Επανάληψη Γυμνασίου - Ενότητα 5 - Πράξεις με ρητές παραστάσεις (Θ)

Η επανάληψη του Γυµνασίου Ενότητα 5 Πράξεις µε ρητές αλγεβρικές παραστάσεις Θεωρία - Μεθοδολογία Νέα Μουδανιά • Ιούνιος 2022 www.mathsteki.gr

~ Περιεχόμενα ενότητας 5 ~ Πώς κάνεις πράξεις με ρητές αλγεβρικές παραστάσεις ....................................................................50 Α. Πώς προσθέτεις/αφαιρείς ρητές παραστάσεις .........................................................................50 Β. Πώς θα βρεις το Ε.Κ.Π. δύο (ή περισσότερων) αλγεβρικών παραστάσεων .............51 Γ. Πώς πολλαπλασιάζεις/διαιρείς ρητές παραστάσεις ................................................................54

Η επανάληψη του Γυμνασίου Ενότητα 5 - Πράξεις με ρητές αλγεβρικές παραστάσεις ~ Ενότητα 5 ~ Πράξεις με ρητές αλγεβρικές παραστάσεις Ρητή αλγεβρική παράσταση (ή απλώς ρητή παράσταση) λέγεται μια αλγεβρική παράσταση η οποία είναι κλάσμα και οι όροι του είναι πολυώνυμα. Για παράδειγμα, ρητές παραστάσεις είναι οι x3 +4 , xyz , 2 , 3x2y . x −1 x+y x2 +4 xy Για να ορίζεται μια ρητή παράσταση, πρέπει ο παρονομαστής της να είναι διά- φορος του μηδενός. Οι πράξεις με ρητές αλγεβρικές παραστάσεις είναι εξίσου συνηθισμένες με τις αλγε- βρικές παραστάσεις που δεν έχουν κλάσματα, αλλά προκαλούν πολύ περισσότερο τρόμο (γενικώς τα κλάσματα προκαλούν τρόμο), αν και έχουν τυποποιημένα βήματα για το πώς γίνονται πράξεις με αυτές. Ας υπενθυμίσω και προσπαθήσω να ξεκαθαρίσω πώς γίνεται η δουλειά. Α. Πώς προσθέτεις/αφαιρείς ρητές παραστάσεις Στην περίπτωση που οι ρητές παραστάσεις δεν είναι ομώνυμα κλάσματα, πρώτα κάνε τα κλάσματα ομώνυμα, όπως ακριβώς και στους αριθμούς. Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) δύο (ή περισσότερων) αλγεβρικών παρα- στάσεων που έχουν αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων (έχουν δηλαδή παραγοντοποιηθεί) ονομάζεται το γινόμενο των κοινών και μη κοινών παραγόντων τους, με εκθέτη καθενός τον μεγαλύτερο από τους εκθέτες του. - 50 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Η επανάληψη του Γυμνασίου Ενότητα 5 - Πράξεις με ρητές αλγεβρικές παραστάσεις Β. Πώς θα βρεις το Ε.Κ.Π. δύο (ή περισσότερων) αλγεβρικών παραστάσεων Είναι το κλειδί της υπόθεσης «πρόσθεση/αφαίρεση ρητών αλγεβρικών παραστάσεων». Αν δεν ξέρεις πώς να βρεις το Ε.Κ.Π. ή αν δεν βρεις το σωστό, τότε όλη η άσκηση μπο- ρεί αδίκως να χαθεί. Το πρώτο που πρέπει να ελέγξεις είναι ποιοι από τους παρονομαστές μπορούν να παραγοντοποιηθούν (διότι αυτό λέει ο ορισμός για το Ε.Κ.Π αλγεβρικών παραστάσε- ων). Όποιοι παραγοντοποιούνται, να τους παραγοντοποιήσεις, οπότε με παραγοντο- ποιημένους όλους τους παρονομαστές: α) όσοι έχουν αριθμητικούς συντελεστές, βρες το Ε.Κ.Π. τους και αυτό θα μπει στο ζη- τούμενο Ε.Κ.Π. β) όπου υπάρχουν γινόμενα δυνάμεων μεταξύ των μεταβλητών (όχι όμως εντός πα- ρενθέσεων με αθροίσματα/διαφορές), τότε στο ζητούμενο Ε.Κ.Π. μπαίνει η μεγαλύτε- ρη δύναμη εξ αυτών. γ) όπου υπάρχουν αθροίσματα/διαφορές αλγεβρικών παραστάσεων, πρέπει αυτές να είναι ακριβώς οι ίδιες, ώστε να μπουν στο ζητούμενο Ε.Κ.Π. Αν δεν είναι, τότε μπαίνει το γινόμενό τους (όπως ακριβώς και μεταξύ αριθμών). Αφού βρεις το Ε.Κ.Π., γράψε ένα κλάσμα, στον παρονομαστή βάλε το Ε.Κ.Π. και τους αριθμητές των κλασμάτων που είχες πολλαπλασίασέ τους με ό,τι λείπει από τον αντί- στοιχο παρονομαστή του κλάσματος για να έχει και αυτός το Ε.Κ.Π. Πρόσεξε το εξής ! Κλειδί στην υπόθεση «πρόσθεση/αφαίρεση ρητών παραστάσεων» μπορεί να αποτελέ- σει πιθανή απλοποίηση που μπορεί να γίνεται σε κάποιο από τα κλάσματα που συμ- μετέχουν στο άθροισμα/διαφορά. Έχε τον νου σου. Ακολουθούν μερικά παραδείγματα εύρεσης Ε.Κ.Π. αλγεβρικών παραστάσεων. Χάριν αυτών, υποθέτουμε ότι οι παραστάσεις είναι παρονομαστές κάποιων κλασμάτων που - 51 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Η επανάληψη του Γυμνασίου Ενότητα 5 - Πράξεις με ρητές αλγεβρικές παραστάσεις πρέπει να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε. Παράδειγμα 45 Το Ε.Κ.Π. των παραστάσεων 2x−6 και x−3 θα το βρω ως εξής: Ελέγχοντας ποια από τις δύο παραγοντοποιείται, βλέπω ότι αυτό γίνεται στην πρώτη ως εξής: 2x−6 = 2(x−3). Επομένως, έχω τις παραστάσεις 2(x−3) και x−3 , οπότε: • η πρώτη έχει τον αριθμό 2 ως συντελεστή ενώ η δεύτερη το 1, άρα το 2 μπαίνει στο ζητούμενο Ε.Κ.Π. (αφού το 2 είναι το Ε.Κ.Π. του 1 και του 2). • και οι δύο έχουν την παράσταση x−3 , άρα αυτή μπαίνει στο ζητούμενο Ε.Κ.Π. Τελικά, το ζητούμενο Ε.Κ.Π. είναι το 2(x−3) , οπότε ο αριθμητής του ενός κλάσματος δεν πολλαπλασιάζεται με τίποτα, ενώ ο αριθμητής του άλλου πρέπει να πολλαπλασια- στεί με 2. Παράδειγμα 46 Το Ε.Κ.Π. των παραστάσεων x2 και x2 +1 θα το βρω ως εξής: Ελέγχω αν κάποια από τις δύο παραγοντοποιείται και διαπιστώνω ότι καμία δεν πα- ραγοντοποιείται. Επομένως, το ζητούμενο Ε.Κ.Π είναι το γινόμενο αυτών, δηλαδή είναι το (x2 x2 +1) , οπότε ο αριθμητής του ενός κλάσματος πρέπει να πολλαπλασιαστεί επί x2 +1, ενώ ο αριθμητής του άλλου επί x2 . - 52 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Η επανάληψη του Γυμνασίου Ενότητα 5 - Πράξεις με ρητές αλγεβρικές παραστάσεις Πρόσεξε το εξής ! Το x2 που υπάρχει και στις δύο δεν είναι κοινό και αυτό μπορεί να αιτιολογηθεί με δύο τρόπους: α) αφού καμία εκ των δύο δεν παραγοντοποιείται, δεν μπορώ να μιλάω για κοινό πα- ράγοντα (παράγοντας = κομμάτι γινομένου). β) στην παράσταση x2 +1, το x2 είναι όρος αθροίσματος, άρα δεν μπορεί να «κοπεί» από το άθροισμα, ώστε να «μετρήσει» ως κοινό για το Ε.Κ.Π. Παράδειγμα 47 Το Ε.Κ.Π. των παραστάσεων x2 + 4x +3 και x +1 θα το βρω ως εξής: H πρώτη παράσταση είναι τριώνυμο, με διακρίνουσα 42 −4 ⋅1⋅ 3 = 16−12 = 4 , το οποίο σημαίνει ότι παραγοντοποιείται. Βρίσκω τις ρίζες του (που είναι οι αριθμοί −1 και −3 ), οπότε παραγοντοποιείται ως εξής : x2 + 4x +3 = (x +1)(x +3). Επομένως, έχω τις παραστάσεις (x +1)(x +3) και x +1= (x +1)⋅1, οπότε: • η παράσταση x +1 είναι κοινή μεταξύ τους, άρα μπαίνει στο ζητούμενο Ε.Κ.Π. • μεταξύ των παραστάσεων x +3 και 1 δεν υπάρχει κάτι κοινό, οπότε στο ζητούμενο Ε.Κ.Π. μπαίνει το γινόμενό τους. Τελικά το ζητούμενο Ε.Κ.Π είναι το (x +1)(x +3) , οπότε ο αριθμητής του ενός κλάσμα- - 53 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Η επανάληψη του Γυμνασίου Ενότητα 5 - Πράξεις με ρητές αλγεβρικές παραστάσεις τος δεν πολλαπλασιάζεται με κάτι, ενώ του άλλου πρέπει να πολλαπλασιαστεί επί x+3. Γ. Πώς πολλαπλασιάζεις/διαιρείς ρητές παραστάσεις Γίνονται με το ίδιο ακριβώς σκεπτικό που γίνονται οι πράξεις μεταξύ αριθμών. Υπενθυμίζω ότι όταν πολλαπλασιάζεις ή διαιρείς κλάσματα δεν ενδιαφέρει αν αυτά είναι ομώνυμα ή όχι. Όμως, πάντα πρέπει να ελέγχεις για πιθανές απλοποιήσεις σε καθένα από τα κλάσμα- τα που συμμετέχουν στο γινόμενο ή το πηλίκο, αλλά ακόμη και μεταξύ των κλασμά- των μεταξύ τους (δηλαδή ο αριθμητής από ένα κλάσμα αν μπορεί να απλοποιηθεί με τον παρονομαστή άλλου κλάσματος). Επειδή αναφερόμαστε σε ρητές αλγεβρικές παραστάσεις, απλοποιήσεις γίνονται μόνο όταν σε αριθμητή και παρονομαστή υπάρχουν γινόμενα, δηλαδή μόνο μεταξύ παρα- γοντοποιημένων παραστάσεων! - 54 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Στο «Μαθηματικό στέκι» θα βρεις την αναλυτικότερη θεωρία - μεθοδολογία και τις αναλυτικότερα λυμένες ασκήσεις του διαδικτύου www.mathsteki.gr