วัไจ4

1

ຄາໍ ນາໍ ເຮາົ ຮແູ້ ລວູ້ ວ່ າການຮຽນຮເູ້ ກດີ ຈາກການປະຕບິ ດັ ແລະ ການຄດິ ຂອງນກັ ຮຽນເທ່ າົ ນນັູ້ ຫຼື ການການຮຽນຮເູ້ ກດີ ຈາກການປະຕບິ ດັ ແລະ ການຄດິ ຂອງນກັ ຮຽນເທ່ າົ ນນັູ້ . ສະນນັູ້ ເຮາົ ຈະເຮດັ ແນວໃດໃຫນູ້ ກັ ຮຽນໄດເູ້ ກດີ ການຮຽນຮູ້ ສ່ ງິ ສາໍ ຄນັ ທ່ ສີ ຸດກຄໍ ກຼື ານ ເລອຼື ກເຟັນູ້ ເນອຼືູ້ ໃນທ່ ຈີ າໍ ເປັນຂອງບດົ ຮຽນ ແລະ ສາູ້ ງເປັນຄາໍ ຖາມ(ກດິ ຈະກາໍ ) ໃຫນູ້ ກັ ຮຽນໄດປູ້ ະ ຕບິ ດັ ແລະ ຄດິ ເພ່ ອືຼ ການຮຽນຮ.ູ້ ເພ່ ອຼື ໃຫນູ້ ກັ ຮຽນໄດປູ້ ະຕບິ ດັ ແລະ ຄດິ ໃນການຮຽນຮມູ້ ວີ ທິ ກີ ານ ດ່ ງັ ນ:ີູ້ ບາດກາູ້ ວ1: ຄກະກຽມເອກະສານປະກອບການຮຽນ-ການສອນ ເຊ່ ງິ ແຕ່ ລະບດົ ໃຫປູ້ ະກອບມຢີ ່ າງໜອູ້ ຍ 2-3 ຕວົ ຢ່ າງ ແລະ ບດົ ເຝິກຫດັ . ບາດກາູ້ ວ 2: ຄແຈກຢາຍເອກະສານໃຫນູ້ ກັ ສກຶ ສາແຕ່ ລະຄນົ . ບາດກາູ້ ວ3. ນກັ ຮຽນຄນົູ້ ຄວາູ້ ວທິ ແີ ກໃູ້ ນບດົ ຕວົ ຢ່ າງ ແລະ ນາໍ ໄປແກບູ້ ດົ ເຝິກຫດັ . ບາດກາູ້ ວ 3: ນກັ ຮຽນນາໍ ສະເໜຜີ ນົ ຂອງການແກບູ້ ດົ ເຝິກຫດັ ຢ່ າງສາູ້ ງສນັ . ບາດກາູ້ ວ 4: ຄປະເມນີ . ເອກະສານສະບບັ ນີູ້ ປະກອບມີ 17 ບດົ ແຕ່ ລະບດົ ປະກອບມີ 2-3 ຕວົ ຢ່ າງ ພອູ້ ມດວູ້ ຍ ບດົ ເຝິກຫດັ . ວທິ ກີ ານຮຽນຮດູ້ ວູ້ ຍຕນົ ເອງ ໄດທູ້ ດົ ລອງນາໍ ໃຊກູ້ ບັ ນກັ ສກຶ ສາສາຍຄຄະນດິ ສາດລະບບົ 12+4 , ປີ 3 ວທິ ະຍາໄລຄຫວງນາໍູ້ ທາ, ສກົ 2020-2021. ດ່ ງັ ນນັູ້ , ບນັ ດາຄອາຈານ ແລະ ນກັ ສກຶ ສາ ທ່ໄີ ດນູ້ າໍ ໃຊເູ້ ອກະສານສະບບັ ນ,ີູ້ ຫາກໄດພູ້ ບົ ພໍູ້ ຂຂໍູ້ າດຕກົ ບກົ ພ່ ອງທາງດາູ້ ນເນອຼືູ້ ໃນ ກຄໍ ທືຼ າງດາູ້ ນສໍານວນຄາໍ ເວາົູ້ ຈ່ ງົ ໄດສູ້ ່ ງົ ຄາໍ ຄດິ ເຫນັ ອນັ ຈງິ ໃຈ ຂອງພວກທ່ ານໄປຍງັ ຂາູ້ ພະເຈາົູ້ ເພ່ ອຼື ວ່ າຂາູ້ ພະເຈາົູ້ ຈະໄດເູ້ ກບັ ກາໍ ແລວູ້ ນາໍ ໃຊເູ້ ຂາົູ້ ການປັບປຸງໃຫູ້ ສມົ ບຸນ. 2

ສາລະບານ ໜາູ້ ເນອືຼູ້ ໃນ 3 5 ບດົ ທ1ີ . ການປ່ ຽນອງົ ສາອອກເປັນລາດຽງ 7 9 ບດົ ທ2ີ . ການປ່ ຽນລາດຽງອອກເປັນອງົ ສາ 12 16 ບດົ ທ3ີ . ການຄດິ ໄລ່ ລວງຍາວຂອງທ່ ອນກງົ 20 ບດົ ທ4ີ . ເຄ່ ອຼື ງໝາຍຂອງຕໍາລາໄຕມມມຕິ ິ 23 26 ບດົ ທ5ີ . ການຄດິ ໄລ່ ຄ່ າຂອງຕາໍ ລາໄຕມມມຕິ ິ 27 ບດົ ທ6ີ . ຄ່ າຂອງຕາໍ ລາໄຕມມມຕິ ຂິ ອງມມພເິ ສດ 28 ບດົ ທ7ີ . ຕາໍ ລາໂກຊນິ 29 30 ບດົ ທ8ີ . ຕໍາລາຊນິ 31 61 ບດົ ທ9ີ . ມມກງົ ກນັ ຂາູ້ ມ  ແລະ  69 72 ບດົ ທ1ີ 0. ມມຄບົ ສາກ    ແລະ   2  ບດົ ທ1ີ 1. ມມຫຸດລ່ ນືຼ ກນັ ໜ່ ງຶ ມມພຽງ    ແລະ   2  ບດົ ທ1ີ 2. ມມຄບົ ພຽງ    ແລະ  ບດົ ທ1ີ 3. ມມຫຸດລ່ ນຼື ກນັ ໜ່ ງຶ ມມພຽງ     ແລະ  ບດົ ທ1ີ 4. ການພສິ ດສະເໜຜີ ນົ ຕໍາລາໄຕມມມຕິ ິ ບດົ ທ1ີ 5. ຜນົ ບວກ ແລະ ຜນົ ລບົ ມມ ບດົ ທ1ີ 6. ມມຄນສອງ ບດົ ທ1ີ 7. ມມຫານສອງ 3

ບດົ ທີ 1 ການປ່ ຽນອງົ ສາອອກເປັນລາດຽງ ສດການປ່ ຽນອງົ ສາອອກເປັນລາດຽງ: A  A.  rd 180 ຕວົ ຢ່ າງ: ຕ່ ມືຼ ຈາໍ ນວນຖກືຼ ຕອູ້ ງໃສ່ ບ່ ອນຈາໍູ້ ໆ: (1) 5           rd (2) 1           rd (3) 360           rd (4) 1 5           rd (5) 2 712           rd ວທິ ແີ ກ:ູ້ (1) 5           rd 5  5.  rd  5.3,141592654 rd  15,70796327 rd  0,08726646261 rd. 180 180 180 (2) 1  .          rd 1   1   1. rd  3.141592654 rd  0,009888 rd.  60  60 180 1080 (3) 360           rd 360  360.  rd  2 rd  2  3.141592654 rd  6,283185307 rd . 180 (4) 1 5           rd 1 5  1  5   1  1    13   13.  rd  40,8407045 rd 60  12   12  12 180 2160  0,01890773356rd. 4

(5) 2 712           rd 2 712  2 1  12   2 1  1   2  6    2  6    2  1    101  60  5   5     50   50   5   60   ອງີ ຕາມສດການປ່ ຽນອງົ ສາເປັນລາດຽງ: A   rd , ເຮາົ ຈະໄດ:ູ້ A. 180  101   101.  rd  317,300858 rd  0,03525565089rd.  50  50 180 9000 --------- ບດົ ເຝິກຫດັ --------- ຈ່ ງົ ຕ່ ມຼື ຈາໍ ນວນຖກຼື ຕອູ້ ງໃສ່ ບ່ ອນຈາໍູ້ ໆ: (1) 120           rd (2) 135           rd (3) 150           rd (4) 7 24           rd (5) 18 34           rd (6) 2311           rd (7) 44 5325           rd (8) 71 4315           rd (9) 83 58           rd (10) 27           rd (11) 156           rd (12) 3 8           rd . 5

ບດົ ທ2ິ ການປ່ ຽນລາດຽງອອກເປັນອງົ ສາ ສດການປ່ ຽນລາດຽງອອກເປັນອງົ ສາ: A rd   A.180     ຕວົ ຢ່ າງ: (1) ປ່ ຽນ 1 ລາດຽງອອກເປັນອງົ ສາຊດັ ເຈນຮອດຟີລບິ ດາ (2) ປ່ ຽນ 2 ລາດຽງອອກເປັນອງົ ສາຊດັ ເຈນຮອດຟີລບິ ດາ. ບດົ ແກ:ູ້ (1) ປ່ ຽນ 1 ລາດຽງອອກເປັນອງົ ສາຊດັ ເຈນຮອດຟີລບິ ດາ 1rd  1.180   57,324  57,324 60  3439  3439 60  206340.  ຫຼື 1rd  1.180   57,324  57 0,324 60  57 19, 44  57190, 44 60   571926 . (2) ປ່ ຽນ 2 ລາດຽງອອກເປັນອງົ ສາຊດັ ເຈນຮອດຟີລບິ ດາ 2 rd   2.180   2571926 1143852.   ບດົ ເຝິກຫດັ ຈ່ ງົ ຕ່ ມືຼ ຈາໍ ນວນຖກຼື ຕອູ້ ງໃສ່ ບ່ ອນຈາໍູ້ ໆ: (1) 1,5 rd                (2) 0,75 rd                6

(3) 2 rd                3 (4) 1  rd                4 (5) 3rd                (6) 21rd                (7) 2,25rd                (8) 5rd                (9) 39,5 rd                . 7

ບດົ ທ3ີ ການຄດິ ໄລ່ ລວງຍາວຂອງທ່ ອນກ່ ງົ ສດຄດິ ໄລ່ ລວງຍາວຂອງທ່ ອນກ່ ງົ : L ແມ່ ນລວງຍາວຂອງທ່ ອນກງົ R ແມ່ ນລດັ ສະໝຂີ ອງວງົ ມນົ A ແມ່ ນອງົ ສາ L  R.A ຕວົ ຢ່ າງ: ກງົ ລດົ ມລີ ດັ ສະໝີ 0,5 m ປ່ ິນໄດມູ້ ມ 30 30 . ຖາມວ່ າທ່ ອນກງົ ມລີ ວງຍາວ ຈກັ ແມດັ ? ບດົ ແກ:ູ້ ຮວູ້ ່ າ A  3030 , R  0,5 m ປ່ ຽນ 3030 ອອກເປັນດາລຽງ ອງີ ຕາມສດການປ່ ຽນອງົ ສາອອກເປັນດາລຽງ: A  A.  rd 180 30 30   30  30    30  1    61   30,5  30,5 rd  0,532rd  60   2   2  180 ນາໍ ໃຊສູ້ ດຄດິ ໄລ່ ລວງຍາວຂອງທ່ ອນກ່ ງົ L  R.A, ເຮາົ ຈະໄດ:ູ້ L  0,5 0,5323 0,266m. --------- ບດົ ເຝິກຫດັ --------- 1) ກ່ ງົ ອນັ ໜ່ ງຶ ມລີ ດັ ສະໝີ 2,5 cm ປ່ ິນໄດມູ້ ມ 2022. ຖາມວ່ າ ທ່ ອນກງົ ນນັູ້ ມີ ລວງຍາວຈກັ ແມດັ ?. 8

2) ກງົ ລດົ ລໜໍູ້ ່ ງຶ ມລີ ດັ ສະໝີ 2,25 dm ປ່ ິນໄດມູ້ ມ 9 . ຖາມວ່ າ ທ່ ອນກ່ ງົ ນນັູ້ ມລີ ວງຍາວຈກັ ແມດັ ?. 9

ບດົ ທ4ີ ເຄ່ ອືຼ ງໝາຍຂອງຕາໍ ລາໄຕມມມຕິ ິ ລາໍ ດບັ ຂອງທ່ ອນກ່ ງົ I  II   III   IV  ໜ່ ງຶ ສ່ ວນສ່ ີ 0            3 3    2 2 2 2 2 0    90 90   180 180    270 270    360 ຊ່ ຂືຼ ອງຕາໍ ລາ ໄຕມມມຕິ ິ ຕໍາລາໂກຊນິ cos + - - + + - - ຕໍາລາຊນິ sin + - + - - + - ຕາໍ ລາຕງັ tan tg  + ຕໍາລາໂກຕງັ + cot cot g  ຕວົ ຢ່ າງ: ຈ່ ງົ ແກບູ້ ນັ ດາບດົ ເລກລ່ ຸມນ:ີູ້ 10

(1) ໃຫູ້ cos2   1 ແລະ     3 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ cos ? 42 (2) ໃຫ ູ້ sin2   3 ແລະ 0  ຈ່ ງົ ຊອກຫາຊອກ sin ? 4 2 ວທິ ແີ ກ:ູ້ (1) ໃຫູ້ cos2   1 ແລະ     3 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ cos ? 42  cos2   1 4  cos  1 2  cos  1 ເພາະວ່ າ cos  cos ເມ່ ອຼື     3 2 2  cos   1 . 2 (2) ໃຫ ູ້ sin2   3 ແລະ 0  ຈ່ ງົ ຊອກຫາຊອກ sin ? 4 2  sin2   3 4  sin  3 2  sin  3 ເພາະວ່ າ sin  sin ເມ່ ອືຼ 0    . 2 2 --------- ບດົ ເຝິກຫດັ --------- (1) ໃຫູ້ cos2   1 ແລະ 270    360 ຈ່ ງົ ຊອກຫາ cos ; 9 (2) ໃຫູ້ cos2  1 ແລະ 0    90 ຈ່ ງົ ຊອກຫາ cos ; 2 11

(3) ໃຫູ້ cos2   1 ແລະ 90   180 ຈ່ ງົ ຊອກຫາ cos ; 16 (4) ໃຫູ້ sin2   5 ແລະ 90   180 ຈ່ ງົ ຊອກຫາ sin ; 9 (5) ໃຫ ູ້ sin2   9 ແລະ 180    270 . ຊອກ sin ; 25 (6) ໃຫູ້ sin2   36 ແລະ 270    360 ຈ່ ງົ ຊອກຫາ sin . 81 12

ບດົ ທ5ີ ການຄດິ ໄລ່ ຄ່ າຂອງຕາໍ ລາໄຕມມມຕິ ິ ຕວົ ຢ່ າງ: (1) ຮູ້ sin ຈ່ ງົ ຊອກຫາ cos , tan ແລະ cot . (2) ໃຫູ້ tan  2  3 ແລະ 0  ຈ່ ງົ ຊອກຫາ cot , cos , sin ແລະ 2 sec , csc . ວທິ ແີ ກ:ູ້ (1) ຮວູ້ ່ າ sin ຈ່ ງົ ຊອກຫາ cos , tan ແລະ cot . ສາໍ ລບັ cos ? ນາໍ ໃຊສູ້ ດ sin2   cos2  1  cos2  1 sin2   cos2   1 sin2   cos  1 sin2   cos   1 sin2  . ສໍາລບັ tan ? ອງີ ຕາມສດ tan  sin cos tan  sin .  1 sin2  ສາໍ ລບັ cot ? ອງີ ຕາມສດ cot  cos sin 13

cot   1 sin2  . sin ຫືຼ cot  cos .  1 cos2  (2) ໃຫູ້ tan  2  3 ແລະ 0  ຈ່ ງົ ຊອກຫາ cot , cos , sin ແລະ 2 sec , csc . ສໍາລບັ cot ? ນາໍ ໃຊສູ້ ດ tan.cot 1 2 3   cot  1  1   2  3. tan 2  3 2  3 2  3 ສາໍ ລບັ cos ? ນາໍ ໃຊສູ້ ດ 1 tan2   1 cos2   cos2   1 1 tan2   cos2   1  1  2 3  2 3 2 4 2 3 2 4       1 2 2 4 3 3 3  cos2   2  3  cos2   2  3  cos  2  3 4 42  cos  2  3 . 2 ສໍາລບັ sin ? ນາໍ ໃຊສູ້ ດ tan  sin cos  sin  tan.cos 14

2      sin  2  3 . 2  3  2  3 2  3  2  3 . 222 ສາໍ ລບັ sec ? ນາໍ ໃຊສູ້ ດ sec  1 cos 2 2 3   sec  1  2  2 2  3. 2 3 2 3 2 3 2 3 2 ສາໍ ລບັ csc ? ນາໍ ໃຊສູ້ ດ csc  1 sin csc  1 2 2 2 3 2 2 3. 2 3 2 3 2  3. 2  3 2 --------- ບດົ ເຝິກຫດັ --------- (1) ໃຫ ູ້ sin 3 ແລະ     3 ຈ່ ງົ ຊອກຫາ cos, cot, tan, sec 4 2 ແລະ csc . (2) ໃຫ ູ້ cot   1 ແລະ      ຈ່ ງົ ຊອກຫາ cos , sin, tan, sec ແລະ 3 2 csc . (3) ໃຫ ູ້ cos  3 ແລະ 270    360 ຈ່ ງົ ຊອກຫາ sin  , tan, cot, sec 5 ແລະ csc . (4) ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າຂອງຕໍາລາ cos ; tan ; cot ຮວູ້ ່ າ: 1) sin  4 ແລະ 0   5 2 15

2) sin  9 ແລະ 3   2 41 2 3) cos  12 ແລະ    13 2 4) cos  0,8 ແລະ    3 2 5) tan  1 ແລະ 90   180 6) tan  3 ແລະ 180    270 4 7) cot   3 ແລະ 270    360 8) cot 1 ແລະ 180    270 (5) ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າຂອງໝວດຄາໍ ນວນ 1 tan . ເມ່ ອືຼ sin  3 ແລະ 1 tan 5 0    90 (6) ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າຂອງໝວດຄາໍ ນວນ 2sin  cos . ເມ່ ອຼື tan  2 cos  3sin (7) ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າຂອງ sin cos . ເຊ່ ງິ ວ່ າ sin  cos  2 (8) ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າຂອງ tan2   cot2  ແລະ tan3  cot3 . ເຊ່ ງິ ວ່ າ tan  cot  2. 16

ບດົ ທ6ີ ຄ່ າຂອງຕາໍ ລາໄຕມມມຕິ ຂິ ອງມມພເິ ສດ ຕາຕະລາງ: ສງັ ລວມຄ່ າຂອງຕາໍ ລາໄຕມມມຕິ ຂິ ອງມມພເິ ສດ ຄຸນຄ່ າຂອງ 0 30 45 60 90 180 270 360 ມມ ( ) 0   2 6 4    3 ຊ່ ຂຼື ອງຕາໍ 0 0 ລາໄຕມມມຕິ ິ 1 1 or 2 32 2 1 2 22 1 ຊນິ ( sin ) 1 or 2 3 1 0 1  22 2 ໂກຊນິ ( cos ) 1 3 1 0 1 0 ຕງັ ( tan ) 0 2 1 2 ໂກຕງັ ( cot )   1 or 3 1 3  0  33 1 or 3 0   0 3 33 ຕວົ ຢ່ າງ: ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາໝວດຄາໍ ນວນລ່ ຸມນ:ີູ້ (1)  2sin  2   3 tan  2   2cos  4   2 cot  2  4  6   4   4   2a cos  3   b cot  3  3absin 0 2  3   4  (2)   3    5a cos 2   2a sin 6  2b cos2 4 (3) 4  2 tan2 45  cot4 60 3sin3 90  4cos60  4cot 45 (4) sin45     3cos180  2   4cot 90  ; ເມ່ ອືຼ   45 . ວທິ ແີ ກ:ູ້ 17

(1)  2sin  2   3 tan  2   2 cos  4   2 cot  2  4   6   4   4   2 2   3. 3 2   2. 2 4   2.12   2.       2  3  2 2 2 2 4  22 2 3         2 2 23 2 4  5  22  5  4  1.  2a cos  3   b cot  3  3absin 0 2  3   4  (2)   3    5a cos 2   2a sin 6  2b cos2 4  2a. 1 3   b.13  3ab.02  2   5a.03  2a. 1  2b. 1 2 2  2  a3  b3 ab a  ba2  ab  b2   ab  a2  ab  b2. (3) 4  2 tan2 45  cot4 60 3sin3 90  4cos60  4cot 45 4  2 12   1 4  3   313  4. 1  4.1 2 18

421 9 324 2 1 9 5 19 9 5  19 . 45 (4) sin45     3cos180  2   4cot 90  ; ເມ່ ອຼື   45 .  sin45  45   3cos180  2.45   4cot 90  45   sin90   3cos90   4cot 45  1 3.0  4.1 1 4  3. --------- ບດົ ເຝິກຫດັ --------- ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາໝວດຄໍານວນລ່ ຸມນ:ີູ້ (1) ຄດິ ໄລ່ 3sin     3tan   4cot  3 2cos 3 2 6 (2) ຄດິ ໄລ່ 3  sin2   2cos2   3tan2  2 34 (3) ຄດິ ໄລ່ 3sin2    2 tan  3  4cos2   3cot3  2  4  6 2 (4) ຄດິ ໄລ່     3a tan 0  2a cot  a tan 2bsin 4 44 (5) ຄດິ ໄລ່ 4a sin2   3 a tan  2   2a cos  2  4 4   4  19

(6) ຄດິ ໄລ່ 4a2 sin4   6ab tan2    b cot  2 . 4 6  4   a sin  2   b cot  2  2   4  (7) ຄດິ ໄລ່ 2a2 sin    2 6  2abcos0   b tan 4  (8) ຄດິ ໄລ່ sin  sin 2  sin 3 , ເມ່ ອືຼ    . 6 20

ບດົ ທ7ີ - ຕາໍ ລາໂກຊນິ 6.1. cos 2n  1 n  0,1,2,3,... ຂະຫຍາຍສດ: ຖາູ້ ວ່ າ n  0, ເຮາົ ຈະໄດູ້ cos0 1 ຖາູ້ ວ່ າ n 1, ເຮາົ ຈະໄດູ້ cos2 1 ຖາູ້ ວ່ າ n  2, ເຮາົ ຈະໄດູ້ cos4 1 ໝາຍຄວາມວ່ າ: cos[(ຄ່ ) )]  1 ຕວົ ຢ່ າງ: cos122 1 ; cos1278 1 ; cos5324 1. 6.2. cos 2n 1   1 n  0,1,2,3,... ຂະຫຍາຍສດ: ຖາູ້ ວ່ າ n  0, ເຮາົ ຈະໄດູ້ cos  1 ຖາູ້ ວ່ າ n 1, ເຮາົ ຈະໄດູ້ cos3  1 ຖາູ້ ວ່ າ n  2, ເຮາົ ຈະໄດູ້ cos7  1 ໝາຍຄວາມວ່ າ: cos[(ຄກີ ) )]  1 ຕວົ ຢ່ າງ: cos125  1 ; cos1271  1 ; cos5329  1. 6.3. cos 2n     cos n 1,2,3,... ຂະຫຍາຍສດ: ຖາູ້ ວ່ າ n 1, ເຮາົ ຈະໄດູ້ cos2     cos ຖາູ້ ວ່ າ n  2, ເຮາົ ຈະໄດູ້ cos4     cos ຖາູ້ ວ່ າ n  3 , ເຮາົ ຈະໄດູ້ cos6     cos ໝາຍຄວາມວ່ າ cos[(ຄ່ )  )]  cos . 21

ຕວົ ຢ່ າງ: ຄດິ ໄລ່ cos 319 ? 3 6.4. cos 2n    cos n  0,1,2,3,... ຂະຫຍາຍສດ: ຖາູ້ ວ່ າ n  0, ເຮາົ ຈະໄດູ້ cos   cos ຖາູ້ ວ່ າ n 1, ເຮາົ ຈະໄດູ້ cos2    cos ຖາູ້ ວ່ າ n  2, ເຮາົ ຈະໄດູ້ cos4    cos ໝາຍຄວາມວ່ າ cos[(ຄ່ )  )]  cos . ຕວົ ຢ່ າງ: ຄດິ ໄລ່ cos 479 ? 4 cos 479  cos120    cos   2. 4 4  4 2 6.5. cos 2n 1     cos n  0,1,2,3,... ຂະຫຍາຍສດ: ຖາູ້ ວ່ າ n  0, ເຮາົ ຈະໄດູ້ cos     cos ຖາູ້ ວ່ າ n 1, ເຮາົ ຈະໄດູ້ cos3     cos ຖາູ້ ວ່ າ n  2, ເຮາົ ຈະໄດູ້ cos5     cos ໝາຍຄວາມວ່ າ cos[(ຄກີ )  )]  cos . ຕວົ ຢ່ າງ: ຄດິ ໄລ່ cos 727 ? 6 cos 727  cos121      cos   3. 6 6  6 2 6.6. cos 2n 1    cos n  0,1,2,3,... ຂະຫຍາຍສດ: 22

ຖາູ້ ວ່ າ n  0, ເຮາົ ຈະໄດູ້ cos    cos ຖາູ້ ວ່ າ n 1, ເຮາົ ຈະໄດູ້ cos3    cos ຖາູ້ ວ່ າ n  2, ເຮາົ ຈະໄດູ້ cos5    cos ໝາຍຄວາມວ່ າ cos[(ຄກີ )  )]  cos . ຕວົ ຢ່ າງ: ຄດິ ໄລ່ cos 368 ? 3 cos 368  cos123     cos    1. 3 3  3 2 --------- ບດົ ເຝິກຫດັ --------- 1. cos48  2. cos520  3. cos1144  4. cos51  5. cos723  6. cos155  7. cos 254  8. cos 247  9. cos 751  2 3 6 10. cos 1247  11. cos 257  12. cos 721  4 3 4 13. cos 543  14. cos 763  15. cos 1027  2 6 6 23

ບດົ ທ8ີ . ຕາໍ ລາຊນິ 7.1. sin n   0 n  0,1,2,... ຂະຫຍາຍສດ: ຖາູ້ ວ່ າ n  0, ເຮາົ ຈະໄດູ້ sin 0  0 ຖາູ້ ວ່ າ n 1, ເຮາົ ຈະໄດູ້ sin  0 ຖາູ້ ວ່ າ n  2, ເຮາົ ຈະໄດູ້ sin 2  0 ຖາູ້ ວ່ າ n  3 , ເຮາົ ຈະໄດູ້ sin3  0 ໝາຍຄວາມວ່ າ sin [(ຄ່ ຫຼື ຄກີ ) ]  0 . ຕວົ ຢ່ າງ: sin125   0 ; sin1274   1 ; sin1000   0. 7.2. sin 2n     sin n 1,2,3,... ຂະຫຍາຍສດ: ຖາູ້ ວ່ າ n 1, ເຮາົ ຈະໄດູ້ sin2     sin ຖາູ້ ວ່ າ n  2, ເຮາົ ຈະໄດູ້ sin4     sin ຖາູ້ ວ່ າ n  3 , ເຮາົ ຈະໄດູ້ sin6     sin ໝາຍຄວາມວ່ າ: sin [(ຄ່ )   )]  sin . ຕວົ ຢ່ າງ: ຄດິ ໄລ່ sin 319  ? 3 sin 319  sin 106     sin   3 . “ 3 3  3 2 7.3. sin 2n    sin n 1,2,3,... ຂະຫຍາຍສດ: ຖາູ້ ວ່ າ n 1, ເຮາົ ຈະໄດູ້ sin2    sin ຖາູ້ ວ່ າ n  2, ເຮາົ ຈະໄດູ້ sin4    sin 24

ຖາູ້ ວ່ າ n  3 , ເຮາົ ຈະໄດູ້ sin8    sin ໝາຍຄວາມວ່ າ: sin [(ຄ່ )  )]  sin . ຕວົ ຢ່ າງ: ຄດິ ໄລ່ sin 479 ? 4 sin 479  sin 120      sin   2. 4 4  4 2 7.4. sin 2n 1     sin n  0,1,2,3,... ຂະຫຍາຍສດ: ຖາູ້ ວ່ າ n  0, ເຮາົ ຈະໄດູ້ sin     sin ຖາູ້ ວ່ າ n 1, ເຮາົ ຈະໄດູ້ sin3     sin ຖາູ້ ວ່ າ n  2, ເຮາົ ຈະໄດູ້ sin5     sin ຖາູ້ ວ່ າ n  3 , ເຮາົ ຈະໄດູ້ sin7     sin ໝາຍຄວາມວ່ າ: sin [(ຄກີ )   )]  sin . ຕວົ ຢ່ າງ: ຄດິ ໄລ່ sin 727  ? 6 sin 727  sin 121     sin    1. 6 6  6 2 7.5. sin 2n 1    sin n  0,1,2,3... ຂະຫຍາຍສດ: ຖາູ້ ວ່ າ n  0, ເຮາົ ຈະໄດູ້ sin    sin ຖາູ້ ວ່ າ n 1, ເຮາົ ຈະໄດູ້ sin3    sin ຖາູ້ ວ່ າ n  2, ເຮາົ ຈະໄດູ້ sin5    sin ຖາູ້ ວ່ າ n  3 , ເຮາົ ຈະໄດູ້ sin7    sin ໝາຍຄວາມວ່ າ: sin [(ຄກີ )  )]  sin . 25

ຕວົ ຢ່ າງ: ຄດິ ໄລ່ sin 368  ? 3 sin 368  sin123       3. 3 3  sin 2 3 ບດົ ເຝິກຫດັ 1. sin 24  2. sin 78  3. sin 71  4. sin 251  5. sin 550  6. sin 4562  2 4 6 7. sin 478  8. sin 91  9. sin 73  3 3 4 10. sin 127  11. sin 245  12. sin 2475  2 6 3 26

ບດົ ທ9ີ - ມມກງົ ກນັ ຂາູ້ ມ:  ແລະ  ສດ ຕວົ ຢ່ າງ cos   cos cos      cos   1 2 sin   sin  4  4 2 2 sin      sin    1  6  6 2 tan    tan tan       tan   1  4  4 cot    cot cot       cot   1  3  3  3 3 3 ບດົ ເຝິກຫດັ 1. cos      2. cos      3. sin      2   3   3  4. sin      5. tan      6. cot       2   3   6  27

ບດົ ທ1ີ 0 - ມມຄບົ ສາກ:    ແລະ   2  ສດ ຕວົ ຢ່ າງ cos      sin cos       sin   1 2 2   2 4  4 2 2 sin      cos sin        3  2   2 6  cos 2 6 tan      cot tan      cot  1  2   2 4  4 cot      tan cot      tan   3  2   2 3  3 ບດົ ເຝິກຫດັ 1. cos      2. cos      3. sin      2 3   2 6   2 4  4. sin      5. tan      6. tan       2 3   2 3   2 6  7. cot      8. cot      9. cot       2 6   2 4   2  28

ບດົ ທ1ີ 1 - ມມຫຸດລ່ ນຼື ກນັ ໜ່ ງຶ ມມພຽງ:    ແລະ   2  ສດ ຕວົ ຢ່ າງ cos       sin cos        sin   1  2 2   2 4  4 2 2 sin       cos sin       cos   3  2   2 6  6 2 tan        cot tan       cot   1  2   2 4  4 cot        tan cot       tan    3  2   2 3  3 ບດົ ເຝິກຫດັ 1. cos      2. cos      3. sin      2 3   2 6   2 4  4. sin      5. tan      6. tan        2 3   2 3   2 6  7. cot      8. cot       9. cot       2 6   2 4   2  29

ບດົ ທ1ີ 2 - ມມຄບົ ພຽງ:    ແລະ  ສດ ຕວົ ຢ່ າງ cos    cos cos        cos   1  2  4  4 2 2 sin    sin sin       sin   1  6  6 2 tan     tan tan        tan   1 cot     cot  4  4 cot        cot   1  3  3  3 3 3 ບດົ ເຝິກຫດັ 1. cos      2. cos       3. sin      3  6  4  4. sin     5. tan     6. tan      3  3   6  7. cot     8. cot       9. cot      6   4  2  30

ບດົ ທ1ີ 3 -ມມຫຸດລ່ ນືຼ ກນັ ໜ່ ງຶ ມມພຽງ:     ແລະ  ສດ ຕວົ ຢ່ າງ cos     cos cos        cos   1  2 4  4 2 2 sin     sin sin      sin    1 6  6 2 tan     tan tan     tan  1 4  4 cot     cot cot     cot   1 3 3  3 3 3 ບດົ ເຝິກຫດັ 1. cos      2. cos       3. sin       3  6  4  4. sin      5. tan     6. tan      3  3  6  7. cot     8. cot       9. cot      6   4  2  31

ບດົ ທ1ີ 4 - ການພສິ ດສະເໝຜີ ນົ ຕາໍ ລາໄຕມມມຕິ ິ ບນັ ດາສດພນຼືູ້ ຖານ: (1) tan  sin cos (2) cot  cos sin (3) 1  sec cos (4) 1  csc sin sin2   1 cos2  (5) sin2   cos2   1  cos2   1 sin2  (6) 1 tan2   1  sec2  cos2  (7) 1 cot2   1  csc2  sin2  tan  1  cot (8) tan  .cot  1  1 cot  tan ພສິ ດບນັ ດາສະເໜຜີ ນົ ລ່ ຸມນ:ີູ້ 1) cot sin  cos 2) sin cot sec 1 3) tan csc  sec 4) cos  sin tan  sec 5) cos2   sin   csc sin  6) sin3 x  sin x cos2 x  sin x 7) 1 cos2   tan cos2  32

8) sin2 y  tan2 y  cos2 y  sec2 y 9) 1 tan2   tan2  1 cot2  10) tan  cot  tan sin2  11) 1 tan2 xcos2 x 1 12) csc  cos tan  cot 13) cot  1 tan   sin cos  14) tan  cot2 2  sec2  csc2 15) sin   tan   tan  1 cos  16) sin  sin  2csc 1 cos 1 cos 17) sin  1 cos  2cot 1 cos sin 18) sec2 x  csc2 x  sec2 x csc2 x 19) cot2   cos2   cot2  cos2  20) tan4   tan2   sin2  sec4  21) 1 sin  cos  2sec cos 1 sin 22) cos  cos  2sec tan  sec tan  sec 23) 2cscx  cot xcos x  sin x  cscx 24) 1 cos  1 cos    1 1 cot2  25) 1 tan  cot 1 1 tan cot  1 26) cos  1 cos  sin 1 tan 33

27) tan  sin  sec  cos csc  cot csc  cot 28) 1 tan2   1 2sin2  1 tan2  29) 1 tan2   tan2  csc2 30) cot  tan  csc sec 31) 1 cos  sin2   cot sin 1 cos  32) cos  1 sin 1 sin cos 33) sec  tan  cos 1 sin 34) 1  sec  tan sec  tan 35) cos4 x  sin4 x  2cos2 x 1 36) sin4   cos4   1 sin2   cos2  37) tan  sec2  1  cos  sin tan  sec2  1 cos  sin 38)  sec   csc  2  csc2   1 tan   39) tan x  sin x  sec x sin3 x 1 cos x 40) tan  cot  sin sec3   sec csc cos2  41) cosx  ycosx  y  cos2 x  sin2 y 42) sinx  ysinx  y  sin2 x  sin2 y 43) cos4 x  sin4 x  cos2x 44) 1 cos2  tan  sin 2 34

45) sin 2  tan 1 cos2  46) sin 2  2 tan  1 tan2  47) cos 2  cos 1  cot sin 2  sin 48) sin 4x  4sin xcos xcos2x 49) cos x  sin x2 1 sin 2x 50) 1 cos 2  cot sin 2 51) cot2 y 1  cot 2y 2cot y 52) csc2   2  cos 2 csc2  53) cos4   sin4   2sin2  cos2  1 54) tan  cot 2  tan  cot 2  4 55) 1 cos2   tan cot  1 1 sin2  cos2  56) sin4   cos4   sin2   cos2  57) 3sin4   cos4    2sin6   cos6   1 58) 1 cos  1 cos  2cot  0      1 cos 1 cos  2  59) 1 cos  1 cos 1 cos sin 60) sin2  1 cot   cos2  1 tan   sin  cos 2 61) sin6   cos6  1 3sin2  cos2  62) tan2   sin2   tan2  sin2  63) cos2  1 1  sec 2 . 2cos4   cos2  ບດົ ພສິ ດ: 35

1) ພສິ ດວ່ າ cot sin  cos cot sin  cos .sin sin  cos . sin sin  cos ດ່ ງັ ນນັູ້ : tan csc  sec . 2) ພສິ ດວ່ າ sin cot sec 1 s in  cot sec  sin . cos . 1 sin cos  sin . cos . 1 sin cos 1 ດ່ ງັ ນນັູ້ : sin cot sec 1. 3) ພສິ ດວ່ າ tan csc  sec tan csc  sin . sin1 cos  sin . 1 cos sin 1 cos  sec ດ່ ງັ ນນັູ້ : tan csc  sec . 4) ພສິ ດວ່ າ cos  sin tan  sec cos  sin tan  cos  sin. sin cos 36

 cos2   sin2  cos 1 cos  sec ດ່ ງັ ນນັູ້ : cos  sin tan  sec . 5) ພສິ ດວ່ າ cos2   sin   csc sin  cos2   sin   cos2   sin2  sin  sin  1 sin   csc  ດ່ ງັ ນນັູ້ : cos2   sin   csc . sin  6) ພສິ ດວ່ າ sin3 x  sin xcos2 x  sin x sin3 x  sin xcos2 x  sin xsin2 x  cos2 x  sin x ດ່ ງັ ນນັູ້ : sin3 x  sin xcos2 x  sin x . 7) ພສິ ດວ່ າ 1 cos2   tan cos2  1 cos2   sin2  cos2  cos2   tan2  ດ່ ງັ ນນັູ້ : 1 cos2   tan . cos2  8) ພສິ ດວ່ າ sin2 y  tan2 y  cos2 y  sec2 y 37

sin2 y  tan2 y  cos2 y 1 tan2 y 1 cos2 y  sec2 y ດ່ ງັ ນນັູ້ : sin2 y  tan2 y  cos2 y  sec2 y . 9) ພສິ ດວ່ າ 1 tan2   tan2  1 cot2  1 1  tan2   cos2  1  cot2  1 sin2   sin2  cos2   tan2  ດ່ ງັ ນນັູ້ : 1 tan2   tan2  . 1 cot2  10) ພສິ ດວ່ າ tan  cot  tan sin2  tan  cot  sin  cos cos sin  sin2   cos2  cos sin 1 cos sin  sin . 1 sin cos sin  sin . 1 cos sin2   tan. 1 sin2  38

 tan sin2  ດ່ ງັ ນນັູ້ : tan  cot  tan . sin2  11) ພສິ ດວ່ າ 1 tan2 xcos2 x 1 1 tan2 xcos2 x  1 .cos2 x cos2 x  1 . cos2 x cos2 x 1 ດ່ ງັ ນນັູ້ : 1 tan2 xcos2 x 1. 12) ພສິ ດວ່ າ csc  cos tan  cot 1 csc  sin tan  cot sin  cos cos sin 1  sin sin2   cos2  cos sin 1  sin 1 cos sin  cos sin sin  cos ດ່ ງັ ນນັູ້ : csc  cos . tan  cot 39

13) ພສິ ດວ່ າ cot  1  sin cos  tan cot  1 tan   cos 1 sin    sin cos  cos2  1 sin 2   sin cos 1 1 sin cos  sin cos ດ່ ງັ ນນັູ້ : cot  1  sin cos .  tan 14) ພສິ ດວ່ າ tan  cot2 2  sec2  csc2 tan  cot2 2  tan2  2tan cot  cot2  tan2   2  cot2  1 tan2 1 cot2  1 1 cos2  sin2   sec2   csc2  ດ່ ງັ ນນັູ້ : tan  cot2 2  sec2  csc2 . 15) ພສິ ດວ່ າ sin   tan   tan  1 cos  sin   tan  sin   sin  cos   1 cos  1 cos  40

sin  cos   sin   cos  1 cos  sin  cos  1  cos  1 cos  sin  cos  1  cos  1 cos    sin  cos   tan  ດ່ ງັ ນນັູ້ : sin   tan   tan  . 1 cos  16) ພສິ ດວ່ າ sin  sin  2csc 1 cos 1 cos sin  sin  sin 1 cos   sin 1 cos  1 cos 1 cos 1 cos 1 cos   sin  cos sin  sin  sin cos 1 cos2   2 sin sin2  2 sin  2csc ດ່ ງັ ນນັູ້ : sin  sin  2csc . 1 cos 1 cos 17) ພສິ ດວ່ າ sin  1 cos  2cot 1 cos sin 41

sin  1 cos  sin2   1 cos 2 1 cos sin 1 cos sin  1  cos2   1 cos 2 1 cos sin  1  cos 1 cos   1  cos 2 1 cos  sin  1  cos  1 cos  1 cos  1 cos  sin  1 cos  1 cos  1 cos  1 cos  sin  2cos sin  2cot ດ່ ງັ ນນັູ້ : sin  1 cos  2cot . 1 cos sin 18) ພສິ ດວ່ າ sec2 x  csc2 x  sec2 xcsc2 x sec2 x  csc2 x  1  1 cos2 x sin2 x  sin2 x  cos2 x cos2 xsin2 x 1 cos2 xsin2 x  1.1 cos2 x sin2 x  sec2 xcsc2 x ດ່ ງັ ນນັູ້ : sec2 x  csc2 x  sec2 xcsc2 x . 19) ພສິ ດວ່ າ cot2   cos2  cot2 cos2 42

cot2   cos2   cos2   cos2  sin2   cos2   cos2  sin2  sin2  cos2  1 sin2    sin2   cos2  cos2  sin2   cos2  .cos2  sin2   tan2  cos2  ດ່ ງັ ນນັູ້ : cot2  cos2  cot2 cos2 . 20) ພສິ ດວ່ າ tan4   tan2   sin2  sec4  tan4   tan2   tan2  tan2  1  tan2 . 1 cos2   sin2  . 1 cos2  cos2   sin2 . 1 cos4   sin2  sec4 x ດ່ ງັ ນນັູ້ : tan4   tan2   sin2  sec4  . 21) ພສິ ດວ່ າ 1 sin  cos  2sec cos 1 sin 1 sin  cos  1 sin 2  cos2  cos 1 sin cos 1 sin  1  2 sin  sin2   cos 2    cos 1 sin  43

 2  2sin  cos 1 sin 2 1 sin   cos 1 sin  2 cos  2sec ດ່ ງັ ນນັູ້ : 1 sin  cos  2sec . cos 1 sin 22) ພສິ ດວ່ າ cos  cos  2sec tan  sec tan  sec cos  cos tan  sec tan  sec  cos  tan  sec   cos tan  sec  tan  sec tan  sec   cos  sin  1   cos  sin  1   cos cos   cos cos   tan2   sec2   sin 1 sin 1  tan2  2sin   2sin tan2   sec2   1 tan2  ດ່ ງັ ນນັູ້ : cos  cos  2sec . tan  sec tan  sec 23) ພສິ ດວ່ າ 2csc x  cot xcos x  sin x  csc x 2csc x  cot xcos x  2  cos x .cos x sin x sin x  1 2  cos2 x sin x  1 11 cos2 x sin x 44

 1 1 sin2 x sin x  1  sin x sin x  sin x  csc x ດ່ ງັ ນນັູ້ : 2csc x  cot xcos x  sin x  csc x . 24) ພສິ ດວ່ າ 1 cos  1 cos    1  1 cot2 1 1 1  cot2  1 sin2   sin2  1 cos2  1 cos  1 cos   ດ່ ງັ ນນັູ້ : 1 cos   1  cos    1 1  . cot 2 25) ພສິ ດວ່ າ 1 tan  cot  1 1 tan cot  1 1 tan 1 sin  1 tan  cos 1 sin  cos cos  sin  cos cos  sin cos  cos  sin cos  sin 45

cos  sin  sin  cos  sin sin   cot 1 cot 1 ດ່ ງັ ນນັູ້ : 1 tan  cot  1 . 1 tan cot  1 26) ພສິ ດວ່ າ cos  1 cos  sin 1 tan cos cos  cos cos  sin cos  sin cos 1 1 tan ດ່ ງັ ນນັູ້ : cos 1 . cos  sin 1 tan 27) ພສິ ດວ່ າ tan  sin  sec  cos csc  cot csc  cot tan sin sin  1  cos   sin  1  cos  cos  sin sin   sin sin    csc  cot csc  cot csc2   cot2  1 11 cos  cos 1  cot2   cot2   1  cos cos  sec  cos ດ່ ງັ ນນັູ້ : tan  sin  sec  cos . csc  cot csc  cot 46

28) ພສິ ດວ່ າ 1 tan2   1 2sin2  1 tan2  1  tan2  1 sin2   cos2  1  tan2  1 cos2  cos2   sin2   cos2  1 cos2   cos2   sin2  1 sin2   sin2  1 2sin2  ດ່ ງັ ນນັູ້ : 1 tan2   1 2sin2  . 1 tan2  29) ພສິ ດວ່ າ 1 tan2   tan2  csc2 1 1  tan2   cos2  csc2 1 sin2   sin2  cos2   tan2  ດ່ ງັ ນນັູ້ : 1 tan2   tan2  . csc2 . 30) ພສິ ດວ່ າ cot  tan  csc sec 47

cot  tan cos  sin sin cos  sec 1 cos cos2   sin2   sin cos 1 cos 1  sin cos 1 cos  cos sin cos 1 sin  csc ດ່ ງັ ນນັູ້ : cot  tan  csc . sec 31) ພສິ ດວ່ າ 1 cos  sin2   cot sin 1 cos  1 cos  sin2  1 cos  1 cos2   sin 1 cos   sin 1 cos   1 cos  1  cos 1 cos   1 cos  sin   1 cos  1 1 cos  sin 1 cos   cos  cot sin  ດ່ ງັ ນນັູ້ : 1 cos  sin2   cot . sin 1 cos  48

32) ພສິ ດວ່ າ cos  1 sin 1 sin cos cos  cos 1 sin  1 sin 1 sin 1 sin  cos 1 sin   1 sin2  cos 1 sin   cos2   1 sin cos ດ່ ງັ ນນັູ້ : cos  1 sin . 1 sin cos 33) ພສິ ດວ່ າ sec  tan  cos 1 sin sec  tan  1  sin cos cos  1 1  sin  cos  1  sin 1 sin  cos 1 sin   1 sin2   cos 1 sin  cos2  cos 1 sin   cos 1 sin ດ່ ງັ ນນັູ້ : sec  tan  cos . 1 sin 49

34) ພສິ ດວ່ າ sec 1  sec  tan  tan 1 1 1 sec  tan  sin cos cos  1 1 cos 1 sin   cos 1 sin  1 cos 1 sin    sisn 1 sin cos 1 sin   1 sin2   cos 1 sin  cos2   1 sin cos  1  sin cos cos  sec  tan ດ່ ງັ ນນັູ້ : sec 1  sec  tan .  tan 35) ພສິ ດວ່ າ cos4 x  sin4 x  2cos2 x 1 cos4 x  sin4 x  cos2 x  sin2 xsin2 x  sin2 x  cos2 x  sin2 x  cos2 x  1 cos2 x  2cos2 x 1 ດ່ ງັ ນນັູ້ : cos4 x  sin4 x  2cos2 x 1. 50