บทที่ 9 การวิเคราะห์ความแปรปรวน

บทท่ี 9 การวเิ คราะห์ความแปรปรวน ใ น บ ท ที่ ผ่า น ม า ก า ร ท ด ส อ บ ส ม มุ ติ ฐ า น เ กี่ ย ว กับ ผ ล ต่ า ง ข อ ง ค่ า เ ฉ ล่ี ย ข อ ง ป ร ะ ช า ก รโดยใช้สถิติทดสอบคือ Z หรื อสถิติทดสอบ T จะเป็ นการทดสอบผลต่างของค่าเฉลี่ยของประชากรเพียง 2 กลุ่ม ถา้ ตอ้ งการทดสอบผลต่างของค่าเฉล่ียของประชากรที่มากกวา่ 2 กลุ่มข้ึนไป ตอ้ งทาโดยการเลือกประชากรมาชุดละ 2 กลุ่มแลว้ ทาการทดสอบผลต่างค่าเฉลี่ยประชากรไปทีละคู่ สมมุติมีประชากรที่ต้องการทดสอบผลต่างของค่าเฉล่ียประชากรจานวน 4 กลุ่มการทดสอบทีละคู่ตอ้ งทาการทดสอบจานวน 4C2 = 6 คร้ัง ไดแ้ ก่ การทดสอบระหวา่ ง 1 2 ,1  3 , 1  4 , 2  3 , 2  4 และ 3  4 เมื่อ i = 1 , 2 , 3 , 4 แทนประชากรกลุ่มท่ี 1ถึง 4 ซ่ึงทาใหเ้ กิดความยงุ่ ยากและมีโอกาสท่ีจะเกิดค่าผดิ พลาดไดม้ าก ดงั น้นั ในกรณีท่ีมีประชากรมากกว่า 2 กลุ่ม จะใช้การวิเคราะห์หาความแตกต่างของค่ากลางระหว่างประชากรโดยการวเิ คราะห์ผา่ นความแปรปรวน จึงเรียกวธิ ีการน้ีวา่ การวเิ คราะห์ความแปรปรวน (analysis ofvariance) หรือเรียกส้ันๆ วา่ ANOVA การวิเคราะห์ความแปรปรวนน้ีเป็ นเทคนิคที่ถูกคน้ พบโดย ฟิ ชเชอร์ โรนลั ด์ โอล์เมอร์(Fisher,Ronald Aylmer) เม่ือปี พ.ศ. 2466 การวเิ คราะห์ความแปรปรวนสามารถทดสอบสมมุติฐานเกี่ยวกบั ผลต่างของค่าเฉล่ียประชากรในกรณีประชากรหลายกลุ่มได้ในคราวเดียวกัน จึงเป็ นเทคนิคที่นิยมใชใ้ นการวจิ ยั ทุกสาขา โดยสมมุติฐานของการวเิ คราะห์คือค่าเฉล่ียของประชากรทุกกลุ่มไม่แตกตา่ งกนั หรือ H0 :1  2  3  ...  k เม่ือ k คือจานวนกลุ่มของประชากร ขอ้ ตกลงสาหรับขอ้ มูลจากตวั อย่างที่จะนามาใช้ในการวิเคราะห์ความแปรปรวน หรือANOVA คือ 1. ขอ้ มลู ที่ไดต้ อ้ งมาจากตวั อยา่ งที่ไดม้ าอยา่ งไมเ่ จาะจงจากประชากรแตล่ ะกลุ่ม 2. ตวั อยา่ งท่ีไดม้ าจากประชากรท่ีมีการแจกแจงแบบปกติ 3. ความแปรปรวนของประชากรแตล่ ะกลุ่มไมแ่ ตกต่างกนั การวเิ คราะห์ความแปรปรวนจะใชค้ ่าสถิติเอฟ หรือ F -test ซ่ึงค่าที่ไดจ้ ะข้ึนอยกู่ บั ขอ้ มูลที่ไดจ้ ากแตล่ ะประชากรและชนิดของการทดสอบ ซ่ึงแบง่ เป็น 2 แบบ ไดแ้ ก่ แบบที่ 1 การวเิ คราะห์ความแปรปรวนแบบจาแนกทางเดียว (one – way analysis of variance) หรือเรียกส้ันๆ วา่ 1 – way ANOVA แบบที่ 2 การวเิ คราะห์ความแปรปรวนแบบจาแนกสองทาง (two – way analysis of variance) หรือเรียกส้ันๆ วา่ 2 – way ANOVA

358 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้9.1 การวเิ คราะห์ความแปรปรวนแบบจาแนกทางเดียว การวิเคราะห์ความแปรปรวนแบบจาแนกทางเดียวเป็ นวิธีการที่นามาใช้เปรียบเทียบค่าเฉล่ียของประชากรต้งั แต่ 3 กลุ่มข้ึนไป โดยมีตวั แปรอิสระหรือตวั แปรตน้ เพียงตวั แปรเดียวแต่อาจแบ่งไดห้ ลายระดบั ซ่ึงจะเรียกว่าวิธีปฏิบตั ิ (treatment) และมีตวั แปรตามซ่ึงให้ขอ้ มูลเชิงปริมาณ ตัวอย่างเช่น ต้องการเปรียบเทียบผลสัมฤทธ์ิทางการเรียนของผู้เรี ยนที่เรี ยนด้วยวิธีการสอน 3 แบบ ตวั แปรตน้ คือวิธีการสอนแบ่งเป็ น 3 ระดบั หรือ 3 วธิ ีปฏิบตั ิ ตวั แปรตามคือผลสัมฤทธ์ิทางการเรียน หรือตอ้ งการเปรียบเทียบสมรรถนะของเครื่องจกั รท่ีใชใ้ นการบรรจุสินคา้จาก 5 บริษทั ผผู้ ลิตว่ามีความแตกต่างกนั หรือไม่ ตวั แปรตน้ คือเครื่องจกั รท่ีใชใ้ นการบรรจุสินคา้แบ่งเป็ น 5 ระดบั หรือ 5 ย่หี ้อ ตวั แปรตามคือจานวนสินคา้ ต่อช่วงเวลาที่เครื่องจกั รของแต่ละยห่ี ้อผลิตได้ การวเิ คราะห์ขอ้ มลู แบบจาแนกทางเดียวน้นั เป็ นการเปรียบเทียบความแตกต่างของค่าเฉลี่ยของขอ้ มลู ที่สุ่มมาจากประชากร k กลุ่ม ( k  3) สามารถแสดงรูปแบบของขอ้ มูลและสัญลกั ษณ์ที่จะใชใ้ นการวเิ คราะห์ความแปรปรวนไดด้ งั ตารางที่ 9.1ตารางท่ี 9.1 แสดงรูปแบบของขอ้ มลู และสัญลกั ษณ์ท่ีใชใ้ นการวเิ คราะห์ความแปรปรวน แบบจาแนกทางเดียว ประชากรท่ีตวั อยา่ งท่ี 1 23 i k 1 X k1 2 X11 X 21 X31 X i1 Xk2 3 Xk3 X12 X 22 X32 Xi2 X13 X 23 X33 Xi3j X1 j X 2 j X3 j X ij X kjni X1n1 X 2n2 X 3n3 X in j X knkผลรวม T1 T2 T3 Ti Tk Tขนาดตวั อยา่ ง n1 n2 n3 ni nk nค่าเฉล่ีย X1 X2 X3 Xi Xk X

บทที่ 9 การวเิ คราะห์ความแปรปรวน 359โดยท่ี Xij คือคา่ ขอ้ มูลจากประชากรที่ i หน่วยตวั อยา่ งท่ี j Ti i = 1 , 2 , 3 , … , k และ j = 1 , 2 , 3 , … , ni T คือ ผลรวมของค่าขอ้ มูลจากประชากรที่ i หรือ Ti ni Xi  Xij X j 1 ni n คือ ผลรวมของค่าขอ้ มูลท้งั หมด หรือ T  k i Ti i1 ni  Xij คือ คา่ เฉลี่ยของขอ้ มูลจากประชากรกลุ่มที่ หรือ j 1  Ti i Xi  n ni k  Xi คือ คา่ เฉล่ียท้งั หมด หรือ X   T i1 kn คือขนาดของกลุ่มตวั อยา่ งกลุ่มที่ i คือขนาดของกลุ่มตวั อยา่ งท้งั หมด คือคา่ เฉล่ียของประชากรกลุ่มที่ i ในการทดสอบความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยของวิธีปฏิบตั ิท้งั k วิธีให้ผลแตกต่างกนัหรือไม่โดยใช้วิธีการวิเคราะห์ความแปรปรวนน้ันจะต้องแยกความแปรปรวนท้งั หมด (totalvariances) ที่เกิดข้ึนจากการทดลองออกเป็ นความแปรปรวนที่เกิดข้ึนจากส่วนประกอบต่าง ๆ ท่ีเหมาะสม สาหรับการวิเคราะห์ความแปรปรวนแบบจาแนกทางเดียวน้นั จาแนกขอ้ มูลตามวิธีการปฏิบตั ิ และการปฏิบตั ิทุกคร้ังจะตอ้ งมีค่าผิดพลาดเกิดข้ึนเสมอ ดงั น้นั ในการทดลองจึงแยกความแปรปรวนท้งั หมดออกเป็ น ความแปรปรวนท่ีเกิดข้ึนเน่ืองจากวธิ ีปฏิบตั ิท่ีแตกต่างกนั ในแต่ละวิธีเรียกว่าความแปรปรวนระหว่างการปฏิบตั ิ และความแปรปรวนที่เกิดจากค่าผิดพลาดของการปฏิบตั ิหรือจะเรียกวา่ ความแปรปรวนภายในวธิ ีการปฏิบตั ิ ถา้ ไม่มีผลจากวิธีการปฏิบตั ิที่แตกต่างกนั แลว้ ความแปรปรวนท้งั สองกไ็ ม่ควรจะแตกตา่ งกนั สาหรับการวิเคราะห์ความแปรปรวนจากการจาแนกข้อมูลแบบทางเดียวน้ัน วิธีการทดสอบโดยการพิจารณาคา่ สัดส่วนความแปรปรวนที่เกิดจากความแตกต่างของวธิ ีปฏิบตั ิในแต่ละวธิ ีกบั ความแปรปรวนท่ีเกิดจากค่าผดิ พลาดของการปฏิบตั ิถา้ ความแปรปรวนท้งั สองมีค่าใกลเ้ คียงกนั แสดงวา่ ความแปรปรวนท้งั หลายไม่ไดเ้ กิดจากการมีค่าเฉล่ียที่แตกต่างกนั แต่ถา้ ความแปรปรวนท้งั สองน้นั แตกตา่ งกนั มากแสดงวา่ ความแปรปรวนท้งั หลายส่วนใหญ่เกิดจากคา่ เฉลี่ยที่แตกต่างกนั ในการคานวณความแปรปรวนดงั กล่าว สามารถคานวณไดต้ ามประเภทของแหล่งความแปรปรวนโดยจะกล่าวในบทนิยามและทฤษฎีบทดงั ตอ่ ไปน้ี

360 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ ทฤษฎบี ท 9.1.1 ถา้ Xij เป็นขอ้ มลู ซ่ึงไดจ้ ากตวั อยา่ งที่ j และวธิ ีปฏิบตั ิท่ี i ni คือขนาดตวั อยา่ งที่เลือกมาจากวธิ ีปฏิบตั ิที่ i และ X คือคา่ เฉล่ียรวม ของท้งั หมด ให้ SS(T) คือผลรวมกาลงั สองของยอดรวม จะไดว้ า่ k ni k ni  SS(T)  ( Xij  Xi )2 (Xi  X )2  i1 j1 i1 j1พสิ ูจน์ k niจาก ( Xij  X )2 SS(T )  i1 j1 kni ( Xi  X )  ( Xij  Xi )2  i1 j1 k ni  ( Xi  X )2  2( Xi  X )( Xij  Xi )  ( Xij  Xi )2  i1 j1 k ni k ni k ni    (Xi  X )2  2 (Xi  X )(Xij  Xi )  (Xij  Xi )2 i1 j1 i1 j1 i1 j1 k ni k ni k ni    (Xi  X )2  2 (Xi  X) ( Xij  Xi ) i1 j1 i1 j1 i1 j1 k ni  (Xij  Xi )2 i1 j1 k ni ni ( Xij  Xi )  Xij  nXi เน่ืองจาก i1 j1 j 1 ni ni xij  i1 X ij n n j 1 =0นนั่ คือ k ni k ni k niดงั น้นั   (Xij  X )2  ( Xij  Xi )2 (Xi  X )2  i1 j1 i1 j1 i1 j1 k ni k ni  SS(T)  ( Xij  Xi )2 (Xi  X )2  i1 j1 i1 j1 จากทฤษฎีบท 9.1.1 จะเห็นไดว้ า่ ความแปรปรวนท้งั หมดซ่ึงวดั ดว้ ยผลรวมกาลงั สองของยอดรวม หรือ SS(T) ไดแ้ ยกออกเป็ นผลรวมกาลงั สองของผลต่างระหวา่ งค่าเฉล่ียของวธิ ีปฏิบตั ิ

บทที่ 9 การวเิ คราะห์ความแปรปรวน 361กับค่าเฉล่ียรวม k ni จะเรี ย กว่า ผลรวมกา ลังสองของวิธี ป ฏิ บัติ เขียนแทนด้วย (Xi  X )2 i1 j1สัญลกั ษณ์ SS(B) และผลรวมกาลงั สองของผลต่างระหวา่ งค่าสังเกตในแตล่ ะวธิ ีปฏิบตั ิกบั ค่าเฉล่ียของวิธีการปฏิบตั ิท่ีสังเกตได้ k ni ( X ij  X i )2 จะเรียกวา่ ผลรวมกาลงั สองภายในวธิ ีการปฏิบตั ิ   i1 j1เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ SS(W) ดงั น้นั SS(T)  SS(B)  SS(W)บทนิยาม 9.1.1 ให้ Xij เป็นขอ้ มูลท่ีไดจ้ ากวธิ ีปฏิบตั ิท่ี i ตวั อยา่ งท่ี j เมื่อ n คือขนาดตวั อยา่ งท้งั หมดท่ีสุ่มมาจากประชากร และ SS(T) คือผลรวมกาลงั สองของยอดรวม (total sum of square) ท่ีมี n 1 เป็ นองศาเสรีของยอดรวม ผลรวมกาลงั สองเฉล่ียของยอดรวม (total mean square) กค็ ือ ความแปรปรวนท้งั หมดท่ีเกิดข้ึน เขียนแทนดว้ ย MS(T) k ni (Xij  X )2 จะไดว้ า่ =MS(T ) i1 j1  SS(T ) n 1 n 1ทฤษฎบี ท 9.1.2 ให้ SS(T) คือผลรวมกาลงั สองของยอดรวม จะไดว้ า่ k ni k ni T2 i1 i1 n ( Xij j 1  SS(T)   X )2  X 2  ij j 1พสิ ูจน์ จาก k ni k ni  (Xij  X )2  2 2) ( X ij  2Xij X  X i1 j1 i1 j1 k ni k ni k ni  2   2  X ij  2X X ij  X i1 j1 i1 j1 i1 j1 k ni  2 2 X ij  2 X (nX )  nX i1 j1 k ni  2 2 X ij  nX i1 j1

362 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้  k ni k ni 2  T 2 ( Xij  X )2 i1 ij  n   X  n i1 j1 j 1 k ni T2 i1 2 n X ij  j 1 k ni k ni T2 ดงั น้นั SS(T)i1 X )2 i1 2 n  ( Xij   X ij  j 1 j 1บทนิยาม 9.1.2 ให้ Xi เป็นค่าเฉล่ียของขอ้ มูลจากตวั อยา่ งของวธิ ีปฏิบตั ิท่ี i และ X เป็ นคา่ เฉล่ียรวมท้งั หมดของขอ้ มูลเม่ือ SS(B) คือผลรวม กาลงั สองระหวา่ งวธิ ีปฏิบตั ิ (between sum of square) ที่มีองศาเสรี คือ k 1 ผลรวมกาลงั สองเฉล่ียระหวา่ งวธิ ีปฏิบตั ิ (between mean square) เขียนแทนดว้ ย MS(B) k ni (Xi  X )2 จะไดว้ า่ =MS(B) i1 j1  SS(B) k 1 k 1ทฤษฎบี ท 9.1.3 ให้ SS(B) คือผลรวมกาลงั สองระหวา่ งวธิ ีปฏิบตั ิ จะไดว้ า่ k ni k Ti2 T2 i1 i1 ni n (Xi j 1  SS(B)   X )2  พสิ ูจน์ จาก k ni SS(B)  (Xi  X )2 i1 j1 k  ni (Xi  X )2 i1 k  ni ( X 2  2X i X  X 2) i i1 k kk    ni X 2  2 X Xini  ni X 2 i i1 i1 i1   k ni  Ti 2  2 T  k  Ti   n  T 2 i1  ni  n  i1  ni ni n     

บทที่ 9 การวเิ คราะห์ความแปรปรวน 363 k Ti 2 2 T  k T 2 i1 ni n  n  SS(B)  Ti  i1 k Ti 2  T T T 2 i1 ni  n n   2   k Ti 2  T 2 i1 ni n ดงั น้นั SS(B)k ni  X )2  k Ti2  T2 i1 i1 ni n (Xi j 1บทนิยาม 9.1.3 ให้ Xij เป็นขอ้ มูลที่ไดจ้ ากวธิ ีปฏิบตั ิท่ี i ตวั อยา่ งท่ี j และ Xi เป็นค่าเฉล่ียของขอ้ มลู ของวธิ ีปฏิบตั ิท่ี i เม่ือ SS(W) คือผลรวมกาลงั สองภายในวธิ ีปฏิบตั ิ (within sum of square)ท่ีมีองศาเสรีคือ n  k n คือขนาดของตวั อยา่ งท้งั หมดจากทุกวธิ ีปฏิบตั ิ k คือจานวนกลุ่มของวธิ ีปฏิบตั ิ ผลรวมกาลงั สองเฉล่ียภายในวิธีปฏิบตั ิ (within mean square) ก็คือ ความแปรปรวนภายในวธิ ีการปฏิบตั ิ เขียนแทนดว้ ย MS(W) k ni (Xij  X )2 จะไดว้ า่ =MS(W ) i1 j1  SS(W ) nk nkทฤษฎบี ท 9.1.4 ให้ SS(W) คือผลรวมกาลงั สองภายในวธิ ีปฏิบตั ิ จะไดว้ า่ k ni k ni k Ti2 i1 i1 i1 ni ( Xij j 1   SS(W )  2  Xi )2  X ij  j 1พสิ ูจน์ จาก k ni SS(W )  ( Xij  Xi )2 i1 j1 k ni  2 2 ( X ij  2 X ij Xi  X i ) i1 j1 k ni k ni k ni     2 Xi2 X ij  2 Xi Xij  i1 j1 i1 j1 i1 j1

364 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ k ni k  Ti  k  T1 2  SS(W)i1 2 i1  ni Ti  ni  X ij  2    ni    j 1 i1  k ni k Ti2 k T12 i1 i1 ni 2    X 2  ij i1 ni j 1 k ni k ni k Ti2ดงั น้นั   SS(W)i1 i1 i1 ni ( Xij  Xi )2  X 2  ij j 1 j 1บทนิยาม 9.1.4 คา่ สถิติที่ใชใ้ นการวเิ คราะห์ความแปรปรวนแบบจาแนกทางเดียว จะใชค้ ่าสถิติ F โดยท่ี F  MS(B) MS(W ) เม่ือ MS(B) คือผลรวมกาลงั สองเฉล่ียระหวา่ งวธิ ีปฏิบตั ิ MS(W) คือผลรวมกาลงั สองเฉล่ียภายในวธิ ีปฏิบตั ิ จากบทนิยาม 9.1.4 จะได้ว่าสถิติท่ีใช้ในการทดสอบ H0 : 1  2  3  ...  kที่อาศยั การวเิ คราะห์ความแปรปรวนจึงใชส้ ถิติ F ในการทดสอบ และค่าวกิ ฤตจะอยปู่ ลายทางขวาของการแจกแจงแบบ F นนั่ คือ ท่ีระดบั นยั สาคญั  ถ้า F ที่คานวณได้  F(,1,2)จะปฏิเสธ H0 และจากบทนิยามและทฤษฎีบทที่เก่ียวขอ้ งกบั การวิเคราะห์ความแปรปรวนแบบจาแนกทางเดียวขา้ งตน้ สามารถสรุปเป็ นตารางที่เรียกวา่ ตารางการวิเคราะห์ความแปรปรวนแบบจาแนกทางเดียวไดด้ งั ตารางท่ี 9.2

บทที่ 9 การวเิ คราะห์ความแปรปรวน 365ตารางท่ี 9.2 ตารางการวเิ คราะห์ความแปรปรวนแบบจาแนกทางเดียวความแปรปรวน องศาเสรี ผลรวมกาลงั สอง กาลงั สองเฉลี่ย อตั ราส่วน () (SS ) (MS ) (F)ระหวา่ ง k 1 SS(B)  k Ti2  T 2 MS(B) = SS(B)วธิ ีปฏิบตั ิ i1 ni n k 1 F  MS(B) MS(W ) ภายในวธิ ีปฏิบตั ิ k ni 2 k Ti2 MS(W ) = SS(W ) i1 ij i1 ni nk SS(W )  X  nk j 1 k ni T2  =n 1 i1 nยอดรวม SS(T )  X 2 SS(T ) ij MS(T ) j 1 n 1 สาหรับการทดสอบค่าเฉล่ียของประชากรต้ังแต่ 3 กลุ่มข้ึนไปโดยใช้การวิเคราะห์ความแปรปรวนวา่ แบบจาแนกทางเดียวมีข้นั ตอนการทดสอบดงั น้ีข้นั ตอนท่ี 1 ต้งั สมมุติฐาน เม่ือมีประชากร k กลุ่มข้นั ตอนท่ี 2 H0 : 1  2  3  ...  kข้นั ตอนท่ี 3 H1 : i   j อยา่ งนอ้ ย 1 คู่ โดย i  jข้นั ตอนท่ี 4 กาหนดระดบั นยั สาคญั ข้นั ตอนท่ี 5 เลือกสถิติทดสอบ Fข้นั ตอนที่ 6 โดยท่ี F  MS(B) MS(W ) สร้างบริเวณปฏิเสธ H0 โดยคา่ วกิ ฤต คือ F(,1,2) เมื่อ 1  k 1 , 2  n  k คานวณค่าสถิติทดสอบ F จากขอ้ มูลจากตวั อยา่ ง สรุปผลการทดสอบ โดยพิจารณาค่าสถิติทดสอบจากข้นั ตอนที่ 5 วา่ ตกอยู่ใน บริเวณยอมรับ H0 หรือปฏิเสธ H0 ถ้าผลการทดสอบยอมรับ H0 แสดงว่า ค่าเฉลี่ยของแต่ละประชากรไม่แตกต่างกัน แต่ถ้าผลการทดสอบปฏิเสธ H0 แสดงว่าการทดสอบมีนยั สาคญั หรือมีค่าเฉล่ียของประชากรอยา่ งน้อย 1 คู่ ที่ แตกตา่ งกนั

366 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ตัวอย่างท่ี 9.1 ขอ้ มูลแสดงระยะเวลาที่ลูกคา้ ตอ้ งใชใ้ นการรออาหารท่ีสั่งจากร้านอาหาร 5 ร้านโดยการสุ่มจบั เวลาของลูกคา้ ร้านละ 8 คน เป็นดงั ตาราง(หน่วยเป็นนาที) จงทดสอบวา่ เวลาเฉลี่ยท่ีลูกคา้ ตอ้ งรออาหารท่ีส่ังของร้านแตล่ ะร้านแตกตา่ งกนั หรือไม่ ที่ระดบั นยั สาคญั 0.05ลูกคา้ คนท่ี 1 ร้านคา้ ที่ 5 21 234 45 1 35 35 45 32 29 2 32 12 60 53 31 3 28 27 33 29 22 4 14 41 36 42 36 5 47 19 31 40 29 6 25 23 40 23 42 7 38 31 43 35 30 8 20 48 42วิธีทา ให้ 1 , 2 , 3 , 4 และ 5 แทนค่าเฉลี่ยของประชากรกลุ่มท่ี 1 ถึงกลุ่มท่ี 5 ซ่ึงก็คือเวลาเฉล่ียท่ีลูกคา้ ของร้านท่ี 1 ถึง 5 ใชใ้ นการรออาหารที่ส่ัง และเป็ นการวิเคราะห์ความแปรปรวนแบบจาแนกทางเดียว 1. ต้งั สมมุติฐาน H0 : 1  2  3  4  5 H1 : i   j อยา่ งนอ้ ย 1 คู่ เมื่อ i  j และ i, j  1 , 2 , 3 ,4 ,5 2. กาหนดระดบั นยั สาคญั  = 0.05 3. กาหนดค่าสถิติทดสอบ F โดยท่ี F  MS(B) MS(W ) 4. สร้างบริเวณวกิ ฤตหรือบริเวณปฏิเสธ คา่ วกิ ฤต คือ F(,1,2) เมื่อ 1 = k 1 = 5 – 1 = 4 และ 2 = n  k = 40 – 5 = 35 จะได้ = 2.69F(0.05,4,35)

บทท่ี 9 การวเิ คราะห์ความแปรปรวน 367 บริเวณยอมรับ H0 บริเวณปฏิเสธ H0  =0.05 2.69 F5. คานวณค่าสถิติทดสอบจากขอ้ มลู ตวั อยา่ ง หาคา่ สถิติทดสอบ F จากขอ้ มูลดงั น้ีลูกคา้ คนท่ี ร้านคา้ ที่ 1 2 3 45 1 21 35 45 32 45 2 35 12 60 53 29 3 32 27 33 29 31 4 28 41 36 42 22 5 14 19 31 40 36 6 47 23 40 23 29 7 25 31 43 35 42 8 38 20 48 42 30 240 208 336 296 264 1,344 Ti 7,948 6,030 14,724 11,556 9,112 49,370 57,600 43,264 112,896 87,616 69,696 371,072 Xi2 Ti 2 7,200 5,408 14,112 10,952 8,712 46,384 Ti 2 ni 7,948 6,030 14,724 11,556 9,112 49,370 Xi2

368 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้SS(T )  k ni X 2  T2 i1 j 1 ij n  49,370  13442 40 = 4,211.6 SS(B)  k Ti2  T 2 i1 ni n  46,384  13442 40 = 1,225.6เน่ืองจาก SS(T)  SS(B)  SS(W)ดงั น้นั SS(W)  SS(T)  SS(B)  4,211.6 1,225.6 = 2,986 MS(B) = SS(B) = 1,225.6 = 306.4 k 1 51 MS(W ) = SS(W ) = 2,986 = 85.31 n  k 40  5 F  MS(B) = 306.4 = 3.59 MS(W ) 85.31สร้างตารางการวเิ คราะห์ความแปรปรวนไดด้ งั น้ีความแปรปรวน องศาเสรี ผลรวมกาลงั สอง กาลงั สองเฉลี่ย อตั ราส่วนระหวา่ งร้านคา้ () (SS ) (MS ) (F)ภายในร้านคา้ 4 1,225.6 306.4 3.59 ยอดรวม 35 2,986 85.31 39 4,211.66. สรุปผลการทดสอบ ท่ีระดบั นยั สาคญั ของการทดสอบ  = 0.05 การทดสอบปฏิเสธ H0 เนื่องจากคา่ สถิติทดสอบ F = 3.59 ตกอยใู่ นบริเวณบริเวณปฏิเสธ H0 นนั่ คือ มีร้านขายอาหารอยา่ งนอ้ ย 2 แห่งที่เวลาเฉล่ียที่ลูกคา้ ใชใ้ นการรออาหารที่สั่งจะแตกต่างกนั

บทที่ 9 การวเิ คราะห์ความแปรปรวน 369ตัวอย่างที่ 9.2 สถาบนั กวดวชิ า 3 สถาบนั ตอ้ งการทดสอบผลสัมฤทธ์ิทางการเรียนของนกั เรียนท้งั3 สถาบนั วา่ มีความแตกต่างกนั หรือไม่ จึงทาการสุ่มนกั เรียนจาก 3 สถาบนั มาทาการทดสอบดว้ ยขอ้ สอบมาตรฐานชุดเดียวกนั ผลคะแนนเป็ นดงั ตาราง จงทดสอบวา่ ผลสัมฤทธ์ิทางการเรียนของนกั เรียนในสถาบนั กวดวชิ าท้งั 3 สถาบนั วา่ แตกตา่ งกนั หรือไม่ ท่ีระดบั นยั สาคญั 0.1 สถาบนั ท่ี 1 สถาบนั ท่ี 2 สถาบนั ที่ 3 65 60 61 79 64 57 73 57 74 55 75 59 68 62 46 74 52 64วธิ ีทา ให้ 1 , 2 และ 3 แทนผลสัมฤทธ์ิทางการเรียนเฉลี่ยของนกั เรียนท่ีเรียนในสถาบนั กวดวชิ าแห่งที่ 1 , 2 และ 3 ตามลาดบั 1. ต้งั สมมุติฐาน H0 : 1  2  3 H1 : 1  2  3 2. กาหนดระดบั นยั สาคญั  = 0.1 3. เลือกคา่ สถิติทดสอบ F โดยที่ F  MS(B) MS(W ) 4. สร้างบริเวณวกิ ฤตหรือบริเวณปฏิเสธ H0 ค่าวกิ ฤตคือ F(,1,2) เมื่อ 1 = k 1 = 2 และ 2 = n  k  15 จะได้ =F(0.1,2,15) 2.70 บริเวณยอมรับ H0 บริเวณปฏิเสธ H0  = 0.1 2.70 F

370 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้5. คานวณค่าสถิติ F จากขอ้ มลูสถาบนั ท่ี 1 สถาบนั ท่ี 2 สถาบนั ที่ 3 65 60 61 79 64 57 73 57 74 55 75 59 68 62 46 74 52 64ni 6 5 7 n =18Xi2 28,920 20,414 24,843 74,177Ti 414 318 413 T =1,145Ti2 171,396 101,124 170,569 443,089Ti2 28,566 20,224.8 24,367 73,157.8niSS(T )kni X 2  T2 i1 j 1 ij n 74,177  (1,145)2 18  1, 342.28SS(B)  k Ti2  T 2 i1 ni n  73,157.8  (1,145)2 18  323.08SS(W )  SS(T)  SS(B) 1,019.20MS(B) = SS(B) = 323.08 161.54 k 1 31MS(W ) = SS(W ) = 1,019.20  67.95 n  k 18  3

บทท่ี 9 การวเิ คราะห์ความแปรปรวน 371 F  MS(B) MS(W ) = 161.54 67.95  2.377สร้างตารางการวเิ คราะห์ความแปรปรวนแบบจาแนกทางเดียวไดด้ งั น้ีความแปรปรวน องศาเสรี ผลรวมกาลงั สอง กาลงั สองเฉล่ีย อตั ราส่วนระหวา่ งสถาบนั () (SS ) (MS ) (F)ภายในสถาบนั 2 323.08 161.54 2.377 ยอดรวม 15 1,019.20 67.95 17 1,342.28 6. สรุปผลการทดสอบ ที่ระดบั นยั สาคญั  = 0.1 การทดสอบยอมรับ H0 เนื่องจาก ค่าสถิติทดสอบ F = 2.377 ตกอยใู่ นบริเวณบริเวณยอมรับ H0 นนั่ คือ ผลสัมฤทธ์ิทางการเรียนของนกั เรียนท่ีเรียนในสถาบนั กวดวชิ าท้งั 3 แห่ง ไมแ่ ตกตา่ งกนั9.2 การวเิ คราะห์ความแปรปรวนแบบจาแนกสองทาง การวเิ คราะห์ความแปรปรวนแบบจาแนกสองทางหรือ 2 – way ANOVA จะใชก้ บั กรณีท่ีมีตวั แปรอิสระหรือตวั แปรตน้ 2 ตวั โดยแต่ละตวั แปรแบ่งเป็ นหลายระดบั การทดสอบความแตกต่างของค่าเฉล่ียประชากรในกรณีน้ี ถา้ ใช้ 1 – way ANOVA จะตอ้ งใชก้ ารทดสอบ 2 คร้ัง ซ่ึงทาให้เสียเวลามาก แต่สามารถใช้ 2 – way ANOVA ทดสอบเพียงคร้ังเดียวได้ ตวั อย่างของการทดสอบโดยใช้ 2 – way ANOVA เช่น การทดสอบความแตกต่างของผลสัมฤทธ์ิทางการเรียนจากการสอนท่ีแตกตา่ งกนั 3 วธิ ี และจากกลุ่มนกั เรียนโดยการแบ่งกลุ่มตามเพศ จะไดว้ า่ มีตวั แปรตน้ 2ตวั คือ วธิ ีการสอน และเพศ ตวั แปรตามคือผลสัมฤทธ์ิทางการเรียน หรือบริษทั แห่งหน่ึงตอ้ งการเปรียบเทียบความแตกต่างของยอดขายสินคา้ จากสาขาต่างๆ 4 สาขา และอายุการทางานของพนกั งาน แบ่งเป็ น 3 ระดบั ตวั แปรตน้ มี 2 ตวั คือ สาขาแบ่งเป็ น 4 ระดบั (4 สาขา) และอายุการทางานของพนกั งานแบ่งเป็น 3 ระดบั มีตวั แปรตามคือ ยอดขายสินคา้

372 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ เพ่ือให้เกิดความเขา้ ใจท่ีตรงกนั เกี่ยวกบั สัญลกั ษณ์ท่ีใช้ในการทดสอบความแปรปรวนแบบจาแนกสองทาง จึงแสดงรูปแบบของขอ้ มลู และสญั ลกั ษณ์ดงั ตารางที่ 9.2ตารางท่ี 9.2 แสดงรูปแบบของขอ้ มูลและสญั ลกั ษณ์ท่ีใชใ้ นการวเิ คราะห์ความแปรปรวน แบบจาแนก 2 ทาง ตวั แปรท่ี 2ตวั แปรที่ 1 1 2 3 j c รวม ค่าเฉลี่ย X1 j 1 X11 X12 X13 X2 j X1c T1* X1* 2 X 21 X 22 X 23 X3 j 3 X31 X32 X33 X 2c T2* X 2* X3c T3* X 3*i Xi1 Xi2 Xi3 X ij Xic Ti* X i*r X r1 X r2 X r3 X rj X rc Tr* X r*รวม T*1 T*2 T*3 T* j T*c Tค่าเฉลี่ย X*1 X*2 X*3 X* j X*c Xโดยที่ r แทนจานวนระดบั ของตวั แปรท่ี 1 แทนจานวนระดบั ของตวั แปรที่ 2 c แทนจานวนตวั อยา่ งท้งั หมดซ่ึงเท่ากบั r x c n แทนขอ้ มลู ตวั อยา่ งของตวั แปรที่ 1 ระดบั i และตวั แปรท่ี 2 ระดบั ที่ j X ij แทนผลรวมของขอ้ มูลตวั อยา่ งจากตวั แปรที่ 1 ระดบั ท่ี i Ti* แทนผลรวมของขอ้ มลู ตวั อยา่ งจากตวั แปรที่ 2 ระดบั ท่ี j T* j แทนผลรวมของคา่ ขอ้ มูลท้งั หมด แทนค่าเฉล่ียของตวั อยา่ งจากตวั แปรท่ี 1 ระดบั ที่ i T แทนค่าเฉล่ียของตวั อยา่ งจากตวั แปรที่ 2 ระดบั ท่ี j X i* แทนค่าเฉล่ียท้งั หมด X* j X ในการทดสอบสมมุติฐานสาหรับข้อมูลท่ีมีการจาแนกแบบสองทาง จะกาหนดได้ 2ประเภทดงั น้ี

บทท่ี 9 การวเิ คราะห์ความแปรปรวน 373 1. สมมุติฐานสาหรับการทดสอบค่าเฉล่ียของระดบั ตวั แปรที่ 1 ซ่ึงกาหนดไดด้ งั น้ี H0 : 1*  2*  3*  ...  r* H1 :i*   j* อยา่ งนอ้ ย 1 คู่ โดยท่ี i  j ; i, j 1,2,3,...,r หรือ H1 :มีค่าเฉล่ียอยา่ งนอ้ ย 2 คา่ ที่แตกตา่ งกนั 2. สมมุติฐานสาหรับการทดสอบคา่ เฉลี่ยของระดบั ตวั แปรท่ี 2 ซ่ึงกาหนดไดด้ งั น้ี H0 : *1  *2  *3  ...  *c H1 :*i  * j อยา่ งนอ้ ย 1 คู่ โดยท่ี i  j ; i, j 1,2,3,...,c หรือ H1 :มีค่าเฉล่ียอยา่ งนอ้ ย 2 ค่าที่แตกตา่ งกนั โดยวิธีการวิเคราะห์ความแปรปรวนแบบจาแนกสองทางจะแยกความแปรปรวนท้งั หมดออกได้ 3 กลุ่ม คือ ความแปรปรวนที่เกิดจากความแตกต่างระหว่างระดบั ต่างๆ ของตวั แปรท่ี 1ความแปรปรวนท่ีเกิดจากความแตกต่างระหวา่ งระดบั ตา่ งๆ ของตวั แปรท่ี 2 และความแปรปรวนท่ีเกิดจากความผดิ พลาดของตวั แปรท่ี 1 และตวั แปรท่ี 2 สาหรับการทดสอบสมมุติฐานคา่ เฉลี่ยของตวั แปรที่ 1 ที่มี r ระดบั ดงั น้ี H0 : 1*  2*  3*  ...  r* H1 :i*   j* อยา่ งนอ้ ย 1 คู่ โดยท่ี i  j ; i, j 1,2,3,...,r ถา้ การทดสอบยอมรับ H0 ก็หมายความวา่ ตวั แปรท่ี 1 ท้งั r ระดบั ใหผ้ ลไม่แตกต่างกนัหรือไม่มีผลอนั เนื่องมาจากตวั แปรท่ี 1 นนั่ คือค่าเฉลี่ย i* แตล่ ะระดบั ไมแ่ ตกต่างกนั ในทานองเดียวกนั จะไดก้ ารทดสอบสมมุติฐานค่าเฉลี่ย *j ของตวั แปรที่ 2 ที่มี c ระดบัคือ H0 : *1  *2  *3  ...  *c H1 :*i  * j อยา่ งนอ้ ย 1 คู่ โดยที่ i  j ; i, j 1,2,3,...,c ถา้ การทดสอบยอมรับ H0 ก็หมายความวา่ ตวั แปรท่ี 2 ท้งั c ระดบั ใหผ้ ลไม่แตกต่างกนัหรือไม่มีผลอนั เนื่องมาจากตวั แปรที่ 2 นนั่ คือค่าเฉล่ีย *j แตล่ ะตวั ไม่แตกตา่ งกนั ในการคานวณความแปรปรวนเพื่อการทดสอบสมมุติฐานของตวั แปรที่ 1 และตวั แปรที่ 2น้นั สามารถคานวณไดต้ ามประเภทของความแปรปรวนโดยจะกล่าวในบทนิยามและทฤษฎีบทตอ่ ไปน้ี

374 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ทฤษฎีบท 9.2.1 ถา้ Xij เป็ นขอ้ มูลซ่ึงไดจ้ ากตวั อยา่ งของตวั แปรท่ี 1 ระดบั ที่ i และตวั แปรท่ี 2 ระดบั ท่ี j และ X เป็นค่าเฉล่ียของขอ้ มลู ท้งั หมดจากตวั แปรท่ี 1 และตวั แปรท่ี 2 ให้ SS(T) คือผลรวมกาลงั สองของยอดรวม จะได้   + +r c rc rc SS(T )  ( Xi*  X )2 (X* j  X )2 ( Xij  Xi*  X* j  X )2 i1 j1 i1 j1 i1 j1พสิ ูจน์ จาก rc SS(T)  ( Xij  X )2 i1 j1 r c ( Xi*  X )  ( X* j  X )  ( Xij  Xi*  X* j  X )2  i1 j1 rc  +r c  ( Xi*  X )2 (X* j  X )2 i1 j1 i1 j1 + r c ( Xij  Xi*  X* j  X )2 i1 j1 + r c 2 ( Xi*  X )( X* j  X ) i1 j1 + r c 2 ( Xi*  X )( Xij  Xi*  X* j  X ) i1 j1 + r c 2 ( X* j  X )( Xij  Xi*  X* j  X ) i1 j1เนื่องจากผลบวกของผลคูณท้งั 3 เทอมหลงั เป็น 0  นนั่ คือ SS(T)  r c +c r +c r ( Xij  Xi*  X* j  X )2 ( Xi*  X )2 (X* j  X )2 i1 j1 i1 j1 i1 j1จากทฤษฎีบท 9.2.1 จะเห็นวา่ ความแปรปรวนท้งั หมดที่เกิดข้ึนซ่ึงวดั ดว้ ยผลรวมกาลงั สองของยอดรวม หรือ SS(T) ไดแ้ บง่ ออกเป็นผลรวมกาลงั สองของผลตา่ งระหวา่ งค่าเฉลี่ยของตวั แปรท่ี 1 กบั ค่าเฉล่ียรวม rc ท่ีมี r ระดบั เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ SS(R) ผลรวม (Xi*  X )2 i1 j1กาลังสองของผลต่างระหว่างค่าเฉลี่ยของตัวแปรท่ี 2 กับค่าเฉลี่ยรวม rc (X* j  X )2 i1 j1

บทที่ 9 การวเิ คราะห์ความแปรปรวน 375ท่ีมี c ระดบั เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ SS(C)และผลรวมกาลงั สองของค่าผิดพลาดภายในตวั แปรท่ี 1 และตวั แปรที่ 2 จะเขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ SS(W)ดงั น้นั SS(T)  SS(R)  SS(C)  SS(W )บทนิยาม 9.2.1 ให้ Xij เป็ นขอ้ มูลท่ีไดจ้ ากตวั อยา่ งของตวั แปรท่ี 1 ระดบั ท่ี i และตวั แปรท่ี 2 ระดบั ที่ j และ X เป็นคา่ เฉล่ียของขอ้ มูลท้งั หมดจากตวั แปรที่ 1 และตวั แปรท่ี 2 n เป็นจานวนตวั อยา่ งท้งั หมด SS(T) คือผลรวมกาลงั สองของยอดรวมท้งั หมดที่มีองศาเสรีเทา่ กบั n 1 คา่ เฉลี่ยกาลงั สองของยอดรวม(total mean square) กค็ ือความแปรปรวน ท้งั หมดที่เกิดข้ึน เขียนแทนดว้ ย MS(T) จะไดว้ า่ rc (Xij  X )2 =MS(T ) i1 j1  SS(T ) n 1 n 1ทฤษฎบี ท 9.2.2 ให้ SS(T) คือผลรวมกาลงั สองของยอดรวมท้งั หมด และ r , c เป็ นจานวนระดบั ของตวั แปรท่ี 1 และตวั แปรท่ี 2 ตามลาดบั จะไดว้ า่ r c r c T2 i1 i1 n ( Xij j 1  SS(T)   X )2  X 2  ij j 1พสิ ูจน์ การพิสูจน์เช่นเดียวกบั ทฤษฎีบท 9.1.1 ของการวิเคราะห์ความแปรปรวนแบบจาแนก ทางเดียว

376 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้บทนิยาม 9.2.2 ให้ Xi* เป็นค่าเฉล่ียของขอ้ มลู ตวั อยา่ งของตวั แปรที่ 1 ระดบั ท่ี i และ X เป็ นค่าเฉลี่ยรวมของขอ้ มูลท้งั หมดจากตวั แปรท่ี 1 และตวั แปรท่ี 2 ที่มีระดบั ท่ีแตกต่างกนั ในตวั แปรที่ 1 r ระดบั SS(R) คือผลรวมกาลงั สอง ระหวา่ งตวั แปรท่ี 1 ท่ีมีองศาเสรี r 1 ค่าเฉลี่ยของกาลงั สองระหวา่ งตวั แปร ท่ี 1 ก็คือความแปรปรวนท่ีเกิดจากความแตกต่างระหว่างระดับต่างๆ ใน ตวั แปรท่ี 1 เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ MS(R) จะไดว้ า่ rc (Xi*  X )2 =MS(R) i1 j1  SS(R) r 1 r 1ทฤษฎบี ท 9.2.3 ให้ SS(R) คือผลรวมกาลงั สองระหวา่ งตวั แปรท่ี 1 จะไดว้ า่ r c r Ti*2 T2 i1 i1 c n ( Xi* j 1  SS(R)   X )2  พสิ ูจน์ จาก rc SS(R)  ( Xi*  X )2 i1 j1 r  c(Xi*  X )2 i1 r  c( X 2  2 X i* X  X 2) i* i1 r rr    cX 2  2X cXi*  cX 2 i* i1 i1 i1   r c  Ti* 2  2X r c  Ti*   rc T 2 i1  c  i1  c   rc    r Ti*2 r T2 i1 c  2X  rc Ti* i1  r Ti*2  2  T  T  T2 i1 c  rc  rcนน่ั คือ SS(R)  r Ti*2  T 2 i1 c rc r c r Ti*2 T2 i1 i1 c n ( Xi* j 1 ดงั น้นั SS(R)  X )2  

บทที่ 9 การวเิ คราะห์ความแปรปรวน 377บทนิยาม 9.2.3 ให้ X*j เป็นค่าเฉลี่ยของขอ้ มูลตวั อยา่ งที่ไดจ้ ากตวั แปรที่ 2 ระดบั ที่ j และ X เป็ นค่าเฉลี่ยรวมของขอ้ มูลท้งั หมดจากตวั แปรท่ี 1 และตวั แปรที่ 2 มีระดบั ท่ีแตกตา่ งกนั ในตวั แปรท่ี 2 c ระดบั SS(C) คือผลรวมกาลงั สอง ระหว่างตวั แปรท่ี 2 ท่ีมีองศาเสรี c 1 ค่าเฉล่ียของกาลงั สองของตวั แปรท่ี 2 ก็คือความแปรปรวนที่เกิดจากความแตกต่างระหวา่ งระดบั ต่างๆ ในตวั แปรที่ 2 เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ MS(C) จะไดว้ า่ rc (X*j  X )2 =MS(C) i1 j1  SS(C) c 1 c 1ทฤษฎบี ท 9.2.3 ให้ SS(C) คือผลรวมกาลงั สองระหวา่ งตวั แปรท่ี 2 จะไดว้ า่ r c c T*2j  T2 i1 j1 r n ( X* j j 1  SS(C)   X )2 พสิ ูจน์ จาก rc นน่ั คือ SS(C)  (X* j  X )2 i1 j1 rc  ( X 2  X 2  2XX* j ) * j i1 j1 c  r ( X 2  X 2  2XX* j ) * j j 1 cc c    rX 2 j  rX 2  2 rXX* j * j1 j1 j 1 cc c    r X 2 j  rX 2  2 rXX* j * j1 j1 j 1 c  T* j 2  T 2 c  T* j     cr        r  cr  2X r j1  r j1  r c T 2 j  T2 c * cr   T* j j1 r  2X j 1 c T 2 j T2 2 T T  * cr n   j1 r c T 2 j  T2 SS(C)  * j1 r n

378 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้บทนิยาม 9.2.4 ให้ Xi* และ X*j เป็ นค่าเฉล่ียของขอ้ มูลตวั อย่างจากตวั แปรท่ี 1 ระดบั ท่ี i และตวั แปรท่ี 2 ระดบั ท่ี j ตามลาดบั Xij เป็ นขอ้ มูลตวั อยา่ งของตวั แปรท่ี 1 ระดบั ท่ี i และตวั แปรที่ 2 ระดบั ที่ j เม่ือ X เป็ นค่าเฉลี่ยของขอ้ มูลท้งั หมด จากตวั แปรท่ี 1 และตวั แปรท่ี 2 ท่ีมีระดบั ที่แตกต่างกนั ในตวั แปรที่ 1 r ระดบั และตวั แปรท่ี 2 c ระดบั SS(W) คือผลรวมกาลงั สองของค่าผิดพลาดภายใน ตัวแปรที่ 1 และตัวแปรท่ี 2 ที่มีองศาเสรีเท่ากับ (r 1)(c 1) ค่าเฉลี่ยของ กาลงั สองของคา่ ผดิ พลาดภายในตวั แปรท่ี 1 และตวั แปรท่ี 2 เขียนแทนดว้ ย สญั ลกั ษณ์ MS(W) โดยท่ี rc ( Xij  Xi*  X* j  X )2 =MS(W ) i1 j1  SS(W ) (r 1)(c 1) (r 1)(c 1)สาหรับสถิติท่ีใชใ้ นการทดสอบคา่ เฉล่ียของตวั แปรท่ี 1 ที่มี r ระดบั ไดแ้ ก่F  MS(R) ที่มีการแจกแจงแบบ F ท่ีองศาเสรี   r 1 และ   r 1(c 1) และในMS(W ) 12การทดสอบค่าวิกฤตจะอยู่ปลายทางขวาของตัวสถิติเอฟ น่ันคือที่ระดับนัยสาคัญ จะปฏิเสธ H0 ถา้ คา่ F ท่ีคานวณได้  F,r1,r1c1ในทานองเดียวกนั การทดสอบค่าเฉลี่ยของตวั แปรที่ 2 ที่มี c ระดบั สถิติทดสอบไดแ้ ก่F  MS(C) ท่ีมีการแจกแจงแบบ F ทีองศาเสรี   c 11 และ   r 1(c 1)MS(W ) 2โดยค่าวิกฤตจะอยู่ปลายขวาของตัวสถิติเอฟ นั่นคือท่ีระดับนัยสาคัญ  จะปฏิเสธ H0ถา้ ค่า F ที่คานวณได้  F,c1,r1c1 จากการแบง่ ความแปรปรวนท้งั หมดท่ีเกิดข้ึนออกเป็ นส่วนต่างๆ และตวั สถิติทดสอบ H0ดงั กล่าวสามารถสรุปเป็ นตารางเรียกวา่ ตารางการวิเคราะห์ความแปรปรวนแบบจาแนกสองทางดงั ตารางที่ 9.3

บทที่ 9 การวเิ คราะห์ความแปรปรวน 379ตารางที่ 9.3 ตารางวเิ คราะห์ความแปรปรวนแบบจาแนกสองทาง ความ  SS MS Fแปรปรวนตวั แปรที่ 1 SS(R)  r Ti*2  T 2 SS ( R) MS ( R)ตวั แปรที่ 2 i1 c n r 1 MS(W ) r 1 SS (C ) MS (C ) SS(C)  c T*2j  T 2 c 1 MS(W ) j1 r n c 1 SS(W ) (r 1)(c 1)ตวั แปรที่ 1 (r 1)(c 1)และตวั แปรที่ 2 SS(W )  SS(T)  SS(R)  SS(C) r c T2รวม r(c 1) i1 n SS(T )  X 2 ij j 1ข้นั ตอนในการวเิ คราะห์ความแปรปรวนแบบจาแนกสองทางประกอบดว้ ย 6 ข้นั ตอนดงั น้ีข้นั ตอนท่ี 1 ต้งั สมมุติฐาน เนื่องจากมีตวั แปรตน้ สองตวั ดงั น้นั การทดสอบความแปรปรวน ในกรณีน้ีจึงตอ้ งต้งั สมมุติฐานทางสถิติ 2 สมมุติฐานไดแ้ ก่ข้นั ตอนที่ 2ข้นั ตอนท่ี 3 1.1 ต้งั สมมุติฐานตวั แปรที่ 1 H0 : 1*  2*  3*  ...  r* H1 :i*   j* อยา่ งนอ้ ย 1 คู่ โดยท่ี i  j ; i, j 1,2,3,...,r 1.2 ต้งั สมมุติฐานตวั แปรท่ี 2 H0 : *1  *2  *3  ...  *c H1 :*i  * j อยา่ งนอ้ ย 1 คู่ โดยท่ี i  j ; i, j 1,2,3,...,c กาหนดระดบั นยั สาคญั  ของการทดสอบ กาหนดสถิติทดสอบ F โดยที่ F1  MS ( R) MS(W ) เป็ นสถิติสาหรับทดสอบความแปรปรวนของค่าเฉล่ียของตวั แปรที่ 1 (ทดสอบ สมมุติฐานท่ี 1.1)

380 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ F2  MS (C ) MS(W ) เป็นสถิติสาหรับทดสอบความแปรปรวนของคา่ เฉล่ียของตวั แปรท่ี 2 (ทดสอบ สมมุติฐานที่ 1.2)ข้นั ตอนที่ 4 สร้างบริเวณวกิ ฤตหรือบริเวณปฏิเสธ H0ข้นั ตอนท่ี 5 โดยค่าวกิ ฤตของทดสอบสมมุติฐานที่ 1.1 คือ F(,r1,(c1)(r1))ข้นั ตอนท่ี 6 และค่าวกิ ฤตของทดสอบสมมุติฐานท่ี 1.2 คือ F(,c1,(c1)(r1)) คานวณคา่ สถิติจากขอ้ มูลตวั อยา่ งโดยการหาค่า F1  MS ( R) และ F2  MS (C ) MS(W ) MS(W ) สรุปผลการทดสอบของแตล่ ะสมมุติฐาน ถา้ ผลการทดสอบยอมรับ H0 แสดงวา่ ค่าเฉลี่ยของแต่ละประชากรไม่แตกต่างกนั แต่ถ้าผลการทดสอบปฏิเสธ H0 แสดงว่าการทดสอบมีนยั สาคญั หรือมีค่าเฉลี่ยของประชากรอย่างน้อย 1 คู่ ที่ แตกตา่ งกนัตวั อย่าง 9.3 ฟาร์มเล้ียงปลาทบั ทิมแห่งหน่ึงตอ้ งการทดสอบวา่ สูตรอาหารปลาและช่วงเวลาในการใหอ้ าหารปลาจะมีผลทาใหน้ ้าหนกั เฉล่ียของปลาแตกต่างกนั หรือไม่ จึงไดท้ าการทดลองและเกบ็ขอ้ มูลดว้ ยการใหอ้ าหารปลา 5 สูตรในช่วงเวลาที่ต่างกนั 3 ช่วงเวลาแก่ลูกปลาทบั ทิมท่ีมีลกั ษณะใกลเ้ คียงกนั เป็นระยะเวลา 5 เดือน แลว้ สุ่มวดั น้าหนกั ปลา(หน่วยเป็นกรัม)ผลปรากฏดงั ตารางช่วงเวลาในการ สูตรอาหารปลาใหอ้ าหาร 1 2 3 4 5 เชา้ 480 390 420 450 420กลางวนั 430 410 390 400 450 เยน็ 510 440 520 520 480 จงทดสอบวา่ สูตรอาหารปลาและช่วงเวลาในการใหอ้ าหารปลามีผลทาใหน้ ้าหนกัเฉล่ียของปลาแตกต่างกนั ท่ีระดบั นยั สาคญั 0.1วธิ ีทา เนื่องจากมีตวั แปรตน้ สองตวั ไดแ้ ก่ ช่วงเวลาในการใหอ้ าหารปลาแบ่งเป็ น 3 ช่วงเวลา ( r =3)และสูตรอาหาร 5 สูตร (c = 5) การทดสอบความแตกต่างของค่าเฉลี่ยจึงใช้การวิเคราะห์ความแปรปรวนแบบจาแนกสองทางดงั น้ี ให้ 1*,2*,3* เป็ นน้าหนกั เฉล่ียของปลาท่ีให้อาหารปลาในช่วงเช้า ช่วงเที่ยง และช่วงเยน็ ตามลาดบั

บทท่ี 9 การวเิ คราะห์ความแปรปรวน 381 *1,*2,*3,*4,*5 เป็ นน้ าหนักเฉล่ียของปลาที่ให้อาหารสู ตรที่ 1 ถึงสู ตรที่ 5ตามลาดบั 1. ต้งั สมมุติฐาน 2 สมมุติฐาน สมมุติฐานที่ 1.1 H0 : 1*  2*  3* H1 :i*   j* อยา่ งนอ้ ย 1 คู่ โดยท่ี i  j ; i, j 1,2,3 สมมุติฐานท่ี 1.2 H0 : *1  *2  *3  *4  *5 H1 :*i  * j อยา่ งนอ้ ย 1 คู่ โดยท่ี i  j ; i, j 1,2,3,...,5 2. กาหนดระดบั นยั สาคญั  = 0.1 3. กาหนดสถิติทดสอบ F โดยท่ีF1  MS ( R) MS(W )เป็ นสถิติสาหรับทดสอบความแปรปรวนของค่าเฉล่ียของตวั แปรท่ี 1 (ทดสอบสมมุติฐานที่ 1.1)F2  MS (C ) MS(W )เป็นสถิติสาหรับทดสอบความแปรปรวนของค่าเฉล่ียของตวั แปรที่ 2 (ทดสอบสมมุติฐานที่ 1.2)4. สร้างบริเวณวกิ ฤตหรือบริเวณปฏิเสธ H0 สร้างบริเวณวกิ ฤตหรือบริเวณปฏิเสธ H0 ของสมมุติฐานท่ี 1.1 คา่ วกิ ฤตของทดสอบสมมุติฐานท่ี 1 คือ F(,r1,(c1)(r1))  F(0.1,2,8)  3.11 บริเวณยอมรับ H0 บริเวณปฏิเสธ H0  = 0.1 3.11 Fสร้างบริเวณวกิ ฤตหรือบริเวณปฏิเสธ H0 ของสมมุติฐานท่ี 1.2ค่าวกิ ฤตของทดสอบสมมุติฐานท่ี 2 คือ F(,c1,(c1)(r1))  F(0.1,4,8)  2.81

382 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ บริเวณยอมรับ H0 บริเวณปฏิเสธ H0  = 0.1 2.81 F 5. คานวณคา่ สถิติจากขอ้ มลู ตวั อยา่ งเวลา 1 สูตรอาหาร 4 5 Ti* Ti*2 23 420 c 450 2,160เชา้ 480 390 420 450 480 2,080 933,120 1,350 2,470 865,280เที่ยง 430 410 390 400 609,300 6,710 1,220,180 607,500 3,030,300 3,018,580เยน็ 510 440 520 520 3,007,433.3T* j 1,420 1,240 1,330 1,370X 2 675,400 513,800 598,900 632,900 *jT*2j 672,133.3 512,533.3 589,633.3 625,633.3r จากขอ้ มลู จะไดว้ า่ T = 6,710 T 2  (6,710)2  3,001,606.67 n 15 r c T2 SS(T ) i1 n X 2 ij j 1  3,030,300  3,001,606.67  28,693.33 SS(R)  r Ti*2  T 2 i1 c n  3,018,580  3,001,606.67  16, 973.33

บทท่ี 9 การวเิ คราะห์ความแปรปรวน 383SS(C)  c T*2j  T 2 j1 r n  3,007,433.32  3,001,606.67  5,826.65SS(W )  SS(T)  SS(R)  SS(C)SS(W )  28,693.33 16,973.33  5,826.65  5,893.35MS(R)  SS(R) r 1  16,973.33 31  8,486.67MS(C)  SS(C) c 1  5,826.65 5 1  1, 456.66MS(W )  SS(W ) (r 1)(c 1)  5,893.35 (3 1)(5 1)  736.67F1  MS ( R) MS(W )  8, 486.67 736.67  11.52F2  MS (C ) MS(W )  1, 456.66 736.67  1.98

384 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ตารางวเิ คราะห์ความแปรปรวนแบบจาแนกสองทางความแปรปรวน  SS MS Fระหวา่ งช่วงเวลาในการ 2 SS(R) 16,973.33 MS(R)  8,486.67 F 111.52ใหอ้ าหารปลาระหวา่ งสูตรอาหารปลา 4 SS(C)  5,826.33 MS(C) 1,456.66 F2 1.98ภายในช่วงเวลาให้ 8 SS(W )  5,893.67 MS(W )  736.67อาหารปลาและสูตรอาหารปลารวม 14 SS(T)  28,693.336. สรุปผลการทดสอบที่ระดบั นยั สาคญั 0.1 การทดสอบสมมุติฐาน 1.1 การทดสอบปฏิเสธ H0 เนื่องจากค่าสถิติทดสอบF1 11.52 ตกอยใู่ นบริเวณปฏิเสธ H0 นน่ั คือ น้าหนกั เฉล่ียของปลาที่ใหอ้ าหารในช่วงเวลา 3 ช่วงเวลาแตกตา่ งกนั การทดสอบสมมุติฐาน 1.2 การทดสอบยอมรับ H0 เนื่องจากคา่ สถิติทดสอบF2 1.98 ตกอยใู่ นบริเวณยอมรับ H0 นน่ั คือ น้าหนกั เฉล่ียของปลาที่ใหอ้ าหารดว้ ยสูตรอาหารท้งั 5 สูตรไม่แตกตา่ งกนัตัวอย่าง 9.4 โรงงานแห่งหน่ึงมีเคร่ืองจกั รในการผลิตสินคา้ อยู่ 4 เคร่ือง และมีผคู้ วบคุมเคร่ืองจกั รอยู่ 4 คน ในการทดสอบประสิทธิภาพการทางานของเคร่ืองจกั รและผคู้ วบคุมท้งั หมด โดยให้ผู้ควบคุมได้ควบคุมเคร่ืองจกั รทุกเครื่องแล้วนับจานวนสินคา้ ที่ผลิตได้ ปรากฏขอ้ มูลตาราง จงทดสอบประสิทธิภาพการทางานของเคร่ืองจกั รและผคู้ วบคุมท่ีระดบั นยั สาคญั 0.01 เคร่ืองจกั รที่ 1 2 3 4ผคู้ วบคุม A 17 16 17 18 B 12 14 14 15 C 14 16 13 15 D 13 12 14 14

บทท่ี 9 การวเิ คราะห์ความแปรปรวน 385วธิ ีทา เน่ืองจากมีตวั แปรตน้ สองตวั ไดแ้ ก่ ผคู้ วบคุมเคร่ืองจกั ร จานวน 4 คน ( r =4) และเครื่องจกั รจานวน 4 เครื่อง (c = 4) จึงใชก้ ารวเิ คราะห์ความแปรปรวนแบบจาแนกสองทางดงั น้ี ให้ 1*,2*,3*,4* เป็ นจานวนเฉลี่ยของสินคา้ ที่ผลิตไดจ้ ากผูค้ วบคุมเคร่ืองจกั รคือA,B,C,D ตามลาดบั *1,*2,*3,*4 เป็ นจานวนเฉลี่ยของสินค้าท่ีผลิตได้จากเครื่องจักรเคร่ืองที่ 1 ถึงเคร่ืองที่ 4 ตามลาดบั 1. ต้งั สมมุติฐาน 2 สมมุติฐาน สมมุติฐานที่ 1.1 H0 : 1*  2*  3*  4* H1 :i*   j* อยา่ งนอ้ ย 1 คู่ โดยที่ i  j ; i, j 1,2,3,4 สมมุติฐานท่ี 1.2 H0 : *1  *2  *3  *4 H1 :*i  * j อยา่ งนอ้ ย 1 คู่ โดยท่ี i  j ; i, j 1,2,3,4 2. กาหนดระดบั นยั สาคญั  = 0.01 3. กาหนดสถิติทดสอบ F โดยที่F1  MS ( R) MS(W )เป็ นสถิติสาหรับทดสอบความแปรปรวนของค่าเฉลี่ยของตวั แปรที่ 1 (ทดสอบสมมุติฐานที่ 1.1)F2  MS (C ) MS(W )เป็นสถิติสาหรับทดสอบความแปรปรวนของค่าเฉลี่ยของตวั แปรท่ี 2 (ทดสอบสมมุติฐานที่ 1.2)4. สร้างบริเวณวกิ ฤตหรือบริเวณปฏิเสธ H0 สร้างบริเวณวกิ ฤตหรือบริเวณปฏิเสธ H0 ของสมมุติฐานท่ี 1.1 ค่าวกิ ฤตของทดสอบสมมุติฐานที่ 1 คือ F(,r1,(c1)(r1))  F(0.01,3,9)  6.99 บริเวณยอมรับ H0 บริเวณปฏิเสธ H0  = 0.1 6.99 F

386 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ สร้างบริเวณวกิ ฤตหรือบริเวณปฏิเสธ H0 ของสมมุติฐานท่ี 1.2 คา่ วกิ ฤตของทดสอบสมมุติฐานที่ 2 คือ F(,c1,(c1)(r1))  F(0.01,3,9)  6.99 บริเวณยอมรับ H0 บริเวณปฏิเสธ H05. หาคา่ สถิติทดสอบ F จากขอ้ มลู ตวั อยา่ ง  = 0.1 6.99 Fเคร่ืองจกั รที่ 1 2 3 4 Ti* Ti*2ผคู้ วบคุม c A 17 16 17 18 68 1156 B 12 14 14 15 55 756.25 C 14 16 13 15 58 841 D 13 12 14 14 53 702.25 56 58 58 62 234 3,455.5 T* j 798 852 850 970 3,470 X *2j 784 841 841 961 3,427 T*2j rจากขอ้ มลู จะไดว้ า่ T = 234 T 2  (234)2  3, 422.25 n 16 r c T2 SS(T ) i1 n X 2 ij j 1  3,470  3,422.25  47.75

บทท่ี 9 การวเิ คราะห์ความแปรปรวน 387SS(R)  r Ti*2  T 2 i1 c n  3,455.5  3,422.25  33.25SS(C)  c T*2j  T 2 j1 r n  3,427  3422.25  4.75SS(W )  SS(T)  SS(R)  SS(C)SS(W )  47.75  4.75  33.25  9.75MS(R)  SS(R) r 1  33.25  11.08 4 1MS(C)  SS(C) c 1  4.75  1.58 4 1MS(W )  SS(W ) (r 1)(c 1)  9.75  1.08 (4 1)(4 1)F1  MS ( R) MS(W )  11.08 1.08  10.26F2  MS (C ) MS(W )  1.58 1.08  1.46

388 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ตารางวเิ คราะห์ความแปรปรวนแบบจาแนกสองทางความแปรปรวน  SS MS Fระหวา่ งผคู้ วบคุม 3 SS(R)  33.25เครื่องจกั ร MS(R) 11.08 F 110.26 MS(C) 1.58 F2 1.46ระหวา่ งเคร่ืองจกั ร 3 SS(C)  4.75 MS(W ) 1.08ภายในผคู้ วบคุม 9 SS(W )  9.75เคร่ืองจกั รและเคร่ืองจกั รรวม 15 SS(T)  47.75 6. สรุปผลการทดสอบท่ีระดบั นยั สาคญั  = 0.01 การทดสอบสมมุติฐานที่ 1.1 ผลการทดสอบปฏิเสธ H0 เน่ืองจากค่าสถิติทดสอบ F1 10.26 ตกอยใู่ นบริเวณบริเวณปฏิเสธ H0 นน่ั คือ ประสิทธิภาพของผคู้ วบคุมเครื่องจกั รท้งั 4 คนแตกต่างกนั การทดสอบสมมุติฐานที่ 1.2 ผลการทดสอบยอมรับ H0 เน่ืองจากค่าสถิติทดสอบ F2 1.98 ตกอยใู่ นบริเวณบริเวณยอมรับ H0 นน่ั คือ ประสิทธิภาพของเครื่องจกั รท้งั 4 เครื่องไม่แตกต่างกนั

บทที่ 9 การวเิ คราะห์ความแปรปรวน 389 แบบฝึ กหดั บทที่ 9 1. ผจู้ ดั การร้านคา้ ตอ้ งการศึกษาเปรียบเทียบวา่ วธิ ีการประชาสัมพนั ธ์ 3 วธิ ีไดแ้ ก่ สื่อวิทยุ ส่ือสังคมออนไลน์ และสื่อสิ่งพิมพ์ จะทาให้ลูกคา้ ใหค้ วามสนใจในการเลือกซ้ือสินคา้ ต่างกนั หรือไม่จึงทาการเก็บขอ้ มูลจานวนสินคา้ ท่ีลูกคา้ ซ้ือที่เป็ นผลจากการประชาสัมพนั ธ์ 3 แบบ ดงั ขอ้ มูลต่อไปน้ีสื่อวทิ ยุ ส่ือสังคมออนไลน์ ส่ือสิ่งพมิ พ์ 5 4 2 4 3 3 4 5 2 3 1 4 2 2 1 กาหนดระดบั นยั สาคญั 0.05 จงทดสอบวา่ วธิ ีการประชาสมั พนั ธ์ทาใหจ้ านวนสินคา้ ที่ลูกคา้ ซ้ือแตกต่างกนั หรือไม่ 2. ชาวสวนลาไยตอ้ งการเปรียบเทียบประสิทธิภาพของป๋ ุยคอกซ่ึงทาจากมูลสัตว์ 3 ชนิดไดแ้ ก่ มูลววั มูลสุกร มูลไก่ จึงไดส้ ุ่มตวั อยา่ งเพื่อหาผลผลิตต่อตน้ ของลาไยในแปลงทดลอง 3แปลงท่ีมีการควบคุมตวั แปรอ่ืน ๆ ใหเ้ ป็ นไปในลกั ษณะเดียวกนั แต่ใหป้ ๋ ุยคอกจากมูลสัตวไ์ ดแ้ ก่มูลววั มูลสุกรและมูลไก่ในแปลงทดลองท่ี 1 ถึง 3 ตามลาดบั จงทดสอบวา่ ป๋ ุยคอกจากมูลสัตว์ท้งั 3 ชนิดมีประสิทธิภาพต่างกนั หรือไม่ที่ระดบั นยั สาคญั 0.05 เมื่อเก็บขอ้ มูลจากการทดลองได้ดงั น้ี ผลผลิตต่อตน้ (กิโลกรัม)ของลาไยจากการใหป้ ๋ ุยคอกจาก มลู ววั มูลสุกร มูลไก่ 210 170 230 190 220 170 250 250 150 260 180 210 180 220 190

390 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ 3. ถา้ ตอ้ งการทดสอบประสิทธิภาพของป๋ ุย 5 ย่ีห้อ ที่มีต่อความสูงของตน้ ขา้ วโพด(หน่วยเป็ นเซนติเมตร) ที่ระดบั นยั สาคญั 0.05 จึงสุ่มวดั ความสูงของตน้ ขา้ วโพดจากแปลงทดลอง 5แปลงที่แต่ละแปลงใชป้ ๋ ุยแต่ละยห่ี อ้ ไดข้ อ้ มูลดงั ตาราง ความสูงของตน้ ขา้ วโพดท่ีไดร้ ับป๋ ุย ยหี่ อ้ A ยห่ี อ้ B ยห่ี อ้ C ยห่ี อ้ D ยห่ี อ้ E 151 144 171 166 150 163 138 153 154 162 148 163 169 160 155 130 155 132 148 138 159 148 144 139 146 166 160 150 144 156 4. ในรายวิชาความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ มีผูส้ อนจานวน 3 คนซ่ึงสอนภายใตก้ ารวางแผนกิจกรรมการเรียนการสอนเดียวกนั สุ่มเก็บคะแนนปลายภาคเรียนของนักศึกษาสาขาเดียวกนั 3 กลุ่มเรียนที่เรียนกบั ผสู้ อน 3 ท่าน ปรากฏคะแนนดงั ตาราง จงทดสอบวา่ คะแนนเฉลี่ยของนกั ศึกษาที่เรียนกบั อาจารย์ 3 ทา่ นน้ีวา่ แตกตา่ งกนั หรือไม่ท่ีระดบั นยั สาคญั 0.005อาจารยค์ นที่ 1 อาจารยค์ นท่ี 2 อาจารยค์ นที่ 3 22 25 22 18 18 25 25 20 20 21 21 21 16 19 17 18 16 15 19 20 19 22 24 21 21 15 26

บทท่ี 9 การวเิ คราะห์ความแปรปรวน 391 5. บริษทั ตวั แทนจาหน่ายรถยนตต์ อ้ งการทดสอบวา่ ชนิดของน้ามนั และยี่ห้อของยางรถยนต์มีผลต่อระยะทางที่รถวงิ่ ไดต้ ่อน้ามนั 1 ลิตรหรือไม่ จึงทดสอบโดยการเติมน้ามนั 3 ชนิด กบั รถท่ีใชย้ างรถยนต์ 5 ยห่ี อ้ ผลปรากฏดงั ตาราง (กิโลเมตร/ลิตร) ชนิดของน้ามนั เบนซิน 95 แกส๊ โซฮอล์ 95 แก๊สโซฮอล์ 91ยห่ี อ้ ยาง1 17 19 172 16 18 183 19 14 164 18 16 185 20 15 16จงทดสอบว่าชนิดของน้ามนั และย่ีห้อของยางรถยนต์มีผลต่อระยะทางท่ีรถว่ิงไดห้ รือไม่ที่ระดบั นยั สาคญั 0.01 6. ร้านกาแฟสดแห่งหน่ึงมีเคร่ืองชงกาแฟ 4 เครื่อง และมีพนกั งาน 3 คน ร้านคา้ ตอ้ งการทดสอบประสิทธิภาพการทางานของเครื่องชงกาแฟและพนกั งานทุกคนวา่ แตกต่างกนั หรือไม่ ที่ระดบั นยั สาคญั 0.05 โดยใชข้ อ้ มลู จานวนกาแฟท่ีขายไดด้ งั ตาราง เครื่องชงกาแฟ เครื่องท่ี 1 เคร่ืองท่ี 2 เครื่องที่ 3 เคร่ืองท่ี 4พนกั งาน 80 77 82 77 คนท่ี 1 75 74 81 78 คนที่ 2 82 82 75 81 คนที่ 3

392 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ 7. องค์การบริหารส่วนตาบลป่ าตนั นาครัวตอ้ งการทดสอบว่าแชมพูสมุนไพรที่ผสมกลิ่นสมุนไพรธรรมชาติ 4 ชนิดและวางขายในหา้ งสรรพสินคา้ 5 แห่งในจงั หวดั ลาปางจะมียอดขายแตกตา่ งกนั หรือไม่ จากขอ้ มลู ยอดขายดงั ตาราง จงวเิ คราะห์ความแปรปรวนที่ระดบั นยั สาคญั 0.1 กลิ่น มะกรูด ตะไคร้หอม นอ้ ยหน่า ใบเตยหา้ งสรรพสินคา้ 45 43 43 45 เซ็นทรัล 52 50 48 51 บิ๊กซี 34 32 33 35 โลตสั 32 31 29 31 แมค็ โคร 47 45 43 46 เสรีสรรพสินคา้ 8. จากการทดสอบผลผลิตของขา้ วเหนียว 3 สายพนั ธุ์ ในแปลงทดลองจากพ้นื ที่ 5 จงั หวดัภาคเหนือ ผลปรากฏดงั ตาราง (หน่วยผลผลิตคือถงั ตอ่ หน่ึงแปลงทดลอง) กข6 ขา้ วกล่า ขา้ วพนั ธ์ลืมผวัลาปาง 8 7 6เชียงใหม่ 7 7 7เชียงราย 6 8 5พะเยา 7 7 7ลาพนู 5 9 8 จงทดสอบวา่ สายพนั ธุ์ขา้ วเหนียวและพ้ืนที่ปลูกทาใหผ้ ลผลิตขา้ วแตกต่างกนั หรือไม่ที่ระดบั นยั สาคญั 0.05