Modul Suplemen KB3 PGSD Matematika

MODUL SUPLEMEN PPG PGSD KEGIATAN BELAJAR 3 MATEMATIKA KB 3 PGSD Matematika 164

MODUL SUPLEMEN PPG PGSD KEGIATAN BELAJAR 3 MATEMATIKA Penulis: Dr. Farida Nurhasanah, M.Pd. Dra. Maratun Nafiah, M.Pd Ardhi Prabowo, M.Pd. Penelaah: Dr. Iva Sarifah, M.P.d Dyah Worowirastri Ekowati, M.Pd. Diyah Ayuning Tyas, M.Pd. Cicik Novita, S.Pd. Copyright © 2020 Direktorat Pendidikan Profesi dan Pembinaan Guru dan Tenaga Kependidikan Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang Dilarang mengcopy sebagian atau keseluruhan isi buku ini untuk kepentingan komersial tanpa izin tertulis dari Kementerian Pendidikan Kebudayaan. KB 3 PGSD Matematika 165

DAFTAR ISI A. Pendahuluan .........................................................................................................167 1. Deskripsi Singkat...............................................................................................167 2. Manual Prosedur Penggunaan Modul..............................................................168 B. Kompetensi Inti .....................................................................................................168 1. Capaian Pemelajaran........................................................................................168 2. Petunjuk Belajar (Aktivitas Pengalaman Belajar) .............................................169 C. Advanced Material untuk Matematika .................................................................170 1. Sistem Bilangan ................................................................................................171 a. Himpunan Bilangan Asli dan Bilangan Bulat................................................171 b. Himpunan Bilangan Rasional .......................................................................174 c. Himpunan Bilangan Irasional.......................................................................175 d. Himpunan Bilangan Komplek ......................................................................178 e. Number Sense dan Pola Bilangan ................................................................179 2. Sistem Koordinat ..............................................................................................181 a. Sistem Koordinat Kartesius..........................................................................183 b. Translasi, Refleksi, Rotasi, dan Dilatasi........................................................186 c. Sistem Koordinat Paralel .............................................................................189 d. Sistem Koordinat Paralel Dimensi Dua ........................................................190 e. Dualitas garis dengan Gradien 1..................................................................196 3. Rasio dan Proporsi............................................................................................199 a. Rasio.............................................................................................................200 b. Proporsi........................................................................................................202 c. Unitisasi dan Penalaran Spasial ...................................................................204 4. Statistik .............................................................................................................207 a. Interpretasi Grafik........................................................................................208 b. Pengambilan Putusan Berdasarkan Interpretasi Grafik ..............................217 D. Telaah Kasus..........................................................................................................219 1. Kasus 1..............................................................................................................219 2. Kasus 2..............................................................................................................219 3. Kasus 3..............................................................................................................220 E. Penutup .................................................................................................................220 1. Rangkuman.......................................................................................................220 2. Tes Formatif......................................................................................................221 3. Refleksi .............................................................................................................229 4. Sumber Rujukan ...............................................................................................229 KB 3 PGSD Matematika 166

A. Pendahuluan 1. Deskripsi Singkat KB 3 disusun dengan tujuan untuk memberikan wawasan yang lebih luas atas materi pada modul matematika yang sudah Saudara pelajari. KB 3 ini terdiri dari 5 topik. Masing-masing topik akan dibagi menjadi beberapa sub Kegiatan Belajar. KB matematika ini disusun agar Saudara dapat memiliki kemampuan matematis yang lebih luas dari materi yang disampaikan untuk siswa Sekolah Dasar (SD). Pemahaman yang komprehensif atas materi matematika, khususnya pada konsep-konsep dasar akan membantu Saudara untuk merancang proses pembelajaran yang lebih kreatif dan menghindarkan Saudara bersifat dogmatik dalam mengajarkan konsep-konsep matematika untuk siswa Sekolah Dasar. Berdasarkan pengalaman di kelas-kelas, sering kali guru mengajarkan matematika hanya sebagai sekumpulan rumus yang harus dihafal oleh siswa, padahal rumus merupakan bentuk paling akhir sebagai hasil berpikir matematis. Matematika seharusnya diajarkan melalui proses abstraksi dan menalar yang tentunya melibatkan proses representasi, koneksi, dan komunikasi, hingga akhirnya siswa dapat melakukan pembuktian dan penyelesaian masalah-masalah menggunakan konsep-konsep matematika yang sudah dikonstruksi oleh mereka. Berikut adalah daftar sub KB dalam Advanced Material untuk matematika: Sistem Bilangan: a. Sistem Himpunan Bilangan b. Pola Bilangan dan Number Sense Rasio dan Perbandingan a. Kasus penjumlahan b. Kasus perkalian c. Representasi dalam Rasio dan Perbandingan KB 3 PGSD Matematika 167

Geometri Analitik dan Koordinat Paralel a. Koordinat Kartesius b. Geometri Transformasi c. Koordinat Paralel Statistik a. Interpretasi grafik b. Pengambilan Putusan berdasarkan intrepretasi Grafik 2. Manual Prosedur Penggunaan Modul Kompetensi yang ingin dicapai dari KB 3 ini antara lain: a. Peseta dapat membuat hubungan antar himpunan sistem bilangan. b. Peserta dapat melakukan penalaran proposional dalam mempelajari konsep rasio dan perbandingan. c. Peserta menguasai konsep koordinat parallel. d. Peserta memahami perbedaan makna grafik dan diagram serta mampu mengaplikasikannya untuk memecahkan masalah. e. Peserta mampu menginterpretasikan grafik. B. Kompetensi Inti 1. Capaian Pembelajaran Setelah mempelajari modul ini Saudara diharapkan dapat memenuhi capaian pembelajaran sebagai beriku: a. Menguasai konsep teoretis matematika yang lebih tinggi dari materi matematika yang diajarkan di Sekolah Dasar. b. Memanfaatkan konsep-konsep matematika lanjutan untuk merancang pembelajaran matematika sekolah di tingkat Sekolah Dasar. c. Menguasai pengetahuan konseptual dan prosedural serta keterkaitan keduanya pada topik Bilangan, Geometri Analitik, Statistika, dan Rasio dan Perbandingan. KB 3 PGSD Matematika 168

d. Mampu menggunakan konsep-konsep matematika tingkat lanjut untuk memecahkan masalah matematika dan untuk menciptakan masalah-masalah matematika dalam proses pembelajaran di kelas. e. Menerapkan konsep berpikir proporsional dalam mengajarkan konsep rasio dan perbandingan, meliputi kasus penjumlahan, kasus perkalian, dan representasi dalam rasio dan perbandingan. f. Menginterpretasi beragam data yang disajikan dalam bentuk grafik. g. Membuat grafik baru menggunakan data yang berasal dari grafik yang sudah ada. h. Menganalisis data yang diperoleh dari suatu grafik. 2. Petunjuk Belajar (Aktivitas Pengalaman Belajar) Modul ini dirancang untuk memicu proses belajar aktif melalui aktivitas 5M yaitu Mengamati, Menanya, Mencoba, Menalar, dan Mengkomunikasikan. Salah satu penentu keberhasilan Saudara dalam memahami modul ini adalah ketekunan Saudara dalam melakukan kelima aktivitas tersebut yang akan tercantum dalam setiap sub KB nanti. Pada KB 3 ini, kelima aktivitas tersebut tidak selalu muncul berurutan, kemunculannya sesuai dengan konteks materi pada tiap-tiap sub Kegiatan Belajar. Aktivitas 5M dalam modul ini ditulis dalam huruf tebal. Pada bagian akhir modul terdapat analisis kasus dan tes formatif sebagai sarana refleksi bagi Saudara untuk mengetahui sejauh mana keberhasilan Saudara dalam memahami isi dari modul ini. Selanjutnya sub capaian pembelajaran dan indikator esensial sebagai berikut: a. Menganalisis hubungan antara himpunan bilangan asli, bulat, cacah, rasional, irasional, real, dan kompleks. b. Mencari hasil dari translasi, refleksi, rotasi dan dilatasi suatu objek. c. Menggunakan konsep Koordinat Kartesius untuk membangun konsep Koordinat Paralel. KB 3 PGSD Matematika 169

d. Mengindentifikasi karakterisktik representasi objek pada dimensi yang berbeda. e. Menentukan dualitas suatu titik pada Koordinat Paralel. f. Menentukan dualitas suatu garis pada Koordinat Paralel. g. Menerapkan prinsip rasio dan perbandingan pada kasus penjumlahan. h. Menerapkan prinsip rasio dan perbandingan pada kasus perkalian. i. Menginterpretasikan grafik. j. Mengambil keputusan berdasarkan hasil interpretasi Grafik. k. Memecahkan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan materi rasio. l. Memecahkan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan materi perbandingan. m. Memecahkan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan materi statistik. C. Advanced Material untuk Matematika Saat ini sedang riuh ramai berita tentang wabah virus Corona yang berasal dari Wuhan. Terkait dengan isu tersebut, beberapa peneliti sempat meragukan kondisi di Indonesia seperti diberitakan pada link berita berikut: https://www.youtube.com /watch?v=5aZu14zpjro. Gambar 1. Tampilan Real Count Kasus virus Corona Sumber: https://systems.jhu.edu/research/public-health/ncov/ KB 3 PGSD Matematika 170

Perhatikan bahwa pada gambar tersebut, terlihat bagaimana banyak jumlah penderita yang terjangkit virus Corona pada suatu hari dibulan Februari tahun 2020. Angka-angka yang tertera pada laman Real Count tersebut memberikan informasi yang amat berharga tentang penyebaran penderita yang terjangkit virus Corona diwaktu “sekarang”. Topik ini dapat dibawa untuk mengajak siswa mengenal konsep waktu yang terus berjalan mengikuti pola bilangan Asli, bertambah satu setiap satuan waktu. Selain itu bisa juga digunakan untuk menjelaskan konsep waktu masa lampau, masa kini, dan masa lalu yang dihubungkan dengan konsep himpunan bilangan Real. 1. Sistem Bilangan (Aktivitas Belajar Mengamati: Melakukan Pengamatan dengan Membaca Materi Berikut) Pada modul PPG sebelumnya Saudara telah mempelajari materi tentang macam-macam bilangan. Pada modul sebelumnya belum dibahas bagaimana hubungan-hubungan antara macam-macam himpunan bilangan tersebut. Berikut akan dibahas topik himpunan bilangan asli, himpunan bilangan bulat, himpunan bilangan cacah, himpunan bilangan rasional, himpunan bilangan irasional, himpunan bilangan real, dan himpunan bilangan komplek. a. Himpunan Bilangan Asli dan Bilangan Bulat Himpunan bilangan asli biasanya yang pertama kali dikenalkan pada peserta didik tingkat sekolah dasar untuk membilang, mengurutkan, dan menghitung berbagai objek yang konkrit seperti benda-benda yang dapat dilihat dan dimanipulasi. Bilangan asli bermula dari kebutuhan manusia untuk membilang objek-objek yang berada di sekitarnya, kemudian berkembang menjadi konsep himpunan bilangan asli yang dapat digunakan untuk membilang objek. Membilang objek secara matematis adalah proses membuat korespondensi satu-satu antara objek yang dihitung dengan anggota himpunan bilangan asli. KB 3 PGSD Matematika 171

Bayangkanlah bagaimana situasi ketika mata uang belum ditemukan, bagaimana transaksi dapat dilakukan dalam kegiatan sosial seperti berjualan? Keberadaan konsep bilangan asli memungkinkan manusia memanfaatkan mata uang sehingga dapat digunakan sebagai alat tukar yang memiliki nilai setara. Nilai uang yang besar pun dapat diwakili hanya dengan selembar kertas saja dan masih dapat dijumlah, dibagi, dikali atau dikurangkan. Konsep bilangan asli kemudian dikembangkan secara formal dalam bentuk ide matematis berupa himpunan bilangan asli. himpunan bilangan asli dinotasikan dengan huruf kapital N, yang berasal dari kata “Natural” dan anggota seluruh himpunan bilangan asli ditulis dengan notasi sebagai berikut: N = 1,2,3,... Selain definisi tersebut ada pula yang mendefinisikan himpunan bilangan asli sebagai himpunan bilangan bulat positif yang anggotanya di mulai dari 1 dan seterusnya. Terdapat dua karakteristik utama dari himpunan bilangan asli yaitu: 1)“1” adalah bilangan pertama dari bilangan asli dan bilangan-bilangan lain pada himpunan bilangan asli diperoleh dengan menambahkan “1” dari bilangan sebelumnya. 2)Ketika dua atau lebih bilangan asli dioperasikan dengan operasi pengurangan atau pembagian, hasilnya tidak selalu anggota dari himpunan bilangan asli. Berdasarkan hal tersebut, himpunan bilangan asli tidak tertutup terhadap operasi pengurangan dan pembagian namun memiliki sifat tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian. Rupanya himpunan bilangan asli saja tidak cukup untuk menyatakan berbagai situasi dalam kehidupan sehari-hari. Contohnya, situasi ketika seseorang tidak memiliki uang sama sekali tidak dapat direpresentasikan dengan sebuah bilangan asli. Perhatikan pula pada sistem bilangan Romawi, operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian KB 3 PGSD Matematika 172

dan pembagian sulit dilakukan karena tidak terdapat “Bilangan nol (0)”. Situasi tersebut rupanya dapat diselesaikan oleh bangsa Arab-Hindu melalui sebuah bilangan, yaitu “nol”. Secara formal, ketika nol ditambahkan ke dalam himpunan bilangan asli maka himpunan tersebut menjadi himpunan bilangan cacah, dalam Bahasa Inggris dikenal dengan istilah “Whole Numbers”. Seluruh anggota himpunan bilangan cacah disimbolkan dengan huruf kapital W dan biasanya ditulis dengan notasi sebagai berikut: W = 0,1,2,3,... Perhatikan bahwa ketika ternyata himpunan bilangan cacah saja masih belum cukup untuk merepresentasikan situasi nyata, seperti kedalaman air laut, lalu keadaan suhu pada daerah dengan empat musim, khususnya di musim salju, saat suhu jatuh hingga dibawah nol derajat, sehingga muncullah konsep bilangan bulat negatif. Himpunan bilangan cacah yang ditambahkan dengan konsep bilangan negatif akan membentuk himpunan bilangan bulat, dalam Bahasa Inggris dikenal dengan istilah “Integers Numbers”. Himpunan bilangan bulat disimbolkan dengan huruf kapital “Z” yang berasal dari kata Zahlen bahasa Jerman yang memiliki arti “menghitung” biasanya direpresentasikan dengan simbol berikut:  = ...,−3,−2,−1,0,1,2,3... Himpunan bilangan bulat memiliki sifat tertutup terhadap operasi penjumlahan, pengurangan dan perkalian, namun tidak tertutup terhadap operasi pembagian. Pembagian dua bilangan bulat tidak selalu merupakan anggota himpunan bilangan bulat. Himpunan bilangan asli dan himpunan bilangan bulat seringkali direpresentasikan dalam bentuk diagram garis, sedangkan bilangan-bilangan asli ataupun bilangan bulat seringkali direpresentasikan dalam bentuk gambar untuk siswa-siswa SD khususnya kelas awal sebelum dikenalkan dalam bentuk simbol matematis berupa angka. KB 3 PGSD Matematika 173

Setelah mempelajari materi himpunan bilangan bulat dan himpunan bilangan asli di atas, dapatkah Saudara menjelaskan perbedaan pengertian antara himpunan bilangan dan Bilangan? Lalu apa perbedaan antara himpunan bilangan bulat dan himpunan bilangan asli? (Aktivitas Menanya) b. Himpunan Bilangan Rasional Sebelum mulai mempelajari topik himpunan bilangan rasional, jawablah pertayaan berikut: Adakah himpunan bilangan pecahan? (Aktivitas Menanya) Perhatikanlah, bagaimana kasusnya jika seorang anak ingin membagi 5 buah apel untuk 7 orang? Keberadaan himpunan bilangan bulat ternyata tidak cukup untuk merepresentasikan konsep pembagian dua bilangan bulat, hasil bagi dua bilangan bulat, tidak selalu merupakan anggota dari himpunan bilangan bulat, sebagai contohnya adalah 2 dibagi 3, atau 7 dibagi 5, dan lainnya, sehingga muncul konsep himpunan bilangan rasional. Himpunan bilangan rasional adalah semua bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a , dengan a dan b adalah anggota himpunan b bilangan bulat, dan b  0 . Perhatikan bahwa dengan definisi tersebut, maka tentu saja semua bilangan bulat merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan rasional. Dapatkah Saudara menjelaskan pernyataan tersebut? Mengapa dalam denifinisi tersebut nilai b tidak boleh sama dengan nol? Tuliskan KB 3 PGSD Matematika 174

jawaban Saudara dalam bentuk paragraf lalu diskusikan dengan sesama rekan guru (Aktivitas Menalar) Sebagai sumber rujukan tentang pembagian dengan nol, Saudara dapat membaca artikel pada tautan berikut: https://hasanahworld.wordpress.com/2008/05/27/ pembagian-dengan-nol/ Jika Saudara kesulitan dalam menjawab pertanyaan tersebut, cobalah Saudara mencari seluruh kemungkinan menyatakan himpunan bilangan bulat dengan menggunakan definisi tersebut. Contohnya adalah 5 anggota himpunan bilangan bulat, 5 dapat dinyatakan dalam bentuk 10 , dengan 10 dan 2 adalah anggota himpunan bilangan bulat. 2 Silahkan mencoba untuk kemungkinan-kemungkinan lain seperti bilangan bulat negatif dan 0! ( Aktivitas Mencoba) Bilangan rasional tidak memiliki bentuk representasi tunggal. Perhatikan bahwa 1 = 2 = 3 = 4 dan seterusnya. Selain itu, ketika sebuah bilangan 2468 rasional yang dinotasikan dengan bentuk a direpresentasikan pada b garis bilangan maka asumsinya secara tidak tertulis harus disepakati bahwa b  0 dan faktor persekutuan terbesar dari a dan b haruslah 1, dapat ditulis sebagai FPB (a,b) =1. Hal ini berakibat hanya akan ada satu representasi atas bilangan 1 pada garis bilangan. 2 c. Himpunan Bilangan Irasional Sebelum mempelajari himpunan bilangan irasional, perhatikan kasus berikut: KB 3 PGSD Matematika 175

ABC adalah segitiga siku-siku dengan panjang sisi AB dan BC 1 satuan panjang. Berapakah panjang sisi AC? A BC Gambar 2. Segitiga ABC Tentu saja tidak sulit bagi Saudara untuk menentukan panjang AC, panjangnya adalah 2 satuan panjang. Dapatkah Saudara menyajikan 2 dalam bentuk a dengan b  0 dan a dan b anggota b himpunan bilangan bulat, dapat ditulis sebagai FPB (a,b) =1? Diskusikanlah permasalahan tersebut dengan rekan-rekan Saudara! (Aktivitas: Interaksi) Setelah memperoleh hasil diskusi sebelumnya, perhatikan garis bilangan pada gambar berikut: 0 Gambar 3. Garis Bilangan Perhatikan, apakah seluruh bilangan pada garis bilangan tersebut sudah masuk semua sebagai anggota himpunan bilangan rasional? atau masih adakah kemungkinan bilangan-bilangan pada garis bilangan yang belum menjadi anggota dari himpunan bilangan rasional? Perhatikan, seandainya diambil sebuah bilangan dari diagram garis tersebut, misal 0.10110111011110,..... dapatkah Saudara menuliskan bilangan tersebut KB 3 PGSD Matematika 176

dalam bentuk a dengan a dan b anggota himpunan bilangan bulat b dan b  0 ? (Aktivitas Menalar) Ternyata tidak semua bilangan pada garis bilangan tersebut merupakan anggota himpunan bilangan rasional! Rupanya ada banyak bilangan yang ternyata tidak dapat direpresentasikan sesuai dengan definisi bilangan rasional. Bilangan-bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk a dengan b a dan b anggota himpunan bilangan bulat dan b  0 disebut dengan bilangan irasional. Gabungan antara himpunan bilangan rasional dan bilangan irasional membentuk himpunan bilangan riil (real). Setiap bilangan riil direpresentasikan secara tunggal pada garis bilangan dan berlaku pula sebaliknya setiap titik pada garis bilangan merepresentasikan sebuah bilangan riil. Pertanyaan menarik adalah, jika semua bilangan rill memiliki representasi tunggal pada garis bilangan, bagaimana caranya menentukan titik yang mewakili bilangan irasional seperti 2 dan 3 ? tuliskan jawaban Saudara dan tukarkan dengan teman Saudara! (Aktivitas: Mencoba, Menalar,dan Mengkomunikasikan) Himpunan bilangan riil merupakan salah satu konsep yang amat mendasar dan penting dalam matematika sehingga ada mata kuliah “Analisis Real” yang berisi konsep-konsep matematika yang sangat abstrak namun sesungguhnya banyak sekali aplikasinya dalam kehidupan sehari-hari seperti yang dituliskan pada salah satu artikel pada tautan berikut: https://hasanahworld.wordpress.com/2008/07/01/real-analysis-in-the-r eal-world/ KB 3 PGSD Matematika 177

d. Himpunan Bilangan Komplek Coba Saudara pikirkan, Adakah bilangan lain yang belum termuat dalam himpunan bilangan riil? (Aktifitas Menanya) Perhatikan bagaimana menentukan penyelesaian nilai x dari persamaan matematis berikut: x2 = −4 Tentu saja penyelesaian dari persamaan tersebut adalah x yang bukan anggota himpunan bilangan real. Bilangan tersebut merupakan anggota dari himpunan bilangan kompleks, yaitu himpunan dari bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a + ib dengan a dan b adalah anggota himpunan bilangan riil, dan i = −1 , sehingga persamaan tersebut akan memiliki penyelesaian x = 2i . Silahkan diskusikan mengapa hasilnya sama dengan 2i (Aktivitas : Menalar dan Diskusi) Setelah Saudara membaca dan memahami materi tersebut, coba Saudara buat contoh-contoh lain anggota dari himpunan bilangan kompleks! (Aktifitas: Menalar) Selesai memahami himpunan-himpunan bilangan, hubungan antar himpunan tersebut dapat direpresentasikan dalam ilustrasi Gambar 4 berikut: KB 3 PGSD Matematika 178

Gambar 4. Hubungan antar Himpunan Bilangan Sumber: https://www.ck12.org/trigonometry/complex-numbers/lesson/Defining- Complex-Numbers-ALG-II/ Jelaskan hasil interpretasi dari gambar tersebut, kemudian tuliskan dalam kalimat Saudara sendiri! (Aktivitas: menalar dan mengkomunikasikan) e. Number Sense dan Pola Bilangan Pada ranah pendidikan matematika, istilah “Number Sense” sebenarnya sulit untuk didefinisikan secara ketat, namun sering kali dimaknai sebagai suatu intuisi dalam memahami bilangan-bilangan terkait dengan besaran, hubungan, dan bagaimana keduanya dipengaruhi oleh operasi untuk menyelesaikan masalah yang tidak dibatasi oleh prosedur tradisional (Gersten & Chard, 1999). Salah satu langkah awal dalam mengembangkan kemampuan Number Sense dapat dimulai dengan teknik subitasi. Subitasi adalah kemampun secara tepat, akurat, dan percaya diri dalam membilang objek (Clement, 1999). Perhatikan ilustrasi berikut! Tanpa membilang satu persatu objek pada gambar berikut, dapatkah Saudara menghitung banyaknya persegi dalam Gambar (1), (2), dan (3) KB 3 PGSD Matematika 179

di bawah ini? Representasi mana yang paling mudah digunakan? (Aktivitas: Melakukan) (1) (2) (3) Gambar 5. Representasi Bilangan Menggunakan Gambar Berpola Tentu dengan mudah Saudara dapat mengetahui banyaknya persegi dalam gambar tersebut dengan mudah tanpa menghitung satu per satu. Itu adalah contoh dari teknik subitasi dalam merepresentasikan bilangan 7 dengan memanfaatkan hubungan 7 = 6+1 dan 7 = 5+2 menggunakan gambar berpola yang mudah dikenal. Berikut ini adalah link untuk memperoleh Dot Card yang dapat digunakan untuk membangun Number Sense siswa: http://youngmathematicians.edc.org/wp-content /uploads/2016/05/Subitizing-challenges-more-cards_2_2_18.pdf dan http://young mathematicians.edc.org/wp-content/uploads/2016/05/DotCards_Doub le-size_2_2_18.pdf Unduhlah kartu tersebut lalu rancanglah suatu kegiatan pembelajaran menggunakan kartu-kartu yang sudah Saudara unduh untuk membangun “Number Sense” siswa kemudian diskusikan dengan rekan Saudara! (Aktivitas: Mencoba) Pada dasarnya Subitasi hanya salah satu teknik saja untuk membangun kemampuan “Number Sense” Siswa masih terdapat berbagai cara lain KB 3 PGSD Matematika 180

yang dapat dilakukan antara lain mengindetifikasi hubungan antar bilangan, seperti 5 dan 10 atau 10 dan 20, melakukan estimasi dan pengukuran dan lainnya (Van de Walle, 2012). Selain operasi hitung dasar, sumber permainan yang juga sangat menyenangkan adalah Pola Bilangan. Siswa yang terbiasa berpikir matematis seharusnya peka akan pola-pola, selain itu mencari pola sangat bermanfaat untuk proses generalisasi yang juga merupakan salah satu strategi pemecahan masalah dalam matematika. Pola bilangan dapat diperoleh dengan melakukan eksperimentasi seperti pada kegiatan berikut: Lakukanlah praktek dengan menggunakan selembar kertas. Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut: (Aktivitas: Mencoba) 1. Lipat kertas sekali, kemudian buka kembali dan catat banyak daerah yang terjadi. 2. Lipat kembali kertas tersebut untuk mendapatkan banyak daerah maksimum yang mungkin terjadi. 3. Ingat untuk membuka lipatan sebelum membuat lipatan yang baru dan selalu lipat untuk mendapatkan banyak daerah maksimum yang mungkin terbentuk, dokumentasikanlah hasilnya. 4. Bagimanakah rumus umum untuk menentukan banyak daerah maksimum yang terbentuk untuk n lipatan? Tuliskan hasil eksperimentasi Saudara, kemudian berbagilah dan diskusikan dengan rekan Saudara! (Aktivitas: Interaksi dan komunikasi) 2. Sistem Koordinat KB 3 PGSD Matematika 181

Sebelum Saudara mempelajari materi Sistem Koordinat, silahkan saksikan tanyangan yang terdapat pada link berikut ini: https://www.spacex.com/about Gambar 6. Falcon 9 Mendarat kembali pada Landasan Sumber gambar: Okezone https://techno.okezone.com/read/2016/05/24/56/1396820/roket-spacex-ke mbali-jalani-uji-coba-pendaratan Link video dan gambar tersebut berisi informasi tentang sebuah perusahaan yang bergerak pada bidang pesawat antariksa. Perusahaan Space X sedang mengembangkan bisnis yang paling inovatif pada abad ini, yaitu wisata ke luar angkasa. Untuk mewujudkan hal tersebut mereka mengembangkan teknologi berupa roket yang dapat digunakan kembali, Falcon 9. Dapatkah Saudara bayangkan bagaimana besarnya peranan konsep “koordinat” sebagai salah satu konsep penting dalam proses pengembangan roket tersebut? karena roket tersebut harus dapat mendarat kembali pada landasan yang telah ditentukan koordinatnya di bumi seetelah berkeliling di angkasa luar yang tidak terbatas. Menurut Saudara apakah cara menentukan koordinat di bumi sama dengan cara menentukan koordinat di luar angkasa? Selain “koordinat”, konsep-konsep dalam Geometri Transformasi seperti translasi, KB 3 PGSD Matematika 182

refleki, rotasi dan dilatasi tentunya juga dibutuhkan dalam proses pengembangan teknologi seperti yang dilakukan oleh Space-X. a. Sistem Koordinat Kartesius Selama ini, Saudara pasti sudah sangat familier dengan sistem koordinat yang biasa digunakan yaitu sistem koordinat Kartesius. Sistem koordinat Kartesius dapat merepresentasikan hubungan antar variabel untuk dimensi satu hingga tiga. Pada dimensi satu sebuah bilangan tunggal merepresentasikan titik pada sebuah garis, sedangkan pada dimensi dua, sebuah pasangan bilangan merepresentasikan sebuah titik, selanjutnya tripel bilangan merepresentasikan sebuah titik pada dimensi tiga. “Pada sistem koordinat Kartesius setiap pasangan berurutan dari bilangan Real dinyatakan dengan satu dan hanya satu titik pada bidang koordinat, dan setiap titik pada bidang koordinat berkorespondensi satu dan hanya satu pasangan berurutan dari bilangan real” Setelah membaca kalimat dalam tanda petik tersebut, apa yang dapat Saudara pahami? Tuliskan interpretasi dari kalimat tersebut, kemudian diskusikan dengan rekan Saudara! (Aktivitas: Menalar) Sebuah garis bilangan dengan satuan panjang tertentu, dan sebuah titik merupakan komponen pada dimensi satu. Sistem koordinat Kartesius pada dimensi dua memiliki dua sumbu, yaitu sumbu vertikal dinotasikan dengan huruf Y dan sumbu horizontal dinotasikan dengan huruf X, keduanya berpotongan tegak lurus di titik Asal O. KB 3 PGSD Matematika 183

Kuadran II Y Q(- x,y) Kuadran I P(x,y) O x R(-x,-y) S(x,-y) Kuadran IV Kuadran III Gambar 7. Representasi Titik pada Koordinat Kartesius Dimensi Dua Sebuah titik P dalam koordinat Kartesius yang berjarak x dari sumbu Y dan y dari sumbu X biasanya dinotasikan dengan P(x,y), x dan y anggota bilangan Real. Titik O(0,0) berada tepat di perpotongan sumbu X dan sumbu Y, membagi sumbu-sumbu tersebut menjadi dua bagian, yaitu bagian yang bernilai positif dan bagian yang bernilai negatif sehingga sistem koordinat Kartesius memiliki empat daerah yang berbeda yang disebut sebagai kuadran. Kuadran I terletak pada daerah ketika nilai x > 0 dan y > 0, kuadran II terletak pada daerah ketika x < 0 dan y > 0, kuadran III terletak pada daerah ketika x < 0 dan y < 0, dan kuadran IV terletak pada daerah ketika x > 0 dan y < 0. Sistem koordinat Kartesius dimensi tiga memiliki tiga sumbu yang berpotongan saling tegak lurus di titik O. Sebuah titik P yang berjarak y dari bidang XOZ, berjarak x dari bidang YOZ, dan berjarak z dari bidang XOY dinotasikan dengan P(x, y, z) seperti pada Gambar 8 berikut: KB 3 PGSD Matematika 184

Z P(x,y, z) OY X Gambar 8. Representasi Titik pada Koordinat Kartesius Dimensi Tiga Sistem koordinat Kartesius yang ditemukan oleh Rene Descartes, seorang berkebangsaan Perancis yang hidup dari tahun 1596 hingga 1650, merupakan suatu terobosan yang sangat bermanfaat dalam mempelajari Geometri melalui sudut pandang Aljabar. Sayangnya, sistem koordinat Kartesius hanya dapat memvisualisasikan hubungan antar variabel hingga dimensi tiga saja sehingga Geometri multidimensi hanya dapat dipelajari melalui persamaan-persamaan dan interpretasi geometrisnya saja tanpa visualisasi yang memadai. Dapatkah Saudara membayangkan bagaimana merepresentasikan objek pada Dimensi empat, lima, atau dimensi n? (Aktivitas: Menanya) Alfred Inselberg, seorang matematikawan yang menyukai geometri, merasa perlu mengembangkan suatu sistem koordinat yang dapat memvisualisasikan hubungan antar variabel pada dimensi yang lebih tinggi. Terinspirasi dari monograf yang tulis D’Ocagne (1885) yang membahas tentang Koordinat Paralel pada dimensi dua, Inselberg (1977) mengembangkan konsep tersebut menjadi sebuah sistem koordinat yang dapat digunakan untuk memvisualisasikan geometri multidimensi. Sistem koordinat tersebut dinamakan “Sistem Koordinat Paralel”. KB 3 PGSD Matematika 185

b. Translasi, Refleksi, Rotasi, dan Dilatasi Sebelum mempelajari konsep Koordinat Paralel, Saudara perlu mengingat kembali konsep translasi, refleksi, dilatasi dan rotasi objek pada bidang Kartesius, topik ini merupakan bagian dari transformasi geometri. Translasi adalah pergeseran suatu objek dari suatu posisi ke posisi yang lain dengan jarak tertentu. Penentuan hasil translasi suatu objek cukup sederhana yaitu, menambahkan absis dan ordinat sesuai dengan jarak yang telah ditentukan. Berikut ini adalah contoh pergeseran sebuah segitiga dengan titik koordinat A(1,1), B (3,2) dan C(1,5) yang ditranslasikan sejauh 7 satuan ke arah kanan dan 1 satuan ke atas sehingga menghasilkan A’(8,2), B’(10,3) dan C’(8,6)! 8 6 B C' C 5 B' A' 4 10 2 A Gambar 9. Hasil Translasi Segitiga Berdasarkan contoh di atas, cobalah Saudara mencari hasil translasi dari segitiga ABC dengan aturan 5 satuan ke kiri dan 4 satuan ke bawah, kemudian carilah informasi bagaimana cara menuliskan kalimat matematis proses transformasi geometri dan carilah rumus umumnya ! (Aktivitas: mencoba) KB 3 PGSD Matematika 186

Refleksi atau pencerminan adalah proses menentukan bayangan suatu objek terhadap sumbu yang ditentukan. Hasil refleksi suatu objek pada bidang Kartesius bergantung pada sumbu yang menjadi cerminnya. Berikut adalah contoh pencerminan segitiga ABC terhadap sumbu Y. C' C 4 B' B 2 A' A 5 Gambar 10. Hasil Refleksi Sebuah Segitiga Segitiga A’B’C’ merupakan hasil pencerminan dari segitiga ABC dengan sumbu pencerminan adalah sumbu Y. Silahkan Saudara coba tentukan koordinat asal segitiga ABC dan koordinat hasil pencerminan segitiga ABC terhadap sumbu Y tersebut, kemudian cobalah tentukan koordinat hasil percerminan segitiga ABC terhadap sumbu X juga, lalu amatilah perbedaan antara objek awal dengan hasil pencerminan, ciri-ciri apa yang Saudara peroleh? (Aktivitas: Mencoba dan Mengamati) Konsep refleksi banyak muncul dalam konteks kehidupan sehari-hari seperti pada contoh soal PISA berikut: Andi membuat desain gambar yang akan dicetak pada permukaan kaos oblong. Dia mencetak gambar tersebut pada kertas khusus, lalu gambar pada kertas tersebut disetrika di atas kaos. KB 3 PGSD Matematika 187

Gambar yang tercetak di kaos adalah hasil pencerminan gambar yang tercetak di komputer seperti pada ilustrasi berikut: Gambar pada komputer Gambar yang tercetak di Gambar yang tercetak di kertas kaos Gambar 11. Proses Desain Kaos Berikut adalah desain gambar baru milik Andi yang tercetak pada kertas: Bagaimanakah desain yang akan muncul pada kaos? Selain translasi dan refleksi, perubahan dan pergeseran suatu objek geometris juga dapat dilakukan dengan melakukan Rotasi. Perubahan kedudukan objek dengan cara diputar melalui pusat dan sudut tertentu, disebut dengan Rotasi. Ukuran besaran rotasi dalam transformasi geometri bergantung pada besarnya sudut yang terbentuk antara posisi awal objek dengan objek hasil rotasi. Jika arah perputaran rotasi suatu benda searah dengan jarum jam, maka sudut yang dibentuk adalah − dan sebaliknya, jika arah perputarannya berlawanan dengan jarum jam, KB 3 PGSD Matematika 188

maka sudut yang dibentuk adalah  . Hasil rotasi suatu objek tergantung dari pusat dan besar sudut rotasi. Selain pergeseran, objek juga dapat mengalami perubahan ukuran, dapat membesar ataupun mengecil meskipun bentuknya tidak berubah. Transformasi tersebut dikenal dengan istilah Dilatasi. Perubahan yang terjadi akan sangat bergantung pada skala yang menjadi faktor pengalinya dan titik pusat dilatasinya. Jadi, menurut Saudara apa yang dimaksud dengan dilatasi? (Aktivitas: Menanya) Untuk mencoba kasus rotasi dan dilatasi, silahkan Saudara mengunjungi situs https://toytheater.com/geoboard/ untuk mencoba menggunakan aplikasi alat peraga maya berupa “papan geometri” atau yang lebih dikenal dengan istilah “geoboard”. Buatlah sebuah bangun datar pada geoboard tersebut, kemudian dengan menggunakan tombol-tombol yang terdapat pada menu rotasikan dan dilatasikan bangun datar tersebut kemudian catatlah apa yang terjadi dan tentukan bagaimana memperoleh koordinat baru hasil rotasi dan dilatasi dari objek yang Saudara buat tersebut! (Aktivitas: Mencoba) c. Sistem Koordinat Paralel Sistem Koordinat Paralel dikonstruksi dengan memanfaatkan komponen-komponen dasar pada koordinat Cartesius yaitu sumbu X dan sumbu Y. Konstruksi dimulai dengan membuat replikasi sumbu-Y sebanyak n, dan n menyatakan dimensi dari koordinat. Garis sumbu - garis sumbu tersebut biasanya diberi label , , ..., , dan Jarak antara dan dan hingga dan sama. Semua garis sumbu tersebut tegak lurus terhadap sumbu X (pada koordinat Cartesius). Semua garis sumbu tersebut memiliki orientasi nilai positif dan negatif yang sama seperti pada sistem koordinat Kartesius. KB 3 PGSD Matematika 189

++ ++ + _0 _ _ _ X __ __ __ __ __ Gambar 12. Koordinat Paralel pada Dimensi 4 Gambar 12 adalah sebuah contoh sistem Koordinat Paralel pada dimensi 4 dengan garis sumbu-garis sumbu vertikal. hingga adalah garis sumbu-garis sumbu pada sistem Koordinat Paralel dimensi 4, sedangkan garis putus-putus pada gambar tersebut merupakan sumbu X yang berguna untuk membuat acuan titik 0 pada masing-masing sumbu. Garis sumbu-garis sumbu dalam Koordinat Paralel dapat pula dibuat secara horizontal ataupun memiliki kemiringan tertentu, sedangkan jarak antar sumbu dibuat tetap dan konsisten untuk membuat perhitungan lebih sederhana. Untuk dapat memahami sistem Koordinat Paralel pada dimensi-dimensi yang lebih tinggi, pembahasan dapat dimulai dari sistem Koordinat Paralel dimensi 2. Setelah mempelajari representasi Koordinat Paralel, silahkah Saudara menggambarkan reprentasi sistem Koordinat Paralel pada Dimensi n? (Aktivitas: Mencoba) d. Sistem Koordinat Paralel Dimensi Dua Sebelum memasuki materi berikutnya, Silahkan Saudara bayangkan apakah suatu objek dapat memiliki representasi yang berbeda pada Sistem Koordinat yang berbeda? (Aktivitas: Menanya) KB 3 PGSD Matematika 190

Pada dimensi 2, titik A(x1,x2) pada koordinat Kartesius berkorespondensi dengan sebuah garis (x1,x2) yang menghubungkan x1 dan x2. Titik x1 terletak pada sumbu di dan titik x2 terletak pada sumbu di Koordinat Paralel. A(x1,x2) x2 x1 (0,0) (a) (b) Gambar 13. Representasi Titik pada Koordinat Cartesius dan Koordinat Paralel Notasi pada Gambar 9 (b) mempunyai makna bahwa adalah representasi titik A pada Koordinat Paralel. Contoh 1 Berikut adalah representasi titik A(2,5), B(4, -1), dan C(-2, -1) pada Koordinat Paralel: 6 5 4 A 2 B C -1 -2 Gambar 14. Representasi Titik A(2,5), B(4, -1), dan C(-2, -1) pada Koordinat Paralel KB 3 PGSD Matematika 191

Apabila konsep pada dimensi 2 tersebut digeneralisasi, bahwa sebuah titik A pada dimensi n direpresentasikan sebagai sebuah polygonal lines (garis-garis segi banyak) dengan n verteks yang terletak pada sumbu . Berikut adalah contoh garis-garis poligonal pada dimensi 4: _ _ X _ Gambar 15. Garis Poligonal Error! Reference source not found. Merepresentasikan Titik Error! Reference source not found.) pada Koordinat Paralel Dimensi 4 Jika sebuah titik direpresentasikan sebagai sebuah garis pada Koordinat Paralel, lalu bagaimanakah representasi sebuah garis pada Koordinat Paralel? Berikut adalah sebuah contoh yang dapat mengantarkan pada jawaban pertanyaan tersebut: Contoh 2 Misalkan garis Error! Reference source not found. akan direpresentasikan pada Koordinat Paralel dimensi 2. Untuk merepresentasikan sebuah garis, setidaknya dibutuhkan minimal 2 titik yang terletak pada garis tersebut. Berikut adalah langkah-langkahnya: 1. Ambil titik A(0,1) dan B(-1,-1) yang terletak pada garis Error! Reference source not found. dalam koordinat Kartesius. KB 3 PGSD Matematika 192

2. Representasikan titik A dan B pada Koordinat Paralel sehingga diperoleh garis Error! Reference source not found. dan Error! Reference source not found.. 3. Buatlah perpanjangan garis Error! Reference source not found. dan Error! Reference source not found. sehingga diperoleh titik potong kedua garis tersebut. 4. Namai titik potong tersebut dengan Error! Reference source not found.. 4 4 2 2 1 1 A X B X -1 -2 -2 -4 -4Y X2 Gambar 16. Representasi garis Error! Reference source not found. pada Koordinat Cartesius dan Error! Reference source not found. pada Koordinat Paralel Notasi adalah representasi dari garis pada Koordinat Paralel. Dari Gambar 16 terlihat bahwa adalah sebuah titik di Koordinat Paralel. Apabila semua titik yang termuat pada direpresentasikan pada Koordinat Paralel, maka akan terbentuk suatu berkas garis yang berpotongan di titik . Misalkan diambil titik- titik A(-2, -3), B(-1, -1), C(-1/2, 0), D(0,1), E(1,3), dan F(2,5) yang terletak pada , maka representasi yang bersesuaian pada Koordinat Paralelnya adalah KB 3 PGSD Matematika 193

dan yang semuanya berpotongan di titik . Ilustrasi tersebut memperlihatkan bahwa sebuah garis pada koordinat Kartesius direpresentasikan sebagai titik pada Koordinat Paralel dan mengantarkan kita pada pengertian dualitas dalam Koordinat Paralel. Koordinat Paralel menstimulasi munculnya dualitas antara garis dan titik yang dapat dinyatakan dengan simbol garis ↔ titik. Setiap garis   y = mx + b dengan m ≠ 1 pada koordinat Kartesius merupakan dualitas dari yang merupakan titik pada Koordinat Paralel. Demikian pula sebaliknya, sebuah titik pada koordinat Kartesius direpresentasikan sebagai sebuah garis pada Koordinat Paralel. Perhatikan Gambar 17 berikut: Y 6 E F 4 4 D E X 2 2 1C D B -5 C 5 -2 B X A -2 A -4 -4 Gambar 17. Representasi Titik-Titik A, B, C, D, E, dan F pada Error! Reference source not found. dan Error! Reference source not found.dan Error! Reference source not found. padaError! Reference source not found. KB 3 PGSD Matematika 194

Pada Gambar 17 terlihat bahwa garis direpresentasikan sebagai titik (-3, -1) pada Koordinat Paralel. Koordinat titik dapat dicari dengan memanfaatkan konsep-konsep perpotongan dua atau lebih garis pada koordinat Kartesius apabila jarak jarak antar sumbu dan diketahui. Misalkan jarak antar sumbu pada Koordinat Paralel adalah d, maka dualitas garis , dengan m ≠ 1 adalah sebuah titik . Berikut adalah bukti dari pernyataan tersebut: Ambil sebarang garis y = mx + b dengan m ≠ 1; akan memiliki titik potong dengan sumbu X di titik A dan memiliki titik potong dengan sumbu Y di titik B(0, b). Pada Koordinat Paralel, titik A dan B(0, b) direpresentasikan sebagai garis dan pada Gambar 18 berikut: 00 Gambar 18. Titik Error! Reference source not found. Merupakan Perpotongan Error! Reference source not found. dan Error! Reference source not found. Misalkan Error! Reference source not found. danError! Reference source not found. h dalam koordinat Kartesius. KB 3 PGSD Matematika 195

Persamaan garis Error! Reference source not found. yang melalui titik (d,0) dan (0, Error! Reference source not found.) adalah Error! Reference source not found. (1) dan persamaan garis h adalah Error! Reference source not found. (2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh titik potong garis Error! Reference source not found. dan h, yaitu titik Error! Reference source not found. yang merupakan dualitas dari garis Error! Reference source not found. y = mx + b pada Koordinat Paralel. Setelah mencermati beberapa contoh silahkan Saudara mencoba beberapa tantangan berikut ini (Aktivitas Mencoba) 1. Gambarlah titik A(3,2), B(-4, 3), dan C(-1, -3) pada Koordinat Paralel dengan d = 4 2. Tentukan representasi dari garis-garis berikut pada Koordinat Paralel: a. Error! Reference source not found., dengan d = 4 b. Error! Reference source not found., dengan d = 3 Konsep Koordinat Paralel adalah konsep matematika yang baru bagi Saudara. Mempelajari konsep matematika yang baru, melalui suatu proses yang diawali dari konsep Koordinat Kartesius yang sudah Saudara miliki sebagai dasarnya, kemudian dikembangkan melalui proses koneksi, representasi, translasi, rotasi, dan lainnya menjadi konsep Koordinat Paralel. Proses pembentukan konsep matematika yang baru tersebut dengan memanfaatkan pengetahuan awal yang sudah dimiliki dikenal dengan istilah absraksi matematis. Ketika Saudara membangun konsep Koordinat Paralel, maka Saudara telah mengalami proses abstraksi matematis. KB 3 PGSD Matematika 196

e. Dualitas garis dengan Gradien 1 Untuk kasus m = 1 pada y = mx + b, ketentuan bahwa dualitasnya adalah titik Error! Reference source not found.tidak berlaku. Perhatikan bahwa nilai dari Error! Reference source not found. dan Error! Reference source not found. akan mendekati tak hingga apabila m mendekati 1. Agar konsep dualitas titik dan garis pada Koordinat Paralel dapat digeneralisasi, diperlukan suatu konsep yang mengakomodir kondisi ketika nilai m = 1. Konsep yang sesuai dengan kondisi adalah konsep “titik ideal” pada geometri proyektif. Geometri proyektif merupakan gagasan dari seorang arsitek Italia, Brunelleschi, pada tahun 1425. Gagasan tersebut selanjutnya diformalkan oleh Alberti beberapa tahun kemudian. Dalam Geometri proyektif, titik ideal (point at infinity) terjadi ketika dua atau lebih garis diasumsikan berpotongan di “tak hingga”. Selanjutnya titik ideal disimbolkan dengan P  Error! Reference source not found.. m Dengan memanfaatkan konsep ini, maka dapat dikatakan bahwa dualitas dari garis y = mx + b dengan m =1 adalah titik ideal Error! Reference source not found.. Berikut adalah beberapa contoh kasus tersebut: Contoh 3 Berikut adalah sketsa garis y = x pada Koordinat Paralel 4 2 5 -2 X1 X2 Gambar 19. Representasi garis y = x pada Koordinat Paralel KB 3 PGSD Matematika 197

Perhatikan bahwa representasi dari garis y = x bukan merupakan sebuah titik, melainkan garis-garis yang sejajar pada Koordinat Paralel. Garis-garis sejajar tersebut diasumsikan berpotogan di tak hingga sehingga akan diperoleh sebuah titik ideal. Titik ideal  ini merupakan Pm dualitas dari garis y = x. Hal serupa berlaku pada kasus berikut: Berikut adalah representasi garis y = x + 3 pada Koordinat Paralel. 4 2 5 -2 -4 X2 X1 Gambar 19. Representasi garis y = x + 3 pada Koordinat Paralel KB 3 PGSD Matematika 198

Setelah Saudara dapat merepresentasikan garis lurus dengan gradien 1 pada Sistem Koordinat Paralel, cobalah tentukan bagaimana representasi garis y = mx + b dengan m  1. (Aktivitas: Mencoba) KB 3 PGSD Matematika 199

3. Rasio Dan Proporsi Gambar 21. Promosi Diskon Akhir Tahun Sumber gambar: https://www.indozone.id/news/Q8svLO/banjir-pesta-diskon-saat- akhir-tahun-awas-banyak-jebakan-batman Perhatikan berita pada link berikut ini, banyak konsumen tertarik menghabiskan uang karena iming-iming diskon yang diberikan oleh berbagai gerai atau toko. Kejelian dalam menghitung dengan cepat berapa perubahan harga dan total harga yang harus dibayar akan membantu konsumen untuk menghidarkan diri dari “jebakan batman”, seperti yang dikemukakan dalam berita tersebut. Kemampuan tersebut berhubungan dengan konsep rasio dan proporsi. Konsep rasio dan proporsi seringkali disampaikan dalam bentuk rumus-rumus yang melibatkan bentuk pecahan sehingga siswa hanya memiliki pengetahuan prosedural tanpa menguasai pengetahuan konseptual. Pada dasarnya konsep rasio dan proporsi yang terdapat dalam masalah sehari-hari hanya dapat diselesaikan dengan memahami konteks terlebih dahulu. KB 3 PGSD Matematika 200

a. Rasio Rasio dapat didefinisikan sebagai sebuah hubungan antar dua kuantitas atau ukuran yang terdapat dalam suatu situasi. Hubungan antar dua kuantitas tersebut merupakan hubungan perbandingan multiplikatif bukan perbandingan aditif. Untuk memahami konsep perbandingan multiplikatif dan perbandingan aditif tersebut perhatikanlah ilustrasi berikut: “Dua minggu yang lalu, dua pohon bunga mawar diukur tingginya, pohon mawar merah tingginya 30cm sedangkan pohon mawar putih tingginya 50cm. Hari ini ketika diukur kembali diperoleh data pohon mawar merah 60 cm dan pohon mawar putih 80 cm. Pohon manakah yang memiliki pertumbuhan lebih cepat?” Diskusikanlah permasalahan di atas dengan rekan Saudara, pohon manakah yang memiliki pertumbuhan lebih cepat, jelaskan argumentasi Saudara! (Aktifitas Menanya, Menalar) Jika jawaban Saudara adalah kedua pohon tersebut memiliki kecepatan tumbuh yang sama, maka Saudara memiliki kecenderungan melakukan perbandingan aditif atau menggunakan cara berpikir aditif. Seseorang yang menggunakan perbandingan multiplikatif, akan menjawab pohon mawar merahlah yang tumbuh lebih cepat karena pohon tersebut telah tumbuh dua kali lipat dari tinggi semula diwaktu yang sama. Pohon mawar putih perlu mencapai ketinggian 100 cm untuk menyamai kecepatan tumbuh pohon mawar merah. Inilah contoh berpikir multiplikatif, yaitu proses berpikir yang melibatkan perkalian dalam melakukan perbandingan. KB 3 PGSD Matematika 201

Rasio dapat ditemukan dalam beragam konteks, jenisnya pun beragam antar lain: 1) Rasio bagian-per-bagian. Rasio jenis ini terjadi ketika Saudara membandingkan dua hal yang masing-masing dianggap satu bagian yang utuh. Misalnya pada suatu panti asuhan terdapat 20 anak laki-laki dan 23 anak perempuan, maka rasio anak laki-laki dan anak perempuan penghuni panti adalah 20 . Konsep perbandingan tidak 23 selalu menggunakan bilangan bulat, dapat pula melibatkan anggota bilangan irasional seperti 2 . Perhatikanlah perbandingan antara panjang sisi sebuah persegi dengan luas 1 satuan persegi dengan panjang sisi diagonalnya. 2) Rasio bagian-dari-keseluruhan. Rasio jenis ini memiliki makna yang sama dengan bentuk pecahan, contohnya rasio banyaknya anak perempuan terhadap seluruh jumlah siswa yang berada di panti adalah 23 . Prosentase adalah contoh rasio bagian-dari-keseluruhan 43 sedangkan probabilitas adalah rasio dari sebagian anggota ruang sampel terhadap seluruh ruang sampel. 3) Rasio sebagai hasil bagi. Rasio dapat diajarkan sebagai hasil pembagian. Contohnya ketika pada suatu toko memberikan promosi Rp. 10.000,00 dapat 4 barang. Sehingga, harga satu barang tersebut dapat diperoleh dengan 10.000 : 4, diperoleh harga satuan Rp. 2500, 00. 4) Rasio sebagai “perubahan besaran”. Perubahan besaran melibatkan hubungan antara dua kuantitas, misalnya liter per galon, meter per jam, galon per meter persegi dan lainnya. Setelah mengetahui berbagai jenis rasio buatlah contoh kasus untuk masing-masing jenis rasio tersebut! (aktivitas: melakukan) KB 3 PGSD Matematika 202

b. Proporsi Pada modul ini istilah proporsi digunakan untuk mengartikan kata “proportional” yang sering dialihbahasakan menjadi istilah “perbandingan” dalam beberapa buku matematika. Proporsi atau perbandingan adalah hubungan yang sama antar dua rasio. Ada pula yang menjelaskan bahwa proporsi adalah sebuah persamaan yang menyatakan bahwa dua rasio bernilai sama. Berikut adalah contoh masalah yang melibatkan konsep proporsi: sebuah barang dijual dengan harga Rp. 35.000,00. per buah. Pembeli dapat membayar Rp.100.000,00 jika membeli tiga buah barang. Pada beberapa situasi, proporsi dapat dipandang sebagai proporsi dalam suatu konteks/situasi atau proporsi antar konteks/situasi. Ilustrasinya dapat dilihat pada Gambar 22 berikut: Situasi/konteks Situasi/konteks A a dalam dalam B b antara dalam : A = a antara: =A B B b ab Gambar 22. Ilustrasi masalah proporsi Berikut adalah ilustrasi masalah proporsi pada beberapa situasi: 1) Jika sejumlah uang dapat digunakan membeli 3 buku tulis dengan harga satuan Rp.4.000,-, maka uang tersebut dapat digunakan untuk membeli 4 buku tulis dengan harga Rp.3.000,- KB 3 PGSD Matematika 203

2) Jika jarak dari kota A ke kota B dapat ditempuh mobil dengan kecepatan 40 km/jam dalam waktu 50 menit, maka jarak tersebut dapat ditempuh dengan kecepatan 50 km/jam dalam waktu 40 menit. 3) Sebuah butik terkenal sedang mengadakan pesta diskon dengan memberikan diskon 20% untuk setiap item, namun pembeli harus membayar pajak sebesar 15%. Menurut Saudara cara manakah yang lebih menguntungkan bagi pembeli? menghitung pajaknya dahulu atau diskonnya dahulu? (Aktivitas: Mencoba) Setelah Saudara mempelajari konsep rasio dan proporsi, coba cermati masalah berikut, kemudian selesaikan menggunakan pengetahuan yang telah Saudara miliki: Tabel 1. Persentase AKG berdasarkan kebutuhan energi 2200 kkal Kandungan Nutrisi Jumlah/Sajian AKG Sajian per 1/2 kemasan (120ml) Total lemak 0g 0% Jumlah saji per kemasan 2,5 Lemak jenuh 0g 0% Kalori 90 Kolesterol 0mg 0% Lemak kalori 0 Sodium 710mg 30% Vitamin A 12% Vitamin C 12% Kalsium 0% Total karbohidrat 20g 7% Fiber 1g 4% Gula 15g Protein 2g *Persen AKG berdasarkan kebutuhan energi 2000 kkal Jawablah pertanyaan berikut ini berdasarkan Tabel tersebut: a. Jika dibutuhkan air 120ml untuk menyajikan 1/2 kemasan, berapa mililiter air yang dibutuhakan untuk menyajikan 3 1 kemasan? 2 b. Berdasarkan jumlah kalori per sajian; berapa banyak kalori yang didapatkan jika mengkonsumsi 4 1 kemasan? 2 KB 3 PGSD Matematika 204

c. Jika 1 g fiber setara dengan 4% Angka Kecukupan Gizi, berapa gram fiber dibutuhkan untuk memperoleh 25% AKG? (Aktivitas: Mencoba) Konsep ratio menjadi dasar untuk siswa mempelajari konsep proporsi atau perbandingan melalui penalaran proporsional. Istilah penalaran proporsional tidak mudah didefinisikan, namun seseorang yang memiliki kemampuan tersebut dapat teridentifikasi melalui, salah satunya kemampuan berpikir multiplikatif. Penalaran proporsional seharusnya sudah dibangun mulai tingkat sekolah dasar melalui beberapa pendekatan, diantaranya dengan mengenalkan teknik unitisasi dan penalaran spasial. c. Unitisasi dan Penalaran Spasial Unitisasi merupakan proses membuat beberapa kuantitas menjadi unit-unit satuan. Misalnya, sebuah persegi panjang dianggap sebagai satu unit. Satu unit persegipanjang tersebut dapat terdiri dari 4 buah persegi satuan, sehingga pada Gambar 23 terdapat 5 unit persegi panjang, yang masing-masing terdiri dari 4 persegi satuan. . Gambar 23. Unit Persegi Panjang Contoh lain proses unitisasi dapat terlihat jelas pada ilustrasi berikut: Pada acara arisan, ibu menata kue dalam piring-piring seperti pada gambar 24. Piring dalam kasus ini dapat dinyatakan sebagai sebuah unit KB 3 PGSD Matematika 205

yang berisi kue dengan jumlah yang sama, misalnya tiap-tiap piring berisi 6 buah kue, sehingga di sana ada 4 unit dari 24 kue. Gambar 24. Unit Piring Berisi Kue Memberikan pemahaman yang komprehensif tentang konsep “unit” amat penting sebagai dasar untuk bernalar proporsional, karena unitisasi merupakan dasar untuk memahami konsep perkalian dan nilai bilangan. Membangun kemampuan unitisasi siswa dapat dilakukan dengan menggunakan ilustrasi atau gambar melibatkan kemampuan penalaran spasial siswa. Perhatikan ilustrasi berikut: 48 Gambar 25. Menempatkan angka pada garis yang telah ditentukan Pada gambar tersebut, posisi angka 4 dan 8 sudah ditentukan, jika kemudian Saudara diminta untuk memasukkan angka 15 pada garis tersebut, dimanakah posisi angka 15 harus diletakkan? (Aktivitas: Mencoba) Untuk dapat meletakkan angka 15 pada Gambar 25., siswa harus memperkirakan bahwa jarak dari 4 ke 8 adalah 4 satuan, maka jika ingin meletakkan angka 15 siswa harus membuat dulu posisi angka 12 baru membuat posisi angka 15 yang proporsional sesuai skala yang sudah diberikan. Ilustrasi lain yang amat jelas membutuhkan penalaran spasial terdapat pada geometri dan pengukuran. Misalnya ketika siswa diminta untuk KB 3 PGSD Matematika 206

menggambar sebuah segiempat yang serupa namun dengan ukuran yang berbeda. B' B C' C B'' C' E D E' D' E'' D'' Gambar 26. Segiempat yang sama dengan ukuran berbeda Visualisasi dari situasi yang melibatkan konsep rasio dan proporsi, baik dalam bentuk gambar ataupun tabel dapat menghindarkan siswa dari terjebak pada prosedur rutin menggunakan rumus dalam bentuk pecahan untuk menyelesaikan masalah. Adapun rujukan aktivitas belajar rasio menggunakan visualisasi berupa gambar dapat Saudara coba pada laman berikut:https://www.mathplayground.com/tb_ratios/index.html. Perhatikan ilustrasi berikut ini: Data perbandingan antara luas tanah dengan banyaknya pohon pinus yang dapat ditaman disajikan dalam bentuk tabel sebagai berikut: Tabel 2. Luas Tanah dan Banyaknya Pohon Pinus Luas Tanah 5 10 15 20 25 ........ (Hektar) Banyaknya 75 150 225 ..... pohon pinus Bagaimanakah cara menentukan banyaknya pohon pinus yang dapat ditanam pada daerah dengan luas tanah 20 dan 25 hektar? KB 3 PGSD Matematika 207

Apakah Saudara menemukan pola pada kedua baris tersebut, ataulah Saudara mencari perbandingan untuk 1 hektar luas tanah dan banyaknya pohon pinus yang dapat ditanam? (Aktivitas: menanya) Situasi tersebut dapat pula disajikan dalam bentuk grafik pada diagram kartesius sehingga diperoleh fungsi y = 15x yang menyatakan situasi tersebut. Salah satu contoh penyelesaian masalah rasio dan proporsi yang melibatkan tabel dan grafik dapat Saudara temui pada link https://blog.ruangguru.com/perbandingan. 4. Statistik Materi statistik ini merupakan lanjutan dari modul 3 KB 3 yang terdapat pada materi matematika yang bisa Saudara pelajari pada jaringan/internet. Pada uraian kali ini statistik yang akan dibahas tentang menginterpretasi grafik, membuat grafik baru, dan menganalisis data dari bentuk grafik. Perhatikan ilustrasi gambar berikut mengenai simulasi kurva untuk kasus pandemi virus Corona yang diambil dari situs vox.com pada tautan berikut: https://www.vox.com/2020/3/10/21171481 /coronavirusus-cases-quarantine-cancellation?fbclid=IwAR0oNAgSxTClR7EH9 UKXa88TkzBbxdreyxzSVWSf2-iv7lq5eLG7TcZccxU. Apa maksud dari kurva tersebut? Bagaimanakah interpretasinya? KB 3 PGSD Matematika 208

Gambar 27. Grafik Perbandingan Persebaran Pandemi Virus Corona Sumber: https://www.vox.com/2020/3/10/21171481/coronavirus-us-cases- quarantinecancellation?fbclid=IwAR0oNAgSxTClR7EH9UKXa88TkzBbxdreyxzS VWSf2-iv7lq5eLG7TcZccxU Sebelum membahas satu per satu tentang bagaimana menginterpretasikan dan menyajikan data, silahkan Saudara buka link ini. Pada laman tersebut disajikan informasi mengenai informasi perkembangan kasus pandemi virus Corona di seluruh dunia. Informasi disajikan dalam beragam bentuk grafik dan diagram yang berbeda-beda sesuai dengan karakteristik informasi yang ingin disampaikan. a. Menginterpretasi Grafik Perhatikan grafik banyaknya Percakapan Virus Corona di Linimasa Twitter Indonesia pada rentang 20-27 Januari 2020 berikut ini: KB 3 PGSD Matematika 209

Gambar 28. Grafik Percakapan Virus Corona di Linimasa Twitter Indonesia (Sumber: http://portal.evello.co.id) Beberapa pertanyaan yang mungkin muncul ketika melihat grafik tersebut antara lain: • Apa yang menarik dari grafik pada Gambar di atas? • Bagaimanakah memaknai grafik tersebut? • Apakah banyaknya percakapan berarti banyak pula pengidap sakit karena virus corona? • Pada tanggal 25 Januari, pukul 20.00, kira-kira berapa orang yang memperbincangkan virus Corona? (Aktifitas Menanya) Pertanyaan-pertanyaan tersebut adalah sebagian dari pertanyaan yang mungkin muncul ketika seseorang berinteraksi dengan grafik di atas. Semakin dewasa seseorang, maka makna yang muncul dari pemaknaan sebuah grafik, semakin kompleks. Pertanyaan selanjutnya adalah, bagaimana cara memaknai sebuah grafik? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, pertama kali yang harus terjawab adalah, mengapa seseorang perlu menampilkan sesuatu dalam bentuk grafik. John a van de Walle menyatakan bahwa seorang membuat grafik karena ingin menyampaikan informasi dengan cara yang lebih sederhana (van de Walle, Karp, & Bay-Williams, 2013). Pada sebuah percobaan di KB 3 PGSD Matematika 210

kelas, siswa di kelas diberi tugas untuk mengumpulkan jenis serangga yang ditemukan di halaman belakang. Hasil dari praktik tersebut tampak dalam gambar berikut: Gambar 29. Grafik sederhana siswa SD (sumber: Van de Walle, 2001) Pada definisi di atas, walaupun grafik yang disampaikan sangat sederhana, informasi yang dibangun oleh siswa cukup jelas, yaitu ada kelompok serangga bersayap dan kelompok serangga tanpa sayap. Lebih lanjut, ketika berbicara kuantitas, grafik yang dibangun oleh siswa tersebut menggambarkan banyak yang sama, dari serangga dua jenis tersebut. Selanjutnya, bagaimanakah menginterpretasi sebuah grafik atau diagram? Hal pertama harus dipahami adalah bentuk grafiknya. Setiap jenis grafik digunakan untuk menggambarkan data tertentu. Misalnya, apakah Sudara dapat menggambarkan data penjualan buku dengan menggunakan grafik batang? Apakah kita menerima informasi pergerakan nilai mata uang dengan grafik garis? Mengapa bukan grafik batang? Mengapa bukan grafik lingkaran? Van de Walle mengemukakan ada perbedaan istilah antara graph, chart, dan diagram (van de Walle et al., 2013). Namun di Indonesia, graph dan chart tidak dibedakan. Keduanya menjadi satu istilah, yaitu grafik. Secara sederhana, hanya ada 4 istilah yang dijadikan sebagai media penyampai data, yaitu: grafik batang, grafik garis, grafik lingkaran, dan diagram. KB 3 PGSD Matematika 211

Grafik batang digunakan untuk mendeskripsikan kuantitas dari data yang bersifat independen. Artinya antara bilah yang satu dan bilah yang lain berdiri secara bebas, tidak saling berpengaruh. Perubahan panjang bilah yang satu, tidak akan berpengaruh pada panjang bilah lainnya. Panjang bilah menunjukkan banyaknya data. Contoh: Grafik batang produksi mobil dari bulan Januari sampai Juni, sebagai berikut: Gambar 30. Contoh Grafik Batang Pada Gambar 30. Contoh Grafik Batang, masing-masing bilah (dalam hal ini, Bulan Produksi) berdiri terpisah. Jika kuantitas pada bulan Februari naik, tidak berpengaruh pada produksi pada bulan sebelumnya. Grafik Garis menggambarkan bagaimana data berubah pada setiap perubahan waktu. Grafik garis sangat berguna untuk menunjukkan tren atau angka yang saling terhubung. Dalam hal ini nilai pada grafik, antara satu titik dengan titik berikutnya memiliki makna. Contoh: grafik pemasukan perusahaan pada bulan Januari sampai Juni, dihitung pada setiap akhir bulan, adalah sebagai berikut: KB 3 PGSD Matematika 212

Gambar 31. Contoh Grafik Garis Pada Gambar 31, jika seseorang ingin mengetahui pemasukan perusahaan pada 15 Februari, ia bisa memperkirakan nilainya dengan menarik garis vertikal di tengah ruas antara bulan Februarii dan Maret, kemudian mencari perpotongan garis vertikal tersebut dengan grafik. Titik potong garis vertikal dengan grafik akan menunjukkan nilai yang sesuai di sumbu Y, itulah perkiraan pemasukan perusahaan pada tanggal 15 februari. Aktifitas tesebut disebut dengan intrapolasi. Sebaliknya jika ia ingin mengetahui perkiraan pemasukan perusahaan pada bulan Juli, aktifitas tersebut disebut dengan ekstrapolasi. Grafik garis ini dependen, atau bergantung, artinya jika nilai pada bulan Februari berubah, maka nilai intrapolasi di antara Januari dan Februari juga ikut berubah. Grafik Lingkaran (dalam bahasa Inggris, diistilahkan dengan Pie Chart) dirancang untuk memvisualisasikan bagaimana keseluruhan dibagi menjadi berbagai bagian. Setiap bagian lingkaran (juring) adalah kategori tertentu dalam bagian dari data keseluruhan. Dengan cara ini, bagian lingkaran itu dapat dinyatakan sebagai persentase dari keseluruhan. Contoh grafik lingkaran tentang jenis kendaraan siswa yang digunakan untuk berangkat ke sekolah, dapat dilihat pada gambar berikut: KB 3 PGSD Matematika 213