ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - Κεφ.3 - Παράγραφος 3.2 (ασκήσεις Κ3)

Β΄ Λυκείου - Άλγεβρα Τριγωνοµετρία ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κατηγορία 3 Εφαρµογές των βασικών τριγωνοµετρικών ταυτοτήτων Νέα Μουδανιά • Σεπτέµβριος 2021

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3η κατηγορία ασκήσεων Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 2 • Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Εφαρµογές των βασικών τριγωνοµετρικών ταυτοτήτων Να προσέξεις πάρα πολύ τις ασκήσεις 66 έως και 73, διότι εμφανίζουν ένα πολύ χαρακτηριστικό «σενάριο» στις ασκήσεις: Είναι γνωστή η τιμή η τιμή του ημιτόνου ή του συνημιτόνου μιας γωνίας και ζητείται να βρεθεί η τιμή των υπόλοιπων τριγωνομετρικών αριθμών αυτής της γωνίας. Επειδή είναι πολύ χαρακτηριστικές οι ασκήσεις, δείχνω την λύση κάθε φορά βήμα προς βήμα (έτσι ακριβώς να τα κάνεις και να τα γράφεις εσύ). Άσκηση 66 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να βρεθούν οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας ω, όταν ηµω = 5 και 90ο < ω < 180ο . 13 Λύση ➊ Από την σχέση ηµ2ω + συν2ω = 1 έχω ⎛⎝⎜⎜⎜153⎟⎞⎠⎟⎟⎟2 + συν2ω = 1 ⇔ 25 + συν2ω = 1 ⇔ συν2ω = 1− 25 = 169 − 25 ⇔ συν2ω = 144 ⇔ 169 169 169 169 ⇔ συνω = ± 144 ⇔ συνω = ± 12 . 169 13 ➋ Αφού 90ο < ω < 180ο , είναι συνω < 0 , οπότε συνω = − 12 . 13 ➌ Είναι 5 εϕω = ηµω = 13 ⇔ εϕω = − 5 . συνω − 12 12 13 ➍ Τέλος, εϕω ⋅ σϕω = 1 ⇔ σϕω = 1 ⇔ σϕω = − 12 . εϕω 5 - 36 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 2 • Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 67 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να βρεθούν οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας ω, όταν ηµω = − 4 και ω ∈ ⎜⎜⎛⎜⎝ 3π , 2π⎞⎟⎟⎟⎟⎠ . 5 2 Λύση ➊ Από την σχέση ηµ2ω + συν2ω = 1 έχω ⎜⎝⎛⎜⎜− 54 ⎟⎟⎟⎟⎠⎞2 + συν2ω = 1 ⇔ 16 + συν2ω =1 ⇔ συν2ω = 1− 16 = 25 − 16 ⇔ συν2ω = 9 ⇔ 25 25 25 25 ⇔ συνω = ± 9 ⇔ συνω = ± 3 . 25 5 ➋ Αφού ω ∈ ⎜⎜⎝⎛⎜ 3π , 2π⎞⎟⎟⎟⎟⎠ , είναι συνω > 0 , οπότε συνω = 3 . 2 5 ➌ Είναι εϕω = ηµω = −4 ⇔ εϕω = − 4 . συνω 5 3 3 5 ➍ Τέλος, εϕω ⋅ σϕω = 1 ⇔ σϕω = 1 ⇔ σϕω = − 3 . εϕω 4 - 37 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 2 • Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 68 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να βρεθούν οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας ω, αν συνω = − 2 και π<ω< 3π . 3 2 Λύση ➊ Από την σχέση ηµ2ω + συν2ω = 1 έχω ηµ2ω + ⎜⎜⎛⎜⎝− 2 ⎞⎟⎠⎟⎟⎟2 =1⇔ ηµ2ω + 4 =1⇔ ηµ2ω = 1− 4 = 9−4 ⇔ ηµ2ω = 5 ⇔ 3 9 9 9 9 ⇔ ηµω = ± 5 ⇔ ηµω = ± 5 . 9 3 ➋ Αφού π < ω < 3π , είναι ηµω < 0 , οπότε ηµω = − 5 . 2 3 ➌ Είναι εϕω = ηµω = − 5 ⇔ εϕω = 5 . συνω − 2 3 2 3 ➍ Τέλος, εϕω ⋅ σϕω = 1 ⇔ σϕω = 1 = 2 = 25 ⇔ σϕω = 25 . εϕω 5 5 2 5 - 38 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 2 • Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 69 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να βρεθούν οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας ω, αν συνω = 3 και ω ∈ ⎛⎜⎜⎜⎝ 3π , 2π⎟⎟⎞⎟⎠⎟ . 2 2 Λύση ➊ Από την σχέση ηµ2ω + συν2ω = 1 έχω ηµ2ω + ⎜⎜⎝⎜⎛⎜⎜ 3 ⎟⎟⎞⎠⎟⎟⎟2 =1⇔ ηµ2ω + 3 =1⇔ ηµ2ω = 1 − 3 = 4−3 ⇔ ηµ2ω = 1 ⇔ 2 4 4 4 4 ⇔ ηµω = ± 1 ⇔ ηµω = ± 1 . 4 2 ➋ Αφού ω ∈ ⎜⎛⎝⎜⎜ 3π , 2π⎟⎞⎟⎠⎟⎟ , είναι ηµω < 0 , οπότε ηµω = − 1 . 2 2 ➌ Είναι ηµω −1 =− 1 =− 3 3 ➍ Τέλος, συνω 2 3 3 εϕω = = 3 2 ⇔ εϕω = − . 3 2 εϕω ⋅ σϕω =1⇔ σϕω = 1 ⇔ σϕω = − 3 . εϕω - 39 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 2 • Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 70 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να βρεθούν οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας ω, όταν ηµω = 12 και 90ο < ω < 180ο . 13 Λύση ➊ Από την σχέση ηµ2ω + συν2ω = 1 έχω ⎛⎜⎝⎜⎜1132⎟⎟⎟⎟⎠⎞2 + συν2ω =1⇔ 144 + συν2ω =1⇔ συν2ω = 1− 144 = 169 − 144 ⇔ συν2ω = 25 ⇔ 169 169 169 169 ⇔ συνω = ± 25 ⇔ συνω = ± 5 . 169 13 ➋ Αφού 90ο < ω < 180ο , είναι συνω < 0 , οπότε συνω = − 5 . 13 ➌ Είναι 12 εϕω = ηµω = 13 ⇔ εϕω = − 12 . συνω −5 5 13 ➍ Τέλος, εϕω ⋅ σϕω = 1 ⇔ σϕω = 1 ⇔ σϕω = − 5 . εϕω 12 - 40 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 2 • Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 71 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να βρεθούν οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας ω, όταν ηµω = 12 και ω ∈ ⎜⎝⎜⎜⎛0 , π ⎟⎞⎟⎠⎟⎟ . 13 2 Λύση ➊ Από την σχέση ηµ2ω + συν2ω = 1 έχω ⎜⎝⎜⎜⎛1132⎟⎟⎠⎞⎟⎟2 + συν2ω =1⇔ 144 + συν2ω =1⇔ συν2ω = 1− 144 = 169 − 144 ⇔ συν2ω = 25 ⇔ 169 169 169 169 ⇔ συνω = ± 25 ⇔ συνω = ± 5 . 169 13 ➋ Αφού ω ∈ ⎜⎝⎛⎜⎜0 , π ⎟⎟⎟⎞⎠⎟ , είναι συνω > 0 , οπότε συνω = 5 . 2 13 ➌ Είναι εϕω = ηµω = 12 ⇔ εϕω = 12 . συνω 5 13 5 13 ➍ Τέλος, εϕω ⋅ σϕω = 1 ⇔ σϕω = 1 ⇔ σϕω = 5 . εϕω 12 - 41 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 2 • Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 72 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να βρεθούν οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας ω, αν συνω = − 7 και π<ω< 3π . 9 2 Λύση ➊ Από την σχέση ηµ2ω + συν2ω = 1 έχω ηµ2ω + ⎛⎜⎜⎜⎝− 7 ⎠⎞⎟⎟⎟⎟2 = 1 ⇔ ηµ2ω + 49 = 1 ⇔ ηµ2ω = 1− 49 = 81 − 49 ⇔ ηµ2ω = 32 ⇔ 9 81 81 81 81 ⇔ ηµω = ± 32 =± 32 ⇔ ηµω =± 42 . 81 9 9 ➋ Αφού π < ω < 3π , είναι ηµω < 0 , οπότε ηµω = − 42 . 2 9 ➌ Είναι εϕω = ηµω = −4 2 ⇔ εϕω = 42 . συνω 9 7 −7 9 ➍ Τέλος, εϕω ⋅ σϕω = 1 ⇔ σϕω = 1 = 7 = 7 2 ⇔ σϕω = 72 . εϕω 42 4 8 2 2 - 42 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 2 • Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 73 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να βρεθούν οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας ω, αν συνω = 3 και 0<ω< π . 5 2 Λύση ➊ Από την σχέση ηµ2ω + συν2ω = 1 έχω ηµ2ω + ⎜⎜⎛⎝⎜⎜⎜ 3 ⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞2 =1⇔ ηµ2ω + 3 =1⇔ ηµ2ω = 1− 3 = 25 − 3 ⇔ ηµ2ω = 22 ⇔ 5 25 25 25 25 ⇔ ηµω = ± 22 ⇔ ηµω =± 22 . 25 5 ➋ Αφού 0 < ω < π , είναι ηµω > 0 , οπότε ηµω = 22 . 2 5 ➌ Είναι 22 εϕω = ηµω = 5 = 22 = 22 ⋅ 3 ⇔ εϕω = 66 . συνω 3 3 32 3 5 ➍ Τέλος, εϕω ⋅ σϕω = 1⇔ σϕω = 1 = 3 = 3 66 = 3 66 ⇔ σϕω = 66 . εϕω 66 66 22 2 66 - 43 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 2 • Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 74 Αν είναι εϕx = 2 , να βρείτε την τιμή της παράστασης Α = 3συν2x + 5ηµx ⋅ συνx − 2ηµ2x . Λύση Από την σχέση εϕx = 2 προκύπτει ηµx = 2 ⇔ ηµx = 2συνx , συνx οπότε είναι ( )Α = 3συν2x + 5 ⋅ 2συνx ⋅ συνx − 2 2συνx 2 = 3συν2x + 10συν2x − 8συν2x ⇔ ⇔ Α = 5συν2x (1) Από την σχέση συν2x = 1 προκύπτει 1 + εϕ2x συν2x = 1 ⇔ συν2x = 1 , 1 + 22 5 οπότε από την (1) έχω ότι Α= 5⋅ 1 ⇔ Α=1 . 5 Άσκηση 75 Αν ισχύει x = 2συνθ , y = 3ηµθ , να δείξετε ότι 9x2 + 4y2 = 36 . Λύση Είναι ( ) ( ) ( )9x2 + 4y2 = 9 ⋅ 2συνθ 2 + 4 ⋅ 3ηµθ 2 = 36συν2θ + 36ηµ2θ = 36 ηµ2θ + συν2θ = 36 ⋅1 = = 36 . - 44 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 2 • Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 76 Αν x = ρ ⋅ ηµθ ⋅ συνϕ , y = ρ ⋅ ηµθ ⋅ ηµϕ , z = ρ ⋅ συνθ , να δείξετε ότι x2 + y2 + z2 = ρ2 . Λύση Είναι ( ) ( ) ( )x2 + y2 + z2 = ρ ⋅ ηµθ ⋅ συνϕ 2 + ρ ⋅ ηµθ ⋅ ηµϕ 2 + ρ ⋅ συνθ 2 = ( )= ρ2 ⋅ ηµ2θ ⋅ συν2ϕ + ρ2 ⋅ ηµ2θ ⋅ ηµ2ϕ + ρ2 ⋅ συν2θ = ρ2 ⋅ ηµ2θ ⋅ συν2ϕ + ηµ2ϕ + ρ2 ⋅ συν2θ = ( )= ρ2 ⋅ ηµ2θ ⋅ 1 + ρ2 ⋅ συν2θ = ρ2 ⋅ ηµ2θ + συν2θ = ρ2 ⋅ 1 = ρ2 . Άσκηση 77 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να δείξετε ότι δεν υπάρχει x ∈ ! , ώστε να είναι ηµx = 0 και συνx = 0 . Πηγή: Άλγεβρα Α΄ Λυκείου (σχολικό βιβλίο), Ο.Ε.Δ.Β, 1990 (;). Λύση ΠΟΛΥ ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ, με ισχύ σε πολλές ασκήσεις των Μαθηματικών! Όταν ζητείται να δείξεις ότι κάτι δεν ισχύει, τότε χρησιμοποίησε την μέθοδο που αποκαλείται «εις άτοπον απαγωγή». Σύμφωνα με αυτήν την μέθοδο, ξεκίνα υποθέτοντας ότι ισχύει το αντίθετο από αυτό που η άσκηση ζητάει να δείξεις και, στηριζόμενος σε προτάσεις και ιδιότητες της θεω- ρίας, συνέχισε με αυτό το σκεπτικό την άσκηση, ώσπου να καταλήξεις σε ένα συμπέ- ρασμα που θα είναι: α) αντικειμενικά λάθος (π.χ., 0 = 1 ). β) λάθος σύμφωνα με κάποια πρόταση ­ ιδιότητας της θεωρίας των Μαθηματικών (π.χ., να καταλήξεις ότι είναι x2 + 1 = 0 , που δεν ισχύει, αφού είναι γνωστό ότι x2 + 1 > 0 , για κάθε x ∈ ! ). γ) συμπέρασμα αντίθετο με κάποιο από τα δεδομένα της άσκησης. Το λανθασμένο συμπέρασμα στο οποίο θα καταλήξεις αποκαλείται «άτοπο» και αυτό θα σημαίνει ότι η υπόθεσή σου δεν είναι σωστή, συνεπώς θα ισχύει αυτό που ζητούσε - 45 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 2 • Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η άσκηση να αποδείξεις. Κάτι ακόμη που πρέπει να προσέξεις πολύ, είναι καθαυτό το συμπέρασμα της άσκησης 77, το οποίο λέει ότι το ημίτονο και το συνημίτονο της ίδιας γωνίας, δεν γίνεται να είναι ταυτοχρόνως ίσα με μηδέν. Αυτό είναι κάτι που θα συναντήσεις σε ασκήσεις της Τριγωνομετρίας (και όχι μόνο). Έστω ότι υπάρχει x ∈ ! , ώστε να ισχύει το ζητούμενο. Τότε, από την σχέση ηµ2x + συν2x = 1 θα ισχύει και 02 + 02 = 1 , που είναι άτοπο. Άρα δεν υπάρχει x ∈ ! , ώστε να είναι ηµx = 0 και συνx = 0 . Άσκηση 78 Να δείξετε ότι υπάρχει γωνία x, ώστε να ισχύουν ηµx = 12 , συνx =− 5 , και να 13 13 βρείτε το τεταρτημόριο του τριγωνομετρικού κύκλου στο οποίο αυτή καταλήγει. Λύση Αν υπάρχει η ζητούμενη γωνία, τότε θα πρέπει να ισχύει ηµ2x + συν2x = 1 ⇔ ⎜⎜⎝⎛⎜1132⎞⎟⎠⎟⎟⎟2 + ⎜⎜⎜⎝⎛− 5 ⎟⎟⎠⎟⎟⎞2 = 1 ⇔ 144 + 25 = 1 ⇔ 169 = 1, 13 169 169 169 που ισχύει. Άρα όντως υπάρχει γωνία x, ώστε να ισχύει το ζητούμενο. Επειδή είναι ηµx > 0 και συνx < 0 , η γωνία x καταλήγει στο δεύτερο τεταρτημόριο. - 46 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 2 • Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 79 Αν ηµx = 12 και 0<x< π , να βρεθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης 15 2 Α = 2εϕx − 3συνx + 2σϕx . 5ηµx Πηγή: Άλγεβρα Α΄ Λυκείου (σχολικό βιβλίο), Ο.Ε.Δ.Β, 1990 (;). Λύση Από την σχέση ηµ2x + συν2x = 1 έχω ⎜⎜⎜⎛⎝1125⎞⎟⎟⎟⎠⎟2 + συν2x = 1 ⇔ 144 + συν2x =1 ⇔ συν2x = 1− 144 = 225 − 144 ⇔ 225 225 225 ⇔ συν2x = 81 ⇔ συνx = ± 81 ⇔ συνx = ± 9 . 225 225 15 Αφού 0 < x < π , είναι συνx > 0 , οπότε είναι συνx = 9 . 2 15 Επίσης, είναι εϕx = ηµx = 12 = 12 ⇔ εϕx = 4 . συνx 9 3 15 9 15 Από την σχέση εϕx ⋅ σϕx = 1 έχω τότε σϕx = 1 ⇔ σϕx = 3 . εϕx 4 Τελικά, είναι 2⋅ 4 − 3 ⋅ 9 +2⋅3 8 − 9 + 3 80 − 54 + 45 71 71 3 15 4 3 5 2 30 120 Α= = = 4 = 30 ⇔ Α = . 12 4 4 5 ⋅ 15 - 47 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 2 • Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 80 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Αν ισχύει 9εϕ2x − 16 = 0 και π<x< 3π , να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς 2 αριθμούς της γωνίας x rad. Λύση Στην άσκηση αυτή θα δεις σενάριο παρόμοιο με αυτό των ασκήσεων 66 έως 73: θα δεις πώς θα βρεις τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας γωνίας, όταν γνωρίζεις την τιμή της εφαπτομένης της. Από την σχέση 9εϕ2x − 16 = 0 προκύπτει 9εϕ2x = 16 ⇔ εϕ2x = 16 ⇔ εϕx = ± 16 ⇔ εϕx = ± 4 . 9 9 3 Αφού π < x < 3π , είναι εϕx > 0 , οπότε εϕx = 4 . 2 3 Από την σχέση εϕx ⋅ σϕx = 1 έχω τότε σϕx = 1 ⇔ σϕx = 3 . εϕx 4 Από την σχέση συν2x = 1 προκύπτει 1 + εϕ2x συν2x = 1 = 1 ⇔ συν2x = 1 ⇔ συν2x = 9 ⇔ συνx = ± 9 ⇔ 25 25 25 1 + ⎛⎜⎜⎝⎜ 4 ⎟⎠⎟⎟⎟⎞2 1+ 16 3 9 9 ⇔ συνx = ± 3 . 5 Αφού π < x < 3π , είναι συνx < 0 , οπότε συνx = − 3 . 2 5 Τέλος, είναι εϕx = ηµx ⇔ ηµx = εϕx ⋅ συνx = 4 ⋅ −3 ⇔ ηµx = − 4 . συνx 3 5 5 - 48 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 2 • Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 81 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας x, αν ισχύουν 8ηµ2x = συν2x και x ∈ ⎜⎛⎝⎜⎜ π , 32π ⎟⎠⎞⎟⎟⎟ . 2 Λύση Αντικαθιστώ την σχέση συν2x = 8ηµ2x στην ηµ2x + συν2x = 1 και έχω ηµ2x + 8ηµ2x =1⇔ 9ηµ2x =1⇔ ηµ2x = 1 ⇔ ηµx =± 1 ⇔ ηµx = ± 1 (1) 9 9 3 Πρόσεξε πολύ την συνέχεια! Αφού x ∈ ⎛⎝⎜⎜⎜ π , 3π ⎠⎟⎞⎟⎟⎟ , διακρίνω τις εξής περιπτώσεις: 2 2 α) όταν x ∈ ⎜⎝⎛⎜⎜ π , π⎥⎥⎦⎤ , τότε είναι ηµx ≥ 0 , άρα από την (1) έχω ότι ηµx = 1 . 2 3 Επίσης, από την σχέση συν2x = 8ηµ2x έχω συν2x = 8 ⋅ 1 = 8 ⇔ συνx = ± 8 ⇔ συνx = ± 8 ⇔ συνx =± 22 . 9 9 9 3 3 Για x ∈ ⎝⎛⎜⎜⎜ π , π⎥⎥⎦⎤ είναι συνx < 0 , οπότε συνx = − 22 . 2 3 Είναι και 1 εϕx = ηµx = 3 2 =− 1 =− 2 ⇔ εϕx = − 2 . συνx 2 22 2 4 − 2 2 3 Τέλος, είναι εϕx ⋅ σϕx =1⇔ σϕx = 1 ⇔ σϕx = −2 2 . εϕx - 49 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 2 • Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ β) όταν x ∈ ⎣⎢⎢⎡π , 3π ⎟⎟⎞⎟⎠⎟ , τότε είναι ηµx ≤ 0 , άρα από την (1) έχω ότι ηµx = − 1 . 2 3 Επίσης, από την σχέση συν2x = 8ηµ2x έχω συν2x = 8⋅ 1 = 8 (α) συνx = ± 22 . 9 9 3 ⇔ Για x ∈ ⎡⎣⎢⎢π , 32π⎠⎟⎟⎟⎞⎟ είναι συνx < 0 , οπότε συνx = − 22 . 3 Είναι και ηµx −1 =1⇔ 2 συνx 3 22 4 εϕx = = 2 2 εϕx = . − 3 Τέλος, είναι εϕx ⋅ σϕx = 1 ⇔ σϕx = 1 ⇔ σϕx = 2 2 . εϕx Άσκηση 82 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Αν το συνx είναι ρίζα της εξίσωσης 2ω2 + 5ω + 2 = 0 και είναι εϕx > 0 , να βρείτε την τιμή της παράστασης Α = 2συνx − 3 ηµx . εϕx + σϕx Λύση Εύκολα προκύπτει ότι η εξίσωση έχει ρίζες ω=− 1 και ω = −2 . 2 Αφού το συνx είναι ρίζα της εξίσωσης και ισχύει −1 ≤ συνx ≤ 1 , για κάθε x ∈ ! , η ρίζα ­2 απορρίπτεται, οπότε είναι συνx = − 1 . 2 Από την σχέση ηµ2x + συν2x = 1 έχω τότε - 50 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 2 • Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ηµ2x + ⎜⎛⎜⎜⎝− 21 ⎠⎟⎟⎟⎟⎞2 = 1 ⇔ ηµ2x + 1 = 1 ⇔ ηµ2x = 1− 1 ⇔ ηµ2x = 3 ⇔ ηµx = ± 3 ⇔ 4 4 4 4 ⇔ ηµx = ± 3 . 2 Αφού είναι εϕx > 0 , είναι ηµx > 0 ⇒ ηµx < 0 , αφού είναι συνx < 0 , συνεπώς συνx ηµx = − 3 . 2 Επίσης, είναι εϕx = ηµx = − 3 ⇔ εϕx = 3 . συνx − 2 1 2 Τέλος, από την σχέση εϕx ⋅ σϕx = 1 έχω σϕx = 1 = 1⇔ σϕx = 3 . εϕx 3 3 Άρα είναι 2 ⋅ −1 − 3 ⋅ −3 3 − 2 1 2 3 2 2 2 2 =2 =3= 3⇔ 8 Α= = 83 83 Α= . 3 3 3+ 3 43 3+ 3 3 3 - 51 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 2 • Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 83 Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας x, αν είναι γνωστό ότι ισχύει 3ηµx + 4συνx = 5 . Λύση Από την σχέση της εκφώνησης προκύπτει 3ηµx = 5 − 4συνx ⇔ ηµx = 5 − 4συνx (1) 3 Αντικαθιστώ την (1) στην σχέση ηµ2x + συν2x = 1 και έχω ( ) ( )⎜⎜⎝⎛⎜5 − 4συνx ⎠⎟⎟⎟⎞⎟2 + συν2x = 1 ⇔ 5 − 4συνx 2 + συν2x = 1 ⇔ 5 − 4συνx 2 + 9συν2x = 9 ⇔ 3 9 ⇔ 25 + 16συν2x − 40συνx + 9συν2x − 9 = 0 ⇔ 25συν2x − 40συνx + 16 = 0 ⇔ ( )⇔ 5συνx − 4 2 = 0 ⇔ 5συνx − 4 = 0 ⇔ 5συνx = 4 ⇔ συνx = 4 . 5 Από την (1) έχω τότε 5 − 4 ⋅ 4 25 − 16 9 3 5 5 ηµx = 3 = 5 = 5 ⇔ ηµx = . 3 3 Είναι και εϕx = ηµx = 3 ⇔ εϕx = 3 . Τέλος, είναι και συνx 4 5 4 5 εϕx ⋅ σϕx = 1 ⇔ σϕx = 1 ⇔ σϕx = 4 . εϕx 3 - 52 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 2 • Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 84 Αν είναι ηµx = 3 , συνy =− 5 , όπου x ∈ ⎛⎝⎜⎜⎜0 , π ⎞⎟⎠⎟⎟⎟ , y ∈ ⎛⎜⎜⎜⎝π , 3π ⎟⎟⎟⎞⎠⎟ , να βρείτε την τιμή της 5 13 2 2 παράστασης Α = ηµx ⋅ συνy + ηµy ⋅ συνx . Λύση Από την σχέση ηµ2x + συν2x = 1 έχω ⎝⎜⎜⎛⎜ 3 ⎟⎟⎟⎞⎟⎠2 + συν2x = 1 ⇔ 9 + συν2x = 1 ⇔ συν2x = 1− 9 ⇔ συν2x = 16 ⇔ συνx = ± 16 ⇔ 5 25 25 25 25 ⇔ συνx = ± 4 . 5 Αφού x ∈ ⎜⎛⎝⎜⎜0 , π ⎟⎠⎞⎟⎟⎟ , είναι συνx > 0 , οπότε συνx = 4 . 2 5 Από την σχέση ηµ2y + συν2y = 1 έχω ηµ2y + ⎛⎜⎝⎜⎜− 5 ⎠⎞⎟⎟⎟⎟2 = 1 ⇔ ηµ2y + 25 = 1 ⇔ ηµ2y = 1− 25 = 169 − 25 ⇔ ηµ2y = 144 ⇔ 13 169 169 169 169 ⇔ ηµy = ± 144 ⇔ ηµy = ± 12 . 169 13 Αφού y ∈ ⎜⎜⎝⎜⎛π , 3π ⎟⎟⎞⎠⎟⎟ , είναι ηµy <0, οπότε ηµy = − 12 . 2 13 Τελικά, είναι Α = 3 ⋅ −5 + −12 ⋅ 4 = − 15 − 48 ⇔ Α = − 63 . 5 13 13 5 65 65 65 - 53 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 2 • Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 85 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! ( )Αν η εϕx είναι ρίζα της εξίσωσης ω2 − 1 − 3 ω− 3 = 0 και είναι π <x<π, 2 να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας x και να υπολογίσετε την παράσταση Α= 2συνx − 5 + 3σϕ2x − 2 . 1 +1 1 −1 ηµx σϕx Λύση Και στην άσκηση αυτή, για άλλη μία φορά θα δεις πώς θα βρεις τους τριγωνομετρι- κούς αριθμούς μιας γωνίας, όταν γνωρίζεις την εφαπτομένη αυτής της γωνίας. ( )Από την εξίσωση ω2 − 1 − 3 ω − 3 = 0 έχω ( )ω2 − ω + 3 ω − 3 = 0 ⇔ ω(ω − 1) + 3 (ω − 1) = 0 ⇔ (ω − 1) ω + 3 = 0 ⇔ ⇔ ω−1= 0 ή ω+ 3 = 0 ⇔ ω = 1 ή ω = − 3 . Επομένως είναι εϕx = 1 ή εϕx = − 3 . Αφού π < x < π , είναι εϕx < 0 , οπότε εϕx = − 3 . 2 Από την σχέση εϕx ⋅ σϕx = 1 έχω σϕx = 1 = 1 ⇔ σϕx = − 3 . εϕx −3 3 Από την σχέση συν2x = 1 έχω 1 + εϕ2x ( )συν2x = 1 ⇔ συν2x = 1 ⇔ συνx = ± 1 ⇔ συνx = ± 1 . 4 4 2 1+ − 2 3 Αφού π < x < π , είναι συνx < 0 , οπότε συνx = − 1 . 2 2 - 54 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 2 • Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επίσης, είναι εϕx = ηµx ⇔ ηµx = εϕx ⋅ συνx = − 3 ⋅ −1 ⇔ ηµx = 3 . συνx 2 2 Τέλος, για την παράσταση Α έχω 2 ⋅ −1 − 5 3 ⋅⎛⎜⎜⎜⎝⎜− 3 ⎞⎟⎠⎟⎟⎟⎟2 − 2 −6 3 ⋅ 3 −2 2 3 2 +1 9 Α= + = + = 1 +1 1 −1 − 3 −1 3 − 3 3 2 3 ( )= −6 − −1 = −6 3 + 1 −6 3 2 − 3 + 3 −1 = = ( )( ) ( )( )2+ 3 3 +1 2+ 3 3 +1 2+ 3 2− 3 3 +1 3 −1 3 = ( )− 6 3 2 − 3 + ( )3 −1 3+ 3 −1 = ( )3 − 1 − 12 3 2 − 3 = −6 3 2− 2 2= 2 2 22 − − 12 3 3 3 − 1 − 24 3 + 12 3 2 35 − 23 3 2 2 = ⇔ Α = . - 55 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 2 • Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 86 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Αν ισχύει η σχέση ηµω + συνω = 1 , να υπολογίσετε τις παραστάσεις: 5 α) ηµω ⋅ συνω . β) 1 + 1 . γ) ηµ3ω + συν3ω . ηµω συνω Πηγή: Γιώργος Μαυρίδης, Άλγεβρα Β΄Λυκείου, εκδόσεις Μαυρίδη, Θεσσαλονίκη, 2010. Λύση Πρόσεξε πολύ τα (α) και (γ) ! α. Από την σχέση της εκφώνησης έχω ( )ηµω 2 ⎜⎜⎝⎛⎜ 1 ⎟⎠⎞⎟⎟⎟2 ηµ2ω συν2ω 1 + συνω = 5 ⇒ + + 2ηµω ⋅ συνω = 25 ⇒ ⇒ 1 + 2ηµω ⋅ συνω = 1 ⇒ 2ηµω ⋅ συνω = 1 −1 ⇒ 2ηµω ⋅ συνω = − 24 ⇒ 25 25 25 ⇒ ηµω ⋅ συνω = − 12 . 25 β. Είναι 1 1 + 1 = συνω + ηµω (α) 5 = 1 ⇔ 1 + 1 = − 5 . ηµω συνω ηµω ⋅ συνω 12 12 ηµω συνω 12 = 5 − 25 − γ. Από την σχέση της εκφώνησης έχω ( )ηµω+ 3 = ⎜⎝⎛⎜⎜ 51 ⎟⎟⎠⎟⎟⎞3 ηµ3ω + 3ηµ2ω + 3ηµω ⋅ συν2ω συν3ω 1 συνω ⇒ ⋅ συνω + = 125 ⇒ ( )⇒ ηµ3ω + συν3ω + 3ηµω ⋅ συνω ⋅ = 1 (α) ηµω + συνω 125 ⇒ ⇒ ηµ3ω + συν3ω + 3⋅ −12 ⋅ 1 = 1 ⇒ ηµ3ω + συν3ω = 1 + 36 ⇒ 25 5 125 125 125 ⇒ ηµ3ω + συν3ω = 37 . 125 - 56 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 2 • Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 87 Αν είναι συνθ = 2 και η γωνία θ ανήκει στο τέταρτο τεταρτημόριο του τριγωνομε- 2 τρικού κύκλου, να βρείτε την τιμή της παράστασης Α = ηµ6θ + συν6θ . ηµ3θ − συν3θ Λύση Από την σχέση ηµ2θ + συν2θ = 1 έχω ηµ2θ + ⎜⎜⎝⎜⎜⎜⎛ 2 ⎟⎠⎞⎟⎟⎟⎟2 =1⇔ ηµ2θ + 2 =1⇔ ηµ2θ + 1 =1⇒ ηµ2θ = 1− 1 ⇔ ηµ2θ = 1 ⇔ 2 4 2 2 2 ⇔ ηµθ = ± 1 ⇔ ηµθ =± 1 ⇔ ηµθ = ± 2 . 2 2 2 Αφού η γωνία θ ανήκει στο τέταρτο τεταρτημόριο, είναι ηµθ < 0 , οπότε ηµθ = − 2 . 2 Είναι ηµθ + συνθ = − 2 + 2 ⇔ ηµθ + συνθ = 0 ⇔ ηµθ = −συνθ , 2 2 οπότε (( ))Α =−συνθ 6 + συν6θ συν6θ + συν6θ 2συν 6 θ = −⎜⎜⎛⎝⎜⎜⎜ 2 ⎠⎞⎟⎟⎟⎟⎟3 2 3 −συνθ 3 − συν3θ −συν3θ − συν3θ − 2 συν3θ 2 8 = = = −συν3θ =− = =− 2 2 ⇔ Α=− 2 . 8 4 - 57 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 2 • Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 88 Να βρεθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας θ, αν είναι ηµθ = −2συνθ και θ ∈ ⎜⎛⎜⎜⎝ π , π⎠⎞⎟⎟⎟⎟ . 2 Λύση Αντικαθιστώ την σχέση ηµθ = −2συνθ στην ηµ2θ + συν2θ = 1 και έχω ( )−2συνθ2 + συν2θ = 1 ⇔ 4συν2θ + συν2θ = 1 ⇔ 5συν2θ = 1 ⇔ συν2θ = 1 ⇔ 5 ⇔ συνθ = ± 1 ⇔ συνθ = ± 1 ⇔ συνθ = ± 5 . 5 5 5 Αφού θ ∈ ⎜⎜⎛⎝⎜ π , π⎞⎟⎟⎟⎟⎠ , είναι συνθ < 0 , οπότε συνθ = − 5 . 2 5 Από την σχέση της εκφώνησης έχω τότε ηµθ = −2 ⋅ −5 ⇔ ηµθ = 25 . 5 5 Είναι και 25 Τέλος, είναι και εϕθ = ηµθ = 5 ⇔ εϕθ = −2 . συνθ − 5 5 εϕθ ⋅ σϕθ =1⇔ σϕθ = 1 ⇔ σϕθ = − 1 . εϕθ 2 - 58 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 2 • Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 89 Να βρείτε την τιμή της παράστασης ( )( )2 ηµθ + συνθ − 3 ηµ2θ − συν2θ Α = εϕθ + σϕθ , αν ισχύει 2συνθ = 3ηµθ , θ ∈ ⎝⎛⎜⎜⎜0 , π2⎟⎟⎟⎟⎞⎠ . Λύση Από την σχέση 2συνθ = 3ηµθ έχω συνθ = 3ηµθ (1) 2 Αντικαθιστώ την (1) στην σχέση ηµ2θ + συν2θ = 1 και έχω ηµ2θ + ⎜⎛⎝⎜⎜ 3ηµθ ⎟⎞⎟⎟⎟⎠2 =1⇔ ηµ2θ + 9ηµ2θ =1⇔ 4ηµ2θ + 9ηµ2θ =4 ⇔ 13ηµ2θ =4 ⇔ 2 4 ⇔ ηµ2θ = 4 ⇔ ηµθ = ± 4 ⇔ ηµθ = ± 2 ⇔ ηµθ = ± 2 13 . 13 13 13 13 Αφού θ ∈ ⎜⎛⎜⎜⎝0 , π ⎟⎟⎟⎞⎟⎠ , είναι ηµθ >0, οπότε ηµθ = 2 13 . 2 13 Από την (1) έχω τότε συνθ = 3 ⋅ ηµθ = 3⋅ 2 13 ⇔ συνθ = 3 13 . 2 2 13 13 Είναι και εϕθ = ηµθ = 2 13 ⇔ εϕθ = 2 . συνθ 13 3 3 13 13 Επίσης, είναι εϕθ ⋅ σϕθ =1⇔ σϕθ = 1 ⇔ σϕθ = 3 . εϕθ 2 - 59 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 2 • Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άρα είναι 2 ⋅⎜⎜⎜⎜⎛⎝21313 + 3 13 ⎠⎟⎟⎞⎟⎟⎟ − 3 ⋅ ⎢⎢⎡⎣⎢⎢ ⎜⎜⎜⎛⎜⎝21313 ⎟⎟⎟⎠⎞⎟⎟2 −⎛⎝⎜⎜⎜⎜31313 ⎠⎞⎟⎟⎟⎟⎟2⎥⎤⎥⎦⎥⎥ Είναι 13 Α= 2 3 . 3 2 + ⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎜21313 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞2 − ⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜3 13 ⎠⎞⎟⎟⎟⎟⎟2 = 4 ⋅ 13 − 9 ⋅ 13 = 4 − 9 = − 5 , 13 13 2 13 2 13 13 13 οπότε τελικά έχω ότι 5 13 −5 10 13 + 15 ( )Α = 2 ⋅ 13 − 3 ⋅ 13 = 13 6 10 13 + 15 ⇔ Α = 60 13 + 90 . 4+9 13 = 132 169 66 Άσκηση 90 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Για την γωνία θ ∈ ⎝⎜⎜⎜⎛π , 3π ⎞⎟⎠⎟⎟⎟ ισχύει 1 − συνθ = 2, να βρείτε τους τριγωνομετρι- 2 συνθ 1 + ηµθ κούς αριθμούς της. Λύση Από την σχέση της εκφώνησης προκύπτει 1 + ηµθ − συν2θ =2⇔ ηµ2θ + ηµθ =2⇔ ηµθ ⋅ (ηµθ + 1) = 2 ⇔ ηµθ = 2 ⇔ συνθ ⋅ (1 + ηµθ) συνθ συνθ ⋅(1 + ηµθ) συνθ ⋅(1 + ηµθ) ⇔ εϕθ = 2 . Είναι και εϕθ ⋅ σϕθ =1⇔ σϕθ = 1 ⇔ σϕθ = 1 . εϕθ 2 Από την σχέση συν2θ = 1 έχω 1 + εϕ2θ συν2θ = 1 = 1 ⇔ συνθ = ± 1 ⇔ συνθ =± 1 ⇔ συνθ = ± 5 . 1 + 22 5 5 5 5 - 60 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 2 • Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αφού θ ∈ ⎜⎝⎜⎜⎛π , 3π ⎠⎞⎟⎟⎟⎟ , είναι συνθ < 0 , οπότε συνθ = − 5 . 2 5 Τέλος, είναι εϕθ = ηµθ ⇔ ηµθ = εϕθ ⋅ συνθ = 2 ⋅ − 5 ⇔ ηµθ = − 25 . συνθ 5 5 - 61 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μόνο εδώ θα βρεις τα αναλυτικότερα βιβλία Μαθηµατικών του διαδικτύου!