E-BOOK LOGIC

ตรรกศาสตร์ [พมิ พ์ช่ือเรื่องเอกสาร] [พมิ พ์ช่ือเรื่องรองเอกสาร] [พมิ พ์บทคดั ย่อของเอกสารท่ีนี่ โดยปกตแิ ล้วบทคดั ย่อคอื สรุปแบบสนั้ ๆ เก่ียวกบั เนือ้ หาของเอกสาร พมิ พ์บทคดั ย่อของเอกสารที่นี่ โดยปกตแิ ล้ว บทคดั ย่อคอื สรุปแบบสนั้ ๆ เกี่ยวกบั เนือ้ หาของเอกสาร] admin [เลือกวันท่ี]

ตรรกศาสตร์เบอื้ งต้น 1. ประพจน์ ประพจน์ คือ ประโยคบอกเล่าหรือปฏเิ สธทม่ี ีค่าความจริงเป็ นจริงหรือเทจ็ อยา่ งใดอยา่ งหน่ึงเทา่ น้นั ตวั อยา่ ง ประโยคท่เี ป็นประพจน์ ดาวองั คารเป็นดาวเคราะห์ (จริง) จงั หวดั ลพบรุ ีไม่อยทู่ างภาคใตข้ องประเทศไทย (จริง) 5 ≠ 8 (จริง) 19 + 4 ≠ 23 (เทจ็ ) π เป็นจานวนตรรกยะ (เทจ็ ) ประโยคที่ไม่เป็ นประพจน์ ไดแ้ ก่ ขอ้ ความทอ่ี ยใู่ นรูปของ คาถาม คาสงั่ คาขอรอ้ ง คาอุทาน คาออ้ นวอน คาแสดงความปรารถนา สุภาษติ คาพงั เพย ประโยคเปิ ด เพราะขอ้ ความดงั กล่าวไม่สามารถบอกค่าความจริงได้ ตวั อยา่ ง ประโยคทไ่ี ม่เป็นประพจน์ คาถาม เช่น 3 หารดว้ ย 2 มีค่าเทา่ ไร คาสงั่ เช่น จงยนื ข้ึน คาขอรอ้ ง เช่น ช่วยกนั รกั ษาความสะอาด คาออ้ นวอน เช่น โปรดเมตตาดว้ ยเถิด คาแสดงความปรารถนา เช่น อยากเห็นหนา้ เธออีกสกั คร้ัง คาอุทาน เช่น โอย้ สุภาษติ คาพงั เพย เช่น ววั หายลอ้ มคอก ประโยคเปิ ด เช่น เขาเป็นนกั กีฬา ..................................................................................................................... 2. การเชื่อมประพจน์ ถา้ ให้ p และ q เป็ นประพจน์ เมื่อนาประพจนม์ าเชื่อมกนั ดว้ ยตวั เช่ือมแลว้ เราเรัยกประพจนใ์ หม่วา่ ประพจนเ์ ชิงประกอบ ซ่ึงตวั เชื่อมที่ใชจ้ ะมี 5 ตวั คือ 1) ตวั เช่ือม และ ใชส้ ญั ลกั ษณ์ คอื \" ∧ \" 2) ตวั เชื่อม หรือ ใชส้ ญั ลกั ษณ์ คอื \" ∨ \" 3) ตวั เชื่อม ถา้ ... แลว้ ... ใชส้ ญั ลกั ษณ์ คือ \" → \"

4) ตวั เชื่อม ก็ต่อเม่ือ ใชส้ ญั ลกั ษณ์ คอื \" ↔ \" 5) ตวั เช่ือม นิเสธ ใชส้ ญั ลกั ษณ์แทนดว้ ย \" ~ \" ตารางค่าความจริงของตวั เชื่อม ขอ้ สงั เกต 1) การเช่ือมประพจนด์ ว้ ยตวั เชื่อม และ \" ∧ \" จะเป็น T เม่ือ p และ q เป็น T ท้งั คู่ 2) การเชื่อมประพจนด์ ว้ ยตวั เช่ือม หรือ \" ∨ \" จะเป็น F เม่ือ p และ q เป็น F ท้งั คู่ 3) การเชื่อมประพจน์ดว้ ยตวั เช่ือม ถา้ ... แลว้ ... \" → \" จะเป็น F เม่ือ p เป็น T และ q เป็น F 4) การเชื่อมประพจน์ดว้ ยตวั เช่ือม กต็ ่อเมื่อ \" ↔ \" จะเป็น T เม่ือ p และ q มีคา่ ความจริงตรงกนั ..................................................................................................................... 3. การสร้างตารางค่าความจริง กาหนด p , q , r เป็ นประพจนท์ ่ีไม่ไดก้ าหนดค่าความจริงมาให้ จะเรียกประพจน์ที่มีตวั เช่ือมวา่ รูปแบบ ประพจน์ เช่น ~p , p ∧ q , p → q , ( p ∨ q ) ↔ r เป้ นตน้ ในการหาคา่ ความจริงของรูปแบบประพจน์ จะตอ้ งพจิ ารณาคา่ ความจริงทเ่ี ป็ นไปไดข้ องประพจนย์ อ่ ย ทกุ กรณี โดยการสร้างตารางค่าความจริง จานวนกรณีท่ีพจิ ารณา = 2n กรณี เมื่อ n คือ จานวนประพจน์ยอ่ ยของรูปแบบประพจน์น้นั .....................................................................................................................

4. ประพจน์ท่ีสมมูลกนั ประพจนส์ องประพจนใ์ ด จะสมมูลกนั กต็ อ่ เม่ือประพจน์ท้งั สองมีคา่ ความจริงเหมือนกนั ทกุ กรณี ใช้ สญั ลกั ษณ์ ≡ แทนคาวา่ สมมูล ประพจน์ทส่ี มมูลกนั จะสามารถใชแ้ ทนกนั ได้ เนื่องจากมีคา่ ความจริง เหมือนกนั ทุกกรณี การตรวจสอบวา่ ประพจนส์ มมูลกนั หรือไม่ ทาได้ 2 วธิ ี ดงั น้ี 4.1 ใชต้ ารางแสดงคา่ ความจริง ตวั อยา่ ง จงตรวจสอบวา่ ประพจนต์ ่อไปน้ีสมมูลกนั หรือไม่ 1. p → q กบั ~p ∨ q จะเห็นวา่ คา่ ความจริงของ p → q กบั ~p ∨ q ตรงกนั กรณีตอ่ กรณี ดงั น้นั p → q สมมูลกบั ~p ∨ q 2. ~p ∧ q กบั p → q จะเห็นวา่ คา่ ความจริงของ ~p ∧ q กบั p → q มีบางกรณีต่างกนั ดงั น้นั ~p ∧ q ไม่สมมลู กบั p → q 4.2 ใชร้ ูปแบบของประพจนท์ ส่ี มมูลกนั รูปแบบของประพจนท์ ่สี มมูลกนั ทีส่ าคญั 1. p ∧ ~p ≡ F 2. p ∨ ~p ≡ T 3. p ∧ T ≡ p

4. p ∨ F ≡ p 5. ~(~p) ≡ p 6. p ∨ q ≡ q ∨ p 7. p ∧ q ≡ q ∧ p 8. ( p ∨ q ) ∨ r ≡ p ∨ ( q ∨ r ) ≡ p ∨ q ∨ r 9. ( p ∧ q ) ∧ r ≡ p ∧ ( q ∧ r ) ≡ p ∧ q ∧ r 10. p ∨ ( q ∧ r ) ≡ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r ) 11. p ∧ ( q ∨ r ) ≡ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r ) 12. ~( p ∨ q ) ≡ ~p ∧ ~q 13. ~( p ∧ q ) ≡ ~p ∨ ~q 14. p → q ≡ ~q → ~p 15. p → q ≡ ~p ∨ q 16. ~( p → q ) ≡ p ∧ ~q 17. p ↔ q ≡ ( p → q ) ∧ ( q → p ) ..................................................................................................................... 5. สจั นิรันดร์ ประพจน์ทเ่ี ป็นสจั นิรันดร์ คือ รูปแบบของประพจนท์ ี่มี คา่ ความจริงเป็ นจริงเสมอ ไม่วา่ ประพจนย์ อ่ ยจะมี คา่ ความจริงเป็น จริง หรือ เทจ็ กต็ าม เช่น p ∨ ~p , p → p , ~( p ∧ ~p ) , p ↔ p เป็นตน้ การตรวจสอบวา่ ประพจนใ์ ดเป็นสจั นิรันดร์ ทาไดด้ งั น้ี 1. ใชต้ ารางแสดงคา่ ความจริง ตวั อยา่ ง จงตรวจสอบวา่ ประพจน์ต่อไปน้ี เป็นสจั นิรนั ดร์หรือไม่ 1. [ ( p → q ) ∧ p ] → q จะเห็นวา่ รูปแบบของประพจน์ [ ( p → q ) ∧ p ] → q มีคา่ จริงเป็ นจริงทุกกรณี ดงั น้นั [ ( p → q ) ∧ p ] → q เป็น สจั นิรันดร์

2. ใชว้ ธิ ีการหาขอ้ ขดั แยง้ ตวั อยา่ ง จงตรวจสอบวา่ ประพจนต์ อ่ ไปน้ี เป็นสจั นิรันดร์หรือไม่ 1. ( p ∧ q ) → ( q ∨ p ) วธิ ีทา สมมุตวิ า่ ( p ∧ q ) → ( q ∨ p ) เป็นเทจ็ จากแผนภาพ จะเห็นวา่ คา่ ความจริงของ p และ q เป็ นไดท้ ้งั จริงและเทจ็ แสดงวา่ ไม่มีกรณีท่ที าให้ ( p ∧ q ) → ( q ∨ p ) เป็นเทจ็ ดงั น้นั รูปแบบของประพจน์ ( p ∧ q ) → ( q ∨ p ) เป็นสจั นิรนั ดร์ ..................................................................................................................... 6. การอา้ งเหตุผล การอา้ งเหตผุ ลจะประกอบดว้ ยส่วนสาคญั 2 ส่วนคอื 1. ส่วนทเี่ ป็น เหตุ หรือ ส่ิงท่กี าหนดให้ ซ่ึงไดแ้ ก่ P1 , P2 , P3 , … , Pn 2. ส่วนท่เี ป็ น ผล ซ่ึงไดแ้ ก่ Q ในการอา้ งเหตุผลอาจจะสมเหตสุ มผล (valid) หรือไม่สมเหตุสมผล (invalid) ก็ได้ ซ่ึงมีวธิ ีการตรวจสอบ คอื ใช้ สจั นิรนั ดร์ โดยเช่ือมเหตุทุกเหตุดว้ ยตวั เช่ือม ∧ แลว้ นาเหตุกบั ผลมาเช่ือมดว้ ยตวั เช่ือม → ดงั น้ี ถา้ รูปแบบ ( P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ … ∧ Pn ) → Q เป็ นสจั นิรันดร์ แสดงวา่ การอา้ งเหตผุ ลน้ี สมเหตสุ มผล ถา้ รูปแบบ ( P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ … ∧ Pn ) → Q ไม่เป็นสจั นิรันดร์ แสดงวา่ การอา้ งเหตุผลน้ี ไม่ สมเหตุสมผล

ตวั อยา่ ง จงตรวจสอบวา่ การอา้ งเหตุผลตอ่ ไปน้ีสมเหตุสมผลหรือไม่ เหตุ 1. p → q 2. p ผล q วธิ ีทา ข้นั ท่ี 1 ใช้ ∧ เชื่อมเหตเุ ขา้ ดว้ ยกนั และใช้ → เช่ือมส่วนที่เป็นเหตกุ บั ผล จะไดร้ ูปแบบของประพจนค์ อื [( p → q ) ∧ p] → q ข้นั ที่ 2 ตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ที่ไดว้ า่ เป็ นสจั นิรันดร์หรือไม่ จากแผนภาพ แสดงวา่ รูปแบบของประพจน์ [( p → q ) ∧ p] → q เป็นสจั นิรันดร์ ดงั น้นั การอา้ งเหตุผลน้ีสมเหตสุ มผล ..................................................................................................................... 7. ประโยคเปิ ด ประโยคเปิ ด หมายถึง ประโยคบอกเล่า หรือ ประโยคปฏเิ สธท่ีมีตวั แปร ประโยคเปิ ดจะไม่เป็ นประพจน์ แตเ่ ม่ือแทนคา่ ตวั แปรดว้ ยสมาชิกในเอกภพสมั พทั ธแ์ ลว้ ประโยคเปิ ดน้นั จะเป็ นประพจน์ เช่น เขาเป็ นนกั ดนตรี เป็ นประโยคเปิ ด มีคาวา่ \"เขา\" เป็นตวั แปร x + 5 < 0 เป็นประโยคเปิ ด มี x เป็นตวั แปร 7x-2 ไม่เป็นประโยคเปิ ด เพราะเม่ือแทนคา่ x แลว้ ไม่เป็ นประพจน์ สัญลกั ษณ์แทนประโยคเปิ ดใดๆ ท่มี ี x เป็ นตวั แปร เขียนแทนด้วย P(x) .....................................................................................................................

8. ตวั บ่งปริมาณ ..................................................................................................................... 9. ค่าความจริงของประโยคท่ีมีตวั บง่ ปริมาณตวั แปรเดียว ประโยคท่ีมีตวั บ่งปริมาณน้นั โดยทวั่ ไปจะมีองคป์ ระกอบ 3 ส่วน คือ 1. ส่วนท้ีเ่ ป็นตวั บง่ ปริมาณ 2. ส่วนทเี่ ป็นประโยคเปิ ด 3. ส่วนทเี่ ป็นเอกภพสมั พทั ธ์ ..................................................................................................................... 10. ค่าความจริงของประโยคท่ีมีตวั บ่งปริมาณสองตวั

การหาค่าความจริงของประโยคทีม่ ีตวั บ่งปริมาณสองตวั มีหลกั การดงั น้ี กาหนดให้ U แทนเอกภพสัมพทั ธ์ และ P(x,y) แทนประโยคเปิ ดทมี่ ี x , y เป็ นตัวแปร