เอกสารประกอบการสอนค22201

เอกสารประกอบการเรียนวิชาคณติ ศาสตร์เพ่ิมเติม3 (ค22201) ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 2 1.6 7x +16 - 9x2 + 5x3 +9x - 8x3 - 9 ……………………………………………………………………………………ดกี รขี องพหุนาม……………………………………… 1.7 6x2 + 4x3 - 3x + 4 +2x - x3 - 3 ……………………………………………………………………………………ดีกรีของพหนุ าม……………………………………… 1.8 3n2 + 8 + mn2 + 6mn2 - 4mn2 - 6n2 - 5 ……………………………………………………………………………………ดีกรีของพหุนาม……………………………………… 1.9 7x2y2 - 3xy3 - 2x + 5xy3 ……………………………………………………………………………………ดีกรีของพหุนาม……………………………………… 1.10 1 x2 + 3 x - 2 x2 + 3 + 1 x2 - x 2 2 3 4 6 ……………………………………………………………………………………ดีกรขี องพหุนาม……………………………………… 2. จงเขียนพหนุ ามใหเ้ ป็นพหนุ ามในรูผลสำเรจ็ โดยเรียงพจน์จากดกี รนี ้อยไปมาก 2.1 - 6m + 7m3 + 6m2 - 4m - 5m2 - 5 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2.2 14x - 7x3 - 8x + 8 + 18x3 - 5 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2.3 - x3y2 + 6xy5 - 8x3y2 + 4x5y2 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2.4 3 x3 + 2x2 - x3 + 1 x2 - 1 4 2 3 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2.5 4xy2 - 8xy3 + 4xy3 + 6xy2 - 5 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… บทท่ี 2 บทประยกุ ต์ของพหุนาม 48

เอกสารประกอบการเรยี นวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เติม3 (ค22201) ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 2 3. จงหาผลบวกของพหนุ ามต่อไปน้ี 3.1 x2 + 2x - 15 กับ 2x2 - 4x + 3 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.2 - x2 + 5 กบั 3x3 + 7x2 + 4x ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.3 6pq + 7p กบั - 8p + 12pq ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.4 x2 + 7x - 5 กบั - x2 - 13x ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.5 3x2 + 6x - 4 กับ - 5x + 8 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.6 18x2 + 5x + 8 กับ 12x2 - 3x + 5 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.7 12x2 + 6x - 15 กบั 3x2 - 7x - 25 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.8 11ab - 8b2 + 5a2 กบั 15a2 - 11ab + 8b2 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.9 x4 + 16x3 - 7x - 13 กบั x4 - 26x2 - 12x - 1 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… บทท่ี 2 บทประยกุ ต์ของพหุนาม 49

เอกสารประกอบการเรียนวชิ าคณติ ศาสตร์เพมิ่ เตมิ 3 (ค22201) ช้ันมัธยมศกึ ษาปีที่ 2 3.10 18x2 + xy - 7x2y + 2x กบั 2x2 - 6xy + 3x2y ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.11 28x2y - 15xy + 8x2 + 2 กบั - 10x2 - 6x2y + 2x - 2 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.12 27s3 - 18s2 + 9s - 1 กับ s3 - 9s2 - 18s + 27 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.13 5x2y + 7xy2 + 3xy - 6 กบั 2x2y - 8xy2 - 9xy + 7 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.14 4a + 3b + 2c + 1 กับ 4 - 3a - 2b - c ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4. จงหาผลลบของพหุนามตอ่ ไปน้ี โดยใช้พหุนามแรกท่ีกำหนดให้เปน็ ตวั ต้งั 4.1 x3 - 7 + 2x2 - x กับ 9 - x3 + 5x2 - 3x ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4.2 4x3 - 3xy - y2 กับ 5x2 + 3xy - 8y2 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4.3 x2 + 6x - 7 กับ - 2x2 - 5x ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4.4 8x2 + 7x - 16 กับ - 6x + 7 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… บทท่ี 2 บทประยกุ ตข์ องพหุนาม 50

เอกสารประกอบการเรยี นวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเตมิ 3 (ค22201) ชัน้ มัธยมศึกษาปีท่ี 2 4.5 4x2 - 8x - 4 กับ 9x2 + 24x - 16 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4.6 13x2 + 7x + 9 กับ 16x2 - 9x + 27 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4.7 15x2 + 11x - 7 กับ 13x2 - 21x - 5 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4.8 13a2 + ab - 7b2 กับ 18a2 + 17b2 - 16ab ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4.9 3x4 + 6x3 - 8x - 10 กับ x4 - 12x2 - 11x - 2 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4.10 x2 - 6x2y + 4xy + 3x กบั 2x2 - 14xy + x2y ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4.11 2x2y + 4x2 + 1 กับ 8x2 - 6x2y + x - 3 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4.12 2m3 - 3m2 + 5m - 1 กบั m3 + 7m2 - m + 7 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4.13 x2y + xy2 + xy - 1 กบั x2y - xy2 - xy + 1 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4.14 9a + 8b + 7c + 6 กับ 9 - 8a - 7b - 6c ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… บทท่ี 2 บทประยกุ ต์ของพหุนาม 51

เอกสารประกอบการเรยี นวชิ าคณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม3 (ค22201) ช้นั มัธยมศกึ ษาปีที่ 2 5. จงหาผลบวกและผลลบของพหุนามในแต่ละข้อตอ่ ไปนี้ โดยใชพ้ หนุ ามแรกท่ีกำหนดให้เปน็ ตัวตั้ง 5.1 2x2 +3x - 5 กับ 6x - x2 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 5.2 -xy2 +7x3 -10x2y กบั x3 - 2x2y + 3y2 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 5.3 x3 +3x2y +3xy2 + y3 กับ x3 - 3x2y +3xy2 - y3 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 6. จงหาความยาวรอบรูปของรูปเรขาคณติ ต่อไปนี้ 6.1 2x2 + 1 10x- 2 4x + 3 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. บทท่ี 2 บทประยุกตข์ องพหุนาม 52

เอกสารประกอบการเรียนวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เติม3 (ค22201) ชั้นมธั ยมศึกษาปีท่ี 2 6.2 b2 + 2ab ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 6.3 9x + 7 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 6.4 8x - 5 4x - 1 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. บทที่ 2 บทประยุกตข์ องพหุนาม 53

เอกสารประกอบการเรยี นวชิ าคณติ ศาสตร์เพม่ิ เตมิ 3 (ค22201) ชัน้ มัธยมศึกษาปที ่ี 2 6.5 9x2 + 3 7x2 + 2 7x2 + 2 5x2 - 6 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 6.6 2x - 3 4x2 + 6x - 1 x2 + 6 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. บทท่ี 2 บทประยกุ ต์ของพหุนาม 54

เอกสารประกอบการเรยี นวิชาคณติ ศาสตร์เพิม่ เตมิ 3 (ค22201) ชั้นมัธยมศึกษาปที ่ี 2 6.7 x2 + 2xy 2xy + 7 xy - 3 xy - 3 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 6.8 9t2 - 5s +4t - 4 s 4s + 3t s+6 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. บทท่ี 2 บทประยุกต์ของพหุนาม 55

เอกสารประกอบการเรยี นวิชาคณติ ศาสตรเ์ พ่ิมเตมิ 3 (ค22201) ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 2 6.9 2a - 4 2a+ 2 6a -18 6a -18 2a2 - 20 6a - 18 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 6.10 3a-1 b+3 2ab2 4ab2+5a-2 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. บทที่ 2 บทประยุกตข์ องพหุนาม 56

เอกสารประกอบการเรียนวิชาคณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม3 (ค22201) ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 2 6.11 q2 -2 q2 +1 15p2 - 2r + 1 q2 - 9r + 1 3r + 2 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 6.12 2y x - 3y y 2y x - 4y 2x - 2y2 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 6.13 บทท่ี 2 บทประยุกต์ของพหุนาม 57

เอกสารประกอบการเรียนวชิ าคณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม3 (ค22201) ช้ันมัธยมศึกษาปที ่ี 2 2m - 5n n m-1 2n - 1 n m - 2n ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 6.14 4x + y x - 3y 7x2 - 2y ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. บทท่ี 2 บทประยกุ ต์ของพหุนาม 58

เอกสารประกอบการเรยี นวิชาคณิตศาสตรเ์ พิม่ เตมิ 3 (ค22201) ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2 7. จงตอบคำถามต่อไปน้ี 7.1 รูปสามเหลย่ี มรูปหน่งึ มคี วามยาวแตล่ ะดา้ นเป็น 4x +13 , 7x – 1 และ 5x +10 หน่วย ตามลำดบั จงหาความยาวรอบรปู ของรูปสามเหลีย่ มน้ี ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 7.2 รูปสามเหล่ียมดา้ นเท่ารูปหนึ่งมีความยาวด้านแต่ละด้านเป็น 5x2 +4x - 7 หนว่ ย จงหาความยาวรอบ รูปของรูปสามเหล่ียมดา้ นเทา่ รูปน้ี ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 7.3 รปู สามเหลยี่ มหน้าจ่วั รปู หนงึ่ มคี วามยาวทฐ่ี านเท่ากับ n2 + 1 หน่วย และความยาวด้านประกอบมุม ยอดเท่ากบั 6n2 + 2m - 1 หน่วย จงหาความยาวรอบรูปของหน้าจว่ั รูปนี้ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 7.4 รูปสเ่ี หลีย่ มจตั รุ สั รปู หนึง่ มคี วามยาวดา้ นแตล่ ะดา้ นเท่ากบั 23x +2 หน่วย จงหาความยาวรอบรูปของ รูปส่เี หลีย่ มจัตุรัสน้ี ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. บทที่ 2 บทประยกุ ตข์ องพหุนาม 59

เอกสารประกอบการเรยี นวิชาคณิตศาสตรเ์ พิ่มเติม3 (ค22201) ช้ันมัธยมศกึ ษาปที ี่ 2 7.5 รูปสีเ่ หลยี่ มมมุ ฉากรูปหนึ่งมคี วามยาวดา้ นกว้างและด้านยาวเทา่ กบั 4x2 - 6x -1 และ 8x2 +7x +6 หน่วย ตามลำดับ จงหาความยาวรอบรูปของรปู สเี่ หลี่ยมมุมฉากนี้ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 7.6 รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD มีความยาวแต่ละด้านเท่ากับ 5x2 - 7 เซนติเมตร และรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า PQRS มีความยาวด้านกว้างและด้านยาวเท่ากับ x2 และ 2x +1เซนติเมตร ตามลำดับ ถ้ารูปสี่เหลี่ยมจัตรุ สั ABCD มีความยาวรอบรูปมากกว่ารูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า PQRS แล้วความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมทั้งสอง ต่างกันเทา่ ใด ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 7.7 นายต้มั ตอ้ งการล้อมรว้ั ท่ีดนิ ของตน โดยทด่ี นิ แปลงนี้เป็นรูปสีเ่ หล่ยี มมุมฉากมีความยาวด้านกว้างและ ด้านยาวเท่ากับ 2x2 +6x - 7 และ 5x2 +8x -1 เมตร ตามลำดับ นายตั้มจึงต้องวัดความยาวรอบรูปของ ท่ีดนิ ของตน อยากทราบว่าทีด่ นิ ของนายตั้มมีความยาวรอบรูปเทา่ ใด ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 7.8 ห้องเรียนห้องหนึ่งมีพื้นที่ 6x2 + 7x2y - 4xy - x ตารางฟุต ซึ่งมากกว่าพื้นที่ของห้องเรียนอีกห้อง ทม่ี ีพื้นที่ 2x2 - 2x2y - xy + 2x ตารางฟุต อยากทราบว่า พ้ืนท่ีใชส้ อยของห้องเรียนสองห้องนี้ต่างกันเทา่ ใด ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. บทท่ี 2 บทประยุกตข์ องพหุนาม 60

เอกสารประกอบการเรียนวิชาคณติ ศาสตรเ์ พ่ิมเตมิ 3 (ค22201) ช้ันมธั ยมศึกษาปที ี่ 2 7.9 ลงุ หริศมีรายได้จากการทำงานพเิ ศษ 10z2 + 7z - 5 บาท จงึ แบง่ ให้น้องหนงิ z2 - z บาท แลว้ แบ่งใหน้ ้องอนั ปันอีก 3z - 2 บาท อยากทราบวา่ ลุงหริศจะเหลอื เงินก่ีบาท ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 7.10 กำหนดให้ A แทนพหุนาม -7x2 +5x -12 B แทนพหนุ าม 9x2 - 3x - 2 C แทนพหนุ าม 6x2 +4x +1 จงหาพหุนามต่อไปนี้ 1) A + B 2) B + A 3) A + C 4) C + A 5) A – B 6) B – A 7) B – C 8) C – B 9) (A – C) + B 10) A – (B - c) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. บทที่ 2 บทประยุกต์ของพหุนาม 61

เอกสารประกอบการเรยี นวิชาคณติ ศาสตรเ์ พิม่ เตมิ 3 (ค22201) ชัน้ มัธยมศึกษาปที ่ี 2 การคณู ระหวา่ งเอกนามกับเอกนาม การคูณระหว่างเอกนามกับเอกนามนั้นจะนำค่าคงตัวในแต่ละเอกนามมาคูณกันและนำตัวแปรในแต่ละ เอกนามมาคูณกันโดยใช้สมบัติของเลขยกกำลงั ตัวอยา่ งการคูณระหว่างเอกนามกับเอกนาม (4)(5x) = 20x (-8x)(9x) = - 72x2 (5pq)(3q) = 15pq2 (-7x2y)(-2xy) = …………………………………….. (-6)(4a)(2xy) =…………………………………….. การคูณระหว่างเอกนามกับพหุนาม การหาผลคณู ของเอกนามกบั พหุนาม มหี ลกั เกณฑด์ ังนี้ “การหาผลคูณระหวา่ งเอกนามกบั พหุนามทำไดโ้ ดยนำเอกนามไปคณู แตล่ ะพจนข์ องพหุนาม แลว้ นำผลคณู เหลา่ นนั้ มาบวกกนั ” ตวั อย่างที่ 1 จงหาคูณของ 2x กับ -5x2 +6x - 4 วิธีทำ (2x)(-5x2 +6x - 4) = (2x)[(-5x2) +6x - 4)] (2x)(-5x2) + (2x)(6x) + (2x)(-4) = -10x3 +12x2 - 8x = ตอบ -10x3 +12x2 - 8x ตัวอยา่ งท่ี 2 จงหาคณู (8x3 +4x -11)(-7x2) วธิ ีทำ (8x3 +4x -11)(-7x2) = …………………………………………… …………………………………………… = …………………………………………… = ตอบ …………………………………………… บทท่ี 2 บทประยกุ ต์ของพหุนาม 62

เอกสารประกอบการเรียนวิชาคณติ ศาสตร์เพิม่ เติม3 (ค22201) ชนั้ มธั ยมศึกษาปีที่ 2 การคูณระหวา่ งพหนุ ามกบั พหุนาม พจิ ารณาการคูณพหนุ ามกับพหุนามซ่งึ ทำได้โดยใชส้ มบัติการแจกแจงดังต่อไปนี้ 1. (x +3)(x +5) = [(x +3)(x)]+[(x +3)(5)] ใช้สมบตั ิการแจกแจงโดยนำ (x+3) = (x)(x) + (3)(x) + (x)(5) + (3)(5) ไปคณู แต่ละพจนข์ อง x+5 = x2 +3x +5x +15 = x2 +8x +15 หรือ (x +3)(x +5) = [(x)(x +5)]+[(3)(x +5)] = (x)(x) + (x)(5) + (3)(x) + (3)(5) ใชส้ มบตั ิการแจกแจงโดยนำ (x+5) = x2 +5x +3x +10 ไปคูณแตล่ ะพจน์ของ x+3 = x2 +8x +15 2. (x - 6)(2x2 - 5) = …………………………………………… = …………………………………………… = …………………………………………… = …………………………………………… = …………………………………………… หรือ (x - 6)(2x2 - 5) = …………………………………………… = …………………………………………… = …………………………………………… = …………………………………………… = …………………………………………… การหาผลคณู ของพหนุ ามสรุปได้ดังน้ี การหาผลคณู ของพหุนามกับพหุนาม ทำไดโ้ ดยคณู แตล่ ะพจนข์ องพหุนามหนง่ึ กบั ทุก ๆ พจนข์ อง อีกพหุนามหนง่ึ แล้วนำผลคณู เหล่านนั้ มาบวกกัน บทท่ี 2 บทประยกุ ต์ของพหุนาม 63

เอกสารประกอบการเรยี นวชิ าคณติ ศาสตร์เพิม่ เตมิ 3 (ค22201) ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีที่ 2 ตวั อย่างที่ 3 จงหาผลคูณ (x +5)(2x2 - x) วธิ ที ำ (x +5)(2x2 - x) = (x)(2x2) + x(-x) + (5)(2x2) + (5)(-x) 2x3 - x2 +10x2 - 5x = 2x3 +9x2 - 5x = (x +5)(2x2 - x) ตอบ 2x3 +9x2 - 5x การหาผลคูณในตัวอย่างท่ี 3 อาจนำแต่ละพจน์ของ (2x2 - x) ไปคูณทกุ ๆ พจน์ของ (x + 5) ดังแผนผงั (x +5)(2x2 - x) ตวั อย่างที่ 4 จงหาผลคณู (x - 4)(x2 + x - 6) วิธีทำ (x - 4)(x2 + x - 6) = ……………………………………………………….… = ……………………………………………………….… = ……………………………………………………….… ตอบ ……………………………………………………….… ตัวอย่างที่ 5 จงหาผลคูณ (6x2 + x)(3x2 - 7x -1) วธิ ีทำ (6x2 + x)(3x2 - 7x -1) = ……………………………………………………….… ตอบ = ……………………………………………………….… = ……………………………………………………….… ……………………………………………………….… บทท่ี 2 บทประยุกต์ของพหุนาม 64

เอกสารประกอบการเรียนวชิ าคณิตศาสตร์เพ่มิ เติม3 (ค22201) ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ี่ 2 ต่อไปน้ีเป็นตัวอย่างการหาผลคูณของเอกนามกับพหุนาม และการหาผลคูณของพหุนามกับพหุนาม ในกรณที ่ีมีตวั แปรมากกวา่ หนึ่งตวั ตัวอยา่ งที่ 6 จงหาผลคูณของ 7ab กับ 2a2 -b วธิ ีทำ (7ab)(2a2 -b) = (7ab)(2a2) + (7ab)(-b) 14a3b - 7ab2 = ตอบ 14a3b - 7ab2 ตวั อยา่ งที่ 7 จงหาผลคูณของ 5y2z กบั y3 - 4y2z2 +2z วธิ ีทำ (5y2z)(y3 - 4y2z2 +2z) = (5y2z)(y3)+(5y2z)(-4y2z2)+(5y2z)(2z) = 5y5z - 20y4z3 +10y2z2 ตอบ 5y5z - 20y4z3 +10y2z2 ตวั อย่างท่ี 8 จงหาผลลพั ธ์ของ (x - y)2 (x - y)(x - y) วิธที ำ (x - y)2 = (x - y)x - (x - y)y x2 - xy - (xy - y2) ตัวอยา่ งท่ี 9 = x2 - xy - xy + y2 วธิ ีทำ x2 - 2xy + y2 = = = ตอบ x2 - 2xy + y2 จงหาผลลพั ธข์ อง (5x +2)(y - 4) (5x +2)(y - 4) =……………………………………………………….… =……………………………………………………….… =……………………………………………………….… ตอบ ……………………………………………………….… บทที่ 2 บทประยุกตข์ องพหุนาม 65

เอกสารประกอบการเรยี นวิชาคณติ ศาสตร์เพิม่ เตมิ 3 (ค22201) ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 2 1. จงหาผลคูณต่อไปน้ี = …………………………………………………… 1.1 (-5xy)(-6xy) = …………………………………………………… 1.2 (-a)(9a) = …………………………………………………… 1.3 (-7x2y2)(-6x2y) = …………………………………………………… 1.4 (8x2y)(-4xy3) = …………………………………………………… 1.5 (-5xyz)(9x2y) = …………………………………………………… 1.6 3(5ab3) 1.7 (12x5y)(- 1 y2z) = …………………………………………………… 3 1.8 (-4x2yz2)(7xy2z3) = …………………………………………………… 1.9 (15ab)(3) = …………………………………………………… 1.10 (-6mn)(-11n) = …………………………………………………… 1.11 (10s2t2)(2s2t2) = …………………………………………………… 1.12 (21xy)(3x2) = …………………………………………………… 1.13 (8x6)(-7x6) = …………………………………………………… 1.14 (2x2y)(9xz) = …………………………………………………… 1.15 (-12c)(-2acd) = …………………………………………………… 1.16 (8rt3)(-9t) = …………………………………………………… 1.17 (16x)(2x) = …………………………………………………… 1.18 (-6p2q2)(7p2q) = …………………………………………………… 1.19 (-3ab)(2a2b) = …………………………………………………… บทที่ 2 บทประยุกต์ของพหุนาม 66

เอกสารประกอบการเรียนวชิ าคณิตศาสตรเ์ พิม่ เติม3 (ค22201) ช้ันมธั ยมศึกษาปที ่ี 2 1.20 (14x2)(3x2) = …………………………………………………… 67 1.21 (-7d2f)(7df3) = …………………………………………………… 1.22 2 y(15x4yz) = …………………………………………………… 5 = …………………………………………………… 1.23 (-4rt)(-2t) = …………………………………………………… 1.24 (8bx)(-14ay) 1.25 (-6ab)(-2ab2) = …………………………………………………… 1.26 (25y4)(-2y3) = …………………………………………………… 1.27 (0.02x2)(-50xy2) = …………………………………………………… 1.28 (-0.3pq)(-54p) = …………………………………………………… 1.29 (0.5)(80x2y3) = …………………………………………………… 1.30 (0.004x2y)(250x2yz) = …………………………………………………… 2. จงหาผลคณู ตอ่ ไปน้ี = …………………………………………………… 2.1 (-3x)(8 - x) 2.2 (11x)(x2 +7x) = …………………………………………………… 2.3 (3x2)(x3 - 4x2 +3x -1) = …………………………………………………… 2.4 (4x)(-x3 +5x - 2) = …………………………………………………… 2.5 6(x2 +4x - 8) = …………………………………………………… 2.6 7x(x2 - x - 3) = …………………………………………………… 2.7 (4x + 1)5x = …………………………………………………… 2.8 (3x - 7)(-3x) = …………………………………………………… 2.9 (x)(x2 -12x +36) = …………………………………………………… บทท่ี 2 บทประยุกตข์ องพหุนาม

เอกสารประกอบการเรยี นวชิ าคณิตศาสตร์เพิม่ เติม3 (ค22201) ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 2 2.10 (x4 - 2x2 + 4x - 6)(- 1 x2) = …………………………………………………… 2 2.11 (-2x2)(x2 +14x +49) = …………………………………………………… 2.12 (7x)(-x3 +5x2 - 7x) = …………………………………………………… 2.13 pqr(p + q - r) = …………………………………………………… 2.14 -mn(3m - n + 4) = …………………………………………………… 2.15 -ab(4a - b + 2c) = …………………………………………………… 2.16 (-3x)(x2 - xy + y2) = …………………………………………………… 2.17 (-6x2 - 4x + 2)(-x2) = …………………………………………………… 2.18 (7x2 - 2x + 7)(3x) = …………………………………………………… 2.19 (3 x)(10x2 - 25x + 20) = …………………………………………………… 5 2.20 (-6xy)(5x2 - 4xy) = …………………………………………………… 2.21 (11x2)(x3 - 7x + 4) = …………………………………………………… 2.22 -2x3(-x2 - 9x) = …………………………………………………… 2.23 -2a2b2(a3 - 4ba + 2a2b2) = …………………………………………………… 2.24 (-4y)(2 - 6y + y2) = …………………………………………………… 2.25 (-3xy)(xy2 - 5x2y) = …………………………………………………… 2.26 (7x3 - 6x2y + 5xy2)(-9x3y2) = …………………………………………………… 2.27 (-4a2b)(5a3b2 - 3ab2 + ab) = …………………………………………………… 2.28 (-6x)(x3 - 5x2 + 3xy + y2 + 8) = …………………………………………………… 2.29 1 (2b2 - 4b + 16) = …………………………………………………… 2 = …………………………………………………… 2.30 (5x2y - 4xy2 + 6)(12x2y) บทที่ 2 บทประยุกตข์ องพหุนาม 68

เอกสารประกอบการเรยี นวิชาคณิตศาสตร์เพิม่ เตมิ 3 (ค22201) ช้ันมัธยมศกึ ษาปที ี่ 2 3. จงหาผลคณู ต่อไปนี้ โดยใชส้ มบัตแิ จกแจง 3.1 (x +5)(x +4) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.2 (x +3)(x +7) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.3 (x +8)(x +8) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.4 (x - 7)(x - 2) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.5 (x - 4)(x - 6) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.6 (x - 9)(x - 9) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.7 (x +7)(x -1) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.8 (x +3)(x - 6) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.9 (x - 4)(x +11) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.10 (x -14)(x +2) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… บทท่ี 2 บทประยุกตข์ องพหุนาม 69

เอกสารประกอบการเรยี นวชิ าคณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม3 (ค22201) ช้ันมัธยมศึกษาปที ี่ 2 3.11 (x - 3)2 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.12 (x - 4)2 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.13 (x + 5)2 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.14 (x + 6)2 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.15 (2x - 5)2 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.16 (6x -1)2 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.17 (3x + 7)2 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.18 (9x + 2)2 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.19 (3x - 4y)2 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.20 (5x + 6y)2 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… บทท่ี 2 บทประยกุ ต์ของพหุนาม 70

เอกสารประกอบการเรียนวชิ าคณิตศาสตร์เพ่มิ เติม3 (ค22201) ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 2 3.21 (7y - 4)(3y -1) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.22 (8y - 2)(2y - 4) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.23 (3y - 8)(11y - 2) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.24 (5y - 6)(2y -13) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.25 (10a+1)(8a+1) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.26 (12a+3)(3a+12) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.27 (4a+10)(9a+ 2) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.28 (6a+ 7)(4a+ 7) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.29 (8b - 7)(9b + 3) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.30 (-6b -1)(2b +11) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.31 (5b - 9)(-7b + 5) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… บทที่ 2 บทประยกุ ตข์ องพหุนาม 71

เอกสารประกอบการเรียนวิชาคณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เติม3 (ค22201) ชัน้ มัธยมศึกษาปที ี่ 2 3.32 (2b -15)(2b + 4) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.33 (10d+ 7)(6d -1) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.34 (18d+ 2)(2d -1) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.35 (5d+10)(6d -10) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.36 (2d+ 5)(3d -12) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.37 (2x +1y)(-3x +4y) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.38 (7x +3y)(x +8y) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.39 (4x + y)(4x + y) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.40 (8x -11y)(-4x - 3y) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.41 (5x - 4y)(x - 7y) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… บทท่ี 2 บทประยุกต์ของพหุนาม 72

เอกสารประกอบการเรยี นวิชาคณติ ศาสตร์เพ่มิ เตมิ 3 (ค22201) ชน้ั มัธยมศึกษาปที ่ี 2 3.42 (8x - 9y)(8x - 9y) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.43 (11x +2y)(-11x - 4y) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.44 (8x +4y)(2x - 6y) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.45 (-15x - 2y)(2x +7y) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.46 (2y2 - 8)(7y - 8) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.47 (5y - 7)(14y2 - 2) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.48 (8a2 +1)(5a+1) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.49 (-14a+5)(6a2 +9) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.50 (-4b2 - 3)(6b +11) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.51 (22b -16)(8b2 +5) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… บทที่ 2 บทประยุกตข์ องพหุนาม 73

เอกสารประกอบการเรียนวชิ าคณิตศาสตรเ์ พ่ิมเตมิ 3 (ค22201) ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีที่ 2 3.52 (-0.2d2 +4)(0.5d - 2) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.53 (0.5d+5)(4d2 - 0.1) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.54 (8x -11y)(12x - xy) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.55 (5x + y)(2xy - x) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.56 (6x +7xy)(9x +8y) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.57 (14x - 3xy)(x2 - y) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.58 (x2 + y2)(8x - 6) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.59 (x2 +2xy + y2)(2x -1) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.60 (-xy2 +2)(x2 +14x +49) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.61 (-4x + y)(x2 - xy + y2) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… บทที่ 2 บทประยุกต์ของพหุนาม 74

เอกสารประกอบการเรยี นวชิ าคณิตศาสตรเ์ พม่ิ เติม3 (ค22201) ช้ันมธั ยมศึกษาปที ่ี 2 3.62 (-6x2 - 4x + 2)(-2x + y2) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.63 (7x2 - 2x + 7)(3x - y) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.64 (a- 2y)(2 - 6y + y2) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.65 (-3xy + y)(xy2 - 5x2y) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.66 (4x3 - 6x2y + 5xy2)(-9x3y + 5) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.67 (4a2b - 2)(2a3b2 - 4ab2 + ab) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.68 (-3x2 + 2y)(x3 - 5x2 + 3xy + y2 + 8) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.69 (a - b)(a - b)2 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.70 (a + b)2(a + b) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… บทท่ี 2 บทประยุกตข์ องพหุนาม 75

เอกสารประกอบการเรยี นวิชาคณติ ศาสตร์เพม่ิ เตมิ 3 (ค22201) ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2 4. จงหาพ้ืนที่ของส่วนท่แี รเงาต่อไปน้ี 4.1 7x - 9 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4.2 5y - 1 x2 + 2y ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… บทที่ 2 บทประยกุ ต์ของพหุนาม 76

เอกสารประกอบการเรียนวชิ าคณติ ศาสตร์เพม่ิ เตมิ 3 (ค22201) ชน้ั มัธยมศึกษาปีท่ี 2 4.3 4x2 + 3 2x2 - 1 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4.4 4mn + n2 6 m6m- 2nn+2 n2 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… บทท่ี 2 บทประยุกตข์ องพหุนาม 77

เอกสารประกอบการเรยี นวชิ าคณิตศาสตรเ์ พิ่มเตมิ 3 (ค22201) ช้นั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 2 4.5 3x + y x 2x + 1 8xy ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4.6 5x - 1 2x 3x2 - 2 4 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… บทท่ี 2 บทประยกุ ตข์ องพหุนาม 78

เอกสารประกอบการเรยี นวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เติม3 (ค22201) ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ่ี 2 4.7 2p + 1 2p + 1 2p + 1 2p + 1 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4.8 4m 4m 4m 4m ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… บทท่ี 2 บทประยกุ ต์ของพหุนาม 79

เอกสารประกอบการเรยี นวิชาคณิตศาสตร์เพิม่ เตมิ 3 (ค22201) ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที ่ี 2 4.9 5b 5b 5b ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4.10 5x ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… บทท่ี 2 บทประยกุ ตข์ องพหุนาม 80

เอกสารประกอบการเรียนวชิ าคณิตศาสตรเ์ พ่ิมเตมิ 3 (ค22201) ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 2 4.11 17m3 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4.12 a 2b +1 2b +1 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… บทท่ี 2 บทประยุกตข์ องพหุนาม 81

เอกสารประกอบการเรยี นวิชาคณติ ศาสตรเ์ พิม่ เติม3 (ค22201) ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 2 4.13 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4.14 4r ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… บทที่ 2 บทประยุกต์ของพหุนาม 82

เอกสารประกอบการเรยี นวชิ าคณิตศาสตรเ์ พ่ิมเติม3 (ค22201) ชนั้ มัธยมศึกษาปีที่ 2 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 5. จงตอบคำถามต่อไปน้ี 5.1 รูปคลี่ของกล่องพรี ะมิดฐานสี่เหลยี่ มจตั รุ สั ใบหนึง่ มีขนาด ดงั รปู (ให้ x และ y มีหน่วยความยาวเปน็ เซนติเมตร) จงหาวา่ กระดาษรูปคลข่ี องกลอ่ งใบน้ี มีพ้ืนท่กี ี่ตารางเซนตเิ มตร ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 5.2 กระบะสังกะสีใส่ทรายทรงสี่เหล่ียมมุมฉากกว้าง x เซนติเมตร ยาว y เซนตเิ มตร และลึก 2z เซนติเมตร จงหาวา่ ถ้าต้องการทาสีกระบะภายนอกท้ังหมด บริเวณท่ตี ้องทาสีมพี ้นื ที่ก่ตี ารางเซนติเมตร 2z ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… บทท่ี 2 บทประยุกตข์ องพหุนาม 83

เอกสารประกอบการเรียนวชิ าคณิตศาสตร์เพ่ิมเตมิ 3 (ค22201) ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 2 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 5.3 ลูกบาศก์ลูกหน่ึงแต่ละดา้ นยาว 2a หนว่ ย ถูกนำมาแบ่งให้เป็นลูกบาศก์ลูกเล็ก ๆ ซึ่งมีขนาดเท่ากัน 8 ลูก จงหาว่า ผลบวกของพ้ืนท่ีผิวของลูกบาศก์ลูกเล็ก ท้ังแปดลูก มากกว่าพ้ืนท่ีผิวของลูกบาศก์ลูกใหญ่ ก่ีตารางหน่วย จงหาคำตอบพร้อมกับเขียนแสดงแนวคิด 2a 2a ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… บทท่ี 2 บทประยกุ ตข์ องพหุนาม 84

เอกสารประกอบการเรียนวชิ าคณติ ศาสตร์เพิม่ เติม3 (ค22201) ชั้นมธั ยมศึกษาปีท่ี 2 ในการหารพหนุ าม มขี ้อตกลงวา่ เอกนามหรือพหนุ ามทีเ่ ปน็ ตัวหารต้องไม่เป็นศนู ย์ การหารเอกนามด้วยเอกนาม พจิ ารณาการหารเอกนามดว้ ยเอกนามในแต่ละข้อต่อไปนซ้ี งึ่ ทำไดโ้ ดยใช้สมบัติของเลขยกกำลัง 1. 25x3y 5xy = 25x3y = 5xy 25 x3 - 1y1 - 1 5 = 5x2y0 = 5x2 (1) = 5x2 2. 14m4n2 21m2n = 14m4n2 21m2n 14 = 21 m4 - 2n2 - 1 = 2 m2n 3 การหารเอกนามดว้ ยเอกนาม เม่ือไดผ้ ลหารเป็นเอกนาม เราสามารถตรวจสอบผลหาร โดยนำตัวหาร คณู กับผลหาร ถ้ามผี ลลพั ธเ์ ท่ากบั ตวั ตงั้ แสดงวา่ ผลหารทีไ่ ดถ้ กู ต้อง ในทีน่ ี้ จะกล่าวถึงการหารเอกนามด้วยเอกนามท่ีมีผลหารเป็นเอกนามเท่านน้ั ตัวอย่างท่ี 1 จงหาร 16x15 ด้วย 8x11 วิธีทำ 16x15 =  16  x15 - 11 8x11  8  = 2x4 ตอบ 2x4 บทท่ี 2 บทประยุกต์ของพหุนาม 85

เอกสารประกอบการเรยี นวิชาคณิตศาสตรเ์ พิม่ เติม3 (ค22201) ชน้ั มัธยมศึกษาปีที่ 2 ตวั อยา่ งท่ี 2 จงหาผลหารของ - 36x10y8 วธิ ีทำ 12x7y6 - 36x10y8 =  - 36  x10 - 7y8 - 6 12x7y6  12  = - 3x3y2 ตอบ - 3x3y2 การหารพหนุ ามดว้ ยเอกนาม การหารพหนุ ามด้วยเอกนาม มหี ลกั เกณฑ์ดังนี้ “การหาผลหารของพหุนามดว้ ยเอกนามที่ไมเ่ ป็นศูนย์ ทำได้โดยหารแตล่ ะพจน์ของพหุนามด้วย เอกนาม แลว้ นำผลหารเหล่าน้นั มาบวกกัน” ถา้ การหารพหุนามดว้ ยเอกนามไดผ้ ลหารเปน็ พหุนาม แลว้ จะกลา่ วว่าการหารนน้ั เป็นการหารลงตัว ความสมั พันธ์ของตวั หาร ผลหาร และตวั ต้ังในกรณีทเี่ ป็นการหารลงตวั เปน็ ดงั น้ี ตวั หาร  ผลหาร = ตัวตั้ง ตวั อย่างท่ี 3 จงหาร 18x3 - 27x2 +3x ด้วย 3x วิธีทำ 18x3 - 27x2 +3x = 18x3 + (-27x2) +3x ตัวอยา่ งท่ี 4 3x 3x วิธีทำ = 18x3 + (-27x2 ) + 3x 3x 3x 3x = 6x2 - 9x +1 ตอบ 6x2 - 9x +1 จงหาผลหาร -12x2y - 30x3y -6x2 -12x2y - 30x3y = …………………………………………… -6x2 …………………………………………… = …………………………………………… = ตอบ …………………………………………… บทที่ 2 บทประยุกต์ของพหุนาม 86

เอกสารประกอบการเรียนวชิ าคณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม3 (ค22201) ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 2 1. จงหาผลหารต่อไปนี้ 1.1 - 14x5 7x ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1.2 6x6 3x2 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1.3 15x9 20x8 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1.4 22x4y8 -2xy ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1.5 - 81m12n7 -3m5n5 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1.6 52p9q7 13p2q ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1.7 45x10y13 225x8y7 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… บทท่ี 2 บทประยกุ ต์ของพหุนาม 87

เอกสารประกอบการเรียนวิชาคณิตศาสตร์เพิม่ เติม3 (ค22201) ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 2 1.8 169x14y4z2 13x5y ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1.9 108p6q8r - 12p3q5r ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1.10 - 144x11y9z12 - 8x9y7z8 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. จงหาผลหารตอ่ ไปนี้ 2.1 (5x4 + 7x3 - 3x2)  (x2) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2.2 (12x5 + 18x4 + 24x3)  (-6x) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2.3 (3x2 - 5x + 7)  (-1) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2.4 (16a4 - 8a3) 4a3 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2.5 (220x3 - 110x2)  (-22x) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… บทที่ 2 บทประยุกตข์ องพหุนาม 88

เอกสารประกอบการเรียนวิชาคณิตศาสตรเ์ พ่มิ เตมิ 3 (ค22201) ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 2 2.6 (z4 - 7z2 - z)  (-z2) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2.7 (28p5 - 20p3 + 4p2)  (-4p2) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2.8 (9x3 + 7x2 - 32) 2x ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2.9 (27k5 - 24k4 + 15k3 - 3k2) 3k2 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2.10 (8x3y4 + 6x3y3 - 7xy2 + 9xy)  (xy) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2.11 (80x3 + 50x2 + 60x)  (10x) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2.12 (-18x3 + 12x2 - 6x)  (-2x) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2.13 (-x3 + 9x2 - x)  (-x) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2.14 (21x3 + 18x2 - 12x)  (3x) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2.15 (20z7 - 10z5 +25z3)  (-5z2) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… บทท่ี 2 บทประยุกตข์ องพหุนาม 89

เอกสารประกอบการเรยี นวชิ าคณติ ศาสตร์เพ่มิ เติม3 (ค22201) ช้ันมัธยมศกึ ษาปีที่ 2 2.16 (8x4 - 6x3 + 2x2 -12x)  (-2x) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2.17 (144x4y4 - 36x4y3 - 108x2y - 48xy)  (12xy) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2.18 (52m3n5 - 78mn2) 13mn ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2.19 (6x4y2 - 9x3y3 - 15x2y4 )  (-3x2y2) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2.20 (16p2q - 24pq2) 8pq ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2.21 (a3 - 4a2 + 5a) หารด้วย a ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2.22 (8m7 - 10m5 + 12m3) หารดว้ ย m3 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2.23 (9a2x3 - 12ax4 ) หารด้วย 3ax2 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2.24 28x +20x2 - 4x3 หารด้วย 4x ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2.25 60x2 - 36x3 หารดว้ ย -12x2 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… บทที่ 2 บทประยกุ ต์ของพหุนาม 90

เอกสารประกอบการเรียนวชิ าคณิตศาสตรเ์ พ่มิ เตมิ 3 (ค22201) ชั้นมธั ยมศึกษาปที ่ี 2 2.26 18ab2 - 15a2b หารด้วย -3ab ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2.27 -8x4y + 24x3y2 - 6x2y3 หารดว้ ย -2x2y ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2.28 -15b3 + 21b2 + 6b หารดว้ ย -3b ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2.29 xy + 2x2y - 3xy2 หารดว้ ย xy ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2.30 -36x3y3 +27x3y3 - 54x2y +9xy หารด้วย -9xy ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3. จงตอบคำถามต่อไปน้ี 3.1 กำหนดให้ A และ B แทนพหนุ ามใด ๆ จงหาพหนุ าม A และ B ท่ที ำให้ประโยคต่อไปนเ้ี ป็นจริง 1) (A)(4x2) = 16x4 + 8x3 - 32x2 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… บทที่ 2 บทประยุกตข์ องพหุนาม 91

เอกสารประกอบการเรยี นวิชาคณติ ศาสตร์เพิ่มเติม3 (ค22201) ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 2 2) 21x5 + 14x4 - 35x3 = - 3x2 - 2x + 5 B ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.2 จงหาพหุนาม P ท่ีทำให้ P = - 5x4 + 2x3 - 4x2 - 8x +1 2x2 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… บทท่ี 2 บทประยุกตข์ องพหุนาม 92

เอกสารประกอบการเรยี นวชิ าคณติ ศาสตร์เพิ่มเตมิ 3 (ค22201) ชั้นมธั ยมศึกษาปที ่ี 2 บทท่ี 3 บทประยกุ ต์ของการแปลงทางเรขาคณิต การแปลงทางเรขาคณติ (geometric transformation) การแปลงทางเรขาคณิตเป็นความเกี่ยวข้องระหว่างรูปเรขาคณิตก่อนการแปลงและรูปเรขาคณิตหลัง การแปลง เรียกรูปเรขาคณิตก่อนการแปลงว่า รูปต้นแบบ เรียกรูปเรขาคณิตหลังการแปลงว่า ภาพท่ีได้จาก การแปลง ภาพที่ได้จากการแปลงอาจเป็นภาพย่อ ภาพขยาย ภาพเหมือน และมีขนาดเดียวกับรูปต้นแบบ ในท่ีน้ีจะกล่าวถึงการแปลงทางเรขาคณิต 3 แบบ ได้แก่ การเลื่อนขนาน การสะท้อน และการหมุน การแปลง ทางเรขาคณติ ท้งั สามแบบนี้จะไดภ้ าพท่ีมีรูปรา่ งเหมือนกันและขนาดเดยี วกันกับรปู ต้นแบบเสมอ 3.1 บทประยกุ ต์ของการเลอื่ นขนาน การเลื่อนขนานบนระนาบเป็นการแปลงทางเรขาคณิตท่ีมีการเลือ่ นจดุ ทุกจดุ ไปบนระนาบตามแนว เส้นตรงในทศิ ทางเดยี วกนั และเป็นระยะทางเท่ากันตามทีก่ าหนด การบอกทศิ ทางและระยะของการเล่ือนขนานจะใช้เวกเตอร์เปน็ ตวั กาหนด เชน่ เวกเตอร์ MN เขียนแทนดว้ ย M⃑⃑⃑⃑⃑N⃑ จะมที ศิ ทางจากจดุ เร่มิ ต้น M ไปยังจดุ สิ้นสดุ N และมขี นาดเทา่ กับ ความยาวของ M̅̅̅̅N̅ ซ่ึงจุดเรม่ิ ต้นอาจอยู่ท่รี ูปตน้ แบบหรอื นอกรูปต้นแบบ รูปต้นแบบ ภาพทไ่ี ดจ้ ากการเลอ่ื นขนาน C C' A A' B B' MN สมบัตขิ องการเลอ่ื นขนาน มดี งั น้ี 1. รปู ต้นแบบและภาพทีไ่ ด้จากการเล่อื นขนานสามารถทบั กันไดส้ นิทโดยไม่ต้องพลิกรูป หรอื กลา่ วว่า รูปต้นแบบและภาพที่ได้จากการเล่อื นขนานเท่ากันทุกประการ 2. สว่ นของเส้นตรงท่เี ช่อื มระหวา่ งจุดทสี่ มนยั กันแตล่ ะคู่ จะขนานกันและยาวเท่ากันทุกเสน้ 3. สว่ นของเสน้ ตรงบนรปู ตน้ แบบและภาพทไี่ ดจ้ ากการเลอ่ื นขนานสว่ นของเสน้ ตรงนน้ั จะขนานกนั และยาวเทา่ กัน บทที่ 3 บทประยกุ ตข์ องการแปลงทางเรขาคณิต 93

เอกสารประกอบการเรียนวชิ าคณิตศาสตรเ์ พ่ิมเตมิ 3 (ค22201) ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 2 แบบฝึกหดั 3.1 1. กาหนดให้ ABCD เป็นรูปตน้ แบบ A'B'C'D' เปน็ ภาพทไี่ ด้จากการเล่ือนขนาน ABCD ซงึ่ มจี ดุ A'(7,2) เปน็ ภาพทไ่ี ด้จากการเลื่อนขนานจดุ A จงหาพิกดั ของจุด B' , C' และ D' 2. จงหาพ้ืนทโี่ ดยประมาณของรปู ทก่ี าหนดให้ 6 ซม. 15 ซม. วิธีทา………………………………………………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..... ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..... ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..... บทท่ี 3 บทประยกุ ตข์ องการแปลงทางเรขาคณิต 94

เอกสารประกอบการเรียนวชิ าคณิตศาสตรเ์ พ่ิมเตมิ 3 (ค22201) ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ี่ 2 3. จากรปู จงใช้การเลอื่ นขนานแสดงวา่ รูปส่ีเหลยี่ มด้านขนาน ABCD มีพ้นื ทเ่ี ท่ากับรูปส่เี หล่ียมผืนผ้า ABFE วธิ ีทา………………………………………………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..... ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..... ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..... 4. หมูบ่ ้านวังเกา่ ต้งั อย่ทู ต่ี าแหนง่ A และหมู่บ้านพัฒนาต้ังอยทู่ ่ตี าแหน่ง B ทางหลวงสายใหมส่ รา้ งขึ้นผ่าน กลางระหว่างสองหมู่บ้านน้ี ดังแผนภาพ ทางการต้องการสรา้ งสะพานลอยคนข้าม เพื่อให้ประชาชนในสอง หมูบ่ ้านไปมาหาสกู่ นั ได้สะดวก จงหาตาแหนง่ ที่จะสรา้ งสะพานลอย เพ่ือใหร้ ะยะทางจากหม่บู า้ นวังเก่าถึง หมู่บ้านพัฒนาสน้ั ท่สี ดุ โดยแนวสะพานลอยตอ้ งตั้งฉากกับแนวทางหลวง นกั เรยี นทราบได้อยา่ งไรวา่ ตาแหน่งที่สรา้ งสะพานลอยทาให้ไดร้ ะยะทางทส่ี ้นั ท่ีสุด บทท่ี 3 บทประยกุ ต์ของการแปลงทางเรขาคณติ 95

เอกสารประกอบการเรียนวิชาคณิตศาสตรเ์ พิม่ เตมิ 3 (ค22201) ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2 วิธีทา………………………………………………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..... ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..... ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..... 5. หมบู่ ้านสองหมบู่ า้ นตั้งอยู่ที่ตาแหน่ง C และตาแหน่ง D มีแม่นา้ สองสายขนานกนั และชายฝัง่ ของแม่น้าแต่ ละสายขนานกนั แม่น้าไหลผา่ นกั้นระหวา่ งสองหมูบ่ ้านนี้ ดงั รปู ถ้าต้องการสรา้ งสะพานลอยสองสะพานให้ ตงั้ ฉากกบั ฝั่งแม่น้าทง้ั สองของแมน่ ้าแตล่ ะสาย เพอ่ื เช่ือมระหว่างสองหมูบ่ ้านให้ไดร้ ะยะทางส้ันทีส่ ดุ ควรจะ สรา้ งแตล่ ะสะพานท่ตี าแหน่งใด จงอธิบาย วิธที า………………………………………………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..... ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..... ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..... บทท่ี 3 บทประยุกต์ของการแปลงทางเรขาคณิต 96

เอกสารประกอบการเรยี นวชิ าคณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ 3 (ค22201) ชั้นมธั ยมศึกษาปีที่ 2 3.2 บทประยกุ ตข์ องการสะท้อน การสะท้อนบนระนาบเปน็ การแปลงทางเรขาคณิตที่มีการพลิกรูป โดยมีเส้นในแนวต้งั เส้นหนงึ่ เปน็ เส้นสะท้อน (line of reflection หรอื mirror line) F F' D D' E E' เส้นสะทอ้ น การสะทอ้ นบนระนาบเป็นการแปลงทางเรขาคณติ ทม่ี เี สน้ ตรง ������ ท่ีตรงึ เส้นหนง่ึ เปน็ เส้นสะทอ้ น แตล่ ะ จดุ P บนระนาบ จะมจี ดุ P' เป็นภาพท่ไี ดจ้ ากการสะท้อนจุด P โดยท่ี 1. ถ้าจุด P ไม่อย่บู นเสน้ สะท้อน แล้วเสน้ สะท้อนจะแบ่งคร่ึงและตั้งฉากกับ P̅̅P̅̅′ 2. ถ้าจดุ P อยู่บนเสน้ สะทอ้ น แลว้ จดุ P และจุด P' เปน็ จุดเดียวกนั ������ ������ ������ ������’ ������ ������’ สมบัติของการสะท้อน 1. รูปต้นแบบและภาพท่ไี ดจ้ ากาสะท้อน สามารถทบั กันได้สนิทโดยตอ้ งพลิกรูปต้นแบบหรือพลิกภาพ ทไ่ี ดจ้ ากการสะท้อนอย่างหน่ึงอย่างใด หรอื กลา่ วว่า รูปต้นแบบและภาพทีไ่ ดจ้ ากการสะท้อนเท่ากัน ทกุ ประการ 2. จุดท่ีสมนยั กนั แตล่ ะค่จู ะอยูห่ า่ งจากเส้นสะท้อนเท่ากนั หรอื เส้นสะท้อนจะแบ่งคร่งึ และตัง้ ฉากกบั ส่วนของเส้นตรงทีเ่ ชอ่ื มระหว่างจุดทส่ี มนยั กนั บนรูปตน้ แบบและภาพท่ีไดจ้ ากการสะทอ้ น 3. สว่ นของเสน้ ตรงท่เี ช่ือมระหวา่ งจุดทส่ี มนยั กนั บนรูปตน้ แบบและภาพที่ไดจ้ ากการสะทอ้ น จะขนานกัน บทที่ 3 บทประยกุ ตข์ องการแปลงทางเรขาคณติ 97