Β΄ Λυκείου • Μαθηματικά Προσανατολισμού Κεφάλαιο 1 ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 Συντεταγμένες στο επίπεδο Αναλυτική θεωρία και μεθοδολογία Μαθηματικό στέκι www.mathsteki.gr Νέα Μουδανιά • Αύγουστος 2022
~ Περιεχόμενα παραγράφου 4 ~ Ορισμός Η έννοια του άξονα. Θετικός - αρνητικός ημιάξονας. Τετμημένη σημείου ...........................................................................................................................38 Ορισμός Σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο. Τετμημένη σημείου. Τεταγμένη σημείου. Συντεταγμένες σημείου ..................................................................38 Ορισμός Συντεταγμένες διανύσματος ......................................................................................................39 Μεθοδολογία για τις ασκήσεις 1η ομάδα .....................................................................................................................................................................41 • Πράξεις διανυσμάτων με χρήση συντεταγμένων • Ισότητα διανυσμάτων • Αντίθετα διανύσματα • Μηδενικό διάνυσμα • ∆ιάνυσμα παράλληλο στον άξονα x’x ή στον άξονα y’y • Γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων Παρατηρήσεις στις συντεταγμένες διανύσματος ..................................................................................41 ∆ιάνυσμα παράλληλο στον άξονα x’x ..........................................................................................................41 ∆ιάνυσμα παράλληλο στον άξονα y’y ..........................................................................................................42 Πρόταση Ισότητα διανυσμάτων με χρήση συντεταγμένων ........................................................43 Αντίθετα διανύσματα ..............................................................................................................................................45 Μηδενικό διάνυσμα .................................................................................................................................................45 Μη μηδενικό διάνυσμα .........................................................................................................................................46
Πρόταση Πράξεις διανυσμάτων με χρήση συντεταγμένων ........................................................47 Πώς θα γράψεις ένα διάνυσμα ως γραμμικό συνδυασμό δύο άλλων .....................................48 2η ομάδα ......................................................................................................................................................................50 Συντεταγμένες μέσου τμήματος Σημείο πάνω στον άξονα x’x ή πάνω στον άξονα y’y .........................................................................50 Συμμετρίες σημείων ως προς τους άξονες και την αρχή των αξόνων .....................................51 Πρόταση Συντεταγμένες μέσου τμήματος ............................................................................................51 Παρατηρήσεις στις συντεταγμένες μέσου ................................................................................................52 Περίπτωση 1η - Συμμετρία ενός σημείου ως προς ένα άλλο σημείο .......................................53 Περίπτωση 2η - Κέντρο ενός παραλληλογράμμου ..............................................................................54 Περίπτωση 3η - Αντιδιαμετρικά σημεία ενός κύκλου ........................................................................55 Πρόταση Συντεταγμένες βαρύκεντρου (κέντρου βάρους) ενός τριγώνου .......................56 3η ομάδα ......................................................................................................................................................................57 Συντεταγμένες διανύσματος με γνωστά άκρα Πρόταση Συντεταγμένες διανύσματος με γνωστά άκρα ..............................................................57 Ισότητα διανυσμάτων και παραλληλόγραμμα με χρήση συντεταγμένων ............................57 4η ομάδα ......................................................................................................................................................................59 Μέτρο διανύσματος Πρόταση Μέτρο διανύσματος .......................................................................................................................60
Παρατηρήσεις στο μέτρο διανύσματος 5η ομάδα ......................................................................................................................................................................64 Απόσταση σημείων Πρόταση Απόσταση σημείων (μήκος ευθύγραμμου τμήματος) ..............................................64 Παρατηρήσεις στην απόσταση σημείων ....................................................................................................64 Ιδιαίτερες περιπτώσεις αποστάσεων ............................................................................................................67 6η ομάδα ......................................................................................................................................................................69 • Συνθήκη παραλληλίας διανυσμάτων • Ομόρροπα/αντίρροπα διανύσματα • Συνευθειακά/μη συνευθειακά σημεία Ορισμός Ορίζουσα δύο διανυσμάτων ......................................................................................................69 Πρόταση Συνθήκη παραλληλίας διανυσμάτων (2η μορφή) .......................................................70 Παρατηρήσεις στην συνθήκη παραλληλίας .............................................................................................71 Συνευθειακά σημεία ................................................................................................................................................75 Μη συνευθειακά σημεία (και σχηματισμός τριγώνου) .......................................................................76 7η ομάδα ......................................................................................................................................................................78 • Γωνία διανύσματος με τον άξονα x’x • Συντελεστής διεύθυνσης διανύσματος Ορισμός Γωνία διανύσματος με τον άξονα x’x ....................................................................................78 Ορισμός Συντελεστής διεύθυνσης ενός διανύσματος ....................................................................79
Πώς θα βρεις την γωνία που σχηματίζει ένα διάνυσμα με τον άξονα x’x ..............................79 Ειδικές περιπτώσεις ..................................................................................................................................................81 Πρόταση Συνθήκη παραλληλίας διανυσμάτων (3η μορφή) .......................................................85 Συνθήκη παραλληλίας διανυσμάτων: όλες οι μορφές συγκεντρωμένες .............................85 Σημαντικά σχόλια στις τρεις μορφές της συνθήκης παραλληλίας .............................................86
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο ~ Παράγραφος 4 ~ Συντεταγμένες στο επίπεδο Η παράγραφος αυτή περιλαμβάνει σημαντικότατα θέματα (τύπους, προτάσεις, μεθο- δολογία ασκήσεων). Μαζί με τα θέματα που θα δεις στην παράγραφο 5, αποτελούν το 99% των θεμάτων που θα συναντάς στις ασκήσεις, στα διαγωνίσματα και στις τελικές εξετάσεις. Πολλοί δε από τους τύπους που θα δεις στην συνέχεια (όπως και στην πα- ράγραφο 5) θα σου χρειαστούν στα επόμενα δύο κεφάλαια. Νομίζω ότι περιττεύει να αναφέρω πόσο σημαντικά είναι όσα θα δεις στην συνέχεια, άρα και πόσο πρέπει να τα προσέξεις. Τα παραδείγματα της παραγράφου προέρχονται από την συλλογή ασκήσεων του Θεόδωρου Παγώνη, «Β’ Λυκείου, Μαθηματικά Κατεύθυνσης, 2015-2016». Θα το βρεις στην διεύθυνση http://lisari.blogspot.gr/2015/09/2015-16.html Το πρώτο που θα δεις είναι πώς οδηγούμαστε στις λεγόμενες συντεταγμένες ενός δια- νύσματος. Η έννοια των συντεταγμένων βέβαια είναι ήδη γνωστή από την Β’ Γυμνασί- ου (συντεταγμένες σημείου) · εδώ θα τεθεί σε αυστηρότερο μαθηματικό πλαίσιο. - 37 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο Ορισμός Η έννοια του άξονα. Θετικός-αρνητικός ημιάξονας. Τετμημένη σημείου. !!\" Πάνω σε μια ευθεία x’x επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι έτσι, ώστε το διάνυσμα ΟΙ να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία Ox. !!\" \" Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή το Ο και μοναδιαίο διάνυσμα ΟΙ = i και τον συμβολίζουμε με x’x. Η ημιευθεία Ox λέγεται θετικός ημιάξονας Ox, ενώ η Ox’ λέγεται αρνητικός ημιά- ξονας Ox’. !!!\" \" Αν τώρα πάνω στον άξονα x’x πάρουμε σημείο Μ, επ!ε!ι!δ\"ή ΟΜ / / i , θα υπάρχει \" ακριβώς ένας πραγματικός αριθμός x τέτοιος, ώστε ΟΜ = x⋅i . Τον αριθμό x τον ονομάζουμε τετμημένη του Μ. Η επέκταση του ορισμού αυτού οδηγεί στο γνωστό μας σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο. Ορισμός Σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο. Τετμημένη σημείου. Τεταγμένη σημείου. Συντεταγμένες σημείου. Πάνω σε ένα επίπεδο σχεδιάζουμε δύο κάθετους άξο- νες x’x κ!αι!y’y, με κοινή αρχή Ο και μοναδιαία διανύ- σματα i , j . Λέμε ότι έχουμε ένα ορθοκανονικό σύστημα συντε- ταγμένων στο επίπεδο ή απλούστερα ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο ή ακόμα ένα καρτεσια- νό επίπεδο και το συμβολίζουμε με Oxy. Το σύστημα Oxy λέγεται ορθοκανονικό, γιατί είναι ορθογώνιο και κανονικό. - 38 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο Ορθογών!ιο ε!ίναι, γιατί οι άξονες x’x και y’y είναι κάθετοι, και κανονικό, γιατί τα δια- νύσματα i , j είναι ισομήκη. Πάνω στο καρτεσιανό επίπεδο Oxy παίρνουμε ένα σημείο Μ. Από το Μ φέρνουμε παράλληλη στον y’y, που τέμνει τον x’x στο Μ1 , και την παράλληλη στον x’x, που τέμνει τον y’y στο Μ2 . Αν x είναι η τετμημένη του Μ1 ως προς τον άξονα x’x και y η τετμημένη του Μ2 ως προς τον άξονα y’y, τότε ο x λέγεται τετμημένη του Μ και ο y λέγεται τεταγμένη του Μ. Έτσι, σε κάθε σημείο Μ του επιπέδου αντιστοιχεί ένα ζεύγος συντεταγμένων. Το σημείο Μ συμβολίζεται και με Μ(x, y) ή απλώς με (x, y) . Οι εκφράσεις «ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων» και «καρτεσιανό επίπεδο» συ- ναντώνται σε προτάσεις της θεωρίας και στις ασκήσεις και δεν πρέπει να σε τρομά- ζουν. Μπορείς να τις έχεις στο μυαλό σου με την τρίτη (απλούστερη και γνωστή) έκ- φραση «σύστημα συντεταγμένων». Οι δύο προηγούμενοι ορισμοί θα οδηγήσουν τώρα στον ορισμό των συντεταγμένων ενός διανύσματος. Ορισμός Συντεταγμένες διανύσματος Έ!\"στω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και α ένα διάνυσμα του επιπέδου. !!!\" !\" Με αρχή το Ο σχεδιάζουμε το διάνυσμα ΟΑ = α . Αν Α1 , Α2 είναι οι π!ρ!ο!\"βολ!έ!ς!τ\"ου Α!!σ!τ!\"ους άξονες x’x, y’y αντίστοιχα, έχουμε ΟΑ = ΟΑ1 + ΟΑ2 . Αν x, y είναι οι συντεταγμένες του Α, τότε ισχύει !\" \" \" !!!\" \" !!!!\" \" ΟΑ1 = x i και ΟΑ2 = y j και η παραπάνω ισότητα γράφεται α = x i + y j . - 39 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο !\" Έτσι, κάθε διάνυσμα α του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στην !\" \" !\" μορφή α = x i + y j . !! !\" Τα διανύσμα!τα! x i , y j λέγονται συνιστώσες του διανύσματος α κατά την διεύ- θυνση των i , j αντίστοιχα. !\" Οι αριθμοί x, y λέγονται συντεταγμένες του α στο σύστημα Oxy. !\" !\" Συγκεκριμένα, ο x λέγεται τετμημένη του α και ο y λέγεται τεταγμένη του α . Μετά την εισαγωγή της έννοιας «συντεταγμένες διανύσματος», θα δεις πλέον πώς θα αντιμετωπίζεις τις βασικές έννοιες των διανυσμάτων που αναπτύχθηκαν στις παραγρά- φους 1, 2 και 3. Από εδώ και πέρα είναι που η Άλγεβρα θα μπει για τα καλά στο παιχνί- δι. Στην συνέχεια (και σε όλη την παράγραφο 4) θα δεις μία προς μία τις βασικές έννοιες των διανυσμάτων πώς σχετίζονται με τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και πώς θα αντιμετωπίζεις σχετικές ασκήσεις. Τα θέματα αυτά αναφέρονται στην αντίστοιχη παράγραφο 1.4 του σχολικού βιβλίου. Τα ομαδοποίησα, ώστε να μπορείς να τα εμπεδώνεις καλύτερα, να αναγνωρίζεις και να χειρίζεσαι ευκολότερα τις αντίστοιχες ασκήσεις. - 40 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο Μεθοδολογία για τις ασκήσεις ▶︎ ︎ 1η ομάδα • Πράξεις διανυσμάτων με χρήση συντεταγμένων • Ισότητα διανυσμάτων • Αντίθετα διανύσματα • Μηδενικό διάνυσμα • ∆ιάνυσμα παράλληλο στον άξονα x’x ή στον άξονα y’y • Γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων Παρατηρήσεις στις συντεταγμένες διανύσματος ▶︎ Παρατήρηση 1η Γενικώς, ισχύει: !\" = (x , y) ⇔ !\" = x \" + y \" . α α i j Στις ασκήσεις αυτό αξιοποιείται κατά κόρον ως εξής: !\" \" \" ! ! Αν δοθεί ένα διάνυσμα στην μορφή α = x i + y j (τα i , j να είναι πάντα με αυτήν !\" !\" την σειρά !), τότε έχεις άμεσα τις συντεταγμένες του α , δηλαδή είναι α =(x , y) . Αυτό ισχύει και αντίστροφα, αλλά σπανίως χρησιμοποιείται. ▶︎ Παρατήρηση 2η - ∆ιάνυσμα παράλληλο στον άξονα x’x !\" Όταν ένα διάνυσμα α είναι παράλληλο στον άξονα x’x, τότε έχει συντεταγμένες !\" α = (κ,0) , όπου κ ∈ ! . - 41 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο Αντίστροφα, ένα διάνυσμα !\" με συντεταγμένες !\" = (κ,0) είναι παράλληλο στον άξο- α α να x’x. Γενικώς, ισχύει: !\" / / x′x ⇔ yα!\" = 0 . α !\" \" \" Στην μορφή α = x i + y j , διάνυσμα το οποίο είναι παράλληλο στον άξονα x’x γράφε- !\" \" ται α = κ i , κ ∈ # . ▶︎ Παρατήρηση 3η - ∆ιάνυσμα παράλληλο στο άξονα y’y !\" Όταν ένα διάνυσμα α είναι παράλληλο στον άξονα y’y, τότε έχει συντεταγμένες !\" α = (0 ,κ) , όπου κ ∈ ! . Αντίστροφα, ένα διάνυσμα !\" με συντεταγμένες !\" = (0 ,κ) είναι παράλληλο στον άξο- α α να y’y. Γενικώς, ισχύει: !\" / / y′y ⇔ xα!\" = 0 . α !\" \" \" Στην μορφή α = x i + y j , διάνυσμα το οποίο είναι παράλληλο στον άξονα y’y γράφε- !\" \" ται α = κ j , κ ∈ # . ▶︎ Παρατήρηση 4η Υπενθυμίζω ότι, διανυσματική ακτίνα ή διάνυσμα θέσης ενός σημείου Α ονομάζεται το διάνυσμα το οποίο έχει αρχή ένα σταθερό σημείο Ο (το οποίο ονομάζουμε σημείο αναφοράς) και πέρας το Α. Στις ασκήσεις σχεδόν πάντα λαμβάνουμε ως σημείο αναφοράς την!α!!ρ\"χή των αξόνων, οπότε έχουμε επιπέδου και ΟΑ η διανυσματική ότι, αν Α(xΑ , yΑ) είναι ένα σημείο του - 42 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο του ακτίνα, τότε είναι !!!\" = ( xΑ , y Α ) και αντίστροφα. ΟΑ Παράδειγμα 7 Αν έχουμε το σημείο Α(−2,5) , τότε η διανυσματική του ακτίνα είναι το διάνυσμα !!!\" =(−2,5) . ΟΑ Αντίστροφα, αν η διανυσματική ακτίνα του σημείου Α είναι !!!\" =(−2,5) , τότε συμπε- ΟΑ ραίνουμε ότι είναι Α(−2,5) . Πρόταση Ισότητα διανυσμάτων με χρήση συντεταγμένων ∆ύο διανύσματα είναι ίσα, αν και μόνο αν οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους είναι ίσες. Καλύτερα, να γράφεις και να εφαρμόζεις την ισότητα δύο διανυσμάτων έτσι: Αν !\" = (x1 , y1) , \" = ( x2 , y 2 ) είναι δύο διανύσματα, τότε : α β !\" = \" ⇔ ⎪⎪⎪⎨⎪⎧⎩⎪ x1 = x2 και ⎫⎪⎪⎪⎪⎭⎬⎪ . α β y1 = y2 Όταν συναντήσεις σε άσκηση ισότητα δύο διανυσμάτων, σχεδόν πάντα η άσκηση οδηγείται στην επίλυση ενός συστήματος (γραμμικού ή μη γραμμικού, με έναν -συνή- θως- ή δύο αγνώστους). Το ακόλουθο παράδειγμα είναι χαρακτηριστικό. Γενικώς η εύρεση των τιμών μιας πα- ραμέτρου ώστε να ικανοποιείται κάποια συνθήκη είναι από τα πλέον χαρακτηριστικά θέματα στα διανύσματα (γενικότερα στις ασκήσεις των Μαθηματικών). - 43 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο Παράδειγμα 8 Να βρείτε τον κ ∈ ! , ώστε τα διανύσματα ! = (κ2 − 8κ + 22 , 6κ −7) και ! = (7 , 5κ−2) u v να είναι ίσα. ▶︎ Λύση Είναι ! = ! ⇔ ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎧ κ2 −8κ+22 = 7 ⎪⎪⎬⎫⎭⎪⎪⎪⇔ ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎩ κ2 −8κ+15= 0 ⎪⎪⎫⎬⎭⎪⎪⇔ ⎪⎪⎧⎪⎨⎩⎪ κ=5 η κ=3 ⎭⎪⎪⎫⎬⎪⎪ , u v και 6κ−7 = 5κ−2 κ=5 κ=5 δηλαδή κ = 5 . Σχόλιο Η δουλειά γίνεται όλη από την Άλγεβρα και αυτή λέει πώς θα λύσεις το σύστημα. Το μόνο που έβαλαν τα διανύσματα ήταν η βασική συνθήκη: !! Προκειμένου τα u , v να είναι ίσα, πρέπει οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους να είναι ίσες. Εδώ έχουμε και μια συνηθισμένη περίπτωση στα συστήματα: ένας άγνωστος και δύο εξισώσεις. Τέτοιο σύστημα λύνεται με δύο τρόπους: α) λύσε κάθε εξίσωση χωριστά και στο τέλος εξέτασε αν υπάρχει κοινή λύση. • Αν υπάρχει, τότε αυτή είναι και η λύση του συστήματος. • Αν δεν υπάρχει, τότε το σύστημα είναι αδύνατο, οπότε δεν υπάρχουν τιμές της παραμέτρου που να ικανοποιούν την συνθήκη της άσκησης. β) λύσε την απλούστερη από τις δύο εξισώσεις και εξέτασε ποιες από τις λύσεις της επαληθεύουν την άλλη εξίσωση. - 44 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο • Όποιες την επαληθεύουν, γίνονται δεκτές. • Αν έστω και μία λύση δεν επαληθεύει την άλλη εξίσωση, τότε το σύστημα είναι αδύ- νατο, συνεπώς δεν υπάρχουν τιμές της παραμέτρου που να ικανοποιούν την συνθή- κη της άσκησης. Συστήνω να εφαρμόζεις τον (α) τρόπο. Επίσης, πολλές φορές θα συναντήσεις και σύστημα το οποίο θα έχει πάλι έναν άγνω- στο, αλλά τρεις εξισώσεις (μπορεί και περισσότερες). Για τα αντίθετα διανύσματα ισχύει: !\" = − \" ⇔ ⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎧ x1 =−x2 και ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫ . α β y1 = −y2 Για το μηδενικό διάνυσμα ισχύει: !\" = !\" ⇔ ⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧ x1 = 0 και ⎪⎪⎬⎪⎭⎪⎪⎫ . α 0 y1 = 0 Παράδειγμα 9 Να βρείτε τον κ∈! , ώστε το διάνυσμα !\" = (κ2 −5κ+ 6 , κ−2) να είναι το μηδενικό. α ▶︎ Λύση Είναι !\" = \" ⇔ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪ κ2 −5κ+ 6 = 0 ⎫⎪⎬⎪⎪⎭⎪⎪⇔ ⎪⎧⎪⎩⎨⎪⎪ κ=2 η κ=3 ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎫ , δηλαδή κ = 2 . α 0 και κ−2 = 0 κ=2 - 45 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο Προσοχή στην περίπτωση του μη μηδενικού διανύσματος! !\" !\" Ισχύει: α ≠ 0 ⇔ x1 ≠ 0 ή y1 ≠ 0 . ∆ηλαδή για να είναι ένα διάνυσμα μη μηδενικό, δεν είναι απαραίτητο και οι δύο συ- ντεταγμένες του να είναι διαφορετικές από το μηδέν! Αρκεί να είναι μόνο μία εξ αυ- τών. Φυσικά, αν και οι δύο συντεταγμένες του διανύσματος δεν είναι μηδέν, τότε το διάνυ- σμα είναι μη μηδενικό. Παράδειγμα 10 Να δείξετε ότι το διάνυσμα !\" =(x−2 , x +3) είναι μη μηδενικό, για κάθε x∈! . α ▶︎ Λύση !\" Το α θα είναι μηδενικό, αν και μόνο αν ισχύουν ⎪⎪⎪⎧⎩⎪⎨ x−2 = 0 ⎭⎪⎪⎪⎫⎬⎪⇔ ⎩⎧⎪⎪⎪⎪⎨ x=2 ⎪⎪⎭⎪⎪⎫⎬, άτοπο, και x +3= 0 και x =−3 αφού το x δεν μπορεί να λαμβάνει ταυτόχρονα δύο διαφορετικές τιμές. !\" \" Άρα είναι α ≠ 0 , για κάθε x ∈ ! . Παράδειγμα 11 Να βρείτε τις τιμές του x ∈ ! , ώστε το διάνυσμα !\" = (x 2 −1, x −1) να μην είναι το α μηδενικό διάνυσμα. ▶︎ Λύση Είναι - 46 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο !\" = \" ⇔ ⎧⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪ x2 −1= 0 ⎭⎪⎬⎪⎪⎪⎫⎪⎪⇔ ⎩⎨⎪⎧⎪⎪⎪ x2 =1 ⎭⎪⎪⎪⎫⎬⎪⇔ ⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎧ x =1 η x =−1 ⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫ , α 0 και x−1= 0 x =1 x =1 δηλαδή αν x =1. !\" \" Άρα είναι α ≠ 0 , όταν είναι x ≠ 1. Η ακόλουθη πρόταση απλοποιεί πολύ τις πράξεις μεταξύ διανυσμάτων που είδες στις παραγράφους 2 και 3 και πλέον έτσι θα κάνεις πράξεις (σπανίως χρειάζεται να τις κά- νεις με κάποιον από τους τρόπους που είδες στις παραγράφους 2 και 3). Πρόταση Πράξεις διανυσμάτων με χρήση συντεταγμένων Αν !\" = (x1, y1) , \" = (x2 ,y2) είναι δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου, τότε : α β α) !\" + \" = (x1 + x 2 , y1+ y2) . α β β) !\" = λ ⋅ ( x1 , y1) = (λ x1 , λ y1) , λ∈# . λα !\" \" Γενικότερα, για τον γραμμικό συνδυασμό λα + µβ έχουμε !\" + \" = (λ x1 , λ y1) + (µ x2 , µ y2) = (λ x1 + µ x2 , λ y1 + µ y2) . λα µβ Για την αφαίρεση διανυσμάτων ισχύει !\" − \" = (x1 − x2 , y1 − y2 ) . α β Οι πράξεις μεταξύ διανυσμάτων (πρόσθεση, αφαίρεση, γινόμενο αριθμού με διάνυ- σμα) είναι πολύ απλές και περίπου ακολουθούν τους κανόνες των πράξεων μεταξύ αριθμών και αλγεβρικών παραστάσεων. Γι' αυτό δεν απαιτούνται παρατηρήσεις. - 47 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο Πώς θα γράψεις ένα διάνυσμα ως γραμμικό συνδυασμό δύο άλλων !\" \" \" Όταν δίνονται!τρία διανύσματα α , β , γ και ζητείται να γράψεις ένα ε!\"ξ α\"υτών (για πα- ράδειγμα, το γ ) ως γραμμικό συνδυασμό των άλλων δύο (εδώ των α , β ), κάνε τα εξής : 1ο βήμα Γράψε !\" !\" !\" !\" !\" !\" «Ως γραμμικός συνδυασμός των α , β , το γ γράφεται γ = κα+λβ , κ,λ ∈ # (1) ». 2ο βήμα Γράψε «Από την (1) προκύπτει», αντικατάστησε τις συντεταγμένες των τριών διανυσμάτων και κάνε τις απλές πράξεις που προκύπτουν. Θα οδηγηθείς σε ισότητα της μορφής (γ1 , γ2) = (δ1 , δ2) , όπου (γ1 , γ2) οι συντεταγμέ- νες ! , δ2) οι συντεταγμένες του διανύσματος του γ και (δ1 που θα προκύψει από τις πράξεις στο δεξί μέλος της (1). 3ο βήμα Η ισότητα (γ1 , γ2) = (δ1 , δ2) είναι ισότητα διανυσμάτων, οπότε ισχύουν ⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩ γ1 = γ2 και ⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪⎪ . δ1 = δ2 Εδώ θα προκύψει σύστημα με αγνώστους τα κ και λ. Λύσε αυτό το σύστημα, αντικα- τάστησε τις τιμές των κ, λ στην (1) και έχεις τελειώσει. - 48 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο Παράδειγμα 12 ∆ίνονται τα διανύσματα !\" = (2,−5) , \" =(3,1) , \" =(−2 ,−12) . α β γ ! !\" \" Να γράψετε το γ ως γραμμικό συνδυασμό των α , β . ▶︎ Λύση 1ο βήμα !\" \" ! Ως γραμμικός συνδυασμός των α , β , το γ γράφεται ! \"! ! γ = κα + λβ , κ,λ ∈ # (1) 2ο βήμα Από την (1) προκύπτει Αντικαθιστώ τις συντεταγμένες των τριών διανυσμάτων και κάνω πράξεις στο δεξί μέ- λος. (−2,−12)= κ ⋅(2,−5)+ λ ⋅(3,1) ⇔ (−2,−12)= (2κ,−5κ)+ (3λ , λ) ⇔ ⇔ (−2,−12)= (2κ+3λ , −5κ+ λ). Η σχέση αυτή είναι ισότητα διανυσμάτων και οδηγεί στο σύστημα του 3ου βήματος. 3ο βήμα Από την τελευταία ισότητα έχω ότι ισχύουν ⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎩⎪ 2κ+3λ =−2 ⎪⎪⎪⎫⎬⎪⎭⎪ , −5κ+ λ =−12 από όπου εύκολα προκύπτει κ = 2 , λ =−2 , οπότε τελικά από την (1) έχω ότι ! \"! ! γ = 2α − 2β . - 49 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο Το σύστημα είναι απλό γραμμικό και δεν είναι απαραίτητο να δείξεις τα βήματα επίλυ- σής του. Μπορείς να το λύσεις στο πρόχειρο (αυτό έκανα και εγώ εδώ) και να γράψεις την λύση του συστήματος κατευθείαν στην επίσημη λύση της άσκησης. Φυσικά δεν είναι λάθος να δείξεις τα βήματα που έκανες για να το λύσεις, όμως είναι χάσιμο χρόνου · στο πρόχειρο κινείσαι πιο γρήγορα. ▶︎ ︎ 2η ομάδα Συντεταγμένες μέσου τμήματος Στην συνέχεια θα δεις έναν από τους βασικότερους τύπους της θεωρίας. Εκ πρώτης όψεως δεν φαίνεται να σχετίζεται άμεσα με τα διανύσματα, αφού εμπλέκει συντεταγ- μένες σημείων, όμως θα δεις αργότερα πώς θα βοηθήσει σις ασκήσεις. Πριν προχωρήσω, θα κάνω μια υπενθύμιση βασικών θεμάτων στις συντεταγμένες ση- μείων. ▶︎ Υπενθύμιση 1η Αν Μ(x, y) είναι ένα σημείο στο σύστημα συντεταγμένων Oxy, τότε: • το x λέγεται τετμημένη του Μ. • το y λέγεται τεταγμένη του Μ. • το ζεύγος (x, y) λέγεται συντεταγμένες του Μ. ▶︎ Υπενθύμιση 2η - Σημείο πάνω στον άξονα x’x ή πάνω στον άξονα y’y Αν ένα σημείο Μ: α) είναι πάνω στον άξονα x’x, τότε έχει συντεταγμένες Μ(α ,0) . Αυτό ισχύει και αντίστροφα, δηλαδή αν ένα σημείο έχει συντεταγμένες (α ,0) , τότε εί- ναι σημείο του άξονα x’x. - 50 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο β) είναι πάνω στον άξονα y’y, τότε έχει συντεταγμένες Μ(0,α). Αυτό ισχύει και αντίστροφα, δηλαδή αν ένα σημείο έχει συντεταγμένες (0,α) , τότε εί- ναι σημείο του άξονα y’y. ▶︎ Υπενθύμιση 3η - Συμμετρίες σημείων ως προς του άξονες και την αρχή των αξόνων Έστω Μ(x, y) ένα σημείο του επιπέδου. α) Το συμμετρικό του ως προς τον άξονα x’x έχει συντεταγμένες (x,−y) . Μνημονικός κανόνας: Ίδιο x και αντίθετο y. β) Tο συμμετρικό του ως προς τον άξονα y’y έχει συντεταγμένες (−x, y) . Μνημονικός κανόνας: Ίδιο y και αντίθετο x. γ) το συμμετρικό του ως προς την αρχή των αξόνων (το σημείο Ο(0,0) δηλαδή) έχει συντεταγμένες (−x,−y) . Μνημονικός κανόνας: Αντίθετο x και αντίθετο y. δ) το συμμετρικό του ως προς την διχοτόμο της γωνίας xOy (διχοτόμος της γωνίας 1ου - 3ου τεταρτημορίου) έχει συντεταγμένες (y , x) . Μνημονικός κανόνας: Ανταλλάσσουμε τις συντεταγμένες. Πρόταση Συντεταγμένες μέσου ευθύγραμμου τμήματος Αν Α(x1, y1) , Β(x2 , y2) είναι δύο σημεία του καρτεσιανού επιπέδου και Μ(x, y) εί- ναι το μέσο του ΑΒ, τότε ισχύει x= x1+ x2 , y= y1+ y2 . 2 2 - 51 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο Παρατηρήσεις στις συντεταγμένες μέσου Καλύτερα να μάθεις και να χρησιμοποιείς τον σχετικό τύπο έτσι: Αν Α(xΑ , yΑ) , Β(xΒ , yΒ) είναι δύο σημεία του επιπέδου και Μ(xΜ , yΜ) το μέσο του ΑΒ, τότε είναι Μ⎜⎜⎛⎜⎝ xΑ + xΒ , yΑ +yΒ ⎟⎠⎞⎟⎟ . 2 2 • Αν γνωρίζεις τις συντεταγμένες των Α και Β (δηλαδή των δύο άκρων), τότε για να βρεις τις συντεταγμένες του μέσου Μ χρησιμοποίησε άμεσα τον παραπάνω τύπο. • Αν γνωρίζεις τις συντεταγμένες δύο εκ των τριών σημείων Α, Β, Μ (δηλαδή το ένα από τα άκρα και το μέσο), τότε «σπάσε» τον τύπο έτσι: ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧ xΜ = xΑ + xΒ ⎪⎫⎬⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ . yΜ = 2 yΑ +yΒ 2 Γιατί ; ∆ιότι έτσι θα οδηγηθείς σε ένα απλούστατο σύστημα (δύο απλές εξισώσεις πρώτου βαθμού στην πραγματικότητα), από το οποίο εύκολα θα βρεις τις συντεταγμένες του σημείου που ζητάς μέσω αυτών των τύπων. Η έννοια του μέσου ενός ευθύγραμμου τμήματος (άρα και η ανάγκη χρήσης του σχε- τικού τύπου), πέραν της προφανούς περίπτωσης «Να βρείτε το μέσο του τμήματος», «κρύβεται» σε μερικά πολύ χαρακτηριστικά θέματα, τα οποία θα αναπτύξω στην συ- νέχεια. Ό,τι χρειάζεται προκύπτει από την Γεωμετρία και στηρίζεται σε βασικές και απλές της προτάσεις. - 52 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο ▶︎ Περίπτωση 1η - Συμμετρία ενός σημείου ως προς ένα άλλο σημείο Όπως είναι γνωστό από την Γεωμετρία, αν έχεις ένα σημείο Α και θες να βρεις το συμμετρικό του ως προς άλλο σημείο Β, τότε προεκτείνεις το ΑΒ προς το μέρος του Β κατά τμήμα ΒΓ = ΑΒ. • Το Γ λέγεται/είναι το συμμετρικό του Α ως προς το Β. • Το Α λέγεται/είναι το συμμετρικό του Γ ως προς το Β. • Τα Α και Γ λέγονται/είναι συμμετρικά ως προς το Β. Αυτό σημαίνει ότι το Β είναι το μέσο του ΑΓ, οπότε να πώς προκύπτει ότι θα πρέπει να χρησιμοποιήσεις τον τύπο του μέσου τμήματος. Το ακόλουθο παράδειγμα είναι αντιπροσωπευτικό. Παράδειγμα 13 Αν το σημείο Β(1,2) είναι το συμμετρικό του Α ως προς το Γ(3, 4) , να βρείτε τις συ- ντεταγμένες του Α. ▶︎ Λύση Αφού το Β είναι το συμμετρικό του Α ως προς το Γ, το Γ είναι το μέσο του ΑΒ, οπότε ισχύουν ⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪ xΓ = xΑ + xΒ ⎪⎪⎪⎪⎫⎪⎪⎪⎬⎭⎪⎪⎪⇔ ⎨⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪ 3= xΑ +1 ⎫⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⇔ ⎪⎪⎪⎧⎩⎪⎪⎨ xΑ +1= 6 ⎪⎭⎪⎪⎫⎪⎬⎪⇔ ⎧⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎪ xΑ = 5 ⎫⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭ , 2 2 yΑ +2=8 yΑ = 6 yΓ = yΑ + yΒ 4 = yΑ +2 2 2 οπότε είναι Α(5,6) . - 53 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο ▶︎ Περίπτωση 2η - Κέντρο ενός παραλληλογράμμου Όπως είναι γνωστό από την Γεωμετρία, κέντρο ενός παραλληλογράμμου λέγεται/είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του. Είναι το μέσο των διαγωνίων του παραλληλογράμ- μου, οπότε να πώς προκύπτει ότι θα πρέπει να χρησιμοποιήσεις τον τύπο του μέσου τμήματος. Επίσης είναι το κέντρο συμμετρίας του παραλληλογράμμου, το οποίο σημαίνει ότι, αν πάρω οποιοδήποτε σημείο σε κάποια από τις πλευρές του, τότε το συμμετρικό του θα είναι στην απέναντι πλευρά. Στις ασκήσεις δίνονται κάποιες από τις κορυφές του παραλληλογράμμου και το κέ- ντρο του και ζητείται κάποια κορυφή. Παράδειγμα 14 ∆ίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓ∆, με Α(−1,2) , Β(2,−3) και το κέντρο του Κ(1,1) . Να βρείτε τις συντεταγμένες των Γ και ∆. ▶︎ Λύση Αφού το Κ είναι το κέντρο του παραλληλογράμμου: α) είναι το μέσο της διαγωνίου ΑΓ, άρα ισχύουν ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪ xΚ = xΑ + xΓ ⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⇔ ⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪ 1= −1+ xΓ ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⇔ ⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎩⎨⎪ xΓ −1= 2 ⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎭⇔ ⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎧ xΓ = 3 ⎪⎪⎭⎬⎪⎫⎪⎪ , 2 2 yΓ + 2 = 2 yΓ =0 yΚ = yΑ + yΓ 1= 2+ yΓ 2 2 οπότε είναι Γ(3,0) . - 54 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο β) είναι το μέσο και της διαγωνίου Β∆, άρα ισχύουν ⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪ xΚ = xΒ + xΔ ⎪⎪⎪⎪⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎪⎪⎪⇔ ⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎩⎪ 1= 2 + xΔ ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎫⇔ ⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎨ xΔ + 2 = 2 ⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎭⎪⇔ ⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧ xΔ = 0 ⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎭⎫ , 2 2 yΔ −3=2 yΔ =5 yΚ = yΒ + yΔ 1= −3+ y Δ 2 2 οπότε είναι Δ(0,5) . ▶︎ Περίπτωση 3η - Αντιδιαμετρικά σημεία ενός κύκλου Όπως είναι γνωστό από την Γεωμετρία, αντιδιαμετρικά λέγονται τα δύο άκρα μιας διαμέτρου ενός κύκλου (στο σχήμα, τα σημεία Α και Β είναι αντιδιαμετρικά). Αυτό σημαίνει ότι το κέντρο του κύκλου είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος που δημιουργούν τα δύο αυτά αντιδιαμετρικά σημεία, οπότε να πώς προκύπτει ότι θα πρέπει να χρησιμοποιήσεις τον τύπο του μέσου τμήματος. Στις ασκήσεις συνήθως δίνεται ένα σημείο και το κέντρο του κύκλου και ζητείται να βρεθούν οι συντεταγμένες του αντιδιαμετρικού του. Επίσης, μπορεί να δοθούν οι συντεταγμένες δύο αντιδιαμετρικών σημείων ενός κύ- κλου και να ζητούνται οι συντεταγμένες του κέντρου του κύκλου. Παράδειγμα 15 Κύκλος έχει κέντρο το Κ(2,6) . Να βρείτε το αντιδιαμετρικό του σημείου Α(0,−4) στον κύκλο. ▶︎ Λύση Αν ονομάσω Β το αντιδιαμετρικό του Α στον κύκλο, τότε το κέντρο Κ είναι το μέσο του ΑΒ, οπότε ισχύουν - 55 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎩⎪⎨⎪ xΚ = xΑ + xΒ ⎪⎪⎪⎪⎫⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⇔ ⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎧ 2 = 0 +x Β ⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⇔ ⎩⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪ xΒ = 4 ⎪⎪⎪⎫⎪⎪⎬⎭⇔ ⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎨⎪ xΒ = 4 ⎪⎪⎫⎬⎪⎪⎪⎭ , 2 2 yΒ −4 =12 yΒ =16 yΚ = yΑ + yΒ 6 = − 4 + y Β 2 2 άρα είναι Β(4,16) . Πρόταση Συντεταγμένες βαρύκεντρου (κέντρου βάρους) ενός τριγώνου Αν Α(x1, y1) , Β(x2 , y2) , Γ(x3 , y3) είναι οι συντεταγμένες των τριών κορυφών ενός τριγώνου ΑΒΓ και G(x, y) είναι το βαρύκεντρό του (κέντρο βάρους), τότε ισχύει x= x1+ x2 + x3 , y= y1+ y2 + y3 . 3 3 Ο παραπάνω τύπος αναφέρεται σε εφαρμογή του σχολικού βιβλίου και είναι εκτός ύλης, αλλά θα σε συμβούλευα να τον γνωρίζεις. Μοιάζει αρκετά με τον τύπο του μέσου τμήματος, οπότε δεν είναι δύσκολο να τον θυ- μάσαι. Απλοποιεί πάρα πολύ θέματα που εμπλέκουν το βαρύκεντρο ενός τριγώνου, τα οποία χωρίς την χρήση του παραπάνω τύπου μπορεί να γίνουν αρκετά πιο περίπλοκα και κουραστικά. - 56 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο ▶︎ ︎ 3η ομάδα Συντεταγμένες διανύσματος με γνωστά άκρα Ο ακόλουθος τύπος καλύπτει μια βασική περίπτωση στα διανύσματα. ∆ίνει τον τρόπο εύρεσης των συντεταγμένων ενός διανύσματος το οποίο δημιουργείται από δύο ση- μεία του επιπέδου. Είναι βασικότατος τύπος και η χρήση του πολύ συχνή στις ασκήσεις, αφού το να δίνο- νται (ή να ζητούνται) συντεταγμένες σημείων είναι πολύ συχνό. Πρόταση Συντεταγμένες διανύσματος με γνωστά άκρα Αν Α(x1, y1) , Β(x2 ,y2) είναι δύο σημεία του καρτεσιανού επίπεδου και (x,y) είναι !!!\" οι συντεταγμένες του διανύσματος ΑΒ , τότε είναι x = x2 −x1 , y = y2 −y1 . Καλύτερα να μάθεις και να χρησιμοποιείς τον σχετικό τύπο έτσι: Aν Α(xΑ , yΑ) , Β(xΒ , yΒ) είναι δύο σημεία του επιπέδου, τότε το διάνυσμα !!!\" έχει ΑΒ συντεταγμένες !!!\" ΑΒ = (xΒ −xΑ , yΒ −yΑ) . Ισότητα διανυσμάτων και παραλληλόγραμμα με χρήση συντεταγμένων Στηριζόμενοι στον ορισμό των ίσων διανυσμάτων, όταν υπεισέρχονται συντεταγμένες στην άσκηση και αναφέρεται κάποιο παραλληλόγραμμο (δίνεται ή ζητείται να δείξεις ότι ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο) τα πράγματα είναι πιο εύκολα, αφού: • αν δίνεται παραλληλόγραμμο, τότε γνωρίζεις ότι δύο απέναντι διανύσματα είναι ίσα. - 57 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο • αν ζητείται να δείξεις ότι ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο, τότε αρκεί να δείξεις ότι δύο απέναντι διανύσματα είναι ίσα. Σχήμα πρέπει να κάνεις, διότι από αυτό θα δεις ποια διανύσματα θα πάρεις ίσα. Χωρίς σχήμα μπορεί αδίκως να χάσεις μια απλή άσκηση. Παράδειγμα 16 Έστω τα σημεία Α(0,2) , Β(3,−1) , Γ(−5,−3) . Να βρείτε το ∆, ώστε το ΑΒΓ∆ να είναι παραλληλόγραμμο. ▶︎ Λύση Για να είναι το ΑΒΓ∆ παραλληλό- γραμμο, πρέπει να ισχύει !!!\" !!!\" ΑΒ= ΔΓ (1) • !!!\" = ( xΒ −xΑ , yΒ −yΑ)= ΑΒ =(3−0 , −1−2)=(3,−3) . • !!!\" = ( xΓ −xΔ , yΓ − y Δ ) = (−5− xΔ , −3− yΔ ) . ΔΓ Από την (1) έχω τότε ότι πρέπει ⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎧ −5−xΔ = 3 ⎪⎭⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⇔ ⎨⎧⎩⎪⎪⎪⎪⎪ xΔ =−8 ⎪⎬⎪⎭⎪⎪⎫⎪ , −3 −yΔ = −3 yΔ =0 άρα είναι Δ(−8,0) . Σχόλιο Το σχήμα βοήθησε στην επιλογή των κατάλληλων διανυσμάτων. Μην ξεχνάς πόση ση- μασία έχει στα διανύσματα η σειρά των γραμμάτων με τα οποία αυτά γράφονται! - 58 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο Χωρίς το σχήμα είναι πολύ πιθανό να είχε γίνει λάθος και στην σειρά των γραμμάτων στα διανύσματα. ▶︎ ︎ 4η ομάδα Μέτρο διανύσματος Η έννοια του μέτρου ενός διανύσματος ήταν από τις πρώτες που αναφέρθηκαν στην θεωρία του κεφαλαίου (παράγραφος 1). Υπενθυμίζω μερικά βασικά στοιχεία που συ- νοδεύουν την έννοια του μέτρου: !\" !\" α) Ισχύει | α | ≥ 0 , για κάθε διάνυσμα α . Ειδικότερα, είναι: !\" !\" \" • |α|>0⇔α≠0. !\" !\" \" • |α|=0⇔α=0. !\" !\" β) Ένα διάνυσμα α λέγεται μοναδιαίο, αν και μόνο αν | α | = 1. !\" !\" !\" γ) Αν λ ∈ ! , τότε για το διάνυσμα λα ισχύει | λα | = | λ | ⋅| α | . Η σχέση αυτή αναφέρθηκε στην παράγραφο 3 (πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυ- σμα). Για να θυμηθείς τις σημαντικές και αναλυτικότατες παρατηρήσεις που έγιναν για τα θέματα (α) και (β) παραπάνω, ανάτρεξε στην παράγραφο 1. Ο τύπος που ακολουθεί δίνει τον τρόπο υπολογισμού του μέτρου ενός διανύσματος, όταν είναι γνωστές οι συντεταγμένες του. - 59 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο Πρόταση Μέτρο διανύσματος Αν !\" =(x , y) είναι ένα διάνυσμα του καρτεσιανού επιπέδου, τότε α !\" | α | = x2 +y2 . Παρατηρήσεις στο μέτρο διανύσματος ▶︎ Παρατήρηση 1η Σύμφωνα με τον προηγούμενο τύπο, για να βρεις το μέτρο ενός διανύσματος πρέπει να γνωρίζεις τις συντεταγμένες του. Για παράδειγμα, αν είναι !\" =(3, 4) , τότε α !\" | α | = 32 + 42 = 9+16 = 25 = 5 . ▶︎ Παρατήρηση 2η Όταν το διάνυσμα ορίζεται από δύο σημεία του επιπέδου, τότε πρώτα πρέπει να βρεις τις συντεταγμένες του και μετά μπορείς να βρεις το μέτρο του. Για παράδειγμα, για το | !!!\" | , όπου Α(2,1) , Β(3, 5) , έχουμε ΑΒ !!!\" =(xΒ − xΑ , yΒ − y Α ) = (3− 2 , 5−1)=(1, 4) , ΑΒ οπότε !!!\" | ΑΒ | = 12 + 42 = 1+16 = 17 . - 60 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο ▶︎ Παρατήρηση 3η Για να βρεις το μέτρο ενός διανύσματος που είναι άθροισμα ή διαφορά δύο άλλων διανυσμάτων, πάλι πρέπει πρώτα να βρεις τις συντεταγμένες και μετά να χρησιμοποι- ήσεις τον τύπο. Για παράδειγμα, για το | !!!\" + !!!\" | , όπου Α(1,2) , Β(−2,3) , Γ(3,−1) , έχουμε: ΑΒ ΑΓ • !!!\" =(xΒ −xΑ , yΒ − y Α ) = (−2 −1 , 3− 2) = (−3,1) . ΑΒ • !!!\" =(xΓ −xΑ , yΓ − y Α ) = (3−1 , −1−2) = (2 ,−3) . ΑΓ • !!!\" + !!!\" = (−3+ 2 , 1−3)=(−1,−2) . ΑΒ ΑΓ Άρα είναι !!!\" !!!\" | ΑΒ + ΑΓ | = (−1)2 +(−2)2 = 1+ 4 = 5. ΠΡΟΣΟΧΗ ! !\" \" !\" \" !\" \" !\" \" ∆εν ισχύει | α + β | = | α | + | β | ή | α − β | = | α | −| β | . ▶︎ Παρατήρηση 4η Για να βρεις το μέτρο ενός διανύσματος το οποίο είναι γινόμενο αριθμού επί διάνυ- σμα, μπορείς να δουλέψεις με δύο τρόπους (συστήνω τον δεύτερο): 1ος τρόπος Βρες τις συντεταγμένες του διανύσματος που προκύπτει από το γινόμενο και μετά το μέτρο του. Για παράδειγμα, αν !\" = (3, 4) και ζητείται το | !\" | , τότε α 2α !\" = 2⋅(3, 4) = (6 ,8) , 2α οπότε - 61 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο !\" | 2α | = 62 +82 = 36+ 64 = 100 =10 . Η αδυναμία αυτού του τρόπου θα φανεί μέσω του ακόλουθου παραδείγματος. !\" Για το ίδιο διάνυσμα, αν έπρεπε να βρούμε το |13α | , θα είχαμε !\" = 13⋅(3, 4)= (39 , 52) , 13α οπότε !\" |13α | = 392 +522 = 1521+2704 = 4225 = 65 . ∆εν νομίζω ότι χρειάζεται να σχολιάσω, έτσι; 2ος τρόπος (προτεινόμενος) Χρησιμοποίησε την ιδιότητα !\" !\" | λα |=|λ|⋅|α | , λ∈# . Για παράδειγμα, παίρνοντας πάλι το προηγούμενο διάνυσμα: !\" • για το | 2α | έχουμε !\" !\" | 2α | = 2| α | = 2 32 + 42 = 2⋅5=10 . !\" • για το |13α | έχουμε !\" !\" |13α | = 13 | α | =13 32 + 42 =13⋅5= 65 . ∆εν νομίζω ότι χρειάζεται να σχολιάσω, έτσι; ▶︎ Παρατήρηση 5η !\" !\" Με βάση την υπενθύμιση ότι είναι | α | ≥ 0 , για κάθε διάνυσμα α , η αντικατάσταση !\" |α |=κ , κ≥0 εξυπηρετεί κάποιες φορές όταν το μέτρο του διανύσματος είναι άγνωστο σε κάποια άσκηση αλλά δεν δίνονται συντεταγμένες. - 62 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο Το ακόλουθο παράδειγμα θα σε βοηθήσει. Παράδειγμα 17 !\" Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος α για το οποίο ισχύει ( )!\" !\" α= |α|−4 , 8 . Πηγή: Νίκος Κ. Ράπτης, Μαθηματικά Β΄ Λυκείου, ∆ιανύσματα-Ευθεία-Κύκλος, Αναλυτική θεωρία, 500 ασκήσεις, http://lisari.blogspot.gr/2017/09/blog-post_16.html ▶︎ Λύση Θέτω | !\" | = κ , κ ≥ 0 , και είναι !\" =(κ− 4 , 8) . α α !\" Με αυτήν την αντικατάσταση απλοποιήθηκε πολύ η μορφή του α και καταλαβαίνω καλύτερα έτσι ότι έχω τις συντεταγμένες του, όπου άγνωστος είναι ο αριθμός κ. !\" Επομένως, βρίσκοντας το κ, τελείωσα · οι συντεταγμένες του α είναι πολύ εύκολη υπό- θεση μετά. !\" \" !\" Επειδή είναι yα!\" ≠ 0 , είναι και α ≠ 0 , οπότε | α | > 0 ⇒ κ >0 . Σημαντική παρατήρηση, η οποία κάνει πιο συγκεκριμένο το κ που αναζητώ. Τότε, !\" (κ−4)2 +82 κ>0 κ2 +16−8κ+ 64 ⇔ κ2 = κ2 −8κ+80 2 ⇔ |α|= ⇔ κ= ⇔ κ2 = κ2 −8κ+80 ⇔ 8κ = 80 ⇔ κ =10 . Άρα είναι !\" !\" α α = (10− 4 , 8) ⇔ =(6 , 8) . - 63 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο ▶︎ ︎ 5η ομάδα Απόσταση σημείων Ένας ακόμη βασικότατος τύπος θα προστεθεί στην συνέχεια. Η χρήση του είναι πολύ τακτική γενικώς στην Αναλυτική Γεωμετρία και όχι μόνο στο κεφάλαιο των διανυσμά- των. Πρόκειται για τύπο ο οποίος διδάσκεται (;) ήδη από την Β’ Γυμνασίου, ο οποίος προσαρμόζει προτάσεις της Ευκλείδειας Γεωμετρίας στις ανάγκες της Αναλυτικής Γεω- μετρίας. Πρόταση Απόσταση σημείων (μήκος ευθύγραμμου τμήματος) Αν Α(x1, y1) , Β(x2 , y2) είναι δύο σημεία του καρτεσιανού επιπέδου, τότε η απόστα- σή τους συμβολίζεται με (ΑΒ) και είναι (ΑΒ)= (x2 −x1)2 +(y2 −y1)2 . Παρατηρήσεις στην απόσταση σημείων ▶︎ Παρατήρηση 1η Καλύτερα να μάθεις και να χρησιμοποιείς τον σχετικό τύπο έτσι: Αν Α(xΑ , yΑ) , Β(xΒ , yΒ) είναι δύο σημεία του επιπέδου, τότε η απόστασή τους (δη- λαδή το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ) συμβολίζεται με (ΑΒ) και είναι ίση με (ΑΒ) = (xΒ −xΑ)2 +(yΒ −yΑ)2 . - 64 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο ▶︎ Παρατήρηση 2η Αναφέρθηκε (παράγραφος 1) ότι γενικώς δεν είναι σωστό να παίρνεις κάποιο συμπέ- ρασμα από πρόταση της Γεωμετρίας και «να βάζεις βελάκια». Επειδή τα συμπεράσματα των προτάσεων της Γεωμετρίας αναφέρονται σε μήκη ευθύ- γραμμων τμημάτων, στα διανύσματα μπορείς να παίρνεις είτε τα μέτρα των αντίστοι- χων διανυσμάτων είτε την απόσταση των αντίστοιχων σημείων. Για παράδειγμα, αν ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ= ΑΓ , στα διανύσματα εί- !!!\" !!!\" τε θα γράψεις ότι ισχύει | ΑΒ | = | ΑΓ | είτε ότι ισχύει (ΑΒ) = (ΑΓ) . Θα σύστηνα να προτιμάς την δεύτερη ισότητα. ▶︎ Παρατήρηση 3η Ο τύπος της απόστασης σημείων χρησιμοποιείται σε προβλήματα στα οποία υπεισέρ- χεται η έννοια του μήκους ενός ευθύγραμμου τμήματος. Χαρακτηριστικά, όταν στην άσκηση αναφέρεται (σαν δεδομένο ή σαν ζητούμενο) κά- ποιο από τα γνωστά γεωμετρικά σχήματα (τρίγωνο, παραλληλόγραμμο κ.λπ), τότε εί- ναι πολύ πιθανή η χρήση του παραπάνω τύπου. Και σε τέτοιου είδους προβλήματα, η κατασκευή ενός σχήματος μπορεί να αποδει- χθεί σωτήρια! - 65 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο Παράδειγμα 18 Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο που έχει κορυφές τα σημεία Α(3,1) , Β(0,2) , Γ(1,0) , είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. ▶︎ Λύση Είναι: • (ΓΑ)= (xΑ −xΓ)2 +(yΑ −yΓ)2 = (3−1)2 +(1−0)2 = = 22 +12 = 5 . • (ΓΒ)= (xΒ −xΓ)2 +(yΒ −yΓ)2 = (0−1)2 +(2−0)2 = = (−1)2 +22 = 5 . Αφού είναι (ΓΑ)=(ΓΒ), το ΑΒΓ είναι ισοσκελές. Επίσης, (ΑΒ)= (xΒ −xΑ)2 +(yΒ −yΑ)2 = (0−3)2 +(2−1)2 = 10 . Είναι (ΓΑ)2 +(ΓΒ)2 = 52 + 52 = 5+5=10 = 10 2 =(ΑΒ)2 , δηλαδή ισχύει το αντίστροφο του Πυθαγόρειου Θεωρήματος, οπότε το ΑΒΓ είναι ορ- θογώνιο (στο Γ). Υπενθυμίζω τι αναφέρει το αντίστροφο του Πυθαγόρειου Θεωρήματος: Αν σε ένα τρίγωνο το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς του είναι ίσο με το άθροι- σμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την πλευρά αυτή. - 66 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο Σχόλια Το σχήμα βοήθησε καθοριστικά στην επίλυση της άσκησης, διότι: • από αυτό υποπτεύθηκα ότι θα είναι (ΓΑ)=(ΓΒ) και γι’ αυτό εξαρχής πήρα και υπολόγισα τις συγκεκριμένες αποστάσεις (να θυμάσαι: ένα σχήμα δίνει ενδείξεις και όχι απαραιτήτως αποδείξεις). • αν δεν ζητούνταν να δείξω ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, αλλά να βρω το είδος του τριγώνου (ως προς τις πλευρές ή ως προς τις γωνίες ή ως προς και τα δύο), τότε από το σχήμα θα υποπτευόμουν ότι μάλλον πρόκειται για ορθο- γώνιο και ισοσκελές τρίγωνο και θα κινούμουν αναλόγως. Επίσης, αν ζητούνταν να δείξω ότι είναι ορθογώνιο, αλλά δεν αναφέρονταν σε ποιο σημείο, τότε πάλι το σχήμα θα έσωζε την λύση μου, διότι θα υποπτευόμουν ότι στο Γ σχηματίζεται ορθή γωνία. ▶︎ Παρατήρηση 4η - Ιδιαίτερες περιπτώσεις αποστάσεων Αν Α(xΑ , yΑ) , Β(xΒ , yΒ) είναι δύο σημεία του καρτεσιανού επιπέδου, τότε: α) η απόσταση του Α από τον άξονα x’x είναι | yΑ | . Αυτό ισχύει και αντίστροφα, δηλαδή ο αριθμός | yΑ | παριστάνει την απόσταση του Α από τον άξονα x’x. β) η απόσταση του Α από τον άξονα y’y είναι | xΑ | . Αυτό ισχύει και αντίστροφα, δηλαδή ο αριθμός | xΑ | παριστάνει την απόσταση του Α από τον άξονα y’y. γ) η απόσταση του Α από την αρχή των αξόνων είναι (ΟΑ)= x 2 + y 2 . Α Α Αυτό προκύπτει πολύ εύκολα από τον τύπο της απόστασης σημείων και μπορεί να χρησιμοποιείται χωρίς απόδειξη (αν και δεν υπάρχει αυτός ο τύπος αυτούσιος στο - 67 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο σχολικό βιβλίο). δ) αν τα Α, Β είναι πάνω στον άξονα x’x ή γενικώς έχουν ίσες τεταγμένες (δηλαδή βρί- σκονται πάνω σε ευθεία παράλληλη στον άξονα x’x), τότε η απόστασή τους είναι (ΑΒ) = | xΒ −xΑ | . ε) αν τα Α, Β είναι πάνω στον άξονα y’y ή γενικώς έχουν ίσες τετμημένες (δηλαδή βρί- σκονται πάνω σε ευθεία κάθετη στον άξονα x’x), τότε η απόστασή τους είναι (ΑΒ) = | yΒ −yΑ | . Παράδειγμα 19 ∆ίνονται τα σημεία Α(3,2) , Β(1,5) . Να βρείτε σημείο Γ του άξονα x’x, ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ορθογώνιο στο Β. ▶︎ Λύση Αφού το Γ είναι σημείο του x’x, έχει συντεταγμένες Γ(x,0) , x ∈ ! . Για να είναι το ΑΒΓ ορθογώνιο στο Β, θα πρέπει να ισχύει (ΒΑ)2 +(ΒΓ)2 =(ΑΓ)2 (1) • (ΒΑ)2 =(xΑ −xΒ)2 +(yΑ −yΒ)2 =(3−1)2 +(2−5)2 =13 . • (ΒΓ)2 =(xΓ −xΒ)2 +(yΓ −yΒ)2 =(x−1)2 +(0−5)2 =(x−1)2 +25 . • (ΑΓ)2 =(xΓ −xΑ)2 +(yΓ −yΑ)2 =(x−3)2 +(0−2)2 =(x−3)2 + 4 . Από την (1) έχω τότε 13+(x−1)2 +25=(x−3)2 + 4 ⇔ 38+ x2 +1−2x = x2 +9−6x + 4 ⇔ 4x =−26 ⇔ ⇔ x = − 26 ⇔ x = − 13 . 4 2 - 68 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο Άρα είναι Γ⎜⎜⎛⎜⎝− 13 , 0⎟⎠⎞⎟⎟ . 2 Σχόλιο Με την θεωρία της παραγράφου 5 (Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων), η ίδια άσκηση μπορεί να λυθεί πιο γρήγορα και ξεκούραστα. ▶︎ ︎ 6η ομάδα • Συνθήκη παραλληλίας διανυσμάτων • Ομόρροπα/αντίρροπα διανύσματα • Συνευθειακά/μη συνευθειακά σημεία Η παραλληλία δύο διανυσμάτων (άρα και πότε αυτά είναι ομόρροπα ή αντίρροπα) εί- ναι από τα βασικότερα θέματα της θεωρίας και αγαπημένο συστατικό πολλών ασκή- σεων. Πρόκειται για ένα θέμα που θα συναντήσεις αρκετές φορές και σε ασκήσεις της Γ’ Λυ- κείου, γι’ αυτό πρόσεξέ το πολύ. Ανάτρεξε στην παράγραφο 1 του κεφαλαίου για να θυμηθείς τις βασικές έννοιες των παράλληλων, ομόρροπων και αντίρροπων διανυσμά- των. Εδώ θα δεις πώς αντιμετωπίζεται η παραλληλία διανυσμάτων με χρήση συντεταγμέ- νων. Απαιτείται ο ακόλουθος ορισμός πρώτα. Ορισμός Ορίζουσα δύο διανυσμάτων Αν !\" = (x1 , y1) , \" = ( x2 , y 2 ) είναι δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου, τότε α β την ορίζουσα x1 y1 , x2 y2 - 69 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο !\" που έχει ως πρώτη γραμμή τις συντεταγμένες του διανύσματος α και ως δεύτερη ! γραμμή τις συντεταγμένες του διανύσματος β (με την σειρά που δίνονται), την λέ- !\" !\" !\" \" ( )με ορίζουσα των διανυσμάτων α , β και την συμβολίζουμε με det α , β . Η έννοια της ορίζουσας είναι γνωστή από την Άλγεβρα (γραμμικά συστήματα). Υπεν- θυμίζω ότι υπολογίζεται έτσι: x1 y1 = x1⋅y2 −x2 ⋅y1 . x2 y2 Στον παραπάνω ορισμό, η έκφραση «με την! σ\"ε!ιρά που δίνονται» έχει μεγάλη σημασία, διότι αν αναφερθούμε στην ορίζουσα των β , α , τότε είναι ! \"! x2 y2 \"! ! y1 α,β ( ) ( )det β , α = x1 = x2 y1− x1 y2 = −(x1 y2 − x2 y1)= − det . Με την βοήθεια του παραπάνω ορισμού, η συνθήκη παραλληλίας δύο διανυσμάτων λαμβάνει την ακόλουθη ισοδύναμη μορφή (η πρώτη της μορφή αναφέρθηκε στην παράγραφο 3, σελίδα 34): Πρόταση Συνθήκη παραλληλίας διανυσμάτων (2η μορφή) Αν !\" = (x1 , y1) , \" = ( x2 , y 2 ) είναι δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου, τότε α β ισχύει: ( )!\" \" !\" \" α / / β ⇔ det α , β = 0 . - 70 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο Παρατηρήσεις στην συνθήκη παραλληλίας ▶︎ Παρατήρηση 1η Η 2η μορφή της συνθήκης παραλληλίας είναι πάρα πολύ σημαντική και πρέπει να εί- ναι η πρώτη σκέψη, όταν τίθεται θέμα παραλληλίας διανυσμάτων σε μια άσκηση και για τα διανύσματα δίνονται συντεταγμένες! Πρόσεξε το εξής ! Να είναι η πρώτη σκέψη, όχι η μοναδική! Αυτό διότι η 2η μορφή έχει δύο αδυναμίες: α) η πρώτη αδυναμία της είναι ότι «δουλεύει» μόνο όταν για τα διανύσματα δίνονται συντεταγμένες. Στην περίπτω!\"ση π\"ου\"δεν\"δίνο!\"νται σ\"υντεταγμένες, τότε η 1η μορφή της συνθήκης πα- ραλληλίας ( α / / β , β ≠ 0 ⇔ α = λβ , λ ∈ # ) θα σε βοηθήσει. β) η δεύτερη αδυναμία της είναι ότι δεν μπορεί να διακρίνει τις ιδιαίτερες περιπτώσεις των ομόρροπων και αντίρροπων διανυσμάτων. Έτσι, αν σε μια άσκηση αναφέρεται ότι δύο διανύσματα είναι (ή πρέπει να είναι): !\" \" • ομόρροπα, τότε χρησιμοποίησε την σχέση α = λβ , λ >0 . !\" \" • αντίρροπα, τότε χρησιμοποίησε την σχέση α = λβ , λ <0 . Οι σχετικές λυμένες ασκήσεις που θα δεις θα σε βοηθήσουν να κατανοήσεις καλύτερα όσα αναφέρθηκαν σε αυτήν την παρατήρηση. - 71 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο ▶︎ Παρατήρηση 2η Αξίζει να αναλύσω περισσότερο την πολύ σημαντική αυτή πρόταση. • Αν θες να εξετάσεις αν δύο διανύσματα είναι παράλληλα μεταξύ τους, τότε εξέτασε αν η ορίζουσά τους είναι ίση με μηδέν. - Αν είναι ίση με μηδέν, τότε τα διανύσματα είναι παράλληλα. - Αν δεν είναι ίση με μηδέν, τότε τα διανύσματα δεν είναι παράλληλα. • Αν θες να δείξεις ότι δύο διανύσματα είναι παράλληλα μεταξύ τους, τότε δείξε ότι η ορίζουσά τους είναι ίση με μηδέν. • Αν ξέρεις ότι δύο διανύσματα είναι παράλληλα μεταξύ τους, τότε ξέρεις ότι η ορί- ζουσά τους είναι ίση με μηδέν. Ισοδύναμα, αν ξέρεις ότι η ορίζουσα δύο διανυσμάτων είναι ίση με μηδέν, τότε ξέ- ρεις ότι τα διανύσματα είναι παράλληλα μεταξύ τους. ▶︎ Παρατήρηση 3η Χαρακτηριστικότατες περιπτώσεις εφαρμογής της συνθήκης παραλληλίας είναι τα πα- ραλληλόγραμμα και τα τραπέζια, γενικότερα όμως, όπου στην Γεωμετρία αναφέρεται πρόταση (ιδιότητα, κριτήριο) με παραλληλία. Είναι πολύ σημαντικό να γνωρίζεις σχετικές προτάσεις της Γεωμετρίας πάνω σε αυτά τα θέματα επομένως. Αν δεν τις θυμάσαι, οπωσδήποτε ξαναδιάβασέ τες από το βιβλίο της Α’ Λυκείου. - 72 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο Παράδειγμα 20 Να δείξετε ότι τα σημεία Α(−4,−6) ,Β(5,3) , Γ(−4,−1) , Δ(0,3) είναι κορυφές ισοσκε- λούς τραπεζίου. ▶︎ Λύση Για να δείξω ότι το ΑΒ∆Γ είναι ισοσκελές τραπέ- ζιο, πρέπει να δείξω ότι: α) είναι τραπέζιο, δηλαδή ότι έχει δύο πλευρές παράλληλες και β) είναι ισοσκελές, δηλαδή ότι έχει τις μη παράλ- ληλες πλευρές ίσες. Πρέπει να κάνω δηλαδή ό,τι ακριβώς αναφέρει ο ορισμός του ισοσκελούς τραπεζίου στην Γεωμετρία. Απόδειξη του (α) • !!!\" = ( xΒ −xΑ , yΒ −yΑ)=(5+ 4 , 3+ 6)=(9,9). ΑΒ • !!!\" =(xΔ −xΓ , yΔ − y Γ ) = (0 + 4 , 3+1) = (4 , 4). ΓΔ Τότε, ( )!!!\" !!!\" 9 9 = 9⋅4−9⋅4 = 36−36 = 0 , 4 4 det ΑΒ , ΓΔ = !!!\" !!!\" το οποίο σημαίνει ότι ΑΒ / / ΓΔ , οπότε το ΑΒ∆Γ είναι τραπέζιο. Απόδειξη του (β) • (ΑΓ)= (xΓ −xΑ)2 +(yΓ −yΑ)2 = (−4 + 4)2 +(−1+ 6)2 = 5 . - 73 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο • (ΒΔ)= (xΔ −xΒ)2 +(yΔ −yΒ)2 = (0−5)2 +(3−3)2 = 5 . Αφού είναι (ΑΓ)=(ΒΔ) , το τραπέζιο ΑΒ∆Γ είναι ισοσκελές. Σχόλια α) Το σχήμα πάλι βοήθησε καθοριστικά, αφού από αυτό είδα ποιες πλευρές έπρεπε να προκύψουν παράλληλες (με την βοήθεια διανυσμάτων), όπως επίσης και ποιες πλευρές έπρεπε να προκύψουν ίσες. Ακόμη, το σχήμα έδωσε μια σημαντική «υποψία» (την οποία εσκεμμένα δεν έβαλα στην παραπάνω λύση): Τα Α και Γ φαίνεται να βρίσκονται στην ίδια κατακόρυφη ευθεία (αντίστοιχα, τα Β και ∆ στην ίδια οριζόντια ευθεία), κάτι που επιβεβαιώνεται από τις συντεταγμένες τους. Αν το είχα παρατηρήσει, τις αποστάσεις (ΑΓ) και (ΒΔ) θα τις είχα υπολογίσει πολύ πιο γρήγορα και ξεκούραστα, αφού: • επειδή είναι xΑ = xΓ =−4 , είναι (ΑΓ)= | yΓ −yΑ | = | −1+ 6 | = 5 . • επειδή είναι yΒ = yΔ = 3 , είναι (ΒΔ)= | xΔ −xΒ | = | 0−5 | = 5 . !!!\" !!!\" β) Η παραλληλία των ΑΒ , ΓΔ θα μπορούσε να αποδειχθεί και έτσι: Είναι !!!\" !\" !!!\" !\" !\" ΑΒ 9α ΓΔ 4α α = (9 , 9) = 9⋅(1,1)= , =(4 , 4)= 4 ⋅(1,1) = , όπου =(1,1) . !!!\" !\" !!!\" !\" !!!\" !!!\" Άρα είναι ΑΒ / / α , ΓΔ / / α , οπότε είναι και ΑΒ / / ΓΔ . - 74 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο Συνευθειακά σημεία Η συνθήκη παραλληλίας συνδέεται με το πολύ σημαντικό θέμα του τίτλου και το οποίο θα συναντήσεις σε ασκήσεις της Γ’ Λυκείου. !!!\" !!!\" !!!\" !!!\" ( )Ισχύει: Α, Β, Γ συνευθειακά ⇔ ΑΒ / / ΑΓ ⇔ det ΑΒ , ΑΓ = 0 . Αυτό σημαίνει ότι: !!!\" !!!\" • αν θες να εξετάσεις αν τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά, τότε εξέτασε αν είναι ΑΒ / / ΑΓ , !!!\" !!!\" ( )δηλαδή αν ισχύει det ΑΒ , ΑΓ = 0 . !!!\" !!!\" • αν θες να δείξεις ότι τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά, τότε δείξε ότι είναι ΑΒ / / ΑΓ , !!!\" !!!\" ( )δηλαδή ότι ισχύει det ΑΒ , ΑΓ = 0 . !!!\" !!!\" • αν ξέρεις ότι τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά, τότε ξέρεις ότι είναι ΑΒ / / ΑΓ , δηλαδή ( )!!!\" !!!\" ότι ισχύει det ΑΒ , ΑΓ = 0 . Ασφαλώς, τα ονόματα των σημείων δεν!ε!ί!\"ναι!π!!\"άντα Α, Β, Γ, όπως επίσης και τα διανύ- σματα που παίρνεις δεν είναι πάντα τα ΑΒ , ΑΓ . Συστήνω όμως να θυμάσαι τον ακό- λουθο μνημονικό κανόνα για το ποια διανύσματα να πάρεις: πρώτο γράμμα - δεύτερο γράμμα (για το πρώτο διάνυσμα) πρώτο γράμμα - τρίτο γράμμα (για το δεύτερο διάνυσμα). Παράδειγμα 21 ∆ίνονται τα σημεία Α(−1, λ−1) , Β(3 , λ+3) , Γ(λ2 , 2) . Να βρείτε τον λ ∈ ! , ώστε τα σημεία Α, Β, Γ να είναι συνευθειακά. ▶︎ Λύση - 75 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο Για να είναι τα Α, Β, Γ συνευθειακά, πρέπει να ισχύει ( )!!!\" !!!\" !!!\" !!!\" ΑΒ / / ΑΓ ⇔ det ΑΒ , ΑΓ = 0 (1) • !!!\" = ( xΒ −xΑ , yΒ − y Α ) = (3+1, λ + 3− λ +1) = (4 , 4) . ΑΒ • !!!\" =(xΓ − xΑ , yΓ − yΑ ) = (λ2 +1, 2−λ +1)=(λ2 +1, 3−λ). ΑΓ ( )!!!\" !!!\" 4 4 = 4(3−λ)−4(λ2 +1)= 4(3−λ−λ2 −1)= λ2 +1 3−λ • det ΑΒ , ΑΓ = = 4(−λ2 −λ+2)=−4(λ2 + λ−2) . Τότε από την (1) προκύπτει −4(λ2 + λ−2)= 0 ⇔ λ2 + λ−2 = 0 ⇔λ =1 ή λ =−2 . Μη συνευθειακά σημεία (και σχηματισμός τριγώνου) Με την σειρά τους, τα συνευθειακά σημεία συνδέονται με ένα άλλο σημαντικό θέμα των ασκήσεων, το οποίο είναι αν τρία σημεία δεν είναι συνευθειακά (συνεπώς αν σχη- ματίζουν -ή όχι- τρίγωνο). Επειδή τρία σημεία σχηματίζουν τρίγωνο, αν και μόνο αν αυτά δεν είναι συνευθειακά, να πώς το θέμα που αναφέρθηκε προηγουμένως συνδέεται με τον σχηματισμό τριγώ- νου. !!!\" !!!\" !!!\" !!!\" ( )Ισχύει: Α, Β, Γ μη συνευθειακά ⇔ ΑΒ / / ΑΓ ⇔ det ΑΒ , ΑΓ ≠ 0 . Έτσι, για τρία σημεία Α, Β, Γ: • αν θες να εξετάσεις αν σχηματίζουν τρίγωνο, τότε εξέτασε αν αυτά δεν είναι συνευ- !!!\" !!!\" θειακά, δηλαδή εξέτασε αν τα ΑΒ , ΑΓ δεν είναι παράλληλα, ισοδύναμα δε αν ισχύ- - 76 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο ( )!!!\" !!!\" ει det ΑΒ , ΑΓ ≠ 0 . • αν θες να δείξεις ότι σχηματίζουν τρίγωνο, τότε δείξε ότι αυτά δεν είναι συνευθεια- !!!\" !!!\" κά, δηλαδή δείξε ότι τα ΑΒ , ΑΓ δεν είναι παράλληλα, ισοδύναμα δε ότι ισχύει ( )!!!\" !!!\" det ΑΒ , ΑΓ ≠ 0 . • αν ξέρεις ότι σχηματίζουν τρίγωνο, τότε ξέρεις ότι αυτά δεν είναι συνευθειακά, δη- !!!\" !!!\" λαδή ξέρεις ότι τα ΑΒ , ΑΓ δεν είναι παράλληλα, ισοδύναμα δε ότι ισχύει ( )!!!\" !!!\" det ΑΒ , ΑΓ ≠ 0 . Παράδειγμα 22 ∆ίνονται τα διανύσματα !!!\" = (x +1, x) , !!!\" = (2x −1 , x −1) , !!!\" =(−1, 3) . ΟΑ ΟΒ ΟΓ Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι κορυφές τριγώνου, για κάθε x ∈ ! . ▶︎ Λύση Είναι Α(x +1, x) , Β(2x−1, x−1) , Γ(−1, 3) και για να δείξω ότι αυτά είναι κορυφές !!!\" !!!\" τριγώνου, αρκεί να δείξω ότι τα ΑΒ , ΑΓ δεν είναι παράλληλα, δηλαδή ότι ( )!!!\" !!!\" det ΑΒ , ΑΓ ≠ 0 , για κάθε x ∈ ! . • !!!\" = ( xΒ −xΑ , yΒ − y Α ) = (2x −1− x −1 , x −1− x) = (x − 2 , −1) . ΑΒ • !!!\" =(xΓ − xΑ , yΓ − y Α ) = (−1− x −1 , 3− x) = (−x − 2 , 3−x) . ΑΓ Τότε είναι ( )!!!\" !!!\" x−2 −1 = (x − 2)(3− x)−(−1) ⋅ (−x − 2) = −x − 2 3−x det ΑΒ , ΑΓ = = 3x−x2 −6+2x−x−2 =−x2 + 4x−8 <0 , για κάθε x ∈ ! , - 77 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο αφού το τριώνυμο έχει διακρίνουσα 42 −4⋅(−1)⋅(−8)=16−32 =−16 . Σχόλιο !!!\" !!!\" Οι συντεταγμένες των ΑΒ , ΑΓ θα μπορούσαν να βρεθούν και έτσι: !!!\" !!!\" !!!\" !!!\" !!!\" !!!\" ΑΒ= ΟΒ−ΟΑ , ΑΓ = ΟΓ−ΟΑ , δηλαδή θεωρώντας το Ο ως σημείο αναφοράς (που είναι σύνηθες). ▶︎ ︎ 7η ομάδα • Γωνία διανύσματος με τον άξονα x’x • Συντελεστής διεύθυνσης διανύσματος Στην παράγραφο 1 αναφέρθηκε η γωνία δύο διανυσμάτων. Θα δεις τώρα πώς ορίζεται η γωνία ενός διανύσματος με τον άξονα x’x. Ορισμός Γωνία διανύσματος με τον άξονα x’x Έστω !\" =(x,y) ένα μη μηδενικό διάνυσμα και Α το ση- α !!!\" !\" μείο του επίπεδου για το οποίο ισχύει ΟΑ = α . Την γωνία φ που διαγράφει ο ημιάξονας Οx αν στραφεί γύρω από το Ο κατά την θετική φορά μέχρι να συμπέσει με την ημιευθεία ΟΑ!\", την ονομάζουμε γωνία που σχημα- τίζει το διάνυσμα α με τον άξονα x’x. Είναι φανερό ότι 0 ≤ ϕ < 2π . Βασική είναι και η έννοια που αναφέρεται στην συνέχεια. - 78 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο Ορισμός Συντελεστής διεύθυνσης ενός διανύσματος Έστω !\" =(x,y) ένα μη μηδενικό διάνυσμα και φ η γωνία που αυτό σχηματίζει με α τον άξονα x’x. Αν το !\" δεν είναι παράλληλο προς τον άξονα y’y, ισχύει εϕϕ = y . α x Το πηλίκο y , της τεταγμένης του !\" προς την τετμημένη του !\" x ≠ 0 , το λέμε x !\" α α , με συντελεστή διεύθυνσης του α και τον συμβολίζουμε με λα!\" ή απλώς με λ. Επομένως, λ !\" = y = εϕϕ . α x Να χρησιμοποιείς τον συμβολισμό λα!\" και όχι το σκέτο λ, διότι το σκέτο λ πολλές φο- ρές το είδες να παριστάνει παράμετρο στις ασκήσεις (και θα συνεχίσεις να το βλέπεις). Είναι φανερό ότι: • αν y = 0 , δηλαδή αν !\" / / x′x , τότε ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος α !\" α είναι ο λα!\" = 0 . • αν x = 0 , δηλαδή αν !\" / / y′y , τότε δεν ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης του !\" α διανύσματος α . Πώς θα βρεις την γωνία που σχηματίζει ένα διάνυσμα με τον άξονα x’x Αν !\" =(x,y) είναι ένα διάνυσμα και θ η γωνία που αυτό σχηματίζει με τον άξονα x’x, α τότε για να βρεις την γωνία θ: 1ο βήμα Υπολόγισε την εφθ από τον τύπο εϕθ = y . x - 79 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο Θα βρεις ότι εϕθ = ± 3 , ±1, ± 3, 3 δηλαδή γενικά ότι εϕ θ =± εϕω , όπου ω= π ή ω = π ή ω = π 6 4 3 (σε μοίρες είναι 30ο , 45ο ,60ο αντίστοιχα). Από την Τριγωνομετρία υπενθυμίζω ότι: εϕ0 = 0 , εϕ π = 3 , εϕ π =1 , εϕ π = 3 , εϕ π δεν ορίζεται. 6 3 4 3 2 Οι περιπτώσεις εϕθ = 0 ή η εϕθ να μην ορίζεται είναι ιδιαίτερες και αναπτύσσονται στην συνέχεια. 2ο βήμα !\" ∆ες το πρόσημο των συντεταγμένων του α , διότι αυτές καθορίζουν το τεταρτημόριο !\" στο οποίο βρίσκεται το πέρας του α , άρα και την γωνία θ. !\" α) Αν είναι x >0 , y >0 , τότε το πέρας του α είναι στο πρώτο τεταρτημόριο, οπότε είναι θ = ω . !\" β) Αν είναι x <0 , y >0 , τότε το πέρας του α είναι στο δεύτερο τεταρτημόριο, οπότε είναι θ = π−ω (ή θ = 180ο −ω ). !\" γ) Αν είναι x <0 , y <0 , τότε το πέρας του α είναι στο τρίτο τεταρτημόριο, οπότε είναι θ = π+ ω (ή θ = 180ο + ω ). !\" δ) Αν είναι x >0 , y <0 , τότε το πέρας του α είναι στο τέταρτο τεταρτημόριο, οπότε είναι θ = 2π−ω (ή θ = 360ο −ω ). - 80 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο Ειδικές περιπτώσεις είναι οι εξής: α) εφθ = 0 !\" Τότε το α είναι παράλληλο στον άξονα x’x. Αν προσέξεις τις συντεταγμένες του, θα είναι !\" =(x ,0) , οπότε: α • αν είναι x >0 , τότε η ζητούμενη γωνία είναι 0 rad (ή 0o ). • αν είναι x <0 , τότε η ζητούμενη γωνία είναι π rad (ή 180o ). Θυμήσου ότι ένα διάνυσμα είναι παράλληλο στον άξονα x’x, αν και μόνο αν έχει τε- ταγμένη ίση με μηδέν, δηλαδή αν και μόνο αν έχει συντεταγμένες (x,0) . β) Η εφθ δεν ορίζεται !\" Τότε το α είναι κάθετο στον άξονα x’x. Αν προσέξεις τις συντεταγμένες του, θα είναι !\" = (0 , y) , οπότε: α • αν είναι y >0 , τότε η ζητούμενη γωνία είναι π rad (ή 90ο ). 2 • αν είναι y <0 , τότε η ζητούμενη γωνία είναι 3π rad (ή 270ο ). 2 Θυμήσου ότι ένα διάνυσμα είναι κάθετο στον άξονα x’x, αν και μόνο αν έχει τετμημένη ίση με μηδέν, δηλαδή αν και μόνο αν έχει συντεταγμένες (0, y). Τα ακόλουθα παραδείγματα θα σε βοηθήσουν να καταλάβεις καλύτερα όσα αναφέρ- θηκαν στις προηγούμενες σελίδες. - 81 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Search
