใดชุมนุมหน่ึงเพียงอยำ่ งเดียววธิ ีทา กำรใชแ้ ผนภำพของเวนน์-ออยเลอร์ จะช่วยในกำรแกป้ ัญหำน้ีไดง้ ่ำยข้ึน โดยกำหนดให้ A แทนเหตุกำรณ์ที่นกั เรียนเป็นสมำชิกชุมนุมคณิตศำสตร์ B แทนเหตุกำรณ์ท่ีนกั เรียนเป็นสมำชิกชุมนุมวทิ ยำศำสตร์ C แทนเหตุกำรณ์ท่ีนกั เรียนเป็นสมำชิกชุมนุมภำษำองั กฤษ จำกโจทย์ จะไดว้ ำ่ n(A)  52 , n(B)  78 , n(C)  65 , n(A B)  23 , n(A  (B C))  11 , n(B  (AC))  46 , n(A B C) = 5 , n(S) = 150 จะได้ จำนวนสมำชิกในแต่ละส่วนดงั น้ี n(S) = 150 11 18 B A 5 46 18 9 C 33 10เมื่อสุ่มนกั เรียนมำ 1 คน จะหำควำมน่ำจะเป็นของแต่ละเหตุกำรณ์ไดด้ งั น้ี1. ควำมน่ำจะเป็นที่จะไดน้ กั เรียนท่ีเป็นสมำชิกชุมนุมภำษำองั กฤษเพียงอยำ่ งเดียว ให้ C – ( A B ) แทนเหตุกำรณ์ท่ีไดน้ กั เรียนที่เป็ นสมำชิกชุมนุมภำษำองั กฤษเพียงอยำ่ งเดียว

72 ควำมน่ำจะเป็ นและสถติ ิเบ้ืองตน้ จำกแผนภำพเวนน์ – ออยเลอร์ n(C – ( A B )) = 33 วธิ ี จะได้ P(C – ( A B )) = 33 วธิ ี 150 ดงั น้นั ควำมน่ำจะเป็ นท่ีจะไดน้ กั เรียนที่เป็ นสมำชิกชุมนุมภำษำองั กฤษเพียงอย่ำงเดียว เทำ่ กบั 33 วธิ ี 150 2. ควำมน่ำจะเป็นที่จะไดน้ กั เรียนท่ีเป็นสมำชิกชุมนุมวทิ ยำศำสตร์และภำษำองั กฤษ ให้ B C แทนเหตุกำรณ์ท่ีได้นักเรียนที่เป็ นสมำชิกชุมนุมวิทยำศำสตร์และ ภำษำองั กฤษ จำกแผนภำพเวนน์-ออยเลอร์ n( B C ) = 14 วธิ ี จะได้ P( B C ) = 14 วธิ ี 150 ดงั น้นั ควำมน่ำจะเป็ นท่ีจะไดน้ กั เรียนท่ีเป็ นสมำชิกชุมนุมวิทยำศำสตร์และภำษำองั กฤษ เทำ่ กบั 14 วธิ ี 150 3. ควำมน่ำจะเป็นท่ีจะไดน้ กั เรียนที่เป็นสมำชิกชุมนุมคณิตศำสตร์หรือชุมนุมภำษำองั กฤษ ให้ AC แทนเหตุกำรณ์ที่ได้นักเรียนท่ีเป็ นสมำชิกชุมนุมคณิตศำสตร์หรือ ภำษำองั กฤษ จำกแผนภำพเวนน์-ออยเลอร์ n( AC ) = 52 + 33 + 9 = 94 วธิ ี จะได้ P( AC ) = 94 วธิ ี 150 ดังน้ันควำมน่ำจะเป็ นท่ีจะได้นักเรียนท่ีเป็ นสมำชิกชุมนุมคณิ ตศำสตร์หรือชุมนุม ภำษำองั กฤษเทำ่ กบั 94 วธิ ี 150 4. ควำมน่ำจะเป็นที่จะไดน้ กั เรียนที่เป็นไม่เป็นสมำชิกชุมนุมใดเลย ให้ (A B C) แทนเหตุกำรณ์ท่ีจะไดน้ กั เรียนท่ีไมเ่ ป็ นสมำชิกชุมนุมใดเลย จำกแผนภำพเวนน์ n (A B C) = 10 วธิ ี จะได้ P (A B C) = 10 วธิ ี 150 ดงั น้นั ควำมน่ำจะเป็นที่จะไดน้ กั เรียนท่ีเป็ นไม่เป็นสมำชิกชุมนุมใดเลยเทำ่ กบั 10 วธิ ี 150

บทท่ี 2 ควำมน่ำจะเป็ น 73 5. ควำมน่ำจะเป็นที่จะไดน้ กั เรียนที่เป็นสมำชิกชุมนุมใดชุมนุมหน่ึงเพียงอยำ่ งเดียว ให้ D แทนเหตุกำรณ์ที่จะไดน้ กั เรียนที่เป็นสมำชิกชุมนุมใดชุมนุมหน่ึงเพยี งอยำ่ งเดียว จำกแผนภำพเวนน์-ออยเลอร์ n(D) = 11 + 46 + 33 = 90 วธิ ี จะได้ P(D) = 90 วธิ ี 150 ดงั น้นั ควำมน่ำจะเป็นที่จะไดน้ กั เรียนท่ีเป็นสมำชิกชุมนุมใดชุมนุมหน่ึงเพยี งอยำ่ งเดียว เทำ่ กบั 90 วธิ ี 150ตัวอย่าง 2.11 จำกกำรสำรวจนกั ศึกษำชำย 60 คน นกั ศึกษำหญิง 40 คน พบวำ่ มีนกั ศึกษำ 30 คนชอบเรียนคณิตศำสตร์ มีนกั ศึกษำ 20 คน ชอบเรียนสถิติ มีนกั ศึกษำชำย 8 คน ชอบเรียนคณิตศำสตร์ มีนกั ศึกษำ 6 คน ชอบเรียนท้งั สองวชิ ำ มีนกั ศึกษำชำย 12 คนชอบเรียนสถิติ มีนกั ศึกษำชำย 3 คน ชอบเรียนท้งั สองวชิ ำสุ่มนกั ศึกษำมำ 1 คน จงหำควำมน่ำจะเป็นที่ 1. ไดน้ กั ศึกษำท่ีไมช่ อบเรียนท้งั สองวชิ ำ 2. ไดน้ กั ศึกษำหญิงท่ีชอบเรียนท้งั สองวชิ ำ 3. ไดน้ กั ศึกษำหญิงท่ีชอบเรียนเพียงวชิ ำเดียว 4. ไดน้ กั ศึกษำที่ชอบเรียนวชิ ำสถิติเพียงวชิ ำเดียว 5. ไดน้ กั ศึกษำที่ชอบเรียนอยำ่ งนอ้ ย 1 วชิ ำวธิ ีทา ให้ A แทนเหตุกำรณ์ที่นกั ศึกษำชอบเรียนวชิ ำคณิตศำสตร์ B แทนเหตุกำรณ์ท่ีนกั ศึกษำชอบเรียนวชิ ำสถิติ n(S) = 100 n(A) = 30 n(B) = 20 จำกขอ้ มูลที่โจทยก์ ำหนด สำมำรถแสดงจำนวนนกั ศึกษำในแต่ละส่วนได้ดงั แผนภำพของเวนน์-ออยเลอร์ ดงั น้ี

74 ควำมน่ำจะเป็ นและสถติ ิเบ้ืองตน้ ชาย หญิง A43 5 19 33 13 95 B1. ควำมน่ำจะเป็ นท่ีจะไดน้ กั ศึกษำท่ีไม่ชอบเรียนท้งั สองวชิ ำ P(A B) = 4313  56  14 100 100 252. ควำมน่ำจะเป็นที่จะไดน้ กั ศึกษำหญิงท่ีชอบเรียนท้งั สองวชิ ำเท่ำกบั 3 1003. ควำมน่ำจะเป็ นท่ีจะไดน้ กั ศึกษำหญิงท่ีชอบเรียนเพียงวชิ ำเดียวเทำ่ กบั 19  5  24  6 100 100 254. ควำมน่ำจะเป็ นที่จะไดน้ กั ศึกษำท่ีชอบเรียนวชิ ำสถิติเพยี งวชิ ำเดียวเทำ่ กบั 5  9  14  7 100 100 505. ควำมน่ำจะเป็ นที่จะไดน้ กั ศึกษำท่ีชอบเรียนอยำ่ งนอ้ ย 1 วชิ ำเท่ำกบั 44  11 100 252.4 ความน่าจะเป็ นแบบมเี งื่อนไขถ้ำในกำรคัดเลือกหัวหน้ำห้องและรองหัวหน้ำห้องของนักศึกษำกลุ่มเรี ยนหน่ึงมีผูส้ มัครเป็ นชำย 3 คน หญิง 4 คน กำหนดให้ A แทนเหตุกำรณ์ท่ีได้หัวหน้ำห้องเป็ นชำยและ B แทนเหตุกำรณ์ที่ได้รองหัวหน้ำห้องเป็ นชำย จะเห็นว่ำกำรเกิดเหตุกำรณ์ Aมีผลตอ่ ควำมน่ำจะเป็นของเหตุกำรณ์ B ดงั น้ีถำ้ เหตุกำรณ์ A ไม่เกิด จะไดค้ วำมน่ำจะเป็ นของเหตุกำรณ์ B คือ P(B)  3C1 6C1แต่ถำ้ เหตุกำรณ์ A เกิด จะไดค้ วำมน่ำจะเป็ นของเหตุกำรณ์ B คือ P(B)  2C1 6C1เรียกควำมน่ำจะเป็ นที่จะเกิดเหตุกำรณ์ B เม่ือทรำบว่ำเหตุกำรณ์ A ได้เกิดข้ึนก่อนวำ่ ควำมน่ำจะเป็นแบบมีเง่ือนไข (conditional probability)

บทที่ 2 ควำมน่ำจะเป็ น 75บทนิยาม 2.4.1 A และ B แทนเหตุกำรณ์ใด ๆ ในกำรทดลองสุ่มที่มีปริภูมิตวั อยำ่ ง S ควำมน่ำจะเป็นของกำรเกิดเหตุกำรณ์ B เม่ือกำหนดวำ่ เหตุกำรณ์ A เกิดข้ึนก่อน เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ P(B A) โดยท่ี P(B A)  P(A  B) เมื่อ P(A)  0 P( A) ในลกั ษณะเดียวกนั ควำมน่ำจะเป็นของกำรเกิดเหตุกำรณ์ A เม่ือกำหนดวำ่ เหตุกำรณ์ Bเกิดข้ึนก่อนแลว้ เขียนแทนดว้ ย P(A B) โดยท่ี P(A B)  P(A  B) เมื่อ P(B)  0 P(B)ตัวอย่าง 2.12 ในกำรสมคั รเขำ้ ทำงำนกบั บริษทั แห่งหน่ึงของนำยสมภพ ถำ้ ควำมน่ำจะเป็ นที่เขำจะสอบข้อเขียนผ่ำนเท่ำกับ 0.7 ควำมน่ำจะเป็ นท่ีเขำสอบสัมภำษณ์ผ่ำนเท่ำกับ 0.6แ ล ะ ค ว ำ ม น่ ำ จ ะ เ ป็ น ท่ี เ ข ำ จ ะ ส อ บ ข้อ เ ขี ย น ผ่ำ น ห รื อ ส อ บ สั ม ภ ำ ษ ณ์ ผ่ำ น เ ป็ น 0.9จงหำควำมน่ำจะเป็นท่ีสมภพสอบสัมภำษณ์ผำ่ นถำ้ ทรำบวำ่ เขำสอบขอ้ เขียนผำ่ นวธิ ีทา ให้ A แทนเหตุกำรณ์ท่ีสมชำยจะสอบขอ้ เขียนผำ่ น และ B แทนเหตุกำรณ์ที่สมชำยจะสอบสมั ภำษณ์ผำ่ น จำกโจทย์ P(A) = 0.7 , P(B) = 0.6 , P(A B) = 0.9 จำก P(A  B)  P(A)  P(B)  P(A  B) 0.9 = 0.7 + 0.6 P(A B) P(A B) = 0.4 ดงั น้นั จะไดว้ ำ่ P(B A)  P(A  B) P( A) = 0.4 0.7 =4 7ควำมน่ำจะเป็นท่ีสมภพสอบสมั ภำษณ์ผำ่ นถำ้ ทรำบวำ่ เขำสอบขอ้ เขียนผำ่ นเป็ น 4 7ตัวอย่าง 2.13 ครอบครัวหน่ึงมีบุตร 3 คน จงหำควำมน่ำจะเป็นท่ี 1. ครอบครัวน้ีจะมีบุตรคนท่ีสองเป็นหญิงถำ้ ทรำบวำ่ บุตรคนที่หน่ึงเป็นชำย 2. ครอบครัวน้ีจะมีบุตรเป็นชำยอยำ่ งนอ้ ย 2 คน ถำ้ ทรำบวำ่ บุตรคนแรกเป็นชำย

76 ควำมน่ำจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้วธิ ีทา ให้ ช , ญ แทนเพศชำย และ เพศหญิงของบุตรคนท่ี 1 ถึงคนท่ี 3 ตำมลำดบั จะไดว้ ำ่ S = { ชชช , ชชญ , ชญช , ญชช , ชญญ , ญชญ , ญญช , ญญญ } 1. ครอบครัวน้ีจะมีบุตรคนท่ีสองเป็นหญิงถำ้ ทรำบวำ่ บุตรคนที่หน่ึงเป็ นชำย ให้ A แทนเหตุกำรณ์ที่ครอบครัวน้ีจะมีบุตรคนที่หน่ึงเป็นชำย B แทนเหตุกำรณ์ที่ครอบครัวน้ีจะมีบุตรคนที่สองเป็นหญิง A = { ชชช , ชชญ , ชญช , ชญญ } A B = { ชญช , ชญญ } จำกบทนิยำม 2.4.1 P(B A)  P(A  B) P( A) 2 =8 4 8 =1 2 ดงั น้นั ควำมน่ำจะเป็นท่ีครอบครัวน้ีจะมีบุตรคนท่ีสองเป็ นหญิงถำ้ ทรำบวำ่ บุตรคนท่ีหน่ึงเป็นชำยคือ 1 2 2. ครอบครัวน้ีจะมีบุตรเป็นชำยอยำ่ งนอ้ ย 2 คน ถำ้ ทรำบวำ่ บุตรคนแรกเป็นชำย ให้ A แทนเหตุกำรณ์ที่ครอบครัวน้ีจะมีบุตรคนที่หน่ึงเป็นชำย C แทนเหตุกำรณ์ที่ครอบครัวน้ีจะมีบุตรชำยอยำ่ งนอ้ ย 2 คน A = { ชชช , ชชญ , ชญช , ชญญ } AC = { ชชช , ชชญ , ชญช } จำกบทนิยำม 2.4.1 P(C A)  P(A  C) P( A) 3 =8 4 8 =3 4 ควำมน่ำจะเป็นท่ีครอบครัวน้ีจะมีบุตรเป็ นชำยอยำ่ งนอ้ ย 2 คน ถำ้ ทรำบวำ่ บุตรคนแรก เป็นชำยคือ 3 4

บทท่ี 2 ควำมน่ำจะเป็ น 77ข้อสังเกต จำกบทนิยำม 2.4.1 ถำ้ เหตุกำรณ์ A , B เป็นเหตุกำรณ์ใดๆ ในกำรทดลองสุ่มในปริภมู ิตวั อยำ่ ง S แลว้ P(B A)  P(A  B) เม่ือ P(A)  0 เนื่องจำก P( A) P(A  B) = n(A  B) n(S )และ P(A) = n(A) n(S )จะไดว้ ำ่ P(B A)  P(A  B) P( A) n(A  B) = n(S) n( A) n(S ) = n(A  B) n( A)ดงั น้นั อำจหำ P(B A) จำก P(B A)  n(A  B) n( A)ตัวอย่าง 2.14 ในกำรหยบิ ไพ่ 2 ใบจำกสำรับโดยกำรหยบิ คร้ังละ 1 ใบแบบไมใ่ ส่คืนจงหำควำมน่ำจะเป็ นที่ 1. หยบิ ไดไ้ พโ่ พดำในคร้ังที่ 2 หลงั จำกที่หยบิ คร้ังท่ี 1 ไดไ้ พโ่ พดำ 2. หยบิ ไดไ้ พค่ ิงในคร้ังท่ี 2 หลงั จำกท่ีหยบิ คร้ังท่ี 1 ไดไ้ พค่ ิง 3. หยบิ ไดไ้ พแ่ ตม้ 2 ในคร้ังท่ี 2 หลงั จำกหยบิ ไดไ้ พแ่ ตม้ 5 ในคร้ังที่ 1วธิ ีทา ในกำรหยบิ ไพ่ 2 ใบจำกสำรับโดยหยบิ ทีละใบแบบไม่ใส่คืน จะไดว้ ำ่ n(S) = 52C1 51C1 = 2,652 วธิ ี 1. ควำมน่ำจะเป็นท่ีจะหยบิ ไดไ้ พโ่ พดำในคร้ังที่ 2 หลงั จำกที่หยบิ คร้ังที่ 1 ไดไ้ พโ่ พดำ ให้ A แทนเหตุกำรณ์ที่หยบิ ไดไ้ พโ่ พดำจำกกำรหยบิ คร้ังท่ี 1 B แทนเหตุกำรณ์ที่หยบิ ไดไ้ พโ่ พดำจำกกำรหยบิ คร้ังท่ี 2 n(A) = 13C1 51C1= 663 วธิ ี n (A  B) = 13C112C1 = 156 วธิ ี จำก P(B A)  P(A  B) P( A) n(A  B) = n(S) n( A) n(S )

78 ควำมน่ำจะเป็ นและสถติ ิเบ้ืองตน้ P(B A) = n(A  B) n(S ) = 156 663 ดงั น้นั ควำมน่ำจะเป็นที่จะหยบิ ไดไ้ พโ่ พดำในคร้ังท่ี 2 หลงั จำกท่ีหยบิ คร้ังที่ 1 ไดไ้ พโ่ พดำเป็ น 156 663 2. ควำมน่ำจะเป็นท่ีจะหยบิ ไดไ้ พค่ ิงในคร้ังท่ี 2 หลงั จำกที่หยบิ คร้ังท่ี 1 กไ็ ดไ้ พค่ ิง ให้ C แทนเหตุกำรณ์ที่หยบิ ไดไ้ พค่ ิงในคร้ังท่ี 1 D แทนเหตุกำรณ์ท่ีหยบิ ไดไ้ พค่ ิงในคร้ังท่ี 2 n(C) = 4C1 51C1 = 204 วธิ ี n (D  C) = 4C1 3C1 = 12 วธิ ี จำก P(D C)  P(D  C) P(C) = n(D  C) n(C) = 12 204 =3 51 ดงั น้นั ควำมน่ำจะเป็นท่ีจะหยบิ ไดไ้ พค่ ิงในคร้ังที่ 2 หลงั จำกท่หี ยบิ คร้ังที่ 1 ก็ไดไ้ พค่ ิงเป็น 3 51 3. ควำมน่ำจะเป็นท่ีจะหยบิ ไดไ้ พแ่ ตม้ 2 ในคร้ังที่ 2 หลงั จำกหยบิ ไดไ้ พแ่ ตม้ 5 ใน คร้ังที่ 1 ให้ E แทนเหตุกำรณ์ท่ีหยบิ ไดไ้ พแ่ ตม้ 5 ในคร้ังท่ี 1 F แทนเหตุกำรณ์ท่ีหยบิ ไดไ้ พแ่ ตม้ 2 ในคร้ังท่ี 2 n(E) = 4C1 51C1 = 204 วธิ ี n (E  F) = 4C1 4C1 = 16 วธิ ี จำก P(F E)  P(E  F) P(E) = n(E  F) n(E)

บทท่ี 2 ควำมน่ำจะเป็ น 79 P(F E) = 16 ในคร้ังที่ 2 หลังจำกหยิบได้ไพ่แต้ม 5 204 =4 51ดังน้ันควำมน่ำจะเป็ นท่ีหยิบได้ไพ่แต้ม 2ในคร้ังท่ี 1 คือ 4 51ตัวอย่ าง 2.15 ในกำรเลือกคณะกรรมกำรสโมสรนักศึกษำคณะวิทยำ ศำสตร์ 6 คนจำกผสู้ มคั รท่ีเป็ นนกั ศึกษำชำย 12 คน นกั ศึกษำหญิง 8 คน โดยมีนำงสำวจิรภำ เป็ นนกั ศึกษำคนหน่ึงที่สมคั รเขำ้ รับกำรคดั เลือก จงหำควำมน่ำจะเป็ นที่นำงสำวจิรภำจะไดร้ ับกำรคดั เลือกเป็ นคณะกรรมกำร เมื่อกำหนดวำ่ กำรคดั เลือกไดก้ รรมกำรที่เป็ นนกั ศึกษำชำย 3 คน หญิง 3 คนวธิ ีทา ให้ A แทนเหตุกำรณ์ท่ีนำงสำวจิรภำไดร้ ับกำรคดั เลือกเป็นคณะกรรมกำรB แทนเหตุกำรณ์ท่ีไดค้ ณะกรรมกำรเป็นนกั ศึกษำชำย 3 คน และหญิง 3 คนตอ้ งกำรหำ จำก P(A B)จำกบทนิยำม 2.4.1 จำก P(A B)  P(A  B) P(B) n(E) = 20C6 n =(E  F) 12C3 1C1 7C2 n(B) = 12C3 8C3เม่ือ 20C6 คือกำรเลือกกรรมกำร 6 คน จำกผสู้ มคั รท้งั หมด 20 คน 12C3 คือกำรเลือกกรรมกำร 3 คน จำกผสู้ มคั รชำย 12 คน 1C1 คือกำรเลือกนำงสำวจิรภำเป็ นกรรมกำร 7C2 คือกำรเลือกกรรมกำร 2 คน จำกผสู้ มคั รหญิง 7 คน 8C3 คือกำรเลือกกรรมกำร 3 คน จำกผสู้ มคั รหญิง 8 คน 12C3 1C1 7C2ดงั น้นั P(A B)  20C6 12C3 8C3 20C6 = 4,620 = 3 13,320 8 ดงั น้นั ควำมน่ำจะเป็ นที่นำงสำวจิรภำจะไดร้ ับกำรคดั เลือกเป็ นคณะกรรมกำรเมื่อกำหนดวำ่ กำรคดั เลือกไดก้ รรมกำรที่เป็นนกั ศึกษำชำย 3 คน หญิง 3 คน เท่ำกบั 3 8

80 ควำมน่ำจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ทฤษฎบี ท 2.4.1 ทฤษฎกี ารคูณของความน่าจะเป็ น (multiplication theorem of probability) ในกำรทดลองคร้ังหน่ึง ถำ้ เหตุกำรณ์ A และเหตุกำรณ์ B เกิดข้ึน ท้งั สองเหตุกำรณ์แลว้ จะไดว้ ำ่ P(A  B)  P(A)P(B A) เม่ือ P(A)  0 หรือ P(A  B)  P(B)P(A B) เมื่อ P(B)  0พสิ ูจน์ จำกบทนิยำม 2.4.1นน่ั คือ P(B A)  P(A  B) ; P(A)  0 P( A) เมื่อ P(A)  0 ; P(B)  0 P(A  B)  P(A)P(B A) เมื่อ P(B)  0หรือ P(A B)  P(A  B)นน่ั คือ P(B) P(A  B)  P(B)P(A B)ตัวอย่าง 2.16 เครื่องจกั รเครื่องหน่ึงผลิตสินคำ้ จำนวน 12 ชิ้น พบวำ่ มีตำหนิ 3 ชิ้น ถำ้ สุ่มหยบิ สินคำ้2 ชิ้น โดยหยบิ ทีละชิ้นแบบไม่ใส่คืน จงหำควำมน่ำจะเป็ นท่ีจะไดส้ ินคำ้ ที่มีตำหนิท้งั 2 ชิ้นวธิ ีทาแบบที่ 1 ให้ A แทนเหตุกำรณ์ที่ไดส้ ินคำ้ ที่มีตำหนิจำกกำรหยบิ ในคร้ังแรก B แทนเหตุกำรณ์ที่ไดส้ ินคำ้ ท่ีมีตำหนิจำกกำรหยบิ ในคร้ังที่สอง =P( A) 3C13 12C1 12 =P(B A)  2C1 2 11C1 11 เน่ืองจำก P(B A)  P(A  B) P( A) ดงั น้นั P(A  B)  P(B A)P(A) จะไดว้ ำ่ P(A B) = 2  3 11 12 =1 22 ดงั น้นั ควำมน่ำจะเป็ นท่ีจะไดส้ ินคำ้ ท่ีมีตำหนิท้งั 2 ชิ้นเทำ่ กบั 1 22วธิ ีทาแบบที่ 2 กำหนดให้ S แทนปริภมู ิตวั อยำ่ งของกำรหยบิ ไดข้ อง 2 ชิ้นแบบไม่ใส่คืน จะได้ n (A B) = 3C1 2C1 6 วธิ ี

บทที่ 2 ควำมน่ำจะเป็ น 81 n(S) = 12C111C1 132 วธิ ี P(B A)  n(A  B) n(S ) =6 132 =1 22 ดงั น้นั ควำมน่ำจะเป็นท่ีจะไดส้ ินคำ้ ที่มีตำหนิท้งั 2 ชิ้นเทำ่ กบั 1 22ทฤษฎบี ท 2.4.2 ถำ้ A , B และ C เป็นเหตุกำรณ์ใดๆ ของกำรทดลองสุ่มท่ีสำมำรถเกิดข้ึนร่วมกนั ได้ ในปริภูมิตวั อยำ่ ง S จะไดว้ ำ่ P(A B C) = P(A) P(B / A) P(C / (A B)) เม่ือ P(A) > 0 และ P(A B) > 0พสิ ูจน์ เนื่องจำก P(A B C) = P((A B) C) จำกทฤษฎีบท 2.4.1 จะไดว้ ำ่ P((A  B)  C) = P(A  B) P(C (A  B)) = P(A) P(B A) P(C (A  B)) ดงั น้นั P(A B C) = P(A) P(B A) P(C (A  B))ทฤษฎบี ท 2.4.3 ถำ้ A1 , A2 , ... , An เป็นเหตุกำรณ์ใดๆ n เหตุกำรณ์ ของกำรทดลองสุ่ม ในปริภมู ิตวั อยำ่ ง S จะไดว้ ำ่ P(A1  A2 ... An ) = P(A1) P(A2 A1) P(A3 (A1  A2 )) … P(An (A1  A2 ...  An1))พสิ ูจน์ โดยใชห้ ลกั กำรอุปนยั ทำงคณิตศำสตร์ กำหนดให้ P(n) แทน P(A1  A2 ...  An ) = P(A1) P(A2 A1) P(A3 (A1  A2 )) … P(An (A1  A2 ...  An1))

82 ควำมน่ำจะเป็ นและสถติ ิเบ้ืองตน้ 1. ที่ n = 2 จะไดว้ ำ่ P(A1  A2 ) = P(A1) P(A2 A1) เป็ นจริ งโดยทฤษฎีบทกำรคูณของควำมน่ำจะเป็ น 2. จะแสดงวำ่ ถำ้ P(k) เป็นจริงแลว้ P(k + 1) เป็นจริงดว้ ย ท่ี n = k กำหนดให้ P(k) เป็นจริง ดงั น้นั P(A1  A2 ... Ak ) = P(A1) P(A2 A1) P(A3 (A1  A2 )) … P(Ak (A1  A2 ...  Ak1 )) ที่ n = k + 1 =P(A1  A2 ...  Ak  Ak1) P((A1  A2 ... Ak )  Ak1 ) จำกทฤษฎีบทกำรคูณของควำมน่ำจะเป็น จะไดว้ ำ่=P(A1  A2 ...  Ak1) P(A1  A2 ...  Ak )P(Ak1 ) (A1  A2 ... Ak ) = P(A1) P(A2 A1) P(A3 …(A1  A2 )) P(Ak1 (A1  A2 ...  Ak )) นนั่ คือ ที่ n = k + 1 P(k + 1) เป็นจริง สรุปวำ่ P(n) เป็นจริงทุกจำนวนเตม็ บวก n ใดๆ ดงั น้นั P(A1  A2 ...  An ) = P(A1) P(A2 A1) P(A3 (A1  A2 )) … P(An (A1  A2 ...  An1))ตวั อย่าง 2.17 ตะกร้ำผลไมใ้ บหน่ึงบรรจุส้มท่ีดี 90 ผล ปนอยกู่ บั ส้มท่ีเสียอีก 10 ผล 1. ถำ้ สุ่มหยบิ ส้มข้ึนมำ 2 ผล โดยหยบิ ทีละผลแลว้ ไมใ่ ส่คืน จงหำควำมน่ำจะเป็ นท่ีจะหยบิไดส้ ้มท่ีเสียท้งั สองผล 2. ถำ้ สุ่มหยิบส้มมำ 3 ผล โดยหยิบทีละผลแลว้ ไม่ใส่คืน จงหำควำมน่ำจะเป็ นที่จะไดส้ ้มท่ีเสียท้งั 3 ลูกวธิ ีทา 1. ถำ้ สุ่มหยบิ ส้มข้ึนมำ 2 ผล โดยหยบิ ทีละผลแลว้ ไม่ใส่คืน จงหำควำมน่ำจะเป็ นท่ีจะหยิบไดส้ ้มท่ีเสียท้งั สองผล ให้ A , B แทนเหตุกำรณ์ท่ีไดส้ ้มท่ีเสียจำกกำรหยบิ ในคร้ังท่ี 1 และคร้ังที่สอง ตำมลำดบั จำก P(A  B)  P(A)P(B A) เม่ือ P(A) > 0 = 10  9 100 99 =1 110 ดงั น้นั ควำมน่ำจะเป็นที่จะหยบิ ไดส้ ้มที่เสียท้งั สองผลเท่ำกบั 1 110

บทท่ี 2 ควำมน่ำจะเป็ น 83 2. ถำ้ สุ่มหยบิ ส้มมำ 3 ผล โดยหยบิ ทีละผลแลว้ ไมใ่ ส่คืน จงหำควำมน่ำจะเป็ นที่จะไดส้ ้ม ท่ีเสียท้งั 3 ลูก ให้ A , B ,C แทนเหตุกำรณ์ท่ีไดส้ ้มท่ีเสียจำกกำรหยบิ ในคร้ังท่ี 1 , 2 , 3 ตำมลำดบั จำก P(A  B C)  P(A)P(B A)P(C A  B) = 10  9  8 100 99 98 =2 2, 695 ดงั น้นั ควำมน่ำจะเป็นท่ีจะหยบิ ไดส้ ้มท่ีเสียท้งั สำมผลเทำ่ กบั 2 2, 695ตัวอย่าง 2.18 กล่องใบหน่ึงมีลูกบอลสีแดง 3 ลูก สีดำ 5 ลูก ถำ้ สุ่มหยบิ ลูกบอลทีละลูกแบบไมใ่ ส่คืนจงหำควำมน่ำจะเป็ นท่ี 1. หยบิ ไดล้ ูกบอลสีแดง 2 ลูก จำกกำรหยบิ 2 คร้ัง 2. หยบิ ไดล้ ูกบอลสีแดงในคร้ังที่ 1 สีดำในคร้ังท่ี 2 3. หยบิ ไดล้ ูกบอลสีแดง 3 ลูก จำกกำรหยบิ 3 คร้ัง 4. หยบิ 3 คร้ังแลว้ ไมไ่ ดบ้ อลสีแดงเลย 5. หยบิ ไดส้ ีแดงคร้ังที่ 1 สีดำคร้ังที่ 2 สีแดงคร้ังท่ี 3วธิ ีทา 1. หยบิ ไดล้ ูกบอลสีแดง 2 ลูก จำกกำรหยบิ 2 คร้ัง กำหนดให้ R1 , R2 แทนกำรไดล้ ูกบอลสีแดงจำกกำรหยบิ คร้ังท่ี 1 และ 2 ตำมลำดบั P(R1  R2 )  P(R1) P(R2 R1) = 32 87 =3 28 ดงั น้นั ควำมน่ำจะเป็นท่ีจะหยบิ ไดล้ ูกบอลสีแดง 2 ลูก จำกกำรหยบิ 2 คร้ังเท่ำกบั 3 28 2. หยบิ ไดล้ ูกบอลสีแดงในคร้ังที่ 1 สีดำในคร้ังท่ี 2 กำหนดให้ R1 , B2 แทนกำรไดล้ ูกบอลสีแดงจำกกำรหยบิ คร้ังที่ 1 และไดบ้ อล สีดำในกำรหยบิ คร้ังท่ี 2 ตำมลำดบั P(R1  B2 )  P(R1) P(B2 R1) = 35 87 = 15 56

84 ควำมน่ำจะเป็ นและสถติ ิเบ้ืองตน้ ดงั น้นั ควำมน่ำจะเป็นที่จะไดล้ ูกบอลสีแดงจำกกำรหยบิ คร้ังท่ี 1 ไดบ้ อลสีดำ จำกกำรหยบิ คร้ังที่ 2 เป็น 15 56 3. หยบิ ไดล้ ูกบอลสีแดง 3 ลูก จำกกำรหยบิ 3 คร้ัง กำหนดให้ R1 , R2 , R3 แทนกำรไดล้ ูกบอลสีแดงจำกกำรหยบิ ท้งั คร้ังที่ 1 , 2 , 3 ตำมลำดบั P(R1  R2  R3 )  P(R1)P(R2 R1)P(R3 R1  R2 ) = 321 876 =1 56 ดงั น้นั ควำมน่ำจะเป็นที่จะไดล้ ูกบอลสีแดงจำกกำรหยบิ ท้งั 3 ลูก จำกกำรหยบิ 3 คร้ัง เป็ น 1 56 4. หยบิ 3 คร้ังแลว้ ไมไ่ ดบ้ อลสีแดงเลย กำหนดให้ B1 , B2 , B3 แทนกำรไดล้ ูกบอลสีดำจำกกำรหยบิ ท้งั คร้ังท่ี 1 , 2 , 3 ตำมลำดบั P(B1  B2  B3 )  P(B1) P(B2 B1) P(B3 B1  B2 ) = 543 876 =5 28 ดงั น้นั ควำมน่ำจะเป็นท่ีจะไม่ไดล้ ูกบอลสีแดงจำกกำรหยบิ ท้งั 3 คร้ังเลยเป็น 5 28 5. หยบิ ไดส้ ีแดงคร้ังที่ 1 สีดำคร้ังท่ี 2 สีแดงคร้ังท่ี 3 กำหนดให้ R1 , R3, B2 แทนกำรไดล้ ูกบอลสีแดงจำกกำรหยบิ ท้งั คร้ังที่ 1 และ 3 และไดล้ ูกบอลสีดำจำกกำรหยบิ คร้ังท่ี 2 ตำมลำดบั P(R1  B2  R3 )  P(R1) P(B2 R1)P(R3 R1  B2 ) = 352 876 =5 56 ดงั น้นั ควำมน่ำจะเป็นที่จะไดล้ ูกบอลสีแดงจำกกำรหยบิ คร้ังท่ี 1 ไดบ้ อลสีดำจำกกำร หยบิ คร้ังที่ 2 ไดบ้ อลสีแดงจำกกำรหยบิ คร้ังท่ี 3 เป็น 5 56

บทท่ี 2 ควำมน่ำจะเป็ น 852.5 ทฤษฎบี ทของเบส์ ทฤษฎีบทของเบส์ (Bayes’ theorem) เป็นทฤษฎีควำมน่ำจะเป็นที่มีควำมสำคญั ทฤษฎีหน่ึงดงั จะกล่ำวถึงในรูปของบทนิยำมและทฤษฎีบทตอ่ ไปน้ีบทนิยาม 2.5.1 ในกำรทดลองสุ่มใด ๆ เหตุกำรณ์ A1 , A2 , A3 , … , An จะเป็นผลแบ่งก้นั (partition) ของปริภูมิตวั อยำ่ ง Sถำ้ 1. A1  A2 ... An  S2. Ai  Aj   ทุกคำ่ ของ i , j เมื่อ i , j = 1 , 2 , 3 , … , n เม่ือ i = 1 , 2 , 3 , … , n3. P(Ai ) > 0 ทุกค่ำของ i S A1 A2 A3 Ai … An รูปท่ี 2.1 แสดงผลแบ่งก้นั ในปริภูมิตวั อยำ่ ง Sทฤษฎบี ท 2.5.1 B แทนเหตุกำรณ์ท่ีเป็นเซตยอ่ ยของปริภูมิตวั อยำ่ ง S และเหตุกำรณ์ A1 , A2 , A3 , … , An เป็ นผลแบ่งก้นั ของปริภมู ิตวั อยำ่ ง S และเป็ นผลแบ่งก้นั ของเหตุกำรณ์ B ดว้ ย จะไดว้ ำ่ n P(B)  P(Ai )P(B Ai ) i1 ซ่ึงเรียกวำ่ กฏแห่งการรวมความน่าจะเป็ น และเรียก P(B) วำ่ ควำมน่ำจะเป็นรวมของเหตุกำรณ์ B

86 ควำมน่ำจะเป็ นและสถติ ิเบ้ืองตน้ A2 S A1 A3 B An Ai … รูปที่ 2.2 แสดงเซต B และผลแบง่ ก้นั ในปริภมู ิตวั อยำ่ ง Sพสิ ูจน์ เน่ืองจำก A1 , A2 , A3 , … , An เป็ นผลแบง่ ก้นั ของปริภมู ิตวั อยำ่ ง S และ B เป็นเซตยอ่ ยของปริภูมิตวั อยำ่ ง S จำกบทนิยำม 2.5.1 จะไดว้ ำ่ S  A1  A2 ... An และ Ai  Aj   ทุกค่ำของ i , j เนื่องจำก B เป็นเซตยอ่ ยของปริภมู ิตวั อยำ่ ง S ดงั น้นั B  B  S  B  ( A1  A2  ...  An )  (B  A1 )  (B  A2 ) ...  (B  An ) จำกทฤษฎีบท 2.3.2 สำหรับเหตุกำรณ์ท่ีไม่เกิดข้ึนร่วมกนั แลว้ P(B)  P(B  A1)  P(B  A2 )  ...  P(B  An) และจำกทฤษฎีบท 2.4.1 ทฤษฎีกำรคูณของควำมน่ำจะเป็ น P(B  A1)  P(A1)P(B A1) P(B  A2 )  P(A2 )P(B A2 )ดงั น้นั P(B  An )  P(An )P(B An ) P(B)  P(A1)P(B / A1)  P(A2 )P(B A2 )  ...  P(An)P(B An) n P(B)  P(Ai )P(B Ai ) i1ตัวอย่าง 2.19 ในกำรเลือกตวั แทนของห้อง 2 คน โดยเลือกทีละคน จำกผสู้ มคั รท่ีเป็ นชำย 3 คนหญิง 5 คน จงหำควำมน่ำจะเป็นที่จะไดต้ วั แทนเป็นเพศเดียวกนั จำกกำรเลือกตวั แทนท้งั สองคร้ังวธิ ีทา กำหนดให้ A แทนเหตุกำรณ์ที่ไดต้ วั แทน 2 คนเป็นเพศเดียวกนั ซ่ึงแบง่ ได้ 2 กรณี คือไดเ้ พศชำยท้งั คู่ หรือไดเ้ พศหญิงท้งั คู่

บทท่ี 2 ควำมน่ำจะเป็ น 87M1 , M2 แทนเหตุกำรณ์ท่ีไดต้ วั แทนเป็นเพศชำยจำกกำรเลือกคร้ังที่ 1 และ 2 ตำมลำดบัW1 , W2 แทนเหตุกำรณ์ที่ไดต้ วั แทนเป็นเพศหญิงจำกกำรเลือกคร้ังท่ี 1 และ 2 ตำมลำดบัเนื่องจำก A  (M1  M2 )  (W1 W2 )จะไดว้ ำ่ P(A)  P(M1  M2 )  P(W1 W2 )  P(M1)P(M2 M1)  P(W1)P(W2 W1) = (3 2)(5 4) 87 87 = 13 28ดงั น้นั ควำมน่ำจะเป็ นท่ีจะไดต้ วั แทนเป็ นเพศเดียวกนั จำกกำรเลือกตวั แทนท้งั สองคร้ังเท่ำกบั 13 28ตัวอย่าง 2.20 โรงงำนเครื่องป้ันดินเผำแห่งหน่ึงมีช่ำงป้ันแจกนั อยสู่ ำมคน ถำ้ ในหน่ึงวนั ช่ำงคนท่ี 1ป้ันแจกนั ได้ 12 ใบมีตำหนิอยู่ 2 ใบ ช่ำงคนท่ี 2 ป้ันแจกนั ได้ 10 ใบ มีตำหนิอยู่ 1 ใบ ช่ำงคนท่ี 3ป้ันแจกันได้ 15 ใบ มีตำหนิอยู่ 3 ใบ ถ้ำสุ่มหยิบแจกันที่ป้ันจำกโรงงำนแห่งน้ีมำหน่ึงใบจงหำควำมน่ำจะเป็นที่จะไดแ้ จกนั ที่มีตำหนิวธิ ีทา ให้ A1 , A2 , A3 แทนเหตุกำรณ์ท่ีหยบิ ไดแ้ จกนั ท่ีถูกป้ันโดยช่ำงคนที่ 1 , 2 , 3 ตำมลำดบั และ B แทนเหตุกำรณ์ท่ีหยบิ ไดแ้ จกนั ที่มีตำหนิ จะไดว้ ำ่ P(B)  P(B  A1)  P(B  A2 )  P(B  A3)  P(A1)P(B / A1)  P(A2 )P(B A2 )  P(A3 )P(B A3) = (12  2 )  (10  1 )  (15  3 ) 37 12 37 10 37 15 = 213 37 37 37 =6 37 ดงั น้นั ควำมน่ำจะเป็นที่จะหยบิ ไดแ้ จกนั ท่ีมีตำหนิเป็ น 6 37ตัวอย่าง 2.21 ถำ้ ควำมน่ำจะเป็ นท่ีนำยหรินทร์จะนำรถเขำ้ ตรวจสภำพตำมเวลำท่ีกำหนดคือ 8 10และควำมน่ำจะเป็ นท่ีรถจะเสียท้งั ที่ตรวจสภำพตำมที่กำหนดแลว้ เป็ น 3 แต่ควำมน่ำจะเป็ น 15ที่รถจะเสียเมื่อไม่ไดเ้ ขำ้ รับกำรตรวจสภำพตำมเวลำที่กำหนดคือ 5 จงหำควำมน่ำจะเป็ นที่รถของ 10นำยหรินทร์จะเสีย

88 ควำมน่ำจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้วธิ ีทา ให้ A1 แทนเหตุกำรณ์ท่ีนำยหรินทร์นำรถเขำ้ รับกำรตรวจสภำพตำมเวลำที่กำหนด A2 แทนเหตุกำรณ์ที่นำยหรินทร์ไม่ไดน้ ำรถเขำ้ รับกำรตรวจสภำพตำมเวลำทีกำหนด E แทนเหตุกำรณ์ที่รถของนำยหรินทร์เสีย P(E)  P(A1)P(E A1)  P(A2 )P(E A2 ) = ( 8  3)( 2  5 ) 10 15 10 10 = 13 50 ดงั น้นั ควำมน่ำจะเป็นท่ีรถของนำยหรินทร์จะเสียคือ 13 50ทฤษฎบี ท 2.5.2 ทฤษฎีของเบส์ (Baye’s theory) ถำ้ A1 , A2 , A3 , … , An เป็ นเหตุกำรณ์ที่เป็ นผลแบง่ ก้นั ของปริภมู ิตวั อยำ่ ง S และ B แทนเหตุกำรณ์ใด ๆ ที่เป็นเซตยอ่ ยใน S โดยท่ี P(B) 0 จะไดว้ ำ่ P(Ak B)  P( Ak )P(B Ak ) n  P(Ai )P(B Ai ) i1พสิ ูจน์ เน่ืองจำก P( Ak B)  P( Ak  B) เม่ือ P(B)  0 จำกบทนิยำม 2.4.1 และ P(B) จำกทฤษฎีบท 2.4.1 และ จำกทฤษฎีบท 2.5.1 P(Ak  B)  P(Ak )P(B Ak ) ดงั น้นั n P(B)  P(Ai )P(B Ai ) i1 P( Ak B)  P( Ak )P(B Ak ) n  P(Ai )P(B Ai ) i1 เน่ืองจำก P(Ak) เป็ นควำมน่ำจะเป็ นในกำรเกิดเหตุกำรณ์ Ak โดยไม่ทรำบผลกำรเกิดเหตุกำรณ์ B แต่ P(Ak B) เป็ นควำมน่ำจะเป็ นของกำรเกิดเหตุกำรณ์ Ak เมื่อทรำบวำ่ เหตุกำรณ์ Bได้เกิดข้ึน ดังน้ันทฤษฎีบทของเบส์จึงถูกนำมำใช้เพ่ือหำว่ำเหตุกำรณ์ Ak จะเกิดข้ึนหลังจำกเกิดเหตุกำรณ์ B ไดม้ ำกนอ้ ยเพยี งใด

บทท่ี 2 ควำมน่ำจะเป็ น 89ตัวอย่าง 2.22 จำกตวั อยำ่ ง 2.20 ถำ้ สุ่มหยบิ แจกนั ข้ึนมำหน่ึงใบแลว้ ไดแ้ จกนั ที่มีตำหนิจงหำควำมน่ำจะเป็นท่ีแจกนั ใบน้นั มำจำกกำรป้ันของช่ำงคนท่ี 3วธิ ีทา ให้ A1 , A2 , A3 แทนเหตุกำรณ์ที่หยบิ ไดแ้ จกนั ซ่ึงป้ันโดยช่ำงคนท่ี 1 , 2 , 3 ตำมลำดบั B แทนเหตุกำรณ์ที่หยบิ ไดแ้ จกนั ที่มีตำหนิจำกทฤษฎีของเบส์จะไดว้ ำ่ P( A3 B)  P( A3 )P(B A3 ) 3  P( Ai )P(B Ai ) i1 P(A3 B) = (15 )( 3 ) =1 37 15 62 37ดงั น้นั ควำมน่ำจะเป็นที่แจกนั ใบที่มีตำหนิที่หยบิ ไดจ้ ะมำจำกกำรป้ันของช่ำงคนท่ี 3 เป็น 1 2ตัวอย่าง 2.23 โรงงำนแห่งหน่ึงผลิตสินคำ้ โดยใช้เครื่องจกั ร 3 เครื่อง ถ้ำในหน่ึงวนั เคร่ืองจกั รแต่ละเคร่ืองผลิตสินคำ้ ได้ 45% , 25% , 30% ตำมลำดบั และถ้ำปริมำณสินคำ้ ที่ผลิตได้จำกเคร่ืองจกั รท้งั 3 เคร่ืองจะมีตำหนิเป็น 5% , 3% , 4% ตำมลำดบั 1. สุ่มหยบิ สินคำ้ ข้ึนมำ 1 ชิ้น จงหำควำมน่ำจะเป็ นที่จะไดส้ ินคำ้ ที่มีตำหนิ 2. สุ่มหยบิ สินคำ้ มำ 1 ชิ้นปรำกฏวำ่ เป็ นสินคำ้ ท่ีมีตำหนิ จงหำควำมน่ำจะเป็ นท่ีสินคำ้ ชิ้นน้นั จะผลิตจำกเคร่ืองจกั รเครื่องที่สองวธิ ีทา ให้ A1 , A2 , A3 แทนเหตุกำรณ์ท่ีหยบิ ไดส้ ินคำ้ ซ่ึงผลิตจำกเครื่องจกั รเคร่ืองที่ 1 , 2 , 3 ตำมลำดบั B แทนเหตุกำรณ์ท่ีหยบิ ไดส้ ินคำ้ ท่ีมีตำหนิ 1. ควำมน่ำจะเป็นที่จะหยบิ ไดส้ ินคำ้ ท่ีมีตำหนิ คือ P(B) โดยท่ี 3 P(B)  P(Ai )P(B Ai ) i1  P(A1)P(B / A1)  P(A2 )P(B A2 )  P(A3 )P(B A3 ) = ( 4  5 )  ( 25  3 )  ( 30  4 ) 100 100 100 100 100 100 = 225  75  120 10,000 10,000 10,000 = 420 10, 000 = 21 500 ดงั น้นั ควำมน่ำจะเป็นที่จะหยบิ ไดส้ ินคำ้ ที่มีตำหนิเป็น 21 500

90 ควำมน่ำจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้2. หยบิ ไดส้ ินคำ้ ที่มีตำหนิ 1 ชิ้น ควำมน่ำจะเป็นที่สินคำ้ น้นั จะมีตำหนิจำกกำรผลิตของเครื่องจกั รเครื่องท่ีสอง คือ P(A2 B) P( A2 B)  P( A2 )P(B A2 ) 3  P(Ai )P(B Ai ) i1 = ( 25 )( 3 ) 100 100 420 10, 000 = 75 = 5 420 28 ดงั น้นั ถำ้ หยบิ ไดส้ ินคำ้ ท่ีมีตำหนิ 1 ชิ้น ควำมน่ำจะเป็ นท่ีสินคำ้ น้นั จะมีตำหนิจำกกำรผลิตของเคร่ืองจกั รเคร่ืองท่ีสองเป็น 5 282.6 ความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์ทอ่ี สิ ระกนั สำหรับเหตุกำรณ์สองเหตุกำรณ์ใดๆ ถำ้ กำรเกิดเหตุกำรณ์หน่ึงไม่มีผลต่อควำมน่ำจะเป็ นของกำรเกิดของอีกเหตุกำรณ์หน่ึง จะเรียกเหตุกำรณ์ท้ังสองเหตุกำรณ์น้ีว่ำเป็ นเหตุกำรณ์ที่อิสระกนั เช่น ในกำรโยนลูกเต๋ำ 1 ลูก 2 คร้ัง ถำ้ A แทนเหตุกำรณ์ที่ลูกเต๋ำข้ึนแตม้ คู่ในกำรโยนคร้ังแรก B แทนเหตุกำรณ์ท่ีลูกเต๋ ำข้ึนแต้มคู่ในกำรโยนคร้ังที่สอง จะได้ว่ำ P(A) = 0.5และควำมน่ำจะเป็ นของกำรที่ลูกเต๋ำจะข้ึนแตม้ คู่จำกกำรโยนคร้ังที่สองหลงั จำกที่โยนคร้ังแรกลูกเต๋ำก็ข้ึนแตม้ คูค่ ือ P(B A) = 0.5 ดงั น้นั กำรที่ลูกเต๋ำข้ึนแตม้ คู่ในกำรโยนคร้ังแรกไม่มีผลทำให้ควำมน่ำจะเป็ นท่ีลูกเต๋ำจะข้ึนแตม้ คู่ในกำรโยนคร้ังที่ 2 เปล่ียนแปลงไปจึงเรียกไดว้ ่ำเหตุกำรณ์A และ B เป็นเหตุกำรณ์ที่อิสระกนั บำงคร้ังสำมำรถพิจำรณำควำมเป็ นอิสระของเหตุกำรณ์จำกลกั ษณะของกำรทดลองสุ่ม คือถำ้ เป็ นกำรทดลองหยิบแบบใส่คืน (with replacement) ผลในกำรหยบิ แต่ละคร้ังถือวำ่ เป็ นอิสระกนัเช่น ถำ้ สุ่มหยิบลูกบอล 2 ลูก จำกกล่องที่บรรจุลูกบอลสีแดง 3 ลูก สีขำว 2 ลูก โดยกำรหยิบทีละลูกแลว้ ใส่คืน ถำ้ ให้ A , B แทนเหตุกำรณ์ท่ีหยบิ ไดล้ ูกบอลสีแดงในคร้ังที่ 1 และ 2 ตำมลำดบัจะไดว้ ำ่ P(A) = 3C1 = 3 และ P(B) = 3C1 =3 ดว้ ย เนื่องจำกเป็นกำรหยบิ แบบใส่คืน 5C1 5C1 5 5แตถ่ ำ้ กำรทดลองน้ีเป็นกำรหยบิ ทีละลูกแบบไม่ใส่คืนจะได้ P(B) = 2C1 = 1 ดงั น้นั กำรทดลองสุ่ม 4C1 2แบบหยบิ แลว้ ใส่คืนจึงถือวำ่ เป็นกำรทดลองท่ีใหผ้ ลของเหตุกำรณ์ท่ีอิสระกนั

บทที่ 2 ควำมน่ำจะเป็ น 91บทนิยาม 2.6.1 เหตุกำรณ์ A จะเป็ นอิสระจำกเหตุกำรณ์ B กต็ ่อเม่ือ P(A B)  P(A) หรือ เหตุกำรณ์ B จะเป็ นอิสระจำกเหตุกำรณ์ A ก็ต่อเมื่อ P(B A)  P(B) ทฤษฎบี ท 2.6.1 ถำ้ A และ B เป็ นเหตุกำรณ์ที่อิสระกนั แลว้ P(A B)  P(A)P(B)พสิ ูจน์ จำกบทนิยำม 2.6.1 เหตุกำรณ์ A และ B จะเป็ นอิสระกนั เม่ือ P(A / B)  P(A) หรือ P(B A)  P(B) และจำกทฤษฎีบท 2.4.1 P(A B)  P(A)P(B A) เม่ือ P(B A)  P(B) จะไดว้ ำ่ P(A B)  P(A)P(B) ดงั น้นั ถำ้ เหตุกำรณ์ A และ B เป็ นอิสระกนั แลว้ P(A B)  P(A)P(B)ทฤษฎบี ท 2.6.2 ถำ้ เหตุกำรณ์ A และ B เป็นเหตุกำรณ์ท่ีอิสระกนั แลว้ จะไดว้ ำ่ 1. A และ B เป็นเหตุกำรณ์ที่อิสระกนั 2. A และ B เป็ นเหตุกำรณ์ท่ีอิสระกนั 3. A และ B เป็ นเหตุกำรณ์ที่อิสระกนัพสิ ูจน์ ให้ A และ B เป็นเหตุกำรณ์ที่อิสระกนั1. พิสูจน์วำ่ A และ B เป็นเหตุกำรณ์ท่ีอิสระกนัจำกบทนิยำม 2.4.1 P(A B)  P(B A)P(A)แตเ่ น่ืองจำก P(B A)  1 P(B A)จะไดว้ ำ่ P(A  B)  [1 P(B A) ]P(A)จำกบทนิยำม 2.6.1 ถำ้ A และ B เป็ นเหตุกำรณ์ท่ีอิสระกนั แลว้ P(B A)  P(B)นนั่ คือ P(A B)  [1  P(B)]P(A) P(A  B)  P(B)P(A) ดงั น้นั เหตุกำรณ์ A และ B จึงเป็นเหตุกำรณ์ที่อิสระกนั

92 ควำมน่ำจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้2. พสิ ูจนว์ ำ่ A และ B เป็นเหตุกำรณ์ที่เป็ นอิสระกนั พิสูจน์ในทำนองเดียวกบั 1.นนั่ คือ P(A  B)  P(B)P(A B) = P(B)[1 P(A B) ] = P(B)[1  P(A)] = P(B)P( A ) ดงั น้นั เหตุกำรณ์ A และ B จึงเป็นเหตุกำรณ์ท่ีอิสระกนั3. พสิ ูจนว์ ำ่ A และ B เป็นเหตุกำรณ์ที่เป็ นอิสระกนั พสิ ูจน์ในทำนองเดียวกนั กบั 1.และ 2. นนั่ คือ P(A  B)  P(B)P(A B) = P( B )[1 P(A B) ] = P( B )[1  P(A)] = P( B )P( A ) ดงั น้นั เหตุกำรณ์ A และ B จึงเป็ นเหตุกำรณ์ท่ีอิสระกนัตัวอย่าง 2.24 โรงงำนผลิตสินคำ้ แห่งหน่ึงมีเจำ้ หน้ำท่ีตรวจสอบคุณภำพสินคำ้ 2 คน คือนำยกอและนำยขอ ถ้ำควำมน่ำจะเป็ นที่นำยกอ จะตรวจสอบคุณภำพสิ นค้ำผิดพลำดคือ 2 %และควำมน่ำจะเป็ นที่นำยขอ จะตรวจสอบคุณภำพสินคำ้ ผิดพลำดคือ 3% จงหำควำมน่ำจะเป็ นที่อยำ่ งนอ้ ยหน่ึงคนจะตรวจสอบคุณภำพสินคำ้ ผดิ พลำดวธิ ีทา ให้ A , B แทนเหตุกำรณ์ท่ีนำยกอ และนำยขอ ตรวจสอบคุณภำพสินคำ้ ผดิ พลำด ตำมลำดบั เน่ืองจำก P(A B)  P(A)  P(B)  P(A B) แต่ A , B เป็นเหตุกำรณ์ที่อิสระกนั ดงั น้นั P(A B)  P(A)  P(B)  P(A)P(B) = 2  3 ( 2  3 ) 100 100 100 100 = 5 6 100 10,000 = 494 10, 000 = 0.0494 ควำมน่ำจะเป็นที่จะมีอยำ่ งนอ้ ยหน่ึงคนตรวจสอบคุณภำพสินคำ้ ผดิ พลำดเป็น 0.0494

บทท่ี 2 ควำมน่ำจะเป็ น 93บทนิยาม 2.6.2 A , B , C จะเป็นเหตุกำรณ์ 3 เหตุกำรณ์ใด ๆ ท่ีเป็นอิสระกนั กต็ อ่ เม่ือสมบตั ิ 2 ขอ้ ต่อไปน้ีเป็นจริง 1. A , B , C เป็นอิสระตอ่ กนั ทีละคู่ นน่ั คือ P(A  B)  P( A)P(B) P(A  C)  P(A)P(C) P(B  C)  P(B)P(C) 2. P(A  B C)  P(A)P(B)P(C) จำกบทนิ ยำม 2.6.2 สำมำรถขยำยออกไปเป็ นเหตุกำรณ์หลำยๆ เหตุกำรณ์ในทำนองเดียวกนั นนั่ คือ A1 , A2 , A3 , … , An จะเป็ นเหตุกำรณ์ n เหตุกำรณ์ที่อิสระกนัเม่ือ P(A1  A2 ... An )  P(A1)P(A2 )...P(An)ตวั อย่าง 2.25 สุ่มหยบิ ไพ่ 3 ใบ จำกสำรับ จงหำควำมน่ำจะเป็นท่ี 1. ไดไ้ พค่ ิงท้งั สำมใบจำกกำรหยบิ ทีละใบแบบใส่คืน 2. ไดไ้ พค่ ิงท้งั สำมใบจำกกำรหยบิ ทีละใบแบบไมใ่ ส่คืนวธิ ีทา 1. ในกำรหยบิ ไพท่ ีละใบแบบใส่คืน ให้ A1 , A2 , A3 แทนเหตุกำรณ์ท่ีหยบิ ไดไ้ พค่ ิงจำกกำรหยบิ คร้ังที่ 1 , 2 , 3 ตำมลำดบั เนื่องจำกกำรหยบิ ทีละใบแบบใส่คืนจะใหเ้ หตุกำรณ์ท่ีอิสระกนั ดงั น้นั P(A1  A2  A3 )  P(A1)P(A2 )P(A3 ) = 444 52 52 52 =1 2,197 ควำมน่ำจะเป็นท่ีจะไดไ้ พค่ ิงท้งั สำมใบจำกกำรหยบิ ไพท่ ีละใบแบบใส่คืนคือ 1 2,197 2. ในกำรหยบิ ไพท่ ีละใบแบบไม่ใส่คืน ให้ A1 , A2 , A3 แทนเหตุกำรณ์ท่ีหยบิ ไดไ้ พค่ ิงจำกกำรหยบิ คร้ังที่ 1 , 2 , 3 ตำมลำดบั เนื่องจำกเป็นกำรหยบิ ไพท่ ีละใบแบบไมใ่ ส่คืน ดงั น้นั จึงเป็นกำรหำควำมน่ำจะเป็ นแบบ มีเงื่อนไข จะไดว้ ำ่ P(A1  A2  A3)  P(A1)P(A2 / A1)P(A3 / A2  A3)

94 ควำมน่ำจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้P( A1  A2  A3 )  43 2 52 51 50 =1 5, 525ควำมน่ำจะเป็นท่ีจะไดไ้ พค่ ิงท้งั สำมใบจำกกำรหยบิ ไพท่ ีละใบแบบไมใ่ ส่คืนคือ 1 5, 525ตัวอย่าง 2.26 จำกกำรเกบ็ ขอ้ มลู ดำ้ นควำมสำมำรถในกำรใชภ้ ำษำองั กฤษของนกั ศึกษำก่อนสำเร็จกำรศึกษำของสถำบนั อุดมศึกษำแห่งหน่ึง พบวำ่ 60% เป็ นนกั ศึกษำหญิง และ 12% ของนกั ศึกษำหญิงมีควำมสำมำรถในกำรใช้ภำษำองั กฤษอยู่ในระดบั ดี และ 10% ของนักศึกษำชำยมีควำมสำมำรถในกำรใชภ้ ำษำองั กฤษในระดบั ดี 1. ถำ้ สุ่มนกั ศึกษำมำ 1 คน จงหำควำมน่ำจะเป็นไดน้ กั ศึกษำที่มีควำมสำมำรถในกำรใช้ ภำษำองั กฤษในระดบั ดี 2. สมมุติวำ่ นกั ศึกษำคนท่ีสุ่มมำมีควำมสำมำรถในกำรใชภ้ ำษำองั กฤษในระดบั ดี จงหำ ควำมน่ำจะเป็นท่ีนกั ศึกษำคนน้ีจะเป็นนกั ศึกษำหญิงวธิ ีทา ให้ A แทนเหตุกำรณ์ท่ีไดน้ กั ศึกษำที่มีควำมสำมำรถในกำรใชภ้ ำษำองั กฤษในระดบั ดี B แทนเหตุกำรณ์ท่ีไดน้ กั ศึกษำเป็นเพศหญิงจำกขอ้ มูลท่ีโจทยก์ ำหนด สำมำรถแสดงขอ้ มลู ควำมน่ำจะเป็นดงั ตำรำง เพศ ควำมน่ำจะเป็ นหญิง PB = 60% ควำมสำมำรถในกำรใชภ้ ำษำองั กฤษ ดี  A P A B = 12%ชำย PB = 40% ไม่ดี  A P A B = 88% ดี  A P A B = 10% ไมด่ ี  A P A B = 90%1. P(A) = P A B  P A B = PB A B  PB P A B=  60  12    40  10   100 100   100 100 = 0.072 + 0.04= 0.112

บทที่ 2 ควำมน่ำจะเป็ น 95 ดงั น้นั ควำมน่ำจะเป็นที่จะไดน้ กั ศึกษำท่ีมีควำมสำมำรถในกำรใชภ้ ำษำองั กฤษระดบั ดีคือ 0.1122. PB A = PA B P A = PBPA B P A = 0.072 0.112 = 0.643ถำ้ นกั ศึกษำคนที่สุ่มมำมีควำมสำมำรถในกำรใชภ้ ำษำองั กฤษในระดบั ดี ควำมน่ำจะเป็ นท่ีนกั ศึกษำคนน้ีจะเป็นนกั ศึกษำหญิงจะมีค่ำเทำ่ กบั 0.643

96 ควำมน่ำจะเป็ นและสถติ ิเบ้ืองตน้ แบบฝึ กหัดบทที่ 21. ในหน่ึงวนั โรงงำนแห่งหน่ึงผลิตสินคำ้ ไดจ้ ำนวน 100 ชิ้น แตเ่ ป็ นสินคำ้ ที่มีตำหนิ 20 ชิ้นถำ้ สุ่มหยบิ สินคำ้ มำ 2 ชิ้น โดยหยบิ ทีละชิ้นแบบไม่ใส่คืน จงหำควำมน่ำจะเป็นที่ 1.1 ไดส้ ินคำ้ ท่ีมีตำหนิท้งั 2 ชิ้น 1.2 ไดส้ ินคำ้ ที่มีตำหนิอยำ่ งนอ้ ย 1 ชิ้น2. จำกกำรโยนลูกเต๋ำ 1 ลูก 2 คร้ัง จงหำควำมน่ำจะเป็ นที่ผลรวมของแตม้ เป็ น 10 หรือ เป็นเลขคู่3. โรงงำนบรรจุอำหำรกระป๋ องแห่งหน่ึง มีเคร่ืองบรรจุกระป๋ อง 3 เคร่ือง ถำ้ ในหน่ึงชวั่ โมงจะได้อำหำรท่ีบรรจุกระป๋ องจำกเครื่องบรรจุ A , B , C จำนวน 75 , 65 , 50 กระป๋ อง ตำมลำดบัแต่กม็ ีกระป๋ องที่มีตำหนิจำกกำรบรรจุท่ีตอ้ งคดั ออกเป็นจำนวน 6, 5, 3 กระป๋ อง ตำมลำดบั จงหำ 3.1 ควำมน่ำจะเป็นท่ีจะสุ่มหยบิ อำหำรกระป๋ องมำ 1 กระป๋ องแลว้ พบวำ่ เป็ นกระป๋ องที่มีตำหนิ 3.2 ถำ้ สุ่มหยบิ อำหำรกระป๋ อง 1 กระป๋ องปรำกฏวำ่ เป็ นกระป๋ องท่ีมีตำหนิ จงหำควำมน่ำจะเป็นท่ีจะเป็นอำหำรกระป๋ องที่มีตำหนิจำกกำรบรรจุของเคร่ือง A4. สมศรีซ้ือดอกกุหลำบตน้ เลก็ ๆ มำ 2 ตน้ โดยไม่ทรำบวำ่ เป็นตน้ กุหลำบท่ีใหด้ อกสีใด ถำ้ ควำมน่ำจะเป็นท่ีกุหลำบตน้ แรกจะมีดอกสีชมพเู ป็น 0.5 และควำมน่ำจะเป็นที่กุหลำบตน้ ท่ี 2 จะมีดอกสีชมพเู ป็น 0.7 จงหำควำมน่ำจะเป็นที่ 4.1 กหุ ลำบท้งั 2 ตน้ มีดอกสีชมพู 4.2 มีอยำ่ งนอ้ ยหน่ึงตน้ ท่ีมีดอกสีชมพู 4.3 ไม่มีตน้ ไหนที่มีดอกสีชมพเู ลย5. บริษทั แห่งหน่ึงมีพนักงำนส่งเอกสำรจำนวน 3 คน คือ กอ ขอ และ คอ ถำ้ ปริมำณกำรส่งเอกสำรในหน่ึงวนั ของพนกั งำนท้งั 3 คน คือ 45% , 35% , 20% ตำมลำดบั แต่จำกขอ้ มูลท่ีผำ่ นมำพบวำ่ ลูกคำ้ ไดแ้ จง้ วำ่ ไดร้ ับเอกสำรผดิ พลำดจำกกำรส่งเอกสำรของพนกั งำนท้งั 3 คน เป็ น 4% , 5%และ 2% ตำมลำดบั จงหำ 5.1 ควำมน่ำจะเป็นท่ีถำ้ สุ่มลูกคำ้ ของบริษทั มำ 1 รำย แลว้ พบวำ่ ลูกคำ้ ไดร้ ับเอกสำรผดิ พลำด 5.2 ถ้ำลูกคำ้ ของบริษทั รำยหน่ึงไดร้ ับเอกสำรท่ีผิดพลำด จงหำควำมน่ำจะเป็ นท่ีจะเกิดจำก ควำมผดิ พลำดจำกกำรส่งเอกสำรของนำย คอ

บทท่ี 2 ควำมน่ำจะเป็ น 976. มีกล่อง 2 ใบ กล่องใบท่ี 1 บรรจุลูกบอลสีแดง 3 ลูก สีขำว 5 ลูก กล่องใบท่ี 2 บรรจุลูกบอลสีแดง 4 ลูก สีขำว 6 ลูก สุ่มหยบิ ลูกบอลมำกล่องละ 1 ลูก จงหำควำมน่ำจะเป็นท่ี 6.1 หยบิ ไดล้ ูกบอลสีขำวจำกกล่องที่ 1 ไดบ้ อลสีแดงจำกกล่องที่ 2 6.2 หยบิ ไดล้ ูกบอลสีแดงจำกกล่องท่ี 1 ไดบ้ อลสีขำวจำกกล่องท่ี 2 6.3 หยบิ ไดบ้ อลสีแดง 1 ลูก สีขำว 1 ลูก 6.5 หยบิ ไดล้ ูกบอลสีแดงท้งั 2 ลูก 6.5 หยบิ ไดล้ ูกบอลสีเดียวกนั 6.6 ถำ้ หยบิ ไดบ้ อลสีแดง 1ลูก สีขำว1 ลูก จงหำควำมน่ำจะเป็นท่ีลูกบอลสีแดงจะมำจำกกล่องใบท่ี 27. กล่องใบหน่ึงบรรจุลูกบอลสีดำ 5 ลูก สีแดง 6 ลูก สีขำว 4 ลูก สุ่มหยบิ ลูกบอล 2 ลูก โดยหยบิทีละลูกแบบไมใ่ ส่คืน จงหำควำมน่ำจะเป็นที่ 7.1 ไดล้ ูกบอลสีดำท้งั 2 ลูก 7.2 ไดล้ ูกบอลสีขำว 1 ลูก 7.3 ไดล้ ูกบอลสีแดงอยำ่ งนอ้ ย 1 ลูก 7.4 ไดล้ ูกบอลสีขำวในกำรหยบิ คร้ังท่ี 2 ถำ้ คร้ังแรกหยบิ ไดล้ ูกบอลสีอ่ืน8. เหรียญอนั หน่ึงถูกถ่วงน้ำหนกั ให้ข้ึนหัวเป็ น 2 เท่ำของกำรข้ึนกอ้ ย ถ้ำโยนเหรียญน้ี 3 คร้ังจงหำควำมน่ำจะเป็นท่ีจะไดก้ อ้ ย 2 คร้ัง9. ขอ้ มูลจำกกำรสอบกลำงภำคของวิไลทศั นำพบว่ำ ควำมน่ำจะเป็ นที่วิไลทศั นำจะสอบตกวิชำควำมน่ำจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ เป็ น 25% สอบตกวชิ ำฟิ สิกส์เป็ น 20% และสอบตกท้งั สองวชิ ำเป็น 8% จงหำวำ่ 9.1 ถำ้ วไิ ลทศั นำสอบตกวชิ ำฟิ สิกส์จงหำควำมน่ำจะเป็นท่ีเธอจะสอบตกวชิ ำควำมน่ำจะเป็นและสถิติเบ้ืองตน้ 9.2 ถำ้ วไิ ลทศั นำสอบตกวชิ ำควำมน่ำจะเป็นและสถิติเบ้ืองตน้ จงหำควำมน่ำจะเป็นที่เธอจะ สอบตกวชิ ำฟิ สิกส์ 9.3 จงหำควำมน่ำจะเป็นที่วไิ ลทศั นำจะสอบตกวชิ ำควำมน่ำจะเป็นและสถิติเบ้ืองตน้ หรือวชิ ำฟิ สิกส์10. ถำ้ 8% ของนกั ศึกษำชำย และ 3% ของนกั ศึกษำหญิงของมหำวิทยำลยั รำชภฏั ลำปำงเป็ นผทู้ ่ีมีควำมสูงเกิน 165 เซนติเมตร และถ้ำ 40% ของนักศึกษำของมหำวิทยำลัยแห่งน้ีเป็ นชำยสุ่มนกั ศึกษำมำหน่ึงคนพบว่ำเป็ นนักศึกษำที่สูงเกิน 165 เซนติเมตร จงหำควำมน่ำจะเป็ นที่นกั ศึกษำคนน้ีจะเป็นหญิง