7 1 LECTURE FUNSC101 BY KITTISAK PHYSICS 1 UMMA FOR ENGINEERS The study of mechanics of particles and rigid body, properties of matter, fluid mechanics, heat, vibrations and waves. Teaching focuses on the main principles of physics including with skills of analytic and calculation for solving engineering problems.
2 CHAPTER 7 ROTATION of Rigid Body K. UMMA PHYSICS 1 FOR ENGINEERS
3 บ ท ท$ี 7 การหมุนของวัตถุแขง็ เกร็ง 7.1 จลนศาสตร์สาํ หรับการหมนุ 7.2 พลศาสตร์สาํ หรับการหมนุ 7.3 งานและพลงั งานในการหมนุ 7.4 การเคลอ?ื นท?ีแบบกลงิ D 7.5 โมเมนตมั เชิงมมุ
7.1 จลนศาสตร์สาํ หรับการหมุน 4 § วตั ถแุ ข็งเกร็ง (rigid body หรือ rigid object) หมายถงึ วตั ถทุ ีDไมม่ ีการผิด K. UMMA รูป (มีสมบตั ิการคงรูป) ไม่ว่าในสถานการณ์ใดๆก็ตามการเคลDือนทDีของ วตั ถแุ ข็งเกร็งสามารถแยกออกเป็น U ลกั ษณะ ได้แก่ § 1. การเลอDื นทีD (translation) = การทีDวตั ถุ เคลอDื นทีDไปโดยเส้นทางของแตล่ ะจดุ หรือแตล่ ะ อนภุ าคขนานกนั อาจจะไมเ่ ป็นเส้นตรงก็ได้ § 2. การหมนุ (rotation) = การทDีวตั ถหุ มนุ รอบ แกนใดแกนหนงDึ และแตล่ ะจดุ ของวตั ถหุ รือแตล่ ะ อนภุ าคจะเคลอDื นทีDเป็นวงกลมรอบแกนแกนหนงึD ซงDึ เรียกวา่ แกนหมนุ (axis of rotation) แกนหมนุ อาจอยกู่ บั ทีDหรือเคลอDื นทีDด้วยก็ได้ PHYSICS 1 FOR ENGINEERS
5 จุดศูนย์กลางมวล ( the center of mass) § คือตาํ แหน่งเฉล0ียของระบบมวล-มีความสาํ คัญในกรณีท0วี ัตถุอยู่ห่างไกลจากแรง ดงึ ดดู ของดวงดาวใด ๆ เพราะจะทาํ ให้มวลอยู่ในสภาพไร้นําK หนัก § การหาตาํ แหน่งของจุดศูนย์กลางมวลอาศัยการหาโมเมนต์ของมวล แทนโมเมนต์ ของแรง § เป็นจดุ ทีDเสมือนเป็นทDีรวมมวลของวตั ถทุ งัg ก้อนนนัg โดยทDี CM อาจอยนู่ อกเนือg วตั ถนุ นัg ได้ เชน่ รูปโดนทั § โดยปกตวิ ตั ถบุ างชนิดมีมวลภายในหนาแนน่ ไมเ่ ทา่ กนั ตลอดทงัg เนือg สาร CM จงึ เป็นเสมือนทีD เป็นจดุ รวมมวลของวตั ถทุ งัg ก้อน § ถ้าหากใช้แรงกระทําตอ่ วตั ถุ โดยให้แนวตรงผา่ นจดุ CM จะทําให้วตั ถนุ นัg ไมห่ มนุ แตถ่ ้าหาก แรงทีDกระทําไมผ่ า่ น CM วตั ถจุ ะหมนุ ในทิศทางตามแรงนนัg PHYSICS 1 FOR ENGINEERS K. UMMA
1. การเคล*ือนท*แี บบเล*ือนตาํ แหน่ง 6 § เม$ือวตั ถแุ ข็งเกร็งเลื$อนที$แบบเล$ือนตําแหน่งในขณะใดขณะหนึ$ง ทกุ ๆ K. UMMA อนภุ าคหรือจดุ ในวตั ถุ จะมีความเร็วและความเร่งเดียวกนั ในขณะนนัE ๆ และเลอื$ นตําแหนง่ ไปบนเส้นทางท$ีขนานกนั v!P = v!O , a!P = a!O P v!P P P O v!O O O v!P P v!O a) แนวเส้นตรง b) แนวเส้นโค้ง O PHYSICS 1 FOR ENGINEERS
2. การหมุนรอบแกนตรึงของวัตถุแขง็ เกร็ง 7 พิจารณาการหมนุ ของวตั ถแุ ขง็ เกร็งรอบแกนตรึง O K. UMMA § ความเร็วเชิงเส้น v! = ds! = r dq dt dt โดยที4 ความเร็วเชิงมมุ w! = dq v! = rw! dt PHYSICS 1 FOR ENGINEERS
2. การหมุนรอบแกนตรึงของวัตถุแขง็ เกร็ง 8 § ถ้ากําหนดให้ a! คือ ความเร่งเชิงมมุ ซงึ$ มีขนาด a = dw K. UMMA § ความเร่งยอ่ ยในแนวสมั ผสั dt § ควาaมtaเnรg่งeยntอ่ialย=ในแddนvtว=เข้าrสddศู่ wtนู ย์กล\\าง atan = ra! aradial = v2 = rw! 2 r § ดงั นนัE จะได้ ความเร่งเฉลย$ี a! = a2 + a2 = r 2a! 2 + r 2w! 4 tan rad \\a! = r a 2 + w4 PHYSICS 1 FOR ENGINEERS
3. การเคล*ือนท*แี บบท*วั ไปในระนาบ 9 § ทกุ ๆ อนภุ าคหรือจดุ ในวตั ถุ จะเคลื$อนท$ีในระนาบที$ขนานกนั และการ เคลอื$ นที$แบบนีเEป็นทงัE การเลอื$ นตําแหนง่ และการหมนุ w! P v!P P PHYSICS 1 FOR ENGINEERS K. UMMA
7.2 พลศาสตร์สาํ หรับการหมุน 10 § โมเมนต์ความเฉื$อย (moment of inertia ,I ) เป็นการวดั คา่ ต้านทานการหมนุ ของวตั ถุ เทียบกบั แกนหมนุ นนัE ๆ ซงึ$ ถ้าเทียบกบั การเคลอ$ื นท$ีเชิงเส้นก็คล้ายกบั คา่ มวลของวตั ถุ นนัE เอง วตั ถแุ ข็งเกร็งที$ประกอบด้วยอนภุ าคเลก็ ๆ อยหู่ า่ งกนั I = S mi ri2 i วตั ถแุ ข็งเกร็งท$ีประกอบด้วยอนภุ าคเลก็ ๆอดั กนั แนน่ จนเป็นเนือE เดียวกนั I = lim S ri 2 Dmi I = ò r2dm หนว่ ย kg.m2 Dmi ®0 i PHYSICS 1 FOR ENGINEERS K. UMMA
การคาํ นวณโมเมนต์ความเฉMือย 11 • วงแหวนบางรัศมี R K. UMMA ò òIz = r2dm = R2 dm =MR2 • แทง่ มวล M ยาว L หมนุ รอบแกน y M เมื$อความหนาแนน่ l = L , dm = ldx L 2 ò ò òI y = r2dm = l x2dx = l x2dx L L - 2 = l é x3 ù 2 = M æ é L3 ù + é L3 ù ö = ê 3 ú - L ç ê ú ê ú ÷ ë û L è ë 24 û ë 24 û ø 2 1 ML2 PHYSICS 1 FOR ENGINEERS Iy 12
การคาํ นวณโมเมนต์ความเฉMือย 12 • ทรงกระบอกตนั รัศมี R มวล M หมนุ รอบแกน z แทนคา่ ในสมการ \\ Iz = 1 MR2 2 PHYSICS 1 FOR ENGINEERS K. UMMA
โมเมนต์ความเฉMือยของวัตถุรูปทรงต่างๆ 13 วงแหวนบาง ทรงกระบอกตนั ทรงกระบอกกลวง Icm = MR2 Icm 1 MR2 ( )Icm1 = 2 = 2 M R12 + R22 PHYSICS 1 FOR ENGINEERS K. UMMA
โมเมนต์ความเฉMือยของวัตถุรูปทรงต่างๆ 14 ทรงกลมตนั ทรงกลมกลวง Icm = 2 MR2 Icm = 2 MR2 5 3 จดุ หมนุ ตรงกลาง คาน จดุ หมนุ ตรงปลาย แผน่ สเ$ี หลยี$ ม 1 ML2 Icm 1 ML2 ( )Icm 1 Icm = 12 = 3 = 12 M a2 + b2 PHYSICS 1 FOR ENGINEERS K. UMMA
ทฤษฏีบทแกนหมุนขนาน (Parallel Axis Theorem) 15 § เป็นความสมั พนั ธ์ระหวา่ งโมเมนต์ความเฉ$ือยของวตั ถรุ อบแกนหมนุ สองแกนซงึ$ ขนานกนั โดยท$ีแกนหนงึ$ ผา่ นจดุ ศนู ย์กลางมวลของวตั ถุ d K. UMMA I = Icm + Md 2 d = ระยะหา่ งระหวา่ งแกนหมนุ รอบจดุ cm และแกนหมนุ ที4พิจารณา PHYSICS 1 FOR ENGINEERS
ทฤษฏีบทแกนตงั` ฉาก (Perpendicular Axis Theorem) 16 § เป็นทฤษฏีใช้บอกความสมั พนั ธ์ของโมเมนต์ของวตั ถทุ $ีมีลกั ษณะ แผน่ รอบแกนหมนุ n แกน ซง$ึ ตงัE ฉากซง$ึ กนั และกนั Iz = Ix + Iy สาํ หรับวตั ถแุ ผน่ กลมมวล M Iz = 1 MR2 , Ix = Iy 2 จากทฤษฎีแกนตงัE ฉาก Iz = Ix + Iy \\Ix = Iy = 1 MR2 4 PHYSICS 1 FOR ENGINEERS K. UMMA
ตย.7.1 จากรูป จงหาโมเมนต์ความเฉ4ือยของระบบ 17 a) รอบแกน x b) รอบแกน y K. UMMA a) หมนุ รอบแกน x Ix = S mi ri 2 i Ix = 2(3)2 + 3(3)2 + 4(-3)2 + 2(-3)2 = ? b) หมนุ รอบแกน y Iy = S mi ri2 i I y = 3(-2)2 + 2(2)2 + 4(2)2 + 2(-2)2 = ? Iz = Ix + Iy PHYSICS 1 FOR ENGINEERS
ตย.7.2 จงหาโมเมนต์ความเฉ4ือยของแผ่นวัตถุรูปส4ีเหล4ียมค่ามวล 18 M= 3 kg ท4มี ีความกว้าง a= 20 cm และมีความยาว b= 50 cm รอบ K. UMMA แกนท4ตี งัT ฉากกับแผ่นวัตถุ I = Icm + Md 2 d ( )I1 æ a2 + b2 ö2 = 12 M a2 + b2 + M çèç 4 ø÷÷ ( )I1 æ a2 + b2 ö ( )Icm = 12 M a2 + b2 + M ç 4 ÷ = 1 M a2 + b2 è ø 12 ( )I4 = 12 M a2 + b2 d b ( )\\I 1 kg.m2 3 a2 + b2 b/2 = M a/2 a แทนคา่ หา I =? kg.m2 PHYSICS 1 FOR ENGINEERS
ทอร์ค (torque) หรือโมเมนต์ (moment) 19 § ทอร์ค คือ แนวโน้มของแรงท$ีจะทําให้วตั ถเุ กิดการหมนุ รอบจดุ หมนุ K. UMMA (แกนหมนุ ) อนั ใดอนั หนงึ$ τ! = !r ×F! r d = r sinf t º Fr sinf = Fd หนว่ ย N.m § d = r sinf เรียกวา่ “แขนของแรง” เป็นระยะหา่ งระหวา่ งจดุ ท$ีออก แรงกบั จดุ หมนุ PHYSICS 1 FOR ENGINEERS
ทศิ ทางของทอร์ค 20 § ทิศทางของทอร์คจะตงัE ฉากกบั ระนาบท$ีมีแรงกระทํา และแนวแขนของแรง ทิศทางและเคร$ืองหมาย: ถ้าแนวโน้มทิศทางของแรงนนัE หมนุ ทวนเข็มนาฬิกา คา่ ทอร์คเป็น บวก ถ้าแนวโน้มทิศทางของแรงนนัE หมนุ ตามเข็มนาฬิกา คา่ ทอร์คเป็น ลบ r PHYSICS 1 FOR ENGINEERS K. UMMA
ทอรค์ 21 § แรงสามารถแยกเป็นองค์ประกอบในแนวแกน x และ y K. UMMA § องค์ประกอบในแนวแกน x คือ F cosf มีคา่ ทอร์คเป็น 0 (แรงกระทําผา่ นจดุ หมนุ ) § องtค!์ป=ระกr!อ´บใFน!แนวแกน y คือ F sinf มีคา่ ทอร์คไมเ่ ป็น 0 t = Fr sinf r § F คือ แรง r r คือ ระยะหา่ งระหวา่ งจดุ หมนุ และจดุ ท4ีออกแรงกระทํา f คือ มมุ ระหวา่ งแรงกบั วตั ถุ PHYSICS 1 FOR ENGINEERS
ทอร์ คลัพธ์ 22 § เม$ือมีแรงหลายแรงกระทํากบั วตั ถใุ นแนวตงัE ฉากกบั แขนของแรง § ทอร์คลพั ธ์จะเป็นผลรวมของทอร์คทงัE หมดที$กระทํากบั วตั ถนุ นัE ๆ โดย พิจารณาทิศทางของทอร์คด้วย St = t1 +t 2 = F1d1 - F2d2 โดยทวั$ ไปถ้ามีหลายๆแรงจะได้วา่ St!net = St!i = t!1 +t!2 + ... +t!n PHYSICS 1 FOR ENGINEERS K. UMMA
ตย.7.3 a) หาทอร์คของระบบนีแ1 ละทศิ ทางท6จี ะหมุน 23 § หา St คือผลรวมของทอร์คทงัE หมดท$ีได้จากแรงทกุ แรงท$ีกระทํา(ทํา บนวตั ถ)ุ หมนุ St = t L +t R ทวน St = FLdL + FRdR เข็มฯ เป็น+ St = (500)(4) + (-800)(2) mLg mRg St = 2000 -1600 = ? t L > t R วตั ถมุ ีการเคลอ4ื นที4ทวนเข็มนาฬิกา PHYSICS 1 FOR ENGINEERS K. UMMA
§ตย.6.3 b) คนมวล 500 N ควรจะน6ัง ณ ตาํ แหน่งใด เทยี บ 24 กับจุดหมุน เพ6อื ให้เกดิ ทอร์คลัพธ์ท6มี ีค่าเป็ นศูนย์ K. UMMA ทอร์คลพั ธ์มีคา่ เป็นศนู ย์ คือไมเ่ กิด การหมนุ และเคลอ4ื นที4 หมนุ St = 0 ทวน N tL -tR = 0 เข็มฯ เป็น+ t L = t R mLg 500(dL ) = 800(2) dL mRg \\ dL = ? § พิจารณาแรง SFy = 0 PHYSICS 1 FOR ENGINEERS N + (-500) + (-800) = 0, \\ N = ?
สมดุลของวัตถุแขง็ เกร็ง 25 • วตั ถแุ ขง็ เกร็งอยใู่ นสมดลุ เม$ือ ผลรวมเวกเตอร์ของแรงต้องเป็นศนู ย์ K. UMMA และผลรวมของทอร์ครอบจดุ ใดๆต้องเป็นศนู ย์ นน$ั คือ 1) SF! = 0 ทกุ แนวแกนทงั E x, y, z 2) St! = 0 รอบจดุ ใดๆ • แกนหมนุ (axis of rotation) “ถ้าวตั ถอุ ยใู่ นสมดลุ แล้วไมว่ า่ เราจะเลอื กจดุ ไหนบนวตั ถใุ ห้เป็นจดุ หมนุ ก็จะได้คา่ ทอร์คลพั ธ์เทา่ เดมิ (เป็นศนู ย์)” PHYSICS 1 FOR ENGINEERS
จุดศูนย์ถ่วงของวัตถุ 26 • หาทอร์คเนื$องจากนําE หนักวัตถุได้โดยสมมติว่านําE หนักทังE หมด รวมอยทู่ $ีจดุ ศนู ย์ถ่วงของวตั ถุ ถ้า g มีคา่ เดียวกนั ทกุ จดุ พิกดั ของ จดุ ศนู ย์ถ่วงเป็นพิกดั เดียวกบั จดุ ศนู ย์กลางมวล x cm = m1x1 + m2x2 + ... + mn xn = å mixi ycm = m1y1 + m2y2 + ... + mn yn = å miyi m1 + m2 + ... + mn å mi m1 + m2 + ... + mn å mi zcm = m1z1 + m2z2 + ... + mnzn = å mizi m1 + m2 + ... + mn å mi • คํานวณทอร์คเน$ืองจากแรงได้โดยหาทอร์คของแต่ละองค์ประกอบ โดยใช้ แขนของคานและเคร$ื องหมายท$ีเหมาะสมแล้ วบวกปริ มาณ เหลา่ นีเEข้าด้วยกนั PHYSICS 1 FOR ENGINEERS K. UMMA
แก้ปัญหาสมดุลของวัตถุแขง็ เกร็ง 27 1. ตําแหนง่ ของจดุ หมนุ จะอยู่ ณ ตําแหนง่ ใดก็ได้ของวตั ถุ 2. กําหนดจดุ หมนุ ท$ีเหมาะสมแล้วใช้จดุ นนัE ตลอดในการแก้ปัญหา 3. วาดรูป FBD และแตกแรงแนวแกน x และแกน y 4. พิจารณาแรง SF! = 0 และทอร์คของวตั ถุ St! = 0 PHYSICS 1 FOR ENGINEERS K. UMMA
ตย.7.4 สมมติว่าบันไดยาว 10 เมตร มีนําT หนัก 100 N พิงไว้บนผนัง 28 โดยทํามุม 30 องศา กับพืนT จงหาแรงท4ีกระทําต่อบันไดและกรณีท4ี บนั ไดจะอยู่ในสมดุล (ทงัT การหมุนและการเปล4ียนตาํ แหน่ง) กําหนดให้ W=100 N, ∑ ������ = 0 , L = 10 m, α = 30๐ จงหา f = ? , N=?,P=? Z. วาดรูป K. UMMA [. เลือกแกนหมนุ ให้อยู่ ณ จดุ ลา่ งสดุ (ทอร์คของ f และ N มีคา่ เป็น ^) PHYSICS 1 FOR ENGINEERS
ตย.7.4 สมมตวิ ่าบนั ไดยาว 10 เมตร มีนําT หนัก 100 N พงิ ไว้บนผนัง 29 โดยทาํ มุม 30 องศา กับพนืT จงหาแรงท4กี ระทาํ ต่อบนั ไดและกรณีท4บี นั ได K. UMMA จะอยู่ในสมดุล (ทงัT การหมุนและการเปล4ียนตาํ แหน่ง) § ทอร์ค Torques: St = 0 t P +t mg = 0 ( P sina ) L - ( mg cosa ) L = 0 2 P (0.5) (10) - 100 (0.866 ) æ 10 ö = 0 èç 2 ø÷ § แรง Forces: \\P =?N SFx = 0 SFy = 0 f -P=0 N - mg = 0 f - 86.6 = 0 N -100 = 0 \\ f = 86.6N \\ N = 100N PHYSICS 1 FOR ENGINEERS
ลองทาํ ดู 7 30 • 1. ชายคนหนงึG หนกั 600 N ยืนอยทู่ Gีระยะ 2 m หา่ งจากผนงั บนคานไม้ยาว 8 m ทGีปลาย K. UMMA คานด้านหนงGึ ผกู เชือกและปลายเชือกอีกข้างผกู ตดิ กบั ผนงั ทามมุ กบั แนวราบ 53 องศา ดงั รูป คานไม้หนกั 200 N จงหา แรงตงึ ในเส้นเชือกและขนาดและทิศทางของแรงปฏิกิริยาทGี ผนงั กระทําตอ่ ปลายคานไม้ • 2. คานขนาดสมํGาเสมออนั หนงึG ยาว ^._ เมตร มีมวล ^` กิโลกรัม ปลายคานข้างหนงGึ ตรึง ด้วยบานพบั ตดิ กบั กําแพง โดยอีกปลายหนงึG ของคานมีเชือกผกู โยงไว้กบั กําแพงในลกั ษณะ ทีGคานและเชือกทํามมุ _e องศากบั แนวกําแพงดงั รูปทีGปลายบนของคานมีวตั ถซุ งGึ มีมวล h` กิโลกรัมแขวนอยจู่ งคํานวณหา a) ความตงึ ในเส้นเชือก b) แรงทีGบานพบั กระทําตอ่ ปลายคานลา่ ง PHYSICS 1 FOR ENGINEERS
ทอร์คและค่าความเร่งเชงิ มุมคงทMี (torque and angular acceleration) 31 § เม$ือวตั ถแุ ข็งเกร็งมีทอร์คลพั ธ์ที$มีคา่ ไมเ่ ป็นศนู ย์เข้ามากระทํา วตั ถุ K. UMMA นนัE จะมีการหมนุ ด้วยความเร่งเชิงมมุ คา่ หนงึ$ § ความเร่งเชิงมมุ นนัE แปรผนั ตามทอร์คลพั ธ์ท$ีเข้ามากระทํา § ตามกฎข้อที$ 2 ของนิวตนั แรงยอ่ ยในแนวสมั ผสั Ft = mat t = Ftr = (mat ) r โดยท$ี at = ra t = (mra ) r = mr2a \\t = Ia PHYSICS 1 FOR ENGINEERS
32 ทอร์คและค่าความเร่งเชงิ มุมคงทMี §ทอร์คของวตั ถแุ ขง็ เกร็งท?ีประกอบด้วยอนภุ าคเลก็ ๆ อดั กนั แนน่ จนเป็นเนือD เดียวกนั dFt = dmat dt = rdFt = atrdm dt = a r2dm St = òa r2dm = a ò r2dm St = Ia โดยทีG α คือความเร่งเชิงมมุ **คา่ โมเมนต์ความเฉGือยของวตั ถนุ นัm ขนึ m อยกู่ บั ตําแหนง่ ของแกนหมนุ ด้วย ** PHYSICS 1 FOR ENGINEERS K. UMMA
7.3 งานและพลังงานในการหมุน 33 §พิจารณาการหมนุ ที?ตําแหนง่ i หมนุ รอบแกน z, วตั ถมุ วล mi จะหมนุ K. UMMA ด้วยEคkวiา=มเ12ร็วmvivi แi2ละมีพลงั งานจลน์เกิดขนึ D §ขณะเดียวกนั สาํ หรับวตั ถแุ ข็งเกร็ง จะมีความเร็วเชิงมมุ w! , vi = riw! ดงั นนัD พลงั งานจลน์ของการหมนุ ทงัD หมด Ekr = S Eki =Si Smi 1i2rim2 iwv!i22= S 1 mi ri 2w! 2 2 i 1 i 2 ( ) { }\\Ekr 2 of = I = S mi ri , moment inertia i PHYSICS 1 FOR ENGINEERS §โดยท*ี ri เป็นระยะของแตล่ ะอนภุ าคจากแกนหมนุ
งานและกาํ ลังของวัตถุแขง็ เกร็ง 34 §พิจารณาให้วตั ถแุ ขง็ เกร็งหมนุ รอบแนวแกน z ภายใต้การกระทํา K. UMMA ของแรง F เมื?อหมนุ ไปได้การกระจดั เชิงมมุ ������������ งานที?เกิดขนึ D คือ dW = F! × ds! = ( F sinf ) rdq dW = t dq ® W = tq dW =t dq dt dt §เม?ือกําลงั ขณะใดขณะหนงึ? คือ อตั ราการ- เปลยี? นแปลงของงานตอ่ เวลา P = dW = t dq ® P = tw dt dt PHYSICS 1 FOR ENGINEERS
ตย.7.5 ล้อหมุนอันหน4ึงรัศมี 0.5 m มวล 20 kg หมุนได้คล่องรอบ 35 แกนหมุนในแนวระดับมีเชือกพันรอบล้อหมุนโดยปลายข้างหน4ึงของ เชือกมีมวลถ่วง 1 kg แขวนไว้ดงั รูป จงคาํ นวณหาความเร่งของการ เคล4ือนท4ขี องล้อหมุนนีT § วิธีทํา ให้ F เป็นแรงในเส้นเชือก, a เป็นความเร่งของการเคลอ$ื นท$ีของมวลถ่วง mg - T = ma mg - T = mRa (1) เมื?อ ������ เป็นความเร่งเชิงมมุ ของลอ้ หมนุ PHYSICS 1 FOR ENGINEERS K. UMMA
ตย.7.5 ล้อหมุนอันหน*ึงรัศมี 0.5 m มวล 20 kg หมุนได้คล่องรอบแกนหมุนใน 36 แนวระดบั มีเชือกพนั รอบล้อหมุนโดยปลายข้างหน*ึงของเชือกมีมวลถ่วง 1 kg K. UMMA แขวนไว้ดงั รูป จงคาํ นวณหาความเร่งของการเคล*ือนท*ขี องล้อหมุนนีQ mg - T = mRa (1) § จากสมการของการเคลอื4 นท4ีสาํ หรับการหมนุ จะได้ t = Ia,t = TR Ia = TR =( )T Ia = 1 MR2 a = 1 MRa (2) 2 2 R R § แทน (2) ใน (1) จะได้ 1 mg - 2 MRa = mRa \\a = mg = 9.8 = ? rad / s2 = æ R mg æ mR + 1 MR öø÷a çè m + 1 M ö èæç1 + 1 (20) ö 0.5 S çè 2 = 2 ÷ø / s2 2 ÷ø และ § ! a = Ra = mg ö 9.8 = ? m INEER ÷ø 11 NG æ m + 1 M PHYSICS 1 FOR E çè 2
ลองทาํ ดู 7 37 • 3. ล้อหมนุ มวล 2 kg รัศมี 30 cm มีโมเมนต์ความ K. UMMA เฉื>อย 0.09 kg.m2 ผกู ตดิ กบั วตั ถมุ วล m = 0.5 kg ดงั รูป จงหาความตงึ ในเส้นเชือกและความเร่งเชิงมมุ ของล้อหมนุ นี U • 4. เดก็ สองคนซง>ึ มีมวลเทา่ กนั Z[ kg นง>ั อยคู่ นละข้าง ของปลายคานหมนุ ซง>ึ มีความยาว Z.\\ m และมีมวล ]^ kg ถ้าคานหมนุ ในอตั รา [ รอบตอ่ นาที รอบแกนดง>ิ ซง>ึ ผา่ นกงึ> กลางของคาน ถ้าเดก็ ทงัU สองนนัU เลอื> นท>ีขยบั ใกล้จดุ ศนู ย์กลางเข้ามา \\^ cm จงหา • a) อตั ราเร็วเชิงมมุ ของคานหมนุ ตอนนนัU จะเป็นเทา่ ใด • b) พลงั งานจลน์ของการหมนุ ของระบบนีเUปลยี> นไปเทา่ ไร PHYSICS 1 FOR ENGINEERS
38 7.4 การเคลMือนทMแี บบกลงิ` § กรณีท$ี ‡ กลงิ E โดยไมไ่ ถล ความเร็วและความเร่งของจดุ ศนู ย์กลางมวล vcm = ds = R dq = Rw dt dt acm = dvcm = R dw = Ra dt dt PHYSICS 1 FOR ENGINEERS K. UMMA
การเคลMือนทMแี บบกลงิ` 39 § กรณีที$ ˆ กลงิ E และเกิดการไถล ถ้าวตั ถไุ ถลและกลงิ E K. UMMA § vcm = Rw, acm = Ra ไมเ่ ป็นจริง จากรูปจะเหน็ ได้วา่ จดุ บนทรงกลมกระบอก เคลอ4ื นที4ตงัa ฉากกบั แกนหมนุ (จดุ หมนุ ที4จดุ P) Ek = 1 I pw 2 2 Ip คือ โมเมนต์ความเฉื4อยเม4ือจดุ หมนุ อยทู่ ี4จดุ P เนื4องจาก I p = Icm + mR2, vcm = Rw 1 Ek = 2 I pw 2 Ek = 1 Icmw 2 + 1 mR 2w 2 2 2 PHYSICS 1 FOR ENGINEERS Ek = 1 I pw 2 + 1 mvc2m 2 2
40 การเคลMือนทMแี บบกลงิ` เลอGื นตําแหนง่ อยา่ งเดียว หมนุ อยา่ งเดียว เลอGื นตําแหนง่ และหมนุ พร้อมกนั Ekt = 1 mvc2m Ekr = 1 Icmw 2 Ek = 1 Icmw 2 + 1 mvc2m 2 2 2 2 § วตั ถสุ ามารถกลงิ a ได้อยา่ งเดียวโดยไมไ่ ถลเพราะ กรณีที& ( : จะต้องมีแรงเสยี ดทานกระทํา เพ&ือให้จดุ P เคลอื& นที&ช้ากวา่ จดุ P’ กรณีที& E : วตั ถจุ ะกลงิ I ได้บนพืนI ลน&ื (f=0) ก็ตอ่ เม&ือวตั ถถุ กู โยนให้มี vcm และ ������ ทําให้วตั ถกุ ลงิ I ไมไ่ ด้ PHYSICS 1 FOR ENGINEERS K. UMMA
พลังงานรวมของระบบหมุน 41 § พิจารณา Ek เป็นรูปแบบใน Ekt , Ekr , Ek § จากหลกั ของงานและพลงั งาน W = ∆������ § ในกรณีท$ีไมม่ ีงานเน$ืองจากแรงภายนอกอื$นใด ยกเว้นงานเน$ืองจาก แรงโน้มถ่วงเทา่ นนัE พลงั งานกลรวมของระบบจะมีคา่ คงเดิม ( ) ( )Ek + Ep = Ek + Ep f i 1 I cm1w12 + 1 m1vc2m1 + mgh1 = 1 I cm w2 + 1 m2vc2m2 + mgh2 2 2 2 2 22 PHYSICS 1 FOR ENGINEERS K. UMMA
ตย.7.6 ทรงกลมตนั อันหน4ึงมีมวล M รัศมี R ถ้ากลงิT ลงมาตามพนืT เอียงโดย 42 ไม่มีการไถล จงหาอัตราเร็วของทรงกลมตนั เม4ือถงึ ปลายพนืT เอียง § วิธีทํา mgh = 1 Icmw 2 + 1 mvc2m 2 2 สาํ หรับล้อตนั I = 1 mR2 , vcm = wR PHYSICS 1 FOR ENGINEERS 2 mgh = 1 æ 1 mR2 ö æ vcm ö2 + 1 mvc2m 2 èç 2 ø÷ çè R ø÷ 2 vc2m = 4 gh 3 \\vcm = 4 gh m/s 3 K. UMMA
43 Which object wins the race? § ลองทําดู ข้อ 5: กําหนดให้พืนE เอียงสงู 1 m รัศมีภายนอกเทา่ กนั คือ 10 cm สว่ นล้อกลวงมีรัศมีภายใน 5 cm vcm = 10 gh = 3.74 m/s 7 PHYSICS 1 FOR ENGINEERS K. UMMA
B: ล้อตนั มีมวล M รัศมี R ถ้ากลงิT ลงมาตามพนืT เอียงโดยไม่มีการไถล 44 จงหาอัตราเร็วของล้อเม4ือถงึ ปลายพนืT เอียง K. UMMA I = 1 mR2 , vcm = wR § วิธีทํา æ 1 1 ö 2 çè 2 2 ÷ø Mghi = Mvc2m + Icmw 2 สาํ หรับล้อตนั f Mgh = 1 Mvc2m + 1 æ 1 MR2 öæ vcm ö2 2 2 èç 2 ø÷ èç R ø÷ gh = æ 1 + 1 ö vc2m èç 2 4 ÷ø vc2m = 4 gh 3 \\vcm = 4 gh = 3.61 m/s 3 PHYSICS 1 FOR ENGINEERS
A: ล้อกลวง มีมวล M รัศมี R ถ้ากลงิQ ลงมาตามพนืQ เอียงโดยไม่มีการไถล จงหา 45 อัตราเร็วของล้อเม*ือถงึ ปลายพนืQ เอียง K. UMMA ( )I § วิธีทํา = 1 M R12 + R22 , vcm = wR æ 1 1 ö 2 Mghi = çè 2 Mvc2m + 2 I cmw 2 ø÷ f สาํ หรับล้อกลวง ( )Mgh1 1 æ 1 öæ vcm ö2 = 2 Mvc2m + 2 èç 2 M R12 + R22 ø÷ ç R2 ÷ è ø gh = æ 1 + 1 R12 + 1 ö vc2m ç 2 4 R22 4 ÷ è ø gh = æ 1 + 1 0.052 + 1 ö vc2m = 0.81vc2m ç 2 4 0.12 4 ÷ è ø vc2m = gh 0.81 PHYSICS 1 FOR ENGINEERS \\vcm = gh = 3.47 m/s 0.81
ตย.7.7 ทรงกลมตนั มวล 50 g กลงิT ไปตามพนืT ราบด้วยอัตราเร็ว 8 46 m/s กลงิT ถงึ ฐานของพนืT เอียงซ4งึ เอียงทาํ มุม 30๐ กับแนวราบ ถ้าไม่คดิ พลังงานท4สี ูญหายไปเน4ืองจากความเสียดทาน จงหา a) พลังงานทงัT หมดของทรงกลมมีค่าเท่าใด b) ทรงกลมกลงิT ขนึT ไปตามพนืT เอียงได้สูงจากพนืT ราบเท่าใด H S vcm PHYSICS 1 FOR ENGINEERS θω K. UMMA
ตย.7.7 ทรงกลมตนั มวล 50 g กลงิQ ไปตามพนืQ ราบด้วยอัตราเร็ว 8 m/s กลิงQ ถงึ 47 ฐานของพนืQ เอียงซ*งึ เอียงทาํ มุม 30๐ กับแนวราบ ถ้าไม่คดิ พลังงานท*สี ูญหายไป K. UMMA เน*ืองจากความเสียดทาน จงหา a) พลังงานทงัQ หมดของทรงกลมมีค่าเท่าใด § วิธีทํา Icm = 2 mR2 , vcm = wR (a) พืนE ที$ราบ 5 æ 2 öæ vc2m ö 2 Icmw 2 = çè 5 mR2 ø÷ ç R2 ÷ = 5 mvc2m è ø æ 1 ö æ 1 ö Ek = èç 2 mvc2m ø÷ + èç 2 Icmw 2 ÷ø Ek = æ 1 mvc2m ö + æ 1 mvc2m ö çè 2 ø÷ èç 5 ø÷ Ek = æ 1 ( 0.05 ) (82 ) ö + æ 1 ( 0.05) (82 ) ö = ? èç 2 ø÷ çè 5 ÷ø PHYSICS 1 FOR ENGINEERS
ตย.7.7 ทรงกลมตนั มวล 50 g กลงิQ ไปตามพนืQ ราบด้วยอัตราเร็ว 8 m/s กลงิQ ถงึ 48 ฐานของพนืQ เอียงซ*งึ เอียงทาํ มุม 30๐ กับแนวราบ ถ้าไม่คดิ พลังงานท*สี ูญหายไป K. UMMA เbน)*ือท§งรวจงธิากทีกลำคมวกาลมงิQเขสนึียQ ไดปทตาานมจพงนืQหเาอียงได้สูงจากพนืQ ราบเท่าใด HS SEi = SE f PHYSICS 1 FOR ENGINEERS vcm ω mgh = æ 1 mvc2m ö + æ 1 I cmw 2 ö θ èç 2 ÷ø èç 5 ø÷ mgh = æ 1 ( 0.05 ) (82 ) ö + æ 1 ( 0.05 ) ( 82 ) ö çè 2 ø÷ çè 5 ø÷ h= 2.24 =? 0.05g \"s = h =? sin 30!
49 7.5 โมเมนตมั เชงิ มุม (Angular Momentum) § โมเมนต์เชิงมมุ ใช้ในการชว่ ยวิเคราะห์วตั ถทุ $ีมีการเคลอื$ นท$ีแบบหมนุ L! = r! ´ P! หนว่ ย kg.m2/s P! = mv! ขนาดของโมเมนตมั เชิงมมุ คือ L = mvr sinf PHYSICS 1 FOR ENGINEERS K. UMMA
โมเมนตมั เชงิ มุมกับการหมุน 50 § เหมือนกบั ความสมั พนั ธ์ระหวา่ งแรงกบั โมเมนตมั เชิงเส้น คือ คา่ K. UMMA ทอร์คแปรผนั กบั คโู่ มเมนตมั เชิงมมุ dL! St! = dt § ถ้ามีระบบอนภุ าคหลายๆ ตวั หมนุ รอบจดุ ใดๆ L!tot = L!1 + L!2 + ... + L!n = S L!i dL!tot = dL!i i dL!tot dt dt dt S = St i \\ St!ext = i i PHYSICS 1 FOR ENGINEERS
Search
