3

ใบความรทู้ ี่ 1 ระบบสมการเชิงเส้น สมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร สมการเชงิ เส้นสองตวั แปร สมการเชิงเสน้ สองตวั แปร เลขชี้กาลงั ของตวั แปรแตล่ ะตัวเปน็ 1 และไมม่ ีการคณู ของตัวแปร เรียกวา่ สมการเชิงเส้นสองตวั แปร เช่น 2x + y = 5 เมอ่ื x , y แทนจานวนเตม็ ซึ่งเขยี นกราฟ จากรปู สมการ 2x + y = 5 ตวั อยา่ ง มีนกั กีฬาชาย หญิงรวมกนั 12 คน จงเขยี นคอู่ ันดับ ( x , y ) วธิ ีทา ให้ x แทนจานวนนกั กีฬาชาย ให้ y แทนจานวนนักกฬี าหญิง จากโจทยเ์ ขยี นเป็นประโยคสัญลักษณ์ ไดด้ ังน้ี x + y = 12 xy 1 11 2 10 39 48 57 66 75 84 93 10 2 11 1

จากตาราง เขยี นให้อยใู่ นรปู คู่อนั ดบั ( x , y ) ไดด้ งั นี้ ( 1 , 11 ) , ( 2 , 10 ) , ( 3 , 9 ) , ( 4 , 8 ) , ( 5 , 7 ) , ( 6 , 6 ) , ( 7 , 5 ) , ( 8 , 4 ) ( 9 , 3 ) , ( 10 , 2 ) , ( 11 ,1 ) นามาเขียนกราฟได้ดังน้ี y 14 12 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 12 14 x

ใบงานท่ี 1 1. จงเปลีย่ นประโยคต่อไปนี้เปน็ ประโยคสัญลักษณ์ ให้ x และ y เปน็ ตวั แปร แดงซ้ือเงาะและสม้ มาทงั้ หมด 14 ผล วธิ ที า xy ………………… …………………… ………………… …………………… ………………… …………………… ………………… …………………… ………………… …………………… ………………… …………………… ………………… …………………… ………………… …………………… ………………… …………………… ………………… …………………… ………………… …………………… ………………… …………………… ………………… …………………… จากตาราง ให้นักเรยี นเขียนอยใู่ นรูปคอู่ ันดบั ( x , y ) ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………..

2. จงเขยี นเป็นประโยคสัญลกั ษณ์ แล้วอภปิ รายตามหวั ข้อขา้ งล่างน้ี \" กลว้ ยกองหนง่ึ มกี ล้วยน้าวา้ มากกวา่ กล้วยหอมอยู่ 2 หวี \" ประโยคสัญลักษณ์..................................................................................... 1. นักเรยี นทราบหรือไม่วา่ กล้วยกองนีม้ กี ี่หวี …………………………………………………………………………………………. 2. ถ้ามีกลว้ ยน้าว้า 100หวี จะมกี ลว้ ยหอมกีห่ วี …………………………………………………………………………………………. 3. ถา้ มีกล้วยหอม 30 หวี จะมีกลว้ ยนาว้ากีห่ วี …………………………………………………………………………………………… 4. ให้นกั เรยี นเขียนคาตอบของโจทย์ข้อนใี้ นรปู คู่อันดับ …………………………………………………………………………………………… 5. ใหน้ ักเรียนเขยี นกราฟของคาตอบ ………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………

2. จงเขยี นเปน็ ประโยคสญั ลักษณ์ แล้วอภิปรายตามหัวข้อข้างลา่ งนี้ \" กล้วยกองหนง่ึ มีกลว้ ยนา้ วา้ มากกว่ากลว้ ยหอมอยู่ 2 หวี \" ประโยคสัญลักษณ์ y = x - 2 ให้ x แทนจานวนกล้วยน้าหอม และ y แทนกลว้ ยนา้ วา้ 6. นักเรยี นทราบหรอื ไมว่ ่า กล้วยกองนีม้ กี ีห่ วี ไมท่ ราบ 7. ถ้ามีกลว้ ยน้าว้า 100หวี จะมกี ลว้ ยหอมก่ีหวี 98 หวี 8. ถา้ มกี ลว้ ยหอม 30 หวี จะมกี ล้วยนาวา้ ก่หี วี 32 หวี 9. ให้นกั เรียนเขยี นคาตอบของโจทย์ขอ้ น้ใี นรปู คู่อันดบั (100 , 98 ) , ( 32 , 30 ) 10. ให้นักเรียนเขียนกราฟของคาตอบ y 120 90 60 30 0 30 60 90 120 x

ใบความรู้หมายเลข 2 เรอ่ื ง ลักษณะของกราฟเมอื่ ในกรณีท่ี 1 เม่อื a > 0 และ b = 0 และ กรณที ่ี 2 เม่ือ a > 0 และ b  0 ระบบสมการเชงิ เสน้ สมการเชงิ เส้นสองตวั แปร สมการเชงิ เส้นสองตวั แปร สมการเชิงเส้นสองตวั แปร เลขช้ีกาลังของตวั แปรแต่ละตัวเป็น 1 และไม่มีการคูณของตัว แปร เรียกว่า สมการเชิงเสน้ สองตัวแปร เชน่ 2x + y = 5 เมอ่ื x , y แทนจานวนเต็ม ซ่ึงเขยี น กราฟจากรปู สมการ 2x + y = 5 จากสมการ y = ax + b ลกั ษณะของกราฟ มี 6 กรณี กรณีท่ี 1 a > 0 และ b = 0 กรณที ่ี 2 a > 0 และ b  0 กรณที ่ี 3 a < 0 และ b = 0 กรณที ่ี 4 a < 0 และ b  0 กรณที ่ี 5 a = 0 และ b  0 กรณที ี่ 6 a = 0 และ b = 0

จากสมการ y = ax + b สามารถนาไปเขยี นกราฟไดด้ ังนี้ 3 3 กรณที ่ี 1 เมือ่ a > 0 และ b = 0 y=x X -2 -1 0 1 2 y -2 -1 0 1 2 y = 2x X -2 -1 0 1 2 3 y -4 -2 0 2 4 6 y 4 3 2 y = 2x 1 y=x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -1 -2 -3 -4

จากสมการ y = ax + b สามารถนาไปเขียนกราฟไดด้ งั นี้ 3 7 กรณีท่ี 2 เม่อื a > 0 และ b  0 y = 2x + 1 X -2 -1 0 1 2 y -3 -1 1 3 5 y = 2x - 1 X -2 -1 0 1 2 3 y -5 -3 -1 1 3 5 y 4 3 y = 2x + 1 2 1 y = 2x - 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -1 -2 -3 -4

จากสมการ y = ax + b สามารถนาไปเขยี นกราฟไดด้ งั นี้ กรณที ี่ 3 เมอื่ a < 0 และ b = 0 y = -2x -1 0 123 X -2 20 -2 -4 -6 y4 y = -x -1 0 123 X -2 -1 -2 -3 10 y2 y 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -1 -2 y = -2x -3 y = -x -4

จากสมการ y = ax + b สามารถนาไปเขียนกราฟไดด้ ังน้ี 3 2 กรณีท่ี 4 เมื่อ a < 0 และ b  0 y = -x + 1 X -2 -1 0 1 2 y3 2 1 0 1 y = -2x + 1 123 X -2 -1 0 -1 -3 -5 y5 3 1 y 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -1 -2 y = -x + 1 -3 y = -2x + 1 -4

จากสมการ y = ax + b สามารถนาไปเขยี นกราฟไดด้ งั นี้ กรณีที่ 5 เม่ือ a = 0 และ b  0 y = 0(x) + 3 X -2 -1 0 1 2 3 y3 3 3 3 3 3 y = 0(x) + 2 X -2 -1 0 1 2 3 y222 2 22 y 4 y =3 3 2 y=2 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -1 -2 -3 -4

จากสมการ y = ax + b สามารถนาไปเขยี นกราฟไดด้ ังนี้ 3 0 กรณที ี่ 6 เมอื่ a = 0 และ b = 0 y = 0( x ) X -2 -1 0 1 2 y0 0 0 0 0 y 4 y=0 x 3 1 2 34 2 1 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4

ใบงานที่ 2 คาส่งั จงตอบคาถามต่อไปน้ี 1. มาลแี ละศรีสุดาอายุรวมกนั เทา่ กบั 31 ปี เขยี นเปน็ ประโยคสญั ลกั ษณไ์ ดอ้ ย่างไร เมื่อ มาลมี ี อายุ x ปี ศรีสุดามีอายุ y ปี ……………………………………………………………………………………………………… 2. นิดและนอ้ ยมดี นิ สอรวมกัน 7 แท่ง ถา้ นดิ มีดินสอ x แทง่ และน้อยมีดนิ สอ y แทง่ เขียนเปน็ ประโยคสญั ลักษณไ์ ด้อย่างไร ………………………………………………………………………………………………………. 3. จงเขียนกราฟของสมการ y = -2x และ y = -2x - 5 โดยใชแ้ กนคเู่ ดยี วกับ ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………

y 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -1 -2 - 3 y = -2 x -4 -5 -6 -7 -8 -9 y = -2x-5

ใบความรทู้ ี่ 3 ระบบสมการเชิงเส้น กราฟของสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร กราฟของสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร ในการเขยี นกราฟของสมการ Ax + By + C = 0 เมอื่ A และ B ไม่เทา่ กบั ศนู ย์ พร้อมกนั เพอื่ สะดวกอาจจดั สมการใหอ้ ยใู่ นรูปใหม่ได้ดังนี้ Ax + By + C = 0 Y = ax + b จากสมการ y = ax + b ลักษณะของกราฟ มี 6 กรณี กรณที ี่ 1 a > 0 และ b = 0 กรณที ี่ 2 a > 0 และ b  0 กรณที ี่ 3 a < 0 และ b = 0 กรณีที่ 4 a < 0 และ b  0 กรณีที่ 5 a = 0 และ b  0 กรณีที่ 6 a = 0 และ b = 0 จากสมการ y = ax + b สามารถนาไปเขยี นกราฟได้ดังนี้

กรณีท่ี 1 เมื่อ a > 0 และ b = 0 y=x X -2 -1 0 1 2 3 y -2 -1 0 1 2 3 y = 2x X -2 -1 0 1 2 3 y -4 -2 0 2 4 6 y 4 3 2 y = 2x 1 y=x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -1 -2 -3 -4 จากสมการ y = ax + b สามารถนาไปเขยี นกราฟไดด้ งั นี้

กรณีที่ 2 เมือ่ a > 0 และ b  0 y = 2x + 1 X -2 -1 0 1 2 3 y -3 -1 1 3 5 7 y = 2x - 1 X -2 -1 0 1 2 3 y -5 -3 -1 1 3 5 y 4 3 y = 2x + 1 2 1 y = 2x - 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -1 -2 -3 -4 จากสมการ y = ax + b สามารถนาไปเขยี นกราฟได้ดงั นี้ กรณที ี่ 5 เมื่อ a = 0 และ b  0 y = 0(x) + 3

X -2 -1 0 1 2 3 y3 3 3 3 3 3 y = 0(x) + 2 X -2 -1 0 1 2 3 y222 2 22 y 4 y =3 3 2 y=2 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -1 -2 -3 -4 จากสมการ y = ax + b สามารถนาไปเขยี นกราฟได้ดงั นี้ กรณที ี่ 6 เมือ่ a = 0 และ b = 0 y = 0( x ) X -2 -1 0 1 2 3 y0 0 0 0 0 0 y

4 y=0 x 3 1 2 34 2 1 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4

ใบงานที่ 3 คาส่งั จงตอบคาถามต่อไปน้ี 1. จงเขียนกราฟของสมการต่อไปน้โี ดยใช้แกนคูเ่ ดียวกัน เส้นตรงเหลา่ นต้ี ดั แกน y ท่จี ุดใด 1) y = 2x + 1 2) y = -2x + 1 3) y = -x + 1 x -2 -1 0 1 2 y y y ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………….

2. จงเขียนกราฟของสมการต่อไปนี้ โดยใช้แกนคู่เดียวกัน 1) y = x + 1 2) y = x - 3 3) y = x + 2 4) y = x - 5 x -2 -1 0 1 2 y y y y ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………

เรอื่ ง เมื่อ ใบความรู้หมายเลข 3 ในกรณีท่ี 3 เม่ือ a < 0 และ b = 0 และ กรณีที่ 4 เมือ่ a < 0 และ b  0 ระบบสมการเชงิ เสน้ กราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร กราฟของสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร ในการเขียนกราฟของสมการ Ax + By + C = 0 เมอ่ื A และ B ไม่เทา่ กบั ศูนย์ พรอ้ มกนั เพ่ือสะดวกอาจจัดสมการให้อยู่ในรปู ใหมไ่ ด้ดังน้ี Ax + By + C = 0 Y = ax + b จากสมการ y = ax + b ลกั ษณะของกราฟ มี 6 กรณี กรณีท่ี 1 a > 0 และ b = 0 กรณที ี่ 2 a > 0 และ b  0 กรณที ่ี 3 a < 0 และ b = 0 กรณีที่ 4 a < 0 และ b  0 กรณที ี่ 5 a = 0 และ b  0 กรณที ี่ 6 a = 0 และ b = 0

จากสมการ y = ax + b สามารถนาไปเขียนกราฟได้ดงั น้ี กรณที ี่ 3 เม่อื a < 0 และ b = 0 y = -2x X -2 -1 0 123 y4 20 -2 -4 -6 y = -x X -2 -1 0 123 -1 -2 -3 y2 1 0 y 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -1 -2 y = -2x -3 y = -x -4

จากสมการ y = ax + b สามารถนาไปเขียนกราฟไดด้ ังน้ี กรณีท่ี 4 เมอ่ื a < 0 และ b  0 y = -x + 1 X -2 -1 0 1 2 3 y3 2 1 0 1 2 y = -2x + 1 -1 0 123 X -2 -1 -3 -5 31 y5 y 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -1 -2 y = -x + 1 -3 y = -2x + 1 -4

ใบงานที่ 4 คาสง่ั จงตอบคาถามต่อไปน้ี 1. จงเขยี นกราฟของสมการต่อไปนี้ โดยเขยี นลงบนแกนค่เู ดยี วกนั 1) y - x = 5 2) 2y - x = 2 3) x - 4y - 8 = 0 4) y + 2x + 1 = 0 X -2 -1 0 1 2 Y Y Y y ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………

(1) เสน้ ตรงเหลา่ นต้ี ัดแกน y ท่ีจดุ ใด ……………………………………………………………………………………… (2) มีเสน้ ตรงใดบา้ งที่ขนานกัน ……………………………………………………………………………………… (3) นกั เรียนบอกได้หรอื ไม่วา่ สมการมลี ักษณะอย่างไร เส้นตรงจึงจะขนานกัน ……………………………………………………………………………………..

เรื่อง เม่อื ใบความรู้หมายเลข 4 ในกรณที ี่ 5 เมอื่ a = 0 และ b  0 และกรณีที่ 6 เม่อื a = 0 และ b = 0 ระบบสมการเชิงเส้น กราฟของสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร กราฟของสมการเชิงเส้นสองตวั แปร ในการเขยี นกราฟของสมการ Ax + By + C = 0 เมือ่ A และ B ไมเ่ ทา่ กับ ศูนย์ พร้อมกัน เพือ่ สะดวกอาจจดั สมการใหอ้ ยู่ในรูปใหม่ได้ดังนี้ Ax + By + C = 0 Y = ax + b จากสมการ y = ax + b ลกั ษณะของกราฟ มี 6 กรณี กรณีที่ 1 a > 0 และ b = 0 กรณที ่ี 2 a > 0 และ b  0 กรณที ่ี 3 a < 0 และ b = 0 กรณที ่ี 4 a < 0 และ b  0 กรณีที่ 5 a = 0 และ b  0 กรณที ่ี 6 a = 0 และ b = 0

จากสมการ y = ax + b สามารถนาไปเขยี นกราฟไดด้ ังน้ี กรณที ี่ 5 เมอ่ื a = 0 และ b  0 y = 0(x) + 3 X -2 -1 0 1 2 3 y3 3 3 3 3 3 y = 0(x) + 2 3 X -2 -1 0 1 2 2 y222 2 2 y =3 y=2 y 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -1 -2 -3 -4

จากสมการ y = ax + b สามารถนาไปเขยี นกราฟไดด้ ังนี้ 3 0 กรณที ี่ 6 เมอื่ a = 0 และ b = 0 y = 0( x ) X -2 -1 0 1 2 y0 0 0 0 0 y 4 y=0 x 3 1 2 34 2 1 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4

ใบงานที่ 5 คาสัง่ จงตอบคาถามต่อไปนี้ 1. จงเขยี นกราฟของสมการตอ่ ไปนี้ โดยใชแ้ กนคเู่ ดยี วกนั 1) y = (0)x + 2 2) y = (0)x + 3 3) y = (0)x - 4 4) y = (0)x - 1 x -2 -1 0 1 2 Y Y Y y ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… เส้นตรงเหล่าน้มี ีสมบตั ิอย่างไร

ใบความรทู้ ี่ 6 ระบบสมการเชงิ เสน้ ระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร ให้ a , b , c , d , e และ f เปน็ จานวนจริงใดๆ ที่ a , b ไมเ่ ปน็ ศูนย์พร้อมกันและ c , d เป็นศูนยพ์ ร้อมกันเรียกวา่ ระบบสมการเชงิ เส้น ตวั อยา่ ง แกส้ มการ x + y = 8 และ x - y = 2 เขยี นกราฟลงบนแกนคเู่ ดยี วกนั y x-y=2 8 x+y=8 6 8x 6 4 (5,3) 2 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 -2 -4 -6 -8 ดงั นน้ั กราฟเสน้ ตรง x + y = 8 และ x - y = 2 ตดั กนั ท่ีจุด ( 5 , 3 ) เรียก ( 5, 3 ) ว่าคาตอบของระบบสมการ x + y = 8 และ x - y = 2

ใบงานท่ี 6 คาส่ัง ให้นักเรียนหาคาตอบของระบบสมการโดยวธิ กี ารเขียนกราฟ 1. 2x + y = 1 x-y =2 y x 10 8 6 4 2 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 -2 -4 -6 -8 ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………

2. y - x = 5 2x + y = 2 y 24 6 8 x 10 8 6 4 2 -8 -6 -4 -2 0 -2 -4 -6 -8 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………

3. 2x - 2y = 2 2x - y = 3 y 10 8 6 4 2 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x -2 -4 -6 -8 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………

ใบความรทู้ ี่ 7 ระบบสมการเชงิ เส้น ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร ให้ a , b , c , d , e และ f เปน็ จานวนจริงใดๆ ท่ี a , b ไมเ่ ปน็ ศูนย์พร้อมกันและ c , d เปน็ ศูนยพ์ ร้อมกันเรียก ax  by  e  ว่า ระบบสมการเชงิ เสน้  cx  dy f  ตวั อยา่ ง ให้ x , y เปน็ จานวนจรงิ ใดๆ x - 3y = 6 ……………………..(1) 2x - 6y = 8 …………………….(2) y x 8 6 6 4 2x - 6y = 8 2 x - 3y = 6 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 -2 -4 -6 -8

ดงั นั้น เสน้ ตรงที่ได้จากสมการ x - 3y = 6 และ 2x - 6y = 8 เปน็ เสน้ ตรงท่ขี นาน กนั จงึ ไมม่ จี ดุ ตดั ระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปรจึงไม่มีคาตอบ

ใบงานที่ 7 x คาสง่ั จงหาคาตอบของระบบสมการตอ่ ไปน้ี โดยวธิ ีเขยี นกราฟ 1. 2x - 2y = 4 …………………….(1) x - y = 8 ……………………(2) y 10 8 6 4 2 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 -2 -4 -6 -8 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..

2. 3x - 3y = 3 …………………….(1) 9x - 9y = 9 ……………………(2) y x 10 8 6 4 2 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 -2 -4 -6 -8 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………

3. y - x + 3 = 0 ………………..(1) 3x - 3y + 9 = 0 ………………..(2) y x 10 8 6 4 2 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 -2 -4 -6 -8 ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………

ใบความรทู้ ่ี 4.8 ระบบสมการเชิงเสน้ ระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร ให้ a , b , c , d , e และ f เปน็ จานวนจรงิ ใดๆ ท่ี a , b ไม่เปน็ ศูนย์พร้อมกันและ c , d เป็นศนู ย์พรอ้ มกันเรียก ax  by  e  วา่ ระบบสมการเชงิ เส้น  cx  dy f  ตัวอย่าง สมการ 4x - 3y = 12 และ 8x - 6y - 24 = 0 y 8 6 6 4 4x - 3y = 12 2 8x - 6y - 24 = 0 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x -2 -4 -6 -8 ดังน้นั จากสมการ 4x - 3y = 12 และ 8x - 6y - 24 = 0 เม่ือนามาเขียนกราฟเรา จะได้ เส้นตรงสองเส้นทับกนั แสดงวา่ ทุกคู่อันดบั ทแ่ี ทนจุดบนเส้นตรงที่ได้ คือ คาตอบของระบบสมการท่กี าหนดให้

ใบงานท่ี 8 x คาสัง่ จงหาคาตอบของระบบสมการต่อไปน้ี โดยวิธีเขียนกราฟ 1. 1 x  y  1 …………………..(1) 2 x  2y  2 ……………………(2) y 10 8 6 4 2 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 -2 -4 -6 -8 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..

2. 2x + 3y = 5 …………………….(1) 10x + 15y = 25 ……………………(2) y x 10 8 6 4 2 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 -2 -4 -6 -8 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………

3. 4x - y - 3 = 0 ………………..(1) x 12x - 3y = 9 ………………..(2) y 10 8 6 4 2 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 -2 -4 -6 -8 ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………

ใบความรทู้ ี่ 4.9 ระบบสมการเชิงเส้น การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร การหาคาตอบของระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร นอกจากจะใช้กราฟแลว้ ยงั มีวธิ ีอนื่ อีกซึง่ จะตอ้ งใช้คณุ สมบตั ิการบวกและการคูณ เข้ามาช่วย สมบัตกิ ารบวกและสมบัติการคณู 1) ถ้า a , b , c และ d เปน็ จานวนจรงิ ใดๆ โดยท่ี a = b และ c = d แล้ว a+c=b+d 2) ถา้ a , b และ k แทนจานวนจริงใดๆ และ a = b แล้ว ak = bk ตวั อยา่ ง จงแกร้ ะบบสมการ x + y = 4 ……………………(1) x - y = 2 ……………………..(2) วิธที า x + y = 4 ……………………(1) x - y = 2 ……………………..(2) นาสมการที่ (1) + (2) , ( x + y ) + ( x - y ) = 4+2 x+y+x-y= 2x = 6 x=3

นาสมการท่ี (1) - (2) , ( x+y)- ( x - y ) = 4 - 2 x+y-x+y=2 2y = 2 y=1 ตรวจคาตอบ แทนค่า x , y ในสมการท่ี (1) และ (2) x = 3 , y = 1 จะไดป้ ระโยคที่เปน็ จรงิ สองประโยคดงั น้ี 3 +1 = 4 3 -1=2 สรปุ ได้วา่ ( 3 , 1 ) เป็นคาตบของระบบสมการ ตอบ

ใบงานท่ี 4.9 คาสัง่ ใหน้ ักเรยี นหาคาตอบของระบบสมการตอ่ ไปนี้ 1. x - y = 12 ……………………(1) x + y = 2 ……………………..(2) ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

2. x + 2y = 5 ……………………(1) 2x - 2y = 7 ……………………..(2) …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………

3. 2x + 3y = 10 ……………………(1) 2x - 4y = 3 ……………………..(2) …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………

ใบความรทู้ ี่ 10 ระบบสมการเชงิ เสน้ การแก้ระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร การหาคาตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร นอกจากจะใชก้ ราฟแลว้ ยังมวี ิธีอื่นอีกซง่ึ จะตอ้ งใชค้ ณุ สมบตั กิ ารบวกและการคูณ เข้ามาช่วย สมบตั ิการบวกและสมบัตกิ ารคูณ 1) ถา้ a , b , c และ d เป็นจานวนจรงิ ใดๆ โดยท่ี a = b และ c = d แลว้ a+c=b+d 2) ถา้ a , b และ k แทนจานวนจริงใดๆ และ a = b แล้ว ak = bk ตวั อยา่ ง จงแก้ระบบสมการ x - 2y = 5 ……………………(1) 10x - 20y - 50 = 0……………………..(2) วธิ ีทา x - 2y = 5 ……………………(1) 10x - 20y - 50 = 0……………………..(2) คูณสมการที่ (1) x 10 10x - 20y = 50 ………………….(3) ดงั นนั้ สมการท่ี (2) และ (3) เป็นสมการเดียวกนั แสดงวา่ สมการท่ี (1) และ (2) สมมูลกนั

ตัวอยา่ ง จงแกส้ มการ 5x - 2y = 6 ……………………..(1) 15x - 6y = 4 ……………………(2) วิธีทา 5x - 2y = 6 ……………………..(1) 15x - 6y = 4 ……………………(2) นาสมการ (1) x (3) , 15x - 6y = 18 …………..(3) นาสมการ (2) - (3) , ( 15x - 6y ) - ( 15x - 6y ) = 4 - 18 0 = -14 (ซ่งึ ไมเ่ ป็นจริง) แสดงวา่ สมการนีไ้ ม่มคี าตอบ