Γ Λυκείου - Ρυθμός μεταβολής - Επαναληπτικά θέματα (εκφωνήσεις)

Θανάσης Νικολόπουλος Καθηγητής Μαθηματικών Πτυχιούχος Εθνικού και Καποδιστριακού Πανεπιστημίου Αθηνών Γ΄ Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Ρυθµός µεταβολής 30 επαναληπτικά θέματα, τα οποία περιλαμβάνουν ερωτήματα με ρυθμό μεταβολής Αναλυτικά λυμένα και με πλούσιο σχολιασμό ΕΚΦΩ ΝΗΣΕ Ι Σ Ζάκυνθος , Απρίλιος 2022

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Επαναληπτικά θέματα με ερωτήματα τα οποία περιλαμβάνουν Ρυθμό Μεταβολής Επαναληπτικά θέματα με ερωτήματα τα οποία περιλαμβάνουν Ρυθμό Μεταβολής 1. ∆ίνεται η συνάρτηση f, με τύπο f(x) = e1−ex , x ∈ ! . α) Να μελετήσετε την f ως προς: Ι. την μονοτονία. ΙΙ. την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. β) Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. γ) Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της Cf στο σημείο της Μ(α,f(α)) . δ) Έστω σημείο Β, που είναι το σημείο τομής της ευθείας (ε) του (γ) ερωτήματος με τον άξονα x’x. Αν ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του σημείου Μ είναι 2 m / s , να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της τετμημένης του σημείου Β την χρονική στιγμή που το Μ διέρχεται από το σημείο Α⎜⎛⎝⎜⎜−1 , e e−1 ⎟⎠⎞⎟⎟ . e -1- Θανάσης Νικολόπουλος • Καθηγητής Μαθηματικών

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Επαναληπτικά θέματα με ερωτήματα τα οποία περιλαμβάνουν Ρυθμό Μεταβολής 2. ∆ίνεται η συνάρτηση ϕ(t) = 2t+µ , t ∈ ! , όπου η παράμετρος μ είναι ένας πραγ- ματικός αριθμός. Μια επιχείρηση έχει έσοδα Ε(t) που δίνονται, σε χιλιάδες ευρώ, από τον τύπο Ε(t) = (t−1)⋅ ϕ(t) , t ≥ 0 , όπου t συμβολίζει τον χρόνο σε έτη. Το κόστος λειτουργίας Κ(t) της επιχείρησης δίνεται, επίσης σε χιλιάδες ευρώ, από τον τύπο Κ(t) = ϕ(t+ 4) , t ≥ 0 . α) Να βρείτε την συνάρτηση κέρδους Ρ(t) , για t ≥ 0 , όταν γνωρίζουμε ότι κατά το πρώτο έτος λειτουργίας η επιχείρηση παρουσίασε ζημία δώδεκα χιλιάδες ευρώ. β) Ποια χρονική στιγμή θα αρχίσει η επιχείρηση να παρουσιάζει κέρδη; γ) Ποιος θα είναι ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης κέρδους στο τέλος του δεύτερου έτους; δ) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 6 ∫Ι = µ (+ µ3µ −µ3)⋅ Ρ(t)dt , 0 όπου μ είναι η τιμή που παίρνει η παράμετρος της συνάρτησης φ στο ερώτημα (α). -2- Θανάσης Νικολόπουλος • Καθηγητής Μαθηματικών

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Επαναληπτικά θέματα με ερωτήματα τα οποία περιλαμβάνουν Ρυθμό Μεταβολής 3. Η τιμή Ρ, σε ευρώ, ενός προϊόντος, t μήνες μετά την εισαγωγή του στην αγορά, δίνεται από τον τύπο Ρ(t) = 4 + t−6 . t2 + 25 4 α) Να βρεθεί η τιμή του προϊόντος την στιγμή της εισαγωγής του στην αγορά. β) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της τιμής του προϊόντος δύο μήνες μετά την εισαγωγή του στην αγορά. γ) Να βρεθεί το χρονικό διάστημα στο οποίο η τιμή του προϊόντος συνεχώς αυξά- νεται. δ) Να αποδειχθεί ότι η τιμή του προϊόντος, μετά από κάποια χρονική στιγμή, συνε- χώς μειώνεται, χωρίς όμως να γίνεται μικρότερη από την αρχική τιμή. 4. Θεωρούμε την συνεχή συνάρτηση f : ! → ! , για την οποία ισχύει ότι ℓim f(2x +1)−7 =10 . x→1 x −1 α) Να αποδείξετε ότι: Ι. f(3) = 7 και ΙΙ. f ′(3) = 5 . β) Έστω (ε) η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της Μ(3,f(3)) . Ι. Να αποδείξετε ότι η (ε) έχει εξίσωση y = 5x−8 . ΙΙ. Ένα σημείο Σ, που έχει τετμημένη μεγαλύτερη του 3, κινείται στην ευθεία (ε). Αν ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του είναι 2 m / s , να βρείτε τον ρυθ- μό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ΟΜΣ. -3- Θανάσης Νικολόπουλος • Καθηγητής Μαθηματικών

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Επαναληπτικά θέματα με ερωτήματα τα οποία περιλαμβάνουν Ρυθμό Μεταβολής 5. Έστω f(x) = −x2 +(α +1)x−α , όπου α >1. α) Να βρείτε την μέγιστη τιμή της f και στην συνέχεια για τις διάφορες τιμές του α, να βρείτε την εξίσωση της γραμμής στην οποία κινούνται τα σημεία των μεγί- στων της f. β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από την Cf και τον άξονα x’x. γ) Το σημείο Α(α ,0) κινείται στον άξονα x’x με ταχύτητα υ = 2 cm / s . Την χρονική στιγμή κατά την οποία είναι α = 3 , να βρείτε: Ι. τον ρυθμό μεταβολής της μέγιστης τιμής της f. ΙΙ. τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του χωρίου που ορίζεται από την Cf και τον άξονα x’x. 6. ∆ίνεται η συνεχής και παραγωγίσιμη συνάρτηση f, για την οποία ισχύει f(exηµx) = 2ex , για κάθε x ∈⎜⎝⎜⎜⎛− π , π ⎠⎞⎟⎟⎟ . 2 2 α) Να δείξετε ότι f ′(0) = 2 . β) Να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο Α(0,f(0)) είναι η y = 2x+2 . γ) Αν ένα σημείο κινείται πάνω στην προηγούμενη ευθεία και η τετμημένη του αυξάνεται με ρυθμό 2 cm / s , να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του σημείου. -4- Θανάσης Νικολόπουλος • Καθηγητής Μαθηματικών

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Επαναληπτικά θέματα με ερωτήματα τα οποία περιλαμβάνουν Ρυθμό Μεταβολής 7. Έστω συνεχής συνάρτηση f : ! → ! , για την οποία ισχύει 22 2 ∫ ∫ ∫f 2(x)dx+ (x4 +2x2 +1)dx = 4 ⋅ ⎡⎣⎢x ⋅ f(x2)⋅(x4 +1)⎤⎥⎦dx . 11 1 α) Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f στο διάστημα Δ =[ 1,2 ] . β) Έστω ότι f(x) = x2 +1 , x ∈ ! . Ι. Να αποδειχθεί ότι α−β β−α ∫ ∫ef(x) dx + ef(x) dx = 0 , με α ≠ β . 00 ΙΙ. Έστω σημείο Α(α ,f(α)) της Cf και (ε) η εφαπτομένη της στο Α. Αν η ευθεία (η), που είναι κάθετη στην (ε) στο Α, τέμνει τον άξονα y’y στο σημείο Β, να αποδειχθεί ότι ο ρυθμός μεταβολής της τεταγμένης του Β είναι διπλάσιος από τον ρυθμό μεταβολής της τετμημένης του Α, την χρονική στιγμή t0 κατά την οποία α(t0 ) = 1. -5- Θανάσης Νικολόπουλος • Καθηγητής Μαθηματικών

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Επαναληπτικά θέματα με ερωτήματα τα οποία περιλαμβάνουν Ρυθμό Μεταβολής 8. ∆ίνεται η συνάρτηση f(x) = ex(x−α) και το σημείο Α(α ,0) , όπου α ∈ ! , με α>0 . α) Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία, τα ακρότατα, την κυρτότητα, τα ση- μεία καμπής και τις ασύμπτωτες. β) Για τις διάφορες τιμές του α, να βρείτε την εξίσωση της καμπύλης στην οποία κινείται : Ι. το ακρότατο της f. ΙΙ. το σημείο καμπής της f. γ) Να βρεθεί το εμβαδόν Ε(λ) του χωρίου που ορίζεται από τον άξονα x’x, την Cf και την ευθεία x = λ < 0 . δ) Να βρείτε το ℓim Ε(λ) . λ→−∞ ε) Αν το Α κινείται με ταχύτητα υ = 3 cm / s , να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού την χρονική στιγμή κατά την οποία είναι α = 5 . -6- Θανάσης Νικολόπουλος • Καθηγητής Μαθηματικών

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Επαναληπτικά θέματα με ερωτήματα τα οποία περιλαμβάνουν Ρυθμό Μεταβολής 9. Ένα κινητό Μ κινείται κατά μήκος της καμπύ- λης y = x , x ≥ 0 . Ένας παρατηρητής βρίσκεται στην θέση Π(0,1) ενός συστήματος συντεταγμένων Oxy και παρατηρεί το κινητό από την αρχή Ο, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. ∆ίνεται ότι ο ρυθμός μεταβολής της τετμη- μένης του κινητού, για κάθε χρονική στιγμή t ≥ 0 , είναι x′(t) = 16 m /min . α) Να αποδείξετε ότι η τετμημένη του κινητού, για κάθε χρονική στιγμή t ≥ 0 , δίνεται από τον τύπο x(t) = 16 t . β) Να αποδείξετε ότι το σημείο της καμπύλης μέχρι το οποίο ο παρατηρητής έχει οπτική επαφή με το κινητό, είναι το Α(4 ,2) και στην συνέχεια να υπολογίσετε πόσο χρόνο διαρκεί η οπτική επαφή. γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου Ω που διαγράφει η οπτική ακτίνα ΠΜ του παρατηρητή από το σημείο Ο μέχρι το σημείο Α. δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει χρονική στιγμή t0 ∈⎜⎜⎝⎜⎛0 , 1 ⎟⎞⎟⎠⎟ , κατά την οποία η από- 4 σταση d = (ΠΜ) του παρατηρητή από το κινητό γίνεται ελάχιστη. Να θεωρήσετε ότι το κινητό Μ και ο παρατηρητής Π είναι σημεία του συστήμα- τος συντεταγμένων Οxy. -7- Θανάσης Νικολόπουλος • Καθηγητής Μαθηματικών

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Επαναληπτικά θέματα με ερωτήματα τα οποία περιλαμβάνουν Ρυθμό Μεταβολής 10. ∆ίνεται η συνάρτηση f : ! → ! , με f(x) = x3 . α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνάρτηση 1-1 και να βρείτε την αντίστροφη συ- νάρτηση f −1 . β) Να αποδείξετε ότι, για κάθε x > 0 , ισχύει f(ηµx)> f⎝⎜⎜⎛⎜x− 1 x 3 ⎠⎟⎟⎟⎞ . 6 γ) Ένα σημείο Μ κινείται κατά μήκος της καμπύλης y = x3, x ≥ 0 , με x = x(t) και y = y(t) . Να βρείτε σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τεταγμένης y(t) του Μ είναι ίσος με τον ρυθμό μεταβολής της τετμημένης x(t) , αν υποτε- θεί ότι x′(t) > 0 , για κάθε t ≥ 0 . δ) Αν g: ! → ! είναι συνεχής και άρτια συνάρτηση, να υπολογίσετε το ολοκλή- ρωμα 1 ∫ f(x) ⋅ g(x)dx . −1 -8- Θανάσης Νικολόπουλος • Καθηγητής Μαθηματικών

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Επαναληπτικά θέματα με ερωτήματα τα οποία περιλαμβάνουν Ρυθμό Μεταβολής 11. ∆ίνεται η συνάρτηση f(x) = ℓnx , x > 0 , και το σημείο της Μ(α , ℓnα) , α >1. α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο Μ, καθώς και τις συντεταγμένες του σημείου τομής Α της εφαπτομένης με τον άξονα x’x. Για ποια τιμή του α, η εφαπτομένη διέρχεται από την αρχή των αξόνων; β) Αν το σημείο Μ απομακρύνεται από τον άξονα x’x με σταθερή ταχύτητα 2 m / s , να βρείτε: Ι. τον ρυθμό μεταβολής της τετμημένης του Μ ως προς τον χρόνο t, την χρο- νική στιγμή t0 κατά την οποία η εφαπτομένη στο Μ διέρχεται από την αρχή των αξόνων. ΙΙ. τον ρυθμό μεταβολής, ως προς τον χρόνο t, του εμβαδού του χωρίου που σχηματίζεται από την Cf , την εφαπτομένη της Cf στο σημείο Μ και τον άξονα x’x, την χρονική στιγμή t0 κατά την οποία η εφαπτομένη στο Μ διέρ- χεται από την αρχή των αξόνων. ΙΙΙ. τον ρυθμό μεταβολής της απόστασης (ΑΜ) ως προς τον χρόνο t, την χρονική στιγμή t0 κατά την οποία η εφαπτομένη στο Μ διέρχεται από την αρχή των αξόνων. -9- Θανάσης Νικολόπουλος • Καθηγητής Μαθηματικών

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Επαναληπτικά θέματα με ερωτήματα τα οποία περιλαμβάνουν Ρυθμό Μεταβολής 12. Σώμα βάρους Β μετακινείται σε επίπεδο με την βοήθεια ενός τεντωμένου σχοι- νιού, που σχηματίζει γωνία θ με το ορι- ζόντιο επίπεδο. Μια μεταβαλλόμενη δύναμη F που ασκείται στο σώμα μέσω του σχοινιού, έχει μέτρο που δίνεται από την σχέση F(θ) = µ⋅Β , συνθ+µ ⋅ ηµθ όπου θ ∈ ⎢⎣⎢⎡0 , π ⎥⎥⎦⎤ και μ μια θετική σταθερά, ανεξάρτητη από την γωνία θ. 2 α) Να αποδείξετε ότι η δύναμη F γίνεται ελάχιστη, όταν η γωνία θ αποκτά τιμή ώστε να ισχύει εϕθ = µ . β) Έστω ότι η γωνία θ την χρονική στιγμή t0 αυξάνεται με ρυθμό 0,2 rad / s και η σταθερά μ, την ίδια χρονική στιγμή, αυξάνει με ρυθμό 0,4 ανά δευτερόλε- πτο. Να βρείτε ποια πρέπει να είναι η γωνία θ την χρονική στιγμή t0 , ώστε να ελα- χιστοποιείται η δύναμη F. γ) Έστω ότι για την προηγούμενη συνάρτηση F(θ) , ισχύει µ = 3 . Να αποδείξετε ότι π/2 3 4 ∫ F(θ)dθ > π ⋅ Β . 0 - 10 - Θανάσης Νικολόπουλος • Καθηγητής Μαθηματικών

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Επαναληπτικά θέματα με ερωτήματα τα οποία περιλαμβάνουν Ρυθμό Μεταβολής 13. ∆ίνεται η συνάρτηση f, με τύπο f(x) = 1− ℓnx , x>0. x α) Να μελετήσετε την συνάρτηση f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. β) Αν η τετμημένη του σημείου Μ(x,f(x)) μεταβάλλεται με ρυθμό 1 µ / s , να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού Ε(t) του τριγώνου ΑΟΒ, όπου Α(x,0) , Ο(0,0) , Β(0,f(x)) , την χρονική στιγμή t0 κατά την οποία είναι x(t0 ) = 4 . γ) Αν την χρονική στιγμή t = 0 το σημείο Μ βρίσκεται στην θέση (1,1), τότε να αποδείξετε ότι: Ι. x(t) = t+1. ΙΙ. η συνάρτηση Ε(t) είναι κοίλη στο διάστημα [e−1, +∞) . 14. Έστω συνάρτηση f : ! → ! , παραγωγίσιμη στο x0 = 3 . Θεωρούμε την συνάρτηση g(x) = ⎪⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪ f(27−12x) , αν x <2 . f(11−x3) , αν x ≥2 α) Να δείξετε ότι η g είναι παραγωγίσιμη στο 2. β) Αν είναι f(3) = f ′(3) = − 1 , να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της g 4 στο σημείο Β(2,g(2)) . γ) Σημείο Σ(x, y) , x > 0 , y ≥ 0 , κινείται επί της προηγούμενης ευθείας και πλησι- άζει τον άξονα x’x με ρυθμό 1 cm / s . Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της απόστασης ΣΟ την χρονική στιγμή κατά την οποία το Σ διέρχεται από το σημείο με τεταγμένη 0. - 11 - Θανάσης Νικολόπουλος • Καθηγητής Μαθηματικών

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Επαναληπτικά θέματα με ερωτήματα τα οποία περιλαμβάνουν Ρυθμό Μεταβολής 15. ∆ίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 και το σημείο της γραφικής της παράστασης Μ(α,α3) , α > 0 . α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο Μ και να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη αυτή τέμνει την Cf και σε δεύτερο σημείο Ν. β) Αν το σημείο Μ απομακρύνεται από τον y’y με σταθερή ταχύτητα 0,5 m / s : Ι. να εκφραστεί το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΜΒΝ (με διαγώνιο ΜΝ και πλευρές παράλληλες προς τους άξονες) ως συνάρτηση του χρόνου t. ΙΙ. να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του ορθογωνίου ως προς τον χρόνο t την χρονική στιγμή t0 κατά την οποία το Μ απέχει από τον άξονα y’y απόσταση 2 m. γ) Αν το σημείο Μ απομακρύνεται από τον άξονα x’x με σταθερή ταχύτητα 8 m / s και Ε(t) είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γρα- φική παράσταση της f και την παραπάνω εφαπτομένη, να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού Ε(t) ως προς τον χρόνο t την χρονική στιγμή t1 κατά την οποία το Μ απέχει από τον άξονα y’y απόσταση 2 m. - 12 - Θανάσης Νικολόπουλος • Καθηγητής Μαθηματικών

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Επαναληπτικά θέματα με ερωτήματα τα οποία περιλαμβάνουν Ρυθμό Μεταβολής 16. ∆ίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ℓn 2x −1 και g(x) = x−2 , x +1 2x −1 με κοινό πεδίο ορισμού το σύνολο Α, στο οποίο ορίζονται οι f και g. α) Να βρεθεί το σύνολο τιμών των f και g. β) Να βρεθούν οι ασύμπτωτες των Cf και Cg . γ) Να αποδειχθεί ότι η Cf βρίσκεται πάνω από την Cg , με εξαίρεση ένα σημείο. δ) Να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις Cf , Cg και την ευθεία x = α , με α > 2 . ε) Αν η παραπάνω ευθεία x = α κινείται προς τα δεξιά με ταχύτητα 1 cm / s , να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του παραπάνω εμβαδού την χρονική στιγμή που το α ισούται με 3 cm. - 13 - Θανάσης Νικολόπουλος • Καθηγητής Μαθηματικών

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Επαναληπτικά θέματα με ερωτήματα τα οποία περιλαμβάνουν Ρυθμό Μεταβολής 17. ∆ίνεται η συνάρτηση f, με f ′′ συνεχή στο ! και τέτοια, ώστε να ισχύουν: • (x2 +1)⋅ f ′′(x) + 4x ⋅ f ′(x) + 2f(x) = 0 , για κάθε x ∈ ! . • f(0) = 0 και f ′(0) = 2 . α) Να αποδείξετε ότι f(x) = 2x , για κάθε x ∈ ! . x2 +1 β) Έστω Ε(α) το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , τον x’x και τις ευθείες x = 0 και x = α , α > 0 . Αν το α μεταβάλλεται με ρυθμό 10 cm / s , να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του Ε(α) την στιγμή κατά την οποία α = 3 cm . γ) Θεωρούμε την συνεχή συνάρτηση g, με g(x)+ x−2 ≤ f(x) , για κάθε x ∈ ! . Ι. Να δείξετε ότι η ευθεία y = −x +2 είναι ασύμπτωτη της Cg στο +∞ . ΙΙ. Αν Ε είναι το εμβαδόν που περικλείεται από την Cg , την πλάγια ασύμπτωτή της στο +∞ και τις ευθείες x = 0 και x = 2 , να δείξετε ότι Ε ≤ ℓn5 . - 14 - Θανάσης Νικολόπουλος • Καθηγητής Μαθηματικών

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Επαναληπτικά θέματα με ερωτήματα τα οποία περιλαμβάνουν Ρυθμό Μεταβολής 18. ∆ίνεται η συνάρτηση f(x) = ℓnx , με x ∈[ 1,+∞) . x2 α) Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. e ∫β) Να αποδείξετε ότι 2ef(x)dx < e−1. 1 γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδική εφαπτομένη της Cf που να διέρχεται από το σημείο Α(0,−1) . δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξ ∈(1,+∞) τέτοιο, ώστε ξ 1 2018 ∫ f(x)dx = . 1 ε) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της γωνίας θ που σχηματίζει η εφαπτομένη της Cf στο σημείο Μ( x(t0 ) , f (x(t0)) , με τον άξονα x’x, την χρονική στιγμή t0 κατά την οποία η τετμημένη του σημείου Μ είναι x(t0 ) = 1 και μειώνεται με ρυθμό 1 μονάδες/s. 2 - 15 - Θανάσης Νικολόπουλος • Καθηγητής Μαθηματικών

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Επαναληπτικά θέματα με ερωτήματα τα οποία περιλαμβάνουν Ρυθμό Μεταβολής 19. ∆ίνεται η συνάρτηση g(x) = ℓnx +1 , με x >0 , και η συνάρτηση x f(x) = x2 −συνx + g(α) , με x ∈ ! και α > 0 . α) Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. β) Για τις διάφορες τιμές του α, να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f(x)= 0 . γ) Για α = 1: Ι. Να αποδειχθεί ότι από το σημείο Μ(0,−2) άγονται ακριβώς δύο εφαπτο- μένες της Cf . ΙΙ. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει μοναδικό σημείο Ν(x, y) της Cf , με x ∈(0,1) , όπου κατά την χρονική στιγμή t0 ο ρυθμός μεταβολής της τεταγμένης του y′(t0 ) είναι διπλάσιος από αυτόν της τετμημένης του x′(t0 ) , αν υποθέσουμε ότι x′(t0 ) , y′(t0 ) ≠ 0 . δ) Να υπολογιστεί το όριο ℓim ⎣⎡ g( x +1) − g(x) ⎤⎦ . x→+∞ - 16 - Θανάσης Νικολόπουλος • Καθηγητής Μαθηματικών

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Επαναληπτικά θέματα με ερωτήματα τα οποία περιλαμβάνουν Ρυθμό Μεταβολής 20. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο ! , της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(0,1) . α) Να υπολογίσετε το ℓim f(x2)−1 . x→0 x β) Να αποδείξετε ότι ℓim f 2(2x)−1 = 4 f ′(0) . x→0 x γ) Αν επιπλέον για την f ισχύει ότι f 2(x) − 4 f(x) = x2 −3 , για κάθε x ∈ ! , να βρείτε τον τύπο της. δ) Αν f(x) = 2 − x2 +1 , x ∈ ! , τότε: Ι. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της Cf , οι οποίες διέρχονται από το σημείο Β⎝⎜⎜⎛⎜0 , 3 ⎞⎠⎟⎟⎟ . 2 ΙΙ. Έστω σημείο Μ της Cf , με θετική τετμημένη. Αν η τετμημένη του Μ απομακρύνεται από την αρχή των αξόνων Ο με ταχύτητα 2 cm / s , να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τρι- γώνου ΟΑΜ. - 17 - Θανάσης Νικολόπουλος • Καθηγητής Μαθηματικών

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Επαναληπτικά θέματα με ερωτήματα τα οποία περιλαμβάνουν Ρυθμό Μεταβολής 21. ∆ίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f ,g: ! → ! , με f(0) = 2 και f(x) ⋅ g(x) = f ′(x) ⋅ g′(x) = e2x , x ∈ ! . α) Να βρεθούν οι τύποι των συναρτήσεων. β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο Α(α ,f(α)) , α>0. γ) Να υπολογιστεί, συναρτήσει του α, το εμβαδόν Ε(α) του χωρίου που περι- κλείεται από την Cf , την ευθεία y = 2eα και τον άξονα y’y. δ) Αν το σημείο Α απομακρύνεται από τον άξονα x’x με ταχύτητα υ = 2 μονά- δες μήκους/s, να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του Ε(α) την χρονική στιγμή που η εφαπτομένη τέμνει τον x’x στο σημείο (1,0) . ε) Θεωρούμε την συνάρτηση h(x) = 2x2g(x) , x ∈ ! . 1 ∫∆είξτε ότι υπάρχει μοναδικό x0 ∈(0,1) τέτοιο, ώστε h(x0 ) = h(x)dx . 0 - 18 - Θανάσης Νικολόπουλος • Καθηγητής Μαθηματικών

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Επαναληπτικά θέματα με ερωτήματα τα οποία περιλαμβάνουν Ρυθμό Μεταβολής 22. ∆ίνεται η συνάρτηση f(x) = ex + x2 + x . α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένας αριθμός α ∈(−1,0) τέτοιος, ώστε β) Να δείξετε ότι eα +2α +1 = 0 . f(x) ≥ α2 −α−1, για κάθε x ∈ ! , όπου α ο αριθμός του ερωτήματος (α). γ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f(x) = 2019 στο ! . 2018 δ) Να αποδείξετε ότι f(x2 +1)+ f(x2 +2)< f(x2)+ f(x2 +3) , για κάθε x > 0 . ε) Έστω ένα σημείο Μ( x(t) , y(t) ) , το οποίο διατρέχει την γραφική παράσταση της f. Να αποδείξετε ότι υπάρχει χρονική στιγμή t0 , με x(t0 ) ∈(−1,0) , ώστε ο ρυθ- μός μεταβολής της τεταγμένης του Μ ως προς τον χρόνο t να μηδενίζεται. - 19 - Θανάσης Νικολόπουλος • Καθηγητής Μαθηματικών

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Επαναληπτικά θέματα με ερωτήματα τα οποία περιλαμβάνουν Ρυθμό Μεταβολής 23. ∆ίνεται η συνάρτηση f(x) = −x , x ≤ 0 . α) Να μελετήσετε την συνάρτηση f ως προς την μονοτονία, τα κοίλα και να βρεί- τε το σύνολο τιμών της. ( )β) Ένα υλικό σημείο Α α , −α , α < 0 , κινείται στην Cf με ρυθμό μεταβολής της τετμημένης του α′(t) = − α(t) . Επίσης, υλικό σημείο Μ(x, y) , με x > 0 , κινείται στην ευθεία με εξίσωση y=x. Ι. Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της γωνίας ΑΟΜ = θ , όπου Ο η αρχή των αξόνων, την χρονική στιγμή t0 που είναι (ΟΑ) = 2 . ΙΙ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις κα- μπύλες με εξισώσεις y = −x , με x ≤ 0 , y = x , με x ≥ 0 , και την y = α′(t0 ) . ΙΙΙ. Να βρείτε ευθεία παράλληλη με τον άξονα y’y, η οποία να χωρίζει το χω- ρίο Ω σε δύο ισεμβαδικά χωρία. - 20 - Θανάσης Νικολόπουλος • Καθηγητής Μαθηματικών

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Επαναληπτικά θέματα με ερωτήματα τα οποία περιλαμβάνουν Ρυθμό Μεταβολής 24. ∆ίνεται η συνάρτηση f(x) = ⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪ ex −1 , αν x≠0 . x 1, αν x = 0 α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο σημείο x0 = 0 και στην συνέχεια ότι είναι γνησίως αύξουσα. β) ∆ίνεται επιπλέον ότι η f είναι κυρτή. Ι. Αν F είναι μία αρχική της συνάρτησης f, τότε να αποδείξετε ότι η εξίσωση F( 2f ′(x) ) = F(1) έχει ακριβώς μία λύση, η οποία είναι η x = 0 . ΙΙ. Ένα υλικό σημείο Μ ξεκινά την χρονική στιγμή t = 0 από ένα σημείο Α(x0 ,f(x0 )) , με x0 < 0 , και κινείται κατά μήκος της καμπύλης y = f(x) , x ≥ x0 , με x = x(t) , y = y(t) , t ≥ 0 . Σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης x(t) του σημείου Μ είναι διπλάσιος του ρυθμού μεταβολής της τεταγμένης y(t) , αν υποτεθεί ότι x′(t) > 0 , για κάθε t ≥ 0 ; γ) Θεωρούμε την συνάρτηση g(x) =[ xf(x)+1−e ]2(x−2)2 , x ∈(0,+∞) . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g έχει δύο θέσεις τοπικών ελαχίστων και μία θέση τοπικού μεγίστου. - 21 - Θανάσης Νικολόπουλος • Καθηγητής Μαθηματικών

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Επαναληπτικά θέματα με ερωτήματα τα οποία περιλαμβάνουν Ρυθμό Μεταβολής 25. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα Δ =[−3,3] και παραγωγίσιμη εσωτε- ρικά του ∆. Ισχύει ότι: • ℓim ηµx ⋅ f(x) − 2εϕx =1 (1) x x→0 • f(x) ⋅ f ′(x) = − x , για κάθε x ∈(−3,3) (2) α) Να αποδειχθεί ότι f(0) = 3 και στην συνέχεια να βρεθεί ο τύπος της f στο ∆. β) Έστω f(x) = 9−x2 , με x ∈[−3,3] , και τα σημεία της Cf Α(−3,0) , Β(3,0) και Μ(µ,f(µ)) , με µ ∈(−3,3). Ι. Να γίνει πρόχειρο σχήμα της Cf . ΙΙ. Να βρεθούν τα μήκη των πλευρών ΑΜ και ΒΜ, ώστε το εμβαδόν του τρι- γώνου ΑΜΒ να είναι μέγιστο. γ) Έστω συνάρτηση g, συνεχής και γνησίως αύξουσα στο ! , όπου τα σημεία Γ(1,2) και Δ(2, 4) είναι σημεία της Cg . Να αποδειχθεί ότι οι Cf , Cg τέμνονται σε μοναδικό σημείο, με τετμημένη x0 ∈(1,2) . 3 ∫δ) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα Ι = x3 f(x)dx . 2 ε) Έστω σημείο Ν(x(t) , y(t)) που διατρέχει την Cf . Να βρεθούν οι συντεταγμένες του Ν κατά την χρονική στιγμή t0 , στην οποία ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης είναι ίσος με αυτόν της τεταγμένης y′(t0 ) = x′(t0 ) ≠ 0 . - 22 - Θανάσης Νικολόπουλος • Καθηγητής Μαθηματικών

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Επαναληπτικά θέματα με ερωτήματα τα οποία περιλαμβάνουν Ρυθμό Μεταβολής 26. ∆ίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού το διάστημα [ 1,4 ]. Αν το σύνολο τιμών της f είναι το [−2,3] και f(1) = 2 , f(4) = 1, τότε: α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον x0 ∈(1, 4), έτσι ώστε f(x0 ) = 0 . β) Να αποδείξετε ότι η Cf δέχεται τουλάχιστον δύο οριζόντιες εφαπτόμενες και έχει ένα τουλάχιστον πιθανό σημείο καμπής. γ) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ε : y =−x +2 τέμνει την Cf σε ένα τουλάχιστον σημείο, με τετμημένη στο διάστημα (1, 4) . δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈(1, 4), έτσι ώστε η εφαπτομένη της Cf στο σημείο Ρ(ξ,f(ξ)) να διέρχεται από το σημείο Α(0,2) . ε) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον ξ1 , ξ2 ∈(1, 4) , με ξ1 ≠ ξ2 , έτσι ώστε 1 − 1 =− 3 . f ′(ξ1) 2f ′(ξ2 ) 2 στ) Ένα σημείο Κ κινείται στην ευθεία (ε) του ερωτήματος (γ), η οποία τέμνει τον άξονα x’x στο Μ και Λ είναι η προβολή του Κ στον άξονα x’x. Το σημείο Λ απομακρύνεται από την αρχή των αξόνων Ο(0,0) με ρυθμό 1 m / s . Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ΚΛΜ, την χρο- νική στιγμή t0 που η τετμημένη του Κ είναι ίση με την τεταγμένη του. - 23 - Θανάσης Νικολόπουλος • Καθηγητής Μαθηματικών

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Επαναληπτικά θέματα με ερωτήματα τα οποία περιλαμβάνουν Ρυθμό Μεταβολής 27. ∆ίνονται οι συναρτήσεις f ,g:(−1,+∞)→ ! , με f(x) = ℓn(x +1) και g(x) = x x . +1 α) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + g(x) = 0 και να βρείτε το πρόσημο της συνάρ- τησης Φ(x) = f(x) + g(x) . β) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις Cf και Cg των συναρτήσεων f και g δέχονται κοινή εφαπτομένη στο σημείο Ο(0,0) , η οποία διχοτομεί την γω- νία του πρώτου και τρίτου τεταρτημορίου. γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από την γραφική παράσταση Cf της συνάρτησης f, την παραπάνω εφαπτομένη και την ευθεία x=3. δ) Ένα υλικό σημείο Μ, με θετική τετμημένη, κινείται στην Cf και η τετμημένη του x αυξάνεται με ρυθμό 2 cm / s . Αν Ν είναι η προβολή του σημείου Μ στον άξονα xx και Α(0,α) σημείο του άξονα y’y, με α > 0 , τότε: Ι. να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής Ε′(t) του εμβαδού Ε του τριγώνου ΑΜΝ, κάθε χρονική στιγμή, ισούται με Φ(x(t)) . ΙΙ. να βρείτε την τετμημένη του σημείου Μ την χρονική στιγμή κατά την οποία ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ΑΜΝ είναι ίσος με 2ℓn3 + 8 cm2 / s . 9 - 24 - Θανάσης Νικολόπουλος • Καθηγητής Μαθηματικών

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Επαναληπτικά θέματα με ερωτήματα τα οποία περιλαμβάνουν Ρυθμό Μεταβολής 28. ∆ίνεται η συνάρτηση f(x) = xℓnx − x , x > 0 . α) Στο διάστημα Δ =[ 1,+∞) : Ι. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και το πρόσημο. 1 e2 e2 −1 ∫ΙΙ. f(x)dx ≤ e2 . Να αποδείξετε ότι −1 ≤ ⋅ 1 β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της γραφι- κής παράστασης της f, του άξονα x’x και των κατακόρυφων ευθειών x = 1 και x = e2 . γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = x2ℓnx − 3x2 + 3 , x>0 , 2 4 4 είναι μία παράγουσα της f και στην συνέχεια να αποδείξετε ότι υπάρχει μονα- δικό ξ ∈(e,e2) τέτοιο, ώστε g(ξ) = 0 . δ) Έστω σημείο Μ(x(t) , y(t)) , t ≥ 0 , της Cg . Να βρεθούν οι συντεταγμένες του Μ την χρονική στιγμή t0 όπου ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του Μ είναι αντίθετος από τον ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του Μ, αν υποθέσουμε ότι x′(t) ≠ 0 , για κάθε t ∈[0,+∞) . ε) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν x1 , x2 , x3 ∈(e,e3) , διαφορετικά μεταξύ τους και τέτοια, ώστε f(x2 ) + e ⋅ f(x3 ) = e2 ⋅ f(x1) . - 25 - Θανάσης Νικολόπουλος • Καθηγητής Μαθηματικών

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Επαναληπτικά θέματα με ερωτήματα τα οποία περιλαμβάνουν Ρυθμό Μεταβολής 29. ∆ίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :(1,+∞)→ ! , με f(e) = 1, η οποία για κάθε x ∈(1,+∞) ικανοποιεί τις σχέσεις f(x) > 0 και xf ′(x) + f 2(x) = 0 . α) Να αποδείξετε ότι f(x) = 1 , x ∈(1,+∞) . ℓnx β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = εϕx έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα ⎛⎜⎜⎝⎜1, π ⎞⎟⎟⎠⎟ . 2 γ) Ένα υλικό σημείο Μ(α ,f(α)) , α >1, κινείται στην γραφική παράσταση Cf της συνάρτησης f, ώστε η τετμημένη του να αυξάνεται με ταχύτητα 4α cm / s . Αν η εφαπτομένη (ε) της Cf στο σημείο Μ τέμνει τον άξονα x’x στο σημείο Α, τότε : Ι. Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της τετμημένης του σημείου Α την χρονι- κή στιγμή t0 που το σημείο Μ διέρχεται από το σημείο (e,f(e)). ΙΙ. Αν θ είναι η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη (ε) με τον άξονα x’x, να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής της γωνίας θ την χρονική στιγμή t0 είναι θ′(t0 ) = 12e rad / s . e2 +1 - 26 - Θανάσης Νικολόπουλος • Καθηγητής Μαθηματικών

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Επαναληπτικά θέματα με ερωτήματα τα οποία περιλαμβάνουν Ρυθμό Μεταβολής 30. ∆ίνεται η συνάρτηση f(x) = x ⋅ x , x>2. x−2 α) Να αποδείξετε ότι f ′(x) = x−2 ⋅ x2 −3x , x>2, x (x − 2)2 και να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία. β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες και το σύνολο τιμών της f. Ένα μεταβλητό ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ, με ΑΒ = ΑΓ , είναι περιγεγραμμένο σε έναν κύκλο με ακτίνα ρ = 1. Έστω ΑΔ = x το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ. γ) Να αποδείξετε ότι ΒΓ = 2 ⋅ x , x>2. x−2 δ) Να εκφράσετε το εμβαδόν Ε του τριγώνου ΑΒΓ ως συνάρτηση του x και να βρείτε την τιμή του x για την οποία το εμβαδόν αυτό γίνεται ελάχιστο. ε) Η πλευρά ΒΓ του τριγώνου ΑΒΓ αυξάνεται με ρυθμό 3 cm / s . Να βρείτε τον ρυθμό με τον οποίο μεταβάλλεται: Ι. το ύψος Α∆ και ΙΙ. η γωνία Α του τριγώνου ΑΒΓ, την χρονική στιγμή που το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο. Πώς εξηγείται, κατά την γνώμη σας, το αρνητικό πρόσημο του ρυθμού μετα- βολής του ύψους Α∆ στο ερώτημα ε - Ι; - 27 - Θανάσης Νικολόπουλος • Καθηγητής Μαθηματικών

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Επαναληπτικά θέματα με ερωτήματα τα οποία περιλαμβάνουν Ρυθμό Μεταβολής Πρόσθετα ερωτήματα, που θα μελετήσουμε μετά το τέλος της λύσης του θέματος: στ) Να εκφράσετε την ακτίνα R του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ως συνάρτηση του x. Στην συνέχεια, να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της ακτίνας R την χρονική στιγμή που το τρίγωνο ΑΒΓ γίνεται ισόπλευρο. ζ) Να βρείτε την τιμή του x για την οποία η ακτίνα R ελαχιστοποιείται, καθώς και την ελάχιστη τιμή της R. Τι συμπεραίνετε, σε σχέση και με το αποτέλεσμα του ερωτήματος (στ); η) Να αποδείξετε ότι, καθώς αυξάνεται η πλευρά ΒΓ του τριγώνου, υπάρχουν ακριβώς δύο χρονικές στιγμές στις οποίες το εμβαδόν του χωρίου που περι- κλείεται μεταξύ του τριγώνου και του εγγεγραμμένου κύκλου, είναι ίσο με το εμβαδόν του εγγεγραμμένου κύκλου. - 28 - Θανάσης Νικολόπουλος • Καθηγητής Μαθηματικών

ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ∆ΕΝ ΠΩΛΕΙΤΑΙ ΣΕ ΚΑΝΕΝΑ ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ ! Αποτελεί την έντυπη έκδοση του αντίστοιχου έργου που διατίθεται ελεύθερα μέσω της ιστοσελίδας “Μαθηματικό στέκι”. Θα το βρείτε στην διεύθυνση www.mathsteki.gr