Β΄ Λυκείου - Άλγεβρα Εκθετική και λογαριθµική συνάρτηση ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κατηγορία 6 Νέα Μουδανιά • Δεκέµβριος 2021
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 6η κατηγορία ασκήσεων Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Λογαριθµικές εξισώσεις . 1η μορφή ℓog f(x) = ℓog g(x) , ℓnf(x) = ℓng(x) , όπου f(x), g(x) παραστάσεις του x Άσκηση 166 ( )Να λύσετε την εξίσωση ℓog x − 2 2 = 2ℓog4 . Λύση Πρέπει να είναι (x − 2)2 > 0 ⇔ x − 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2 . Τότε έχω ( )ℓog x − 2 2 = ℓog42 ⇔ (x − 2)2 = 42 ⇔ x − 2 = 4 ή x − 2 = −4 ⇔ ⇔ x = 6 η x = −2 . Άσκηση 167 Να λύσετε την εξίσωση ℓog(x − 6) + ℓog(x − 7) = 1 − ℓog5 . Λύση Πρέπει να είναι ⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩ x −6 > 0 ⎪⎫⎪⎪⎭⎪⎬ ⇔ ⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎧ x>6 ⎭⎫⎬⎪⎪⎪⎪ , δηλαδή x > 7 . x−7 > 0 x>7 Τότε έχω ( )ℓog ⎡⎢⎣(x − 6)(x − 7)⎤⎥⎦ = ℓog10 − ℓog5 ⇔ ℓog 10 x2 − 7x − 6x + 42 = ℓog 5 ⇔ ( )⇔ ℓog x2 − 13x + 42 = ℓog2 ⇔ x2 − 13x + 42 = 2 ⇔ x2 − 13x + 40 = 0 ⇔ - 183 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ⇔ x = 8 ή x = 5 (απορρίπτεται) ⇔ x = 8 . Άσκηση 168 Να λύσετε την εξίσωση ℓog(x − 9) + 2ℓog 2x − 1 = 2 . Λύση Πρέπει να είναι ⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨ x−9>0 ⎪⎭⎪⎪⎫⎪⎬ ⇔ ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧ x>9 ⎪⎪⎫⎪⎭⎪⎪⎬⎪⎪ , δηλαδή x > 9 . 2x − 1 > 0 x > 1 2 Τότε έχω ℓog(x − 9) + ℓog 2x 2 = ℓog102 ⇔ ℓog (x − 9) + ℓog (2x − 1) = ℓog100 ⇔ −1 ⇔ ℓog ⎡⎣⎢(x − 9)(2x − 1)⎥⎤⎦ = ℓog100 ⇔ (x − 9)(2x − 1) = 100 ⇔ 2x2 − x − 18x + 9 − 100 = 0 ⇔ ⇔ 2x2 − 19x − 91 = 0 ⇔ x = 13 ή x=− 7 (απορρίπτεται) ⇔ x = 13 . 2 Άσκηση 169 Να λύσετε την εξίσωση 2ℓogx − ℓog4 = ℓog(x − 1) − ℓog3 . Λύση Πρέπει να είναι ⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪ x>0 ⎬⎫⎪⎪⎭⎪⎪ ⇔ ⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎨ x>0 ⎪⎪⎭⎪⎬⎫⎪ , δηλαδή x > 1 . x−1> 0 x >1 Τότε έχω ℓogx2 − ℓog4 = ℓog x − 1 ⇔ ℓog x2 = ℓog x −1 ⇔ x2 = x −1 ⇔ 3x2 = 4(x − 1) ⇔ 3 4 3 4 3 ⇔ 3x2 = 4x − 4 ⇔ 3x2 − 4x + 4 = 0 , εξίσωση που είναι αδύνατη όμως, αφού έχει διακρίνουσα (−4)2 − 4 ⋅ 3 ⋅ 4 = −32 . - 184 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 170 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! ( ) ( )Να λύσετε την εξίσωση ℓog 35 − x3 = 3ℓog 5 − x . Λύση Πρέπει να είναι ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧ ⎪⎭⎬⎫⎪⎪⎪ ⇔ ⎪⎪⎪⎨⎪⎩⎧ ⎪⎪⎬⎫⎪⎭⎪ . 35 − x3 > 0 x3 − 35 < 0 5−x >0 x<5 Από την ανίσωση x3 − 35 < 0 προκύπτει ( )x − 3 35 ⎝⎜⎜⎛⎜x2 + x ⋅ 3 35 + 3 35 2⎟⎞⎠⎟⎟ < 0 . Πρόσεξε πολύ την συνέχεια της εργασίας με αυτόν τον περίεργο αριθμό 3 35 . Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα Δ = 3 35 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 3 35 2 = −3 ⋅ 3 35 2 < 0 , οπότε είναι x2 + x ⋅ 3 35 + 3 35 2 > 0 , για κάθε x ∈ ! . Άρα έχω ότι x − 3 35 < 0 ⇔ x < 3 35 , δηλαδή πρέπει να είναι ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎧ x < 3 35 ⎭⎫⎬⎪⎪⎪⎪ . x<5 Είναι 3 35 < 5 ⇔ 3 35 3 < 53 ⇔ 35 < 125 , που ισχύει. Έπρεπε να ελέγξω αν ο αριθμός 3 35 είναι μικρότερος ή μεγαλύτερος του 5, ώστε να βρω πού συναληθεύουν οι δύο παραπάνω ανισώσεις. Άρα πρέπει x < 3 35 (1) Τότε έχω ( ) ( )ℓog 35 − x3 = ℓog 5 − x 3 ⇔ 35 − x3 = (5 − x)3 ⇔ :15 ⇔ 35 − x3 = 125 − 3 ⋅ 52 x + 3 ⋅ 5x2 − x3 ⇔ 15x2 − 75x + 90 = 0 ⇔ x2 − 5x + 6 = 0 ⇔ ⇔x=2 ή x=3. Πρέπει να ελέγξω αν οι τιμές αυτές είναι δεκτές, δηλαδή αν ικανοποιούν την (1). - 185 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ • Έστω ότι 2 < 3 35 . Τότε είναι και 23 < 3 35 3 ⇔ 8 < 35 , που ισχύει. Άρα η τιμή x = 2 είναι δεκτή. • Έστω ότι 3 < 3 35 . Τότε είναι και 33 < 3 35 3 ⇔ 27 < 35 , που ισχύει. Άρα η τιμή x = 3 είναι δεκτή. Τελικά είναι x = 2 η x = 3 . Άσκηση 171 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! ( )Να λύσετε την εξίσωση 2ℓog(2x − 1) − ℓog 3x − 2x2 = ℓog(4x − 3) − ℓogx . Λύση Πρέπει να είναι ⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎩ 2x − 1 > 0 ⎫⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪ ⇔ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪ x >1 / 2 ⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎫⎪⎪⎪⎪ ⇔ ⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪ x > 3 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎫⎬⎪⎪⎪⎪ , 3x − 2x2 > 0 2x2 − 3x < 0 4 4x − 3 > 0 x ∈ ⎛⎜⎜⎜⎝0 , 32⎠⎞⎟⎟⎟⎟ x>3/4 x>0 x>0 δηλαδή x ∈ ⎜⎜⎛⎝⎜34 , 3 ⎟⎟⎟⎟⎠⎞ (1) 2 Τότε έχω ( )( ) ( )ℓog 2x − 1 2 − ℓog 3x − 2x2 = ℓog 4x − 3 ⇔ ℓog 2x − 1 2 = ℓog 4x − 3 ⇔ x 3x − 2x2 x ⇔ (2x − 1)2 = 4x − 3 ⇔ (2x − 1)2 = 4x − 3 . 3x − 2x2 x x(3 − 2x) x Λόγω της (1), το x μπορεί να απαλειφθεί από τους παρονομαστές της τελευταίας μορ- φής της εξίσωσης, οπότε θα έχω στην συνέχεια (2x − 1)2 = 4x − 3 ⇔ (2x − 1)2 = (3 − 2x)(4x − 3) ⇔ 4x2 + 1 − 4x = 12x − 9 − 8x2 + 6x ⇔ 3 − 2x - 186 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ⇔ 12x2 − 22x + 10 = 0 ⇔ 6x2 − 11x + 5 = 0 ⇔ x = 1 ή x= 5 . 6 Η λύση x = 1 είναι δεκτή, αφού ανήκει στο διάστημα της (1). Είναι και 3 < 5 < 3 ⋅12 4 6 2 ⇔ 9 < 10 < 18 , δηλαδή το 5 ∈ ⎜⎝⎜⎜⎛ 3 , 3 ⎠⎟⎞⎟⎟⎟ , οπότε και η δεύτερη λύση είναι δεκτή. 6 4 2 Τελικά είναι x=1 η x= 5 . 6 Άσκηση 172 Να λύσετε την εξίσωση ℓog(2x − 5) + ℓog(3x + 7) = 4ℓog2 . Λύση Πρέπει να είναι ⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧ 2x − 5 > 0 ⎪⎪⎪⎫⎪⎭⎬ ⇔ ⎪⎪⎪⎩⎧⎪⎪⎨ x>5/2 ⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎭⎪ , 3x + 7 > 0 x>− 7/3 δηλαδή x > 5 . 2 Τότε έχω ( )( )ℓog ⎡⎢⎣ 2x − 5 3x + 7 ⎦⎤⎥ = ℓog24 ⇔ (2x − 5)(3x + 7) = 24 ⇔ 6x2 + 14x − 15x − 35 − 16 = 0 ⇔ ⇔ 6x2 − x − 51 = 0 ⇔ x = 3 ή x=− 17 (απορρίπτεται). 6 Άρα είναι x = 3 . - 187 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 173 ( ) ( )Να λύσετε την εξίσωση 1 ℓn x3 + 1 − 2 ℓn x2 + 2x + 1 = ℓn3 . Λύση Πρέπει να είναι ⎪⎨⎧⎩⎪⎪⎪ x3 + 1 > 0 ⎪⎬⎫⎪⎪⎭⎪ ⇔ ⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩ x3 + 1 > 0 ⎫⎪⎪⎪⎭⎪⎬ , x2 + 2x + 1 > 0 (x + 1)2 > 0 Από την ανίσωση x3 + 1 > 0 προκύπτει (x + 1)(x2 − x + 1) > 0 . Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα (−1)2 − 4 ⋅1 ⋅1 = −3 , οπότε είναι x2 − x + 1 > 0 , για κάθε x ∈ ! , συνεπώς έχω x + 1 > 0 ⇔ x > −1 . Επομένως, πρέπει ⎪⎩⎪⎨⎪⎪⎧ ⎪⎬⎭⎫⎪⎪⎪ ⇔ ⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎧ ⎪⎭⎪⎫⎬⎪⎪ ⇔ ⎨⎩⎪⎪⎪⎪⎧ x > −1 x > −1 x > −1 ⎪⎭⎪⎪⎫⎬⎪ , (x + 1)2 > 0 x+1≠ 0 x ≠ −1 δηλαδή x > −1 . Τότε έχω ( ) ( )ℓn x3 + 1 − ℓn x2 + 2x + 1 = ℓn3 ⇔ ℓn x3 + 1 − ℓn (x + 1)2 = ℓn3 ⇔ x+1>0 x3 + 1 x+1 ⇔ x+1 =x+1 ( ) ( ) ( )⇔ ℓn x3 + 1 − ℓn x + 1 = ℓn3 ℓn x3 + 1 − ℓn x+1 = ℓn3 ⇔ ℓn = ℓn3 ⇔ ⇔ x3 + 1 = 3 ⇔ (x + 1) (x2 − x + 1) = 3 ⇔ x2 − x + 1 = 3 ⇔ x2 − x − 2 = 0 ⇔ x+1 x+1 ⇔ x = 2 ή x = −1 (απορρίπτεται) ⇔ x = 2 . - 188 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 174 ( )Να λύσετε την εξίσωση x + ℓog 1 + 2x = x ℓog5 + ℓog6 . Λύση Είναι 1 + 2x > 0 , για κάθε x ∈ ! , οπότε από την εξίσωση έχω ( ) ( ) ( )ℓog10x + ℓog 1 + 2x = ℓog5x + ℓog6 ⇔ ℓog ⎢⎣⎡10x 1 + 2x ⎥⎤⎦ = ℓog 6 ⋅ 5x ⇔ ( ) ( ) ( ) ( )⇔ 10x 1 + 2x = 6 ⋅ 5x ⇔ 5 ⋅ 2 x ⋅ 1 + 2x = 6 ⋅ 5x ⇔ 5x ⋅ 2x 1 + 2x = 6 ⋅ 5x . Επειδή είναι 5x > 0 , για κάθε x ∈ ! , από την τελευταία εξίσωση έχω ( )2x 1 + 2x = 6 . Θέτω 2x = y > 0 και έχω y(1 + y) = 6 ⇔ y2 + y − 6 = 0 ⇔ y = 2 ή y = −3 (απορρίπτεται). Άρα είναι 2x = 2 = 21 ⇔ x = 1 . Άσκηση 175 ( ) ( )Να λύσετε την εξίσωση ℓog 4x−2 + 9 − ℓog 2x−2 + 1 = 1 − ℓog2 . Λύση Είναι 4x−2 + 9 > 0 και 2x−2 + 1 > 0 , για κάθε x ∈ ! , οπότε από την εξίσωση έχω ℓog 4x−2 + 9 = ℓog10 − ℓog2 ⇔ ℓog 4x−2 + 9 = ℓog 10 ⇔ 4x−2 + 9 = 10 = 5⇔ 2x−2 + 1 2x−2 + 1 2 2x−2 + 1 2 ( )⇔ 4x−2 + 9 = 5 4x ⎜⎜⎛⎝⎜⎜ 2x + 1⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⇔ 4x 5 2x−2 + 1 ⇔ 42 + 9 = 5 ⋅ 22 16 +9= 4 ⋅ 2x + 5 ⇔ ( ) ( )⇔ 22 x + 16 ⋅ 9 = 20 ⋅ 2x + 16 ⋅ 5 ⇔ 2x 2 − 20 ⋅ 2x + 9 ⋅16 − 5 ⋅16 = 0 ⇔ ( ) ( )⇔ 2x 2 − 20 ⋅ 2x + 4 ⋅16 = 0 ⇔ 2x 2 − 20 ⋅ 2x + 64 = 0 . Θέτω 2x = y > 0 και έχω - 189 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ οπότε y2 − 20y + 64 = 0 ⇔ y = 16 ή y = 4 , 2x = 16 = 24 ή 2x = 4 = 22 ⇔ x = 4 η x = 2 . Άσκηση 176 Να λύσετε την εξίσωση ℓog(2x − 5) = 0, 5 . ( )ℓog x2 − 8 Λύση Πρέπει να είναι ( )⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧ ⎪⎪⎪⎪⎫⎬⎭⎪⎪⎪⎪ ⇔ ⎨⎧⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ x>5/2 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎫⎬⎪⎪⎭ ⇔ ⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎨ 2x − 5 > 0 2 x>2 2 ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎬ ⇔ x2 − 8 > 0 x < −2 2 η x > 2 x2 ≠ 9 x2 − 8 ≠ 1 ℓog x2 − 8 ≠ 0 ⇔ ⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪ x>2 2 ⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎭ , x ≠ 3 και x ≠ −3 ( )δηλαδή x ∈ 2 2 ,3 ∪ (3 ,+ ∞) . Τότε έχω ( ) ( )ℓog(2x − 5) = 0,5 ⋅ ℓog 1 x2 − 8 ⇔ ℓog(2x − 5) = 2 ℓog x2 − 8 ⇔ ( ) ( )( ) ( )⇔ ℓog x2 − 8 = 2ℓog 2x − 5 ⇔ ℓog x2 − 8 = ℓog 2x − 5 2 ⇔ x2 − 8 = (2x − 5)2 ⇔ ⇔ 4x2 + 25 − 20x − x2 + 8 = 0 ⇔ 3x2 − 20x + 33 = 0 ⇔ ⇔ x = 11 ή x = 3 (απορρίπτεται). 3 Άρα είναι x= 11 . 3 - 190 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 177 Να λύσετε την εξίσωση 1 ℓog(x − 1) = ℓogx − ℓog2 . 3 Λύση Πρέπει να είναι ⎪⎪⎩⎪⎧⎨⎪ x−1> 0 ⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎪ ⇔ ⎨⎪⎪⎩⎧⎪⎪ x >1 ⎫⎪⎪⎭⎪⎪⎬ , δηλαδή x > 1 . x>0 x>0 Τότε έχω ℓog(x − 1) = 3ℓogx − 3ℓog2 ⇔ ℓog(x − 1) = ℓogx3 − ℓog23 ( )⇔ ℓog = x3 ⇔ x −1 ℓog 23 ⇔ x−1= x3 ⇔ 8(x − 1) = x3 ⇔ 8x − 8 = x3 ⇔ x3 − 8x + 8 = 0 ⇔ 8 ⇔ (x − 2)(x2 + 2x − 4) = 0 ⇔ x − 2 = 0 ή x2 + 2x − 4 = 0 ⇔ ⇔ x = 2 ή x = −1 + 5 ή x = −1 − 5 (απορρίπτεται) ⇔ x = 2 η x = 5 − 1 . Άσκηση 178 Να λύσετε την εξίσωση 1 ℓog (3x − 1) + 1 ℓog (8x − 2) = ℓog(4x − 1) . 2 2 Λύση Πρέπει να είναι ⎨⎪⎧⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3x − 1 > 0 ⎫⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬ ⇔ ⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪ x>1/3 ⎪⎪⎪⎫⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪ ⇔ ⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪ x>1/3 ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬ , 8x − 2 > 0 x>2/8 x>1/4 4x − 1 > 0 x>1/4 δηλαδή x > 1 . 3 Τότε έχω ℓog(3x − 1) + ℓog(8x − 2) = 2ℓog(4x − 1) ⇔ ℓog ⎣⎡⎢(3x − 1)(8x − 2)⎤⎦⎥ = ℓog(4x − 1)2 ⇔ ⇔ (3x − 1)(8x − 2) = (4x − 1)2 ⇔ 24x2 − 6x − 8x + 2 = 16x2 + 1 − 8x ⇔ - 191 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ⇔ 8x2 − 6x +1 = 0 ⇔ x = 1 ή x= 1 (απορρίπτεται) ⇔ x= 1 . 2 4 2 Άσκηση 179 Να λύσετε την εξίσωση ℓog(1 + x) = ℓog(1 − x) . Λύση Πρέπει να είναι ⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎧ 1+x >0 ⎪⎫⎬⎪⎪⎭⎪ ⇔ ⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪ x > −1 ⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎪ , 1−x > 0 x <1 δηλαδή x ∈ (−1,1) . Τότε έχω 1 + x = 1 − x ⇔ x = −x ⇔ 2x = 0 ⇔ x = 0 . Άσκηση 180 Να λύσετε την εξίσωση ℓog(x − 2) + ℓog(x − 2) = 1 − ℓog2 . Λύση Πρέπει να είναι x−2>0 ⇔ x >2. Τότε έχω 2ℓog (x − 2) = ℓog10 − ℓog2 ⇔ ℓog (x − 2)2 = ℓog 10 ⇔ (x − 2)2 = 10 = 5 ⇔ 2 2 ⇔ x2 + 4 − 4x − 5 = 0 ⇔ x2 − 4x − 1 = 0 ⇔ ⇔ x = 2 + 5 ή x = 2 − 5 (απορρίπτεται) ⇔ x = 2 + 5 . - 192 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 181 Να λύσετε την εξίσωση 2ℓog(x − 1) + ℓog(2x + 5) = 3ℓog(x − 1) . Λύση Πρέπει να είναι ⎨⎪⎩⎧⎪⎪⎪ x−1> 0 ⎭⎫⎪⎪⎪⎪⎬ ⇔ ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧ x >1 ⎪⎫⎬⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪ , δηλαδή x > 1 . 2x + 5 > 0 x > − 5 2 Τότε έχω ℓog(2x + 5) = ℓog(x − 1) ⇔ 2x + 5 = x − 1 ⇔ x = −6 , που απορρίπτεται. Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη. Άσκηση 182 ( )( )Να λύσετε την εξίσωση ℓog 4x − 1 = 2ℓog2 + ℓog x2 − 1 . Λύση Πρέπει να είναι ⎨⎩⎪⎪⎪⎧⎪ 4x − 1 > 0 ⎪⎪⎭⎪⎫⎬⎪ ⇔ ⎪⎧⎪⎪⎩⎪⎨⎪ x>1/4 ⎬⎪⎫⎪⎭⎪⎪⎪ , δηλαδή x > 1 . x2 −1 > 0 x < −1 η x > 1 Τότε έχω ( ) ( )( ) ( )ℓog 4x − 1 = ℓog22 + ℓog x2 − 1 ⇔ ℓog 4x − 1 = ℓog ⎡⎣⎢22 x2 − 1 ⎦⎤⎥ ⇔ 4x − 1 = 4(x2 − 1) ⇔ ⇔ 4x − 1 = 4x2 −4 ⇔ 4x2 − 4x − 3 = 0 ⇔ x = 3 ή x=− 1 (απορρίπτεται) ⇔ 2 2 ⇔ x= 3 . 2 - 193 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 183 Να λύσετε την εξίσωση 1 ℓog (x + 2) + ℓog x − 3 = 1 + ℓog 3. 2 Λύση Πρέπει να είναι ⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎧ x+2>0 ⎪⎫⎭⎪⎪⎪⎬ ⇔ ⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎧ x > −2 ⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪ , δηλαδή x > 3 . x −3 > 0 x>3 Τότε έχω ℓog(x + 2) + 2ℓog x − 3 = 2 + 2ℓog 3 ⇔ ( )⇔ ℓog x + 2 + ℓog x − 2 = ℓog102 + ℓog 2 3 3⇔ ⇔ ℓog(x + 2) + ℓog(x − 3) = ℓog100 + ℓog3 ⇔ ℓog ⎡⎢⎣(x + 2)(x − 3)⎤⎦⎥ = ℓog(3 ⋅100) ⇔ ⇔ (x + 2)(x − 3) = 300 ⇔ x2 − 3x + 2x − 6 − 300 = 0 ⇔ x2 − x − 306 = 0 ⇔ ⇔ x = 18 ή x = −17 (απορρίπτεται) ⇔ x = 18 . Άσκηση 184 ( ) ( )Να λύσετε την εξίσωση ℓog2 32x−2 + 7 = 2 + ℓog2 3x−1 + 1 . Λύση Είναι 32x−2 + 7 > 0 και 3x−1 + 1 > 0 , για κάθε x ∈ ! , οπότε έχω ( ) ( ) ( ) ( )ℓog2 32x−2 + 7 = ℓog222 + ℓog2 3x−1 + 1 ⇔ ℓog2 32x−2 + 7 = ℓog2 ⎢⎡⎣22 3x−1 + 1 ⎤⎦⎥ ⇔ ( ) ( )⇔ 32x−2 + 7 = 4 32x 3x 2 3x 32 9 3 3x−1 + 1 ⇔ + 7 = 4 ⋅ 3x−1 + 4 ⇔ + 3 = 4 ⋅ ⇔ ( ) ( )⇔ 3x 2 + 27 = 12 ⋅ 3x ⇔ 3x 2 − 12 ⋅ 3x + 27 = 0 . Θέτω 3x = y > 0 και έχω y2 − 12y + 27 = 0 ⇔ y = 9 ή y = 3 . - 194 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ α) Για y = 9 προκύπτει 3x = 9 ⇔ 3x = 32 ⇔ x = 2 . β) Για y = 3 προκύπτει 3x = 3 ⇔ 3x = 31 ⇔ x = 1 . Άσκηση 185 ( )Να λύσετε την εξίσωση ℓog 3x + 2 = 2x ℓog3 . Λύση Είναι 3x + 2 > 0 , για κάθε x ∈ ! , οπότε από την εξίσωση έχω ( ) ( ) ( )ℓog 3x + 2 = ℓog32x ⇔ 3x + 2 = 32x ⇔ 3x + 2 = 3x 2 ⇔ 3x 2 − 3x − 2 = 0 . Θέτω 3x = y > 0 και έχω Άρα είναι y2 − y − 2 = 0 ⇔ y = 2 ή y = −1 (απορρίπτεται). 3x = 2 ⇔ x = ℓog32 . Άσκηση 186 Να λύσετε την εξίσωση ℓog(x − 4) + ℓog3 = ℓog(2x + 11) − ℓog7 . Λύση Πρέπει να είναι ⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪ x −4 > 0 ⎪⎬⎪⎭⎪⎪⎫ ⇔ ⎪⎪⎩⎨⎪⎧⎪ x>4 ⎪⎪⎪⎬⎪⎫⎭ , δηλαδή x > 4 . 2x + 11 > 0 x > − 11 / 2 Τότε έχω ℓog ⎢⎡⎣3(x − 4)⎥⎤⎦ = ℓog 2x + 11 ⇔ 3(x − 4) = 2x + 11 ⇔ 21(x − 4) = 2x + 11 ⇔ 7 7 ⇔ 21x − 84 = 2x + 11 ⇔ 19x = 95 ⇔ x = 5 . - 195 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 187 ( ) ( )Να λύσετε την εξίσωση ℓog 27 − x2 − ℓog 5 − x = ℓog9 . Λύση Πρέπει να είναι ( )⎨⎪⎧⎪⎩⎪⎪ ⎪⎬⎪⎫⎪⎪⎭ ⇔ ⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧ ⎬⎪⎪⎭⎪⎫⎪ ⇔ ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎧⎪ ⎪⎫⎬⎪⎪⎪⎭⎪⎪ , 27 − x2 > 0 x2 − 27 < 0 x∈ −3 3 , 3 3 5−x >0 x<5 x<5 ( )δηλαδή x ∈ −3 3 , 3 3 . Τότε έχω ℓog 27 − x2 = ℓog9 ⇔ 27 − x2 = 9 ⇔ 27 − x2 = 9(5 − x) ⇔ 27 − x2 = 45 − 9x ⇔ 5 − x 5−x ⇔ x2 − 9x + 18 = 0 ⇔ x = 3 ή x = 6 (απορρίπτεται) ⇔ x = 3 . Άσκηση 188 Να λύσετε την εξίσωση 2ℓogx + 3ℓog5 = ℓog5x + ℓog125 . Λύση Πρέπει να είναι x > 0 . Τότε έχω ( )( ) ( )ℓogx2 + ℓog53 = ℓog 125 ⋅ 5x ⇔ ℓog 125x2 = ℓog 125 ⋅ 5x ⇔ 125x2 = 125 ⋅ 5x ⇔ x>0 ⇔ x2 = 5x ⇔ x = 5 . :x - 196 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 189 Να λύσετε την εξίσωση 5ℓogx = ℓog288 + 3ℓog x . 2 Λύση Πρέπει να είναι x > 0 . Τότε έχω ⎜⎛⎝⎜⎜ x ⎟⎟⎟⎞⎠⎟3 ⎢⎢⎣⎢⎡288 ⎛⎜⎜⎜⎝ x ⎠⎟⎟⎞⎟⎟3 ⎤⎥⎥⎦⎥ x3 x>0 x>0 ℓogx5 2 ℓogx5 2 x5 8 ⇔ x2 = 36 ⇔ = ℓog288 + ℓog ⇔ = ℓog ⋅ ⇔ = 288 ⋅ : x3 ⇔ x=6 . Άσκηση 190 Να λύσετε την εξίσωση 4ℓog x + 3ℓog x = 5ℓogx − ℓog27 . 2 3 Λύση Πρέπει να είναι x > 0 . Τότε έχω ℓog ⎜⎜⎝⎜⎛ x ⎟⎟⎞⎟⎠⎟4 + ℓog ⎝⎜⎛⎜⎜ x ⎠⎟⎟⎟⎟⎞3 = ℓogx5 − ℓog27 ⇔ ℓog ⎡⎣⎢⎢⎢ ⎜⎛⎝⎜⎜ x ⎟⎟⎟⎟⎞⎠4 ⎜⎛⎜⎝⎜ x ⎟⎟⎟⎟⎠⎞3 ⎤⎦⎥⎥⎥ = ℓog x5 ⇔ ⎝⎛⎜⎜⎜ x ⎟⎟⎞⎠⎟⎟4 ⎜⎜⎝⎜⎛ x ⎞⎠⎟⎟⎟⎟3 = x5 ⇔ 2 3 2 3 27 2 3 27 ⇔ x4 ⋅ x3 = x5 ⇔ x7 = x5 x>0 x2 =1⇔ x2 = 16 x>0 x=4 . 16 27 27 16 16 ⇔ ⇔ : x5 - 197 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 191 Να λύσετε την εξίσωση 3ℓogx − ℓog324 = 5ℓog 3x . 2 Λύση Πρέπει να είναι x > 0 . Τότε έχω ℓogx3 − ℓog324 = ℓog ⎜⎜⎛⎝⎜32x ⎟⎞⎠⎟⎟⎟5 ⇔ ℓog x3 = ℓog 35 ⋅ x5 ⇔ x3 = 35 ⋅ x5 x>0 1 = 35 ⋅ x2 ⇔ 324 32 324 32 81 8 ⇔ : x3 ⇔ x2 = 8 = 4⋅2 x>0 x= 22 = 22 3 ⇔ x = 26 . 34 ⋅ 35 36 ⋅ 3 33 ⋅ 3 33 ⋅ 3 81 ⇔ Άσκηση 192 Να λύσετε την εξίσωση ℓog 2x = 2ℓog(x − 1) − ℓog⎜⎜⎝⎛⎜54x + 2⎟⎞⎠⎟⎟⎟ . 3 Λύση Πρέπει να είναι ⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪ x>0 ⎫⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪ ⇔ ⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎧ x>0 ⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪ ⇔ ⎪⎨⎪⎪⎧⎪⎩ ⎬⎭⎫⎪⎪⎪⎪ , x >1 x−1> 0 5x + 8 > 0 x >1 x >− 8 / 5 5x +2>0 4 δηλαδή x > 1 (1) Τότε έχω ℓog 2x = ℓog (x − 1)2 − ℓog 5x + 8 ⇔ ℓog 2x = ℓog (x − 1)2 ⇔ 2x = 4(x − 1)2 ⇔ 3 4 3 3 5x + 8 5x + 8 4 ⇔ 12(x − 1)2 = 2x(5x + 8) ⇔ 12(x2 + 1 − 2x) = 10x2 + 16x ⇔ ⇔ 12x2 + 12 − 24x − 10x2 − 16x = 0 ⇔ 2x2 − 40x + 12 = 0 ⇔ x2 − 20x + 6 = 0 ⇔ ⇔ x = 10 + 94 ή x = 10 − 94 . Η πρώτη λύση προφανώς ικανοποιεί την (1). Θα ελέγξω την δεύτερη λύση. - 198 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Έστω ότι είναι 10 − 94 > 1 . Τότε θα είναι και 9 > 94 ⇔ 92 > 942 ⇔ 81 > 94 , άτοπο. Αυτό σημαίνει ότι η δεύτερη λύση απορρίπτεται, οπότε τελικά είναι x = 10 + 94 . Άσκηση 193 Να λύσετε την εξίσωση 1 ℓog (x + 1) + ℓog 5x = 1 . 2 Λύση Πρέπει να είναι ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ x+1>0 ⎬⎪⎪⎪⎭⎪⎫ ⇔ ⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩ x > −1 ⎬⎫⎪⎪⎪⎭⎪ , δηλαδή x > 0 . 5x > 0 x>0 Τότε έχω ℓog(x + 1) + 2ℓog 5x = 2 ⇔ ℓog(x + 1) + ℓog ( )2 5x = ℓog102 ⇔ ℓog ⎣⎡⎢5x x + 1 ⎦⎥⎤ = ℓog100 ⇔ ⇔ 5x(x + 1) = 100 ⇔ x(x + 1) = 20 ⇔ x2 + x − 20 = 0 ⇔ ⇔ x = 4 ή x = −5 (απορρίπτεται) ⇔ x = 4 . Άσκηση 194 Να λύσετε την εξίσωση ℓog x +1 + 1 ℓog (x − 1) = ℓog5 . 2 Λύση Πρέπει να είναι ⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎨ ⎪⎫⎬⎪⎪⎭⎪ ⇔ ⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪ x+1>0 x > −1 ⎪⎪⎬⎪⎫⎪⎭ , x−1> 0 x >1 δηλαδή x > 1 . Τότε έχω x + 1 + ℓog(x − 1) = 2ℓog5 ⇔ ℓog ( )2 = ℓog52 ⇔ x + 1 + ℓog 2ℓog x −1 - 199 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ⇔ ℓog ⎣⎢⎡(x + 1)(x − 1)⎥⎤⎦ = ℓog25 ⇔ (x + 1)(x − 1) = 25 ⇔ x2 − 1 = 25 ⇔ x2 = 26 ⇔ x>0 ⇔ x = 26 . Άσκηση 195 Να λύσετε την εξίσωση ℓog(7x − 9)2 + ℓog(3x − 4)2 = 2 . Λύση Πρέπει να είναι ⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪ ⎪⎪⎭⎪⎬⎫⎪ ⇔ ⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪ (7x − 9)2 > 0 7x − 9 ≠ 0 ⎪⎪⎬⎪⎪⎭⎫ , (3x − 4)2 > 0 3x − 4 ≠ 0 δηλαδή x ≠ 9 και x≠ 4 . 7 3 Μην ξεχνάς! Ένα τετράγωνο δεν είναι θετικό! Είναι μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός! Για να είναι ένα τετράγωνο θετικό, πρέπει η βάση του να είναι διάφορη του μηδενός. Ακριβώς το ίδιο ισχύει και για οποιαδήποτε άρτια δύναμη. Τότε έχω ( ) ( )ℓog ⎢⎢⎣⎡ 7x − 9 2 3x − 4 2⎥⎦⎤⎥ = ℓog102 ⇔ ⎣⎡⎢(7x − 9)(3x − 4)⎥⎤⎦2 = 102 ⇔ ⇔ (7x − 9)(3x − 4) = 10 ή (7x − 9)(3x − 4) = −10 . α) Από την πρώτη εξίσωση έχω 21x2 − 28x − 27x + 36 − 10 = 0 ⇔ 21x2 − 55x + 26 = 0 ⇔ x=2 η x = 13 . β) Από την δεύτερη εξίσωση έχω 21 21x2 − 28x − 27x + 36 + 10 = 0 ⇔ 21x2 − 55x + 46 = 0 , που είναι αδύνατη, διότι έχει διακρίνουσα (−55)2 − 4 ⋅ 21 ⋅ 46 = 3025 − 3864 = −839 . - 200 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 196 ( ) ( )Να λύσετε την εξίσωση ℓn x2 − x = 2ℓn2 + ℓn x − 1 . Λύση Πρέπει να είναι ⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎪ x2 − x > 0 ⎬⎫⎪⎪⎭⎪⎪ ⇔ ⎪⎧⎪⎪⎨⎩⎪ x<0 η x>1 ⎬⎪⎫⎪⎪⎪⎭ , δηλαδή x > 1 . x−1> 0 x >1 Τότε έχω ( ) ( )( ) ( )ℓn x2 − x = ℓn22 + ℓn x − 1 ⇔ ℓn x2 − x = ℓn ⎢⎣⎡4 x − 1 ⎥⎤⎦ ⇔ x2 − x = 4(x − 1) ⇔ ⇔ x(x − 1) = 4(x − 1) . Επειδή είναι x − 1 > 0 , από την τελευταία εξίσωση προκύπτει x = 4 . Άσκηση 197 ( ) ( )Να λύσετε την εξίσωση ℓn x2 − 1 + 2ℓn3 = ℓn 18x − 17 . Λύση Πρέπει να είναι ⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧ x2 −1 > 0 ⎫⎬⎭⎪⎪⎪⎪ ⇔ ⎪⎪⎪⎪⎧⎩⎪⎨ x < −1 η x > 1 ⎪⎭⎫⎬⎪⎪⎪⎪ , δηλαδή x > 1 . 18x − 17 > 0 x > 17 / 18 Τότε έχω ( ) ( )( ) ( )ℓn x2 − 1 + ℓn32 = ℓn 18x − 17 ⇔ ℓn ⎡⎣⎢9 x2 − 1 ⎦⎥⎤ = ℓn 18x − 17 ⇔ ⇔ 9(x2 − 1) = 18x − 17 ⇔ 9x2 − 9 − 18x + 17 = 0 ⇔ 9x2 − 18x + 8 = 0 ⇔ ⇔x= 4 ή x= 2 (απορρίπτεται) ⇔ x= 4 . 3 3 3 - 201 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 198 Να λύσετε την εξίσωση ℓn⎜⎜⎜⎝⎛x + 3x ⎠⎟⎟⎞⎟⎟ = 2ℓn2 + ℓnx . Λύση Πρέπει να είναι ⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪ ⎪⎪⎪⎬⎭⎫⎪⎪⎪⎪ ⇔ ⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧⎩⎪⎪ ⎭⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎫⎪⎪ , x+ 3 >0 x2 +3 > 0 x x x>0 x>0 δηλαδή x > 0 , αφού είναι x2 + 3 > 0 , για κάθε x ∈ ! . Τότε έχω ℓn⎜⎜⎝⎜⎛x + 3 ⎟⎟⎟⎞⎟⎠ = ℓn22 + ℓnx ⇔ ℓn x 2 + 3 = ℓn4x ⇔ x2 + 3 = 4x ⇔ x2 +3 = 4x2 ⇔ x x x x>0 ⇔ 3x2 = 3 ⇔ x2 = 1 ⇔ x = 1 . Άσκηση 199 ( )Να λύσετε την εξίσωση ℓn 2x + 2 = 2x ℓn2 . Λύση Είναι 2x + 2 > 0 , για κάθε x ∈ ! , οπότε από την εξίσωση έχω ( ) ( )ℓn 2x + 2 = ℓn22x ⇔ 2x + 2 = 22x ⇔ 2x 2 − 2x − 2 = 0 . Θέτω 2x = y > 0 και έχω Άρα είναι y2 − y − 2 = 0 ⇔ y = 2 ή y = −1 (απορρίπτεται). 2x = 2 = 21 ⇔ x = 1 . - 202 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 200 ( )Να λύσετε την εξίσωση 2ℓn x + 2 + ℓnx2 = 0 . Λύση Πρέπει να είναι ⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎩ ⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎭ ⇔ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ x+2>0 x > −2 ⎬⎪⎪⎭⎫⎪⎪ , x2 > 0 x≠0 δηλαδή x ∈ (−2, 0) ∪ (0 , + ∞) . Τότε έχω ( ) ( )ℓn x + 2 2 + ℓnx2 = 0 ⇔ ℓn ⎢⎣⎡⎢x2 x + 2 2⎥⎦⎤⎥ = 0 ⇔ x2(x + 2)2 = 1 ⇔ ⇔ x(x + 2) = 1 ή x(x + 2) = −1 ⇔ x2 + 2x − 1 = 0 ή x2 + 2x + 1 = 0 ⇔ ⇔ x = −1 + 2 ή x = −1 − 2 ή x = −1 . Η πρώτη και η τρίτη λύση είναι δεκτές, ενώ η δεύτερη απορρίπτεται, αφού είναι μι- κρότερη του 2. Τελικά είναι x = 2 − 1 η x = −1 . Άσκηση 201 ( )Να λύσετε την εξίσωση ℓn 2x + 3x + ℓn9 = x ℓn3 + ℓn15 . Λύση Είναι 2x + 3x > 0 , για κάθε x ∈ ! , οπότε από την εξίσωση έχω ( ) ( ) ( )ℓn ⎣⎡⎢9 2x + 3x ⎥⎤⎦ = ℓn3x + ℓn15 ⇔ ℓn 9 ⋅ 2x + 9 ⋅ 3x = ℓn 15 ⋅ 3x ⇔ 9 ⋅ 2x + 9 ⋅ 3x = 15 ⋅ 3x ⇔ ⇔ 9 ⋅ 2x = 6 ⋅ 3x ⇔ 2x = 6 = 2 ⇔ ⎜⎜⎜⎝⎛ 2 ⎟⎟⎟⎠⎞⎟x = ⎜⎜⎛⎜⎝32⎠⎟⎟⎞⎟⎟1 ⇔ x=1 . 3x 9 3 3 - 203 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 202 Να λύσετε την εξίσωση ℓn x + 3 = 3 . ℓn3 x + 1 Λύση Πρέπει να είναι ⎪⎪⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎪⎪ x+3>0 ⎪⎪⎪⎫⎪⎪⎪⎬⎭⎪⎪ ⇔ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎨ x > −3 ⎪⎬⎪⎪⎪⎫⎪⎭⎪⎪⎪ ⇔ ⎨⎪⎪⎪⎧⎩⎪ x > −1 ⎫⎪⎭⎪⎪⎪⎬ ⇔ ⎪⎪⎩⎪⎨⎧⎪ x > −1 ⎪⎫⎪⎭⎪⎪⎬ , x+1>0 x > −1 x+1≠1 x≠0 ℓn3 x + 1 ≠ 0 3 x+1 ≠1 δηλαδή x ∈ (−1, 0) ∪ (0 , + ∞) . Τότε έχω 3 ( )ℓn x + 3 = 3ℓn3 x + 1 ⇔ ℓn x + 3 = ℓn3 x + 1 ⇔ ℓn x + 3 = ℓn x + 1 ⇔ ⇔ x+3 = x+1⇔ x + 2 = (x + 1)2 ⇔ x + 3 = x2 + 1+ 2x ⇔ x2 + x −2 = 0 ⇔ 3 ⇔ x = 1 ή x = −2 (απορρίπτεται) ⇔ x = 1 . Άσκηση 203 Να λύσετε την εξίσωση ℓn(2ηµx) + ℓn(2συνx) = 0 , x ∈ ⎝⎜⎜⎛⎜0 , π ⎟⎟⎟⎞⎠⎟ . 2 Λύση Είναι 2ηµx >0 , 2συνx > 0 , για κάθε x ∈ ⎜⎜⎛⎝⎜0 , π ⎠⎞⎟⎟⎟⎟ , οπότε από την εξίσωση έχω 2 ( )ℓn 2ηµx ⋅ 2συνx = 0 ⇔ 2 ⋅ 2ηµx ⋅ συνx = 1 ⇔ 2ηµ2x = 1 ⇔ ηµ2x = 1 ⇔ ηµ2x = ηµ π ⇔ 2 6 ⇔ 2x = 2κπ + π ή 2x = 2κπ + π − π ⇔ x = κπ + π (1) ή x = κπ + 5π (2) 6 6 12 12 όπου κ ∈ ! . α) Αφού x ∈ ⎝⎛⎜⎜⎜0 , π ⎞⎟⎟⎟⎟⎠ , είναι 0<x< π και από την (1) έχω 2 2 - 204 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 0 < κπ + π < π ⇔ 0 <κ+ 1 < 1 ⇔ − 1 <κ < 1 − 1 ⇔ − 1 <κ < 5 κ∈! κ = 0. 12 2 12 2 12 2 12 12 12 ⇔ Τότε από την (1) έχω ότι x= π . 12 β) Από την ανίσωση 0 < x < π και την (2), έχω 2 0 < κπ + 5π < π ⇔ 0 <κ+ 5 < 1 ⇔ − 5 <κ < 1 − 5 ⇔ − 5 <κ < 1 κ∈! κ = 0. 12 2 12 2 12 2 12 12 12 ⇔ Τότε από την (2) έχω ότι x= 5π . 12 Άσκηση 204 Να λύσετε την εξίσωση 1 ℓog3 + ℓog6 = ℓog ⎜⎜⎛⎝⎜⎜27 − 3 1 ⎞⎟⎟⎠⎟⎟⎟ . 2x x Λύση 1 Πρέπει να είναι x ≠ 0 και 27 − 3 x > 0 . Από την ανίσωση έχω 1 < 27 1 < 33 ⇔ 1 <3 ⇔ 1 −3<0 ⇔ 1 − 3x <0⇔ x(1 − 3x) < 0 ⇔ x x x 3x ⇔ 3x ⇔ x(3x − 1) > 0 ⇔ x < 0 ή x> 1 . 3 Άρα πρέπει να είναι x < 0 ή x> 1 . 3 Τότε έχω 1 + ℓog6 = ℓog ⎜⎝⎜⎜⎜⎛27 − 3 1 ⎞⎟⎟⎠⎟⎟⎟ ⇔ ℓog ⎜⎜⎝⎛⎜⎜6 ⋅ 3 1 ⎠⎟⎟⎞⎟⎟⎟ = ℓog ⎜⎜⎜⎜⎛⎝27 − 3 1 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⇔ 1 = 1 ⇔ x 2x x ℓog32x 6 ⋅ 32x 27 − 3x ⇔ 6 ⋅ ⎝⎜⎛⎜⎜⎜3 1 ⎟⎠⎞⎟⎟⎟⎟21 + 1 − 27 = 0 . x 3x 1 Θέτω 3 x = y > 0 και έχω - 205 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 ( ) ( )6y2 + y − 27 = 0 ⇔ 6 y + y − 27 = 0 ⇔ 6 y = 27 − y ⇔ 6 2 27 − y 2 ⇔ y= ⇔ 36y = 272 + y2 − 54y ⇔ y2 − 90y + 272 = 0 . Επειδή οι συντελεστές της εξίσωσης είναι μεγάλοι, πρόσεξε πώς θα υπολογίσω την διακρίνουσά της, κάνοντας τον ελάχιστο δυνατό αριθμό πράξεων. Η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι Δ = (−90)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 272 = 902 − (2 ⋅ 27)2 = 902 − 542 = (90 + 54)(90 − 54) = 144 ⋅ 36 , οπότε είναι Δ = 144 ⋅ 36 = 12 ⋅ 6 . Εύκολα τώρα προκύπτει ότι y = 81 ή y = 9 . 1 Επειδή 3 x < 27 , πρέπει και y < 27 , οπότε δεκτή είναι η τιμή y = 9 , από όπου έχω 1 = 9 ⇔ 1 = 32 ⇔ 1 = 2 ⇔ x = 1 . x 2 3x 3x Άσκηση 205 ( )Να λύσετε την εξίσωση ℓn6 + x ℓn2 = ℓn2 + ℓn 1 − 2x . Λύση Πρέπει να είναι 1 − 2x > 0 ⇔ 2x < 1 ⇔ 2x < 20 ⇔ x < 0 . Τότε έχω ( ) ( ) ( )ℓn6 + ℓn2x = ℓn ⎣⎡⎢2 1 − 2x ⎥⎤⎦ ⇔ ℓn 6 ⋅ 2x = ℓn 2 − 2 ⋅ 2x ⇔ 6 ⋅ 2x = 2 − 2 ⋅ 2x ⇔ ⇔ 8 ⋅ 2x = 2 ⇔ 4 ⋅ 2x = 1 ⇔ 22 ⋅ 2x = 1 ⇔ 22+x = 20 ⇔ 2 + x = 0 ⇔ x = −2 . - 206 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 206 Να λύσετε την εξίσωση (x − 2) ⋅ ℓn4 + (2x − 4) ⋅ ℓn3 = ℓn144 − 2ℓn2 . Λύση Από την εξίσωση προκύπτει ( )ℓn4x−2 + ℓn32x−4 = ℓn144 − ℓn22 ⇔ ℓn 4x−2 ⋅ 32x−4 = ℓn 144 = ℓn36 ⇔ 4x−2 ⋅ 32x−4 = 36 ⇔ 4 ( ) ( ) ( )⇔4x32x 2⇔ 42 ⋅ 34 = 36 ⇔ 4x ⋅ 32 x = 4 ⋅ 9 ⋅ 42 ⋅ 34 ⇔ 4x ⋅ 9x = 43 ⋅ 9 ⋅ 32 4 ⋅ 9 x = 43 ⋅ 9 ⋅ 92 ⇔ ( )⇔ 36x = 43 ⋅ 93 ⇔ 36x = 4 ⋅ 9 3 ⇔ 36x = 363 ⇔ x = 3 . Άσκηση 207 Να λύσετε την εξίσωση ℓn3 + x ℓn9 = 1 ℓn9 . 3 Λύση Από την εξίσωση προκύπτει ( )3ℓn3 + 3x ℓn9 = ℓn9 ⇔ ℓn33 + ℓn93x = ℓn9 ⇔ ℓn 33 ⋅ 93x = ℓn9 ⇔ 33 ⋅ 93x = 9 ⇔ ( )⇔ 33 ⋅ 32 3x = 9 ⇔ 33+6x = 32 ⇔ 3 + 6x = 2 ⇔ 6x = −1 ⇔ x = − 1 . 6 Άσκηση 208 Να λύσετε την εξίσωση 3 ℓn3 + x ℓn4 = ℓn8 + x ℓn3 . 2 Λύση Από την εξίσωση προκύπτει 3ℓn3 + 2x ℓn4 = 2ℓn8 + 2x ℓn3 ⇔ ℓn33 + ℓn42x = ℓn82 + ℓn32x ⇔ ( ) ( ) ( )⇔ ℓn 33 ⋅ 42x 42x 82 ⎛⎜⎜⎜⎝ 4 ⎟⎟⎟⎞⎠⎟2x 23 2 = ℓn 82 ⋅ 32x ⇔ 33 ⋅ 42x = 82 ⋅ 32x ⇔ 32x = 33 ⇔ 3 = 33 ⇔ ⎛⎜⎜⎜⎝( )⇔4⎟⎟⎞⎟⎟⎠2x = 22 3 = 43 ⇔ ⎜⎜⎝⎛⎜ 4 ⎟⎠⎟⎟⎞⎟2x = ⎜⎝⎜⎜⎛ 4 ⎟⎟⎞⎟⎟⎠3 ⇔ 2x = 3 ⇔ x = 3 . 3 33 33 3 3 2 - 207 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 209 ( ) ( )Να λύσετε την εξίσωση ℓn 2x − 8 = ℓn 2x−2 + 4 . Λύση Πρέπει να είναι 2x − 8 > 0 ⇔ 2x > 8 ⇔ 2x > 23 ⇔ x > 3 . Επίσης, είναι 2x−2 + 4 > 0 , για κάθε x ∈ ! . Τότε έχω 2x − 8 = 2x−2 + 4 ⇔ 2x = 2x + 12 ⇔ 2x = 2x + 12 ⇔ 4 ⋅ 2x = 2x + 48 ⇔ 3 ⋅ 2x = 48 ⇔ 22 4 ⇔ 2x = 16 ⇔ 2x = 24 ⇔ x = 4 . Άσκηση 210 Να λύσετε την εξίσωση ℓn x = ℓnx . 2 2 Λύση Πρέπει να είναι x > 0 . Τότε έχω 2ℓn x = ℓnx ⇔ ℓn ⎛⎜⎜⎜⎝ x ⎟⎟⎟⎠⎞⎟2 = ℓnx ⇔ ⎜⎛⎜⎜⎝ x ⎠⎞⎟⎟⎟⎟2 = x ⇔ x2 = x ⇔ x2 = 4x x>0 x=4 . 2 2 2 4 ⇔ :x - 208 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Εξισώσεις που λύνονται με αλλαγή μεταβλητής (αντικατάσταση) Άσκηση 211 Να λύσετε την εξίσωση 3 + ℓogx + 2 + ℓogx =5. 3 − ℓogx 2 − ℓogx Λύση Πρέπει να είναι x > 0 . Θέτω ℓogx = y και η εξίσωση γράφεται 3+y + 2+ y =5, όπου πρέπει να είναι 3−y 2−y ⎧⎪⎩⎪⎨⎪⎪⎪ 3−y ≠ 0 ⎪⎫⎪⎬⎪⎪⎭⎪ ⇔ ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎨ y≠3 ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎫⎪ . 2−y ≠ 0 y≠2 Τότε έχω (3 + y)(2 − y) + (2 + y)(3 − y) = 5(3 − y)(2 − y) ⇔ ⇔ 6 − 3y + 2y − y2 + 6 − 2y + 3y − y2 = 5(6 − 3y − 2y + y2) ⇔ ⇔ 12 − 2y2 = 5(y2 − 5y + 6) ⇔ 5y2 − 25y + 30 + 2y2 − 12 = 0 ⇔ 7y2 − 25y + 18 = 0 ⇔ ⇔ y = 18 ή y =1. 7 α) Για y = 18 προκύπτει 7 ℓogx = 18 ⇔ x 18 = 7 1018 = 7 1014 ⋅ 104 = 7 (102)7 ⋅ 104 = 102 ⋅ 7 104 ⇔ 7 = 10 7 ⇔ x = 100 ⋅ 7 104 . β) Για y = 1 προκύπτει ℓogx = 1 ⇔ x = 10 . - 209 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 212 Να λύσετε την εξίσωση ℓogx + 3 + ℓogx − 2 = 9 . ℓogx ℓogx − 3 2 Λύση Πρέπει να είναι x > 0 . Θέτω ℓogx = y και η εξίσωση γράφεται y+3 + y−2 = 9 , όπου πρέπει να είναι y y−3 2 ⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎨⎪ y≠0 ⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎫⎭ ⇔ ⎪⎨⎪⎩⎪⎧⎪⎪ y≠0 ⎪⎬⎪⎪⎪⎭⎪⎫ . y−3 ≠ 0 y≠3 Τότε έχω 2(y − 3)(y + 3) + 2y(y − 2) = 9y(y − 3) ⇔ 2(y2 − 9) + 2y2 − 4y = 9y2 − 27y ⇔ ⇔ 2y2 − 18 + 2y2 − 4y = 9y2 − 27y ⇔ 5y2 − 23y + 18 = 0 ⇔ y = 18 ή y=1. 5 α) Για y = 18 προκύπτει 5 ℓogx = 18 18 = 5 1018 = 5 1015 ⋅ 103 = 5 (103 )5 ⋅ 103 = 103 ⋅ 5 103 ⇔ 5 ⇔ x = 10 5 ⇔ x = 1000 ⋅ 5 1000 . β) Για y = 1 προκύπτει ℓogx = 1 ⇔ x = 10 . - 210 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 213 Να λύσετε την εξίσωση 1 + ℓog(x − 1) = 2ℓog2 . ℓog2 ℓog(x − 1) Λύση Πρέπει να είναι x − 1 > 0 ⇔ x > 1 . ( )Θέτω ℓog =y 1+ y = 2ℓog2 ≠ x −1 και η εξίσωση γράφεται ℓog2 y , όπου πρέπει y 0 . Τότε έχω y ⋅ ℓog2 + y2 = 2ℓog22 ⇔ y2 + y ⋅ ℓog2 − 2ℓog22 = 0 . Η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι ( )Δ = ℓog22 − 4 ⋅1 ⋅ −2ℓog22 = ℓog22 + 8ℓog22 = 9ℓog22 . Άρα είναι y = −ℓog2 ± 3ℓog2 ⇔ y = ℓog2 ή y = −2ℓog2 , οπότε: 2 α) για y = ℓog2 προκύπτει ℓog(x − 1) = ℓog2 ⇔ x − 1 = 2 ⇔ x = 3 . β) για y = −2ℓog2 προκύπτει ( )ℓog = ℓog2−2 ⇔ x − 1 = 2−2 1 5 x −1 ⇔x= 22 +1 ⇔ x = 4 . - 211 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 214 Να λύσετε την εξίσωση 2ℓogx + 25−ℓogx = 12 . Λύση Πρέπει να είναι x > 0 . Η εξίσωση γράφεται 2ℓogx + 25 = 12 , όπου θέτω 2ℓogx = y > 0 και έχω 2ℓogx y + 32 = 12 ⇔ y2 + 32 = 12y ⇔ y2 − 12y + 32 = 0 ⇔ y = 8 ή y=4. y α) Για y = 8 προκύπτει 2ℓogx = 8 ⇔ 2ℓogx = 23 ⇔ ℓogx = 3 ⇔ x = 103 = 1000 . β) Για y = 4 προκύπτει 2ℓogx = 4 ⇔ 2ℓogx = 22 ⇔ ℓogx = 2 ⇔ x = 102 = 100 . Άσκηση 215 Να λύσετε την εξίσωση ℓog x + ℓogx = ℓogx . Λύση Πρέπει να είναι x > 0 . Είναι ℓog x = 1 ℓogx , οπότε από την εξίσωση προκύπτει η 2 1 ℓogx + ℓogx = ℓogx . 2 Θέτω ℓogx = y και έχω την εξίσωση 1 y + y = y ⇔ y + 2 y = 2y ⇔ 2 y = y . 2 Πρέπει να είναι y ≥ 0 , οπότε έχω ( )2 2 y = y2 ⇔ 4y = y2 ⇔ y2 − 4y = 0 ⇔ y(y − 4) = 0 ⇔ y = 0 ή y − 4 = 0 ⇔ ⇔y=0 ή y=4. - 212 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ α) Για y = 0 προκύπτει ℓogx = 0 ⇔ x = 1 . β) Για y = 4 προκύπτει ℓogx = 4 ⇔ x = 104 . Άσκηση 216 ( )Να λύσετε την εξίσωση ℓogx3 2 − 2ℓogx2 − 5 = 0 . Λύση Πρέπει να είναι ⎪⎪⎩⎪⎧⎨⎪ x3 > 0 ⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎭ ⇔ ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧ x>0 ⎬⎫⎪⎪⎭⎪⎪ , δηλαδή x > 0 . x2 > 0 x≠0 ( )Από την εξίσωση προκύπτει 3ℓogx 2 − 4ℓogx − 5 = 0 . Θέτω ℓogx = y και έχω την εξίσωση (3y)2 − 4y − 5 = 0 ⇔ 9y2 − 4y − 5 = 0 , από όπου εύκολα προκύπτει y = 1 ή y=− 5 . 9 α) Για y = 1 προκύπτει ℓogx = 1 ⇔ x = 10 . β) Για y = − 5 προκύπτει 9 ℓogx =− 5 ⇔ x = 10− 5 = 1 =1= 9 104 = 9 104 ⇔ x= 9 104 . 9 9 10 5 9 105 9 105 ⋅ 9 104 9 109 109 - 213 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 217 Να λύσετε την εξίσωση ℓog2x − 2 = ℓogx . Λύση Πρέπει να είναι x > 0 . Θέτω ℓogx = y και η εξίσωση γράφεται y2 − 2 = y ⇔ y2 − y − 2 = 0 , από όπου εύκολα προκύπτει y = 2 ή y = −1 . α) Για y = 2 προκύπτει ℓogx = 2 ⇔ x = 102 = 100 . β) Για y = −1 προκύπτει ℓogx = −1 ⇔ x = 10−1 = 1 . 10 Άσκηση 218 Να λύσετε την εξίσωση ℓn2x + 2 = ℓnx3 . Λύση Πρέπει να είναι x > 0 (οπότε θα είναι και x3 > 0 ). Τότε έχω ℓn2x + 2 = 3ℓnx ⇔ ℓn2x − 3ℓnx + 2 = 0 . Θέτω ℓnx = y και έχω την εξίσωση y2 − 3y + 2 = 0 , από όπου εύκολα προκύπτει y=1 ή y=2. α) Για y = 1 προκύπτει ℓnx = 1 ⇔ x = e . β) Για y = 2 προκύπτει ℓnx = 2 ⇔ x = e2 . - 214 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 219 ( )Να λύσετε την εξίσωση ℓog3x − ℓogx2 2 + ℓogx + 6 = 0 . Λύση Πρέπει να είναι ⎨⎩⎪⎪⎧⎪⎪ x>0 ⎪⎪⎪⎫⎬⎭⎪ ⇔ ⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎧ x>0 ⎭⎫⎪⎪⎪⎪⎬ , x2 > 0 x≠0 δηλαδή x > 0 . Τότε έχω ( )ℓog3x − 2ℓogx 2 + ℓogx + 6 = 0 . Θέτω ℓogx = y και έχω την εξίσωση y3 − (2y)2 + y + 6 = 0 , από όπου προκύπτει y3 − 4y2 + y + 6 = 0 ⇔ (y + 1)(y2 − 5y + 6) = 0 ⇔ y + 1 = 0 ή y2 − 5y + 6 = 0 ⇔ ⇔ y = −1 ή y = 2 ή y = 3 . α) Για y = −1 προκύπτει ℓogx = −1 ⇔ x = 10−1 = 1 . 10 β) Για y = 2 προκύπτει ℓogx = 2 ⇔ x = 102 = 100 . γ) Για y = 3 προκύπτει ℓogx = 3 ⇔ x = 103 = 1000 . - 215 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 220 Να λύσετε την εξίσωση ℓn3x − 2ℓn2x − ℓnx + 2 = 0 . Λύση Πρέπει να είναι x > 0 . Θέτω ℓnx = y και έχω την εξίσωση y3 − 2y2 − y + 2 = 0 , από όπου προκύπτει y2(y − 2) − (y − 2) = 0 ⇔ (y − 2)(y2 − 1) = 0 ⇔ y − 2 = 0 ή y2 − 1 = 0 ⇔ ⇔ y = 2 ή y = 1 ή y = −1 . α) Για y = 2 προκύπτει ℓnx = 2 ⇔ x = e2 . β) Για y = 1 προκύπτει γ) Για y = −1 προκύπτει ℓnx = 1 ⇔ x = e . ℓnx = −1 ⇔ x = e−1 = 1 . e Άσκηση 221 ( ) ( ) ( )Να λύσετε την εξίσωση ℓog2x 4 − 5 ℓog2x 3 + 5 ℓog2x 2 + 5ℓog2x = 6 . Λύση Πρέπει να είναι x > 0 . Θέτω ℓog2x = y και έχω την εξίσωση y4 − 5y3 + 5y2 + 5y = 6 , από όπου προκύπτει y4 − 5y3 + 5y2 + 5y − 6 = 0 ⇔ (y − 1)(y3 − 4y2 + y + 6) = 0 ⇔ ⇔ y −1 = 0 ή y3 − 4y2 + y + 6 = 0 . α) Από την εξίσωση y − 1 = 0 έχω y = 1 , οπότε ℓog2x = 1 ⇔ x = 21 = 2 . - 216 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ β) Από την εξίσωση y3 − 4y2 + y + 6 = 0 έχω (y + 1)(y2 − 5y + 6) = 0 ⇔ y + 1 = 0 ή y2 − 5y + 6 = 0 ⇔ y = −1 ή y = 2 ή y = 3 . Ι. Για y = −1 προκύπτει ℓog2x = −1 ⇔ x = 2−1 = 1 . 2 ΙΙ. Για y = 2 προκύπτει ℓog2x = 2 ⇔ x = 22 = 4 . ΙΙΙ. Για y = 3 προκύπτει ℓog2x = 3 ⇔ x = 23 = 8 . Άσκηση 222 ( )Να λύσετε την εξίσωση ℓogx1000 = ℓogx10 2 + 2 . Λύση Πρόσεξε! Εδώ, ο άγνωστος είναι στην βάση του λογάριθμου. Πρέπει να είναι x > 0 , x ≠ 1 . Τότε έχω ( ) ( )ℓogx103 = ℓogx10 2 + 2 ⇔ 3ℓogx10 = ℓogx10 2 + 2 . Θέτω ℓogx10 = y και έχω την εξίσωση 3y = y2 + 2 , από όπου προκύπτει y2 − 3y + 2 = 0 ⇔ y = 1 ή y = 2 . α) Για y = 1 προκύπτει ℓogx10 = 1 ⇔ x1 = 10 ⇔ x = 10 . β) Για y = 2 προκύπτει x>0 ℓogx10 = 2 ⇔ x2 = 10 ⇔ x = 10 . - 217 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 223 ( )Να λύσετε την εξίσωση 2 ℓogx8 2 + ℓogx64 + ℓogx8 = 9 . Λύση Πρόσεξε! Και εδώ, ο άγνωστος είναι στην βάση του λογάριθμου. Πρέπει να είναι x > 0 , x ≠ 1 . Είναι ℓogx64 = ℓogx82 = 2ℓogx8 , οπότε από την εξίσωση έχω ( ) ( )2 ℓogx8 2 + 2ℓogx8 + ℓogx8 − 9 = 0 ⇔ 2 ℓogx8 2 + 3ℓogx8 − 9 = 0 . Θέτω ℓogx8 = y και έχω την εξίσωση 2y2 + 3y − 9 = 0 , από όπου έχω ότι y= 3 ή y = −3 . 2 α) Για y = 3 προκύπτει 2 ℓog x 8 = 3 ⇔ 3 = 8 ⇔ x3 = 8 ⇔ x3 = 64 ⇔ x = 3 64 ⇔ x=4 . 2 x2 β) Για y = −3 προκύπτει ℓogx8 = −3 ⇔ x−3 =8⇔ 1 =8⇔ x3 = 1 ⇔x= 3 1 ⇔ x = 1 . x3 8 8 2 - 218 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 224 Να λύσετε την εξίσωση ℓog2x2 − 2ℓogx4 − 12 = 0 . Λύση Πρέπει να είναι ⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪ x2 > 0 ⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫ ⇔ ⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎧ x≠0 ⎪⎭⎬⎫⎪⎪⎪ , δηλαδή x ≠ 0 . x4 > 0 x≠0 Τότε έχω ( ) ( )ℓogx2 2 − 8ℓogx − 12 = 0 ⇔ 2ℓogx 2 − 8ℓogx − 12 = 0 . Θέτω ℓogx = y και έχω την εξίσωση (2y)2 − 8y − 12 = 0 , από όπου προκύπτει 4y2 − 8y − 12 = 0 ⇔ y2 − 2y − 3 = 0 ⇔ y = 3 ή y = −1 . α) Για y = 3 προκύπτει ℓogx = 3 ⇔ x = 103 = 1000 . β) Για y = −1 προκύπτει ℓogx = −1 ⇔ x = 10−1 = 1 . 10 Άσκηση 225 Να λύσετε την εξίσωση 7 ℓogx + 4ℓog 1 = 3 . x Λύση Πρέπει να είναι x > 0 . Είναι ℓog 1 = ℓog1 − ℓog x = − 1 ℓogx , x 2 οπότε από την εξίσωση έχω 7 ℓogx + 4 ⋅ −1 ℓogx = 3 ⇔ 7 ℓogx − 2ℓogx = 3 . 2 - 219 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Θέτω ℓogx = y και έχω την εξίσωση 7 y − 2y = 3 ⇔ 7 y = 2y + 3 . Πρέπει να είναι ⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪ y≥0 ⎪⎬⎪⎫⎪⎪⎪⎭ ⇔ ⎪⎪⎪⎧⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪ y≥0 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎭ , δηλαδή y ≥ 0 . 2y + 3 ≥ 0 y ≥− 3 2 Τότε έχω ότι ( )2 ή y= 1 . 4 7 y = (2y + 3)2 ⇔ 49y = 4y2 + 9 + 12y ⇔ 4y2 − 37y + 9 = 0 ⇔ y = 9 α) Για y = 9 προκύπτει ℓogx = 9 ⇔ x = 109 . β) Για y = 1 προκύπτει 4 ℓogx = 1 ⇔ 1 . 4 x = 104 = 4 10 Άσκηση 226 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! 1 = 1− ℓnx2 . ℓn2x + ℓnx2 ℓn xe2 ( )Να λύσετε την εξίσωση Λύση Πρέπει να είναι ⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎧ x>0 ⎬⎭⎪⎪⎫⎪⎪ ⇔ ⎨⎩⎪⎪⎪⎪⎧ x>0 ⎪⎬⎪⎪⎫⎭⎪ , δηλαδή x > 0 (1) x2 > 0 x≠0 Επίσης, πρέπει να είναι ( )⎪⎪⎪⎩⎧⎪⎪⎪⎨ ⎪⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫⎪ . ℓn2x + ℓnx2 ≠ 0 (2) ℓn xe2 ≠ 0 (3) - 220 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ • Από την (2) προκύπτει ( )ℓn2x + 2ℓnx ≠ 0 ⇔ ℓnx ⋅ ℓnx + 2 ≠ 0 ⇔ ℓnx ≠ 0 και ℓnx + 2 ≠ 0 ⇔ ⇔ x ≠ 1 και ℓnx ≠ −2 ⇔ x ≠ 1 και x ≠ e−2 . • Από την (3) προκύπτει xe2 ≠ 1 ⇔ x ≠ 1 ⇔ x ≠ e−2 . e2 Έτσι, από τις (2) και (3) προκύπτει ότι πρέπει x ≠ 1 και x ≠ e−2 . Λαμβάνοντας υπόψη και την (1), θα πρέπει να είναι x > 0 , x ≠ 1 , x ≠ e−2 . Είναι ( )ℓnx2 = 2ℓnx , ℓn xe2 = ℓnx + ℓne2 = 2 + ℓnx , οπότε έχω την εξίσωση 1 = 1− 2ℓnx . ℓn2x + 2ℓnx 2 + ℓnx Θέτω ℓnx = y και έχω την εξίσωση 1 = 1− 2y , από όπου προκύπτει y2 + 2y 2+ y 1 = 1− 2y ⇔ 1= y(y + 2) − 2y2 ⇔ 1= y2 + 2y − 2y2 ⇔ y2 − 2y + 1 = 0 ⇔ y(y + 2) y+2 ⇔ (y − 1)2 = 0 ⇔ y − 1 = 0 ⇔ y = 1 . Άρα, ℓnx = 1 ⇔ x = e . - 221 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 227 Να λύσετε την εξίσωση ℓn2x3 − 9ℓnx = 54 . Λύση Πρέπει να είναι x > 0 (τότε είναι και x3 > 0 ). Τότε έχω ( ) ( )ℓnx3 2 − 9ℓnx − 54 = 0 ⇔ 3ℓnx 2 − 9ℓnx − 54 = 0 . Θέτω ℓnx = y και έχω την εξίσωση (3y)2 − 9y − 54 = 0 ⇔ 9y2 − 9y − 54 = 0 ⇔ y2 − y − 6 = 0 , από όπου προκύπτει y = 3 ή y = −2 . α) Για y = 3 προκύπτει ℓnx = 3 ⇔ x = e3 . β) Για y = −2 προκύπτει ℓnx = −2 ⇔ x= e−2 = 1 . e2 Άσκηση 228 Να λύσετε την εξίσωση 3ℓogx2 − 4 ⋅ 31+ℓogx + 27 = 0 . Λύση Πρέπει να είναι ⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪ x2 > 0 ⎪⎪⎬⎪⎭⎪⎫ ⇔ ⎨⎪⎪⎪⎧⎩⎪ x≠0 ⎪⎭⎪⎪⎫⎪⎬ , δηλαδή x > 0 . x>0 x>0 Τότε έχω ( )32ℓogx − 4 ⋅ 3 ⋅ 3ℓogx + 27 = 0 ⇔ 3ℓogx 2 − 12 ⋅ 3ℓogx + 27 = 0 . Θέτω 3ℓogx = y > 0 και έχω την εξίσωση y2 − 12y + 27 = 0 , από όπου προκύπτει y=9 ή y=3. - 222 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ α) Για y = 9 προκύπτει 3ℓogx = 9 ⇔ 3ℓogx = 32 ⇔ ℓogx = 2 ⇔ x = 102 = 100 . β) Για y = 3 προκύπτει 3ℓogx = 31 ⇔ ℓogx = 1 ⇔ x = 10 . Άσκηση 229 Να λύσετε την εξίσωση 3ℓog x + 3ℓog10x = 30 . 10 Λύση Πρέπει να είναι x > 0 . Είναι ℓog x = ℓogx − ℓog10 = ℓogx −1 , ℓog10x = ℓog10 + ℓogx = 1+ ℓogx , 10 οπότε έχω την εξίσωση 3ℓogx−1 + 31+ℓogx − 30 = 0 ⇔ 3ℓogx + 3 ⋅ 3ℓogx − 30 = 0 . 3 Θέτω 3ℓogx = y > 0 και έχω την εξίσωση y + 3y − 30 = 0 , από όπου προκύπτει 3 y + 9y − 90 = 0 ⇔ 10y = 90 ⇔ y = 9 . Άρα είναι 3ℓogx = 9 ⇔ 3ℓogx = 32 ⇔ ℓogx = 2 ⇔ x = 102 = 100 . - 223 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 230 Να λύσετε την εξίσωση 3ℓnx = ℓnx + 2 . ℓnx − 2 Λύση Πρέπει να είναι x > 0 . Θέτω ℓnx = y και έχω την εξίσωση 3y = y + 2 , όπου πρέπει y−2 y−2≠ 0 ⇔ y ≠ 2. Τότε έχω 3y = (y − 2)(y + 2) ⇔ 3y = y2 − 4 ⇔ y2 − 3y − 4 = 0 ⇔ y = 4 ή y = −1 . α) Για y = 4 προκύπτει ℓnx = 4 ⇔ x = e4 . β) Για y = −1 προκύπτει ℓnx = −1 ⇔ x = e−1 = 1 . e Άσκηση 231 Να λύσετε την εξίσωση ℓogx + 2 − 1 = 1 . ℓogx + 4 ℓogx 2 Λύση Πρέπει να είναι x > 0 . Θέτω ℓogx = y και έχω την εξίσωση y+2 − 1 = 1 , όπου πρέπει να είναι y+4 y 2 ⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎨ y+4 ≠ 0 ⎫⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭ ⇔ ⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪ y ≠ −4 ⎪⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎪ . y≠0 y≠0 Τότε έχω 2y(y + 2) − 2(y + 4) = y(y + 4) ⇔ 2y2 + 4y − 2y − 8 = y2 + 4y ⇔ y2 − 2y − 8 = 0 ⇔ ⇔ y = 4 ή y = −2 . - 224 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ α) Για y = 4 προκύπτει ℓogx = 4 ⇔ x = 104 . β) Για y = −2 προκύπτει ℓogx = −2 ⇔ x = 10−2 = 1 = 1 . 102 100 Άσκηση 232 Να λύσετε την εξίσωση ℓn2x = 2 . ℓnx + 1 Λύση Πρέπει να είναι x > 0 . Θέτω ℓnx = y και έχω την εξίσωση y2 = y 2 , όπου πρέπει +1 Τότε έχω y + 1 ≠ 0 ⇔ y ≠ −1 . y2(y + 1) = 2 ⇔ y3 + y2 − 2 = 0 ⇔ (y − 1)(y2 + 2y + 2) = 0 . Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα 22 − 4 ⋅1 ⋅ 2 = −4 , οπότε είναι y2 + 2y + 2 > 0 , για κάθε y ∈ ! , συνεπώς από την τελευταία εξίσωση έχω y−1= 0 ⇔ y = 1, δηλαδή ℓnx = 1 ⇔ x = e . - 225 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 233 Να λύσετε την εξίσωση 4ℓnx − 2ℓnx − e2ℓn 2 = 0 . Λύση Πρέπει να είναι x > 0 . Είναι e2ℓn 2 = eℓn 22 = eℓn2 = 2 , οπότε από την εξίσωση έχω ( ) ( )22 ℓnx − 2ℓnx − 2 = 0 ⇔ 2ℓnx 2 − 2ℓnx − 2 = 0 . Θέτω 2ℓnx = y > 0 και έχω την εξίσωση y2 − y − 2 = 0 , από όπου εύκολα προκύπτει y = 2 ή y = −1 (που απορρίπτεται). Άρα είναι 2ℓnx = 2 = 21 ⇔ ℓnx = 1 ⇔ x = e . Άσκηση 234 Να λύσετε την εξίσωση 9ℓogx − 31+ℓogx + 1000ℓog 3 2 = 0 . Λύση Πρέπει να είναι x > 0 . Είναι ℓog 3 2 = 1 ℓog2 , οπότε 3 1 ( )1000ℓog3 2 =1033ℓog2 = 10ℓog2 = 2. Τότε έχω την εξίσωση ( ) ( )32 ℓogx − 3 ⋅ 3ℓogx + 2 = 0 ⇔ 3ℓogx 2 − 3 ⋅ 3ℓogx + 2 = 0 . Θέτω 3ℓogx = y > 0 και έχω την εξίσωση y2 − 3y + 2 = 0 , από όπου προκύπτει y=1 ή y=2. α) Για y = 1 προκύπτει 3ℓogx = 1 ⇔ 3ℓogx = 30 ⇔ ℓogx = 0 ⇔ x = 1 . - 226 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ β) Για y = 2 προκύπτει 3ℓogx =2 ⇔ ℓogx = ℓog32 ⇔ ℓogx = ℓog2 ⇔ ℓog2 . ℓog3 x = 10ℓog3 Σχόλιο στην εξίσωση (β) Από την εξίσωση ℓogx = ℓog32 θα μπορούσα να έγραφα ως λύση και την x = 10ℓog32 . Δόθηκε η παραπάνω λύση για να δείξω πώς χρησιμοποιείται ο τύπος αλλαγής βάσης των λογάριθμων. Άσκηση 235 Να λύσετε την εξίσωση 2ℓnx2 − 21+ℓnx − 100ℓog 3 = 0 . Λύση Πρέπει να είναι ⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎩ x2 > 0 ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎫ ⇔ ⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎩ x≠0 ⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭ , δηλαδή x > 0 . x>0 x>0 Είναι ( )100ℓog 3 = 102 1 ℓog3 = 10ℓog3 = 3, 2 οπότε από την εξίσωση έχω ( )22ℓnx − 2 ⋅ 2ℓnx − 3 = 0 ⇔ 2ℓnx 2 − 2 ⋅ 2ℓnx − 3 = 0 . Θέτω 2ℓnx = y > 0 και έχω την εξίσωση y2 − 2y − 3 = 0 , από όπου προκύπτει Άρα είναι y = 2 ή y = −1 (απορρίπτεται). 2ℓnx = 2 = 21 ⇔ ℓnx = 1 ⇔ x = e . - 227 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Εκθετικές εξισώσεις που λύνονται με λογάριθμους Άσκηση 236 Να λύσετε την εξίσωση 5x = 21−x . Λύση Από την εξίσωση προκύπτει ( )5x = 21−x ⇔ 5x = 2 2x ⇔ 5x ⋅ 2x = 2 ⇔ 5 ⋅ 2 x = 2 ⇔ 10x = 2 ⇔ x = ℓog2 . Άσκηση 237 Να λύσετε την εξίσωση 32x+1 = 2x−1 . Λύση Από την εξίσωση προκύπτει ( )32x+1 = 2x−1 2x x 2x ⇔ 6 ⋅ 9x 2x ⎛⎜⎝⎜⎜ 2 ⎞⎠⎟⎟⎟⎟x ⇔ 32x ⋅ 3 = 2 ⇔ 3⋅ 32 = 2 = 2x ⇔ 9x = 6 ⇔ 9 =6⇔ ⇔ x = ℓog2 6 . 9 Άσκηση 238 Να λύσετε την εξίσωση 3x = 4 . Λύση Από την εξίσωση προκύπτει 3x = 4 ⇔ x = ℓog34 . - 228 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 239 Να λύσετε την εξίσωση 22−3x = 5 . Λύση Από την εξίσωση προκύπτει 22−3x =5⇔ 22 = 5 ⇔ 23x = 4 ⇔ 3x = ℓog2 4 ⇔ x = 1 ⋅ ℓog2 4 . 23x 5 5 3 5 Άσκηση 240 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! x ( )Να λύσετε την εξίσωση x x = x . Λύση Πρέπει να είναι x > 0 . Τότε έχω ( )x x = x xx ⇔ x ⋅ ℓogx = x ⋅ ℓog x ⇔ x ⋅ ℓogx = x ⋅ 1 ⋅ ℓogx ⇔ 2 x ⇔ ℓogx x = ℓog Αυτή είναι η κίνηση σε ισότητα που έχει εκθετικές μορφές (τουλάχιστον μία), με παρα- στάσεις του x και στην βάση και στον εκθέτη: λογαριθμίζουμε τα δύο μέλη. ( )⇔ 2 x ⋅ ℓogx = x ⋅ ℓogx ⇔ 2 x ⋅ ℓogx − x ⋅ ℓogx = 0 ⇔ 2 x − x ⋅ ℓogx = 0 ⇔ ⇔ 2 x − x = 0 ή ℓogx = 0 . ( )2 x>0 • 2 x − x = 0 ⇔ 2 x = x ⇔ 2 x = x2 ⇔ 4x = x2 ⇔ x = 4 . • ℓogx = 0 ⇔ x = 1 . - 229 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 241 Να λύσετε την εξίσωση e x+1 = 3 . Λύση Πρέπει να είναι x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ −1 . Τότε έχω 2 x+1 = ( )e x+1 = 3 ⇔ x + 1 = ℓn3 ⇔ ℓn3 2 ⇔ x + 1 = ℓn23 ⇔ x = ℓn23 − 1 . Άσκηση 242 Να λύσετε την εξίσωση 3x+1 + 18 = 29 . 3x Λύση Από την εξίσωση προκύπτει 3 ⋅ 3x + 18 = 29 . 3x Θέτω 3x = y > 0 και έχω την εξίσωση 3y + 18 − 29 = 0, από όπου προκύπτει y 3y2 − 29y + 18 = 0 ⇔ y = 6 ή y= 2 . 3 α) Για y = 6 προκύπτει 3x = 6 ⇔ x = ℓog36 . β) Για y = 2 προκύπτει 3 3x = 2 ⇔ 3 ⋅ 3x = 2 ⇔ 3x+1 = 2 ⇔ x +1= ℓog 3 2 ⇔ x = ℓog32 − 1 . 3 - 230 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 243 Να λύσετε την εξίσωση 25x − 5x+1 + 6 = 0 . Λύση Από την εξίσωση προκύπτει ( ) ( )52 x − 5 ⋅ 5x + 6 = 0 ⇔ 5x 2 − 5 ⋅ 5x + 6 = 0 . Θέτω 5x = y > 0 και έχω την εξίσωση y2 − 5y + 6 = 0 , από όπου προκύπτει y=2 ή y=3. α) Για y = 2 προκύπτει 5x = 2 ⇔ x = ℓog52 . β) Για y = 3 προκύπτει 5x = 3 ⇔ x = ℓog53 . Άσκηση 244 Να λύσετε την εξίσωση 3x−2 ⋅ 27x = 4x+1 . 8x Λύση Από την εξίσωση προκύπτει ( ) ( ) ( )3x−2 ⋅ 33 x = 22 x+1 ⋅ 8−x ⇔ 3x−2 ⋅ 33x = 22(x+1) ⋅ 23 −x ⇔ 3x−2+3x = 22x+2 ⋅ 2−3x ⇔ ( ) ( )⇔ 34x 22 34x−2 = 22−x ⇔ 32 = 2x ⇔ 2x ⋅ 34 x = 9 ⋅ 4 ⇔ 2x ⋅ 81x = 36 ⇔ 2 ⋅ 81 x = 36 ⇔ ⇔ 162x = 36 ⇔ x = ℓog16236 . - 231 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Search
