Physics 2-CH-01-ไฟฟ้าสถิต

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 51 สรุปค่า E เ 2ืนองจากประจุท2ีมีลักษณะ ่ตางๆ ลกั ษณะประจุ ตาํ แหน่ง สนามไฟฟ้ า 1. ทรงกลมกลวงรศั มี R ประจุ Q r>R ������ ������ ������+ r<R 0 2. ทรงกลมตนั รศั มี R ประจุ Q r>R ������ ������ ������+ r<R ������ ������������ ������- 3. เสน้ ประจยุ าวอนนั ต์ ภายนอกเสน้ ประจุ 2������������ (มปี ระจตุ ่อหน่วยความยาว ������) 4. ตวั นําใดๆ ภายนอกตวั นํา ������ (มปี ระจตุ ่อหน่วยพนNื ท2ี ������) ภายในตวั นํา ภายนอกแผน่ ประจุ ������ 5. แผน่ ประจฉุ นวนขนาดอนนั ต์ ������\" (มปี ระจตุ ่อหน่วยพนNื ท2ี ������) 0 ������ 2������\"

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 52 ลองทาํ ดู 1 • 7. สนามไฟฟ้าขนาด 3.5 x 103 N/C ในทศิ ทางขนานกบั แกน x จงหาฟลกั ซไ์ ฟฟ้าทผ2ี า่ น พนNื ทส2ี เ2ี หลย2ี มผนื ผา้ ขนาดกวา้ ง 0.35 m และยาว 0.7 m เมอ2ื • ระนาบสเ2ี หลย2ี มผนื ผา้ ขนานกบั ระนาบ yz (858 N.m2/C) • ระนาบสเ2ี หลย2ี มผนื ผา้ ขนานกบั ระนาบ xy (0 N.m2/C) • ระนาบสเ2ี หลย2ี มผนื ผา้ เอยี งทาํ มมุ กบั ระนาบ xy โดยเสน้ ปกตทิ าํ มมุ 40o กบั แกน x และแกนดา้ น หน2ึงของพนNื ทผ2ี นื ผา้ ทบั บนแกน y (657 N.m2/C) • 10. พจิ ารณาทรงกลมกลวงบางรศั มี 14 cm มปี ระจกุ ระจายสม2าํ เสมอบนผวิ q = +32 µC จงหาสนามไฟฟ้าทร2ี ะยะหา่ งจากจดุ ศนู ยก์ ลางเป็นระยะ • 10 cm • 20 cm

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 53 ลองทาํ ดู 1 • 11. วงแหวนฉนวนรศั มี a = 10 cm มปี ระจกุ ระจายสม2าํ เสมอ โดยประจทุ งัN หมดเป็น q = 75 µC วางขนานกบั ระนาบ yz ดงั รปู จงหาสนามไฟฟ้าบนแกนกลางของวงแหวนท2ี ตาํ แหน่ง P เมอ2ื • ตาํ แหน่ง P อยทู่ ร2ี ะยะ x= 1.0 cm • ตาํ แหน่ง P อยทู่ ร2ี ะยะ x= 5.0 cm • ตาํ แหน่ง P อยทู่ ร2ี ะยะ x= 30.0 cm • ตาํ แหน่ง P อยทู่ ร2ี ะยะ x= 100.0 cm

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 54 ลองทาํ ดู 1 • 12. ทรงกลมฉนวนตนั รศั มี a = 5 cm วางอยทู่ จ2ี ดุ ศนู ยก์ ลางของทรงกลมตวั นํากลวง รศั มี ภายในและภายนอกเทา่ กบั b = 20 cm และ c = 25 cm ตามลาํ ดบั ถา้ สนามไฟฟ้าท2ี ตาํ แหน่งหา่ งจากจดุ ศนู ยก์ ลาง 10 cm เทา่ กบั 3.6 x 103 N/C มที ศิ พงุ่ เขา้ สศู่ นู ยก์ ลาง และสนามไฟฟ้าทต2ี าํ แหน่งหา่ งจากจดุ ศนู ยก์ ลาง 50 cm เทา่ กบั 2.0 x 102 N/C มที ศิ พงุ่ ออกจากจดุ ศนู ยก์ ลาง จงหา • ประจบุ นทรงกลมฉนวน (-4x10-9 C) • ประจสุ ทุ ธขิ องทรงกลมกลวง (9.56x10-9 C) • ประจรุ วมบนผวิ ดา้ นในและดา้ นนอก ของทรงกลมกลวง (4x10-9 C, 5.56x10-9 C)

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 55 Surtur: You have made a grave mistake, Odinson. Thor: I make grave mistakes all the time. Everything seems to work out. — Thor: Ragnarok (2017) 1.5 ศกั ยไ์ ฟฟ้า

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 56 พลงั งานศกั ยไ์ ฟฟ้า (Electric potential energy) § พลงั งานศกั ยไ์ ฟฟ้า (electric potential energy, U) มตี น้ กาํ เนิดของสนาม ทแ2ี ผส่ นามของแรงออกไปโดยรอบในลกั ษณะ 3 มติ ิ § เป็นสนามของแรงดงึ ดดู หรอื แรงผลกั ทก2ี ระทาํ ต่อประจไุ ฟฟ้า § ขนNึ กบั ชนิดของประจไุ ฟฟ้า และสนามไฟฟ้า ซง2ึ อาจจะคงตวั หรอื ไมค่ งตวั กไ็ ด้ § เม2ือประจุอยู่ในบริเวณท2ีมีสนามไฟฟ้ า ประจุจะได้รบั แรงกระทําจาก สนามไฟฟ้า ซง2ึ อาจทําใหป้ ระจุเคล2อื นทแ2ี ละเกดิ งานขนNึ ได้ จงึ กล่าวไดว้ ่า ประจุเม2อื อยู่ในตําแหน่งต่างๆ ทม2ี สี นามไฟฟ้าจะมพี ลงั งานศกั ย์ เรยี กว่า “พลงั งานศกั ยไ์ ฟฟ้า”

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 57 งานและพลงั งานศกั ยไ์ ฟฟ้า § เมอ2ื วางประจทุ ดสอบบวก (q0) ไวใ้ นบรเิ วณทม2ี สี นามไฟฟ้า (E) สนามจะออกแรง (F! = q0E! ) กระทาํ ต่อประจทุ ดสอบ ขณะทป2ี ระจเุ คลอ2ื นทจ2ี าก a ไป b เป็นระยะทาง d § แรงทก2ี ระทาํ กบั ประจทุ ดสอบนNีเป็นแรงอสิ ระ มคี า่ คงท2ี งานทเ2ี กดิ ขนNึ จาก E เป็นผลมาจาก สว่ นประกอบของแรงมที ศิ ทางลง Wa®b = F!d = q0E! d เมอ2ื ประจทุ ดสอบเคลอ2ื นทจ2ี าก a ไป b งานทเ2ี กดิ ขนNึ สามารถเขยี นในรปู การอนุรกั ษพ์ ลงั งานได้ Wa®b = -DU = - ( Ub - Ua ) = q0E! d

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 58 พลงั งานศกั ยไ์ ฟฟ้าจากระบบประจจุ ดุ § พจิ ารณาการเคลอ2ื นทป2ี ระจทุ ดสอบ q0 ทอ2ี ยใู่ กลก้ บั ประจุ q ดงั รปู แรงทก2ี ระทาํ ระหวา่ งสองประจุ จะเป็นไปตามกฎของคลู อมบ์ นนั2 คอื § แรง (Fr) นNีมคี า่ ไมค่ งท2ี จะขนNึ อยกู่ บั ระยะหา่ งระหวา่ งประจุ ò òWa®b rb rb kqq0 dr kqq0 æ 1 1 ö = ra Fr dr = ra r2 = ç ra - rb ÷ è ø หรอื พจิ ารณาในรปู พลงั งาน kqq0 kqq0 ra rb Wa®b = -DU = - (Ub -Ua ) = - จะไดพ้ ลงั งานทต2ี าํ แหน่ง a ; Ua = kqq0 และพลงั งานทต2ี าํ แหน่ง b; ra kqq0 Ub = rb

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 59 พลงั งานศกั ยไ์ ฟฟ้าจากระบบประจจุ ดุ § ถา้ ระบบประกอบดว้ ยประจุ 2 ประจดุ งั รปู พลงั งานศกั ยไ์ ฟฟ้าของระบบจะมคี า่ เป็น U = k q1q2 r12 • ถา้ ประจทุ งัN สองเป็นประจชุ นิดเดยี วกนั พลงั งานศกั ยไ์ ฟฟ้าจะมคี า่ เป็นบวก และ ระบบจะตอ้ งทาํ งานเพอ2ื รกั ษาใหป้ ระจทุ งัN สองอยดู่ ว้ ยกนั • ถา้ ประจทุ งัN สองเป็นประจตุ ่างชนิด พลงั งานศกั ยไ์ ฟฟ้าจะมเี ป็นลบและระบบตอ้ ง ทาํ งานเพอ2ื แยกประจทุ งัN สองออกจากกนั

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 60 พลงั งานศกั ยไ์ ฟฟ้าจากระบบประจจุ ดุ 3 ประจุ § พลงั งานศกั ยไ์ ฟฟ้าของระบบประจุ 3 ประจุ จะเป็นผลบวกของพลงั งานศกั ยไ์ ฟฟ้าของแต่ละคู่ หรอื U = k æ q1q2 + q1q3 + q2 q3 ö ç r12 r13 r23 ÷ è ø § นนั2 คอื åU = k qiq j rij i< j

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 61 ตย.1.8 ลกู บอลพลาสตกิ มวล 2 g มปี ระจไุ ฟฟ้า 0.1 μC อยใู่ นอทิ ธพิ ลของสนามไฟฟ้าจากลกู บอลโลหะ ทอ2ี ยนู่ 2ิงและมปี ระจไุ ฟฟ้า 0.2 μC ขณะทอ2ี ยหู่ า่ งกนั เป็นระยะ 0.1 m ลกู บอล พลาสตกิ เคลอ2ื นทด2ี ว้ ยอตั ราเรว็ 4 m/s ถา้ อยหู่ า่ งจากเดมิ อกี 0.5 m ลกู บอลพลาสตกิ จะ เคลอ2ื นทด2ี ว้ ยอตั ราเรว็ เทา่ ใด Soln § เน2ืองจากมเี ฉพาะแรงไฟฟ้าทเ2ี ป็นแรงอนุรกั ษ์ ดงั นนัN DK + DU = 0 1212������������������+���+���++−−1212������������������5���+���5+==−−���������∆���������������\" 1 − 1 v2 = 4.2m / s 1 ������1+ − ���1���5 2 ������ ������++ − ������5+ = −������������������\" ������+ ������5 ( )1 é 1 1ù êë 0.5 0.1úû 2 (2 ´10-3 ) v22 - 42 = -(9 ´109 )(0.1´10-6 )(0.2 ´10-6 ) -

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 62 ศกั ยไ์ ฟฟ้าและความต่างศกั ยไ์ ฟฟ้า § ศกั ยไ์ ฟฟ้า คอื “พลงั งานศกั ยไ์ ฟฟ้าต่อหน2ึงหน่วยประจุทดสอบ” โดยประจุทดสอบจะมขี นาดเลก็ มาก เพอ2ื ทจ2ี ะไมส่ ง่ ผลใหศ้ กั ยไ์ ฟฟ้าทต2ี าํ แหน่งนนัN เปลย2ี นแปลง § เป็นปรมิ าณสเกลารท์ อ2ี ธบิ ายปรากฏการณ์ทางไฟฟ้าไดง้ า่ ยกวา่ การใชส้ นามไฟฟ้า V = U เมอ2ื V คอื ศกั ยไ์ ฟฟ้า หน่วยเป็น (J/C) หรอื โวลต์ (V) q0 U คอื พลงั งานศกั ยไ์ ฟฟ้า เป็นปรมิ าณสเกลาร์ (J) q0 คอื ประจทุ ดสอบ (C), เลก็ มาก • หน่วยของศกั ยไ์ ฟฟ้า คอื โวลต์ (V) ซง2ึ หมายถงึ งาน 1 จลู (J) ทใ2ี ชใ้ นการเคลอ2ื นประจุ 1 C ผา่ นศกั ยไ์ ฟฟ้า 1 V • เน2ืองจาก 1 N/C=1 V/m เราอาจใหค้ าํ จาํ กดั ความของสนามไฟฟ้าวา่ คอื คา่ อตั ราการเปลย2ี น ศกั ยไ์ ฟฟ้าต่อหน2ึงหน่วยระยะทาง

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 63 ความต่างศกั ยไ์ ฟฟ้า § จะเหน็ ไดว้ า่ ศกั ยไ์ ฟฟ้าเป็นปรมิ าณสเกลารซ์ ง2ึ ไมข่ นNึ กบั ประจทุ ดสอบและมคี า่ ณ ทกุ ๆ จดุ ใน สนามไฟฟ้า § ถา้ ประจเุ คลอ2ื นทใ2ี นสนามไฟฟ้า ประจจุ ะพบกบั ศกั ยไ์ ฟฟ้าทเ2ี ปลย2ี นคา่ ตามสมการ - VA DU - B E! × ds! òVB = q0 = A § คา่ ความต่างศกั ย์ (potential difference) นNีเป็นปรมิ าณเปรยี บเทยี บของศกั ยไ์ ฟฟ้าระหวา่ งจดุ 2 จดุ ในสนามไฟฟ้า

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 64 ความต่างศกั ยไ์ ฟฟ้า § ภปรามยิ นาณอกΔทVใ2ี ชจใ้ะนขกนNึ าอรยเก่คู บลั อ2ืสนนปามระไจฟทุ ฟด้าสแอตบ่จผะา่ ไนมคข่ วนNึ ากมบั ตข่านงศาดกั ขยอไ์ ฟงปฟร้าะรจะทุหดวสา่ งอตบาํ แq0หงนา่งนAขอแงลแะรงB คอื Wext = DU = q0DV = q0 (VB -VA ) § เครอ2ื งหมายของงานของแรงภายนอก Wext ขนNึ อยกู่ บั ชนิดของประจทุ ดสอบ q0 และผลต่างของ VB กบั VA § ศกั ยไ์ ฟฟ้าทต2ี าํ แหน่งใดๆ หมายถงึ งานทใ2ี ชใ้ นการเคลอ2ื นทร2ี ะจบุ วกหน2ึงหน่วยดว้ ยความเรว็ คง ตวั จากตาํ แหน่งทม2ี ศี กั ยไ์ ฟฟ้าเป็นศนู ยม์ าทต2ี าํ แหน่งนนัN VB = Wext , VA = 0 q

K.Umma Pตhยy.s1i.9c sถ2 า้ ปf oรrะจEุ q =n g i n+e2e.0r sμC อยทู่ จ2ี ดุ กาํ เนิดของระนาบ XY และ q2= -6.0 μC อยทู่ ต2ี าํ แหน่ง (0,3.P0a) mg e 65 1 จงหา ก) ศกั ยไ์ ฟฟ้าเน2ืองจากประจทุ งัN 2 จดุ ทจ2ี ดุ P ซง2ึ มพี กิ ดั (4.0,0) m ข) พลงั งานศกั ยไ์ ฟฟ้าทเ2ี ปลย2ี นไปของระบบเมอ2ื นําประจุ q3=3.0 μC จากระยะอนนั ตม์ ายงั จดุ P ค) พลงั งานศกั ยไ์ ฟฟ้าของประจทุ งัN สาม Soln ก) åจาก V = k qi = k æ q1 + q2 ö ri ç r1 r2 ÷ è ø 2.0 ´10-6 C 6.0 ´10-6 C æ 4.0 m 5.0 m ö ( )\\ Vp = ç ÷ 9 ´109 N × m2 / C 2 è - ø = -6.29´103 V ข) จาก DU = U f -Ui เมอ2ื Ui = 0 (! ri = ¥) และ U f = q3Vp ดงั นันn ( )( )DU = q3Vp - 0 = 3.0´10-6C -6.29´103V - 0 = -1.89´10-2 J

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 66 กต)ยศ.1ัก.9ยไS ถฟ&าฟปVารเะนจอ่ื ุ งqจ1า=ก+ป2ร.0ะจμทุ Cั้ง อยท7ู จ่ี ดุ กำเนิดของระนาบ XY และ q2=-6.0 μC อยทู7 ี่ตำแหนง7 (0,3.0)m จงหา 2 จุด ทจี่ ุด P ซง่ึ มพี ิกัด (4.0,0) m ข) พลังงานศักยSไฟฟาV ทีเ่ ปลยี่ นไปของระบบเม่ือนำประจุ q3=3.0 μC จากระยะอนันตSมายังจุด P ค) พลังงานศกั ยไS ฟฟาV ของประจุทง้ั สาม Sol n ( )( )U=kæq1q2 + q1q3 + q2q3 ö ค) ç r12 r13 r23 ÷ é 2.0 ´10-6 C -6.0 ´10-6 C ù è ø ê 3.0 m ú ê ú ê ú ( ) ( )( )= 9´109 N × m2 / C2 ê+ ú ê 2.0 ´10-6 C 3.0 ´10-6 C ú 4.0 m ( )( )ê ú ú êê+ ú ë û -6.0 ´10-6 C 3.0 ´10-6 C 5.0 m = -5.48´10-2 J

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 67 ความต่างศกั ยใ์ นสนามไฟฟ้าสม2าํ เสมอ § ในบรเิ วณทส2ี นามไฟฟ้ามคี า่ สม2าํ เสมอความต่างศกั ยร์ ะหวา่ งจดุ A และ B จะมรี ปู แบบงา่ ยๆ ดงั นNี - VA = ΔV =- B E! × ds! òVB A § ถา้ จดุ A อยไู่ กลมากเป็นอนนั ตโ์ ดยมศี กั ยไ์ ฟฟ้าเป็นศนู ย์ ศกั ยไ์ ฟฟ้าของจดุ P ใดๆ จะมคี า่ เป็น § ความต่างศกั ยร์ ะVหPวา่=งแ-ผò¥น่PขE!น×าdนs!ของตวั เกบ็ ประจทุ ห2ี า่ งกนั เป็นระยะ d จะมคี า่ เป็น ò òΔV = - B E! × ds! = -Ε d ds = -Ed A0

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 68 ผวิ สมศกั ย์ § ผวิ สมศกั ย์ (equipotential surface) คอื ผวิ ทม2ี ศี กั ยไ์ ฟฟ้าเทา่ กนั ในทกุ ๆ จดุ ของผวิ § ดงั แสดงในรปู จดุ B จะมศี กั ยไ์ ฟฟ้า ต2าํ กวา่ จดุ A แต่จดุ C จะมศี กั ยไ์ ฟฟ้า เทา่ กบั จดุ B § ผวิ หรอื ระนาบทบ2ี รรจจุ ดุ B และจดุ C จะเป็นผวิ สมศกั ย์ § ผวิ สมศกั ยจ์ ะตงัN ฉากกบั เสน้ สนามไฟฟ้าทผ2ี า่ นผวิ เสมอ

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 69 ตวั อยา่ งผวิ สมศกั ยจ์ ากประจชุ นิดต่างๆ § แผน่ ประจขุ นาดอนนั ต์ § ประจจุ ดุ ขวัN คไู่ ฟฟ้า

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 70 ตย.1.10 อนุภาคโปรตอนเคลอ2ื นทจ2ี ากหยดุ น2ิงในบรเิ วณทม2ี สี นามไฟฟ้าสม2าํ เสมอ ขนาด 8.0 x104 V/m ดงั รปู ถา้ โปรตอนเคลอ2ื นทด2ี ว้ ยการกระจดั 0.5 m ในทศิ ของสนามไฟฟ้า จงหา ก) การเปลย2ี นคา่ ของศกั ยไ์ ฟฟ้าระหวา่ งจดุ A และ B ข) การเปลย2ี นคา่ ของพลงั งานศกั ยไ์ ฟฟ้าของระบบในการเคลอ2ื นทข2ี องอนุภาค ค) อตั ราเรว็ ปลายของโปรตอนในการเคลอ2ื นท2ี Soln ก) จาก DV = -Ed ( )DV = - 8.0´104 V / m (0.5 m) = -4´104 V * DV เป็นลบแสดงวา่ จดุ B มศี กั ยไ์ ฟฟ้าต2าํ กวา่ จดุ A ( )( )ข) จาก DU = q0DV = 1.6´10-19C -4.0´104V = -6.4 ´10-15 J ** DU เป็นลบแสดงวา่ พลงั งานศกั ยข์ องระบบลดลงขณะทพ2ี ลงั งานจลน์ของระบบเพม2ิ ขนNึ

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 71 ตย.1.10 อนุภาคโปรตอนเคลอ2ื นทจ2ี ากหยดุ น2ิงในบรเิ วณทม2ี สี นามไฟฟ้าสม2าํ เสมอ ขนาด 8.0 x104 V/m ดงั รปู ถา้ โปรตอนเคลอ2ื นทด2ี ว้ ยการกระจดั 0.5 m ในทศิ ของสนามไฟฟ้า จงหา ค) อตั ราเรว็ ปลายของโปรตอนในการเคลอ2ื นท2ี Soln ค) เน2ืองจากแรงไฟฟ้าเป็นแรงอนุรกั ษ์ DกจK)ากจD+าหVกลDกั U=กD-า=ร(Vอ80น.Þ0=ุร´กั æçè1-ษ012พ์ E4mลdVงั vง2/านm- จะได้ ´104 V 0)(÷öø0+.5qmDV) ==-04 -2 1.6´10*-1D9CV เป-็น4ล.0บ´แ1ส0ด4งVวา่ จดุ B มศี กั ยไ์ ฟฟ้าต2าํ กวา่ จดุ A -2qDV( ( )( )( ) )v == = q0DV1.6=7 ´11.06-´271k0g-19 Cl สง-ิ2 ท4ค2ี .ว0รจ´าํ 1คอื0ม4Vวล และคา่ ประจไุ ฟฟ้าของอนุภาคมลู ฐาน ข)mจาก DU • อเิ ลก็ ตรอน มวล 9.11x10-31 kg, ประจุ -1.6x10-19 C = 2.77 ´106 m / =s -6.4´10-15 J • โปรตอน มวล 1.67x10-27 kg, ประจุ +1.6x10-19 C ** DU เป็นลบแสดงวา่ พลงั งานศกั ยข์ องร•ะบบนลิวตดรลองนขมณวะลท1พ2ี.6ล7xงั 1ง0า-น27จkลgน, ไ์ขมอม่ งปี รระะบจุบเพม2ิ ขนNึ

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 72 ศกั ยไ์ ฟฟ้าจากประจจุ ดุ • เราสามารถหาคา่ ศกั ยไ์ ฟฟ้าจากประจจุ ดุ ไดโ้ ดยการพจิ ารณารปู • สนามไฟฟ้าจะมที ศิ ออกจากประจใุ นแนวรศั มี และมคี วามต่างศกั ยร์ ะหวา่ งจดุ A และ B เป็น = VB -VA B kq rˆ ds! B krq2 dr ò òDV =- A r2 × = - A เน2ืองจากDศVกั ย=ไ์ kฟqฟéëê้าr1ไBม-ข่ นNึr1Aกúùûบั เสน้ ทาง เราจงึ สามารถกาํ หนดใหศ้ กั ย์ ทจ2ี ดุ อา้ งองิ มคี า่ เป็นศนู ย์ หรอื V¥ = 0 ท2ี rA = ¥ VP = k q • ศกั ย์ไฟฟา้ เปน็ ฟงั กช์ นั ของ 1/r r

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 73 ศกั ยไ์ ฟฟ้าจากระบบประจจุ ดุ § ศกั ยไ์ ฟฟ้าจากระบบประจจุ ะเป็นผลรวมของศกั ยท์ เ2ี กดิ จากแต่ละประจุ หรอื åV = k qi i ri ในกรณขี องขวัN คไู่ ฟฟ้า ศกั ยไ์ ฟฟ้าจะมลี กั ษณะดงั รปู ความชนั ของศกั ยไ์ ฟฟ้าทม2ี คี า่ สงู ระหวา่ งประจทุ งัN สอง แสดงใหเ้ หน็ วา่ สนามไฟฟ้าในบรเิ วณนNีมคี า่ สงู

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 74 ตย.1.11 จงหา V ทจ2ี ดุ กลางของสเ2ี หลย2ี มจตั ุรสั ทม2ี ปี ระจุ -Q วางอยทู่ ม2ี มุ หน2ึงและประจุ +Q วางอยอู่ กี 3 มมุ Sol n +Q a +Q a P åV = k qi +Q ri a 2 = k æ 2Q + 2Q + 2Q - 2Q ö çèç a a a a ø÷÷ -Q =2 2kQ a

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 75 การหาคา่ สนามไฟฟ้าจากศกั ยไ์ ฟฟ้า § ถา้ ศกั ยไ์ ฟฟ้าเป็นเวกเตอรข์ องฟงั กช์ นั x,y,z จะหาคา่ ของสนามไฟฟ้าไดจ้ ากสมการ E! = - Ñ! V = - é ¶V iˆ + ¶V ˆj + ¶V kˆúù ê ¶x ¶y ¶z û ë § องคป์ ระกอบของสนามไฟฟ้าในแนวแกน x,y,z จะหาคา่ ไดจ้ ากอนุพนั ธย์ อ่ ย (partial derivatives) ของสนามไฟฟ้า หรอื ÑÑÑÑ!!!! F´×=F!F=d!=e=gldr=caiuvd¶Fr¶F!xlF!iˆ + ¶ ˆj + ¶ kˆ ¶y ¶z Ex = - ¶V , Ey = - ¶V , Ez = - ¶V ¶x ¶y ¶z

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 76 ตย.1.12 บรเิ วณหน2ึงมศี กั ยไ์ ฟฟ้าดงั สมการ V = 3x2 y + y2 + yz โวลต์ จงหาสนามไฟฟ้า ทต2ี าํ แหน่ง P ซง2ึ มพี กิ ดั เป็น (x=1, y=2, z=1) เมตร Soln §พจิ ารณาองคป์ ระกอบของสนามไฟฟ้าแต่ละแนวแกนแลว้ แทนคา่ พกิ ดั x, y, z Ex = - ¶V Ey = - ¶V ¶x ¶y ( )Ex ¶V ¶ ¶ 2 ( )Ey ¶V ¶ = - ¶x = - ¶x 3x2y + y2 + yz = - ¶x 3x y = - ¶y = - ¶y 3x2y + y2 + yz = -3y ¶ x2 ( )= - 3x2 + 2y + z = -3x2 - 2y - z ¶x Ex = -6(1)(2) = 12V / m EE! yy = -3(1)2 -2 (2) - (1) = -8 V / m E! x = -12ˆi V / m = m -8ˆj V /

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 77 ตย.1.12 บรเิ วณหน2ึงมศี กั ยไ์ ฟฟ้าดงั สมการ V = 3x2 y + y2 + yz โวลต์ จงหาสนามไฟฟ้า ทต2ี าํ แหน่ง P ซง2ึ มพี กิ ดั เป็น (x=1, y=2, z=1) เมตร Soln §พจิ ารณาองคป์ ระกอบของสนามไฟฟ้าแต่ละแนวแกนแลว้ แทนคา่ พกิ ดั x, y, z Ez = - ¶V ¶z ¶V ( )Ez ¶z ¶ = - ¶ (yz) = -y = - = - ¶z 3x2y + y2 + yz ¶ Ez = -2 V / m §ดงั นนัNE\"สpน=า-ม1ไฟ2!iฟ-้าท8!ต2ีj าํ-แ2หk!น่ง P เขยี นในรปู เวกเตอรไ์ ดเ้ ป็น E! z = -2 kˆ V / m V/m §หาขนาดสนามไฟฟ้าทต2ี าํ แหน่ง P ไดจ้ าก Ep = E 2 + E 2 + E 2 = (-12)2 + (-8)2 + (-2)2 x y z Ep = 14.56 V / m #

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 78 ศกั ยไ์ ฟฟ้าจากประจทุ ก2ี ระจายอยา่ งต่อเน2ือง § ถา้ dq คอื ประจขุ นาดเลก็ ๆ ในวตั ถุทม2ี กี ารกระจายของประจอุ ยา่ งต่อเน2ืองดงั รปู ศกั ยไ์ ฟฟ้าของประจนุ Nีจะมคี า่ เป็น dV = k dq r § ศกั ยไ์ ฟฟ้ารวมเน2ืองจากประจทุ งัN หมดจะหาไดโ้ ดยการหา ปรพิ นั ธต์ ลอดทงัN ปรมิ าตรของวตั ถุ หรอื V = k ò dq r § สมการนNีคดิ จาก V=0 ณ ระยะอนนั ต์

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 79 ศกั ยไ์ ฟฟ้าจากประจทุ ก2ี ระจายในวงแหวน § ถา้ ประจุ Q กระจายอยา่ งต่อเน2ืองในวงแหวนทม2ี รี ศั มี a ศกั ยไ์ ฟฟ้า ณ จดุ P ซง2ึ อยหู่ า่ งจากวง แหวนเป็นระยะ x ในแนวแกนทต2ี งัN ฉากกบั จดุ ศนู ยก์ ลางของ วงแหวนจะมคี า่ เป็น V = k ò dq = kl ò dl r x2 + a2 V = kl (2p a) = kQ x2 + a2 x2 + a2

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 80 ตย.1.13 จดุ P อยบู่ นแกนตงัN ฉากกบั ระนาบของวงแหวนรศั มี 10 cm มปี ระจกุ ระจาย สม2าํ เสมอต่อเน2ือง q = 3.2 x 103 C ดงั รปู จงหา ก) ศกั ยไ์ ฟฟ้าทจ2ี ดุ P ข) สนามไฟฟ้าทจ2ี ดุ P Soln ก) ประจุ dq ทาํ ใหเ้ กดิ ศกั ยไ์ ฟฟ้าทจ2ี ดุ P เทา่ กบั dV dV = k dq r dq V = k ò r òV = k dq x2 + a2 òV = k dq = kq # x2 + a2 x2 + a2

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 81 ตย.1.13 จดุ P อยบู่ นแกนตงัN ฉากกบั ระนาบของวงแหวนรศั มี 10 cm มปี ระจกุ ระจาย สม2าํ เสมอต่อเน2ือง q = 3.2 x 103 C ดงั รปู จงหา ก) ศกั ยไ์ ฟฟ้าทจ2ี ดุ P ข) สนามไฟฟ้าทจ2ี ดุ P Soln ข) เน2ืองจากความสมมาตร ทจ2ี ดุ P จงึ เหลอื องคป์ ระกอบของสนามไฟฟ้าตามแนวแกน x เทา่ นนัN Ex = - ¶V ¶x Ex = - ¶ ( kq ) = - ¶ (kq(x2 + a 2 )- 12 ) ¶x x2 + ¶x a2 = -kq ¶ (x2 + a 2 )- 12 ¶x 1 kqx = -kq æ - 2 ö (x2 + a 2 )-32 ( 2x ) = + a2)32 # çè ÷ø (x2

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 82 ศกั ยไ์ ฟฟ้าเน2ืองจากตวั นําประจุ § จากกฎของเกาสเ์ ราไดท้ ราบแลว้ วา่ ถา้ มปี ระจใุ นตวั นํา ประจจุ ะ กระจายอยทู่ ผ2ี วิ โดยไมม่ ปี ระจอุ ยภู่ ายในตวั นําเลย § สนามไฟฟ้า ณ ทกุ ๆ จดุ ของผวิ ตวั นําจะมที ศิ ตงัN ฉาก กบั ผวิ เสมอ § ดงั นนัN ถา้ เคลอ2ื นประจบุ นผวิ จากจดุ หน2ึง (เชน่ จดุ A ) สู่ อกี จดุ หน2ึง (เชน่ จดุ B) จะได้ E! × ds! = 0 (\" E! ^ ds!) • แสดงวา่ คา่ ความต่างศกั ยบ์ นผวิ ของตวั นําเป็นศนู ยห์ รอื ผวิ ของตวั นําเป็นผวิ สมศกั ย์ • เน2ืองจากสนามไฟฟ้าภายในตวั นําเป็นศนู ย์ เราจงึ สรปุ วา่ ศกั ยไ์ ฟฟ้าจะมคี า่ คงตวั ในทกุ ๆ จดุ ภายในตวั นําและเทา่ กบั คา่ ทผ2ี วิ ของตวั นํา

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 83 กราฟของ E และ V บนตวั นําประจทุ รงกลม • ศกั ยไ์ ฟฟ้าจะมคี า่ คงตวั ภายในตวั นําและเป็น ฟงั กช์ นั ของสว่ นกลบั ของระยะทางภายนอกตวั นํา çèæ!V = k q ö r ø÷ • สนามไฟฟ้าจะมคี า่ เป็นศนู ยภ์ ายในตวั นําและเป็น ฟงั กช์ นั ของสว่ นกลบั ของระยะทางยกกาํ ลงั สอง ภายนอกตวั นํา èçæ! E = k q ö r2 ÷ø

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 84 อุปกรณ์ทป2ี ระยกุ ตใ์ ชห้ ลกั การทางไฟฟ้าสถติ เครอืY งฟอกไอเสีย เครือY งถ่ายเอกสาร เครืYองเรง่ อนุภาค

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 85 1.6 ความจไุ ฟฟ้าและไดอิเลก็ ตริก Elementary considerations led me to the conclusion that a medium, composed of layers of different dielectric constants, must behave as a uniaxial crystal if it is assumed that the layer thicknesses are only a fraction of a wave-length. — Karl Ferdinand Braun

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 86 ตวั เกบ็ ประจุ (Capacitor) § ตวั เกบ็ ประจจุ ะทาํ หน้าทส2ี ะสมประจไุ ฟฟ้าโดยตวั เกบ็ ประจทุ ม2ี คี า่ ความจุ ไฟฟ้า (capacitance) สงู จะสามารถสะสมประจไุ ฟฟ้าไดด้ ี § ความจไุ ฟฟ้าของตวั เกบ็ ประจุ คอื อตั ราสว่ นระหวา่ งจาํ นวนประจตุ ่อ ความต่างศกั ยร์ ะหวา่ งตวั เกบ็ ประจุ หรอื C = q มหี น่วยเป็น C/V หรอื DV “ฟารดั (farad, F)” ” • ความจไุ ฟฟ้ามขี นาดขนNึ กบั รปู รา่ งและระยะ ระหวา่ งตวั นําทงัN สองของตวั เกบ็ ประจแุ ละขนNึ กบั วสั ดหุ รอื ตวั กลางทอ2ี ยรู่ ะหวา่ งตวั นําทงัN สอง

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 87 สว่ นประกอบของตวั เกบ็ ประจุ § ตวั เกบ็ ประจปุ ระกอบดว้ ยตวั นํา 2 ตวั ซง2ึ มี ประจขุ นาดเทา่ กนั แต่เป็นชนิดตรงกนั ขา้ ม ดงั รปู § เน2ืองจากประจใุ นตวั นําเป็นชนิดตรงกนั ขา้ ม จะทาํ ใหเ้ กดิ ความต่างศกั ยร์ ะหวา่ งตวั นําทงัN สอง § คา่ ความจไุ ฟฟ้าของตวั เกบ็ ประจจุ ะเป็น คา่ คงตวั และมคี า่ บวกเสมอ

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 88 ชนิดของตวั เกบ็ ประจุ ตวั เกบ็ ประจชุ นิดแผน่ ขนาน ชนิดตวั เกบ็ ประจุ ตวั เกบ็ ประจชุ นิดทรง กลมคนั2 กลางดว้ ย คนั2 กลางดว้ ยสญุ ญากาศ สญุ ญากาศ ตวั เกบ็ ประจชุ นิด ทรงกระบอกคนั2 กลาง ดว้ ยสญุ ญากาศ

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 89 ตวั เกบ็ ประจแุ บบแผน่ ขนาน § ตวั เกบ็ ประจแุ บบแผน่ ขนานประกอบดว้ ยแผน่ ขนาน 2 แผน่ ต่อเขา้ กบั ขวัN ของแบตเตอร2ี ดงั รปู § ตอนแรกตวั เกบ็ ประจยุ งั ไมม่ ปี ระจแุ ต่เมอ2ื ต่อเขา้ ขวัN ของแบตเตอร2ี แบตเตอรจ2ี ะสรา้ งสนามไฟฟ้าขนNึ ในเสน้ ลวดทน2ี ํามาต่อ § สนามไฟฟ้าดงั กลา่ วจะทาํ ใหเ้ กดิ แรงขบั e- จากเสน้ ลวด ใหเ้ คลอ2ื นทไ2ี ปยงั ขวัN ลบของแผน่ ขนาน § การไหลของอเิ ลก็ ตรอนจะดาํ เนินต่อไปจนกระทงั2 เกดิ ภาวะสมดลุ ของศกั ยไ์ ฟฟ้าขนNึ ระหวา่ งแผน่ ขนาน เสน้ ลวดและขวัN ของแบตเตอร2ี ซง2ึ ในขณะนนัN แผน่ ขนานทางขวาจะมปี ระจลุ บ § กระบวนการคลา้ ยกนั จะเกดิ ขนNึ กบั แผน่ ขนานทางซา้ ยโดยอเิ ลก็ ตรอนจะ เคลอ2ื นทอ2ี อกจากแผน่ จงึ กลายเป็นแผน่ ทม2ี ปี ระจบุ วก

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 90 1. ตวั เกบ็ ประจแุ บบแผน่ ขนาน § จากกฎของเกาส์ ò E! × dA! = q 0 ò E! e0 e × dA! =q q = e0EA e0EA = q \\ E = e q 0A § ในภาวะสมดลุ ของประจคุ วามต่างศกั ยร์ ะหวา่ งแผน่ ขนานจะมคี า่ เทา่ กบั ความตV่างf ศ-กั Vยi ร์ =ะห-วòiา่ f งE!ข×วัN dขs!องแบตเตอร2ี + Eds = E d Ed qd 0 - e0A ò òDV = ds = =

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 91 คา่ ความจไุ ฟฟ้าของตวั เกบ็ ประจแุ บบแผน่ ขนาน § คา่ ความจไุ ฟฟ้าของตวั เกบ็ ประจแุ ผน่ ขนานจะแปรผนั กบั พนNื ทข2ี องแผน่ (A) และ แปรผกผนั กบั ระยะหา่ งระหวา่ งแผน่ (d) DV = qd e0A จะไดค้ วามจไุ ฟฟ้าของแผน่ ขนาน C = q = æ q ö = e0A DV qd ç ÷ d è ø e 0 A e0 = 8.85´10-12 F / m or e0 = 8.85´10-12 C 2 / N × m2

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 92 2. ตวั เกบ็ ประจแุ บบทรงกระบอก § สาํ หรบั ตวั เกบ็ ประจทุ รงกระบอกซอ้ นกนั ทม2ี รี ศั มขี องทรงกระบอกตนั ภายในเป็น a และ ทรงกระบอกกลวงภายนอกเป็น b แสดงภาพตดั ขวาง ดงั รปู q = e0EA = e0E(2p rL) \\ E = q rL) e0 (2p

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 93 ตวั เกบ็ ประจแุ บบทรงกระบอกในรปู อนิ ทเิ กรต § สรา้ งผวิ ปิดเกาสเ์ ซยี นรปู ทรงกระบอกยาว L รศั มี r โดน a<r<b + Eds q a dr -ò òDV = = - L br 2pe 0 § อนิ ทเิ กรตรศั มจี ากดา้ นนอกเขา้ มา ds = -dr จะได้ DV = q ln æ b ö çè a ÷ø 2pe 0 L § คา่ ความจไุ ฟฟ้าของทรงกระบอกเป็น L q C = DV = 2pe0 ln (b a)

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 94 3. ตวั เกบ็ ประจแุ บบทรงกลม § ตวั เกบ็ ประจแุ บบทรงกลมซอ้ นกนั จะมที รงกลมในเป็นทรงกลมตนั รศั มี a และทรงกลมนอก เป็นทรงกลมกลวงรศั มี b ดงั รปู § จากกฎของเกาส์ b a q = e0EA = e0E(4p r2 ) r \\ E = e q r 2 0 4p เสน้ ทางทใ2ี ช้ อนิ ทเิ กรต

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 95 ตวั เกบ็ ประจแุ บบทรงกลมในรปู อนิ ทเิ กรต § คา่ ความต่างศกั ยไ์ ฟฟ้าของตวั เกบ็ ระจรุ ปู ทรงกลม E!ds! อนิ ทเิ กรตรศั มจี ากดา้ นนอกเขา้ มา ds = -dr ò òDV = + = - q a dr - b r2 b DV = 4pe 0 a q 1 1 r เสน้ ทางทใ2ี ช้ æ a - b ö 4pe 0 çè ø÷ อนิ ทเิ กรต DV = q æ b-a ö çè ab ø÷ 4pe 0 คา่ ความจไุ ฟฟ้าของตวั เกบ็ ระจทุ รงกลมเป็น C = q = q q - a ö = 4pe 0 æ ab ö DV æb èç b-a ø÷ 4pe0 çè ab ÷ø

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 96 การต่อตวั เกบ็ ประจุ § เรามกั นําตวั เกบ็ ประจหุ ลายตวั มาต่อกนั ทงัN แบบอนุกรมและแบบขนาน เพอ2ื ประโยชน์ต่างๆ ในวงจรไฟฟ้า เรามกั ใชส้ ญั ลกั ษณ์แทนการเขยี นวงจรไฟฟ้าจรงิ ๆ

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 97 การต่อตวั เกบ็ ประจุ § เมอ2ื นําตวั เกบ็ ประจหุ ลายตวั มาต่อกนั ในการคาํ นวณนนัN เรามกั คดิ ความจไุ ฟฟ้าทเ2ี กดิ จากตวั เกบ็ ประจหุ ลาย ๆ ตวั วา่ เสมอื นเกดิ จากตวั เกบ็ ประจเุ พยี งตวั เดยี วและเรยี กความ จไุ ฟฟ้านนัN วา่ ความจไุ ฟฟ้าสมมลู

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 98 การต่อตวั เกบ็ ประจแุ บบอนุกรม § ประจรุ วมจะเทา่ กบั ประจใุ นแต่ละตวั Q = Q1 = Q2 § และความต่างศกั ยร์ วมจะเทา่ กบั ผลรวมของความต่างศกั ยแ์ ต่ละตวั DV = DV1 + DV2

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 99 การต่อตวั เกบ็ ประจแุ บบอนุกรม § คา่ ความต่างศกั ยไ์ ฟฟ้าแต่ละตวั เป็น DV1 = Q , DV2 = Q C1 C2 § ความต่างศกั ยร์ วม Q Q DV = DV1 + DV2 = C1 + C2 DV = Q æ 1 + 1ö ç C1 ÷ è C2 ø Q 1 § คา่ ความจไุ ฟฟ้ารวม Ceq = DV =1 C1 + 1 C2 1 11 å1 n 1 § หรอื Ceq = C1 + C2 นนั 2 คอื Ceq = Cj=1 j n คอื จาํ นวนตวั เกบ็ ประจทุ ต2ี ่อกนั แบบอนุกรม

K.Umma P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 100 การต่อตวั เกบ็ ประจแุ บบขนาน § จาํ นวนประจรุ วมจะเทา่ กบั ผลรวมของประจใุ นแต่ละตวั Q = Q1 + Q2 § ความต่างศกั ยไ์ ฟฟ้าจะเทา่ กนั ในประจแุ ต่ละตวั DV =DV1 = DV2