ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - Κεφ.3 - Παράγραφος 3.5 (ασκήσεις Κ8)

Β΄ Λυκείου - Άλγεβρα Τριγωνοµετρία ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κατηγορία 8 Τριγωνοµετρικές εξισώσεις στις οποίες χρησιµοποιούνται τύποι της Τριγωνοµετρίας Νέα Μουδανιά • Σεπτέµβριος 2021

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8η κατηγορία ασκήσεων Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 5 • Βασικές τριγωνοµετρικές εξισώσεις • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Τριγωνοµετρικές εξισώσεις στις οποίες χρησιµοποιούνται τύποι της Τριγωνοµετρίας Άσκηση 176 Να λύσετε την εξίσωση 2ηµ2x − 7συνx − 5 = 0 . Λύση Aπό την εξίσωση έχω ( )2 1 − συν2x − 7συνx − 5 = 0 ⇔ 2 − 2συν2x − 7συνx − 5 = 0 ⇔ 2συν2x + 7συνx + 3 = 0 . Θέτω συνx = y , − 1 ≤ y ≤ 1 , και έχω την εξίσωση 2y2 + 7y + 3 = 0 , από όπου εύκολα προκύπτει y=− 1 ή y = −3 (απορρίπτεται). 2 Επομένως, συνx =− 1 ⇔ συνx = −συν π ⇔ συνx = συν⎜⎛⎝⎜⎜π − π ⎟⎞⎟⎠⎟⎟ ⇔ συνx = συν 2π ⇔ 2 3 3 3 ⇔ x = 2κπ ± 2π , κ ∈ ! . 3 Άσκηση 177 Να λύσετε την εξίσωση συν2x − 7ηµ2x + 1 = 0 . Λύση Aπό την εξίσωση έχω ( )συν2x − 7 + 1 = 0 ⇔ συν2x − 7 + 7συν2x + 1 = 0 ⇔ 8συν2x = 6 ⇔ συν2x = 6 1 − συν2x 8 ⇔ ⇔ συν2x = 3 ⇔ συνx = ± 3 ⇔ συνx = 3 ή συνx = − 3 . 4 4 2 2 α) συνx = 3 ⇔ συνx = συν π ⇔ x = 2κπ ± π , κ ∈ ! . 2 6 6 - 120 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 5 • Βασικές τριγωνοµετρικές εξισώσεις • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ β) συνx = − 3 ⇔ συνx = −συν π ⇔ συνx = συν⎜⎜⎝⎛⎜π − π6 ⎟⎟⎞⎠⎟⎟ ⇔ συνx = συν 5π ⇔ 2 6 6 ⇔ x = 2κπ ± 5π , κ∈! . 6 Αντί της αρχικής αντικατάστασης, θα μπορούσα να είχα θέσει συν2x = 1 − ηµ2x . Τότε θα προέκυπτε εξίσωση μόνο με ημx μέσα και τα βήματα θα ήταν ανάλογα. Σε κάποια εξίσωση, αν μπορεί να γίνει είτε η μία είτε η άλλη αντικατάσταση, προτίμη- σε να θέσεις ηµ2x = 1 − συν2x . Έτσι θα προκύψει εξίσωση μόνο με συνημίτονα, η οποία είναι πιο «οικονομική» στο γράψιμο και τις τελικές λύσεις. Άσκηση 178 Να λύσετε την εξίσωση 3συν2x − ηµ2x − 3 = 0 . Λύση Από την εξίσωση έχω ( )3συν2x − 1 − συν2x − 3 = 0 ⇔ 3συν2x − 1 + συν2x − 3 = 0 ⇔ 4συν2x = 4 ⇔ συν2x = 1 ⇔ ⇔ συνx = ± 1 ⇔ συνx = 1 ή συνx = −1 ⇔ x = 2κπ η x = 2κπ + π , κ ∈ ! . Άσκηση 179 Να λύσετε την εξίσωση 2συν2x + 3 ηµx + 1 = 0 . Λύση Από την εξίσωση έχω ( )2 1 − ηµ2x + 3 ηµx + 1 = 0 ⇔ 2 − 2ηµ2x + 3 ηµx + 1 = 0 ⇔ 2ηµ2x − 3 ηµx − 3 = 0 . Θέτω ηµx = y , − 1 ≤ y ≤ 1 , οπότε έχω την εξίσωση 2y2 − 3 y − 3 = 0 , από όπου εύκο- λα προκύπτει y = − 3 ή y = 3 (απορρίπτεται, διότι είναι 3 > 1 ). 2 - 121 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 5 • Βασικές τριγωνοµετρικές εξισώσεις • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άρα, ηµx = − 3 ⇔ ηµx = −ηµ π ⇔ ηµx = ηµ −π ⇔ 2 3 3 ⇔ x = 2κπ − π ή x = 2κπ + π + π = 2κπ + 4π , κ∈! . 3 3 3 Άσκηση 180 Να λύσετε την εξίσωση 3(1 − συνx) = ηµ2x . Λύση Από την εξίσωση έχω 3 − 3συνx = 1 − συν2x ⇔ συν2x − 3συνx + 2 = 0 . Θέτω συνx = y , − 1 ≤ y ≤ 1 , και έχω την εξίσωση y2 − 3y + 2 = 0 , από όπου εύκολα προκύπτει y = 1 ή y = 2 (απορρίπτεται). Άρα, συνx = 1 ⇔ x = 2κπ , κ ∈ ! . Δεύτερος τρόπος (δεν συστήνεται) Από την εξίσωση έχω 3(1 − συνx) = 1 − συν2x ⇔ 3(1 − συνx) = (1 − συνx)(1 + συνx) ⇔ ⇔ (1 − συνx)(1 + συνx) − 3(1 − συνx) = 0 ⇔ (1 − συνx)(1 + συνx − 3) = 0 ⇔ ⇔ (1 − συνx)(συνx − 2) = 0 ⇔ 1 − συνx = 0 ή συνx − 2 = 0 ⇔ ⇔ συνx = 1 ή συνx = 2 (αδύνατη, αφού ισχύει −1 ≤ συνx ≤ 1 , για κάθε x ∈ ! ). Άρα, συνx = 1 ⇔ x = 2κπ , κ ∈ ! . - 122 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 5 • Βασικές τριγωνοµετρικές εξισώσεις • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 181 Να λύσετε την εξίσωση 3συν2x + 2 = ηµ2x + 4συνx . Λύση Aπό την εξίσωση έχω ( )3συν2x + 2 = 1 − συν2x + 4συνx ⇔ 4συν2x − 4συνx + 1 = 0 ⇔ 2συνx − 1 2 = 0 ⇔ ⇔ 2συνx − 1 = 0 ⇔ 2συνx =1⇔ συνx = 1 ⇔ συνx = συν π ⇔ x = 2κπ ± π , κ∈! . 2 3 3 Στην υπογραμμισμένη εξίσωση θα μπορούσα να είχα θέσει συνx = y , − 1 ≤ y ≤ 1 . Τότε θα προέκυπτε εξίσωση δευτέρου βαθμού με μηδενική διακρίνουσα, δηλαδή ταυ- τότητα. Άσκηση 182 Να λύσετε την εξίσωση 3ηµ2x + συν2x = 2 2 ηµx . Λύση Aπό την εξίσωση έχω 2 ( )3ηµ2x + 1 − ηµ2x − 2 2 ηµx = 0 ⇔ 2ηµ2x − 2 2 ηµx + 1 = 0 ⇔ 2 ηµx − 1 = 0 ⇔ ⇔ 2 ηµx − 1 = 0 ⇔ 2 ηµx = 1 ⇔ ηµx = 1= 2 ⇔ ηµx = ηµ π ⇔ 2 2 4 ⇔ x = 2κπ + π ή x = 2κπ + π − π = 2κπ + 3π , κ∈!. 4 4 4 Στην υπογραμμισμένη εξίσωση θα μπορούσα να είχα θέσει ηµx = y , − 1 ≤ y ≤ 1 . Τότε θα προέκυπτε εξίσωση δευτέρου βαθμού με μηδενική διακρίνουσα, δηλαδή ταυ- τότητα. - 123 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 5 • Βασικές τριγωνοµετρικές εξισώσεις • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 183 Να λύσετε την εξίσωση 3εϕx = 2 3 ηµx . Πηγή: Βασίλης Παπαδάκης, Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, Α΄ τεύχος, εκδόσεις Σαββάλας, Αθήνα, 2012. Λύση Επειδή είναι εϕx = ηµx , πρέπει συνx συνx ≠ 0 ⇔ x ≠ κπ + π , κ ∈ !. 2 Από την εξίσωση έχω τότε 3ηµx =2 3 ηµx ⇔ 3ηµx = 2 3 ηµx ⋅ συνx ⇔ 2 3 ηµx ⋅ συνx − 3ηµx = 0 ⇔ συνx ( )⇔ ηµx ⋅ 2 3 συνx − 3 = 0 ⇔ ηµx = 0 ή 2 3 συνx − 3 = 0 . α) ηµx = 0 ⇔ x = κπ , κ ∈ ! . β) 2 3συνx − 3 = 0 ⇔ 2 3 συνx = 2 3 ⇔ συνx = 3 ⇔ 2 3 ⇔ 2συνx = ⇔ συνx = συν π ⇔ x = 2κπ ± π , κ∈! . 6 6 Άσκηση 184 Να λύσετε την εξίσωση 2 συνx − σϕx = 0 . Πηγή: Βασίλης Παπαδάκης, Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, Α΄ τεύχος, εκδόσεις Σαββάλας, Αθήνα, 2012. Λύση Επειδή είναι σϕx = συνx , πρέπει ηµx ηµx ≠ 0 ⇔ x ≠ κπ , κ ∈ ! . Από την εξίσωση έχω τότε ( )2 συνx − συνx = ηµx 0⇔ 2 συνx ⋅ ηµx − συνx = 0 ⇔ συνx ⋅ 2 ηµx − 1 = 0 ⇔ ⇔ συνx = 0 ή 2 ηµx − 1 = 0 . - 124 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 5 • Βασικές τριγωνοµετρικές εξισώσεις • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ α) συνx = 0 ⇔ x = κπ + π , κ∈! . 2 β) 2ηµx − 1 = 0 ⇔ 2 ηµx = 1 ⇔ ηµx = 1= 2 ⇔ ηµx = ηµ π ⇔ 2 2 4 ⇔ x = 2κπ + π ή x = 2κπ + π − π = 2κπ + 3π , κ∈!. 4 4 4 Άσκηση 185 Να λύσετε την εξίσωση συνx − εϕx = 2 . 1 − ηµx Πηγή: Βασίλης Παπαδάκης, Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, Α΄ τεύχος, εκδόσεις Σαββάλας, Αθήνα, 2012. Λύση Πρέπει να είναι π 2 1 − ηµx ≠ 0⇔ ηµx ≠ 1 ⇔ x ≠ 2κπ + , κ∈!. Επειδή είναι εϕx = ηµx , πρέπει και συνx συνx ≠ 0 ⇔ x ≠ κπ + π , κ ∈ !. 2 Από την εξίσωση έχω τότε συνx − ηµx = 2 ⇔ συν2x − ηµx ⋅(1 − ηµx) = 2συνx ⋅(1 − ηµx) ⇔ 1 − ηµx συνx ⇔ συν2x − ηµx + ηµ2x = 2συνx ⋅(1 − ηµx) ⇔ 1 − ηµx = 2συνx ⋅(1 − ηµx) . Επειδή είναι 1 − ηµx ≠ 0 , έχω στην συνέχεια 2συνx = 1⇔ συνx = 1 ⇔ συνx = συν π ⇔ x = 2κπ ± π , κ∈! . 2 3 3 Στην υπογραμμισμένη εξίσωση παρατήρησα ότι υπάρχει, αριστερά και δεξιά, κοινός παράγοντας η παράσταση 1 − ηµx . Για να απαλείψω αυτήν την παράσταση, πρώτα πρέπει να ξέρω ότι δεν μηδενίζεται και μετά να την απαλείψω! Γι' αυτό αιτιολόγησα ότι δεν μηδενίζεται, ώστε να κάνω την απαλοιφή. - 125 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 5 • Βασικές τριγωνοµετρικές εξισώσεις • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 186 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να λύσετε την εξίσωση 1 +2 3 σϕx + 2 = 0 . ηµ2x Πηγή: Βασίλης Παπαδάκης, Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, Α΄ τεύχος, εκδόσεις Σαββάλας, Αθήνα, 2012. Λύση Πρέπει να είναι ηµ2x ≠ 0 ⇔ ηµx ≠ 0 ⇔ x ≠ κπ , κ ∈ ! . Επειδή είναι σϕx = συνx , ορίζεται και η σφx, οπότε από την εξίσωση έχω ηµx 1 + 2 3 συνx +2 = 0 ⇔ 1+2 3 συνx ⋅ ηµx + 2ηµ2x = 0 ⇔ ηµ2x ηµx ⇔ ηµ2x + συν2x + 2 3 ηµx ⋅ συνx + 2ηµ2x = 0 ⇔ 3ηµ2x + συν2x + 2 3 ηµx ⋅ συνx = 0 ⇔ ( )⇔ ηµx ≠ 0 συνx 2 3 + ηµx = 0 ⇔ σϕx = − 3⇔ 3 ηµx + συνx = 0 ⇔ 3 ηµx + συνx = 0 ⇔ ⇔ σϕx = −σϕ π ⇔ σϕx = σϕ −π ⇔ x = κπ − π , κ∈! . 6 6 6 Άσκηση 187 Να λύσετε την εξίσωση 2συνx + 5εϕx = 4 . συνx Πηγή: Βασίλης Παπαδάκης, Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, Α΄ τεύχος, εκδόσεις Σαββάλας, Αθήνα, 2012. Λύση Επειδή είναι εϕx = ηµx , πρέπει συνx συνx ≠ 0 ⇔ x ≠ κπ + π , κ ∈ !. 2 Από την εξίσωση έχω τότε ( )2συνx +5ηµx 4 συνx = συνx ⇔ 2συν2x + 5ηµx = 4 ⇔ 2 1 − ηµ2x + 5ηµx − 4 = 0 ⇔ ⇔ 2 − 2ηµ2x + 5ηµx − 4 = 0 ⇔ 2ηµ2x − 5ηµx + 2 = 0 . - 126 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 5 • Βασικές τριγωνοµετρικές εξισώσεις • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Θέτω ηµx = y , − 1 ≤ y ≤ 1 , και έχω την εξίσωση 2y2 − 5y + 2 = 0 , από όπου εύκολα προκύπτει y= 1 ή y = 2 (απορρίπτεται). 2 Άρα, ηµx = 1 ⇔ ηµx = ηµ π ⇔ x = 2κπ + π ή x = 2κπ + π − π = 2κπ + 5π , κ∈!. 2 6 6 6 6 Άσκηση 188 ( )Να λύσετε την εξίσωση 2εϕx = συνx ⋅ 1 + εϕ2x . Πηγή: Βασίλης Παπαδάκης, Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, Α΄ τεύχος, εκδόσεις Σαββάλας, Αθήνα, 2012. Λύση Επειδή είναι εϕx = ηµx , πρέπει συνx συνx ≠ 0 ⇔ x ≠ κπ + π , κ ∈ !. 2 Ισχύει συν2x = 1 ⇔ 1 + εϕ2x = 1 , 1 + εϕ2x συν2x οπότε για την εξίσωση έχω 2εϕx = συνx ⋅1 ⇔ 2εϕx = 1 ⇔ 2ηµx = 1 συνx ≠ 0 2ηµx = 1 ⇔ ηµx = 1 ⇔ συν 2 x συνx συνx συνx 2 ⇔ ⇔ ηµx = ηµ π ⇔ x = 2κπ + π ή x = 2κπ + π − π = 2κπ + 5π , κ∈!. 6 6 6 6 - 127 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 5 • Βασικές τριγωνοµετρικές εξισώσεις • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 189 Να λύσετε την εξίσωση 2 − ηµ2x = 5ηµx − συν2x . Λύση Aπό την εξίσωση έχω ( )2 − ηµ2x = 5ηµx − 1 − ηµ2x ⇔ 2 − ηµ2x = 5ηµx − 1 + ηµ2x ⇔ 2ηµ2x + 5ηµx − 3 = 0 . Θέτω ηµx = y , − 1 ≤ y ≤ 1 , και έχω την εξίσωση 2y2 + 5y − 3 = 0 , από όπου εύκολα προκύπτει y= 1 ή y = −3 (απορρίπτεται). 2 Άρα, ηµx = 1 ⇔ ηµx = ηµ π ⇔ x = 2κπ + π ή x = 2κπ + π − π = 2κπ + 5π , κ∈!. 2 6 6 6 6 Άσκηση 190 Να λύσετε την εξίσωση 2συν4x + ηµ2x = 2 . Λύση Aπό την εξίσωση έχω 2συν4x + 1 − συν2x − 2 = 0 ⇔ 2συν4x − συν2x − 1 = 0 . Η εξίσωση θυμίζει διτετράγωνη και λύνεται με την ακόλουθη αντικατάσταση (βλέπε Άλγεβρα Α΄ Λυκείου). Θέτω συν2x = y , 0 ≤ y ≤ 1 , και έχω την εξίσωση 2y2 − y − 1 = 0 , από όπου εύκολα προκύπτει y=1 ή y=− 1 (απορρίπτεται). 2 Άρα, συν2x = 1 ⇔ συνx = ± 1 ⇔ συνx = 1 ή συνx = −1 ⇔ ⇔ x = 2κπ η x = 2κπ + π , κ ∈ ! . - 128 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 5 • Βασικές τριγωνοµετρικές εξισώσεις • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 191 Να λύσετε την εξίσωση εϕ2x + 1 −3 = 0 . συν2x Λύση Πρέπει να είναι π 2 συν2x ≠ 0 ⇔ συνx ≠ 0 ⇔ x ≠ κπ + , κ∈! . Επειδή είναι εϕx = ηµx , ορίζεται και η εφx. συνx Ισχύει συν2x = 1 ⇔ 1 = 1 + εϕ2x , 1 + εϕ2x συν2x οπότε από την εξίσωση έχω εϕ2x + 1 + εϕ2x − 3 = 0 ⇔ 2εϕ2x = 2 ⇔ εϕ2x = 1 ⇔ εϕx = ± 1 ⇔ εϕx = 1 ή εϕx = −1 . α) εϕx = 1 ⇔ εϕx = εϕ π ⇔ x = κπ + π , κ∈! . 4 4 β) εϕx = −1 ⇔ εϕx = −εϕ π ⇔ εϕx = εϕ −π ⇔ x = κπ − π , κ∈! . 4 4 4 Άσκηση 192 Να λύσετε την εξίσωση 1 + εϕx = 1 + 2ηµx ⋅ συνx . 1 − εϕx Λύση Επειδή είναι εϕx = ηµx , πρέπει συνx συνx ≠ 0 ⇔ x ≠ κπ + π , κ ∈ !. 2 Επίσης, πρέπει να είναι και 1 − εϕx ≠ 0 ⇔ εϕx ≠1⇔ εϕx ≠ εϕ π ⇔ x ≠ κπ + π , κ ∈ !. 4 4 Είναι: - 129 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 5 • Βασικές τριγωνοµετρικές εξισώσεις • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1+ ηµx συνx + ηµx συνx • 1 + εϕx = ηµx = συνx = συνx + ηµx . 1 − εϕx συνx συνx − ηµx συνx − ηµx 1− συνx ( )• 1 + 2ηµx ⋅ συνx = ηµ2x + συν2x + 2ηµx ⋅ συνx = ηµx + συνx 2 . Άρα, για την εξίσωση έχω συνx + ηµx = (ηµx )+ συνx 2 ⇔ (συνx − ηµx)(ηµx )+ συνx 2 = ηµx + συνx ⇔ συνx − ηµx ⇔ (συνx − ηµx)(ηµx + )συνx 2 −(ηµx + συνx) = 0 ⇔ ⇔ (ηµx + συνx) ⎢⎣⎡ (συνx − ηµx)(συνx + ηµx) − 1 ⎦⎥⎤ = 0 ⇔ ( )( )⇔ ηµx + συνx συν2x − ηµ2x − 1 = 0 ⇔ ηµx + συνx = 0 ή συν2x − ηµ2x − 1 = 0 . α) ηµx + συνx = 0 ⇔ ηµx = −συνx συνx ≠ 0 ηµx = −1 ⇔ εϕx = −1 ⇔ εϕx = −εϕ π ⇔ συνx 4 ⇔ ⇔ εϕx = εϕ −π ⇔ x = κπ − π , κ ∈ ! . 4 4 ( )β) συν2x − ηµ2x − 1 = 0 ⇔ συν2x − 1 − συν2x − 1 = 0 ⇔ συν2x − 1 + συν2x − 1 = 0 ⇔ ⇔ 2συν2x = 2 ⇔ συν2x = 1 ⇔ συνx = ± 1 ⇔ συνx = 1 ή συνx = −1 ⇔ ⇔ x = 2κπ η x = 2κπ + π , κ ∈ ! . - 130 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 5 • Βασικές τριγωνοµετρικές εξισώσεις • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 193 Να λύσετε την εξίσωση 2συν2x − 3 ηµx − 2 = 0 . Λύση Από την εξίσωση έχω ( )2 1 − ηµ2x − 3 ηµx − 2 = 0 ⇔ 2 − 2ηµ2x − 3 ηµx − 2 = 0 ⇔ 2ηµ2x + 3 ηµx = 0 ⇔ ( )⇔ ηµx ⋅ 2ηµx + 3 = 0 ⇔ ηµx = 0 ή 2ηµx + 3 = 0 . α) ηµx = 0 ⇔ x = κπ , κ ∈ ! . β) 2ηµx + 3 = 0 ⇔ 2ηµx = − 3 ⇔ ηµx = − 3 ⇔ ηµx = −ηµ π ⇔ ηµx = ηµ −π ⇔ 2 3 3 ⇔ x = 2κπ − π ή x = 2κπ + π + π = 2κπ + 4π , κ∈! . 3 3 3 Άσκηση 194 Να λύσετε την εξίσωση εϕx = 3σϕx . Λύση Επειδή είναι εϕx = ηµx , πρέπει συνx συνx ≠ 0 ⇔ x ≠ κπ + π , κ ∈ !. 2 Επειδή είναι σϕx = συνx , πρέπει ηµx ηµx ≠ 0 ⇔ x ≠ κπ , κ ∈ ! . Ισχύει εϕx ⋅ σϕx = 1 ⇔ σϕx = 1 , εϕx οπότε από την εξίσωση έχω εϕx = 3 ⇔ εϕ2x =3 ⇔ εϕx = 3 ή εϕx = − 3 . εϕx - 131 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 5 • Βασικές τριγωνοµετρικές εξισώσεις • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ α) εϕx = 3 ⇔ εϕx = εϕ π ⇔ x = κπ + π , κ∈! . 3 3 β) εϕx = − 3 ⇔ εϕx = −εϕ π ⇔ εϕx = εϕ −π ⇔ x = κπ − π , κ∈! . 3 3 3 Άσκηση 195 Να λύσετε την εξίσωση συνx = σϕx . Λύση Επειδή είναι σϕx = συνx , πρέπει ηµx ηµx ≠ 0 ⇔ x ≠ κπ , κ ∈ ! . Από την εξίσωση έχω τότε ( )συνx =συνx ηµx ⇔ ηµx ⋅ συνx = συνx ⇔ ηµx ⋅ συνx − συνx = 0 ⇔ συνx ⋅ ηµx − 1 =0⇔ ⇔ συνx = 0 ή ηµx − 1 = 0 . α) συνx = 0 ⇔ x = 2κπ , κ ∈ ! . Οι τιμές αυτές απορρίπτονται όμως, διότι θέτοντας 2κ = λ ∈ ! , λαμβάνουν την μορφή x = λπ , λ ∈ ! , που εξαιρούνται από τον αρχικό περιορισμό. β) ηµx − 1 = 0 ⇔ ηµx = 1 ⇔ x = 2κπ + π , κ∈! . 2 - 132 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr



Μόνο εδώ θα βρεις τα αναλυτικότερα βιβλία Μαθηµατικών του διαδικτύου!