Proyecto Matemáticas

LA MAGIA DE LASMATEMÁTICA S3ERO SECUNDARIA



“LA MAGIA DE LAS MATEMÁTICAS”Factorización de expresiones algebraicas Integrantes: Cáceres Israel Lamilla Ariana Otiniano Fiorella Unzueta César 2017 FRAY LUIS DE LEÓN

“Como decíamos ayer… _2017_ 3° sec.I.E.P. FRAY LUIS DE LEÓN formamos para la vida” AñoLa magia de las matemáticas 2

“Como decíamos ayer… _2017_ 3° sec.I.E.P. FRAY LUIS DE LEÓN formamos para la vida” AñoContenidoI. Factorización .........................................................5 I.1. Pasos para factorizar ................................................ 5II. Factor común........................................................6 II.1. Pasos para hallar el factor común ........................... 6III. Factorización de binomios...................................7 III.1. Pasos para factorizar binomios .............................. 7IV. Método del aspa .................................................9 IV.1. Pasos para el método del aspa ............................... 9VI. Paolo Ruffini ......................................................11La magia de las matemáticas 3

“Como decíamos ayer… _2017_ 3° sec.I.E.P. FRAY LUIS DE LEÓN formamos para la vida” AñoLa magia de las matemáticas 4

“Como decíamos ayer… _2017_ 3° sec.I.E.P. FRAY LUIS DE LEÓN formamos para la vida” AñoI. FactorizaciónEn matemáticas, la factorización es una técnica queconsiste en la descomposición de una expresiónmatemática en forma de factores cuyo producto es igual ala expresión propuesta.I.1. Pasos para factorizar1. Reducir la expresión dada a factores primos Problema de práctica: Factoriza 1260 Factores primos de 1260: 2; 3; 5; 72. Presentar los factores obtenidos como un producto. Problema de práctica: Factoriza 1260 Factores primos de 1260: 2; 3; 5; 7 Factorización de 1260: 2 ∗ 2 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 5 ∗ 7 Resultado: 1260 = 22 ∗ 32 ∗ 5 ∗ 7La magia de las matemáticas 5

“Como decíamos ayer… _2017_ 3° sec.I.E.P. FRAY LUIS DE LEÓN formamos para la vida” AñoII. Factor comúnUn factor común es aquel factor que se repite en lafactorización de dos o más expresiones matemáticas. Parala factorización de expresiones matemáticas hallas elmayor factor común existente.II.1. Pasos para hallar el factor común1. Factorizar cada número completamente para obtener susfactores, teniendo en cuenta que los factores de un númeroson los que dividen la expresión de forma exacta. Problema de práctica: Hallar el factor común de 20 y 35 Factores de 20: 1; 2; 4; 5; 10; 20 Factores de 35: 1; 5; 7; 352. Comparar el conjunto de factores de cada término paraencontrar aquellos números que se encuentren en ambosconjuntos y luego multiplicarlos. Problema de práctica: Hallar el factor común de 10 y 20 Factores de 20: 1; 2; 4; 5; 10; 20 Factores de 35: 1; 5; 7; 35 Se repiten: 1; 5 El factor común es: 5La magia de las matemáticas 6

“Como decíamos ayer… _2017_ 3° sec.I.E.P. FRAY LUIS DE LEÓN formamos para la vida” AñoIII. Factorización de binomiosEn álgebra, un binomio es una expresión de dos términosconectada por un signo de suma o resta, como por ejemplo3������ + 6. El primer término siempre incluye una variable,mientras que el segundo puede tener otra variable o no.Factorizar un binomio implica hallar los términos mássimples que, al multiplicarse, den como resultado laexpresión original, lo que te permite resolverla osimplificarla para continuar el proceso.III.1. Pasos para factorizar binomios1. Halla el máximo factor común de ambos términos. Estosignifica que debes hallar el número mayor entre el cualpuedes dividir ambas partes del binomio. Si tienesdificultad para hacerlo, simplemente factoriza ambosnúmeros por separado y luego observa cuál es el númeromás grande que tienen en común. Problema de práctica: 3������ + 6 Factores de 3: 1, 3 Factores de 6: 1, 2, 3, 6 El máximo factor común es 3.2. Divide el máximo factor común de cada término. Unavez que halles el factor común, tendrás que eliminarlo decada término. Sin embargo, ten en cuenta que simplementesepararás los términos, convirtiéndolos en pequeñasdivisiones. Si lo haces correctamente, ambas ecuacionescompartirán el factor hallado. Problema de práctica: 3������ + 6 Factores de 3: 1, 3 Factores de 6: 1, 2, 3, 6 Halla el máximo factor común: 3 Elimina el factor de ambos términos: 3������ + 6 = ������ + 2 33La magia de las matemáticas 7

“Como decíamos ayer… _2017_ 3° sec.I.E.P. FRAY LUIS DE LEÓN formamos para la vida” Año3. Para terminar, multiplica la expresión final por el factor.En el problema anterior, se eliminó 3 para obtener. Sinembargo, realmente no te deshiciste del 3 por completo,sino que lo factorizaste para simplificar la expresión. No esposible borrar números sin volver a colocarlos. Por tanto,debes multiplicar el factor por la expresión para terminarel proceso correctamente. Problema de práctica: 3������ + 6 Factores de: 3 = 1, 3 6 = 1, 2, 3, 6 Halla el máximo factor común: 3 Elimina el factor de ambos términos: 3������ + 6 = ������ + 2 33 Multiplica el factor por la nueva expresión: 3(������ + 2) Respuesta final factorizada: 3(������ + 2)4. Revisa tu trabajo multiplicando todo hasta llegar a laecuación original. Si has hecho todo correctamente, revisarserá un proceso sencillo. Simplemente tienes quemultiplicar el factor por ambos términos dentro delparéntesis. Si el resultado es igual a la expresión originalsin factorizar, todo está correcto. Problema de práctica: 3������ + 6 Factores de: 3 = 1, 3 6 = 1, 2, 3, 6 Halla el máximo factor común: 3 Elimina el factor de ambos términos: 3������ + 6 = ������ + 2 33 Multiplica el factor por la nueva expresión: 3(������ + 2) Respuesta final factorizada: 3(������ + 2) Revisa tu respuesta:(3 ∗ ������) + (3 ∗ 2) = 3������ + 6La magia de las matemáticas 8

“Como decíamos ayer… _2017_ 3° sec.I.E.P. FRAY LUIS DE LEÓN formamos para la vida” AñoIV. Método del aspaEl método del aspa es un método que desarrolla lafactorización trinomios que tengan la forma: ������������2 + ������������ + ������ o������2 + ������������ + ������IV.1. Pasos para el método del aspa1. Primero hay que fijarse que el trinomio esté ordenado,luego de ello se descomponen en dos factores el términocuadrático y el término independiente del trinomio dado ycoloca uno sobre otro los factores que procedan del mismotérmino. Problema de práctica: 18������2 − 15������ − 187 Descomposición de 18������2: (6������), (3������) Descomposición de 187: (17), (−11) Planteamiento: 6������ 17 3������ −112. Los factores de los términos que se han hallado semultiplican de forma cruzada entre ellos, el superior con elinferior y el inferior con el superior. Problema de práctica: 18������2 − 15������ − 187 Descomposición de 18������2: (6������), (3������) Descomposición de 187: (17), (−11) Planteamiento: 6������ 17 3������ −11 Primera agrupación: (6������)(−11) = −66������ Segunda agrupación: (3������)(17) = 51������La magia de las matemáticas 9

“Como decíamos ayer… _2017_ 3° sec.I.E.P. FRAY LUIS DE LEÓN formamos para la vida” Año3. Luego de multiplicarlos revisa que la suma de losresultados sea igual al segundo término del trinomio y sino es así, cambia los factores que has seleccionado hastaque se cumpla. Problema de práctica: 18������2 − 15������ − 187 Descomposición de 18������2: (6������), (3������) Descomposición de 187: (17), (−11) Planteamiento: 6������ 17 3������ −11 Primera agrupación: (6������)(−11) = −66������ Segunda agrupación: (3������)(17) = 51������ Comprobación: (−66������) + (51������) = 15������4. Los factores se agrupan en pareja en direcciónhorizontal, los que se ubican en la parte superior y los quese ubican en la parte inferior, como binomios cada parejadentro paréntesis separados como producto. Problema de práctica: 18������2 − 15������ − 187 Descomposición de 18������2: (6������), (3������) Descomposición de 187: (17), (−11) Planteamiento: 6������ 17 3������ −11 Agrupación: (6������)(−11) = −66������, (3������)(17) = 51������ Comprobación: (−66������) + (51������) = 15������ Resultado: (6������ + 17)(3������ − 11) Respuesta final: 18������2 − 15������ − 187 = (6������ + 17)(3������ − 11)La magia de las matemáticas 10

“Como decíamos ayer… _2017_ 3° sec.I.E.P. FRAY LUIS DE LEÓN formamos para la vida” AñoVI. Paolo RuffiniPaolo Ruffini nació en Valentano, Italia, el 22 de septiembrede 1765 y feneció en Módena, el 10 de mayo de 1822. Fueun matemático, filósofo y médico, pero una vez finalizadosse dedicó casi por entero a la investigación matemática.El 15 de octubre de 1788 fue nombrado profesor defundamentos de análisis y en 1791 fue elegido catedráticode elementos de matemáticas. Y el mismo año obtuvo lalicencia para ejercer la medicina en Módena.Es conocido como el descubridor del llamado “método deRuffini” que permite hallar los coeficientes del polinomioque resulta de la división de un polinomio cualquiera porel binomio x-a. Sin embargo, no fue ésta su mayorcontribución al desarrollo de la matemática. Hacia 1805elaboró una demostración de la imposibilidad de lasolución general de las ecuaciones algebraicas de gradosquinto y superiores.La magia de las matemáticas 11