Γ΄Λυκείου - Διαφορικός Λογισμός - Ρυθμός Μεταβολής (ΟΛΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ)

Θανάσης Νικολόπουλος Καθηγητής Μαθηματικών Πτυχιούχος Εθνικού και Καποδιστριακού Πανεπιστημίου Αθηνών Γ΄ Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού ΡυθµόςµεταβολήςΑναλυτική θεωρία 30 επαναληπτικά και μεθοδολογία θέματα ασκήσεων. που περιλαμβάνουν ερωτήματα με ρυθμό μεταβολής, 30 αναλυτικά λυμένες ασκήσεις, με πλούσιο αναλυτικά λυμένα και με πλούσιο σχολιασμό. σχολιασμό.Ζάκυνθος , Μάρτιος 2018



~ Πρόλογος ~Το βιβλίο που θα διαβάσετε είναι ένα ιδιαίτερο έργο.Το αντικείμενό του είναι η μελέτη της έννοιας του Ρυθμού Μεταβολής. Η έννοια αυτή είναι πρωταρχικήστον Διαφορικό Λογισμό και, φυσικά, μέρος της εξεταστέας ύλης των Μαθηματικών Προσανατολισμούτης Γ΄ Λυκείου για τις Πανελλαδικές Εξετάσεις.Η ίδια η φύση, όμως, του αντικειμένου, που βρίσκει εφαρμογή πρωτίστως σε πρακτικές ασκήσεις καιπροβλήματα και λιγότερο σε θεωρητικά θέματα, το καθιστά ιδιαίτερο ως προς την αντιμετώπιση. Εδώείναι, εκ των πραγμάτων, περιορισμένες οι κλασικές μεθοδολογίες, καθώς κάθε άσκηση, κάθε πρόβλημαείναι ένας νέος κόσμος, στον οποίο πρέπει να προσαρμοστούμε. Το βιβλίο αυτό φιλοδοξεί να γίνειοδηγός στην εξερεύνηση αυτού του κόσμου, όπου τα προβλήματα, τα σχήματα, οι πρακτικές εφαρμογέςδείχνουν τον δρόμο και εμείς εφαρμόζουμε τις γνώσεις μας, σε νέα, κάθε φορά, πεδία.Στο βιβλίο θα βρείτε αναλυτικά περιεχόμενα, που θα σας βοηθήσουν στην γρήγορη πλοήγηση. Στην συ-νέχεια, το βιβλίο χωρίζεται σε τέσσερα μέρη:Στο Α΄ μέρος, με τίτλο «Στοιχεία από την θεωρία», μεταφέρονται αυτούσιες οι προτάσεις του σχολι-κού βιβλίου, οι οποίες εμπλουτίζονται με σχόλια, παρατηρήσεις και παραδείγματα, όπου αυτό κρίθηκεαναγκαίο. Τα συνοδευτικά παραδείγματα αντλήθηκαν από το διαδίκτυο και χρησιμοποιήθηκαν αυτού-σια ή με προσαρμογές, ώστε να ταιριάζουν με το πνεύμα του βιβλίου.Στο Β΄ μέρος, με τίτλο «Μεθοδολογία ασκήσεων», συμπληρώνονται τα στοιχεία θεωρίας που κρίνονταιαπαραίτητα και παρουσιάζεται αναλυτικά η ακολουθούμενη μεθοδολογία για την αντιμετώπιση τωνσχετικών ασκήσεων.Λόγω της ιδιαιτερότητας της φύσης του Ρυθμού Μεταβολής, η μεθοδολογία είναι ιδιαιτέρως εκτενής καιμέσα στα βασικά της βήματα υπάρχουν πολλές πληροφορίες που εφαρμόζονται σε διαφορετικές περι-πτώσεις. Σκοπός της εκτενούς παρουσιάσης είναι να αποδοθεί το εύρος των δυνατών εφαρμογών στιςασκήσεις. Έτσι ο αναγνώστης, όταν ασχολείται με την επίλυση μιας άσκησης, καλείται απλά να επιλέξειτην πορεία που της ταιριάζει και τα σχετικά στοιχεία που θα αξιοποιηθούν.Εδώ θα βρείτε πολλά σχήματα, επίπεδα και στερεά, από τον χώρο της Γεωμετρίας, μαζί με τους σχετι-κούς τύπους τους, όπως και πολλά άλλα παραδείγματα από την ύλη των Μαθηματικών Λυκείου, όπουεφαρμόζεται η μεθοδολογία του Ρυθμού Μεταβολής. Η σχηματική παρουσίαση και η αναλυτική αναφο-ρά σε τύπους, έχουν σκοπό η ενότητα αυτή να λειτουργήσει και σαν ένα πρώτο ευρετήριο, όπου ο ανα-γνώστης μπορεί να ανατρέξει για να βρει συγκεντρωμένα τα στοιχεία που αφορούν στην ενότητα, πρινδουλέψει στις σχετικές ασκήσεις.• Στο Γ΄ μέρος, με τίτλο «Λυμένες ασκήσεις στον Ρυθμό Μεταβολής», θα βρείτε 30 ασκήσεις, λυμέ-νες βήμα προς βήμα και με πλούσιο σχολιασμό.Όλες οι ασκήσεις προέρχονται από συλλογές ασκήσεων ή βιβλία που έχουν δημοσιευτεί στο διαδίκτυοκαι είναι διαθέσιμες σε όλους. Την προέλευση κάθε άσκησης θα την βρείτε στην βιβλιογραφία, στο τέλοςτου βιβλίου. Είναι όλες λυμένες αναλυτικότατα, χωρίς να παραλείπεται κανένα βήμα και με πλήθος απόχρήσιμα σχόλια και υπενθυμίσεις από την θεωρία, την μεθοδολογία ή την ύλη προηγούμενων τάξεων.

Αυτό προκαλεί μεν μια αύξηση στην έκταση της αναγραφόμενης λύσης, αλλά σε ένα βιβλίο που στοχεύειστην κατανόηση της διαδικασίας επίλυσης, η έκταση αυτή λειτουργεί επικουρικά και όχι αποτρεπτικά.Πράγματι· θα μπορούσαμε απλά να παρουσιάσουμε μία, πλήρη μεν, τυπική δε, λύση. Προτιμήθηκε,όμως, να επεκταθούμε σε κάθε σημείο της λύσης, να διευκρινίσουμε κάθε λεπτομέρεια, κάθε ιδιαίτεροσημείο, κάθε βήμα μας, ώστε το βιβλίο αυτό να γίνει οδηγός μας και να φωτίσουμε κάθε πτυχή των ασ-κήσεων που πραγματευόμαστε.• Στο Δ΄ μέρος, με τίτλο «30 επαναληπτικά θέματα, με ερωτήματα που περιλαμβάνουν ΡυθμόΜεταβολής», θα βρείτε 30 εξαιρετικά θέματα (μεταξύ των οποίων κάποια υπήρξαν σε ΠανελλαδικέςΕξετάσεις), τα οποία είναι βασισμένα στην ύλη των Μαθηματικών της Γ΄ Λυκείου και περιέχουν ερωτή-ματα ρυθμού μεταβολής.Επειδή σπάνια ο ρυθμός μεταβολής καταλαμβάνει ένα πλήρες θέμα, είναι σημαντικό να δούμε την δομήκαι λύση θεμάτων στα οποία αυτός ενσωματώνεται ως ερωτήμα και μέρος της λύσης. Γι’ αυτά τα θέμα-τα, στόχος είναι να προσομοιάζουν, κατά το δυνατόν, θέματα εξετάσεων, ώστε ο αναγνώστης να έχειμία καλή εικόνα πώς μπορεί να ζητηθεί ερώτημα ρυθμού μεταβολής στις Πανελλαδικές Εξετάσεις.Τα επαναληπτικά θέματα αυτού του Δ΄ μέρους έχουν επιλεγεί από μεγάλη ποικιλία πηγών. Πράγματι,στην συλλογή θα βρείτε θέματα που έχουν ήδη ζητηθεί σε προηγούμενες Πανελλαδικές Εξετάσεις,θέματα που έχουν προταθεί από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία, θέματα των συναδέλφων ΠαύλουΤρύφωνα και Δημήτρη Παπαμικρούλη και πολλά ακόμη θέματα από πληθώρα άλλων διαδικτυακών πη-γών. Στα θέματα αυτά έγιναν οι λιγότερες δυνατές παρεμβάσεις στις διατυπώσεις τους, για να προσ-αρμοστούν στην τρέχουσα εξεταστέα ύλη (του σχολικού έτους 2017-18), αλλά ταυτόχρονα να διατηρηθείτο εκφραστικό ύφος του εκάστοτε θεματοδότη. Έτσι ο αναγνώστης θα έχει επαφή με τα διαφορετικά«στυλ» που μπορεί να βρει μπροστά του.Να σημειωθεί εδώ, ότι σε κάποιες απαντήσεις θα δούμε να επαναλαμβάνονται κάποιες ιδέες, παρατη-ρήσεις, στοιχεία που αναφέρθηκαν σε προηγούμενες λύσεις. Αυτό γίνεται γιατί στόχος αυτού του βιβλί-ου είναι κάθε λύση να μπορεί να διαβάζεται αυτόνομα. Αυτό σημαίνει ότι ο αναγνώστης δεν απαιτείταικάθε φορά να ξαναβλέπει τις μεθοδολογίες, τα τυπολόγια και όσα έχουν προηγηθεί των θεμάτων. Ότανανοίξει το βιβλίο και ανατρέξει στην συγκεκριμένη λύση, θα βρει εκεί όσα είναι απαραίτητα για την με-λέτη της.  Το βιβλίο αυτό αποτελεί μέρος ενός ευρύτερου έργου, που υλοποιείται από τον συνάδελφο και φίλο,Δημήτρη Μοσχόπουλο. Στον ιστότοπό του, «Μαθηματικό στέκι», στην ηλεκτρονική διεύθυνσηwww.mathsteki.gr, θα βρείτε πλούσιο υλικό που διατίθεται ελεύθερα για ανάγνωση προς όλους. Τουλικό αυτό προέρχεται από συλλογές ασκήσεων, βιβλία και άλλο υλικό που διατίθετα ελεύθερα στοδιαδίκτυο.Όταν ο Δημήτρης αποφάσισε να αποτυπώσει το έργο του σε έντυπη μορφή, για όσους προτιμούν το βι-βλίο από την οθόνη, αλλά και για όσους θέλουν ένα τέτοιο έργο στην βιβλιοθήκη τους, απευθύνθηκε σεμένα για την συγγραφή της ενότητας του Ρυθμού Μεταβολής. Η φιλία μας μετουσιώθηκε σε συνεργασίακαι το βιβλίο αυτό είναι το αποτέλεσμά της. Το πνεύμα του παρόντος βιβλίου είναι πλήρως εναρμονισ-μένο με το πνεύμα των υπόλοιπων βιβλίων και του υλικού, εν γένει, που παρουσιάζεται στο «Μαθημα-τικό στέκι». Είναι, άλλωστε, κοινή μας εκπαιδευτική πεποίθηση, ότι αυτός ο τρόπος παρουσίασης είναιιδανικός για να βοηθήσει τα μέγιστα στην μελέτη και κατανόηση του αντικειμένου.

Πρέπει εδώ να τονιστεί το εξής: Σε καμία περίπτωση το βιβλίο αυτό, από μόνο του, δεν μπορεί να κα-λύψει πλήρως το θέμα που πραγματεύεται. Δύσκολα άλλωστε μπορεί οποιοδήποτε βιβλίο να ισχυριστείκάτι τέτοιο! Επιπλέον, τονίζουμε το αυτονόητο: Δεν στοχεύουμε, σε καμία περίπτωση, να «πιάσουμε»θέμα εξετάσεων! Αυτό το κυνήγι είναι άσκοπο και παραπλανητικό. Σκοπός μας είναι να μάθουμε νααντιμετωπίζουμε θέματα με Ρυθμό Μεταβολής, στο εύρος και την ποικιλία που αυτά μπορεί να δια-τυπωθούν. Γι’ αυτό και, στην συλλογή που ακολουθεί, θα δείτε θέματα με πολύ διαφορετικά επίπεδαδυσκολίας, όπως και πολύ διαφορετικής φύσης, από καθαρά προβλήματα Φυσικής, Οικονομίας κ.λπ.,μέχρι και θέματα με κλασική διατύπωση θέματος Πανελλαδικών, όπου απλά υπάρχουν ερωτήματα μεΡυθμό Μεταβολής.Η μελέτη αυτού του βιβλίου στοχεύει να δώσει στους συναδέλφους εκπαιδευτικούς τις απαραίτητεςπληροφορίες για να συμπληρώσουν την διδασκαλία τους. Στοχεύει επίσης, να δώσει στους μαθητές τηνευκαιρία να μελετήσουν αναλυτικά τις ασκήσεις του και να καταλάβουν σε βάθος τον τρόπο σκέψηςπου εφαρμόζεται, στις λύσεις τους. Σε συνδυασμό με την διδασκαλία και τις ασκήσεις που θα λύσουνστα πλαίσια της προετοιμασίας τους, ευελπιστούμε ότι θα εφοδιαστούν με όλα τα «όπλα» που τουςχρειάζονται.Στο σημείο αυτό θέλω να ευχαριστήσω όσους συνέβαλαν στην δημιουργία αυτού του βιβλίου.Η σύζυγός μου, Λευτάκη Διονυσία, είναι ο πρώτος μεγάλος αρωγός μου, καθώς η στήριξή της μού επέ-τρεψε να αφιερώσω τον χρόνο και την ενέργεια που χρειαζόταν για να φέρω σε πέρας αυτό το έργο.Ο Δημήτρης Μοσχόπουλος έδωσε την αφορμή, το κίνητρο για να γραφεί το υλικό του βιβλίου και είναιαυτός που ανέλαβε εξ ολοκλήρου την στοιχειοθεσία και την παρουσίαση αυτού στην μορφή που το βλέ-πετε. Είναι ο συνδημιουργός αυτού του έργου και τον ευχαριστώ πολύ γι’ αυτό.Και φυσικά, ευχαριστίες οφείλω σε συναδέλφους, συνεργάτες και μαθητές, που με κρατάνε σε συνεχήεγρήγορση, και ειδικά στους φίλους και συναδέλφους της lisari team, που δημιουργήθηκε από τον ΜάκηΧατζόπουλο, του γνωστού ιστότοπου lisari.blogspot.gr και έχει γίνει για μένα η μεγάλη μαθηματική μουοικογένεια.Με την ελπίδα ότι το βιβλίο αυτό θα βρει αποδοχή και απήχηση μεταξύ καθηγητών και μαθητών, το πα-ραδίδω στην αυστηρή κριτική σας. Κάθε παρατήρηση, κάθε προτεινόμενη προσθήκη, είναι ευπρόσδεκτη.Το συγκεκριμένο έργο παραμένει ζωντανό, σε εξέλιξη και διαρκή αναθεώρηση και βελτίωση. Θανάσης Νικολόπουλος Καθηγητής Μαθηματικών Ζάκυνθος, Μάρτιος 2018  Επικοινωνία για παρατηρήσεις, επισηµάνσεις λαθών, προτάσεις βελτίωσης:• Facebook.http://www.facebook.com.nikolopoulosathanasios• [email protected]



~ Βιογραφικό ~Γεννημένος το 1973, μεγάλωσα στο Ζωγράφου, όπου πέρασα τα μαθητικά και στην συνέχεια τα φοι-τητικά μου χρόνια, στο Μαθηματικό Τμήμα του Καποδιστριακού Πανεπιστημίου Αθηνών.Διδάσκω συστηματικά, σε μαθητές Γυμνασίου και Λυκείου, από το 1992. Στο φροντιστήριο «Εν Δυνά-μει» του Ζωγράφου, ήρθα σε πρώτη επαφή με τις εκπαιδευτικές εκδόσεις, καθώς μου δόθηκε η ευκαι-ρία να συμμετέχω ως συνεργάτης και επιμελητής στις εκδόσεις βιβλίων για τα Μαθηματικά Κατεύ-θυνσης της Γ΄ Λυκείου και την Άλγεβρα της Α΄ Λυκείου. Η επαφή αυτή άναψε το ενδιαφέρον μου γιατην έκδοση βοηθημάτων στα Μαθηματικά.Το 2006, μετά από επιτυχείς εξετάσεις Α.Σ.Ε.Π., διορίστηκα στην Κω, όπου και έμεινα για τέσσεραχρόνια. Το 2010 μετατέθηκα στην Ζάκυνθο, όπου ζω μέχρι σήμερα. Την εποχή αυτή εντάχθηκα και στην«lisari team», του γνωστού διαδικτυακού τόπου http://lisari.blogspot.gr του Μάκη Χατζόπουλου. Ηομάδα αυτή ξεκίνησε αρχικά ως συνεργασία μεταξύ των μελών της στο κοινό μας αντικείμενο. Σύντομαέκανε το πρώτο μεγάλο βήμα, πρωτοπορώντας με τις άμεσες διαδικτυακές δημοσιεύσεις των λύσεωντης (ανενεργής σήμερα) Τράπεζας Θεμάτων.Το επόμενο μεγάλο βήμα ήταν η πρώτη μας συλλογική συγγραφική δουλειά, ο «Οδηγός Προετοιμασίαςγια τις Πανελλαδικές Εξετάσεις». Το δίτομο αυτό έργο μού έδωσε την ευκαιρία να πραγματοποιήσω τοσυγγραφικό όνειρό μου. Φυσικά, το έργο της ομάδας συνεχίζεται, καθώς ακολούθησαν δύο ακόμα δίτο-μα έργα της, ένα με 200 Β και Γ θέματα Πανελλαδικών και ένα για τα Μαθηματικά της Γ΄ ΕΠΑ.Λ., στοοποίο συμμετείχα ως συνεργάτης. Και, φυσικά, το μέλλον μάς επιφυλάσσει ακόμα πολλά...Σκαλίζοντας μαθηματικούς ιστότοπους, βρέθηκα και στο «Μαθηματικό στέκι» (www.mathsteki.gr) τουΔημήτρη Μοσχόπουλου, που με εντυπωσίασε με την πλούσια σε όγκο και εξαιρετική σε ποιότητα εργα-σία του. Η επικοινωνία μου με τον Δημήτρη έγινε η αρχή μιας πολύχρονης φιλίας, βασισμένης στηναμοιβαία εκτίμηση και την κοινή προσέγγιση στο αντικείμενό μας. Όταν ο Δημήτρης αποφάσισε να απο-τυπώσει έντυπα, σε βιβλία, το έργο ετών της ιστοσελίδας του, μου πρότεινε να συμμετάσχω συγγράφο-ντας το απαραίτητο υλικό για την ενότητα του «Ρυθμού Μεταβολής». Όσα θα διαβάσετε στην συνέχειααποτελούν ένα μέρος αυτής της συνεργασίας.Το ταξίδι συνεχίζεται...



τηΣντθοιεχωερίίαα από Α΄ ΜΕΡΟΣ



Μαθηµατικά Γ΄Λυκείου • Διαφορικός Λογισµός Ρυθµός µεταβολής • Α΄ΜΕΡΟΣ • Στοιχεία από την θεωρίαΣτην αρχή του κεφαλαίου του Διαφορικού Λογισμού αναφέρεται η έννοια της στιγμιαίας ταχύτητας. Συ-γκεκριμένα, αν ένα κινητό σώμα κινείται κατά μήκος ευθείας γραμμής και διανύει διάστημα S, τότεπροφανώς το διάστημα αυτό μεταβάλλεται συναρτήσει του χρόνου. Συνεπώς υπάρχει συνάρτηση τηςμορφής S(t) που το προσδιορίζει.Τότε ορίστηκε η στιγμιαία ταχύτητα του κινητού, την χρονική στιγμή t0 , ως το όριο ℓ im S(t) − S(t0) = S′(t0) t − t0 t→ t0(με την προϋπόθεση πάντα ότι το όριο αυτό υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός).Το όριο αυτό το λέμε ρυθμό μεταβολής της τετμημένης, S, του κινητού ως προς τον χρόνο, t, την χρο-νική στιγμή t0 .Γενικεύοντας, ισχύει ο ακόλουθοςΟρισµός Ρυθµός µεταβολής.Αν δύο μεταβλητά μεγέθη, x, y, συνδέονται με την σχέση y = f(x), όταν f είναι μία συνάρτηση παρα-γωγίσιμη στο x0 , τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς x, στο σημείο x0 , την παράγω-γο f′(x0) .Σχόλιο. Από εδώ και στο εξής, ακόμα κι όταν δεν το αναφέρουμε άμεσα, εννοείται ότι η έννοια τουρυθμού μεταβολής θα ορίζεται με την προϋπόθεση ότι η συνάρτηση f, που συνδέει τα μεγέθη x, y, είναιπαραγωγίσιμη στο x0 . Παράδειγµα 1.Ο ρυθμός μεταβολής του διαστήματος, S, ως προς τον χρόνο, t, την χρονική στιγμή t0 , είναι η παράγω-γος, S′(t0) , του διαστήματος, S, ως προς τον χρόνο, t, την χρονική στιγμή t0 . Η παράγωγος S′(t0) λέγε-ται (στιγμιαία) ταχύτητα του κινητού την χρονική στιγμή t0 και συμβολίζεται με υ(t0) , είναι δηλαδήυ(t0) = S′(t0) . Παράδειγµα 2.Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας, υ, ως προς τον χρόνο, t, την χρονική στιγμή t0 , είναι η παράγωγος,υ′(t0) , της ταχύτητας, υ, ως προς τον χρόνο, t, την χρονική στιγμή t0 . Η παράγωγος υ′(t0) λέγεται επι-τάχυνση του κινητού και συμβολίζεται με α(t0) , είναι δηλαδή α(t0) = υ′(t0) = S′′(t0) . Παράδειγµα 3.Στην Οικονομία, το κόστος παραγωγής, Κ, η είσπραξη, Ε, και το κέρδος, Ρ, εκφράζονται συναρτήσει τηςποσότητας, x, του παραγόμενου προϊόντος. Έτσι:α) η παράγωγος Κ′(x0) παριστάνει τον ρυθμό μεταβολής του κόστους, Κ, ως προς την ποσότητα, x, τουπαραγόμενου προϊόντος, όταν x = x0 , και λέγεται οριακό κόστος στο x0 .β) η παράγωγος Ε′(x0) παριστάνει τον ρυθμό μεταβολής της είσπραξης, Ε, ως προς την ποσότητα, x,του παραγόμενου προϊόντος, όταν x = x0 , και λέγεται οριακή είσπραξη στο x0 .γ) η παράγωγος Ρ′(x0) παριστάνει τον ρυθμό μεταβολής του κόστους, Ρ, ως προς την ποσότητα, x, τουπαραγόμενου προϊόντος, όταν x = x0 , και λέγεται οριακό κέρδος στο x0 . -1 - Θανάσης Νικολόπουλος, καθηγητής Μαθηµατικών

Μαθηµατικά Γ΄Λυκείου • Διαφορικός Λογισµός Ρυθµός µεταβολής • Α΄ΜΕΡΟΣ • Στοιχεία από την θεωρίαΣημαντική παρατήρηση. Ο ορισμός της προηγούμενης σελίδας αναφέρεται στον ρυθμό μεταβολήςενός μεγέθους y = f(x), στο σημείο x0 . Φυσικά, ο ορισμός αυτός μπορεί, σε αναλογία με τον ορισμό τηςπαραγώγου συνάρτησης, να επεκταθεί για όλα τα x στο πεδίο ορισμού της f, όπου η συνάρτηση f είναιπαραγωγίσιμη.Έτσι, για μια συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της, Α, έχουμε την ακόλουθη γενίκευση:Αν δύο μεταβλητά μεγέθη, x, y, συνδέονται με την σχέση y = f(x), όπου f είναι μία συνάρτηση παραγω-γίσιμη στο Α, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς x την παράγωγο f′(x) .ΠΡΟΣΟΧΗ ! Το πρόσημο του ρυθμού μεταβολής ενός μεγέθους μάς δίνει μία σημαντική πληροφορία!α) Θετικός ρυθμός μεταβολής σημαίνει ότι το μέγεθος αυξάνεται.β) Αρνητικός ρυθμός μεταβολής σημαίνει ότι το μέγεθος ελαττώνεται. Παρατηρήσεις για τον ρυθµό µεταβολής. Α. Ταχύτητα και επιτάχυνση στην κίνηση σωμάτων.Υπενθυμίζεται ότι, αν ένα σημείο (ή σώμα) κινείται κατά μήκος ευθείας γραμμής, τότε η στιγμιαία τα-χύτητα και επιτάχυνσή του, την χρονική Sσ(τtι)γμηή(πtα0 ρ, αδίγνωογντίσαιιμαη)πόσυτνιςάρστχηέσσηειπς ουυ(tπ0ρ) ο=σδSι′(οtρ0ί)ζεκιατιο διάστημαα(t0) = υ′(t0) = S′′(t0) αντίστοιχα, όπουπου διανύει.Συχνά η κίνηση αυτή γίνεται κατά μήκος οριζόντιου άξονα, οπότε η απόσταση που διανύει το σημείοπεριγράφεται από συνάρτηση της μορφής x(t), καθώς για το σημείο αυτό η τεταγμένη παραμένει σταθε-ρή, ενώ αυτή που αλλάζει συνεχώς είναι η τετμημένη του x, η οποία προσδιορίζεται από συνάρτηση τηςμορφής x(t). Στην περίπτωση αυτή, οι προηγούμενοι τύποι γίνονται αντίστοιχα:• για την ταχύτητα: υ(t0) = x′(t0) .• για την επιτάχυνση: α(t0) = υ′(t0) = x′′(t0) .Φυσικά, αντίστοιχοι τύποι θα ισχύουν και για κίνηση σημείου κατά μήκος κατακόρυφου (ή κάθε άλλου)άξονα (π.χ., σε κεκλιμένο επίπεδο). Στην περίπτωση κίνησης σε κατακόρυφο άξονα, η συνάρτηση πουπεριγράφει την απόσταση που διανύει το σημείο συμβολίζεται συνήθως με y(t). Ειδικά για το ύψος,χρησιμοποιείται ο συμβολισμός h(t). Παράδειγµα 4.Η θέση ενός κινητού, το οποίο βρίσκεται πάνω στον άξονα x΄x ενός συστήματος αξόνων, δίνεται από τηνσχέση x(t) = t3 − 6t2 + 9t − 4 , t ≥ 0 (ο χρόνος μετράται σε δευτερόλεπτα, s).α) Ποιες χρονικές στιγμές το κινητό βρίσκεται στον κατακόρυφο άξονα;β) Να βρεθεί η ταχύτητα του κινητού την χρονική στιγμή t = 2.γ) Να βρεθούν οι θέσεις του κινητού, στις οποίες αυτό ηρεμεί.δ) Να υπολογιστεί η επιτάχυνση του κινητού, την χρονική στιγμή t = 3.Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, «Μαθηματικά Γ΄ Κατεύθυνσης 2015-6», lisari.blogspot.gr ΛύσηΗ άσκηση είναι απλή εφαρμογή Φυσικής, που αφορά κίνηση σώματος σε οριζόντιο άξονα. Θα λυθείχρησιμοποιώντας τον ορισμό της ταχύτητας και της επιτάχυνσης, όπως αυτοί αναλύθηκαν στην θεωρία. -2 - Θανάσης Νικολόπουλος, καθηγητής Μαθηµατικών

Μαθηµατικά Γ΄Λυκείου • Διαφορικός Λογισµός Ρυθµός µεταβολής • Α΄ΜΕΡΟΣ • Στοιχεία από την θεωρίαα) Το κινητό βρίσκεται πάνω στον κατακόρυφο άξονα, y΄y, όταν η τετμημένη του, x(t), είναι ίση με τομηδέν, δηλαδή ότανx(t) = 0 ⇔ t3 − 6t2 + 9t − 4 = 0 ⇔ (t − 1)(t2 − 5t + 4) = 0 ⇔ t = 1 ή t2 − 5t + 4 = 0 ⇔⇔ t = 1 ή t = 1 ή t = 4 ⇔ t = 1 (διπλή ρίζα) ή t = 4 .Άρα το κινητό βρίσκεται πάνω στον κατακόρυφο άξονα τις χρονικές στιγμές t = 1 s και t = 4 s.β) Η ταχύτητα του κινητού δίνεται από την σχέση υ(t) = x′(t) = (t3 − 6t2 + 9t − 4)′ = 3t2 − 12t + 9 = 3(t2 − 4t + 3) .Άρα την χρονική στιγμή t = 2 s η ταχύτητά του είναι ίση με υ(2) = 3(22 − 4 ⋅ 2 + 3) = −3 µον / s .Στην άσκηση δεν δίνεται μονάδα μέτρησης για τις αποστάσεις, συνεπώς η μονάδα μέτρησης της ταχύτη-τας θα εκφραστεί με αυτόν τον γενικό τρόπο. Εδώ, το «μον» εννοεί την εκάστοτε μονάδα μέτρησης μή-κους για την τετμημένη του κινητού.γ) Οι θέσεις στις οποίες το κινητό ηρεμεί, είναι οι θέσεις στις οποίες ισχύει υ(t) = 0, δηλαδή 3(t2 − 4t + 3) = 0 ⇔ t2 − 4t + 3 = 0 ⇔ t = 1 ή t = 3 .• Την χρονική στιγμή t = 1, το κινητό είναι στην θέση x(1) = 13 − 6 ⋅12 + 9 ⋅1 − 4 = 0 .• Την χρονική στιγμή t = 3, το κινητό είναι στην θέση x(3) = 33 − 6 ⋅ 32 + 9 ⋅ 3 − 4 = −4 .Υπενθυμίζεται ότι οι παραπάνω τιμές μπορούν να υπολογιστούν πολύ πιο ξεκούραστα με το σχήμαHorner.Άρα το κινητό ηρεμεί στις θέσεις x(1) = 0 μον και x(3) = ­4 μον.δ) Η επιτάχυνση του κινητού δίνεται από την σχέση α(t) = υ′(t) = (3t2 − 12t + 9)′ = 6t − 12 .Άρα, την χρονική στιγμή t = 3 s, η επιτάχυνσή του είναι ίση με α(3) = 6 ⋅ 3 − 12 = 6 µον / s2 .Όπως και για την ταχύτητα, η μονάδα μέτρησης της επιτάχυνσης θα εκφραστεί με τον ίδιο γενικό τρόπο,χρησιμοποιώντας το «μον» για την εκάστοτε μονάδα μέτρησης μήκους για την τετμημένη του κινητού. Β. Ρυθμός μεταβολής μεγεθών, που συνδέονται με σύνθετη συνάρτηση.Έστω μεγέθη x, y, τα οποία μεταβάλλονται και συνδέονται με την σχέση y = f(x), όπου f παραγωγίσιμησυνάρτηση, και, επιπλέον, το x μεταβάλλεται συναρτήσει του χρόνου t !Στην περίπτωση αυτή, αντί για ανεξάρτητη μεταβλητή x έχουμε εξαρτημένη από τον χρόνο μεταβλητή,της οποίας η μεταβολή περιγράφεται από συνάρτηση της μορφής x(t). Τότε, φυσικά, και η μεταβλητή yμπορεί να αντιμετωπιστεί ως μεταβλητή συναρτήσει του χρόνου, δηλαδή μεταβλητή που θα προσδιορί-ζεται από συνάρτηση της μορφής y = y(t). Έτσι, στην σχέση y = f(x) κρύβεται μια σύνθετη συνάρτηση,αφού τώρα αυτή μπορεί να γραφεί y(t) = f (x(t)) .Τότε:• ο ρυθμός μεταβολής του μεγέθους y, ως προς t, είναι η παράγωγος y′(t) = ⎢⎣⎡ f (x(t)) ⎦⎤⎥′ = f′(x(t)) ⋅ x′(t) .• ο ρυθμός μεταβολής του μεγέθους y, ως προς t, όταν t = t0 , είναι η τιμή ( )y′(t0) = f′ x(t0) ⋅ x′(t0) . -3 - Θανάσης Νικολόπουλος, καθηγητής Μαθηµατικών

Μαθηµατικά Γ΄Λυκείου • Διαφορικός Λογισµός Ρυθµός µεταβολής • Α΄ΜΕΡΟΣ • Στοιχεία από την θεωρία Παράδειγµα 5.Δύο παραγωγίσιμες συναρτήσεις f, g, συνδέονται με την σχέση f(t) = 4g3(t) + 5 . Αν g(4) = 1 καιg′(4) = −2 , να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της f, όταν t = 4.Πηγή: Ανδρεσάκης Δημήτρης, http://eisatopon.blogspot.gr/2015/10/m.html ΛύσηΟ ρυθμός μεταβολής της f, όταν t = 4, είναι η τιμή f′(4) .Παραγωγίζουμε τα δύο μέλη της σχέσης f(t) = 4g3(t) + 5 και βρίσκουμε ⎡⎢⎣f(t)⎦⎤⎥′ = ⎡⎣⎢4g3(t) + 5⎦⎤⎥′ ⇒ f′(t) = 4 ⋅ 3g2(t) ⋅ g′(t) + 0 ⇒ f′(t) = 12g2(t) ⋅ g′(t) .Θέτοντας t = 4 έχουμε f′(4) = 12g2(4) ⋅ g′(4) = 12 ⋅12 ⋅ (−2) ⇒ f′(4) = −24 .Εδώ τα δύο μεγέθη που μεταβάλλονται είναι οι συναρτήσεις f και g, οι οποίες συνδέονται με την σχέσηf = f(g) = 4g3 + 5 . Όμως και οι δύο συναρτήσεις μεταβάλλονται συναρτήσει του χρόνου, t, οπότε τελικάη σχέση που τις συνδέει είναι η f(t) = 4g3(t) + 5 της εκφώνησης, με την οποία και εργαζόμαστε για τηνεπίλυση της άσκησης. -4 - Θανάσης Νικολόπουλος, καθηγητής Μαθηµατικών

αΜσκεήθσοεδωολνογία Β΄ ΜΕΡΟΣ



Μαθηµατικά Γ΄Λυκείου • Διαφορικός Λογισµός Ρυθµός µεταβολής • Β΄ΜΕΡΟΣ • Μεθοδολογία ασκήσεωνΟι ασκήσεις με ρυθμό μεταβολής θέλουν ιδιαίτερη προσοχή, καθώς σχεδόν κάθε άσκηση έχει τον δικότης τρόπο λύσης, με την έννοια ότι η πορεία προς το ζητούμενο αποτέλεσμα εξαρτάται από την φύσητου προβλήματος. Φυσικά υπάρχουν κάποιες γενικές κατευθύνσεις, τις οποίες ακολουθούμε για να λύ-σουμε αυτά τα προβλήματα. Τα βήματα που ακολουθούμε είναι, συνοπτικά, τα ακόλουθα:1. Βρίσκουμε τα μεταβλητά μεγέθη του προβλήματος.2. Σε γεωμετρικό πρόβλημα (ή όποτε κρίνουμε απαραίτητο), κάνουμε σχήμα.3. Βρίσκουμε και καταγράφουμε τις σχέσεις μεταξύ των διαφόρων μεγεθών.4. Παραγωγίζουμε όποιες από τις παραπάνω σχέσεις περιέχουν το μέγεθος του οποίου τον ρυθμό με- ταβολής ψάχνουμε, ώστε από αυτές να προκύψει ο ζητούμενος ρυθμός μεταβολής.5. Αν ζητούμε ρυθμό μεταβολής για μία συγκεκριμένη τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής, αντικαθιστού- με τις τιμές από τα δεδομένα της άσκησης και τυχόν σχετικά ευρήματά μας, με προσοχή στις μονά- δες μέτρησης.Πάμε να δούμε αναλυτικά κάθε βήμα. 1ο ΒΗΜΑ Βρίσκουµε τα µεταβλητά µεγέθη του προβλήµατος.Το πρώτο που κάνουμε σε ένα πρόβλημα ρυθμού μεταβολής, είναι να εντοπίσουμε τα διάφορα μεγέθηπου υπάρχουν σε αυτό. Από αυτά τα μεγέθη, κάποια θα μεταβάλλονται, ενώ κάποια μπορεί να παρα-μένουν σταθερά.Τα μεγέθη που παραμένουν σταθερά μπορούν να αντιμετωπιστούν, για τις ανάγκες του προβλήματος,ως αριθμητικές σταθερές, τις οποίες και προσδιορίζουμε.Τα μεγέθη που μεταβάλλονται μπορεί να παίζουν τον ρόλο είτε της ανεξάρτητης είτε της εξαρτημένηςμεταβλητής. Συνεπώς πρέπει, με βάση τα δεδομένα του προβλήματος, να ξεκαθαρίσουμε ποιες μεταβλη-τές εξαρτώνται από άλλες, ώστε να καθορίσουμε αυτές ως εξαρτημένες μεταβλητές. Η μεταβλητή ωςπρος την οποία μεταβάλλονται οι υπόλοιπες θα είναι προφανώς η ανεξάρτητη μεταβλητή μας.Στα περισσότερα προβλήματα, η ανεξάρτητη μεταβλητή είναι ο χρόνος, t. Στην περίπτωση αυτή, τα υπό-λοιπα μεγέθη μεταβάλλονται συναρτήσει του χρόνου, οπότε μπορούμε να ορίσουμε συναρτήσεις τηςμορφής f(t) που τα προσδιορίζουν.Ένα στοιχείο που μαρτυρά ότι έχουμε μεταβολή συναρτήσει του χρόνου, είναι οι μονάδες μέτρησης. Κά-ποιο δεδομένο ή κάποιο ζητούμενο θα είναι ρυθμός μεταβολής και θα έχει μονάδα μέτρησης της μορφής«μονάδα μεγέθους/μονάδα χρόνου» (διαβάζεται «μονάδα μεγέθους ανά μονάδα χρόνου»).Για παράδειγμα:• m/s ή km/h (ρυθμός μεταβολής μήκους­απόστασης).• m²/s (ρυθμός μεταβολής εμβαδού).• rad/s (ρυθμός μεταβολής γωνίας).Φυσικά, αν η ανεξάρτητη μεταβλητή δεν είναι ο χρόνος, οι μονάδες μέτρησης θα είναι διαφορετικές. Σετέτοια περίπτωση, είτε θα υπάρχει μία τέτοια μονάδα μέτρησης στα δεδομένα (οπότε και θα ξεκαθαρί-ζεται για τι μονάδες μέτρησης μιλάμε) είτε θα την βρίσκουμε εμείς, με πολλή προσοχή! ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΑ ΕΞΗΣ !α) Αν δεν υπάρχουν καθόλου μονάδες μέτρησης, δηλαδή αν όλα τα δεδομένα δίνονται ως καθαροίαριθμοί, πρακτικά απαλλασσόμαστε από την ανάγκη να βρούμε μονάδες μέτρησης και εμείς στα απο-τελέσματά μας. Τα αποτελέσματα, όπως ζητούμενοι ρυθμοί μεταβολής, θα είναι επίσης αριθμητικά. Γε-νικά πάντως κάτι τέτοιο είναι σπάνιο, καθώς, αν μη τι άλλο, η ανάγκη να προσδιορίσουμε την ανεξάρ- -5 - Θανάσης Νικολόπουλος, καθηγητής Μαθηµατικών

Μαθηµατικά Γ΄Λυκείου • Διαφορικός Λογισµός Ρυθµός µεταβολής • Β΄ΜΕΡΟΣ • Μεθοδολογία ασκήσεωντητη μεταβλητή σε προβλήματα (χρόνος, μονάδα παραγόμενου προϊόντος, μήκος, πλάτος ή ύψος σχήμα-τος) έμμεσα προσδιορίζει και την μονάδα μέτρησης του εκάστοτε ρυθμού μεταβολής.β) Ιδιαίτερη επιμέλεια θέλει ο χειρισμός των μονάδων μέτρησης. Συγκεκριμένα, πρέπει να φροντί-ζουμε όλα τα μεγέθη να εκφράζονται στις αντίστοιχες μονάδες μέτρησης, ώστε να μην έχουμε είτε αριθ-μητικά λάθη είτε ασάφειες στις μονάδες μέτρησης των αποτελεσμάτων.Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι σε μία άσκηση δίνονται αποστάσεις σε μέτρα (m), αλλά ταχύτητες(ρυθμοί μεταβολής) σε km/h. Τότε πρέπει άμεσα να φροντίσουμε να μετατρέψουμε κάποια μεγέθη: είτετις αποστάσεις, από m σε km, είτε τις ταχύτητες, από km/h σε m/s ή όποια άλλη μονάδα μέτρησης σεm κρίνουμε κατάλληλη. 2ο ΒΗΜΑ Σε γεωµετρικό πρόβληµα (ή όποτε κρίνουµε απαραίτητο), κάνουµε σχήµα.Το δεύτερο βήμα συνδέεται άμεσα με το πρώτο. Αν η άσκησή μας αφορά σε κάποιο γεωμετρικό σχήμαή πρόβλημα που μπορούμε να απεικονίσουμε με σχήμα, τότε το σχήμα είναι απαραίτητο. Τέτοιες περι-πτώσεις είναι, π.χ., τα προβλήματα κίνησης σε άξονα ή σύστημα αξόνων, όπως και τα προβλήματα πουαφορούν επίπεδα ή στερεά γεωμετρικά σχήματα.Στο σχήμα αυτό σημειώνουμε όλα τα μεγέθη που γνωρίζουμε ή που ζητούνται. Μπορούμε επίσης νασημειώσουμε και μεγέθη που κρίνουμε ότι θα συμμετάσχουν στην λύση της άσκησης. Όταν, για παρά-δειγμα, έχουμε επίπεδο γεωμετρικό σχήμα, μπορούμε να σημειώσουμε την περίμετρο ή το εμβαδόν τουσχήματος. Όταν έχουμε πρόβλημα κίνησης, μπορούμε να σημειώσουμε στο σχήμα το διάνυσμα της ταχύ-τητας ή της επιτάχυνσης, γωνίες που σχηματίζονται από κινούμενα σώματα κ.λπ.Στα επόμενα βήματα της μεθοδολογίας, αλλά και στις λυμένες ασκήσεις, υπάρχουν πολλά σχετικά σχή-ματα. Μπορείτε να ανατρέξετε εκεί για να δείτε στην πράξη όσα περιγράφονται παραπάνω. 3ο ΒΗΜΑ Βρίσκουµε και καταγράφουµε τις σχέσεις µεταξύ των διαφόρων µεγεθών.Αφού προσδιορίσουμε τα διάφορα μεγέθη που εμπλέκονται στην άσκηση (εξαρτημένα και ανεξάρτητα),προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τις σχέσεις που τα συνδέουν και να ορίσουμε συναρτήσεις από αυτές.Εδώ οι γνώσεις μας από διάφορα γνωστικά αντικείμενα είναι κρίσιμες.Για παράδειγμα, σε άσκηση που έχουμε γεωμετρικά μεγέθη, είναι σημαντικό να θυμόμαστε αντίστοι-χους τύπους για αυτά: εμβαδά και περιμέτρους επίπεδων σχημάτων, όγκους στερεών σωμάτων κ.λπ.Επιπλέον, θέματα όπως η ομοιότητα τριγώνων, το Θεώρημα του Θαλή κ.ά, μπορούν επίσης να βοηθή-σουν στον προσδιορισμό των παραπάνω τύπων και σχέσεων.Αν έχουμε άσκηση με σχήματα που περιγράφονται με την βοήθεια εξισώσεων, όπως ευθείες γραμμές,κωνικές τομές, γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων κ.ο.κ., τότε χρειαζόμαστε τις εξισώσεις που περι-γράφουν αυτά τα σχήματα.Στην συνέχεια περιγράφονται οι βασικότερες περιπτώσεις. 1. Σχέσεις µεγεθών σε προβλήµατα κίνησης σε άξονα.α) Θέση σώματος στον άξονα: x(t).β) Ταχύτητα: υ(t) = x′(t) .γ) Επιτάχυνση: α(t) = υ′(t) = x′′(t) . -6 - Θανάσης Νικολόπουλος, καθηγητής Μαθηµατικών

Μαθηµατικά Γ΄Λυκείου • Διαφορικός Λογισµός Ρυθµός µεταβολής • Β΄ΜΕΡΟΣ • Μεθοδολογία ασκήσεων 2. Σχέσεις µεγεθών σε επίπεδα γεωµετρικά σχήµατα.α) Τρίγωνο με πλευρές α, β, γ. • Περίμετρος: Π = α + β + γ . • Εμβαδόν: Ε= α ⋅ υα = β ⋅ υβ = γ ⋅ υγ . 2 2 2 Επίσης: Ε= 1 αβ ⋅ ηµΓ = 1 βγ ⋅ ηµΑ = 1 γα ⋅ ηµΒ . 2 2 2β) Ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς α.• Περίμετρος: Π = 3α .• Εμβαδόν: Ε= α2 ⋅ 3 . 4γ) Τετράγωνο πλευράς α. • Περίμετρος: Π = 4α . • Εμβαδόν: Ε = α2 .δ) Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με πλευρές α, β. • Περίμετρος: Π = 2α + 2β . • Εμβαδόν: Ε = α ⋅ β . ε) Πλάγιο παραλληλόγραμμο με πλευρές α, β. • Περίμετρος: Π = 2α + 2β . • Εμβαδόν: Ε = α ⋅ υα = β ⋅ υβ .στ) Τραπέζιο. • Περίμετρος: Π = Β + β + x + y . • Εμβαδόν: Ε= (Β + β) ⋅ υ . 2ζ) Κύκλος ακτίνας ρ. • Μήκος κύκλου: L = 2πρ. • Εμβαδόν κυκλικού δίσκου: Ε = πρ2 . -7 - Θανάσης Νικολόπουλος, καθηγητής Μαθηµατικών

Μαθηµατικά Γ΄Λυκείου • Διαφορικός ΛογισµόςΡυθµός µεταβολής • Β΄ΜΕΡΟΣ • Μεθοδολογία ασκήσεων 3. Σχέσεις µεγεθών σε στερεά γεωµετρικά σχήµατα.α) Κύβος ακμής α. • Εμβαδόν ολικής επιφάνειας: Εολ = 6α2 . • Όγκος: V = α3 .β) Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με ακμές α, β, γ. • Εμβαδόν ολικής επιφάνειας: Εολ = 2αβ + 2βγ + 2γα . • Όγκος: V = α ⋅ β ⋅ γ .γ) Σφαίρα ακτίνας ρ.• Εμβαδόν επιφάνειας: Ε = 4πρ2 .• Όγκος: V= 4 πρ3 . 3Παρατήρηση. Άλλα στερεά γεωμετρικά σχήματα (και σχέσεις που αφορούν εμβαδά επιφάνειας, παρά-πλευρης επιφάνειας, όγκους κ.λπ) αν και υπάρχουν, είναι εκτός του πνεύματος των Πανελληνίων Εξε-τάσεων. Σε κάθε περίπτωση, αν δοθεί άσκηση με τέτοιο σχήμα, θα δίνονται στην εκφώνηση οι απαραί-τητες σχέσεις, οπότε εργαζόμαστε ανάλογα. 4. Σχέσεις µεγεθών σε ασκήσεις µε συναρτήσεις, ευθείες, εφαπτοµένες, κύκλους.Αναφέρονται μόνο μερικές βασικές ενδεικτικές σχέσεις. Όλες οι υπόλοιπες σχέσεις που γνωρίζουμε ισ-χύουν και εφαρμόζονται ανάλογα.α) Εξίσωση ευθείας με συντελεστή διεύθυνσης λ: y = λx + β .β) Γενική εξίσωση ευθείας: Αx + By + Γ = 0 , με Α ≠ 0 ή Β ≠ 0 .γ) Εξίσωση κύκλου με κέντρο Ο(0, 0) και ακτίνα ρ: x2 + y2 = ρ2 .δ) Απόσταση σημείων Α(xA , yΑ) , B(xΒ , yΒ) : (ΑΒ) = (xΒ − xΑ)2 + (yΒ − yΑ)2 .ε) Τύπος συνάρτησης: y = f(x) . 5. Σχέσεις µεγεθών σε προβλήµατα γωνίας.Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας θ, καθορίζονται από τις σχέσεις ηµθ = y , συνθ = x , εϕθ = y .Οι τύποι αυτοί εφαρμόζονται, για παράδειγμα: ρ ρ xα) Σε ορθογώνιο τρίγωνο.Σε αυτήν την περίπτωση, x και y είναι οι κάθετες πλευρές, ρ είναι η υποτείνουσα του ορθογωνίου τρι-γώνου και θ είναι μία οξεία γωνία του.β) Σε σύστημα αξόνων.Εδώ, θ είναι γωνία με κορυφή την αρχή των αξόνων και αρχική πλευρά τον θετικό ημιάξονα Ox. Τότε xκαι y είναι οι συντεταγμένες σημείου Μ(x, y) της τελικής πλευράς της γωνίας θ, με ΟΜ = ρ.Βασικές τριγωνομετρικές σχέσεις που μπορούν να αξιοποιηθούν σε τέτοια προβλήματα είναι -8 - Θανάσης Νικολόπουλος, καθηγητής Μαθηµατικών

Μαθηµατικά Γ΄Λυκείου • Διαφορικός Λογισµός Ρυθµός µεταβολής • Β΄ΜΕΡΟΣ • Μεθοδολογία ασκήσεων ηµ2θ + συν2θ = 1 , εϕθ = ηµθ , σϕθ = συνθ , 1 = 1 + εϕ2θ . συνθ ηµθ συν2θ6. Σχέσεις µεγεθών σε οικονοµικά προβλήµατα.Οι συναρτήσεις κόστους παραγωγής, Κ(x), είσπραξης, Ε(x), και κέρδους, Ρ(x), από την πώληση x μονά-δων ενός προϊόντος συνδέονται με την σχέση Ρ(x) = E(x) ­ K(x). 4ο ΒΗΜΑ Παραγωγίζουµε όποιες από τις σχέσεις περιέχουν το µέγεθος του οποίου τον ρυθµό µεταβολής ψάχνουµε, ώστε από αυτές να προκύψει ο ζητούµενος ρυθµός µεταβολής. 1η κατηγορία Μεγέθη που μεταβάλλονται συναρτήσει του χρόνου.Έχουμε πει ότι, τα μεγέθη που μεταβάλλονται, εφόσον συνδέονται μεταξύ τους, μπορεί να έχουν τον ρό-λο είτε της ανεξάρτητης είτε της εξαρτημένης μεταβλητής. Ταυτόχρονα όμως, εφόσον μεταβάλλονται συ-ναρτήσει του χρόνου, μπορούν να εκφραστούν με συναρτήσεις της μορφής f(t).Στην περίπτωση αυτή, οι διάφορες εξισώσεις και σχέσεις που είδαμε στο 3ο βήμα, περιέχουν συναρτή-σεις με μεταβλητή τον χρόνο. Η παραγώγιση αυτών κατά μέλη, οδηγεί σε πολύ χρήσιμες σχέσεις για τηνλύση των ασκήσεων.Στην συνέχεια θα δεις πώς διαμορφώνονται οι σχέσεις και πώς προκύπτουν οι ρυθμοί μεταβολής ωςπρος τον χρόνο για διάφορα μεγέθη, ενδεικτικά, από τις αντίστοιχες παραγωγίσεις, στις βασικότερεςπεριπτώσεις. 1. Ρυθµοί µεταβολής σε επίπεδα γεωµετρικά σχήµατα.α) Τρίγωνο με πλευρές α, β, γ.Ι. Περίμετρος: Π(t) = α(t) + β(t) + γ(t) . Ρυθμός μεταβολής της: Π′(t) = α′(t) + β′(t) + γ′(t) .II. Εμβαδόν: Ε(t) = 1 ⋅ α(t) ⋅ υα(t) . Ρυθμός μεταβολής 2 1 ⋅ ⎢⎡⎣α′(t) ⋅ υα(t) + α(t) ⋅ υα′(t)⎤⎦⎥ του: Ε′(t) = 2 .β) Ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς α. Ι. Περίμετρος: Π(t) = 3α(t) . Ρυθμός μεταβολής της: Π′(t) = 3α′(t) .ΙΙ. Εμβαδόν: Ε(t) = α2(t) ⋅ 3 . 4 3 Ρυθμός μεταβολής του: E′(t) = 2 ⋅ α(t) ⋅ α′(t) .γ) Τετράγωνο πλευράς α. Ι. Περίμετρος: Π(t) = 4α(t) . Ρυθμός μεταβολής της: Π′(t) = 4α′(t) . -9 - Θανάσης Νικολόπουλος, καθηγητής Μαθηµατικών

Μαθηµατικά Γ΄Λυκείου • Διαφορικός Λογισµός Ρυθµός µεταβολής • Β΄ΜΕΡΟΣ • Μεθοδολογία ασκήσεων II. Εμβαδόν: E(t) = α2(t) . Ρυθμός μεταβολής του: E′(t) = 2 ⋅ α(t) ⋅ α′(t) .δ) Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με πλευρές α, β. Ι. Περίμετρος: Π(t) = 2α(t) + 2β(t) . Ρυθμός μεταβολής της: Π′(t) = 2α′(t) + 2β′(t) . ΙΙ. Εμβαδόν: E(t) = α(t) ⋅ β(t) . Ρυθμός μεταβολής του: E′(t) = α′(t) ⋅ β(t) + α(t) ⋅ β′(t) .ε) Πλάγιο παραλληλόγραμμο με πλευρές α, β. Ι. Περίμετρος: Π(t) = 2α(t) + 2β(t) . Ρυθμός μεταβολής της: Π′(t) = 2α′(t) + 2β′(t) . ΙΙ. Εμβαδόν: E(t) = α(t) ⋅ υα(t) = β(t) ⋅ υβ(t) . Ρυθμός μεταβολής του: E′(t) = α′(t) ⋅ υα(t) + α(t) ⋅ υα′(t) = β′(t) ⋅ υβ(t) + β(t) ⋅ υβ′(t) .στ) Κύκλος ακτίνας ρ. Ι. Μήκος κύκλου: L(t) = 2π ⋅ ρ(t) . Ρυθμός μεταβολής του: L′(t) = 2π ⋅ ρ′(t) . ΙΙ. Εμβαδόν κυκλικού δίσκου: E(t) = π ⋅ ρ2(t) . Ρυθμός μεταβολής του: E′(t) = 2π ⋅ ρ(t) ⋅ ρ′(t) .Ανάλογα εργαζόμαστε και για οποιοδήποτε άλλο επίπεδο γεωμετρικό σχήμα, στηριζόμενοι είτε σε γνω-στούς τύπους είτε σε τύπους που θα δίνονται στην εκφώνηση της άσκησης.Σχόλιο. Για τους ρυθμούς μεταβολής περιμέτρων και εμβαδών που αναφέρθηκαν, οι σχετικοί τύποιδείχνουν τα αποτελέσματα των παραγωγίσεων και μόνο. Δεν πρέπει να θεωρούνται γνωστοί, υπό τηνέννοια ότι δεν μπορούν να γραφούν άμεσα σε επίσημο γραπτό. Η παραγώγιση κάθε τύπου πρέπει ναγίνεται αναλυτικά. Το σχόλιο αυτό ισχύει αυτούσιο και για τους αντίστοιχους τύπους που θα δεις στηνσυνέχεια. 2. Ρυθµοί µεταβολής σε στερεά γεωµετρικά σχήµατα.α) Κύβος ακμής α. Ι. Εμβαδόν ολικής επιφάνειας: E(t) = 6α2(t) . Ρυθμός μεταβολής του: E′(t) = 12 ⋅ α(t) ⋅ α′(t) . ΙΙ. Όγκος: V(t) = α3(t) . Ρυθμός μεταβολής του: V′(t) = 3 ⋅ α2(t) ⋅ α′(t) .β) Σφαίρα ακτίνας ρ.Ι. Εμβαδόν ολικής επιφάνειας: E(t) = 4π ⋅ ρ2(t) . Ρυθμός μεταβολής του: E′(t) = 8π ⋅ ρ(t) ⋅ ρ′(t) .II. Όγκος: V(t) = 4 ⋅ π ⋅ ρ3(t) . 3 Ρυθμός μεταβολής του: V′(t) = 4π ⋅ ρ2(t) ⋅ ρ′(t) . - 10 - Θανάσης Νικολόπουλος, καθηγητής Μαθηµατικών

Μαθηµατικά Γ΄Λυκείου • Διαφορικός Λογισµός Ρυθµός µεταβολής • Β΄ΜΕΡΟΣ • Μεθοδολογία ασκήσεωνΑνάλογα εργαζόμαστε και για οποιοδήποτε άλλο στερεό γεωμετρικό σχήμα, στηριζόμενοι είτε σε γνω-στούς τύπους είτε σε τύπους που θα δίνονται στην εκφώνηση της άσκησης. 3. Ρυθµοί µεταβολής συντεταγµένων σηµείου, που κινείται σε κυκλική τροχιά.Αν έχουμε σημείο M(x, y), που κινείται πάνω σε κύκλο με εξίσωση της μορφής x2 + y2 = ρ2 , και οι συ-ντεταγμένες του μεταβάλλονται σύμφωνα με συναρτήσεις της μορφής x(t), y(t), τότε ισχύει ότιx2(t) + y2(t) = ρ2 .Παραγωγίζοντας βρίσκουμε 2x(t) ⋅ x′(t) + 2y(t) ⋅ y′(t) = (ρ2)′ , δηλαδή x(t) ⋅ x′(t) + y(t) ⋅ y′(t) = 0 . 4. Ρυθµός µεταβολής γωνίας.Προσοχή θέλει η περίπτωση γωνίας θ, που μεταβάλλεται συναρτήσει του χρόνου και της οποίας ψάχ-νουμε τον ρυθμό μεταβολής. Το βασικό που πρέπει να θυμόμαστε είναι ότι, στο 99,9% των περιπτώσε-ων, δεν βρίσκουμε συνάρτηση που να υπολογίζει άμεσα την γωνία! Πάντα η γωνία μας θα βρίσκεται μέ-σα σε κάποιον τριγωνομετρικό αριθμό, συνεπώς ο ζητούμενος ρυθμός μεταβολής θα προκύπτει από πα-ραγώγιση σύνθετης τριγωνομετρικής συνάρτησης.Δύο κλασσικές περιπτώσεις είναι οι ακόλουθες: 1η περίπτωση. Επίκεντρη γωνία σε κύκλο ή οξεία γωνία ορθογωνίου τριγώνου.Στην περίπτωση αυτή, η ακτίνα, ρ, του κύκλου ή η υποτείνουσα, ρ, του ορθογωνίου τριγώνου, παραμέ-νουν σταθερές. Τότε έχουμε:Ι. Η σχέση ηµθ = y γίνεται ηµθ(t) = y(t) και παραγωγίζοντας βρίσκουμε ρ ρ ⎣⎡⎢ηµθ(t)⎦⎥⎤′ = ⎢⎡⎣⎢ y(t) ⎤⎥⎥⎦′ ⇒ συνθ(t) ⋅ θ′(t) = 1 ⋅ y′(t) ⇒ θ′(t) = 1 ⋅ 1 ⋅ y′(t) . ρ ρ ρ συνθ(t)Άρα ο ρυθμός μεταβολής, θ′(t0) , της γωνίας θ, την χρονική στιγμή t = t0 , είναι ίσος με θ′(t0) = 1 ⋅ 1 ⋅ y′(t0) . ρ συνθ(t 0 )ΙΙ. Η σχέση συνθ = x γίνεται συνθ(t) = x(t) και παραγωγίζοντας βρίσκουμε ρ ρ ⎢⎡⎣συνθ(t)⎦⎤⎥′ = ⎢⎡⎣⎢ x(t) ⎦⎥⎥⎤′ ⇒ −ηµθ(t) ⋅ θ′(t) = 1 ⋅ x′(t) ⇒ θ′(t) = − 1 ⋅ 1 ⋅ x′(t) . ρ ρ ρ ηµθ(t)Άρα ο ρυθμός μεταβολής, θ′(t0) , της γωνίας θ, την χρονική στιγμή t = t0 , είναι ίσος με θ′(t0) = − 1 ⋅ 1 ⋅ x′(t0) . ρ ηµθ(t 0 )ΙΙΙ. Η σχέση εϕθ = y γίνεται εϕθ(t) = y(t) και παραγωγίζοντας βρίσκουμε x x(t) ⎡⎣⎢εϕθ(t)⎦⎤⎥′ = ⎢⎡⎢⎣ y(t) ⎤⎥⎥⎦′ ⇒ 1 ⋅ θ′(t) = y′(t) ⋅ x(t) − y(t) ⋅ x′(t) x(t) συν2θ(t) x2(t)ή ⎡⎣⎢1 + εϕ2θ(t)⎤⎦⎥ ⋅ θ′(t) = y′(t) ⋅ x(t) − y(t) ⋅ x′(t) , x2(t) - 11 - Θανάσης Νικολόπουλος, καθηγητής Μαθηµατικών

Μαθηµατικά Γ΄Λυκείου • Διαφορικός Λογισµός Ρυθµός µεταβολής • Β΄ΜΕΡΟΣ • Μεθοδολογία ασκήσεωνοπότε θ′(t) = συν2θ(t) ⋅ y′(t) ⋅ x(t) − y(t) ⋅ x′(t)ή x2(t) θ′(t) = 1 ⋅ y′(t) ⋅ x(t) − y(t) ⋅ x′(t) . 1 + εϕ2θ(t) x2(t)Άρα ο ρυθμός μεταβολής, θ′(t0) , της γωνίας θ, την χρονική στιγμή t = t0 , είναι ίσος μεθ′(t0) = συν2θ(t0) ⋅ y′(t0) ⋅ x(t0) − y(t0) ⋅ x′(t0) ή θ′(t0) = 1 ⋅ y′(t0) ⋅ x(t0) − y(t0) ⋅ x′(t0) . x2(t0) 1 + εϕ2θ(t0) x2(t0)Σχόλιο. Στην περίπτωση ΙΙΙ, χρησιμοποιήθηκε η τριγωνομετρική ταυτότητα 1 = 1 + εϕ2θ . συν2θΣε άσκηση με ρυθμό μεταβολής γωνίας, προφανώς αρκεί να επιλέξουμε μία από τις παραπάνω περι-πτώσεις, όποια κρίνουμε ευκολότερη ή καταλληλότερη, ανάλογα με τα δεδομένα της άσκησης. Συνήθωςπροτιμάται η χρήση του ημιτόνου ή του συνημιτόνου, διότι οδηγεί σε πιο εύκολες πράξεις, χάρη στονσταθερό παρονομαστή. 2η περίπτωση. Γωνία σε ορθογώνιο τρίγωνο, με μία κάθετη πλευρά σταθερή.Σε ορθογώνιο τρίγωνο, με πλευρές x, y και υποτείνουσα ρ, αν κάποια από τις κάθετες πλευρές είναισταθερή, τότε θα την αντικαταστήσουμε με την σταθερή της τιμή και οι προηγούμενοι τύποι θα οδηγή-σουν σε σαφώς απλούστερες πράξεις και παραστάσεις.Σε τέτοιες περιπτώσεις, συνήθως προτιμούμε να χρησιμοποιούμε την εφθ, ώστε να αξιοποιείται η σταθε-ρή πλευρά.Για παράδειγμα, η σχέση εϕθ = y , όταν η πλευρά x είναι σταθερή, γίνεται εϕθ(t) = y(t) και παρα-γωγίζοντας βρίσκουμε x x ⎣⎡⎢εϕθ(t)⎤⎦⎥′ = ⎡⎣⎢⎢ y(t) ⎤⎦⎥⎥′ ⇒ 1 ⋅ θ′(t) = 1 ⋅ y′(t) ⇒ θ′(t) = 1 ⋅ συν2θ(t) ⋅ y′(t) . x συν2θ(t) x xΦυσικά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και τα ημθ, συνθ με αντίστοιχο τρόπο.Παρατήρηση. Αν τα δεδομένα της άσκησης μάς βοηθούν να βρούμε άμεσα κάποιον από τους τριγωνο-μετρικούς αριθμούς ημθ(t), συνθ(t) ή εφθ(t), για συγκεκριμένη χρονική στιγμή t0 , τότε θα χρησιμοποιή-σουμε την αντίστοιχη σχέση, γιατί θα οδηγηθούμε σε απλούστερες πράξεις. Τέτοιες περιπτώσεις έχουμε,π.χ., σε τρίγωνο, που κάποια χρονική στιγμή γίνεται ισόπλευρο ή ορθογώνιο και ισοσκελές:• Τρίγωνο που, την χρονική στιγμή t0 , γίνεται ισόπλευρο.Αν ένα τρίγωνο, σε κάποια χρονική στιγμή t0 , γίνεται ισόπλευρο, τότε θα έχει τρεις γωνίες ίσες μεπ rad, συνεπώς θα ισχύει, για όλες τις γωνίες του, ότι3 ηµθ(t0) = ηµ π = 3 , συνθ(t0) = συν π = 1 , εϕθ(t0) = εϕ π = 3. 3 2 3 2 3• Τρίγωνο που, την χρονική στιγμή t0 , γίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές.οΑρνθπήάγλωινέίναακταριίγδωύονοα, κσόεμκαάίπσοειςαμχεροπ4νικήraσdτιηγμκήαθtε0μ, ίγαί,νοειποόρτεθογγιώαντιιος και ισοσκελές, τότε θα έχει μία οξείες γωνίες του θα ισχύουν - 12 - Θανάσης Νικολόπουλος, καθηγητής Μαθηµατικών

Μαθηµατικά Γ΄Λυκείου • Διαφορικός Λογισµός Ρυθµός µεταβολής • Β΄ΜΕΡΟΣ • Μεθοδολογία ασκήσεων ηµθ(t0) = ηµ π = 2 , συνθ(t0) = συν π = 2 , εϕθ(t0) = εϕ π =1. 4 2 4 2 4 2η κατηγορία Μεγέθη που μεταβάλλονται ως προς άλλη μεταβλητή (εκτός του χρόνου).Όταν η ανεξάρτητη μεταβλητή δεν είναι ο χρόνος, αλλά κάποιο άλλο από τα μεγέθη της άσκησης, τότεοι αντίστοιχοι ρυθμοί μεταβολής προκύπτουν από τις παραγωγίσεις των αντίστοιχων συναρτήσεων καισχέσεων, όπως εκφράζονται ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητή. Ενδεικτικά αναφέρονται οι ακόλουθεςπεριπτώσεις (οι υπόλοιπες διαμορφώνονται ανάλογα, σύμφωνα με τα δεδομένα της άσκησης):α) Ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς α. Ι. Περίμετρος: Π(α) = 3α . Ρυθμός μεταβολής της: Π′(α) = 3 .ΙΙ. Εμβαδόν: Ε(α) = α2 ⋅ 3 . 4 Ρυθμός μεταβολής του: Ε′(α) = 3 2 ⋅α .β) Τετράγωνο πλευράς α.Ι. Περίμετρος: Π(α) = 4α . Ρυθμός μεταβολής της: Π′(α) = 4 .ΙΙ. Εμβαδόν: Ε(α) = α2 . Ρυθμός μεταβολής του: Ε′(α) = 2α .γ) Κύκλος ακτίνας ρ. Ι. Μήκος κύκλου: L(ρ) = 2πρ . Ρυθμός μεταβολής του: L′(ρ) = 2π . ΙΙ. Εμβαδόν κυκλικού δίσκου: Ε(ρ) = πρ2 . Ρυθμός μεταβολής του: Ε′(ρ) = 2πρ .δ) Κύβος ακμής α. Ι. Εμβαδόν ολικής επιφάνειας: Ε(α) = 6α2 . Ρυθμός μεταβολής του: Ε′(α) = 12α . ΙΙ. Όγκος: V(α) = α3 . Ρυθμός μεταβολής του: V′(α) = 3α2 .ε) Σφαίρα ακτίνας ρ.Ι. Εμβαδόν επιφάνειας: Ε(ρ) = 4πρ2 . Ρυθμός μεταβολής του: Ε′(ρ) = 8πρ .ΙΙ. Όγκος: V(ρ) = 4 πρ3 . 3 Ρυθμός μεταβολής του: V′(ρ) = 4πρ2 . - 13 - Θανάσης Νικολόπουλος, καθηγητής Μαθηµατικών

Μαθηµατικά Γ΄Λυκείου • Διαφορικός ΛογισµόςΡυθµός µεταβολής • Β΄ΜΕΡΟΣ • Μεθοδολογία ασκήσεων 5ο ΒΗΜΑΑν ζητούµε τον ρυθµό µεταβολής για µια συγκεκριµένη τιµή της ανεξάρτητηςµεταβλητής, αντικαθιστούµε τις τιµές από τα δεδοµένα της άσκησης και τυχόν σχετικά ευρήµατά µας, µε προσοχή στις µονάδες µέτρησης.Ο ρυθμός μεταβολής είναι, ως γνωστόν, συνάρτηση (συγκεκριμένα, είναι η παράγωγος της συνάρτησηςπου περιγράφει το μεταβαλλόμενο μέγεθος στην άσκηση). Άρα υπάρχουν δύο περιπτώσεις:1η περίπτωση. Να ζητείται ο ρυθμός μεταβολής γενικά.Στην περίπτωση αυτή, θυμόμαστε ότι ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του μεγέθους y = f(x) ως προς τομέγεθος x, την παράγωγο f′(x) . Άρα στην περίπτωση αυτή, αυτό που ζητείται είναι ο τύπος της παρα-γώγου, f′(x) . Πολύ συχνά σε τέτοιες περιπτώσεις, το αποτέλεσμα είναι ένας σταθερός ρυθμός μεταβο-λής, δηλαδή μία σταθερή συνάρτηση.2η περίπτωση. Να ζητείται ο ρυθμός μεταβολής για μία συγκεκριμένη τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής.Στην περίπτωση αυτή, θυμόμαστε ότι ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του μεγέθους y = f(x) ως προς x,για x = x0 , την τιμή f′(x0) . Άρα στην περίπτωση αυτή ζητείται ένα αριθμητικό αποτέλεσμα (συγκεκρι-μένα, ο αριθμός f′(x0) ).Προσοχή! Το αποτέλεσμα αυτό πρέπει να συνοδεύεται από κατάλληλη μονάδα μέτρησης!Σε κάθε περίπωση, αυτό που έχουμε να κάνουμε είναι να επιλέξουμε όποιες από τις σχέσεις περιέχουντον ζητούμενο ρυθμό μεταβολής, να αντικαταστήσουμε τα όποια δεδομένα της άσκησης και ευρήματάμας και να βρούμε το ζητούμενο αποτέλεσμα, πάντα με προσοχή στις μονάδες μέτρησης.Συνήθως ονομάζουμε tτ0ι,μτέηςνγχιαροκνάικπήοισατιαγπμήό, ή xμ0ε,γτέηθνη τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής για την οποίαέχουμε συγκεκριμένες τα της άσκησης. Τότε μπορούμε, σε κάθε σχέσηπου έχουμε βρει, να θέσουμε όπου t το t0 ή όπου x το x0 . Στην συνέχεια αντικαθιστούμε κάθε γνωστόμέγεθος ή μέγεθος που βρήκαμε κατά την λύση και με πράξεις καταλήγουμε στο ζητούμενο αποτέλεσ-μα. Σημαντικές παρατηρήσεις!1. Σε πολλές ασκήσεις, μας δίνεται ως δεδομένο ότι «ο ρυθμός μεταβολής ενός μεγέθους είναι» ή «έναμέγεθος μεταβάλλεται με ρυθμό», ακολουθούμενο από δεδομένο της μορφής «αριθμητική τιμή, συνοδευόμενη από μονάδα μέτρησης».Π.χ., 2 m/s ή 3 cm²/s ή 20 km/h κ.λπ.Προσοχή! Ελλείψει άλλων στοιχείων (προσήμου ή εκφραστικής διευκρίνισης), το δεδομένο μας αφοράαριθμητική και όχι αλγεβρική τιμή! Αυτό σημαίνει ότι, τόσο το δεδομένο μας, όσο και τα αποτελέσματαπου θα βρούμε βάσει αυτού, εκφράζουν αριθμητικές τιμές, άρα μας πληροφορούν για το μέγεθος καιόχι για το είδος της μεταβολής!Εδώ πρέπει να σημειώσουμε το εξής: Οι εκφράσεις «μεταβάλλεται» / «αυξάνεται» / «μειώνεται»σημαίνουν τρία διαφορετικά πράγματα. Για την ακρίβεια, η έκφραση «μεταβάλλεται» συμπεριλαμβάνεικαι τις δύο περιπτώσεις ενός μεγέθους που «αυξάνεται» ή «μειώνεται»!Πράγματι· η μεταβολή ενός μεγέθους μπορεί να είναι αύξησή του, οπότε η δεδομένη αριθμητική τιμήτου ταυτίζεται με την αλγεβρική του τιμή και το πρόσημο «+» (που εννοείται, αλλά δεν αναφέρεται)εκφράζει την αύξηση του μεγέθους. Μπορεί, όμως, κάλλιστα να είναι και μείωσή του, οπότε από την - 14 - Θανάσης Νικολόπουλος, καθηγητής Μαθηµατικών

Μαθηµατικά Γ΄Λυκείου • Διαφορικός ΛογισµόςΡυθµός µεταβολής • Β΄ΜΕΡΟΣ • Μεθοδολογία ασκήσεωναριθμητική του τιμή που μας δίνεται, βρίσκουμε την αλγεβρική του τιμή, η οποία θα έχει πρόσημο «­»,ώστε να εκφράζει την μείωση του μεγέθους.Πώς καταλαβαίνουμε λοιπόν, σε ποια περίπτωση εμπίπτει η άσκησή μας και πώς προχωράμε;Η απάντηση, όπως πάντα, προκύπτει από την εκφώνηση:α) Αν έχουμε δεδομένο που εκφράζεται με την φράση «το τάδε μέγεθος μεταβάλλεται με ρυθμό» ή«ο ρυθμός μεταβολής του τάδε μεγέθους είναι», ακολουθούμενο από αριθμητική τιμή (χωρίς πρόσημο),τότε θα ακολουθήσουμε εκφραστικά την εκφώνηση του θέματος και θα διατυπώσουμε το αποτέλεσμάμας με αριθμητικές τιμές, χωρίς πρόσημο.Να σημειώσουμε εδώ, ότι στις περισσότερες ασκήσεις τα μεγέθη ακολουθούν τους ίδιους τύπους μετα-βολής. Για παράδειγμα, σε ένα σχήμα μπορεί να αυξάνεται το μήκος μιας πλευράς του και να προκαλείμε την σειρά του, αύξηση μεγεθών, όπως η περίμετρος ή το εμβαδόν του.Άλλο συνηθισμένο είδος θεμάτων έχει να κάνει με την γραφική παράσταση συνάρτησης, όπου ένα ση-μείο κινείται και, καθώς οι συντεταγμένες του αυξάνονται ή μειώνονται, σχηματίζονται χωρία των οποί-ων, π.χ., το εμβαδόν αυξάνεται ή μειώνεται με τον ίδιο τρόπο. Σε μία τέτοια περίπτωση, τα αποτελέσ-ματά μας θα είναι ομόσημα (συνήθως θετικά) και αυτό θα εκφράζει τον όμοιο τρόπο μεταβολής των με-γεθών.Αυτό βέβαια δεν συμβαίνει πάντα, καθώς, π.χ., σε ορθογώνιο σταθερού εμβαδού, η αύξηση της μίαςπλευράς του προκαλεί μείωση της άλλης, άρα οι ρυθμοί μεταβολής τους θα έχουν διαφορετικά πρόση-μα! Σε μία τέτοια περίπτωση τα αποτελέσματά μας θα είναι ετερόσημα, αλλά εδώ το διαφορετικό πρό-σημο έχει το νόημα του διαφορετικού τρόπου μεταβολής (αύξησης ή μειωσης) μεταξύ δεδομένου καιζητούμενου μεγέθους.Άρα, αν η εκφώνηση χρησιμοποιεί το ρήμα «μεταβάλλεται», τότε λύνουμε χωρίς πρόσημα, χρησιμοποι-ούμε κι εμείς το «μεταβάλλεται» και προχωράμε με αριθμητικές τιμές.β) Αν η εκφώνηση μιλάει για «αύξηση» ή «μείωση», τότε μπορούμε να συμπληρώσουμε την δεδομένητιμή ρυθμού μεταβολής με το αντίστοιχο πρόσημο («+» ή «­») και να προχωρήσουμε κανονικά. Εδώθέλει προσοχή και το πρόσημο του αποτελέσματος καθώς, με την σειρά του, θα εκφράζει το είδος τηςμεταβολής του ζητούμενου μεγέθους.Σε κάθε περίπτωση, αν δεν μας δίνεται το είδος της μεταβολής κάποιου μεγέθους και θεωρούμε ότι εί-ναι κρίσιμο για την λύση του θέματος, τότε οφείλουμε άμεσα να ζητήσουμε διευκρίνιση! Μία απλή ερώ-τηση του τύπου «η μεταβολή αυτή είναι μόνο αύξηση ή όχι;» ή «ποιο είναι το πρόσημο του δεδομένουρυθμού μεταβολής;» αρκεί για να δοθεί το μήνυμα προς την εξεταστική επιτροπή ότι εδώ νομίζουμεπως υπάρχει έλλειμα σαφήνειας και να δοθεί η απαραίτητη διευκρίνιση. Αν έρθει αυτή, προσαρμόζουμετην απάντησή μας αναλόγως. Αν όχι, προχωράμε χρησιμοποιώντας την γενική έκφραση «μεταβολή» καιαποφεύγοντας την χρήση προσήμων, όπως συστήσαμε παραπάνω.Όλα τα παραπάνω, καθώς και τρόπους αντιμετώπισής τους, θα τα δούμε αναλυτικά στα θέματα πουακολουθούν.2. Για τα σημεία που κινούνται πάνω σε γραφικές παραστάσεις ή γραμμές, και εφόσον στην εκφώνησητου θέματος δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, θα εννοείται ότι οι συναρτήσεις x(t), y(t) που προσδιορί-ζουν τις συντεταγμένες τους ως προς τον χρόνο t, είναι παραγωγίσιμες. Την παραδοχή αυτή μπορούμενα χρησιμοποιήσουμε, χωρίς ειδική αναφορά. Συνεπώς, κάθε φορά που βρίσκουμε μία σχέση ή έναν τύ-πο συνάρτησης που περιέχει μέσα συναρτήσεις της μορφής x(t), y(t) που περιγράφουν συντεταγμένεςκάποιου σημείου της άσκησης, μπορούμε να θεωρούμε αυτές παραγωγίσιμες και να προχωράμε στηνπαραγώγιση των συναρτήσεων ή σχέσεων που τις περιέχουν.3. Πρέπει να προσέχουμε τι ζητείται και τι δεν ζητείται σε μία άσκηση!Όταν ζητείται η τιμή ενός ρυθμού μεταβολής, για αtρ=ιθtμ0ητήικxή =τιμx0ή, τότε δεν ζητείται να βρούμε την πα-ράγωγο συνάρτηση του μεγέθους, αλλά μόνο μία της. Η συνάρτηση αυτή μπορεί να εί-ναι πολύ δύσκολο (ή και αδύνατο) να βρεθεί. Αν, όμως, εμπλέκεται, π.χ., σε μία σύνθετη συνάρτηση, - 15 -Θανάσης Νικολόπουλος, καθηγητής Μαθηµατικών

Μαθηµατικά Γ΄Λυκείου • Διαφορικός Λογισµός Ρυθµός µεταβολής • Β΄ΜΕΡΟΣ • Μεθοδολογία ασκήσεωντότε η παραγώγιση με τον κανόνα της αλυσίδας θα μας εμφανίσει τον ζητούμενο ρυθμό μεταβολής καιη αντικατάσταση με τα γνωστά μεγέθη θα μας επιτρέψει να υπολογίσουμε το ζητούμενο. Το παραπάνωαξιοποιείται, π.χ., σε ασκήσεις που δίνεται ή ζητείται ρυθμός μεταβολής γωνίας.4. Προσέχουμε πάντα τις μονάδες μέτρησης! Παράδειγµα 6.Το μήκος ενός ορθογωνίου αυξάνεται με ρυθμό 5 cm/s, ενώ το πλάτος του ελαττώνεται με ρυθμό3 cm/s. Να βρεθούν:α) ο ρυθμός μεταβολής της περιμέτρου του ορθογωνίου.β) ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του ορθογωνίου, όταν το μήκος του είναι 2 cm και το πλάτος του είναι 1 cm.Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, «Μαθηματικά Γ΄ Κατεύθυνσης 2015-6», lisari.blogspot.gr Λύση.Το συγκεκριμένο παράδειγμα αποτελεί εφαρμογή του ρυθμού μεταβολής σε βασικό επίπεδο γεωμετρικόσχήμα (συγκεκριμένα, ορθογώνιο). Έχουμε ρυθμούς μεταβολής τόσο στα δεδομένα, όσο και στα ζητού-μενα, για όλα σχεδόν τα μεγέθη του ορθογωνίου: πλευρές, περίμετρο και εμβαδόν!Οι διαστάσεις του ορθογωνίου μεταβάλλονται συναρτήσει του χρόνου, άρα προσδιορίζονται από συναρ-τήσεις της μορφής μ(t) και π(t), για το μήκος και το πλάτος του ορθογωνίου αντίστοιχα.Τότε, από τα δεδομένα της άσκησης, έχουμε ότι ισχύουν µ′(t) = 5 cm / s και π′(t) = −3 cm / s .Έχει σημασία εδώ να παρατηρήσουμε ότι οι παραπάνω ρυθμοί μεταβολής δεν αφορούν συγκεκριμένηχρονική στιγμή, αλλά παραμένουν σταθεροί για κάθε χρονική στιγμή! Γι’ αυτό και οι τύποι δεν αναφέ-ρονται σε συγκεκριμένη χρονική στιγμή t0 , αλλά στον χρόνο t.α) Η περίμετρος του ορθογωνίου, έστω L, δίνεται από την σχέση L = 2μ + 2π.Αφού μήκος και πλάτος του ορθογωνίου μεταβάλλονται συναρτήσει του χρόνου t, το ίδιο θα συμβαίνεικαι για την περίμετρο. Άρα αυτή θα προσδιορίζεται από συνάρτηση της μορφής L(t), με τύπο L(t) = 2μ(t) + 2π(t).Παραγωγίζοντας, βρίσκουμε ότι ο ρυθμός μεταβολής της περιμέτρου θα είναι L′(t) = 2µ′(t) + 2π′(t) .Αντικαθιστώντας τα δεδομένα μας, βρίσκουμε ότι L′(t) = 2 ⋅ 5 + 2 ⋅ (−3) = 4 cm / s .Παρατηρούμε ότι και η περίμετρος, όπως και το μήκος και το πλάτος του ορθογωνίου, έχει σταθερόρυθμό μεταβολής.Άρα ο ζητούμενος ρυθμός μεταβολής της περιμέτρου του ορθογωνίου είναι σταθερός και ίσος με+4 cm/s.β) Το εμβαδόν, Ε, του ορθογωνίου δίνεται από την σχέση Ε = μ·π.Αφού μήκος και πλάτος του ορθογωνίου μεταβάλλονται συναρτήσει του χρόνου, το ίδιο θα συμβαίνεικαι για το εμβαδόν. Άρα αυτό θα προσδιορίζεται από συνάρτηση της μορφής E(t), με τύπο E(t) = µ(t) ⋅ π(t) .Παραγωγίζοντας, βρίσκουμε ότι ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού θα είναι ⎡⎣⎢E(t)⎤⎦⎥′ = ⎡⎢⎣µ(t) ⋅ π(t)⎤⎥⎦′ ⇒ E′(t) = µ′(t) ⋅ π(t) + µ(t) ⋅ π′(t) . - 16 - Θανάσης Νικολόπουλος, καθηγητής Μαθηµατικών

Μαθηµατικά Γ΄Λυκείου • Διαφορικός Λογισµός Ρυθµός µεταβολής • Β΄ΜΕΡΟΣ • Μεθοδολογία ασκήσεωνΈστω t0 η χρονική στιγμή, κατά την οποία το μήκος του ορθογωνίου είναι 2 cm και το πλάτος του είναι1 cm. Τότε θα ισχύουν µε(ίtν0α)ι=µ2′(tc0m) =, π(t 0 ) =1 cm . Επιπλέον, για κάθε χρονική στιγμή t (άρα και γιατην χρονική στιγμή t0 ), 5 cm /s και π′(t0) = −3 cm /s.Άρα ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του ορθογωνίου, την χρονική στιγμή t0 , είναι ίσος μεE′(t0) = µ′(t0) ⋅ π(t0) + µ(t0) ⋅ π′(t0) , οπότε με αντικατάσταση των τιμών των μεγεθών που γνωρίζουμε,έχουμε E′(t0) = 5 ⋅1 + 2 ⋅ (−3) = −1 cm2 / s .Παρατήρηση. Η μονάδα μέτρησης του ζητούμενου ρυθμού μεταβολής της περιμέτρου, από την γενικήμορφή «μονάδα περιμέτρου (μήκους) / μονάδα χρόνου», εδώ θα γίνει cm/s, αφού από τα δεδομένα τηςεκφώνησης προκύπτει ότι οι αποστάσεις μετρώνται σε cm και ο χρόνος σε s (δευτερόλεπτα). Αντίστοι-χα, η μονάδα μέτρησης του ζητούμενου ρυθμού μεταβολής του εμβαδού, από την γενική μορφή «μονάδαεμβαδού / μονάδα χρόνου», εδώ θα γίνει cm²/s. - 17 - Θανάσης Νικολόπουλος, καθηγητής Μαθηµατικών



σ τΛο νυΡµυέθ µνόεΜς ε ταασβ οκλήή ςσ ε ι ς Γ΄ ΜΕΡΟΣ



Μαθηµατικά Γ΄Λυκείου • Διαφορικός Λογισµός Ρυθµός µεταβολής • Γ΄ΜΕΡΟΣ • Λυµένες ασκήσεις στον Ρυθµό Μεταβολής Άσκηση 1Η θέση ενός κινητού, το οποίο κινείται κατά μήκος ενός άξονα, την χρονική στιγμή t sec δίνεται από τοντύπο f(t) = t3 − 6t2 + 15t + 11 , 0 ≤ t ≤ 5 .α) Να βρεθεί η αρχική ταχύτητα του κινητού.β) Ποια χρονική στιγμή η ταχύτητά του είναι 6 μον/s;γ) Να βρεθεί η επιτάχυνση που έχει το κινητό την χρονική στιγμή t = 4 s, καθώς και η χρονική στιγμή που η επιτάχυνση είναι μηδέν.δ) Να βρείτε τα χρονικά διαστήματα, στα οποία η ταχύτητα του κινητού αυξάνεται και αυτά στα οποία η ταχύτητα του κινητού μειώνεται.Η άσκηση είναι μια απλή εφαρμογή κίνησης σώματος σε οριζόντιο άξονα. Η λύση της χρησιμοποιεί τουςορισμούς της ταχύτητας και της επιτάχυνσης, όπως αυτοί αναλύθηκαν στην θεωρία.α) Εφόσον η θέση του κινητού δίνεται από την συνάρτηση της εκφώνησης, η ταχύτητά του θα δίνεταιαπό την σχέση υ(t) = f′(t) = 3t2 − 12t + 15 , συνεπώς η αρχική ταχύτητα του κινητού, για t = 0 s, θα είναι υ(0) = 3 ⋅ 02 − 12 ⋅ 0 + 15 = 15 µον / s .Η άσκηση δίνει μονάδα μέτρησης για τον χρόνο (δευτερόλεπτα), αλλά δεν δίνει μονάδες μέτρησης γιατην θέση του κινητού. Έτσι χρησιμοποιούμε την έκφραση «μον» για να εννοήσουμε την μονάδα μέτρη-σης για την θέση του κινητού πάνω στον άξονα. Συνεπώς η μονάδα μέτρησης της ταχύτητας, από τηνγενική μορφή «μονάδα μεγέθους/μονάδα χρόνου» εδώ θα γίνει «μον/s».β) Έχουμε υ(t) = 6 ⇔ 3t2 − 12t + 15 = 6 ⇔ t2 − 4t + 5 = 2 ⇔ t2 − 4t + 3 = 0 ⇔ t = 1 ή t = 3 .Άρα η ταχύτητα είναι ίση με 6 μον/s τις χρονικές στιγμές t = 1 s και t = 3 s.Και οι δύο τιμές γίνονται δεκτές, αφού ανήκουν στο διάστημα [0, 5], που ορίζεται η συνάρτηση f.γ) Αφού η ταχύτητα δίνεται από τον τύπο υ(t) = 3t2 − 12t + 15 , η επιτάχυνση θα είναι ίση με α(t) = υ′(t) = 6t − 12 .Την χρονική στιγμή t = 4 s, η επιτάχυνση θα είναι ίση με α(4) = 6 ⋅ 4 − 12 = 12 µον / s2 .Με την ίδια συλλογιστική που αναπτύξαμε για την μονάδα μέτρησης της ταχύτητας, η μονάδα μέτρησηςτης επιτάχυνσης είναι «μον/s²».Η επιτάχυνση είναι ίση με μηδέν, όταν α(t) = 0 ⇔ 6t − 12 = 0 ⇔ t = 2 s .δ) Η ταχύτητα του κινητού αυξάνεται, όταν η επιτάχυνσή του είναι θετική, δηλαδή όταν α(t) > 0 ⇔ 6t − 12 > 0 ⇔ 6t > 12 ⇔ t > 2 .Αφού, επιπλέον, είναι 0 ≤ t ≤ 5 , η συναλήθευση των δύο ανισώσεων μάς δίνει ότι η επιτάχυνσή του εί-ναι θετική (δηλαδή η ταχύτητα αυξάνεται), όταν 2 < t ≤ 5 ⇔ t ∈ (2 , 5] .Αντίστοιχα, α(t) < 0 ⇔ 6t − 12 < 0 ⇔ t < 2 , οπότε η επιτάχυνση είναι αρνητική (δηλαδή η ταχύτητα μει-ώνεται), όταν 0 ≤ t < 2 ⇔ t ∈ [0 , 2) , αν λάβουμε υπόψη ότι t ∈ [0 , 5] . - 18 - Θανάσης Νικολόπουλος, καθηγητής Μαθηµατικών

Μαθηµατικά Γ΄Λυκείου • Διαφορικός Λογισµός Ρυθµός µεταβολής • Γ΄ΜΕΡΟΣ • Λυµένες ασκήσεις στον Ρυθµό Μεταβολής Άσκηση 2Το διάστημα (σε μέτρα) που διανύει ένα κινητό σε χρόνο t (σε δευτερόλεπτα) δίνεται από την συνάρ-τηση S(t) = t3 − 2t2 + 4t , 0 ≤ t ≤ 5 .α) Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της ταχύτητας του κινητού την χρονική στιγμή t.β) Να βρείτε την επιτάχυνση του κινητού την χρονική στιγμή t = 4 s.γ) Να αποδείξετε ότι το κινητό κινείται συνεχώς προς την ίδια κατεύθυνση και, στην συνέχεια, να υπο- λογίσετε το συνολικό διάστημα που θα διανύσει.δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο χρονικές στιγμές που η ταχύτητα παίρνει στην μία την ελάχιστη τιμή της και στην άλλη την μέγιστη τιμή της.Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει το ερώτημα (δ).α) Η ταχύτητα του κινητού, την εκάστοτε χρονική στιγμή t, είναι ο ρυθμός μεταβολής του διαστήματος,δηλαδή η συνάρτηση υ(t) = S′(t) = 3t2 − 4t + 4 , 0 ≤ t ≤ 5 .Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας του κινητού είναι η επιτάχυνσή του την εκάστοτε χρονική στιγμή t,δηλαδή η συνάρτηση α(t) = υ′(t) = 6t − 4 , 0 ≤ t ≤ 5 .β) Από το (α) βρήκαμε ότι η επιτάχυνση του κινητού, την χρονική στιγμή t, είναι α(t) = 6t − 4 , 0 ≤ t ≤ 5 .Θέτοντας t = 4 βρίσκουμε α(4) = 6 ⋅ 4 − 4 − 20 , οπότε η επιτάχυνση την χρονική στιγμή t = 4 s είναι20 m/s².γ) Το κινητό θα κινείται συνεχώς, αν η ταχύτητά του είναι σταθερά μη μηδενική, ενώ θα κινείται προςτην ίδια κατεύθυνση, αν η ταχύτητά του διατηρεί σταθερό πρόσημο.Η ταχύτητα του κινητού είναι υ(t) = 3t2 − 4t + 4 > 0 , για κάθε t ∈ ! , αφού το τριώνυμο έχει διακρίνου-σα (−4)2 − 4 ⋅ 3 ⋅ 4 = 16 − 48 = −32 < 0 , οπότε πράγματι το κινητό θα κινείται συνεχώς προς την ίδια κα-τεύθυνση.Το συνολικό διάστημα που θα διανύσει το κινητό, κινούμενο συνεχώς προς την ίδια κατεύθυνση, θα εί-ναι ίσο με Sολ = S(5) − S(0) = (53 − 2 ⋅ 52 + 4 ⋅ 5) − (03 − 5 ⋅ 02 + 4 ⋅ 0) = 95 m .δ) Το συγκεκριμένο ερώτημα έχει ένα παραπάνω ενδιαφέρον:από την εκφώνηση διαπιστώνουμε ότι δεν ζητείται να προσδιορίσουμε τις δύο χρονικές στιγμές που ικα-νοποιούν τις απαιτήσεις του ερωτήματος, αλλά απλώς να αποδείξουμε την ύπαρξή τους! Αυτό είναι έναπαράδειγμα ερωτήματος όπου προσέχουμε τι ζητείται, αλλά, ακόμα περισσότερο, τι δεν ζητείται. Ξεκα-θαρίζοντας αυτά, καταλαβαίνουμε ευκολότερα πώς θα λύσουμε το ερώτημα. Στο συγκεκριμένο ερώτη-μα, για να απαντήσουμε θα στηριχθούμε στο Θεώρημα Μέγιστης­Ελάχιστης Τιμής.Η συνάρτηση της ταχύτητας είναι η υ(t) = 3t2 − 4t + 4 , 0 ≤ t ≤ 5 , δηλαδή είναι συνεχής συνάρτηση (ωςπολυωνυμική) και ορίζεται σε κλειστό διάστημα.Άρα για την υ(t) ισχύει το θεώρημα Μέγιστης­Ελάχιστης Τιμής, οπότε υπάρχουν δύο χρονικές στιγμές,t1 , t2 ∈ [0 , 5] , ώστε µ ≤ υ(t) ≤ M , με υ(t1) = m και υ(t2) = M .Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν δύο χρονικές στιγμές στο χρονικό διάστημα [0, 5], στις οποίες η ταχύτηταπαίρνει στην μία την ελάχιστη τιμή της και στην άλλη την μέγιστη. - 19 - Θανάσης Νικολόπουλος, καθηγητής Μαθηµατικών

Μαθηµατικά Γ΄Λυκείου • Διαφορικός Λογισµός Ρυθµός µεταβολής • Γ΄ΜΕΡΟΣ • Λυµένες ασκήσεις στον Ρυθµό Μεταβολής Άσκηση 3Δύο αυτοκίνητα Α και Β κινούνται κατά μήκος δύο κάθετων οδών ΓΑ και ΓΒ, απομακρυνόμενα από τοΓ, με ταχύτητες 50 km/h και 100 km/h αντίστοιχα. Να βρείτε:α) μία συνάρτηση, που να δίνει την απόσταση των δύο αυτοκινήτων σε σχέση με τις αποστάσεις των οχημάτων από το σημείο Γ.β) την απόσταση των δύο οχημάτων την χρονική στιγμή t0 , κατά την οποία το Α όχημα απέχει από την διασταύρωση 800 m και το Β 600 m.γ) τον ρυθμό μεταβολής της απόστασης ΑΒ ως προς τον χρόνο, την παραπάνω χρονική στιγμή t0 .Με βάση την κίνηση των δύο αυτοκινήτων, μπορούμε ναθεωρήσουμε ότι αυτά κινούνται πάνω σε δύο άξονες μεκοινή αρχή Γ, κάθετους μεταξύ τους, όπως φαίνεται στοσχήμα.Η οδός ΓΑ στο σύστημα αξόνων, αντίστοιχεί στον άξοναx΄x, συνεπώς μπορούμε να συμβολίσουμε με x(t) την συ-νάρτηση που προσδιορίζει την θέση του αυτοκινήτου Απάνω στον άξονα αυτόν, συναρτήσει του χρόνου t.Αντίστοιχα, η οδός ΓΒ στο σύστημα αξόνων, αντιστοιχείστον άξονα y΄y, συνεπώς μπορούμε να συμβολίσουμε μεy(t) την συνάρτηση που προσδιορίζει την θέση του αυτο-κινήτου Β πάνω στον άξονα αυτόν, συναρτήσει του χρόνου t.Πριν ξεκινήσουμε την λύση της άσκησης, να θυμίσουμε για άλλη μία φορά ότι θέλουν μεγάλη προσοχή οιμονάδες μέτρησης των μεγεθών, όταν αυτές υπάρχουν. Στην συγκεκριμένη άσκηση φαίνεται το γιατί.Οι μονάδες μέτρησης των διαφόρων μεγεθών πρέπει να συμφωνούν μεταξύ τους, ώστε να μην υπάρχουναριθμητικά λάθη στο αποτέλεσμα της άσκησης. Στην συγκεκριμένη άσκηση παρατηρούμε ότι οι ταχύτη-τες μετρώνται σε km/h, αλλά οι αποστάσεις σε m. Για να συμβαδίζουν οι μονάδες, πριν οποιαδήποτεπράξη θα μετατρέψουμε τις αποστάσεις επίσης σε km.Για τις ταχύτητες των δύο αυτοκινήτων, όπως δίνονται στα δεδομένα της άσκησης, θα ισχύει ότι υΑ(t) = x′(t) = 50 km / h , υB(t) = y′(t) = 100 km / h .Έτσι, στο ερώτημα (β), οι αποστάσεις την χρονική στιγμή t0 θα γίνουν αντίστοιχα x(t0) = 800 m = 0, 8 km , y(t0) = 600 m = 0, 6 km .α) Αφού οι οδοί ΓΑ και ΓΒ είναι μεταξύ τους κάθετες, το τρίγωνο ΑΒΓ που σχηματίζεται είναι ορθο-γώνιο.Η απόσταση των δύο αυτοκινήτων είναι ίση με το μήκος, ΑΒ, της υποτείνουσας του τριγώνου και μετα-βάλλεται κι αυτή συναρτήσει του χρόνου. Ας ονομάσουμε d(t) την συνάρτηση που την προσδιορίζει.Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα βρίσκουμε ότι ΑΒ2 = ΑΓ2 + ΒΓ2 ⇒ d2(t) = x2(t) + y2(t) , απ’ όπου βρί-σκουμε ότι η συνάρτηση που προσδιορίζει την απόσταση των αυτοκινήτων Α και Β, σε σχέση με τιςαποστάσεις τους από το σημείο Γ, είναι η d(t) = x2(t) + y2(t) , t ≥ 0 (1) - 20 - Θανάσης Νικολόπουλος, καθηγητής Μαθηµατικών

Μαθηµατικά Γ΄Λυκείου • Διαφορικός Λογισµός Ρυθµός µεταβολής • Γ΄ΜΕΡΟΣ • Λυµένες ασκήσεις στον Ρυθµό Μεταβολήςβ) Από τα δεδομένα του ερωτήματος έχουμε ότι, την χρονική στιγμή t0 , ισχύουν x(t0) = 800 m = 0, 8 km , y(t0) = 600 m = 0, 6 km .Από την (1) προκύπτει ότι η απόσταση των δύο οχημάτων, την χρονική στιγμή t0 , είναι d(t0) = x2(t0) + y2(t0) = 0, 82 + 0, 62 ⇒ d(t0) = 1 km .Αν δεν είχαμε μετατρέψει τις αποστάσεις x(t0) , y(t0) σε χιλιομετρικές, δεν θα υπήρχει πρόβλημα σεαυτό το ερώτημα, καθώς η απάντηση θα ήταν ότι η απόσταση των δύο οχημάτων, την χρονική στιγμή t0 ,είναι d(t0) = x2(t0) + y2(t0) = 8002 + 6002 = 1000 m , που προφανώς είναι το ίδιο αποτέλεσμα μεαυτό που βρήκαμε.γ) Παραγωγίζοντας την (1) ως προς τον χρόνο t, βρίσκουμε⎣⎢⎡d(t)⎤⎥⎦′ = ⎣⎡⎢ x2(t) + y2(t) ⎦⎤⎥′ ⇒ d′(t) = 2 1 ⋅ ⎢⎣⎡x2(t) + y2(t)⎤⎥⎦′ = 2x(t) ⋅ x′(t) + 2y(t) ⋅ y′(t) = x2(t) + y2(t) 2 x2(t) + y2(t)= 2 ⎢⎣⎡x(t) ⋅ x′(t) + y(t) ⋅ y′(t)⎤⎦⎥ = x(t) ⋅ x′(t) + y(t) ⋅ y′(t) .2 x2(t) + y2(t) x2(t) + y2(t)Την χρονική στιγμή t0 θα ισχύει d(t0) = x(t0) ⋅ x′(t0) + y(t0) ⋅ y′(t0) (2) x2(t0) + y2(t0)Από τα δεδομένα της άσκησης έχουμε ότι x′(t0) = 50 km / h , y′(t0) = 100 km / h , x(t0) = 0, 8 km , y(t0) = 0, 6 kmκαι με αντικατάσταση στην (2) βρίσκουμε d′(t0) = 0, 8 ⋅ 50 + 0, 6 ⋅100 = 40 + 60 = 100 km / h , 0, 82 + 0, 62 1που είναι ο ζητούμενος ρυθμός μεταβολής της απόστασης ΑΒ των δύο οχημάτων.Για άλλη μία φορά, χρειάζεται μεγάλη προσοχή στις μονάδες μέτρησης! Σε αυτό το ερώτημα θα μπο-ρούσαμε να καταλήξουμε σε λάθος (και μάλιστα οι πράξεις δεν θα μας δημιουργούσαν πρόβλημα, οπό-τε δεν θα είχαμε και τρόπο να υποπτευθούμε ότι έχει γίνει λάθος).Συγκεκριμένα, στην σχέση d′(t0) = x(t0) ⋅ x′(t0) + y(t0) ⋅ y′(t0) , αν αντικαταστήσουμε τα γνωστά μεγέθη x2(t0) + y2(t0)ως εξής, x′(t0) = 50 km / h , y′(t0) = 100 km / h , x(t0) = 800 m , y(t0) = 600 m , θα βρούμε d′(t0) = 800 ⋅ 50 + 600 ⋅100 = 40.000 + 60.000 = 100.000 = 100 . 8002 + 6002 1000 1.000Αλλά το σημαντικό ερώτημα είναι «100 τι; m/s; km/h;». Μην βιαστείτε να απαντήσετε, γιατί υπάρχουνρυθμοί μεταβολής σε km/h, αλλά και αποστάσεις σε m (που συνήθως οδηγούν σε ρυθμούς μεταβολήςμετρούμενους σε m/s). Και έχει σημασία να τονίσουμε ότι η αριθμητική σύμπτωση του αποτελέσματος,με το σωστό που βρήκαμε νωρίτερα, δεν βοηθά στο να εντοπίσουμε το λάθος μας. Κάθε άλλο!Επομένως, φροντίζουμε εξ αρχής να εκφράζουμε όλα τα μεγέθη στις ίδιες μονάδες μέτρησης, μετατρέ-ποντας ­αν χρειαστεί­ κάποιες από αυτές, ώστε στο τελικό αποτέλεσμα άφοβα να έχουμε την σωστήμονάδα μέτρησης. - 21 - Θανάσης Νικολόπουλος, καθηγητής Μαθηµατικών

Μαθηµατικά Γ΄Λυκείου • Διαφορικός ΛογισµόςΡυθµός µεταβολής • Γ΄ΜΕΡΟΣ • Λυµένες ασκήσεις στον Ρυθµό Μεταβολής Άσκηση 4Ένα σημείο Α εκτελεί αρμονική ταλάντωση πάνω στον άξονα x΄x, με θέση x = 4 + 2ηµ(ωt) , και ένα δεύ-τερο σημείο, Β, στον άξονα y΄y, με θέση y = 2 + ηµ(ωt) . Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού, Ε,του τριγώνου ΟΑΒ, την χρονική στιγμή t0 = 4 s , όταν ω= π . 2Η άσκηση χρησιμοποιεί στοιχεία Φυσικής (συγκεκριμένα, αναφέρεται σε σημεία που εκτελούν αρμονικήταλάντωση). Καθώς δίνονται οι τύποι που περιγράφουν την κίνηση καθενός εξ αυτών, κατά τα άλλαείναι μία κλασσική άσκηση με ρυθμό μεταβολής.Το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο στο Ο, άρα έχει εμβαδόν Ε= 1 ⋅ ΟΑ ⋅ ΟΒ . 2Το σημείο Α κινείται πάνω στον άξονα x΄x, άρα η θέση του,σύμφωνα με την εκφώνηση, προσδιορίζεται από την τετμημένη του, x = 4 + 2ηµ(ωt) .Καθώς η θέση του Α μεταβάλλεται συναρτήσει του χρόνου, ητετμημένη του θα προσδιορίζεται από συνάρτηση της μορφής x(t),για την οποία θα ισχύει x(t) = 4 + 2ηµ(ωt) .Ομοίως, το σημείο Β κινείται πάνω στον άξονα y΄y, άρα η θέση του, σύμφωνα με την εκφώνηση, προσ-διορίζεται από την τεταγμένη του, y = 2 + ηµ(ωt) .Καθώς η θέση του Β μεταβάλλεται συναρτήσει του χρόνου, η τεταγμένη του θα προσδιορίζεται απόσυνάρτηση της μορφής y(t), για την οποία θα ισχύει y(t) = 2 + ηµ(ωt) .Τότε το εμβαδόν του ΟΑΒ θα είναι ίσο με Ε= 1 ⋅ | x(t) | ⋅ | y(t) | . 2Είναι −1 ≤ ηµ(ωt) ≤ 1 ⇔ 2 − 1 ≤ 2 + ηµ(ωt) ≤ 2 + 1 ⇔ 1 ≤ y(t) ≤ 3 , δηλαδή είναι y(t) > 0 , οπότε | y(t) | = y(t) .Επίσης είναι x(t) = 4 + 2ηµ(ωt) = 2 ⋅ ⎣⎡⎢2 + ηµ(ωt)⎥⎤⎦ = 2y(t) , οπότε είναι και x(t) > 0 , συνεπώς | x(t) | = x(t) .Επομένως θα είναι Ε = 1 ⋅ x(t) ⋅ y(t) = 1 ⋅ 2 y(t) ⋅ y(t) = y2(t) ⇔ E(t) = (2 + ηµωt)2 , αφού ­προφανώς­ 2 2και το εμβαδόν μεταβάλλεται συναρτήσει του χρόνου.Παραγωγίζοντας ως προς t, βρίσκουμεE′(t) = 2(2 + ηµωt) ⋅ (2 + ηµωt)′ = 2(2 + ηµωt) ⋅ συνωt ⋅ (ωt)′ = 2ω ⋅ συνωt ⋅ (2 + ηµωt) .Την χρονική στιγμή t0 = 4s έχουμε E′(t0) = 2ω ⋅ συνωt0 ⋅ (2 + ηµωt0) , οπότε για ω= π βρίσκουμε 2Ε′(4) = 2⋅ π ⋅ συν ⎜⎛⎜⎝⎜⎜ π ⋅ 4⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⋅ ⎡⎢⎣⎢⎢ 2 + ηµ ⎜⎜⎝⎜⎜⎛ π ⋅ 4⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎥⎤⎥⎦⎥ = π ⋅ συν2π ⋅ (2 + ηµ2π) = π ⋅1 ⋅ (2 + 0) = 2π 2 2 2οπότε ο ζητούμενος ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ΟΑΒ, είναι 2π τετρ.μον/s.Για την μονάδα μέτρησης του αποτελέσματος, αρκεί να παρατηρήσουμε ότι ο χρόνος μετράται σε δευ-τερόλεπτα, αλλά δεν δίνεται μονάδα μέτρησης μήκους. Άρα και για το εμβαδόν δεν έχουμε συγκεκριμέ-νη μονάδα μέτρησης, οπότε χρησιμοποιούμε την γενική μορφή «τετρ.μον», δηλαδή τετραγωνικές μονά-δες. - 22 - Θανάσης Νικολόπουλος, καθηγητής Μαθηµατικών

Μαθηµατικά Γ΄Λυκείου • Διαφορικός Λογισµός Ρυθµός µεταβολής • Γ΄ΜΕΡΟΣ • Λυµένες ασκήσεις στον Ρυθµό Μεταβολής Άσκηση 5Η πλευρά, x, ενός τετραγώνου μεταβάλλεται σε συνάρτηση με τον χρόνο, t. Την χρονική στιγμή που εί-ναι x = 10 cm, να βρείτε τον ρυθμό με τον οποίο μεταβάλλεται το εμβαδόν του τετραγώνου, όταν ορυθμός αύξησης της περιμέτρου αυτού είναι 0,3 cm/s.Προσοχή χρειάζεται στον τρόπο που αλληλοεπιδρούν μεταξύ τους οι εξαρτημένες μεταβλητές. Προφα-νώς στο τετράγωνο όλα τα γνωστά μεγέθη (πλευρά, περίμετρος, εμβαδόν) μεταβάλλονται ως προς τονχρόνο. Επιπλέον, εμβαδόν και περίμετρος εξαρτώνται από την πλευρά του τετραγώνου. Εδώ, όμως, θαχρειαστεί να χειριστούμε και την σχέση μεταξύ εμβαδού και περιμέτρου! Χρειάζεται, λοιπόν, λίγη παρα-πάνω προσοχή.Η πλευρά του τετραγώνου, άρα και τα σχετικά με αυτήν μεγέθη, περίμετρος και εμβαδόν, μεταβάλλο-νται συναρτήσει του χρόνου, t. Άρα πλευρά, περίμετρος και εμβαδόν περιγράφονται από συναρτήσειςτης μορφής x(t), Π(t) και E(t) αντίστοιχα.Η περίμετρος και το εμβαδόν δίνονται, αντίστοιχα, από τις σχέσεις Π = 4x και Ε = x2 , οπότε βάσειτων προηγουμένων σχολίων είναι Π(t) = 4x(t) , Ε(t) = x2(t) .Έστω t0 η χρονική στιγμή που αναφέρεται στην εκφώνηση. Τότε είναι x(t0) = 10 cm , Π′(t0) = 0, 3 cm / sκαι ψάχνουμε τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού, Ε′(t0) .Είναι E(t) = x2(t) ⇒ E′(t) = 2x(t) ⋅ x′(t) .Η σχέση αυτή μάς δίνει τον ζητούμενο ρυθμό μεταβολής του εμβαδού.Πράγματι· την χρονική στιγμή t0 θα ισχύει E′(t0) = 2x(t0) ⋅ x′(t0) , όπου γνωρίζουμε το x(t0) , αλλά όχικαι το x′(t0) ! Αυτό το x′(t0) που λείπει θα το βρούμε από τα υπόλοιπα δεδομένα της άσκησης καισυγκεκριμένα με την βοήθεια της περιμέτρου, ως εξής:Ισχύει Π(t) = 4x(t) ⇔ x(t) = Π(t) , άρα x′(t) = Π′(t) . 4 4Συνεπώς είναι E′(t) = 2x(t) ⋅ Π′(t) = x(t) ⋅ Π′(t) και την χρονική στιγμή t0 έχουμε 4 2 x(t0) ⋅ Π′(t0) E′(t0) = 2 .Στο σημείο αυτό έχουμε πια έναν τύπο που υπολογίζει τον ζητούμενο ρυθμό μεταβολής του εμβαδού,E′(t0) , την χρονική στιγμή t0 , συναρτήσει μόνο δεδομένων της εκφώνησης, που σημαίνει ότι μπορούμενα βρούμε το ζητούμενο αποτέλεσμα με αντικατάσταση:Από τα δεδομένα της εκφώνησης έχουμε ότι, την χρονική στιγμή t0 είναι x(t0) = 10 cm , 10 cm ⋅0, 3 cm / s 3Π′(t0) = +0, 3 cm / s , οπότε θα είναι E′(t0) = 2 = 2 cm2 / s = 1, 5 cm2 / s.Η μονάδα μέτρησης του ζητούμενου ρυθμού μεταβολής του εμβαδού, από την γενική μορφή«μονάδα εμβαδού/μονάδα χρόνου» εδώ θα γίνει cm²/s, αφού από τα δεδομένα της εκφώνησης προκύπ-τει ότι οι αποστάσεις μετρώνται σε cm και ο χρόνος σε s. - 23 - Θανάσης Νικολόπουλος, καθηγητής Μαθηµατικών

Μαθηµατικά Γ΄Λυκείου • Διαφορικός Λογισµός Ρυθµός µεταβολής • Γ΄ΜΕΡΟΣ • Λυµένες ασκήσεις στον Ρυθµό Μεταβολής Άσκηση 6Το μήκος ενός κύκλου αυξάνεται με ρυθμό 3 cm/s. Την χρονική στιγμή t0 , κατά την οποία το εμβαδόντου κύκλου είναι 100π cm², να βρεθούν: α) η ακτίνα του κύκλου. β) ο ρυθμός μεταβολής της ακτίνας του κύκλου. γ) ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του κύκλου.Άλλα μία άσκηση με ρυθμό μεταβολής σε επίπεδο γεωμετρικό σχήμα (αυτήν την φορά, σε κύκλο). Τοεπιπλέον ενδιαφέρον στοιχείο είναι ότι εμφανίζονται σύνθετες συναρτήσεις, με μεταβλητή τον χρόνο, έναστοιχείο που επιτάσσει παραπάνω προσοχή στις παραγωγίσεις.Έστω ℓ το μήκος του κύκλου.Από τα δεδομένα της εκφώνησης και συγκεκριμένα ότι το μήκος του κύκλου αυξάνεται με ρυθμό3 cm/s, καταλαβαίνουμε ότι:• το μήκος του κύκλου μεταβάλλεται ως προς τον χρόνο, άρα προσδιορίζεται από συνάρτηση της μορ- φής ℓ(t) .• εφόσον το μήκος αυξάνεται με ρυθμό 3 cm/s, θα ισχύει ℓ′(t) = +3 cm / s .Έστω, λοιπόν, R, ℓ και Ε η ακτίνα, το μήκος και το εμβαδόν του κύκλου.Προφανώς και τα τρία μεγέθη μεταβάλλονται συναρτήσει του χρόνου, άρα προσδιορίζονται από συναρ-τήσεις της μορφής R(t) , ℓ(t) , E(t) αντίστοιχα.Οι σχέσεις ℓ = 2πR , Ε = πR2 , που δίνουν το μήκος και το εμβαδόν κύκλου ακτίνας R αντίστοιχα, θαγίνουν ℓ(t) = 2π ⋅ R(t) , E(t) = π ⋅ R2(t) .Την χρονική στιγμή t0 που αναφέρεται στην εκφώνηση, είναι Ε(t0) = 100π cm2 . Τότε:α) Από τον τύπο του εμβαδού έχουμε E(t) = π ⋅ R2(t) ⇔ R2(t) = E(t) ⇔ R(t) = E(t) , οπότε την π πχρονική στιγμή t0 έχουμε R(t0) = E(t 0 ) , όπου αντικαθιστώντας το δεδομένο, E(t0) = 100π cm2 , πβρίσκουμε R(t0) = 100 π = 10 cm . πβ) Από τον τύπο του μήκους προκύπτει ℓ(t) = 2π ⋅ R(t) ⇔ R(t) = 1 ⋅ ℓ(t) , απ’ όπου με παραγώγιση 2πέχουμε R′(t) = 1 ⋅ ℓ′(t) . 2πΟ ρυθμός μεταβολής του μήκους είναι σταθερός και ίσος με ℓ′(t) = +3 cm /s, άρα την χρονική στιγμή t0 1 ℓ′(t0) = 1 3 cm / s , που είναι η τιμήθα έχουμε επίσης ℓ′(t0) = +3 cm / s , οπότε R′(t0) = 2π ⋅ 2π ⋅3 = 2πτου ζητούμενου ρυθμού μεταβολής της ακτίνας.γ) Παραγωγίζοντας τον τύπο του εμβαδού του κύκλου έχουμε E′(t) = 2π ⋅ R(t) ⋅ R′(t) , άρα την χρονικήστιγμή t0 είναι E′(t0) = 2π ⋅ R(t0 ) ⋅ R′(t0) , απ’ όπου έχουμε (με την βοήθεια των ευρημάτων μας στα (α)και (β)), E′(t0) = 2π ⋅10 ⋅3 = 30 cm2 / s , οπότε ο ζητούμενος ρυθμός μεταβολής του εμβαδού είναι 2π30 cm²/s. - 24 - Θανάσης Νικολόπουλος, καθηγητής Μαθηµατικών

Μαθηµατικά Γ΄Λυκείου • Διαφορικός Λογισµός Ρυθµός µεταβολής • Γ΄ΜΕΡΟΣ • Λυµένες ασκήσεις στον Ρυθµό ΜεταβολήςΠαρουσιάζει ενδιαφέρον να δούμε πώς θα διαμοφώνονταν η λύση του (γ), αν δεν χρησιμοποιούσαμε τααποτελέσματα των (α) και (β), είτε για ν’ αποφύγουμε τυχόν λάθη σε προηγούμενες λύσεις και να επη-ρεάσουν την λύση μας στο (γ) είτε γιατί σε κάποια άλλη άσκηση μπορεί να χρειαστούμε να λύσουμε το(γ) χωρίς να έχουμε βρει τα (α) και (β) νωρίτερα! Θα βρούμε, δηλαδή, τον ρυθμό μεταβολής, E′(t0) , τουεμβαδού του κύκλου την χρονική στιγμή t0 , χρησιμοποιώντας μόνο τα δεδομένα της άσκησης, δηλαδήτον σταθερό ρυθμό αύξησης του μήκους του κύκλου, ℓ′(t) = +3 cm / s , από τον οποίο προκύπτει προφα-νώς ότι ℓ′(t0) = +3 cm / s , και το εμβαδόν του κύκλου, E(t0) = 100π cm2 .Πάμε να «χτίσουμε» σιγά σιγά την λύση μας. Δεύτερος τρόπος λύσης του (γ).Το εμβαδόν του κύκλου δίνεται από την σχέση E(t) = π ⋅ R2(t) , όπου εμφανίζεται ακτίνα, για την οποίαδεν ξέρω τίποτα όμως!Θυμήσου! Αγνοούμε εντελώς εδώ τα ευρήματα των (α) και (β).Αφού γνωρίζω κάτι για το μήκος του κύκλου, θα προσπαθήσω να αξιοποιήσω αυτό.Ισχύει ℓ(t) = 2π ⋅ R(t) ⇔ R(t) = 1 ⋅ ℓ(t) , άρα R2(t) = 1 ⋅ ℓ2(t) , οπότε το εμβαδόν του κύκλου γράφε- 2π 4π2 1 1ται E(t) = π ⋅ R2(t) = π ⋅ 4π 2 ⋅ ℓ2(t) = 4π ⋅ ℓ2(t) .Παραγωγίζοντας την σχέση αυτή, βρίσκουμε E′(t) = 1 ⋅ 2ℓ(t) ⋅ ℓ′(t) = 1 ⋅ ℓ(t) ⋅ ℓ′(t) . 4π 2πΕδώ, όμως, δεν γνωρίζουμε το ℓ(t) .Αφού, για την χρονική στιγμή t0 , γνωρίζουμε το εμβαδόν του κύκλου, θα αξιοποιήσουμε τον τύπο πουδίνει το εμβαδόν συναρτήσει του μήκους του κύκλου και θα προχωρήσουμε ως εξής: E(t) = 1 ℓ(t)>0 4π ⋅ E(t) . 4π ⋅ ℓ2(t) ⇔ ℓ2(t) = 4π ⋅ E(t) ⇔ ℓ(t) =Αντικαθιστώντας αυτόν τον τύπο στον τύπο της παραγώγου του εμβαδού, έχω E′(t) = 1 ⋅ 4π ⋅ E(t) ⋅ ℓ′(t) = 1 ⋅2⋅ π⋅ E(t) ⋅ ℓ′(t) = 1 ⋅ E(t) ⋅ ℓ′(t) . 2π 2π πΈτσι, την χρονική στιγμή t0 , ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού είναι ίσος με 1E′(t0) = π ⋅ Ε(t0) ⋅ ℓ′(t0) , όπου αντικαθιστώντας τα δεδομένα ℓ′(t0) = +3 cm / s καιE(t0) = 100π cm2 , βρίσκουμε ότι E′(t0) = 1 ⋅ 100π ⋅ 3 = 1 ⋅10 π ⋅ 3 = 30 cm2 / s . π πΤελικά, ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού, την χρονική στιγμή t0 , είναι ίσος με 30 cm²/s. - 25 - Θανάσης Νικολόπουλος, καθηγητής Μαθηµατικών

Μαθηµατικά Γ΄Λυκείου • Διαφορικός Λογισµός Ρυθµός µεταβολής • Γ΄ΜΕΡΟΣ • Λυµένες ασκήσεις στον Ρυθµό Μεταβολής Άσκηση 7Το ύψος ενός ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ, με σταθερή βάση ΒΓ = 16 cm, μεταβάλλεται με ρυθμό 5 cm/s.Αν την χρονική στιγμή t0 , το σημείο Α απέχει από την πλευρά ΒΓ 6 cm, να βρεθούν: α) ο ρυθμός μεταβολής των ίσων πλευρών. β) ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου.α) Έστω ΑΔ το ύψος του τριγώνου.Η βάση του είναι σταθερή και ίση με 16 cm, ενώ το ύψος, ΑΔ, μεταβάλλεται ως προςτον χρόνο, άρα προσδιορίζεται από συνάρτηση της μορφής υ(t). Από την εκφώνηση, τούψος ΑΔ = υ(t) μεταβάλλεται με ρυθμό 5 cm/s, συνεπώς ισχύει υ′(t) = 5 cm / s .Καθώς μεταβάλλεται το ύψος του τριγώνου, προφανώς μαζί του μεταβάλλονται και οιδύο ίσες πλευρές του. Άρα υπάρχει συνάρτηση της μορφής α(t) που τις προσδιορίζει,δηλαδή ισχύει ΑΒ = ΑΓ = α(t). ∧Τότε στο τρίγωνο ΑΔΓ (όπου είναι ΑΔ ⊥ ΑΓ, άρα Δ = 90ο ) ισχύει το ΠυθαγόρειοΘεώρημα, που μας δίνει ΑΓ2 = ΑΔ2 + ΔΓ2 , δηλαδή α2(t) = υ2(t) + 82 ⇔ α2(t) = υ2(t) + 64 , για κάθεχρονική στιγμή t > 0 .Παραγωγίζοντας, ως προς t, τα μέλη της προηγούμενης σχέσης, προκύπτει 2α(t) ⋅ α′(t) = 2 υ(t) ⋅ υ′(t) ⇒ α(t) ⋅ α′(t) = υ(t) ⋅ υ′(t) (1)Αρχικά θα βρούμε το μήκος α(t0) της πλευράς του τριγώνου, την χρονική στιγμή t0 .Από τα δεδομένα της εκφώνησης έχουμε ότι, την χρονική στιγμή t0 , το σημείο Α απέχει από την πλευράΒΓ απόσταση 6 cm, δηλαδή το ύψος του τριγώνου είναι ΑΔ = 6 cm. Άρα ισχύει υ(t0) = 6 cm . Επίσηςαπό τα δεδομένα, ισχύει ΒΓ = 16 cm, άρα ΒΔ = ΔΓ = 8 cm.Άρα την χρονική στιγμή t0 θα ισχύει α2(t0) = υ2(t0) + 64 και με αντικατάσταση των τιμών αυτών βρί-σκουμε α2(t0) = 62 + 64 = 100 ⇔ α(t0) = 10 .Τώρα μπορούμε να βρούμε τον ζητούμενο ρυθμό μεταβολής, α′(t0) , των ίσων πλευρών.Η σχέση (1), για την χρονική στιγμή t0 , δίνει α(t0) ⋅ α′(t0) = υ(t0) ⋅ υ′(t0) .Αντικαθιστώντας όλα τα προηγούμενα ευρήματα έχουμε ότι 10 ⋅ α′(t0) = 6 ⋅ 5 ⇔ 10α′(t0) = 30 ⇔ α′(t0) = 3 cm / s ,που σημαίνει ότι ο ρυθμός μεταβολής των ίσων πλευρών, την χρονική στιγμή t0 είναι ίσος με 3 cm/s.β) Το εμβαδόν του τριγώνου δίνεται από τον τύπο Ε = β⋅υ , όπου η βάση β είναι η πλευρά 2ΒΓ = 16 cm (σταθερή ως προς τον χρόνο t) και το ύψος είναι το ΑΔ = υ(t). Επομένως είναι E(t) = 16 ⋅ υ(t) ⇔ E(t) = 8υ(t) . 2Θυμήσου εδώ, ότι στην μεθοδολογία τονίστηκε το εξής:αφού εντοπίσουμε τα διάφορα μεγέθη που συμμετέχουν στην άσκηση, προσδιορίζουμε αν και ποια απόαυτά είναι σταθερά ως προς τον χρόνο. Τα μεγέθη αυτά μπορούν να αντικατασταθούν με τις αριθμητι-κές τιμές τους, ώστε να γίνει πιο εύκολη η επίλυση της άσκησης. Εδώ, επειδή η βάση του τριγώνου είναισταθερή, ο προηγούμενος τύπος για το εμβαδόν δεν μας οδηγεί, στο δεύτερο μέλος, σε γινόμενο συναρ-τήσεων, κάνοντας πολύ πιο εύκολη υπόθεση την παραγώγιση που ακολουθεί. - 26 - Θανάσης Νικολόπουλος, καθηγητής Μαθηµατικών

Μαθηµατικά Γ΄Λυκείου • Διαφορικός ΛογισµόςΡυθµός µεταβολής • Γ΄ΜΕΡΟΣ • Λυµένες ασκήσεις στον Ρυθµό ΜεταβολήςΠαραγωγίζοντας ως προς t, βρίσκουμε E′(t) = 8υ′(t) .Γνωρίζουμε από τα δεδομένα, ότι ο ρυθμός μεταβολής του ύψους είναι σταθερός και ίσος μευ′(t) = 5 cm / s , άρα και την χρονική στιγμή t0 θα ισχύει υ′(t0) = 5 cm / s .Επομένως, την χρονική στιγμή t0 θα είναι E′(t0) = 8υ′(t0) = 8 ⋅ 5 = 40 cm2 / s , που δίνει την τιμή τουζητούμενου ρυθμού μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου. Άσκηση 8Σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, με ΑΒ = ΑΓ = 10 cm, η πλευρά ΒΓ αυξάνει με ρυθμό 2 3 cm/s. Ανx = ΒΓ και θ είναι η γωνία ΑΒΓ, να βρεθεί:α) το εμβαδόν, Ε, του τριγώνου συναρτήσει των x, θ.β) το x συναρτήσει της γωνίας θ.γ) ο ρυθμός μεταβολής της γωνίας θ την χρονική στιγμή t0 , που το τρίγωνο ΑΒΓ γίνεται ισόπλευρο.δ) ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού Ε την χρονική στιγμή t0 , που το τρίγωνο γίνεται ισόπλευρο.Ακόμη μία κλασσική άσκηση με επίπεδο γεωμετρικό σχήμα. Όπως πάντα, προσέ-χουμε ιδιαίτερα ποια μεγέθη είναι σταθερά και ποια μεταβάλλονται.Από την εκφώνηση έχουμε ότι οι πλευρές ΑΒ και ΑΓ του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓέχουν σταθερό μήκος, ίσο με 10 cm. Η πλευρά ΒΓ είναι αυτή που μεταβάλλεταισυναρτήσει του χρόνου, με ρυθμό αύξησης 2 3 cm/s. Επίσης έχουμε ότι x = ΒΓ,άρα το μήκος της ΒΓ προσδιορίζεται από συνάρτηση της μορφής x(t), για την οποίαισχύει x′(t) = 2 3 cm / s .Το άλλο μέγεθος που αναφέρεται στην εκφώνηση, είναι η γωνία θ = ΑΒΓ, ηοποία επίσης μεταβάλλεται ως προς τον χρόνο, άρα προσδιορίζεται από συνάρτηση της μορφής θ(t).α) Το εμβαδόν, Ε, του ΑΒΓ, συναρτήσει των x και θ, μπορεί να βρεθεί με διάφορους τρόπους:1ος τρόπος. Από τον γνωστό τύπο εμβαδού τριγώνου, Ε= βαση ⋅ υψος , έχουμε ότι Ε= ΒΓ ⋅ ΑΔ ,όπου ΒΓ = x. 2 2Για το ύψος ΑΔ = υ θα καταφύγουμε σε στοιχειώδη Τριγωνομετρία, για να βάλουμε στο παιχνίδι καιτην γωνία θ:Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΔ είναι ηµθ = υ ⇔ υ = 10ηµθ , συνεπώς 10 Ε= ΒΓ ⋅ ΑΔ = x ⋅10ηµθ = 5x ⋅ ηµθ . 2 22ος τρόπος. Εφαρμόζοντας την γνωστή, από την Γεωμετρία της Β΄ Λυκείου, σχέση Ε = 1 αγ ⋅ ηµΒ , στο 2παραπάνω τρίγωνο, βρίσκουμε ότι Ε= 1 ⋅ x ⋅10 ⋅ ηµΒ = 5x ⋅ ηµθ . 2 - 27 -Θανάσης Νικολόπουλος, καθηγητής Μαθηµατικών

Μαθηµατικά Γ΄Λυκείου • Διαφορικός Λογισµός Ρυθµός µεταβολής • Γ΄ΜΕΡΟΣ • Λυµένες ασκήσεις στον Ρυθµό Μεταβολήςβ) Και πάλι με την βοήθεια της Τριγωνομετρίας, θα συνδυάσουμε τα μεγέθη x και θ ως εξής: x xΣτο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΔ ισχύει συνΒ = 2 = 20 ⇔ x = 20συνΒ , δηλαδή x = 20συνθ . 10Η δύναμη της Τριγωνομετρίας φαίνεται και στα δύο ερωτήματα που έχουμε απαντήσει μέχρι στιγμής. ΗΤριγωνομετρία συνδυάζει εύκολα, σε μία σχέση, πλευρές και γωνίες τριγώνου, κάνοντας πολύ ευκολότε-ρη την επίλυση ασκήσεων, όπως η παρούσα. Γι’ αυτό, οι γνώσεις μας στην Τριγωνομετρία είναι πάνταχρήσιμες. Μην ξεχνάτε να κάνετε μια καλή επανάληψη σε κάθε ευκαιρία!γ) Αρχικά θα θυμηθούμε μια σημαντική παρατήρηση:Σε ασκήσεις που ζητείται να βρούμε τον ρυθμό μεταβολής γωνίας, είναι σημαντικό να θυμόμαστε ότι,στο 99% των περιπτώσεων, αυτό γίνεται έμμεσα χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικούς αριθμούς και όχιβρίσκοντας άμεσα συνάρτηση που να υπολογίζει την γωνία. Αυτό συμβαίνει γιατί είναι εξαιρετικά σπά-νιες (και πιθανότατα αρκετά δύσκολες) οι περιπτώσεις που μπορεί να προσδιοριστεί άμεσα συνάρτησητης μορφής θ(t). Για άλλη μια φορά, όμως, αξίζει να θυμηθούμε ότι σε μία άσκηση πρέπει να προσέχου-με τι ζητείται, αλλά και τι ΔΕΝ ζητείται!Όταν, λοιπόν, μία άσκηση ζητά να βρούμε τον ρυθμό μεταβολής μιας γωνίας, δεν ζητά απαραίτητα ναυπολογίσουμε συνάρτηση για την γωνία αυτή! Συνεπώς, χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικούς αριθμούς,μπορούμε πολύ πιο εύκολα να εμφανίσουμε ρυθμό μεταβολής μιας γωνίας, αρκεί να παραγωγίσουμετην σχέση με τους τριγωνομετρικούς αριθμούς όπου αυτή εμφανίζεται. Ο τρόπος που το πετυχαίνουμεαυτό φαίνεται στην συνέχεια.Την χρονική στιγμή t0 , που το τρίγωνο γίνεται ισόπλευρο, θα ισχύει ΒΓ = ΒΑ, συνεπώς x(t0) = 10 .Η σχέση x = 20συνθ , όταν τα μεγέθη εκφραστούν συναρτήσει του χρόνου, γίνεται x(t) = 20συνθ(t) , απ’όπου με παραγώγιση (ως προς τον χρόνο) παίρνουμε x′(t) = 20 ⋅ ⎢⎣⎡−ηµθ(t)⎥⎤⎦ ⋅ θ′(t) = −20 ⋅ θ′(t) ⋅ ηµθ(t) .Την χρονική στιγμή t0 , που το τρίγωνο γίνεται ισόπλευρο, από τα δεδομένα έχουμε ότι π π 3x′(t0) = 2 3 cm / s , x(t0) = 10 και, επιπλέον, θ(t0) = 3 , άρα ηµθ(t0) = ηµ 3 = 2 .Για την χρονική στιγμή t0 επομένως, η προηγούμενη σχέση δίνειx′(t0) = −20 ⋅ ηµθ(t0) ⋅ θ′(t0) ⇔ 2 3 = −20 ⋅ 3 ⋅ θ′(t0) ⇔ −10θ′(t0) = 2 ⇔ 2 2 1⇔ θ′(t0) = − 10 =− 5 rad / s .δ) Από το (α) έχουμε ότι το εμβαδόν του τριγώνου είναι Ε = 5x ⋅ ηµθ , σχέση που γράφεταιE(t) = 5x(t) ⋅ ηµθ(t) , αφού όλα τα μεγέθη μεταβάλλονται συναρτήσει του χρόνου.Παραγωγίζοντας ως προς t έχουμε E′(t) = 5 ⋅ ⎪⎪⎧⎨⎩⎪⎪x′(t) ⋅ ηµθ(t) + x(t) ⋅ ⎣⎢⎡ηµθ(t)⎦⎥⎤′ ⎭⎪⎪⎪⎫⎬⎪ ⇒⇒ E′(t) = 5x′(t) ⋅ ηµθ(t) + 5x(t) ⋅ συνθ(t) ⋅ θ′(t) .Την χρονική στιγμή t0 , που το τρίγωνο γίνεται ισόπλευρο, έχουμε ότι π x′(t0) = 2 3 cm / s , x(t0) = 10 , θ(t0) = 3 ,άρα ηµθ(t0) = ηµ π = 3 , συνθ(t 0 ) = συν π = 1 . 3 2 3 2Επιπλέον, από το (γ) έχουμε βρει ότι θ′(t0) = − 1 rad / s , συνεπώς την χρονική στιγμή t0 ο ρυθμός 5μεταβολής, E′(t0) , του εμβαδού είναι ίσος με E′(t0) = 5x′(t0) ⋅ ηµθ(t0) + 5x(t0) ⋅ συνθ(t0) ⋅ θ′(t0) , όπου αντι-καθιστώντας τις παραπάνω τιμές παίρνουμε - 28 - Θανάσης Νικολόπουλος, καθηγητής Μαθηµατικών

Μαθηµατικά Γ΄Λυκείου • Διαφορικός ΛογισµόςΡυθµός µεταβολής • Γ΄ΜΕΡΟΣ • Λυµένες ασκήσεις στον Ρυθµό Μεταβολής E′(t0) = 5 ⋅ 2 3⋅ 3 + 5 ⋅10 ⋅ 1 ⋅ −1 = 15 − 5 = 10 cm2 / s . 2 2 5 Άσκηση 9Αν σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ η περίμετρος αυξάνεται με ρυθμό 3 cm/s, να βρεθεί:α) με τι ρυθμό μεταβάλλεται η πλευρά του τριγώνου.β) με τι ρυθμό μεταβάλλεται το εμβαδόν του τριγώνου, όταν αυτό είναι ίσο με 3 cm2 .Στην άσκηση αυτή είναι δεδομένος ο ρυθμός μεταβολής (συγκεκριμένα, αύξησης) της περιμέτρου τουτριγώνου. Το βασικό γεωμετρικό μέγεθος του σχήματος, το οποίο μεταβάλλεται συναρτήσει του χρόνου,είναι προφανώς οι ίσες πλευρές του ισόπλευρου τριγώνου και επακόλουθα όλα τα μεγέθη που εξαρτώ-νται από αυτές, δηλαδή η περίμετρος και το εμβαδόν του τριγώνου.Από την μονάδα μέτρησης του ρυθμού μεταβολής της περιμέτρου, που είναι cm/s, καταλαβαίνουμε ότιόλα τα παραπάνω μεγέθη μεταβάλλονται ως προς τον χρόνο t, άρα όλα τους προσδιορίζονται από συ-ναρτήσεις του χρόνου. Πάμε να δούμε την διαμόρφωση της λύσης.α) Έστω α καθεμιά από τις ίσες πλευρές του ισόπλευρου τριγώνου, Π η περί-μετρος και Ε το εμβαδόν του.Τα μεγέθη αυτά δίνονται από τις σχέσεις Π = 3α και Ε= α2 ⋅ 3 και αφού 4 α2(t) ⋅ 3μεταβάλλονται σε σχέση με τον χρόνο θα είναι Π(t) = 3α(t) , E(t) = 4 .Από τα δεδομένα έχουμε ότι ο ρυθμός μεταβολής της περιμέτρου είναι σταθερόςκαι ίσος με Π′(t) = 3 cm / s . Παραγωγίζοντας την σχέση της περιμέτρου ως προς t βρίσκουμεΠ′(t) = 3α′(t) , συνεπώς ισχύει Π′(t) = 3 cm / s ⇔ 3α′(t) = 3 cm / s ⇔ α′(t) = 1 cm / s .Άρα κάθε πλευρά του τριγώνου μεταβάλλεται (συγκεκριμένα, αυξάνεται) με σταθερό ρυθμό 1 cm/s.Αυτή είναι μία λιγότερο συνηθισμένη περίπτωση, όπου μας ζητείται ρυθμός μεταβολής ενός μεγέθουςγενικά και όχι κάποια συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Σε τέτοιες περιπτώσεις δουλεύουμε γενικά ωςπρος τον χρόνο t και το αποτέλεσμά μας συνήθως είναι ένας σταθερός ρυθμός μεταβολής, όπως συμβαί-νει και εδώ.β) Έστω t0 η χρονική στιγμή κατά την οποία το εμβαδόν του τριγώνου είναι ίσο με 3 cm2 . Τότεείναι E(t0) = 3 cm2 .Ψάχνουμε τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού την χρονική στιγμή t0 , δηλαδή την ποσότητα E′(t0) . α2(t) ⋅Παραγωγίζοντας την σχέση E(t) = 4 3 ως προς t, βρίσκουμε E′(t) = 3 ⋅ 2α(t) ⋅ α′(t) = 3 ⋅ α(t) ⋅ α′(t) , 4 2οπότε την χρονική στιγμή t0 ισχύει E′(t0) = 3 ⋅ α(t0) ⋅ α′(t0) . 2 - 29 - Θανάσης Νικολόπουλος, καθηγητής Μαθηµατικών

Μαθηµατικά Γ΄Λυκείου • Διαφορικός Λογισµός Ρυθµός µεταβολής • Γ΄ΜΕΡΟΣ • Λυµένες ασκήσεις στον Ρυθµό ΜεταβολήςΓνωρίζουμε ότι η πλευρά έχει σταθερό ρυθμό μεταβολής α′(t) = 1 cm / s , άρα είναι και α′(t0) = 1 cm / s .Μας λείπει μόνο το μήκος, α(t0) , της πλευράς του τριγώνου, την χρονική στιγμή t0 . Αυτό θα το βρούμεεύκολα, χάρη στο δεδομένο εμβαδόν του τριγώνου την χρονική στιγμή t0 . Έχουμε E(t0) = 3 cm2 ⇔ α2(t0) ⋅ 3 = 3 ⇔ α2(t0) = 4 ⇔ α(t0) = 2 cm , 4οπότε αντικαθιστώντας στην σχέση E′(t0) = 3 ⋅ α(t0) ⋅ α′(t0) τα παραπάνω προκύπτει 2E′(t0) = 3 ⋅2⋅1 = 3 cm2 / s , που δίνει τον ζητούμενο ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου. 2 - 30 - Θανάσης Νικολόπουλος, καθηγητής Μαθηµατικών

Μαθηµατικά Γ΄Λυκείου • Διαφορικός Λογισµός Ρυθµός µεταβολής • Γ΄ΜΕΡΟΣ • Λυµένες ασκήσεις στον Ρυθµό Μεταβολής Άσκηση 10Ένα μπαλόνι σχήματος σφαίρας, φουσκώνει με ρυθμό μεταβολής της ακτίνας 2 cm/s. Να βρείτε με τιρυθμό αυξάνεται ο όγκος του και με τι ρυθμό αυξάνεται η επιφάνειά του, όταν η ακτίνα του είναι 1 cm.Δίνεται ότι το εμβαδόν της σφαιρικής επιφάνειας και ο όγκος της σφαίρας, συναρτήσει της ακτίνας, r, 4της σφαίρας, υπολογίζονται, αντίστοιχα, από τους τύπους Ε = 4πr2 και V= 3 πr3 .Η ακτίνα της σφαίρας μεταβάλλεται συναρτήσει του χρόνου, οπότε η επιφάνεια και ο όγκος επίσης, 4συνεπώς είναι E(t) = 4πr2(t) και V(t) = 3 πr3(t) .Από την εκφώνηση έχουμε ότι η ακτίνα μεταβάλλεται με σταθερό ρυθμό +2 cm/s (είναι θετικός, αφού τομπαλόνι φουσκώνει, άρα η ακτίνα του αυξάνεται), άρα η συνάρτηση r(t) είναι παραγωγίσιμη και ισχύειr′(t) = +2 cm / s .Ότι η εκφώνηση ζητάει να βρούμε τον ρυθμό με τον οποίο αυξάνονται τα δύο μεγέθη μάς μαρτυράει εξαρχής ότι τα αποτελέσματά μας θα είναι θετικά. Αυτό, φυσικά, είναι απολύτως λογικό, καθώς όταν έναμπαλόνι φουσκώνει, προφανώς η επιφάνεια και ο όγκος του αυξάνονται.Έστω t0 η χρονική στιγμή κατά την οποία η ακτίνα του μπαλονιού είναι 1 cm.Τότε ισχύει r(t0) = 1 cm . Επιπλέον ισχύει r′(t) = +2 cm / s , άρα και την χρονική στιγμή t0 θα είναιΑναζητούμε τα E′(t0) και V′(t0) . r′(t0) = +2 cm / s .I. Παραγωγίζοντας ως προς t την σχέση E(t) = 4πr2(t) , παίρνουμε E′(t) = 4π ⋅ 2r(t) ⋅ r′(t) = 8π ⋅ r(t) ⋅ r′(t) ,οπότε την χρονική στιγμή t0 θα έχουμε E′(t0) = 8π ⋅1 ⋅ 2 = 16π cm2 / s .ΙΙ. Παραγωγίζοντας ως προς t την σχέση V(t) = 4 πr3 (t) , παίρνουμε 3 V′(t) = 4 π ⋅ 3 r2(t) ⋅ r′(t) = 4π ⋅ r2(t) ⋅ r′(t) , 3οπότε την χρονική στιγμή t0 θα είναι V′(t0) = 4π ⋅ r2(t0) ⋅ r′(t0) = 4π ⋅ 12 ⋅ 2 = 8π cm3 / s . - 31 - Θανάσης Νικολόπουλος, καθηγητής Μαθηµατικών

Μαθηµατικά Γ΄Λυκείου • Διαφορικός Λογισµός Ρυθµός µεταβολής • Γ΄ΜΕΡΟΣ • Λυµένες ασκήσεις στον Ρυθµό Μεταβολής Άσκηση 11Η επιφάνεια ενός κύβου μεταβάλλεται με ρυθμό α cm²/s. Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του όγκου τουκύβου, όταν η επιφάνειά του είναι β cm². Δίνεται ότι ο όγκος κύβου ακμής x είναι V = x3 .Η άσκηση αυτή έχει μερικές ιδιαιτερότητες.Αρχικά, τα δεδομένα δεν είναι αριθμητικά! Αυτό σημαίνει ότι και τα αντίστοιχα αποτελέσματα δεν θαείναι απαραίτητα αριθμητικά, αλλά θα προκύπτουν συναρτήσει των δεδομένων ποσοτήτων α και β.Επίσης χρειάζεται μεγάλη προσοχή στο ότι δεν ξέρουμε αν οι μεταβολές των μεγεθών είναι αυξήσεις ήμειώσεις! Άρα, π.χ., ο ρυθμός μεταβολής της επιφάνειας, α, μπορεί να είναι θετικός ή αρνητικός! Το ίδιοισχύει και για τον ρυθμό μεταβολής της ακμής του κύβου, όπως και του όγκου του και πρέπει να τοέχουμε υπόψη, εφόσον εμφανιστούν στην επίλυση της άσκησης.Όμως το εμβαδόν της επιφάνειας του κύβου είναι προφανώς θετικό, άρα η ποσότητα β θα είναι σίγουραθετική. Τέλος, εφόσον δεν έχουμε αριθμητικά δεδομένα, οι σχέσεις μεταξύ των μεγεθών αποκτούν ακό-μη μεγαλύτερη σημασία.Πάμε να δούμε πώς θα λύσουμε την άσκηση.Αν ονομάσουμε x την ακμή του κύβου, τότε το εμβαδόν της επιφάνειάς του και ο όγκος του δίνονται,αντίστοιχα, από τους τύπους E = 6x2 , V = x3 , που λαμβάνουν την μορφή E(t) = 6x2(t) , V(t) = x3(t)αντίστοιχα, αφού η επιφάνεια του κύβου (άρα η ακμή του) μεταβάλλεται συναρτήσει του χρόνου.Αφού η επιφάνεια του κύβου μεταβάλλεται με σταθερό ρυθμό α cm²/s, η συνάρτηση E(t) είναι παραγω-γίσιμη, με παράγωγο E′(t) = 6 ⋅ 2x(t) ⋅ x′(t) = 12x(t) ⋅ x′(t) .Από τα δεδομένα της άσκησης έχουμε ότι E′(t) = α , οπότε 12x(t) ⋅ x′(t) = α ⇔ x(t) ⋅ x′(t) = α . 12Η συνάρτηση του όγκου είναι επίσης παραγωγίσιμη, με παράγωγο V′(t) = 3x2(t) ⋅ x′(t) .Έστω t0 η χρονική στιγμή, που η επιφάνεια του κύβου είναι β cm². Τότε ισχύει E(t0) = β ⇔ 6x2(t0) = β ⇔ x2(t0) = β ≥0⇔ x(t0) = β (1) 6 6Για την ίδια χρονική στιγμή, η σχέση x(t) ⋅ x′(t) = α δίνει x(t0) ⋅ x′(t0) = α (2) 12 12Άρα ο ρυθμός μεταβολής του όγκου του κύβου, την χρονική στιγμή t0 , θα είναιV′(t 0 ) = 3x2(t0) ⋅ x′(t 0 ) V′(t 0 ) ⋅ x′(t 0 ) (1) V′(t 0 ) ⋅ β α α β α β⋅ 6 ⇒ = 3x(t 0 ) ⋅ x(t 0 ) ⇒ = 3 6 ⋅ 12 = 4 6 = 4⋅6 ⇒ (2)⇒ V′(t0) = α 6β . 24Στο αποτέλεσμα φαίνεται αυτό που τονίστηκε εξ αρχής, ότι δηλαδή ο ρυθμός μεταβολής μπορεί να είναιείτε θετικός είτε αρνητικός και αυτό εξαρτάται από το αν είναι θετικός ή αρνητικός ο ρυθμός μεταβολήςτου εμβαδού της επιφάνειας του κύβου. Αυτό είναι σύμφωνο με την πραγματικότητα, όπου τα μεγέθη«ακμή», «εμβαδόν επιφάνειας» και «όγκος» του κύβου ταυτόχρονα αυξάνονται ή μειώνονται, άρα καιτα τρία θα έχουν ταυτόχρονα είτε θετικούς είτε αρνητικούς ρυθμούς μεταβολής. - 32 - Θανάσης Νικολόπουλος, καθηγητής Μαθηµατικών

Μαθηµατικά Γ΄Λυκείου • Διαφορικός Λογισµός Ρυθµός µεταβολής • Γ΄ΜΕΡΟΣ • Λυµένες ασκήσεις στον Ρυθµό Μεταβολής Άσκηση 12Το ύψος του νερού σε ένα κυλινδρικό δοχείο, ανεβαίνει με ρυθμό 10 cm/s. Αν η ακτίνα της βάσης του πδοχείου είναι 8 cm, να υπολογίσετε τον ρυθμό με τον οποίο αυξάνει ο όγκος του νερού.Δίνεται ότι ο όγκος του κυλίνδρου, με ακτίνα βάσης r και ύψος h, είναι V = πr2h .Η συγκεκριμένη άσκηση αφορά ένα γεωμετρικό στερεό πέρα από τα συνήθη,για τα οποία γνωρίζουμε ήδη τύπους. Όπως έχουμε πει, σε τέτοιες περιπτώ-σεις η εκφώνηση θα δίνει τους απαραίτητους τύπους για να λύσουμε την άσ-κηση. Εδώ, πράγματι, έχουμε να κάνουμε με κύλινδρο και η εκφώνηση μάςπαρέχει τον τύπο για τον υπολογισμό του όγκου του.Το κυλινδρικό δοχείο έχει σταθερή ακτίνα βάσης r = 8 cm και ύψος υ(άγνωστο). Καθώς το δοχείο γεμίζει με νερό, ο όγκος του νερού προφανώςταυτίζεται με τον όγκο του δοχείου που καταλαμβάνει και υπολογίζεται απότον τύπο που δίνεται στην εκφώνηση, όπου h εδώ είναι το ύψος του νερούμέσα στο δοχείο, το οποίο μεταβάλλεται, σύμφωνα με την εκφώνηση, συναρ-τήσει του χρόνου, άρα προσδιορίζεται από συνάρτηση της μορφής h(t).Επιπλέον, το ύψος ανεβαίνει με ρυθμό 10 cm / s , άρα η συνάρτηση h(t) έχειπαράγωγο h′(t) = π 10 cm / s (σταθερή). πΟ όγκος, V, του νερού μεταβάλλεται επίσης συναρτήσει του χρόνου, άραπροσδιορίζεται από συνάρτηση της μορφής V(t), με τύπο V(t) = πr2 ⋅ h(t) .Παραγωγίζοντας εδώ ως προς t έχουμε V′(t) = πr2 ⋅ h′(t) και αντικαθιστώντας την παραπάνω τιμή του 10h′(t) έχουμε V′(t) = π ⋅ 82 ⋅ π = 640 cm3 / s , συνεπώς ο όγκος του νερού αυξάνει με ρυθμό 640 cm³/s. - 33 - Θανάσης Νικολόπουλος, καθηγητής Μαθηµατικών

Μαθηµατικά Γ΄Λυκείου • Διαφορικός ΛογισµόςΡυθµός µεταβολής • Γ΄ΜΕΡΟΣ • Λυµένες ασκήσεις στον Ρυθµό Μεταβολής Άσκηση 13Κωνική δεξαμενή, με διάμετρο βάσης και ύψος ίσα με 6 μέτρα, γεμίζει από την κορυφή της με σταθερήπαροχή νερού ίση με 8π m³/min. Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της ακτίνας της στάθμης του νερού,όταν η ακτίνα αυτή γίνει 2 m.Δίνεται ότι ο όγκος του κώνου, με ακτίνα βάσης ρ και ύψος υ, είναι V= 1 πρ2υ . 3Η συγκεκριμένη άσκηση αφορά ένα γεωμετρικό στερεό πέρα από τα συνή-θη, για τα οποία ήδη γνωρίζουμε τύπους. Όπως και στην άσκηση 12 ανα-φέρθηκε, η άσκηση πάλι μάς δίνει τους απαραίτητους τύπους για να λύ-σουμε την άσκηση.Το σχήμα στην άσκηση αυτή έχει μεγάλη σημασία. Η λύση μας θα βασιστείσ’ αυτό και μάλιστα κατά τρόπο ουσιαστικό. Πράγματι· θα χρειαστούμεβασικές γνώσεις Γεωμετρίας (συγκεκριμένα, την ομοιότητα τριγώνων). Εδώυπάρχει μία επιπλέον δυσκολία, καθώς το σχήμα μας είναι στερεό σχήμα,στον τριδιάστατο χώρο, οπότε τα επίπεδα σχήματα (τρίγωνα) που θα χρει-αστούμε πρέπει να προσδιοριστούν με προσοχή και σαφήνεια.Επιπλέον, είναι σημαντικό να δώσουμε κάποιες σχετικές πληροφορίες, κυ-ρίως τα μεγέθη της εκφώνησης, και πού/πώς αντιστοιχίζονται στο σχήμα μας. Έτσι θα συμβολίσουμε καιθα προσδιορίσουμε ξεκάθαρα τις ακτίνες της βάσης και της στάθμης του νερού, όπως και τα ύψη τηςδεξαμενής, αλλά και του κενού χώρου πάνω από το νερό. Αυτά τα στοιχεία οφείλουμε να τα καταγρά-ψουμε, πριν ξεκινήσει η επίλυση της άσκησης.Η κωνική δεξαμενή της άσκησης έχει διάμετρο βάσης δ = ΛΜ = 6 m, άρα η ακτίνα της βάσης της είναι δΚΛ = R = 2 = 3 m . Το ύψος της δεξαμενής είναι h = OK = 6 m.Καθώς η δεξαμενή γεμίζει, το νερό καταλαμβάνει τον χώρο στην βάση της, αφήνοντας επάνω κενό, επί-σης κωνικού σχήματος.Έστω ρ = ΑΒ η ακτίνα της κυκλικής επιφάνειας του νερού μέσα στην δεξαμενή. Η ακτίνα αυτή είναικαι η ακτίνα της βάσης της κωνικής περιοχής που βρίσκεται πάνω από το νερό και είναι ακόμα κενή.Έστω, ακόμα, υ = ΟΑ το ύψος του κενού χώρου της δεξαμενής.Τα δύο μεγέθη, ρ και υ, προφανώς μεταβάλλονται (συγκεκριμένα, μειώνονται) συναρτήσει του χρόνου,καθώς η στάθμη του νερού ανεβαίνει. Άρα προσδιορίζονται από συναρτήσεις της μορφής ρ(t) και υ(t)αντίστοιχα.Έστω t0 η χρονική στιγμή, κατά την οποία η ακτίνα της στάθμης του νερού γίνεται 2 m. Τότε θα είναιρ(t0) = 2 m .Από το σχήμα διαπιστώνουμε ότι τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΚΛ είναι όμοια (αφού και τα δύο είναι ορθο-γώνια ­με τις γωνίες Α και Κ ορθές­ και έχουν κοινή οξεία γωνία ­την ΑΟΒ). Από την ομοιότητα αυτήπροκύπτει ΟΑ = ΟΚ ⇔ υ(t) = h . ΑΒ ΚΛ ρ(t) RΕπομένως είναι υ(t) = 6 =2⇔ υ(t) = 2ρ(t) (1) ρ(t) 3Ο όγκος της κενής κωνικής περιοχής είναι V= 1 πρ2υ και, επειδή μεταβάλλεται συναρτήσει του 3 1 (1) 1 2χρόνου, είναι V(t) = 3 π ⋅ ρ2(t) ⋅ υ(t) 3 π ⋅ ρ2(t) ⋅ 2ρ(t) = 3 π ⋅ ρ3(t) . = - 34 - Θανάσης Νικολόπουλος, καθηγητής Μαθηµατικών

Μαθηµατικά Γ΄Λυκείου • Διαφορικός ΛογισµόςΡυθµός µεταβολής • Γ΄ΜΕΡΟΣ • Λυµένες ασκήσεις στον Ρυθµό ΜεταβολήςΠαραγωγίζοντας ως προς t έχουμε V′(t) = 2 π ⋅ 3 ρ2(t) ⋅ ρ′(t) = 2π ⋅ ρ2(t) ⋅ ρ′(t) . 3Από την εκφώνηση έχουμε ότι η παροχή νερού στην δεξαμενή είναι σταθερή και ίση με 8π m³/min, πουσημαίνει ότι ο όγκος που καταλαμβάνει το νερό μέσα στην δεξαμενή αυξάνεται μ’ αυτόν τον ρυθμό.Επομένως, ο κενός κωνικός χώρος πάνω από το νερό μειώνεται, αντίστοιχα, με ρυθμό ­8π m³/min.Για την χρονική στιγμή t0 έχουμε V′(t0) = 2π ⋅ ρ2(t0) ⋅ ρ′(t0) , όπου ρ(t0) = 2 m , V′(t0) = −8π m3 / min .Αντικαθιστώντας τις τιμές αυτές έχουμε −8π = 2π ⋅ 22 ⋅ ρ′(t0) ⇔ ρ′(t0) = −1 m / min , δηλαδή, όταν ηακτίνα της στάθμης του νερού γίνει 2 m, τότε αυτή μειώνεται με ρυθμό ­1 m/min.Παρατηρήσεις.α) Οι ρυθμοί μεταβολής της ακτίνας της στάθμης του νερού και του όγκου του κενού χώρου που απο-μένει μέσα στην δεξαμενή είναι αρνητικοί, ακριβώς διότι εκφράζουν την μείωση των μεταβαλλόμενωνμεγεθών.β) Η μονάδα μέτρησης του ρυθμού μεταβολής της ακτίνας προκύπτει εύκολα από τις μονάδες μέτρη-σης, τόσο των μηκών του σχήματος (ακτίνες και ύψη είναι σε μέτρα), όσο και του χρόνου στον ρυθμόμεταβολής του όγκου (όπου βλέπουμε ότι ο χρόνος μετράται σε λεπτά). Άσκηση 14Έστω Ε το εμβαδόν του τριγώνου που ορίζουν τα σημεία Α(x , 0) , B(0 , ex ) και Ο(0 , 0) , με x > 0 . Αν τοx μεταβάλλεται με ρυθμό 3 cm/s, να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του Ε, όταν x = 4 cm.Τοποθετώντας τα σημεία Α, Β και Ο σε σύστημα αξόνων, από τις συντεταγμένεςτους καταλαβαίνουμε ότι το Ο είναι η αρχή του συστήματος αξόνων, το Α βρίσ-κεται στον θετικό ημιάξονα Ox (αφού είναι x > 0 ) και το Β βρίσκεται στον θετικόημιάξονα Oy (αφού είναι ex > 0 ).Άρα το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο στο Ο, με κάθετες πλευρές ΟΑ = xΑ = x , ΟΑ ⋅ ΟΒ xexOB = yB = ex , x > 0 , οπότε το εμβαδόν του είναι Ε = 2 = 2 , x>0.Αφού το x μεταβάλλεται συναρτήσει του χρόνου, είναι x = x(t) και ισχύειx′(t) = +3 cm / s , όπως προκύπτει από τα δεδομένα της άσκησης (δηλαδή η x(t) αυξάνεται με σταθερόρυθμό, ίσο με 3 cm/s).Συνεπώς και το εμβαδόν, Ε, θα μεταβάλλεται συναρτήσει του χρόνου, σύμφωνα με την συνάρτηση E(t) = x(t) ⋅ ex(t) , t>0. 2Εδώ παρατηρούμε κάτι που έχει αναφερθεί στην μεθοδολογία: το εμβαδόν, Ε, μεταβάλλεται συναρτήσειτου x, το οποίο με την σειρά του μεταβάλλεται συναρτήσει του χρόνου. Επομένως και το εμβαδόν θαμεταβάλλεται, τελικά, συναρτήσει του χρόνου.Ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού θα είναι ⋅ ⎩⎪⎪⎪⎧⎨⎪x′(t) ⋅ ex(t) + x(t) ⋅ ⎣⎢⎡ex(t) ⎦⎥⎤′⎪⎬⎪⎪⎪⎭⎫ = E′(t) = 1 1 ⋅ ⎡⎢⎣x′(t) ⋅ ex(t) + x(t) ⋅ ex(t) ⋅ x′(t)⎥⎦⎤ . 2 2Την χρονική στιγμή t0 , κατά την οποία είναι x(t0) = 4 cm , x′(t0) = 3 cm / s , θα έχουμε επομένως - 35 - Θανάσης Νικολόπουλος, καθηγητής Μαθηµατικών