Математика [2021-02]

ИЗДАЕТСЯ С 1992 г. № 2 (821) ТЕМА НОМЕРА МЕТОДИЧЕСКИЙ СЕМИНАР ОБУЧАЕМ МАТЕМАТИКЕ ОБ УСЛОВНОЙ ДЕТЕЙ С ОВЗ ВЕРОЯТНОСТИ В ШКОЛЕ С. 12 МЕТОДИЧЕСКИЙ ДОКУМЕНТЫ ПРАКТИКУМ МИНПРОСВЕЩЕНИЯ РОССИИ НЕСКОЛЬКО КРАСИВЫХ ОБ УТВЕРЖДЕНИИ ФЕДЕРАЛЬНОГО ЗАДАЧ НА ТЕОРЕМУ ВИЕТА ПЕРЕЧНЯ УЧЕБНИКОВ С. 22 С. 54

МАТЕМАТИКА тема номера: обучаем математике детей с оВЗ Методический журнал ВНОМЕРЕ для учителей математики ЮБИЛЕЙ Издается с 1992 г. Выходит 10 раз в год 4 А. Шевкин Потапову Михаилу Константиновичу 90 лет! Издательство МЦНМО БОЛЬШОЙ ВЛАСЬЕВСКИЙ ПЕР., 11, НА УРОКЕ / ОТКРЫТЫЙ УРОК МОСКВА, 119002 9 Г. Аджемян, А. Грищенко «Шефский урок» для детей с ОВЗ Издается совместно с РОССИЙСКОЙ АССОЦИАЦИЕЙ 10 НА УРОКЕ / ДИДАКТИЧЕСКОЕ СОПРОВОЖДЕНИЕ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ Т. Литвиненко Страничка журнала на сайте РАУМ: Карточки-подсказки на уроках геометрии raum.math.ru/node/179 12 МЕТОДОБЪЕДИНЕНИЕ / МЕТОДИЧЕСКИЙ СЕМИНАР РЕДАКЦИЯ: И. Высоцкий, В. Шапарина Главный редактор: Л. РОСЛОВА Об условной вероятности в школе Ответственный секретарь: 22 МЕТОДОБЪЕДИНЕНИЕ / МЕТОДИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ Т. ЧЕРКАВСКАЯ Е. Михайлов Редакторы: П. КАМАЕВ, Несколько красивых задач на теорему Виета О. МАКАРОВА 30 Г. Левитас Корректор: Л. ГРОМОВА Задача-шарада Верстка: Л. КУКУШКИНА Дизайн обложки: Э. ЛУРЬЕ 32 Е. Иванова Дизайн макета: И. ЛУКЬЯНОВ Координатный метод в планиметрии 8 (499) 241-89-79 34 А. Шевкин [email protected] Возьмем интеграл или… ножницы [email protected] 35 МЕТОДОБЪЕДИНЕНИЕ / МЕТОДИЧЕСКАЯ КОНСУЛЬТАЦИЯ По вопросам распространения А. Волкова обращаться по телефону (499) 745-80-31 Геометрическое оригами, или Опыты с бумагой e-mail: [email protected] 42 МЕТОДОБЪЕДИНЕНИЕ / ТЕХНОЛОГИИ / ИКТ Иллюстрации: freepik.com Л. Рослова Международный опыт обучения математике Зарегистрировано ПИ №ФС77-66437 с использованием цифровых технологий от 14.07.16 в Роскомнадзоре 51 ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ Подписано в печать: 28.02.2021 Тираж: 3000 экз. В. Пырков К 110-летнему юбилею М.В. Келдыша Для получения доступа к журналу «Математика» 54 В УЧИТЕЛЬСКОЙ / НОРМАТИВНЫЕ ДОКУМЕНТЫ 63 Об утверждении федерального перечня учебников в электронном виде необходима регистрация ПОСЛЕ УРОКА / В КЛАДОВОЙ ГОЛОВОЛОМОК школы в системе «СтатГрад». Н. Авилов «Стрелка Юноны» Подробнее см. на сайте statgrad.org/#2619 64 В КАБИНЕТЕ МАТЕМАТИКИ / НА СТЕНД ISSN 2658-4042 Знаки и эмблемы / Радиация Отпечатано в ООО «Принт-Хаус» К статьям, обозначенным этим символом, есть дополнительные материалы на сайте raum.math.ru. г. Нижний Новгород, ул Интернациональная. д 100. корп. 8, тел. +7 (831) 216-40-40. Номер заказа МАТЕМАТИК А февраль 2021

ЮБИЛЕЙ МК. .ПОТАПОВА Л. РОСЛОВА Я не могу похвастаться длительным об- щением с Михаилом Константиновичем Потаповым, но я пом- ню, с каким вниманием и наслаждением слушали учителя его лекции на днях учителя математики, проходивших в рамках Педагогического марафона, который на протяжении несколь- ких лет организовывал издательский дом «Первое сентября». У меня сохранились фотографии одного из выступлений в 2006 году, по фото вижу, что проходило оно в Московском доме учителя. Умение без спешки, логично, с акцентами, необ- ходимыми для понимания слушателями, объяснить решение задачи или обосновать принятый в учебнике методический подход идет от большой методической культуры и огромного преподавательского опыта. У меня нет опыта совместной работы над учебным пособием, но однажды я пересеклась с Михаилом Константиновичем в ра- боте над книгой, будучи редактором в издательстве «Дрофа». Он принес нам замечательный сборник старинных задач, по- черпнутых из математических книг XVIII века, от начала века и «Арифметики» Магницкого до конца века и задач, связан- ных с именем Эйлера:  Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., По- тапов М.К. Старинные занимательные задачи. — М.: Дрофа, 2002. Молодым художникам, которым было поручено художе- ственное оформление книги, так понравились и сами задачи («Почему мы не решали такое в школе», — задавали они мне вопрос), и исторический контекст (от Петровской эпохи к Ека- терининскому золотому веку), что им захотелось сделать что- то необычное, интересное и с точки зрения общего дизайна книги. Увидев предыдущие издания сборника, они не поже- лали ограничиваться традиционным для математических за- дачников размещением по страницам задач и решений к ним. Развернутый перед Михаилом Константиновичем макет бу- дущей книги так поразил его, что он предложил ребятам орга- низовать визит в научную библиотеку МГУ, где хранится один из сохранившихся первых экземпляров «Арифметики» Маг- ницкого. Жалею, что не пошла вместе с ними: на художников книга произвела колоссальное впечатление. Не только взгля- нуть на эти страницы, но и прикоснуться к ним — это стало и потрясением, и своеобразной передачей культурного кода. За такое событие в их профессиональной жизни они были чрезвычайно признательны Михаилу Константиновичу и по- том всегда говорили, что лучшие авторы — это математики. Я думаю, что со стороны Михаила Константиновича это был отклик настоящего Учителя, который осознает свою ответ- ственность за передачу культурного наследия будущим поко- лениям и верен этой миссии. 3 МАТЕМАТИКА февраль 2021

А. ШЕВКИН, ПОТАПОВУМИХАИЛУ КОНСТАНТИНОВИЧУ г. Москва 90ЛЕТ! юбилей Михаил Константинович Потапов родил- ся 29 января 1931  г. в городе Пятигорске Ставропольского края. Окончил Пятигорский государственный педагогический инсти- тут (1952), кандидат физико-математических наук (1956), доктор физико-математических наук (1974), профессор (1975), профес- сор кафедры высшей геометрии и топологии (1956–1978), профес- сор кафедры теории функций и функционального анализа (1978 — по настоящее время) механико-математического факульте- та МГУ им.  М.В.  Ломоносова. Награжден медалью «Ветеран тру- да» (1975). Лауреат премии им. М.В. Ломоносова за педагогическую деятельность (2000). Заслуженный профессор Московского универ- ситета (1999). Заслуженный деятель науки РФ (1993). Отличник на- родного образования. Область научных интересов: теория функций, школьное образо- вание. Тема кандидатской диссертации: «Некоторые вопросы наи- лучшего приближения в метрике  Lр». Тема докторской диссерта- ции: «Конструктивные характеристики и теоремы вложения для некоторых классов функций». Читает курсы «Мера и интеграл», «Приложения теории функций и функционального анализа», «При- ближение функций полиномами», «Тригонометрические ряды», «Номография», «Научные основы школьного курса математики», «Математические основы школьного курса естествознания», «Со- держание и методика преподавания школьного курса математики». Школьные учителя знают Михаила Константиновича начи- ная с его первой, широко известной книги: Дорофеев Г.В., Пота- пов М.К., Розов Н.Х. Пособие по математике. Для поступающих в вузы. Избранные вопросы элементарной математики.  — М.: На- ука, 1968. С этой книгой у меня связаны личные воспоминания: я поль- зовался ею, обучаясь в 10  «Е» классе СШИ ФМП №  18 при МГУ им.  М.В.  Ломоносова. Ее мне подарил одноклассник Боря Ужа- кин. Книга была очень популярна. Мой экземпляр — из допечат- 4 МАТЕМАТИК А февраль 2021

ки в 100  000 экземпляров к основному тиражу то есть не учим способам получения верного от- книги. Книга стала заметным явлением в аби- вета без понимания смысла выполняемых дей- туриентской литературе и задала эталон обстоя- ствий. И это только один пример, одна искорка тельного и точного объяснения излагаемого ма- в том фейерверке моего общения с Учителем. териала. Этот стиль Михаил Константинович привнес в наши совместные учебники серии После учебников мы с Михаилом Константи- «МГУ  — школе» для 5–11-х классов, над кото- новичем написали книги для учителя и дидак- рыми мы работали с 1985 года (в Федеральном тические материалы (для 5–11-х классов), рабо- перечне учебников с 1996). В них та же неторо- чие тетради (для 5–9-х классов), много совместных пливость и постепенность в развертывании со- статей, но это уже совсем другая история, о кото- держания изучаемого материала. рой надо рассказывать отдельно, чтобы не выйти за рамки жанра «поздравительная открытка». Не передать словами того шока, который я ис- пытал, когда мне выпало счастье писать учебники с такими мастерами, как академик С.М. Николь- ский и профессор М.К. Потапов. Я ловил каждое их слово, так как к тому времени имел за плечами всего лишь 12 лет работы в школе. Я учился у них, задавал вопросы, делал свои предложения, опира- ющиеся на опыт общения со школьниками и учи- телями. Однажды я переадресовал Михаилу Кон- стантиновичу вопрос учителей: «Почему в своих учебниках при решении неравенств вы так позд- но вводите нестрогое неравенство?» Его ответ мне запомнился, и я часто привожу его на моих встре- чах с учителями: «А куда мы спешим? Сначала ученик должен освоить способы решения стро- гих неравенств всех типов, предусмотренных про- граммой, а потом переходить к изучению нового для себя объекта  — нестрогого неравенства. Не- строгое неравенство — это и не неравенство вовсе, а совокупность уравнения и неравенства». Если не развести эти понятия, то ученик будет с сово- купностью работать как со строгим неравенством и допускать ошибки. В самом деле, мы же хотим добиться понима- ния учеником выполняемых им действий, а не учим лайфхакам, как теперь пишут в интернете, Дорогой и глубокоуважаемый Михаил Константинович, от меня, от ваших коллег, от учителей математики примите сердечные поздравления с замечательным юбилеем! Желаем Вам зшдкоролоьвньяи,кбоовдрмоасттием, саитлиикдеа. лУсьпшеехдоевлиВтамьсявосввосиемхидзенлаанхи—ямвиоипроепкыитообмстсооявтсеемльис,тквтаому!чит российских 5 МАТЕМАТИКА февраль 2021

Г. АДЖЕМЯН, 5 класс [email protected], «ШЕФСКИЙУРОК» ДЛЯДЕТЕЙСОВЗ А. ГРИЩЕНКО, [email protected], В поисках путей организации учебного взаимодействия учащихся разных параллелей особую значимость приобретает форма урока. г. Москва «Шефский урок» — это такая форма урока, при проведении которого реализуется сотрудничество старшеклассников с Иллюстрации предоставлены учебной группой из средней школы. На таких уроках учебную авторами статьи деятельность нужно анализировать не саму по себе, а как составляющую учебной ситуации, в которой главную роль играет н а у р о к е / от к р ы:т ы й у р о к социальное взаимодействие учащихся из средней школы со старшеклассниками и между собой. тема номера обучаем математике детей с оВЗ 6 Перед учителем ставится непростая задача по организации учеб- ного процесса: нужно определить, какие задания для этого потре- МАТЕМАТИК А февраль 2021 буются и какие средства обучения стоит использовать. Безуслов- но, для этих целей потребуется специально организованная среда учебного сотрудничества со следующими составляющими органи- зации совместного действия: – распределение начальных действий; – обмен способами действий, использование различных моделей в качестве средств получения результатов работы разными участ- никами действия; – взаимопонимание, позволяющее установить соответствие меж- ду собственными действиями и действиями других участников, включенных в работу; – коммуникация или общение, обеспечивающее осуществление процессов распределения, обмена и взаимопонимания; – планирование способов совместной работы и построение соот- ветствующих схем и планов работы; –  рефлексия, обеспечивающая преодоление ограничений соб- ственной работы относительно общей схемы деятельности. Общая особенность совместной деятельности при проведении шефского урока состоит в преобразовании, перестройке позиции личности в отношении к усвоенному содержанию и собственным взаимодействиям. Это может выражаться в изменении ценност- ных установок, целей учения и смысловых ориентиров, а также способов взаимодействия между участниками процесса обучения, их взаимоотношений. В статье представлен опыт проведения шефского урока в Госу- дарственном казенном общеобразовательном учреждении «Шко- ла «Технологии обучения», где обучаются дети с ограниченными возможностями здоровья, в том числе и с умственной отсталостью, в очно-дистанционной форме и процесс обучения обеспечивается современными информационными технологиями. Рассказано об организации учебного взаимодействия между учениками средней школы, пятиклассниками и одиннадцатиклассниками, на меж- предметном уроке. Приведены примеры заданий, позволяющих установить соответствие между действиями старшеклассников и других участников урока, включенных в работу.

Шефский урок проводился в рамках Всерос- полняя задания, ученики повторяли материалы сийской акции и был посвящен 125-летию со и других предметов (географии, истории), вспоми- дня рождения Сергея Есенина. Урок проводи- нали музыкальные произведения на стихотворе- ли ученики 11-го класса для учеников 5-го клас- ния С.А. Есенина. са с умственной отсталостью при помощи ком- ХОД УРОКА муникационного программного обеспечения Zoom, которое объединяет видеоконференцию, Работа с эпиграфом чат и мобильную совместную работу. Цель и задачи урока пятиклассники сформу- Перед учителем стояли непростые задачи: лировали самостоятельно, прочитав и обсудив •организовать учебное сотрудничество так, со старшеклассниками эпиграф (стихотворение чтобы были учтены все особенности работы с та- Сергея Есенина). кими учащимися, •продумать специальные условия обучения Задание. Прочитайте (послушайте) эпиграф (например, увеличение курсора и шрифта, по- и определите, о ком сегодня пойдет речь. мощь ассистента и т.п.), Стою один среди равнины голой, •предусмотреть вариативные приемы работы: А журавлей относит ветер вдаль, Я полон дум о юности веселой, поэлементная инструкция, планы-алгоритмы Но ничего в прошедшем мне не жаль. и схемы выполнения (наглядные, словесные), во- просы (подсказывающие, альтернативные, наво- дящие, уточняющие и проблемные), чередование Не жаль мне лет, растраченных напрасно, легких и трудных заданий (вопросов), а также их Не жаль души сиреневую цветь. адаптация для этой категории детей и т.п. В саду горит костер рябины красной, Но никого не может он согреть. Дети 5-го класса на уроке работали вместе со своими родителями — тьюторами, функция ко- Сергей Есенин торых состояла только в технической помощи ученикам (включить необходимую программу, Обсуждение эпиграфа проводили одинадцати- дать общий доступ экрана ученика и т.д.). Несмо- классники, опираясь на вопросы в маршрутных тря на то, что все ученики и их родители нашей листах. школы проходят первоначальное знакомство 1. Что вы знаете о Сергее Есенине? с дистанционными продуктами, возможностями 2. Какие стихи С. Есенина вам знакомы? О чем электронных курсов, тетрадей, постоянно появ- они? ляются новые информационно-технические воз- 3. Что вы можете сказать о Есенине по словам можности, которые учителя используют в про- эпиграфа? цессе преподавания. На основании вопросов ученики 5-го и 11-го клас- Готовясь к шефскому уроку, мы продумыва- сов определили тему урока: «Жизнь и судьба русско- ли все задания, которые ученики 11-го клас- го поэта Сергея Александровича Есенина». са смогут объяснить, а ученики 5-го класса После работы с эпиграфом ученики приступи- выполнить без затруднений. Для этого специ- ли к выполнению заданий по русскому языку, альные маршрутные карты урока отдельно для чтению и математике, связанных с творчеством учащихся 5-го класса и учащихся 11-го клас- С.А. Есенина. са были составлены с учетом вышеперечисленных требова- ний. Предложенные задания были интегрированы с други- ми предметами — географией, русским языком, историей. Урок был составлен в виде путешествия по основным эта- пам жизни и творчества С.А. Есе- нина. Так как урок был межпред- метным (чтение, математика), то этапы урока были названы соот- ветствующе: «Остановка поэти- ческая»  — задания по чтению, «Остановка математическая»  — задания по математике. Вы- 7 МАТЕМАТИКА февраль 2021

н а у р о к е / от к р ы:т ы й у р о к Разминка 1. Как найти расстояние от села Константино- В задании для разминки пятиклассникам во до г. Коломны? тема номера обучаем математике детей с оВЗ было предложено обсудить, какое литературное 2.  Сколько километров составляет путь от событие отмечает российская общественность Бронниц до Москвы? в начале октября  (125-летие со дня рождения С.А. Есенина). 3.  В котором часу автомобиль приехал в Ко- ломну? Задание. В этом году мы празднуем 125-ле- тие великого поэта Сергея Есенина. Напишите, 4. Какое время показывают часы в Москве? сколько сотен, десятков и единиц в числе 125? В маршрутных картах пятиклассников Выполняя это задание, пятиклассники не толь- была размещена квадратная сетка, где они запи- ко повторили состав числа, но и узнали некото- сывали свои решения. рые факты из жизни великого поэта, которыми поделились с ребятами одиннадцатиклассники. Решение. Остановка «Математическая» Остановка «Литературная» Остановка математическая, но задание меж- Переход к остановке «Литературная» тоже предметное. Пятиклассникам нужно вспомнить, связан с географией, так как вопрос касает- как работать с географической картой, чтобы ся указательного знака, расположенного у села определить расстояние между Москвой и селом Константиново. Одиннадцатиклассник объяс- Константиново Рязанской области, где родился няет условие задания. великий русский поэт и где сегодня находится Го- сударственный музей-заповедник С.А.  Есенина. Одиннадцатиклассник читает условие задачи. Задание. Отправимся в село Константиново, где родился великий поэт  Сергей Есенин. Рас- смотрите географическую карту и определите, на каком расстоянии находится село Константи- ново от Москвы. На автомобиле можно ехать по следующе- Задание. У села Константиново стоит необыч- му маршруту: от с. Константиново проехать ный указатель. На нем не только название насе- 53 км до г. Луховицы; потом ехать 24 км до г. Ко- ленного пункта «Село Константиново», но и чет- ломна. Здесь можно сделать остановку, отдо- веростишие Есенина, которое настраивает на хнуть. Далее ехать 50 км до г. Бронницы, потом соответствующую поэтическую волну: 48 км — до г. Люберцы, а расстояние от г. Лю- Я буду воспевать берцы до Москвы составляет 43 км. Вычислите, Всем существом в поэте сколько километров составляет путь от села Кон- Шестую часть земли стантиново до Москвы. С названьем кратким Русь… Одиннадцатиклассники подготовили вопро- сы, которые помогли пятиклассникам справить- Прочитайте выразительно строки из произ- ся с этой задачей. 8ведения С.А. Есенина. МАТЕМАТИК А февраль 2021

1. Какое средство выразительности исполь- и учителями допели романс. Дети выразили же- зует автор? лание еще раз встретиться таким же составом, попробовать выполнить более сложные задания. 2. С какой целью он это делает? 3. Что мы скажем о поэте, читая эти строчки? Некоторые выводы Остановка «Видеозал» Итоги шефского урока были подведены на сле- На нашем уроке мы предложили ученикам дующем уроке: пятиклассники самостоятель- но воспроизвели в своих рабочих тетрадях ма- внимательно посмотреть мультфильм по стихот- териал, прослушанный на прошедшем занятии, ворению Сергея Есенина «Песнь о собаке». в виде краткой записи или плана. Грустная история заставила их задуматься Однозначно, такие задания не вызывают не только о судьбе щенков, несчастной матери- у учеников затруднений, они позволяют закре- собаки, но и вспомнить, что такое сострадание, пить не только учебные навыки, но и коммуни- научиться переживать за других, чувствовать кативные, развивают активность, самостоятель- чужую боль. Обсуждение содержания этого сти- ность. С большим интересом дети выполняют хотворения прошло особенно эмоционально, во- задания после просмотра видеофрагментов, про- первых, потому что дети с ограниченными воз- слушивания аудиозаписей. можностями сами перенесли или переносят боль, умеют сопереживать, во-вторых, пото- Практикуя организацию и проведение шеф- му что делились своими впечатлениями с таки- ского урока, мы пришли к выводу, что такие уро- ми же детьми, только немного старше, одиннад- ки, когда старшеклассники ведут искреннюю бе- цатиклассниками. седу с учениками средних классов, позволяют повышать эффективность обучения, развивать Остановка «Поэтически-музыкальная» активность, самостоятельность, личную иници- На этой остановке наш урок завершился про- ативу и творческие способности учащихся. Ра- ботая по новым технологиям, мы смогли сделать слушиванием романса на слова Сергея Есенина урок ярким, интересным. Дети обсуждали, спо- «Отговорила роща золотая…». Тут уже не нуж- рили, доказывали, исследовали, не боясь стро- но было просить пятиклассников отвечать, они гих учительских оценок. Мы, учителя, для себя вместе с одиннадцатиклассниками, родителями «открыли» учеников, увидели в них новые чер- ты, о которых даже не подозревали. Такие уро- ки приносят радость и удовлетворение от работы. Конечно, наш поиск новых методов и приемов ра- боты с детьми с ОВЗ продолжится. Ведь важно давать знания ученикам не в готовом виде, а до- бывать их совместно. Только нужно помнить, что важным подходом к воплощению новых идей всегда были простота, надежность, доступность. КАКСТАТЬАВТОРОМ ЖУРНАЛА«МАТЕМАТИКА»? Сделать это несложно: надо лишь написать статью и прислать ее в редакцию журнала. И еще одно условие — она должна быть интересна и полезна вашим коллегам. Требования к оформлению статьи: • Материал должен быть напечатан на ком- • Рисунки надо пронумеровать, нумерация пьютере или на пишущей машинке. должна соответствовать их нумерации в тексте. • Рисунки должны быть четкими, аккуратны- • Фотографии должны быть цветными. Фор- ми, выполненными на белой нелинованной или мат фотографий, отпечатанных на бумаге, не клетчатой бумаге с помощью чертежных инстру- менее 10  ×  15 см. Размер цифровых фотогра- ментов. Если вы хорошо владеете компьютером, фий не менее 800 × 600 пикселей, формат JPG, можете воспользоваться для этого программой качество, используемое при сохранении JPG- Corel Draw. файлов, высокое (high). Прислать статью можно по почте или по электронной почте. Всю необходимую для этого информа- цию вы найдете на странице 2 журнала. 9 МАТЕМАТИКА февраль 2021

Т. ЛИТВИНЕНКО, Из опыта работы г. Санкт-Петербург КАРТОЧКИ- ПОДСКАЗКИ НАУРОКАХ ГЕОМЕТРИИ н а у р о к е / д и д а к:т и ч е с ко е с о п р о в о жд е н и е Cтатья будет интересна учителям математики, работающим в общеобразовательных школах с учащимися, имеющими тема номера обучаем математике детей с оВЗ ограниченные возможности здоровья, а также студентам профильных вузов, репетиторам и родителям, которые хотят помочь своим детям понять и полюбить такой непростой учебный предмет, как геометрия. Данная статья — это обобщение моего большого педагогического опыта. Кто-то не увидит в ней ничего нового, кто-то вспомнит хорошо забытое старое, кто-то откроет для себя интересные моменты в преподавании предмета. Когда я училась на олигофренопедагога, то был у нас предмет специальная психология. Вела его профессор Любовь Сергеев- на Мотылева. Как и другие предметы, этот курс содержал большое количество специальной терминологии, и Любовь Сергеевна пока- зала нам, как без особых усилий, легко и непринужденно, можно запомнить весь этот объемный материал. После каждой лекции мы должны были сделать карточки: на одной стороне писалось поня- тие и его определение, с другой стороны — понятие и первые бук- вы слов определения. Выглядело это примерно так: 10 В начале лекций Любовь Сергеевна проводила опрос по опре- МАТЕМАТИК А февраль 2021 делениям, карточками можно было пользоваться при ответе, но было одно «но»: пользоваться можно было только той стороной, на которой были лишь первые буквы слов. И так от лекции к лекции. Когда пришло время экзамена, то нам разрешили принести на него все карточки-определения. Но с условием, что это новые карточки, на которых написано только понятие и первые буквы слов опреде- ления этого понятия. Стоит отметить, что карточки теперь высту- пали не как подсказки, а как психологическая поддержка, во вре- мя экзамена мало кто к ним обращался. Я стала применять для себя данный способ запоминания, позна- комилась с трудами В.Ф. Шаталова, интересовалась литературой по стенографии, вернулась к записям лекций по теоретическим осно- вам начального курса математики В.М. Винокурова, читала про мне- мотехнику. Спустя годы, на курсах по АВА-терапии у Екатерины и Александры Жестковых, столкнулась с методом холодных проб, и родилась у меня идея собрать воедино все то, что я знаю и умею.

Чаще всего в моей педагогической практике чертеже, он уже испытывает меньше тревожности приходится работать с детьми, имеющими ограни- на уроке, понимая учителя или одноклассника, ченные возможности здоровья, и хорошо если они решающего задачу у доски, он успевает записы- научены учиться… Математика — предмет, кото- вать, он мыслит и «двигает рукой», следит за по- рый требует от многих моих учеников приложе- стоянно меняющимся пространством. ния большого количества сил, а на выходе нередко Но этого недостаточно, чтобы стать успешным, получается лишь незначительный положитель- необходимо выполнить еще ряд требований. Одно ный результат. Нет результата — нет мотивации. из них  — карточка должна быть написана са- Все мы прекрасно понимаем, что пока поня- мим ребенком (не родителем, не учителем, не рас- тие, определение или теорема не будут ребен- печатана, не скинута на планшет). Второе тре- ком выучены, не будет активного использования бование  — читать карточки перед сном. Опыт данного знания в практической работе. Снача- показал, что этот способ запоминания очень удо- ла мы даем ребенку пассивное слово, потом сло- бен. Нет, дети не станут сразу разбираться и схо- во должно стать активным, а после этого оно ду решать задачи по геометрии, чуда не произой- будет применяться в практике как нечто само со- дет, но понимание того, что «не так страшен волк, бой разумеющееся. как его малюют», придет однозначно. А следом И вот волею случая «заполучив» детей, кото- за ним придет и понимание геометрии, а может, рые имели двойку по математике и ярлык «ни даже и любовь к этому предмету. Но даже если на что не годные», которые «терпеть не могли использовать карточки, которые представлены эту геометрию», решила попробовать. в электронном виде, толк будет. Кроме того, эти Цель была помочь ребенку научиться решать карточки не содержат рисунка. Это сделано спе- задачи конкретного раздела и при этом восстано- циально. Ребенку необходимо сделать на распе- вить знания предыдущих разделов программы. чатках чертеж своими руками, чтобы до конца по- На помощь пришли мои карточки и родители нять смысл написанного. учащихся. Без них, мам и пап, мало что может получиться, они наши союзники, наши руки и наши глаза. Родители контролировали про- цесс изготовления карточек и их многократное применение ребенком. Многие ведут тетради, в которые выписыва- ют определения, теоремы или опорные конспек- ты. Тетрадь-справочник очень удобная вещь. Но карточки-подсказки более мобильны, их можно положить на прикроватную тумбочку или взять в поездку, их удобно разложить перед собой при решении задачи, не тратя время на пере- Как же использовались эти карточки? Сначала листывание справочника. С ними можно при- ученик получал задачу, а я выкладывала перед думывать игры, включая тем самым соревно- ним карточки со всеми определениями, свойства- вательный момент в процесс обучения. Самым ми и теоремами, которые необходимо вспомнить удобным размером карточки оказался размер сло- и применить при ее решении. В ходе решения за- женного в два раза тетрадного листа: и текст уме- дачи ребенок многократно повторял формулиров- щается, и в руке помещается, и для транспорти- ки и видел перед собой чертежи-подсказки. На ровки удобно, и на парте не особо место занимает. следующем этапе ребенок без помощи взросло- Есть идея перевести карточки в формат сайта го решал аналогичные задачи с использованием learningapps. карточек-подсказок. Он уже узнавал что-то, радо- Я не ставила перед собой цели дать на «суд вался, что запомнил ненавистное ранее свойство. зрителя» конспект урока с подробным разбо- Далее усложняю. Даю задачу, выкладываю ром решения конкретной задачи. Я хотела по- перед ребенком карточки и уточняю, что их не делиться своими знаниями и опытом, вспом- все нужно использовать при решении данной нить и поблагодарить тех, кто помог мне идти задачи. Теперь ему предстоит выбрать из име- по пути педагогики и пробовать все новое, ющихся карточек только те, что помогут дове- что является хорошо забытым старым. Наде- сти решение до конца. юсь, статья была полезна для прочитавших, Да, процесс небыстрый, он скорее индивидуаль- и вы сможете использовать этот метод в учеб- ный или рассчитан на малую группу, но он дает ре- ном процессе со своими учениками, привнося 11зультат. Даже если ребенок «не видит» чего-то на в него новое и интересное. М АТ Е М АТ И К А февраль 2021

И. ВЫСОЦКИЙ, 8–9 классы В. ШАПАРИНА, ОБУСЛОВНОЙ г. Москва ВЕРОЯТНОСТИ ВШКОЛЕ Условная вероятность — одно из краеуголь- методобъединение / методический семинар ных понятий теории вероятностей. События, которые наступают в ходе случайного эксперимента, могут менять вероятности дру- гих событий — увеличивать или уменьшать их. Вероятность вы- бросить два орла, дважды бросая монету, равна 0,25. Но если в первый раз орел уже выпал, то эта вероятность повышается до 0,5. А если при первом броске выпала решка, то вероятность со- бытия «два орла» тут же снижается до нуля. Мы все знаем формулу условной вероятности события А при ус- ловии В, которая обычно принимается как само собой разумеюще- еся. Следование этой формуле подразумевает формальное описа- ние свершившегося события В и поиск его вероятности, а также поиск вероятности совместного наступления событий А и В. При этом суть формулы часто остается таинственной, а условную ве- роятность часто смешивают с вероятностью пересечения событий. Нам кажется, что школьный рассказ об условной вероятности должен апеллировать к формуле в последнюю очередь. Гораздо важнее научиться находить вероятности одного и того же события при разных условиях на практике. Здесь хорошо помогут диаграм- мы, схемы, графы и просто здравый смысл. Ключом является правило умножения вероятностей после- довательно рассматриваемых событий. Например, пусть собы- тие В случается с вероятностью x = 0,3, и при условии, что В на- ступило, событие А имеет вероятность y = 0,7. Тогда событие A Æ B имеет вероятность xy = 0,21. Если это рассуждение кажется не очень понятным, сравни- те его со следующим рассуждением, в котором нет слова «веро- ятность»: 30% всех домов в поселке  — двухэтажные; 70% двух- этажных домов в поселке выкрашено в зеленый цвет; это значит, что 0,7•0,3•100% = 21% всех домов — это двухэтажные дома зе- леного цвета. В принятых терминах и обозначениях теории вероятностей пра- вило умножения записывается так: P(A Æ B) = P(B)•P(A|B). (1) Вертикальная черта перед событием В означает, что событие В рассматривается не как случайное, а как уже наступившее собы- тие, изменившее вероятность события А. 12 Вместо того чтобы запоминать формулу, лучше научиться ее МАТЕМАТИК А февраль 2021 применять. Это удобно и легко сделать с помощью дерева случай- ного опыта, где правило умножения становится наглядным. В де- реве элементарные события изображаются цепочками, идущими от начальной вершины S (start) к конечным вершинам. Чтобы найти вероятность элементарного события, то есть цепочки, нуж- но умножить условные вероятности вдоль этой цепочки.

Проиллюстрируем сказанное. На рисунке 1 ными путями приведут нас к одному и тому же событию A  Æ  B. Обычно никакого «порядка со- дерево некоторого случайного опыта, в кото- бытий» нет. Мы скорее говорим об удобном по- ром могут наступить несовместные события M рядке рассмотрения событий. Какое из них счи- и N, а затем события А, В и С. тать первым  — условность. В разных задачах удобно по-разному. Рис. 1. Дерево некоторого случайного опыта Найдем вероятность события A  Æ  M. Это со- Рис. 2. Событие A Æ B достигается разными путями бытие наступает, только если осуществляется цепочка SMA: сначала наступает M, а затем — Например, если эксперимент состоит в после- событие А при условии, что М уже случилось. довательных бросаниях монеты, то разумно рас- Поэтому P(A Æ M) = P(SMA) = сматривать события в том порядке, в котором они наступают. = P(M)•P(A|M) = 0,2•0,3 = 0,06. Получаются два равенства: P(A Æ B) = P(A)•P(B|A), Когда мы написали, что правило умножения P(A Æ B) = P(B)•P(A|B). принято записывать в виде (1), мы немного по- грешили против истины. Обычно множители за- Приравняем правые части: писывают в другом порядке: P(A|B)•P(B) = P(B|A)•P(A). (4) P(A Æ B) = P(A|B)•P(B). (2) Если P(A) ≠ 0, то можно записать Согласитесь, вроде то же самое, но нарушено P(B | A) = P( A | B)⋅P(B) . (5) восприятие: запись не соответствует мыслимо- P( A) му порядку наступления событий: сначала В, Удивительно, что равенство (5) называют фор- а затем А. Почему используется именно такой мулой Байеса. Причина сугубо историческая: порядок множителей  — вопрос правильный Томас Байес (1702–1763)  — английский ма- и интересный, но ответ выходит за рамки на- тематик XVIII  в. вошел в историю благода- шего рассказа. Упомянем лишь, что такой по- ря теореме, доказанной именно в форме (5). рядок аналогичен принятому порядку множите- Именно это равенство представлялось в те вре- лей при записи дифференциала функции f(x)dx мена крайне важным, ведь оно давало воз- и что эта аналогия не случайна. можность оценить вероятность события В при Если P(B) ≠ 0, то равенство (2) равносильно условии А, если известна вероятность А при ус- известной формуле условной вероятности ловии В. P ( A | B) = P(A ∩ B) . (3) Мы не преувеличиваем. То, что мы сейчас из- P(B) ложили в нескольких строках с помощью схемы Если принять эту формулу как определение на рисунке 2, в середине XVIII  в. представляло (так обычно поступают), то смысл условной ве- собой факт громадного значения, получивший роятности остается туманным, а правило умно- имя первооткрывателя. жения появляется как следствие. Нам представ- Возможно, формула Байеса действительно яв- ляется разумным противоположный путь — от ляется фактом громадного значения, поскольку интуитивного понимания условной вероятности обладает свойством фундаментальных фактов: и умножения долей к решению задач с помощью частные случаи формулы Байеса в большинстве деревьев. При желании и необходимости можно приложений выглядят намного сложнее, чем дойти до формулы (3) как естественного, но не формула в самом общем виде. очень нужного следствия. Формула полной вероятности Формула Байеса Снова обратимся к дереву на рисунке 1 и най- Если совместить на одном рисунке цепоч- дем вероятность события А, которое, как мы ви- ки SAB и SBA, ведущие от начала экспери- дим, может наступить не только при условии М, мента S, мысленно упорядочивая события А но и при условии N. Значит, вероятность собы- и В двумя способами, то обе эти цепочки раз- тия А равна сумме вероятностей двух благопри- 2021 13 МАТЕМАТИКА февраль

ятствующих ему элементарных событий, то есть Желательный результат обсуждения. В слу- цепочек SMA и SNA (рис. 3). чае «а» элементарных исходов четыре: ММ, МД, B ДМ, ДД. Вероятность рождения двух девочек Рис. 3. Собираем полную вероятность события А из двух равна 1 . В пункте «б» спрашивается тоже о ве- «неполных», то есть из вероятностей двух цепочек 4 роятности рождения двух девочек. Но карди- P(A) = P(SMA) + P(SNA), P(A) = P(M)•P(A|M) + P(N)•P(A|N). нальное отличие состоит в том, что вероятность Снова поменяв местами множители в угоду сложившейся традиции (напомним, что эта тра- надо найти исходя из дополнительного условия: диция не просто так), получим формулу полной вероятности события А и гипотез М и N: один из детей  — девочка. Это условие меняет P(A) = P(A|M)•P(M) + P(A|N)•P(N). В данном конкретном случае получается: суть эксперимента. Элементарных событий уже P(A) = 0,3•0,2 + 0,5•0,8 = 0,46. не четыре, а три: МД, ДМ, ДД. И искомая веро- Последнее равенство, записанное в числах, 1 1 заставляет задуматься над аналогией меж- ятность события ДД равна 3 , а это больше, чем 4 . ду вероятностью и средним арифметическим. методобъединение / методический семинар Действительно, ведь написанное есть не что Мы нашли вероятность того, что в семье две иное, как среднее арифметическое двух вероят- девочки, при условии, что один ребенок — девоч- ностей 0,3 и восьми вероятностей 0,5. ка. И она отличается от вероятности такого же Остановимся и не будем продолжать строить события «две девочки», которое рассматривает- аналогии. Вместо того предложим три урока для ся без условий. Условие «один из детей — девоч- 8–9-х классов. Уроки разработаны для проекта ка» увеличило вероятность двух девочек. «Математическая вертикаль» и соответствуют учебным пособиям [1–4]. Вероятность наступления события при усло- вии, что какое-то событие заведомо наступило, Урок 1. Условная вероятность называется условной вероятностью. Цель: сформировать представление об услов- Определение условной вероятности. Веро- ной вероятности. ятность события А при условии, что событие В произошло, называется условной вероятностью Часто случайное событие А в случайном опыте приходится рассматривать при усло- события А при условии события В. Обозначает- вии, что уже произошло некоторое событие В. ся эта вероятность P(A|B). Наступление события В меняет эксперимент. По сути, при наступ2лении некоторого собы- Рассмотрим это понятие подробнее. тия мы получаем новый эксперимент, веро- ятности других событий при этом могут изме- Пример 2. Правильную игральную кость бро- ниться. сают дважды. Найдите вероятности событий: а)  в первый раз выпало менее шести очков и сумма очков равна 8; б) в первый раз выпало менее шести очков, если известно, что сумма выпавших очков равна 8. Желательный результат обсуждения. Вве- дем обозначения для событий: А «в первый раз выпало не больше 5 очков» и В «сумма выпав- ших очков равна 8». В пункте «а» нужно найти вероятность пере- сечения событий А и В. Благоприятствующих исходов всего N(A ∩ B) = 4 (рис. 4), поэтому P( A ∩ B) = 4 = 19 . 36 Пример 1. В семье двое детей. Если считать, что рождение мальчика и девочки равновозмож- ны, ответьте на вопросы: а) какова вероятность того, что в семье оба ре- бенка девочки; б) известно, что один из них девочка. Какова вероятность того, что другой ребенок тоже де- вочка? 14 Рис. 4 МАТЕМАТИК А февраль 2021

В пункте «б» нужно найти вероятность собы- Желательный результат обсуждения. Са- мые простые примеры можно привести с помо- тия А при условии, что событие В наступило. Та- щью бросания монет или игральной кости. На- кое событие обозначается A|B. пример, при двукратном бросании двух монет событие «хотя бы раз выпал орел» имеет вероят- Если событие наступило, то от всего экспе- ность 0,75. римента осталось лишь пять элементарных со- Но если известно, что при первом броске вы- пал орел, то вероятность этого события уве- бытий: (6;  2), (5; 3), (4; 4), (3; 5), (2; 6). Собы- личивается до 1. Напротив, если в первый раз выпала решка, то событие «хотя бы раз выпал тию A из них благоприятствуют четыре послед- орел» становится менее вероятным: вероятность них (рис. 5). уменьшается до 0,5. Рис. 5 Если же события относятся к разным брос- кам, то они не влияют друг на друга. Например, Поэтому P( A | B) = 4 = 0,8. события «в первый раз выпал орел» и «во вто- 5 рой раз выпала решка» не влияют друг на друга: Чтобы понять, чем отличается безусловная ве- наступление одного из них не влияет на вероят- ность другого. роятность от условной, проиллюстрируем экспе- Таким образом, вероятность события А при рименты на диаграммах Эйлера (рис. 6). условии события В может вырасти, уменьшить- а) б) ся или остаться прежней. Рис. 6 Пример 5. Игральную кость бросают дваж- ды. Событие А заключается в том, что при вто- В пункте «а» мы нашли вероятность события ром броске выпало не больше 3 очков. Приведи- исходя из того, что всего элементарных собы- те пример события, наступление которого: тий 36 (рис. 6,а). Когда же нас просят найти ус- ловную вероятность «б», эксперимент уже дру- а) не меняет вероятность события А; гой — он свелся к событию В (рис. 6,б), и нужно б) уменьшает вероятность события А; найти долю благоприятных исходов уже не сре- в) увеличивает вероятность события А. ди всех 36 событий, а среди пяти, благоприят- Желательный результат обсуждения. Веро- ствующих событию В. ятность события А равна 0,5. Некоторое собы- тие В не изменит вероятность события А, если Пример 3. При двукратном бросании играль- при наступлении события В доля элементарных ной кости сумма выпавших очков равна 9. Най- исходов, благоприятствующих А, не изменится дите условную вероятность следующих событий: и будет составлять половину всех исходов, благо- приятствующих В. Таких событий много, напри- а) в первый раз выпало 5 очков; мер, «на первой кости выпало 1 очко». Сопрово- б) при одном из бросков выпало 4 очка; дите объяснение рисунком (рис. 7), из которого в) в первый раз выпало меньше очков, чем во видно, что из шести исходов, благоприятствую- второй; щих В, ровно половина благоприятствует А. г) во второй раз выпало меньше чем 3 очка. Ответ: а) 0,25; б) 0,5; в) 0,5; г) 0. Пример 4. В некотором опыте произошло со- Рис. 7 бытие B. Может ли это: а) увеличить вероятность другого события; Аналогично некоторое событие В уменьшит б) уменьшить вероятность другого события? вероятность события А, если доля элементар- Приведите примеры, когда условная вероят- ных исходов, благоприятствующих А, среди ис- ность события больше и когда она меньше исход- ходов, благоприятствующих В, меньше полови- ной вероятности этого события. 15ны, и увеличит, если больше. МАТЕМАТИКА февраль 2021

Например, событие, изображенное темными На уроке 1 учащиеся узнали, что для нахожде- квадратами на рисунке   8, увеличивает вероят- ния вероятности события А при условии наступ- ность наступления события А: его вероятность ления события В нужно найти долю исходов, 3 при условии В составляет 5 , что больше, чем 0,5. благоприятствующих А, не среди всех элемен- тарных событий опыта, а лишь среди тех, что Событие В можно описать как «сумма выпавших благоприятствуют событию В. очков равна 6». Пример 1. В некотором городе пятую часть населения составляют дети и подростки. Среди взрослых жителей четверть не работают (пенси- онеры, студенты, домохозяйки и  т.п.). Какова вероятность того, что случайно выбранный жи- тель города — взрослый работающий человек? Желательный результат обсуждения. Ис- методобъединение / методический семинар комая вероятность равна доле взрослых работ- ников среди всего населения города. Из условия иввзззррнооиссхллырыаеебрсооатсабтюоаттва.люЗящнюаитчеи54лтю,нд54аис⋅ е43.л=Ие53нскинояамгсаоея-- Рис. 8 ясно, что Уменьшает вероятность события А, напри- рода и 3 мер, событие «сумма выпавших очков рав- ления  —4 2 на 8» (рис. 9): она становится равна 5 . вероятность равна 0,6. Предложите учащимся посмотреть на эту за- дачу с другой стороны. Пусть событие А «вы- бранный горожанин работает» и событие В «вы- бранный горожанин  — взрослый». Из условия свсрлерееддоиуяетвтнз,орчсоттсьолодPгоо(лBян)а.всзеАрлоесн43лио яг— о—надэстоеолляуеснлриоаявбно54таа⋅я43июв=щееср53итохь- ятность P(A|B). Вероятность одновременного на- ступления событий А и В оказалась равна произ- Рис. 9 ведению вероятностей, то есть P(A Æ B) = P(B)•P(A|B). Предложите ученикам придумать другие при- Эту формулу мы получили на примере, но она меры для каждого из пунктов. верна для любых случайных событий в любых случайных опытах. Полученное равенство мы Выводы и итоги урока. Условная вероят- назовем правилом умножения вероятностей. ность  — это вероятность случайного собы- тия при условии, что какое-то другое событие Правило умножения вероятностей. Веро- уже произошло и перестало быть случайным. ятность пересечения двух событий равна произ- Как только какое-то событие наступило, опыт ведению вероятности одного из них на условную изменился, а вместе с ним изменились вероятно- вероятность другого, вычисленную при усло- сти других событий. Условная вероятность собы- вии, что первое имело место: P(A Æ B) = P(B)•P(A|B). тия может быть меньше или больше начальной (безусловной) вероятности. Иногда случается, Если вероятность события В больше нуля, то что наступление одного события не меняет веро- из этой формулы следует способ нахождения ус- ятность другого (в этом случае говорят, что собы- ловных вероятностей: тия независимы). P( A | B) = P(A ∩ B) . P(B) Урок 2. Правило умножения Цели: Пример 2. В парке установлены два авто- – познакомиться с правилом умножения веро- мата, продающие кофе. Вероятность того, что ятностей; к концу дня кофе закончится в каждом отдель- –  научиться применять формулу умножения ном автомате, равна 0,3. В обоих автоматах кофе вероятностей и вычислять условные вероятно- заканчивается к вечеру с вероятностью 0,21. сти. 16Вечером пришел мастер, чтобы обслужить авто- МАТЕМАТИК А февраль 2021

маты, и обнаружил, что в первом кофе закончил- учащихся. Известно, что тест по английскому ся. Какова теперь вероятность того, что во вто- языку сдали 77% тех, кто сдал тест по истории. ром автомате кофе тоже закончился? Найдите вероятность того, что случайно выбран- Желательный результат обсуждения. Вве- ный ученик из тех, кто сдал тест по английско- дем обозначения событий: А «кофе закончил- му, также сдал тест по истории. ся в первом автомате» и В «кофе закончился во Желательный результат обсуждения. Вве- втором автомате». Во всех четырех областях диа- дем обозначения: событие А «случайно выбран- граммы подпишем вероятности соответствую- ный ученик сдал тест по английскому», собы- щих событий (рис. 10). тие В «случайно выбранный ученик сдал тест по истории». Тогда, по условию, P(A) = 0,7, P(B) = 0,85, P(A|B) = 0,77. А найти нужно P(B|A). Из правила умножения следует равенство P(A)•P(B|A) = P(B)•P(A|B). Подставляя известные значения, находим Рис. 10 0,7•P(B|A) = 0,85•0,77, откуда Нужно найти вероятность события В при ус- P(B|A) = 0,935. ловии, что событие А наступило, то есть вероят- ность P(B|A). Запишем правило умножения: Пример 6. Тест по обществознанию сдали 90% P(A Æ B) = P(A)•P(B|A). учащихся школы, а тест по химии сдали 75% Подставим известные из условия значе- учащихся. При этом известно, что тест по химии ния: P(A) = 0,3, P(A Æ B) = 0,21. Получается: сдали 63% тех, кто сдал тест по обществознанию. 0,21 = 0,3•P(B|A), Найдите вероятность того, что ученик, случайно откуда выбранный из тех, кто сдал тест по химии, также P(B|A) = 0,7. сдал тест по обществознанию. Ответ: 0,756. Пример 3. Предположим, что в некотором го- Пример 7. Рассеянный ученый проводил ис- роде 48% населения — мужчины, а среди муж- чин 15%  — пенсионеры. Какова вероят- следование и в некотором случайном эксперимен- ность того, что случайно выбранный житель го- те у него получились следующие вероятности: рода окажется мужчиной на пенсии? P(N) = 0,44, P(M) = 0,8, P(N|M) = 0,65. Ответ: 0,072. Не ошибся ли он? Решение. Ошибся. P(N Æ M) = P(M)•P(N|M) = 0,8•0,65 = 0,52, Пример 4. В некотором случайном опы- те могут наблюдаться события A и B, причем что больше, чем P(N). Вероятность пересечения P(A) = 0,75, P(B) = 0,8, а вероятность совмест- событий не может быть больше вероятности лю- ного наступления этих событий P(A Æ B) = 0,5. бого из этих событий. Найдите: а) вероятность события A при условии, что на- Пример 8. В некотором случайном опыте на- ступило событие B; ступление события B увеличивает вероятность б) вероятность события B при условии, что на- события A. Докажите, что в этом случае наступ- ступило событие A. ление события A увеличивает вероятность собы- Желательный результат обсуждения. Из тия B. правила умножения выразим условную вероят- ность события A при условии B: Выводы и итоги урока. Правило умножения P( A | B) = P(A ∩ B) = 0,5 = 0,625. вероятностей и формула условной вероятности, P(B) 0,8 которая получается из этого правила, позволя- Аналогично можно получить условную веро- ют решать многие задачи, не разбираясь подроб- ятность B при условии A: но в том, как именно устроен эксперимент. Они P(B | A) = P(A ∩ B) = 0,5 = 2 ≈ 0,667. верны не только для опытов с равновозможны- P( A) 0,75 3 ми элементарными событиями, но и вообще для любых случайных опытов. Это делает изучен- Пример 5. Тест по истории сдали 85% учащих- ные формулы удобным инструментом решения 17ся школы, а тест по английскому языку — 70% задач. МАТЕМАТИКА февраль 2021

Урок 3. Дерево случайного опыта дем стрелки от точки S вниз, вправо и влево. Цели: Стрелки будем называть ребрами дерева. Око- –  познакомиться с деревом случайного опы- та  — удобным инструментом для наглядного ло ребер подпишем вероятности событий: в на- представления случайного опыта; 1 – научиться строить дерево случайного опыта; шем случае вероятности равны 2 , так как, по – научиться решать задачи на вычисление веро- ятностей при помощи дерева случайного опыта. условию, велосипедист выбирает дальнейший Дерево случайного опыта или дерево вероят- ностей — удобный инструмент решения задач, путь случайным образом. который позволяет рассматривать составной экс- перимент как бы «по частям», мысленно распо- Предположим, что велосипедист поехал ложить случайные события во времени или раз- бить на этапы. Объясним, как строить дерево к перекрестку 2а. После этого может насту- эксперимента, на примере. пить одно из трех событий: он направится Пример 1. Велосипедист едет по парковой до- рожке (рис. 11) и планирует выехать из парка че- к выходу А, к выходу В или к выходу С. Изо- рез один из пяти выходов (А, В, С, D или Е). бразим эти элементарные исходы точками А, Рис. 11 В и С и проведем к ним ребра. Вероятности тоже Велосипедист едет только вперед и на каж- будут одинаковы и равны 13. Аналогично изо- методобъединение / методический семинар дой развилке случайным образом выбирает одну из дорожек, по которой еще не ехал. Какова ве- бразим варианты, когда велосипедист поехал роятность того, что велосипедист покинет парк: к перекрестку 2б. а) через выход А; б) через выход Е? Обратите внимание учащихся на то, что сум- Желательный результат обсуждения. На- чальное состояние, когда велосипедист не про- ма вероятностей около всех ребер, выходящих ехал ни один из перекрестков, изобразим точ- кой S (рис. 12). из одной вершины, равна единице. При построе- нии дерева эксперимента важно за этим следить, особенно поначалу. Элементарные события эксперимента в дереве изображаются конечными вершинами дерева. К каждой конечной вершине ведет единственная цепочка от точки S. Поэтому можно считать, что элементарные события изображаются не толь- ко конечными вершинами, но и ведущими к ним цепочками. Например, в нашей задаче пять эле- ментарных исходов и, соответственно, пять це- почек. Событию «велосипедист выехал через вы- ход А» соответствует цепочка S—2a—A. Вероятности, которые мы подписывали на ре- брах, — условные. Например, условная вероят- ность того, что велосипедист покинет парк через выход А, при условии, что он был на перекрест- ке 2а, равна 13. Предложите учащимся найти вероятности всех возможных элементарных событий. Для этого, пользуясь правилом умножения вероят- ностей, нужно найти произведения условных ве- роятностей вдоль каждой цепочки, ведущей от S к конечной вершине. Найденные произведения нужно сложить. Подпишите полученные вероят- ности на рисунке рядом с элементарными собы- тиями (рис. 13). Рис. 12 Рис. 13 Начальную точку, конечную и точки ветвле- ния будем называть вершинами дерева. На первом перекрестке велосипедист может с равными шансами поехать к одному из двух перекрестков  — назовем их 2а и 2б. Прове- 18МАТЕМАТИКА февраль 2021

Сумма всех вероятностей должна равняться P(K) = 0,3  — вероятность события K, то есть единице (как сумма вероятностей элементарных цепочки SK; событий). Более сложные события (не элемен- тарные) изображаются на дереве промежуточ- P(b|K) = 0,5 — вероятность ребра Kb; ными вершинами или какой-либо фигурой, объ- P(A|K) = 0,3 — вероятность ребра Kc. единяющей элементарные исходы. г) Чтобы найти вероятность элементарного со- Пример 2. Пусть известно, что выходы D бытия b, нужно перемножить вероятности вдоль и С ведут к пруду. Найдите вероятность того, что цепочки SKb: велосипедист выедет из парка к пруду. P(b) = P(K)•P(b|K) = Желательный результат обсуждения. = 0,3•0,5 = 0,15. На рисунке обведем элементарные события, бла- гоприятствующие событию «велосипедист вые- д)  Событие А состоит из элементарных собы- дет к пруду» (рис. 14). тий с и d. P(d) = 0,7, P(c) = 0,3•0,3 = 0,09, поэтому P(A) = P(c) + P(d) = 0,79. Дерево вероятностей является удобным и уни- версальным инструментом решения вероятност- ных задач. Рис. 14 Пример 4. В группе 3 мальчика и 5 девочек. Случайным образом выбирают двух человек. Искомая вероятность равна сумме вероятно- Какова вероятность того, что будут выбраны один мальчик и одна девочка? стей наступления этих исходов, то есть Желательный результат обсуждения. Мыс- 1 + 1 = 5 . ленно разобьем одновременный выбор двух че- 4 6 12 ловек на два последовательных выбора и изобра- зим дерево случайного опыта (рис. 16). Можно сформулировать общее правило на- хождения вероятностей событий с помощью де- рева. Оно получается из правила сложения веро- ятностей элементарных событий. Правило сложения. Чтобы найти вероят- ность события с помощью дерева, нужно сло- жить вероятности всех цепочек, ведущих к это- му событию от начальной вершины. Рис. 16 Пример 3. На рисунке 15 изображено дерево опыта. Найдите: Выбор мальчика обозначим буквой М, а де- а) P(K); б) P(b|K); вочки  — буквой Д. При первом выборе вероят- в) P(A|K); г) P(b); ность выбрать мальчика равна 3 , а девочку рав- 8 д) P(A). 5 8 на . При втором выборе вероятности выбо- ра мальчика и девочки становятся условными и зависят от того, кто был выбран в первый раз. Если в первый раз был выбран мальчик, то маль- чиков осталось 2 из 7 человек. Поэтому во вто- рой раз мальчик будет выбран (ребро М–ММ) 2 Рис. 15 с вероятностью 7 , а девочка будет выбрана (ре- Желательный результат обсуждения. Важ- бро М–МД) с вероятностью 75. но, чтобы учащиеся понимали, что вероятности Точно так же, если в первый раз была выбрана из пунктов «а»–«в» уже подписаны на дереве: девочка, остается 4 девочки и 3 мальчика из семи 19 МАТЕМАТИКА февраль 2021

оставшихся детей. Вероятности выбора маль- Желательный результат обсуждения. По- строим дерево эксперимента (рис. 18). чика и девочки теперь 3 и 4 соответственно. 7 7 Естественно, строить дерево, начиная с хо- Событию A «один мальчик и одна девочка» зяйств. Так и поступим. Первое хозяйство (точ- благоприятствуют два элементарных события, нее, событие «яйцо из первого хозяйства») обо- то есть цепочки S–М–МД и S–Д–ДМ (выделены красным цветом на рис.  16). Найдем вероятно- значим А, второе  — В. Событие «выбранное яйцо окажется вышей категории» обозначим Н, сти этих цепочек и сложим результаты: а остальные категории нам не нужны. Неизвест- P(A) = P(S–М–МД) + P(S–Д–ДМ) = ную вероятность события А «яйцо из первого хо- зяйства» обозначим р. = 3 ⋅ 5 + 5 ⋅ 3 = 15 . 8 7 8 7 28 методобъединение / методический семинар Пример 5. Автоматическая линия изготав- Рис. 18 ливает зарядные устройства для телефонов. Известно, что 3% готовых устройств неис- Вероятность события H, по условию, рав- правны. Из этих неисправных устройств 98% обнаруживаются при контроле качества про- на 0,8. Этому событию благоприятствуют цепоч- дукции. Однако система контроля ошибочно бракует 1% исправных устройств. Устройства, ки SAH и SBH, поэтому которые не забракованы, упаковываются и по- ступают в продажу. Найдите вероятность того, P(Н) = P(SАН) + P(SВН) = что случайно выбранное сошедшее с автомати- ческой линии зарядное устройство поступит = p•0,95 + (1 – p)•0,2 = 0,75p + 0,2. в продажу. Составим уравнение Желательный результат обсуждения. По- строим дерево эксперимента (рис. 17). 0,75p + 0,2 = 0,8, откуда 0,6 0,75 p = = 0,8. Рис. 17 Пример 7. Игральную кость последовательно бросают до тех пор, пока сумма всех выпавших Событие «устройство исправно» обозначим очков не станет больше или равна 4. Найдите ве- буквой И, а событие «устройство неисправно» — роятность, что будет сделано ровно два броска. буквой Н. Устройства, забракованные системой контроля (а точнее, событие «устройство забра- Желательный результат обсуждения. Нари- ковано системой»), обозначим буквой Б, собы- суем дерево. Полное дерево не нужно. Достаточ- тие «устройство не забраковано» обозначим бук- но рассмотреть один-два первых броска. Найдем вой П. в дереве цепочки, благоприятствующие собы- тию А «сумма выпавших очков станет больше Событию П «устройство не забраковано» бла- или равна 4 при двух бросках». Обведем конеч- гоприятствуют цепочки SИП и SНП, поэтому ные вершины этих цепочек (рис. 19). P(П) = P(SИП) + P(SНП) = = 0,97•0,99 + 0,03•0,02 = 0,9609. Рассмотрим обратную задачу. Пример 6. Агрофирма закупает куриные яйца в двух фермерских хозяйствах. 95% яиц из пер- вого хозяйства  — яйца высшей категории, а из Рис. 19 второго хозяйства 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получают 80% яиц. Вероятность события А равна Найдите вероятность того, что случайное яйцо, 1 4 1 5 1 4 +5+ 6 5 6 6 6 6 6 36 12 купленное у этой агрофирмы, окажется из пер- P( A) = ⋅ + ⋅ + ⋅1 = = вого хозяйства. 20МАТЕМАТИКА февраль 2021

В этом эксперименте очень много элементар- пающих с подозрением на лихорадку, анализ ных событий: все возможные серии бросков, оказывается положительным в 19,6% случаев. когда при предпоследнем броске сумма выпав- Найдите вероятность того, что поступивший ших очков меньше 4, а при последнем — больше с подозрением пациент действительно болен или равна. Но с помощью дерева задача решает- этой лихорадкой. ся легко. Ответ: 0,2. Пример 8. Экзаменационный билет состо- Выводы и итоги урока. Дерево экспери- ит из трех вопросов. Вероятность того, что сту- мента  — удобный универсальный метод реше- дент ответит на первый вопрос, равна 0,9, на ния задач. События, изображенные на дереве, второй — 0,8, на третий — 0,7. Найдите вероят- мысленно упорядочены. Это помогает приме- ность того, что студент, выбрав случайный би- нять правила сложения и умножения вероятно- лет, ответит по крайней мере на два вопроса. стей, а также расширяет круг задач, доступных для решения. Поэтому даже при небольшом на- Ответ: 0,902. выке деревья становятся излюбленным спосо- бом решения многих задач. Пример 9. На столе было десять монет: две по 10 рублей, а остальные по 5 рублей. Антон, Литература не глядя, кладет в один карман три случай- 1.  Тюрин Ю.Н., Макаров А.А., Высоц- ные монеты, а все остальные — в другой карман. Найдите вероятность того, что обе десятирубле- кий И.Р., Ященко  И.В. Теория вероятностей вые монеты оказались в одном кармане. и статистика. — М.: МЦНМО, 2011. 2. Высоцкий И.Р. Дидактические материалы по теории веро- Ответ: 0,533. ятностей. 8–9 классы.  — М.: МЦНМО, 2018. 3.  Высоцкий И.Р., Макаров А.А.,  Тюрин Ю.Н., Пример 10. Всем пациентам с подозрением Ященко И.В. Математическая вертикаль. Тео- на одну из тропических лихорадок делают ана- рия вероятностей и статистика. 7–9 классы.  — лиз крови. Если анализ выявляет возбудителя М.: Просвещение, 2020.  4.  Высоцкий И.Р., лихорадки, то результат анализа называется Ященко И.В. Универсальный многоуровневый положительным. У больных лихорадкой анализ сборник задач. 7–9 классы. — М.: Просвещение, дает положительный результат с вероятностью 2020. 5.  Высоцкий И.Р., Ященко И.В. Теория 0,9. Если лихорадки нет, то анализ может дать вероятностей и статистика. 7–9 классы.  — М.: ложный положительный результат с вероятно- Просвещение, 2021. стью 0,02. Известно, что у пациентов, посту- Из интернета Биологи доказали, что пчелы на самом деле не умеют считать nation-news.ru2d Сложность организации мозга насекомых уже бирать определенную табличку с тем или иным давно ни у кого не вызывает сомнения. Этот тип числом объектов. Когда пчелы выбирали пра- не просто успешно просуществовал, но и эволю- вильный ответ, их угощали сиропом. ционировал именно благодаря сложному стро- Спустя 24 часа ученые усложнили задачу и за- ению органов чувств и, как следствие, разви- ставили насекомых выбирать из двух табличек, тию совершенной нервной системы. В чем-то она на которых было одинаковое число элементов. даже превосходит человеческую: наш мозг не за- Как оказалось, пчелы, которые до этого лета- нят объединением информации от шести-восьми ли к табличке с более сложными фигурами, так- лап, крыльев, десятков глазков и пары антеннул. же выбирали сложные объекты, и наоборот. Это Ранее были публикации, что австралийские доказывает, что при выборе насекомые опирают- ученые показали, что пчелы умеют считать до че- ся только на визуальное восприятие. тырех. Притом число для них именно абстракт- ное понятие, так как пчелам неважно, что имен- но считать. Биологи же из Института зоологии в Гуанчжоу доказали, что на самом деле пчелы не обладают навыками счета. Чтобы доказать эту теорию, они провели спе- циальный эксперимент. Группу насекомых раз- 21делили на две части. Каждую из них обучили вы- МАТЕМАТИКА февраль 2021

Е. МИХАЙЛОВ, 8–11 классы дер. Заболотье, НЕСКОЛЬКО Архангельская обл. КРАСИВЫХЗАДАЧ НАТЕОРЕМУ ВИЕТА методобъединение / методический практикум По школьной программе теорема Виета (и об- ратная теорема Виета) изучаются в 8-м классе. После этого ей не уделяется достаточного внимания. Однако теорема Виета помогает не только найти корни квадратного уравнения, но и часто являет- ся главным помощником при решении задач с параметром. Очень часто задачи на данную теорему встречаются на олимпиадах раз- ных уровней. Ниже рассмотрена серия задач на применение тео- ремы Виета для квадратного трехчлена и многочленов более высо- ких степеней. Сначала вспомним формулировки прямой и обратной теоремы Виета. Теорема Виета. Пусть x1, x2 — корни квадратного трехчле- на x2 + px + q. Тогда справедливы формулы Виета: x1 + x2 = –p, x1•x2 = q. Обратная теорема Виета. Пусть для чисел x1 и x2 выполне- ны равенства: x1 + x2 = –p, x1•x2 = q, тогда x1 и x2 являются корнями квадратного трехчлена x2 + px + q. Доказательства этих теорем можно найти в любом учебнике по алгебре для 8-го класса. Задача 1. Найдите сумму корней уравнения 16x – (lg2 5 + lg2 2)•4x = 4x + 3 – 16. Решение. Преобразовав уравнение, получим: 42x – (lg2 5 + lg2 2 + 64)•4x + 16 = 0. Положим t = 4x, тогда уравнение примет вид t2 – (lg2 5 + lg2 2 + 64)t + 16 = 0. (*) Дискриминант D = (lg2 5 + lg2 2 + 64)2 – 64 22 этого уравнения, очевидно, больше нуля. Значит, уравнение (*) МАТЕМАТИК А февраль 2021 имеет два действительных корня: t1 и t2. Применяя теорему Вие- та, получим, что t1 + t2 = lg2 5 + lg2 2 + 64 > 0 и t1•t2 = 16 > 0. Следовательно, оба корня положительны.

Перейдем к решению первого уравнения. Так Виета, x1 + x2 = –p, x1x2 = q. Из равенства p + q = 30 как функция y = 4x монотонна и t1 > 0, то уравне- следует, что ние 4x = t1 имеет единственный корень x1. Анало- гично уравнение 4x = t2 имеет единственный ко- x1x2 – x1 – x2 = 30, (*) рень x2. Заметим, что (x1 – 1)(x2 – 1) = 31. Без ограничения общности можем считать, 4x1 + x2 = 4x1 ⋅ 4x2 = t1 ⋅ t2 = 16 = 42, что x1 ≤ x2. Тогда равенство (*) выполняется откуда x1 + x2 = 2. в двух случаях: x1 −1 = 1, и x1 −1 = −31, x2 −1 = 31 x2 −1 = −1. Задача 2. Квадратный трехчлен P(x) = ax2 + bx + c В первом случае x1 = 2, x2 = 32. Этим кор- ням соответствуют числа p = –(x1 + x2) = –34, (a, b, c — целые, c — нечетное) имеет целые кор- q = x1x2 = 64 и квадратный трехчлен x2 – 34x + 64. ни. Может ли число P(2021) быть нечетным чис- лом? Во втором случае x1 = –30, x2 = 0. Этим корням соответствуют p = 30, q = 0 и квадратный трех- Решение. Пусть x1, x2  — корни квадратно- член x2 + 30x. го трехчлена. Тогда, по теореме Виета, Таким образом, условию задачи удовлетворя- x1 + x2 =− b ,  = a ют два квадратных трехчлена. x1x2 c , Задача 5. Квадратный трехчлен x2 + bx + c a имеет корни x1 и x2, причем 2 < x1 ≤ x2 < 3. До- откуда кажите, что bc = −a(x1 + x2 ), 5b + 2c < –12. = Решение. Так как 2 < x1 ≤ x2 < 3, то чис- ax1x2. ла (x1 – 2)(x2 – 3) и (x1 – 3)(x2 – 2) отрицательны. Значит, Так как число c нечетное, то из усло- x1x2 – 3x1 – 2x2 + 6 < 0 вия c = ax1x2 следует, что корни x1, x2 и коэффици- и ент a нечетные. Тогда из равенства b = –a(x1 + x2) имеем, что число b четное. x1x2 – 2x1 – 3x2 + 6 < 0. Сложив эти неравенства, получим: Значение 2x1x2 – 5(x1 + x2) + 12 < 0. P(2021) = 20212a + 2021b + c Так как, по теореме Виета, x1 + x2 = –b и x1x2 = c, то 2c + 5b + 12 < 0, откуда получим до- представляет сумму двух нечетных чисел: казываемое неравенство. 20212a и c, и одного четного числа 2021b. Зна- чит, P(2021) обязательно четное число. Задача 3. Квадратный трехчлен x2 + ax + b Задача 6. На параболе y = x2 выбраны точ- имеет целые корни, по модулю большие 2. Дока- ки A, B, C, D так, что прямые AB и CD пересе- каются на оси ординат (рис. 1). Найдите абсцис- жите, что число a + b + 1 составное. Решение. Пусть x1, x2 — корни квадратно- су точки D, если абсциссы точек A, B и C рав- ны a, b и c соответственно. го трехчлена x2 + ax + b. Тогда, по теореме Виета, a = –(x1 + x2), b = x1x2. Следовательно, a+b+1= = x1x2 – (x1 + x2) + 1 = = (x1 – 1)(x2 – 1). Так как числа x1, x2 по модулю больше 2, то ни один из множителей (x1 – 1) и (x2 – 1) не равен ±1 и не равен 0. Значит, число a + b + 1 является со- ставным. Задача 4. Рассматриваются квадратные трех- Рис. 1 члены вида x2 + px + q с целыми коэффициента- ми, при этом p + q = 30. Сколько таких трехчле- Решение. Пусть прямые AB и CD пересекают нов имеют целые корни? ось Oy в точке (0; q). Тогда прямые AB и CD мо- Решение. Пусть x1, x2 — целые корни квадрат- гут быть заданы уравнениями 23ного трехчлена x2 + px + q. Тогда, по теореме y = kABx + q и y = kCDx + q, 2021 МАТЕМАТИКА февраль

мгдыехkAABB  и CkDCDс  о—отвуегтлсотввыененкоо. эффициенты пря- Решение. Рассмотрим прямоугольный тре- и угольник ABC с прямым углом C, вписанный в параболу y = x2 (рис. 3). Абсциссы точек A и B являются корнями уравнения Применяя теоxр2е–муkAВBиxе–таq,=по0л.учим, что ab = –q. Аналогично cd = –q. Значит, cd = ab, d= ab . c методобъединение / методический практикум Рис. 3 Задача 7. Прямая пересекает график функ- ции y = x2 в точках с абсциссами x1 и x2, а ось абс- Так как гипотенуза AB параллельна оси Ox, цисс — в точке с координатой x0. Докажите, что то координаты точек A и B имеют вид A(a; a2) 1 1 1 x1 + x2 = x0 . и B(–a; a2), гда a  — некоторое положитель- ное число. Пусть точка C имеет координа- ты (x0; y0), причем y0 = x02. Через точку C прохо- Решение. Пусть y = kx + b — уравнение дан- дят секущие l1 и l2. Уравнения этих секущих мож- но записать в следующем виде: ной прямой (рис.  2). (На рисунке представлен частный случай, когда k < 0.) Тогда числа x1 и x2 l1: y = k1(x – x0) + y0, являются корнями уравнения x2 – kx – b = 0. l2: y = k2(x – x0) – y0. Прямая l1 и парабола пересекаются в точках с абсциссами x0 и a. Применяя теорему Виета к уравнению x2 – k1(x – x0) – y0 = 0, получим, что x0 + a = k1. Прямая l2 пересекает параболу в точках с абсциссами x0 и –a. Применяя теорему Вие- та к уравнению x2 – k2(x – x0) – y0 = 0, получим, что x0 – a = k2. Так как прямые l1 и l2 перпендикулярны, то k1k2 = –1, откуда: (x0 + a)(x0 – a) = –1, x02 − a2 −1. Рис. 2 = Применяя теорему Виета, получим, что Принимая во внимание, что y0 = x02, получим: x1 + x2 = k, x1•x2 = –b. a2 – y0 = 1. Последнее равенство означает, что высота тре- Следовательно, 1 1 угольника ABC, опущенная на гипотенузу, равна 1. x1 x2 x1 + x2 k + = x1x2 = − b . Задача 9. Угол, образованный лучами y = x и y = 2x при x ≥ 0, высекает на параболе y = x2 + Найдем абсциссу x0 точки пересечения пря- + px + q две дуги. Эти дуги спроектированы на мой y = kx + b с осью Ox. Имеем, что kx0 + b = 0, ось Ox. Докажите, что проекция левой дуги на 1 x0 = − b , 1 = − k . короче проекции правой. k x0 b Решение. Пусть прямая y = x пересекает пара- Таким образом, болу y = x2 + px + q в точках с абсциссами x1 и x2, где x1 < x2 (рис. 4). 1 + 1 = 1 . x1 x2 x0 Тогда числа x1, x2 являются корнями уравне- ния x2 + (p – 1)x + q = 0, Задача 8. В параболу y = x2 вписан прямо- следовательно, по теореме Виета, угольный треугольник (то есть вершины тре- x1 + x2 = –(p – 1) = 1 – p. угольника лежат на параболе), гипотенуза ко- Прямая y = 2x пересекает параболу в точках торого параллельна оси Ox. Докажите, что вы- с абсциссами x3 и x4, где x3 < x4. Эти числа явля- сота треугольника, опущенная на гипотенузу, ются корнями уравнения равна 1. 24 x2 + (p – 2)x + q = 0. МАТЕМАТИК А февраль 2021

Следовательно, по теореме Виета, ство, получим, что d = 1. Таким образом, коорди- x3 + x4 = –(p – 2) = 2 – p. наты точки D не зависят от p и q. 2. Точка O находится вне окружности (рис. 6). Рис. 4 Рис. 6 При данных обозначениях проекция левой Применяя свойство секущих, проведенных из дуги параболы имеет длину (x1 – x3), а длина одной точки, получим, что дуги правой проекции (x4 – x2). Таким образом, их разность равна | OA |•| OB | = | OC |•| OD |. Значит, все окружности проходят через точ- (x4 – x2) – (x1 – x3) = (x3 + x4) – (x1 + x2) = ку D(0; 1). = 2 – p – (1 – p) = 1. Теорема Виета для многочленов Задача 10. Рассматриваются все возможные третьей степени параболы y = x2 + px + q, пересекающиеся с ося- ми координат в трех различных точках. Дока- Теорема. Пусть числа x1, x2, x3 — корни мно- жите, что окружности, описанные около тре- гочлена третьей степени угольника с вершинами в этих точках, имеют общую точку. x3 + px2 + qx + r. (*) Тогда справедливы формулы Виета: Решение. Пусть O — начало координат, A(x1; 0) и B(x2; 0)  — точки пересечения параболы xx11 + x2 + x3 = − p, = q, (**) с осью Ox, C(0; q) — точка пересечения парабо- x2 + x1x3 + x2x3 лы с осью Oy. Рассмотрим окружность, описан- ную около треугольника ABC. Пусть она вторич- x1x2x3 = −r. но пересекает ось Oy в точке D(0; d). Возможны два случая. Обратная теорема также справедлива. Если числа x1, x2, x3 удовлетворяют системе (**), то 1. Точка O находится внутри построенной они являются корнями многочлена (*). окружности (рис.  5). Следовательно, x1x2 < 0 и qd < 0. Идея доказательства этих двух теорем та- кая же, как и у прямой и обратной теорем Виета Рис. 5 для квадратного трехчлена. Замечание. Если многочлен имеет кратные корни, то каждый корень считается столько раз, какова его кратность. Например, корнями мно- гочлена (x – 5)2(x – 7) являются числа x1 = x2 = 5, x3 = 7. Также мы не будем применять теорему Виета в том случае, когда количество действительных корней меньше степени многочлена. Применяя теорему об отрезках пересекаю- Задача 11. Найдите сумму 1 + 1 + 1 , если из- щихся хорд, получим, что x y z | OA |•| OB | = | OC |•| OD |. вестно, что три различных действительных чис- Значит, ла x, y и z удовлетворяют условиям: | x1 |•| x2 | = | d |•| q |. x3 + 1009 = 2018x, y3 + 1009 = 2018y, Так как произведения x1x2 и qd отрицательны, z3 + 1009 = 2018z. то x1x2 = qd. Поскольку числа x1, x2 являются корнями уравнения x2 + px + q – 0, то, по теоре- Решение. Заметим, что числа x, y и z являют- ся корнями уравнения 25ме Виета, x1x2 = q. Учитывая предыдущее равен- t3 – 2018t + 1009 = 0. 2021 МАТЕМАТИКА февраль

Применяя к полученному уравнению теорему Решение. Пусть корни x1, x2, x3 данного урав- Виета, найдем: нения в указанном порядке образуют арифме- x + y + z = 0, тическую прогрессию. Применяя характеристи- xy + xz + yz = –2018, ческое свойство арифметической прогрессии, xyz = –1009. получим, что Таким образом, x2 = x1 + x3 , x1 – 2x2 + x3 = 0. 2 1 + 1 + 1 = xy + xz + yz = −2018 = 2. x y z xyz −1009 Применим к данному уравнению одну из фор- мул Виета. Имеем: Задача 12. Пусть a, b и c  — три различных x1 + x2 + x3 = 6. числа. Решите систему уравнений Вычитая первое соотношение из второго, най- методобъединение / методический практикум z + ay + a2x + a3 = 0, дем: z + by + b2x + b3 = 0, (x1 + x2 + x3) – (x1 – 2x2 + x3) = 6, z + cy + c2x + c3 = 0 3x2 = 6, x2 = 2. Значение параметра a получим, подставив относительно неизвестной тройки чисел (x; y; z). найденный корень в уравнение: Решение. Числа a, b и c являются корня- 23 – 6•22 – 2•2 + a = 0, ми многочлена t3 + xt2 + yt + z. Коэффициенты a = 20. этого многочлена можно найти по формулам Ви- Однако решение задачи не завершено. Необ- ета: ходимо проверить, что при данном значении a x = −(a + b + c), уравнение имеет три корня, причем y = ab + bc + ca, z = −abc. x1 + x3 = 2x2 = 4. Для этого разложим x3 – 6x2 – 2x + 20 на мно- жители. Выполнить такое разложение не состав- ляет труда, так как нам известен один из корней: Задача 13. Найдите площадь треугольника, x2 = 2. x3 – 6x2 – 2x + 20 = длины сторон которого являются корнями урав- нения = x3 – 2x2 – 4x2 + 8x – 10x + 20 = x3 – 10x2 + 31x – 29 = 0. = x2(x – 2) – 4x(x – 2) – 10(x – 2) = Решение. Пусть a, b, c — корни данного урав- = (x – 2)(x2 – 4x – 10). нения. Применяя теорему Виета, получим: Замечание. Данное разложение можно полу- a + b + c = 10, чить, разделив многочлен x3 – 6x2 – 2x + 20 на ab + ac + bc = 31, двучлен (x – 2) уголком или применяя схему Гор- abc = 29. нера. Площадь треугольника найдем по формуле Ге- Числа x1 и x3 являются корнями уравне- рона: ния x2 – 4x – 10 = 0. Последнее уравнение имеет S = p( p − a)( p − b)( p − c). два корня, так как его дискриминант D = 42 – 4•(–10) = 56 > 0, Учитывая, что причем, по теореме Виета, x1 + x3 = 4. Таким об- разом, найденное значение a = 20 удовлетворяет p = a +b + c = 10 = 5, всем условиям задачи. 2 2 получим: S = 5(5 − a)(5 − b)(5 − c) = Задача 15. Найдите значение параметра b, если известно, что уравнение = 5(125 − 25(a + b + c) + 5(ab + ac + bc) − abc) = x3 + 6x2 – 24x + b = 0 = 5(125 − 25⋅10 + 5⋅31 − 29) = 5. имеет три действительных корня, образую- щих геометрическую прогрессию. Заметим, что в этой задаче не требуется прове- Решение. Пусть корни x1, x2, x3 данного урав- рять, что треугольник, длины сторон которого яв- нения в указанном порядке образуют геометри- ляются корнями данного уравнения, существует. ческую прогрессию. Применяя характеристи- Таким образом, S = 5. ческое свойство геометрической прогрессии, получим: x22 = x1x3. Задача 14. Найдите значение параметра a, Применим к данному уравнению одну из фор- мул Виета. Имеем: x1x2x3 = –b. Так как x1x3 = x22, если действительные корни уравнения то x3 – 6x2 – 2x + a = 0 ( )x1x2x3 = x1x3 ⋅ x2 = x22 ⋅ x2 = x23 = −b. образуют арифметическую прогрессию. 26МАТЕМАТИКА февраль 2021

Подставим кxо23р=ен−bь.xП2 волуурчаивнме:ние и воспользу- Задача 17. Две прямые, параллельные емся тем, что оси Ox, пересекают график функции x23 + 6x22 − 24x2 + b = −b + 6x22 − 24x2 + b = 6x22 − 24x2 = 0. y = ax3 + bx2 + cx + d: первая  — в точках A, D и E, вторая  — в точ- Таким образом, 6x2(x2 – 4) = 0. В случае x2 = 0 ках B, C и F (рис. 7). Докажите, что длина проек- получим, что b = 0 и числа x1, 0, x3 не образуют ции дуги CD на ось Ox равна сумме длин проек- геометрической прогрессии. Значит, x2 = 4, ций дуг AB и EF. откуда b = −x23 = −43 = −64. Осталось убедиться, что полученное уравне- ние x3 + 6x2 – 24x – 64 = 0 имеет три корня. При этом соотношение x22 = x1x3 будет выполняться автоматически. Действитель- но, по т=ео1р6е,мзенаВчииетт,а,xx22 1=x2xx13x3=. 64. Так как x2 = 4, то x1x3 Выполним деление уголком многочле- Рис. 7 на x3 + 6x2 – 24x – 64 на двучлен (x – 4): x3 + 6x2 – 24x – 64 x – 4 Решение. Пусть y = p и y = q — уравнения про- x3 – 4x2 x2 + 10x + 16 веденных прямых. Тогда: 10x2 – 24x абсциссы точек A, D и E — корни x1 < x2 < x3 10x2 – 40x уравнения 16x – 64 ax3 + bx2 + cx + d – p = 0, 16x – 64 абсциссы точек B, C и F — корни X1 < X2 < X3 0 уравнения Таким образом, числа x1, x3 удовлетворяют aX3 + bX2 + cX + d – q = 0. уравнению x2 + 10x + 16 = 0, которое имеет кор- Применяя теорему Виета к этим уравнениям, ни –2 и –8. получим: Найденное значение b = –64 удовлетворяет x1 + x2 + x3 = X1 + X2 + X3 = − b , всем условиям задачи. Три корня полученного a уравнения образуют геометрическую прогрес- откуда сию: –2, 4, –8 или –8, 4, –2. x2 – X2 = (X1 – x1) + (X3 – x3). Таким образом, CRDR = ARBR + ERFR. Задача 16. Докажите, что если Утверждение доказано. 1 + 1 + 1 = a 1 + c , a b c +b Симметрические системы то среди чисел a, b, c есть два противоположных. Рассмотрим еще одно важное применение об- Решение. Пусть числа a, b и c являются корня- ратной теоремы Виета. С ее помощью, как пра- ми уравнения вило, решаются симметрические системы урав- x3 + px2 + qx + r. (*) нений. Тогда, по теореме Виета, Замечание. Система уравнений называется a + b + c = –p, ab + bc + ca = q, abc = –r. симметрической, если она не меняется при лю- Преобразовав условие, получим, что бой перестановке переменных. (a + b + c)(ab + bc + ca) = abc, Пусть задана симметрическая система урав- откуда нений с неизвестными x, y, z. Сделаем замену r = –abc = –(a + b + c)(ab + bc + ca) = pq. переменных: Таким образом, уравнение (*) можно записать u = x + y + z, в виде v = xy + yz + xz, x3 + px2 + qx + pq = 0. w = xyz. Заметим, что x = –p является корнем это- Если найдены значения u, v, w, то составляет- го уравнения. Следовательно, число –p совпа- ся кубическое уравнение дает с одним из чисел a, b или c. Так как сум- t3 – ut2 + vt – w = 0. ма a + b + c = –p и одно из этих чисел равно –p, Согласно обратной теореме Виета корни t1, t2, то сумма двух оставшихся равна 0. Эти два числа t3 этого уравнения в различных перестановках и будут противоположными. 27являются решениями исходной системы. Очень МАТЕМАТИКА февраль 2021

часто в таких системах удобно пользоваться сле- Число t = 1 является корнем данного уравне- дующими соотношениями: ния. Значит, по крайней мере одно из чисел a, b x2 + y2 + z2 = u2 – 2v, или c равно 1. x3 + y3 + z3 = u3 – 3uv + 3w. В качестве простого упражнения читателю Задача 20. а) Известно, что предлагается доказать эти соотношения. x + y = a + b, Задача 18. Решите систему уравнений x2 + y2 = a2 + b2. x + y + z = 2, Докажите, что при любом натуральном n выпол- x2 + y2 + z2 = 6, няется равенство x3 + y3 + z3 = 8. xn + yn = an + bn. б) Известно, что методобъединение / методический практикум Решение. Данная система уравнений явля- x + y + z = a + b + c, ется симметрической относительно перемен- x2 + y2 + z2 = a2 + b2 + c2, x3 + y3 + z3 = a3 + b3 + c3. ных x, y, z. Положим: u = x + y + z, v = xy + yz + xz, w = xyz. Докажите, что при любом натуральном n выпол- Относительно новых неизвестных система няется равенство примет вид xn + yn + zn = an + bn + cn. u = 2, Решение. а) Применяя обратную теорему Ви- u2 − 2v = 6, ета, можно показать, что пары чисел x, y и a, b u3 − 3uv + 3w = 8. являются корнями одного и того же квадратно- го уравнения. Таким образом, числа x, y с точно- Решая полученную систему, находим: u = 2, стью до перестановки совпадают с числами a, b. v = –1, w = –2. Составим кубическое уравнение В пункте «б» мы подробно докажем аналогич- t3 – 2t2 – t + 2 = 0. ный факт для двух троек чисел и кубического Разложим левую часть уравнения на множи- уравнения. тели. Имеем: б) Обозначим: t2(t – 2) – 1(t – 2) = 0, u = x + y + z, v = xy + yz + xz, w = xyz. (t2 – 1)(t – 2) = 0, Тогда числа x, y, z являются корнями уравне- (t – 1)(t + 1)(t – 2) = 0. ния Полученное кубическое уравнение име- t3 – ut2 + vt – w = 0. ет три различных корня: t1 = 1, t2 = –1, t3 = 2. Аналогично введем: Различные перестановки этих корней дают U = a + b + c, шесть решений исходной системы уравне- V = ab + bc + ac, ний: (1; –1; 2), (1; 2; –1), (–1; 1; 2), (–1; 2; 1), W = abc. (2; –1; 1), (2; 1; –1). При этом числа a, b, c являются корнями урав- нения Задача 19. Числа a, b и c удовлетворяют систе- t3 – Ut2 + Vt – W = 0. ме уравнений После введения новых переменных исходную a + b + c = 1, систему можно записать в виде a3 + b3 + c3 = 1. u = U, u2 − 2v = U2 − 2V , Докажите, что по крайней мере одно из них рав- u3 − 3uv + 3w = U 3 − 3UV + 3W , но 1. Решение. Введем новые переменные: откуда легко получить, что u = a + b + c, v = ab + bc + ac, w = abc. u = U, v = V, w = W. Относительно новых переменных система Таким образом, числа x, y, z и числа a, b, c яв- примет вид ляются корнями одного и того же уравнения. u = 1, Следовательно, они совпадают с точностью до u3 − 3uv + 3w = 1, перестановки, и xn + yn + zn = an + bn + cn. откуда получим, что w – v = 0. Составим куби- ческое уравнение, корнями которого являются Рассмотрим задачу, в которой теорема Виета числа a, b и c. Имеем: помогает доказать тригонометрическое равен- t3 – t2 + vt – w = 0. 28ство. МАТЕМАТИК А февраль 2021

Задача 21. Докажите, что Мы не будем подробно рассматривать при- tg 20° − tg 40° + tg 80° = 3 3. менение этой теоремы. Это выходит за рамки данной статьи. Приведем пример одной зада- Решение. Найдем значение tg 3x при x1 = 20°, чи, связывающей корни многочлена и корни его x2 = –40° и x3 = 80°. Имеем: производной. tg 3x1 = tg (3⋅20°) = tg 60° = 3, tg 3x2 = tg (−3⋅40°) = tg (−120°) = tg 60° = 3, Задача 22. Многочлен tg 3x3 = tg (3⋅ 80°) = tg 240° = tg 60° = 3. P(x) = a0xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 + … + an – 1x + an степени n > 1 имеет n различных корней. Дока- Справедливо тождество жите, что среднее арифметическое корней это- tg 3x = 3tg x − tg3x . го многочлена равно среднему арифметическо- 1 − 3tg2x му корней его производной. Следовательно, числа Замечание. В курсе математического анализа t1 = tg 20°, t2 = tg (–40°) = –tg 40°, t3 = tg 80° доказывается, что между любыми двумя корня- являются корнями уравнения ми многочлена лежит корень его производной. 3t − t3 = 3, Таким образом, если многочлен степени n имеет 1 − 3t2 n различных действительных корней, то произ- водная, которая является многочленом (n – 1)-й преобразовав которое, получим: t3 − 3 3t2 − 3t + 3 = 0. степени, имеет (n – 1) корень. Применим к последнему уравнению теорему Решение. По теореме Виета, сумма кор- a1 Виета. Тогда ней многочлена P(x) равна − a0 . Следовательно, t1 + t2 + t3 = 3 3, − a1 является средним арифметическим кор- откуда na0 tg 20° − tg 40° + tg 80° = 3 3. ней многочлена.Запишем производную: Утверждение доказано. PR(x) = na0xn – 1 + (n – 1)a1xn – 2 + Теорема Виета + (n – 2)a2xn – 3 + … + an – 2x + an – 1. для многочленов n-й степени Так как производная имеет (n – 1) корень, Теорема. Пусть числа x1, x2, …, xn  — кор- то, по теореме Виета, их сумма равна − (n −1)a1 , ни многочлена n-й степени na0 а среднее арифметическое равно a0xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 + … + an – 1x + an. Тогда справедливы формулы Виета − (n −1)a1 = − a1 . (n −1)na0 na0 a1 x1 + x2 + ... + xn = − a0 , Таким образом, утверждение доказано.  x1x2 + x1x3 + ... + xn − 1xn a2 Частным случаем этой теоремы являет- a0 = , ся тот факт, что абсцисса вершины парабо-  a3 лы равна полусумме корней квадратного трехчле- x1x2x3 + x1x2x4 + ... + xn a0 − 2xn − 1xn = − , (*) на ax2 + bx + c (если эти корни есть):  xB = x1 + x2 = − b .  ... 2 2a  x1x2 ⋅ ... ⋅ xn = (−1)n an Литература  a0 1.  Агаханов Н.Х. и др. Всероссийские олим- (левая часть k-го равенства представляет собой пиады школьников по математике, 1993–2006: сумму всевозможных произведений, состоя- Окружной и финальный этапы. — М.: МЦНМО, щих из k различных элементов из набора {x1; 2007. 2.  Агаханов Н.Х., Подлипский О.К. Му- x2; …; xn}; знаки в правой части чередуются). ниципальные олимпиады Московской области по математике. — М.: МЦНМО, 2019. 3. Алту- Обратная теорема также справедлива. Если фова Н.Б., Устинов А.В. Алгебра и теория чи- числа x1, x2, …, xn удовлетворяют системе (*), сел. Сборник задач для математических школ. — тогда они являются корнями многочлена a0xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 + … + an – 1x + an. М.: МЦНМО, 2018. 4.  Болтынский В.Г., Виленкин Н.Я. Симметрия в алгебре.  — 2-е Замечание, приведенное после формулиров- изд.  — М.: МЦНМО, 2002. 5.  Деревянкин А.В. ки теоремы для многочлена третьей степени, Пять тем из школьной алгебры. Теория и зада- остается справедливым и сейчас. 29чи. — М.: МЦНМО, 2015. МАТЕМАТИКА февраль 2021

методобъединение / методический практикум 10–11 классы Г. ЛЕВИТАС, ЗАДАЧА-ШАРАДАг. Москва Людмила Ивановна твердо решила посвя- щать внука-девятиклассника в свою работу над доступными ему задачами из тренировочных работ к ЕГЭ. Принцип «Чтобы полу- чить 5, надо учиться на 6» был ей очень понятен. К тому же само- уважение Анатолия заметно повысилось: его авторитет среди од- ноклассников рос как на дрожжах при рассказах об этих задачах. Вот и снова шестнадцатая из «alexlarin.net 2020 ЕГЭ профиль- ный 331». 16.  В треугольнике ABC AB = 3, ∠ ACB = arcsin 53. Хорда KN окружности, описанной около треугольника ABC, пересекает отрезки AC и BC в точках M и L соответственно. Известно, что F ABC = F CML, площадь четырехугольника ABLM равна 2, LM = 1. а) Докажите, что треугольник KNC равнобедренный. б) Найдите площадь треугольника KNC. После разъяснения условия с арксинусом текст был пере- дан Толе для работы. Началось с просьбы сделать чертеж и кратко записать условие, нумеруя все данные. Толя, привыкший к установленным требованиям, сделал это так. Дано: 1) œ АВС вписанный; 2) АВ = 3; 3)  sin ∠ C = 53, F C острый; 4) F АВС = F CML; 56))  SLAMBL=M = 2: 1. Требуется: а) доказать, что œ KNC равнобедренный; б) найти SKNC. 30 – Что заметил? — спросила Людмила Ивановна. МАТЕМАТИК А февраль 2021 – Да вот в треугольнике АВС даны сторона и синус противопо- ложного угла. Значит, по теореме синусов можно найти радиус описанного круга. Это будет два с половиной.

– Хорошо. Это требуется найти? И Толя переписал последнюю строчку так, – Нет. Там только про треугольник KNC. – Тогда запишем это как новое известное нам чтобы вершины равных углов оказались на оди- условие, под номером 7. А про треугольник KNC ничего не увидел? наковых местах: – Нет. œ АВС f œ LМС. – Ну, значит, ходов от того, что требуется най- ти, пока нет. Будем продолжать анализ того, И продолжил: что дано. Что в данных самое привлекательное для размышлений? AB = AC = BC ; – Углы. LM LC MC – И что же про них известно? – Угол АВС равен углу СМL. 3 = AC = BC . – А что это за углы? 1 LC MC –  Один  — вписанный, а другой  — угол тре- угольника. –  Что же получилось?  — спросила Людмила – Это меня не устраивает. Нет ли между ними чего-то общего? Ивановна. – Как это? – Ну, скажем, это углы одного и того же тре- –  Непонятно. В задаче «б» мне нужен тре- угольника, или двух треугольников, или один из углов вписанный, а другой угол… угольник KNC, а здесь о нем ни слова. – А другой — угол с вершиной внутри круга? – Прекрасно. Так с чего начнем? – Значит, мы пока только накапливаем факты. –  С того, что почуднее. С окружности. Угол АВС измеряется половиной дуги АС. И запись условий пополнилась: Угол СМL — полусуммой дуг AN и СK. 8) œ АВС f œ LМС, k = 3. – Пиши. – Толя написал: – Это я так обозначил коэффициент подобия. ∪АС = ∪AN + ∪CK. – Отлично! — похвалила бабушка. — А даль- – И что отсюда следует? — спросила Людмила Ивановна. — Посмотри на чертеж. ше что? Видишь? – Что –  Продолжаем анализ данных? Тут еще одно ∪АN + ∪NС = ∪AN + ∪CK. – Ой, да ведь ∪NС = ∪CK! А это уже то, что тре- осталось — про площадь. буется в задаче «а»! – Вот видишь, какая это задача. Расшифровы- – Вот-вот! И как ты мне это объяснишь? вая условие, мы добрались до того, что требова- лось. Попробуем и дальше так. Что там у нас? – Если от площади треугольника АВС отнять –  А не получится ли что-нибудь из равен- ства тех же углов как углов треугольника? — до- одну девятую ее часть, то останется площадь, гадался Толя. — Напишу я, как ты меня учила, это равенство, но вместо знаков углов буду пи- равная 2. сать знаки треугольников. И подчеркну верши- ны равных углов. – Молодчина! Что отсюда получается? И он написал: œ АВС œ СМL, — и заметил: –  Тут еще углы С имеются.  — И посмо- – Сейчас посчитаю! Получается, что площадь трел на чертеж: «Ох, да С — это один и тот же угол!» Значит, треугольники подобны по двум АВС равна 2,25, а площадь LМС равна 0,25. углам!» – А вот записаны они здесь неудобно. – Ну а теперь сравни с тем, что тебе нужно. – Да, конечно, конечно. –  А мне нужна площадь треугольника KNC. Так у них же общая высота, и я ее нахожу из тре- угольника LМС. У него основание 1, а площадь одна четвертая. Значит, высота равна одной вто- рой. – Дальше ясно? – Да, — сказал Толя. Он начертил окружность радиуса 2,5, провел в ней хорду на расстоянии 2 от центра и получил египетский треугольник со стороной 1,5. – Ответ: 0,75, — сказал он. — Правда, не за- дача, а детектив. –  По крайней мере, похожа на шараду,  — улыбнулась Людмила Ивановна. 31 МАТЕМАТИКА февраль 2021

Е. ИВАНОВА, 9–11 классы г. Москва КООРДИНАТНЫЙ МЕТОД ВПЛАНИМЕТРИИ методобъединение / методический практикум Недавно на сайте А. Ларина (http://alexlarin. net/ege21.html) была опубликована планиметрическая задача, ко- торую удобно решать координатным методом. Это задача №  166 из тренировочного варианта 336 подготовки к ЕГЭ. Она вполне до- ступна девятиклассникам. Показать на ней координатный метод полезно, потому что этот важный метод редко используется в кур- се планиметрии. Приведем текст задачи и то ее решение, которое опубликовано на упомянутом сайте, а потом покажем, как она ре- шается с помощью координат. Точки E и F расположены соответственно на стороне BC и вы- соте BP остроугольного треугольника ABC так, что AP = 3, PC = 121, BE : EC = 10 : 1, а треугольник AEF является равносторонним. а)  Докажите, что ортогональная проекция точки E на сторо- ну AC делит отрезок AC в отношении 1 : 16, считая от вершины C. б) Найдите площадь треугольника AEF. Решение. а) Высота BP перпендикулярна стороне AC, E1 — ор- тогональная проекция точки E на AC, то есть отрезок EE1 перпен- дикулярен стороне AC. Пусть EC = x, тогда BE = 10x. Треугольники CEE1 и CBP подоб- ны по двум углам, 1 1 k= CE = 11 , CE1 = 11 CP = 0,5. CB 32 Тогда МАТЕМАТИК А февраль 2021 PE1 = 5, AE1 = 8; CE1 : AE1 = 0,5 : 8 = 1 : 16. б) Отрезок KP параллелен EE1, AP = 3, PE1 = 5, тогда AK = 3y, KE = 5y, AF = AE = FE = 8y.

В треугольнике FAK F FAK = 60°, так как тре- угольник AFE равносторонний. Пусть F AFK = j. По теореме косинусов FK = AF2 + AK 2 − 2AF ⋅ AK ⋅ cos 60° = = 64y2 + 9y2 − 24y2 = 7y. По теореме синусов AK = FK ⋅ 3y = 7y , sin j sin 60° sin j 3 откуда sin j = 33 : AF = AP = 3 2 14 . 14 sin j 33 = 3 sinj = 33 : AF = AP = 3 =14143 . Треугольник AFE равносторонний (по усло- 14 sin j 33 вию), поэтому длины отрезков AF, AE и FE рав- ны 14 (3 − 0)2 + (a − 0)2 = (8 − 0)2 + (b − 0)2 = SAFE = AF 2 3 = 196 3 = 49 3. 4 3⋅4 3 = (3 − 8)2 + (a − b)2 . Ответ: 49 3. Отсюда получаем систему уравнений 3 9 + a2 = 64 + b2, Задачу можно решить и другим путем  — 9 + a2 = 25 + (a − b)2. Площадь равностороннего треугольника рав- с применением обобщенной теоремы Фалеса к прямым BC и AC, пересеченным двумя парал- лельными прямыми BP и EE1. Но самое глав- на x2 3 , поэтому, решая эту систему, достаточ- ное  — задачу «б» можно решить координат- 4 ным методом. но найти a2 или b2, чтобы затем по теореме Пифа- Введем прямоугольную систему коорди- гора найти AF2 или AE2: нат, расположив начало координат в точке A a2 = 1639, 196 3 и разместив на оси абсцисс точку P с координа- AF 2 = . той 3. Тогда, учитывая, что длины отрезков AP и AE1 равны соответственно 3 и 8, получим, что SAEF = AF2 3 = 196 ⋅ 3 = 49 3 . абсциссой точки E1 окажется число 8. Обозна- 4 2 4 3 чим длины отрезков FP и EE1 соответственно че- рез a и b. Координаты вершин интересующе- Было бы очень полезно не только показать де- го нас треугольника AFE окажутся равны- сятиклассникам это решение, но и сопоставить ми A(0; 0), F(3; a), E(8; b). его с данным на сайте. Из интернета Жюри Всероссийской олимпиады школьников обвинили в провокации https://www.mk.ru/amp/social/2020/11/23/zhyuri-vserossiyskoy-olimpiady-shkolnikov-obvinili-v-provokacii.html 21 ноября в Санкт-Петербурге прошел му- Целью жюри было оценить масштаб пробле- ниципальный этап Всероссийской олимпиады мы и деанонимизировать участников, которые школьников по математике. Из-за коронавирус- списали решение из интернета. При этом подоб- ных ограничений школьники выполняли зада- ная мера не нова и уже использовалась при борь- ния, находясь дома или в классе без контроля бе со списыванием на ЕГЭ. со стороны педагогов. Естественно, в таких ус- Тем временем действия членов жюри вызва- ловиях некоторые пытались отыскать правиль- ли бурную реакцию общественности. Некоторые ные ответы в Сети, к тому же решения задач уже даже обвинили жюри в провокации и неуважении через полчаса появились на одном из популяр- к участникам олимпиады, ведь бессовестное пове- ных ресурсов. Однако, как выяснилось позднее, дение детей еще не повод для такого же нечестного эти решения оказались неверными. Причем на ответа со стороны взрослых. Однако многие роди- сайт их специально загрузили сами организато- тели, наоборот, выступили на стороне организато- ры мероприятия, чтобы поймать с поличным не- ров муниципального этапа и поддержали их жела- радивых участников. 33ние наказать нечестных участников. МАТЕМАТИКА февраль 2021

А. ШЕВКИН, 10–11 классы г. Москва ВОЗЬМЕМ ИНТЕГРАЛИЛИ… НОЖНИЦЫ методобъединение / методический практикум Рассмотрим задачу из книги В.В. Ткачука1 на вычисление площади фигуры, ограниченной линиями на коор- динатной плоскости. 1. Найдите площадь фигуры, задаваемой на координатной плос- кости двойным неравенством x.− | 1 − x2 | + | x | + | 3x − 3 | + | x + 1 | −7 ≤ y ≤ 4 − x2 . Решение. Изобразим все точки (x; y) в системе координат xOy, координаты которых удовлетворяют двойному неравенству. Здесь x ∈ [–2; 2]. 1. Сначала построим график функции y = x – | 1 – x2 | + | x | + | 3x – 3 | + | x + 1 | – 7. Модули обращаются в нуль в точках –1, 0, 1, разбивающих чис- ловой отрезок [–2; 2] на четыре промежутка. На каждом из них после раскрытия всех модулей получим квадратичную функцию. Концы промежутков –1, 0, 1 включаем в соседние промежутки для самоконтроля: а) если x ∈ [–2; –1], то y = –(x + 2)2; б) если x ∈ [–1; 0], то y = (x – 1)2 – 5; в) если x ∈ [0; 1], то y = x2 – 4; г) если x ∈ [1; 2], то y = –(x – 3)2 + 1. Участки графиков, которые можно совместить наложением, по- казаны одним цветом. 2. Теперь построим график функции y = 4 − x2 . Здесь x ∈ [–2; 2], y ≥ 0; после возведения в квадрат получим урав- нение полуокружности x2 + y2 = 4 радиуса 2. Двойному неравенству удовлетворяют все точки (x; y), при- надлежащие первому, или второму графику, или внутренней об- ласти, ограниченной этими графиками (рис. 1). 34 Рис. 1 Рис. 2 МАТЕМАТИК А февраль 2021 Для вычисления площади закрашенной фигуры переместим ее части, как показано на рисунке 2. Получим «гриб». Площадь этой и исходной фигуры равна 2p + 8. Ответ: 2p + 8. 1 Ткачук В.В. Математика — абитуриенту. 20-е изд. — М.: МЦНМО, 2020.

м е т о д о б ъ е д и н е н и е / м е т о д и ч е с к а я ко н с ул ьта ц и я А. ВОЛКОВА, ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕг. Москва ОРИГАМИ,ИЛИ ОПЫТЫСБУМАГОЙ Здравствуйте! Меня зовут Волкова Анна Алексеевна и я представляю инженерную школу № 1581 при МГТУ им. Баумана. Все классы нашей школы, начиная с седьмого, являются инже- нерными. Хотя проект инженерных классов в московской школе подразумевает участие в нем учащихся 10-х и 11-х классов, но оте- чественные эксперты считают, что воспитание инженера составля- ет примерно семь лет и начало этого воспитания должно быть поло- жено значительно раньше, чем в 10-м классе. За границей введение школьников в инженерную деятельность начинается уже в младшей школе. Поэтому мы решили начать воспитание будущих инженеров с 7-го класса. Наши 10–11-классники очень плотно взаимодейству- ют с МГТУ им. Баумана, они ездят туда на экскурсии и лаборатор- ные занятия, на лекции и семинары и к концу 11-го класса чувству- ют себя там уже как дома. Поэтому нам для углубленного изучения предметов остаются 7-е, 8-е и 9-е классы. Углубленно в нашей шко- ле изучаются математика, физика, информатика, кроме того, в 7–8-х классах дети обязательно изучают черчение. Что касается непосредственно инженерной направленности, мы считаем, что нужно развивать умение детей креативно мыслить: мало иметь хорошую базу знаний, нужно уметь еще эти знания при- менять в каких-то нестандартных ситуациях. Поэтому ежегодно мы устраиваем выездной семинар: на три-четыре дня выезжаем в Под- московье и там проводим занятия по разным предметам — матема- тике, информатике, физике, русскому языку, литературе. Это в об- ласти инженерии, быть может, звучит странно, но тем не менее. Вот у нас была тема «Мосты». И дети на физике рассматрива- ли виды мостов, их возможные конструкции. А на литературе вы- ясняли, какие мосты можно навести между разными авторами или различными произведениями этих авторов. Много внимания в плане инженерного развития мы уделяем и русскому языку. Русский язык у нас активно используется, пото- му что порой дети не могут что-то сделать, создать какой-то объект по инструкции, а еще сложнее для них составить саму эту самую инструкцию. А это очень важно. Ведь для того, чтобы составить инструкцию, нужно алгоритмизировать свои действия и грамотно их изложить, чтобы человек, прочитав инструкцию, мог восполь- зоваться ею. 35 На выездных семинарах у нас проводятся еще и инженерные соревнования, когда из всяких стекляшек-промокашек, трубо- чек-стаканчиков и прочей непонятной ерунды дети создают впол- не реальные конструкции: подъемные механизмы и насосы, мосты и летательные аппараты. И все это работает: поднимает воду или сыпучий груз, летает или плавает. То есть это совершенно реаль- ные проекты, которые дети делают за полтора часа, а потом еще час отводится на защиту и демонстрацию своего детища. Есть дополнительные материалы на сайте raum.math.ru. МАТЕМАТИК А февраль 2021

м е т о д о б ъ е д и н е н и е / м е т о д и ч е с к а я ко н с ул ьта ц и я 123 Еще одни соревнования, так называемые Если у нас есть медианы или середины сторо- «большие инженерные», проводятся уже непо- ны, мы можем построить средние линии в тре- средственно в школе. Они проводятся силами угольнике. студентов МГТУ им. Баумана (как правило, это Вот так все три средние линии в этом тре- наши выпускники). угольнике можно получить 8 , 9 . Эти разовые мероприятия и занятия идут по- Теперь видно, что площадь треугольника, об- стоянно и составляют инженерный модуль. На разованного средними линиями, составляет чет- инженерный модуль в системе дополнитель- верть от площади исходного треугольника. ного образования нам выделили один  час. По- Вот такие конструкции, связанные с медиана- скольку мы учимся по триместрам, мы раздели- ми, мы можем показать детям. ли этот курс на три части, и каждый триместр Можно построить биссектрисы. Для этого в классе «проходят» один небольшой модуль. нам нужно взять треугольник и сложить его та- Это может быть математика, информатика, мо- ким образом, чтобы совпали стороны этого тре- жет быть химия или русский язык. Разные, мы угольника 10 , 11 . А если мы построим все три их меняем. биссектрисы треугольника, то таким образом Остановлюсь на математике в 8-м классе. Что- найдем центр вписанной в треугольник окруж- бы дети научились что-то делать своими руками, ности. Да, мы умеем его строить циркулем и ли- чтобы в обычном увидели необычное или в нео- нейкой, а можем построить с помощью вот та- бычном обычное, мы проводим курс «Геометри- ких сгибов 12 . ческое оригами, или Опыты с бумагой». Если мы из этого центра опустим перпендику- Начинаем с простых вещей. Возьмем, напри- ляр, то есть сделаем сгиб вот таким образом, то мер, треугольник 1 . В 7-м классе дети учатся найдем и радиус этой самой окружности 13 , 14 . с помощью циркуля и линейки строить биссек- Можно более наглядно (наверное, с другой сто- трисы, медианы, высоты, перпендикуляры, цен- роны) сделать перпендикуляр так, чтобы отрез- тры вписанной и описанной окружностей. ки совпали. Вот получился радиус этой самой Все это мы можем найти в треугольнике вписанной окружности. и без всяких инструментов, например, разде- Аналогичные действия можем проделать лить отрезок пополам. Мы сгибаем треуголь- и для высот. А как построить высоту в тре- ник и делаем защип 2 — вот у нас получилась угольнике? Для этого нужно через вершину тре- середина. угольника сделать/провести сгиб так, чтобы со- Раз у нас есть середина стороны, то мы мо- ответствующие стороны при сгибе совпали. Вот жем легко построить и медиану. Согнем треу- этот перпендикуляр и есть высота треугольни- гольник вот так и получим, соответственно, ме- ка 15 , 16 . диану 3 , 4 . Если мы построим все три высоты 17 , то… Вот в треугольнике проведена медиана 5 . во-первых, мы построим ортоцентр этого тре- Их можно провести три. Так мы получим точку угольника 18 , а во-вторых, мы можем убедить- пересечения медиан в треугольнике. ся в справедливости теоремы о том, что высоты Теперь, опять же опытным путем, мы мо- в треугольнике с вершинами в основаниях вы- жем, разделив одну медиану пополам, убедить- сот являются биссектрисами углов этого треу- ся в том, что точка пересечения медиан де- гольника. Действительно, если мы сложим тре- лит их в отношении 2  :  1, считая от вершины. угольник вот таким образом, по этим же самым Вот точка пересечения медиан разделила меди- высотам, то мы убедимся в том, что действи- ану на три равные части 6 , 7 . 36тельно вот эти получившиеся углы равны 19, 20. МАТЕМАТИК А февраль 2021

4 10 5 11 6 12 7 132 8 143 39 7 154 МАТЕМАТИКА февраль 2021

м е т о д о б ъ е д и н е н и е / м е т о д и ч е с к а я ко н с ул ьта ц и я 16 17 18 То есть мы получили наглядное подтверждение Это достаточно легко доказать, хотя понача- нашей теоремы. лу, когда дети это делают, для них это кажет- Это самые простые вещи с треугольником, ся чудом, фокусом, это их и заинтересовывает, и это доступно учащимся 7-го класса, и в 8-м хотя выводы наши основаны исключительно классе мы начинаем именно с этих заданий. на свойствах биссектрис. Когда мы прикла- Есть другие задания, которые связаны с ква- дываем сторону к направляющей, мы факти- дратом. чески строим биссектрису вот этого угла 28 . Возьмем квадрат и проведем в нем произ- Дальше мы строим вторую биссектрису. На вольную прямую. Вот она у меня отмечена си- их пересечении мы получили точку пересе- ним цветом. Эта прямая отсекает угол квадрата, чения биссектрис. Значит, третья биссектри- и у нас получились четыре отрезка на сторонах са треугольника тоже должна проходить через квадрата и две стороны квадрата, которые наша эту точку. А третья биссектриса — это как раз прямая не пересекла. Вот каждый из этих ше- диагональ нашего квадрата 29 . сти отрезков мы и совмещаем с нашей прямой- Если рассмотреть остальные точки, то посколь- направляющей. ку мы прикладывали стороны все к этому отрезку Берем первый отрезок, совмещаем его с на- направляющей, то фактически строили биссек- шей направляющей и делаем сгиб 21 , 22 . Берем трисы некоторых углов. Вот в данном случае, на- следующий отрезок, совмещаем его с направля- пример, линия является у нас биссектрисой угла, ющей и делаем сгиб 23 . Дальше следующий от- вершина которого находится вне квадрата. резок совмещаем с нашей направляющей и де- Манипулируя с квадратами и треугольника- лаем сгиб 24 . Следующей у нас будет сторона. ми, мы, во-первых, что-то делаем руками, что Сторону совмещаем с направляющей и делаем очень важно. Кажется невероятным, но один раз сгиб 25 . Следующую сторону совмещаем с на- в 7-м классе столкнулась с тем, что ребенок не правляющей и делаем сгиб. Должно получить- умеет работать ножницами. (Прямо так честно ся шесть сгибов. Вот эти шесть сгибов пересека- и сказал: «Я не умею резать ножницами»; вот ются в нашем квадрате 26 . и приходится какие-то пробелы в умениях де- В зависимости от того, как мы проведем эту тей ликвидировать в школе.) синюю прямую-направляющую, может полу- Во-вторых, они «собственноручно» получа- читься шесть точек пересечения, а может полу- ют совершенно неожиданные результаты. Это читься меньше. Но если теперь в нашем квадра- некая детективная история, которая заинтере- те проведем оси симметрии, то есть сложим его, совывает. В-третьих, повторяют свойства бис- совместив стороны, или сложим его по диагона- сектрис или какие-то другие свойства, каких- лям, то все наши точки окажутся на осях симме- то других геометрических объектов. Возьмем трии квадрата. вот этот квадрат. У каждого же свое получает- Вот у меня квадрат со всеми осями симме- ся, у каждого свой направляющий отрезок был трии. Вот у меня совпадает один отрезок, вто- задан, поэтому и точки получились у каждого рой, третий, четвертый и две стороны: одна свои, но все равно они все оказались на осях сим- и вторая. Здесь я даже отметила эти точки, они метрии квадрата. Это тоже важно. И, естествен- все оказались на осях симметрии. Смотрите: но, можно здесь задуматься… В определенном вот эта точка лежит на оси симметрии и эта точ- отношении, определенном положении этот от- ка лежит на оси симметрии. Эта точка лежит на резок проведен, какие здесь можно сделать вы- диагонали, а эта  — на прямой, параллельной воды об этой конструкции. Это еще один повод сторонам 27 . 38для размышления. МАТЕМАТИК А февраль 2021

Вторая задача с квадратом, которую я хочу по- казать, называется «Первая теорема Хаги» (это японец, который занимается как раз опытами с бумагой). Итак, представим себе, что у нас есть квадрат. Находим у него середину стороны, одну из его нижних вершин прикладываем к этой са- мой середине стороны и делаем сгиб. Получи- лась вот такая картина 30 . У нас здесь получи- лось три прямоугольных треугольника. Так вот, 19 20 оказывается, все эти треугольники египетские. 21 212 Рассмотрим вот этот угловой треугольник 31 . 213 У него один из катетов равен половине стороны, 214 второй катет примем за x, тогда вот этот отрезок МАТЕМАТИКА февраль 2021 будет (a – x). Но поскольку мы прикладываем этот отрезок вот сюда, то, соответственно, гипо- тенуза этого прямоугольного треугольника тоже будет (a – x). Поскольку треугольник прямо- угольный, в нем работает теорема Пифагора. Если мы запишем ее для нашего треугольника, то мы получим уравнение относительно x с пара- метром a. И в результате получится, что 3 x = 8 a. Тогда (a – x), поскольку a  — это 8 , рав- 8 но 8 − 3 , то есть x = 5 . 8 8 8 . a 4 А вот этот катет у нас 2 , то есть это 8 И мы получаем треугольник с отношения- ми сторон 3 : 4 : 5. А это как раз и есть египет- ский треугольник. Если мы посмотрим на второй треуголь- ник (вот этот) 32 , то он тоже египетский, по- скольку он подобен данному треугольнику по двум углам. Сумма острых углов равна 90°, поскольку мы из развернутого угла вычитаем вот этот прямой угол квадрата. Значит, сум- ма вот этих углов 90° и сумма острых углов этого треугольника 90°. То есть углы этих тре- угольников равны, следовательно, треуголь- ники будут подобны. Раз треугольники подоб- ны, мы можем написать соотношение меж- ду сторонами этих треугольников. И получим, что вот этот отрезок 33 треугольника состав- 2 ляет 3a . Получается, что мы с вами таким об- разом нашли точку (вот здесь 34 , 35 ) пересе- чения стороны, которую мы приложили, со стороной квадрата, которая делит сторону квадрата в отношении 2 : 1, то есть вот этот отре- 1 зок — это 3 стороны. Таким образом, мы раз- делили сторону квадрата на три равные части. Как еще можно разделить сторону квадрата или прямоугольника на три равные части? Каж- дый квадрат  — это два треугольника, на кото- 39рые он делится диагональю. Если мы в этих тре-

25 26 27 м е т о д о б ъ е д и н е н и е / м е т о д и ч е с к а я ко н с ул ьта ц и я угольниках проведем медианы, мы умеем это аккуратно и много таких сгибов, то у нас полу- чится аккуратный нетронутый ни одним сги- делать, то мы найдем их точку пересечения, ко- бом эллипс 38 . торая делит медианы в отношении 1 : 3. Также можно построить и параболу. Для это- го возьмем прямоугольный лист бумаги, отме- А дальше, используя теорему Фалеса, мы мо- тим на нем (лучше на длинной стороне) точки, с обратной стороны так же отметим точку (фо- жем разделить квадрат на три равные части. Вот кус-параболы) и начнем сгибать вот таким обра- зом: точку намеченную с точкой на прямой 38 . давайте посмотрим, как это сделать. Середи- Если мы проведем аккуратно все эти сгибы, у нас получится с вами аккуратный, незамятый на стороны у нас уже есть, проведем медиану фрагмент параболы. (говорю «проведем», потому что делаю сгиб). Я привела примеры задач, которые мож- но решать с помощью бумаги. Такого материа- Вот к середине стороны я провела медиану тре- ла на самом деле много. Можно, например, по- работать с детьми на тему, как одним разрезом угольника, который получается, если мы про- вырезать фигуру, то есть если мы хотим выре- зать квадрат  — это просто, а вот если мы хо- ведем диагональ. Дальше найдем середину тим вырезать треугольник — это уже сложнее, а если фигура многоугольник, да еще произ- второй стороны и проведем медиану к ней. По- вольный,  — еще сложнее. То есть все зависит от уровня подготовленности детей, от их жела- лучилась точка пересечения медиан треуголь- ния работать, но эти занятия детям нравятся. ника, если бы мы провели здесь диагональ. Зна- В конце модуля дети сдают зачет, они расска- 1 зывают, как разделить сторону квадрата на три чит, вот этот отрезок составляет 3 медианы. части, как получить египетский треугольник, как построить центр вписанной или описанной Если мы через эту точку проведем прямую, па- окружности, то есть какие-то навыки свои они раллельную стороне, то на этой стороне мы тоже на зачете демонстрируют. отметим 1 . Значит, согнем квадрат таким обра- Вот, собственно, все, что я хотела расска- 3 зать, не занимая много времени. Поскольку ау- зом, чтобы этот сгиб был параллелен стороне. дитория подготовлена, я показала только идеи, а вы можете их дальше развивать. Понятно, что Вот мы разбили квадрат на три равные части 36 . идеи эти я не придумала сама. Мы пользуем- ся книжками «Оригамика», «Одним разрезом» Ровно так же можно провести горизонтальные и другими книгами издательства МЦНМО, мы используем ресурсы сайта МЦНМО, «Матэтю- линии в этом квадрате. ды», «Модели». На этих сайтов есть очень сим- патичные мультики, которые детям нравятся Если делать все это достаточно аккуратно, то и в то же время несут достаточно большой объ- ем интересной информации. все получается достаточно ровно. Вот видите: Я вам желаю успеха в преподавании. До сви- мы получили три маленьких квадратика, кото- дания. рые составляют девятую часть нашего квадра- та. Таким образом, мы разделили квадрат на де- вять равных частей. Используя бумагу, можно работать не только с прямолинейными фигурами, можно постро- ить, например, эллипс. Мы возьмем круг, выбе- рем на нем точку (подальше от центра, чтобы эл- липс был более ярко выражен). На окружности отметим точки на расстоянии 1 см 37 . Таких то- чек должно быть много, тогда построение будет красивым, четким. А дальше будем делать вот что. Каждую из точек, которые у нас отмечены на окружности, сгибая квадрат вот таким обра- зом, прикладываем к нашей точке, которую мы отметили. И делаем сгиб. И таким образом для каждой точки делаем сгиб. А если мы сделаем МАТЕМАТИК А февраль 2021 40

28 34 29 35 30 1362 31 3172 32 3138 33 3149 41 МАТЕМАТИКА февраль 2021

Л. РОСЛОВА, МЕЖДУНАРОДНЫЙ ОПЫТОБУЧЕНИЯ г. Москва МАТЕМАТИКЕС ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЦИФРОВЫХ ТЕХНОЛОГИЙ методобъединение / технологии / икт Цифровая трансформация образования за последний год превратилась в реальность и стремится стать повседневностью. В данной статье предлагается аналитический обзор: – опыта цифровизации в странах Европейского союза (это представляет интерес, поскольку среди стран Европейского союза лидеры международного исследования PISA — Финляндия, Эстония); – исследований ОЭСР в части цифровых образовательных программ (среди стран ОЭСР лидеры математического образования — Япония и Северная Корея); а также анализ понятия цифровых учебных ресурсов применительно к математическому образованию. 42 Анализ опыта стран Европейского союза МАТЕМАТИК А февраль 2021 Согласно исследованиям, европейская стратегия первого поко- ления в области цифрового обучения (до 2002 г.) была сосредото- чена главным образом на развитии инфраструктуры: ключевыми здесь являлись два показателя  — широкополосный доступ к ин- тернету и соотношение числа обучающихся и компьютеров. Разра- ботка содержания и структуры компетенций учащихся не была ос- новной целью этого периода. Стратегия второго поколения была сосредоточена на допол- няющих этот подход политических мерах, таких как подготовка учителей, повышение их компетентности и разработка содержа- ния образования. Стратегия цифрового обучения эволюциони- рует в направлении модели, в которой акцент смещается с соб- ственно информационно-коммуникационных технологий (ИКТ) на те преимущества, которые ИКТ могут предложить обществу и экономике. Анализ ситуации в Европе в 2011 году показал, что все стра- ны разработали национальную политику в области ИКТ в обра- зовании либо как самостоятельную политику, либо как часть более широкой национальной стратегии в области ИКТ. Страте- гический акцент в этой политике делался на развитие цифровой компетентности обучающихся и разрабатывался на уровне на- циональных администраций. Тактические аспекты были сосредо- точены на подготовке учителей и обеспечении школ современны-

ми технологиями и инфраструктурой, они были ществует единодушная озабоченность по по- децентрализованными, что позволяло местным воду наращивания потенциала преподавания, администрациям и школам свободно экспери- при этом меры по формированию учительских ментировать и формировать свою собственную компетенций расходятся, и многие страны объ- политику в рамках некоторых ключевых пара- единяют различные стратегии, чтобы предло- метров, определяемых сверху. Национальные жить учителям широкий спектр возможностей органы власти, в частности, стремились стиму- профессионального развития, которые они за- лировать более широкое использование цифро- тем могут выбирать и комбинировать в соответ- вых технологий среди учителей по основным ствии со своими потребностями. учебным предметам. Основных стратегий три: целенаправленное В докладе ОЭСР 2010 года было высказано пре- очное обучение, онлайн-курсы и сотрудничество достережение, что политика цифрового обуче- учителей. В то время как некоторые инициати- ния, обеспечивающая доступ к технологиям, но вы направлены на обеспечение очного обучения не обеспечивающая подготовку учителей и ком- учителей (например, семинары Switch Digital петентность в преподавании с использованием в Ирландии), другие обеспечивают поддержку этих технологий, может увековечить «второй с помощью технологических решений. Напри- цифровой разрыв». Имеется в виду разрыв меж- мер, инициатива «Библионет» использует только ду теми, кто обладает компетенцией извлекать онлайновые инструменты для обеспечения учи- выгоду из цифровых технологий, и теми, кто телей необходимыми навыками и цифровыми ее не имеет. В этой связи политика была пере- компетенциями. В ряде случаев цифровые сре- смотрена: наибольшее политическое и иссле- ды создаются для обеспечения доступности учеб- довательское внимание стало уделяться роли ных материалов и учебных ресурсов и поощрения учителей в интеграции цифровых технологий учителей к обмену знаниями и опытом. В неко- в образовательный процесс. торых случаях (например, во Фландрии) для по- Однако исследование 2011 года выявило, на- ощрения участия учителей используются меха- пример, что не более трети учащихся начальной низмы вознаграждения и / или стимулирования. школы и не более четверти учащихся основной Пример удачного стимулирования инновацион- школы обучаются в школах, где проводится ак- ного использования учителями цифровых техно- тивная политика в области цифрового обучения, логий в Европе — сеть eTwinning. Многие из этих а до трети учащихся обучаются в школах с низ- инициатив прямо направлены на поощрение ин- ким уровнем цифровизации учебного процес- новационных стратегий преподавания и обуче- са. Причина невысокого уровня цифровизации ния: персонализированное обучение, саморегу- заключается в необязательности для учителей лируемое обучение, совместное обучение. овладения навыками цифрового обучения и ис- 3.  Укрепление инфраструктуры, часто в фор- пользования их в работе. ме предоставления мобильных устройств. Мно- Современная политика третьего поколения гие из национальных стратегий после 2010 года в области цифрового обучения (после 2011  г.) были направлены на оснащение учащихся пор- разрабатывается с учетом более тесной увяз- тативными устройствами (ноутбуками, план- ки стратегического системного уровня политики шетами или смартфонами) для учебных целей; с тактическим уровнем, с одной стороны, и соче- это так называемые учебные инициативы 1  :  1 тания развития педагогической компетентности (один ученик — один компьютер). Выявлено их с предоставлением цифровых устройств или ре- положительное влияние на практику и результа- сурсов, с другой. ты обучения за счет создания более ориентиро- Приведем основные факторы современной ванной на учащихся образовательной среды, так европейской политики в области цифрового об- как они усилили такие параметры, как взаимо- учения. действие, персонализация, обратная связь, ин- 1.  Наращивание учительского потенциала. дивидуальный контент, мотивация учащихся, Признается решающей роль педагогов в под- вовлеченность родителей. В настоящее время держке интеграции цифровых технологий в об- в части инфраструктурных аспектов преоблада- разование. Ключевой фактор успеха — это спо- ющими тенденциями стали: предоставление мо- собность учителей осмысленно интегрировать бильных устройств и необходимой инфраструк- цифровые технологии в повседневную педаго- туры, цифровых учебников, использование гическую практику, а неспособность  — основ- виртуальных сред обучения, платформ, прило- ной тормоз. жений или инструментов. 2.  Использование различных путей наращи- 4.  Изменение учебной программы с уче- вания потенциала в области преподавания. Су- том использования цифровых технологий. Ис- 2021 43 МАТЕМАТИКА февраль

следование практической реализации учеб- объединения в рамках общего продукта и единой ных программ, использующих ИКТ, показало, образовательной программы усилий по различ- что технологические программы, чтобы быть ным предметам и уровням обучения. эффективными, должны быть реализованы как Этапы оцифровки учебной программы раз- часть более широкой педагогической структуры. личаются по странам. По данным ОЭСР, 43% С другой стороны, и учителя борются за интегра- стран — участников исследования сообщили, цию технологий с требованиями учебной про- что предоставляют некоторую цифровую вер- граммы, что указывает на необходимость раз- сию учебной программы, 16% находятся на работки учебной программы, которая в большей пути к внедрению полностью интерактивной степени способствует использованию цифро- цифровой учебной программы, а 14% уже внед- вых технологий. рили интерактивную цифровую учебную про- 5.  Потребность в образовательных ресур- грамму. сах. Отвечая на потребности учителей, боль- Вот некоторые подходы к цифровизации учеб- шинство государств — членов ЕС создали на- ных программ. циональные или региональные платформы или ·  Создание электронных вариантов учебных веб-сайты для школьного образования, которые документов в форматах PDF, HTML и Word, с ко- предоставляют некоторый цифровой контент торыми можно работать. Подразумевается, что и ресурсы, согласованные с соответствующими учебная программа задает направление, а не методобъединение / технологии / икт учебными планами и целями обучения. Изда- предоставляет учителям подробное содержание, тели учебников также перешли к выпуску сво- поэтому предполагается, что учителям не нуж- их учебников в электронном формате, дополнив но манипулировать текстом в интерактивном ре- их дополнительными цифровыми ресурсами жиме. для учителей, учащихся и родителей. Подходы ·  Создание интерактивной цифровой учеб- к решению этой задачи различаются по стра- ной программы, которая позволяет пользова- нам. Например, эстонская инициатива по соз- телю динамически взаимодействовать с учеб- данию электронной школы была принята как ной программой с помощью гиперссылок или часть всеобъемлющей и новаторской системы интерактивных инструментов, а также созда- электронного правительства, управляемой спе- вать собственные программы. В Финляндии соз- циально созданными структурами управления дан веб-сервис электронных учебных программ, (e-estonia). При этом в Австрии пошли по пути в Венгрии — интеллектуальный планировщик создания всеобъемлющей многомерной страте- учебных программ, в Корее  — интерактивная гии ИКТ, связанной с образованием, админи- платформа для манипулирования учебной про- стрированием и социальной инфраструктурой, граммой и разработки собственной программы рынком труда и пр. обучения. Цифровые учебные программы, ·  Использование интерактивной цифровой цифровизация содержания обучения, учебной программы. В Норвегии программа, электронные учебники разработанная министерством, представлена в цифровом формате в интернете, а учителя мо- Современные интерактивные платформы, гут выбирать то, что им нужно, и находить до- разрабатываемые для школы, обычно ориенти- полнительные ресурсы и рекомендации по при- рованы не только на предоставление учителю менению учебной программы. доступа к готовому контенту, но также позво- Цифровая учебная программа в настоящее ляют учителям и образовательным организаци- время характеризуется следующими качест- ям разрабатывать собственные уроки, педаго- вами: гические мероприятия и учебные программы. интерактивность создает условия для ди- Причем важно, что делать это они могут кол- намического взаимодействия между различны- лективно, «перемещая» предметное содержа- ми группами пользователей, включая сотрудни- ние в том числе между предметами, работать чество учителей в школьных сетях; совместно над общими тематиками, но в рам- участие учителя и школьной администра- ках своих рабочих программ и учебных пред- ции, а иногда и учеников, что обеспечивает во- метов. Это стимулирует сотрудничество между влечение всех участников в окончательный ди- учителями и способствует развитию междис- зайн учебной программы с учетом его выбора циплинарных связей. Это также способствует и адаптируемости; созданию фундамента для системного подхода интеграция обеспечивает интеграцию со- в образовательной организации к формирова- держания обучения, учебников, средств обуче- нию общеучебных умений и компетенций путем ния, инструментариев для оценивания на одной 44МАТЕМАТИКА февраль 2021

платформе. Такая интеграция постепенно сти- и дополнять содержание. Смогут ли учителя ма- рает границы между учебными программами, тематики — в дополнение к авторам учебников педагогикой и оценкой; и разработчикам учебных программ — играть преемственность между классами и учеб- центральную роль в создании учебных материа- ными предметами позволяет проследить дина- лов для учащихся? мику развития обучения, логику развития со- Ответ на этот вопрос сводится к тому, что держания, лучше понимать предварительные учебники математики сохранятся, хотя они мо- условия обучения, которые могли быть пропу- гут эволюционировать, а их роль в системе обра- щены в более ранних классах или которые мо- зования может стать менее центральной и доми- гут быть усилены в других областях обучения, нирующей, поскольку стандарты и процедуры что может помочь учащимся заполнить пробе- оценки будут играть некоторые из ролей, кото- лы в обучении. рые раньше играли учебники. И хотя учителям Еще один вариант цифровизации реализует- будет легче редактировать и создавать докумен- ся, когда различные цифровые технологии вклю- ты, маловероятно, что они возьмут на себя ини- чаются в уже работающую учебную программу циативу в написании учебников. с четко определенным объемом и последователь- Вывод, который следует из большинства со- ностью содержания. Например, содержание временных исследований, весьма однозначен: учебной программы может быть реализовано: учебник, созданный единым автором или не- а)  в электронных учебниках: оцифрован- большим авторским коллективом, теряет функ- ные традиционные учебники с дополнительны- ции единственной движущей силы, однако он ми цифровыми материалами или ссылками на продолжает оставаться источником системати- эти материалы, возможностью адаптировать ма- чески изложенных и определенных програм- териалы к потребностям конкретного класса; ин- мой и стандартом теоретических знаний, раз- терактивные электронные учебники, в которых ных по сложности и глубине, и продуманной есть динамические инструменты для обучения, системы заданий и упражнений, разворачива- оценки или решения проблем; ющейся по мере развития понятий и взросле- б) в хранилищах для материалов уроков, орга- ния учащихся. низованных в последовательности рабочей про- Какова роль учителя? Интересно мнение граммы и в соответствии с требованиями наци- Гленды Лаппан, президента североамерикан- ональной учебной программы, в первую очередь ской профессиональной организации учите- ориентированных на задачи и интерактивные лей — Национального совета учителей мате- действия учащихся. матики, которая считает, что роль учителя со- Например, электронные учебники в Эстонии. стоит в том, чтобы принять учебные материалы Все учителя Эстонии имеют доступ к библиоте- и эффективно реализовать их с помощью проду- ке электронных учебников через интерактив- манного планирования уроков, внимательного ную обучающую платформу Opiq.ee, которая изучения того, что учащиеся делают в классе, охватывает большинство предметов, вклю- анализа того, как и что они изучают, коррек- чая математику. Большинство учащихся 4–6-х тировки задач и задаваемых вопросов, а также классов (73%) и 7–9-х классов (81%) являются взаимодействия с коллегами. Исследователи активными пользователями электронных учеб- соглашаются с тем, что задача учителя состоит ников Opiq. не в том, чтобы искать или создавать математи- Будущее учебников по математике ческие задачи для своих учеников. Они полага- в связи с технологическими ют, что, учитывая изменения математики как изменениями дисциплины, не учитель или социум должны выносить суждения о том, что должны изучать Ключевая роль в определении учебной про- школьники, а люди, более глубоко знакомые граммы по математике всегда принадлежала с математикой и с тем, как знание математики учебникам, именно они определяли содержа- подготовит учащихся к жизни, профессиональ- ние и направляли методику обучения. Однако ному образованию и карьере. в настоящее время, когда содержание задается Роль учебника — давать учителям знание, что образовательным стандартом, а методики вы- и как должны изучать учащиеся. С одной сторо- бираются и определяются учителем, перед ис- ны, учебники организуют содержание того, что следователями встает вопрос об изменении роли учащиеся должны изучать, указывают, что уча- учебника. Технологии позволяют работать щиеся должны знать в каком возрасте, на каком с учебником в интерактивном режиме, изменять уровне обучения или в каком учебном заведе- последовательность изучения тем, расширять нии. С другой стороны, представляя учебные за- 2021 45 МАТЕМАТИКА февраль

дачи, учебники организуют знания таким обра- ные продукты знаний или тексты не являются зом, чтобы сделать это содержание доступным фиксированными; знания должны распростра- для изучения. Играя обе эти роли, учебники на- няться свободно, и их рост может происходить правляют учителей, позволяя им сосредоточить за счет разработки, изменения или обогаще- свое внимание на «настройке» задач, на том, ния уже существующих продуктов знаний на со- чтобы помочь своим ученикам достичь сформу- вместной основе, не ограничиваясь правилами, лированных целей и результатов обучения. связанными с правовой защитой интеллектуаль- Исследователи сходятся во мнении, что расту- ной собственности. щее влияние стандартов и оценочных процедур Приведем два примера. Среда CK12.org имеет технологическую составляющую, которая (США) публикации цифровых учебников для обеспечивает сбор, хранение и поиск данных. школ предполагает, что учителя могут использо- Новые системы данных принципиально меняют вать эту платформу для создания персонализи- оценку деятельности самих учителей, школ и ре- рованных частей книги для поддержки обучения гионов. Однако эти статистические методы тре- учащихся с ограниченными возможностями; буют в своих целях общих учебных планов, об- затем происходит адаптация существующей щих оценок, которые выставляются учащимся цифровой книги, чтобы превратить то, что из- каждый год, а также систем данных, в которых начально было создано как персонализирован- каждому учителю и ученику дается уникальный ный ресурс для обучения, в текст, который мо- методобъединение / технологии / икт идентификационный номер, перемещающий- гут использовать другие (см. educationnews.org/ ся с ним, хранящий его результаты, связанные michael-f-shaughnessy/47145.html). с идентификаторами учителей. Привлекатель- Аналогично в израильской системе учащиеся ность таких систем данных для руководства за- получают бумажный учебник и доступ к его циф- ключается в том, что они позволяют привлекать ровому формату, включая ссылки на интерак- педагогов к ответственности за результаты. Сто- тивные ресурсы, предоставляемые издателем, ронники развития большей национальной общ- на сайте school.kotar.co.il/Default.aspx. Сайт ности видят в едином учебном плане по матема- поощряет учителей добавлять свои собственные тике ряд преимуществ, в том числе и большее веб-ресурсы. единообразие в учебниках. Критики жесткой от- Однако, несмотря на успехи Википедии, ана- четности считают, что такие изменения не долж- лиз существующих Вики-книг показывает, что ны приветствоваться, они предостерегают: дик- существует не так много учебников и что боль- тат данных приведет к однородности учебных шинство Вики-книг, по-видимому, имеют одно- программ. го автора, иногда с незначительным вкладом не- В дополнение к взрыву в накоплении цифро- большой группы. вых данных прогресс в технологии изменил при- Разработчики учебников и учебных про- роду текстов, а также то, что требуется для соз- грамм могут столкнуться с серьезной угрозой со дания и распространения информации. В случае стороны примеров и иллюстраций, объединяю- с учебниками эти изменения предполагают изме- щихся вокруг установленных стандартов. Инте- нение традиционных отношений между автором ресно, что в контексте дебатов о том, как следует учебника или разработчиком учебной програм- преподавать геометрию в израильских средних мы и преподавателем. Роль учителя — формиро- классах, именно группа израильских математи- вать учебник для использования с определенны- ков была обеспокоена такой возможностью. Они ми группами учащихся в определенных местах утверждали, что учебные документы министер- на основе собственного профессионального суж- ства отражают конкретное мнение относитель- дения. Технологические достижения меняют по- но порядка изложения геометрических аксиом нятие того, что значит дополнять учебник. Сей- и порядка преподавания геометрии. Их крити- час учитель может добавлять записи о работе, ка была обоснована тем, что порядок разработки проделанной в классах, снимки смарт-доски, ау- идей, а также примеры и образцы уроков долж- диозапись обсуждения на уроке или, возможно ны оставаться прерогативой авторов учебников даже, отредактированные цифровые видеозапи- и не должны предоставляться министерством си класса. образования. С помощью цифровых технологий дополнение Понятие «цифровые учебные ресурсы» приближается к концепции «открытой культу- ры» соавторства новой версии, а не дополнения Исследования, связанные с цифровыми учеб- существующей версии, которая остается неиз- ными ресурсами (учебные программы  /  мате- менной. Примером является Википедия. Соглас- риалы / учебники, далее — ЦУР) в математиче- но концепции «открытой культуры», конкрет- ском образовании, достаточно часты в последние 46МАТЕМАТИКА февраль 2021

5 лет. Одна из проблем современных исследова- характеристиками учащегося и характеристи- телей: надо ли различать цифровые технологии, ками учебной среды, между тем, что он может с одной стороны, и ресурсы или учебные ма- и что выходит за рамки его нынешних возмож- териалы, с другой. Утверждается, что «но- ностей. Индивидуализация рассматривается на вые носители информации не просто копируют платформе объекта обучения — учащегося, уча- функциональность старых с возрастающей эф- ствующего почти исключительно в цифровой фективностью… они создают качественно разли- учебной программе, при небольшом взаимодей- чающиеся формы взаимодействия между поль- ствии с другими объектами обучения при реше- зователем и средой, основанные, например, на нии аналогичных академических задач. Такая введении новых типов пользовательского ин- программа может соответствовать потребностям терфейса или на предоставлении пользовате- конкретного человека, однако противоречит пер- лю мгновенной обратной связи». сонализации. Персонализация реализуется как Потенциальные возможности ЦУР рассма- интерактивная учебная среда для сотрудничества триваются с точки зрения трех функций: обу- и совместного решения задач, которая обеспечи- чение, оценивание и управление результатами, вает встраивание каркасов для отдельного уча- менеджмент. щегося в общую задачу таким образом, чтобы из- Обучение менить проблемное пространство, но сохранить связность учебного пространства. Основной потенциал ЦУР  — его способ- Например, исследователи выделяют три типа ность трансформировать пространство обуче- электронных учебников. ния для повышения интерактивности и настраи- Интегративный электронный учебник. ваемости. Это модель электронного учебника, который Пространство обучения рассматривается как: представляет собой оцифрованную версию су- – пространство представления (введение эле- ществующего бумажного учебника с дополни- ментов содержания обучения может включать тельными ссылками и цифровыми инструмента- в себя, например, видеопрезентацию, которая ми, добавленными в текст. В некоторых случаях представляет собой рассказанный пример про- оцифрованные тексты могут позволить учите- цедуры или анимацию для демонстрации про- лям добавлять дополнительные ссылки и ресур- цедуры); сы по своему выбору или дизайну. –  пространство задач (от простых задач до «Живой» электронный учебник. Это модель сложных проблемных ситуаций); накопительного типа, в которой некоторое сооб- –  рабочее пространство (набор инструментов щество (например, учителя и IТ-специалисты) и ресурсов, доступных для решения задач; до- разработало цифровой учебник, и он постоян- ступность инструмента означает наличие вирту- но развивается благодаря вкладу других практи- альных инструментов — редакторов уравнений, кующих учителей. графических утилит, измерительных инстру- Пример: программа Sésamath во Франции, ментов, инструментов геометрии), для него ха- эта программа постоянно развивается на основе рактерны гибкость — есть выбор, какие ин- предложений учителей, которые после консуль- струменты использовать и как их использовать, тации с основной командой разработчиков пе- и связность — возможность делиться с другими ресматривают ресурсы. Риски модели: согласо- и работать коллективно; ванность учебных программ может пострадать, –  пространство навигации (нелинейный спо- поскольку авторство распределяется между ав- соб, которым учащиеся могут продвигаться торами, которые не общаются напрямую друг по математическим темам, гиперссылки и пр.). с другом; распределенное авторство делает дея- Еще одна потенциальная возможность, зало- тельность раздробленной, без основополагаю- женная в ЦУР, — возможность адаптации учеб- щей философии или структуры, направляю- ных пространств в цифровых материалах для щей развитие продукта. пользователя в зависимости от его способностей Другой пример. Программа Hélice была разра- и производительности. Для оценки часто ис- ботана небольшой командой из четырех авторов, пользуется настройка, когда программа выбира- трех преподавателей и исследователя, и имела ет контент на основе результатов учащегося при более последовательную философию: была орга- оценивании. низована вокруг цикла развития, когда учащие- Существуют и более тонкие способы настройки ся возвращаются к содержанию с течением вре- контента, что проявляется в различии между тер- мени по спирали. минами «индивидуализация» и «настройка». Разница в процессах проектирования между Цель настройки  — достижение баланса между двумя моделями значительна, потому что для 2021 47 МАТЕМАТИКА февраль

возникновения спиральной организации ди- или с краткими ответами, которые программа зайнеры должны знать и общаться друг с дру- автоматически сохраняет; оценивание в про- гом по содержанию и действиям. Такое общение грамме во многом похоже на традиционное, и осведомленность затруднены, когда дизайнер- учитывается процент правильно выполнен- ские решения расплывчаты, например, с коман- ных заданий, большинство из которых являют- дой Sésamath. ся процедурными. В ряде цифровых программ Интерактивный электронный учебник. есть более тонкие и сложные формы оценива- Это модель, в которой учебник полностью ос- ния, например, ученики оцениваются на осно- нован на наборе учебных объектов: задачи ве их действий с манипуляторами, что позво- и интерактивные материалы (инструменты), ко- ляет оценить стратегии выполнения задания, торые можно связывать и комбинировать. Ин- а не только результат. струментальный подход обеспечивает доступ «Адаптивные» программы регулируют пере- к набору инструментов, которые учащиеся вы- ход учащихся от одной темы к другой; они обыч- бирают сами, когда решают сложные проблемы. но полагаются на результативность учащегося Эти инструменты включают в себя динамически при принятии решения о том, переходить ему связанные инструменты представления (редак- к следующей теме или предложить материал для тор формул, инструмент построения графиков, продолжения изучения текущей. В ряде иссле- таблицы). Отдельные инструменты могут быть дований показано, что «использование адаптив- методобъединение / технологии / икт адаптированы к конкретным темам. ного учебного программного обеспечения при- Существуют хранилища уроков, которые ор- вело к умеренным успехам в обучении, но эти ганизованы в последовательность учебных преимущества обычно были связаны с узкона- программ, часто они связаны с национальной правленным и относительно простым содержа- учебной программой. Существует две моде- нием; кроме того, использование этих программ ли разработки репозитория. замедляло темпы охвата и завершения контента Одна модель включает небольшие автор- и не касалось глубокого изучения, как это было ские группы, работающие в рамках единой фи- необходимо». лософии, например, в случае с Академией Хана (khanacademy.org, США), sofatutor (sofatutor. Управление com, Германия) и Hélice (Франция). Эти раз- ЦУР часто сочетают с системами управления работки часто сосредоточены на пространстве обучением, объединяющими учебный план, ре- презентации с коллекциями видео или ани- зультаты контрольно-оценочной деятельности, маций по каждой теме, которые демонстриру- учет посещаемости и другие административные ют материал по теме или объясняют процедуру. функции. Они обычно разрабатываются крупны- Они также включают задачное пространство, ми издателями, которые заинтересованы в том, которое обычно связано с задачами, проблем- чтобы дать школам комплексные системы. ными ситуациям из бумажных учебников. Например, интеграция в цифровые учебники Другая модель состоит в том, что организа- электронного дневника позволяет: ция нанимает более многочисленные, но раз- –  давать индивидуальные задания и предо- розненные команды учителей или дизайнеров ставлять индивидуальные отзывы; для разработки уроков. Затем включается про- –  управлять заданиями в классе, индивиду- цесс интеграции уроков в веб-сайт, на кото- альными заданиями и прогрессом; ром размещаются уроки; включаются функции –  предоставлять обратную связь, оцени- оценки или управления, чтобы сделать их пол- вать работы; ностью пригодными для использования в рам- –  делать оценки учеников доступными на ках учебной программы. В этих программах ос- уровне школы (с доступом только для соответ- новное внимание уделяется презентационному ствующих пользователей); пространству. –  делиться результатами с администрацией, Оценивание и результаты родителями, школьным сообществом. ЦУР может обеспечить обратную связь для Какие же выводы делают учащихся, а также предоставлять данные об исследователи относительно успеваемости для заинтересованных сторон: использования ЦУР в математическом учащихся, родителей, учителей и администра- образовании? ции школы. Оценивание может быть реализо- 1. Имеет место расхождение между разработ- вано в различных формах. В некоторых про- чиком и пользователем, особенно в коммерче- граммах есть вопросы с вариантами ответов ской разработке полномасштабных систем учеб- 48МАТЕМАТИКА февраль 2021

ных материалов. Однако есть и другие примеры. в нескольких темах и применять разными спосо- К таким примерам относятся развивающийся бами и в любом порядке. Однако здесь меньше или «живой» электронный учебник с отдель- внимания уделяется связанности рабочего про- ными узлами, предварительно заполненны- странства. ми разработчиками, и тщательно подобранным 5.  ЦУРы способствуют ослаблению традици- набором онлайн-ресурсов, который постоян- онных границ между педагогикой и оценива- но модифицируется совместно с учителями. Это нием, а также между констатирующими и фор- открытая цифровая педагогическая конфигура- мирующими методами оценивания. Например, ция заданной структуры, обеспечивающая си- встраивание скрытой оценки в индивидуализи- стему различными траекториями обучения и ди- рованные адаптивные системы обучения, в кото- агностических оценок. рых автоматизированные процессы оценки ле- 2.  В настоящее время изменения в учебных жат в основе адаптации опыта и мониторинга программах происходили в основном в простран- эффективности, предполагает, что может потре- стве презентации, с некоторыми изменения- боваться расширенная карта форм и функций ми в пространстве задач, но без значительных оценки, которая признает новые измерения — изменений в рабочем пространстве или про- от адаптивного к информативному, от эпизоди- странстве навигации. По мере того как измене- ческого к непрерывному. ния становятся более масштабными, ожидается, 6. Существуют по крайней мере три особенно- что аналитическая важность признания посред- сти ЦУР, которые делают взаимодействие учите- ничества станет гораздо более значительной. лей с ними полезным: Например, пространство навигации на осно- · их гибкость с точки зрения адаптации и из- ве гипертекста, уменьшающее жесткость после- менения дизайна для индивидуальной подготов- довательности тем учебной программы, может ки уроков, а также коллективной работы над поддерживать очень разные понятия персонали- дизайном с коллегами, дистанционная или со- зированного обучения — по сравнению с теми, вместная работа на занятиях по повышению ква- которые выражены в строго линейно-иерархи- лификации; ческой структуре текущих учебных программ. · возможности для персонализации и диф- Другой тип рабочего пространства, приводи- ференциации, чтобы удовлетворить индиви- мый здесь в качестве альтернативы, может изме- дуальные потребности учащихся, например, нить взаимодействие ученика с учебником, кото- в предоставлении конкретных задач  /  дей- рое преобладало с традиционными бумажными ствий  /  индивидуальной обратной связи по за- учебниками. дачам; 3. Пространство задач во многих случаях отра- · множество функций оценивания, которые жает то, что находится в бумажных программах, обеспечивают легкий доступ к различным аспек- является ограниченным с точки зрения ожидае- там обучения учащихся. мых от учащихся подходов к решению. Боль- 7.  Взаимодействие учащихся с ЦУР исследо- шинство адаптивных программ «заточены» на вано слабо, однако можно сделать следующие отработку навыков. Таким образом, для типич- выводы о том, чем полезны ЦУР для учащихся. ного ЦУР соотношение между пространством ·  Исследование решения задач учащимися, введения теории и задачным пространством в частности с помощью интерактивных нагляд- остается таким же, как и в типичной, бумажной ных пособий, показало необычайно обширную учебной программе. умственную работу, охватывающую весь цикл Исключение составляют программы, требую- логических действий по решению задачи: от щие от учащихся манипулировать объекта- выдвижения предположений до записи реше- ми для демонстрации результата, например, ния и формулирования выводов. При разработ- DreamBox и Algebra in Action. Интеллектуаль- ке электронных учебников следует планировать ные обучающие системы пытаются создать более интерактивные примеры, обеспечивающие ког- открытое задачное пространство, но ограничены нитивную поддержку, а также нужно выстраи- небольшим набором стратегий решения, вокруг вать такой контроль и такие связи между пред- которых способны создать обратную связь. ставлениями, которые помогают фиксировать 4. Преобразование цифровых рабочих мест все интересные, нестандартные идеи, выдвигаемые еще остается относительно рудиментарным, за учащимися. исключением интерактивных электронных учеб- ·  Интерактивные функции ЦУР, по- ников. В этих учебниках инструменты использу- видимому, становятся наиболее эффективными ются повсеместно; кроме того, эти инструменты в комплексе с практиками формирующего оце- довольно гибкие, так как их можно использовать нивания, которые помогают учащимся продви- 2021 49 МАТЕМАТИКА февраль

методобъединение / технологии / икт гаться вперед, а учителям стимулировать сле- П.А. Сергоманова. — М.: НИУ ВШЭ, 2019. — (Со- дующие шаги обучения. Представляется, что временная аналитика образования, № 2 (23)). общая адаптивность такого ЦУР, в частности, в отношении персонализированной (диагности- 3.ConradsJ.,RasmussenM.,WintersN.,GenietA., ческой) оценки является одним из самых боль- Langer L. Digital Education Policies in Europe and ших преимуществ. Эта адаптивность также име- Beyond: Key Design Principles for More Effective ет решающее значение для поиска учащимися Policies / C. Redecker, P. Kampylis, M. Bacigalupo, новых путей и последовательных шагов в реше- Y. Punie (ed.). — EUR 29000 EN, Publications нии задач, для избегания недопонимания, вне- Office of the European Union, Luxembourg, 2017. сения корректировок. 4. What Students Learn Matters: Towards a 21st 8.  Среди критериев для создания и оцен- Century Curriculum. — OECD Publishing, Paris. — ки технологических возможностей ЦУР должны URL: http://doi.org/10.1787/d86d4d9a-en. быть такие, которые отвечают за обеспечение реф- лексии, обучающее оценивание, помощь в выде- 5.  Picciano  A.G. Theories and frameworks for лении и концентрации на важных деталях задач. online education: Seeking an integrated model // Результаты исследований указывают на предпо- Online Learning, 2017. No. 21(3). Р. 166–190. ложение, что электронное оценивание должно быть «наводящим на размышления», а не детер- 6. Reyer V. der V. Digital strategies in education министическим в отношении работы учащихся. across OECD countries: Exploring education policies on digital technologies OECD // Education Литература Working Papers, 2020. No. 226. — URL: http:// 1. Карлов И.А., Киясов Н.М., Ковалев В.О., Ко- dx.doi.org/10.1787/33dd4c26-en. жевников Н.А., Патаракин Е.Д., Фрумин И. Д., 7.  Pepin B., Choppin J., Ruthven K., Sinclair Швиндт  А.Н., Шонов Д.О. Анализ цифро- N. Digital curriculum resources in mathematics вых образовательных ресурсов и сервисов education: foundations for change // ZDM для организации учебного процесса школ.  — Mathematics Education, 2017. No. 49. Р. 645–661. — М.: НИУ ВШЭ, 2020. — (Современная аналити- URL: https://doi.org/10.1007/s11858-017-0879-z. ка образования, № 10(40)). 8.  Daniel Chazan & Michal Yerushalmy. The 2. Гэйбл Э. Цифровая трансформация школьно- Future of Mathematics Textbooks: Ramifications of го образования. Международный опыт, тренды, Technological Change / Stocchetti Matteo, Peter Lang глобальные рекомендации / пер. с англ.; под ред. // Media and education in the digital age: concepts, assessments, subversions. — GmbH Internationaler Verlag der Wissenschaften, Berlin, 2014.  — URL: https://doi.org/10.3726/978-3-653-04437-9. Из интернета Математики спрогнозировали пик волны эпидемии в РФ https://news.mail.ru/society/44447106/?frommail=1 Ученые Центра интеллектуальной логистики По подсчетам исследователей, пик по количе- Санкт-Петербургского госуниверситета разрабо- ству активных случаев болезни в Москве ожи- тали новую модель прогнозирования развития дался 10–12 декабря. Уже можно говорить о том, эпидемий. С помощью этого метода исследовате- что пик заболеваний пришелся на 24 декабря. ли готовят сценарии распространения коронави- Новая модель построена на итеративном под- руса в России, основываясь на данных стран, где ходе: данные, на основании которых строятся болезнь была зафиксирована раньше. прогнозы на 2−3 недели, обновляются в реаль- Первые прогнозы ученые начали строить еще ном времени. в апреле 2020 года. Тогда же они столкнулись Важная составляющая итеративной процеду- и с тем, что все имевшиеся на тот момент моде- ры — формирование цепочки стран распростра- ли математического прогнозирования развития нения эпидемии, упорядоченных по времени эпидемий в случае с COVID-19 не работали. При- выхода на одинаковые уровни значения выбран- шлось разработать новый подход и новую модель. ных параметров. Для верной настройки модели Ее особенность в том, что для прогнозирования необходимо, чтобы в этих странах использова- эволюции эпидемии в России она использует дан- лись сравнительно одинаковые меры сдержива- ные о динамике распространения нового корона- ния эпидемии: карантин, самоизоляция, соци- вируса в странах, где эпидемия началась раньше. альная дистанция и т.п. 50МАТЕМАТИКА февраль 2021