Book 1.1. ความหมายและสมาชิกของเซต

ใบความรู้ท่ี 1 ความรเู้ บ้อื งตน้ เกยี่ วกบั เซต บทนำ ในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 นักคณิตศาสตรผ์ ูว้ างรากฐาน เกย่ี วกบั เซตคอื เกออรก์ คันทอร์ (Georg Cantor, ค.ศ. 1845 – เกออรก์ คันทอร์ 1918) นักคณิตศาสตรช์ าวเยอรมนี ซึ่งท่านไดเ้ ขยี นหนังสอื เกี่ยวกบั เซตไว้ 2 เล่ม ได้แก่ Foundations of General Theory (ท่ีมา : of Aggregates และ Contributions to the Founding of http://en.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor) Theory of Transfinite Numbers ตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1883 และ 1895 ตามลำดับ ตอ่ จากนนั้ นักคณิตศาสตร์จึงใช้คำน้กี ันอย่างแพร่หลาย ความรู้ในเร่อื งเซตสามารถนำมาเช่ือมโยงเนื้อหาในคณติ ศาสตร์ หลายๆ เรื่อง เชน่ ฟงั ก์ชนั ความนา่ จะเปน็ 1.1.1 ความหมายของเซต ในชีวิตประจำวัน เรามีคำสมุหนามไว้ใช้สำหรับเรยี กกลุ่มของสิ่งต่างๆ เช่น กองลูกเสือ คณะครู ฝูงลงิ โขลงชา้ ง เป็นต้น หรอื คำลกั ษณะนาม เชน่ นก 1 ฝงู ชา้ ง 1 โชลง นกั ฟตุ บอล 1 ทมี เปน็ ตน้ สว่ นในทางคณติ ศาสตรน์ ้ัน เราใชค้ ำว่า เซต (set) ซึ่งเปน็ คำอนยิ าม* ในการกลา่ วถึงกลมุ่ ของ สิ่งต่างๆ หรอื ปริมาณใดปรมิ าณหนึง่ เชน่ นก 1 เซต หรือ เซตของนก, ช้าง 1 เซต หรอื เซตของช้าง เป็นตน้ ส่วนในภาษาอังกฤษ มีคำหลายๆ คำที่ใช้ในความหมายอย่างเดียวกับคำว่าเซต เช่น Class, Group, Collection, Family, Totality ฯลฯ ดงั นั้นในทางคณติ ศาสตร์ใช้คำวา่ “เซต” แทน กล่มุ ชุด พวก ของส่งิ ตา่ งๆ (หรอื คำอ่ืนๆ ท่ีมี ความหมายในลักษณะเดียวกัน) ซ่ึงสามารถระบไุ ด้ว่าส่งิ ใดอยหู่ รือไม่อยู่ในเซตน้ัน และเรยี กสิ่งที่อยูใ่ นเซต วา่ สมาชกิ (element)** ความรูเ้ พิม่ เติม - โครงสร้างของระบบคณติ ศาสตร์ ประกอบด้วย อนยิ าม (Undefined Terms) นยิ าม (Defined Terms) สัจพจน์ (Axiom/Postulate) และทฤษฎีบท (Theorem) ในการศึกษาเกีย่ วกบั เซต เราจะถือวา่ เซตเป็นอนยิ าม * คำอนิยาม (Undefined Term) หมายถึง คำทไ่ี ม่ต้องให้ความหมายหรอื คำจำกัดความ แตเ่ มอ่ื กลา่ วถึงคำนนั้ ๆ แลว้ ผู้ศึกษา ทกุ คนจะตอ้ งเขา้ ใจตรงกนั เนอื่ งจากคำเหลา่ น้ันมีความหมายชัดเจนในตวั เอง นอกจากเซตแล้ว จดุ เส้นตรง ค่าคงที่ ระนาบ ฯลฯ ต่างก็เปน็ คำอนยิ ามในทางคณิตศาสตรท์ ้ังสนิ้ ** จากหนงั สอื ศัพท์คณติ ศาสตร์ ฉบับราชบณั ฑิตยสถาน พิมพ์คร้งั ท่ี 9 (แกไ้ ขเพมิ่ เตมิ )

พิจารณาการเกดิ เซต 2 สมมตวิ ่าเกิดเซต A 15 3 A 9 จะไดว้ า่ 1 , 3 และ 5 เป็นสง่ิ ที่อย่ใู นเซต A แต่ 9 เป็นส่ิงที่ไมอ่ ยูใ่ นเซต A ตัวอยา่ งที่ 1.1.1 • เซตของช่อื วนั ในหนง่ึ สปั ดาห์ หมายถึง กล่มุ ของชื่อวันในหนึ่งสปั ดาห์ ไดแ้ ก่ วนั อาทิตย์ วันจันทร์ วนั องั คาร วนั พุธ วนั พฤหสั บดี วันศกุ ร์ และวันเสาร์ • เซตของพยัญชนะในคำว่า mathematics หมายถงึ กลุ่มของพยัญชนะในคำว่า mathematics ไดแ้ ก่ m, t, h, c, s • เซตของจำนวนนับท่ียกกำลงั สองแล้วได้ 16 หมายถงึ กลุ่มของจำนวนนบั ทีย่ กกำลังสองแล้ว ได้ 16 ได้แก่ 4 • เซตของจำนวนเต็มท่ียกกำลังสองแลว้ ได้ -25 หมายถงึ กลุ่มของจำนวนเต็มที่ยกกำลังสอง แลว้ ได้ -25 ซึ่งไมม่ ีสมาชกิ เพราะไม่มจี ำนวนเตม็ ใดท่ยี กกำลงั สองแล้วได้ -25 ตวั อยา่ งที่ 1.1.2 พิจารณาสิ่งตอ่ ไปน้ี 1. กลมุ่ ของประเทศที่มพี รมแดนตดิ กบั ประเทศไทย 2. กลมุ่ ของชื่อเดือนในหน่งึ ปี 3. กลุ่มของสระในภาษาอังกฤษ 4. กลุ่มของจำนวนนบั ท่นี ้อยกวา่ 5 5. กลมุ่ ของจำนวนเต็มลบทมี่ ากกวา่ -20 จากข้อ 1. – 5. เปน็ เซต เพราะมเี กณฑ์วัดจดั กลมุ่ ท่ีเป็นมาตรฐานแนน่ อน สามารถระบุได้ว่าส่ิงใดอยู่และส่งิ ใด ไมอ่ ยู่ในกลมุ่ ทีก่ ล่าวถึงไดต้ รงกันทุกคน ตวั อยา่ งท่ี 1.1.3 พิจารณาสิ่งตอ่ ไปน้ี 1. กลมุ่ ของนักเรียนท่ีเรยี นเก่งท่สี ดุ ในจงั หวดั สรุ นิ ทร์ 2. กลุ่มของคนสวยทีส่ ดุ 5 อันดบั แรก ในประเทศไทย 3. กลุ่มของผลไมท้ ่ีอรอ่ ยท่สี ุดในโลก จากขอ้ 1. – 3. ไม่เปน็ เซต เพราะปริมาณเชงิ คณุ ภาพทีใ่ ช้บอก ความเก่ง คนสวย ความอร่อย ของแตล่ ะคน ไมเ่ หมือนกนั ไมส่ ามารถระบุได้ชดั เจนว่าสงิ่ ใดอยู่และสิง่ ใดไมอ่ ยู่ในกลุม่ ท่กี ล่าวถึงน้ี

3 1.1.2 สมาชิกของเซต เซตเปน็ ความรู้พ้นื ฐานทางคณติ ศาสตร์ท่ีมีความสำคญั เปน็ อย่างมาก เพราะเซตเปน็ เสมือนภาษาท่ีใช้ ส่อื สารทางคณติ ศาสตร์ได้อยา่ งกระชับและชัดเจน เปน็ รากฐานและเคร่ืองมือท่ีสำคัญในการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์ ทกุ สาขา และต่อไปน้ีเราจะเรียกสิง่ ทีอ่ ยู่ในเซตว่า สมาชิก (element หรือ member) ของเซต ในการ กล่าวถงึ เซตหนึง่ ๆ เราต้องทราบว่ามอี ะไรท่ีเป็นสมาชกิ หรือไมเ่ ปน็ สมาชิกของเซตนน้ั บา้ ง เรียกเซตทีม่ ีลักษณะ เชน่ น้ีวา่ เซตแจม่ ชัด (well – defined set) ตวั อยา่ งเชน่ • เซตของจงั หวดั ในประเทศไทย • เซตของจำนวนจริงทม่ี ีค่านอ้ ยกวา่ 10 หากเราพิจารณาเซตแรกจะพบว่า พิษณุโลกเป็นสมาชิกหนึ่งของเซตนี้ เนื่องจากเป็นจังหวัดหน่ึงซึ่งมี ที่ต้งั ทางภมู ิศาสตร์อยภู่ าคเหนือตอนล่างของประเทศไทย ในขณะท่นี ครหลวงเวยี งจันทรน์ ั้นไม่เป็นสมาชิกของ เซตนี้ เพราะเป็นจงั หวดั ซง่ึ มที ่ีตั้งทางภูมิศาสตรอ์ ยูใ่ นประเทศสาธารณรัฐประชาธิปไตยประชาชนลาว เช่นเดียวกับเซตถดั มา พบวา่ 9 และ  เปน็ สมาชกิ ของเซต เพราะจำนวนทงั้ สองต่างก็เป็นจำนวนจรงิ และมคี ่านอ้ ยกว่า 10 ในขณะที่ 21 และ −1 ไมเ่ ป็นสมาชิก ถึงแม้วา่ 21 จะเป็นจำนวนจริง แตก่ ม็ คี ่ามากกว่า 10 ส่วน −1 เป็นจำนวนจนิ ตภาพ จงึ ทำใหจ้ ำนวนทั้งสองไม่เป็นสมาชกิ ของเซตดงั กลา่ ว ดงั น้นั สมาชกิ ของเซตเซตหนึ่งจึงสามารถเปน็ อะไรก็ได้เช่น ตัวเลข ผคู้ น ตวั อักษร หรอื เป็นเซตของ เซตอนื่ สมาชกิ ของเซตหนึ่งเซตใดต้องไม่ซ้ำกัน ซึ่งไม่เหมือนกบั มัลทิเซต (multiset) ท่ีอาจมสี มาชิกซำ้ กัน ก็ได้ การดำเนนิ การของเซตท้ังหมดยงั รักษาคุณสมบัติท่วี า่ สมาชกิ แต่ละตัวของเซตต้องไม่ซ้ำกัน สว่ น ลำดบั ของสมาชิกของเซตนน้ั ไมม่ ีความสำคญั ซง่ึ ตา่ งจากเรอ่ื งลำดับ อนกุ รมและคู่อนั ดบั สญั ลกั ษณ์เก่ยี วกับเซต คำวา่ “เปน็ สมาชกิ ของ” เขียนแทนด้วยสัญลกั ษณ์  เชน่ ถ้า A = {1, 2} จะได้วา่ 1  A และ 2  A คำว่า “ไมเ่ ป็นสมาชิกของ” เขียนแทนดว้ ยสญั ลักษณ์  เช่น 3  A เพ่อื ความสะดวกในการกลา่ วถึงเซต โดยทัว่ ไปเรานยิ ม - ใช้อักษรภาษาองั กฤษตวั พมิ พ์ใหญ่ แทน เซต เชน่ A, B, C , D เป็นตน้ (อา่ นว่า เซตเอ , เซตบี , เซตซี , เซตดี ) หรืออาจมดี รรชนีลา่ ง (subscript) กำกับอยู่ด้วย เชน่ A1, A2, A3, ... ในการแทนเซต และ - ใช้อกั ษรภาษาอังกฤษตวั พิมพเ์ ล็กแทนสมาชิกของเซต เช่น a, b, c, d เป็นต้น

4 ตวั อย่างท่ี 1.1.4 กำหนดให้ A = a, b, c, d , B = a, p, q, r และ C = 1, 2, 3 จงพิจารณาวา่ ในแต่ละข้อต่อไปนีถ้ ูกหรือผดิ 1. aA 2. aB 3. kA 4. 0C 5. pB 6. 2B 7. sB 8. 3C ตอบ ดังนั้น ขอ้ ที่ถกู คือ ข้อ 1, 3, 4 และ 5 และ ข้อท่ผี ดิ คือ ข้อ 2, 6, 7 และ 8 ตวั อย่างท่ี 1.1.5 จงพิจารณาว่า ขอ้ ความต่อไปน้เี ป็นจริงหรือเทจ็ ถา้ เป็นเทจ็ ใหย้ กตวั อย่างคา้ น กำหนด A, B และ C เป็นเซตใดๆ ถา้ AB และ BC จะได้วา่ AC วธิ ที ำ ข้อความน้เี ปน็ เทจ็ ดังตัวอยา่ งค้านต่อไปน้ี ให้ A = 1 B = 1, 2 C =  1, 2, 1, 2 จะไดว้ า่ AB และ BC แต่ AC ตัวอยา่ งท่ี 1.1.6 จงพิจารณาว่า ข้อความต่อไปนี้เป็นจรงิ หรอื เท็จ ถา้ เปน็ เท็จใหย้ กตัวอย่างค้าน กำหนด A, B และ C เปน็ เซตใดๆ ถ้า AB และ BC จะไดว้ า่ AC วิธที ำ ขอ้ ความน้เี ปน็ เท็จ ดงั ตวั อย่างค้านต่อไปน้ี ให้ A = 1 B = 5, 6 C = 1, 2 จะไดว้ า่ AB และ BC แต่ AC ตวั อย่างที่ 1.1.7 จงพจิ ารณาวา่ ขอ้ ความต่อไปนเ้ี ปน็ จริงหรือเทจ็ ถ้าเปน็ เท็จให้ยกตัวอย่างคา้ น กำหนด A, B และ C เป็นเซตใดๆ ถ้า AB และ BC จะได้วา่ AC วิธีทำ ............................................................................................................................. ........ .......................................................................................................................... ........... ............................................................................................................................. ........ .............................................................................................................. ....................... ............................................................................................................................. ........ *********