4 การเหนยี่ วนำแมเ่ หลก็ ไฟฟา้ และไฟฟ้ากระแสสลับ Induction and Alternating Current PHYSICS 2 FOR ENGINEERS
Part 1 Induction and Inductance Page 2 4.1 สนามแมเ่ หลก็ เหนยี่ วนำ กฎของฟาราเดย์ /กฎของเลนซ์/ กระแสและ emf เหน่ยี วนำ /สนามไฟฟา้ เหนย่ี วนำ /สมการแมกซเ์ วลล์ 4.2 ค่าความเหน่ียวนำ การเหนีย่ วนำตัวเอง /การเหนี่ยวนำร่วม 4.3 ตัวเหนี่ยวนำในวงจรไฟฟา้ วงจร RL / วงจร LC / วงจร RLC K.UMMA P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s
4.1 สนามแมเ่ หล็กเหนย่ี วนำ ๏ เม่อื มีกระแสไหลในลวดตัวนำจะทำให้เกดิ สนามแมเ่ หล็ก Bรอบๆ กระแส I นัน้ ดงั รูป B µ0I B µ0I B = µ0nI B = µ0 IN 2p r 2p r = = 2R I I ลวดตวั นําเสน้ ตรง ลวดตวั วงกลม โซเลนอยด์ r K.UMMA P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s ทอรอยด์ Page 3
4.1.1 การทดลองของฟาราเดย์ Faraday ทาํ การทดลองพบวา่ ถา้ เคลอ<ื น แม่เหล็กผ่านเขา้ ออกจากขดลวดท<ตี ่ออยู่ กับแอมมิเตอร์ เข็มของแอมมิเตอร์จะ กระดกิ ในทศิ ดงั รปู “เมื่อปิดสวิตซ์เข็มของ แอมมิเตอร์กระดิกไปทางหนึ่งแล้วกลับสู่ ศูนย์ และเมื่อเปิดสวิตซ์เข็มของ แอมมิเตอร์กระดิกไปอีกทางหนึ่งแล้ว กลับสศู่ นู ย์” ๏ สรุปว่า “ถ้าทำการเปลี่ยนแปลงสนามแม่เหล็กในขดลวด จะเหนี่ยวนำให้เกิด แรงเคลื่อนไฟฟา้ ขึน้ มา ซง่ึ ทำใหม้ ีกระแสไหลในขดลวด” K.UMMA P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 4
กฎของเลนซ์ ๏ เน่ืองจากกฎของฟาราเดยย์ งั ไม่สมบรู ณ์ เพราะ กฎของฟาราเดย์บอกแตเ่ พยี งว่า “เมอ่ื สนามแม่เหล็กเปล่ยี นแปลงจะเหนีย่ วนำใหเ้ กิดแรงเคลอ่ื นไฟฟา้ เหนี่ยวนำเกดิ ขึน้ ” แต่ไมไ่ ดบ้ อกว่าแรงเคลอื่ นไฟฟา้ เหนีย่ วนำนั้นเกิดข้นึ ในทิศทางใด ๏ Heirich Lenz นกั ฟิสิกส์ชาวเยอรมัน เป็นคนแรกที่พบหลกั เกณฑเ์ ก่ียวกับทิศทาง ของแรงเคลื่อนไฟฟา้ เหน่ยี วนำท่เี กิดขึ้น “ทิศทางของกระแสเหน่ยี วนำท่เี กดิ ข้ึนใน วงจรจะทำใหเ้ กิดสนามแมเ่ หล็กใหมข่ ึน้ มาต่อต้านกับสนามแม่เหลก็ เดิมทม่ี ีการ เปลย่ี นแปลง” ������ = − ������Φ! ������������ ๏ กฎของฟาราเดย+์ กฎของเลนซ์: *เครอ%ื งหมายลบทเ%ี พม%ิ เขา้ มามคี วามหมายวา่ แรงเคลอ%ื นไฟฟ้าทเ%ี กดิ ขน=ึ มที ศิ ต่อตา้ นการเปลย%ี นแปลงของฟลกั ซแ์ มเ่ หลก็ K.UMMA P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 5
ฟลักซแ์ มเ่ หลก็ ๏ ฟลักซแ์ มเ่ หลก็ (magnetic flux) เปน็ ปรมิ าณที่แปรผนั กับสนามแมเ่ หลก็ ซง่ึ มคี ำ จำกัดความคล้ายกบั ฟลกั ซ์ไฟฟา้ FB = ò B! × dA! ๏ ฟลกั ซแ์ ม่เหลก็ ท่ีผ่านเขา้ ในและออกจากผิว ปดิ ใดๆ จะมคี ่าเป็นศนู ย์ ๏ ฟลกั ซแ์ มเ่ หล็กเป็นปริมาณสเกลาร์ FB = BAcosq ๏ หนว่ ยในระบบ SI เปน็ weber (Wb): 1 weber = 1 Wb = 1 T.m2 K.UMMA P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 6
กฎของฟาราเดย์ ๏ แรงเคลอ่ื นไฟฟ้าเหนยี่ วนำที่เกิดขนึ้ ในวงจรจะแปรผนั โดยตรงกบั อตั ราการเปล่ียนแปลงฟ ลักซแ์ ม่เหลก็ ในวงจร ������ = − ������Φ! ถา้ มขี ดลวดหลายรอบ ������ = − ������������Φ! ������������ ������������ FB = ò B! × dA! โดยท่ี dF B คือ การเปลีย่ นแปลงฟลกั ซ์แม่เหลก็ , dt ε คือ แรงเคลือ่ นไฟฟ้าเหนี่ยวนำ ������ และ N คอื จำนวนรอบของขดลวด ������ = − ������������ ������������������������������������ ๏ แรงเคล่ือนไฟฟา้ เหนย่ี วนำ (ε) มีทศิ ตรงกนั ข้ามกับการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์แมเ่ หลก็ K.UMMA P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 7
แรงเคล่อื นไฟฟ้าเหนยี่ วนำ ๏ ถา้ วางวงจรซ่งึ มีพนื้ ที่ A ในสนามแม่เหล็กดงั รูป จะเกดิ แรงเคล่ือนไฟฟ้าเหนี่ยวนำในวงจรมีค่าเปน็ e = - d (BA cosq ) dt ๏ ดงั น้ันเราอาจทำใหเ้ กดิ แรงเคลื่อนไฟฟา้ เหนี่ยวนำดว้ ยวิธีต่อไปนี้ 1. ทำให้ขนาดของสนามแม่เหลก็ เปลีย่ นแปลงตามเวลา 2. ทำใหพ้ ้นื ทขี่ องวงจรเปลี่ยนแปลงตามเวลา 3. ทำใหม้ มุ q ระหว่างพื้นที่กบั สนามแม่เหล็กเปลีย่ นแปลงตามเวลา 4. การผสมผสานกันของวธิ ดี งั กลา่ ว K.UMMA P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 8
ตย.4.1 ขดลวดสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละ 18 cm จำนวน 200 รอบ วางอยู่ในบริเวณที่มีสนามแม่เหล็ก ขนาดสม่ำเสมอ โดยระนาบของขดลวดตั้งฉากกับสนามแม่เหล็ก จงหาขนาดของ emf เหนี่ยวนำ ที่เกิดขึ้นในขดลวด ถ้าสนามแม่เหล็กเปลี่ยนแปลงอย่างสม่ำเสมอจาก 0 ถึง 0.5 เทสลา ภายใน เวลา 0.8 วนิ าที e = - dF B = - d ( BAcosq ) A! B! dt dt I e = -N dB ( Acos 00 ) dt \\e = - ( 200) æ 0.5 ö (0.18 ´ 0.18)(1) = ? V çè 0.8 ÷ø K.UMMA P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 9
Quiz 1 Induced Current ลวดวงปิดวางไว้ในบริเวณที่มีสนามแมเ่ หล็ก โดยทร่ี ะนาบของลวดตั้งฉากกบั เส้น สนามแม่เหลก็ ข้อใดไมท่ ำใหเ้ กิดกระแสเหน่ยี วนำในลวดวงปิดน้ี ? ก) ผลกั ลวดวงปดิ เข้าไปในสนามแม่เหลก็ B ข) หมนุ ลวดวงปดิ ให้ตัง้ ฉากกบั เสน้ สนามแมเ่ หล็ก ค) วางลวดวงปิดไวก้ บั ท่ี แลว้ เล่อื นเสน้ สนามแมเ่ หล็ก e = -กddt (BAจcosq ) ง) บบี ลวดวงปดิ จ) ดึงลวดวงปิดออกจากสนามแมเ่ หลก็ Page 10 K.UMMA P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s
Quiz 2 Induced emf กราฟแสดงสนามแมเ่ หลก็ เปลยี่ นแปลงตามเวลา B(t) ทก่ี ระทำกับลวดวงปิดโดยทที่ ิศทางของ สนามแม่เหลก็ ต้งั ฉากกบั ระนาบของลวดวงปดิ ในช่วงใดของกราฟท่ีแสดงวา่ มี emf เหนี่ยวนำ มากทสี่ ุด e = - d (BA cosq ) = - A dB(t) B(t) dt dt Page 11 K.UMMA P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s
Quiz 3 Direction of induced current Which figure is physically reasonable? A v=0 B v Cv N Si S SN Ni N Si NS Dv NS Ev NS i NS i NS K.UMMA P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 12
4.1.2 การเหนย่ี วนำ Emf และกระแส ๏ เสน้ ลวดตรงยาว ℓ วางไวบ้ รเิ วณทม่ี สี นามแมเ่ หลก็ F!E = qE! ๏ เกิดประจุ q เคลอ่ื นทดี่ ว้ ยอตั ราเร็ว v ต้งั ฉาก กบั สนาม B และมแี รงจากสนามแม่เหลก็ กระทำ กับประจุ q เหนีย่ วนำทำใหเ้ กิดสนามไฟฟ้า E ���⃑���!= ���⃑���\" ������������ = ���������⃑���×������ ������������ = ������������������ ������ = ������������ ! qv! ´ B! ������ FB ℓ = ������������ = ������ = ������ℓ������ ค่าความต่างศกั ยไ์ ฟฟ้า หรอื คา่ แรงเคล่ือนไฟฟ้า emf ระหว่างปลายเสน้ ลวด ขน้ึ อยู่กับขนาดของสนามแม่เหล็ก ความเรว็ และความยาวของแทง่ ตวั นํา K.UMMA P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 13
การเหนยี่ วนำ Emf และกระแส ๏ ใหแ้ ทง่ ตวั นำเคลอื่ นท่ีบนรางโลหะด้วยความเรว็ v F!E = qE! ผลจากการเคล่อื นท่ี ทำให้ฟลักซแ์ มเ่ หล็กท่ีผ่าน ขดลวดมีค่าเพม่ิ ข้นึ ดงั นน้ั แรงเคล่อื นไฟฟ้าท่ี เกิดขนึ้ จะได้ ������ = − ������Φ\" ������������ ������(������ℓ������) ������ = − ������������ F!B = qv! ´ B! ������ = −������ℓ ������������ แรงเคล่ือนไฟฟา้ วงจรกระแส มคี า่ ขึน้ กบั ขนาดของสนามแมเ่ หลก็ ������������ ความเร็ว และความยาวของแทง่ ตัวนำ ������ = −������ℓ������ K.UMMA P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 14
การเหน่ียวนำ Emf และกระแส ๏ เมอ่ื มีแรงเคลอื่ นไฟฟ้าเหนยี่ วนำเกดิ ขึน้ และ วงจรกระแสนัน้ เป็นวงจรปดิ ครบรอบ จงึ มกี ระแสไหล ในวงจรไฟฟ้านนั้ ด้วย ������ = ������ = ������ℓ������ ������ ������ ๏ ในวงจรตัวนำท่ีไม่ได้ต่อกับแหล่งกำเนดิ จะมกี ระแส ภายในตวั นำกระแสทเ่ี กดิ ข้นึ เป็น“กระแสไฟฟา้ เหนีย่ วนำ” และทำให้เกิด “แรงเคลอื่ นไฟฟ้าเหนี่ยวนำ” K.UMMA P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 15
Energy Transfers ๏ กำลังไฟฟ้าในรูปกระแส P = I 2R = æç Blv ÷ö2 R = B2l 2v2 è R ø R ๏ พลงั งานของประจใุ นระบบจะเทา่ กับงานทที่ ำให้เกดิ การ เปลย่ี นแปลงในระบบ ๏ จากการเคลื่อนท่ีด้วยอัตราเร็วคงที่ Fapp = FB = IlB sinq = IlB ๏ กำลังไฟฟ้าในรูปของแรง P = Fappv = (IlB)v = B2l 2v2 R K.UMMA P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 16
ตย.4.2 แท่งโลหะเคลื่อนทีด่ ว้ ยอตั ราเร็ว 2 cm/s บนรางรปู ตวั ยู ทเี่ วลา t=0 สนามแม่เหล็กภายนอกมี ทิศพงุ่ ออกจากกระดาษขนาด 0.2 T และเพม่ิ ขึ้นในอตั รา 0.1 T/s ถ้าให้ L= 5 cm และที่ t= 0, x= 5 cm จงหาแรงเคล่ือนไฟฟ้าเหนยี่ วนำในแทง่ โลหะ Bext Bind *** มกี ารเปลย%ี นแปลงเกดิ ขน=ึ 2 อยา่ ง (ก) แทง่ โลหะเคลอ%ื นทด%ี ว้ ย v ทาํ ใหพ้ น=ื ท%ี A เปลย%ี นแปลง Page 17 (ข) มกี ารเปลย%ี นแปลง Bext ทาํ ใหส้ นามแมเ่ หลก็ เหน%ียวนํา Bind เปลย%ี นแปลงดว้ ย (ในทศิ ตรงกนั ขา้ มกนั ) K.UMMA P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s
ตย.4.2 แท่งโลหะเคลื่อนทดี่ ว้ ยอัตราเร็ว 2 cm/s บนรางรปู ตวั ยู ที่เวลา t=0 สนามแม่เหลก็ ภายนอกมที ศิ พุ่ง ออกจากกระดาษขนาด 0.2 T และเพิ่มขึ้นในอัตรา 0.1 T/s ถ้าให้ L= 5 cm และท่ี t= 0, x= 5 cm จงหา แรงเคลือ่ นไฟฟ้าเหน่ยี วนำในแทง่ โลหะ ๏ เรม่ิ ต้นทเ่ี วลา t = 0; A เปลี่ยนแปลง eA = - d F B1 = - d ( BA) = -B dA = -BL dx L dt dt dt dt B(t) L ( )( )e A = -BL (-v) = - (0.2) 5´10-2 -2´10-2 dx = -v dt enet (a ® b) \\e A = 2 ´10-4 V ๏ ในขณะเดยี วกัน B เพิ่มขน้ึ ในอัตรา 0.1 T/s eB = - d FB 2 = - A dB = - ( Lx ) dB I dt dt dt V eB = - (5´10-2 )(5´10-2 )(0.1) = -2.5´10-4 ( ) ( )\\enet = e A + e B = 2´10-4 + -2.5´10-4 = ? V K.UMMA P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 18
ตย.4.3 ขดลวดตัวนำ 2 Ω มีส่วนหนึ่งเป็นครึ่งวงกลมรัศมี 0.2m และมีส่วนตรงสามส่วนต่อกับแบตเตอรี่ 2 V และวางอยู่ในสนามแม่เหล็ก B (ทิศพุ่งออก) ดังรูป ขนาดของสนามแม่เหล็กเปลี่ยนแปลง ตามเวลา ������ = 4������# + 2������ + 3 เทสลา t หนว่ ยเปน็ วนิ าที จงหา ก) ขนาดและทิศทางของ emf เหนยี่ วนำในขดลวด ท่ีเวลา t = 10 s ข) กระแสไฟฟ้าสทุ ธใิ นขดลวด ทเี่ วลา t = 10 s e bat K.UMMA P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 19
ตย.4.3 ขดลวดตัวนำ 2 Ω มีส่วนหนึ่งเป็นครึ่งวงกลมรัศมี 0.2 m และมีส่วนตรงสามส่วนต่อกับแบตเตอรี่ 2 V และวางอยูใ่ นสนามแมเ่ หลก็ B (ทิศพุ่งออก) ดังรูป ขนาดของสนามแมเ่ หล็กเปลยี่ นแปลงตามเวลา ������ = 4������! + 2������ + 3 เทสลา t หน่วยเปน็ วินาที จงหา ก) ขนาดและทศิ ทางของ emf เหน่ียวนำในขดลวด ทเ่ี วลา t = 10 s ข) กระแสไฟฟ้าสทุ ธใิ นขดลวด ที่เวลา t = 10 s ๏ ก) e ind = - dF B = - d ( BA) = - A dB dt dt dt 2 pr 2 dB pr 2 d A = pr ( )eind dt dt = - 2 = - 2 4t2 + 2t + 3 2 e ind = ép (0.2)2 t = 10 s ? V e bat -ê 2 ù êë ú (8t + 2) = úû \\eind = -5.152 V เครื่องหมายลบบอกว่า ทิศทางของ emf เหนย่ี วนำในขดลวด เกดิ ขนึ้ ในทศิ ที่ตอ่ ตา้ นการเปล่ยี นแปลงสนามแม่เหลก็ K.UMMA P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 20
ตย.4.3 ขดลวดตัวนำ 2 Ω มีส่วนหนึ่งเป็นครึ่งวงกลมรัศมี 0.2 m และมีส่วนตรงสามส่วนต่อกับแบตเตอรี่ 2 V และวางอยู่ในสนามแมเ่ หล็ก B (ทศิ พงุ่ ออก) ดังรปู ขนาดของสนามแม่เหล็กเปล่ียนแปลงตามเวลา ������ = 4������! + 2������ + 3 เทสลา t หนว่ ยเปน็ วินาที จงหา ก) ขนาดและทศิ ทางของ emf เหน่ยี วนำในขดลวด ทเ่ี วลา t = 10 s ข) กระแสไฟฟา้ สทุ ธิในขดลวด ท่ีเวลา t = 10 s ๏ ข) เมื่อเวลาเพิ่มขึ้นค่าสนามแม่เหล็กเพิ่มขึ้นมีทิศพุ่ง e ind ออกดังนั้น สนามแม่เหล็กเหนี่ยวนำ Bind มีทิศ พุง่ เขา้ ตามกฎของเลนซ์ B!ind e ind ใช้กฎมือขวา จะได้ว่า eind จะมีทิศตามเข็ม e ind I นาฬกิ า น่นั คอื ตรงขา้ มกับ ebat e bat \\I = e net = e ind - ebat = 5.152 - 2 =? A 2 R R K.UMMA P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 21
4.1.3 สนามไฟฟา้ เหนี่ยวนำ Page 22 ๏ ถ้าวงแหวนตัวนำไฟฟ้า วางอยู่ในสนามแม่เหล็กในทิศท่ี สนามแม่เหล็กมที ิศต้ังฉากกบั ระนาบของวงแหวน ดงั รปู (a) ๏ หากมีการเปลี่ยนแปลงฟลักซ์แม่เหล็กในตัวนำ จะเหนี่ยวนำ ให้เกดิ สนามไฟฟา้ ข้นึ ดงั รปู (b) ๏ ถึงแม้ว่าไม่มีวงจรใดๆ การเปลี่ยนฟลักซ์แม่เหล็กก็ยังคงทำให้ เกดิ สนามไฟฟา้ เหนี่ยวนำในบรเิ วณที่ว่างเปล่าอยู่ดี สนามไฟฟ้าเหน่ยี วนำดงั กล่าวจะมสี มบตั ิดังน้ี ☺ หมุนเปน็ วงโดยไม่มจี ุดเรม่ิ ตน้ และจดุ จบ ☺ งานเน่อื งจากสนามไฟฟา้ รอบวงปิดใดๆ ไมเ่ ท่ากบั ศูนย์ ☺ เปน็ สนามไฟฟา้ ท่ไี ม่อนุรกั ษ์ ซ่ึงต่างจากสนามไฟฟ้าทเ่ี กิดจากประจุ K.UMMA P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s
สนามไฟฟ้าเหนี่ยวนำในกฎของฟาราเดย์ ๏ พิจารณาประจุ q0 เคลื่อนทเ่ี ปน็ วงกลมในสนามแมเ่ หลก็ จะ เกิดงานทพ่ี ลงั งานไฟฟ้าทำ มคี ่า ������ = ������$������ ๏ งานท่เี กิดรอบๆ สว่ นของวงกลม ������ = ∮ ���⃑��� 9 ���������⃑��� งาน = แรง x ระยะทาง ������,������ = ������,������ 2������������ ������ = 2������������������ ๏ นนั่ คือ ������ = ∮ ������ 5 ���������⃑��� ๏ ดงั น้ัน แทนใน Faraday’s law จะได้ ������ = ∮ ������ 5 ���������⃑��� = − )*! )+ K.UMMA P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 23
หาสนามไฟฟา้ เหนี่ยวนำ ๏ จากรปู dB/dt = คา่ คงท,่ี หาขนาดสนามไฟฟ้าดา้ นใน และด้านนอกบริเวณท่มี สี นามแมเ่ หล็ก จะได้ ในลกั ษณะสมมาตร: ∮ ������ 9 ���������⃑��� = ∮ ������ 9 ������������ = ������ ∮ ������������ = E 2π������ ดา้ นใน r < R: FB = BA = B(pr2 ) r dB 2 dt E (2p r ) = (p r 2 ) dB E = dt ดา้ นนอก r > R: FB = BA = B(pR2 ) E R2 dB E(2pr) = B(pR2 ) 2r dt = สนามไฟฟา้ ภายในบรเิ วณท่มี ีสนามแมเ่ หล็กจะมีค่าเพ่ิมข้ึนเปน็ เชิงเส้น R ขน้ึ อยู่กับระยะ r K.UMMA P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 24
สมการแมกซ์เวลล์ ๏ สรุปสมการพน้ื ฐานต่างๆ ที่ใชอ้ ธบิ ายปรากฏการณท์ างไฟฟ้าและแมเ่ หลก็ ชดุ สมการน้ี มีชื่อเรียกวา่ สมการแมกซเ์ วลล์ (ตามช่อื นักฟสิ กิ สช์ าว Scottish: James Clark Maxwell) ๏ แมกซเ์ วลล์ ได้พัฒนาทฤษฎีทค่ี าดไม่ถึงวา่ จะใชไ้ ด้ ๏ ต่อมาพบว่าทฤษฎีดงั กล่าวนส้ี อดคลอ้ งกบั ทฤษฎี- สัมพนั ธภาพพิเศษของไอน์สไตน์ ๏ สมการแมกซ์เวลล์ ประกอบด้วย 4 สมการ คอื กฎของเกาส์/ กฎของเกาส์ทางแมเ่ หลก็ / กฎของฟาราเดย์/ กฎแอมแปร์-แมกซเ์ วลล์ K.UMMA P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 25
4 สมการแมกซ์เวล์ล ๏ สมการแมกซ์เวลล์ น้ีใช้อธบิ ายปรากฏการณท์ างแมเ่ หลก็ ไฟฟา้ กฎของเกาส์ - ������ / ���������⃑��� = ������ กฎของเกาสท์ างแม่เหลก็ ฟลกั ซไ์ ฟฟ้าทงั= หมดทผ%ี า่ นผวิ ปิดใดๆ ������\" ฟลกั ซแ์ มเ่ หลก็ สทุ ธผิ า่ นผวิ ปิดใดๆ จะมคี า่ เป็นศนู ย์ จะเทา่ กบั ประจสุ ทุ ธหิ ารดว้ ย ϵ0 - ������ / ���������⃑��� = 0 กฎแอมแปร-์ แมกซเ์ วลล์ กฎของฟาราเดย์ - ������ / ���������⃑��� = − ������Φ# การอนิ ทเิ กรต สนามแม่เหลก็ รอบเสน้ ปิดใดๆ อธบิ ายความสมั พนั ธร์ ะหวา่ ง ������������ จะหาได้จากการรวมกระแสเหนีย- วนําทผี- ่าน เส้นปิดนัน8 กับอัตราการเปลีย- นแปลงฟลกั ซ์ สนามไฟฟ้ากบั การ ∮ ������ / ���������⃑��� = ������\"������ + ������\" ������\" $%! ไฟฟ้าทพี- งุ่ ผา่ นผวิ ปิดของเสน้ ปิดนนั8 เปลย%ี นแปลงฟลกั ซแ์ มเ่ หลก็ $& “การอินทิเกรตสนามแมเ่ หล็กรอบเสน้ ปิดใดๆ (จะเท่ากับ emf) เทา่ กบั อตั รา การเปลีย่ นแปลงฟลกั ซ์แม่เหลก็ พุ่งผ่านผวิ ปดิ ของเสน้ ปดิ นนั้ ๆ” K.UMMA P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 26
ลองทำดู ถา้ มกี ารเปลย+ี นแปลงสนามไฟฟ้าและสนามแมเ่ หลก็ พรอ้ มๆ กนั จะเป็นอยา่ งไร • สามารถเขียนสมการของสนามไฟฟา้ (E) และสนามแม่เหล็ก (B) ในรูปฟงั กช์ ันข้นึ กบั ตำแหน่ง x และเวลา t ดังนี้ E = Em sin (kx -wt ) เรยี กวา่ คลืน่ แมเ่ หล็กไฟฟา้ (Electromagnetic wave) B = Bm sin (kx -wt ) Em = E =c Bm B Em คือ แอมพลิจดู ของสนามไฟฟ้า Bm คือ แอมพลิจูดของสนามแม่เหล็ก ω คือ ความถ่เี ชงิ มุม w = 2p f k คอื เลขคล่นื เชิงมุมโดย k = 2p ๏ ส่วนประกอบของคลนื่ แม่เหล็กlไฟฟา้ ต้องมี E และ B คกู่ นั เสมอ K.UMMA P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 27
4.2 ค่าความเหนีย่ วนำ (Inductance) ๏ พิจารณาจากรปู ต่อวงจรสวิตซ์ ตวั ตา้ นทานและแหลง่ จ่าย emf มองวงจรไฟฟา้ เปน็ เสมอื นจดลวด 1 ลปู เมื่อปิดสวิตซ์กระแสจะทำให้เกิดฟลักซ์แม่เหล็กผ่านวงจรทำให้กระแส ค่อยๆ เพม่ิ ขึน้ จนถงึ ค่าสมดลุ (กฎของฟาราเดย)์ ขณะที่กระแสเพิ่มขึ้นกับเวลา ฟลักซ์แม่เหล็กผ่านลูปเนื่องจากกระแสน้ี จะเพมิ่ ขึน้ กบั เวลาดว้ ย e = -N dF B dt การเพิ่มขึ้นของฟลักซ์เหนี่ยวนำ ทำให้เกิด emf ในทิศทางตรงกันข้ามกับ การเปลี่ยนแปลงฟลักซ์แม่เหล็กสุทธิที่ผ่านลูป และเกิดสนามไฟฟ้า ทศิ ของสนามไฟฟ้าเหน1ียวนําจะมที ศิ ตรงขา้ ม กบั ทศิ ทางการไหลของกระแสทาํ ใหเ้ กดิ emf เหนย่ี วนำในเสน้ ลวด ในทศิ ตรงขา้ ม และคา่ กระแสคอ่ ยๆ เพมิ1 ขนEึ e = ò E! × ds! = - N dF B ปรากฎการณน์ ี้เรียกวา่ การเหนี่ยวนำรว่ ม dt ค่า emf ที่เกิดขึ้นนเ้ี รียกว่า “emf เหนย่ี วนำตัวเอง (εL)” K.UMMA P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 28
การเหนีย่ วนำในตัวเอง (self-induction) ๏ พจิ ารณากฎของฟาราเดย์ทกี่ ลา่ ววา่ emf เหน่ยี วนำ จะมีค่าเท่ากบั คา่ ลบของ อตั ราการเปลย่ี นแปลงของฟลกั ซ์แม่เหลก็ ������Φ# ������' = −������ ������������ ๏ เนอื่ งจากฟลกั ซ์แม่เหล็กมคี ่าขึ้นอย่กู บั รูปรา่ งของขดลวด และกระแสไฟฟ้า ท่ีไหลผ่านขดลวด Φ# = ������������ เมอ่ื L คือ ค่าคงตัวท่ขี ้นึ อยูก่ บั รปู ร่างของขดลวด เรยี กวา่ คา่ ความเหน่ียวนำตวั เองของขดลวด ������������ ������' = −������ ������������ L = - e L −������ ������Φ# = −������ ������������ dI dt ������������ ������������ L = N dFB L มีหน่วยเป็น “เฮนรี่” (H) ตามช่ือของ Joseph Henry dI คา่ L นเ้ี ปน็ ตวั แปรต้านการเปลย่ี นแปลงของกระแส K.UMMA P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 29
ทศิ ทางการไหลของกระแส ๏ ขดลวดโซลินอยดแ์ กนโลหะมีกระแสไฟฟ้าไหลผ่าน รปู (a) กระแสในขดลวดจะเหนย่ี วนำให้เกิดสนามแมเ่ หลก็ ช้จี ากขวาไปซ้าย รปู (b) ถา้ กระแสเพิม่ ข้ึน ฟลักซท์ ี่เกิดขน้ึ จะเหน่ยี วนำให้เกิดแรงเคลือ่ นไฟฟา้ มีขั้วจาก + ไป - รปู (c) ถ้ากระแสลดลง ฟลกั ซ์ทเ่ี กดิ ข้นึ จะเหนยี่ วนำใหเ้ กิดแรงเคล่ือนไฟฟา้ มขี ้ัวจาก - ไป + K.UMMA P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 30
4.2.1 คา่ ความเหนย่ี วนำตัวเองของโซลนิ อยด์ ๏ ในกรณีของขดลวดโซเลนอยด์แกนอากาศ ยาว ℓ มีขดลวดจำนวน N รอบพนั อยา่ ง ชิดกนั มกี ระแสไฟฟา้ I ไหลผ่านจะเกิดสนามแมเ่ หลก็ ภายในขดลวด เป็น B= μonI = μo N I l ๏ ฟลกั ซ์แม่เหลก็ ทีผ่ ่านขดลวดแตล่ ะรอบ จะมีคา่ เป็น ΦB = BA = μo NA I l ๏ ดังน้ัน คา่ ความเหนี่ยวนำตัวเองจะมคี า่ เปน็ L= NFB = µ0N 2 A L = µ0 (nl )2 A = µ0n2 Al , Al = ปรมิ าตร I l l ๏ จะเห็นวา่ คา่ L ขึ้นอยู่กบั รปู ทรงของขดลวด K.UMMA P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 31
ตย.4.4 Calculating Inductance and emf (ก) ใหค้ ำนวณหาค่าความเหน่ยี วนำของขดลวดโซเลนอยดท์ ี่มจี ำนวนรอบ 300 รอบ ยาว 25 cm และพนื้ ท่ีภาคตดั ขวางคือ 4.00 cm2 (ข) ใหค้ ำนวณค่า emf เหน่ียวนำในขดลวดถา้ กระแสลดลงในอัตรา 50.0 A/s ( ) ( )L = (300)2 ๏ (ก) จาก NFB = µ0N 2 A = 4p ´10-7 4.0 ´10-4 I (0.25) l L = 1.81´10-4 Wb / m = 0.181 mH ๏ (ข) จาก eL = -N dFB = -L dI = -( L)(-50) = ? V dt dt แทนค่า dI = -50 A e L = 9.05 mV dt K.UMMA P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 32
4.2.2 การเหนยี่ วนำรว่ ม (mutual induction) ๏ พิจารณาขดลวดสองขดอยู่ใกลก้ นั ดงั รูปภาคตดั ขวาง ๏ ขดลวด 1 มีกระแส I1 มีจำนวนรอบ N1 จะผลิตเส้นสนามแม่เหล็ก ซึ่งสนามส่วนหนึ่ง จะพุ่งผ่านขดลวด 2 ที่มีจำนวนรอบ N2 รอบ ดังนั้น ค่าฟลักซ์แม่เหล็กที่ขดลวด 2 เน่อื งจากขดลวด 1 คือ Φ12 นยิ ามค่าความเหน่ยี วนำรว่ ม M12 จะได้ M12 = N2F12 F 21 = M12 I1 I1 N2 ถ้าวงจรอยู่ห่างกันมากขKึน ค่าความเหน<ียวนําร่วมจะน้อยลง Page 33 เพราะวา่ ฟลกั ซเ์ ชอ<ื ม (linkage flux) ระหวา่ งวงจรน้อยลง K.UMMA P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s
การเหนยี่ วนำรว่ ม (mutual induction) ๏ ถ้ากระแส I1 ขน้ึ กับเวลา เราพบว่าจากกฎของฟาราเดย์และคา่ ความเหนย่ี วนำรว่ ม M12 จะ หาค่า emf เหน่ียวนำขดลวด 2 ได้ e2 = -N2 dФ12 = - N2 d æ M12 I1 ö = -M12 dI1 dt dt ç N2 ÷ dt è ø ๏ ในทำนองเดยี วกัน emf เหนีย่ วนำในขดลวด 1 จะได้ e1 = -M 21 dI2 emf เหน่ียวนำ โดยการเหนย่ี วนำร่วมในขดลวดหนง่ึ ขน้ึ อยกู่ ับ dt อตั ราการเปลี่ยนแปลงของกระแสในขดลวดอกี ขดลวดหน่งึ เสมอ ๏ การเปลยี่ นแปลงกระแสในขดลวดท้ังสองเท่ากนั Ɛ1 = Ɛ2 ดังนัน้ M12=M21=M จะได้ e2 = -M dI1 e1 = -M dI2 dt dt K.UMMA P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 34
ลองทำดู ภายในขดลวดขดหนึ่งมี emf เหนี่ยวนำเกิดขึ้น 96.0 mV มีขดลวดอีกขดหนึ่งซึ่งอยู่ใกล้กันมี กระแสกำลงั เพิม่ ขนึ้ ดว้ ยอตั รา 1.50 A/s จงหาความเหนีย่ วนำร่วมของขดลวดทัง้ สอง e1 = -M dI2 dt ( )M = e1 = 96 ´10-3 =? \\ M = 64 mH 1.5 dI2 dt ค่าความเหนยี่ วนำร่วมจะเปน็ + ๏ เครื่องหมายลบบอกว่า emf เหนี่ยวนำที่เกิดขึ้นจะต้านการเปลี่ยน ฟลักซ์ซึ่งเกิดจากการ เปลีย่ นกระแสในขดลวดอีกขดหนง่ึ K.UMMA P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 35
4.3 ตัวเหน่ียวนำในวงจรไฟฟ้า Page 36 ๏ วงจรใดที่มีขดลวด เช่น ขดลวดโซเลนอยด์ จะมี การเหนี่ยวนำในตัวเอง เพื่อป้องกันไม่ให้กระแส เพ่มิ ขน้ึ หรือลดลงอยา่ งทนั ที ๏ ขดลวดในวงจร เรียกว่า ตัวเหนี่ยวนำ (inductor, L)ใชส้ ญั ลกั ษณ์ ๏ เราจะถือว่าการเหนี่ยวนำจากส่วนอื่นๆ ของวงจร น้อยมากเมื่อเทียบกับการเหนี่ยวนำในตัว เหนี่ยวนำ K.UMMA P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s
4.3.1 วงจร RL ๏ พิจารณาวงจร ดังรปู ถ้าเวลา t = 0 ทำการปิดสวิตซ์กระแสจะเรมิ่ เพมิ่ ขน้ึ เรือ่ ยๆ ๏ ตวั เหนย่ี วนำ จะมคี า่ “emf ยอ้ นกลบั ” (back emf, εL) เพื่อต่อต้านการเพิ่มของกระแส ซึ่งอาจจะพิจารณาได้ว่า ค่า emf ย้อนกลับ มีข้วั ตา่ งจากแบตเตอรี่ จะได้ eL = -L dI เน%ืองจากกระแสมคี า่ เพม%ิ ขน=ึ ดงั นนั= !\" เป็นบวกดงั นนั= Ɛ' จงึ มคี า่ เป็นลบ dt !# ๏ จาก Kirchoff’s Loop Rule : Σ������ = 0 แกส้ มการเชงิ อนุพนั ธส์ าํ หรบั กระแส I จะได้ ������ = ������������ + ������$ ������������ ������������ ������ 1 − ������%&$# ������������ ������������ ������ ������ = ������������ − ������ ������ − ������������ + ������ = 0 ������ = K.UMMA P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 37
วงจร RL ๏ จากรูป วงจร RL สับสวิตซ์ไปยัง a เป็นเวลา t ทำให้กระแส เพิม่ ขึ้นถงึ ค่ากระแสสมดลุ ( )I =e e I 1- e-t t I max = R R ๏ เมอ่ื เวลาเทา่ กบั t = L กระแสไฟฟา้ ในวงจรจะมคี ่าเท่ากบั R ������ = ������\" 1 − ������() หรือ 0.632������0 เวลาดังกลา่ ว เรียกวา่ คา่ คงทเี่ วลาของวงจร RL (time constant, ������ ) ๏ ที่เวลา t = ������ คือ เวลาที่กระแสมคี ่าเพิ่มขึน้ 1 − ������() =0.632 หรอื 63.2% ของ ɛ/R จะได้ ดงั กราฟ ๏ จากกราฟ กระแสเพ่มิ ข้นึ อยา่ งรวดเรว็ ในตอนระยะเวลาเร่มิ ตน้ - และจะคอ่ ยๆ เพมิ่ ขนึ้ จนมคี ่าเทา่ กับ ������*+, = . เมือ่ ������ → ∞ K.UMMA P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 38
วงจร RL ๏ ขณะทคี่ ่ากระแสสมดุล (������*+, = - ) สนามแมเ่ หล็ก . ในตัวเหนย่ี วนำจะลดลงอย่างเอ็กซ์โพเนนเชยี ล dI = e e-t t dI dt dt L ๏ จากวงจรถ้าสับสวิตซ์ไปยัง b เราจะได้วงจรที่ไม่มีแบตเตอรี่ (������ = 0) ทำให้ตัวเหนี่ยวนำจ่ายกระแสผ่านตัวตา้ นทาน R จาก Kirchoff’s Loop Rule จะได้ ������������ = −������ $/ $& IR + L dI = 0 ( )I = e e-t t = Imaxe-t t dt R ๏ ท่ีเวลา t = ������ คอื เวลาทกี่ ระแสมคี ่าลดลง 0.368 e เหลอื กระแสในตวั เหน่ยี วนำ 36.8% R t =R L K.UMMA P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 39
ตย.4.5 Time Constant of an RL Circuit (ก) จากรูปปดิ สวติ ซเ์ ม่อื เวลา t = 0 จงหาคา่ คงทีเ่ วลาของวงจร (ข) คำนวณกระแสในวงจรขณะท่ี t = 2.0 ms ๏ ก) t = L = 30 ´10-3 =? s R 6 ๏ ข) ( )I e = 1 - e-Rt L R ( )I 12 = 6 1 - e-0.4 =? A K.UMMA P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 40
4.3.2 พลงั งานของตัวเหนย่ี วนำ ๏ ในวงจรไฟฟ้าทีป่ ระกอบดว้ ยขดเหนี่ยวนำต่อกบั ตวั ตา้ นทาน ดังรปู เม<อื มกี ระแสไหลเขา้ ไปในตวั เหน<ียวนํา ตวั เหน<ียวนําจะมพี ลงั งานศกั ยไ์ ฟฟ้า สะสมอยใู่ นตวั เอง และตวั เหน<ียวนําจะพยายามตา้ นการไหลของกระแสไฟฟ้า ๏ พิจารณา Kirchoff’s Loop Rule : −������ + ������������ + ������ !\" = 0 !# สามารถเขียนพลงั งานทง้ั หมดของวงจรในเทอมของกระแส I ได้ Iε = I 2R + LI dI power stored in dt magnetic field power provided power dissipated (อัตราพลังงานท่ีสะสม by battery in resistor ในตัวเหนย่ี วนำ) แหลง่ จา่ ยไฟตอ้ งสญู เสยี พลงั งานในตวั ตา้ นทานและตวั เหน%ียวนํา K.UMMA P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 41
พลังงานทสี่ ะสมในตัวเหน่ียวนำ ๏ ให้ U เปน็ พลังงานศักยไ์ ฟฟา้ ท่สี ะสมในตัวเหนยี่ วนำ ท่ีเวลาใดๆ จะได้ ������������ = ������������ ������������ ������ = ������ \" ������������������ = 1 ������������( ������������ ������������ 2 ������������ = ������������������������ F ' ๏ พจิ ารณากรณีขดลวดโซเลนอยด์ท่มี ีค่าเหนี่ยวนำ L เปน็ L = µ0n2 Al และสนามแม่เหลก็ ของโซเลนอยด์ B = µ0nI ® I = B µ0n ( )U 1 æ B2 ö B2 = 2 μ0 n 2 Al ç μ02 n 2 ÷ = 2μ0 Al è ø ๏ พลังงานทีส่ ะสมตอ่ หนง่ึ หน่วยปริมาตร(uB) ในสนามแม่เหลก็ ตัวเหนยี่ วนำ เป็น uB = U = B2 Al 2μ0 K.UMMA P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 42
4.3.3 วงจร LC ๏ สมมติเริ่มต้นตัวเก็บประจุมีประจุอยู่เต็มพลังงาน ทั้งหมดจะสะสมอย่ทู ีส่ นามไฟฟ้าของ C มีคา่ เปน็ U = Q2 max 2C l กระแสของวงจรจะมีคา่ เปน็ ศนู ย์และไม่มพี ลงั งานสะสมในขดเหน่ยี วนำ เมื่อเริ่มสับสวิตซ์กระแสจะเริ่มไหลในวงจรโดยมีค่า Page 43 เทา่ กบั อตั ราการเปล่ียนแปลงประจใุ นตวั เกบ็ ประจุ l พลงั งานจะถ่ายเทมาสะสมในสนามแม่เหล็กของขดเหนี่ยวนำทัง้ หมด ทำใหต้ วั เก็บประจุไม่มปี ระจเุ หลือเลย K.UMMA P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s
วงจร LC l ในขณะนนั้ กระแสของวงจรจะเพิ่มขึ้นสคู่ า่ สูงสุดแลว้ ลดลง เพ่อื อดั ประจใุ หแ้ ก่ตวั เก็บ ประจุอีกครง้ั l การถ่ายเทพลังงานระหวา่ งตัวเกบ็ ประจแุ ละขด เหนี่ยวนำนีจ้ ะเกดิ ซ้ำไปซ้ำมาทำให้ประจุและกระแส ของวงจรแกว่งกวัดระหว่างค่าสูงสุดและต่ำสุดดงั รูป l พลงั งานรวมของวงจรจะมีค่าคงตวั ตามสมการ U = UC +U L = Q2 + 1 LI 2 2C 2 K.UMMA P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 44
Electromagnetic Oscillations U q2 12=L12i 2CV 2 U=B2=C E K.UMMA P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 45
4.3.4 วงจร RLC ๏ พจิ ารณาวงจร RLC l พลังงานรวมของวงจรจะไมอ่ นรุ ักษเ์ พราะเกิด การสูญเสียในตัวตา้ นทานในอัตรา dU / dt = -I 2R l เม่ือประยกุ ตก์ ฎของเคริ ์ชฮอฟฟ์กบั วงจร จะได้ L d 2Q + R dQ + Q = 0 dt 2 dt C l เม่อื แก้สมการดังกล่าว จะได้สมการของการแกว่งกวัดของประจซุ ึ่งเป็นฟังก์ชันของ เวลา ดังน้ี w2 = w02 - g2 g = R 2L Q = Qmaxe-gt cos (wt ) 1 w0 = LC K.UMMA P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 46
กระแสไฟฟ้าในวงจร RLC ๏ สมการของการแกวง่ กวัดของกระแสจะหาคา่ ไดจ้ าก Q = Qmaxe-gt cos (wt ) I, Q I = dQ = Imaxe-g t sin (wt ) e-Rt / 2L dt ๏ กราฟของการแกวง่ กวัด Damped Oscillations t ของประจุและกระแสไฟฟา้ จะเป็นดังรูป Page 47 Electric Circuit UC = 1 Q2 UL = 1 LI 2 2 C 2 One-Dimensional U = 1 kx2 K = 1 mv2 Electric Circuit Mechanical System 2 2 K.UMMA P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s
ตย.4.6 ในวงจร RLC ตอ่ อนกุ รมมี L= 20 mH, C= 3.0 µF และ R= 2 Ω จงหา ก) ความถใี่ นการสัน่ แกวง่ ที่มคี วามหน่วง (damped oscillation) ข) ระยะเวลาท่แี อมพลจิ ูดของการสั่นแกวง่ ของกระแสลดลงเหลอื 1 ใน 4 ของ แอมพลจิ ดู สงู สดุ (Im) q Q = Qme-gt sin wt I0 I Q0 tt -Q0 (a) -I0 K.UMMA P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s (b) Page 48
ตกต)ย..4ยค.6ว.า4ใมนถ.ว6ใ่ีงนจรกาRรLสC่ันแตก่อวอ่งนทุกม่ี รีคมวมามี Lห=น่ว2ง0(dmaHm,pCe=d 3.0 µF และ R= 2 Ω จงหา oscillation) ข) ระยะเวลาท่ีแอมพลจิ ูดของการสัน่ แกวง่ ของกระแสลดลงเหลอื 1 ใน 4 ของแอมพลิจดู สงู สดุ (Im) ๏ ก) ความถี่ในการส่ันแกว่งที่มีความหน่วง w2 = æ 1 ö2 - æ R ö2 èç LC ø÷ çè 2L ø÷ w = 2p f = 1 R2 \\ f = 1 (20 1 ) - 4(20 22 )2 = ? Hz LC - 4L2 ´10-3 )(3´10-6 ´10-3 2p ๏ ข) ระยะเวลาทีต่ วั ประกอบแอมพลิจดู เท่ากับ ¼ ( )Þ I = Ime-gt cos (wt ) = Im 14 cos (wt ) g t = ln 4 = 1.386 e-g t = 1 R 2 \\t = 1.386 = 1.386 4 2L 2(20 ´10-3 ) 50 g = 50 g ( )ln e-gt æ 1 ö = = = ln èç 4 ø÷ = ln1 - ln 4 t = 0.028s = 28ms -g t = - ln 4 K.UMMA P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s Page 49
Part 2 A.C. Circuits Page 50 4.4 ไฟฟ้ากระแสสลับ แหล่งกำเนิดกระแสสลับ/ I และ V /เฟสเซอร์ 4.5 วงจรกระแสสลับอยา่ งง่าย วงจรกระแสสลับท่มี ีแต่ R วงจรกระแสสลบั ที่มแี ต่ L วงจรกระแสสลบั ที่มีแต่ C 4.6 วงจรกระแสสลบั ท่มี ี RLC ตอ่ กนั อย่างอนุกรม ความตา้ นทานเชงิ ซ้อน/ การกำทอนในวงจร AC K.UMMA P h y s i c s 2 f o r E n g i n e e r s
Search
