ວິຊາ ຄະນິດສາດພື້ນຖານ (ເນື້ອໃນ)

ສາລະບານ ເນອ້ື ໃນ ຫນາື້ ບດົ ທີ 1 : ທ່ ອນຊ່ ແລະ ອດັ ຕາສ່ ວນຂອງທ່ ອນຊ່ I. ທ່ ອນຊ່ ........................................................................................................ 1 II. ອດັ ຕາສ່ ວນຂອງທ່ ອນ ....................................................................................... 5 III. ອດັ ຕາສ່ ວນພວົ ພນັ ຂອງທ່ ອນຊ່ ............................................................................ 6 ບດົ ທີ 2 : ຫກັ ເກນຕາແລດັ ແລະ ການນາໍ ໃຊື້ I. ຫກັ ເກນຕາແລດັ .............................................................................................. 8 II. ການນາໍ ໃຊຫ້ື ກັ ເກນຕາແລດັ ຄດິ ໄລ່ ອດັ ຕາສ່ ວນພວົ ພນັ ໃນຮູບສາມແຈ.................................. 10 ບດົ ທ3ີ ເນອ້ື ທ່ ຂີ ອງຮູບສາມແຈສາກ ແລະ ເນອ້ື ທ່ ຂີ ອງຮູບຈະຕຸລດັ I. ເນອື້ ທ່ ຂີ ອງຮູບສາມແຈສາກ ແລະ ເນອ້ື ທ່ ຂີ ອງຮູບຈະຕຸລດັ ............................................. 17 ບດົ ທີ 4 : ເນອື້ ທ່ ຂີ ອງຮູບສາມແຈ I. ເນອ້ື ທ່ ຂີ ອງຮູບສາມແຈ ..................................................................................... 22 II. ຕວົ ຢ່ າງການນາໍ ໃຊສ້ື ູດ ....................................................................................... 23 III. ສູດເຮລງົ ..................................................................................................... 24 ບດົ ທີ 5 : ຫກັ ເກນປີຕາກໍ ແລະ ການນາໍ ໃຊື້ I. ຫກັ ເກນປີຕາກໍ .............................................................................................. 27 II. ການນາໍ ໃຊຫື້ ກັ ເກນປີຕາກເໍ ຂາົ້ື ໃນການຄດິ ໄລ່ ............................................................ 29 ບດົ ທີ 6 : ເນອ້ື ທ່ ຂີ ອງຮູບສ່ ແີ ຈຂາື້ ງຂະຫນານ ແລະ ຮູບດອກຈນັ I. ເນອື້ ທ່ ຂີ ອງຮູບສ່ ແີ ຈຂາ້ື ງຂະຫນານ ........................................................................ 32 II. ເນອ້ື ທ່ ຂີ ອງຮູບດອກຈນັ ................................................................................... 34 ບດົ ທີ 7 : ເນອື້ ທ່ ຂີ ອຮູບຄາງຫມູ I. ເນອື້ ທ່ ຂີ ອງຮູບຄາງຫມູ ..................................................................................... 37 II. ໃຈຄວາມ ..................................................................................................... 40 III. ວຽກມອບຫມາຍ ........................................................................................... 40 II

ບດົ ທ1ີ ທອ່ ນຊື່ ແລະ ອດັ ຕາສວ່ ນຂອງທອ່ ນຊື່ 1. ທອນຊ່ື 1.1 ຫກັ ເຄາ້ົ ອາກຊແີ ມດັ ກດິ ຈະກາ1: ໃຫ້ທ່ອນ AB=15 cm, ທອ່ ນຊ່ື CD= 1 cm, ເຮາົ ສາມາດຊອກຄ່າວດັ ແທກ AB ເທ່ືາົ ຈັກເທື່ອຂອງ CD ? ກດິ ຈະກາ2: ໃຫ້ທ່ອນ AB=15 cm, ທ່ອນຊ່ື CD= 2 cm, ເຮາົ ສາມາດຊອກຄ່າວັດແທກ AB ເທາ່ືົ ຈັກເທອື່ ຂອງ CD ? ອປຸ ະກອນ: ໄມ້ບນັ ທດັ ແລະ ເຊອກວັດ ວທິ ດີ າເນນີ : ແບງ່ ກຸ່ມນກັ ຮຽນເອາົ ກດິ ຈະກາທີ1 ແລະ ທີ2 ໃຫ້ແຕ່ລະກ່ມຸ ຄົນ້ ຄວາ້ ແລະ ຊອກຫາຄາຕອບ, ຫລັງຈາກ ນັນຄູ ແລະ ນກັ ຮຽນສະຫບຼຸ ເປັນຫກັ ເກນກດິ ຈະກາ, ຈາກນນ້ັົ ໃຫ້ນກັ ຮຽນເບິງື່ ຕວົ ຢາ່ ງໃນປມ້ົ . - ຖ້າທ່ອນຊື່ AB ແລະ CD ແມ່ນສອງທ່ອນຊຕ່ື າມໃຈ ທໃື່ີ ຫກ່ອນ ເຊິື່ງທອ່ ນ  AB  CD ເວລານເີົ້ ທງິ  ABເພືນິ່ ເລມ່ິື ແຕ່ A ສາມາດວາງCD ລຽນຕດິ ໃສ່ກັນຈົນກວາ່ ຈະໄດ້  AF  ໃດໜງ່ື ທໃີ່ື ຫຍ່ກວາ່ ຫ ເທາົື່ ກບັ  AB. ໝາຍຄວາມວ່າ ເຮົາສາມາດຊອກໄດ້ n ໃດໜ່ງື ເຊິືງ່ ວ່າ: n CD  AB - ວທິ ີການວັດແທກທ່ອນຊື່ ແມນ່ ການສະແດງລວງຍາວ ຂອງພວກມນັ ດ້ວຍຈານວນຕາ່ ງໆ ເຊ່ິງື ວ່າການວດັ ແທກ ລວງຍາວເຫື່າົ ນນັ້ົ ຕ້ອງຕອບສະໜອງຕາມຫກັ ການລ່ມຸ ນ:ົ້ີ ຫກັ ເກນ: 1

- ສອງທອ່ ນຊທື່ ີ່ືເທົ່າື ກນັ ຈະຕອ້ ງມລີ ວງຍາວທີື່ເທາົ່ື ກັນ. - ທອ່ ນຊໜ່ື ງ່ື ສາມາດແບງ່ ເປນັ ຫາຍທ່ອນທ່ອນຊນື່ ້ອຍ ເຊງິ່ື ທ່ອນຊື່ນົ້ນັ ມຄີ ວາມຍາວເທື່າົ ຜົນບວກ ລະຫວາ່ ງ ຄວາມຍາວຂອງບັນດາທ່ອນຊນ່ື ້ອຍ. ຕວົ ຢາ່ ງ 1 ໃຫ້ທອ່ ນຊ່ື AB=21 cm ແລະ ທ່ອນຊື່ CD=3 cm ຄວາມຍາວຂອງທ່ອນຊ່ື AB ເທົື່າກັບຈກັ ເທືອ່ ຂອງທອ່ ນຊ່ື CD ? ວທິ ແີ ກ:້ ອີງຕາມຫັກເຄົ້າຂອງອາກຊີແມັດ n. CD=AB/CD ແມນ່ ຫົວໜວ່ ຍວັດແທກ. ເຮມົົ :ີ AB=21 cm ເຮາົ ໄດ້ n. CD=AB CD=3 cm n.3=21 ສະນົັ້ນ, n=7 ຊງ່ິື ວາ່ 7.3=ົ 21 ຕວົ ຢາ່ ງ 2 ໃຫ້ທອ່ ນຊ່ື AB=25 cm ແລະ ທ່ອນຊ່ື CD=2 cm ຄວາມຍາວຂອງທ່ອນຊ່ື AB ເທົ່າື ກບັ ຈກັ ເທອ ຂອງທ່ອນຊື່ CD ? ວທິ ແິ ກ:້ ອງີ ຕາມຫັກເຄົ້າຂອງອາກຊີແມັດ ເຮົາສາມາດຊອກໄດຈ້ ານວນ n.CD=AB, CD ແມນ່ ຫວົ ໜ່ວຍວດັ ແທກ. ເຮມົົ :ີ AB=25 cm CD=2 cm n.2=25 ສະນົັນ້ , n=12,5 ຊ່ິືງວ່າ 12,5 . 2=25 1.2 ການວດັ ແທກລວງຍາວ ການວັດແທກທອ່ ນຊື່ AB ເພືີ່ນເລອກເອົາ CD ຕາມໃຈເປນັ ຫວົ ໜວ່ ຍ ເພື່ອປຽບທຽບກັນ. ກດິ ຈະກາ: ກ. ກລະນ1ີ ທອ່ ນຊ່ື AB ແລະ CD ເນ່ືອງກນັ 2

- ສົມມຸດແບ່ງທອ່ ນຮ່ວມໃຫຍ່ສຸດຫາກແມນ່ CD ແລະ  AB ເຊື່ງິ ບັນຈຸ CD ພດີ 4 ເທອ. ເຮາົ ຈະໄດລ້ ວງ ຍາວຂອງ  AB ເທ່ົາື 4 ຫົວໜວ່ ຍCD . ຖາ້ ວ່າ CD ບນັ ຈທຸ ອ່ ນແບ່ງຮວ່ ມໃຫຍສ່ ູດ 3 ເທອ ແລະ  AB ບນັ ຈຸ 12 ເທອ. ໃນເວລານ້ີຄົ ວາມຍາວ ຂອງທ່ອນຊ່ື AB ຈະເທືາ່ົ ຈກັ ເທ່ອື ?  AB  4CD  AB  12 CD or  AB  4CD 3 - ສມົ ມດຸ ວ່າທອ່ ນຊື່ AB ເນືອ່ ງກັບທ່ອນຊື່ CD. ໝາຍຄວາມວາ່ ທອນຊື່ AB ແລະ ທອ່ ນຊື່ CD ມືີ່ທອ່ ນຊື່ແບ່ງຮວ່ ມໃຫຍສ່ ດຸ ຖ້າທ່ອນຊ່ື CD ຫາກບັນຈຸ ແບງ່ ຮວ່ ມໃຫຍ່ສຸດ n ເທອ ແລະ ທອ່ ນຊ່ື AB ບນັ ຈຸ m ເທື່ອ ເວລານ້ົີ AB  m ເຊງີ່ື ວາ່ m ແມນ່ ທະວຄີ ນູ ຂອງ n. n ຕວົ ຢາ່ ງ ຖາ້ ວ່າທ່ອນຊ່ື CD ຫາກບັນຈຸທ່ອນແບງ່ ຮວ່ ມ 5 ເທື່ອ ແລະ ທ່ອນຊ່ື AB ບັນຈຸ 25 ເທອ ເວລານີ ຄວາມ ຍາວຂອງແຕ່ລະທ່ອນຊ່ື AB ຈະເທົ່າື ກບັ ເທື່າົ ໃດ ? ວທິ ແີ ກ:້ ອີງຕາມກລະນເີ ນ່ືອງກັນຂອງແຕ່ລະທອ່ ນຊ່ື ເຮາົ ມີ AB  m ແທນຄາ່ ໃສ່ເຮາົ ໄດ້, AB  25  5 n5 ສະນນ້ັົ , ຄວາມຍາວຂອງທອ່ ນຊື່ AB=5 ເທອ. ຂ. ກລົ ະນີ 2 ທອ່ ນຊື່ AB ແລະ CD ບເ່ື ນອ່ື ງກນັ ຕວົ ຢາ່ ງ ໃຫ້ທ່ອນຊື່ AB=11 cm. ທ່ອນຊ່ື CD=3 cm. ຖ້າທ່ອນຊ່ື AB , ມີຄວາມຍາວເທາືົ່ ຈກັ ເທອ ຂອງທອ່ ນຊ່ື CD?. ວທິ ແີ ກ:້ ວ່າງທ່ອນຊ່ື CD ໃສ່ທ່ອນຊື່ AB ໄດ້ 5 ເທອ ເສດທ່ອນຊື່ E1B ຕມື່ າເຮາົ ແບ່ງ CD ອອກເປນັ ສບີ ສ່ວນ ແລະ ເອົາ 1 ຂອງທ່ອນຊື່ CD ວ່າງໃສທ່ ່ອນຊທື່ ຍ່ືີ ງັ ເຫລອ E2B ຈະໄດ້ຈານວນເທອໃດໜ່ືງແຕ່ຍງັ ເຫອ. ວດັ ແທກ 10 3

ສວ່ ນທືີ່ຍງັ ເຫອແບບດ່ຽວກັນກບັ ຂາ້ ງເທງິ ໄປເລອ່ື ຍໆ ຈະໄດ້ຈານວນທມ່ືີ ທີ ດົ ສະນິຍົມບສ່ື ິນົ້ ສຸດ ແລະ ບເ່ື ປັນຮອບວຽນ. ຈານວນນີົ້ບເ່ື ປັນຮອບວຽນ ເພາສະວ່າ ຖາ້ ມຮີ ອບຮຽນມັນຈະກາຍເປນັ ເລກສ່ວນໃດໜງ່ື p . q ໝາຍຄວາມວ່າທ່ອນຊ່ື AB ບນັ ຈຸ p ເທອ 1 ຂອງທອ່ ນຊ່ື CD ຖາ້ ເປັນແນວນ້ົັນມນັ ຈະຝນກບັ ຂສມົ ມດຸ ທີື່ວ່າ ສອງ q ທ່ອນຊດ່ື ່ືັງກ່າວ ບມ່ື ີທອ່ ນແບ່ງຮ່ວມ. ດງ່ັື ນັ້ົນ, ຖາ້ ທອ່ ນຊ່ືໜງື່ ບມ່ື ີທ່ອນຊແື່ ບ່ງຮ່ວມກັບຫວົ ໜ່ວຍ, ຄ່າວດັ ແທກຂອງມນັ ຈະກາຍເປນັ ຈານວນອະປກົ ກະຕ.ິ ຍ້ອນແນວນນ້ົັ ສະແດງວ່າບັນດາລວງຍາວຂອງທ່ອນຊ່ືດວ້ ຍຈານວນທົດສະນຍິ ົມ ຈງ່ື ມຄີ ວາມໝາຍສາຄັນ. ດັື່ງນ້ົັນ, ທອ່ ນຊື່ AB ບເ່ື ນ່ອື ງກັບທ່ອນຊ່ື CD. ໝາຍຄວາມວາ່ ທອ່ ນຊ່ື AB ແລະ ທ່ອນຊ່ື CDບມື່ ທີ ່ອນແບງ່ ຮວ່ ມ, ສະນນົ້ັ , ຖ້າເຮົາວ່າງທ່ອນຊື່ CD ລຽນຕດິ ໃສທ່ ອ່ ນຊ່ື AB ນນົັ້ ຈະໄດຈ້ ານວນຫົວໜ່ວຍ CD ໃດໜງື່ ແຕ່ຄວາມ ຍາວທໄ່ືີ ດ້ຮັບຈະລຸດລ່ືນຄວາມຍາວຂອງທອ່ ນຊື່ AB ດ້ວຍຈານວນໃດໜືງ່ ທື່ີມຄີ ່ານ້ອຍກວ່າທ່ອນຊ່ື CD. ອປຸ ະກອນ: ໄມ້ບັນທັດ ວທິ ່ີືດາເນດັ ກດິ ຈະກາ ຄູເອົາກດິ ຈະກາ1 ໃຫ້ນັກຮຽນຄົນ້ ຄວາ້ ໂດຍໃຫນ້ ກັ ຮຽນທົດລອງວັດແທກທ່ອນຊື່ ຈາກນົັ້ນໃຫ້ນັກຮຽນສະຫບຼຸ ຜົນ ການວດັ ແທກ. ຄູ ແລະ ນັກຮຽນສະລຸບເປນັ ເນົອ້ ໃນແລ້ວ ນກັ ຮຽນຈົດເອາົ ເປນັ ບດົ ຮຽນ. ກິດຈະກາ2 ກດາເນີນຄກດິ ຈະກາ1 - ນັກຮຽນເບິງື່ ຕົວຢາ່ ງ ແລ້ວຄດິ ໄລໄ່ ປພອ້ ມ - ຄູເອາົ ວຽກມອບໝາຍໃຫ້ນກັ ຮຽນໃນຫ້ອງ  ສງື່ິ ທື່ີຄວນເອາົ ໃຈໃສ່ ຖ້າເຮາົ ແທກທ່ອນຊໜື່ ື່ງດ້ວຍຫົວໜວ່ ຍຕາ່ ງກັນ ແມນ່ ຈານວນວັດແທກກຕາ່ ງກັນ. ຕວົ ຢາ່ ງ: - ຖາ້ ຫົວໜວ່ ຍວັດແທກ 1cm ຜົນການວັດແທກຂອງທອ່ ນໜ່ງື ເທືົາ່ ກັບ 12,5 cm - ຖ້າຫວົ ໜວ່ ຍວດັ ແທກ 1mm ຜົນການວັດແທກຂອງທອ່ ນໜງື່ ເທືົາ່ ກັບ 12,5 cm ເວ້າົ ລວມແລວ້ ອງີ ຕາມຫົວໜວ່ ຍທື່ໃີ ຊ້ໃຫຍ່ກວາ່ (ຫ ນອ້ ຍກວາ່ ) ເທອກອ່ ນເທາ່ືົ ໃດເທອ ແມ່ນຈານວນວດັ ແທກນັນົ້ ຈະນອ້ ຍກວ່າ (ຫ ໃຫຍ່ກວາ່ ) ເທອກ່ອນເທ່ົືານ້ົັນເທອ. 4

ຕວົ ຢາ່ ງ ໃຫທ້ ອ່ ນຊື່ AB=113 cm, CD=11 cm. ຖາມວ່າທອ່ ນຊື່ AB ຍາວເທ່ືົາຈກັ ເທື່ອຂອງທ່ອນຊ່ື CD? ວທິ ແີ ກ:້ AB  113 10, 27 cm ຄວາມຍາວຂອງທ່ອນຊ່ື 10,27 cm CD 11 ວຽກມອບໝາຍ: ຈະຕອ້ ງຂດິ ຕທື່ ອ່ ນຊ່ື AB=25 cm ອອກຕື່ມເທົື່າໃດ cm ເພອ່ື ໃຫ້ AB  2 ເຊີ່ືງ C ແມນ່ ພົດສຸດທ້າຍຂອງຈີດຕ່ື C3 ນົ້ນັ . 2. ອດັ ຕາສວ່ ນຂອງທອ່ ນຊ່ື ກດິ ຈະກາ1 ຈງ່ືົ ຕ່ືມຕົວເລກລງົ ໃນຕາຕະລາງນີົ້ໃຫ້ເຕັມ AB CD AB:CD 75 15 .. 75 1.5 .. .. .. .. .. .. .. ອປຸ ະກອນ: ຕາຕະລາງຕ່ືມຄ່າ ວທິ ດີ າເນນີ : ຈດັ ນັກຮຽນເປນັ ກຸ່ມ ເອາົ ຕາຕະລາງຕື່ມຄາ່ ໃຫ້ນກັ ຮຽນໃນກມຸ່ ຄົນ້ ຄວ້າ ແລ້ວຕ່ືມຄາ່ ໃຫ້ເຕັມ, ຄໃູ ຫນ້ ັກຮຽນ ສງັ ເກດຄາ່ ໃນຕາຕະລາງ ແລວ້ ສະຫບຼຸ ຜົນຂອງກດິ ຈະກາ ຄູສະຫບຼຸ ຄນເປັນໃຈຄວາມຂອງບົດຮຽນ, ຈາກນົັນ້ ຄູເອາົ ວຽກ ມອບໝາຍໃຫ້. ກດິ ຈະກາ: ອັດຕາສວ່ ນຂອງທອ່ ນຊື່ ແມ່ນອັດຕາສ່ວນ ລະຫວາ່ ງຄ່າວດັ ແທກຂອງພວກມັນດວ້ ຍຫົວໜວ່ ຍວດັ ແທກຄກັນ.  ອດັ ຕາສ່ວນຂອງທອ່ ນຊ່ື AB ແລະ ທອນຊື່ CD ເພືິ່ນຂຽນດວ້ ຍເຄ່ອື ງໝາຍ AB CD  ອດັ ຕາສ່ວນຂອງທ່ອນຊ່ື ບ່ືຂ້ນົ ກບັ ຫົວໜ່ວຍວັດແທກ ດງັ່ື ນົັ້ນ: - ອດັ ຕາສ່ວນຂອງທ່ອນຊເ່ື ທືາ່ົ ຄ່າວັດແທກທ່ອນຊທື່ ໜີ ງື່ ໃນເມອື່ ເອົາທ່ອນຊທື່ ສື່ີ ອງເປນັ ຫວົ ໜ່ວຍ. 5

- ຖ້າທ່ອນຊເື່ ນອ່ື ງກັນ ອດັ ຕາສວ່ ນຂອງພວກມັນເປນັ ຈານວນປົກກະຕິ. - ຖາ້ ທອ່ ນຊ່ບື ເື່ ນ່ືອງກນັ , ອັດຕາສວ່ ນຂອງພວກມນັ ເປັນຈານວນອະປກົ ກະຕ.ິ  ວຽກມອບໝາຍ 1) ໃຫ້ທ່ອນຊ່ື AB=93, CD=3 ອັດຕາສ່ວນຂອງທ່ອນຊນື່ ນ້ົັ ເທົື່າກັບເທົື່າໃດ ? 2) ໃຫທ້ ອ່ ນຊື່ AB=17, CD=3 ອັດຕາສວ່ ນຂອງທ່ອນຊື່ນັ້ນົ ເທ່ົືາກັບເທາ່ືົ ໃດ ? 3. ອດັ ຕາສວ່ ນພວົ ພນັ ຂອງທອ່ ນຊື່ ກດິ ຈະກາ: ຈງື່ັ ຕ່ມື ຕົວເລກໃສ່ໃນຕາຕະລາງລຸ່ມນໃ້ົີ ຫ້ຖກຕອ້ ງ ລ/ດ AB CD A1B1 C1D1 AB A1B1 CD C1D1 1 10 2 20 4 2 15 2 30 6 6 6 3 150 10 450 30 7 7 4 9 9 5 6 ອປຸ ະກອນ: ຕາຕະລາງຕມ່ື ຄາ່ ວທິ ດີ າເນນີ : ເອາົ ຕາຕະລາງຕິດໃສ່ກະດານ ຫ ໃຫເ້ ປນັ ກ່ມຸ (ຕາມຄວາມເໝາະສມົ ) ໃຫນ້ ກັ ຮຽນຊອກຫາຄ່າທື່ີເໝາະສົມ ຕ່ມື ໃສ່ຕາຕະລາງໃຫ້ເຕມັ . ຄູໃຫນ້ ກັ ຮຽນສງັ ເກດຕາຕະລາງ ແລະ ສະຫບຼຸ ອອກຈາກຕາຕະລາງ. ຫງັ ຈາກນັ້ົນຄສູ ະຫບຼຸ ຄນເປັນໃຈຄວາມ, ນັກຮຽນສກສາຈາກຕົວຢ່າງ ໃຫ້ນກັ ຮຽນແກວ້ ຽກມອບໝາຍ. - ອດັ ຕາສ່ວນພວົ ພນັ ແມນ່ ສະເໝີຜນົ ລະຫວ່າງອດັ ຕາສວ່ ນ. ເພມ່ິື ເວົາ້ ວ່າ ສອງທອ່ ນຊ່ື ABແລະ CD ເປັນ ອັດຕາສ່ວນພົວພັນກັບສອງທອ່ ນຊື່  A1B1ແລະ C1D1 ຖ້າວ່າອດັ ຕາສວ່ ນລະຫວາ່ ງທ່ອນຊ  ABແລະ  A1B1 ເທືາົ່ ອດັ ຕາສວ່ ນລະຫວ່າງທອ່ ນຊື່ CD ແລະ C1D1 ໝາຍຄວາມວາ່ : AB  CD . A1B1 C1D1 3.1 ໃຈຄວາມ: ອັດຕາສວ່ ນພົວພັນຂອງທ່ອນຊື່ ຕ້ອງຕອບສະໜອງຄຸນລັກສະນະລ່ມຸ ນ:້ົີ 6

ຖ້າວາ່ AB  CD ເວລານົ້ີ: A1B1 C1D1 1. AB C1D1  CD A1B1 2. AB  A1B1  CD  C1D1 ຫ AB  A1B1  CD  C1D1 AB CD A1B1 C1D1 3. AB  A1B1  CD  C1D1 AB  A1B1 CD  C1D1 ຕວົ ຢາ່ ງ1: ທອ່ ນຊ່ື AB=6 cm,CD=3 cm, A1B1=18 Cm, C1D1= 9 cm. ຖາມວາ່ AB ແລະ CD ເປນັ ອດັ ຕາສ່ວນພົວພັນກບັ A1B1 ແລະ C1D1 ຫບ່ື ? ວທິ ແີ ກ:້ ຂສົ້ ົມມດຸ AB=6 cm,CD=3 cm, A1B1=18 Cm, C1D1= 9 cm. ຂສ້ົ ະຫບຼຸ AB  CD ຫ ບ?່ື A1B1 C1D1 ເຮົາໄດອ້ ັດຕາສວ່ ນ: AB  6  2cm ແລະ A1B1  18  2 cm CD 3 C1D1 9  AB  2cm AB A1B1  CD CD C1D1      A1B1 2 cm  C1D1 4. ວຽກມອບໝາຍ - ທອ່ ນຊ່ື AB= 6 Cm , CD= 5 cm, ອັດຕາສ່ວນຂອງທອ່ ນຊື່ AB ແລະ CD ແມນ່ ເທົ່າື ໃດ ? - ຖ້າເຮົາທ່ອນຊື່ CD ເປັນຫວົ ໜາ້ ວັດແທກລວງຍາວຂອງທອ່ ນຊື່ AB ຈະແມນ່ ເທາ່ືົ ໃດ ? 7

ບດົ ທົ່ືີ 2 ຫັກເກນຕາແລດັ ົແລະົການນາໃຊ້ 1. ຫກັ ເກນຕາແລດັ - ສົມມຸດົໃຫ້ສອງເສົ້ັນຊຕ່ື ັດກນັ ົຖກແບງ່ ດວ້ ຍສາມເສນົ້ັ ຊື່ຂະໜານກັນົຕດັ ກນັ ຢູ່ບນັ ດາຈດຸ ົ A, B,C ົແລະົ A1, B1,C1 ໃນນົ້ພີ ິສດູ ວາ່ ົົົົົ AB  A1B1 ເຮົາຈະພິສດູ ົ2ົກລະນິ AC A1C1  ກລະນທິ ົື່ີ 1:ົ 1. ໃຫ້ສອງທອ່ ນຊື່ົ AB ົແລະົ BC ເນອ່ື ງກັນໝາຍຄວາມວ່າ ົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົ AB , AC ມີທ່ອນແບ່ງຮ່ວມ. ົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົ ົົົສມົ ມດຸ ົ AB ບັນຈົຸ m ເທອຂອງທອ່ ນແບງ່ ຮວ່ ມນົ້ນັ ົ ົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົ AC ບນັ ຈຸົ n ົເທອເວລານົີ້ ົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົອິງຕາມບດົ ທີົ1ົເຮົາມີ:ົ AB  m AC n ົົົົົົົົຖ້າເຮາົ ແບງ່ ົ AB ອອກເປນັ ົ m ສ່ວນເທົ່າື ກັນົແລະົແບ່ງົ BC ອອກເປນັ ົ n ົສ່ວນເທາົ່ື ກັນແນນ່ ອນວ່າບນັ ດາ ສວ່ ນດງັ ກາ່ ວຂອງົ AB ົແລະົ BC ລ້ວນແຕເ່ ທ່ືາົ ກັນ. 2. ເຮາົ ສ້າງເສົັ້ນຊຂື່ ະໜານຜາ່ ນເມັດົ A ົແລະົ A1, B ົແລະົ B1, C ົແລະົ C1 ຕາມລາດບັ ອິງຕາມົຫັກເກນກ່ຽວ ກບັ ເສ້ົັນຊືຂ່ ະໜານຫາ່ ງສະເໝ.ີ ເສນ້ົັ ຊື່ຂະໜານເຫາ່ືົ ນຈີົ້ ະແບງ່ ົ A1B1ົແລະົ A1C1 ອອກເປນັ ບນັ ດາສວ່ ນເທື່ົາໆກັນ. ົົົົົົົົດື່ັງນນ້ົັ :ົ A1B1ົຈະມີົ m ສວ່ ນົ B1C1 ຈະມົີ n ສ່ວນເຮາົ ຂຽນໄດ້ົົ A1B1  m B1C1 n ຈາກຜົນໄດຮ້ ບັ ຂ້າງເທງີ ເຮົາຂຽນໄດ້ AB  m   AB  A1B1 BC n  BC B1C1  A1B1  m  B1C1 n  ົົົົົົົົດັ້ງົ່ື ນ້ົນັ :ົເຮາົ ສາມາດສະຫຼຸບໄດ້ 8

ຫກັ ເກນຕາແລດັ ົ ຫາຍເສັົນ້ ຊຂ່ື ະໜານແບງ່ ສອງເສນົັ້ ຕດັ ອອກເປັນບນັ ດາທ່ອນຊ່ືທີ່ືມອີ ັດຕາສວ່ ນພວົ ພັນ ສະນນົ້ັ , AB  A1B1 BC B1C1 ກລະນທິ ົື່ີ 2:ົ ຫສ້ ອງທອ່ ນຊ່ືົ AB ົແລະົ BC ບຕ່ື ່ເື ນື່ອງກັນ ອງິ ຕາມບົດທີົ1ົເຮາົ ໄດອ້ ດັ ຕາສ່ວນຂອງພວກມັນຈະເປັນຈານວນອະປກົ ກະຕົິ ໝາຍຄວາມວາ່ ົ AB  P AC ົ( P ເປນັ ຈານວນອະປກົ ກະຕໃິ ດໜືງ່ )ົເພອື່ ໃຫ້ງ່າຍຂົນ້ ພວກເຮາົ ໃຫ້ຄາ່ ຂອງົ P  0,735... ົົົົົ ົົົົົົົົຖ້າເຮົາເອາົ ຄ່າຄວາມຊັດເຈນເຖງີ ົົ 1 ົຫົ 0,1ົຈະໄດ້ົ AB  0,7 ຫົ AB  7 ົໝາຍຄວາມວາ່ ຖາ້ ເຮາົ ແບງ່ 10 AC AC 10 BC ອອກເປນັ ົ10ົສວ່ ນເທ່ົືາກັນ,ົ AB ຈະບັນຈໄຸ ດ້ົ7ົສ່ວນົແລະົຍັງເສດສ່ວນຢົູ່ ເຊ່ີືງສວ່ ນນັົນ້ ຈະໜ້ອຍກວາ່ ສວ່ ນ ໜງ່ື ຂອງສ່ວນແບ່ງນັົນ້ . - ຜາ່ ນຈດຸ ແບ່ງຕາ່ ງໆນັນົ້ ,ົຖາ້ ເຮົາຂດິ ເສັນົ້ ຊືົ່ ເຮາົ ຈະໄດ້ເສັນົ້ ຊ່ືຂະໜານກັນ AA1 , BB1 ,ເຊນ່ັື ດຽວກບັ ຂ້າງເທີງົ B1C1 ອອກເປັນົ10ົສວ່ ນເທ່ົືາກັນົ A1B1ຈະບນັ ຈຸຢູົ່ 7ົສວ່ ນແຕຍ່ ັງເສດ,ດ່ືງັ ນັົນ້ ເຮາົ ມົີ AB  0, 7 ຫົ AC AB  7 AC 10 - ຖາ້ ເຮົາເອາົ ຄາ່ ຄວາມຊດັ ເຈນເລ້ົອຍໆົົ 0, 001 ົເຮາົ ກຈະປະຕິບັດຂ້າງເທີງ: AB  0,7...  AB A1B1 BC  BC B1C1 ົົົເຮົາໄດ້ົົ    ົ A1B1 0, 7...  B1C1  ຈາກຜນົ ໄດ້ຮບັ ຂ້າງທັງສອງກລະນິເຮາົ ສາມາດສະຫບຼຸ ໄດ້: ົ ົ ົົ AB  A1B1  AC ົົົົົົົ BC B1C1 A1C1  ຫກັ ເກນປນົ້ີ 9

ົົົົົົົົົຖ້າໃຫສ້ າມເສົນ້ັ ຊ,່ື ໃນນ້ນົັ ສອງເສົັນ້ ຊຂ່ື ະໜານກນັ ແບ່ງສອງເສ້ັນົ ຕັດເປັນບັນດາທອ່ ນຊ່ືທືເ່ີ ປນັ ອດັ ຕາສ່ວນ ພົວພນັ ,ແມ່ນສາມເສັົນ້ ດັ່ງື ກ່າວນັ້ົນຂະໜານກັນ. ົຕວົ ຢາ່ ງ ໃຫຮ້ ູບົ ACM ເຮົາຂິດເສັ້ົນຊົ່ື BD ຂະໜານກບັ ຂ້າງົ CM ເຊ່ງືີ ຕັດຂາ້ ງົ AC ຢູ່ເມັດົ B ົແລະົຕັດຂາ້ ງົ AM ຢເູ່ ມດັ ົ D ເຮາົ ວາງ AB  10Cm, ົ C  12Cm, AD  15Cm ຈ່ງືົ ຄິດໄລ່ລວງຍາວຂອງົ DM ວທິ ແີ ກ:້ ACM ມີົ BD // CM ສົມມຸດ ຮູ້ົ AB  10Cm, ົ C  12Cm, AD  15Cm ສະຫບຼຸ ົົົົົົົົຊອກຫາົ DM  ? ຈາກອດັ ຕາສ່ວນົ AB  AD ເຮົາໄດົ້ 10  15 BC DM 12 DM  DM  1215 ົົົົົົ 10  180 10  18Cm ດັືງ່ ນນົ້ັ ົົ DM  18Cm 2. ການນາໃຊຫ້ ກັ ເກນຕາແລດັ ຄດິ ໄລອ່ ດັ ຕາສວ່ ນພວົ ພນັ ໃນຮບູ ສາມແຈ 1.ົໃຫ້ຮູບົ ABC ແລະົເສນັົ້ ຊື່ົ MN / /BC ຈົືງ່ ພສິ ດູ ວ່າົ AM  AN MB NC  ຜາ່ ນເມັດ A ສ້າງເສັົ້ນຊືົ່ PQ ຂະໜານກບັ BC - ເຮາົ ໄດ້ສາມເສນົັ້ ຊ່ື PQ , MN , BC ເປັນແນວໃດກນັ ? - ທ່ອນຊ່ືົ MN ຕັດຂ້າງົ AB ແລະົ AC ຢເູ່ ມັດໃດແດ່? 10

 ຫກັ ເກນົ1ົ ົເສນ້ົັ ຊຂື່ ະໜານກນັ ຂາ້ ງໜງ່ື ຂອງຮບູ ສາມແຈຈະແບງ່ ສອງຂາ້ ງທຍີື່ ັງເຫອອອກເປນັ ບນັ ດາທ່ອນຊ່ື ທີ່ືເປນັ ອດັ ຕາ ສວ່ ນພົວພນັ ສະນນັ້ົ , AB  A1B1 ົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົ BC B1C1  ສງືິ່ ທຄືີ່ ວນເອາົ ໃຈໃສ່ ເສນັົ້ ຊົ່ື MN / /BC ແບ່ງສອງຂາ້ ງົ AB ແລະົ AC ອອກເປນັ ບນັ ດາທ່ອນຊືທ່ ີ່ືເປັນອັດຕາສ່ວນພວົ ພັນກບັ ສອງຂ້າງນນົ້ັ ເອງ. ເຮາົ ມີ:ົົ MN  AN 1 MB NC ຖອນໄດ້:ົົ AM  MB  AN  NC AM AN ໝາຍຄວາມວ່າົົ AB  AC ຫົ AB  AM 2 AM AN AC AN AM  MB  AN  NC AM AN ໝາຍຄວາມວ່າົົົ AB  AC ຫົ AB  MB 3 MB NC AC NC ທຽບສະເໝີຜົນົ 2 ແລະົ 3 ເຮາົ ໄດົ້ AB  AM 4 AC NC ຕວົ ຢາ່ ງົົໃຫ້ຮຸບົ ABC ໃຫ້ເສ້ນັົ ຊົື່ MN / /BC ຕັດົ AB ຢູ່ເມັດົ M ົແລະົຕັດົ AC ຢເູ່ ມດັ ົ N ຮູວ້ ່າົ AC  5Cm, ົ AN  3Cm, BC  6Cm ຈືງ່ົ ຊອກຫາົ MN  ? ວິທແີ ກ:້ ົົົ ABC ມີົ MN // BC ົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົ ົົົົົົົົ ຮູ້ົ AC  5Cm, ົ AN  3Cm, BC  6Cm ົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົ ົົົົົົົ ົົົົົົົຊອກຫາົ MN  ? 11

ອງ່ິື ໃສຫ່ ັກເກນຕາແລັດເຮົາສາມາດສ້າງໄດອ້ ັດຕາສ່ວນົພວົ ພັນ ົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົ AN  AC  AN.BC  MN.AC MN BC  MN  AN.BC 1 BC ແທນຄາ່ ໃສ່ 1 ົເຮົາໄດ້ MN  3 6 5 ົ  18 5  3, 6Cm ດງັື່ ນ້ນັົ ົົ MN  3,6Cm 1 ສົມມຸດວາ່ ົ MN ແລະົ PQ ຕັດສອງຂ້າງຂອງົ ABC ເຮັດແນວໃດໃຫ້ົ AM  AN AP AQ ສົມມດຸ ົ MN ເຮົາຂດິ MK / /PQ ອືິງ່ ຕາມຫັກເກນກງົ : - ເຮາົ ສາມາດຂຽນອັດຕາສ່ວນພວົ ພັນໄດຄ້ ົົົ ແນວໃດ? - ເຮາົ ເຮດັ ແນວໃດຈືງ່ ສາມາດສະຫຼຸບໄດ້ MN / /PQ ?  ຫກັ ເກນປນີົ້ ຖ້ົາົເສນົ້ັ ຊໜື່ ງື່ ແບງ່ ສອງຂາ້ ງຮບູ ສາມແຈອອກເປນັ ບນັ ດາທອ່ ນຊທ່ື ່ີືມອີ ດັ ຕາສວ່ ນພວົ ພນັ . ແມນ່ ເສນັ້ົ ຊນື່ ນົ້ັ ຈະຂະໜານກບັ ຂາ້ ງທີື່ສາມຂອງຮູບສາມແຈນນ້ັົ . 2. ໃຫ້ ABC ໃຫ້ົ DE / /BC ເຮົາໄດ້ຮບູ ສາມແຈົ ADE ຈ່ງືົ ພສິ ດູ ວ່າົ AB  AC  BC ອືງິ່ ໃສ່ົ MN ຕັດ AM AN MN AB ົົແລະົ AC ເຮົາສງັ ເກດຢໃູ່ ນສາມກລະນິຄ:  ກລະນົິ 1ົ ົົົົົ ເຮົາແຕມ້ ົ FN / / AB ອ່ງິື ຕາມຫກັ ເກນົ1ົ - ເຮາົ ສາມາດຂຽນອັດຕາສ່ວນພົວພັນນົ້ັນໄດຄ້ ແນວໃດ? -  BC  AC  1  BF AN  - 12

- ມົີ MN  BF ເຮາົ ສາມາດຂຽນອັດຕາສ່ວນພົວພນັ ໄດຄ້ ແນວໃດ? ົົົົົົ  BC  AC  2  MN AN  - ມົີ MN / /BC ອງ່ິື ຕາມຫັກເກນົເຮົາສາມາດຂຽນອັດຕາສວ່ ນພວົ ພັນໄດ້ແນວໃດ? ົົົົົົ  AB  AC  3 ົົ  AM AN  - ຖາ້ ສົມທຽບທງັ ສາມອດັ ຕາສວ່ ນເຮາົ ສາມາດຂຽນໄດ້ອັດຕາສ່ວນຄແນວໃດ?  ກລະນົິ 2ົົ -ົົເທີງຂາ້ ງຂອງ AB ເຮາັ ວາ່ ງທ່ອນຊ່ືົ AM '  AM ແລະົຜ່ານົ M ' ເຮົາຂດິ ເສ້ົັນຊ່ື M 'N ' / /MN ເຮາົ ໄດົ້ M 'N ' ແລະົ BC ເປັນຫຍງັ ກນັ ? - AMN ແລະົ AM 'N ' ເທົືາ່ ກນັ ບ?ື່ ຍອ້ ນຫຍັງ? - ເຮາົ ສາມາດຂຽນອັດຕາສ່ວນພົວພນັ ໄດ້ຄແນວໃດ? - ຖ້າເຮາົ ມີົ M 'N '  MN ,ົ AM '  AM , AN '  AN ເຮົາ ສາມາດຂຽນໄດ້ອດັ ຕາສວ່ ນພົວພັນໃໝໄ່ ດຄ້ ແນວໃດ?  ກລະນົິ 3ົ -ົົເທີງຂາ້ ງຂອງ AB ເຮາັ ວາ່ ງທອ່ ນຊ່ືົ BM ຂ້າງົ AC ວາ່ ງທອ່ ນຊື່ CN ົແລະົ BC / /MN ົ - ອງິື່ ຕາມຫັກເກນົເຮົາສາມາດຂຽນອດັ ຕາສວ່ ນພົວພນັ ໄດຄ້ ແນວໃດ? - ABC ຄ້າຍຄກັບ AMN ບ່ື?ຍ້ອນຫຍັງ? - ສາມາດຂຽນໄດອ້ ັດຕາສວ່ ນພວົ ພັນໄດຄ້ ແນວໃດ? - ົ BC / /MN ແລະົຕັດຂາ້ ງ AM ແລະົ AN ຢເູ່ ມັດົ B ແລະົ C  ເຮາົ ສາມາດຂຽນອັດຕາສວ່ ນພົວພນັ ໄດຄ້ ແນວໃດ?  ສົມທຽບອດັ ຕາສວ່ ນພວົ ພັນທີື່ຂຽນໄດທ້ ັງສາມົກລະນິ ດັ່ງື ນນັ້ົ :ົເຮົາສາມາດສະຫຼຸບອດັ ຕາສ່ວນພົວພັນໄດ້ຄແນວໃດ? ຕວົ ຢາ່ ງ ໃຫ້ຮບູ ົ ABC ໃຫ້ເສ້ັົນຊື່ົ MN / /BC ເຊງ່ືີ ຕດັ ົ AB ຢ່ົູ N ຮ້ວູ າ່ ົ AB  6Cm, ົ MB  5Cm, BC  9Cm ຈ່ງືົ ຊອກຫາົ MN  ? 13

ວທິ ແີ ກ:້ ົົົ ໃຫ້ ABC ມີົ MN // BC ົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົ ົ ົສົມມດຸ ຮ້ົູ AB  6Cm, ົ MB  5Cm, BC  9Cm ົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົ ົົສະຫບຼຸ ົົົົົົົົຊອກຫາົ MN  ? ຈາກຫກັ ເກນຕາແລັດເຮາົ ໄດົ້ ົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົ MB  NC  MN ຫົ AB AC BC  MN  MB.BC AB MN  59 6 ົ  45 6  7,5Cm ດືັ່ງນົັ້ນ:ົົ MN  7,5Cm  ວຽກມອບໝາຍ ໃຫຮ້ ູບົ ABC ມເີ ສ້ົນັ ຊົ່ື FN / /BC ເຊງື່ີ ຕັດົ AB ຢົູ່ F ຮູ້ວາ່ ົ AC  6Cm, ົ AF  3Cm, BC  8Cm ຈົງ່ື ຊອກຫາົ FN  ? ເທົືາ່ ກັບເທາົື່ ໃດ? ບດົ ເຝກີ ຫດັ ສງັ ລວມໝດົ ພາກທົີື່ 1ົ 1. ໃຫຮ້ ູ້ວາ່ ົ a ບັນຈຸທ່ອນົ m ໄດ້ົ 207 ເທອ່ື ົແລະົທອ່ ນົ b ບັນຈທຸ ່ອນ m ໄດົ້ 93 ເທ່ືອົແລະົເມອວາງລຽນຕິດ b ໃສົ່ a ແມນ່ ຍັງເສດທ່ອນົ r1 ເຊ່ງີື ົ r1  b ວາງົ r1 ລຽນຕດິ ໃສ່ົ b ແມນ່ ຍັງເສດທ່ອນົ r2... 1) ົ r1,r2,r3,..... ົຈະບນັ ຈົຸ m ເທື່າົ ໃດເທື່ອ 2) ທ່ອນແບ່ງຮວ່ ມໃຫຍສ່ ດຸ ຂອງທອ່ ນົ a ົແລະົ b ຈະບັນຈົຸ m ໄດເ້ ທ່ືົາໃດເທືອ່ ? 2. m ແມນ່ ທ່ອນຊ່ທື ໃ່ືີ ຫກ້ ່ອນ,ໃນກລະນິລຸ່ມນີ້,ົ ຈື່ງົ ຊອກຫາທ່ອນຊື່ົ a ົແລະົ b ໃຫຍກ່ ວ່າທອ່ ນຊືົ່ m ທ່ີືໃຫ້ກອ່ ນ ເທື່ົາໃດເທ່ືອ? ົົົົົກ.ົ a ບນັ ຈຸົ m ໄດ້ົ 6 ເທື່ອົແລະົ b ຈະບນັ ຈົຸ 4 ເທອື່ ົົົົົຂ.ົ a ບັນຈົຸ m ໄດົ້ 7 ເທື່ອົແລະົ b ຈະບັນຈົຸ 4 ເທືອ່ 14

3. ໃຫ້ທ່ອນຊ່ົື AB ແລະົເມັດົ C ຢົູ່ AB ເຮດັ ແນວໃດໃຫົ້ AB  2 ຮູ້ວ່າົທອ່ ນຊົື່ AC  4,8dm ຈົ່ງື ຄິດໄລ່ BC 3 ລວງຍາວຂອງົ AB ແລະົ BC 4. ໃຫ້ົ AB 12dm ຖາມວ່າຕ້ອງຂດິ ຕົ່ື AB ເທ່ືາົ ໃດ?ເພືອ່ ໃຫໄ້ ດ້ທອ່ ນຊ່ົື BC ຕອບສະໜອງເງື່ອນໄຂ AB  5 BC 2 5. ໃຫ້ທອ່ ນຊື່ົ AB  48Cm ເມດັ ົ C ແບ່ງົ AB ອອກເປັນສອງສ່ວນເຮັດແນວໃດໃຫ້ AC  3 ຈົ່ງື ຄິດໄລລ່ ວງ BC 4 ຍາວຂອງົ AC ແລະົ BC 6. ໃຫ້ົ C ເປັນເມດັ ໜ່ືງຢູ່ AB ົ, C ແບງ່ AB ົຕາມອດັ ຕາສ່ວນພວົ ພັນົ AC  3 ົຈືງ່ົ ຄດິ ໄລ່ອັດຕາສວ່ ນພົວພັນົ BC 2 AC ແລະົ AB BC BC  7. ຢ່ຂູ າ້ ງໜືງ່ ຂອງ A ົເຮາົ ວາງ AB  20Cmົແລະົວາງຕ່ື BC 12Cm ົຢຂູ່ ້າງເບ້ອົ ງໜງື່ ອກີ ເຮາົ ວາງ AD  15Cm ົຕື່ B ົກັບົ D ຜ່ານ C ົຂດິ CM / /BD ົຈົື່ງຄິດໄລ່ລວງຍາວຂອງົ DM  8. ສອງເສ້ນົັ ຊ່ືົ BD ແລະ CM ົຂະໜານກັນຕດັ ຂາ້ ງທ່ືໜີ ່ືງຂອງ A ົຢູ່ B ົແລະ C ົົແລະົຕັດຂ້າງທ່ສືີ ອງຢູ່ D ົ ແລະົ M ຈງ່ືົ ຊອກຫາ AB ົຮູວ້ າ່ ົ AC  AB 14Cm ແລະົ AM  4 AD 3 9. ສາມເສົ້ນັ ຊ່ຂື ະໜານຕັດຂາ້ ງທ່ືີໜື່ງຂອງ LO ົຢ່ົູ M , N , P ແລະົຕດັ ຂາ້ ງທື່ີສອງຢົູ່ M ', N', P' ຮວູ້ ່າ OM  2Cm , ON  3Cm , OP  5Cm ແລະ OP'  9Cm ົຈືົງ່ ຄດິ ໄລ່ OM ' ົແລະົ ON ' 10. ໃນົ ABC ຕດັ ຂ້າງ AB ົຢູ່ M ົແລະົຕັດຂ້າງ BC ົຢູ່ N , MN ົຂະໜານ AC ົຫບື່?ົຖາ້ ກ.ົ AB  4Cm , BM  2Cm , BC  8Cm , NC  4Cm ຂ.ົ AB  4Cm , BM  3Cm , BC  8Cm , NC  4Cm 11.ຢ່ຂູ ້າງໜື່ຂອງ  ົເຮົາວາງທອ່ ນຊື່ AB ົແລະົ BC ເຊງີື່ ວ່າົ AB  1 ຈາກ B ົແລະົ C ເຮາົ ຂິດສອງເສ້ັນົ ຊຂ່ື ອງ A BC 2 ໜານໃຫມ້ ັນຕດັ ຂ້າງໜ່ືງຂອງ  ຢ່ົູ D ແລະົ M ຈ່ືງົ ຄິດໄລ່ອັດຕາສວ່ ນ AM A AD 12.ຮູບສາມແຈທຽ່ ງມພີ ນ້ົ ເທືົ່າົ 4dm ົແລະົຂ້າງົ 6dm ເຮົາແຕມ້ ເສັນົ້ ຊື່ໜງ່ື ໃຫ້ຂະໜານກັບພົນ້ ຂອງຮບູ ສາມແຈ.ຮູ້ ວ່າົຮູບຄາງໝໜູ ່ືງປະກອບຂົນ້ ມີພ້ົນນ້ອຍເທົືາ່ ຜົນບວກລະຫວ່າງຂາ້ ງຂອງມັນ.ົຈ່ງົື ຄດິ ໄລ່ລວງຍາວຂອງແຕລ່ ະ ຂ້າງນັົ້ນ. 13.ສອງພົ້ນຂອງຮບູ ຄາງໝເູ ທືົ່າົ1,8m ແລະ1, 2m ົສອງຂາ້ ງເທົ່ືາົົ1,5m ແລະົ1, 2m ຖາມວາ່ ຈະຕອ້ ງຂິດຕື່ແຕລະ ຂ້າງເທາືົ່ ໃດົພວກມັນຈ່ືງຕດັ ກັນ  14.ເສນັ້ົ ຊົື່ BC ົແລະົ DE ຂະໜານກັນພ້ອມຕດັ ຂາ້ ງທືີ່ໜື່ງຂອງົ A ຢູ່ົ B ົແລະ D ົແລະົຕດັ ຂ້າງທ່ືີສອງຢູ່ C ົ ແລະ E ົຈ່ງືົ ຊອກ BD ົຮູ້ວ່າົ AB  BD  60Cm , AC 18Cm , CE  22Cm 15

15.ຮບູ ສາມແຈົ ABC ມີພນ້ົ BC 12Cm ົເສນ້ົັ ຈອມສາກ AH  6Cm ົເຮົາແຕ້ມຮບູ ຈະຕຸລັດແນບໃນຮູບ ສາມແຈນັນ້ົ . ເຮດັ ແນວໃດໃຫ້ຈອມ P ແລະ Q ົຢ່ພູ ົ້ນົແລະົຈອມົ M ແລະ N ົຢຂູ່ າ້ ງ.ົຈ່ງືົ ຄດິ ໄລ່ຂາ້ ງຂອງຮູບ ຈະຕຸລັດນ້ັົນ. 16

ບດົ ທົີ 3 ເນອ້ົ ທຂືີ່ ອງຮບູ ສແືີ່ ຈສາກົແລະົເນອົ້ ທຂ່ີື ອງຮບູ ຈະຕລຸ ດັ 1. ເນອ້ົ ທຂືີ່ ອງຮບູ ສແືີ່ ຈສາກົແລະົເນອ້ົ ທຂີື່ ອງຮບູ ຈະຕລຸ ດັ ົກກິ ຈະກາົ1 ວທິ ດີ າເນນີ ກດິ ຈະກາ: - ຈດັ ນກັ ຮຽນອອກເປນັ ກມຸ່ ຕາມຄວາມເໝະສມົ - ຄຢູ າຍໄມດ້ ວ້ົີ ກມຸ່ ລະ 4 ດວົ້ີ - ນກັ ຮຽນປະຕບິ ດັ ກດິ ຈະກາ ແລະ ໃຫແ້ ຕລ່ ະກມຸ່ ສະຫບຼຸ ຜົນແຕລ່ ະຂົ້ - ຄູ ແລະ ນກັ ຮຽນສະຫຼຸບລວມ ົົົົົ ົ a ົົົ ົົົົົົົກ.ົເຮາົ ມີສອງເສົ້ນັ ຊື່ົ a ແລະົ b ເຊື່ງີ ົ a ແລະົ b ບ່ມື ເີ ມັດພບົ ກນັ . b ົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົຖາມວາ່ ົສອງເສນົັ້ ຊ່ືນ້ີົເປນັ ແນວໃດກັນ? ົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົ ົຂ.ົເຮົາມີສອງເສົ້ນັ ຊ່ົື c ,ົ d ເຊ່ີືງົ c ແລະົ d ບມື່ ເີ ມດັ ພບົ ກັນ. ົົົົົົົົົ c ົົົົົົົົົົົົົ d ົົົົົົົົົົົ ຖາມວ່າສອງເສົັ້ນຊນື່ ົ້ເິ ປັນຫຍງັ ກັນ? ົົົົ A a B ຄ.ົເຮາົ ເອົາົ a,b,c, d ມາປະກອບເຂົ້າກນັ ເຮາົ ສັງເກດເຫັນເມັດຕດັ ກັນ ົົົົົົົ c ົົົົົົົົົົົົົົົົົົົ d ົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົຂອງເສົັນ້ ຊຂື່ ະໜານແຕລ່ ະຄ່ປູ ະກອບກນັ ເປນັ ມມຸ ຫຍັງ?ົແລະ ົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົຮບູ ດັືງ່ ກ່າວເປັນຮູບຫຍັງ ົົົົົ D bC A ົົົົົົົົົ a ົ ົົົົົົ B ງ.ົົເມັດຕດັ ກນັ ຂອງເສນົ້ັ ຂະໜານຫາກເປັນມມຸ ສາກົຮບູ ດງັື່ ກາ່ ວເປນັ ົົົົົົ ົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົຮບູ ຍຫຍັງ ົົົົົົ c ົົົົົົົົົົ ົົົົົົ d ົົົົົົົົົົົົົົົ 17

ົົ A ົົົົົົົົ a ົ ົົົົ B ຈ.ົົຖາ້ ວາ່ ແຕ່ລະຂາ້ ງຫາກເທ່ືົາກັນ.ຮບູ ດ່ືງັ ກ່າວເປນັ ຮູບຫຍັງ ົ c ົົົົົົົົົົ ົົົົົົ d ົົົົົ ົົົົົ ົົົົົ D ົົົົົົ ົ b ົົົົ ົົ C ຜາ່ ນການເຮດັ ກິດຈະກາຂ້າງເທງີ ເຮາົ ສາມາດສະຫຼຸບໄດ້ນຍິ າມດືັງ່ ນົ້ີ ນຍິ າມ:ົ ຮູບສ່ືີແຈສາກົແມ່ນຮບູ ສ່ືີແຈທີ່ືມີສອງຂາ້ ງເຊິງໜາ້ ຂະໜານກັນົຕາມແຕ່ລະຄົູ່ ແລະົມສີ ່ີືມມຸ ເປນັ ມຸມສາກ.  ກລະນພິ ເິ ສດ ຖ້າຮບູ ສືີແ່ ຈສາກຫາກມສີ ່ີືຂາ້ ງເທາ່ົື ກັນົຮບູ ນ້ົັນຈະແມນ່ ຮູບຈະຕລຸ ດັ ົົກດິ ຈະກາ2ົ ຈ່ືົງສງັ ເກດົແລະົໃຫ້ເຫດຜນົ ລະຫວ່າງົ(ຮູບົກົ)ົແລະົ(ຮບູ ົຂ)ົ 1 2345 6 (ຮູບົກ)ົົ(ຮບູ ົກ)ເອາົ ຮູບຈະຕລຸ ດັ ມາເປັນຫົວໜວ່ ຍວັດແທກ 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 ົົ 1ົົົົ 2 ົົົົ 3 ົົົົ 4 ົົົົ 5 ົົົ 6 ົົ (ຮບູ ົຂ)ົົ(ຮບູ ົຂ)ເອົາຮູບດອກຈັນມາເປນັ ຫວົ ໜ່ວຍວັດແທກ 7 ົົົ 8 ົົົົ 9 ົົົົ10 ົົົ11ົົ12 13 ົ14 ົົົ15 ົົົ16 ົົົ17 ົົ18 ົກດິ ຈະກາົ3 ຈືົງ່ ບັນທກຈານວນຮູບຈະຕຸລດັ ນ້ອຍທີື່ປະກອບເປັນຮູບສແື່ີ ຈສາກຕ່າງໆລົງໃນຕາຕະລາງລຸມ່ ນີ:້ົ ຮບູ ທີ ຄວາມຍາວ ຄວາມກວ້າງ ຈານວນຮູບຈະຕລຸ ັດນອ້ ຍົ ົົົົົົົົົ(ເນອ້ົ ທ)ີື່ 17 3 21 18

ດ່ືັງນນ້ັົ ົົເນອ້ົ ທືຂ່ີ ອງຮູບສີ່ແື ຈສາກເທາ່ືົ ກນັ ...ົົົົົົົົ ົົົົົົົົົເນົອ້ ທີຂື່ ອງຮູບຈະຕຸລັດເທ່ືາົ ກັນ...  ໃຈຄວາມົ ເນອົ້ ທີຂື່ ອງຮູບສື່ີແຈສາກເທື່ົາກບັ ຜນົ ຄນູ ລະຫວາ່ ງລວງຍາວົຄູນົໃຫົ້ ລວງກວາ້ ງ ເຮາົ ເອົີນ້ ົົົ S ແມນ່ ເນົອ້ ທຂີື່ ອງຮູບສືີແ່ ຈສາກ b a ົົແມ່ນລວງຍາວ ເນ້ົ b ົແມ່ນລວງກວາ້ ງ a ົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົສູດຄດິ ໄລົ່ - ຖ້າວ່າຮູບສື່ີແຈກສາກທ່ືມີ ລີ ວງຍາວເທ່າືົ ກບັ ລວງກວາ້ ງົເຮົາຈະໄດ້ຮູບນນ້ັົ ເປັນຮູບຈະຕຸລັດົສະນນ້ົັ ເນົອ້ ຂອງຮບູ ຈະຕລຸ ດັ ເທ່ືາົ ກັບົົຂ້າງົຄູນົຂາ້ ງ. ົົົົົົົົົົົົົົົົົົ b ົົົົົົ ເຮາົ ເອີ້ົນົົົົ a ົົແມນ່ ຂາ້ ງຂອງຮບູ ຈະຕຸລດັ ົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົ S ົແມນ່ ເນົອ້ ທຂີື່ ອງຮບູ ຈະຕຸລດັ ົົົົົົົົົົົົົົົົ a ົົ ຈາກເນອົ້ ທີືຂ່ ອງຮູບສື່ແີ ຈສາກົົ S  a  b ; a  b ສະນົ້ັນເນອ້ົ ທືີ່ຂອງຮູບຈະຕຸລດັ ົົົົົ ຕວົ ຢາ່ ງການນາໃຊສ້ ດູ B A 12Cm I ຕົວຢາ່ ງ:ົົຈືົງ່ ຄດິ ໄລພ່ າກສວ່ ນທຂ່ີື ດິ ລາຍໂດຍນາໃຊສ້ ູດ 6Cm K J C 30Cm D ົົົົົ 19

ົວທິ ແີ ກ:້ ຮູບສ່ືແີ ຈສາກົ ABCD ົົົົສົມມດຸ ຮູ້ົ AB  DC  30Cm ,ົ BC  AD , AI 12Cm , KD  6Cm ົົົົົສະຫບຼຸ ົົົົົົົົຊອກຫາເນ້ົອທີື່ຂອງພາກສວ່ ນທີຂ່ື ິດລາຍ ວາງົົ S ົແມ່ນເນອ້ົ ທີຂື່ ອງພາກສ່ວນທີື່ຂດິ ລາຍ ົົົົົົ S1 ົແມ່ນເນອ້ົ ທືຂ່ີ ອງຮບູ ສື່ີແຈສາກົ ABCD ົ S2 ົແມ່ນເນອົ້ ທຂ່ືີ ອງຮູບຈະຕຸລັດ AIJK ເຮາົ ມີົ S  S1  S2 ອິ່ງື ຕາມສູດ:ົົົ S  a b  ຊອກ.ົ S1 ເຮາົ ມົີ ົ S1  AB AD ົົົົົົົົົົ ເຊື່ງີ ວາ່ ົົ AD  AK  KD S1  AB  AK  KD ແຕ່ວ່າົົົ AK  AI S1  30 12  6 S1  30 18 S1  540Cm2 ົົົົົົົົສະນັນົ້ :ົົົ  ຊອກ.ົ S2 ົົົົົົົົົົ ເຊງ່ືີ ວາ່ ົົ AK  AI ເຮົາມົີ ົ S2  AI  AK S2  AI  AI S2 1212 S2 144 S2  144Cm2 ົົົົົົົົສະນ້ນົັ :ົົົ ສະນັົນ້ :ົເນອົ້ ຂອງພາກສ່ວນທີື່ຂິດຈ່ືງເທືາ່ົ ກບັ . ົົົົົົົົົ S  S1  S2 ແທນຄາ່ ໃສຈ່ ະໄດ້ົ S  540Cm2 144Cm2 ົົ S  396Cm2 20

ົົວຽກທມືີ່ ອບໝາຍ 1. ສວ່ ນກ້າເບຍ້ ໄມຕ້ ່ອນໜງື່ ເປັນຮູບສ່ີແື ຈສາກທີ່ືມເີ ນ້ົອທັງໝົດ 375m2 ົແລະົມີຂະໜາດອືນ່ ໆຕາມຮບູ ແຕ້ມົຈງົ່ື ຊອກຫາເນົອ້ ທຂີື່ ອງແຕ່ລະຕອນທກື່ີ າ້ ເບ້ຍໄມ້ແຕລ່ ະຊະນິດນ້ນັົ . ົົົ ໝາກມ່ວງ ໝາກກຽ້ ງົົົົົົົ9m ຕອນທີກ່ື າ້ ໄມສ້ ກັ ດອກກຸຫາບ ດອກເຂມັ ົົົົົົົົົົົົົົ 25m  ວຽກບາ້ ນ 1. 55m 125m 50m 125m ົົົົົົສ່ວນສາທາລະນະແຫ່ງໜື່ງເປນັ ຮູບສີແ່ື ຈສາກເພ່ືນີ ມາຈດັ ສັນອອກເປັນຫາຍຕອນເພື່ອທ າການປຸກສາ້ ງເປນັ ບອ່ ນຫນ້ີົ ົ(ົຄຮບູ ແຕມ້ ຢູເ່ ທີງົ)ົຈົງື່ ຊອກຫາເນອົ້ ຂອງດນີ ແຕ່ລະຕອນພ້ອມທັງຊອກຫາເນ້ອົ ທ່ືີທັງໝົດຂອງດນີ ຕອນນີ:ົ້ 2. A ົົົົົ EB ົ G ົົົ 8Cm D FC ຈືົ່ງຄິດໄລເ່ ນອທືີຂ່ ອງຮບູ ສ່ີແື ຈສາກ ABCD ຮູ້ວ່າລວງຂອງຮບູ ສ່ີືແຈເທືົ່າກັບົ112Cm ົແລະົເງືອ່ ນໄຂໃນຮູບແຕ້ມຄົ EG 16 2Cm ແລະົ CG  8Cm . 21

ບດົ ທີ 4 ເນອົ້ ທຂີ່ື ອງຮບູ ສາມແຈ 1. ເນອົ້ ທຂ່ືີ ອງຮບູ ສາມແຈ ກດິ ຈະກາົ1ົ:ົສາ້ ງຮບູ ສາມແຈຈາກຮບູ ສແີື່ ຈສາກ A ົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົ B ົົົົົົົົົົົ-ົົຈົືງ່ ພາບຮບູ ສແີ່ື ຈສາກົ ABCD ຕາມເສົັ້ນເນື່ງັ ຈອມຫງັ ຈາກນົ້ນັ ຕັດົົົົົ ົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົຕາມຮອຍພາບ D C - ສອງຮບູ ນົ້ນັ ແມ່ນຮບູ ຫຍງັ ? - ແຕລ່ ະຮບູ ມີເນົອ້ ທືເ່ີ ທົື່າກັນບື່ ກດິ ຈະກາົ2:ົຫາເນອົ້ ທຂື່ີ ອງສາມແຈກ (ຮູບກ)ົົົົົົົົົົ(ຮູບຂ) - ຈືົ່ງຊອກຫາເນົ້ອທ່ຂີື ອງຮບູ ສາມແຈົໂດຍການຕດັ ຕາຕະລາງໜວ່ ຍ - ຫັງຈາກນນັົ້ ປຽບທຽບຜນົ ໄດ້ຮບັ ຂອງ(ຮູບກ)ົແລະົ(ຮບູ ຂ) ສະຫບຼຸ :ົເນອ້ົ ທຂ່ືີ ອງຮູບສາມແຈໃດໆົ  1 (ເນອ້ົ ທືີ່ຮບູ ສ່ແີື ຈສາກ) 2 ົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົ  1 (ລວງຍາວ ົລວງກວ້າງ) 2  1 (ຂ້າງພນ້ົ ົ ລວງສູງ) 2  ໃຈຄວາມ ເນົອ້ ທຂ່ືີ ອງຮູບສາມແຈເທືົ່າກັບເຄ່ືີງໜງື່ ຂອງຜົນຄນູ ລະຫວ່າງຂ້າງພ້ນົ ກັບລວງສງູ ເນົ້ອທຂ່ືີ ອງຮູບສາມແຈົ  1 (ຂາ້ ງພົນ້ ົ ລວງສງູ ) 2 22

A ເອີົ້ນ:ົົ S ເນ້ອົ ທືຂີ່ ອງຮູບສາມແຈ h a ແມນ່ ຂາ້ ງພນ້ົ h ົົແມ່ນລວງສງູ BH C ສດູ ຄດິ ໄລ່ a 2. ຕວົ ຢາ່ ງການນາໃຊ້ ຕວົ ຢາ່ ງ:ົ ົົົົົົົົົົົົົົົ ຈື່ົງຄິດໄລ່ເນົອ້ ທີ່ຂື ອງດນິ ຕອນໜງ່ື ຕມຮູບຂ້າງນົ້ີ ົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົຮູ້ວາ່ ົົົ AC  125m , h1  50m , h2  42m ວທິ ແີ ກ:້ ຮບູ ສືີ່ແຈສາກົ ABCD ົົົົສົມມດຸ ຮູົ້ AC 125m ,ົ h1  50m , h2  42m ົົົົົສະຫບຼຸ ົົົົົົົົຊອກຫາເນົ້ອທຂີື່ ອງຮບູ ABCD ວາງົົ S ົແມ່ນເນ້ົອທີືທ່ ັງໝດົ ຂອງຮບູ ABCD ົົົົົົ S1 ົແມ່ນເນົ້ອທ່ືຂີ ອງຮບູ ສາມແຈົ ABC ົ S2 ົແມນ່ ເນົອ້ ທີ່ຂື ອງຮູບສາມແຈົ ADC ເຮາົ ມົີ S  S1  S2 ອື່ິງຕາມສດູ :ົົົ S  1 a  h 2  ຊອກ.ົ S1 ເຮາົ ມົີ ົ S1  1 AC  h1 ົົົົົົົົົົ 2 S1  1125 50 2 23

S1  1  3125 2 S1  2625m2 ົົົົົົົົສະນນັ້ົ : ົົົ  ຊອກ.ົ S2 ເຮາົ ມີົົ S2  1 AC  h1 2 S  1125 42 ົົົົົົົົົົ 2 S2  1 5250 2 S2  2625 S2  2625m2 ົົົົົົດ່ັງື ນ້ົນັ : ົົົສະນນັົ້ :ົເນົ້ອຂອງຮບູ ເທືົາ່ ກັບ. ົົົົົົົົົ S  S1  S2 ົົົົົົົົົ S  3125m2  2625m2 ົົ S  5750m2 3. ສດູ ເຮລງົ ົ (HERON d ALEXANDRIEY) - ຖາ້ ເຮົາຮູ້ຂາ້ ງົ a,b,c ຂອງຮູບສາມແຈແລ້ວົເຮົາສາມາດຄດິ ໄລ່ເນ້ອົ ຂອງຮບູ ສາມແຈດງື່ັ ກ່າວໄດດ້ ງ່ືັ ນີ:ົ້ ໃນສູດົົ S  1 a  ha ົເຮາົ ແທນົ ha ດວ້ ຍໝວດຄານວນົ ha  2 p p a p b p c 2 a ເຊງືີ່ ວາ່ ົ ha ົແມ່ນເສນົັ້ ທ່ືຂີ ິດຈາກຈອມຕົງັ້ ສາກກບັ ຂ້າງົ a ົົົົົົົົ P ົແມນ່ ເຄີ່ືງລວງຮອບຂອງຮູບສາມແຈ ABC ົົົົົົົົົ P  a  b  c 2 ດ່ັງື ນ້ັົນ:ົ S  1 a 2 p p  a p  b p  c ຫົ 2a ົົົົົົົົົ S  p p  a p  b p  c ົົ 24

 ຕວົ ຢາ່ ງການນາໃຊສ້ ດູ ສ່ວນຕອນໜງື່ ເປນັ ຮູບສາມແຈົເຊືີງ່ ແຕລ່ ະຂາ້ ງຂອງມັນແທກໄດ້ົ 26m, 28m,30m ຈ່ົືງຊອກຫາເນົ້ອທ່ືີຂອງສວ່ ນ ຕອນຈະມີເທົືາ່ ໃດ? ວິທແີ ກ:້ ົ ົົສົມມດຸ ົົົົມຮີ ບູ ົ ABC a  26m b  28m ຮ້ົູ AB  a  26m , AC  b  28m , BC  c  30m c  30m ົົ ົສະຫບຼຸ ຊອກົົ SABC ອືິ່ງໃສສ່ ດູ ເຮລົງົົ S  p p  a p b p  c 1 ຮູວ້ າ່ ົ P  a  b  c 2 ົົົົົົົົົົົົົົົົົ P  26  28  30 2 ົົົົົົົົົົົົົົົົ P  84 2 ົົົົົົົົົົົົົົົົົ P  42m ົແທນົ(1)ົ ົົົົົົົົົົົົົົົົົ S  p42  2642  2842  30 ົົົົົົົົົົົົົົົົົ S  42161412 ົົົົ ົົົົົົົົົົົົົົົົົ S  422688 ົົົົົົົົົົົົົົົົົ S  112896 ົົົົົົົົົົົົົົົົົ S  336m2 ົ ສະນນັົ້ :ົົົົົ S  336m2 25

 ວຽກທມ່ືີ ອບໝາຍ ົົົົົົົົົົົົົົ ຈົງື່ ຊອກຫາເນອ້ົ ທື່ີຂອງຮູບສາມແຈົ ABODE ຕາມຮບູ ແຕມ້ ນົີ້ົ ົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົຮູວ້ າ່ ົເພນີື່ ໃຫ້ົ h  7,5Cm , S1  300Cm2 , b  12cm ວຽກບາ້ ນ: ວຽກບາ້ ນ: ົົົົົົົົົົົົ 1.ົແຜນ່ ທ່ືີຂອງດນີ ຕອນໜ່ງື ທີື່ເພ່ືນີ ໄດຄ້ ິດຕາມມາດຕາສວ່ ນົົົົົົົົົົົົົ ົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົ 1 ົົເພນື່ີ ແທກຕາມແຜນ່ ທນີ່ື ນົັ້ ໄດດ້ ງ່ັື ນ:້ົີ 10.000 ົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົ d1  42mm , d2  52mm h1 10mm ົ,ົ h2  192mm , h3  224mm ຈືົ່ງຄດິ ໄລ່ເນ້ອົ ທຂ່ືີ ອງດີນຕອນນນົັ້ ເປັນເຮກັ ຕາ? 2. ນາໄຮໜ່ ືງ່ ເປັນຮບູ ສາມແຈົແຕ່ລະຂ້າງຂອງມັນແທກໄດ້13m ົ,ົ14m ,15m ຖາມວາ່ ເນອົ້ ຂອງນາຕອນນົນັ້ ມຈີ ັເຮກັ ຕາ 3. ໃຫ້ຮບູ ສາມແຈຄດັ່ງື ຮບູ ແຕ້ມົຈືງ່ົ ຊອກຫາົ AX , XB , BC ພ້ອມທງັ ເນ້ົອທ່ືີຂອງຮູບສາມແຈ ABC ົ 26

ບດົ ທີ 5 ຫກັ ເກນປຕີ າກົແລະົການນາໃຊ້ 1 ຫກັ ເກນປຕີ າກົ(ົPYTHAGORE ) ກດິ ຈະກາົ1ົ:ົົສ້າງຮບູ ຈະຕຸລດັ ມີຂາ້ ງແມ່ນບນັ ດາຂາ້ ງຮູບສາມແຈສາກ - ຮບູ ົ  ABC ມມີ ມູ ສາກົ Aˆ ,ົສາມຂ້າງຂອງມນັ ແມນ່ ົ 3, 4, 5. ົົຈືົ່ງົສາ້ ງຮບູ ຈະຕຸລັດສາມຮູບົເຊິງື່ ມຂີ າ້ ງແມນ່ ບນັ ດາຂາ້ ງົຂອງ ົົຮູບສາມແຈສາກົດືງ່ັ ກາ່ ວ - ເນົອ້ ທ່ືຂີ ອງສາມຮບູ ຈະຕຸລດັ ທ່ີືສາ້ ງໄດນ້ ້ັນົ ົມີການບົວພນັ ກນັ ົຄແນວໃດ? - ເນົອ້ ທທີ່ື ງັ ສາມຂອງຮບູ ຈະຕຸລັດນ້ັນົ ົົມີການພວົ ພັນກັນແນວໃດ ກັບຮບູ ສາມແຈສາກ,ົຖາ້ ທຽບໃສ່ກບັ ບນັ ດາຂ້າງຂອງຮູບສາມ ແຈສາກົດັ່ງື ກາ່ ວ? ອປຸ ະກອນົົົົົົົົບັນທດັ ສາກ,ົບນັ ທັດຊ,ື່ ົວົງວຽນ ວິທດີ າເນນີ ົົ ົົົົົົົົົຄູໃຫນ້ ັກຮຽນແຕ້ມຮູບຕາມກິດຈະກາົ1ົແລ້ວໃຫນ້ ັກຮຽນສງັ ເກດເນອົ້ ທີຂອງຮູບທ່ີແື ຕ້ມ ໄດ້ົແລະົສະຫຼຸບ ກດິ ຈະກາົ2ົ:ົົການຊັບຊ້ອນຮູບສາມແຈສາກົ4ົຮບູ  ຈງົື່ ສັງເກດຮບູ ທໄີື່ ດຈ້ າກການຊບັ ຊ້ອນຂອງຮູບສາມແຈສາກ 4ົຮູບທີ່ືເທ່າົື ກັນນ້ັົນ. - ຂາ້ ງຂອງຮບູ ຈະຕລຸ ັດນ້ອຍົ MNPQ ທີື່ນອໃນນນ້ົັ ົເປັນຫຍັງກັບຂ້າງ ຂອງຮບູ ສາມແຈສາກ ທຢ່ືີ ູທ່ າງນອກນ້ນັົ ົ? - ເນ້ອົ ທີ່ຂື ອງຮູບຈະຕຸລດັ ໃຫຍ່ ົ  ABCD ມຄີ າ່ ເທາືົ່ ກັບເທາື່ົ ໃດົ? - ເນ້ອົ ທີ່ຂື ອງຮບູ ຈະຕລຸ ັດນ້ອຍົ MNPQ ົມີຄ່າເທາື່ົ ກັບເທາ່ືົ ໃດົ? ຖ້າທຽບໃສ່ການພົວພນັ ຂອງບນັ ດາົ4ົຮບູ ສາມແຈສາກ ນນ້ັົ . ອຸປະກອນົົົບນັ ທັດສາກ,ົ4ົຮູບສາມແຈສາກທເື່ີ ທ່ືາົ ກັນົ(1ົຊຸດົ) ວິທດີ າເນີນົົ - ແບງ່ ນກັ ຮຽນອອກເປນັ ກຸມ່ ຕາມຄວາມເໝາະສມົ .ົຄູຢາຍຮບູ ສາມແຈທືເີ່ ທົາື່ ກັນກຸ່ມລະົ1ົ ຊຸດ,ົໃຫ້ນກັ ຮຽນຊັບຊອ້ ນເຮັດແນວໃດໃຫ້ທາງໃນນ້ັົນົເປນັ ຮູບຈະຕລຸ ັດ.ົນກັ ຮຽນສະຫຼຸບຜນົ 27

ຂອງການຊັບຊ້ອນນັົ້ນ.ົຄູສະຫບຼຸ ຄນ ກດິ ຈະກາົ3ົ:ົົການສົມທຽບເນ້ົອທຮີື່ ູບຈະຕຸລັດທື່ສີ າ້ ງຈາກຂ້າງຮບູ ສາມແຈສາກທີື່ມີຂະໜາດຕ່າງກັນ ົົົົົົົົົົົ ົົົົົົົ ົົົົ ົົົົົົົົົົົົົົ(ຮບູ ົ1) ົົົົົົ(ຮບູ ົ2) ົົົົົົົົົົົ(ຮບູ ົ3) ົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົ (ຮບູ ົ4)ົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົ - ຈງ່ືົ ສງັ ເກດຮບູ ເທງິ ນີແົ້ ລ້ວບັນທກເນ້ົອທສີ ວ່ ນຕາ່ ງໆລງົ ໃນຕາຕະລາງລຸ່ມນົີ້. ຮບູ ທີ ເນ້ົອທີ Q ເນ້ອົ ທີ P ເນອົ້ ທີ R 1 2 3 - ຈາກນ້ນົັ ປຽບທຽບບັນດາເນ້ົອທຂີ ອງຮບູ ົ Q, P, R ແລະົພ້ອມໃຫ້ເຫດຜົນລະຫວາ່ ງສາມເນອົ້ ທີື່ນົ້ນັ . ອຸປະກອນ - ຮບູ ກດິ ຈະກາົ(ຮບູ ົ1,ົ2,ົ3ົ)ົຫົຫາຍກວ່ າຢູ່ໃນປມ້ົ ກື່ໄດ້ົຈານວນຕາມຄວາມເໝາະສົມ. - ຕາຕະລາງບັນທກ ວທິ ີດາເນນີ - ຄແູ ບງ້ ນັກຮຽນອອກເປັນກຸ່ມໃໝ່. - ຄູຢາຍົ(ຮບູ ົ1,ົ2,ົ3...ົ)ົແລະົຕາຕະລາງໃຫ້ກມຸ່ ລະຊຸດ. 28

- ໃຫ້ນກັ ຮຽນຊອກຫາເນອ້ົ ທີໃນຮູບຈະຕລຸ ດັ ນົ້ນັ ົແລ້ວບນັ ທກລົງໃນຕາຕະລາງ. - ໃຫ້ນັກຮຽນສງັ ເກດຜນົ ໄດ້ຮບັ ແລ້ວປຽບທຽບພອ້ ມໃຫເ້ ຫດຜົນ. - ຄູົແລະົນັກຮຽນສະຫຼຸບເປນັ ຫັກເກນ.  ຫັກເກນ ໃນຮບູ ສາມແຈສາກໜງົ້່ື ,ົກາລງັ ສອງຂອງຂາ້ ງກງົ ສາກ ເທ່າົື ກບັ ຜົນບວກລະຫວ່າງກາລັງສອງຂອງສອງຂາ້ ງແປະ ມມູ ສາກນ້ັນົ B a2  b2  c2 ca Ab C 2 ົົົການນາໃຊຫ້ ກັ ເກນປຕີ າກເຂາົ້ ໃນການຄດິ ໄລ່ 2.1 ການຄດິ ໄລເ່ ສນ້ັົ ເນງ່ືັ ຈອມຂອງຮບູ ຈະຕລຸ ດັ ກ.ົໃຊຮ້ ູບຈະຕລຸ ດັ ົ ABCD ທືມີ່ ີບັນດາຂາ້ ງເທົືາ່ ົ a ,ົຈົືງ່ ຄດິ ໄລ່ເສ້ັົນເນື່ັງຈອມຂອງຮບູ ນ້ັນົ . ວິທແີ ກ້ ົົົົົົົ A B ຂົ້ສມົ ມດຸ ົົົົົົົົົຮູບຈະຕຸລັດົ ABCD ຂົສ້ ະຫບຼຸ AB  BC  CD  DA  a ຊອກຫາົ BD  ? ົົົົົົ D ົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົ C ຈາກຈອມົ B ົຂອງຮບູ ຈະຕລຸ ັດົ ABCD ົຂີດຕ່ືໃສຈ່ ອມົ D, BD ົເເບ່ງຮູບຈະຕຸລດັ ອອກເປນັ ສອງຮູບເທ່ົືາກັນ BAD  BCD ເຊງ່ິື ສາກຢູົ່ A ົແລະົ C ົ  ສງັ ເກດົົົົົົົ BAD ົສາກຢົູ່ A ົົົົົອີງຕາມຫັກເກນປຕີ າກ ເຮາົ ໄດ້ົ AB2  AD2  BD2 ແລະົ AB  AD  a 29

BD  d a2  a2  d2  d 2  2a2 ຖອນໄດົ້ d  2a2  a 2 ສະນັ້ນົ ົເສນັ້ົ ເນືັ່ງຈອມຂອງຮບູ ຈະຕລຸ ດັ d  a 2 ົົົົົົເຊິືງ່ ົ a ົແມ່ນົຂ້າງຂອງຮູບຈະຕຸລດັ d ົແມນ່ ົເສນົ້ັ ເນ່ືັງຈອມ  ເອາົ ໃຈໃສ່ ສູດນີ້ຍົ ັງໄດນ້ າໃຊ້ເຂາົ້ ເພອື່ ຄດິ ໄລຂ່ າ້ ງກົງສາກຂອງຮູບສາມແຈທ່ຽງສາກທ່ີມື ຂີ ້າງມູມສາກເທື່ົາົ a . ຕວົ ຢາ່ ງ 1ົ ໃຫ້ຮບູ ຈະຕລຸ ດັ ົ ABCD ົທືມ່ີ ບີ ນັ ດາຂ້າງເທາ່ົື ົ10 cm .ົຈົ່ືງຊອກຫາເສ້ົນັ ເນັ່ືງຈອມົ AC ົົົົົົົົົົົົົມຄີ ່າເທ່ືົາກັບເທ່າືົ ໃດົ? ວທິ ແີ ກ້ ົົົົົົົ A B ຂ້ສົ ມົ ມດຸ ົົົົົົົົົຮູບຈະຕລຸ ັດົ ABCD AB  BC  CD  DA  10 cm ຂສ້ົ ະຫບຼຸ ຊອກຫາົ AC  ? ົົົົົົົ D ົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົ C ສັງເກດົົົົົົົ ADC ົສາກຢົູ່ D ົົົົົອີງຕາມຫກັ ເກນປີຕາກ ເຮາົ ໄດ້ົ AC2   AD2 DC2 , AD  DC  10 cm  AC2 102 102 , AC  d ເຮົາມີົ d 2  2 102 ສະນົ້ນັ ົ d  10 2 cm ຕວົ ຢາ່ ງົ2 ົຮບູ ສາມແຈສາກົົ ABC ມມີ ມູ ສາກແມນ່ ົ Bˆ ໃນນ້ົີຮຂູ້ ້າງກົງສາກເທາ່ົື ົ 37 cm ແລະົ ົົົົົົົົົົົົຂາ້ ງໜ່ືງົຂອງມູມສາກເທືົາ່ ົ12 cm ົ.ົຈງ່ືົ ຊອກຫາຄາ່ ຂອງມມູ ສາກທີືບ່ ື່ທັນຮົູ້ ? ວທິ ແີ ກ້ ຂົ້ສົມມຸດົົົົົົົົົົົົົົົ ABC, Bˆ  90 A AC  37 cm, AB  12 cm ຂສ້ົ ະຫບຼຸ ຊອກຫາົ BC  ? BC 30

 ຊອກຫາົ BC  ? ົເຫນັ ວາ່ ົົົົົົົົົົ ABC ົເປນັ ຮບູ ສາມແຈສາກ ສະນົ້ນັ ົອງີ ໃສຫ່ ັກເກນປີຕາກ ເຮົາມີ AB2  BC2  AC2 ຖອນໄດ້ BC2  AC2  AB2  372  122 ດງ່ັື ນນັົ້ ,  1226 BC  1225 BC  35 cm ວຽກມອບໝາຍ - ໃຫ້ຮບູ ສາມແຈໜື່ງ,ົຮູ້ວາ່ ຂ້າງກົງສາກົແລະົໜືງ່ ຂາ້ ງແປະມມູ ສາກໜ່ືງເທ່ົາື ກບັ 289 cm ົແລະົ 240 cm ົ.ົຈົ່ງື ຊອກຫາຂາ້ ງແປະມມູ ສາກທີຍ່ື ງັ ເຫອື່ ົ? ອປຸ ະກອນທຕ່ີື ອ້ ງການ - ເຈຍ້ ແຂງ - ມດີ ຕດັ ົ(ົມີດແຊມົ) - ສະກອ໋ ດົຫົກາວ - ຕາຕະລາງ ວິທດີ າເນນີ - ໃຫນ້ ັກຮຽນສງັ ເກດບັນດາຮບູ ແຕມ້ ຢໃູ່ ນກິດຈະກາົຫົອຸປະກອນທ່ຄີື ູເອົາມາົ(ົຄຮູບແຕ້ມົ) ພອ້ ມທງັ ໃຫຄ້ າຄດິ ເຫັນ. - ນາໃຊ້ສດູ ເຂົ້າໃນການຄດິ ໄລ່ບົດຕວົ ຢ່າງ. - ນັກຮຽນແກວ້ ຽກມອບໝາຍົແລະົວຽກບາ້ ນ.  ວຽກບາ້ ນ 1. ຮູບສາມແຈສາກໜງື່ ທືີມ່ ຂີ າ້ ງກົງສາກເທົື່າົ 35 cm ,ົອັດຕາສ່ວນລະຫວ່າງສອງຂາ້ ງມູມສາກ ເທາື່ົ ົ 3 ,ົຈງືົ່ ຊອກຫາສອງຂາ້ ງມູມສາກຂອງມັນ. 4 2. ຂາ້ ງຂອງຮບູ ສື່ແີ ຈສາກເທົ່າື ົ 60 cm ົແລະົ 91 cm ,ົຈົື່ງຄິດໄລເ່ ສົັນ້ ເນັື່ງຈອມຂອງມັນ. 3. ເພືິນ່ ຢາກຖາກໄມ້ຕອນໜ່ືງົເພື່ອເຮດັ ເສາົ ເລອື່ ນລ່ຽມົໂດຍໃຫ້ໜ້າຕັດຂອງເສົານນ້ັົ ເປັນຮູບ ຈະຕລຸ ັດົເຊິ່ງື ມຂີ ້າງເທົາ່ື ົ 35 cm ,ົເຮາົ ຕ້ອງໃຊທ້ ່ອນໄມ້ກົມົເຊງ່ືິ ມີລັດສະໝີໜ້ອຍສດຸ ເທ່ືົາ ໃດົ? 31

ບດົ ທົີ 6 ເນອົ້ ທຂີື່ ອງຮບູ ສາມແຈຂາ້ ງຂະໜານົແລະົຮບູ ດອກຈນັ 1 ເນອ້ົ ທຂ່ີື ອງຮບູ ສແືີ່ ຈຂາ້ ງຂະໜານ ກດິ ຈະກາົ1ົຊອກຫາເນອົ້ ທ່ຂືີ ອງຮູບສແ່ືີ ຈຂາ້ ງຂະໜານ ົົົົົົົົົົ A B BA H hh Da C D C ຮູບົ1 ົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົຮູບົ2 ຈາກົຮູບົ1ົຈືງົ່ ຕດັ ຮບູ ສາມແຈົທີື່ມີຂີດລາຍມາຕ່ືໃສ່ຂ້າງໜື່ງົຂອງົຮບູ ສີແ່ື ຈຂ້າງຂະໜານົຕາມ ລູກສອນ. ຮູບທໄືີ່ ດໃ້ ໝ່ເປັນຮບູ ຫຍັງ? ຊອກຫາສູດຄິດໄລ່ເນົ້ອທຂີື່ ອງຮບູ ນ້ົນັ ? ອປຸ ະກອນ - ເຈ້ຍທີເື່ ປນັ ຮູບສື່ີແຈຂາ້ ງຂະໜານຄກບັ ຮບູ ົ1ົ - ົມີດຕັດ. ວິທດີ າເນນີ - ຄູຢາຍເຈ້ຍເປັນຮູບສື່ແີ ຈຂາ້ ງຂະໜານົແລະົມດີ ຕັດໃຫ້ນກັ ຮຽນ. - ຄໃູ ຫນ້ ກັ ຮຽນຕດັ ຕ່ຕື າມແບບຮບູ ົ2ົຢໃູ່ ນກດິ ຈະກາທ່ືີົ1. - ໃຫ້ນກັ ຮຽນສັງເກດຮູບທີ່ືໄດ້ໃໝ່,ົພອ້ ມທງັ ບອກສດູ ຄິດໄລເ່ ນອົ້ ທື່ີຂອງມັນ. ກດິ ຈະກາົ2ົສ້າງຮູບເຄິື່ງຄຂອງຮບູ ສາມແຈ ົົົົົົົົົົົົົົົ A ຈ່ງືົ ແຕ່ມຮບູ ເຄງິ່ື ຄຂອງຮບູ ົ  ABC ທຽບໃສ່ຈດຸ ເຄີ່ງື ກາງ N N ຂອງຂາ້ ງົ AC . ົົົ h ຮູບທໄ່ີື ດໃ້ ໝເ່ ປັນຮູບຫຍງັ ົ? B Ha c ອກີ ດ້ານໜງື່ ົອງີ ຕາມຄຸນລັກສະນະຂອງການເຄິງ່ື ຄ ຮູບທືີ່ໄດໃ້ ໝຈ່ ະໄດ້ສດູ ຄດິ ໄລເ່ ນອ້ົ ທືີ່ເທົືາ່ ກັບົເທ່າືົ ໃດ? ຮູບົ3 ອປຸ ະກອນົົົົົົບັນທດັ ສາກ,ົວງົ ວຽນ,ົສດາ ວທິ ດີ າເນນີ - ຄູໃຫນ້ ັກຮຽນແຕມ້ ຮບູ ສາມແຈົແລະົຮູບເຄ່ືງິ ຄົຂອງຮູບສາມແຈົດ່ັງື ກາ່ ວ. - ຄູໃຫ້ນກັ ຮຽນສງັ ເກດຮບູ ໄດໃ້ ໝົ່ ແລະົຫາຄາຕອບ. - ຄູົແລະົນັກຮຽນົສະຫຼຸບເປນັ ໃຈຄວາມ. 32

ໃຈຄວາມ ົົົົົົົົົົເນົ້ອທີ່ືຂອງຮບູ ສີແື່ ຈຂ້າງຂະໜານເທາ່ືົ ກັບຜນົ ຄູນລະຫວ່າງພນ້ົ ກບັ ລວງສງູ . A B ເຮົາໃຫ:້ S ແມນ່ ົເນົ້ອທ່ຂືີ ອງຮບູ ສແື່ີ ຈຂາ້ ງຂະໜານ h a ແມ່ນົຂ້າງພ້ົນ DH a C h ົແມນ່ ົລວງສູງ ົົົົົົົົົົົົົົົົຮບູ ົ4 ດ່ືງັ ນົນ້ັ ົ S  a  h 1 ຕວົ ຢາ່ ງົ:ົ(ົການນາໃຊ້ສູດົ) ົົົົົົົົ ດນິ ຕອນໜື່ງເປນັ ຮູບສືີ່ແຈສາກົໄດ້ຖກ ເສນ້ັົ ທາງຕດັ ຜາ່ ນຄດືງັ່ ຮບູ ົ5ົົຈືົງ່ ຊອກຫາເນົ້ອທຂ່ືີ ອງ ດນິ ສວນທ່ຍີື ັງເຫອ່ື . ຮບູ ົ5 ົ ວທິ ແີ ກ້ ຂົ້ສົມມຸດົົົົົົົົົົໃຫຮ້ ບູ ົ ABCD ຮູ້ົ: ົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົົ AD  125 m AE  130 m EB  12 m ຂສົ້ ະຫບຼຸ ົົົົົົົົົົົົຊອກຫາເນອ້ົ ທດີ ນິ ທຍືີ່ ັງເຫອື່ ົົົົົົົົົົົົົົົົົົເຫັນວາ່ ົເສົັ້ນທາງທີືຕ່ ດັ ຜາ່ ນດິນສວ່ ນດື່ັງກ່າວົເປັນຮູບສແ່ືີ ຈຂ້າງຂະໜານົ(ົ  IBNM  ຖ້າໃຫົ້ S ແມນ່ ເນອ້ົ ທື່ີທັງໝດົ ົ S1 ແມ່ນເນ້ົອທີືຂ່ ອງເສົັນ້ ທາງ 1 ົ S2 ແມນ່ ເນ້ອົ ທືີ່ດິນທ່ີືຍັງເຫອື່ ົົົົົົົົົົົົົົົົົົເຮົາໄດ້ົົ S  S1  S2  S2  S  S1 ຈາກສດູ ຄິດໄລເ່ ນົອ້ ທືຮ່ີ ບູ ສື່ີແຈສາກົ ABCD ົເຮາົ ມີ: S  ລວງຍາວົ ົລວງກວ້ າງ ົົົົົົົົເຮົາໄດົ້ ົົົົົົົົົ S  AD AB ໃນນັົນ້ ຮ້ວູ າ່ ົົ AB  AE  EB ເວລານັົ້ນົົົົົົົ S  AD  AE  EB 2 33

ຈາກສູດຄດິ ໄລເ່ ນອົ້ ທຮ່ືີ ບູ ສີ່ແື ຈຂາ້ ງຂະໜານົ EBGF ເຮາົ ມີົ: S1  ຂ້າງພ້ົນົ ົລວງສູງ ົົົົົົົົເຮົາໄດ້ ແທນຄາ່ ົ 2 ົແລະົ 3 ົໃສ່ົ 1 ົຈະໄດ:້ S2  AD  AE  EB   EB  AD  AD  AE  EB  EB  AD AE ດງືັ່ ນົ້ນັ ົົົົົົົົົົ S2  AD  AE 4 ແທນຄ່າົ AD ົແລະົ AE ົໃສົ່ 4 ຈະໄດ:້ S2  125m130 m  16250 m2 ດັງ່ື ນນັົ້ ົົົົົົົົົົ S2  16250 m2 2 ເນອ້ົ ທຂືີ່ ອງຮບູ ດອກຈນັ ກດິ ຈະກາົົການຊອກຫາເນ້ົອທີຂ່ື ອງຮູບດອກຈັນົດວ້ ຍການພັບເຈຍ້ ົົົົົົົົົົົົົຈ່ືົງພບັ ເຈ້ຍຕາມຮູບແຕ້ມລ່ມຸ ນີ້ົ. ົົົົົ 34

ຫັງຈາກພັບແລ້ວົເຮາົ ໄດ້ສອງເສນັົ້ ທຜີ່ື າ່ ນຈຸດເຄງ່ືິ ກາງຂອງຂ້າງຂອງຮບູ ສືີແ່ ຈສາກ. ົົົົົເສ້ນັົ ົ MN ແລະົ PQ ແມ່ນເສ້ົນັ ຫຍັງຂອງຮູບົ PMQN ? ສອງເສົ້ັນົ MN ,ົ PQ ົຕັດກັນປະກອບເປນັ ມູມແນວໃດ?ົແລະົຕົ້ັງສາກກນັ ຢໃູ່ ສ? ົົົົົຮບູ ົ PMQN ົແມນ່ ຮບູ ຫຍັງ? ົົົົົສາມາດສະຫບຼຸ ເນົອ້ ທ່ຂືີ ອງຮບູ ດອກຈັນໄດແ້ ນວໃດ? ເນອ້ົ ທຂີ່ື ອງຮບູ ດອກຈນັ ົ  1 ົ(ົລວງຍາວົ ົລວງກວ້ າງົ) 2 ໃຈຄວາມ ົົົົົເນົອ້ ທື່ີຮູບດອກຈນັ ເທືົ່າກັບົເຄງ່ິື ໜງ່ື ຂອງຜົນຄູນຂອງສອງເສັົນ້ ເນ່ືັງຈອມ. B ເສົັນ້ ົ S ົແມນ່ ົເນົ້ອທ່ືີຂອງຮບູ ດອກຈັນ Ao C m, n ແມນ່ ເສນົ້ັ ເນງັ່ື ທັງສອງ D ສະນ້ັົນົ S  1 m n ຮບູ ົ11 2 ຕວົ ຢາ່ ງົ: A B ດນິ ຕອນໜງ່ື ເປັນຮູບດອກຈນັ ົຄດັງ່ື ຮູບ o C ເພ່ືິນຮູ້ວາ່ ຂາ້ ງ ວທິ ແີ ກ້ D ົົົົົົົົົົົົົົົົ BC  15 m ; OA  12 m ຂ້ົສມົ ມດຸ ຈ່ງົື ຊອກຫາເນ້ອົ ທີຂ່ື ອງຮບູ ດອກຈັນ ◊ ABCD. ຮບູ ົ12 ເຮາົ ມີົ:ົຮູບດອກຈັນົ◊ ABCD BC  15 m ; OA  12 m ຂສ້ົ ະຫບຼຸ ຊອກຫາເນ້ົອທີຂອງຮູບດອກຈັນ ◊ ABCD ໃຫົ້ ົົ S ົແມນ່ ົເນົອ້ ທ່ີືຂອງຮູບດອກຈນັ ົົົົົົົ m ົແມ່ນົເສ້ນົັ ເນືັ່ງຈອມົ AC n ົແມ່ນົເສົ້ັນເນ່ັືງຈອມົ BD ຈາກສດູ ົົົົ S  1 m n 2 35

ົົົົົົົເຮາົ ມີ S  1  AC  BD ຮູ້ວາ່ 2 ົົົົົົົແລະົ AC  OA  OC ດ່ືັງນັນ້ົ AC  2OA (ຍອ້ ນວາ່ ົ OA  OC ) BD  OB  OD BD  2OD (ຍ້ອນວ່າົ OB  OD ) S  1 2OA 2OD 2 S  2OAOD 1 ຊອກຄາ່ ົ OD  ? ຈາກຮູບສາມແຈສາກ AOD ແລະົຕາມຫກັ ເກນປຕີ າກເຮົາມີົ: ຖອນໄດ້ AD2  OD2  OA2 ົົົົົົົົຮູ້ວາ່ OD2  AD2  OA2 AD  BC ເວລານ້ົັນ OD2  BC2  OA2 ດງ່ືັ ນ້ົັນ OD  BC2  OA2 2 ແທນຄ່າົ 2 ົໃສົ່ 1 ົຈະໄດ້:   S  2OA BC2  OA2 3  S  212 152 122  216 m2 ສະນ້ົັນ,ົເນອ້ົ ທືີ່ຂອງຮບູ ດອກຈນັ ົ S  216 m2 3 ວຽກທມ່ືີ ອບໝາຍ ລວງຮອບຂອງຮບູ ດອກຈນັ ໜ່ືງແທກໄດ້ົ 40 cm ເນອ້ົ ທຂ່ືີ ອງມັນເທ່ົາື ກບັ ົ 50cm2 ົຈງ່ືົ ຄດິ ໄລ່ມູມຕາ່ ງໆຂອງຮູບ ດອກຈັນນນັົ້ . 4 ວຽກບາ້ ນ 1. ດນິ ນາຕອນໜືງ່ ເປັນຮູບສີ່ແື ຈຂ້າງຂະໜານົແຕເ່ ພນິ ມໂີ ຄງການຈະເຮດັ ໜອງປາໃສ່ດນິ ນາຕອນນົ້ັນ.ົເຊື່ິງໜອງ ດງ່ັື ກ່າວມຮີ ບູ ຮ່າງເປນັ ຮບູ ດອກຈນັ ົໂດຍໃຫ້ເສນັົ້ ເນືັ່ງຈອມທງັ ສອງຂອງຮູບດອກຈນັ ນັົນ້ ົເທາ່ືົ ກບັ ລວງຍາວົແລະົ ລວງກ້ວາງຂແງຕອນດນິ ນາ.ົຮູ້ວ່າຄວາມຍາວຂອງຕອນດິນນາເທືາ່ົ ົ 52 m ົ,ົຄວາມກວ້ າງົ 35 m ົຈ່ືົງຊອກຫາ ເນອ້ົ ທືີຂ່ ອງດິນນາ,ົເນອົ້ ທີ່ືດິນທເ່ີື ອົາໄປເຮດັ ໜອງປາົແລະົເນອົ້ ທີດນິ ທຍືີ່ ັງເຫື່ອ. 2. ໃຫ້ຮູບສ່ືີແຈຂາ້ ງຂະໜານົ ABCD ໜ່ງື ົຮູ້ວາ່ ົເສນົ້ັ ເນງ່ືັ ຈອມໜື່ງຂອງມັນເທ່ືົາົ 74 m ົແລະົສອງົຂ້າງຂອງມັນ ເທ່ືາົ ກບັ ົ 52 dm ແລະົ 42 dm ົ.ົຈົງື່ ຊອກຫາົເນອ້ົ ທີຂ່ື ອງຮູບສີ່ືແຈຂ້າງຂະໜານ ABCD ົນົນ້ັ . 36

1. ເນອ້ົ ທຂືີ່ ອງຮບູ ຄາງໝົູ ບດົ ທີ 7 ເນອົ້ ໃນຂອງຮບູ ຄາງໝູ ກດິ ຈະກາ1: ການສ້າງຮບູ ຄາງໝູ A M BH C N ໃນຮູບສາມແຈ ABC . ໃຫ້ M ເປນັ ເມັດເຄ່ືິງກາງ ຂອງ AC. ຈາກນັ້ນົ , ສ້າງເສັນ້ົ ຊ່ືຜາ່ ນເມດັ M ແລະ ຕດັ ກບັ AC ຢເູ່ ມັດ N (ເບືງ່ີ ຮບູ 1) ໃຊມ້ ິດຕດັ ມາຕດັ ຕາມເສນົັ້ MN, ຈະໄດ້ຮບູ ສາມແຈໃໝ່ ຮູບສາມແຈ MNC, ຈາກນ້ົັນ, ໃຫ້ວາ່ ງຈອມ C ເຕັງ A ຈະໄດຮ້ ູບໃໝ່ ABNN ຫ CBNN (ເບ່ືິງຮູບ2) - ຮູບທືີ່ໜງື່ ໃໝ່ ABNN ແມ່ນຮູບຫຍັງ? - ຊອກຫາສດູ ຄດິ ໄລ່ເນິອົ້ ໃນຂອງມນັ ? ຈາກສູດຄິດໄລ່ເນ້ົອທື່ີ ຂອງຮບູ ສາມແຈ ABC (ຮບູ 1) ເຮົາມ:ີ S  1 BC  AH  1 2 37 ຮວູ້ າ່ BC  BN  NC ເຮາົ ໄດ້ S  1 BN  NC AH 2 ຈາກຮູບ2 ເຮົາມ:ີ NC  AN ດງືັ່ ນົນ້ັ , S  1 BN  AN  AH 2

ກດິ ຈະກາ2: ການຂອກຫາເນ້ົອທຮ່ີື ບູ ຄາງໝູ 1. ພບັ ຮບູ ຄາງໝູຕາມເສົນ້ັ ເນ່ງັື ຈອມ AC ເຮົາໄດແ້ ຕ່ລະຮູບເປນັ ຮູບຫຍງັ ? ເຂ່ງິື ລວງສງູ ຂອງສອງຮບູ ນັົນ້ ເທາ່ົື ກບັ ເທ່ົືາໃດ?ເນ້ອົ ທືຂີ່ ອງຮບູ ຄາງໝູເທ່າົື ກັບຫຍງັ ? (ຮູບ1) 2. ຮບູ ຄາງໝູ ABCD ຈາກ A ຂດີ ເສົນ້ັ ຊຜື່ ່ານຈຸດເຄ່ງືິ ກາງຂອງ CD. ຮູບທີື່ເຮາົ ໄດ້ ເປັນຮບູ ຫຍັງ? ຫງັ ຈາກນນັ ຕດັ ຮູບທີື່ສ້າງໄດ້ ມາຕ່ໃື ສຂ່ ້າງຂາ້ ງ OC. - ຮບູ ທີື່ເຮາົ ຕ່ໄື ດໃ້ ໝ່ເປັນຮູບຫຍັງ? - ມີຂາ້ ງເພ່ອື ເທື່າົ ກບັ ເທາົ່ື ໃດ? - ລວງສູງຂອງຮູບເທ່ືົາກບັ ເທົ່ືາໃດ? - ເຮົາສະຫບຼຸ ໄດເ້ ນ້ອົ ທຂື່ີ ອງຮບູ ຂາ້ ງໝູໄດຄ້ ແນວໃດ? 3. ຄດິ ໄລ່ສດູ ເນົ້ອທ່ຂີື ອງຮູບຂາ້ ງໝູ - ໃຫ້ຮບູ ຄາງໝູ ABCD - ຈືົ່ງຄິດໄລເ່ ນ້ອົ ທຂີ ອງຮບູ ດງ່ັື ກ່າວ? 38

ຈາກຮບູ 4  ເຮາົ ມີ: SABCD  sAMD  sAMNB  sBNC 1 sAMD  1  AM  MD 2 2 3 4 sAMND  AM  AB sBNC  1  BN  NC  2 ເວລານນັ ແທນຄາ່ (2) , (3), (4) ແລະ (1) ຈະໄດ:້ S ABCD  1  AM  MD  AM  AB  1  BN  NC  2 2 ເຊືງິ່ ວາ່ AM  BN ເຮາົ ໄດ້ S ABCD  1  AM  MD  AM  AB  1 BN  NC 22 S ABCD  1  AM  MD  1  AM  2AB  1  BN  NC  2 2 2  1 AM  DM  2AB  NC  2 ຮວູ້ າ່ 2AB  AB  AB  AB  MN 2AB  AB  MN ຈະໄດ:້ S ABCD  1 AM  DM  MN  NC  AB 2 ເຊິື່ງວາ່  DM  MN  NC   DC ຈະໄດ:້ S ABCD  1 AM  DC  AB 5 2 39

ອປຸ ະກອນ: ຮບູ ຄາງໝູ ແລະ ມດີ ຕັດ ວທິ ດີ າເນີນົ : 1. ຄູໃຫນ້ ກັ ຮຽນພົບຮູບຄາງໝູຕາມເສ້ັົນເນື່ງັ ຈອມ, ພບົ ແລ້ວໃຫຄ້ າຄດິ ຄາເຫັນ ແລະ ສະຫບຼຸ ເອົາສູດຄດິ ໄລເ່ ນອ່ື ທ່ືີ ຂອງຮູບຄາງໝ.ູ 2. ຄຢູ າຍຮບູ ຄາງໝູໃຫ້ນກັ ຮຽນ ໃຫນ້ ກັ ຮຽນຂີດເສັົ້ນຜາ່ ນຈດຸ ເຄງິ ກາງຂອງຂາ້ ງ CD ຄຈຸດ O. ຈາກນນົ້ັ ໃຫ້ນກັ ຮຽນຕດັ AO ແລ້ວເອາົ ມາຕໃ່ື ສ່ຂ້າງ OC. ໃຫນ້ ັກຮຽນສງັ ເກດຮບູ ທໄີື່ ດ້ ແລະ ສະຫບຼຸ ຜົນກິດຈະກາ. 3. ໃຫນ້ ັກຮຽນສງັ ເກດ ແລະ ພິສູດຄນການຊອກຫາສູດຄດິ ໄລ່ເນົອ້ ທ່ືີຂອງຮູບຄາງໝູ. 2. ໃຈຄວາມ ໃ ຂ ງ ຄາງ າ ຄງ ງຂ ງ ຄ ລະ ວາງລວງ ງ ວ ໃ A B ໃ Sມ ຂ ງ ຂາງ DC=a ມ ໃ DM AB=b ມ C AM=h ມ ລວງ ງ ະ , SABCD  h a  b 3. ວຽ ມ າ 1. ຈງຄ ລ ຂ ງ ຄາງ MNPQ. ມ ວາ ຂ ງ ຈ າ MNPA = 1280 Cm2, NP=40 Cm, MQ=50 Cm ( ງຕາມ 6) ວ: M N QA P ມມ ຄາງ MNPQ ຈ າ MNPA = 1280 Cm2 , NP=40 Cm, MQ=50 Cm ຂ ະ ຊ າ ຂ ງ ຄາງ MNPQ. 40

ຈາ ຄ ລ ຂ ງ ຄາງ າມ: S  1 AM QP  MN  2 ວາ AP=MN, AM=NP ລະ QP=QA+AP ວລາ S  1 NPQA  AP  AP 2 ງ , S  1 NPQA  2AP 1 2 າມ ຂ ງ ຈ າ MNPA SMNPA  NP  AP  AP  SMNPA 2 NP ຈາ າມ ຈ າ MAQ າມ: ຕາ ) MQ2=AM2+QA2 ( ງຕາມ ຖ QA2  MQ2  AM 2  QA  MQ2  AM 2 3 ຄາ (2) ລະ (3) ໃ (1) າ : S  1 NP QA  2AP 2 S  1 NP  MQ2  AM 2 2 SMNPA  4 2  NP   1 40  502  402  2 1280  2  40  1880 cm2 ະ , າ 1880 cm2 2. ຂ ງ ຄາງ ງ 60 dm ລະ 20 dm ຂາງຂ ງມ າ 13 dm, 37 dm. ຈງຄ ລ ຂ ງ ຈາງ . ? ວຽ າ 1. ໃ ຄາງ ຽງ ABCD ໃ ຂາງ AD=10 cm, BC=6 cm , AB=CD=5 cm. ຈງຊ າ ຂ ງ ຄາງ ງ າວ.? 41

2. ໃ ຄາງ ຽງ ABCD ວາ ຂ ງ ຄາງ າ 25 dm2 ລະ ຂ ງ າມ ຈ າະ ຄາງ ງ າວ າ 306 dm2 ລະ ລວງ ງຂ ງ າມ ຈ າ 18 dm. ຈງຊ າ ຂ ງ ຄາງ ຽງ . ( ຕມ) AB DM NC 42