บทที่ 1 ความรู้พื้นฐานของความน่าจะเป็น

บทท่ี 1 ความรู้พนื้ ฐานของความน่าจะเป็ น การศึกษาเร่ืองความน่าจะเป็ นน้นั ผเู้ รียนจะตอ้ งมีความรู้เกี่ยวกบั เซต ชนิดของเซต การดาเนินการของเซต พีชคณิตที่สาคญั ของเซต การทดลองสุ่มและการใชห้ ลกั เกณฑ์การนบั เบ้ืองตน้การเรียงสับเปล่ียนและการจดั หมู่ ในการหาจานวนจุดตวั อยา่ ง เพ่ือใชใ้ นการคาดคะเนโอกาสหรือความน่าจะเป็ นท่ีจะกล่าวถึงในบทต่อไป ในบทน้ีจึงเป็ นบทเริ่มต้นท่ีจะกล่าวถึงความรู้พ้ืนฐานสาหรับการคานวณหาค่าความน่าจะเป็น โดยมีรายละเอียดของหวั ขอ้ ต่าง ๆ ดงั ต่อไปน้ี1.1 เซต ในวชิ าคณิตศาสตร์ถือวา่ คาวา่ เซต (set) และ สมาชิก(element) เป็ นคาอนิยาม โดยใชค้ าวา่เซต แทนกลุ่มของส่ิงต่าง ๆ ซ่ึงมีลกั ษณะร่วมกนั หรืออยภู่ ายใตก้ ฎหรือเง่ือนไขอนั เดียวกนั และจะใช้ในกรณีที่ทราบแน่นอนว่าสิ่งใดอยู่ในกลุ่มที่กล่าวถึง เช่น เซตของจานวนเต็มบวก เซตของพนกั งานขายของร้านพรพาณิชย์ เซตของนกั ศึกษามหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ลาปาง และเรียกสิ่งที่อยใู่ นเซตวา่ สมาชิก(element)ตัวอย่าง 1.1 พิจารณาตวั อยา่ งของเซตตอ่ ไปน้ี 1. เซตของจานวนเตม็ 2. เซตของจานวนเตม็ บวกที่นอ้ ยกวา่ 10 3. เซตของนกั ศึกษาสาขาวชิ าคณิตศาสตร์ มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ลาปาง 4. เซตของสระในภาษาองั กฤษ 5. เซตของประชากรไทย 6. เซตของจานวนจริงที่มากกวา่ -3 แต่นอ้ ยกวา่ 5 เพื่อความสะดวกในการกล่าวถึงเซตต่างๆ จึงมักกาหนดช่ือของเซตด้วยตัวอักษรภาษาองั กฤษตวั พิมพใ์ หญ่ เช่น A , B , C , … และใชอ้ กั ษรภาษาองั กฤษตวั พิมพเ์ ล็ก เช่นa , b , c , … แทนสมาชิกของเซต โดยใชส้ ัญลกั ษณ์ “” แทนการเป็ นสมาชิก และ “ ” แทนการไม่เป็ นสมาชิกของเซต

2 ความน่าจะเป็ นและสถติ ิเบ้ืองตน้ การที่ a เป็นสมาชิกของเซต A เพื่อความสะดวกและง่ายเราจะเขียนแทน ดว้ ยสัญลกั ษณ์a  A อ่านวา่ a เป็ นสมาชิกของเซต A หรือ a อยใู่ น A ( a is an element of A หรือ a belongto A ) ในทานองเดียวกนั ถา้ b ไม่เป็ นสมาชิกของเซต A จะเขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ b  Aอา่ นวา่ b ไมเ่ ป็นสมาชิกของเซต A หรือ b ไม่อยใู่ น A ( b does not belong to A ) พิจารณาเซต C และเซต D ตอ่ ไปน้ี C แทนเซตของสระในภาษาองั กฤษ จะเห็นวา่ เซต C มีสมาชิกเพยี ง 5 ตวั ไดแ้ ก่ a , e , i , o , u กล่าวไดว้ า่ a  C แทน a เป็ นสมาชิกของเซต C i  C แทน i เป็ นสมาชิกของเซต C y  C แทน y ไมเ่ ป็ นสมาชิกของเซต C D แทนเซตของจานวนเตม็ บวกท่ีมีค่านอ้ ยกวา่ 100 สมาชิกของเซต D คือจานวนเตม็ บวก 1 , 2 , 3 , 4 ไปจนถึง 99 จะเห็นวา่ เซต D มีสมาชิก 99 ตวั กล่าวไดว้ า่ 1  D , 2  D , 3  D แต่ 0  D และ –2  D เซตที่จะกล่าวถึงในบทน้ีจะมีลกั ษณะแจ่มชดั (well-defined) กล่าวคือ 1. สามารถบอกไดว้ า่ ส่ิงใดเป็นหรือไม่เป็นสมาชิกของเซตท่ีกาหนดให้ 2. ลาดบั ของสมาชิกไม่ถือเป็นส่ิงสาคญั จะเขียนสมาชิกตวั ใดก่อนหลงั กไ็ ด้ 3. สมาชิกตวั เดียวกนั จะเขียนกี่คร้ังก็ตาม ใหถ้ ือวา่ เป็นสมาชิกเพียงหน่ึงตวั1.2 วธิ กี ารเขยี นเซต วธิ ีการเขียนเซต โดยทว่ั ไปทาได้ 2 วธิ ีคือ 1. วิธีการเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก วธิ ีน้ีจะเขียนสมาชิกท้งั หมดของเซตลงในวงเล็บปี กกา “{ }” และใชเ้ ครื่องหมายจุลภาค “ , ” คนั่ ระหวา่ งสมาชิกแตล่ ะตวั ของเซต เช่น A = { จนั ทร์ , องั คาร , พธุ , พฤหสั บดี , ศุกร์ , เสาร์ , อาทิตย์ } B={1,2,3,4,5} C = { 1 , 4 , 9 , 16 , 25 } D={a,e,i,o,u} ในกรณีที่มีสมาชิกจานวนมาก ๆ หรือไม่สามารถเขียนแจกแจงสมาชิกของเซตไดห้ มดจะใชเ้ คร่ืองหมายจุดสามจุด “ ... ” แทนสมาชิกท่ีละไวใ้ นฐานท่ีเขา้ ใจ เช่น

บทที่ 1 ความรู้พ้นื ฐานของความน่าจะเป็ น 3 E = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... , 20 } F = { …, -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , ... } 2. วิธีการเขียนเซตแบบบอกเง่ือนไขของสมาชิก วิธีน้ีใช้เขียนตวั แปร (variable)ตวั หน่ึงแทนสมาชิกของเซตแลว้ มีคาอธิบายคุณสมบตั ิหรือลกั ษณะของสมาชิกที่อยใู่ นเซตน้นั ลงในวงเล็บปี กกา “{ }” ใชเ้ คร่ืองหมาย “ / ” อา่ นวา่ “โดยท่ี” คน่ั ระหวา่ งตวั แปรกบั เง่ือนไขของสมาชิก เช่น A = { x / x เป็นจานวนเตม็ บวก } อ่านวา่ A เป็นเซตของ x โดยท่ี x เป็น จานวนเตม็ บวก B = { y / y เป็ นจานวนเตม็ บวกท่ีนอ้ ยกวา่ 7 } C = { a / a  b2 เม่ือ b = 1, 2, 3, 4 , 5 } D = { x / x เป็ นพยญั ชนะไทย } E = { x / x2 – 3 > 0 เมื่อ x เป็ นจานวนเตม็ บวก }1.3 เซตจากดั และเซตอนันต์ ในหวั ขอ้ น้ีจะกล่าวถึงบทนิยามของ เซตจากดั และเซตอนนั ต์ พร้อมตวั อยา่ งดงั น้ีบทนิยาม 1.3.1 เซตจากดั (finite set) หมายถึงเซตที่สามารถนบั จานวนสมาชิกหรือบอกจานวน สมาชิกของเซตได้ แน่ชดั วา่ มีจานวนเท่าใด และเซตอนนั ต์ (infinite set) หมายถึง เซตที่ไม่ใช่เซตจากดัจากบทนิยามอาจกล่าวไดอ้ ีกอยา่ งวา่ เซตอนนั ตค์ ือเซตที่มีสมาชิกมากมายนบั ไมถ่ ว้ นตัวอย่าง 1.2 จงพิจารณาวา่ เซตตอ่ ไปน้ีเป็นเซตจากดั หรือเซตอนนั ต์1. เซตของจานวนนบั ที่นอ้ ยกวา่ 10 (เซตจากดั )2. เซตของจานวนจริงที่มีค่ามากกวา่ 1 (เซตอนนั ต)์3. เซตของพยญั ชนะในคาวา่ “ความน่าจะเป็น” (เซตจากดั )4. เซตของนกั ศึกษาช้นั ปี ที่ 1 สาขาคณิตศาสตร์ มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ลาปางปี การศึกษา 2555 (เซตจากดั )5. { x / x เป็นจานวนนบั ท่ีมากกวา่ 100} (เซตอนนั ต)์6. { x / x เป็นจานวนเตม็ ลบท่ีมากกวา่ –8} (เซตจากดั )7. { x / x เป็ นจานวนเตม็ คี่บวก } (เซตอนนั ต)์

4 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้8. { x / x เป็ นจานวนเตม็ ท่ี x + x = x } (เซตจากดั )9. { –1 , 0 , 1 , … , 16 } (เซตจากดั )10. { … , –3 , –2 , –1 } (เซตอนนั ต)์ข้อตกลง จะใชส้ ัญลกั ษณ์ต่อไปน้ีแทนเซตของจานวนตา่ งๆ ดงั น้ี I แทนเซตของจานวนเตม็ I+ แทนเซตของจานวนเตม็ บวก หรือใช้ N แทนเซตของจานวนนบั I– แทนเซตของจานวนเตม็ ลบ Q แทนเซตของจานวนตรรกยะ R แทนเซตของจานวนจริง R+ แทนเซตของจานวนจริงบวก1.4 ตรรกศาสตร์พนื้ ฐาน เพือ่ ใหม้ ีความรู้ความเขา้ ใจตรงกนั ในการใชส้ ัญลกั ษณ์ของความสัมพนั ธ์ระหวา่ งเซตท่ีจะกล่าวถึงในหัวขอ้ ต่อไปน้นั จึงควรศึกษาตรรกศาสตร์พ้ืนฐานในเรื่องประพจน์ ตวั เชื่อม วลีบอกปริมาณ จากบทนิยามและตวั อยา่ งดงั ต่อไปน้ี 1.4.1 ประพจน์และชนิดของประพจน์ การใช้ประโยคในการสื่อสาร มกั จะเป็ นประโยคท่ีผพู้ ูดแสดงออกมาในความรู้เรื่องใดเร่ืองหน่ึงซ่ึงอาจอยใู่ นรูปของ ประโยคบอกเล่า หรือประโยคปฏิเสธ ก็ได้ เช่น จงั หวดั เชียงรายเป็ นจงั หวดั เหนือสุดของประเทศไทย หรือศูนยอ์ นุรักษ์ชา้ งไทยอยู่ที่จงั หวดั ลาปาง ท้งั สองประโยคเป็ นประโยคบอกเล่าที่สามารถพิจารณาไดว้ ่าเป็ นจริง หรือเป็ นเท็จ ในวิชาตรรกศาสตร์จะเรียกประโยคลกั ษณะน้ีวา่ ประพจน์ และเรียกค่าที่เป็นจริงหรือเป็นเทจ็ วา่ ค่าความจริงของประพจน์บทนิยาม 1.4.1 ประพจน์ (proposition)หมายถึงประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธท่ีสามารถ บอกไดว้ า่ เป็นจริงหรือเป็นเทจ็ เพียงอยา่ งใดอยา่ งหน่ึงและนิยมใชส้ ัญลกั ษณ์ P ,Q ,R ,… แทน แต่ละประพจน์

บทที่ 1 ความรู้พ้นื ฐานของความน่าจะเป็ น 5บทนิยาม 1.4.2 ค่าความจริง หมายถึงความเป็ นจริงหรือความเป็ นเท็จของประพจน์ เขียน T (true) แทนค่าความจริงเป็นจริง และเขียน F (false)แทนค่าความจริง เป็ นเทจ็ สรุปแล้วในแต่ละประพจน์จะมีค่าความจริงได้ 2 ทางเลือกคือ เป็ นจริง(T) หรือเป็นเทจ็ (F) อยา่ งใดอยา่ งหน่ึงตัวอย่าง 1.3 ประโยคตอ่ ไปน้ีไมเ่ ป็นประพจน์ (ประโยคคาถาม) 1. ทานขา้ วหรือยงั (ประโยคคาสั่ง) 2. หา้ มเดินลดั สนาม (ประโยคขอร้อง) 3. โปรดช่วยกนั รักษาความสะอาด (ประโยคขอ้ ร้อง) 4. ปิ ดพดั ลมเมื่อออกจากหอ้ ง (ประโยคคาถาม) 5. ใครเป็นคนทาตวั อย่าง 1.4 ประโยคตอ่ ไปน้ีเป็นประพจนเ์ พราะสามารถหาค่าความจริงได้1. พทั ยาเป็นจงั หวดั หน่ึงของประเทศไทย (มีค่าความจริงเป็นเทจ็ )2. 9 เป็นจานวนเตม็ คี่ (มีคา่ ความจริงเป็นจริง)3. 3  2 = 6 (มีคา่ ความจริงเป็นจริง)4. มีจานวนจริง x ท่ี x + 1 = 3 (มีคา่ ความจริงเป็นจริง)5.  เป็นจานวนตรรกยะ (มีคา่ ความจริงเป็นเทจ็ ) ประพจน์แยกได้ 2 แบบตามลักษณะของประโยค คือ ประพจน์เชิงเดี่ยว (simpleproposition) และประพจนเ์ ชิงซอ้ น (complex proposition) ตามบทนิยามต่อไปน้ีบทนิยาม 1.4.3 ประพจนเ์ ชิงเด่ียว หมายถึง ประพจนท์ ่ีมีประธาน กริยา หรือกรรมเพียง เชิงเดี่ยว

6 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ตวั อย่าง 1.5 ใหพ้ จิ ารณาประพจนเ์ ชิงเด่ียวตอ่ ไปน้ี 1. 4 เป็นจานวนเตม็ คู่ 2. นายบุญชู ตรีทองเป็นอดีตผแู้ ทนราษฎร์ของจงั หวดั ลาปาง เม่ือพิจารณาแลว้ จะเห็นวา่ ท้งั สองขอ้ เป็ นประพจน์เชิงเดี่ยวเพราะมีประธานเพียงตวั เดียวคือ 4 และ นายบุญชู ตรีทอง สาหรับส่วนที่เหลือคือกริยาหรือกรรมของประโยค อาจใช้ P , Q ,R ,… แทนประพจนเ์ ชิงเดี่ยวไดด้ งั น้ี ให้ P แทน 4 เป็นจานวนเตม็ คู่ หรือ P : 4 เป็นจานวนเตม็ คู่ ให้ Q แทน นายบุญชู ตรีทองเป็นอดีตผแู้ ทนราษฎร์ของจงั หวดั ลาปาง หรือ Q : นายบุญชู ตรีทองเป็นอดีตผแู้ ทนราษฎร์ของจงั หวดั ลาปาง บทนิยาม 1.4.4 ประพจน์เชิงซ้อน หมายถึงประพจน์เชิงเดี่ยวต้งั แต่ 2 ประพจน์ข้ึนไป ผสมกนั ดว้ ยตวั เช่ือม (connective ) ต่างๆ และตวั เชื่อมในตรรกศาสตร์มีดว้ ยกนั 5 แบบ ไดแ้ ก่ และ(and) , หรือ(or) , ถา้ ...แลว้ (if…then) , ก็ต่อเมื่อ(if and only if) และ ไม(่ not) ประพจนเ์ ชิงซอ้ นน้ีบางคร้ังอาจะเรียกวา่ ประพจนเ์ ชิงประกอบ (compound proposition)ตวั อย่าง 1.6 ใหพ้ จิ ารณาประโยคที่วา่ 5 เป็นสมาชิกของ A และ 5 เป็นสมาชิกของ Bวธิ ีทา เม่ือพจิ ารณาจะเห็นวา่ ประโยค 5 เป็นสมาชิกของ A และ 5 เป็นสมาชิกของ B เป็นประพจน์เชิงซอ้ น ท่ีประกอบดว้ ย ประพจน์เชิงเด่ียว 2 ประพจน์โดยเช่ือมประพจน์ดว้ ยตวั เช่ือมและ จาแนกไดด้ งั น้ี ให้ P : 5 เป็นสมาชิกของ A Q : 5 เป็นสมาชิกของ B นนั่ คือ P และ Q : 5 เป็นสมาชิกของ A และ 5 เป็นสมาชิกของ B

บทที่ 1 ความรู้พ้นื ฐานของความน่าจะเป็ น 7ตวั อย่าง 1.7 ใหพ้ จิ ารณาประพจนเ์ ชิงซอ้ นท่ีวา่ 0 เป็นจานวนคู่ หรือ 0 เป็นจานวนคี่วธิ ีทา เมื่อพจิ ารณาจะเห็นวา่ ประโยค 0 เป็นจานวนคู่ หรือ 0 เป็นจานวนค่ี เป็นประพจน์เชิงซอ้ น ที่ประกอบดว้ ยประพจน์เชิงเด่ียว 2 ประพจน์ ที่เชื่อมดว้ ยตวั เชื่อม หรือ ซ่ึงจาแนกได้ดงั น้ี ให้ P : 0 เป็นจานวนคู่ Q : 0 เป็นจานวนคี่ นนั่ คือ P หรือ Q : 0 เป็นจานวนคู่ หรือ 0 เป็ นจานวนคี่ตวั อย่าง 1.8 ใหพ้ จิ ารณาประโยคท่ีวา่ ถา้ พนมเรียนไดเ้ กรดเฉล่ียสะสม 3.60 แลว้ พนมจะไดเ้ กียรตินิยมอนั ดบั 1วธิ ีทา เม่ือพิจารณาประโยคท่ีกาหนดใหจ้ ะเห็นวา่ เป็นประพจน์เชิงซอ้ น ท่ีประกอบดว้ ยประพจนเ์ ชิงเด่ียว 2 ประพจน์ ที่เช่ือมดว้ ยตวั เช่ือม ถา้ …แลว้ ซ่ึงจาแนกไดด้ งั น้ี ให้ P : พนมเรียนไดเ้ กรดเฉลี่ยสะสม 3.60 Q : พนมไดเ้ กียรตินิยมอนั ดบั 1 นนั่ คือ ถา้ P แลว้ Q : ถา้ พนมเรียนไดเ้ กรดเฉล่ียสะสม 3.60 แลว้ พนมจะได้ เกียรตินิยมอนั ดบั 1 1.4.2 ค่าความจริงของประพจน์เชิงซ้อน การหาค่าความจริงของประพจน์เชิงซอ้ นท่ีเกิดจากการใชต้ วั เช่ือมเขา้ ดว้ ยกนั ของประพจน์เชิงเดี่ยวต้งั แต่ 2 ประพจน์ ดว้ ยตวั เช่ือม 5 แบบ ดงั ที่กล่าวมาแลว้ สามารถสรุปค่าความจริงไดด้ งับทนิยามตอ่ ไปน้ีบทนิยาม 1.4.5 ให้ P แทนประพจน์ใดๆ ประพจน์นิเสธ( negative proposition ) ของ P เขียนแทนดว้ ย ~P โดยมีค่าความจริงดงั น้ี ~P เป็ นจริง เมื่อ P เป็ นเท็จ และ ~P เป็นเทจ็ เมื่อ P เป็นจริง สามารถแสดงค่าความจริ งของ ~P ด้วยตาราง ค่าความจริงได้ 2 กรณี ดงั น้ีกรณี P ~P 1T F 2F T

8 ความน่าจะเป็ นและสถติ ิเบ้ืองตน้ตัวอย่าง 1.9 ใหพ้ ิจารณาประพจน์ ปลาเป็นสตั วไ์ ม่มีขาวธิ ีทา เม่ือพิจารณาประพจน์ ปลาเป็นสตั วไ์ มม่ ีขา ให้ P : ปลาเป็นสัตวไ์ มม่ ีขา ดงั น้นั ~P : ปลาเป็นสตั วม์ ีขา หรือ ~P : ไม่จริงท่ีวา่ ปลาเป็นสัตวไ์ ม่มีขา ~P : ที่วา่ ปลาเป็นสตั วไ์ มม่ ีขา ไม่จริงบทนิยาม 1.4.6 ให้ P , Q แทนประพจน์เชิงเด่ียวใดๆ ประพจนเ์ ชื่อม ( conjunction proposition ) ของ P และ Q ( P and Q ) เขียนแทนดว้ ย P  Q โดยมีค่าความจริงของ P  Q ดงั แสดงดว้ ยตารางค่าความจริงได้ 4 กรณี ดงั น้ีกรณี P Q PQ 1T TT 2T FF 3F TF 4F FF จากตารางค่าความจริงของ ประพจน์เช่ือม สรุปไดว้ า่ P  Q มีค่าความจริงเป็ นจริง (T)เพียงกรณีเดียว คือ เมื่อท้งั P และ Q เป็นจริงท้งั คู่ กรณีอ่ืนๆมีคา่ ความจริงเป็นเทจ็ ท้งั หมดตวั อย่าง 1.10 ใหพ้ ิจารณาประพจน์ 1 เป็นสมาชิกของจานวนเตม็ และ 1 เป็นสมาชิกของจานวนเตม็ ลบวธิ ีทา จะเห็นวา่ ประพจน์เชิงซอ้ นน้ีเกิดจากประพจน์เชิงเดี่ยว 2 ประพจน์ ท่ีเช่ือมดว้ ยตวั เช่ือมและ จาแนกไดด้ งั น้ี ให้ P : 1 เป็นสมาชิกของจานวนเตม็ Q : 1 เป็นสมาชิกของจานวนเตม็ ลบ จะได้ P  Q : 1 เป็นสมาชิกของจานวนเตม็ และ 1 เป็นสมาชิกของจานวนเตม็ ลบ

บทท่ี 1 ความรู้พ้นื ฐานของความน่าจะเป็ น 9 สาหรับค่าความจริงของประพจน์เชิงซ้อน P  Q จะเป็ นจริงก็ต่อเม่ือประพจน์ 1 เป็ นสมาชิกของจานวนเต็ม และ 1 ตอ้ งเป็ นสมาชิกของจานวนเต็มลบตอ้ งเป็ นจริงท้งั 2 ประพจน์แตเ่ น่ืองจาก Q มีค่าความจริงเป็นเทจ็ ดงั น้นั ประพจน์ P  Q จึงมีคา่ ความจริงเป็นเทจ็บทนิยาม 1.4.7 ให้ P , Q แทนประพจน์เชิงเด่ียวใดๆ ประพจน์เลือก ( disjunction proposition) ของ P หรือ Q ( P or Q ) เขียนแทนดว้ ย P  Q โดยท่ีมีคา่ ความจริงของ P  Q ดงั แสดงดว้ ยตารางคา่ ความจริง 4 กรณี ดงั น้ีกรณี P Q PQ 1T TT 2T FT 3F TT 4F FF จากตารางค่าความจริงของประพจน์เลือก สรุปไดว้ า่ P  Q มีค่าความจริงเป็ นเท็จ (F)เพียงกรณีเดียวคือเม่ือ P เป็ นเท็จ และ Q เป็ นเท็จหรือกรณีท่ี P และ Q เป็ นเทจ็ ท้งั คู่ กรณีอื่นๆมีคา่ ความจริงเป็นจริงท้งั หมดตวั อย่าง 1.11 ใหพ้ จิ ารณาประพจน์ 1 เป็นสมาชิกของจานวนเตม็ หรือ 1 เป็นสมาชิกของจานวนเตม็ ลบวธิ ีทา จะเห็นวา่ ประพจน์เชิงซอ้ นน้ีเกิดจากประพจนเ์ ด่ียว 2 ประพจน์ท่ีเช่ือมดว้ ยคาวา่ หรือ ซ่ึงจาแนกไดด้ งั น้ี ให้ P : 1 เป็นสมาชิกของจานวนเตม็ Q : 1 เป็นสมาชิกของจานวนเตม็ ลบ จะได้ P  Q : 1 เป็นสมาชิกของจานวนเตม็ หรือ 1 เป็นสมาชิกของจานวนเตม็ ลบ สาหรับค่าความจริง P  Q เน่ืองจาก P มีค่าความจริงเป็นจริง แต่ Q มีค่าความจริงเป็นเทจ็ ดงั น้นั ประพจน์เชิงซอ้ น P Q จึงมีค่าความจริงเป็น จริง

10 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้บทนิยาม 1.4.8 ให้ P , Q แทนประพจนเ์ ชิงเดี่ยวใดๆ ประพจน์เง่ือนไข (conditional proposition หรือ implication ) ถา้ P แลว้ Q ( if P then Q ) เขียนแทนดว้ ย P  Q โดยท่ีมีคา่ ความจริงของ P  Q แสดงดว้ ยตารางคา่ ความจริงได้ 4 กรณี ดงั น้ีกรณี P Q P Q 1T TT 2T FF 3F TT 4F FT จากตารางค่าความจริงของประพจน์เงื่อนไข สรุปไดว้ า่ P  Q มีความจริงเป็ นเทจ็ (F)เพียงกรณีเดียวคือเม่ือ P เป็ นจริง และ Q เป็ นเท็จ หรือกรณีประพจน์แรกเป็ นจริงและประพจน์หลงั เป็นเทจ็ กรณีอ่ืนๆ มีค่าความจริงเป็นจริงท้งั หมดตวั อย่าง 1.12 ใหพ้ จิ ารณาประโยคต่อไปน้ี สมศรีกเู้ งินธนาคารและทาสัญญาวา่ ถา้ ครบกาหนด 2 ปี แลว้ จะชาระหน้ีวธิ ีทา จะเห็นวา่ ประพจนเ์ ชิงซอ้ นน้ีเกิดจากประพจนเ์ ชิงเด่ียว 2 ประพจน์เชื่อมดว้ ยคาวา่ ถา้ ...แลว้ ... ซ่ึงจาแนกไดด้ งั น้ี ให้ P : สัญญากเู้ งินครบกาหนด 2 ปี Q : สมศรีจะชาระหน้ี จะได้ P  Q : ถา้ สญั ญากเู้ เงินครบกาหนด 2 ปี แลว้ สมศรีจะชาระหน้ี สาหรับค่าความเป็ นจริงของ P  Q ตอ้ งพิจารณาค่าความจริงของประพจน์ P และประพจน์ Q ซ่ึงค่าความจริงของประพจน์เชิงซ้อน P  Q จะเป็ นเทจ็ เมื่อ สัญญากเู้ งินครบกาหนด 2 ปี แลว้ ( P เป็ นจริง ) แต่สมศรีไม่ไดช้ าระหน้ีกบั ธนาคาร ( Q เป็ นเท็จ) ซ่ึงหมายถึงสมศรีผดิ สัญญาหรือพดู เท็จ ดงั ใน กรณีท่ี 2 ของตารางค่าความจริง สาหรับกรณีที่เหลือคือ กรณีที่1 , 3 และ 4 เป็นจริงท้งั หมด ซ่ึงพอจะวเิ คราะห์ไดด้ งั น้ี กรณีที่ 1 ประพจน์แรก (P) เป็ นจริง ( สัญญาครบกาหนด 2 ปี ) และประพจน์หลงั (Q)เป็นจริง ( สมศรีชาระหน้ี ) นนั่ คือสมศรีไมผ่ ดิ สัญญา

บทท่ี 1 ความรู้พ้นื ฐานของความน่าจะเป็ น 11 กรณีท่ี 3 ประพจน์แรก (P) เป็ นเทจ็ ( สัญญายงั ไม่ครบกาหนด 2 ปี ) และประพจน์หลงั(Q) เป็นจริง ( สมศรีชาระหน้ี ) นน่ั คือสมศรีไม่ผดิ สัญญา กรณีท่ี 4 ประพจน์แรก (P) เป็ นเทจ็ ( สัญญายงั ไม่ครบกาหนด 2 ปี ) และประพจน์หลงั(Q) เป็นเทจ็ ( สมศรียงั ไม่ชาระหน้ี ) นน่ั คือสมศรีไมผ่ ดิ สญั ญาบทนิยาม 1.4.9 ให้ P , Q แทนประพจน์เชิงเด่ียวใดๆ ประพจน์เง่ือนไขสองทาง ( biconditional proposition ) P ก็ต่อเม่ือ Q ( P if an only if Q ) เขียนแทนดว้ ย P  Q โดยที่คา่ ความจริงของ P  Q ดงั แสดงดว้ ยตารางคา่ ความจริง 4 กรณี ดงั น้ีกรณี P Q P Q 1T TT 2T FF 3F TF 4F FT จากตารางค่าความจริงของประพจน์เงื่อนไขสองทาง สรุปไดว้ า่ P  Q มีค่าความจริงเป็ นจริง ( T ) 2 กรณี คือ เม่ือประพจน์หนา้ และประพจน์หลงั เป็ นจริงท้งั คู่หรือเป็ นเทจ็ ท้งั คู่กรณีอื่นๆ มีคา่ ความจริงเป็นเทจ็ตัวอย่าง 1.13 ใหพ้ ิจาณาประพจน์ มงคลจะแตง่ งานก็ตอ่ เม่ือเขาไดง้ านท่ีมน่ั คงทาวธิ ีทา ประพจน์เชิงซอ้ นน้ี เกิดจากประพจนเ์ ชิงเดี่ยว 2 ประพจน์ ท่ีเชื่อมดว้ ยคาวา่ ...กต็ ่อเม่ือ... ซ่ึงจาแนกไดด้ งั น้ี ให้ P : มงคลจะแตง่ งาน Q : มงคลไดง้ านท่ีมน่ั คงทา จะได้ P  Q : มงคลจะแต่งงานก็ตอ่ เมื่อเขาไดง้ านท่ีมนั่ คงทา สาหรับค่าความจริงของ P  Q จะมีค่าความจริงเป็ นจริง ( T ) เม่ือประพจน์ P และประพจน์ Q เป็ นจริงท้งั คู่ (มงคลแต่งงาน และ มงคลไดง้ านที่มน่ั คงทา) หรือเป็ นเท็จท้งั คู่(มงคลไมแ่ ตง่ งาน และ มงคลยงั ไม่ไดง้ านที่มนั่ คงทา ) และค่าความจริงของประพจน์ P  Q

12 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้จะเป็ นเท็จเมื่อประพจน์ท้งั สองมีค่าความจริงไม่เหมือนกนั ( มงคลไม่แต่งงาน แต่มงคลไดง้ านท่ีมนั่ คงทาแลว้ หรือ มงคลแตง่ งานแลว้ แตม่ งคลยงั ไม่ไดง้ านท่ีมน่ั คงทา) 1.4.3 ประโยคเปิ ด ประโยคเปิ ด ( open sentence ) เป็ นประโยคท่ีมีตวั ไม่ทราบค่าหรือตวั แปรอยใู่ นประโยคจึงไมส่ ามารถบอกวา่ จริงหรือเท็จได้ และจะทราบค่าความจริงก็ต่อเม่ือ แทนค่าตวั แปรในประโยคดงั ตวั อยา่ งต่อไปน้ีตวั อย่าง 1.14 ประโยคต่อไปน้ีเป็นประโยคเปิ ด 1. x + 7 = 30 2. y 16  40 3. x  y 100 4. 4y  60 5. x 9  7 6. x  5  9 จากขอ้ 1 ถึงขอ้ 6 เป็ นประโยคเปิ ดโดยมี x และ y เป็ นตวั แปรหรือตวั ไม่ทราบค่าทาใหไ้ ม่สามารถหาค่าความจริงของประโยคได้ แต่ถา้ แทนค่า x และ y ในประโยคเปิ ดจะทาให้ประโยคเปิ ดเป็นประพจน์ที่สามารถหาค่าความจริงได้ เช่น เมื่อแทนค่า x ดว้ ย 23 ในขอ้ 1. จะได้23 + 7 = 30 มีคา่ ความจริงเป็นจริงบทนิยาม 1.4.10 ประโยคเปิ ด หมายถึง ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่มีตวั แปรอยา่ งนอ้ ย หน่ึงตวั และไม่สามารถหาค่าความจริงได้ แต่เม่ือแทนค่าตวั แปรในประโยค จะทราบค่าความจริง นิยมใชP้ (x),Q(x),R(x),… เป็นสญั ลกั ษณ์แทนประโยคเปิ ดที่มี x เป็นตวั แปรตัวอย่าง 1.15 กาหนดให้ P(x) : x  5  20 เป็ นประโยคเปิ ด จงหาค่าความจริ งของ P(x)เม่ือ x 13,15,17วธิ ีทา จาก P(x) : x  5  20 โดยที่ x เป็ นตวั แปร เมื่อ x 13 จะได้ P(13):13 5  20 มีค่าความจริงเป็ นเทจ็ เมื่อ x 15 จะได้ P(15) :15  5  20 มีค่าความจริงเป็ นจริง

บทที่ 1 ความรู้พ้นื ฐานของความน่าจะเป็ น 13 เม่ือ x 17 จะได้ P(17) :17  5  20 มีค่าความจริงเป็ นเท็จ ดงั น้นั P(x) มีค่าความจริงเป็ นจริงบางกรณี เมื่อ x 13,15,17 หรือ มี x บางตวั ท่ีทาให้ P(x) เป็ นจริงเม่ือ x 13,15,17 1.4.4 ประพจน์บ่งปริมาณ ในการหาค่าความจริงของประโยคเปิ ดที่ได้กล่าวมาแล้ว การจะหาค่าความจริงได้ก็ต่อเม่ือ แทนค่าตวั แปรลงในประโยคเปิ ดจะทาให้ประโยคเปิ ดเปล่ียนเป็ นประพจน์ ในการแทนค่าตวั แปรตอ้ งกาหนดขอบเขตตวั แปรหรือเอกภพสัมพทั ธ์ของตวั แปร ดงั ตวั อยา่ ง 1.15 เมื่อเอกภพสัมพัทธ์ของ x 13,15,17 และได้ผลของการหาค่าความจริ ง คือ มีบาง x ท่ี P(x) เป็ นจริง จากตวั อยา่ งที่กล่าวมามีวลีบ่งปริมาณ ( quantifier ) คือ มี x บางตวั และเราจะเรียกประพจนท์ ่ีมีวลีบ่งปริมาณกากบั อยดู่ ว้ ยวา่ ประพจน์บง่ ปริมาณบทนิยาม 1.4.11 วลีบ่งปริมาณ สาหรับทุก x จะเรียกวา่ เป็น ตวั บง่ ปริมาณสาหรับทุกตวั ( universal quantifier ) และเขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ xตวั อย่าง 1.16 ตวั บ่งปริมาณสาหรับทุกตวั หรือ x มีความหมายเช่นเดียวกบั ขอ้ ความต่อไปน้ี ก. ทุกๆ x ข. แตล่ ะ x ค. สาหรับ x ทุกตวั ง. สาหรับ x แต่ละตวับทนิยาม 1.4.12 วลีบง่ ปริมาณ มี x บางตวั จะเรียกวา่ เป็น ตวั บง่ ปริมาณสาหรับตวั ท่ีมีจริง ( existential quantifier ) และเขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ x

14 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ตัวอย่าง 1.17 ตวั บ่งปริมาณสาหรับตวั ที่มีจริง หรือ x มีความหมายเช่นเดียวกบั สาหรับ xบางตวั ก. มี x อยา่ งนอ้ ยหน่ึงตวั ข. บาง x ค. สาหรับ x บางตวั ง. สาหรับบาง x1.5 ความสัมพนั ธ์ระหว่างเซต เพื่อให้มีความรู้ความเขา้ ใจท่ีตรงกนั เกี่ยวกบั ความสัมพนั ธ์ของเซตต่าง ๆ จึงควรศึกษาบทนิยามและตวั อย่างเกี่ยวกบั เซตย่อย เซตที่เท่ากนั เซตย่อยแท้ เซตว่าง เซตเอกภพสัมพทั ธ์และแผนภาพของเวนน-์ ออยเลอร์ ดงั น้ีบทนิยาม 1.5. 1 เซต A เป็นเซตยอ่ ย (subsets) ของเซต B กต็ ่อเม่ือ สมาชิกทุกตวั ของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B เขียนแทนดว้ ย A B อา่ นวา่ A เป็นเซตยอ่ ยของ B หรือเขียนเป็ นสญั ลกั ษณ์ทางตรรกศาสตร์ ไดด้ งั น้ี A  B ก็ตอ่ เม่ือ x [ x A  xB ]บทนิยาม 1.5.2 เซต A จะเป็นเซตท่ีเทา่ กนั (equal sets) กบั เซต B กต็ อ่ เมื่อสมาชิกทุกตวั ของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B และสมาชิกทุกตวั ของเซต B เป็นสมาชิกของเซต A เขียนแทนดว้ ย A = B ก็ตอ่ เมื่อ A  B และ B  A หรือเขียนเป็นสญั ลกั ษณ์ทางตรรกศาสตร์ ไดด้ งั น้ี A = B ก็ต่อเมื่อ x [ x A  xB ]ตัวอย่าง 1.18 กาหนดให้ A = { 1 , 2 , 3 } B={1,2,3,4,5} C={3,2,1}จะไดว้ า่ A B เพราะ 1 , 2 , 3  A และ 1 , 2 , 3  B A C เพราะ 1 , 2 , 3  A และ 1 , 2 , 3  C

บทที่ 1 ความรู้พ้นื ฐานของความน่าจะเป็ น 15 และ C  A เพราะ 1 , 2 , 3  C และ 1 , 2 , 3  A นนั่ คือ A C และ C  A จะไดว้ า่ A = C เมื่อพิจารณาจะไดว้ า่ เซต B ไม่เป็ นเซตยอ่ ยของเซต A เพราะมีสมาชิกบางตวั ของเซต Bที่ไม่เป็นสมาชิกของเซต A เช่น 4 , 5  B แต่ 4 , 5  Aบทนิยาม 1.5.3 A และ B เป็ นเซตใดๆ จะเรียกเซต A เป็ นเซตย่อยแท้ (proper subsets) ของเซต B ก็ต่อเม่ือ สมาชิกทุกตวั ของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B และมี สมาชิกบางตวั ของเซต B ไม่เป็นสมาชิกของเซต A เขียนแทนดว้ ย A B อา่ นวา่ A เป็นเซตยอ่ ยแทข้ อง B หรือเขียนเป็ นสญั ลกั ษณ์ทางตรรกศาสตร์ ไดด้ งั น้ี A  B กต็ ่อเมื่อ x [ x A  xB ]  x [ xB  x A]ตัวอย่าง 1.19 กาหนดให้ A = { 1 , 2 , 3 } B={1,2,3,4,5} C={3,2,1}จะไดว้ า่ A B เพราะ 1 , 2 , 3  A และ 1 , 2 , 3  B และมี 4 , 5  B แต่ 4 , 5  Aและ C  B เพราะ 1 , 2 , 3  C และ 1 , 2 , 3  A และมี 4 , 5  B แต่ 4 , 5  Cแต่ A C เพราะ x [ x A  xC ]  x [ xC  x A ]บทนิยาม 1.5.4 เซตวา่ ง (null set , empty set) หมายถึง เซตที่ไมม่ ีสมาชิก แทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ { } หรือ  (phi)

16 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ทฤษฎบี ท 1.5.1 เซตวา่ งเป็นเซตจากดัพสิ ูจน์ เน่ืองจากสามารถนับจานวนสมาชิกของเซตว่างได้และมีสมาชิกเท่ากบั 0 และจาก บทนิยาม 1.3.1 นนั่ คือ เซตวา่ งเป็นเซตจากดัทฤษฎบี ท 1.5.2 เซตวา่ งเป็นเซตยอ่ ยของทุกๆ เซตพสิ ูจน์ ให้ A เป็ นเซตใด ๆ จะได้   A หรือ   A เม่ือให้   A จากบทนิยาม 1.5.2 จะไดว้ า่   A เมื่อให้   A จาก x   และบทนิยาม 1.5.1 จะได้   A นน่ั คือ เซตวา่ งเป็นเซตยอ่ ยของทุกๆเซตตัวอย่าง 1.20 จงหาเซตยอ่ ยท้งั หมดของเซต A เม่ือ กาหนดให้ A = { 7 , 8 , 9 }วธิ ีทา เซตยอ่ ยท้งั หมดของเซต A ไดแ้ ก่  , { 7 }, { 8 }, { 9 }, { 7 , 8 }, { 8 , 9 }, { 7 , 9 },{ 7 , 8 , 9 }บทนิยาม 1.5. 5 ให้ U เป็นเซตท่ีประกอบดว้ ยสมาชิกท้งั หมดของเร่ืองที่สนใจศึกษา โดยท่ีเซตทุกเซตที่กล่าวถึงเป็นเรื่องเดียวกนั และเป็นเซตยอ่ ยของ U จะเรียกเซต U น้ีวา่ เซตเอกภพสัมพทั ธ์ (universal set)ตวั อย่าง 1.21 ให้ U = { 1 , 2 , 3, … , 20 } A = { 1, 3 , 5 , 7 , 9 } B = { 2, 4 , 6 , 8 , 10 } C = { 1, 4 , 9 , 16 } D = { 7, 8 , 9 } ในตวั อยา่ งน้ี จะไดว้ า่ U คือเซตเอกภพสัมพทั ธ์ เพราะ เซต A , B , C , D ต่างก็เป็นเซตยอ่ ยของเซต U

บทท่ี 1 ความรู้พ้นื ฐานของความน่าจะเป็ น 17 การกาหนดเอกภพสัมพัทธ์จะเป็ นตัวกาหนดขอบเขตของเซตท่ีจะกล่าวถึงดงั น้นั หากเอกภพสัมพทั ธ์เปลี่ยนไป เซตที่กล่าวถึงอาจไม่ใช่เซตเดิมกไ็ ด้ตวั อย่าง 1. 22 ให้ A = { x / x2 < 10 } จะไดว้ า่ A = { –3, –2 , –1 , 0 , 1 , 2 , 3 } หากกาหนด U = I จะไดว้ า่ A = { 1 , 2 , 3 } แตถ่ า้ กาหนด U = I+ เพอ่ื ใหก้ ารศึกษาความสมั พนั ธ์ระหวา่ งเซต เขา้ ใจไดง้ ่ายและสะดวกจะแสดงความสัมพนั ธ์ระหว่างเซตดว้ ยการใช้ แผนภาพของเวนน์- ออยเลอร์ (Venn-Euler diagram) โดยการเขียนแผนภาพของเวนน์- ออยเลอร์ จะใชร้ ูปสี่เหล่ียมผืนผา้ แทนเซตเอกภพสัมพทั ธ์ และใชร้ ูปวงกลมวงรีแทนเซตต่าง ๆ ที่กาลงั พิจารณาอยแู่ ละเขียนอยใู่ นรูปสี่เหลี่ยมผืนผา้ เพราะทุกเซตลว้ นเป็ นเซตยอ่ ยของเซตเอกภพสัมพทั ธ์ สาหรับการเขียนแผนภาพของเวนน์ –ออยเลอร์ แสดงความสมั พนั ธ์ระหวา่ ง เซต 2 เซตไดด้ งั น้ีกรณีท่ี 1 เซต A และเซต B ไมม่ ีสมาชิกร่วมกนั (disjoint set) U ABกรณีท่ี 2 เซต A และเซต B มีสมาชิกบางตวั ร่วมกนั U AB

18 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้กรณที ่ี 3 เซต A เป็นเซตยอ่ ยของเซต B U ABกรณที ี่ 4 เซต B เป็นเซตยอ่ ยของเซต A U BA1.6 การดาเนินการของเซตในระบบจานวน ถา้ เรานาจานวนมา บวก ลบ คูณ หรือหารกนั แลว้ ไดจ้ านวนใหม่เกิดข้ึนเป็ นการดาเนินการในระบบจานวน สาหรับเรื่องของเซต เรามีการนาเซตสองเซตมาดาเนินการแล้วได้เซตใหม่ ด้วยการนาเซตมา ยูเนียน (union) อิ น เ ต อ ร์ เ ซ ก ชัน (intersection)ผลต่าง(difference) และส่วนเติมเต็ม(complement) ซ่ึงเป็ นการดาเนินการของเซต(set operation) ดงั บทนิยามที่จะกล่าวถึงตอ่ ไปน้ีบทนิยาม 1.6.1 ให้ A และ B เป็นเซตใด ๆ A ยเู นียน B ( A union B ) หมายถึงเซตท่ีมีสมาชิกเป็นสมาชิกของ A หรือเป็ นสมาชิกของ B เขียนแทนดว้ ย A Bดงั น้นั AB= { x/ xA xB} เมื่อใชแ้ ผนภาพของเวนน์-ออยเลอร์ และการแรเงาแทนเซตท่ีไดจ้ ากการดาเนินการของเซตจะได้ A B ในแต่ละกรณีดงั รูปท่ี 1.1 – 1.3

บทที่ 1 ความรู้พ้นื ฐานของความน่าจะเป็ น 19 U ABรูปท่ี 1.1 ส่วนท่ีแรเงาแสดงเซต A  B เม่ือ A และ B มีสมาชิกบางตวั ร่วมกนั U ABรูปท่ี 1.2 ส่วนที่แรเงาแสดงเซต A  B เม่ือ A และ B ไมม่ ีสมาชิกร่วมกนั U B A รูปที่ 1.3 ส่วนท่ีแรเงาแสดงเซต A  B เม่ือ A  Bตวั อย่าง 1.23 กาหนดให้ U = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } A = {2,4,6} B = { 3 , 4 , 5, 6 } C = {1,3}จงหา 1. A  B 2. A  C 3. B  C 4. B  A

20 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้วธิ ีทา 1. A B = { x / x A xB } จะได้ A B = { 2 , 3 , 4 , 5, 6 } 2. A C = { x / x A xC } จะได้ AC = { 1 , 2 , 3 , 4 , 6 } 3. B C = { x / xB  xC } จะได้ B C = { 1 , 3 , 4 , 5, 6 } 4. B  A = { x / xB  x A} จะได้ B  A = { 2 , 3 , 4 , 5, 6 } ผลลพั ธ์ของการยเู นียนกนั ของเซตสองเซต จะไดเ้ ซตใหม่ที่ประกอบดว้ ยสมาชิกของเซตท้งั สอง ( สมาชิกจะซ้ากนั หรือไม่ซ้ากนั ก็ได)้บทนิยาม 1.6.2 ให้ A และ B เป็นเซตใดๆ A อินเตอร์เซกชนั B ( A intersection B ) หมายถึง เซตท่ีมีสมาชิกเป็นของเซต A และเป็นสมาชิกของเซต B เขียนแทนดว้ ย A B ดงั น้นั A B ={ x / x A xB} เม่ือใชแ้ ผนภาพของเวนน์-ออยเลอร์ และการแรเงาแทนเซตท่ีไดจ้ ากการดาเนินการของเซตจะได้ A B ในแตล่ ะกรณีดงั รูปที่ 1.4 – 1.6 U A B รูปที่ 1.4 ส่วนท่ีแรเงาแสดงเซต A  B เมื่อเซต A และ B มีสมาชิกบางตวั ร่วมกนั

บทท่ี 1 ความรู้พ้นื ฐานของความน่าจะเป็ น 21 UABรูปที่ 1.5 แสดงเซต A  B เม่ือเซต A และ B ไมม่ ีสมาชิกร่วมกนั U AB รูปท่ี 1.6 ส่วนที่แรเงาแสดงเซต A  B เม่ือเซต A เป็นเซตยอ่ ยของเซต Bตัวอย่าง 1.24 กาหนดให้ U = { 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 } A = {3,5,7} B = { 3 , 4 , 5, 6 } C = {6,8}จงหา 1. A  B 2. A  C 3. B  C 4. B  Aวธิ ีทา 1. A B = { x / x A xB } จะได้ A B = { 3 , 5 } 2. A C = { x / x A  xC } จะได้ AC = { } 3. B C = { x / xB  xC } จะได้ B C = { 6 }

22 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ 4. B  A = { x / xB  x A} จะได้ B  A = { 3 , 5 } ผลลพั ธ์ของการอินเตอร์เซกชนั กนั ของเซต จะไดเ้ ซตใหม่ที่ประกอบดว้ ยสมาชิกเฉพาะตวัที่ซ้ากนับทนิยาม 1.6.3 ให้ A และ B เป็นเซตใด ๆ ผลต่างของ A และ B (A difference B ) หมายถึง เซตท่ีประกอบดว้ ยสมาชิกท้งั หมดของเซต A แตไ่ มเ่ ป็ นสมาชิกของเซต B เขียนแทนดว้ ย A – B โดยท่ี A – B ={ x / x A xB } เม่ือใชแ้ ผนภาพของเวนน์-ออยเลอร์ และการแรเงาแทนเซตที่ไดจ้ ากการดาเนินการของเซตจะได้ A B ในแตล่ ะกรณีดงั รูปท่ี 1.7 – 1.10 U AA B รูปท่ี 1.7 ส่วนที่แรเงาแสดงเซต A – B เม่ือเซต A และ B มีสมาชิกบางตวั ร่วมกนั U AB รูปที่ 1.8 ส่วนท่ีแรเงาแสดงเซต A – B เม่ือเซต A และ B ไมม่ ีสมาชิกร่วมกนั

บทท่ี 1 ความรู้พ้นื ฐานของความน่าจะเป็ น 23 U B Aรูปที่ 1.9 แสดงเซต A – B เมื่อเซต A เป็นเซตยอ่ ยของเซต B U A B รูปท่ี 1.10 ส่วนท่ีแรเงาแสดงเซต A – B เมื่อเซต B เป็นเซตยอ่ ยของเซต Aตัวอย่าง 1.25 กาหนดให้ U = { 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 } A = {3,5,7} B = { 3 , 4 , 5, 6 } และ C = { 6 , 8 }จงหา 1. A – B 2. B – A 3. A – C 4. U – Aวธิ ีทา 1. A – B = { x / x A  x B } จะได้ A – B = { 7 } 2. B – A = { x / xB  x A} จะได้ B – A ={ 4 , 6 }

24 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ 3. A – C = { x / x A  xC } จะได้ A – C ={3 , 5 , 7 } 4. U – A = { x / x U  x A } จะได้ U – A ={4 , 6 , 8 } การหาผลตา่ งของสองเซต จะไดเ้ ซตใหม่ที่ประกอบดว้ ยสมาชิกของเซตลาดบั แรกโดยไม่เป็นสมาชิกของเซตลาดบั ท่ีสองบทนิยาม 1.6.4 ให้ A เป็ นเซตใดๆ ในเอกภพสัมพทั ธ์ U ส่วนเติมเต็ม (complement) ของ เซต A คือเซตท่ีประกอบด้วยสมาชิกที่อยู่ในเซตเอกภพสัมพทั ธ์แต่ไม่อยู่ ในเซต A เขียนแทนดว้ ย A หรือ Ac ดงั น้นั A U  A A ={ x / xU  x A } เมื่อใชแ้ ผนภาพของเวนน์-ออยเลอร์ และการแรเงาแทนเซตที่ไดจ้ ากการดาเนินการของเซตจะได้ A ในแตล่ ะกรณีดงั รูปท่ี 1.11 U A รูปที่ 1.11 ส่วนท่ีแรเงาแสดงเซตของ A

บทที่ 1 ความรู้พ้นื ฐานของความน่าจะเป็ น 25ตวั อย่าง 1.26 ให้ U = { 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 } A ={3,5,7} B ={3,4,5,6} C ={6,8} จงหา 1. A 2. B 3. Cวธิ ีทา 1. A ={ x / xU  x A } จะไดว้ า่ A = { 4 , 6 , 8 } 2. B ={ x / xU  x B } จะไดว้ า่ B = { 7 , 8 } 3. C ={ x / xU  xC } จะไดว้ า่ C = { 3 , 4 , 5 ,7 } 1.7 พชี คณติ ของเซต (algebra of sets) ให้ A , B , C เป็ นเซตใด ๆ ซ่ึงเป็ นเซตยอ่ ยของเอกภพสัมพทั ธ์ U การดาเนินการใด ๆของเซตจะเป็นไปตามกฎ ตอ่ ไปน้ี 1. กฎการสลบั ที่ (commutative laws) A  B=B  A A  B=B  A 2. กฎการเปลย่ี นหมู่ (associative laws) A  (B  C) = (A  B)  C A  (B  C) = (A  B)  C 3. กฎการแจกแจง (distribution laws) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) 4. กฎนิจพล (idempotent laws) A  A=A A  A=A

26 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ 5. กฎเอกลกั ษณ์ (identity laws) A   =A A = A  U =U A  U =A 6. กฎส่วนเติมเต็ม (complement laws) A  A = U A  A =  (A) = A U =   = U A – B = A  B 7. กฎของเดอมอร์แกน (De Morgan’s laws) (A  B)  A  B (A  B)  A  B 1.8 การทดลองสุ่มและปริภูมติ ัวอย่าง ใ น หัว ข้อ น้ ี ก่ อ น จ ะ ก ล่ า ว ถึ ง ก า รท ด ล อ ง สุ่ ม จ ะ ก ล่ า วถึ ง ค ว า ม หม า ย ข อ ง ก า ร ท ด ล อ ง (experiment)ในทางสถิติ หมายถึง กระบวนการที่ทาการสังเกตหรือทาการวดั ขอ้ มูลท่ีสนใจและ สามารถบอกได้ว่าเกิดผลการทดลองหรือผลลพั ธ์(outcome)อะไรบ้าง ผลลัพธ์องการทดลอง แต่ละคร้ังน้นั อาจทานายผลลพั ธ์ล่วงหนา้ ได้ หรือไม่อาจทานายผลลพั ธ์ล่วงหน้าได้ เน่ืองจาก มีเรื่องของโอกาสหรือความไม่แน่นอนมาเกี่ยวขอ้ ง ตวั อย่างเช่น ในการหยิบลูกบอล 1 ลูก จากกล่องใบหน่ึงที่บรรจุลูกบอลไวใ้ นกล่อง 3 ลูก ลูกละสีได้แก่ สีแดง สีเขียว และสีขาว หากสนใจสีของลูกบอลท่ีหยิบได้ เราสามารถบอกผลลัพธ์ได้ว่าลูกบอลท่ีหยิบได้ตอ้ งเป็ น ลูกบอลสีแดง ลูกบอลสีเขียว และลูกบอลสีขาวเท่าน้ัน แต่การหยิบลูกบอล 1 ลูกจากกล่อง ในแต่ละคร้ังเราไม่สามารถบอกล่วงหน้าได้ว่าจะได้ลูกบอลสีอะไร อาจได้ลูกบอลสีแดง ลูกบอลสีเขียวหรื อลูกบอลสีขาวอย่างใดอย่างหน่ึง ลักษณะการทดลองเช่นน้ี เรี ยกว่า การทดลองสุ่ม หรือถา้ กล่องใบหน่ึงมีลูกบอลในกล่อง 3 ลูก เป็ นลูกบอลสีแดงหมดท้งั 3 ลูก ในการหยิบลูกบอล 1 ลูก จากกล่องและสนใจสีของลูกบอลที่หยิบได้ เราสามารถบอก ผลลพั ธ์ไดเ้ ลยวา่ ลูกบอลที่หยิบไดจ้ ะตอ้ งเป็ นลูกบอลสีแดง เน่ืองจากในกล่องมีเฉพาะลูกบอล

บทท่ี 1 ความรู้พ้นื ฐานของความน่าจะเป็ น 27สีแดงเท่าน้นั และการหยบิ แต่ละคร้ังเราสามารถบอกผลลพั ธ์ล่วงหนา้ ไดว้ า่ จะไดล้ ูกบอลสีแดงแน่นอน ลกั ษณะการทดลองเช่นน้ีไมเ่ ป็นการทดลองสุ่ม บทนิยาม 1.8.1 การทดลองสุ่ม (random experiment) หมายถึงการทดลองท่ีผทู้ ดลองไมอ่ าจ คาดคะเนผลลพั ธ์ของการทดลองล่วงหนา้ ไดว้ า่ ผลลพั ธ์ที่เกิดข้ึนจะเป็นอยา่ งไรตวั อย่าง 1.27 บรรจุลูกบอลลงในกล่อง 3 กล่องดงั น้ี กล่องใบท่ี 1 บรรจุลูกบอลสีขาว สีแดง สีดา อยา่ งละ 1 ลูก กล่องใบที่ 2 บรรจุลูกบอลสีขาว 1 ลูก สีแดง 2 ลูก สีดา 3 ลูก กล่องใบที่ 3 บรรจุสีขาวจานวน 5 ลูก กาหนดให้สุ่มหยิบลูกบอล 1 ลูกออกจากกล่องแต่ละใบ ถา้ ผลลพั ธ์คือสนใจสีของลูกบอลท่ีหยบิ ได้ จะไดว้ า่ 1. การหยบิ ลูกบอล 1 ลูก จากกล่องใบท่ี 1 เป็ นการทดลองสุ่ม เนื่องจากไม่สามารถบอกไดว้ า่ ผลลพั ธ์จะหยบิ ไดล้ ูกบอลสีใดในสามสีท่ีอยใู่ นกล่อง และโอกาสท่ีจะหยิบไดล้ ูกบอลแต่ละสีจะมีค่าเท่า ๆ กนั 2. การหยิบลูกบอล 1 ลูก จากกล่องใบท่ี 2 เป็ นการทดลองสุ่ม เนื่องจากไม่สามารถบอกไดเ้ ช่นกนั วา่ ผลลพั ธ์จะหยิบไดล้ ูกบอลสีใด แต่การทดลองสุ่มน้ีจะแตกต่างจากกรณีการสุ่มหยิบลูกบอลจากกล่องท่ี 1 คือโอกาสในการที่จะหยิบไดล้ ูกบอลแต่ละสีจะมีค่าไม่เท่ากนั เนื่องจากในกล่องจะมีจานวนลูกบอลแตล่ ะสีไม่เทา่ กนั และโอกาสท่ีจะหยบิ ไดล้ ูกบอลสีดาจะมีค่ามากกวา่ หยิบไดล้ ูกบอลสีอื่น ๆ 3. การหยบิ ลูกบอล 1 ลูกจากกล่องใบท่ี 3 ซ่ึงบรรจุลูกบอลเพียงสีเดียวคือสีขาว ดงั น้นั ผลของการหยบิ จะตอ้ งไดล้ ูกบอลสีขาวแน่นอน จึงไมถ่ ือวา่ เหตุการณ์น้ีเป็นการทดลองสุ่มบทนิยาม 1.8.2 ปริภูมิตวั อยา่ ง (sample space) หมายถึง เซตท่ีมีสมาชิกเป็นผลลพั ธ์ที่อาจเกิดข้ึนได้ ท้งั หมดจากการทดลองสุ่ม เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ S ส่วนสมาชิกแต่ละตวั ของ ปริภูมิตวั อยา่ งเรียกวา่ ตวั อยา่ งหรือจุดตวั อยา่ ง (sample or sample point)

28 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ ในการทดลองสุ่ม บางคร้ังเราสามารถเขียนปริภูมิตวั อยา่ งไดม้ ากกวา่ หน่ึงแบบข้ึนอยกู่ บัผลลพั ธ์ท่ีสนใจ ดงั ตวั อยา่ งตอ่ ไปน้ีตัวอย่าง 1.28 ในการโยนเหรียญเที่ยงตรง 1 เหรียญ 3 คร้ัง ให้ S1 แทนปริภูมิตวั อยา่ งของการโยนเหรียญ 1 เหรียญ 3 คร้ัง ที่สนใจผลลพั ธ์คือการข้ึนหวั หรือข้ึนกอ้ ยของการโยนเหรียญ ดงั น้นั S1 = { HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT , TTH , TTT }(ถา้ ให้ H แทนการข้ึนหวั และ T แทนการข้ึนกอ้ ย ) แตถ่ า้ สนใจผลลพั ธ์คือจานวนเหรียญท่ีข้ึนกอ้ ย ให้ S2 แทนปริภมู ิตวั อยา่ ง จะไดว้ า่ S2 = { 0, 1, 2, 3 }ตัวอย่าง 1.29 ในการโยนลูกเต๋า 1 ลูก 1 คร้ัง จะไดป้ ริภมู ิตวั อยา่ งคือ S1 = { คู่ , คี่ } S2 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } จากตวั อยา่ งที่ผา่ นมาจะเห็นวา่ มีปริภมู ิตวั อยา่ ง 2 แบบ คือ S1 และ S2 ข้ึนอยกู่ บั วา่ เราสนใจผลลพั ธ์อะไรขอบเขตแคไ่ หนบทนิยาม 1.8.3 เหตุการณ์ (event) หมายถึง เซตยอ่ ยของปริภูมิตวั อยา่ ง S ในการโยนลูกเต๋า 1 ลูก 1 คร้ัง ให้ A แทนเหตุการณ์ท่ีลูกเต๋าข้ึนแตม้ คู่ และB แทนเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าข้ึนแตม้ นอ้ ยกวา่ 2 ดงั น้นั S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6} A ={2,4,6} และ B = { 1 } จะเห็นไดว้ า่ ท้งั เซต A และเซต B เป็นเซตยอ่ ยในปริภมู ิตวั อยา่ ง S

บทท่ี 1 ความรู้พ้นื ฐานของความน่าจะเป็ น 291.9 หลกั เกณฑ์การนับเบือ้ งต้น การศึกษาเร่ืองของการนบั จานวนวธิ ีตา่ งๆ ท่ีเป็นไปไดท้ ้งั หมดของการเกิดเหตุการณ์ หรือการทดลองบางอยา่ งเป็นเรื่องสาคญั เพราะถา้ เราไม่สามารถนบั จานวนวธิ ีการต่างๆ ของเหตุการณ์ดงั กล่าวไดถ้ ูกตอ้ งแลว้ ก็ยอ่ มไม่สามารถวเิ คราะห์หรือคานวณในข้นั ตอ่ ไปไดถ้ ูกตอ้ ง การนบั วธิ ีต่างๆ ท่ีเป็นไปไดท้ ้งั หมดของเหตุการณ์ ไม่เหมือนกบั การนบั ส่ิงของที่เห็นเป็ นชิ้นหรือมีจานวนนอ้ ยซ่ึงนบั ไดง้ ่าย เพราะจานวนวิธีของการทดลองบางเหตุการณ์สลบั ซบั ซ้อนมีจานวนมากเป็นเร่ืองที่มองไม่เห็น ตอ้ งนึกคิดเอาจึงเป็นเร่ืองที่ทาไดย้ าก หรือทาไมไ่ ดเ้ ลย ดงั น้นั จึงมีความจาเป็ นท่ีจะตอ้ งทราบหลกั การในการนบั ซ่ึงหลกั การดงั กล่าวมีหลายวิธีท่ีแตกต่างกันแล้วแต่เงื่อนไขของการดาเนินงานหรือการทดลองน้ันๆ เป็ นสาคัญ และไม่จาเป็ นตอ้ งทราบผลของการทดลองท้งั หมด เพียงแต่ทราบว่าจานวนของเหตุการณ์ ท่ีเกิดข้ึนมีจานวนเท่าใด ซ่ึงจะได้ศึกษาจากหลกั เกณฑ์การนบั วิธีเรียงสับเปล่ียน วิธีจดั หมู่ และบทนิยามทฤษฏีบทและตวั อยา่ ง ดงั ต่อไปน้ีตวั อย่าง 1.30 ในการจบั สลากเพ่ือมอบรางวลั พิเศษใหก้ บั พนกั งานขายยอดเยยี่ มของแต่ละสาขาในงานเล้ียงประจาปี ของบริษทั แห่งหน่ึงซ่ึงมีสาขาท้งั สิ้น 3 สาขา บริษทั ตอ้ งการใหร้ างวลั พิเศษแก่พนกั งานขายยอดเยย่ี มสาขาละ 1 รางวลั ถา้ สาขา A มีพนกั งานขายยอดเย่ยี ม 4 คนคือ A1 ,A2 ,A3และ A4 สาขา B มีพนกั งานขายยอดเยย่ี ม 2 คนคือ B1 , B2 และสาขา C มีพนกั งานขายยอดเยยี่ ม3 คน คือ C1 , C2 และ C3 จานวนวธิ ีท่ีแตกต่างกนั ของผลการจบั สลากใหร้ างวลั พิเศษในคร้ังน้ีสามารถแสดงไดโ้ ดยแผนภาพตน้ ไม(้ tree diagram) ดงั น้ี

30 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ การสุ่มจับสลากรางวลั พเิ ศษให้แก่พนักงานขายยอดเยย่ี มสาขา A สาขา B สาขา C ผลการจับสลากA1A2 C1 A1 B1 C1 วธิ ีท่ี 1A3 B1 C2 A1 B1 C2 วธิ ีท่ี 2A4 C3 A1 B1 C3 วธิ ีที่ 3 C1 A1 B2 C1 วธิ ีที่ 4 B2 C2 A1 B2 C2 วธิ ีท่ี 5 C3 A1 B2 C3 วธิ ีท่ี 6 C1 A2 B1 C1 วธิ ีท่ี 7 B1 C2 A2 B1 C2 วธิ ีที่ 8 C3 A2 B1 C3 วธิ ีท่ี 9 C1 A2 B2 C1 วธิ ีท่ี 10 B2 C2 A2 B2 C2 วธิ ีที่ 11 C3 A2 B2 C3 วธิ ีที่ 12 C1 A3 B1 C1 วธิ ีที่ 13 B1 C2 A3 B1 C2 วธิ ีที่ 14 C3 A3 B1 C3 วธิ ีที่ 15 C1 A3 B2 C1 วธิ ีที่ 16 B2 C2 A3 B2 C2 วธิ ีที่ 17 C3 A3 B2 C3 วธิ ีท่ี 18 C1 A4 B1 C1 วธิ ีท่ี 19 B1 C2 A4 B1 C2 วธิ ีท่ี 20 C3 A4 B1 C3 วธิ ีท่ี 21 C1 A4 B2 C1 วธิ ีที่ 22 B2 C2 A4 B2 C2 วธิ ีท่ี 23 C3 A4 B2 C3 วธิ ีที่ 24 ผลการสุ่มจบั สลากเพ่ือมอบรางวลั พิเศษให้กบั พนกั งานขายยอดเยยี่ มท้งั 3 สาขา สาขาละ1 รางวลั ผลการจบั สลากพนกั งานขายยอดเยยี่ มท่ีไดร้ ับรางวลั พิเศษสามารถเป็ นไดท้ ้งั หมด 24 วธิ ีท่ีแตกต่างกนั และจากแผนภาพตน้ ไมข้ า้ งตน้ จะเห็นว่าการกระทาดงั กล่าวแบ่งเป็ น 3 ข้นั ตอนไดแ้ ก่

บทท่ี 1 ความรู้พ้นื ฐานของความน่าจะเป็ น 31 ข้นั ตอนที่ 1 การจบั สลากมอบรางวลั ให้แก่พนกั งานขายยอดเยย่ี มสาขา A ซ่ึงมีพนกั งานขายยอดเยี่ยมจานวน 4 คน ผลลพั ธ์เกิดข้ึนได้ 4 วิธี (พนกั งานท่ีไดร้ างวลั คือ A1 , A2, A3 หรือA4 ) ข้นั ตอนที่ 2 การจบั สลากมอบรางวลั ใหแ้ ก่พนกั งานขายยอดเยยี่ มสาขา B ซ่ึงมีพนกั งานขายยอดเยยี่ มจานวน 2 คน ผลลพั ธ์เกิดข้ึนได้ 2 วธิ ี (พนกั งานที่ไดร้ างวลั คือ B1 หรือ B2 ) ข้นั ตอนที่ 3 การจบั สลากมอบรางวลั ใหแ้ ก่พนกั งานขายยอดเยย่ี มสาขา C ซ่ึงมีพนกั งานขายยอดเยย่ี มจานวน 3 คน ผลลพั ธ์เกิดข้ึนได้ 3 วธิ ี (พนกั งานที่ไดร้ างวลั คือ C1 , C2 หรือ C3 ) เมื่อพจิ ารณาผลคูณของผลลพั ธ์หรือจานวนวธิ ีที่เกิดข้ึนในแตล่ ะข้นั ตอนดงั น้ี ผลลพั ธ์ของข้นั ตอนท่ี 1  ผลลพั ธ์ของข้นั ตอนที่ 2  ผลลพั ธ์ของข้นั ตอนท่ี 3 = 423 = 24 วธิ ีตวั อย่าง 1.31 นายสมชายมีเส้ือสาหรับใส่ไปทางานอยู่ 3 ตวั กางเกง 2 ตวั อยากทราบวา่ นายสมชายจะสามารถเลือกแต่งตวั ดว้ ยเส้ือและกางเกงไดแ้ ตกตา่ งกนั ท้งั หมดก่ีวธิ ีวธิ ีทา สิ่งที่นายสมชายตอ้ งทาคือการแตง่ ตวั ประกอบดว้ ย 2 ข้นั ตอน ไดแ้ ก่ข้นั ตอนที่ 1 การเลือกเส้ือมีวธิ ีเลือก 3 วธิ ีข้นั ตอนที่ 2 การเลือกกางเกงมีวธิ ีเลือก 2 วธิ ีดงั น้ันจานวนวิธีท่ีสมชายจะแต่งตวั โดยตอ้ งเลือกเส้ือและกางเกงใส่ทาไดท้ ้งั หมดเท่ากบั 3  2 = 6 วธิ ี ซ่ึงอาจแสดงไดโ้ ดยใชแ้ ผนภาพตน้ ไม้ ดงั น้ีข้นั ตอนท่ี 1 เลอื กเสื้อ ข้นั ตอนที่ 2 เลอื กกางเกง กางเกงตวั ท่ี 1 วธิ ีท่ี 1เส้ือตวั ท่ี 1 กางเกงตวั ที่ 2 วธิ ีท่ี 2 กางเกงตวั ท่ี 1 วธิ ีท่ี 3เส้ือตวั ท่ี 2 กางเกงตวั ที่ 2 วธิ ีที่ 4 กางเกงตวั ท่ี 1 วธิ ีท่ี 5เส้ือตวั ท่ี 3 กางเกงตวั ท่ี 2 วธิ ีที่ 6 จะเห็นไดว้ า่ นายสมชายสามารถแต่งตวั จากการเลือกเส้ือและกางเกงไดแ้ ตกต่างกนั ท้งั หมด6 วธิ ี

32 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ตัวอย่าง 1.32 จงหาจานวนวิธีที่จะเลือกเลขโดดจาก 0 ถึง 4 ไปสร้างเลข 3 หลกั โดยมีเง่ือนไขดงั น้ี 1. เลขแต่ละหลกั ซ้ากนั ได้ 2. หา้ มใหเ้ ลขแต่ละหลกั ซ้ากนัวธิ ีทา 1. เลขแต่ละหลกั ซ้ากนั ได้ ในการสร้างเลข 3 หลัก ท่ีแต่ละหลักซ้ากันได้จากเลขโดด 5 ตัวซ่ึงรวม 0 ด้วยน้ัน ประกอบดว้ ย 3 ข้นั ตอนไดแ้ ก่ ข้นั ตอนที่ 1 เลือกตวั เลขมาสร้างหลกั ร้อย ได้ 4 วธิ ี (เน่ืองจาก 0 ใชเ้ ป็นหลกั ร้อยไม่ได)้ ข้นั ตอนที่ 2 เลือกตวั เลขมาสร้างหลกั สิบ ได้ 5 วธิ ี ข้นั ตอนท่ี 3 เลือกตวั เลขมาสร้างหลกั หน่วย ได้ 5 วธิ ี ดงั น้นั จานวนวธิ ีท้งั หมดเท่ากบั 4  5  5 = 100 วธิ ี2. หา้ มใชเ้ ลขแต่ละหลกั ซ้ากนัในการสร้างเลข 3 หลกั ที่แตล่ ะหลกั ซ้ากนั ไมไ่ ดจ้ ากเลขโดด 5 ตวั ซ่ึงรวม 0 ดว้ ยน้นัประกอบดว้ ย 3 ข้นั ตอนไดแ้ ก่ข้นั ตอนท่ี 1 เลือกตวั เลขมาสร้างหลกั ร้อย ได้ 4 วธิ ี(เนื่องจาก 0 ใชเ้ ป็นหลกั ร้อยไม่ได)้ข้นั ตอนท่ี 2 เลือกตวั เลขมาสร้างหลกั สิบ ได้ 4 วธิ ี(เลขโดดท่ีเหลือจากข้นั ที่ 1 รวมกบั 0)ข้นั ตอนท่ี 3 เลือกตวั เลขมาสร้างหลกั หน่วย ได้ 3 วธิ ี(เลขโดดท่ีเหลือจากข้นั ท่ี 1 และ 2)ดงั น้นั จานวนวธิ ีท้งั หมดเทา่ กบั 4  4  3 = 48 วธิ ี จากตวั อยา่ ง 1.30 ถึง ตวั อยา่ ง 1.32 จานวนวิธีของเหตุการณ์หรือการทดลองไดจ้ ากการคูณของจานวนวธิ ีในแตล่ ะข้นั ตอน ซ่ึงผลคูณท่ีไดม้ ีค่าเทา่ กบั จานวนวธิ ีท้งั หมดเช่นเดียวกบัการแสดงโดยใช้แผนภาพตน้ ไม้ การหาจานวนวิธีท้งั หมดของเหตุการณ์ที่ประกอบดว้ ยหลายข้นั ตอนโดยการนาจานวนวธิ ีในการกระทาแต่ละข้นั ตอนมาคูณกนั น้ีเรียกวา่ หลกั เกณฑก์ ารคูณ

บทท่ี 1 ความรู้พ้นื ฐานของความน่าจะเป็ น 33ทฤษฎบี ท 1.9.1 หลกั เกณฑก์ ารคูณ (multiplication principle) ถา้ การทดลองหน่ึงประกอบดว้ ย k ข้นั ตอนโดยแต่ละข้นั ตอนเลือกทาได้ n1 , n2 , n3 , … , nk วธิ ี ตามลาดบั จานวนวธิ ีท้งั หมดของการทดลองน้ีจะเท่ากบั n1  n2  n3  …  nk วธิ ีพสิ ูจน์ ในการทดลองท่ีประกอบดว้ ย k ข้นั ตอน ซ่ึง ข้นั ตอนที่ 1 เลือกทาได้ n1 วธิ ี ข้นั ตอนท่ี 2 เลือกทาได้ n2 วธิ ี (หลงั จากทาข้นั ตอนที่ 1 แลว้ ) ข้นั ตอนที่ 3 เลือกทาได้ n3 วธิ ี (หลงั จากทาข้นั ตอนท่ี 2 แลว้ ) ข้นั ตอนท่ี k เลือกทาได้ nk วิธี (หลงั จากทาข้นั ตอนท่ี k – 1 แลว้ ) ดงั น้นั จานวนวธิ ีท้งั หมดเทา่ กบั n1  n2  n3  …  nk วธิ ีตัวอย่าง 1.33 มีเกา้ อ้ีจานวน 5 ตวั จะจดั คน 5 คนเขา้ นง่ั เกา้ อ้ีท้งั 5 ตวั ไดท้ ้งั หมดกี่วธิ ีวธิ ีทา ในการจดั คน 5 คน เข้าน่ังเก้าอ้ี 5 ตวั สามารถแบ่งเป็ นข้นั ตอนการจดั คนเขา้ นั่งเก้าอ้ี แต่ละตวั ได้ 5 ข้นั ตอนดงั น้ี ข้นั ตอนที่ 1 จดั คนเขา้ นงั่ เกา้ อ้ีตวั ที่ 1 ได้ 5 วธิ ี (เลือกคนเขา้ นง่ั ได้ 5 คน) ข้นั ตอนท่ี 2 จดั คนเขา้ นง่ั เกา้ อ้ีตวั ท่ี 2 ได้ 4 วธิ ี ข้นั ตอนที่ 3 จดั คนเขา้ นง่ั เกา้ อ้ีตวั ที่ 3 ได้ 3 วธิ ี ข้นั ตอนที่ 4 จดั คนเขา้ นง่ั เกา้ อ้ีตวั ท่ี 4 ได้ 2 วธิ ี ข้นั ตอนท่ี 5 จดั คนเขา้ นงั่ เกา้ อ้ีตวั ท่ี 5 ได้ 1 วธิ ี จานวนวธิ ีท้งั หมด = 5  4  3  2  1 = 120 วธิ ี ดงั น้นั จานวนวธิ ีในการจดั คน 5 คน เขา้ นงั่ เกา้ อ้ี 5 ตวั ไดจ้ านวนวธิ ีท้งั หมดเทา่ กบั 120 วธิ ี

34 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้บทนิยาม 1.9.1 ให้ n เป็นจานวนเตม็ บวกใดๆ ผลคูณของจานวนเตม็ บวกต้งั แต่ 1 ถึง n เรียกวา่ แฟคทอเรียล (factorial) เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ n! โดยที่ n! = n(n – 1) (n – 2)…(3)(2)(1) หรือ n! = n(n – 1)!จากบทนิยามจะไดว้ า่ n! = 1  2  3  …  n เช่น 5! = 5  4  3  2  1 = 120 10! = 10  9  8  …  2  1 = 3,628,800 1! = 1บทนิยาม 1.9.2 0! = 1 จากบทนิยาม n! = n(n – 1) (n – 2)…(3)(2)(1) = n(n – 1)! เม่ือ n = 1 จะได้ 1! = 1(0!) แต่ 1! = 1 ดงั น้นั 0! = 1ตัวอย่าง 1.34 จงหาคา่ ต่อไปน้ี 1. 5! 2. 3!  2)!วธิ ีทา (n 1. (n 1)! 5! = 5 4  3! 3! 3! =5 4 = 202. (n  2)!  (n  2)(n 1)(n)(n 1)! (n 1)! (n 1)!  (n  2)(n 1)(n)

บทท่ี 1 ความรู้พ้นื ฐานของความน่าจะเป็ น 35 ตวั อยา่ ง 1.30 ถึงตวั อยา่ ง 1.33 เป็ นตวั อย่างการหาจานวนวิธี หรือการหาผลลพั ธ์ของเหตุการณ์ท่ีประกอบดว้ ยหลายข้นั ตอนโดยตอ้ งทาทุกข้นั ตอน จานวนวิธีหรือผลลพั ธ์สามารถหาไดโ้ ดยใช้หลกั เกณฑ์การคูณ แต่ในบางกรณีการหาจานวนวิธีหรือผลลพั ธ์ท้งั หมดของเหตุการณ์อาจไม่อาจหาไดโ้ ดยใชห้ ลกั เกณฑก์ ารคูณ ดงั ตวั อยา่ งตอ่ ไปน้ีตัวอย่าง 1.35 ตโู้ ชวส์ ินคา้ ชนิดหน่ึง มี 3 ช้นั ช้นั แรกมีสินคา้ 5 แบบ ช้นั ท่ี 2 มีสินคา้ 7 แบบ และช้นั ท่ี 3 มีสินคา้ 8 แบบ จงหาวา่ ตโู้ ชวส์ ินคา้ น้ีมีสินคา้ ก่ีแบบวธิ ีทา ตโู้ ชวช์ ้นั ที่ 1 มีสินคา้ 5 แบบ ตโู้ ชวช์ ้นั ที่ 2 มีสินคา้ 7 แบบ ตูโ้ ชวช์ ้นั ท่ี 3 มีสินคา้ 8 แบบ ดงั น้นั ตโู้ ชวส์ ินคา้ น้ี จะมีสินคา้ แสดงท้งั หมด 5 + 7 + 8 = 20 แบบตัวอย่าง 1.36 มานพตอ้ งการเดินทางจากจงั หวดั ลาปางไปทาธุระที่กรุงเทพมหานครโดยมีทางเลือกในการเดินทางคือ เดินทางโดยเคร่ืองบิน จะมีสายการบินบริการจากลาปางถึงกรุงเทพ 3เท่ียวบินต่อวนั หรือเดินทางโดยรถไฟ จะมีรถไฟ 4 เที่ยว ต่อวนั หรือทางเลือกสุดทา้ ยคือเดินทางโดยรถโดยสารประจาทาง ซ่ึงมานพสามารถเลือกโดยสารรถโดยสารประจาทางได้ 6 เที่ยวต่อวนั ในกรณีน้ีมานพจะเดินทางจากลาปางถึงกรุงเทพมหานคร โดยเลือกเดินทางจากทางเลือกใดทางเลือกหน่ึงในสามทางเลือกตอ่ ไปน้ี ทางเลือกท่ี 1 เดินทางโดยเครื่องบิน มีเท่ียวบินใหเ้ ลือก 3 เท่ียวบินตอ่ วนั จานวนวธิ ีจากทางเลือกท่ี 1 คือ 3 วธิ ี ทางเลือกท่ี 2 เดินทางโดยรถไฟจาก มีรถไฟใหเ้ ลือก 4 เท่ียวตอ่ วนั จานวนวธิ ีจากทางเลือกท่ี 2 คือ 4 วธิ ี ทางเลือกท่ี 3 เดินทางโดยใชก้ ารโดยสารรถประจาทาง มีจานวน 6 เท่ียวตอ่ วนั จานวนวธิ ีจากทางเลือกที่ 3 คือ 6 วธิ ี จากเหตุการณ์ที่กาหนดให้ การเดินทางจากจงั หวดั ลาปางไปกรุงเทพมหานครน้นั มานพจะตอ้ งเลือกวธิ ีการเดินทางเพียงทางเลือกเดียวเท่าน้นั ดงั น้นั จานวนวธิ ีที่มานพจะสามารถเดินทางจากลาปางถึงกรุงเทพมหานครหาไดจ้ ากจานวนวธิ ีจากทางเลือกท่ี 1 + จานวนวธิ ีจากทางเลือกที่ 2 + จานวนวธิ ีจากทางเลือกท่ี 3 = 3+4+6 = 13 วธิ ีหรือแสดงไดด้ งั ตารางตอ่ ไปน้ี

36 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ทางเลือก การเดินทางจากลาปางถึงกรุงเทพมหานคร เที่ยวบินท่ี 1 (F1) วธิ ีท่ี 1 วธิ ีที่ 2ทางเลือกที่ 1 เครื่องบิน เท่ียวบินที่ 2 (F2) วธิ ีท่ี 3 เที่ยวบินที่ 3 (F3) เลือกเดินทางโดยเคร่ืองบินได้ 3 วธิ ีทางเลือกที่ 2 รถไฟเท่ียวท่ี 1 (T1) วธิ ีที่ 4 รถไฟเท่ียวที่ 2 (T2) วธิ ีท่ี 5 รถไฟ รถไฟเที่ยวที่ 3 (T3) วธิ ีที่ 6 รถไฟเที่ยวท่ี 4 (T4) วธิ ีที่ 7 เลือกเดินทางโดยรถไฟได้ 4 วธิ ี รถเที่ยวท่ี 1 (B1) วธิ ีท่ี 8 รถเที่ยวท่ี 2 (B2) วธิ ีท่ี 9ทางเลือกที่ 3 รถโดยสาร รถเท่ียวท่ี 3 (B3) วธิ ีท่ี 10 ประจาทาง รถเท่ียวที่ 4 (B4) วธิ ีท่ี 11 รถเที่ยวท่ี 5 (B5) วธิ ีที่ 12 รถเท่ียวที่ 6 (B6) วธิ ีที่ 13 เลือกเดินทางโดยรถโดยสารประจาทางได้ 6 วธิ ี จานวนวธิ ีในการเดินทางท้งั หมด = 3 + 4 + 6 = 13 วธิ ี การหาจานวนวิธี หรื อจานวนผลลัพธ์ของการทดลองท่ี ประกอบด้วยหลายทางเลื อกท่ีไม่สามารถทาพร้อมกนั ไดโ้ ดยการนาจานวนวิธีหรือผลลพั ธ์ในแต่ละทางเลือกมาบวกกนั น้ีเรียกวา่หลกั เกณฑก์ ารบวกทฤษฎบี ท 1.9.2 หลกั เกณฑ์การบวก (addition principle) ถ้าการทดลองหน่ึงประกอบด้วย m ทางเลือก โดยแต่ละทางเลือก ไม่สามารถทาพร้อมกันได้ ถ้าแต่ละทางเลือกสามารถเลือกทางานได้ n1 , n2 , n3 , … , nm วิธี จานวนวิธีที่จะเลือกทาการทดลองน้ีจะเท่ากบั n1  n2  n3  ...  nm วธิ ี

บทท่ี 1 ความรู้พ้ืนฐานของความน่าจะเป็ น 37พสิ ูจน์ ในการทดลองซ่ึงประกอบดว้ ย m ทางเลือก เลือกทางเลือกที่ 1 สามารถทางานได้ n1 วธิ ี เลือกทางเลือกที่ 2 สามารถทางานได้ n2 วธิ ี เลือกทางเลือกที่ 3 สามารถทางานได้ n3 วธิ ี เลือกทางเลือกท่ี m สามารถทางานได้ nm วธิ ี ดงั น้นั จานวนวธิ ีที่จะเลือกทางานท้งั หมดเทา่ กบั n1  n2  n3 ... nm วธิ ีตัวอย่าง 1.37 จงหาจานวนวธิ ีในการหยบิ ไพ่ 1 ใบ จากสารับ แลว้ ไดไ้ พโ่ พดา หรือ ไพโ่ พแดงวธิ ีทา การหยิบไพ่ 1 ใบจากสารับแลว้ ให้ไดไ้ พ่โพดาหรือโพแดงน้นั ผลการหยบิ ไพ่จะออกมา เพยี งอยา่ งใดอยา่ งหน่ึงเทา่ น้นั งานจึงประกอบดว้ ย 2 ทางเลือกคือ ทางเลือกท่ี 1 หยบิ ไดไ้ พโ่ พดา ได้ 13 วธิ ี ทางเลือกท่ี 2 หยบิ ไดไ้ พโ่ พแดงได้ 13 วธิ ี ดงั น้นั จานวนวธิ ีท้งั หมด เท่ากบั 13 + 13 = 26 วธิ ีตวั อย่าง 1.38 ถา้ มีเส้นทางจากเมือง A ไปยงั เมือง B 3 เส้นทาง จากเมือง B ไปยงั เมือง C อยู่ 2 เส้นทางและมีเส้นทางจากเมือง A ไปยงั เมือง C โดยไม่ผ่านเมือง B อีก 4 เส้นทาง จงหาจานวนวิธีท่ีจะเลือกเส้นทางเพือ่ เดินทางจากเมือง A ไปยงั เมือง Cวธิ ีทา การเดินทางจากเมือง A ไปเมือง C มี 2 ทางเลือก ไดแ้ ก่ ทางเลือกที่ 1 เลือกเส้นทางจากเมือง A ผา่ นเมือง B ไปยงั เมือง C จานวนวธิ ีเทา่ กบั 3  2 = 6 วธิ ี ทางเลือกท่ี 2 เลือกเส้นทางจากเมือง A ไปยงั เมือง C โดยไมผ่ า่ นเมือง B จานวนวธิ ีเทา่ กบั 4 วธิ ี จะเห็นวา่ ทางเลือกที่ 1 และ 2 ตอ้ งเลือกทาเพียงอยา่ งใดอยา่ งหน่ึงเทา่ น้นั จานวนวธิ ีท้งั หมด = จานวนวธิ ีของทางเลือกที่ 1 + จานวนวธิ ีของทางเลือกท่ี 2 = 6 + 4 วธิ ี = 10 วธิ ี ดงั น้นั จานวนวธิ ีที่จะเลือกเส้นทางเพือ่ เดินทางจากเมืองA ไปยงั เมือง C เทา่ กบั 10 วธิ ี

38 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ จากตวั อยา่ ง 1.38 จะเห็นว่าในทางเลือกท่ี 1 ประกอบดว้ ย 2 ข้นั ตอน คือ ข้นั ตอนท่ี 1เลือกเส้นทางจากเมือง A ไปเมือง B ข้นั ตอนท่ี 2 เลือกเส้นทางจากเมือง B ไปยงั เมือง Cดังน้ันบางคร้ังการหาจานวนวิธีในการทางานหน่ึง ๆ อาจต้องใช้ท้ังหลักเกณฑ์การบวกและหลกั เกณฑก์ ารคูณร่วมกนัตวั อย่าง 1.39 ถา้ ตอ้ งการหยบิ ไพ่ 2 ใบจากสารับ โดยหยบิ ทีละใบแบบไม่ใส่คืนจงหาจานวนวธิ ีที่จะหยบิ ไดไ้ พส่ ีเดียวกนั ท้งั สองใบวธิ ีทา จานวนวธิ ีที่จะหยบิ ไดไ้ พส่ ีเดียวกนั ท้งั 2 ใบ มีอยู่ 2 ทางเลือก คือไดไ้ พส่ ีดาหรือสีแดง ทางเลือกที่ 1 หยบิ ไดไ้ พส่ ีดาท้งั 2 ใบ มี 2 ข้นั ตอน ข้นั ตอนท่ี 1 หยบิ ไดไ้ พส่ ีดาใบที่ 1 มี 26 วธิ ี ข้นั ตอนที่ 2 หยบิ ไดไ้ พส่ ีดาใบท่ี 2 มี 25 วธิ ี (เพราะหยบิ ทีละใบไม่ใส่คืน) จานวนวธิ ีของทางเลือกที่ 1 เท่ากบั 26  25 = 650 วธิ ี ทางเลือกท่ี 2 หยบิ ไดไ้ พส่ ีแดงท้งั 2 ใบ มี 2 ข้นั ตอน และจานวนวธิ ีเท่ากบั ทางเลือกที่ 1 ดงั น้นั จานวนวธิ ีท้งั หมดท่ีจะหยบิ ไดไ้ พส่ ีเดียวกนั ท้งั สองใบเทา่ กบั 650 + 650 = 1,300 วธิ ีตัวอย่าง 1.40 ในการเลือกตัวแทนคณาจารย์คณะวิทยาศาสตร์เพื่อเป็ นตวั แทนเข้าร่วมเป็ นกรรมการสภาคณาจารย์ 1 ตาแหน่ง กรรมการสโมสรขา้ ราชการ 1 ตาแหน่ง และกรรมการสภาวิชาการอีก 1 ตาแหน่ง ถ้ามีอาจารยส์ มคั รเขา้ รับการคดั เลือกจานวน 3 ท่านไดแ้ ก่ ก ข และ คอยากทราบวา่ จะสามารถจดั ชุดของกรรมการที่เป็นไปไดท้ ้งั หมดกี่ชุดวิธีทา เนื่องจากกรรมการท่ีได้มีตาแหน่งต่างกนั 3 ตาแหน่งไดแ้ ก่ กรรมการสภาคณาจารย์กรรมการสโมสรข้าราชการ และกรรมการสภาวิชาการ ดังน้ันการคดั เลือกตัวแทนเพื่อเป็ นกรรมการในแตล่ ะตาแหน่งสามารถแสดงโดยใชแ้ ผนภาพตน้ ไมด้ งั น้ีสภาคณาจารย์ สโมสรข้าราชการ สภาวชิ าการ ชุดกรรมการ ก ข ค กขค ข ค ข กคข ค ก ค ขกค ค ก ขคก ก ข คกข ข ก คขก

บทท่ี 1 ความรู้พ้นื ฐานของความน่าจะเป็ น 39 ดงั น้นั คณะวทิ ยาศาสตร์สามารถจดั ชุดของตวั แทนคณาจารยท์ ่ีจะเขา้ ร่วมเป็นกรรมการใน3 ตาแหน่งไดแ้ ก่ กรรมการสภาคณาจารย์ กรรมการสโมสรขา้ ราชการ และ กรรมการสภาวชิ าการไดแ้ ตกตา่ งกนั ท้งั หมด 6 ชุด จากตวั อยา่ ง 1.40 คณะกรรมการชุดที่ประกอบดว้ ย กขค และ ชุด กคข มีความแตกต่างกนั เนื่องจาก กรรมการชุด กขค หมายถึง ก ได้เป็ นกรรมการสภาคณาจารย์ ข ไดเ้ ป็ นกรรมการสโมสรขา้ ราชการ และ ค ไดเ้ ป็ นกรรมการสภาวิชาการ แต่ชุด กคข น้นั ก เป็ นกรรมการสภาคณาจารย์ ส่วน ค เป็ นกรรมการสโมสรขา้ ราชการ และ ข เป็ นกรรมการสภาวิชาการ และเมื่อพจิ ารณากรรมการแต่ละชุดใน 6 ชุดท่ีไดจ้ ะเห็นวา่ อาจารยท์ ่ีเป็ นตวั แทนคณาจารยจ์ ะดารงตาแหน่งกรรมการท่ีแตกต่างกนั ท้งั หมด การเลือกคณะกรรมการในกรณีน้ีถือวา่ เป็ นการเลือกที่พิจารณาถึงลาดบั ท่ีหรือตาแหน่งของการเลือกเป็ นสาคญั ซ่ึงเราเรียกการจดั เรียงท่ีคานึงถึงลาดบั หรือตาแหน่งของการจดั เรียงวา่ การเรียงสับเปลี่ยนบทนิยาม 1.9.3 การเรียงสับเปลี่ยน(permutation) หมายถึง การจดั เรียงส่ิงของให้เรียงเป็นลาดบั โดยจดั เรียงพร้อมกนั ท้งั หมดหรือเพียงบางส่วนและถือวา่ ลาดบั ที่ท่ีนามาจดั มีความสาคญัตัวอย่าง 1.41 สโมสรนักศึกษาคณะวิทยาศาสตร์ต้องการคัดเลือกคณะกรรมการสโมสรซ่ึงประกอบด้วย นายกสโมสร รองนายกฯ และเหรัญญิก ถ้ามีนกั ศึกษาสมคั รเขา้ กบั การคดั เลือกจานวน 5 คน ได้แก่ เอ บี ซี ดี และอี จะสามารถคดั เลือกคณะกรรมการฯแต่ละตาแหน่งได้ท้งั หมดกี่แบบวธิ ีทา สามารถใชห้ ลกั เกณฑก์ ารคูณ ในการหาคาตอบไดด้ งั น้ี ข้นั ตอนที่ 1 คดั เลือกนายกสโมสร ได้ 5 วธิ ี ( 5 วธิ ีคือ เลือก เอ , บี , ซี , ดี หรือ อี คนใดคนหน่ึงเป็นนายกสโมสร) ข้นั ตอนที่ 2 คดั เลือกรองนายกสโมสร ได้ 4 วธิ ี ( 4 วธิ ีที่ไดค้ ือ ได้ คนใดคนหน่ึงจาก 4 คนท่ีเหลือจากข้นั ท่ี 1) ข้นั ตอนท่ี 3 คดั เลือกเหรัญญิก ได้ 3 วธิ ี ( 3 วธิ ีที่ไดค้ ือ เลือกคนใดคนหน่ึงจาก 3 คนที่เหลือจากข้นั ตอนท่ี 1 และ 2 ) จานวนวธิ ีท้งั หมด = 5 4  3 = 60 วธิ ีดงั น้นั สโมสรนกั ศึกษาสามารถคดั เลือกคณะกรรมการไดท้ ้งั หมด 60 วธิ ี

40 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ทฤษฎบี ท 1.9.3 จานวนวิธีในการเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n ส่ิงท่ีแตกต่างกนั นามาเรียงทีละ r ส่ิง เป็ นเส้นตรง โดยที่ r  n จะได้จานวนวิธี ของการเรี ย งสับเปลี่ยน เท่ากบั n! วธิ ี เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ n Pr โดยท่ี (n  r)! n Pr  (n n!  r)!พิสูจน์ ถา้ มีของท้งั หมด n ส่ิงที่แตกต่างกนั ตอ้ งการนามาจดั เรียงเป็ นแนวเส้นตรงทีละ r ส่ิงหรือ r ตาแหน่ง งานจะประกอบดว้ ย r ข้นั ตอน ซ่ึงแต่ละข้นั ตอนคือการจดั ของในแต่ละตาแหน่ง ดงั น้ี ตาแหน่งท่ี 1 ทาได้ n วธิ ี ตาแหน่งท่ี 2 ทาได้ n - 1 วธิ ี เพราะมีของ 1 สิ่งถูกจดั ไปแลว้ ในตาแหน่งท่ี 1 ตาแหน่งที่ 3 ทาได้ n - 2 วธิ ี เพราะมีของ 2 สิ่งถูกจดั ไปแลว้ ในตาแหน่งที่ 1 และ 2 ตาแหน่งที่ 4 ทาได้ n - 3 วธิ ี เพราะมีของ 3 สิ่งถูกจดั ไปแลว้ ในตาแหน่งก่อนหนา้ตาแหน่งที่ r ทาได้ n – (r – 1) วธิ ี เพราะมีของ r – 1 ส่ิงถูกจดั ไปแลว้ ในตาแหน่งก่อนหนา้จานวนวธิ ีท้งั หมด  n(n 1)(n  2)...(n  (r 1)) 1)(n 2)...(n  (r 1))(n  r)...(3)(2)(1)  n(n   (n  r)...(3)(2)(1)  n! (n  r)!ดงั น้นั n Pr  (n n!  r)! จากตวั อยา่ ง 1.41 ใช้ ทฤษฎีบท 1.9.3 ในการหาคาตอบไดด้ งั น้ีมีผสู้ มคั รเขา้ รับการคดั เลือกเป็ นคณะกรรมการจานวน 5 คน แต่ตอ้ งการคณะกรรมการจานวน3 ตาแหน่ง ดงั น้นั จึงเป็ นการเรียงสับเปล่ียนคน 5 คน โดยมีตาแหน่งท่ีตอ้ งการเรียงสับเปลี่ยนเพียง 3 ตาแหน่ง แทนดว้ ย 5P3 = 5! (5  3)! = 5! 2! 5P3 = 5 43 2! = 60 วธิ ี 2!ซ่ึงคาตอบท่ีไดม้ ีคา่ เท่ากบั การหาโดยใชห้ ลกั เกณฑก์ ารคูณตามตวั อยา่ ง 1.40

บทที่ 1 ความรู้พ้นื ฐานของความน่าจะเป็ น 41ตวั อย่าง 1.42 จงหาจานวนวธิ ีในการเรียงสบั เปล่ียนต่อไปน้ี 1. 4P4 2. 7 P3วธิ ีทา1. 4P4 = 4! (4  4)! = 4! 0! = 4! = 24 วธิ ี2. 7 P3 = 7! (7  3)! = 7! 4! = 7  6 5 4! 4! = 210 วธิ ีข้อสังเกต ถา้ เรียงสบั เปล่ียนของท้งั หมด n ส่ิง ท่ีแตกต่างกนั หรือ r  n จะไดว้ า่ n Pn  (n n! วธิ ี  n)!  n! วธิ ี 0! = n! วธิ ีตัวอย่าง 1.43 มีเลขโดดอยู่ 6 ตวั จะนามาสร้างเลข 3 หลกั ไดแ้ ตกตา่ งกนั ท้งั หมดกี่จานวนวธิ ีทาแบบท่ี 1 มีเลขโดด 6 ตวั ( n =6 ) จะนามาสร้างเลข 3 หลกั ( r =3) จากทฤษฎีบท 1.8.3 จะมีจานวนวธิ ีสร้างเลข 3 หลกั คือ 6P3 โดย 6P3 = 6! (6  3)! = 6! 3! = 6  5 4  3! 3! = 120 ดงั น้นั จะมีวธิ ีสร้างเลข 3 หลกั ไดแ้ ตกตา่ งกนั ท้งั หมด 120 จานวน

42 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้วธิ ีทาแบบที่ 2 ใชห้ ลกั เกณฑก์ ารคูณในการหาจานวนวธิ ี เนื่องจากมี 3 ข้นั ตอนคือ ข้นั ตอนท่ี 1 สร้างหลกั ร้อยได้ 6 วธิ ี ข้นั ตอนที่ 2 สร้างหลกั สิบได้ 5 วธิ ี ข้นั ตอนท่ี 3 สร้างหลกั หน่วยได้ 4 วธิ ี ดงั น้นั จะมีวธิ ีสร้างเลข 3 หลกั ไดแ้ ตกตา่ งกนั ท้งั หมด 6 5  4 = 120 จานวนตวั อย่าง 1.44 มีชาย 4 คน หญิง 2 คน จะจดั เรียงคนท้งั หมดเป็นแถวตรงไดก้ ่ีวธิ ีถา้ กาหนดเงื่อนไขคือ 1. ใครอยตู่ าแหน่งไหนกไ็ ด้ 2. นางแดงตอ้ งยนื หวั แถวเสมอ 3. ผหู้ ญิงท้งั สองคนตอ้ งไม่ยนื ติดกนั 4. นายเอและนายบี ตอ้ งอยตู่ ิดกนั เสมอวธิ ีทา 1. ใครอยตู่ าแหน่งไหนก็ได้ นนั่ คือคน 6 คนนามาเรียงแถวตรงได้ 6P6 = 6! วธิ ี ดงั น้นั ถา้ ใครอยตู่ าแหน่งไหนก็ไดจ้ ะจดั เรียงคนท้งั หมดเป็นแถวตรง 720 วธิ ี 2. นางแดงตอ้ งยนื หวั แถวเสมอ ในกรณีน้ีเงื่อนไขอย่ทู ่ีนางแดงจึงตอ้ งจดั ตาแหน่งของนางแดงเป็ นตาแหน่งหวั แถว ก่อน จากน้นั คอ่ ยจดั คนเรียงแถวในตาแหน่งอ่ืนที่เหลือ ดงั น้ี จดั หวั แถวไดเ้ พียง 1 วธิ ี เพราะตอ้ งเป็นนางแดงเท่าน้นั จดั คน 5 คนใหอ้ ยใู่ นตาแหน่งอ่ืนอีก 5 ตาแหน่งเท่ากบั 5! = 120 วธิ ี ดงั น้นั จานวนวธิ ีท้งั หมดเทา่ กบั 1  120 = 120 วธิ ี 3. ผหู้ ญิงท้งั สองคนตอ้ งไมย่ นื ติดกนั จากชาย 4 คน หญิง 2 คน จะจดั คนท้งั หมดเรียงแถวตรงโดยท่ีผหู้ ญิงสองคน ตอ้ งไมย่ นื ติดกนั ทาโดยการจดั ชาย 4 คน เรียงสบั เปล่ียนก่อน จากน้นั เลือกที่วา่ ง ระหวา่ งชาย 4 คน ซ่ึงมี 5 ตาแหน่ง ใหห้ ญิง 2 คนยนื หรืออาจแบ่งเป็นข้นั ตอนดงั น้ี ข้นั ตอนท่ี 1 จดั ชาย 4 คนเรียงสับเปล่ียนได้ 4 ! วธิ ี ข้นั ตอนที่ 2 จดั หญิงคนที่ 1 ลงในตาแหน่งระหวา่ งชายได้ 5 วธิ ี ข้นั ตอนที่ 3 จดั หญิงคนท่ี 2 ลงในตาแหน่งระหวา่ งชายท่ีเหลือได้ 4 วธิ ี ดงั น้นั จานวนวธิ ีท้งั หมดเทา่ กบั 4 !  5  4 = 480 วธิ ี

บทท่ี 1 ความรู้พ้นื ฐานของความน่าจะเป็ น 43 4. นายเอและนายบี ตอ้ งอยตู่ ิดกนั เสมอ ในกรณีที่กาหนดเง่ือนไขใหน้ ายเอกบั นายบีตอ้ งอยตู่ ิดกนั เสมอน้นั จะคิด เสมือนวา่ เอกบั บีคือคนเดียวกนั เน่ืองจากเอไปไหนบีตอ้ งไปดว้ ย จึงถือวา่ มีคนท้งั หมด อยู่ 5 คน เรียงสับเปล่ียนกนั ได้ 5! วธิ ี แต่เน่ืองจากตาแหน่งของเอและบีน้นั ท้งั สองคนยงั สามารถท่ีจะสบั เปล่ียนกนั เอง ไดอ้ ีก 2! วธิ ี ดงั น้นั จานวนวธิ ีท้งั หมดเทา่ กบั 5! 2! = 240 วธิ ีตวั อย่าง 1.45 มีหนงั สือท้งั หมด 10 เล่ม เป็นภาษาไทย 5 เล่ม ภาษาองั กฤษ 3 เล่ม ภาษาฝร่ังเศส2 เล่ม โดยหนงั สือทุกเล่มแตกตา่ งกนั จะจดั หนงั สือท้งั หมดข้ึนเรียงบนช้นั หนงั สือไดก้ ่ีวธิ ีถา้ 1. จดั เรียงโดยไมม่ ีเงื่อนไข 2. หนงั สือภาษาเดียวกนั ตอ้ งอยตู่ ิดกนัวธิ ีทา 1. จดั เรียงโดยไมม่ ีเงื่อนไข ดงั น้นั จะไดจ้ านวนวธิ ีเทา่ กบั 10P10 10! วธิ ี 2. หนงั สือภาษาเดียวกนั ตอ้ งอยตู่ ิดกนั ข้นั ตอนท่ี 1 เรียงสบั เปลี่ยนชุดหนงั สือ 3 ภาษาได้ 3! (จะถือเสมือนหนงั สือภาษาเดียวกนั ถูกมดั ติดกนั ) ข้นั ตอนท่ี 2 เรียงสบั เปล่ียนภายในแต่ละชุดภาษา ภาษาไทยเรียงสบั เปลี่ยนได้ 5! ภาษาองั กฤษเรียงสับเปลี่ยนได้ 3! ภาษาฝรั่งเศสเรียงสบั เปลี่ยนได้ 2! ดงั น้นั จานวนวธิ ีท้งั หมดเท่ากบั 3!  5!  3!  2! วธิ ีตัวอย่าง 1.46 เอิงเอยตอ้ งการปลูกตน้ กุหลาบเรียงเป็ นแถวตามแนวร้ัวดา้ นหน่ึงของบา้ น โดยมีกุหลาบสีแดงเหมือนกนั 2 ตน้ สีขาวเหมือนกนั 2 ตน้ และสีเหลืองอีก 1 ตน้ อยากทราบวา่ เอิงเอยจะสามารถปลูกตน้ กหุ ลาบท้งั 5 ตน้ ไดท้ ้งั หมดกี่วธิ ีวธิ ีทา กาหนดสัญลกั ษณ์ ด1 , ด2 , ข1 ,ข2 ,ล แทนกุหลาบสีแดงต้นท่ี 1 ,สีแดงตน้ ท่ี 2 ,สีขาวตน้ ท่ี 1 ,สีขาวตน้ ท่ี 2 และสีเหลืองตามลาดบั

44 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ถา้ กุหลาบท้งั 5 ตน้ มีความแตกต่างกนั ท้งั หมด จานวนวธิ ีท่ีจะปลูกกุหลาบท้งั 5 ตน้ น้ีจะมีค่าเทา่ กบั 5! = 120 วธิ ีแต่เน่ืองจาก กุหลาบสีแดงมี 2 ตน้ ท่ีเหมือนกนั และกุหลาบสีขาว มี 2 ตน้ ท่ีเหมือนกนัดงั น้นั การเรียงลาดบั ของ 120 วธิ ีจะมีบางวธิ ีที่ถือวา่ เป็นวธิ ีท่ีไม่แตกตา่ งกนั ดงั น้ีด1 ด2ข1ข2ล , ด1 ด2ข2ข1ล , ด2 ด1ข1ข2ล , ด2 ด1ข2ข1ล เป็ นวธิ ีเดียวกนั กบั ดดขขลด1 ข1ข2ด2ล , ด1 ข2ข1ด2ล , ด2 ข1ข2ด1ล , ด2 ข2ข1ด1ล เป็ นวธิ ีเดียวกนั กบั ดขขดลด1 ข1ด2ข2ล , ด1ข2ด2ข1ล , ด2 ข1ด1ข2ล , ด2 ข2ด1ข1ล เป็ นวธิ ีเดียวกนั กบั ดขดขล ในลกั ษณะเดียวกนั น้ี จานวนวธิ ีที่ไดจ้ ากการเรียงสับเปลี่ยนตน้ กหุ ลาบ 5 ตน้ ได้5! = 120 วิธี แต่เน่ืองจากมีกุหลาบท่ีสีเหมือนกนั คือแดงเหมือนกนั 2 ตน้ ขาวเหมือนกนั 2 ตน้และสีเหลืองอีก 1 ตน้ จะเหลือจานวนวธิ ีท่ีทาไดเ้ พียง 120  4 = 30 วธิ ีหรือหาไดจ้ าก 5!  120  30 วธิ ี 2!2!1! 4ดงั น้นั เอิงเอยสามารถปลูกดอกกุหลาบเป็นแถวริมร้ัวไดท้ ้งั หมด 30 วธิ ีทฤษฎบี ท 1.9.4 ถา้ มีสิ่งของ n ส่ิง แบ่งเป็น k กลุ่มท่ีแตกตา่ งกนั โดยแตล่ ะกลุ่มมีส่ิงของ ท่ีเหมือนกนั อยู่ n1,n2,n3,...,nk ส่ิง นามาเรียงสบั เปลี่ยนท้งั หมด จะทาได้ n! วธิ ี โดยที่ n1  n2  n3  ...  nk  n n1 !n2 !n3 !...nk !พสิ ูจน์ กาหนดให้ X แทนจานวนวธิ ีในการเรียงสับเปล่ียนของ n สิ่ง แบง่ เป็น k กลุ่มท่ีแตกตา่ งกนัแต่ละกลุ่มมีส่ิงของท่ีเหมือนกนั อยู่ n1,n2,n3,...,nk ส่ิง และ n1  n2  n3 ... nk  n กลุ่มท่ี 1 ส่ิงของที่เหมือนกนั n1 ส่ิง ซ่ึงถา้ แตกต่างกนั จะ เรียงสบั เปล่ียนได้ n1! วธิ ี กลุ่มท่ี 2 สิ่งของท่ีเหมือนกนั n2 สิ่ง ซ่ึงถา้ แตกต่างกนั จะ เรียงสบั เปลี่ยนได้ n2! วธิ ี กลุ่มท่ี 3 สิ่งของที่เหมือนกนั n3 สิ่ง ซ่ึงถา้ แตกต่างกนั จะ เรียงสบั เปล่ียนได้ n3! วธิ ี กลุ่มท่ี k สิ่งของท่ีเหมือนกนั nk ส่ิง ซ่ึงถา้ แตกต่างกนั จะเรียงสบั เปล่ียนได้ nk ! วธิ ี ถา้ ของท้งั หมดแตกตา่ งกนั จะไดจ้ านวนวธิ ีเท่ากบั X n1!n2 !n3!...nk ! วธิ ี(เพือ่ ความสะดวกจะใช้ n1!n2!n3!...nk ! แทน n1!n2 !n3!... nk !)

บทท่ี 1 ความรู้พ้ืนฐานของความน่าจะเป็ น 45แตจ่ ากวธิ ีเรียงสับเปล่ียนของ n ส่ิงที่แตกตา่ งกนั จะได้ n! วธิ ีจะไดว้ า่ X  n1!n2 !n3 !...nk ! n! นน่ั คือ X  n! n1 !n2 !n3 !...nk !ดงั น้นั จานวนวธิ ีในการเรียงสับเปล่ียนของ n ส่ิง แบง่ เป็ น k กลุ่มที่แตกตา่ งกนัแตล่ ะกลุ่มมีส่ิงของที่เหมือนกนั อยู่ n1,n2,n3,...,nk สิ่ง เท่ากบั n! วธิ ี n1 !n2 !n3 !...nk !ตัวอย่าง 1.47 ถ้าจะนาหนังสือคณิตศาสตร์จานวน 8 เล่ม โดยแบ่งเป็ นฉบบั ภาษาอังกฤษ 4 เล่มฉบบั แปลเป็ นภาษาไทย 2 เล่ม ฉบบั แปลเป็ นภาษาฝร่ังเศส 1 เล่ม และฉบบั แปลเป็ นภาษาญี่ป่ ุน 1 เล่มจะสามารถจดั เรียงหนงั สือท้งั 8 เล่มข้ึนช้นั หนงั สือไดแ้ ตกต่างกนั กี่วธิ ีวธิ ีทา หนงั สือท้งั หมด 8 เล่ม แบ่งเป็ นภาษาองั กฤษ 4 เล่ม ภาษาไทย 2 เล่ม ภาษาฝรั่งเศส 1 เล่มและภาษาญ่ีป่ ุน 1 เล่ม จะสามารถจดั เรียงหนงั สือท้งั หมดได้ = 8! วธิ ี 4!2!1!1! = 840 วธิ ี ดงั น้นั จะสามารถจดั เรียงหนงั สือท้งั 8 เล่มข้ึนช้นั หนงั สือไดแ้ ตกต่างกนั 840 วธิ ีตวั อย่าง 1.48 จงหาจานวนวธิ ีที่จะประดบั หลอดไฟซ่ึงมีสีเขียว 4 หลอด สีแดง 2 หลอด สีส้ม 3 หลอดวธิ ีทา จานวนวธิ ีในการประดบั ไฟ 3 สี = 9! วธิ ี 4!3!2! = 1,260 วธิ ี ดงั น้นั จานวนวธิ ีที่จะประดบั หลอดไฟซ่ึงมีสีเขียว 4 หลอด สีแดง 2 หลอด สีส้ม 3 หลอดเท่ากบั 1,260 วธิ ีทฤษฎบี ท 1.9.5 ถา้ มีของ n ส่ิงที่แตกตา่ งกนั นามาเรียงสบั เปล่ียนเป็นวงกลมจะได้ (n – 1)! วธิ ีพสิ ูจน์ ถา้ มีของ n สิ่งท่ีแตกต่างกนั จะเรียงสบั เปลี่ยนในแนวเส้นตรงได้ n! วธิ ี แต่ถ้านามาเรียงเป็ นวงกลมจาเป็ นท่ีจะตอ้ งยึดตาแหน่งใดตาแหน่งหน่ึงไวแ้ ล้วจึงเรียงสับเปลี่ยนในตาแหน่งอ่ืน ๆ ท่ีเหลือ ดงั น้นั ของ n ส่ิง เม่ือยดึ ตาแหน่งคงที่ไว้ 1 ตาแหน่งจึงเหลือส่ิงของเพยี ง n – 1 สิ่ง

46 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ นาของ n – 1 ส่ิง มาเรียงสบั เปลี่ยนไดด้ งั น้ี ตาแหน่งท่ี 1 เรียงสับเปลี่ยนได้ n – 1 วธิ ี ตาแหน่งท่ี 2 เรียงสบั เปลี่ยนได้ n – 2 วธิ ี ตาแหน่งที่ 3 เรียงสับเปลี่ยนได้ n – 3 วธิ ี ตาแหน่งที่ n – 1 เรียงสับเปลี่ยนได้ 1 วธิ ี ดงั น้นั จานวนวธิ ีในการเลือกของ n สิ่ง ท่ีแตกต่างกนั เป็นวงกลมคือ (n – 1)(n – 2)(n – 3)... (3)(2)(1) = (n – 1)! วธิ ีตัวอย่าง 1.49 จะจดั ชาย 3 คน หญิง 3 คน เขา้ นงั่ รอบโตะ๊ กลมไดก้ ่ีวธิ ี ถา้ 1. จดั คนท้งั หมดเขา้ นงั่ โดยไม่มีเง่ือนไข 2. ชายและหญิงตอ้ งนงั่ สลบั กนัวธิ ีทา 1. จดั คนท้งั หมดเขา้ นง่ั โดยไมม่ ีเง่ือนไข จานวนวธิ ีเทา่ กบั (6 – 1)! = 5! วธิ ี =120 วธิ ี ดงั น้นั จะจดั ชาย 3 คน หญิง 3 คน เขา้ นง่ั รอบโตะ๊ กลมโดยจดั คนท้งั หมดเขา้ นงั่ โดยไม่มีเง่ือนไขได้ 120 วธิ ี 2. ชายและหญิงตอ้ งนง่ั สลบั กนั การจัดโดยให้ชายและหญิงนั่งสลับกันทาได้โดยจัดฝ่ ายใดฝ่ ายหน่ึงลงนั่ง เป็ นวงกลมก่อน จากน้ันจัดอีกฝ่ ายท่ีเหลือเข้าน่ังระหว่างท่ีว่างของคนท่ีจัดชุดแรก ดงั น้นั งานมี 2 ข้นั ตอนไดแ้ ก่ ข้นั ตอนที่ 1 จดั ชาย 3 คน นง่ั เป็นวงกลมได้ (3 – 1)! วธิ ี ข้นั ตอนที่ 2 จดั หญิง 3 คน เขา้ นงั่ ระหวา่ งชาย 3 ที่ ได้ 3! วธิ ี จานวนวธิ ีท้งั หมด = (3 – 1)!  3! = 2!  3! = 12 วธิ ี ดงั น้นั จะจดั ชาย 3 คน หญิง 3 คน เขา้ นงั่ รอบโตะ๊ กลมโดยชายและหญิง ตอ้ งนงั่ สลบั กนั ได้ 12 วธิ ี

บทท่ี 1 ความรู้พ้นื ฐานของความน่าจะเป็ น 47ตวั อย่าง 1.50 โรงงานแห่งหน่ึงมีคนงาน 4 คน ถา้ ตอ้ งการจดั ใหค้ นงาน 3 คน ทางานชิ้นที่ 1 และคนงานที่เหลืออีก 1 คน ทางานชิ้นท่ี 2 โรงงานจะมีวิธีในการจดั คนงานใหท้ างานท้งั 2 ชิ้นน้ีไดก้ ่ีวธิ ีวธิ ีทา ใหค้ นงาน 4 คน คือ ก, ข, ค และ ง จะจดั คนงาน 3 คนทางานชิ้นที่ 1 และ คนงานที่เหลือทางานชิ้นที่ 2 ไดด้ งั ตารางชิ้นที่ 1 ชิ้นที่ 2 ชิ้นที่ 1 ชิ้นที่ 2 ชิ้นที่ 1 ชิ้นที่ 2 ชิ้นท่ี 1 ชิ้นท่ี 2กขค ง ขคง ก คงก ข กขง คกคข ง ขงค ก คกง ข กงข คขกค ง คงข ก งกค ข ขงก คขคก ง คขง ก งคก ข ขกง คคกข ง งคข ก กคง ข งกข คคขก ง งขค ก กงค ข งขก ค กลุ่มท่ี 1 กลุ่มที่ 2 กลุ่มที่ 3 กลุ่มที่ 4 จากตารางจะเห็นวา่ การจดั คนงานในกลุ่มท่ี 1 ถือวา่ เป็ นการจดั เพียงวิธีเดียวคือ ไดค้ นงาน3 คนที่ทางานชิ้นท่ี 1 คือ ก,ข และ ค ส่วน ง ทางานชิ้นที่ 2 โดยลาดบั ของคนงานท่ีทางานชิ้นที่1 เช่น กขค, กคข, ขคก, ขกค, คกข หรือ คขก ถือวา่ ไม่มีความสาคญั ในทานองเดียวกนั การจดัคนงานในกลุ่มท่ี 2 ถึง 4 ก็ถือวา่ เป็ นการจดั คนงานไดเ้ พียงกลุ่มละ 1 วธิ ีเช่นกนั ดงั น้นั จานวนวธิ ีที่จะจดั คนงานทางานท้งั 2 ชิ้นน้ี มีเพยี ง 4 วธิ ีเท่าน้นั จากตวั อย่าง 1.50 จะเห็นว่าเป็ นการจดั ท่ีถือว่าตาแหน่งหรือลาดบั ของการจดั ไม่มีความสาคญั เราจะเรียกการจดั ที่ไม่คานึงถึงตาแหน่งหรือลาดบั ที่ของการจดั น้ีว่า การจดั หมู่ซ่ึงจะกล่าวถึงในหวั ขอ้ ต่อไปบทนิยาม 1.9.4 การจดั หมู่ (combination) หมายถึง การเลือกส่ิงของท่ีมีอยทู่ ้งั หมด หรือเพียง บางส่วน r ส่ิง จากสิ่งของท่ีกาหนดให้ n ส่ิง โดยไม่คานึงถึงลาดบั ท่ีหรือ ตาแหน่งของส่ิงของเหล่าน้นั โดยจะถือวา่ ในการเลือกส่ิงของกลุ่ม r ส่ิงเหล่าน้นั เป็นการจดั 1 วธิ ี

48 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ตัวอย่าง 1.51 จากตัวอย่าง 1.41 (สโมสรนักศึกษาคณะวิทยาศาสตร์ต้องการคัดเลือกคณะกรรมการสโมสรซ่ึงประกอบดว้ ย นายกสโมสร รองนายกฯ และเหรัญญิก ถา้ มีนกั ศึกษาสมัครเข้ากับการคัดเลือกจานวน 5 คน ได้แก่ เอ บี ซี ดี และอี จะสามารถคัดเลือกคณะกรรมการฯแต่ละตาแหน่งได้ท้งั หมดก่ีแบบ) ให้พิจารณาจานวนวิธีในการคดั เลือกกรรมการสโมสรโดยกาหนดข้นั ตอนดงั น้ี ข้นั ตอนที่ 1 คดั เลือกกรรมการ 3 คน จากผสู้ มคั ร 5 คน ข้นั ตอนท่ี 2 เรียงสับเปล่ียนคณะกรรมการ 3 คนท่ีไดใ้ นตาแหน่ง 3 ตาแหน่งท่ีตอ้ งการ จงหาจานวนวธิ ีในการคดั เลือกคณะกรรมการสโมสรท้งั 3 ตาแหน่งจากข้นั ตอนที่กาหนดวธิ ีทา ข้นั ตอนที่ 1 คดั เลือกกรรมการ 3 คน จากผสู้ มคั ร 5 คนจานวนวธิ ีที่จะไดก้ รรมการ 3 คน จากผสู้ มคั ร 5 คน ทาไดท้ ้งั หมด 10 วธิ ี ไดแ้ ก่ เอบีซี, เอบีดี, เอบีอี, เอซีดี, เอซีอี, เอดีอี, บีซีดี, บีซีอี, บีดีอี และ ซีดีอี ข้นั ตอนท่ี 2 เรียงสับเปลี่ยนคณะกรรมการ 3 คนที่ไดจ้ ากข้นั ตอนที่ 1 ในตาแหน่ง 3ตาแหน่งไดแ้ ก่ นายกสโมสร รองนายกสโมสร และเหรัญญิก จะได้ 3! = 6 วธิ ี จานวนวิธีในการคดั เลือกคณะกรรมการสโมสรโดยกาหนดข้นั ตอนคือเลือกกรรมการ3 คน จากผสู้ มคั ร 5 คน และนามาเรียงสับเปลี่ยนใน 3 ตาแหน่งจะไดจ้ านวนวธิ ี = 10  6 วธิ ี = 60 วธิ ี ดงั น้นั จานวนวิธีในการคดั เลือกกรรมการสโมสร 3 ตาแหน่งจากผสู้ มคั ร 5 คน จะได้เทา่ กบั 60 วธิ ี และเม่ือพจิ ารณาจานวนวธิ ีที่ไดพ้ บวา่ มีค่าเท่ากบั การเรียงสับเปล่ียนกรรมการ 3 คนจากท้งั หมด 5 คน (ดงั ตวั อยา่ ง 1.41) จากตวั อยา่ ง 1.51 จะพบวา่ จานวนวิธีในการเรียงสับเปลี่ยนของ r ส่ิงจากของ n สิ่งท่ีแตกต่างกนั จะมีค่าเท่ากบั จานวนวิธีที่ไดจ้ ากการจดั หมู่ของ r ส่ิงจากของ n ส่ิง แลว้ จึงนาของr สิ่งน้นั มาเรียงสบั เปลี่ยนในภายหลงัทฤษฎบี ท 1.9.6 จานวนวธิ ีในการจดั หมสู่ ิ่งของ n สิ่งท่ีแตกต่างกนั นามาจดั คราวละ r สิ่งเม่ือ r  n เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ n หรือ nCr โดยที่    r   n   nCr  n! วธิ ี  r  r!(n  r)!  

บทที่ 1 ความรู้พ้นื ฐานของความน่าจะเป็ น 49พสิ ูจน์ กาหนดใหว้ ธิ ีการจดั หมขู่ อง r ส่ิงจาก n สิ่งท่ีแตกต่างกนั คือ nCr การเรียงสับเปลี่ยนของ r ส่ิงจาก n สิ่งท่ีแตกตา่ งกนั ประกอบดว้ ยงาน 2 ข้นั ตอน ไดแ้ ก่ ข้นั ตอนท่ี 1 การเลือกหรือจดั หมูข่ อง r ส่ิงจาก n ส่ิงที่แตกต่างกนั ได้ nCr วธิ ี ข้นั ตอนที่ 2 นาของ r สิ่งที่ไดม้ าเรียงสับเปลี่ยน r สิ่งได้ r! วธิ ีดงั น้นั จานวนวธิ ีเรียงสบั เปล่ียนของ r สิ่งจาก n สิ่งท่ีแตกตา่ งกนั หรือ =nPr nCr  r!แต่จากทฤษฎีบท 1.9.4 n Pr = n! (n  r)!จะไดว้ า่ nCr  r! = n! (n  r)!ดงั น้นั nCr = n! r! (n  r)!ตวั อย่าง 1.52 จงหาจานวนวิธีในการเลือกคณะกรรมการนกั เรียน 3 คน จากผสู้ มคั รท้งั หมด 7 คนโดยมีผสู้ มคั ร 2 คน เป็นฝาแฝดกนั ถา้ กาหนดเงื่อนไขตอ่ ไปน้ี1. ไดค้ ณะกรรมการนกั เรียน 3 คน โดยไมม่ ีเง่ือนไขใดๆ2. ตอ้ งไดค้ นใดคนหน่ึงจากผสู้ มคั รท่ีเป็นฝาแฝด3. ตอ้ งไดค้ ณะกรรมการนกั เรียนท่ีประกอบดว้ ยฝาแฝดท้งั คู่ หรือไมไ่ ดก้ รรมการท่ีเป็นฝาแฝดเลยวธิ ีทา 1. ไดค้ ณะกรรมการนกั เรียน 3 คน จากผสู้ มคั ร 7 คน คือ 7C3 =7C3 7! 3!4! = 35 วธิ ีดงั น้นั จานวนวธิ ีในการเลือกคณะกรรมการ 3 คนโดยไม่มีเงื่อนไขใดๆ เทา่ กบั 35 วธิ ี2. ตอ้ งไดค้ นใดคนหน่ึงจากผสู้ มคั รท่ีเป็นฝาแฝด ประกอบดว้ ย 2 ข้นั ตอนคือ ข้นั ตอนท่ี 1 เลือกกรรมการ 1 คนจากผสู้ มคั รที่เป็ นฝาแฝด ได้ 2C1 วธิ ี ข้นั ตอนท่ี 2 เลือกกรรมการอีก 2 คน จากผสู้ มคั รที่เหลือ 5 คน ได้ 5C2 วธิ ี จานวนวธิ ีท้งั หมด = 2C1 5C2 วธิ ี = 2  10 วธิ ี = 20 วธิ ี ดงั น้นั จานวนวธิ ีในการเลือกคณะกรรมการ 3 คนโดยไดค้ นใดคนหน่ึงจากผสู้ มคั รที่เป็นฝาแฝด เท่ากบั 20 วธิ ี

50 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ 3. ตอ้ งไดค้ ณะกรรมการนกั เรียนท่ีประกอบดว้ ยฝาแฝดท้งั คู่ หรือ ไม่ไดก้ รรมการที่เป็ น ฝาแฝดเลย งานประกอบดว้ ย 2 ทางเลือก คือ ทางเลือกที่ 1 ไดก้ รรมการ 2 คนเป็นฝาแฝดกนั มี 2 ข้นั ตอน ข้นั ตอนท่ี 1 เลือกกรรมการ 2 คนจากผสู้ มคั รท่ีเป็ นฝาแฝด ได้ 2C2 วธิ ี ข้นั ตอนที่ 2 เลือกกรรมการอีก 1 คน จากผสู้ มคั รที่เหลือ 5 คน ได้ 5C1 วธิ ี จานวนวธิ ีของทางเลือกที่ 1 = 2C2 5C1 วธิ ี = 1  5 วธิ ี = 5 วธิ ี ทางเลือกที่ 2 ไมไ่ ดก้ รรมการท่ีเป็ นฝาแฝดเลย เท่ากบั 5C3 วธิ ี จานวนวธิ ีท้งั หมด = จานวนวธิ ีของทางเลือกที่ 1 + จานวนวธิ ีของทางเลือกท่ี 2 = 5 + 5C3 วธิ ี = 5 + 10 วธิ ี = 15 วธิ ี ดงั น้ันจานวนวิธีในการเลือกคณะกรรมการ 3 คน โดยมีฝาแฝดท้งั คู่หรือไม่มี ฝาแฝดเลยเท่ากบั 15 วธิ ีตัวอย่าง 1.53 หยบิ ไพ่ 2 ใบ จากสารับไดก้ ี่วธิ ีถา้ 1. ไดไ้ พส่ ีเดียวกนั ท้งั สองใบ 2. ไดไ้ พส่ ีเดียวกนั หนา้ เดียวกนั 3. ไดไ้ พส่ ีเดียวกนั แตห่ นา้ ต่างกนั 4. ไดไ้ พส่ ีต่างกนั หนา้ ต่างกนั 5. ไดไ้ พห่ นา้ ต่างกนัวธิ ีทา 1. ไดไ้ พส่ ีเดียวกนั ท้งั สองใบ หยบิ ไพ่ 2 ใบจากสารับใหไ้ ดไ้ พส่ ีเดียวกนั ท้งั สองใบ มี 2 ทางเลือก คือ ทางเลือกท่ี 1 ไดไ้ พส่ ีแดงท้งั สองใบ เทา่ กบั 26C2 วธิ ี 26C2 วธิ ี ทางเลือกท่ี 2 ไดไ้ พส่ ีดาท้งั สองใบ เท่ากบั จานวนวธิ ี = 26C2 + 26C2 วธิ ี = 2 26! วธิ ี 2!24! วธิ ี = 650