ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

คณติ เพมิ่ เตมิ ม.4-6 เล่ม1 บทท1ี่ ตรรกศาสตร์เบือ้ งต้น

บทท่ี 1 ตรรกศาสตร์เบือ้ งต้น 1.1 ประพจน์ ( Preprosition หรือ Statements ) ประพจน์ คือ ประโยคหรือข้อความที่เป็นจริงหรือเทจ็ อย่างใดอย่างหนง่ึ เทา่ นนั้ ประโยคหรือข้อความท่ีมลี กั ษณะดงั กล่าว จะอย่ใู นรูปบอกเลา่ หรือปฏิเสธก็ ได้ ตวั อยา่ ง  อยา่ เดนิ ลดั สนาม  น่ากลวั จริง  10 ≠ 5  โลกเป็นดาวเคราะห์  π เป็นจานวนตรรกยะ  ได้โปรดเถิด  จงั หวดั เชียงใหมอ่ ยทู่ างภาคใต้ของประเทศไทย  15+5 = 20  ชว่ ยด้วย

แบบฝึกหดั 1.1 จงพิจารณาประโยคตอ่ ไปนีว้ ่าเป็นประพจน์หรือไม่ เพราะเหตใุ ด 1) เดือนสิงหาคมมี 30 วนั 2) 7 ∈ {1, 3, 5, 7, 9} 3) (8 + 22)3 หารด้วย 102 ไมล่ งตวั 4) กรุณารักษาความสะอาด 5) จงตอบคาถามตอ่ ไปนี ้ 6) π > 3 7) 9 เป็นจานวนเฉพาะ 8) ∅ ⊂ {1, 2} 9) โทร. ได้ตามอาเภอใจ 10) x เป็นตวั ประกอบตวั หน่งึ ของ x2 – x 11) {ก, ข, ค} = {1, 2, 3} 12) ∅ ∪ {0} ≠ {∅, 0} 13) อยา่ มาย่งุ กบั ฉนั ได้ไหม 14) ทาไมมาโรงเรียนสาย 15) √2 เป็นจานวนเตม็ 16) 2 หรือ 3 เป็นคาตอบของสมการ x2 – x = 6 17) ขอให้เดินทางกลบั โดยสวสั ดิภาพ 18) ยินดีต้อนรับ 19) ตวั ประกอบทงั้ หมดของ 12 มี 6 ตวั 20) ปีนีท้ านายวา่ อาหารจะอดุ มสมบรู ณ์

1.2 การเชื่อมประพจน์ o 2 และ 4 เป็นจานวนคู่ o ถ้า 3 เป็นจานวนคแ่ี ล้ว 32 เป็นจานวนค่ี o รูปสามเหลีย่ ม ABC จะเป็นรูปสามเหลีย่ มท่เี ทา่ กนั ทกุ ประการ ก็ตอ่ เมอื่ รูป สามเหลี่ยม ABC มีด้านยาวเท่ากนั ทกุ ด้าน (1) การเชื่อมประพจน์ด้วยตวั เชื่อม “และ” 1+2 = 2+1 3×2 = 2×3 1+2 = 2+1 และ 3×2 = 2×3 ในการเชื่อมประพจน์ด้วย “และ” มขี ้อตกลงว่าประพจน์ใหมจ่ ะเป็นจริงในกรณีท่ี ประพจน์ทนี่ ามาเช่ือมกนั นนั้ เป็นจริงทงั้ คู่ กรณีอ่ืนๆเป็นเทจ็ ทกุ กรณี ตารางคา่ ความจริง ( Truth table ) p q p∧q TTT TFF FTF FFF (2) การเชื่อมประพจน์ด้วยตวั เช่ือม “หรือ” 1+5 = 5+1 4(2+3) = (4×2) + (4×3) 1+5 = 5+1 หรือ 4(2+3) = (4×2) + (4×3)

ในการเชื่อมประพจน์ด้วย “หรือ” มขี ้อตกลงว่าประพจน์ใหมจ่ ะเป็นเทจ็ ในกรณีท่ี ประพจน์ทีน่ ามาเชื่อมกนั เป็นเทจ็ ทงั้ คู่ กรณีอื่นๆเป็นจริงทกุ กรณี ตารางคา่ ความจริง ( Truth table ) p q p⋁q TTT TFT FTT FFF ความหมายของคาวา่ “หรือ” ทีใ่ ช้โดยทว่ั ไป กรณีท่ี 1 หมายถงึ อย่างใดอย่างหนึ่ง เช่น ในการโยนเหรียญครัง้ ละ 1 เหรียญแต่ละครัง้ เหรียญจะขนึ ้ หวั หรือ ก้อยเพียงครัง้ เดียว กรณีท่ี 2 หมายถงึ อยา่ งใดอย่างหนึง่ หรือทงั้ สองอย่าง เช่น ครูให้รางวลั แก่นกั เรียนท่เี รียน ดี หรือช่วยกิจกรรมของโรงเรียน นกั เรียนท่ีได้รับรางวลั บางคนอาจเรียนดีเพยี งอย่างเดียว บางคนอาจช่วยกิจกรรมของโรงเรียนเพียงอย่างเดียว แตบ่ างคนอาจมีคณุ สมบตั ทิ งั้ สอง ประการ

(3) การเช่ือมประพจน์ด้วยตวั เชื่อม “ถ้า ... แล้ว ...” 2+3 = 3+2 6(2+3) = 6(3+2) ถ้า 2+3 = 3+2 แล้ว 6(2+3) = 6(3+2) o ประพจน์ทีต่ ามหลงั คาวา่ “ถ้า” เรียกว่า เหตุ o ปรพจน์ท่ตี ามหลงั คาวา่ “แล้ว” เรียกวา่ ผล ในการเช่ือมประพจน์ด้วยคาว่า “ถ้า ... แล้ว ...” มขี ้อตกลงวา่ ประพจน์ใหมจ่ ะเป็น เทจ็ ในกรณีทเี่ หตเุ ป็นจริงแตผ่ ลเป็นเทจ็ เท่านนั้ ในกรณีอ่ืนๆเป็นจริงทกุ กรณี ตารางคา่ ความจริง ( Truth table ) pq p→q TT T TF F FT T FF T (4) การเชื่อมประพจน์ด้วยตวั เช่ือม “กต็ อ่ เมื่อ” 2(3+2) = 2× 5 3+2 = 5 2(3+2) = 2× 5 กต็ อ่ เมื่อ 3+2 = 5 ซงึ่ มีความหมายเป็น ถ้า 2(3+2) = 2× 5 แล้ว 3+2 = 5 ถ้า 3+2 = 5 แล้ว 2(3+2) = 2× 5

การเชื่อมประพจน์ด้วยตวั เชื่อม “ก็ตอ่ เม่ือ” มีข้อตกลงว่า ประพจน์ใหมจ่ ะเป็นจริงใน กรณีทป่ี ระพจน์ท่นี ามาเชื่อมกนั นนั้ เป็นจริงด้วยกนั ทงั้ คหู่ รือเป็นเทจ็ ด้วยกนั ทงั้ คเู่ ทา่ นนั้ ใน กรณีอ่ืนๆเป็นเทจ็ เสมอ ตารางคา่ ความจริง ( Truth table ) pq p↔q TT T TF F FT F FF T (5) นิเสธของประพจน์ นิเสธของประพจน์ 2+3 = 5 คอื 2+3 ≠ 5 นิเสธของประพจน์ 2<3 คือ 2≮3 ตารางคา่ ความจริง ( Truth table ) ∼p F p T T F

แบบฝึกหดั ที่ 1.2 1.จงเขียนประพจน์ตอ่ ไปนีใ้ ห้อย่ใู นรูปสญั ลกั ษณ์ และหาค่าความจริงของแตล่ ะประพจน์ 1) 0 เป็นจานวนนบั และ 6 เป็นจานวนเตม็ 2) 9 ไมเ่ ท่ากบั 10 หรือ 10 ไมน่ ้อยกวา่ 9 3) √2 และ -1 เป็นจานวนจริง 4) ถ้า 1∉ {1, 2} แล้ว 1 ⊂ {1, 2} 5) √3 เป็นจานวนตรรกยะ และ ไมใ่ ช่จานวนจริง 6) 2 เป็น ห.ร.ม. ของ 4 และ 6 ก็ตอ่ เม่อื 2 หาร 4+6 ไมล่ งตวั 7) ถ้า 3 เป็นจานวนค่ี แล้ว 32 เป็นจานวนค่ี 8) √2 เป็นจานวนจริงหรือจานวนงขอตรรกยะ 9) 13 เป็นจานวนเฉพาะ กต็ อ่ เมือ่ 13 มีตวั ประกอบคือ 1 กบั 13 10) ถ้า {3} ⊂ {3, 4} แล้ว 3 ∉ {3, 4} 11) (2+6)+4 = 12 หรือ 12 = 2(5)+2 12) ถ้าแมงมมุ เป็นแมลง แล้ว แมงมมุ ต้องมี 6 ขา 13) งเู ห่าและงจู งอางเป็นสตั ว์มพี ิษ 14) ปลาโลมาหรือคนเป็นสตั ว์เลือดอนุ่

2. จงหานิเสธของประพจน์ตอ่ ไปนี ้และบอกคา่ ความจริงของประพจน์ที่เป็นนิเสธ 1) 4+9 = 10+3 2) |−7| ≯ |6| 3) เซตของจานวนนบั ท่เี ป็นคาตอบของสมการ x2 + 1 = 0 เป็นเซตวา่ ง 4) {3, 4} ∪ {1, 3, 5} = {1, 3, 4, 5} 5) {{2}} ⊂ {2} 6) |−3 + 6| ≤ |3| + |6| 7) 15 ไมใ่ ชจ่ านวนจริง 8) วาฬเป็นสตั ว์เลยี ้ งลกู ด้วยนม 3. จงเขียนข้อความแทนสญั ลกั ษณ์ตอ่ ไปนี ้ เมื่อกาหนด p แทนประพจน์ “ฉนั ซอื ้ สลากกินแบง่ รัฐบาล” และ q แทนประพจน์ “ฉนั ถกู รางวลั ที่หนง่ึ ” 1) ∼p 2) p→∼q 3) p∧q 4) p↔q 5) ∼p⋁ ∼q 6) ∼p⋁(p →q)

1.3 การหาค่าความจริงของประพจน์ การหาคา่ ความจริงของประพจน์ท่ีมีตวั เช่ือมตงั้ แตส่ องตวั ขนึ ้ ไป จะหาคา่ ความจริง ของประพจน์ยอ่ ยในวงเลบ็ ก่อน แตถ่ ้าประพจน์นนั้ ไม่ได้ใสว่ งเลบ็ ให้หาคา่ ความจริงของตวั เช่ือน “~” กอ่ น แล้วจงึ หาคา่ ความจริงของตวั เช่ือม “∧”, “∨” จากนนั้ จงึ หาค่าความจริง ของตวั เชื่อม “→” และลาดบั สดุ ท้ายเป็นการหาคา่ ความจริงของตวั เช่ือม “↔” ตวั อยา่ งท่ี 1 กาหนดให้ a, b และ c เป็นประพจน์ท่ีมีคา่ ความจริงเป็น จริง จริง และ เท็จ ตามลาดบั จงหาคา่ ความจริงของประพจน์ (a ∧ b) ∨c ตวั อย่างที่ 2 จงหาค่าความจริงของประพจน์ ~(a → ~b) เมอ่ื a, b เป็นประพจน์ทม่ี ีคา่ ความจริงเป็นจริง

แบบฝึกหดั ที่ 1.3 1. กาหนดให้ p, q, r, s และ t เป็นประพจน์ท่มี ีคา่ ความจริงเป็น จริง เท็จ จริง เทจ็ และ เท็จตามลาดบั จงหาคา่ ความจริงของประพจน์ตอ่ ไปนี ้ 1. (p∨q) ∧r 2. (p∧r) ∨ (t∧s) 3. (p∨ ~s) ∧ (q∨r) 4. ~ [(p∧ ~q) ∧t] 5. ~ [~ (r∨ ~s) ∧p] 6. (p∨ ~q) → (r∨t) 7. (~r∧q) ↔ (s∧ ~t) 8. (p→q) ↔ (r→s) 9. (s∧ ~p) ↔ (q→ ~r) 10. (q∨r) → (p↔ ~s) 11. [(p→q) ∧ (t→r)] →s 12. [(p∨q) ∧ (t∨s)] ∨ [(q→r) → ~s]

2. กาหนดให้ p, q, r และ s เป็นประพจน์ 1. ถ้าประพจน์ p→q มีคา่ ความจริงเป็นเทจ็ จงหาค่าความจริงของประพจน์ ~ (p∨q) ↔ (p∧ q) 2. ถ้าประพจน์ (~p ∧ q) และประพจน์ [p∨ (~q) ∨ (p∨q)] ∧ [ ~ (p∨q) ∨ ( ~p∧ q)] มีคา่ ความจริงเป็นเทจ็ และจริงตามลาดบั จงหาค่าความจริงของ p และ q 3. ถ้าประพจน์ [p∧ (~q→r)] → ( ~s∨r) มคี า่ ความจริงเป็นเทจ็ จงหาค่าความ จริงของ p, q, r และ s

1.4 การสร้างตารางคา่ ความจริง การพิจารณาคา่ ความจริงของรูปแบบของประพจน์ ต้องกาหนดคา่ ความจริงของ ประพจน์ยอ่ ยทกุ กรณีทเ่ี ป็นไปได้ ตวั อย่างที่ 1 กาหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงสร้างตารางคา่ ความจริงของ (p→q) → ( ~p ∧ ~q) ตวั อยา่ งที่ 2 กาหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงสร้างตารางคา่ ความจริงของ p∧ (~q) กบั ~ (p→q)

แบบฝึกหดั 1.4 กานหดให้ p, q, r และ s เป็นประพจน์ จงสร้างตารางแสดงคา่ ความจริงของรูปแบบ ของประพจน์ตอ่ ไปนี ้ 1. p∨ (q→p) 2. (p∨q) ∧ (p∨ ~q) 3. p→ (~p→q) 4. ~q↔ [p∧ (q→ ~p)] 5. (q∨ ~p) ↔r 6. (q∧r) → (r∨p) 7. [(p→q) ∧ (p∨s)] → (r→s)

1.5 รูปแบบของประพจน์ท่สี มมลู กนั ในวชิ าตรรกศาสตร์ ถ้ารูปแบบของประพจน์สองรูปแบบใดมีคา่ ความจริงตรงกนั กรณีต่อกรณี แล้วจะสามารถนาไปใช้แทนกนั ได้ เรียกสองรูปแบบของประพจน์ดงั กลา่ ววา่ เป็น รูปแบบประพจน์ท่ีสมมลู กนั เช่น p→q กบั ~p∨q เป็นรูปแบบทีส่ มมลู กนั ตวั อย่างที่ 1 กาหนด p และ q เป็นประพจน์ จงตรวจสอบวา่ ~ (p∨q) สมมลู กบั ~p∧ ~q หรือไม่ ตวั อยา่ งที่ 2 กาหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงตรวจสอบว่า ~p∧q สมมลู กบั p→q หรือไม่ ตวั อย่างที่ 3 จงตรวจสอบวา่ ข้อความตอ่ ไปนีส้ มมลู กนั หรือไม่ “ถ้า 82 เป็นจานวนคู่ แล้ว 8 เป็นจานวนค่”ู “ถ้า 8 ไมเ่ ป็นจานวนคู่ แล้ว 82 ไมเ่ ป็นจานวนค่”ู

แบบฝึกหดั ท่ี 1.5 1. จงพิจารณาว่ารูปแบบของประพจน์ตอ่ ไปนีส้ มมลู กบั รูปแบบของประพจน์ในข้อใด 1. (p∧q) →r ก. (p→r) ∨ (q→r) ข. (p→r) ∧ (q→r) 2. (p→r) ∧ (q→r) ก. ~(p ∨ q) →r ข. ~ (p ∨ q) ∨ r 3. [~ (p∧q) → ( ~q ∨ r)] ก. (p∧q) ∨ (q∧ ~r) ข. p ∧ ~ (q→r) 4. ~p → [q→ (r ∨ p)] ก. (p ∨ ~q) ∨ r ข. (~p ∨ q) ∨ r 5. p→ ~ (q→p) ก. ~p ∨ (~p∧q) ข. ~p ∨ (p ∨ q) 6. p↔q ก. (p→q) ∧ (q∧ ~p) ข. (~q→ ~p) ∧ ( ~q ∨ p)

2. จงเขียนข้อความที่สมมลู กบั ข้อความต่อไปนี ้ 1. (ab=0 ∧ a≠0) →b=0 2. √2 เป็นจานวนตรรกยะกต็ ่อเมื่อ √2 เป็นจานวนจริง 3. ถ้า a เป็นจานวนนบั แล้ว a มากกวา่ ศนู ย์ และถ้า a เป็นจานวนนบั แล้ว a2 มากกว่าศนู ย์ 4. แดงหรือดาเป็นนกั เรียน และแดงหรือขาวเป็นนกั เรียน 5. xy<0 → (x<0 ∨ y<0)

3. “รูปแบบของประพจน์ (ก) เป็นนิเสธของรูปแบบประพจน์ (ข) เม่อื คา่ ความจริงของ รูปแบบประพจน์ (ก) ตรงข้ามกบั คา่ ความจริงของรูปแบบประพจน์ (ข) ทกุ กรณี” จงตรวจสอบแต่ละข้อตอ่ ไปนีว้ า่ รูปแบบข้อความ (ก) กบั รูปแบบหรือข้อความ (ข) เป็น นิเสธกนั หรือไม่ 1) (ก)p∧q (ข) ~p∧ ~q 2) (ก)p∨q (ข) ~p∧ ~q 3) (ก)p→q (ข)p∧ ~q 4) (ก)p→q (ข) ~p→ ~q 5) (ก)p↔q (ข)(p∧ ~q) ∨ (q∧ ~p) 6) (ก) √2 เป็นจานวนตรรกยะ (ข) √2 เป็นจานวนอตรรกยะ 7) (ก) ถ้า 2+1 = 3 แล้ว 3 เป็นจานวนนบั (ข) 3 ไมใ่ ชจ่ านวนนบั แต่ 2+1 = 3 8) (ก) a เป็นจานวนคู่ และ เป็นจานวนเต็ม (ข) a เป็นจานวนคี่หรือไมใ่ ช่จานวนเตม็

1.6 สจั นิรันดร์ (Tautology) บทนิยาม รูปแบบของประพจน์ทม่ี ีคา่ ความจริงเป็นจริงทกุ กรณี เรียกว่า สจั นิรันดร์ พิจารณาคา่ ความจริงของรูปแบบบของประพจน์ [(p→q) ∧p] →q ตวั อยา่ งท่ี 1 กาหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงแสดงว่า (p→q) ↔ ( ~q→~p) เป็น สจั นิรันดร์ ตวั อยา่ งท่ี 2 กาหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ [(p→q) ∧ p] →~q เป็นสจั นิรันดร์หรือไม่ ตวั อย่างที่ 3 กานหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ (~q→p) → (q→~p) เป็นสจั นิรันดร์หรือไม่

แบบฝึกหดั 1.6 จงตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ที่กานหดให้ว่าเป็นสจั นิรันดร์หรือไม่ 1. [~ (p→q)] → [ (~p↔q)] 2. (p↔q) ↔ [(p∧q) ∨ (~p∧~q)] 3. ~ (p∧q) → ~ (p↔q) 4. [(p→q) ∧ (p→r)] ↔ [p→ (q ∧ r)] 5. [(p→r) ∧ (q→r)] ↔ [ (p ∨ q) →r] 6. [p→ (q→r)] → [ (p→q) →r] 7. [(p→q) →p] →p 8. ~ [(p ∨ (~p ∧ q)) → (~p ∧ ~q)] 9. ~ (p→q) →~q 10. [~p ∧ (p ∨ q)] →q 11. [(p→q) ∧ (q→r)] → (p→r) 12. [(p ∨ q) ∧ (p→r) ∧ (q→r)] →r

1.7 การอ้างเหตผุ ล การอ้างเหตผุ ล คือ การอ้างวา่ เมือ่ มขี ้อความ P1, P2, …, Pn ชดุ หนงึ่ แล้วสามารถ สรุปข้อความ C ข้อความหนง่ึ ได้ การอ้างเหตผุ ลประกอบด้วยสว่ นสาคญั สองสว่ นคือ เหตุ หรือ สงิ่ ทก่ี าหนดให้ ได้แก่ ข้อความ P1, P2, …, Pn และ ผลหรือข้อสรุป ได้แกข่ ้อความ C การอ้างเหตผุ ลอาจจสมเหตสุ มผลหรือไม่สมเหตสุ มผลกไ็ ด้ ซง่ึ สามารถตรวจสอบได้โดยใช้ ตวั เช่ือม ∧ เช่ือมเหตทุ งั้ หมดเข้าด้วยกนั และใช้ตวั เชื่อม → เช่ือมสว่ นที่เป็นเหตกุ บั ผล ดงั นี ้ (P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn) → C ถ้ารูปแบบ (P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn) → C เป็นสจั นิรันดร์ จะกลา่ ววา่ การอ้างเหตผุ ล นี ้สมเหตสุ มผล (valid) แตถ่ ้ารูปแบบ (P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn) → C ไมเ่ ป็นสจั นิรันดร์ ก็ กลา่ วได้ว่าการอ้างเหตผุ ลนี ้ไมส่ มเหตสุ มผล (invalid) ดงั นนั้ ในการตรวจสอบความ สมเหตสุ มผล จงึ ใช้วิธีเดยี วกบั การตรวจสอบสจั นิรันดร์ ตวั อยา่ งท่ี 1 กาหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงพิจารณาว่าการอ้างเหตผุ ลตอ่ ไปนี ้ สมเหตสุ มผลหรือไม่ เหตุ 1. p→q 2.p ผล q

ตวั อย่างท่ี 2 กาหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงพิจารณาว่าการอ้างเหตผุ ลตอ่ ไปนี ้ สมเหตสุ มผลหรือไม่ เหตุ 1. p→q 2. ~p ผล ~q ตวั อย่างที่ 3 จงพิจารณาว่าการอ้างเหตผุ ลตอ่ ไปนีส้ มเหตสุ มผลหรือไม่ เหตุ 1. ถ้าฝนตกแล้วหลงั คาบ้านเปียก 2. หลงั คาบ้านไมเ่ ปียก ผล ฝนไม่ตก ตวั อย่างที่ 4 จงพิจารณาว่าการอ้างเหตผุ ลตอ่ ไปนีส้ มเหตสุ มผลหรือไม่ เหตุ 1. ถ้า ก ไปทางานแล้ว ข อย่บู ้าน 2. ถ้า ข ไมอ่ ย่บู ้าน แล้ว ค เป็นคนดแู ลบ้าน 3. ค ไมไ่ ด้เป็นคนดแู ลบ้าน ผล ก ไมไ่ ด้ไปทางาน

แบบฝึกหดั 1.7 1. กาหนดให้ p, q, r, s และ t เป็นประพจน์ จงตรวจสอบวา่ การอ้างเหตผุ ลตอ่ ไปนี ้ สมเหตสุ มผลหรือไม่ 1) เหตุ 1.p∧q 2.p→ (q→r) ผลr 2) เหตุ 1.(p∧q) → (r∨s) ผลq 2. ~ (r∨s) 3) เหตุ 1.p→ (q∨r) 2. ~q∨~r ผล~p 4) เหตุ 1.p∨q ผลp 2. ~p∨r 3. ~r

5) เหตุ 1.p→q 2.p→r 3.p∧s ผลr→s 6) เหตุ 1.p→~q 2.r∨p 3. q 4. r→t ผลt 2. จงตรวจสอบวา่ การอ้างเหตผุ ลในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนีส้ มเหตสุ มผลหรือไม่ 1) เหตุ 1. 7 เป็นจานวนเฉพาะ หรือ 6 เป็นจานวนเฉพาะ 2. 7 ไมเ่ ป็นจานวนเฉพาะ ผล 6 ไมใ่ ชจ่ านวนเฉพาะ 2) เหตุ 1.ถ้า ก สร้างบ้านหลงั ใหมเ่ สร็จแล้วครอบครัวของ ก จะย้ายมาอยดู่ ้วย 2.ถ้าครอบครัวของ ก ย้ายมาอย่ดู ้วย แล้ว ก จะได้ดแู ลพ่อแม่ท่ชี ราแล้ว ผล ถ้า ก สร้างบ้านหลงั ใหมเ่ สร็จ ก จะได้ดแู ลพอ่ แมท่ ีช่ ราแล้ว

3) เหตุ 1. ถ้า ข ทายอดขายตามเปา้ หมายทผ่ี ้จู ดั การตงั้ ไว้ แล้ว เขาจะได้โบนสั 2. ข ทายอดขายตามที่ผ้จู ดั การตงั้ ไว้ ผล ข ได้รับโบนสั 4) เหตุ 1. ถ้า ค ซอื ้ กระเป๋ าถือสีดา แล้ว ค จะซอื ้ รองเท้าสีดาด้วย 2. ค ซอื ้ รองเท้าสีดา ผล ค ซอื ้ กระเป๋ าถือสดี า 5) เหตุ 1. ถ้า ก พบคนพิการทข่ี ายสลากกินแบง่ รัฐบาล แล้ว ก จะซือ้ สลากกิน แบง่ รัฐบาล 2. ก ไมซ่ อื ้ สลากกินแบ่งรัฐบาล ผล ก ไม่พบคนพิการทีข่ ายสลากกินแบ่งรัฐบาล 6) เหตุ 1. ก ซอื ้ สินค้าโดยใช้บตั รเครดิต หรือซือ้ สินค้าโดยใช้เงินสด 2. ก ไม่ซอื ้ สินค้าโดยใช้บตั รเครดติ ผล ก ซอื ้ สินค้าโดยใช้เงินสด

1.8 ประโยคเปิด บทนิยาม ประโยคเปิด คอื ประโยคบอกเลา่ หรือประโยคปฏิเสธทมี่ ีตวั แปร และเม่ือแทน ตวั แปรด้วยสมาชิกในเอกภพสมั พทั ธ์แล้วได้ประพจน์ แบบฝึกหดั ที่ 1.8 ประโยคตอ่ ไปนีเ้ป็นประพจน์หรือประโยคเปิด หรือไมใ่ ช่ทงั้ ประพจน์และประโยคเปิด 1. เขากาลงั เรียนอยชู่ นั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4 ใช่หรือไม่ 2. ถ้า {3} ⊂ {0, 1} แล้ว 3 ∈ {0, 1} 3. x2+x-6 = (x+3)(x-2) 4. เธอเป็นนกั ร้องเพลงไทยสากลของโรงเรียน 5. x2 – 1 6. ทงิ ้ ขยะให้เป็นที่จะช่วยให้บ้านเมืองสะอาด 7. 5x2-x-4 = (5x+4)(x-1) 8. x + x = 2x และ x – x = 0 9. 1x-x2 6 2 10. ถ้า x เป็นจานวนเตม็ แล้ว √x ไมใ่ ชจ่ านวนจริง

1.9 ตวั บ่งปริมาณ -สาหรับ x ทกุ ตวั x+0 = x เมือ่ เอกภพสมั พทั ธ์เป็นเซตของจานวนจริง -สาหรับ x บางตวั x+x = x2 เมื่อเอกภพสมั พทั ธ์เป็นเซตของจานวนจริง เรียก “สาหรับ … ทกุ ตวั ” และ “สาหรับ … บางตวั ” ว่า “ตวั บง่ ปริมาณ” แทนด้วย สญั ลกั ษณ์ ∀, ∃ ตามลาดบั และ ใช้สญั ลกั ษณ์ ∀x แทน สาหรับ x ทกุ ตวั ใช้สญั ลกั ษณ์ ∃x แทน สาหรับ x บางตวั ใช้สญั ลกั ษณ์ ������ แทน เอกภพสมั พทั ธ์ ใช้สญั ลกั ษณ์ R แทน เซตของจานวนจริง ใช้สญั ลกั ษณ์ Q แทน เซตของจานวนตรรกยะ ใช้สญั ลกั ษณ์ I หรือ Z แทน เซตของจานวนเตม็ ใช้สญั ลกั ษณ์ N แทน เซตของจานวนนบั

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงเขียนข้อความตอ่ ไปนีใ้ ห้อยใู่ นรูปสญั ลกั ษณ์ เม่ือเอกภพสมั พทั ธ์เป็นเซต ของจานวนจริง 1. สาหรับ x ทกุ จานวน x+x = 2x 2. มจี านวนจริง x ซง่ึ x+0 = 2x 3. สาหรับ x ทกุ จานวน ถ้า x เป็นจานวนเต็ม แล้ว x เป็นจานวนจริง 4. จานวนจริงทกุ จานวนเป็นจานวนเตม็ 5. จานวนเต็มบางจานวนยกกาลงั สองแล้วเทา่ กบั 1 ตวั อยา่ งท่ี 2 จงเขียนข้อความแทนประโยคสญั ลกั ษณ์ตอ่ ไปนี ้ 1) ∃x[x ∈ I ∧ x < 5] 2) ∀x[x ∈ I→ x < 5] 3) ∀y∃x[x2 + y2 = 8] 4) ∃y∀x[x2 + y2 = 8] 5) ∀x∀y[x + y ∈ R]

แบบฝึกหดั ที่ 1.9 1. จงเขียนแตล่ ะข้อต่อไปนีใ้ นรูปประโยคสญั ลกั ษณ์ 1) จานวนเต็มทกุ จานวนเป็นจานวนจริง 2) จานวนตรรกยะแตล่ ะจานวนคณู กบั 1 แล้วเทา่ กบั จานวนนนั้ 3) มีจานวนจริง x ซงึ่ x2 = 2 4) มีจานวนจริง x บางจานวน |������| + 1 ≤ 1 5) มีจานวนจริง x บางจานวน สาหรับจานวนจริง y ทกุ จานวน xy = 0 6) สาหรับจานวนจริง x และ y ทกุ จานวน x+y = y+x 7) สาหรับจานวนจริง x ทกุ จานวน มีจานวนจริง y บางจานวน ซงึ่ x2y = x2 8) มีจานวนจริง x และ y บางจานวน x+y = 2 9) ไมว่ ่า x และ y จะเป็นจานวนจริงใดๆกต็ าม จะได้วา่ x+y <5 10) มีจานวนเตม็ x และ จานวนนบั y บางจานวนซงึ่ x-y = 0

2. จงเขียนข้อความแทนประโยคสญั ลกั ษณ์ตอ่ ไปนี ้ 1) ∀x[x < 2 → x2 < 4] 2)∀y[y2 − 4 = (y − 2)(y + 2)] 3)∃y[2y + 1 = 0] 4)∃x[x ∈ Q → x2 = 2] 5)∀x∃y[xy ∈ R] 6)∃y∃x[2x = y]

7)∀y∀x[x − y = 0] 8)∃x∀y[x2y = x2 + y] 9)∀x ∈ R ∃y ∈ N[xy > 0 → x > 0 ∧ y > 0] 10) ∃x ∈ R ∀y ∈ N[x2 + y2 = 9]

1.10 คา่ ความจริงท่ีมตี วั บง่ ปริมาณตวั เดียว บทนิยาม  ∀x[P(x)] มคี า่ ความจริงเป็นจริง กต็ อ่ เมือ่ แทนตวั แปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิกแต่ ละตวั ในเอกภพสมั พทั ธ์ แล้วได้ประพจน์ทมี่ ีคา่ ความจริงเป็นจริงทงั้ หมด  ∀x[P(x)] มีคา่ ความจริงเป็นเทจ็ ก็ต่อเมอ่ื แทนตวั แปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิกอย่าง น้อยหนงึ่ ตวั ในเอกภพสมั พทั ธ์ แล้วได้ประพจน์ที่มีคา่ ความจริงเป็นเทจ็  ∃x[P(x)] มีคา่ ความจริงเป็นจริง ก็ตอ่ เม่ือ แทนตวั แปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิกอย่าง น้อยหนง่ึ ตวั ในเอกภพสมั พทั ธ์ แล้วได้ประพจน์ทีม่ ีค่าความจริงเป็นจริง  ∃x[P(x)]มีคา่ ความจริงเป็นเทจ็ ก็ต่อเมือ่ แทนตวั แปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิกแตล่ ะ ตวั ในเอกภพสมั พทั ธ์ แล้วได้ประพจน์ทีม่ ีคา่ ความจริงเป็นเทจ็ ทงั้ หมด ตวั อย่างที่ 1 จงหาค่าความจริงของประโยคท่ีมตี วั บง่ ปริมาณตอ่ ไปนี ้ 1) ∀x[x < 5], ������ = {0, 1, 2,3} 2) ∀x[x < 5], ������ = I 3) ∃x [x < 5], ������ = I 4) ∃x [x < 5]������ = {6, 7, 8}

ตวั อยา่ งท่ี 2 จงหาค่าความจริงของประโยคท่ีมตี วั บ่งปริมาณตอ่ ไปนี ้ ������ = {−1, 0, 1} 1) ∀x[(x < 0) → (x2 > 0)] 2) ∀x[x < 0] → ∀x[x2 > 0]] 3) ∃x[(x < 0) ∧ (x − 1 = 0)] 4) ∃x[x < 0] ∧ ∃x[x − 1 = 0]

แบบฝึกหดั 1.10 จงหาคา่ ความจริงของประโยคท่ีมตี วั บง่ ปริมาณตอ่ ไปนี ้ 1) ∀x[x2 > 8], ������ = {−1, 0, 2} 2) ∃x[x < 0], ������ = {0, 4, 7} 3) ∃x[x2 ≥ 0], ������ = I 4) ∀x[x > 0], ������ = N 5) ∀x[x + 1 = 4], ������ = {1, 2, 3, 4}

6) ∀x[x + x = x ∙ x], ������ = {0, 2} 7) ∃x[x = x2], ������ = {0, 1} 8) ∃x[5 + x ≠ 5], ������ = I 9) ∀x[xเป็นจานวนตรรกยะ], ������ = R 10) ∀x[ถ้า x เป็นจานวนคี่ แล้ว x เป็นจานวนเฉพาะ], ������ = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

11) ∃x[x เป็นจานวนค]ู่ , ������ = Q 12) ∃x [xเป็นจานวนนบั หรือเป็นจานวนเฉพาะ], ������ = {0, 2, 4, 6} 13) ∀x[x เป็นจานวนตรรกยะ] ∨∃x[x เป็นตวั ประกอบของ 2], ������ = {0, 1, 2} 14) ∃x[x2เป็นจานวนค่]ู ∧ ∀x[ถ้า x เป็นจานวนนบั แล้ว 2x เป็นจานวนค]ู่ , ������ = {0, 1, 2}

1.11 สมมลู และนิเสธของประโยคท่ีมีตวั บง่ ปริมาณ 1. p→q สมมลู กบั ~q→~p 2. p∨q สมมลู กบั q∨p 3. ~ (p→q) สมมลู กบั p∧ ~q 4. ~ (p∧q) สมมลู กบั ~p∨~q ประโยคที่สมมลู กนั ประโยคที่เป็นนิเสธ 1. นิเสธของ p∧q คือ ~p∨ ~q 2. นิเสธของ p→q คอื p∧~q

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงพิจารณาวา่ ประโยคในข้อตอ่ ไปนีส้ มมลู กนั 1. ~[P(x) ∨ Q(x)] กบั ~P(x) ∧ ~Q(x) 2. ∀x[P(x) ∧Q(x)] กบั ∀x[Q(x) ∧P(x)] 3. ∃x[P(x) ↔Q(x)] กบั ∃x[~P(x) ∨Q(x)] ∧ [~Q(x) ∨P(x)] 4. ∀x[~ (P(x) →Q(x))] กบั ∀x[P(x) ∧ ~Q(x)]

5. ∃x[P(x)] ∧ ∀x[Q(x)] กบั ∀x[Q(x)] ∧ ∃x[P(x)] 6. ∀x[P(x)] →∃x[Q(x)] กบั ~∃x[Q(x)] → ~∀x[P(x)] ตวั อย่างท่ี 2 จงพิจารณาวา่ ประโยคตอ่ ไปนีเ้ป็นนิเสธกนั หรือไม่ 1) ~∀x[P(x)] ∨ ~∀x[Q(x)] กบั ~(∀x[P(x)] ∧ ∀x[Q(x)]) 2) P(x) ∧ ~Q(x) กบั P(x) → Q(x) 3) ∃x[P(x) ↔ Q(x)] กบั ~∃x[P(x) ↔ Q(x)]

ตวั อยา่ งที่ 3 จงหานิเสธของข้อความตอ่ ไปนี ้ 1) ∀x[x+3>5] 2) จานวนจริงทกุ จานวนเป็นจานวนค่ี 3) จานวนจริงทกุ จานวนไมใ่ ช่จานวนตรรกยะ 4) ∃x[x2<0]

5) มจี านวนจริงบางจานวนเป็นจานวนคู่ 6) มจี านวนจริง x บางจานวนไมเ่ ป็นจานวนเตม็ 7) ∀x[x>0] ∨ ∃x[x2<0] 8) ∀x[x≠0] → ∃x[x≠0]

แบบฝึกหดั ท่ี 1.11 1. จงตรวจสอบว่าประโยคตอ่ ไปนีส้ มมลู กบั ข้อใด 1) ∀x[x>0 → x2>0] ก. ∀x[x2 >0 → x<0] ข. ∀x[x≤0 ∨ x2>0 ] 2) ∃x[(x+2=5) ∧ (x ∉ I) ] ก. ∃x[x∈ I ∧ (x+2=5)] ข. ∃x[(x+2≠5) ∨ (x∉ I )] 3) ∀x[x≥0] ก. ~∃x[x<0] ข. ∃x[x>0]

4) ~∃x[√x=4 ∧ x ≠ 16 ] ก. ∀x[√x≠4 → x = 16] ข. ∀x[√x=4 → x = 16] 5) ∃x[x ∈ R] → ∃x[x ∈ I] ก. ∀x[x ∈ I] → ∀x[x ∉ R] ข. ∀x[x∉ I] → ∀x[x∉ R] 6) ~ [∃x(x+2>5) ∧ ∃x(x2>0)] ก. ∀x[x+2≤5 ∨ ∀x[x2>0] ข. ~ [∀x(x+2>5) ∧ ∀x(x2≤0)]

7) มจี านวนคบ่ี างจานวนไมใ่ ชจ่ านวนเฉพาะ ก. ไมจ่ ริงที่วา่ จานวนค่ีทกุ จานวนเป็นจานวนเฉพาะ ข. จานวนค่ีทกุ จานวนเป็นจานวนเฉพาะ 8) ไมจ่ ริงท่วี า่ มีสบั เซตของเซตอนนั นต์ที่เป็นเซตจากดั ก. มีสบั เซตของเซตอนนั นต์เป็นเซตจากดั ข. สบั เซตของเซตอนนั ต์เป็นเซตไมจ่ ากดั 2. จงหานิเสธของข้อความตอ่ ไปนี ้ 1) ∃x[x+2 ≤ 0 ] 2) ∀x[x≠0] → ∃x[x>0]

3) ∀x[x2<0 → x<0] 4) ∃x[(x>2) ∨ ~(x+1 ≥1)] 5) ∃x[p(x) ∧ ~q(x)] 6) จานวนตรรกยะทกุ จานวนเป็นจานวนจริง 7) จานวนเตม็ บางจานวนเป็นจานวนจริง 8) จานวนจริงบางจานวนน้อยกวา่ หรือเท่ากบั ศนู ย์ และมีจานวนจริงบางจานวน เม่อื ยกกาลงั สองแล้วไมเ่ ท่ากบั ศนู ย์

1.12 คา่ ความจริงของประโยคที่มีตวั บง่ ปริมาณสองตวั บทนิยาม  ∀x ∀y[P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเม่ือ แทนตวั แปร x และ y ด้วย สมาชิก a และ b ทกุ ตวั ในเอกภพสมั พทั ธ์ แล้วทาให้ P(a, b) เป็นจริงเสมอ  ∀x ∀y[P(x, y)] มคี ่าความจริงเป็นเทจ็ กต็ อ่ เมื่อ แทนตวั แปร x และ y ด้วย สมาชิก a และ b บางตวั ในเอกภพสมั พทั ธ์ แล้วทาให้ P(a, b) เป็นเทจ็ ตวั อยา่ งท่ี 1 กาหนดให้ ������ = {-1, 0, 1} จงหาคา่ ความจริงของ 1) ∀x ∀y[xy<2] 2) ∀x ∀y[x+y<2] บทนิยาม  ∃x ∃y[P(x, y)] มีคา่ ความจริงเป็นจริง ก็ต่อเม่ือ แทนตวั แปร x และ y ด้วย สมาชิก a และ b บางตวั ในเอกภพสมั พทั ธ์ แล้วทาให้ P(a, b) เป็นจริง  ∃x∃y[P(x, y)] มคี ่าความจริงเป็นเทจ็ กต็ อ่ เม่อื แทนตวั แปร x และ y ด้วย สมาชิก a และ b ทกุ ตวั ในเอกภพสมั พทั ธ์ แล้วทาให้ P(a, b) เป็นเทจ็

ตวั อย่างท่ี 2 กาหนดให้ ������ = {-1, 0, 1} จงหาคา่ ความจริงของ 1) ∃x ∃y[2x+y=2] 2) ∃x ∃y[x+y>2] บทนิยาม  ∀x ∃y[P(x, y)] มคี า่ ความจริงเป็นจริง กต็ อ่ เม่ือ แทนตวั แปร x และ y ด้วย สมาชิก a ทกุ ตวั ในเอกภพสมั พทั ธ์ แล้วทาให้ประโยค ∃y[P(a, y)] เป็นจริง  ∀x∃y[P(x, y)] มคี ่าความจริงเป็นเทจ็ กต็ อ่ เมือ่ แทนตวั แปร x ด้วยสมาชิก a บางตวั ในเอกภพสมั พทั ธ์ แล้วทาให้ ∃y[P(a, y)] เป็นเทจ็ ตวั อยา่ งที่ 3 กาหนดให้ ������ = {-1, 0, 1} จงหาค่าความจริงของ 1) ∀������∃y[x+y=0] 2) ∀x ∃y[x<y]

บทนิยาม  ∃x∀ y[P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นจริง กต็ ่อเมื่อ แทนตวั แปร x ด้วยสมาชิก a บางตวั ในเอกภพสมั พทั ธ์ แล้วทาให้ประโยค ∀y[P(a, y)] เป็นจริง  ∃x∀y[P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นเทจ็ กต็ อ่ เม่อื แทนตวั แปร x ด้วยสมาชิก a แตล่ ะตวั ในเอกภพสมั พทั ธ์ แล้วทาให้ ∀y[P(a, y)] เป็นเทจ็ (นนั่ คือไมส่ ามารถ หาคา่ ของ a ซง่ึ ทาให้ ประโยค ∀y[P(a, y)] เป็นจริงได้เลย) ตวั อย่างท่ี 4 กาหนดให้ ������ = {-1, 0, 1} จงหาคา่ ความจริงของ 1) ∃x∀y[x+y = 0] 2) ∃x∀ y[x ≤ y] ตวั อย่างท่ี 5 กาหนดให้ ������ เป็นเซตของจานวนนบั จงหาคา่ ความจริงของ 1) ∀������∃������ [ y = x+1 ] 2) ∀y∃������ [ y = x+1 ]

ตวั อย่างท่ี 6 กาหนดให้ ������ เป็นเซตของจานวนจริง จงหาคา่ ความจริงของ 1) ∀������∃������ [ x+y = 0] 2) ∃������∀������ [x+y = 0]

แบบฝึกหดั ท่ี 1.12 จงหาคา่ ความจริงของประโยคตอ่ ไปนี ้ 1) ∀x∃y [ x+y = 1 ] ������ เป็นเซตของจานวนนบั 2) ∃y∀x [ x+y = 1 ] ������ เป็นเซตของจานวนนบั 3) ∃x∀y [ x+y = y ] ������ เป็นเซตของจานวนเตม็ 4) ∀y∃x [ xy = y ] ������ เป็นเซตของจานวนเตม็ 5) ∃x∀y [ xy = 1 ] ������ เป็นเซตของจานวนตรรกยะทไี่ ม่รวมศนู ย์