Matematica_BGU_1

Ejercicios y problemas propuestos 110. Un estudio realizado A 350 personas sobre la 112. Las indemnizaciones recibidas por los 42 pro- edad de su pareja, reveló los siguientes datos: pietarios de áreas de cultivo después de los re- cientes incendios forestales, se distribuyen del Edad pareja Cant. de personas siguiente modo: 15 - 20 23 20 - 25 28 Cientos de dólares Propietarios 25 - 30 76 20 - 50 8 30 - 35 54 50 -100 20 35 - 40 60 100 -140 8 40 - 50 42 150 5 50 - 70 67 220 1 a. Elabora el gráfico que le corresponda. a. Si las pérdidas se han valorado en más de b. Calcula la media, mediana y la moda $400.000, puede afirmarse que las indemni- zaciones son suficientes. 111. Las últimas cien ventas facturadas por un es- tablecimiento se habían agrupado en cuatro b. Calcula la indemnización más frecuente. intervalos de clase, recordamos tan solo la si- guiente información: c. Calcula la mediana y la media. • El primer intervalo tiene seis semanas como d. Si a todos los propietarios se les subiera la in- extremo superior, una frecuencia relativa de demnización en $ 2 000. ¿Serían suficientes 0,2 y una amplitud de cuatro semanas. las indemnizaciones?, ¿cuál sería entonces la media? • La marca de clase del segundo y cuarto in- tervalo son ocho y cincuenta semanas res- 113. Durante la última semana dos librerías han ven- pectivamente. dido los libros que ocupan los tres primeros pues- tos en las listas de ventas a los siguientes precios: • Hasta el segundo intervalo se acumulan se- senta ventas. Librería 1 Librería 2 Precio Nº Ejemplares Precio Nº Ejemplares • El tercer intervalo presenta una frecuencia de treinta ventas y una amplitud de treinta 18 10 15 25 semanas. 21 13 19 18 23 15 20 25 —Con esta información, construye la distribución de frecuencias y calcula la media, mediana, a. ¿Qué establecimiento ha presentado una re- moda y coeficiente de variación. caudación media más representativa?Prohibida su reproducción b. ¿Cuál de los establecimientos presenta una mayor disparidad de precios?248

Población 3 de una Estadística 1 6 estudia Resumen 2 Variables estadísticas organización características de los datos representación Parámetros estadísticos 6 Gráficos estadísticos 5 4Tablas estadísticas 7 8 Parámetros de centralización Parámetros de dispersión Moda Recorrido Media aritmética Desviación media Mediana Varianza Cuartiles Desviación típica1. La estadística se ocupa de recoger, ordenar y • Mediana, Me: Valor que ocupa el lugar cen- analizar datos para estudiar las características o tral al situar todos los datos ordenados de me- el comportamiento de un colectivo. nor a mayor. Si el número de datos es par, se suman los dos valores centrales y se divide el2. Variable estadística es la propiedad o caracterís- resultado entre 2. Clase medianal: Intervalo tica de la población que queremos estudiar. que contiene la mediana.3. Población es el conjunto de elementos que for- • Cuartiles, se definen como los valores que se- man el colectivo objeto del estudio estadístico. Si paran la distribución en cuartas partes. la población es muy grande, se toma una mues- tra representativa de ella. 8. Los parámetros de dispersión: son valores que in- forman sobre la dispersión de los datos.4. Una tabla estadística consiste en una organiza- ción de los datos que refleja las frecuencias abso- • Recorrido, r: Diferencia entre el valor máximo lutas y relativas, acumuladas o no, de los valores y el valor mínimo de la serie de datos. Tam- que la variable toma en la serie de datos. bién se conoce como rango o amplitud.5. La finalidad de los gráficos estadísticos es visualizar con más facilidad la información contenida en las • Dlaessdvieascviióanciomneedsiad,edtom:dMoseldoisadaartiotms éretiscpaecdteo tablas estadísticas. Los más utilizados son los diagra- a su media aritmética. mas de barras, los diagramas de sectores, los histo- gramas y los gráficos evolutivos y comparativos. dm = ∑ |xi - x |· ni N6. Los parámetros estadísticos son valores calculados a partir de los datos de una serie estadística que re- • Varianza, σ2: Media aritmética de los cuadra- sumen alguna característica importante de la serie. dos de las desviaciones de todos los datos respecto a su media aritmética.7. Los parámetros de centralización: son valores que pueden considerarse representativos de la serie de σ2 = ∑ |xi- x |2 σ2 = ∑ x2i · ni - x2 Prohibida su reproducción datos. N N • Moda, Mo: valor de la variable con una fre- • Desviación típica, σ: Raíz cuadrada positiva cuencia absoluta mayor. Clase modal: inter- de la varianza. valo con mayor frecuencia absoluta. σ = σ2 • Media aritmética, x : valor que resulta al dividir la suma de todos los datos entre el número Cuando los datos aparecen agrupados en interva- total de ellos. los, consideramos las marcas de clase de los diferen- tes intervalos como diferentes valores de la variable x = ∑ xi · ni xi y sus frecuencias absolutas como ni . N 249

Para finalizar 1 En la siguiente tabla Peso (g) Número 3 Las temperaturas medias mensuales, en de veces aparece el peso (en [4,45, 4,55) grados Celsius, de dos ciudades durante gramos) de 100 com- [4,55, 4,65) 1 los nueve primeros meses de un año se primidos de un determi- [4,65, 4,75) 2 muestran en esta tabla: nado medicamento. [4,75, 4,85) 10 [4,85, 4,95) 21 Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Sep. a. Construye el histo- [4,95, 5,05) 33 grama y el polígono [5,05, 5,15) 18 Ciudad A 2,7 3,6 8,1 12,3 16,5 22,1 25,7 28,9 22,6 de frecuencias. [5,15, 5,25) 9 [5,25, 5,35) 4 Ciudad B 8,4 10,5 12,6 14,6 17,1 18,6 22,7 24,9 21,1 b. Calcula la media 2 aritmética y la des- a. Construye un gráfico comparativo viación típica. superponiendo los gráficos evolutivos correspondientes a las dos ciudades. c. Calcula el primero y el tercer cuartiles, y el percentil 15. b. Describe cuándo es más elevada la temperatura en la ciudad A y cuándo d. ¿Qué porcentaje de comprimidos pesa en la ciudad B. menos de 4,87 g? c. Explica en qué meses hay una mayor y 2 Se ha sometido a 18 personas a una prue- una menor diferencia de temperatura. ba física de resistencia. El tiempo que ha d. Calcula la media aritmética de las aguantado cada una de estas personas temperaturas medias de cada una viene recogido en los siguientes resultados, de las dos ciudades. expresados en minutos: —¿Cuál de las dos ciudades es, por tér- 39, 5 43, 2 40, 5 22, 5 44, 5 38, mino medio, más cálida? 5 42, 5 40, 3 46, 5 45, 6 40, 1 41 —En este caso, ¿resultaría útil comparar las dos ciudades tomando la moda 43, 5 40, 2 42, 7 45 45, 2 44, 2 como parámetro de centralización? Justifica tu respuesta. a. Agrupa los datos en intervalos de longi- tud de 2 minutos. e. Calcula la desviación típica de las temperaturas medias de cada una b. Obtén la tabla de frecuencias para los de las dos ciudades. intervalos definidos. —¿En cuál de las dos ciudades han va- c. Construye el histograma de frecuen- riado más las temperaturas? Justifica cias absolutas. tu respuesta. EVALUACIÓNProhibida su reproducción Reflexiona y autoevalúate en tu cuaderno: • Trabajo en equipo • Trabajo personal ¿Cómo ha sido mi actitud ¿He cumplido ¿Qué aprendí en esta ¿He compartido con mis ¿He respetado las opiniones frente al trabajo? mis tareas? unidad temática? compañeros y compañeras? de los demás? • Escribe la opinión de tu familia. • Pide a tu profesor o profesora sugeren-250 cias para mejorar y escríbelas.

ZONA UD. 6 FUNCIONES Y LIMITES SOCIEDAD SENTIDO CRÍTICOFueron los primeros... Estadística en InternetUno de los primeros vestigios Las nuevas tecnologías permiten acceder a fuentes de información has-de anotaciones estadísticas se ta hace pocos años desconocidas.encuentra en la isla italiana de En este sentido, Internet es una fuente de datos valiosísima y de muy fácilCerdeña, donde existen unos consulta.monumentos megalíticos de Así, por ejemplo, diversas empresas privadas y entidades públicas facili-basalto construidos hacia el tan en esta red los resultados de encuestas y estudios estadísticos.año 3 000 a. C. por los primeros Una de estas entidades públicas es el Centro de Investigaciones Sociológi-habitantes de la isla, los nura- cas (CIS), organismo autónomo adscrito al Ministerio de la Presidencia cuyogas. En dichas construcciones objetivo es el estudio de la opinión pública. El servidor de su banco de datosse han encontrado muescas y es accesible a través de Internet en la dirección: http://www.cis.es/toscos signos con los que, al pa- Existe otro servidor de datos estadísticos oficiales de gran interés: el delrecer, se llevaban las cuentas Instituto Nacional de Estadística, cuya dirección es: http://www.ine.es/de la caza y del ganado. Por otra parte, resulta muy interesante acceder a la información que proporciona en Internet la UNICEF. SOCIEDAD En la dirección http://www.unicef.org/ podrás encontrar abundante in- formación relacionada con la situación de la infancia en el mundo.Lo último en estadísticaCon la tecnología actual ya SI YO FUERA....es posible aplicar una de lasúltimas novedades en este Doctor…campo: la estadística en tiem-po real. Con ella podemos sa-ber cuántas personas hay hoyen el planeta o las computa-doras que se venden al día.Mediante la web http://links.edebe.com/si5, accederemos a un algoritmo que se actua-liza cada milisegundo y queestá gestionado por un equipointernacional de expertos en lamateria, procedentes de presti-giosas organizaciones y oficinasestadísticas.Estadística de accesos instantáneos necesitaría conocer y comprender todo lo referente a estadísticas para Prohibida su reproducción a un determinado navegador. tomar decisiones en materia de diagnóstico, pronóstico y terapéutica de mis pacientes. También necesitaría interpretar los exámenes que les mando, tanto de laboratorio, como rayos x, etc, con un conocimiento de las variaciones fisiológicas y de las correspondientes al observador y a los instrumentos. Y tendría que comprender la información acerca de la etiología y el pronóstico de las enfermedades, a fin de asesorar a los pacientes sobre la manera de evitar las enfermedades o limitar sus efectos. 251

Proyecto censo del colegio elegimos El primer censo del que se tiene noticia se elaboró con el fin de preparar la cons- trucción de las pirámides de Egipto. El fresco de la fi- gura, descubierto en la ciu- dad de Tebas, representa el levantamiento de un muro. 1. Busca información. 2. En la página web de tu colegio o en noticias lo- cales en internet busca información de tipo esta- dístico. Planificamos UPO IÉN S BLES DORA 3. Elige algunas que te parezcan interesantes. TIC a. ¿Cómo se presentan? EN GR b. ¿Se utilizan gráficos? ¿De qué tipo? Y TAMB c. ¿Qué variables se relacionan? TIC RECORTA CALCULA Sigue los siguientes enlaces que te pueden servir de guía para elaborar tu censo: http://goo.gl/03JxGM d. ¿Qué parámetros estadísticos estudiados en esta http://goo.gl/15gmUJ unidad crees que se aplicaron para llegar a esa información? e. Con la información que te proporcionan, ¿puedes asegurar que las variables están relacionadas? 4. Realiza una encuesta para conocer datos generales de tu colegio como son:Prohibida su reproducción • Cantidad de estudiantes que estudian, por grados, por género y edades. • Cantidad de profesores y directivos. • Distancia a la que viven los estudiantes del colegio (representa en una tabla de datos agrupados en intervalos). • Cantidad de miembros de la familia de los estudiantes, etc. (Pueden incluir otros datos de interés que tu profesor te pida para completar el censo).252

desarrollamos http://goo.gl/arXcLz Actividades http://goo.gl/DgWszv5. Elabora el censo de tu colegio con toda la información recopilada: Prohibida su reproducción6. Construye, con las TIC, las tablas de frecuencias para todas las variables estadísticas utili- zadas.7. Redacta una noticia en la que se expliquen los resultados que has obtenido. Debe tener el formato de una noticia de prensa, con un título impactante, gráficos, datos, argumen- tos, conclusiones...8. Responde a las siguientes preguntas para elaborar un informe: a. ¿Conocías la utilidad de todos los contenidos estudiados en esta unidad? b. ¿Consideras que es muy útil conocer cómo hacer recuento de datos, elaborar tablas y gráficos estadísticos y calcular parámetros estadísticos? c. ¿Qué gráficos estadísticos ha sido más útil para presentar dicha información? d. ¿Crees que va a ser de gran utilidad para tu colegio este censo? e. ¿Qué decisiones futuras se pueden tomar con toda esta información recopilada? f. ¿Cuál ha sido la mayor dificultad con la que te has encontrado? ¿Qué solución le has dado? g. ¿Qué es lo que has aprendido en la realización del proyecto? —Valora tu participación en el proyecto. 253

Repasamos Unidades 4, 5, 6 1 Un auto viaja 20 km. hacia el norte, y a partir de d f c e allí 35 km. a 60º en dirección noroeste. Encuen- tra el módulo y la dirección del vector desplaza- b miento total. a 2 Una tortuga se desplaza en línea recta desde a. Indica si los vectores a, b͢ y c͢ son linealmente in- dependientes. el punto A (2, 1) hasta el punto B (5, 7). Parte del punto A y efectúa una parada cada vez que b. Expresa cada uno de los vectores d, e y f en fun- recorre del camino. ción de los vectores a͢ , b͢ y c͢ . a. ¿Qué distancia ha recorrido? c. Cualquier base del plano tiene dos, y solo dos b. ¿Cuáles son las coordenadas de los puntos vectores. ¿Cuántos vectores tendrán una base en en los que se detiene? el espacio? 3 Dado el segmento que une los puntos A (1, −1) UPO IÉN S BLES DORA y B (2, 3), determina la ecuación de la recta EN GR perpendicular al segmento y que lo corta por Y TAMB el punto medio. TIC 4 Dados los puntos A = (7, 5) y B = (−2, 4), determina RECORTA CALCULA las componentes del vector libre [(AB͢ )]. y también: a. ¿Cuál será el extremo de uno de sus represen- Utilización de ideas geométricas en la navegación, la tantes con origen en el punto C = (−1, 3)? arquitectura y el arte b. Halla las coordenadas de los puntos M, N y P La utilización de vectores no es exclusiva del ámbito que dividen al segmento AB en cuatro par- matemático. tes iguales. Los vectores son un caso particular de sistema de 5 Dados los puntos A(-1, 2) y B(2, 0) del plano, halla: coordenadas, por lo que se emplean para resolver problemas en muchos ámbitos científicos, artísticos y a. las coordenadas del vector AB͢ . tecnológicos. b. el módulo del vector AB͢ . En cartografía se hace uso de vectores, pero expre- c. Representa gráficamente el vector. sados en coordenadas distintas de las rectangulares (x, y). Se utilizan coordenadas esféricas, y se habla de 6 Un perro que busca un hueso camina 3,5 metros longitud y latitud en vez de abscisa y ordenada. En astronomía y en navegación marítima puede determi- hacia el sur, después 8,2 metros en un ángulo de narse la latitud a partir de la altura de los astros. Esta 300 al Noreste y finalmente 15 metros al Oeste. altura viene dada por el ángulo que forma con los ejes Halla el vector de desplazamiento resultante del fijos en el observador el vector que une el astro con el perro. origen de los ejes. Es de uso habitual en observación astronómica. 7 Una grúa arrastra un auto con una fuerza de Asimismo, los controladores aéreos de los aeropuertos 3000 N que forma un ángulo de 40° con la hori- utilizan vectores para describir la posición de los avio- zontal. Calcula los valores de las componentes nes en cada instante. horizontal y vertical de dicha fuerza. Al trabajar con vectores de más de dos componentes, 8 Sean los puntos P (6, 6) y Q (−2, 2). Halla las coor- pueden obtenerse las denominadas superficies regladas. denadas de un punto alineado con P y Q, y cuya distancia a Q es el triple que su distancia a P. 9 Fíjate en estos seis vectores representados en el espacio:Prohibida su reproducción http://goo.gl/ToUd0c254

10 Dados los vectores →u=(3, -2) y →v =(1, 1), calcula 21 Se sabe que →u · →v = 10, →u = (a, 3) y |→v | =4 y ángulo analítica y gráficamente: (u, v) = 60°. Halla el valor de a. a. →u + →v b. →u - →v c. 2→u d. -2→v 22 Un vector fijo tiene su origen en el punto11 Dados los vectores →u = (2,-1) y →v= (0,3), determina: A (2, −1) y es equipolente al vector CD (−1, 4). —Determina las coordenadas de su extremo y a. El módulo de los vectores →u y →v su módulo. b. El producto escalar de los vectores →u y →v c. El ángulo que forman los vectores →u y →v 23 Tres vértices consecutivos de un paralelogramo d. Un vector ortogonal a →u e. Un vector ortonormal a →u son los puntos A (1, −3), B (2, 2) y C (−3, 0). —Calcula las coordenadas del cuarto vértice.12 Dados los vectores →u= (k, -1) ylo→vs=v(e2c, t3o)redse→uterym→vi- 24 Halla el producto escalar →u · →v en los siguientes na: el valor de k para que casos: sean ortogonales. a. |→u |= 2, |→v |= 1 ; (→u ; →v ) = 60º 413 Las componentes de l→uos=v(e1c, t2o)reys→vu=y(v7 en una b. |→u|= 3, |→v | = (2, −3); (→u ; →v ) = 45º base ortonormal son + k, k). c. →u= (3, ½); →v = (-1,3) 3Ha→ull−a→veyl v2a→ulo+r→vdsoenkosratobgieonndaoleqs.ue los vectores 25 Dados los vectores →u (1, −2), →v (3, 1) y w→ (2, 0),14 Hciaólnlayusnenvetidcotocr odnetrmaróioduqluoe2→vd=e(−la3,m4i)s.ma direc- a. Calcula 3law→s coordenadas del vector 2→u − →v +15 2Lo. (s[PvAe͢ c)t]ores ([AB͢ )] y ([PA͢ )] verifican ([AB͢ )] = . b. Expresa w como combinación lineal de →u y →v. a. Halla el valor de r en la siguiente igualdad. c. Calcula los ángulos que forman dos a dos. [(PB͢ )] = r [(AP͢ )] d. Halla un vector con la misma dirección que b. Halla las coordenadas del punto P si →u y de módulo 20. A = (−1, 4) y B = (−7, 8).16 mHaallaunuánnvgeucltoorddee60m°ócdounloel2vseacbtoier nw→d=o(1q,ue3 for- 26 Halla la distancia entre los extremos del vector ). →a (-9, 40).17 Calcula el valor de a para que las rectas r: ax + 27 Halla el perímetro del triángulo ABC, cuyos (5a − 6) · y = 2a + 3y s: x + ay = a sean: vértices están en los puntos A (4, -2), B (-2, 6) y C (-8, -2) y comprueba que es isósceles. a. Paralelas b. Perpendiculares 28 Dado el punto A (3, 2), halla las coordenadas de18 Calcula el valor de m y n para que los vectores otro punto B, sabiendo que está sobre el eje de ordenadas y que dista 5 unidades del punto A →u = 1 ; m y →v = 2 ; n sean unitarios. 29 Representa los puntos A (2,-2) y B ( 2, 5.5) y 2 2 calcula la distancia que los separa.19 Halla el valor de m para que los vectores Prohibida su reproducción 30 Si →u (2, a) y →v , (1, -4) determina el valor de a para →u= (1, m) y →v = (3, 4) sean ortogonales. que:20 Dados los vectores x = (2, 3) e y = (−1, 4): a. →u y →v , sean perpendiculares; b. →u y →v , tengan el mismo módulo, a. Normalízalas. c. →u · →v , = 10. b. Halla el ángulo que forman dichos vectores. c. Halla un vector unitario y ortogonal al x. 255

Elementos en un plano 39 Halla la ecuación implícita de la recta que pasa por P (-2, 5) y es paralela al vector (-1, 3). 31 Las tres rectas r: y − 2 x = 0, s: x − 5 = 0 y t: 2 x + 3 y = 40 ¿Cuál ha de ser el valor de k para que estas dos 12 y el eje de coordenadas forman un polígono rectas sean paralelas? x + 3y - 2 = 0 kx + 2y + 3 = 0 de cuatro lados y vértices A, B, C y D. 41 Halla el área del paralelogramo de vértices a. Dibuja el polígono. b. Determina los vectores libres ([AB͢ ]), [(BC͢ )], A (1, 1), B (5, 2), C (4, 4) y D (0, 3). ([CD͢ ]) y ([DA͢ ]), y que permiten pasar de un 42 Dados los puntos P (3, 2) y Q (-2, 4), y la recta vértice cualquiera a otro vértice adyacente. r: 2x + y - 3 = 0; calcula la distancia: 32 Un objeto está atado a dos cuerdas simétrica- a. Entre P y Q. b. De P a r. mente según la figura. El objeto pesa 2 000 N (P). 43 Indica la posición de la recta r: y = −2 x − 2 respecto a. Calcula la fuerza de tensión de cada cuer- da (T) para que entre las dos cuerdas com- a cada una de las siguientes rectas: pensen el efecto de gravedad. 33 Calcula los vértices y el área del triángulo for- a. 2y = −4x − 4 c. y = −2 x − 2 mado por las siguientes rectas: r : 2x + 3y = 3 s : 6x - y = -21 t : -2x + 7y = -13 b. y = 1 x-2 d. y = - 1 x-2 2 2 34 Calcula los vértices y el área del polígono deter- 44 Dos rectas tienen la misma ordenada en el ori- minado por las rectas: gen. ¿Qué posición relativa pueden tener? r : y = 2x - 1 s : 2x - y + 3 = 0 t : 2x + 3y + 3 = 0 u : 2x y = - 3 + 3 ¿De qué polígono se trata? 45 Determina la ecuación de la recta que pasa por el 35 Calcula los vértices del cuadrado en el que punto (2, 4) y es perpendicular a la recta y = −2x−2. uno de los lados viene determinado por los a. Calcula las coordenadas del punto en el puntos A = (3, 5) y B = (9, 2). que se cortan ambas rectas. 36 Las ecuaciones de dos lados de un cuadrado 46 Dadas las rectas p, q, r y s cuyas ecuaciones res- son -x + 2y = 1 y -x + 2y = -14. Halla los vértices y pectivas son: las ecuaciones de los otros dos lados, sabiendo p: y = x q: y = x + 2 que el punto Q (-1, -5) está en uno de los lados de este cuadrado. r: x = y − 2 s: y = −x + 3 37 Calcula los vértices, lados y área del triángulo DEF. Indica cuáles son coincidentes, cuáles parale- las y cuáles secantes. y 8F 7D E 47 Halla el área del triángulo que determina la rec- 1 6 ta y 2 x +3 con los ejes de coordenadas. B 5 90º 4 3Prohibida su reproducción 2 48 Determina las coordenadas de los dos 1 puntos que se encuentran a una distan- C cia de 2 unidades de longitud del punto A (1, 2) y pertenecen a la recta y = x + 1. x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 49 La distancia entre los puntos A (1, 1) y B (4, a) 38 Dado el triángulo de vértices A (-1, -1), B (1, 4) y C es d(A, B) = 5. Calcula la pendiente de la recta (5, 2), halla las ecuaciones de sus tres medianas que pasa por A y B. y calcula el baricentro (punto de intersección de las medianas).256

50 Tres rectas se cortan en un punto y los ángulos b. Escribe la ecuación de la recta que contiene cada uno de los lados de los dos triángulos. que forman entre ellas son iguales. Sabiendo que una de las rectas es paralela al eje de las c. Halla los puntos de corte de los triángulos abscisas, calcula las pendientes de las rectas. ABC y DEF.51 De dos rectas perpendiculares, sabemos que 58 Dadas las rectas r : a x + (a - 1) y - 2 (a + 2) = 0 y una pasa por el punto A (1, 3) y forma un ángulo s : 3a x - (3a + 1) y - (5a + 4) = 0, calcula: de 45º con el eje de las abscisas y que la otra pasa por el punto B (−3, −3). Calcula las pen- a. El valor de a para que las rectas sean parale- dientes de las rectas y el punto de corte. las.52 Calcula la ecuación de la recta paralela a 3 x + b. El valor de a para que sean perpendiculares. c. Halla en este caso el punto de corte. 2 y + 6 = 0 y que pasa por el punto A (1, −1). 59 Dado el triángulo de vértices A = (- 4, 2), B = (-1,53 Determina la posición relativa de las rectas r, s y t. 6) y C = (3, -2), calcula:a. r: y = 2 x + 3 a. La ecuación canónica de la recta determi- s: y = −2 x + 3 t: 2 y = 10 x + 6 nada por el segmento BC.b. r: 2 x + y = 2 b. La altura que parte del vértice A. s: −3 y − 6 = 6 x t: y -x+1 c. La mediana que parte del vértice B, en for- 2 1 ma paramétrica.c. r: 2 x= 5 y + 4 d. El área del triángulo. e. El ángulo ACB. s: 10 y − x = −8 t: y = - x - 4 10 5 60 Determina las ecuaciones de las tres rectas que54 Calcula la ecuación de la recta que pasa por forman el siguiente triángulo rectángulo: los puntos A (−1, −1) y B (2, 5). y55 Calcula la ecuación de la recta paralela a y = −3x + 2 que pasa por el punto (3, 3).56 Indica la posición relativa de las rectas r y s. r : 0x y = x + 2 s: y = −x + 5 61 Indica la pendiente y la ordenada en el origen57 Observa esta figura: de las rectas r y t, y escribe la ecuación de cada una de ellas. y 9 C t4y 8 3 7 E F 2 6 1 5 –5 –4 –3 –2 ––110 1 2 3 4 5 6 7 8 9x –2 4 Prohibida su reproducción r –3 3 A B 2 D 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 x 62 Halla la ecuación de la recta paralela a y =2x + 3 que pasa por el punto (1, 2). Halla las coorde-a. Indica las coordenadas de los vértices de los nadas del punto en que se cortan las rectas y triángulos ABC y DEF. 1 = - 2x - 8 e y = 3 x-1 257

63 Escribe las diferentes formas de la ecuación de 72 Halla la ecuación de la recta que pasa por el pun- la recta que pasa por el punto (0, -3) y que tiene to (–7, –9), y que es paralela a la recta cuya ecua- por vector director →v = (-2, 4). ción es: y – 5x + 9 = 7. 64 Escribe la ecuación del haz de rectas de vértice 73 Demuestra que las siguientes rectas son paralelas: A = (−2, 0). la primera tiene por ecuación, 3y – 6 x – 9 = 0; la segunda pasa por los puntos (0, 7) y (–3, 1) 65 Encuentra la ecuación de la recta que pasa por 74 Demuestra que los puntos (1, 1), (5, 3), (8, 0), (1, 1) y es paralela a la recta de ecuación -3x + y = -5. (4, –2) son los vértices de un paralelogramo. 66 Indica el ángulo que forman, en cada caso, las 75 Del triángulo con vértices en los puntos (-3, 2), rectas r y s. (5, -2) y (1, 3). Determina: a. r: x – y + 2 = 0 s: − 2x − 4y + 3 = 0 a. La ecuación de cada una de las rectas que b. r: 2x + y + 2 = 0 s: − x − y + 3 = 0 lo definen. 67 Halla la recta que pasa por A = (1, −1) y es per- b. Su área. c. La ecuación de la mediatriz de cada uno de pendicular a s en cada caso: los segmentos que conforman el triángulo. a. s: 3x - 2y + 4 = 0 d. El punto de intersección de las mediatrices. e. La ecuación de cada una de sus medianas. b. s: y = -2x + 5 76 Demuestra que los siguientes puntos son vérti- c. s: x-3 = y+2 -2 3 ces de un triángulo isósceles y que en él, los án- gulos opuestos a sus lados iguales, son iguales. 68 Indica la posición relativa de las rectas r y s en A (6, 2), B (2, –3) y C (–2, 2). cada uno de los casos siguientes a. r: 2x - 3y + 4 = 0; s: -x + 3y + 2 = 0+ s: 2x + 2y - 1 = 0 b. r: -x - y + 2 = 0; s: y = 2x - 4 c. r: x-1 = y+3 ; -2 -1Prohibida su reproducción 69 Halla un punto de la recta r: x + y -1= 0 cuya 77 Determina si las siguientes rectas son perpendi- distancia al punto Q = (5, 2) sea 3 2 unidades. culares: a. La primera tiene por ecuación: y +3x – 27 = 0. 70 Dos lados opuestos de un cuadrado están so- La segunda pasa por (0, 3), y por (9, 6). bre las rectas r: 3x + 4y + 5 = 0 y s: 6x + 8y -10 = 0. b. La primera pasa por (0, 5) y (7, 19). La segun- Calcula el área del cuadrado. da pasa por (6, 0) y (–4, 5). 71 Determina la ecuación y la gráfica de la recta 78 Determina las coordenadas del punto en el que: a. Pasa por los puntos (–3, 2) y (5, 7). que se cortan las mediatrices del triángulo b. Pasa por (–1, –2), y con pendiente igual a 2. cuyos vértices se encuentran en los puntos: c. Con ordenada al origen igual a –3, y pen- (–2, 1), (4, 7) y (6, 3). diente igual a 5.258

ZONA UD. 6 FUNCIONES Y LIMITES LA ESTADÍSTICA DEL PASADO Durante siglos, el significado de la palabra estadística ha sido el de la descripción de la situación de la nación; es decir, de sus características sociales, geográficas y económicas. Según este criterio histórico, la primera noticia que se tiene sobre la elaboración de un estudio estadístico se remonta a finales del cuarto milenio antes de Cristo. En aquel tiempo, según el historiador griego Heródoto, se efectuó en Egipto un censo con el fin de preparar la construcción de las pirámides. En la Roma clásica encontramos la estadística convertida en un verdadero instrumento al servicio de la administración públi- ca. En la época imperial era común la elaboración periódica de registros tributarios, comerciales, militares. La llegada de la Edad Media supuso un retroceso de la ciencia occidental en su conjunto y, en particular, un abandono casi absoluto del interés por la estadística. Más tarde, la época re-El término estadística comparte la misma raíz que la palabra nacentista trajo consigo el desarrollo de una nueva rama de lasestado, tanto en su sentido habitual de situación como en su matemáticas que influyó de forma notable en la evolución desentido político de nación. Esta semejanza histórica no se de- esta disciplina: el cálculo de probabilidades.tiene en la forma, sino que resulta ser mucho más profunda.http://goo.gl/I3ONKS Prohibida su reproducciónLA ESTADÍSTICA MODERNAEl inglés J. Graunt publicó en 1662 su Natural and intensa relación entre la estadística y el cálculo dePolitical Observations upon the Bills of Mortality, probabilidades.considerado el primer trabajo sobre estadística de lapoblación. Estaempresaculminóen1835delamanodelastrónomo belga L. A. J. Quételet. Sus investigaciones le llevaronAlgo más tarde, en 1671, el holandés J. de Witt a la conclusión de que la información contenida enprotagonizó un importante avance en este campo grandes masas de datos podía estudiarse teniendoal incorporar a esta disciplina los trabajos sobre como modelo la distribución normal. A él se debenprobabilidad de Ch. Huygens. En esta línea, a lo también conceptos fundamentales en estadísticalargo del siglo XVIII se desarrolló una cada vez más como media o desviación. La escuela angloamericana HERRAMIENTA DE FUTUROLas ideas de L. A. J. Quételet fueron el origen de un rápido Gran parte de los logros de la estadística sedesarrollo en la aplicación de las técnicas estadísticas. derivan del interés de los científicos por de-Tienen especial relevancia los estudios del naturalista in- sarrollar modelos que expliquen los fenóme-glés F. Galton, en los que introdujo el concepto de corre- nos cotidianos.lación y los fundamentos del actual análisis de regresión. La estadística se utiliza en la investigaciónLa herencia de F. Galton se reconoce en la llamada es- científica y en la toma de decisiones bajocuela angloamericana, cuyos máximos exponentes fue- condiciones de incertidumbre y riesgo.ron K. Pearson y R. A. Fisher. En las ciencias naturales se emplea en la descripción de modelos termodinámicos complejos (mecánica estadística), en física cuántica, en mecánica de fluidos o en la teoría cinética de los gases. En las ciencias de la salud permite establecer pautas sobre la evolución de las enfermedades y los en- fermos, los índices de mortalidad asociados a procesos morbosos o el grado de eficacia de un medicamento. 259259

Un alto en el camino 1 El dominio y el recorrido de la función �(x) = + (x + 4) es: a. D (�) = [4, +∞); R (� ) = (0,+∞) b. D (f ) = (−4, +∞); R (f ) = [0, +∞) c. D (f )=[−4, +∞); R (f )= [0,+∞) 2 La función �(x) = x 2 − 4x tiene una tasa de variación media igual a 1 en el intervalo [0, m]. El valor de m es: a. 1 b. 2 c. 5 d. 4 3 Si h(x) = 11x + 2 y g(x) = 7x -3, el valor de 2 h(5) + g(5) es: x a. -24 b. 40 c. 64 d. 20 4 Relaciona la recta determinada en cada uno de los siguientes casos con su ecuación: a. Pasa por el punto A (5, 3) y tiene pendiente −2. b. Pasa por los puntos A (5, −2) y B (3, 2). c. Forma un ángulo de 45° con el sentido positivo del eje de las abscisas. d. Pasa por el punto A (5, −11) y tiene por vector director v = (−2, 4). 1. y = −2 x − 1 3. y = −2 x + 8 2. y = −2 x + 13 4. y = x + 4 5 Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Justifica tus respuestas. a. Las notas de Matemáticas de los alumnos de una clase representan una variable cualitativa. b. Las edades de las personas son variables cuantitativas discretas. c. Las tallas de ropa son variables cuantitativas continuas. d. Las variables cualitativas son siempre variables discretas.Prohibida su reproducción 6 La relación entre los cuartiles y los percentiles es: a. Q1 = P25 y Q3 = P75 b. Q1 = P10 y Q3 = P30 c. Q1 = P75 y Q3 = P25 7 La ecuación de la recta tangente a la curva y = x2 - 3x + 6 en x = -2 es: a. -7x + 8y +18 = 0 b. 7x + 8y - 18 = 0 c. y = 7x + 18 8260

8 Asocia cada función con su derivada: A B x3-xa. �(x) = -2x4 + x -3x2−8x+8 (x2+2x)2b. �(x) = 2x3 − 5x + 12 6x-5 - 8x3 +1c. �(x) = 2x − 4 x2 + 2x c. h (x) ∘ g (x) d. �(x)= (x2 - 1)9 Si h(x) = (3x2 + 2x) y g(x) = 12x +5, Halla:a. g (x) - 2h (x) b. g (x)+ h (x) d. (h ∘ g) (4)10 Calcula la derivada de las siguientes funciones:a. �(x) = (3x + 5)4 b. �(x) = ln (4x2 + 2) c. �(x) = esen xEncuentra el valor de a para que las rectas r: a x + (5a − 6) ×y = 2a + 3 s: x + ay = ay sean:a. Paralelasb. Perpendiculares11 Un cartero tiene un recorrido como se 12 En un almacén se hace un inventario y muestra en el diagrama. Halla analítica- se pesan todos los paquetes que hay. La mente el desplazamiento resultante, en siguiente tabla recoge los resultados: módulo, dirección y sentido. a. ¿Cuántas clases Peso Paquetes Prohibida su reproducción se utilizaron? 0 ≤ x ≤ 10 32 10 ≤ x ≤ 20 25 b. ¿Cuál fue la am- 20 ≤ x ≤ 30 11 plitud de clase 30 ≤ x ≤ 40 7 utilizada? 40 ≤ x ≤ 50 1 c. ¿Cuántos paque- tes pesan menos de 20 kg? d. Calcula el peso promedio de los pa- quetes. e. Determina la clase modal y clase me- diana de los pesos. 261

Prohibida su reproducción Bibliografía — ALSINA, C. TRILLAS, E. (1996). Lecciones de álgebra y geometría. Barcelona: Ed. Gustavo Gili. — APÓSTOL, T. M. (1999). Calculus (2 vol.). Barcelona: Ed. Reverté, 2.ª edición. — BARTLE, R. G y SHERBERT, D. R. (1996). Introducción al análisis matemático de una variable. Ciudad de México: Ed. Limusa, 2.ª edición. — BERNIS, F., MALET, A. y MOLINAS, C. (1999). Curso de problemas de matemáticas. Madrid: Ed. Noguer. — BOYER, C. B. (2003). Historia de la matemática. Madrid. Alianza editorial. — COURANT, R. y ROBBINS, H. (1979). ¿Qué es la matemática? Madrid: Ed. Aguilar. — CUADRAS, C. M. (1999). Problemas de probabilidades y estadística. 2 vol. Barcelona: PPU. — Colección «Matemáticas: cultura y aprendizaje». Madrid: Ed. Síntesis. — DE GUZMÁN, M. (1991). Para pensar mejor. Barcelona: Ed. Labor. — GRANDVILLE, W. A. (2009). Cálculo diferencial e integral. Limusa. — HUSSING, H. y ARNOLD, W. (1989). Biografías de grandes matemáticos. Zaragoza: Prensas Universitarias de Zaragoza. 262