ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ - Κεφ.2 - Παράγραφος 2.3 (ασκήσεις σχολικού)

Α΄ Λυκείου - Άλγεβρα Οι πραγµατικοί αριθµοί Παράγραφος 2.3 Απόλυτη τιµή πραγµατικού αριθµού ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ Νέα Μουδανιά • Νοέµβριος 2021

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 3 Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί Λύσεις των ασκήσεων του σχολικού βιβλίου ❖ Α1/66 Βασική άσκηση, αφού ασχολείται με ένα από τα βασικότερα θέματα της απόλυτης τι- μής: πώς θα απλοποιήσεις μια απόλυτη τιμή, πώς θα γράψεις μια παράσταση χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής δηλαδή. i. Είναι π ≅ 3,14 > 3 , οπότε είναι π − 3 > 0 , συνεπώς π − 3 = π − 3 . ii. Είναι π ≅ 3,14 < 4 , οπότε είναι π − 4 < 0 , συνεπώς π − 4 = 4 − π . iii. Είναι π ≅ 3,14 , οπότε: • είναι π > 3 ⇔ 3 − π < 0 , συνεπώς 3 − π = π − 3 . • είναι π < 4 ⇔ 4 − π > 0 , συνεπώς 4 − π = 4 − π . Επομένως, 3−π + 4−π = π −3+4− π =1. iv. Είναι 2 ≅ 1, 4 και 3 ≅ 1, 7 , δηλαδή 2 < 3 , οπότε: • 2 − 3 < 0 , συνεπώς 2 − 3 = 3 − 2 . • 3 − 2 > 0 , συνεπώς 3 − 2 = 3 − 2 . Επομένως, ( )2 − 3 − 3 − 2 = 3 − 2 − 3 − 2 = 0 . - 17 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί Δεύτερος τρόπος για το (iv) - προτεινόμενος Είναι 3− 2 = 2− 3 , οπότε 2 − 3 − 3 − 2 = 2 − 3 − 2 − 3 =0. Στον δεύτερο αυτό τρόπο στηρίχθηκα στην ιδιότητα α = −α , η οποία λέει ότι αντίθε- τες παραστάσεις έχουν ίσες απόλυτες τιμές. Η ιδιότητα αυτή λέει και ότι, όταν έχω μια απόλυτη τιμή, τότε μπορώ να βγάλω την παράσταση που έχει μέσα της, στην θέση της να βάλω την αντίθετη παράσταση και θα προκύψει απόλυτη τιμή ίση με την αρχική. Αυτό παρατήρησα με τις παραστάσεις που ήταν μέσα στις δύο απόλυτες τιμές του (iv). ❖ Α2/66 Η άσκηση είναι στο ίδιο πνεύμα με την Α1/66, με μία μικρή διαφορά: στην απλοποίηση θα μας βοηθήσει η διπλή ανισότητα που δίνεται. Από την ανισότητα 3 < x < 4 προκύπτει ότι ⎧⎪⎩⎪⎪⎪⎨ 3 < x και ⎪⎫⎭⎪⎪⎬⎪ ⇔ ⎪⎩⎧⎪⎪⎨⎪ x −3 > 0 ⎫⎪⎪⎭⎪⎬⎪ , x<4 x −4 < 0 οπότε x − 3 = x − 3 και x − 4 = 4 − x , συνεπώς x−3 + x−4 = x −3+4− x =1. - 18 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί ❖ Α3/66 Η άσκηση είναι στο ίδιο πνεύμα με την Α2/66. i. Έστω Α = x − 3 − 4 − x Από την ανισότητα x < 3 προκύπτει: • x − 3 < 0 , οπότε x − 3 = 3 − x . • −x > −3 ⇔ 4 − x > 4 − 3 ⇔ 4 − x > 1 > 0 , οπότε 4 − x = 4 − x . Επομένως, Α = 3 − x −(4 − x) = 3 − x − 4 + x = −1 . ii. Από την ανισότητα x > 4 προκύπτει: • x − 3 > 4 − 3 ⇔ x − 3 > 1 > 0 , οπότε x − 3 = x − 3 . • 4 − x < 0 , οπότε 4 − x = x − 4 . Επομένως, Α = x − 3 −(x − 4) = x − 3 − x + 4 = 1 . ❖ Α4/66 Είναι α−β = α−β = α−β = 1. β−α β−α α−β Στο πρώτο βήμα στηρίχθηκα στην ιδιότητα α = α . β β Στο δεύτερο βήμα στηρίχθηκα στην ιδιότητα α = −α και η β − α έγινε α − β . Δεύτερος τρόπος ­ προτεινόμενος Είναι α−β = α−β = −1 = 1 . β−α −(α − β) - 19 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί ❖ Α5/66 Χαρακτηριστική και αυτή η άσκηση, διότι θα δεις πώς θα απλοποιήσουμε μια απόλυτη τιμή, όταν το πρόσημο της παράστασης που είναι μέσα της δεν είναι σταθερό. Αφού είναι x ≠ 0 , y ≠ 0 , είναι x = ⎪⎩⎪⎪⎪⎧⎨⎪ x , αν x > 0 και y = ⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎧ y , αν y > 0 , −x , αν x < 0 −y , αν y < 0 σύμφωνα με τον ορισμό της απόλυτης τιμής, οπότε διακρίνω τις εξής περιπτώσεις: α) όταν είναι x > 0 , y > 0 , τότε x = x , y = y , συνεπώς Α= x + y =1+1= 2. x y β) όταν είναι x > 0 , y < 0 , τότε x = x , y = −y , συνεπώς Α= x + y = 1−1= 0. x −y γ) όταν είναι x < 0 , y > 0 , τότε x = −x , y = y , συνεπώς Α= x + y = −1 + 1 = 0 . −x y δ) όταν είναι x < 0 , y < 0 , τότε x = −x , y = −y , συνεπώς Α= x + y = −1 − 1 = −2 . −x −y Συνοψίζοντας τα παραπάνω, θα είναι Α = ⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎩⎪⎪⎨⎪ 2 , αν x > 0 και y > 0 . 0 , αν x , y ετεροσηµοι −2 , αν x < 0 και y < 0 - 20 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί ❖ Α6/66 i. Αφού D είναι η πραγματική διάμετρος και το λάθος μέτρησης είναι το πολύ 0,005 dm, ισχύει 2, 37 − 0, 005 ≤ D ≤ 2, 37 + 0, 005 ⇔ ⇔ 2, 37 − 0, 005 − 2, 37 ≤ D − 2, 37 ≤ 2, 37 + 0, 005 + 2, 37 ⇔ ⇔ −0, 005 ≤ D − 2, 37 ≤ 0, 005 ⇔ D − 2, 37 ≤ 0, 005 ⇔ d(D , 2, 37) ≤ 0, 005 . ii. Από την ανισότητα 2, 37 − 0, 005 ≤ D ≤ 2, 37 + 0, 005 προκύπτει 2, 365 ≤ D ≤ 2, 375 , που είναι οι τιμές μεταξύ των οποίων βρίσκεται η D. ❖ Α7/67 • 2η γραμμή: x + 3 < 4 . Απόσταση x + 3 < 4 ⇔ x − (−3) < 4 ⇔ d(x ,− 3) < 4 . Διάστημα x + 3 < 4 ⇔ −4 < x + 3 < 4 ⇔ −4 − 3 < x + 3 − 3 < 4 − 3 ⇔ −7 < x < 1 ⇔ x ∈ (−7 ,1) . • 3η γραμμή: x − 4 > 2 . Απόσταση x − 4 > 2 ⇔ d(x , 4) > 2 . Διάστημα x − 4 > 2 ⇔ x − 4 < −2 ή x − 4 > 2 ⇔ x < 2 ή x > 6 ⇔ x ∈ (−∞ , 2) ∪ (6 , + ∞) . • 4η γραμμή: x + 3 ≥ 4 . Απόσταση x + 3 ≥ 4 ⇔ x − (−3) ≥ 4 ⇔ d(x ,− 3) ≥ 4 . - 21 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί Διάστημα x + 3 ≥ 4 ⇔ x + 3 ≤ −4 ή x + 3 ≥ 4 ⇔ x < −7 ή x ≥ 1 ⇔ x ∈ (−∞ ,− 7⎤⎦⎥ ∪ ⎢⎣⎡1, + ∞) . • 5η γραμμή: d(x , 5) < 1 . Απόλυτη τιμή d(x , 5) < 1 ⇔ x − 5 < 1 . Διάστημα x − 5 < 1 ⇔ −1 < x − 5 < 1 ⇔ −1 + 5 < x − 5 + 5 < 1 + 5 ⇔ 4 < x < 6 ⇔ x ∈ (4 , 6) . • 6η γραμμή: d(x ,− 1) > 2 . Απόλυτη τιμή d(x ,− 1) > 2 ⇔ x − (−1) > 2 ⇔ x + 1 > 2 . Διάστημα x + 1 > 2 ⇔ x + 1 < −2 ή x + 1 > 2 ⇔ x < −3 ή x > 1 ⇔ x ∈ (−∞ ,− 3) ∪ (1, + ∞) . • 7η γραμμή: d(x , 5) ≥ 1 . Απόλυτη τιμή d(x , 5) ≥ 1 ⇔ x − 5 ≥ 1 . Διάστημα x − 5 ≥ 1 ⇔ x − 5 ≤ −1 ή x − 5 ≥ 1 ⇔ x ≤ 4 ή x ≥ 6 ⇔ x ∈ (−∞ , 4⎥⎤⎦ ∪ ⎢⎣⎡6 , + ∞) . • 8η γραμμή: d(x ,− 1) ≤ 2 . Απόλυτη τιμή d(x ,− 1) ≤ 2 ⇔ x − (−1) ≤ 2 ⇔ x + 1 ≤ 2 . - 22 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί Διάστημα x + 1 ≤ 2 ⇔ −2 ≤ x + 1 ≤ 2 ⇔ −2 − 1 ≤ x + 1 − 1 ≤ 2 − 1 ⇔ −3 ≤ x ≤ 1 ⇔ x ∈ ⎡⎣⎢−3 ,1⎤⎥⎦ . • 9η γραμμή: (−2, 2) . Απόλυτη τιμή x ∈ (−2, 2) ⇔ −2 < x < 2 ⇔ x < 2 . Απόσταση x < 2 ⇔ x − 0 < 2 ⇔ d(x , 0) < 2 . • 10η γραμμή: ⎢⎡⎣−5,1⎤⎥⎦ . Απόλυτη τιμή x ∈ ⎡⎢⎣−5,1⎤⎦⎥ ⇔ −5 ≤ x ≤ 1 ⇔ −5 + 2 ≤ x + 2 ≤ 1 + 2 ⇔ −3 ≤ x + 2 ≤ 3 ⇔ x + 2 ≤ 3 . Απόσταση x + 2 ≤ 3 ⇔ x − (−2) ≤ 3 ⇔ d(x ,− 2) ≤ 3 . • 11η γραμμή: x ∈ (−∞ ,− 2⎦⎤⎥ ∪ ⎣⎡⎢2, + ∞) . Απόλυτη τιμή x ∈ (−∞ ,− 2⎦⎥⎤ ∪ ⎣⎡⎢2, + ∞) ⇔ x ≤ −2 ή x ≥ 2 ⇔ x ≥ 2 . Απόσταση x ≥ 2 ⇔ x − 0 ≥ 2 ⇔ d(x , 0) ≥ 2 . • 12η γραμμή: x ∈ (−∞,− 5) ∪ (1, + ∞) . Απόλυτη τιμή x ∈ (−∞ ,− 5) ∪ (1, + ∞) ⇔ x < −5 ή x > 1 ⇔ x + 2 < −5 + 2 ή x + 2 > 1 + 2 ⇔ - 23 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί ⇔ x + 2 < −3 ή x + 2 > 3 ⇔ x + 2 > 3 . Απόσταση x + 2 > 3 ⇔ x − (−2) > 3 ⇔ d(x ,− 2) > 3 . ❖ Β1/67 Ισχύει α − β = α + γ − γ − β = (α − γ) + (γ − β) ≤ α − γ + γ − β . Στηρίχθηκα στην ιδιότητα x + y ≤ x + y . ❖ Β2/67 i. Αφού είναι α > β , είναι α − β > 0 , οπότε α − β = α − β , συνεπώς α+β+ α−β = α+ β +α− β = 2α =α. 2 2 2 ii. Πάλι είναι α − β = α − β , συνεπώς α+β− α−β = α + β −(α − β) = α +β− α +β = 2β =β. 2 2 2 2 ❖ Β3/67 i. Ισχύει x + y = 0 ⇔ x = 0 και y = 0 . ii. Ισχύει x + y > 0 ⇔ x ≠ 0 ή y ≠ 0 . - 24 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί ❖ Β4/68 i. Από την ανισότητα 0 < α < β προκύπτει ότι: • α<β⇔ α <1. β • α <β ⇔ 1< β . α Από τις παραπάνω ανισότητες προκύπτει ότι α <1< β . β α ii. Αρκεί να δείξω ότι η απόσταση του α από το 1 είναι μικρότερη της απόστασης β του β από το 1, δηλαδή ότι α d ⎜⎜⎝⎛⎜ α , 1⎟⎞⎟⎟⎟⎠ < d ⎜⎜⎜⎛⎝ β ,1⎟⎟⎟⎠⎟⎞ ⇔ α −1 < β −1 . β α β α Ισοδύναμα θα δείξω ότι ισχύει α −1 < β −1 ⇔ α−β < β−α ⇔ α−β < β−α ⇔ α−β < α−β . β α β α β α β α Είναι α < β ⇔ α − β < 0 , οπότε α − β > 0 συνεπώς, διαιρώντας τα μέλη της τελευταί- ας ανισότητας με α − β , ισοδύναμα θα δείξω ότι ισχύει 1 < 1 . β α Είναι α > 0 , β > 0 , οπότε α = α , β = β , συνεπώς ισοδύναμα θα δείξω ότι ισχύει 1 < 1 ⇔β>α, β α το οποίο ισχύει από το δεδομένο. - 25 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί ❖ Β5/68 Από την ανισότητα x − 2 < 0,1 προκύπτει −0,1 < x − 2 < 0,1 ⇔ 2 − 0,1 < x − 2 + 2 < 2 + 0,1 ⇔ 1, 9 < x < 2,1 (1) Από την ανισότητα y − 4 < 0, 2 προκύπτει −0, 2 < y − 4 < 0, 2 ⇔ 4 − 0, 2 < y − 4 + 4 < 4 + 0, 2 ⇔ 3, 8 < y < 4, 2 (2) • Πρώτο σχήμα Η περίμετρος είναι Π = x + 2y . Από την (2) προκύπτει 2 ⋅ 3, 8 < 2 ⋅ y < 2 ⋅ 4, 2 ⇔ 7, 6 < 2y < 8, 4 (3) Προσθέτω κατά μέλη τις (1) και (3) και προκύπτει 1, 9 + 7, 6 < x + 2y < 2,1 + 8, 4 ⇔ 9, 5 < Π < 10, 5 , δηλαδή η τιμή της περιμέτρου είναι μεταξύ 9,5 και 10,5. • Δεύτερο σχήμα Η περίμετρος είναι Π = 4x + 2y . Από την (1) προκύπτει 4 ⋅1, 9 < 4 ⋅ x < 4 ⋅ 2,1 ⇔ 7, 6 < 4x < 8, 4 . Προσθέτω κατά μέλη αυτήν την ανισότητα με την (3) και έχω ότι 7, 6 + 7, 6 < 4x + 2y < 8, 4 + 8, 4 ⇔ 15, 2 < Π < 16, 8 , δηλαδή η τιμή της περιμέτρου είναι μεταξύ 15,2 και 16,8. • Τρίτο σχήμα Η περίμετρος του κύκλου είναι Π = 2πx . Από την (1) προκύπτει 2π ⋅1, 9 < 2π ⋅ x < 2π ⋅ 2,1 ⇔ 3, 8π < Π < 4, 2π , δηλαδή η περίμετρος είναι μεταξύ 3,8π και 4,2π. - 26 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μόνο εδώ θα βρεις τα αναλυτικότερα βιβλία Μαθηµατικών του διαδικτύου!