Matematica_BGU_1

Y 4 ������������(x) = √x 3 UPO IÉN S BLES DORA 2 1 y también 6.1. Tipos de discontinuidad EN GR Y TAMB TIC RECORTA CALCULA Las discontinuidades se estudian a-1 p0arti1r d2e l3a d4 efi5nic6 ió7n d8 e X En los valores de x para los continuidad en un punto y se clasifican según la parte de la que una función no está defi- Y nida en uno de sus lados, de- deY finición que cumplen. 3 cimos que la función es de segunda especie o esencial. DEdse2341isalcaqoufunenltl���ia���c���n���(ixóeu)nnid=leaan√dqxxue0eev�xitisa(txeb0n)le,nsoonexfiinsti-5eto,s-p4yec-r3ool-i2onsc-1liídm11220einte.1s la2te3ral4es 5 X D-1 i0sco1 nt2in3uid4 a5d p6 ri7m8era eX specie o no ev3 itable Y 4 ������������(x) = √x 3 2 1 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 X Las discontinuidades no evitables aparecen cuando los lími- tes laterales Y3no existen o alguno de ellos es infinito. √x tiene Y una disconti- 3 nuidad de2 segunda es- —Si los límite2s laterales existen, son finitos, peroY distintos dis- Y pecie en 1x=0 porque la continuida1d salto finito. 5 4 fu-n5 c-4 ió-3 n-2 no-1 0 e1st2á3d4ef5inX ida —-5 S-i4lo-s3 lím-2 it-1e1s0 exi1ste2n y3 u4no5dXe 4 3 1 2 en���������u���(nx)o=d23√exlos laterales di3scontinuidad 1 de este punto. ellos es infinito -1 0 de salto inf2inito. 2 figura 7 31 —Si los límites laterales son infinitos, decimos que la discontinui- Y -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5X 5 dad es asintótica. -1 X 1 2 3 4 45 6 7 8 3 2 figura 8 figura 9 Y1 x +5 x <0 Y x2 -1 x >0 5 -5 -4 3 -1 0 1 2 3 4 5X g(x)= Y 4 5 -3 -2 2 -1 3 4 2 1 1 3 2 Y x2 si x ≤0 1 -5 -4 -3 -2 -1 0 5 g(x)= 1 si x > 2 1 x-2 41 2 3 4 5 X 3 22 g(x)= x si x <0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5X -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6X 1 si x = c -1 -1 1 1 2 3 4 5 6X 3 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1Discontinuidad evitable en x0= 0 Discontinuidad de salto finito Discontinuidad de salto infinito Y 6Y Y 2 45 Y1 2 2 1 Estudia l-a35 -2co-1 n0 tin1 u2 id3 a4 d5 d6 eX las sig-3 u-2ie-1n0te1s f2un3 c4 io5 n6eXs: 4 -1 -2 3 Ejemplo 7 4 -2 -4 �(x) = -6 2x -23 si x ≤ 0 -3 -2 -1 0 12 34 5 6X - x23x2+-24--34 x + 12 si x > 0 -1 -8b. �(x) = -2 -1 0 1 2 3 -2 -5 -4 -3 -1 4 5 6X -3 1 En la primera función, al ser racional, estudiaremos los puntos donde se anula el d-4enominador y, Comprensión: -5 -4 e-3n la-2 se-1g-u10nda1, el2tram3 o4don5deX cambia la función.Prohibida su reproducción Resolución: Y6 a. �(-2) no existe, pero al calcular el límite: 2 b. � (0) = -3. Si ahora calculamo4s los límites laterales: 1 2 Y −→40- 5 � (x) = lim →0-(32x-2 − 3) = -1 0 lim x52 - 4 = lim (x + 2) (x -2) ⃗ x ≠ -2 -3 -2 -1 0 lim x 6X x x4 + 2 x+2 -1 x→- 2 x→- 2 = -4 12 3 1 2 3 4 5 6X −3 y lim x →0++ f (x) = lim x →0(x--24+ 2) = 2 3 -2 En x =2- 2 tenemos una discontinuidad evitable. -3 Es una discontinuidad de salto-6finito en x = 0. 1 -4 -8 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6X -198 Y6

Problemas resueltos AUna población crece según la siguiente función: �(t) = 5000t + 1000 , donde t es el número de años transcurridos. 2t+1a. Calcular la población actual.b. ¿Crecerá indefinidamente la población? Solución• Comprender: Deberemos estudiar la función en t = • El resultado es una indeterminación. Como el nu- 0 y en el infinito. merador y el denominador son polinomios del mismo grado, la solución es el cociente entre los• Planificar: términos que acompañan al término de mayor grado:a. La población actual será para t = 0: f (0) = 5000.0 + 1000 = 1000 habitantes Lim 5000x + 1000 = 2.0 + 1 2x+1 x→+∞b. Lx→im+∞50002xx + 1000 = ∞ Lim 5000x + 1000 5000 + 1 ∞ = x→+∞ xx 2 2x+1 = = 2500 xx La población no pasará de los 2 500 habitantes. BHalla el valor de a para que la siguiente función sea discontinua en x0 = 3 y clasifica todas sus discontinuidades�(x) = x2 + x - 2 x2 - x - a SoluciónComprender: Para que una función racional sea dis- El resultado es una indeterminación, así quecontinua, debemos hallar los puntos que anulen el de- intentaremos factorizar y simplificar.nominador. x2 + x - 2 (x + 2) ∙ (x - 1) 3Planificar: lim x2 - x - 6 = (x + 2) ∙ (x - 3) = 5 x→- 2a. Si� es discontinua en x 0 = 3 : 32 - 3 - a = 0 ⇒ a = 6 � (-2) no existe, pero sí existe el límite. En x = -2, x2 + x - 2 la función presenta una discontinuidad evitable. x2 - x - 6�(x) = x ≠ -2 lim x2 + x - 2 =͢ (x + 2) ∙ (x - 1) = -3 -1 = -4 = 2 Prohibida su reproducción x2 - x - 6 (x + 2) ∙ (x - 3) -3 -3 -6 3Por lo tanto: x→- 3Para hallar el resto de discontinuidades, buscaremoslas soluciones de x2 - x - 6 = 0 x1 = - 2, x2 = 3. � (3) no existe y los límites laterales son infinitos. EnAnalicemos x1 = - 2: x = 3, la función presenta una discontinuidad asin-xli→m- 2 x2 + x - 2 = 0 tótica o de salto finito. x2 - x - 6 0 99

7. Cociente incremental o tasa de variación Observa la gráfica de la función � que nos da la cantidad de agua de lluvia recogida en un observatorio meteorológico a lo largo de un día. Para hallar la cantidad de agua recogida hasta un instante t0, basta con observar el valor de � correspondiente a t0. Asimismo, si queremos saber la cantidad de agua recogida entre dos instantes determinados, t1 y t2, basta con calcular �(t2) - �(t1). Así: yCantidad de agua (I) figura 10 UPO IÉN S BLES DORA 160 y también: EN GR Y TAMB TIC RECORTA CALCULA A veces, la Tasa de Variación Media (TVM) de una función ∆� 80 � se expresa: ∆x 20 donde ∆� = �(b) - f (a) deno- ta el incremento de �(x), y ∆x 04 = b - a denota el incremento de x. Intervalo de tiempo x12 24 De 0 h a 4 h También suele escribirse Tiempo (h) cuando nos interesa resaltar Cantidad de agua (l) �(4) - �(0) = 20 - 0 = 20 que la variable dependiente es y = �(x). De 4 h a 12h �(12) - �(4) = 80 - 20 = 60 Tabla 4 Si ahora queremos conocer en qué intervalo ha llovido con más intensidad, debemos averiguar la cantidad de agua caída por unidad de tiempo en cada intervalo. Para ello evaluamos los siguientes cocientes: �(4) - �(0) = 20 - 0 = 20 = 5 l/h �(12) - �(4) = 80 - 20 = 60 = 7,5 l/h. 4-0 4-0 4 12 - 4 12 - 4 8 Vemos, pues, que en el intervalo comprendido entre las 4 h y las 12 h ha llovido con mayor intensidad. Este tipo de cocientes se define también para una función cualquiera �. Hablamos entonces de tasa de variación media de la función en un intervalo limitado por dos valores de la variable x. Si la función � está definida en un intervalo [a, b], la tasa de variación media de f en [a, b] es el cociente entre la variación de la función y la longitud del intervalo: TVM [a, b] �(x) = �(b) - �(a) . b-aProhibida su reproducción Calculemos la tasa de variación media de la función �(x) = x² - 1 en el intervalo [1, 3]. Ejemplo 8 Comprensión: Calculemos los valores que toma la función en los extremos del intervalo y utilizaremos la expresión de la tasa de variación media. Resolución: TVM [1, 3] �(x) = �(3) - �(1) = 8-0 =4 �(1) = 12 - 1 = 0 ; �(3) = 32 - 1 = 8. 3-1 2100

8. Tasa de variación instantánea figura 11 y Calculemos ahora la TVM de la función �(x) = x³ - x en el 33 intervalo [-1, 1]: f(b) f(b) TVM [−1, 1] �(x) = �(1) - �(-1) = 0-0 =0 22 aa bb 1 - (-1) 2 f(b) -f(fb(a) )- f(a) 11 2 23 3 4 4 11 x f(a) f(a) -2 -2 -1 -1 0 0 -1 -1 b - ab - a Si dibujas la gráfica de la función observarás, sin embargo, figura 12 y que esta presenta importantes variaciones en este intervalo. 33 La TVM no deja de ser un promedio y, por lo tanto, interesa que los intervalos escogidos sean lo más pequeños posibles 22 para conocer de forma precisa cómo se comporta la fun- 11 ción cerca de cualquier punto. El límite en que los extremos de los intervalos de la TVM son infinitamente próximos se co- -3 -3 -2 -2 0 0 x1 1 2 2 3 3 noce como tasa de variación instantánea. -1 -1 -1 -1 -2 -2 La tasa de variación instantánea de una función � en -3 -3 S BLES DORA x = a es el valor, en caso de que exista, al que tiende la tasa de variación media en los intervalos [a, x] cuando x → a. Es decir: UPO IÉN y también: lim �(x) - �(a) EN GR x→- a x - a Y TAMB TIC RECORTA CALCULA TVI a �(x) = Una forma equivalente de expresar la TVI de �(x) en Si �(x) = 2x - 5 y [a, b] es el intervalo [2, 3], la tasa de variación me- x= a es:Ejemplo 9 dia de f en dicho intervalo es: lim �( a + h) - �(a) �(3) - �(2) h→- 0 h 3-2 TVM [2, 3] = = 1-(-1) = 2 =2 Esta expresión puede resultar 3-2 1 muy útil para realizar cálculos. 3. En un estudio llevado a cabo por el departa- 4. Calcula la tasa de variación instantánea Actividades mento de biología, han determinado que la de las siguientes funciones en los puntos población de un tipo de hormiga crece según indicados: la función �(x) = 1 + 2ex, donde �(x) indica el número de hormigas en miles y x el tiempo a. �(x) = 2x + 3 en x = 2 transcurrido en meses. b. �(x) = 1 en x = 2 Calcula: x a. La tasa de variación media de una pobla- c. �(x) = x² - 1 en x = 0 Prohibida su reproducción ción de hormigas durante los dos primeros meses. d. �(x) = x³ + 2x - 4 en x = 1 b. La tasa de variación media de la pobla- ción del tercer al sexto mes. c. La tasa de variación instantánea de la po- blación en el sexto mes. 101

9. Interpretación geométrica y física del cociente incremental Consideremos la función � cuya gráfica es la de la figura, y los puntos P1 = (a, � (a)) y P2 = (b, � (b)). BLES DORA y UPO IÉN S P2 y también:f(b) EN GR Y TAMB TIC RECORTA CALCULA Recta secante Interpretación física de la tvm Si consideramos la función f(b) - f(a) que nos da la posición de un móvil dependiente del tiempo, f(X) la tasa de variación media en un intervalo nos proporcionará αP1 la velocidad media de dicho móvil en ese intervalo. f(a) Ejemplo: La posición en función del b-a tiempo de un móvil que se des- plaza siguiendo una trayecto- 0a b ria rectilínea viene dada por: �(t) = t2 + 3t, en unidades del figura 13 x SI. Calcula la velocidad media, La tasa de variación media de la función entre a y b es: vm, entre t = 1 s y t = 5 s. TVM [a, b] = �(b) - �(a) Vm = TVM [1, 5] = �(5) - �(1) 5-1 b-a Fíjate en que este cociente coincide con la tangente trigo- nométrica del ángulo α, que es, a su vez, la pendiente de la recta secante a la curva por los puntos P1 y P2. Por tanto, podemos afirmar: La tasa de variación media de una función f en el intervalo = 40 - 4 = 36 = 9 m/s [a, b] coincide con la pendiente de la recta secante a la 5-1 4 gráfica de la función por los puntos (a, � (a)) y (b, � (b)). Ejemplo 10 Calculemos la pendiente de la recta secante a la gráfica de la función �(x)= 3x² en los puntos de abs- cisa x=4 y x=7. Debemos calcular la tasa de variación media de f en el intervalo [4, 7]. TVM [4, 7]= �(7) - �(4) = 147 - 48 = 33 7 - 4 4 La pendiente de la recta secante a la gráfica de �en los puntos de abscisa x = 4 y x = 7 es 33, lo que significa que esta recta forma con el eje de abscisas un ángulo cuya tangente es 33.Prohibida su reproducción 5. El número de alumnos de un centro escolar ción �(x)= -2x + 5, en los intervalos [-5,-3], [3, 5] Actividades afectados por la gripe a lo largo de un mes vie- y [10, 20]. ne dado por la función �(x) = 800 - x ². La varia- ble x indica los días del mes y �(x), el número de 7. Calcula la pendiente de la recta secante a la alumnos afectados. gráfica de la función �(x) = x³- 2x² + 5x en los puntos de abscisa x1 = 0 y x2 = 2. Calcula la tasa de variación media correspon- diente a los intervalos [3, 5], [13, 15] y [10, 20]. 8. La posición en función del tiempo de un móvil que se desplaza siguiendo una trayectoria rec- —¿En cuál de estos intervalos ha disminuido más tilínea viene dada por: �(t) = 50 + 150 t sien- rápidamente el número de alumnos enfermos? do t la hora del día y �(t), su distancia al origen. ¿Cuándo va más rápido el móvil, entre las 2 h y 6. Calcula la tasa de variación media de la fun- las 4 h o entre las 7 h y las 11 h?102

10. Derivada de una función en un punto El estudio de funciones experimento una revolución con su sistematización en entornos cada vez más pequeños. El concepto de derivada es parte fundamental de esta sistematización, y de la rama de las Matemáticas llamada Cálculo diferencial. La derivada de una función � en x , se representa por �'(x) y queda definida de la siguiente manera: �'(x) = lim �(x+h) - �(x) h h→0 En este caso, � debe ser continua y derivable en x.Ejemplo 11 Dada la función � (x) = x² - 4x, calculemos la derivada en el punto x = -1 TIC Comprensión: Debemos calcular el límite de la definición, y luego tomar En este enlace, encontrarás una introducción al concepto a x = -1. de derivada de una función Resolución: en un punto en la que se usa la llamada notación incremental. �'(x) = lim �(x+h) - �(x) = lim (x+h)2 - 4(x + h) - (x2 - 4x) h h http://goo.gl/qmcywq h→0 h→0 = lim x2 + 2xh + h2 - 4x - 4h - x2 + 4x = lim 2xh + h2 - 4h h h h→0 h→0 = lim h (2x + h - 4) = lim 2x + h - 4 = 2x - 4 h→0 h h→0 Reemplazamos el valor de x = - 1 en �'(x): UPO IÉN S BLES DORA y también: �'(-1) = 2 (-1) - 4 = -2 - 4 = - 6 EN GR Y TAMB TIC RECORTA CALCULAEjemplo 12 Estudiamos la continuidad y la derivabilidad de �(x) = | x | en x = 0. Si una función � es una deriva- Comprensión: Para estudiar la continuidad, escribiremos � como ble en todos los puntos de un una función definida por partes intervalo, decimos que es deri- vable en ese intervalo. Resolución: La función es dos límites continua en x = 0 porque los límites existen y valen 0. �(x) = x si x ≥ 0 �'(0) = lim |x| = -1 �'(0+) = lim | x | = +1 -x si x < 0 x x x→0 x→0 Por otra parte, Como los límites laterales no coinciden, no existe ni el límite Prohibida su reproducción ni la derivada en x = 0. En x = 0, � (x ) = |x | es un ejemplo de función continua, pero no derivable 103

11. Interpretación geométrica de la derivada Hemos visto que la tasa de variación media de una y f(x) función �, en el intervalo [a, b], es la pendiente de Q la recta secante a la gráfica de la función por los f(b) puntos P = (a, f (a)) y Q = (b, f (b)). Q1 As, elal tvsoacmnoararrepvsrapoloxoinrmedsaiebnn1d,teobs2a,rbeu3cnctaaasdresaecctvaaeznt,tmeasálaPsQpq1ru,óePxQimlla2,omPsQaa3- mos recta tangente a la gráfica de la función en el Q2 t punto de abscisa a. Q3 La pendiente de esta recta será el límite de las f(a) P pendientes de las rectas secantes PQn, es decir, el leímsteitelímdeitelaessTlVoMqudeeh�eemnolos sdienftienrivdaolocso[ma,obn�].ʹ(Pae)r.o 0 a b3 b2 b1 b x e(t+h) figura 14 BLES Pendiente de la recta secante PQn= TVMe [a, bn] UPO IÉN S t DORA y también: R e(t) t La recta normal a la gráfica de una función en un punto es la per- pet +nh di-cular a la tangente. Por tan- to, su ecuación es:Prohibida su reproducciónPendiente de la recta tangente en P = �ʹe(t) (a). P Ejemplo 13Por tanto, podemos afirmar que: t EN GR Y TAMBLa derivada de la función � en el punto de abscisa x = a es la pendien-y - �(a)=-1∙ (x - a) TICte de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto (a, � (a)).�'(a) RECORTA CALCULAy 5 Ecuación de la recta tangente 4 tangente Recuerda que la ecuación punto-pendiente de una recta es: 3 2 y − y0 = m . (x − x_0) donde (x 0, y 0) es un punto de la recta y m, su 1 pendiente. Puesto que �'(a) nos da la pendiente de la recta tangente a � en el punto (a, f (a)), se tiene: -3 -2 -1 0 12 x normal -1 La ecuación de la recta tangente en el punto (a, �(a)) es: En el punto a, la pendiente de la y − � (a) = �′(a) · (x − a) recta tangente por la izquierda y la derecha son distintas. Por lo tan- Hallemos la ecuación de la recta tangente a� (x) = 3x² - 4x + 2 en x = 1. to, la función no es deribable en este punto. Comprensión: Para determinar la ecuación de la recta, necesita- mos calcular �(1) y f ʹ (1), en caso de que exista. TIC Resolución: �(1) = 3 · 13 - 4 · 1 + 2 = 1 En este enlace, puedes visualizar l aplicación idea gráfica de deri- �'(-1) = lim 3x3 - 4x + 2- (3 - 4 + 2) = xli→m-1 3(x3 -1) -4(x - 1) vada e una función en un punto. x-1 x-1 x→-1 http://goo.gl/dn3VW6 = lxi→m-13 (x2 + x + 1) - 4 = 9 - 4 = 5 La ecuación de la recta es, por lo tanto: y - 1 = 5 · (x - 1) → y = 5x - 4.104

12. Interpretación física de la derivadaSi la función que consideramos es la que nos da la posición de un móvil dependiente deltiempo, la tasa de variación instantánea o derivada en un instante t nos proporcionará lavelocidad instantánea de dicho móvil en ese instante.La velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido (Δe) y el tiempo transcurrido (Δt).Vm (t) = ∆e = �(t + ∆t) - �(t) ∆t ∆tfigura 15 figura 16 y ye(t+h) ee(t) P R e(t) t 0 t t +h x 0 t xVelocidad instantáneaV (t) = lim∆t→0 ∆e = lim ∆t→0 �(t + ∆t) - �(t) ∆t ∆tLa relación entre la distancia recorrida en metros por un m5óvil y el tiempo en segundos es e (t) = 6t2. Calcular:Ejemplo 14 4 tangentea. La velocidad media entre t = 1 y t = 4. Prohibida su reproducciónb. La velocidad instantánea en t = 1. 3a. Comprensión: La velocidad media es el cociente in2cremental en el intervalo [1, 4].Resolución: 1Vm = e(4) - e(1) = 6.42 - 6.12 = 96 - 6 =-3 30 m-2 /s. -1 0 12 4-1 3 3 -1 normalb. Comprensión: La velocidad instantánea es la derivada en t = 1.Resolución: 6(t + h)2 - 6t2 - 6t2 hV(t) =e'(t)= lim = lim 6(t2 + 2ht + h2)- 6t2 = h→-0 h→-0 h= lim (6t2 + 12ht + 6h2)- 6t2 = lim 12ht + 6h2 = lim (12t + 6h) = lim (12t + 6h)= 12 t h h h h→-0 h→-0 h→-0 h→-0Entonces e'(t) = 12 t ; ahora evaluemos t = 1 en e'(t):e'(1) = 12(1) = 12 m/s. 105

13. Función derivada UPO IÉN S BLES DORA y también: Ejemplo 15 EN GR Y TAMB TIC RECORTA CALCULA Derivabilidad y continuidad Calculemos la función derivada de �(x) = x². Según la definición Observa que para poder calcu- de función derivada, tendremos: lar la derivada de una función � en un punto a es preciso que �'(x) = lim �(x �h) - �(x) = lim (x � h)2 - x2 = exista � (a), pues de lo contrario h h no podemos calcular: h→-0 h→-0 = lim x2 � 2hx � h2 - x2 = lim h(2x � h) = lim (2x � h) = 2x. h h→-0 h→-0 h h→-0 lim �(a �h) - �(a) h→-0 h Observa que el cálculo de la función derivada de una función � Pero, además, la función ha de simplifica el proceso de cálculo del valor de la derivada de � en ser continua en a. Si no es así, las diferentes puntos. rectas secantes no se aproximan Así, para calcular �'(0), �'(−1) y �'(2), siendo �'la función del ejem- a una recta común y, por tanto, plo anterior, bastará sustituir x por los valores 0, −1 y 2 en la función no existe recta tangente en a, ni derivada �'. �(a), que es su pendiente. x �'(x)=2x y x=0 �(0) = 2 - 0 = 0 x = -1 �'(-1) = 2 ∙ (-1) = -2 x=2 �'(2) = 2 ∙ 2 = 4 Tabla 5 0a x Usando la definición anterior, los matemáticos han demos- Podemos establecer entonces trado la validez de las siguientes técnicas de derivación de funciones elementales, que se pueden apreciar en la tabla 6. que para que una función � sea derivable en a es necesario que � sea continua en a. Pero la continuidad en a no es Función Función derivada suficiente para que � sea deri- �(x) = k , k ∊ ℝ �'(x) = 0 vable. �'(-1) = n ∙ xn-1 �(x) = xn Puede ocurrir que � sea conti- �(x) = ex nua en a pero nreopdr1eesreivnatbaldea. �(x) = ln x �'(x) = ex Así, la función en �(x) = sen x �(x) = cos x �'(x) = 1 la figura es continua en x = 1, x pero no existe �' (1), pues las Tabla 6 rectas secantes porala derecha y �'(x) = cos x por la izquierda no se aproximan �'(x) = -sen x a una recta común. yProhibida su reproducción 01 x La tabla 1 del margen recoge la derivada de las principales funciones. 106

Función derivada y operaciones Como sabes, dadas dos funciones, � y g, estas se pueden sumar, restar, multiplicar, dividir y componer. Aplicando nuevamente la definición de derivada y las propiedades de los límites, se obtie- nen las reglas que permiten derivar funciones conseguidas al operar con otras funciones, como puedes observar en la tabla siguiente. Derivada de la función suma Derivada del producto de una constante por una función �(x) = g(x) + h(x)⇒ �'(x) = g'(x) + h'(x) Derivada de la función producto �(x) = k ∙ g (x)⇒ �'(x) = k ∙ g' (x) Derivada de la función cociente �(x) = g(x) ∙ h(x)⇒ �'(x) = g'(x) ∙ h(x)+ g(x) ∙ h'(x) �(x) = g(x) ⇒ �'(x) = g'(x) ∙ h(x) - g(x) ∙ h'(x) h(x) [h(x)]2 Derivada de la función compuesta: regla de la cadena �(x) = (g ∘ h)(x)⇒ �'(x) = g'(h (x)) ∙'h'(x) Combinando estas reglas con las derivadas de las funciones que aparecen en la tabla 1, podemos derivar multitud de funciones.Ejemplo 16 Calculamos la derivada de las siguientes funciones: Hallamos la derivada de � (x) = x³ - 2 x² + 1. Ejemplo 17 La función f es una suma de tres funciones: a. �(x) = x7 c. h(x) = 1 b. g(x) = 3 x2 x3 �1(x) = x³; �2(x) = -2x²; �3(x) = 1 Luego �´ será la suma de las derivadas de estas d. i(x) = 1 tres funciones: x Todas estas funciones se pueden expresar en for- �' = �1´ + �2´ + �3´ ma de potencia, luego aplicaremos la regla de Además, u�n2aefus necliópnro(dxu2c).toPodr etanutnoa: constante derivación de �(x)= xn (−2) por a. �(x) = x 7 ⇒ �'(x) = 7x 7 -1= 7x 6 b. g(x) = 3 2 2 2 - 1= 2 -1 2 �1(x) = x³⇒ �1'(x) = 3x² 3 3 3 = 33 x �2(x) = -2x2⇒ �2'(x) = -2∙2x = -4x x2 = x3⇒ g'(x)= x x 3 �3(x) = 1⇒ �3'(x) = 0 c. h(x) = 1 = x-3 ⇒ h'(x) = -3x-3-1 = -3x-4 = 3 x3 x4 d. i(x) = 1 -1 1 -1 -1 = - 1 -3 x 2 2 = x 2 ⇒ i'(x) = - x2 x2 Luego: �'(x ) = 3x² − 4x = 2 x3 = - 2 Prohibida su reproducción 2 2x x Razonando de manera análoga a la del ejemplo 3, podemos calcular de forma inmediata la derivada de cualquier función polinómica: �(x) = anxn + an-1 xn-1+....+ a2x2 + a1 x+a0 ⇒ �(x) = n ∙ an xn-1+(n-1) ∙ an-1 xn-2+.... +2a2x + a1 107

Ejemplo 18 Veamos ahora cómo derivar un producto y un cociente de funciones. Hallemos la derivada de la función �(x) = x3 ∙ cos x. La función �es un producto de dos funciones: g(x) = x3 y h(x) = cos x Debemos aplicar, pues, la regla de derivación de un producto de funciones: �(x) = g(x) ∙ h(x) ⇒ �'(x) = g'(x) ∙ h(x) + g(x) ∙ h' (x) Se tiene: g'(x) = 3x2 ; h'(x) = -sen x ⇒ Luego: �'(x) = 3x2 ∙ cos x +x3 ∙ (-sen x)= 3x2 ∙ cos x + x3 sen x Finalmente, veamos cómo se aplica la regla de la cadena para derivar una composición de funciones. Ejemplo 19 Hallar la derivada de la función �(x)=sen2x. Hallemos la derivada de la función �(x) = cos2x. Ejemplo 20 La función � es la composición de dos funciones: x)2, La expresión cos 2 equivale (cos por lo que g(x) = 2x y h(x) = sen x x funciones: cuyas derivadas son las siguientes: la función �es la composición de dos g'(x) = 2 ; h'(x) = cos x Aplicando la regla de la cadena, se tiene: g(x) = cos x y h(x) = x2 �(x) = g(h∘g)(x)=h(g(x))⇒ cuyas derivadas son las siguientes: ⇒ �'(x) = h'(g(x)) ∙ g' (x) = cos2x ∙ 2 = 2cos 2x g'(x) = sen x ; h'(x) = 2x Aplicando la regla de la cadena, se tiene: �(x) = (h∘g)(x) = h(g(x)) ⇒ ⇒ �'(x) = h'(g(x)) ∙ g' (x) = 2cos x (-sen x) = -2 sen x cos x 9. Calcula la derivada de las siguientes funciones: Actividades a. �(x) = 2x9Prohibida su reproducción b. �(x) = 5 x4 c. �(x) = 5 1 x4 d. �(x) = 3x4-2x3+7x+10 e. �(x) = cos x . ex f. �(x) = 4x3. ln x108

14. Aplicación de las derivadasEl principal interés de la derivada, y la razón por la que es yutilizada en numerosos contextos científicos y tecnológicos,es la correspondencia entre su signo y el crecimiento o de- f(x2) 5crecimiento de la función original. 4Monotonía de una función 3El uso de derivadas puede ayudarnos a determinar el cre- f(a)cimiento o decrecimiento de una función a partir del signo 2 f(x1)de la derivada. Recuerda la definición de derivada de unafunción � en un punto x = a. 1 -3 -2 -f1(x2) 50 x11 a x2 2 3x �'(a) = lim �(x) - �(a) -1 figura 17 x→-a x - a 4 3 Función creciente 3 3 f(a) 52 f(x1) 14Supongamos que �'(a) > 0. Por la definición de límite, para 3 f(x1) x11 a x2 2 -3 -2 -1 0valores de x suficientemente próximos a a, se cumple que�(x) - �(a) -12 f(a) x-a > 0, lo que significa que: f(x2) y1 -3 -2 x1 a x250 12 -1x - a > 0 ⇒ �(x) - � (a) > 0 O equivalentemente: x > a ⇒ �(x)> �(a) -1x - a < 0 ⇒ �(x) - � (a) < 0 x < a ⇒ �(x)< �(a) 4 3 f(x1)Entonces, podemos afirmar que existe un entorno de a en el que 2la función es creciente. Decimos que � es creciente en x = a. f(a)Análogamente, si �'(a) < 0 obtenemos que la función es decre- f(x2)ciente en x = a. 1 -3 -2 x1 a x2 0 x1 2 3 -1 -1 Función decreciente figura 18Si �'(a) > 0, � es creciente en un intervalo I, con a ∊ I y si �'(a) < 0, fes decreciente, en un intervalo dado.Indicar los intervalos de monotonía de la siguiente función: �(x) = 3x2 x-1Ejemplo 21 Prohibida su reproducciónComprensión: Para conocer la monotonía de las funciones en dichos puntos, debemos asegurar que los puntos pertene-cen al dominio de la función y de la función derivada. yResolución: si la función �(x)= 3x2 15 x-1 cEl punto que anula el denominador en ambos casos es x = 1. 10Luego podemos asegurar que los puntos que hay que estudiar pertenecen 5al dominio D (�) = D (�') = R – {1}.Ahora podemos calcular la derivada para estos valores:�'(-1) = 2,25 > 0 6x(x -1) - 3x2 3x(x - 2) -3 -1 a 0 b 23 x�(0,5) = - 9 < 0 (x -1)2 (x -1) 2� (3) = 2,25 > 0 �'(x) = = -5 -10Si x ∈ ] -∞, 0 [ ∪ [2, +∞[ ⇒ � es creciente -15Si x ∈ [ 0, 1[ ∪ ]1, 2[ ⇒ � es decreciente 109

UPO IÉN S BLES DORA y también: Extremos de una función EN GR Y TAMB TIC RECORTA CALCULA Si una función derivable tiene un La función representada en la figura 19 tiene dos extremos relativos: un máximo en x = 1 y un mínimo en x = 3. extremo relativo en el punto x = a, entonces �ʹ(a) = 0. En estos puntos la función no es ni creciente ni decreciente. y Máx. � Entonces en ellos la derivada es cero, ya que no puede ser ni positiva ni negativa. 3 Así, podemos afirmar que: 2 Si una función derivable tiene un extremo relativo en el 1 punto x = a, entonces �ʹ(a) = 0. -4 -3 -2 -1 0 mín. Un mDORéA todo para determinar si el extremo relativo es máximo o -1 mínimo consiste en determinar el comportamiento de la fun- 1 2 3 4 5x ción a ambos lados del punto. Si �(a) es un máximo relativo, la derivada pasará a ser positiva -2 para valores de x situados a la izquierda de x = a, y a ser negati- va para valores de x situados a la derecha del punto x = a. min.en x =1 Si, por el contrario,�(a) es un mínimo relativo, la derivada pasará de ser negativa a positiva para puntos situados a la izquierda y -3 a la derecha respectivamente de x = a. Así, el comportamiento que presentaría la derivada de una fun- figura 19. ción � derivable con un máximo relativo en x = a y un mínimo relativo en x = b sería: UPO IÉN S BLES y también15 EN GR Y TAMB TIC RECORTA CALCULA 10 eDcSiina-ó4bdnlioe-,a3esnul-e2rlneaxact-r1-d1eí-pf055uem0321rnoriovccsa1Mioódádnxn2a.eodseu3eesnricav4aainefb5muurtlílnoena.-., lean-d4peur-3invat-o2dsa--11e5-p1n0uleods1 eq2auen3ullaa4 rfsue5n- ción no es -2unmine.enxxt=r1emo. Por ejemplo, pa-3ra x = 0, la deri- vada de �(x ) = x 3 es nula: y 15 10 5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5x �'(x) x<a a x>a x<b b x>b -5 �(x) + 0 - - 0 + -10 máximo máximo Tabla 5 -15 figura 20. Ejemplo 22 Hallar los extremos relativos de la función �(x) = x³ -4x² + 4x + 2. Comprensión: Hallaremos los valores para los que se anula la derivada y estudiaremos su signo entorno a ellos. Resolución: �(x) = 3x² - 8x + 4. Los puntos en que la derivada vale 0 son: 3x2- 8x + 4 = 0 ⇒ x = 8 ± 64 - 48 = 8 ± 4 ⇒ x1= 2 y 6 6 3 x2= 2 Y 15 Escogemos valores cercanos y a ambos lados de los puntos en que se anula la derivada para saber si son máximos o mínimos: 10Prohibida su reproducción �ʹ(0) = 4 �ʹ(1) = -1 �ʹ(1,5) = -1 �ʹ(3) = 7 5 x=0 x=2/3 x=1 x=1,5 x=2 x=3 0 (2,2) + -3 -1 �'(x) + 0 - -0 x1 2 3 X -5 �(x) máximo máximo -10 La función tiene un máximo en el punto x = 2/3 y un mínimo relativo en -15 x = 2.110

15. Problemas de optimizaciónYa tenemos las herramientas para buscar los máximos y mínimos de una función a partirde su derivada. De esta forma, estamos en disposición de solucionar una de las clases deproblemas que más aplicaciones tienen en contextos reales: los problemas de optimización.Optimizar consiste en buscar los máximos o mínimos de una función que define un fenó-meno. Por ejemplo, en un proceso de producción industrial es necesario minimizar gastos,mientras que en cualquier comercio conviene hacer los ajustes necesarios para maximizarlos beneficios.Para resolver un problema de optimización, es aconsejable seguir estos pasos:1. Relacionar las diferentes variables y plantear la función que tenemos que optimizar.2. Derivar la función y encontrar los valores en los que la derivada se anula.3. Determinar si estos valores son máximos o mínimos y calcular su imagen.4. Comprobar si los resultados obtenidos son compatibles con el enunciado del problema. Y 15Queremos construir un triángulo isósceles con un perímetro de 18 cm. Calculemos las dimensiones quedeber1á0 tener este triángulo para que el área sea máxima. Compr5ensión: Para resolver el problema, primero P(x) = 2x + 2y = 18 ; y = 9 - x Ejemplo 23 deberemos expres(2a,2)r el área del triángulo como h = y2 - x2 = (9 - x)2- x 2 = 81 - 18x = 3· 9 - 2x una fun0ción que dependa únicamente de una va--3 riab-1le. Una v1ez co2 nseg3 uidaX la expresión, buscare- Sustituyamos en la fórmula del área, obtenemos la mos p-5ara qué valores el área es máxima. función que deberemos derivar: -10 A(x) = x · h = x · 3 9-2x = 3 · 9x ² - 2x³ Datos: P = 18 cm; longitud de los lados iguales: x; 2. La expresión del área es la composición de las altura-:15h funciones g(x) = 3 x y h(x) = 9x² - 2x³ y su de- rivada será: Resolución: A'(x) = g'(�(x)) · �'(x) = 2x · 3 · (18x - 6x 2) = Un dibujo nos ayudará en la comprensión del 9 - 2x problema. 18x · (3-x) 9 · (3-x) = 2x · 9 - 2x = 9 - 2x y B y y Vemos que la derivada se anula en x = 3. A x C 3. Para determinar si el valor es máximo o mínimo, escogemos un valor de x mayor que 3 y otro me-0 xx nor del dominio de definición de �. Por ejemplo, x = 0, x = 4: A´ (0) = 9 > 01. La función que representa el área del triángulo es: Prohibida su reproducción A´ (4) = −9 < 0 A= 2x · h =x·h 2 Luego, x = 3 es un máximo y el triángulo deberá tener base de 2 · 3 = 6 cm y lados iguales de y = 9 - 3 = 6 cm.A partir de la expresión del perímetro y el teoremade Pitágoras, indicaremos la altura en función de la 4. El resultado del problema indica que el triángulovariable x: isósceles de área máxima es, de hecho, un trián- gulo equilátero de lado 6 cm. 111

Problemas resueltos A Estudia y representa la gráfica de la función �(x) = x3 Solución x2-1 Comprender: Al ser �(-x ) = -� (x), la función es impar. Luego es simétrica Para estudiar y representar la función, analizaremos as- respecto al origen de coordenadas. pectos como el dominio, el recorrido, la simetría, los cortes con los ejes, los extremos y la monotonía y las asíntotas. Corte con el eje horizontal: �(0) = 0. La función corta el eje de abscisas en el punto (0, 0). Corte Planificar: con el eje vertical: Intenta resolver el problema individualmente. Para ello, �(x)=0 → x3 = 0→X=0 tapa la respuesta y sigue estos pasos: x2-1 Ejecutar el plan La función corta el eje vertical en el punto (0, 0). Calculemos la derivada de �(x) y la igualamos a 0: 1. Dominio y recorrido: la función es una fracción alge- braica y, por lo tanto, para estudiar el dominio debe- �'(x)= 3x2· (x2 - 1)-x3· 2x = (xx42--31x)22= mos analizar para qué valores de x se anula el deno- (x 2-1)2 minador. x4 -3x2 = 0 → x4 -3x2 = 0 → 2. Simetría: para determinar la simetría, comparamos la (x 2-1)2 función original con la función �(-x). → x1 = - 3 ; x2 = 0; x3= 3 3. Cortes con ejes: determinEmos los puntos de corte con el eje de ordenadas evaluando la función en x = 0 y Evaluemos la función a derecha e izquierda de los puntos las soluciones de la ecuación �(x) = 0. hallados. 4. Extremos y monotonía: para conocer los extremos, bus- �'(x) x=-2 x=-0,5 x=-0,5 x=1,5 x=2 quemos los puntos en que la derivada es 0 y evalue- �(x) + 0 - - 0 mos el signo de los puntos a la derecha e izquierda de estos. La función presenta un máximo en x = − 3 y un mínimo en x = 3 . 5. Asíntotas: para determinar las asíntotas, debemos es- tudiar cómo se comporta la función en el infinito (a. horizontal), alrededor de los valores de x que no están en el dominio (a. vertical) y si existe una recta y = mx + n tal que: m = lim �(x) n = lim [f (x) − mx ] (a. oblicua) • Asíntotas horizontales lim �(x) = ±∞ x→±∞ x x→±∞ • Asíntotas verticales: lim �(x)= -∞ lim �(x) = -∞ 6. Representación gráfica: con los datos conseguidos y x→±∞ x→±∞ algunos puntos de la función, obtenemos la represen- tación gráfica. • Asíntotas oblicua: lim �(x) = 1 ; lim [f(x) − mx ]= 0 x x→±∞ x→±∞ Respuesta La función presenta yProhibida su reproducción Revisar el denominador a 0: x2 - 1 = 0 → k = ± 1 asíntotas verticales 4 Luego el dominio es: D�(x) = ℝ − {−1,1} . en x = ± 1 y contie- En este caso, la función puede tener como imagen cual- ne una asíntota obli- 2 quier número real. Entonces, el recorrido es R(�) = ℝ. cua de ecuación y -5 -4 -3 -2 -1 0 x1 2 3 4 5 = x. -2 �(-x)= (-x)3 = -x3 = -�(x) -4 (-x)2-1 x2-1112 8 6 4 2

Problemas resueltosBCInterpretación geométrica de la derivada Derivabilidad y continuidad Solución SoluciónEl crecimiento de una población invasora en un ecosiste- Estudia la continuidad y la derivabilidad de la siguiente función:ma, con 10 individuos iniciales, viene dado por la siguien-te función: �(t) = 10·1,3t, donde t representa el tiempo �(x)= 3x - 1 si x ≤ 2en meses. x2 + 1 si x > 2Calculemos • Comprender: Al tratarse de funciones polinómicas, son continuas y derivables en sus respectivos dominios. Po-a. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la demos, por lo tanto, reducir el estudio de la función en el función cuando han pasado 2 meses. puntos x = 2.b. La ecuación de la recta normal a la gráfica de la fun- • Ejecutar el plan: Comprobemos, en primer lugar, si la fun- ción cuando han pasado 2 meses. ción �(x) es continua en x = 2:• Comprender: Calculemos la derivada de la fución en un punto, para aplicar la fórmula de la recta tangente lim �(x) = lim 3x - 1= 5 lim �(x) = lim x2+1=5 y posteriormente la de la recta normal. x→2- x→2- x→2+ x→2+• Datos: t1 = 2 meses �(2)= 3·2-1=5Ejecutar el plan Al coincidir ambos límites con el valor de la función en el punto x = 2, podemos asegurar que la función es continua.a. La ecuación de la recta tangente viene dada por: Seguidamente, derivamos la función: y − �(a) = �´(a) · (x − a) 3 si x < 2 �'(x)= 2x si x > 2Calculemos la derivada de la función: si x = 2 3 �´(t) = 10 ·1,3t ln1, 3Para t = 2: Veamos cómo se comport4a la derivada en entorno a�(2) = 10 ·1,3² = 16,9 �´(2) = 10·1,3²· ln1,3 = 4,43 x = 2: �ʹ (2-) = 3 �ʹ(2+) = 4La ecuación de la recta tangente será: 2y − 16,9 = 4,43 · (x − 2)y = 4,43x + 8,04 Los límites laterales no coinciden y, por lo tanto, la función nob. La ecuación de la recta normal viene dada por: es derivable en x = 2. 1 23 45 -5 -4 -3 -2 -1 0 Revisar: Para comprobar l-a2 solución dibujemos la gráfica y observemos que en x = 2 la función es continua pero no derivable, pues las pendie-n4 tes no coinciden. yy-�(a) = -1 (x-a) 8 Prohibida su reproducción �' (a) 6 4Sustituyendo los valores obtenidos en el apartado anterior. 2y-16,9 = -1 ·(x-2) 0-2 -1 x1 2 3 4,43 -2 -xy= 4,43 + 17,35 113

16. Derivadas y tic´s. GeoGebra Para determinar derivadas, podemos utilizar la Vista Gráfica y los iconos:Prohibida su reproducciónTangentesTangentes (Tangents) http://goo.gl/HqyRQO(Slope) Texto El icono Texto (Text) permite incorporar texto y fórmulas a cualquier documento GeoGebra. Podemos analizar el valor de la pendiente de la tangente de la función en cada uno de los puntos indicados. Deducimos que en el punto (1, 0) la función es creciente; en el (- 2, 6) es decreciente y, en el vértice, la función presenta un extremo relativo (mínimo). Observa esta función: �(x) = 2x2 -2 10. Dibuja con GeoGebra y con ayuda de los deslizadores: c. Determina las características de la fun- Actividades ción de la figura. Selecciona cuatro �(x) = ax y g(x) = b- x puntos y halla la pendiente de cada uno de ellos. a. Estudia el crecimiento y el decrecimiento de las dos funciones. Presta especial atención al definir los deslizadores. b. Determina el punto de intersección de �(x) y g (x) con los ejes. Para ello, utiliza el desplegable que aparece en el icono resaltado.114

Ejercicios y problemas propuestos1 De límites e indeterminaciones c. lim x +2 · x -7 x +1 x -3 x→2-∞1. Calcula los siguientes límites: d. lim -8x4 + 2 2x2+4 x→+∞a. lim (x3+2x2-x-10) 6. Calcula a si �(x) cumple: �(x) = ax2 − 8 x y x→1b. lxi→m1 x3+x2+5 lim x→2 �( x ) = −1 x3-2x2+x-3c. lim x2-5x+6 -�(x) = ax2- 8 y lim �(x)= -1 x2-3x-4 x x→3 x→2d. lim x3-5x2+8x+4 7. Observa la gráfica representada y calcula: x→-2 x3+x2-8x-12e. lim (x+1)2- (x-2)3- 5 y (x+1)3- (x-2)2- 7 x→1 10 f(x) = x2 2x - 22. Halla los límites laterales de las siguientes funcio- 5 nes y decide si existe el límite:a. �(x) = x para x = 3 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 12345678 x x- 3 -1b. �(x) = 2x para x=1 a. Los límites laterales en x = 1. x2 + 2x + 1 b. El límite cuando x tiende a infinito.3. Calcula los siguientes límites: c. El límite cuando x tiende a menos infinito. d. Los límites laterales en x = 0.a. lim x+5 e. El límite en x = 2. x-2 f. El límite en x = -2. x→2b. lim x2+5x+4 x2-10x+25 x→5c. lim -x2+2x-1 8. Halla el valor de a para que se cumpla: x4-6x3-13x2- 12x+4 x→2 x2+a x2 - a x-a x+a lim - =6 x→+∞4. Calcula los límites de las siguientes sucesiones:a. lim 6 - 4n2 9. El siguiente límite es una indeterminación del 2n2 x→2+∞ tipo 0 / 0:b. lim 4n2 + 3n - 2 lim x2+ 2x - a 2n3- 4n x→+2 x2- bx + 2 n→+∞ a. Calcula los valores de a y b.c. lim 2n3- 4n b. Halla el valor del límite. 4n n→+∞5. Calcula los siguientes límites. Prohibida su reproduccióna. lim 3x 2 Tasa de variación y Derivadas x2- 4 x→2- 10.Calcula la tasa de variación media de la funciónb. lim 3x �(x ) = x²- 3 en los intervalos [-1, 0] y [2, 5]. n→2+ x2- 4 115

Ejercicios y problemas propuestos 11. Calcula la tasa de variación media de las si- c. La tasa de variación media total. guientes funciones en los intervalos: d. ¿Qué significado físico tienen los valores en- a. [0, 2] b. [2, 4] c. [4, 10] contrados? y 13.Calcula la tasa de variación media de las si- guientes funciones en el intervalo [1, 1 + h]: 4 3 a. �(x ) = x c. �( x ) = x b. �(x ) = x² 4 f(x) 1 2 x d. �( x ) = 3 1 f(x) 2 0-2 -1 x1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14. Disponemos de un círculo del cual podemos -1 1 modificar la longitud de su radio. Halla la función que representa el área del círculo y calcula: y-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a. La tasa de variación media del área en el in- -1 tervalo del radio [2, 4]. 25 b. La tasa de variación media de las 10 primeras unidades. 20 c. La tasa de variación instantánea para r = 2. 25 g(x) 15 d. La tasa de variación instantánea para r = 10. 20 g(x) e. La tasa de variación instantánea para r = 100. 10 —Explica, brevemente, cómo irá modificándose 15 la tasa de variación instantánea según aumen- 5 te el radio. 10 x-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12. Dos atletas realizan una carrera de 10 km. Obser- va ys(kums) evoluciones en las siguientes gráficas: y1(2km) B = (45,10) 10 8 12 B = (45,10) 6 10 A = (20,5) 3 Derivadas 48 2 6 A = (20,5) 0 4 5 10 15 20 25 30 35 40 45 t(min) 15. A partir de la definición de derivada en un pun- 2 to, halla la derivada de las siguientes funciones 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 t(min) en x = 1 y(km) y1(2km) B = (40,10) a. �(x ) = x + 6 10 8 12 B = (40,10) b. �(x ) = x -1 6 10 A = (20,5) 2 c. �( x ) = -x2 + 2x + 1 48 d. �(x) = 2 2 6 A = (20,5) x 0 4 5 10 15 20 25 30 35 40 45 t(min) 2 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 t(min) 16. Halla la ecuación de la recta tangente en x = 2, de la función �(x) = x² - 3x + 5.Prohibida su reproducción Para cada atleta, halla: 17. Un objeto se mueve bajo la trayectoria dada por la siguiente ecuación: �(x ) = 3x2 - 4x + 6 Utili- a. La tasa de variación media de los 5 primeros zando la definición de derivada, calcula: kilómetros. a. La derivada para x = 2. b. La tasa de variación media de los últimos 5 b. La derivada para x = - 1. kilómetros.116

Ejercicios y problemas propuestos4 Operaciones con derivadas b. �(x ) = - x c. �( x ) = (x + 1 )18. Determina los valores de x para los cuales la d. �( x ) = 2x siguiente función no es derivable: x-5�(x) = x - 1 si x < 0 25. Aplica la regla del producto para calcular las x2 si 0 ≤ x ≤ 2 derivadas de las siguientes funciones: 2x si x > 0 a. �(x ) =x6 · sen x e. �(x )=ln x ·cos x b. �(x ) =x2 · x f. �(x )=sen x · cos x19. Averigua si es cierta la afirmación siguiente: c. �( x ) = x2 · lnx g. �( x )= x · sen x d. �( x ) = (x3-2x) · ex h. �( x ) = 3x · x�(x ) = k → �'(x ) = - k. g'(x) g(x) (g(x))220. Demuestra que la derivada de �(x ) = tg x es: 26. Calcula la derivada de las funciones siguientes:�(x ) = 1 a. �(x ) = 3x 4 + 5x 3 − 12x 2 + 3x + 4 cos2x b. �(x ) = 4 ln x − x c. �( x ) = ex. sen x21. Calcula la función derivada de las siguientes fun- d. �( x ) = 4 cos x − x .ln x ciones:a. �(x ) = x5 d. �(x) = 3 x 27. Dada las funciones �(x ) = 2x² - 4x + 6 y g (x ) = - x² + 2x, halla la derivada de las siguientes funciones:b. �(x ) = x-4 e. �(x) = 5 x3c. �( x ) = 1 f. �(x) = 1 a. h (x) = �(x) + g(x) c. j(x) = �(x) · g(x) x3 x b. i (x ) = g (x) - �(x)22. Aplica la regla de la suma para calcular las deriva- d. k(x ) = �(x) das (f + g)´ y (f - g) ´ dadas: g(x)a. �(x ) = 3x5 g(x ) = cosx 28. Halla las ecuaciones de la recta tangente y deb. �(x ) = x la recta normal de las siguientes funciones en los g(x ) = lnx puntos indicados:c. �( x ) = 2x3 d. �( x ) = senx g (x ) = 1 a. �(x ) = ln(x+1) en x = 2.e. �( x ) = log3x x b. �(x ) = x -2 en x = 6. c. �( x ) = 2ex en x= 0. g( x ) = 5e5 d. �( x ) = ln(x+1) en x = 0. g( x ) = 3x23. Halla un método para encontrar la función deri- 29. Encuentra las ecuaciones de la recta tangente y Prohibida su reproducción vada de las siguientes funciones y elabora un do- de la recta normal a la función �(x) = x³ – 3x² – x + cumento explicando los pasos que has seguido 5 en el punto A = (3, 2). para obtenerlas: 30. Halla la ecuación de la recta tangente de las si- a. �(x) = 2x³ + 1 b. � (x) = x + 1 guientes funciones, la pendiente de la cual sea 2:24. Halla la derivada de las siguientes funciones, utili- a. �( x ) = x² − 4 c. �( x ) = x² − 4x zando dos métodos distintos: 2 d. �( x ) = ln x b. �( x ) = − x a. �(x ) = 2x - 6 117

Ejercicios y problemas propuestos 31. Determina los intervalos de monotonía de las si- 36. Calcula la pendiente de la recta secante a la guientes funciones: gráfica de la función �(x) = 3x² − 2x + 9 por los puntos de abscisa x = 0 y x = 2, y escribe la a. �(x) = x² − 3x + 2 e. �(x) = x³ − 12x ecuación de dicha recta. b. �(x) = x² − 4 f. �(x) = 4x − 80 c. �(x) = x³ g. �(x) = 2 · ln x 37. El movimiento de un proyectil viene dado por la siguiente ecuación: �(x) = 5+ 3t − 4,9t², donde d. �(x) = x4 h. �(x) = x5 x es la posición en metros y t es el tiempo en se- gundos. Calcula: 5 Más a fondo a. La velocidad para t = 0 s. 32. Halla los máximos y mínimos de las siguientes b. La velocidad para t = 2 s. funciones: c. La velocidad en cualquier punto. d. La aceleración para t = 0 s. a. �(x) =x² − 3x + 2 d. �(x)=x³ − 12x − 1 e. La aceleración en cualquier punto. b. �(x) =x² − 4 e. �(x)=x² − 2 c. �(x) = 2x³ − 3x² + 2 f. �(x)= 3x − 20 f. Encuentra la derivada enésima. 33. Halla los límites de las siguientes funciones para 38. Halla las ecuaciones de las rectas tangentes en x cuando → +∞ y para x → -∞: los puntos de corte con los ejes de abscisas de la función: �(x) = x²+ x − 2 a. �(x ) = 3 x x3 c. �(x ) = 6x4 + 1 - 2x4 + 1 Comprueba la solución dibujando la parábola y las tangentes con un programa informático. 6 - x -6x4 + 1 b. �(x ) = 2 - x d. �(x ) = 2x3 + 1 39. ¿Cuál es la pendiente de la recta tangente a la 34. Calcula los siguientes límites: curva de ecuación �(x) = x ³ + x- 2 en el punto 1 de abscisa x= 2 a. lim x · 3x-1 d. lim x3 + 5 x2 + 8x + 4 —Escribe la ecuación de dicha recta. x3 + x2 - 8x - 12 x→0 x→-2 b. lxi→m0 ln(x+1) e. lxi→m5 (x2 - 16)x - 5 40. Considera la función �(x) = x+2 y encuentra 2x+2 f. lim x-1 -4 c. lim x-1 x→-2 x-2 x la tangente y la normal para x = 2. 2 2-x+x x→2 2-x 35. Dadas las siguientes funciones: 41. Halla la función derivada de cada una de las funciones siguientes: �(x ) = x2 - 1 g(x ) = 2x - 8 a. �(x) = 10 x c. �(x) = 4 x3 h(x ) = 1 j(x ) = (2 + x)2- 4 b. �(x) = 1 d. �(x) = 1 x2 - 9 x x3 x3Prohibida su reproducción Halla estos límites: 42. Si uno de los catetos de un triángulo rectángulo tiene una longitud de b = 3 cm: a. lim h(x) d. lxi→m-1(�(x) · j(x)) �(x) e. lxi→m6 (�(x) · h(x)) a. Calcula la derivada de la hipotenusa a como x→2 f. lxi→m2 [�(x)] �(x) función dependiente del cateto c. b. lxi→m4 (�(x)+g(x)) b. Determina los intervalos de crecimiento y de- crecimiento de la función. c. lim (�(x)+g(x)) x→2118

Ejercicios y problemas propuestos43. Determina los intervalos de monotonía de las si- 50. Determina la ecuación de la recta tangente y la guientes funciones y los máximos y mínimos: recta normal a las siguientes funciones en el pun- to indicado:a. �( x ) = x³ + 2x² + x + 1 d. �( x ) = (x − 2)³ a. �(x) = 2 para x = 1b. �(x ) = sen (2x ), x ∈ [0, p] e. �(x ) = 0,5x 2 + 2 xc. �(x) = ex2– 1 f. �(x) = ln (x2 + 1) b. �(x) = x 2 − 2x + 3 para x = 344. Las trayectorias de dos cuerpos vienen definidas c. �(x) = x 2 − 2x + 3 para x = -1 por las siguientes funciones: d. �(x) = ln x para x = 1�(t ) = 2t² − 5t + 1 g(t ) = 1 t4 − 1 t2 e. �(x) = cos x para x = p 4 2a. Determina los intervalos de crecimiento y de- 51. Calcula las derivadas de las siguientes funciones crecimiento de cada uno de ellos. utilizando las propiedades de la suma, el produc- to o el cociente de derivadas:b. Halla los extremos de cada una de las trayec- torias. a. �( x ) = 3x² + sen x45. Considera la función �( x ) = x · ex y determina: b. �(x ) = ln x ·(x²+2x+1) a. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. c. �( x ) = x · cos x b. Los máximos y mínimos. x+1 d. �( x ) = cos x x+146. El movimiento de un objeto viene dado por la si- 52. Estudia la monotonía de las siguientes funciones: guiente ecuación: �( x ) = x4 − 2x² + 1 a. �(x) = cos (πx) Determina: a. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. b. �(x) = x3 − 1 b. Los máximos y mínimos. c. �(x) = x 2 − 3x + 2 d. �(x) = 1 x2 + 147. Aplica la fórmula de la derivada de un producto e. �(x) = ex para calcular la función derivada de �en cada caso: f. � (x) = ln x − x a. �(x) = x 2 . sen x 53. Aplica la regla de la cadena para calcular la de- b. �(x) = x . ln x rivada de las siguientes funciones:48. Aplica la fórmula de la derivada de un cociente a. �(x) = (2x+3)2 para calcular la función derivada de � en cada b. g(x) = sen 5 x caso: c. h(x) = ecob x d. i(x) = ln(sen x2)a. �(x)= x2 e. j(x) = cos2 x3 x2 - 4 f. k (x) = sen x Prohibida su reproducciónb. �(x)= x 54. Dada la función �(x) = x2 − 7x + 1, averigua el va- lor de la derivada en los puntos de abscisa x =−3, ex x=4 y x =-5.49. Dada la función �(x) = x2 − 7x + 1, averigua el valor de la derivada en los puntos de abscisa x = −2, x = 2 y x = 10. 119

Ejercicios y problemas propuestos 55. Dada la función �(x) = sen x . cos x, comprueba g. xli→m-2 x5 - 4x3 h. xli→m+2 x3 + 5x2 + 8x + 4 que la función derivada se anula en el punto de 2x2 - 8 x2 + 4x + 4 abscisa x = π / 4 60. Los beneficios de una empresa vienen dados por —¿Cómo será la tangente en dicho punto, con res- la siguiente ecuación: �( x ) = x³ − 2x² + x − 4, pecto al eje de abscisas? donde x son los años transcurridos y f(x), el benefi- cio en miles de dólares. 56. Averigua la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación �(x)=x . ln x en el punto de Calcula: El momento en el cual el beneficio sea abscisa x = 1. mínimo. El valor de este beneficio. 57. Determina los extremos relativos de las siguientes 61. Calcula la función derivada de cada una de funciones: las funciones siguientes: a. �(x) = x 2 − 3x + 2 a. �(x ) = tg 3x b. �(x ) = ex2. sen 3x b. �(x ) = sen (πx ) 62. Halla los vértices de las siguientes parábolas: c. �(x) = ( 1 + 1) a. �(x) = x² − 4 x2+ x b. �(x) = 4x² − 16 c. �(x) = x² − 4x d. �(x) = x · ln x d. �(x) = x² + x − 6 e. �(x) = x² − 4x + 4 d) 58. En las siguientes gráficas de funciones, indica los f. �(x) = -2 (x + 3)² - 8 intervalos en los cuales la derivada de la función g. �(x) = - x² + 3(x + 2) - 1 será positiva y los intervalos en los que será nega- h. �(x) = (x + 3)² tiva. Razona tu respuesta. A continuación, deriva las expresiones, busca los y y extremos y comprueba que coinciden con los vértices que has encontrado. 40 3 x 30 2 a. ¿En qué casos se trata de máximos? ¿Y de mí- 20 x1 2 3 4 5 6 7 1 nimos? 10 -2 -1 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 b. ¿Qué relación tienen los extremos relativos -10 -1 con los coeficientes de la parábola? -2 y y 4 63. Determina los valores de a, b y c de la parábo- 3 2 la�(x) = x² + bx + c, para que su vértice esté en el 2 punto (2, 1). 1 1 -2 -1 0 -1 -2 -1 0 12 x4 5 -1 x1 2 3 4 5 6 7 -2 64. Estudia la monotonía y los extremos de las si- guientes funciones: 59. Calcula los siguientes límites: x+2 si x ≤ 2 si 1 < x ≤ 3Prohibida su reproducción a. lim 2x3 + 4x2 - 18 d. lim x3 + 2x a. �(x) = < 3 si x > 3 x→+∞ x4 + 3x - 6 500x2 2x - 3 x→+∞ b. lim 4x2 - 5x - 18 e. lim x2 + 1 -(x - 1)2 x→+∞ 3x - 6 x→+∞ x si x ≤ 0 c. lim 3x2 + 2x f. lxi→m+∞ 2x : x-1 b. �(x) = x si x > 0 2x2 x x2 + 5 x→+∞120

Ejercicios y problemas propuestos65. Un heladero ha comprobado que, a un precio 68. La producción de frutillas en un invernadero (Q(x) de 50 centavos de $ la unidad, vende una media en kg) depende de la temperatura (x en ºC) de 200 helados diarios. Por cada centavo que según la expresión: Q(x) = (x + 1)²(32 - x) aumenta el precio, vende dos helados menos al día. Si el coste por unidad es de 40 centavos, a. Calcula razonadamente cuál es la temperatura ¿a qué precio de venta es máximo el beneficio óptima a mantener en el invernadero. diario que obtiene el heladero? ¿Cuál será ese beneficio? b. ¿Qué producción de frutilla se obtendría?66. El mismo heladero del problema anterior para 69. Una huerta tiene actualmente 24 árboles, que vender sus helados quiere construir un recipiente producen 600 frutos cada uno. Se calcula que, por cónico de generatriz 10 dm y de capacidad cada árbol adicional plantado, la producción de máxima. ¿Cuál debe ser el radio de la base? cada árbol disminuye en 15 frutos.67. Si el movimiento de un proyectil viene dado por la a. ¿Cuál debe ser el número total de árboles que ecuación x (t) = 5t ² + 2t − 2, siendo x la distancia debe tener la huerta para que la producción expresada en metros y t el tiempo en segundos, sea máxima? calcula: b. ¿Cuál será esa producción? a. La velocidad inicial. 70. El costo total de la producción de q unidades b. La velocidad después de 3 segundos. de cierto producto se describe por medio de la función. c. La aceleración inicial. c =100 000 +1 500q + 0,2q² donde C es el costo d. La aceleración después de 10 segundos. total expresado en dólares. http://goo.gl/2vcGk8 Prohibida su reproducción 121

Ejercicios y problemas propuestos http://goo.gl/hwnaeq dimensiones debe tener para que su fabricación sea lo más económica posible? a. Determina cuántas unidades q deberían fabricarse a fin de minimizar el costo 73. Una piedra es lanzada siguiendo una trayectoria promedio por unidad. parabólica, dada por la ecuación h = -t2 + 8t - 13, donde h es la altura en metros y t el tiempo en se- b. ¿Cuál es el costo total de fabricación en este gundos. Halla el tiempo en que alcanza su altura nivel de producción? ¿Cuáles son las dos máxima y el valor de esta. formas en que puede calcularse esta cita? 74. Cuál es la altura máxima que alcanza una pelo- 71. Una compañía estima que la demanda anual ta de fútbol que se lanza siguiendo una trayec- de su producto fluctúa con su precio. La función toria parabólica, cuya ecuación es de demanda es q = 180.000 - 250 p donde q es el número de unidades demandadas y p el h= - 1 t2+60t precio en dólares. El costo total de producir q unidades se estima con la función 4 C = 350 000 + 300q + 0,001q² donde h es la altura en metros y t el tiempo en Determina cuantas unidades q deberían segundos. producirse con objeto de maximizar la utilidad —¿En qué tiempo alcanza la altura máxima? anual.Prohibida su reproducción 75. Con una lámina cuadrada de 10 dm de lado ¿Qué precio debería fijarse? se quiere construir una caja sin tapa. Para ello, se recortan unos cuadrados de los vértices. ¿Cuál se espera que sea la máxima utilidad Calcula el lado del cuadrado recortado para anual? que el volumen de la caja sea máximo. 72. Para almacenar agua en una escuela rural se quiere fabricar un tanque metálico, cuya capacidad debe ser de 4 000 litros. ¿Qué122

DERIVADAS Tasa de variación media (TVM): 3 Tasa de variación TVM[a,b]�(x ) = �(b ) −�(a ) Resumen Derivada de b −a una función 1.- Tasa de variación. Tasa de variación instantánea (TVI): 2.- Derivada de una Cálculo de derivadas �(b ) −�(a ) función Aplicación de 3.- Cálculo de las derivadas derivadas 4.- Aplicación de las derivadas TVIa f ( x ) = lim b −a b→ a Derivada de una función en un punto�ʹ(a): La derivada de una función en un punto tangente en este punto. �(a) = lim �(b ) −�(a ) x→ a x −a Continuidad: una función derivable en un recta tangente: y −�(a) = �(a) · (x −a) punto es continua en este punto. recta normal: y −�(a) = −1 · (x −a) Función derivada�ʹ(x): � (a ) �(x) = lim �(x +h)−�(x) h→ 0 h Derivada segunda: � (x) = lim �(x +h)−�(x) �ʹ(x)asigna a cada punto de la función f el valor de su derivada. h→ 0 h Funciones elementales: Suma de funciones: Función Función derivada �(x) = g(x)+h(x) ⇒ �(x) = g (x)+h (x) Prohibida su reproducción �(x)=k, k ∈ R �ʹ(x) =0 Producto de dos funciones: �(x) =ax n �ʹ(x) =naxn- 1 �(x) = g(x)⋅ h(x) �(x)=e x �ʹ(x)=e x �(x) = g (x)⋅ h (x) + g (x)⋅ h (x) �(x) =ax �(x)=ln x �ʹ(x)=a x · ln a Cociente de dos funciones: �(x)= 1 �(x) = g(x) �(x)=loga x x h (x ) �(x)=sen x �(x)= 1 �(x) = g (x) ·h(x)−g(x) ·h (x) �(x)=cos x x · lna [h( x )]2 �ʹ(x)=cos x �ʹ(x)=- sen x Composición de funciones: �(x) = (g  h)(x) �(x) = g (h(x)) ·h (x) monotonía de una función optimización de funciones extremos de una función 123

Para finalizar 1 Calcula la tasa de variación media de 6 Dada la función: �(x)= 5 ,x≠ 2 3x-2 3 la función �(x) = x2 − 3 en los intervalos [−1, 0] y [2, 5]. Determina: 2 Calcula la pendiente de la recta secante a a. La tasa de variación media en el interva- lo [1, 2]. la gráfica de la función �(x) = 3x 2 − 2x + 9 por los puntos de abscisas x = 0 y x = 2 y b. La tasa de variación instantánea para escribe la ecuación de dicha recta. x = 1. 3 El valor de un mineral es directamente pro- c. La tasa de variación instantánea para x = 0. porcional al cuadrado de su masa. Si he- mos extraído un mineral de 50 g y lo quere- d. La ecuación de la recta tangente para mos dividir en dos trozos que minimicen su x = 0. precio, encuentra la masa de los dos trozos. e. La ecuación de la recta normal para x = 0. f. La continuidad y la derivabilidad. 4 Dada la siguiente función: �(x) = x² − 2x + 4 g. La segunda derivada. a. La tasa de variación media en el interva- h. Los intervalos de crecimiento y decreci- lo [2, 3]. miento. b. La tasa de variación instantánea para 7 Se dice que una función derivable varias x = 1. veces en x = a tiene un punto de inflexión en c. La ecuación de la recta tangente para (a, � (a)) si �ʺ(a) = 0 y el mínimo n tal que x = 0. �(n) (a) = 0 es impar. Investiga en Internet qué relación tienen los puntos de inflexión d. La ecuación de la recta normal para x = 0. con la curvatura de una función y encuen- tra los puntos de inflexión de las siguientes e. Las n derivadas primeras. funciones: f. Los intervalos de crecimiento y decreci- a. �(x) = x3 miento. b. �(x) = (x + 2)² (x - 1)³ c. �(x) = sen x + cos x, con x ∈ [0, 2π] g. Los máximos y los mínimos. d. �(x) = xex 5 Indica los intervalos de monotonía de las siguientes funciones. a. �(x) = 2x + 5 c. g (x) = x2 - 3x + 5 b. h(x) = 3 x-1Prohibida su reproducción EVALUACIÓN Reflexiona y autoevalúate en tu cuaderno: • Trabajo en equipo • Trabajo personal ¿Cómo ha sido mi actitud ¿He cumplido ¿Qué aprendí en esta ¿He compartido con mis ¿He respetado las opiniones frente al trabajo? mis tareas? unidad temática? compañeros y compañeras? de los demás? • Escribe la opinión de tu familia. • Pide a tu profesor o profesora124 sugerencias para mejorar y escríbelas.

ZONA UD. 3 FUNCIONES Y LIMITES SOCIEDAD OPINIONTeoría de los extremos La maratón Uno de los conceptos que relaciona «Si quieres ganar, corre cien metros. las derivadas con la geometría es Si quieres experimentar la vida, corre una maratón». la teoría de los extremos: la deri- vada en los máximos y mínimos Esta afirmación la realizó el gran atleta y medallista de una función se anula. Así lo olímpico de origen checo, Emil Zátopek (1922-2000), enunció el jurista y matemático más conocido como la Locomotora humana. La frase francés Pierre de Fermat (1601- hace referencia a la experiencia vital que supone co- 1665). También es conocido rrer una carrera de este tipo, más allá de las victorias y por su llamado último teorema marcas que se puedan conquistar. de Fermat, que no fue resuelto hasta 1995. Esta y otras pruebas deportivas pueden ser estudia- das matemáticamente a través de las derivadas; en SOCIEDAD el caso de la maratón, puede analizarse cómo varía la velocidad del atleta a lo largo de cada instante deLa derivada y su notación dicha carrera. Accede a http://links.edebe.com/mx94x y conocerás en qué consiste la relación existente entreLas reglas del cálculo de las derivadas se de- esta prueba deportiva y la derivación de funciones.ben al británico Isaac Newton (1642- 1727) y al Entra también en http://links.edebe.com/bdkxk y http://alemán Gottfried Leibniz (1646-1716). Aunque links.edebe.com/5ys para obtener más información so-sus trabajos coincidieron, mantenían cierta di- bre las aplicaciones de las derivadas en otros deportes.ferencia de criterios en aspectos como la ma-nera de nombrar la derivada de una función; SENTIDO CRÍTICOmientras que Newton la expresaba como �(x),Leibniz lo hacía con dy . Economía y derivadas dx En economía, las derivadas también pueden resultar úti-Años más tarde, el italiano Joseph Louis Lagran- les; por ejemplo, para conocer a partir de qué nivel dege (1736-1813) introdujo la notación �ʹ(a) para producción los costes serán mínimos, sabiendo la fun-referirse a la derivada de una función en unpunto. ción de los costes de fabricación. Supongamos que el SI YO FUERA coste de un producto viene dado por la función x2Economista... C(x) = 5 + 2x + 300, donde x es la cantidad de uni- dades producidas. ¿Qué nivel de producción tendrá un coste mínimo por unidad? ¿Cuál será dicho coste?Elaboraría un buen plan de optimización para Prohibida su reproducciónmi empresa y la de mi familia, que garanticeun exitoso proceso de producción, donde estéimplícita la reducción de gastos y costos, y sepriorice la calidad del producto, todo esto gra-cias a los conocimientos adquiridos mediantela aplicación de modelos matemáticos, comolos estudiados en esta unidad. 125

Proyecto Estas fotos muestran algunas de las pequeñas empresashttp://goo.gl/cq8pzUhttp://goo.gl/cq8pzU http://goo.gl/cq8pzU que existen en nuestro país: http://goo.gl/33YSEIelegIMOShttp://goo.gl/7SYPEvhttp://goo.gl/lSFZnKProhibida su reproducción 1. ¿Me gustaría crear mi propia empresa? 2. ¿Qué pasos debo dar para formar esta pequeña empresa? 3. Con algunas de las herramientas matemáticas que ya poseo, ¿puedo dar los primeros pasos? 4. ¿Es suficiente con tener el capital para tener un negocio exitoso?, ¿qué condiciones se necesitan? PlanifiCAMOS Si accedes a estos u otros sitios puedes infórmarte sobre los pasos que debes seguir para formar una empresa e información económica importante: www.supercias.gob.ec www.negociosyemprendimiento.org/ www.gerencie.com www.auladeeconomia.com/moneda-apuntes.htm 126

desarrollAMOS http://goo.gl/bzLRWCTeniendo en cuenta lo investigado sobre cómo crear una empresa:5. Escoge una empresa que te gustaría formar, cuál sería el producto principal y qué nombre le pondrías6. Elabora con un compañero una serie de medidas que pondrán en marcha para que su empresa tenga éxito.7. Crea una lista de todos los materiales que necesitan para elaborar este producto. (fi- cha de costo)8. Analiza y explica como pueden optimizar el proceso de producción de la empresa.9. Con lo estudiado en esta unidad, confecciona y resuelve tres problemas de optimiza- ción para tu empresa.10. Representa mediante gráficas, el rendimiento de tu empresa.11. Elabora un balance económico de tu empresa.12. Redacta un informe con todo lo realizado en este proyecto, donde incluyan además el balance económico, los problemas que plantearon y una muestra del producto de su empresa.13. Realiza una discusión en un taller grupal sobre los resultados, qué aspectos fueron ne- gativos y cuáles positivos. Este informe tendrá una calificación, al igual que los pasos anteriores. 127

Repasamos Resumen Fórmulas 1 Números reales Propiedades de las potencias Función Función derivada Si a, b y c son números reales y m y n, números Función constantes ⨍(x) = k, k ∈ ℝ ⨍ʼ(x) = 0 racionales, se cumple: Función potencial ⨍(x) = axn ⨍ʼ(x) = n · axn-1 am · an = am + n ⨍(x) = ex ⨍ʼ(x) = ex am : an = am - n (a ≠ 0) Función exponecial ⨍ʼ(x) = ax · ln a ⨍(x) = ax (am)n = am · n ⨍(x) = ln x ⨍ʼ(x) = 1 Función logarítmica x (a · b)m = am · bm ⨍(x) = logax 1 a-m= 1 ⨍ʼ(x) = x · ln a am Función seno ⨍(x) = sen x ⨍ʼ(x) = cos x Función coseno ⨍(x) = cos x ⨍ʼ(x) = -sen x Propiedades de las potencias Definición: logbx = a ba = x La derivada de una función � en x , se re- Propiedades: presenta por �'(x) y queda definida de la si- log (x · y) = log x + log y guiente manera: �'(x) = lim �(x+h) - �(x) h h→0 ( )log x = log x - log y y En este caso, � debe ser continua y derivable log (xn) = n · log x en x. log n x = log x n logax = log x logb a b Derivada de la función suma Derivada del producto de una constante por una función �(x) = g(x) + h(x)⇒ �'(x) = g'(x) + h'(x) Derivada de la función producto �(x) = k ∙ g (x)⇒ �'(x) = k ∙ g' (x) Derivada de la función cociente �(x) = g(x) ∙ h(x)⇒ �'(x) = g'(x) ∙ h(x)+ g(x) ∙ h'(x) �(x) = g(x) ⇒ �'(x) = g'(x) ∙ h(x) - g(x) ∙ h'(x) h(x) [h(x)]2Prohibida su reproducción Derivada de la función compuesta: regla de la cadena �(x) = (g ∘ h)(x)⇒ �'(x) = g'(h (x)) ∙'h'(x)128

Repasamos Unidades 1, 2, 31 Considera los intervalos de los números reales 7 Escribe en forma de potencia las siguientes ex- A = (-∞, 1) y B = (-1,+∞). presiones:Indica el intervalo correspondiente a la unión a. 3 4 aA U B. b. 3 x2 5 x3a. (-1,1) b. [-1, 1] c. (-∞,+∞) c. 5 n6 n n2 ¿Cuál es el resultado de 3 4 , 73 , 6 2 8 Racionaliza las siguientes expresiones: a. 6 42 · 73 · 2 a. 3 d. 1 b. 15 42 · 73 · 2 5 2 c. 6 4 · 7 · 2 b. 1 + 3 e. 2 1- 3 2+ 3 c. 4 f. x 32 5 x23 El resultado de racionalizar la expresión 1 es: 9 Efectúa: 2- 5 a. - 2 - 5 2- 3 - 1 + 3 b. 2 + 5 1+ 3 2 3 2- 3 c. - 2 + 5 (Recomendación: racionaliza previamente4 Considera el conjunto de números reales repre- cada uno de los sumandos.) sentado en esta recta e indica a qué intervalo corresponde.-2 -1 01 2 10 Expresa mediante intervalos los valores que ( )c. 3 52 4 puede tomar m en cada caso:5 Efectúa: d. 4 3 x5 a. m + 3 c. 2 - m b. 2m - 1 d. 2 + ma. 3 5 · 3 52 3 3 x2 y3 3 xyb. 6 Efectúa: d. 34 2 · 8 g. 6 3 5 11 La cruz de la figura está for- Prohibida su reproducción 2 10 a. 3 5 · 4 52 mada por cinco cuadrados b. 3 5 · 23 25 iguales. Calcula el área de c. 3 a3 b · 6 ab4 la cruz sabiendo que su pe- rímetro es igual a 12 cm. e. 4 x3 y3 h. 5 (a + b)3 12 Representa en la recta real los siguientes conjuntos: 3 xy a+b a. A= {x ∈ ℝ : |x|<3} c. C= {x ∈ ℝ : |x|>1} f. 4 6 i. 3 x2 · 5 xy b. B= {x ∈ ℝ : |x|≤ 1} d. D= {x ∈ ℝ : |x|≥2} 23 xy3 129

14 Halla el cociente y el resto de las siguientes divi- 21 El actual código de circulación resta puntos del siones mediante la regla de Ruffini: carné de conducir a los conductores que trans- greden los límites de velocidad permitidos. a. (2x4 - 4x3 - 5x + 3) : (x - 2) • 2 puntos. Si se supera el límite de velocidad b. - x3 + 2 x2 - 1 x - 4 : x - 5 entre 21 y 30 km/h. 3 3 2 • 3 puntos. Si se sobrepasa el límite de veloci- 15 Representa las soluciones de las siguientes dad entre 31 y 40 km/h. inecuaciones: • 4 puntos. Si se conduce a una velocidad su- perior en 40 km/h o más al límite permitido, a. 5x - 3(1 - 4x) ≤ 4x - 1 siempre que no suponga, además, un exce- so del 50 %. b. 5x - 2 - x-3 ≥ x-2 + 29 3 2 3 6 • 6 puntos. Si se excede en más del 50 % el límite de velocidad máxima permitida, siem- c. 7(2x - 1) - 3x ≤ 2(x + 1) - 9 pre que ello suponga superar, al menos, en 30 km/h dicho límite. d. 3 (x - 7) + 2x ≤ 5 (x - 1) 16 Representa las soluciones de las siguientes inecuaciones: a. x-y < 5 - x+ y 2 3 b. x-y <y-4 3 c. 2x - y - 3y - 12 <0 2 3 17 Resuelve: a. (x - 2) (x + 1) ≥ 18 b. 9x2 - 6x + 1 ≤ 0 c. x2 + x + 1 < 0 d. x-3 > (x - 2) (x + 7) + 17 4 18 Las notas obtenidas por un estudiante en dos El límite máximo de velocidad de una carretera es de 100 km/h. pruebas son 6 y 7. ¿Qué nota puede haber obte- nido en la tercera prueba si su nota media está Indica a qué velocidad circulaba un conductor comprendida entre 6,5 y 7,5? al que le han quitado:Prohibida su reproducción 19 Una pintora desea trabajar sobre un lienzo rec- a. 2 puntos b. 3 puntos tangular cuyo lado mayor tenga el doble de c. 4 puntos longitud que el menor. ¿Cuánto ha de medir el lado menor para que la superficie con la que d. 6 puntos cuente sea mayor que 1,28 m2? 20 Una profesora informa a sus 35 alumnos de que 22 Resuelve la siguiente operación, utilizando las el triple del número de aprobados es menor propiedades de los logaritmos. que el doble del número de suspendidos. ¿Cuál ha sido el número máximo de aprobados? log ( 8 + 3 7 + 8 + 3 7 ) + log ( 8 + 3 7 - 8 + 3 7 )130

23 Calcula para que valores de h el área del trián- 30 Halla a para que la división sea exacta: gulo es mayor que el área del cuadrado. (x5 - 3x3 + ax2 - 4) : (x - 2) bh Calcula el cociente y el resto de la división de P (x) = 7x4 - 2x3 + 3x2 + 1 entre Q (x) = x + 1. A bb continuación, calcula el valor de P (-1). ¿Qué observas?24 Para un viaje de fin de curso un grupo de alum- 31 Una empresa tiene dos centros de montaje, A y B, nos recauda entre $ 600 y $ 700 vendiendo bo- cadillos y refrescos. Calcula el dinero que han de un determinado producto industrial. El número obtenido proveniente de la venta de refrescos si... de unidades montadas en el centro A está dado —Venden el triple número de refrescos que de bo- por -4t2 + 64t, donde t es el número de horas tra- cadillos. bajadas. La producción en B es -t3 + 15t2 + 2t uni- —El precio de los bocadillos es el mismo que el de dades en una jornada de t horas de trabajo. los refrescos. a. Expresa la producción total.25 Uno de los catetos de un triángulo rectángulo b. ¿Cuántas unidades se montan en la primera mide 16 cm y su área está comprendida entre hora de trabajo? 80 y 96 cm2. ¿Cuánto puede medir el otro cateto? c. ¿Cuántas unidades monta la empresa du-26 Un profesor informa a sus 35 alumnos que el triple rante 4 horas de trabajo? del número de aprobados es menor que el do- d. ¿Cuándo se trabaja con más eficacia: en la ble del número de suspendidos. ¿Cuál ha sido el primera hora o en la segunda? número máximo de aprobados? 32 Galileo descubrió que los cuerpos caen con la27 La base de un rectángulo mide 2 cm más que misma aceleración, independientemente de su altura, y su área no supera los 35 cm2. ¿Cuál su masa. El movimiento de un cuerpo que se puede ser la altura del rectángulo? deja caer desde una cierta altura se expresa mediante el polinomio P ( t ) = (1/2) at2, donde28 Resuelve estas ecuaciones: t indica el tiempo, en segundos, que el cuerpo lleva cayendo, g es la aceleración de la grave- a. 5x2 - 80 = 0 dad en la Tierra (9,8 m/s2) y P ( t ) es el valor del b. 5x2 - 2x = 0 espacio, en metros, recorrido en ese tiempo t. c. x2 - 2 2x + 2 = 0 a. Calcula a qué altura estará un sólido si tarda29 Un rectángulo mide 3 + 5 cm de base y tiene un segundo en llegar al suelo. una altura de 4 - 5 cm. Calcula su área: b. Calcula a qué altura estará si tarda medio a. Redondeando los valores a las milésimas; segundo. b. Desarrollando el producto de radicales y re- c. Un paracaidista salta desde 3 800 metros de dondeando 5 a las milésimas. altura. Si tiene que abrir el paracaídas a 1 500 —En qué caso se comete un error absoluto metros del suelo, ¿cuánto tiempo debe pasar antes de abrirlo? mayor? ¿Por qué? Funciones reales y racionales 33 Indica si las siguientes relaciones son funciones o no. Respecto a las que sean funciones, escri- be la ecuación correspondiente y represéntala. Prohibida su reproducción a. La tarifa de una taxi es 3 $ de bajada de bandera, más 0,80 $ por kilómetro recorrido. b. Los minutos jugados por un baloncestista y los puntos encestados. c. La velocidad que toma un objeto en caída libre con el tiempo transcurrido. 131

UPO IÉN S BLES DORA y también: Funciones reales y racionales EN GR Y TAMB TIC RECORTA CALCULA Los decibelios 34 Halla el dominio y el recorrido de las siguientes funciones: La intensidad de un sonido es la a. � (x) = 5 propiedad por la cual lo perci- x-3 bimos como débil o fuerte. Está relacionada con la intensidad b. � (x) = (x - 2) acústica, que es la energía transportada por las ondas so- 35 Determina el dominio y el recorrido de cada una delas funciones noras por unidad de tiempo y de superficie perpendicular a siguientes a partir de su gráfica. su dirección de propagación. La intensidad percibida por 00 el oído humano o sensación sonora (S) depende de la in- tensidad acústica del sonido recibido (I) y de la sensibilidad del oído. Se define de modo que el valor 0 corresponda a la mínima intensidad acústica lpoesrdceecpitbibelelio, Is0.(SduBs)u: nidades son S =10 log I I0 El valor medio de la intensidad umbral I0 es: I0 = 10−12 W/m2. Euler (1707-1783), en su libro In- troductio in analysis infinitorum (1748), clasificó las funciones a partir de su expresión analítica. Enumeró, en primer lugar, las 00 operaciones algebraicas y, posteriormente, las operacio- nes trascendentes, como la ex- ponencial y la logarítmica.Prohibida su reproducción 36 Halla la monotonía, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos absolutos y relativos y el corte con los ejes de las si- guientes funciones: http://goo.gl/b28bJJ a.�(x) = x2 − 5x + 4 La sensación sonora asociada a las b. �(x) = -x + 1 olas en la costa es de 40 dB, mientras 2 que el nivel asociado a un susurro es de 10 dB. ¿Cómo están relacionadas sus c. �(x) = (2x - 8) intensidades acústicas? —Comprueba los resultados representando las funciones con el 132 programa GeoGebra u otro programa informático.

37 Existen varios métodos para dibujar parábolas. 40 Dadas las siguientes funciones: Uno de los más sencillos es el que utilizan los �(x) = x - 2 g(x) = ln (x + 1) sastres para coser una tela en forma de curva. a. Calcula el valor de las funciones para x = 2 TIC y para x = 4. Lee cómo hacerlo en el siguiente enlace b. Efectúa el estudio de las dos funciones. y responde a las cuestiones que se plan- c. Representa las dos funciones. tean a continuación: d. Halla los puntos de corte entre las dos fun- http://goo.gl/nAqzQ5 ciones. e. Calcula (f o g)a. ¿Cómo se dibuja una parábola con el méto- 41 Si �( x = x 2 - 1, g (x ) = 2x + 3 y h( x ) = 2 x + 1 do de sastre? halla:b. Abre http://www.geogebra.org/cms/en/down- load. Para facilitar las cosas, cogerás el ángulo a. �(x) + g (x) e. g (x) - h (x) que forman los ejes. b. �(x)+ h (x) f. �(x) · g (x) c. Dibuja una recta que pase por los puntos (15, 0) y (0, 1). A partir de ahí, completa la c. h (x) - g (x) g . g (x) · h (x) parábola. d. �(x) h. g(x)d. Dibuja una recta que pase por (16, 0) y (0, 4) g (x) � (x) y completa la parábola. ¿Qué diferencias ob- servas respecto a la parábola anterior? 42 Halla los intervalos de crecimiento y decrecimien-38 Representa con el software en línea que creas to, los máximos y mínimos y la intersección con los ejes de las siguientes gráficas de funciones: conveniente las gráficas de las siguientes fun- ciones y di cuáles son sus asíntotas: y 10 1 8 x2a. �(x) = 2 + 6 4 4x3 - 1 – π 2 x2 2b. �(x) = – 3π –π 0π π 3π 2π 5π 3π 7π 4π 9π x 2 –2 2 2 222 –4 3c. �(x) = x+2 y 639 Dada la siguiente función: 4 – π 2 2 5 – 5π –2π – 3π –π 0π π 3π x2π 5π 3π 3x - 2 2 2 –2 2 2 2 �(x) = –4Calcula: 43 Representa gráficamente las siguientes funcio- Prohibida su reproduccióna. El valor de la función para los valores nes e indica el dominio y el recorrido de cada una de ellas. x = -2, x = 1, x = 2. a. �(x)=- x b. Halla el dominio y el recorrido. b. g (x)=- 3 x c. Representa la función. c. h(x)= (x - 5) d. i(x)= f(x)= 3 -xd. Halla los intervalos de crecimiento y decreci- miento, los máximos y los mínimos, los puntos de corte con los ejes, la periodicidad y la si- metría de la función. 133

44 Un agente inmobiliario recibe al mes un sueldo 50 Representa gráficamente las siguientes funcio- bruto de $ 1 200 ·, más $ 90 por cada vivienda nes e indica el dominio y el recorrido de cada que venda. una de ellas. a. Escribe la expresión analítica de la función a. �(x) = 5 x que indica el sueldo mensual del agente se- gún las viviendas que logra vender. b. �(x) = (x + 4) b. Represéntala gráficamente. 51 Considera las siguientes funciones �(x) = x2 - 15, c. Comenta su dominio y su recorrido 45 Halla la expresión analítica de la siguiente función: g(x)= x-2 y g(x) = x . Calcula las funciones x+5 compuestas que se indican a continuación: y a. g o f d. h o g b. f o g e. f o h 10 c. h o g o f f. g o h o f 8 6 x4 6 2 8 10 52 Comprueba que la composición de las siguientes 4 2 funciones es conmutativa y explica por qué. –10 –8 –6 –4 –2 0 �(x) = x3 , g(x ) = 3 x –2 –4 46 Halla la ecuación de la parábola que contiene los puntos (0, 4), (−1, 1) y (2, −2). 47 Calcula las coordenadas del vértice de las siguien- 53 Observa la función representada y halla: tes funciones. y a. y = 3 x2 - x + 1 c. y = −10 x2 −5 x + 7 x +5 si 5 x < 1 6 b. y = 6 x2 − 2 x + 9 d. y = 8 x2 + 8 x – 11 f (x) = x +2 si 1 x < 3 5 4 x2 5 si 3 x < + 3 48 Determina, para el siguiente triángulo rectángulo: 2 1 a. La función que relacio- 0–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 x1 2 3 4 5 6 7 na el área con la longi- tud de la base. –1 8–x a. lim �(x) d. lim �(x) b. El área máxima. x x→-1 x→+1 49 Halla el dominio de las siguientes funciones: b. lim �(x) e. lim �(x) a. �(x) = 5x - 1 x→+3- x→-5 c. lim �(x) f. lim �(x) x→+3+ x→0Prohibida su reproducción b. �(x) = x3 - 5x2 + 2 54 Sea la función q (y) = f o g , y q (y) = (2y - 3). De- c. �(x) = 2 termina las funciones f y g. x x-1 55 Escribe la función t (x) = x2 + 4x + 4 como la d. �(x) = x+5 composición de dos funciones. e. �(x) = x + 3 56 Escribe la función s(x) = x2 + 3x +2 como f. �(x) = 3 x+1 a. El producto de dos funciones; x-2 b. La suma de dos funciones.134

57 Calcula la tasa de variación media de la fun- h. �(x) = 2x3 + 7x2 - 8x + 9 cos x ción �(x) = −2x + 5, en los intervalos [−5, −3], [3, 5] y [10, 20]. i. �(x) = 4x · sen x cos x58 Calcula los límites en +∞ y −∞ de las siguientes 63 Aplica la regla de la cadena para calcular las funciones: derivadas de las siguientes funciones:a. �(x) = 4x 3 - 1 d. �(x) =- x4 − x3 + 2x - 2 a. �(x) =(2x2 −4x+3)3 e. �(x) = exb. �(x) = 3x2 + 6 e. �(x) = 5 b. �(x) = In(cos x)c. �(x) = - 3x5 + 5 f. �(x) = - 3 c. �(x) = 3x2 + 6x f. �(x) = sen(cos x) d. �(x) = ex3+2x g. �(x) = cos(Inx)59 Calcula la tasa de variación media de la función h. �(x) = x+1 x �(x) = x3 en el intervalo [0, h], para h = 1, h = 0,1 y h = 0,01. 64 Aplica la regla de la cadena para derivar las si- —¿Hacia qué valor tiende la tasa de variación me- guientes funciones: dia conforme h se hace cada vez más pequeña? a. �(x) = (2x4 - 3x2 - 7x + 3)60 Halla el dominio de las siguientes funciones: b. �(x) = sen (x2 + 5) c. �(x) = ln (sen x) a. �(x) = 1 + 5 d. �(x) = cos2 (x3 + 2x2) x+2 x-3b. g(x) = x2 - 1 x2 - 6x + 5c. h(x) = x + 1 65 Indica si las siguientes funciones son crecientes od. i(x) = 2 - x2 decrecientes en los puntos de abscisa 3, 5, 7 y 9.e. j(x) = x -1 a. �(x) = 2x + 5 x b. g (x) = x2 - 3x + 5f. k(x) = 1 c. h(x) = 3 x x-161 La posición en función del tiempo de un móvil que 66 El número de alumnos de un centro escolar se desplaza siguiendo una trayectoria rectilínea afectados por la gripe a lo largo de un mes vie- viene dada por: � (t) = 50 + 150 t siendo t la ne dado por la función �(x) = 800 − x2. La varia- hora del día y � (t ), su distancia al origen. ble x indica los días del mes y f (x), el número de alumnos afectados. ¿Cuándo va más rápido el móvil, entre las 2 h y las 4 h o entre las 7 h y las 11 h? a. Calcula la tasa de variación media correspon- diente a los intervalos [3, 5], [13, 15] y [10, 20].62 Calcula la derivada de las siguientes funciones: b. ¿En cuál de estos intervalos ha disminuido más rápidamente el número de alumnos enfermos?a. �(x) = 8x9b. �(x) = 5 x4 67 Calcula la derivada de la función �(x) = x2 − 2x en el punto de abscisa x = −1.c. �(x) = 1 Prohibida su reproducción 7 x5d. �(x) = 3x4-2x3 +7x+10 68 Calcula la derivada de las siguientes funcionese. �(x) = cos ex en los puntos de abscisa indicados:f. �(x) = 4x3-lnx a. �(x) = 3x − 5, en x = 4 b. h (x) = x2 + 5x − 3, en x = 3g. �(x) = (5x6-3x2) ∙ (7x6-3x2) 135

69 Determina los puntos de la curva de ecuación i. �(x) = tg 2x �(x) = x3 − 12x en los que la recta tangente es j. �(x) = sen cos 1 paralela al eje de abscisas. x —Averigua los valores de x para los que la función aumenten. k. �(x) = tg x x 70 Determina los puntos en los cuales la tangente l. �(x) =�(x) = 7(1+ x3) a la función dada sea horizontal: 75 Halla la derivada de las siguientes funciones: �(x) = x3 − 4x2 + 4x − 10 a. �(x) = 4x3 + 2x2 − 3x − 80 71 Calcula la ecuación de la recta tangente a la b. �(x) = ex gráfica de cada una de las siguientes funciones en los puntos que se indican. c. �(x) = ln x a. �(x) = x 3 + 2x + 10, en el punto de abscisa d. �(x) = sen x x = −2. e. �(x) = cos x b. �(x) = ex, en el punto de abscisa x = 0. c. �(x) = ln x, en el punto en que la gráfica cor- f. �(x) = 1 x-2 ta al eje de abscisas. g. �(x) = cos (2x ) h. �(x) = 3x4 + 70x i. �(x) = (2x3 ) 72 Calcula la ecuación de la recta tangente a la j. �(x) = 40x3 + 2x2 gráfica de x2 en el punto de abscisa x = 1. 76 Determina los intervalos de monotonía de las si- x2 + 1 guientes funciones y los máximos y mínimos: —¿En qué punto la tangente es paralela al eje de abscisas? a. �(x)= x3 + 2x2 + x + 1 d. �( x) = (x − 2)3 b. �(x) = sen (2x), x ∈ [0, p] e. �(x) = 0,5x 2 + 2 73 Deriva las siguientes funciones: c. �(x) = ex2– 1 f . �(x) = ln (x2 + 1) a. �(x) = sen x d. �(x) = cos(x)2 b. �(x) = ln (cos x ) c. �(x) = atgx e. �(x) = ln sen x 77 Determina la ecuación de la recta tangente y x la recta normal a las siguientes funciones en el f. �(x) = sen(ln x) punto indicado: 74 Calcula las siguientes derivadas y comprueba a. �(x) = 2x para x = 1 b. �(x) = x2 − 2x + 3 para x = 3 el resultado utilizando el programa Derive: c. �(x)= x2 − 2x + 3 para x = -1 d. �(x)= ln x para x = 1 a. �(x) = (2x4-4x2+3)5 e. �(x) = cos x para x = p b. �(x) = ln (cos(sen x)) c. �(x) = ln(arccos2 x)Prohibida su reproducción d. �(x) = 2x3 - x2 + 1 78 A un tanque que tiene la forma de un cono cir- 3x4 - 2 cular recto invertido de 4 m de radio y 16 m de e. �(x) = cos x3 + sen x2 altura entra agua a una razón de 50 cm3/seg. ex ¿A qué velocidad está subiendo el nivel del agua f. �(x) = x x cuando este se encuentra a 4 m. de altura? 3- ¿A qué velocidad está cambiando el radio en g. �(x) = ecos(3x) ese mismo instante? h. �(x) = tg x136

79 Un fabricante de bolígrafos sabe que el coste 85 Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes de producción de x bolígrafos en una semana a la curva �(x) = 4x3-2x +1 que son paralelas es de C(x) =180 + 10x + x². Si vende cada bolí- a la recta y =10x+2. grafo a 100 centavos: 86 Dada la función g (x) = (x -2)2 (x + 1), determina a. Expresa el beneficio que obtiene por la venta de x bolígrafos en una semana (beneficios = su monotonía y los puntos máximos y mínimos ingresos menos costes); 87 En un invernadero de rosas, se tiene en cuenta la b. Calcula cuántos debe vender para obte- ner el máximo beneficio. ¿Cuál es ese be- temperatura y para ello se utiliza la expresión: neficio máximo? P (t) = (t + 1)2 (32 - t), donde P (t) es la produc- ción y se expresa en kg y t es la temperatura, ex-80 El rendimiento r en porcentaje de un alumno presada en °C. http://goo.gl/fhApnz en un exámen de una hora viene dado por: a. Calcula razonadamente cuál es la temperatu- r(t)= 300 t (1 - t), donde 0 ≤ t ≤ 1 es el tiempo en ra óptima a mantener en el invernadero. horas. Halla: b. ¿Qué producción de rosas se obtendría a esta a. ¿En qué momentos aumenta o disminuye el temperatura? rendimiento? 88 Una huerta tiene actualmente 24 árboles, que b. ¿En qué momentos el rendimiento es nulo? producen 600 frutos cada uno. Se calcula que, c. ¿Cuándo se obtiene el mayor rendimiento y por cada árbol adicional plantado, la produc- cuál es? ción de cada árbol disminuye en 15 frutos. a. ¿Cuál debe ser el número total de árboles81 Analiza si las funciones siguientes son continuas que debe tener la huerta para que la pro- o no en 2; si no lo es, explique por qué. ducción sea máxima? b. ¿Cuál será esa produccióna. �(x) = 4x2 - 2x + 12 b. �(x) = 8 x-2c. g(x) = 3x2 x-2d. g(x) = x - 1e. h(x) = x - 3f. h(x) = |3-5x2|g. h(t) = t3 - 8 t-2h. h(t) = 4t - 8 t-282 Halla la ecuación de la recta tangente a la cur- va �(x) = 2x2 - 3x + 1, que es paralela a la recta 2x + 3y - 1 = 0.83 Escribe la ecuación de la recta tangente a la Prohibida su reproducción x-2curva y = x+1 en el punto de corte con el ejede las abscisas84 Dada la función: �(x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a. Halla sus máximos y mínimos y analiza su crecimiento. 137

Un alto en el camino 1 La gráfica que corresponde a una función es la: a. Y Y b. YY YY cY .Y YY Y Yd. YY YY 0 XX X X0 XX XX XX 0 XX XX 0 XX aa a a bb b b cc c c dd d d 2 Considera la función � representada en la figura e indica cuál de estas afirmaciones es correcta: Y a. La función �es estrictamente creciente en el intervalo (1, 2). 2 b. El período fundamental de la función � es 5. 1 c. La función � presenta un máximo absoluto en x = 4. 0 12345 X 3 La combinación (g o �)(x) Dadas las funciones �( x ) = sen x+1 y g( x ) = (x+3) es: a. (sen x+4) b. (sen x+3) c. sen ( x+3) +1 4 La tasa de variación media de la función � (x) = 4x² − 2x + 18 en el intervalo [1, 4] es: a. 1 b. 18 c. 4 5 ¿Cuál es la tasa de variación media de la función �(x) = 2x 4 − 5 en el intervalo [1, 2]? a. 30 b. 24 c. −30Prohibida su reproducción 6 Analice la monotonía de la siguiente función x ² - 3x + 2; indique los intervalos donde la función es creciente o decreciente: a. (- ∞, 0) ∪ (0, + ∞) b. (1,5, + ∞); (- ∞, 1,5) c. (-∞, + ∞); 7 La derivada de la función � ( x ) = x4-4x + 1 es: a. 3x4-4 b. 4x-4 c. 4x3-4138

8 Considera la función F = 4/ d²: y (litros) a. Indica el dominio y el recorrido de la 30 función. a. Estudia la continuidad de la función. b. Representa la función. b. ¿Te15 ndría sentido una discontinuidad in- ev25itable? Razona tu respuesta. 0 1,5 1,6 x (horas) 69 Encuentre la ecuación de una parábola y x100 200 300 400 500 600 700 que corta al eje de abscisas en x = 3 y en Distancia km x = 9, y al eje de ordenadas en y = 10. precio 40 30 20 10 010 Dadas las siguientes funciones: 14 Calcula los límites de las siguientes suce- �( x ) = (x - 2 ) y g( x ) = x²+4x+5 siones: a. Calcula el valor de las funciones para x = 2 y para x = 4. a. lim 6 - 4n2 b. Efectúa el estudio de las dos funciones. c. Representa las dos funciones. n→∞ 2n2 d. Calcula (g o �) (x) b. lim 4n2 + 3n - 211 Estudia la continuidad y la derivabilidad n→∞ 2n3-4n de la si-guiente función, definida a trozos: 2n3-4n c. lni→m∞ 4n 2x-1 si x ≤ 1 15 En la figura se representa gráficamente �(x)= x2 si 1 < x ≤ 3 la función �, que relaciona el volumen, y, si x > 3 de gasolina en el depósito de una moto- x3+2x-1 cicleta, con el tiempo, x, durante la cele- bración de las 6 horas de resistencia de Motoronia x y x2-8 y (litros) 3012 Si �(x) = x + 2 y g(x) = , halla para x = 4: a. g (x) - �(x) c. (�o g) (x) 15 b. �(x) o g (x) d. (g o �) (x) 5 Prohibida su reproducción 2 0 1,5 1,6 x (horas) 6x13 La tarifa que pagamos por el alquiler de pare.cioEstudia los intervalos de crecimiento y un auto depende de un fijo y de la distan- decrecimiento de �. cia recorrida, y viene dada por la siguien- 40 te función representada: b. Interpreta qué ocurre en cada intervalo. 30 20 139 10 0 100 200 300 400 500 600 700

hPtrtopsh:i/b/igdoao.suglr/0espJroMdduzcción 4 Vectores CONTENIDOS: 1. Vectores 1.1. Vectores fijos 1.2. Vectores equipolentes 1.3. Vectores libres 1.4. Operaciones con vectores 1.5. Base de V² 1.6. Dependencia de vectores 1.7. Componentes de un vector en una base 1.8. Componentes de un vector determinado por dos puntos 1.9. Operaciones con vectores expresados por sus componentes 1.10. Ángulo entre dos vectores 1.11. Vector unitario 1.12. Coordenadas de un punto en el plano 114400

Noticia: Prohibida su reproducciónLos límites, su estudio y su relación con las cienciasy la filosofía son temas que se abordan ennumerosas publicaciones, como por ejemplo:•  John D. Barrow. Imposibilidad: los límites de la ciencia y la ciencia de los límites. Gedisa, 1999.• Martin Bojowald. Antes del big bang. Debate, 2011.Web:En esta página de Internet encontrarás lasaplicaciones de vectores en aspectos diarios.http://www.eduteka.org/proyectos.php/1/6039,y en este link puedes profundizar en lasmagnitudes vectoriales: https://www.youtube.com/watch?v=u3U5R8KtwIc En contexto:Existen magnitudes, como la masa y eltiempo, que quedan definidas con unacantidad y una unidad.Son algunas magnitudes escalares.En cambio, para definir otras magni-tudes, como las fuerzas, necesitamosademás una dirección y un sentido.A estas magnitudes las denominamosvectoriales.Busca información y cita otras tres mag-nitudes vectoriales. 114411

1. VectoresExisten magnitudes, como la masa, la longitud o la tem- UPO IÉN S BLES DORAperatura, que quedan totalmente determinadas a partirde un número real (o escalar) y una unidad de medida. y también:Decimos que son magnitudes escalares.Sin embargo, hay magnitudes como la fuerza o la velo-cidad que para determinar las completamente han deindicarse su módulo, su sentido y su dirección. A estasmagnitudes las llamamos magnitudes vectoriales.Las magnitudes vectoriales se representan mediantevectores.Los vectores son muy importantes para estudiar fenó-menos que suceden a nuestro alrededor. Con ellos po-demos explicar, por ejemplo: ¿Por qué si elevamos unacomenta cuando el viento está soplando en contra, yempezamos a correr para mantenerla en el aire, esta re-trocede al punto en que la cuerda con la que la sostene-mos, queda inclinada hacia atrás?Para casos como este. Usamos los vectores para repre-sentar la velocidad que lleva la cometa y la velocidaddel viento. Lo importante es ubicar los vectores en la di-rección en la que se mueve cada uno, así:1.1. Vectores fijosProhibida su reproducción Un segmento es un fragmento de EN GR recta limitado por dos puntos. A Y TAMB un segmento podemos asociarle TIC una dirección, la de la recta que RECORTA lo contiene, y una longitud, la dis- CALCULAtancia entre sus extremos. Sin embargo, no podemos aso- ciarle un sentido: los segmentos AB y BA son el mismo segmento. Para nombrar un segmento que une los puntos A y B, escribimos las dos letras que lo determinan y encima una barra: AB. Para nombrar un vector que une los puntos A y B, escribimos ylaes ndcoims laeturansaqfuleeclhoad: AetBe͢ r!m!!\".inanPor dos puntos del plano, A y B, no coincidentes, pasa una única recta sobre la que se pue-de definir un segmento con origen y extremo en estos puntos. Dados dos puntos A y B del plano, denominamos vector fijo de origen A y extremo B al par ordenado (A, B). Lo representamos por AB͢ . Así, todos los vectores fijos tienen un módulo, una dirección y un sentido. El módulo del vector AB͢ es la longitud del segmento que lo determina. Lo representamos por |AB| y es siempre un valor positivo. La dirección del vector AB͢ es la de la recta determinada por A y por B. El sentido del vector AB͢ se define sobre la recta y va del origen del vector (punto A) al extre- mo (punto B).142

UPO IÉN S BLES DORA y también: 1.2. Vectores equipolentes EN GR Y TAMB Observa la figura. Dados un módulo, una dirección TIC y un sentido, es posible de- RECORTA terminar un vector tomando CALCULA como origen cualquier pun- to del plano. Obtenemos así Dos vectores paralelos tienen la vectores equipolentes. misma dirección. Dos vectores pueden tener la misma dABir͢ec≠cBióAn͢ , pero distinto sentido Si el origen y el extremo de un vector coinciden, el vector es nulo. figura 1 Dos o más vectores fijos son equipolentes si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.Ejemplo 1 Indiquemos cuáles de estos vectores tie- L w y D nen el mismo módulo, cuáles tienen el mismo sentido y cuáles son equipolentes. o J z O Resolución: Kv MI x Los vectores K→L, I→J, A→B, N→O tienen el mismo C sentido. Los vectores KL, AB, KM, IJ tienen el mismo B G y H módulo. tN s F La pareja de vectores IJ, AB y los vectores A E KL, GH, EF tienen el mismo módulo, el mis- 0 x mo sentido y la misma dirección. 1. Indica el origen y el extremo de cada uno 2. Dibuja dos vectores que sean equipolentes. Actividades de los vectores representados en la figura y 3. En la figura de abajo indica qué vectores agrúpalos en conjuntos de vectores equi- polentes y en conjuntos de vectores con el son equipolentes: mismo módulo. y AB o y 0 t CE v x D F Prohibida su reproducción HG w M L N I OP R T Xx S Q 143

1.3. Vectores libres Un ejemplo de un vector fijo podría ser la fuerza que aplicamos sobre un punto determinado de una mesa. No obstante, ten en cuenta que para definir dicha fuerza no necesitamos saber el punto exacto sobre el que la aplicamos, sino que tenemos suficiente con conocer su dirección, su sentido y su módulo. UPO IÉN S BLES La rDeORAlación de equipolencia nos permite clasificar el con- junto de vectores fijos del plano en colecciones de vecto- y también: res que, desde el punto de vista matemático, se comportan EN GR como uno solo. Estas colecciones son los vectores libres. Y TAMB TIC RECORTA CALCULA P A Un vector libre es el conjunto formado por todos los vectores fijos equipo- lentes a uno dado. Vector libre u P Vector equipotente Cada uno de los vectores fijos que componen un vector libre es B a u cuyo origen es P un representante de este vector. 0 Existe una propiedad matemá- A los vectores libres los representamos mediante letras minúsculas tica denoF minadEa pCropiedad ( →u, →v, w→...) o encerrando entre corchetes uno de los vectores fijos que lo componen. fundamental de los vectores libresG: ͢ D Alossí,veelcvtoercetos re[qAuBip]orelepnretesseantAaBe͢ . l vector libre formado por todos Dado un punto P del plano P carteHsiano y un vecCtor libre cualquiera u→, A representaAnte existe un único deB→u que tiene el Módulo, dirección y sentido de un vector libre Vectorlibre u P Vector equipotente origen en el punto P. Los vectores fijos que determinan un vector libreB , al ser a u cuyo origen es P equipo- lentes entre sí, tienen el mismo módulo, la misma dirección y el0 mismo sentido. F EC TIC El módulo, la dirección y el sentido de un vector G D libre son el módulo, la dirección y el sentido de H En el siguiente enlace, encon- cualquiera de sus representantes C trarás más información acerca A B de los vectores fijos y los vecto- res libres: Observa detenidamente este octágono y anota todos los vectores fijos que ves representados. A continuación: http://goo.gl/OxIvC9 a. Agrupar los vectores anteriores en conjuntos de vectores equi- ¿Cómo se demuestra la equipo- polentes. lencia de dos vectores? ¿Es siem- pre posible esta demostración? b. Indicar cuántos vectores libres hay representados. Comprensión: Deberemos analizar la dirección y el sentido de los vecto- res fijos para determinar cuáles son equipolentes entre sí y, por lo tanto, poDdOReA r indicar cuántos vectores libres hay representados. CReD͢ s,oDluE͢c,ióEnF͢: , GLFo͢ s, HGv͢ e,cAtHo͢ r.es fijos representados son BA͢ , BC͢ , a. Son equipolentes: BA͢ y EF͢ ; BC͢ y GF͢ ; CD͢ y HG͢ ; DE͢ y AH͢ .. b. [L(oCsD͢ )v]e,[c(DtoE͢re)s]. libres representados son [(BA͢ )], [(BC͢ )],Prohibida su reproducción BLES EN GR Y TAMB TIC RECORTA CALCULA Ejemplo 2 UPO IÉN S y también: A el conjunto de todos los vectores libres del plano lo denominamos V2.144

1.4. Operaciones con vectores Producto de un número real por un vector y suma Observa cómo podemos efectuar operaciones con vectores gráficamente, utilizando el concepto de representante de un vector libre. Producto de un número real por un vector →u y lo figura 2 Llamamos producto de un número real k por un vector 2u representamos por k ⋅ u→ al vector libre que tiene: -u -Dirección: La misma dirección que el vector u→ . -Módulo: El módulo de u→ multiplicado por el valor absoluto de k. u 1 u 2 -Sentido: El mismo que u→ si k es positivo, y contrario a u→ si k es negativo. Suma de vectores figura 3 Llamamos suma de los vectores libres u→ y →v , y la representamos por →u+ v→ , al vector libre que obtenemos con el siguiente proce- u dimiento: uv • Elegimos dos representantes de u→ y v→ ,de modo que el extre- mo del primer vector coincida con el origen del segundo. u+v v • Trazamos el vector cuyo origen es el origen del representante del primer vector y el extremo es el extremo del representante UPO IÉN S BLES DORA del segundo vector. y también: EN GR Y TAMB TIC RECORTA CALCULAEjemplo 3 Dibujemos dos vectores cual quiera →u y v→, y representemos los vectores Propiedades del producto de un u→+ v→, y 3 · v→. número real por un vector ∀ k, k΄ ϵ ℝ, se cumple: Resolución: Propiedad asociativa: k . (k΄ .→u) = (k . k΄) . u→ Dibujamos dos vectores u→y v→,cual→quiera en el plano. Propiedad distributiva respecto de la suma de vectores: Para sumarlos, situamos el vector vel,odriegemnoddeou→qyueel esuxtroermigoendeco→vi,nocbidtea- k . (→u +→v) = k . u→+ k . v→ con el extremo del vector→u. Al unir Propiedad distributiva respecto nemos el vector suma. 3 · v→ , alargamos el vector →v , hasta que mida de la suma de escalares: Para dibujar el vector (k + k΄) . u→= k · →u + k΄ · u→ Elemento neutro: el triple. 1 . →u = u→ . 1 = u→ Comprobación: Podemos comprobar que las representaciones son correctas en un pro- Propiedades de la suma grama de representaciones gráficas, como GeoGebra. de vectores Y Conmutativa: Prohibida su reproducción 3.v u→ + v→= v→+ u→ uv Asociativa: (u→ + v→) + w→ = u→+ (v→+ w→) v v u+v u+v u→Ele+m0→e=nto0→n+euu→tr=o: 0u→ u →u E+le(m-→ue)n=to (o-p→uu)e+sto→u: -→u 0→ uv = 0x 145

Resta y combinación lineal de vectores Para restar dos vectores, usamos el concepto de elemento -v opuesto de la suma. Por ello, dados dos vectores u→ y v→ , para u obtener u→ − v→, basta con construir el vector −v→, y sumarlo al vector u→. Así, u→ − v→ , = u→ + (−v→,). u-v Observa que obtenemos el mismo resultado si utilizamos el u procedimiento aplicado en la suma o si aplicamos la regla v del paralelogramo. figura 4 Combinación lineal de vectores UPO IÉN S BLES DORA Dados dos vectores u→ y v→, con distinta dirección, podemos EN GR B obtener otro vector w→ , combinando las operaciones suma y Y TAMB multiplicación por un número real: TIC RECORTA CALCULA y también: u β.u Es posible escribirCcombinacio- nes lineales de tantos vectorαe.vs w→ = − � →u+β · v→ donde α y β son números reales cual quiera. como se qv uiera. Así: Decimos que el vector w→ , es combinación lineal de los vec- v→=k1 · u→1+ k2 · u→2+w ...+ kn · u→n tores v→ y →u . Así, por ejemplo, el vector w→ = 3 · u→ − 2 · v→ es una combina- con k1c, uka2l,esq...u, iekrna,0 nA úmeros ción lineal de los vectores u→ y →v. reales es una Observa que el vector 0→, es una combinación lineal de cual- quier par de vectores, pues: 0→ = 0 u→ + 0 ·→v. combinación lineal de los vectores u→1 , u→2 , ..., Y Expresión de un vector como com- y B Dos vectores son linealmente in- binación lineal de otros dos αde⋅vpu→e+nβdi⋅ev→nu=t2e.su0+svi la relacióv n: u β.u solamente se cumple si a y b son ambos iguales a 0. 2.u Dados dos vectores u y v, con distin- C α.v Gráficamente, en el plano, la ta dirección, a cualquier otro vec- v 0 dcoons dviecciótnorensecseeasanrialinpeaarlma eqnuteeX independientes es que tengan tor del plano w podemos expresar w distinta dirección. como combinación lineal de u y v. A En caso contrario, decimos que 0 x son linealmente dependientes que, en el plano, es lo mismo figura 5 que decir que tienen la misma dirección. Ejemplo 4 Dibujemos dos vectores cual quie- Y u→ y →v, y r→a = 2→u + representemos el vector u w →v. 2.u+v v v Comprensión: 2.u Dibujemos dos vectores u→ y →v, cualProhibida su reproducción quiera en el plano. Primero, dibuje- 0 X mvUeexnotcarsetmo2mro⋅osv→u→,de,hedlaoes→vrstiapgyueeoénlbsetdedxetnerees2mpml⋅aoou→zsdeeecmlo2ovnse⋅ ceeu→-.ll tor 2 ⋅ u→ + →v . 4. Dados estos vectores li- Actividades v bres, representa: a. 2⋅ u→ + →v. b. 3 ⋅ u→ − 2 . v→ u146 0

1.5. Bases de V2Hemos visto que dados dos vectores no nulos, u→ y →v , con distinta dirección y cualquier otro vectoruw→→y, w→ u→+ →v. podemos encontrar siempre dos números reales a y b de modo que = α. β · Los vectores v→, forman una base de V2. Decimos que B = { →u; wv→→, }=foαr·mu→a+uβn·a→v.bLaossendúemVe2rsois→ureya→vl,etiseαneynβdsoirencccoiomnpeos ndeifenrteens tdees y cualquier vector w→ pue- de expresarse como: w→ en B.Así, si w→ = 3 · u→ + 4 · v→, las componentes de w→ en la base forma- UPO IÉN S BLES DORAda por u→ y v→, son (3, 4) y escribiremos: w→= (3, 4). y también: EN GR Y TAMB TIC RECORTA CALCULASi los dos vectores de la base son perpendiculares, es decir, Desde el punto de vistaforman un ángulo de 90°, diremos que constituyen una base matemático, definamos laortogonal. base de un espacio vec- torial de cualquier dimen-Si, además de perpendiculares, los dos vectores de la base son sión como un conjunto de vectores de dicho espaciovectores unitarios (esto es, tienen módulo 1), diremos que for- que cumplen estos requi- sitos: a. Son linealmenteman una base ortonormal. v independientes. b. Cual- quier vector puede expre- u sarse como una combi- nación lineal de dichosBase canónica 0 vectores.Las componentes de los vectores no son únicas, pues depen- En el plano, hemos vistoderán de la base que utilicemos para definirlos. 2 que una base está forma- da por cualquier par dePor ello, se define una base ortonormal,v llama1da base ca- vectores que tengan dife-nónica, que facilitará la identificación de las cjou mi ponentes rente dirección; es decir,de los vectores. que sean linealmente in- -2 -01 0 0 2 dependientes.La base canónica está formada y figura 6 -1por dcoosmvoe:c→ito=re(s1,q0u)ey:d→je=no(t0a,r1e)- 2mos -2determinados por los respectivos 1puntos (1, 0) y (0, 1) del plano j El plano cartesiano que- 4i da determinado por dos ejes de coordenadas: unocartesiano. -2 -1 0 3 0 2x vertical (Y) y otro horizon- tal (X) que se cortan en el 2 origen de coordenadas, el punto (0, 0).Fíjate en que, en esta base, si es- -1 1 (0,0)cogemos como representante de -5 -4 -3 -2 -1 12345 -2 -1cualquier vector libre el que tiene -2origen en el punto (0, 0), las coor-denadas del extremo coinciden -3con las componentes del vector. -4 yAsí, si, por ejemplo, consideramosel vector determinado por el ori- 4 figura 7 4 -5 3 y2 8 1 A(6,7) 3 7 -5 (0,0) -4 -3 -2 -1 1234 5 2 -1 Prohibida su reproducción 6 -2 1 (0,0)gen de coordenadas (0, 0) y el 5 -3 -4 0-5 -4 -3 -2 -1 x-1 12345pquunet:oO→AA ==6(→6i ,+7)7 del plano, vemos 4 OA -5 →j . Por lo tanto, las 3 -2componentes del vector en esta 82 -3 A(6,7) -4base son (6, 7); es decir, coinciden 71 -5 6con las coordenadas del punto A. x0 1 2 3 4 5 6 7 8 5 4 147 OA 3 2 1