วัไจ1

ບດົ ທີ 11 ຂອບເຂດທ່ ີມຮີ ບລກັ ສະນະ 1 ບນັ ດາສດຄດິ ໄລ:່ ສດ 1: lim 1  1 x  e x  x ສດ 2: ວາງ u  1 ເມ່ອື x    u  0 x 1 lim1 uu  e. u0 ສດ 3: ຖາູ້ ວາ່ lim f  x f a 1 ; lim g  x g a . xa xa gx lim  f  x 1. g  x   lim  f x   exa xa ຕວົ ຢາ່ ງ 1: ຄດິ ໄລຂ່ ອບເຂດ lim  x2 1x2   1  x x2 ນາໍ ໃຊສູ້ ດ 1: lim  x2  1 x2  lim 1  2 x2  x2  1  x2 1 x x   x2 21 2 x2  x2 1    1 lim 1  x  x 2 1  2 51

2 x2 1 x2 1  x2 1 2     lim  x 1 1   2   x 2    x2 1  lim 2 x2  2  x2 1   x     lim   x 1 1    e2  1.   2   e2 x 1 2    ນາໍ ໃຊສູ້ ດ 3: 2 x2  x2 111 x2 x2 1 x2 1 2 x2 2 xlim x2 x2 1 x2 1 lim  xx 11  e  e  e1 .x  lim lim 2 2 x x 2 ຕວົ ຢາ່ ງ 2: ຄດິ ໄລຂ່ ອບເຂດ lim  x2 1x2   1  x x2 ນາໍ ໃຊສູ້ ດ 1:  2x2  3 8 x2  3 1 2 8x2 2017  5  2x2  5  lim  2 x2   lim   x x  lim 1 1 5  8x2 20 1 17  x  2x2   2x2  5    1   2   2    1   4 2 x2 5   17       lim  1 5  1  1   2x2    2x2  5   x  2 2 52

 8 2 x2 5 17   2       lim 1  1  lim1  1  x  2x2  5  x  2x2  5  2 2  lim 1  1 5 2 x2 5  8  e8  1 . 2x2   e8 x  2  2       ນາໍ ໃຊສູ້ ດ 2:    xlim 2 8x2  3 2 x2  3  2 8 x2  3 lim 22xx  35   e  e  e1 .x2 2 x2  5  1 8 x2   lim 8 3 2 x2  5 8 x 8 ຕວົ ຢາ່ ງ 3: ຄດິ ໄລຂ່ ອບເຂດ lim  x 5 x3  x 2  x   ນາໍ ໃຊສູ້ ດ 1: lim  x5 x3  lim 1  3 x 21     x  x  2  x x 2  lim 1  x 3 2 x2 1  x 3 2      x 3 x  2  3    lim 1  1  lim 1  3   x2  x  2  x x  3  x2  3  3  lxim        1    e3.  1 x2       3  53

ນາໍ ໃຊສູ້ ດ 3: x3  x  5 1 3 x3 lim  x  2 x  x2 lim xx52   e  e .x x 3  lim 3 3 x ບດົ ເຝກຶ ຫດັ ຈງ່ ົ ຄດິ ໄລບ່ ນັ ດາຂອບເຂດລມຸ່ ນ:ູ້ີ  x3x x2 1. lim 2. lim  5x7  4     x  x 1  x  5 x  3   1 2x 3x x  3x 14  7  3x  2  3. lim  7  2 x  4. lim     x x  x2  5x 1 x2 x 2 3 5. lim 6. lim  x  10 4x2     x  x2  2x  3  x2  5 x  2   x2  x 1 2x2 3x7 1 7. 8.  2x  3  x  x3  lim  x2 5  lim   x x0 1 10. lim  x 1 x    9. lim 5x2 1 x2 x  x  3  x0 1 x  11. lim  x  3  x1 12. lim  x  5  .    x  2 x1  3x 1  x  54

ບດົ ທີ 12 ຜນົ ຕາໍ ລາຂອງຕາໍ ລາ f  x ຢເ່ ມດັ x0 ນຍິ າມ 1: f  x0   lim f  x  f  x0  xx0 x  x0 ນຍິ າມ 2: x  x  x0 ເອນູ້ີ ວາ່ ຄາ່ ເພ່ ີມຂອງຕວົ ປຽ່ ນ x. x  x  x0 y  f  x  f  x0   f x  x0   f  x0  ເອນ້ີູ ວາ່ ຄາ່ ເພ່ ີມຂອງ y. f   x0   lim f x  x0   f  x0  . x0 x ນຍິ າມ 3: f  x  lim f x  x  f  x x0 x ຕວົ ຢາ່ ງ 1: ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f  x  x2  2x 1. ຄດິ ໄລຜ່ ນົ ຕາໍ ລາຢເ່ ມດັ x0 1. ນາໍ ໃຊນູ້ ຍິ າມ 1: ເຮົາມ ີ f   x0   lim f  x  f  x0  xx0 x  x0 f 1  lim f  x  f 1 x1 x 1  f 1  lim x2  2x 1 12  2.11 x1 x 1 f 1  lim x2  2x  3 x1 x 1 55

 x 1  x  3 f 1  lim x1 x 1 f 1  lim x  3  4. x1 ນາໍ ໃຊນູ້ ຍິ າມ 2: ເຮົາມ ີ f   x0   lim f x  x0   f  x0  x0 x f 1  lim f x 1  f 1 x0 x  f 1  lim x 12  2x 1 1  12  2.11 x0 x f 1  lim x2  4x  2  2 x0 x f 1  lim x2  4x x0 x f 1  lim x x  4 x0 x f 1  lim x  4  4. x0 ນາໍ ໃຊນູ້ ຍິ າມ 3: ເຮົາມີ f  x  lim f x  x  f  x x0 x f  x  lim x  x2  2x  x 1  x2  2x 1 x0 x f  x  lim x2  2x.x  x2  2x  2x 1 x2  2x 1 x0 x f  x  lim x2  2x.x  2x x0 x 56

f  x  lim x x  2x  2 x0 x f  x  lim x  2x  2 x0 f x  2x  2 f 2  4. ຕວົ ຢາ່ ງ 2: ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f  x  2x3 1. ຈງ່ ົ ຄດິ ໄລຜ່ ນົ ຕາໍ ລາຢເ່ ມດັ x0  0 ນາໍ ໃຊນູ້ ຍິ າມ 1: f  x0   lim f  x  f  x0  xx0 x  x0 ເຮົາມີ f  x  2x3 1 f 0  lim f  x  f 0 x0 x  0 f 0  lim f  x  f 0 x0 x  f 0  lim 2x3 1 2.03 1 x0 x f 0  lim 2x3 11 x0 x f 0  lim 2x3 x0 x f 0  lim2x2 x0 f 0  0. ນາໍ ໃຊນູ້ ຍິ າມ 2: ເຮົາມ ີ f  x0   lim f  x  x f  x0  x0 x 57

f 0  lim f x  0  f 0 x0 x f 0  lim f x  f 0 x0 x f 0  lim 2x3 11 x0 x f 0  lim 2x3 x0 x f 0  lim 2x2  0. x0 ນາໍ ໃຊນູ້ ຍິ າມ 3: ເຮົາມີ f  x  lim f x  x  f  x x0 x f  x  lim 2x  x3 1 2x3 1 x0 x  f  x  lim 2 x3  3x2.x  3x.x2  x3 1 2x3 1 x0 x f  x  lim 2x3  6x2.x  6x.x2  2x3 1 2x3 1 x0 x f  x  lim 2x3  6x2.x  6x.x2 x0 x  f  x  lim x 2x2  6x.x  6x2 x0 x  f  x  lim 2x2  6x.x  6x2 x0 f x  6x2 f 0  0. 58

ຕວົ ຢາ່ ງ 3: ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f x  x 1. ຄດິ ໄລ່ f 2 x 1 ນາໍ ໃຊນູ້ ຍິ າມ 1: f  x0   lim f  x  f  x0  xx0 x  x0 f 2  lim f  x  f 2 x2 x  2 x 1   2 1  x 1  2 1  f  2  lim x2 x  2 x 1   2 1  x 1  2 1  f  2  lim x2 x  2 x 13 f 2  lim x 1 x2 x  2 x 1 3 x 1 f 2  lim x 1 x2 x2 f   2  lim x 1 3x  3 x2  x 1 x  2 f   2   lim  x 2x  4 2  x2 1 x f   2  lim  2  x  2 x 1  x  2 x2 f 2  lim 2  2. x2 x 1 59

ນາໍ ໃຊນູ້ ຍິ າມ 2: ເຮົາມ ີ f   x0   lim f x  x0   f  x0  x0 x f 2  lim f x  2  f 2 x0 x x  2 1  2 1 f 2  lim x  2 1 2 1 x0 x x  3  3 f 2  lim x 1 1 x0 x x  3  3 f 2  lim x 1 x0 x x  3  3x 1 f 2  lim x 1 x0 x f   2  lim x  3  3x  3 x0 x  x 1 f 2  lim 2 x x0 x x 1 f 2  lim 2  2. x0 x  1 ນາໍ ໃຊນູ້ ຍິ າມ 3: f  x  lim f x  x  f  x x0 x ເຮົາມີ f  x  x 1 x 1 60

x  x 1  x 1 f  x  lim x  x 1 x 1 x0 x  x 1x  x 1   x 1x  x 1 f  x  lim x  x 1 x 1 x0 x    f  x  lim x0 x.x  x2  x  x  x 1  x.x  x2  x  x  x 1 xx  x 1 x 1 f  x  lim x.x  x2  x  x  x 1 x.x  x2  x  x  x  1 x x0 x  x 1 x 1 f   x   lim x  x 2x  x  1 x0  x 1 f   x   lim  x  x 2  x  1 x0 1 f   x    2 x  12 f 2  2  2.  x 12 ຕວົ ຢາ່ ງ 4: ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f  x  3  2x . ຄດິ ໄລຜ່ ນົ ຕາໍ ລາຢເ່ ມດັ x  0. ນາໍ ໃຊນູ້ ຍິ າມ 1: f  x0   lim f  x  f  x0  xx0 x  x0 ເຮົາມີ f  x  3  2x f 0  lim f  x  f 0 xx0 x  0 f 0  lim 3  2x  3 x0 x 61

f 0  lim  3 2x  3 3 2x  3 x0  x 3  2x  3    2 2 3 2x  3  f 0  lim x0 x 3  2x  3  f 0  lim 3  2x  3 x0 x 3  2x  3 2x  f 0  lim x0 x 3  2x  3 f 0  lim 2 x0 3  2x  3 f 0  2   3 . 23 3 ນາໍ ໃຊນູ້ ຍິ າມ 2: f  x0   lim f x  x0   f  x0  x0 x ເຮົາມີ f  x  3  2x f 0  lim f x  0  f 0 x0 x f 0  lim 3  2x  3 x0 x f 0  lim   3  2x  3 3  2x  3 x0  x 3  2x  3    2 2 3  2x  3 f 0  lim  x0 x 3  2x  3 62

f 0  lim 2x  x0 x 3  2x  3 f 0  lim 2  2  2  1   3 . x0 3  2x  3 3  3 2 3 3 3 ນາໍ ໃຊນູ້ ຍິ າມ 3: f  x  lim f x  x  f  x x0 x ເຮົາມີ f  x  3  2x f  x  lim 3  2x  x  3  2x x0 x f  x  lim 3  2x  2x  3  2x x0 x f  x  lim   3  2x  2x  3  2x 3  2x  2x  3  2x x0  x 3  2x  2x  3  2x    2 2 3  2x  2x  3  2x f  x  lim  x0 x 3  2x  2x  3  2x f  x  lim 3  2x  2x  3  2x  x0 x 3  2x  2x  3  2x f  x  lim 3  2x  2x  3  2x  x0 x 3  2x  2x  3  2x f  x  lim 2x  x0 x 3  2x  2x  3  2x f  x  lim 2 x0 3  2x  2x  3  2x 63

f  x  lim 2 x0 3  2x  3  2x f  x  2 2 3 2x f  x  1 3 2x f 0  1   3 . 33 ຕວົ ຢາ່ ງ 5: ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f  x  2sin x 1. ຄດິ ໄລຜ່ ນົ ຕາໍ ລາຢເ່ ມດັ f 0. ນາໍ ໃຊນູ້ ຍິ າມ 1: f  x0   lim f  x  f  x0  xx0 x  x0 ເຮົາມີ f  x  2sin x 1 f 0  lim f  x  f 0 x0 x  0 f 0  lim 2sin x 1 2sin 0 1 x0 x f 0  lim 2sin x 11 x0 x f 0  lim 2sin x  2. x0 x ນາໍ ໃຊນູ້ ຍິ າມ 2: f   x0   lim f x  x0   f  x0  x0 x ເຮົາມີ f  x  2sin x 1 64

f 0  lim f x  0  f 0 x0 x f 0  lim 2sin x 1 2sin 0 1 x0 x f 0  lim 2sin x 11 x0 x f 0  lim 2sin x  2. x0 x ນາໍ ໃຊນູ້ ຍິ າມ 3: f  x  lim f x  x  f  x x0 x ເຮົາມີ f  x  2sin x 1 f  x  lim 2sinx  x 1 2sin x 1 x0 x f  x  lim 2sinx  x  2sin x x0 x f  x  lim 2sinx  x  sin x x0 x ອງີ ຕາມສດ: sin a  sin b  2cos a  b sin a  b 22 2 2 cos x x  x sin x x  x  2 2  f  x  lim x0 x 4cos x  2x sin x f  x  lim 22 x0 x 2cos x  2x sin x f  x  lim 22 x0 x 2 65

f  x  2cos x f 0  2. ຕວົ ຢາ່ ງ 6: ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f  x  2x2  x  2 . ຄດິ ໄລຜ່ ນົ ຕາໍ ລາຢເ່ ມດັ x  2. ນາໍ ໃຊນູ້ ຍິ າມ 1: f  x0   lim f  x  f  x0  xx0 x  x0 ເຮົາມີ f  x  2x2  x  2 f 2  lim f  x  f 2 x2 x  2  f 2  lim 2x2  x  2  2.22  2  2 x2 x  2 f 2  lim 2x2  x  6 x2 x  2 f 2  lim  x  22x  3 x2 x  2 f 2  lim2x  3  7. x2 ນາໍ ໃຊນູ້ ຍິ າມ 2: f  x0   lim f x  x0   f  x0  x0 x ເຮົາມີ f  x  2x2  x  2 f 2  lim f x  2  f 2 x0 x  f 2  lim 22  x2  2  x  2  2.22  2  2 x0 x 66

 f 2  lim 2 4  4x  x2  x  4  4 x0 x f 2  lim 8  8x  2x2  x  4  4 x0 x f 2  lim 7x  2x2 x0 x f 2  lim x7  2x x0 x f 2  lim 7  2x  7. x0 ນາໍ ໃຊນູ້ ຍິ າມ 3: f  x  lim f x  x  f  x x0 x ເຮົາມີ f  x  2x2  x  2 f  x  lim 2x  x2  x  x  2  2x2  x  2 x0 x  f  x  lim 2 x2  2x.x  x2  x  x  2  2x2  x  2 x0 x f  x  lim 2x2  4x.x  2x2  x  2x2 x0 x f  x  lim 2x2  4x.x  x x0 x f  x  lim x2x  4x 1 x0 x f  x  lim 2x  4x 1 x0 f  x  4x 1 f 2  7. 67

ຕວົ ຢາ່ ງ 7: ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f  x  x3 . ຄດິ ໄລ່ f 3. ນາໍ ໃຊນູ້ ຍິ າມ 1: f  x0   lim f  x  f  x0  xx0 x  x0 ເຮົາມີ f  x  x3 f 3  lim f  x  f 3 x3 x  3 f 3  lim x3  33 x3 x  3 f 3  lim  x  3  x3  3x  9 x3 x  3 f 3  lim x3  3x  9  27. x3 ນາໍ ໃຊນູ້ ຍິ າມ 2: f   x0   lim f x  x0   f  x0  x0 x ເຮົາມີ f  x  x3 f 3  lim f x  3  f 3 x0 x f 3  lim 3  x3  33 x0 x f 3  lim 3  x  3 3  x2  3  x.3  9 x0 x f 3  lim x 3  x2  3  x.3  9 x0 x 68

f 3  lim 3  x2  3  x.3  9  27. x0 ນາໍ ໃຊນູ້ ຍິ າມ 3: f  x  lim f x  x  f  x x0 x ເຮົາມີ f  x  x3 f  x  lim x  x3  x3 x0 x    x  x  x  x  x 2  x  x.x  x2   f x  lim x0 x f  x  lim x  x2  x  x.x  x2   x0 f  x  3x2 f 3  27. ຕວົ ຢາ່ ງ 8: ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f  x  x7 . ຄດິ ໄລ່ f 1. ນາໍ ໃຊນູ້ ຍິ າມ 1: f  x0   lim f  x  f  x0  xx0 x  x0 ເຮົາມີ f  x  x7 f 1  lim f  x  f 1 x1 x 1 f 1  lim x7 17 x1 x 1 f 1  lim x7 1 x1 x 1 69

 ອງີ ເອກະຜນົ ຄວນຈ່:ື xn 1   x 1 xn1  xn2  xn3  ... 1 f 1  lim x7 1 x1 x 1 f 1  lim  x 1  x6  x5  ... 1 x7 x 1  f 1  lim x6  x5  ... 1  7. x1 ນາໍ ໃຊນູ້ ຍິ າມ 2: f   x0   lim f x  x0   f  x0  x0 x ເຮົາມີ f  x  x7 f 1  lim f x 1  f 1 x0 x f 1  lim 1 x7 17 x0 x f 1  lim 1 x7 1 x0 x f 1  lim 1 x 1 1 x6  1 x5  ... 1 x0 x f 1  lim 1  x6  1  x5  ...  1  7. x0 ນາໍ ໃຊນູ້ ຍິ າມ 3: f  x  lim f x  x  f  x x0 x ເຮົາມີ f  x  x7 70

f  x  lim x  x7  x7 x0 x   x  x  x   x  x6  x  x 5 x  x  x4 x2  ...  x6   f x  lim x0 x f  x  lim  x  x 6   x  x5 x  x  x4 x2  ...  x6   x0 f x  7x6 f 1  7. ຕວົ ຢາ່ ງ 9: ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f  x  x10 . ຊອກ f  x ອງີ ຕາມນຍິ າມ 3: f  x  lim f  x  x  f  x x0 x f  x  lim  x  x10  x10 x0 x  ອງີ ເອກະຜນົ ຄວນຈ່:ື an  bn  a  b an1b0  an2b1  a bn3 2  ...  a b0 n1    x  x  x  x  x 9   x  x 8 x   x  x 7 x2  ...  x9   f x  lim x0 x f  x  lim  x  x9   x  x8 x   x  x 7 x2...  x9   x0 f  x 10x9. ຕວົ ຢາ່ ງ 10: ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f  x  c . ຄດິ ໄລ່ f  x. ອງີ ຕາມນຍິ າມ 3: f  x  lim f  x  x  f  x x0 x f  x  lim c  c  0. x0 x 71

ຕວົ ຢາ່ ງ 11: ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f  x  xn . ຊອກ f  x. ອງີ ຕາມນຍິ າມ 3: f  x  lim f  x  x  f  x x0 x f  x  lim  x  xn  xn x0 x f x   x  x  x  x  xn1.x0   x  x n2 .x1  ...   x  x 0 .xn1   lim x0 x f  x  lim  x  x n1   x  x n2 .x   x  x n3 .x2  ...  xn1   x0 f  x  nxn1. ບດົ ເຝກຶ ຫດັ 1. ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f  x  x2  2x  3. ຊອກ f 2. 2. ໃຫຕູ້ ໍາລາ f  x  x100 . ຊອກ f 1. 3. ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f  x  3 x 1 . ຊອກ f 1. 4. ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f  x  cos x . ຊອກ f  x. 5. ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f  x  2x  2 . ຊອກ f 3. 6. ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f  x  sin x . ຊອກ f  x. 7. ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f  x  x  2 . ຊອກ f 0. x2 8. ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f  x  x3  2 . ຊອກ f 1. 72

ບດົ ທີ 13 ສດຄດິ ໄລຜ່ ນົ ຕາໍ ລາຂອງຕາໍ ລາພູື້ນຖານ  (1) y  xn , y  xn   nx .n1  (2) y  axn , y  axn   anxn1. (3) y  x , y   x 1. (4) y  ax , y  ax   a. (5) y  a , y  a  0. ຕວົ ຢາ່ ງ 1: ໃຫຕູ້ າໍ ລາ y  x215 . ຊອກຜນົ ຕາໍ ລາ y.  y  x215   215x2151  215x214. ຕວົ ຢາ່ ງ 2: ໃຫຕູ້ າໍ ລາ y  x30 . ຊອກຜນົ ຕາໍ ລາ y.  y  x30   30x301  30x31. 5 ຕວົ ຢາ່ ງ 3: ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f  x  x4 . ຊອກຜນົ ຕາໍ ລາ f  x. f  x   5   5 5 1  5 1   4 4 x4 x4 x4. ຕວົ ຢາ່ ງ 4: ໃຫຕູ້ າໍ ລາ y  1 . ຊອກຜນົ ຕາໍ ລາ y. x 21  1  x21   21x211  21x22 .  y  x 21   ຕວົ ຢາ່ ງ 5: ໃຫຕູ້ າໍ ລາ y  1 . ຊອກຜນົ ຕາໍ ລາ y. x 13  1  x13   13x131  13x12.  y  x13   73

ຕວົ ຢາ່ ງ 7: ໃຫຕູ້ າໍ ລາ y  3 x2 . ຊອກຜນົ ຕາໍ ລາ y.  y  3 x2   2   2 2 1  2 23  2 1  2  2.   3 3 3 33 x x3  x3 x3 x3 1  3x3 ຕວົ ຢາ່ ງ 8: ໃຫຕູ້ າໍ ລາ y  1 . ຊອກຜນົ ຕາໍ ລາ y. x y   1   1  1 1 1 1 3  1  1  1 x .  x  x 2 2 2 2 x3 2x x2 x2 3  2x2 ຕວົ ຢາ່ ງ 9: ໃຫຕູ້ າໍ ລາ y  2x30 . ຊອກຜນົ ຕໍາລາ y.  y  2x30   60x301  60x29 . ຕວົ ຢາ່ ງ 10: ໃຫຕູ້ າໍ ລາ y  1 x27 . ຊອກຜນົ ຕາໍ ລາ y. 3 y   1 x 27   1 .27 x 271  9 x 26 .  3  3 ຕວົ ຢາ່ ງ 11: ໃຫຕູ້ າໍ ລາ y   3 . ຊອກຜນົ ຕາໍ ລາ y. 2 5x y   3   5.  3  31   15 x 5 .   2 2 2  5x 2  x2 74

ບດົ ທີ 14 ຜນົ ເນ່ອື ງ  f  x  g x  f  x  g x ຕວົ ຢາ່ ງ 1: ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f  x  2x3  x2  5. ຊອກຜນົ ຕາໍ ລາ f  x. f  x 2x3  x2  5  2x3    x2   5  6x2  2x. ຕວົ ຢາ່ ງ 2: ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f  x  x3  2x  5. ຊອກຜນົ ຕາໍ ລາ f  x. f  x   x3  2x  5  x3  2x  5  x3  2x   5  3x2  2. ຕວົ ຢາ່ ງ 3: ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f t   2t4  3t2  5t  1. ຊອກຜນົ ຕາໍ ລາ f t . f t   2t4  3t2  5t  1  2t4   3t2   5t   1  8t3  6t 5. ຕວົ ຢາ່ ງ 4: ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f  x  1 x3  2x2  x  3. ຊອກຜນົ ຕາໍ ລາ f  x. 3 f  x   1 x3  2x2  x  3  x2  4x 1.  3 75

ຕວົ ຢາ່ ງ 5: ໃຫຕູ້ ໍາລາ f  x8 x  3x . ຊອກ f 4 ແລະ f 9.  f  x  8 x  3x    8x 1  3x   2   4  3. x f 4  4  3  4  3  2  3  5. 42 f 9  4  3  4  3  4  9  13. 93 33 ບດົ ເຝຶກຫດັ ຈງ່ ົ ຊອກຜນົ ຕາໍ ລາຂອງບນັ ດາຕາໍ ລາລມຸ່ ນ:້ີູ 1. y 3x4  2x2  3 2. f t   a5  5a3 t2  at3 3. y  5  4x  7x3 4. f t   1 t2  1 t5 25 5. f  x 1 x4  2 x3  3 x2  1 234 6. y  15 x3  5x2 7. f t   3 t4  2 t3  2t2 43 8. y  3 x  2 x 10 9. g t   5at3  3a2 t2  4a3 t  5a4 76

10. g r   1 r3  1 r2  r  2 34 11. ໃຫຕູ້ າໍ ລາ y  7 x  x2 . ຊອກ y0, y 1 , y1, y  10 . 2 12. ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f  x 1 x3  1 x2  2x . ສາໍ ລບັ ໃດຂອງ x ສະຕອບສະໜອງ: 32 f x  0 f x  2 f  x  10. 13. ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f  x x x  x . ຊອກ f 1 , f  1  , f 49. 4  14. ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f  x x  x . ຊອກ f 1, f 4, f 16, f  1 . 64 15. ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f  x x3 4 x . ຊອກ f 1, f 9, f 100. 16. ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f  x 1  5 . ຊອກ f 1, f 4, f 9. xx 17. ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f x 3 x  1 . ຊອກ f 1, f 8, f 27. x2 18. ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f 1  1. ຊອກ f 1, f 4, f 16. x  x x2 19. ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f  x2 x  1 . ຊອກ f 1, f 4, f 25. x2 20. ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f  x 3 3 x 5x . ຊອກ f 1, f 8, f 75. 21. ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f  x 1  1  1 . ຊອກ f  1 , f 1, f 2. 2 x x2 x3 77

ບດົ ທີ 15 ສດຄດິ ໄລຜ່ ນົ ຕາໍ ລາຂອງຜນົ ຫານ ສດຄດິ ໄລ່ 1: u x  u x.v x  v x.u  x .    v  x  v2 x ຕວົ ຢາ່ ງ 1: ໃຫຕູ້ າໍ ລາ y  7  x. ຄດິ ໄລຜ່ ນົ ຕາໍ ລາ y. 7x y   7  x   7  x 7  x  7  x 7  x  7  x  7  x2    7  x  7  x 7  x2  7  x 7  x 7  x2   14 2 . 7x ຕວົ ຢາ່ ງ 2: ໃຫຕູ້ າໍ ລາ y  1 x3 . ຄດິ ໄລຜ່ ນົ ຕາໍ ລາ y. 1  x3 y   1 x3   1  x3  1  x3   1 x3  1  x3   1 x3  1 x3 2   3x2 1 x3   3x2 1 x3   1 x3 2 3x2  3x5  3x2  3x5 6x2 1 x3 2 1 x3      2 . 78

ຕວົ ຢາ່ ງ 3: ໃຫຕູ້ າໍ ລາ y  x2  x  2. ຄດິ ໄລຜ່ ນົ ຕາໍ ລາ y. x3 1 y   x2  x 2    x2  x  2  x3 1  x3 1  x2  x  2  x3 1   x3 12   2x 1 x3 1  3x2  x2  x  2   x3 12 x4  2x  x3 1 3x4  3x3  6x2 x3 1 2   2x4  2x3  6x2  2x 1. x3 1 2   ສດຄດິ ໄລ່ 2:  a   a.v x  .   v2  x  v  x   ຕວົ ຢາ່ ງ 1: ໃຫຕູ້ າໍ ລາ y 2 . ຄດິ ໄລຜ່ ນົ ຕາໍ ລາ y. x2  5 y   2  2 x2  5  2.2x  4x .  x2  5    x2  52  x2  52  x2  52 ຕວົ ຢາ່ ງ 2: ໃຫຕູ້ າໍ ລາ y  5 . ຄດິ ໄລຜ່ ນົ ຕາໍ ລາ y. 1 x  5   51 x   5  1 5  1 x  1 x2  1 x2 y      x2 . 1 ຕວົ ຢາ່ ງ 3: ໃຫຕູ້ າໍ ລາ y  12 . ຄດິ ໄລຜ່ ນົ ຕາໍ ລາ y. 2x  3 y   12   122x  3  122  24 .  2x  3  2x  32 2x  32 2x  32 79

ສດຄດິ ໄລ່ 3: u x  u x    a  . a ຕວົ ຢາ່ ງ 1: ໃຫຕູ້ າໍ ລາ y  x3 1. ຄດິ ໄລຜ່ ນົ ຕາໍ ລາ y. 2 y   x3 1   x3  1  3x2 .  2  2 2 ຕວົ ຢາ່ ງ 2: ໃຫຕູ້ າໍ ລາ y  x2  5x  4. ຄດິ ໄລຜ່ ນົ ຕາໍ ລາ y. 12 y   x2  5x  4    x2  5x  4  2x  5.  12  12 12 ຕວົ ຢາ່ ງ 3: ໃຫຕູ້ າໍ ລາ y  2x4  5x3  x 1. ຄດິ ໄລຜ່ ນົ ຕາໍ ລາ y. 8 y   2x4  5x3  x  1   2x4  5x3  x  1  8x3  15 x 2 1.  8  8 8 ບດົ ເຝກຶ ຫດັ ຈງ່ ົ ຊອກຜນົ ຕາໍ ລາຂອງບນັ ດາຕາໍ ລາລມຸ່ ນ:ີູ້ 1) y  2x2 1 x 2) y 1 x  x2 1 x  x2 3) f  x  x3  x2  x 1 3x 4) f  x x2 x2 5) f  x x3 1 2x 1 80

6) f  x x2  2x x2 1 7) f  x  1 x 1 x 8) f  x  2x 1 2x 9) f  x 2x  5 x2  3 10) f  x  x x 1 11) ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f  x  3x 1 . ຊອກ f 1, f 1. x2 12) ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f  x  x 5 . ຊອກ f 1, f 2. 2x3 13) ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f x  x2 . ຊອກ f  1  , f 2. 2  x 1 14) ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f x  6x  5 . ຊອກ f 1, f  1 . 2 1 3x 15) ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f x  5x2  2x . ຊອກ f 0, f 1. 2x  5 16) ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f x  3x . ຊອກ f   1 , f  1 . 2 2 x 1 17) ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f  x  x 6 . ຊອກ f 2, f 3. x 18) ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f x  x3. ຊອກ f 1, f 1. x 1 19) f  x  7 1 2x 20) f  x 2 x2 1 81

21) f  x 1 x3 1 22) f  x 6 1 2x 23) f  x 3 1 x2 24) y   4 2x 1 25) f  x 9 1 x 26) f  x 2 1  2x3 27) f  x 1 2x 1 28) f  x 3 x3 1 29) f  x 9 3x  2 30) f  x 4 5x  2 31) ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f x  8 . ຊອກ f 0, f 1. x2  3 32) ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f x  6 . ຊອກ f 1, f  1  . 3  4x  2 33) f  x x3  2x2  3x  2 12 34) f  x1 3x 5 35) f  x x2  3x  2 18 36) f  x x3  5x2  x  3 20 82

37) f  x x4  x3  3x 1 15 38) f  x 2x3  4x2  3x  5 30 39) f  x  x2  2x 1 . ຊອກ f   1 , f  5 . 3 4 2 40) f  x  x3  2x2  x 1. ຊອກ f   1  , f  3 . 2  2 4 83

ບດົ ທີ 16 ສດຄດິ ໄລຜ່ ນົ ຕາໍ ລາຂອງການຄນ y  u x.v x , y  u x.vx  ux.vx  u x.vx ຕວົ ຢາ່ ງ 1: ໃຫຕູ້ າໍ ລາ y  2x 11 3x . ຊອກຫາຜນົ ຕາໍ ລາ y. y  2x 11 3x 2x 1 1 3x1 3x 2x 1  21 3x  32x 1 2  6x  6x 3  12x 1  12x 1. ຕວົ ຢາ່ ງ 2: ໃຫຕູ້ າໍ ລາ y   x2  3x1 2x . ຊອກຫາຜນົ ຕາໍ ລາ y. y   x2  3x1 2x  x2  3x 1 2x  1 2x  x2  3x 2x  31 2x 2 x2  3x 2x  4x2  3 6x  2x2  6x  6x2 14x  3. ຕວົ ຢາ່ ງ 3: ໃຫຕູ້ າໍ ລາ y  1 2x  4x2 3x 1. ຊອກຫາຜນົ ຕາໍ ລາ y. y  1 2x  4x2 3x 1 1 2x  4x2  3x 1 3x 1 1 2x  4x2  2  8x3x 131 2x  4x2  84

6x  2  24x2  8x  3  6x 12x2  36x2  4x  5. ຕວົ ຢາ່ ງ 4: ໃຫຕູ້ າໍ ລາ y   x2  6x  32x 1. ຊອກຫາຜນົ ຕາໍ ລາ y. y   x2  6x  32x 1  x2  6x  3 2x 12x 1  x2  6x  3 2x  62x 12 x2  6x  3 4x2  2x 12x  6  2x2 12x  6  6x2  26x 12. ບດົ ເຝຶກຫດັ ຈງ່ ົ ຊອກຫາຜນົ ຕາໍ ລາຂອງຜນົ ຄນລມຸ່ ນ:ູ້ີ 1) f  x2x3  54x  3 2) f  x2x  33x2  5x 1 3) f  x4x2x2 1 4) f  x3x  65x  3 5) f  x  2 x  2x 6) f  x9x2  6x2x 1 7) f  x2x2  3 x3 1 8) f  x x  53x2  4x 9) f  x x2  3x 12x  6 10) f  x5x3  22x  x3  11) f  x5x  82x  3 85

12) f  x x4 11 x2  13) f  x4x5 2x2  5x  3 14) f  x2x3  54x  3 15) f  x x2  5 x2  2x 1 16) f  x2  3x x2  5x 1 17) ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f  x x  63x  2 . ຈງ່ ົ ຊອກຫາຄາ່ f 3, f 5. 18) ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f  x2x  31 2x. ຈງ່ ົ ຊອກຫາຄາ່ f 2, f 4. 19) ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f  x4x2  x2  5 . ຈງ່ ົ ຊອກຫາຄາ່ f 0, f 1. 20) ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f  x  3x  2  1 x . ຈງ່ ົ ຊອກຫາຄາ່ f 1, f 1. 21) ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f  x3x2  2x5x  4 . ຈງ່ ົ ຊອກຫາຄາ່ f 2, f 3. 22) ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f  x  4  x2  5x . ຈງ່ ົ ຊອກຫາຄາ່ f 0, f 1. 23) ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f  x 2x  2  1  1  . ຈງ່ ົ ຊອກຫາຄາ່ f 1, f 2. x2  x x2   24) ໃຫຕູ້ າໍ ລາ f  x  1  . ຈງ່ ົ ຊອກຫາຄາ່ f 2, f 4. x 3x  x  x  86

ບດົ ທີ 17 ສດຄດິ ໄລຜ່ ນົ ຕາໍ ລາຂອງຕາໍ ລາຊອູ້ ນໃນ y  un  x , y  un  x  n.u x.un1  x ຕວົ ຢາ່ ງ 1: ໃຫຕູ້ າໍ ລາ y  1  x5 . ຊອກຫາຜນົ ຕາໍ ລາ y. y  1  x5   51 x 1 x 5 1  51 x4 . ຕວົ ຢາ່ ງ 2: ໃຫຕູ້ າໍ ລາ y   x3  2x .0,2 ຊອກຫາຜນົ ຕາໍ ລາ y. 0,2   1  1 x3  2x  1 1        yx3   5  5 5    2x  x3  2x  x3  2x  1 3x  2 x3  4 . 5 2x 5 ຕວົ ຢາ່ ງ 3: ໃຫຕູ້ າໍ ລາ y  4x  16 . ຊອກຫາຜນົ ຕາໍ ລາ y. y  4x  16   64x 1 4x 1 61  644x 15  244x 15 . ຕວົ ຢາ່ ງ 4: ໃຫຕູ້ າໍ ລາ y  3  5x2 6 . ຊອກຫາຜນົ ຕາໍ ລາ y. y  3  5x2 6  73 5x2  3  5x2 7 1  710x3  5x2 6  70x3  5x2 6 .  ຕວົ ຢາ່ ງ 5: ໃຫຕູ້ າໍ ລາ y  1  4 x   3 . ຊອກຫາຜນົ ຕາໍ ລາ y. 2 1   3  3 1  1  3  1  3    1   3 2 6 1  4x . 5 2  2 2  2  2 2 y   4 x    4 x  4 x   4  4 x  5 ຕວົ ຢາ່ ງ 6: ໃຫຕູ້ າໍ ລາ y  3x2  13 . ຊອກຫາຜນົ ຕາໍ ລາ y.  5  5 1   551 52 3  3  3 2 2 2.          y  3x2 1  3x2 3x2 1 3 6x 3x2 1  10x 3x2 1 87

ຕວົ ຢາ່ ງ 7: ໃຫຕູ້ າໍ ລາ y  1 2x  18 . ຊອກຫາຜນົ ຕາໍ ລາ y. 4 y  1 2x  18   1 .82x 1 2x  18 1  222x 17  42x 17 .  4  4 ຕວົ ຢາ່ ງ 8: ໃຫຕູ້ າໍ ລາ y  1 2x  18 . ຊອກຫາຜນົ ຕາໍ ລາ y. 4 y   2  3x 2  2 3   2 .33x2  2 3x2  2 31  26x3x2  22  12 x 3x2  22 .  3  3 ບດົ ເຝກຶ ຫດັ ຈງ່ ົ ຊອກຫາຜນົ ຕາໍ ລາຂອງບນັ ດາຕາໍ ລາລມຸ່ ນ:ູີ້ 1) f  x  2x  14 2) f  x  3  x3 3) f  x  4x2  15 4) f  x   x2  2x5 5) f  x 3x  4 0,12 6) f  x  7x2 6x6 7) f  x 2x  3 14 8) f  x  1 x8 9) f  x   x4 2x5 10) f  x 2x  3 5 11) f  x  1  x2 3x 14 4 12) f  x  106x 5x2 3 13) f  x 2x 14 88

14) f  x 2x2  55 15) f x  1  2  2   3x 3 1  x5 16) f  x 7x  2 2 17) f  x   1 3x 0.24  x  1 18) f  x 1 3x4 19) f  x  1  x3  x6 3 20) f  x  9 x2  6x  78 21) f  x  1  x2 3x 14 4 22) f  x 5 x2  2x  14 3 23) f  x  2 2x  8 1.25 3 24) f  x  3 53x4 2 1 25) f  x 54x 12 1 26) f  x  33x  63 27) f  x  1 3 x2 6 2 28) f  x  1 1 2x2 18 . 3 89

ບດົ ທີ 18 ສດຄດິ ໄລຜ່ ນົ ຕາໍ ລາຂອງຕາໍ ລາອະປກົ ກະຕິ (1) ຕາໍ ລາ y  x . ຜນົ ຕາໍ ລາ: y  1 . 2x (2) ຕາໍ ລາ y  u  x . ຜນົ ຕາໍ ລາ: y  u  x . 2 ux (3) ຕາໍ ລາ y  n u  x . ຜນົ ຕາໍ ລາ: y u  x . n.n u  xn1  ຕວົ ຢາ່ ງ 1: 2 x   2. 1  1 2x x  ຕວົ ຢາ່ ງ 2: 5 x   5. 1  5 2x 2x  ຕວົ ຢາ່ ງ 3: 6 x   6. 1  3 2x x  ຕວົ ຢາ່ ງ 4: x2  3    x2  3  2x  x . 2 x2  3 2 x2  3 x2  3 2x 1   2x 1  2  1 .  ຕວົ ຢາ່ ງ 5: 2 2x 1 2 2x 1 2x 1  ຕວົ ຢາ່ ງ 6: 2 3x  5  2. 3x  5  3 . 2 3x  5 3x  5  ຕວົ ຢາ່ ງ 7: 5 x2 1  5.  x2 1 5. 2x  5x . 2 x2 1 2 x2 1 x2 1  ຕວົ ຢາ່ ງ 8: 5 2x 1   2x 1  2 . 5 5 (2x  1)51 5 5 (2x 1)4 90

 ຕວົ ຢາ່ ງ 9: 7 x2  3    x2  3  2x . 7 7 (x2  3)71 7 7 (x2  3)6  ຕວົ ຢາ່ ງ 10: 3 3x  x2   3x  x2   3  2x . 3 3 (3x  x2 )31 3 3 (3x  x2 )2 7.4 1 x3   7. 1 x3    21x3  ຕວົ ຢາ່ ງ 11: .    4 4 1  x3 41 4 4 1  x3 3  ຕວົ ຢາ່ ງ 12: 10.5 x2  3x  10.  x2  3x  22x  3 . 5 5 (x2  3x)51 5 (x2  3x)4 ບດົ ເຝຶກຫດັ ຈງ່ ົ ຊອກຫາຜນົ ຕາໍ ລາຂອງບນັ ດາຕາໍ ລາລມຸ່ ນ:້ີູ 1. f  x 1 x  6x 2 2. f  x2x2  x 3. f  x  2x  x2 4. f  x 1 x3 5. f  x x 3  2 6. f  x 1 x  2x2 7. f  x 3x  5x2 8. f  x x2  5x  3 9. f  x x2  3x  1 2x2 10. f  x  3x  2  1 x 11. f  x  x3  2x2  5x  2 91

12. f  x  4  x2  5x 13. f  x 4x  x2  2 1 x3 14. f  x  x  x2  2x  5 15. f  x  1 x2  1 x2 2 16. f  x  5x  7x3 17. f  x  2x  x2  1 x 18. f  x 1 2 x 19. f  x x2  2 20. f  x 2x  1 3x 21. f  x  12 1 3x3 22. f  x  9 2x  2x2 23. f  x  13 x2  6x 24. f  x  8 x 1 25. f  x  5 1 x 26. f  x  6 5x 14 27. f  x  11 4x  x2 28. f  x  3 x2  7x 1 29. f  x  7 1 7x2 30. f  x  15 x3  2x  5 31. f  x  14 5x 12 32. f  x  8 2  9x2 33. f  x  5 x2 3 x 92

34. f  x  3 2  x 1 35. f  x  12 6x  1 8x 36. f  x  4 2x  x2 1. 93

ບດົ ທີ 19 ສດຄດິ ໄລຜ່ ນົ ຕາໍ ລາຂອງຕາໍ ລາໃຈກາໍ ລງັ (1) ຕາໍ ລາ y  ax . ຜນົ ຕາໍ ລາ: y  ax.ln a (2) ຕາໍ ລາ y  aux . ຜນົ ຕາໍ ລາ: y  u  x .aux .ln a (3) ຕາໍ ລາ y  ex . ຜນົ ຕາໍ ລາ: y ex (4) ຕາໍ ລາ y  eux . ຜນົ ຕາໍ ລາ: y  u  x .eux. ຕວົ ຢາ່ ງ 1: 3x   3x ln 3. ຕວົ ຢາ່ ງ 2: (5.4x )  5.4x ln 4.    ຕວົ ຢາ່ ງ 3: 4x2 5   x2  5  .4x25.ln 4  2 x.4x25.ln 4.    ຕວົ ຢາ່ ງ 4: 71 x2   1 x2  .71x2 .ln 7   2x. 71x2.ln 7. ຕວົ ຢາ່ ງ 5: 2.ex   2.ex. ຕວົ ຢາ່ ງ 6: 7.et   7.et.    ຕວົ ຢາ່ ງ 7: ex2 9   x2 9  .ex2 9  2 x.ex2 9.    ຕວົ ຢາ່ ງ 8: e5x  3   5x 3  .e5x3  5.e5x3.      ຕວົ ຢາ່ ງ 9: e5x x2   5x  x2  . e5x x2  5  2x .e5x x2 . 94

ບດົ ເຝຶກຫດັ ຈງ່ ົ ຊອກຫາຜນົ ຕາໍ ລາຂອງບນັ ດາຕາໍ ລາລມຸ່ ນ:ີູ້ 1. f  x2x  4x 2. f  x7x  9x 3. f  x8x  6x  4. f x  43x2x2 5.  f x 71 x3  6. f x 1212x2 7. f  x 153x7  8. f x 65  3x2 9.  f x  413 x  10.fx 122 1 x3 3  11. f x 18x2 6x5  12. f x 134x2 5 x 2 x 1 13.  f x 53x5 1 x2 14.  f x 81x2  15. f x  22x354x  16. f x 73x5  92  x  17. f x  71  x  32  4  x2 f 18.x  2  6x2 5x x x2 f 19.x  4  2x3 5x2 1 x  20.fx 16  17x2 2x3 1 x  x3 95

 21.fx  2  513x x2  1 x2 22.  f x 1215x2 23. f  x2ex 1  24. f x ex3 x2 6 25. f  x x3  5ex  26. f x e4x23x2  27. f x e 1 5x2 28. f  xe x1 1 x 29.  f x e2x5 30.  f x e 2x1 31.  f x ex  e5x  2  32. f x e3 x21  33. f x e1x12x 1 x 34. f  x e1x . 96

ບດົ ທີ 20 ສດຄດິ ໄລຜ່ ນົ ຕາໍ ລາຂອງຕາໍ ລາໂລກາລດິ ພູ້ຶນເອີ (1) ln x  1 . x  (2) lnn x   n.ln x.lnn1 x  n. 1 .lnn1 x. x (3) ln u  x   u x . ux (4) ln n u  x   n . ln u  x  .ln n 1 u  x   n . u x .ln n 1 u  x . ux ຕວົ ຢາ່ ງ 1: 5.ln x  5. 1  5 . xx ຕວົ ຢາ່ ງ 2: 7.ln t   7. 1  7 . tt  ຕວົ ຢາ່ ງ 3: ln12 x   12ln x  ln121 x 12. 1 .ln11 x  12.ln11 x. xx ຕວົ ຢາ່ ງ 4:  5ln4 x  4.5ln x.ln41 x  20. 1 .ln3 x  20.ln3 x. xx ຕວົ ຢາ່ ງ 5: ln  2x  5  2x  5  2 . 2x  5 2x  5 ຕວົ ຢາ່ ງ 6: 5ln 2  3x  2  3x  5. 3  15  15 . 2  3x 2  3x 3x  2 5. 2  3x ຕວົ ຢາ່ ງ 7: 2.ln 1 x2   1 x2   2. 2x  4x  4x . 1 x2 1 x2 x2 1 2. 1 x2 ຕວົ ຢາ່ ງ 8: ln5  x2 1  5.ln  x2 1  .ln51  x2 1  5.  x2 1 .ln 4  x2 1 x2 1 97

 10x .ln4  x2 1. x2 1 ຕວົ ຢາ່ ງ 9: 2.ln10 5x  3  2.10.ln 5x  3 .ln101 5x  3  20.5x  3 .ln9 5x  3  20. 5 .ln9 5x  3  100 .ln9 5x  3. 5x  3 5x  3 5x  3 ບດົ ເຝກຶ ຫດັ ຈງ່ ົ ຄດິ ໄລຜ່ ນົ ຕາໍ ລາຂອງບນັ ດາຕາໍ ລາລມຸ່ ນ:ູ້ີ 1. f  x 3ln x  5ln x 2. f  x 2 ln x  ln x 3. f  x 5ln x  3ln x 4. f  x 1 ln x  3x2 2 5. f  x x  1 ln x 3 6. f  x 1 x4  5 ln x 4 7. f  x 2x  3ln x 8. f  x 4ln x  1 ln x 5 9. f  x 2 x2  5ln x 10. f  x 1 x3  2ln x 3 11. f  x 2  ln x ln x 12. f  x1ln x ln x 98

13. f  x x2  ln x 2  5ln x 14. f  x 5 3ln x 1ln x 15. f  x 32ln x 1 ln x 16. f  x ln x x 17. f  x1 x2 ln x 18. f  x1  2ln x x  ln x 19. f  x1ln x12ln x 20. f  x2ln x37ln x1 21. f  x1ln x1ln x 22. f  x3ln x 2 x2  2ln x 23. f  x x2ln x13ln x 24. f  x3ln x  12ln x  3  25. f x  42ln x3  26. f x 512ln x 27.  f x 14lnxx  28. f x 155x 3ln x  29. f x 313ln x 30.  f x  2xln x  31. f x 65ln x  x2  32. f x e4ln x1 99

 33. f x ex2 3ln x  34. f x e3x 2ln x  35. f x e3ln x1  36. f x ex2 ln x 37.  f x eln xx  38. f x e2  3ln x 39. y ln19 x 40. y  x2  2ln12 x 41. y 5ln9 x 42. y 3ln18 x  2x 43. y 3x2  5ln14 x 44. y  3 ln15 x  12ln4 x 45. y  1 x5  1 ln3 x 53 46. y ln12 x  3 ln3 x 47. y  2x2  2 ln16 x 48. y 5ln5 x  5 ln8 x 49. f  xln2x 1 50. f  xln12x 51. f  xln7x2 1 52. f  xln x2 1 53. f  xln3x 1 54. f  xln x 1 x 1 100