Kvant_08-2021

головоломка ȼ ɷɬɨɣ ɝɨɥɨɜɨɥɨɦɤɟ ɬɪɟɛɭɟɬɫɹ ɭɩɚɤɨɜɚɬɶ ɜɫɟ ɜɨɫɟɦɶ ɞɟɬɚɥɟɣ, ɤɨɬɨɪɵɟ ɜɵ ɜɢɞɢɬɟ ɧɚ ɮɨɬɨɝɪɚɮɢɢ, ɜ ɤɨɪɨɛɤɭ 5×4×2. Ɉɞɧɚ ɢɡ ɞɟɬɚɥɟɣ (ɬɟɦɧɚɹ) ɫɜɨɟɣ ɮɨɪɦɨɣ ɧɚɩɨɦɢɧɚɟɬ ɢɡɜɟɫɬɧɵɣ ɚɦɟɪɢɤɚɧɫɤɢɣ ɛɨɦɛɚɪɞɢɪɨɜɳɢɤ Ȼ-2 «ɋɩɢɪɢɬ», ɤɨɬɨɪɵɣ ɫɤɨɧɫɬɪɭɢɪɨɜɚɧ ɩɨ ɬɟɯɧɨɥɨɝɢɢ «ɫɬɟɥɫ», ɩɪɢɡɜɚɧɧɨɣ ɫɧɢɡɢɬɶ ɟɝɨ ɡɚɦɟɬɧɨɫɬɶ ɞɥɹ ɪɚɞɚɪɨɜ. ɋɩɟɰɢɚɥɶɧɚɹ ɮɨɪɦɚ ɮɸɡɟɥɹɠɚ ɢ ɤɪɵɥɶɟɜ, ɚ ɬɚɤɠɟ ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɦɵɟ ɪɚɞɢɨɩɨɝɥɨɳɚɸɳɢɟ ɦɚɬɟɪɢɚɥɵ ɩɪɢɜɨɞɹɬ ɤ ɬɨɦɭ, ɱɬɨ ɜ ɫɬɨɪɨɧɭ ɢɫɬɨɱɧɢɤɚ ɨɬɪɚɠɚɟɬɫɹ ɤɪɚɣɧɟ ɦɚɥɚɹ ɞɨɥɹ ɢɫɩɭɳɟɧɧɨɝɨ ɢɡɥɭɱɟɧɢɹ. ȼɢɞɢɦɨ, ɮɨɪɦɚ ɷɬɨɣ ɞɟɬɚɥɢ ɢ ɩɨɞɫɤɚɡɚɥɚ ɚɜɬɨɪɭ, ɚɦɟɪɢɤɚɧɫɤɨɦɭ ɢɡɨɛɪɟɬɚɬɟɥɸ ɢ ɦɚɫɬɟɪɭ ɪɚɛɨɬɵ ɫ ɞɟɪɟɜɨɦ Ⱦɠɟɮɮɪɢ Ȼɚɫɥɚɞɢɧɫɤɢ (Jeffrey Basladynski), ɧɚɡɜɚɧɢɟ ɝɨɥɨɜɨɥɨɦɤɢ. ȼ ɫɢɥɭ ɫɢɦɦɟɬɪɢɢ ɭ ɧɟɟ ɟɫɬɶ ɪɟɲɟɧɢɟ, ɜ ɤɨɬɨɪɨɦ ɬɟɦɧɚɹ ɞɟɬɚɥɶ, «ɫɚɦɨɥɟɬɢɤ», ɛɭɞɟɬ ɩɨɥɧɨ- ɫɬɶɸ ɫɤɪɵɬɚ ɜɧɭɬɪɢ ɤɨɪɨɛɤɢ. ȼ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɝɨɥɨɜɨɥɨɦɤɚ ɩɨɥɧɨɫɬɶɸ ɨɩɪɚɜɞɚɟɬ ɫɜɨɟ ɧɚɡɜɚɧɢɟ: ɫɚɦɨɥɟɬ ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɨ ɫɬɚɧɟɬ «ɫɬɟɥɫɨɦ». ɀɟɥɚɟɦ ɭɫɩɟɯɨɜ ɜ ɪɟɲɟɧɢɢ! ȿ.ȿɩɢɮɚɧɨɜ

№8 2021 АВГУСТ Ю НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ ИЗДАЕТСЯ С ЯНВАРЯ 1970 ГОДА В номере: УЧРЕДИТЕЛИ 2 Теория чисел в работах Чебышёва. М.Королев 10 Поэзия и законы физики. А.Стасенко Российская академия наук ЗАДАЧНИК «КВАНТА» Математический институт им. В.А.Стеклова РАН 13 Задачи М2662–М2665, Ф2669–Ф2672 14 Решения задач М2650–М2653, Ф2657–Ф2660 Физический институт им. П.Н.Лебедева РАН «КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР 21 Задачи 22 Таинственная шкала, или Небольшое А.А.Гайфуллин расследование. С.Дворянинов РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ ШКОЛА В «КВАНТЕ» Н.Н.Андреев, Л.К.Белопухов, М.Н.Бондаров, А.А.Варламов, 25 «Не забудьте про часы!» С.Парновский С.Д.Варламов, А.П.Веселов, МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК А.Н.Виленкин, Н.П.Долбилин, С.А.Дориченко, В.Н.Дубровский, 27 Построение средней линии трапеции. А.А.Заславский, А.Я.Канель-Белов, П.А.Кожевников (заместитель главного А.Грибалко редактора), С.П.Коновалов, К.П.Кохась, А.А.Леонович, Ю.П.Лысов, А.Б.Минеев, ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ В.Ю.Протасов, А.М.Райгородский, А.Б.Сосинский, А.Л.Стасенко, В.Г.Сурдин, 31 Энергия ионизации водородоподобных ионов. В.М.Тихомиров, В.А.Тихомирова, А.В.Устинов, А.И.Черноуцан С.Варламов (заместитель главного редактора) КАЛЕЙДОСКОП «КВАНТА» РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ 32 Вычисления и оценки А.В.Анджанс, М.И.Башмаков, В.И.Берник, А.А.Боровой, В.В.Козлов, ОЛИМПИАДЫ С.П.Новиков, А.Л.Семенов, С.К.Смирнов, А.Р.Хохлов 36 LXII Международная математическая олимпиада 38 XXVIII Международная олимпиада школьников «Туймаада». Физика РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ МАТЕРИАЛЫ 1970 ГОДА 41 Национальный исследовательский ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР университет «МИЭТ». И.К.Кикоин 46 Ответы, указания, решения ПЕРВЫЙ ЗАМЕСТИТЕЛЬ ГЛАВНОГО РЕДАКТОРА Нам пишут (12) А.Н.Колмогоров Вниманию наших читателей (20, 64) НА ОБЛОЖКЕ Л.А.Арцимович, М.И.Башмаков, В.Г.Болтянский, И.Н.Бронштейн, Н.Б.Васильев, И.Ф.Гинзбург, I Иллюстрация к статье С.Парновского В.Г.Зубов, П.Л.Капица, В.А.Кириллин, II Коллекция головоломок Г.И.Косоуров, В.А.Лешковцев, В.П.Лишевский, III Шахматная страничка А.И. Маркушевич, М.Д.Миллионщиков, IV Прогулки с физикой Н.А.Патрикеева, Н.Х.Розов, А.П.Савин, И.Ш.Слободецкий, М.Л.Смолянский, Я.А.Смородинский, В.А.Фабрикант, Я.Е.Шнайдер

Теория чисел в работах Чебышёва М.КОРОЛЕВ ХАРАКТЕРНОЙ ЧЕРТОЙ МНОГИХ пример, что простые числа встречаются в великих математиков прошлого была натуральном ряду гораздо реже, чем чле- их лаконичность. Число написанных ими ны любой арифметической прогрессии. Но работ могло быть небольшим, но каждая функций с таким свойством много. Какую из них оказывалась настоящей сокровищ- следует предпочесть? Изучая таблицу про- ницей идей, открывала новые направле- стых чисел, не превосходящих миллиона, ния в науке и обеспечивала широкое поле Лежандр заметил, что в ее пределах пове- деятельности многим поколениям иссле- дователей. К числу таких ученых принад- дение S x хорошо описывается прибли- лежит наш выдающийся соотечественник Пафнутий Львович Чебышёв (1821–1894). женной формулой В этом очерке мы расскажем о его вкладе в один из красивейших разделов математи- Sx | ln x , где D 1,08366. (1) ки – теорию чисел. x D Как выяснилось позже, значение посто- Функция, считающая простые числа янной D нуждается в небольшой поправке. Важнейшим объектом в теории чисел Тем не менее, скорость роста S x была угадана верно. Еще более точное предпо- была и остается функция S x , равная ложение высказал «король математиков» количеству простых чисел, не превосходя- щих x.1 Теорема Евклида о том, что мно- Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) в 1849 жество простых бесконечно, означает, что эта функция неограниченно возрастает с году в письме к немецкому астроному ростом x. Но вот вопрос: с какой скорос- тью она это делает? Иоганну Францу Энке (1791–1865), но Идея, лежащая в основе решета Эрато- это письмо долгое время не было известно сфена2 , позволила Адриену Мари Лежан- дру (1752–1833) в конце XVIII столетия научной общественности. доказать, что отношение S x x с ростом x Этим, собственно, и ограничивались все наши знания о S x до появления работ приближается к нулю. Это означает, на- Чебышёва. Функция, считающая простые 1 О простых числах, S x и упомянутых числа, не спешила раскрывать свои тайны. далее функциях \\ x , / n , о дзета-функции Что мы знаем о S x сейчас? Римана и ее нулях рассказывается в статье автора «Обманчивая простота простых чисел» Чтобы рассказать о вкладе Чебышёва в («Квант» № 3 за 2020 г.). изучение простых чисел, нам придется немного забежать вперед и сперва расска- 2 О решете Эратосфена и некоторых его свойствах можно прочитать, например, в стать- зать о том, что известно о S x сейчас. ях А.Бендукидзе «О простых числах» («Квант» № 4 за 1973 г.) и А.Колмогорова «Решето Оказывается, очень точным приближени- Эратосфена» («Квант» № 1 за 1974 г.). ем к S x служит специальная функция DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210801 Li x , которая называется интегральным логарифмом x (читается: «ли от икс»; рис.1). Слово «специальная» отражает здесь тот факт, что функция Li x не может быть выражена в виде конечной комбинации элементарных функций: мно- гочленов, логарифмов, экспонент и ради- калов. Однако составить представление о

ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ В РАБОТАХ ЧЕБЫШЁВА 3 Li(x) Sx R(x) Рис. 1 Рис. 2 том, как ведет себя этот загадочный интег- членов меньшего порядка совпадает с Li x . Асимптотический закон распределения ральный логарифм, все-таки можно. Представим себе, что число x достаточно простых чисел (а.з.р.п.ч.) в современной форме утверждает, что разность R x меж- велико. Тогда «первым приближением» к ду «счетчиком» простых чисел S x и интегральным логарифмом при всех дос- Li x служит дробь x ln x, а погрешность такого приближения r1 x Li x  x таточно больших x удовлетворяет нера- ln x венству оценивается по модулю величиной Rx d x exp §  5 ln x 0,6 · ¨¨© ln ln x 0,2 ¹¸¸. c1x ln x 2, где c1 ! 0 – некоторая постоян- Точность оценки R x зависит от наших ная. Можно указать «второе», «третье» и дальнейшие приближения: знаний о местоположении так называемых Li x x  x  r2  x , комплексных нулей дзета-функции Рима- ln x ln x 2 на. Несложно проверить (сделайте это!), r2 x d c2x , что правая часть этого неравенства при ln x 3 неограниченном возрастании x растет Li x x  x  2x  r3 x , медленнее всякой функции вида x ln x N, ln x ln x 2 ln x 3 где N ! 1 – любое заданное число. Отметим, что простейшая форма r3 x d c3x , а.з.р.п.ч. утверждает, что отношение S x ln x 4 к величине x ln x с ростом x неограничен- … но приближается к единице. Это означает, Li x x  1! x  2!x … что для любого сколь угодно малого числа ln x ln x 2 ln x 3 H ! 0 наступит такой момент x0 H , начи- ная с которого неравенства n  1 ! x 1  H x  Sx  1  H x (2) ln x n ln x ln x …   rn  x , rn x d cn x . будут выполняться для всех x без исклю- чений (рис.2). ln x n1 Два мемуара о простых числах Если x очень большое, то второе слагаемое в таких формулах поменьше первого, тре- Мировую известность Чебышёву при- тье – поменьше второго и так далее. несли два его «мемуара» (так принято было называть тогда научные статьи): Предположение Гаусса, собственно, в «Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины» (1848) том и состояло, что S x с точностью до

4 КВАНT $ 2021/№8 и «О простых числах» (1850). В первом нить единицей. Важно подчеркнуть: Че- было установлено следующее замечатель- бышёв не смог доказать, что функция ное свойство функции S x . Оказывается, y x x ln x  1 невозможно подобрать положительные постоянные N и H так, чтобы график аппроксимирует S x с указанной точно- функции y S x при всех достаточно стью, т.е. что больших x лежал либо целиком над графи- ком функции Sx  y x d cx y1 x Li x  Hx , ln x 3 ln x N для некоторой положительной постоянной c, но доказал, что если бы такая аппрокси- либо целиком под графиком функции мация существовала, то она совпадала бы y2 x Li x  Hx . с y x . ln x N Во втором мемуаре Чебышёв нашел гра- Иначе говоря, график y S x время от ницы для S x , подобные (2), но менее времени обязан «возвращаться» в пока- точные: занную на рисунке 3 полосу. Конечно, это a  H x  Sx  b  H x , ln x ln x Sx где a 0,92129202… и y1 x b 1,10555042…, (3) y2 x в которых H ! 0 – сколь угодно маленькая Рис. 3 константа, а x t x0 H . Ниже мы докажем еще не а.з.р.п.ч.: справедливость послед- неравенства (3), правда, в несколько ме- нее точной форме. Основная идея доказа- него означает, что график y S x рано тельства состоит в том, чтобы связать поведение одной хорошо известной функ- или поздно войдет в любую такую полосу и уже никогда из нее «не вырвется». Но ции T x с введенной Чебышёвым функ- это утверждение позволило Чебышёву стро- цией \\ x , которая как раз и отвечает за го доказать, что если предел отношения распределение простых чисел. Последняя S x к x ln x все-таки существует3 , то он с тех пор получила название функции Чебышёва. обязательно равен единице. Кроме того, из результатов первого мемуара следовало, Доказательство теоремы Чебышёва что предложенная Лежандром формула Для положительного x функция Чебы- (1) не может представлять S x с точнос- тью до слагаемого порядка x ln x 3: для шёва \\ x определяется как сумма по всем этого значение D в ней следовало бы заме- натуральным n d x значений величины 3 Именно существование такого предела и / n , равной ln p, если n есть степень оставалось главной трудностью в доказатель- стве а.з.р.п.ч., которую с успехом независимо простого числа p, и равной нулю в против- друг от друга преодолели в 1896 году Жак ном случае: Саломон Адамар (1865–1963) и Шарль Жан де ла Валле Пуссен (1866–1962). \\ x ¦ / n (4) ndx (если 0  x  2, то \\ x тождественно рав- на нулю). О роли, которую играют вели- чины \\ x и / n в исследовании простых чисел, рассказывается в уже упоминав- шейся статье автора. В ней же было уста-

ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ В РАБОТАХ ЧЕБЫШЁВА 5 новлено одно очень полезное свойство / n . \\ x  \\ § x ·  \\ § x ·  \\ § x ·  \\ § x ·  ¨© 2 ¸¹ ©¨ 3 ¸¹ ©¨ 4 ¹¸ ©¨ 5 ¸¹ Оказывается, при любом n выполняется тождество § x · ¨© 6 ¸¹ ln n ¦ / d , (5)  \\  … dn Сгруппируем члены в правой части так: где символ d n означает сумму по всем второй с третьим, четвертый с пятым и т.д.: делителям числа n. Q x \\ x  § \\ § x ·  \\ § x · ·  Следуя Чебышёву, для x t 2 обозначим ¨© ¨© 2 ¸¹ ¨© 3 ¸¹ ¸¹ через T x сумму логарифмов всех нату- § § x · § x · · ©¨ ¨© 4 ¸¹ ¨© 5 ¹¸ ¹¸ ральных чисел, не превосходящих x: T x ¦ ln n.  \\  \\  … ndx (6) Пользуясь тождеством (5), преобразуем Однако \\ – неубывающая функция. Зна- чит, каждое из выражений в скобках нео- T x . Прежде всего, трицательно. Отсюда заключаем T x ¦ ¦ / d . \\ x t Q x . (8) ndx d n Иная группировка слагаемых приводит Напомним, что запись d n означает, что нас к такому неравенству: n dm, где m – целое число. Переходя к суммированию по m и d, получим Q x § \\ x  \\ § x · ·  ©¨ ¨© 2 ¹¸ ¸¹ T x ¦ / d ¦ ¦ / d . dmdx mdx ddx m § § x · § x ·· x § x ¹·¸. (9)  ¨© \\ ©¨ 3 ¹¸  \\ ©¨ 4 ¹¸ ¹¸  t \\  \\ ©¨ 2 Зафиксируем какое-нибудь m во внешней … сумме и приглядимся повнимательней к Соотношения (8) и (9) играют в доказа- тельстве теоремы Чебышёва ключевую сумме по переменной d: да ведь это значе- роль. ние функции Чебышёва в точке x m. Итак, Теперь настало время познакомиться нами доказано тождество поближе с функцией T x . T x ¦md \\ § x · Пусть x t 2, а N – целая часть x, т.е. ¨© m ¸¹ наибольшее целое число, не превосходящее x x, так что N d x  N  1. Тогда в сумме T x \\ x  \\ § x ·  \\ § x ·  \\ § x ·  … (7) ©¨ 2 ¹¸ ©¨ 3 ¹¸ ©¨ 4 ¹¸ легко опознать логарифм факториала: Таким образом, величину T x можно N восстановить по значениям \\-функции в T x ¦ ln n ln 1˜ 2 ˜ 3 ˜… ˜ N ln N! . точках x m, m 1, 2, 3, 4,... Вот если бы n1 удалось сделать обратное – выразить \\-функ- Но для числа N! имеются весьма точные цию через T x , хотя бы приближенно... двусторонние неравенства4 Именно это и проделал Чебышёв. Рассмотрим выражение 4 Иногда эти неравенства заменяют одним Q x T x  2T § x ¹·¸. соотношением T ¨© 2 N! 2SN § N ·N e12N, где 0  T  1, ©¨ e ¸¹ Заменяя в правой части каждое из слагае- которое называется формулой Стирлинга в мых по формуле (7), получим честь шотландского математика Джеймса Стир- Q x \\ x  \\ § x ·  \\ § x ·  \\ § x ·  линга (1692–1770). Ее доказательство не так ¨© 2 ¹¸ ©¨ 3 ¸¹ ©¨ 4 ¹¸ просто, и мы его не приводим. О числе «e», § x · § x · § x · § x · входящем в эту формулу, читатель сможет ¨© 5 ¹¸ ¨© 2 ¹¸ ©¨ 4 ¸¹ ¨© 6 ¸¹  \\  …  2\\  2\\  2\\  … узнать из статьи Е.Кузьмина, А.Ширшова «О числе e» («Квант» № 8 за 1979 г.).

6 КВАНT $ 2021/№8 2SN § N ·N N!  2SN § N ·N 1 Из (9) и (13) находим ¨© e ¹¸ ©¨ e ¹¸  e12 N , \\ x  \\ § x ·  x ln 2  5 ln x. ©¨ 2 ¹¸ логарифмируя которые, получим оценки Заменим в этом неравенстве величину x для T x : последовательно на x 2, x 4, x 8,… и выпи- N ln N  N  1 ln N  1 ln 2S  T x  шем получившиеся соотношения в столбик: 22 x § x · ln ln  N ln N  N  1 ln N  1 ln 2S  1 . \\  \\ ¨© 2 ¹¸  x 2  5 x, 2 2 12N § x · § x · x ln 2 5 ln x Можно показать, что функция f n \\ ©¨ 2 ¹¸  \\ ©¨ 22 ¹¸  2  2 , u ln u  u  1 ln u монотонно возрастает \\ § x ·  \\ § x ·  x ln 2  5 ln x , 2 ©¨ 22 ¸¹ ¨© 23 ¹¸ 22 22 при u t 1. Поэтому, заменяя N на x и … немного огрубляя получившуюся оценку, будем иметь: \\ § x ·  \\ § x ·  x ln 2  5 ln x . ©¨ 2k1 ¹¸ ¨© 2k ¹¸ 2k1 2k1 T x  x ln x  x  1 ln x  1 ln 2S  1  2 2 24 Номер k шага, на котором следует остано-  x ln x  x  1 ln x  1. (10) виться, определим из условий1 d x 2k  2, 2  так что k d log2 x. Сложив неравенства Заметим теперь, что почленно и пользуясь тем, что \\ x 2k 0, ln x  1 ! ln x  2. (11) найдем x \\ x  x §©¨1  1  1 … 1 · ln 2  Действительно, (11) равносильно нера- 2 22 2k1 ¹¸ венству 1  1 x x ! e2, которое подста- новкой x 1  t сводится к неравенству  5k ln x  2 ln 2 x  8 ln x 2. 1  1 t 1t  e2. Последнее же легко следу- ет из соотношения 1  1 t t  e.5 Поэтому, Итак, для любого x t 2 функция Чебышё- оценивая T x снизу с помощью (11), ва удовлетворяет неравенствам найдем 1 x ln 2  5 ln x  \\ x  2 ln 2 x  8 ln x 2. 2 T  x ! x  1 ln x  1  x  1  ln x  1  Все, что нам осталось, – перейти от \\ x к S x . Но это делается с помощью тех  1 ln 2S ! x ©¨§ ln x  2 ·  x  2 ln x  1  1 ! 2 x ¸¹ x рассуждений, что применялись при реше- нии задачи 3 к предыдущей статье автора.6 ! x ln x  x  1 x  1. (12) 2 Так, для заданного H ! 0 и всех x t x0 H Из (10) и (12) уже нетрудно вывести найдем: (сделайте это самостоятельно) неравенства ln 2  H x  Sx  2 ln 2  H x . ln x ln x x ln 2  5 ln x  Q x  x ln 2  5 ln x, (13) Почему найденные нами границы для которые справедливы при всех x t 2. S x уступают по точности неравенствам 5 Согласно одному из возможных определе- ний, число e – предел последовательности (3)? Дело в том, что сам Чебышёв в an 1  1 n n, n = 1, 2, 3, …, монотонное возра- качестве Q x рассматривал более слож- ную комбинацию величин T x , а именно стание которой можно доказать «школьными» средствами. Монотонное возрастание функции T x  T § x ·  T § x ·  T § x ·  T § x ·¸¹. ©¨ 2 ¹¸ ¨© 3 ¸¹ ©¨ 5 ¹¸ ¨© 30 1  1 t t при t ! 0 является менее очевидным 6 См. «Квант», 2020, № 3, с. 57. фактом и потому приводится здесь без доказа- тельства.

ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ В РАБОТАХ ЧЕБЫШЁВА 7 Поэтому получившиеся у него значения ницу вправо: постоянных оказались равными7 2 12  1, 5 22  1, 17 42  1, 37 62  1, a 1 ln 2  1 ln 3  1 ln 5  1 ln 30 101 102  1, 197 142  1 и т.д. 2 3 5 30 6 иb 5 a. Конечна или нет эта последовательность? По-видимому, да, но точный ответ на этот В 1881 году американский математик вопрос не получен до сих пор.8 Джеймс Джозеф Сильвестр (1814–1897) Если какая-то задача долго не поддается решению, то имеет смысл немного «поше- путем довольно тонких и сложных вычис- велить» ее условие и рассмотреть близкую к ней, но более простую задачу. В нашем лений, в основе которых лежал метод Че- случае можно пойти по пути, который наметил Чебышёв. бышёва, доказал неравенства (3) с постоян- ными a 0,956… и b 1,045… Вероятно, Рассмотрим произведение отчаявшись вывести а.з.р.п.ч. с помощью рассуждений такого рода, Сильвестр за- кончил свою статью словами: «...по-види- P N – n2  1 ndN мому, нам придется ждать рождения на свет такого человека, который бы настоль- и обозначим через H N его наибольший ко превосходил Чебышёва в проницатель- простой делитель. Если последователь- ности и прозорливости, насколько сам Че- ность (14) все же бесконечна, то ясно, что бышёв превосходил в этих качествах обыч- для бесконечного множества значений N ный человеческий уровень». Спустя полто- будет выполнено неравенство N N2   1 ! N2. ра десятка лет асимптотический закон был H доказан, причем ключевую роль в этом Можно ли что-то сказать о величине сыграли дзета-функция Римана и ее нули. H N без каких-либо предположений о Но интерес к «элементарным» методам последовательности (14)? Оказывается, (т.е. не использующим средств теории фун- можно. И первым, кому это удалось, стал кций комплексного переменного) исследо- Чебышёв. После его кончины среди бумаг вания S x не иссяк. Просто теперь движу- был обнаружен листок с наброском дока- щей силой стал поиск элементарного дока- зательства того факта, что отношение зательства а.з.р.п.ч. Этот поиск увенчался H N N неограниченно возрастает с ро- успехом в 1948 году, когда Атле Сельберг стом N (фактически, из рассуждений Че- (1917–2007) первым нашел такое доказа- бышёва следовала оценка вида H N t тельство. Сейчас элементарные методы за- t cN ln N, где c ! 0 – постоянная). Восста- нимают весьма важное место в арсенале новленное Андреем Андреевичем Марко- современной теории чисел. вым (1856–1922) полное доказательство Простые числа в последовательности этого утверждения было опубликовано в «сдвинутых квадратов» 1895 году. Что общего у простых чисел ряда Спустя некоторое время эта задача при- 2, 5, 17, 37, 101, 197, …? (14) влекла внимание ученых. Ею занимались Приглядевшись к ним, можно увидеть, что все они – квадраты, «сдвинутые» на еди- Иван Иванович Иванов (1862–1939), Пал Эрдёш (1913–1996), Тригве Нагелл (1895– 1988) и Кристофер Хооли (1928–2018), 7 Более подробно с выкладками можно озна- которому принадлежит первая (1967) оцен- комиться по статье М.Башмакова «О постула- те Бертрана» («Квант» № 5 за 1971 г.) или же ка вида H N t N1EH ln N с E 0,1 (здесь по оригинальной работе П.Л.Чебышёва (Пол- H – сколь угодно малое положительное ное собрание сочинений П.Л.Чебышёва. Том I. Теория чисел. – М.-Л., Изд-во АН СССР, 8 Составлена таблица всех простых чисел 1946. – С.191–208). такого вида, не превосходящих 1020. Наиболь- шее из них – простое число p 2k 2  1, где k 4999999978.

8 КВАНT $ 2021/№8 число). Результат Хооли впоследствии Чтобы понять глубинные причины тако- неоднократно уточнялся: E 0,202468… го «неравноправия» в мире простых чи- (Ж.-М.Дезуйе и Х.Иванец, 1982), сел, математикам пришлось принять на E 0,2182… (Р. де ла Бретеш и С.Драпье, веру, без доказательства, некоторые ут- 2019), E 0,279… (Й.Мерикоски, 2019). верждения о нулях функций, подобных «Чебышёвское смещение» дзета-функции Римана ] s . Выяснилось, что хотя каждое из неравенств Какие остатки дают простые числа при S x;4,3 ! S x;4,1 , S x;4,1 ! S x;4,3 делении на 4? Если не брать в расчет двойку – единственное четное простое чис- может выполняться при сколь угодно боль- ло, то такими остатками будут единица и ших x, первое выполняется «гораздо чаще». тройка. Иначе говоря, все нечетные про- Что это означает? Для количественной стые числа содержатся в двух арифмети- характеристики множеств A и B решений ческих прогрессиях: 4n  1 и 4n  3, где этих неравенств математики придумали n 0, 1, 2, … Бесконечно или нет множе- способ, суть которого заключается в сле- ство простых в каждой из них? Утверди- дующем. Хорошо известна формула тельный ответ на этот вопрос дал еще в ¦1 1838 году Петер Густав Лежен Дирихле lnN  U N , (1805–1859). ndN n Более того, этот факт верен для всякой где U N d 1 при всех N t 1. Если перепи- арифметической прогрессии qn  a, n 0, сать ее в виде 1, 2, …, первый член и разность которой ¦1 1 1  UlnNN , взаимно просты: q,a 1. Количество та- ln N ndN n ких прогрессий, отвечающих одной и той а затем устремить N к бесконечности, то же разности q, совпадает со значением правая часть будет приближаться к едини- це. Составим теперь выражения M q функции Эйлера.9 Оказывается, что ¦1 1 GA N и простые числа распределены по таким ln N ndN,nA n прогрессиям более-менее равномерно. Если ¦1 1 GB N обозначить через S x;q,a количество про- ln N ndN,nB n стых p, не превосходящих x и имеющих и станем следить, что будет происходить с вид p qn  a, то в «первом приближе- ними, когда N неограниченно возрастает. Оказывается, что они приближаются к нии» эта величина ведет себя как S x M q . некоторым положительным величинам GA, GB, сумма которых равна единице. Эти-то В частности, величины и было решено взять в качестве S x;4,1 | Sx и S x;4,3 | S x . 2 2 Однако Чебышёв, исследуя поведение частоты выполнения соответствующих не- равенств.10 Кропотливые подсчеты, пред- бесконечной суммы принятые М.Рубинштейном и П.Сарна- ¦ 1 p1 2 epx ком (1994), показывают, что GA 0,9959…, а GB 0,0041… pt3 p – простое Еще более яркий пример чебышёвского смещения наблюдается в случае прогрес- при положительном x, стремящемся к нулю, сий 3n  2 и 3n  1. Определяя A и B как заметил, что простых вида 4n  3 как буд- множества тех чисел x ! 0, для которых то бы все же «побольше», чем простых выполнены, соответственно, неравенства вида 4n  1. 9 О функции Эйлера и ее свойствах можно S x;3,2 ! S x;3,1 , S x;3,1 ! S x;3,2 , узнать из статей С.Гиндикина «Малая теорема Ферма» («Квант» № 10 за 1972 г.) и А.Кирил- будем иметь: GA 0,9990…, GB 0,0001… лова «О правильных многоугольниках, функ- 10 В оригинале вместо суммы по целочислен- ции Эйлера и числах Ферма» («Квант» № 7 за 1977 г. и № 6 за 1994 г.). ной переменной n использовался интеграл по «непрерывной» переменной x.

ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ В РАБОТАХ ЧЕБЫШЁВА 9 Аналоги этого замечательного явления Это утверждение нашло приложения в были обнаружены и в более экзотических теории квадратичных форм и геометрии ситуациях, уже не связанных напрямую с чисел. простыми числами в прогрессиях. Глубоко проанализировав и обобщив «Теория сравнений» тождество Каталана12 и другие вопросы 1 1  1  1 …  1 n 1 1  Напомним, что два целых числа a и b 2 3 4 2n  называются сравнимыми по модулю m t 2, 1 1 если их разность делится на m без остат-  n  2  …  2n , ка.11 Этот факт принято записывать в виде Чебышёв нашел (1876) представление вся- a { b mod m . Такие выражения называ- кого вещественного числа a в виде беско- ются сравнениями. нечной суммы дробей, знаменателями ко- Изучение свойств сравнений и составля- торых служат последовательные квадраты ет предмет теории, вынесенной в заголо- вок настоящего раздела. Особое место в натуральных чисел: этой теории уделяется вопросам разреши- мости сравнений вида a '1 a  '2 a  '3 a  '4 a  …, f x { 0 mod m , где 12 22 32 42 f x anxn  …  a1x  a0 где  S2 ln 2 – многочлен с целыми коэффициентами, а 'k a 4 >u@  1 k ˜ 1 >2u@, u k 6a . x – переменная. Огромный вклад в теорию 24 сравнений внесли Пьер Ферма (1601– 1665), Леонард Эйлер (1707–1783), Жо- Прочие теоретико-числовые работы Че- зеф Луи Лагранж (1736–1813), уже упо- бышёва посвящены изучению бинарных минавшиеся выше К.Ф.Гаусс, А.М.Ле- квадратичных форм вида x2 r ay2, а также жандр и другие ученые. задаче обращения бесконечных рядов вида Однако долгое время не существовало F x f x  f 2x  f 3x  курса, который с ясностью и полнотой излагал бы как основы, так и важнейшие  f 4x  f 5x  …, достижения этой теории, такие, как, на- пример, закон взаимности квадратичных F x f x  f 2x  f 3x  вычетов. Чебышёв, глубоко изучив труды предшественников, создал такой курс  f 4x  f 5x  …, (1848), обогатив теорию чисел многими методологическими находками. К слову, F x f x  f 3x  f 5x  ряд теорем Чебышёва из «Теории сравне- ний» вошел впоследствии в широко извес-  f 7x  f 9x  … тный учебник Ивана Матвеевича Виногра- дова (1891–1983) «Основы теории чисел». (под обращением понимается выражение В золотой фонд математики вошла и функции f x через F x ). знаменитая теорема Чебышёва (1868) о том, что для любого иррационального чис- Научное наследие Пафнутия Львовича ла a и произвольного вещественного числа Чебышёва до сих пор не потеряло своей b существует бесконечное множество пар актуальности. «Читайте классиков, в них написано больше, чем в них написано», – целых чисел x, y , для которых призывал выдающийся советский матема- тик Алексей Георгиевич Постников (1921– ax  b  y  2 . 1995). Эти слова в полной мере можно x отнести к работам Чебышёва. Нет сомне- ния, что они еще долго будут служить 11 О сравнениях можно прочесть в уже источником новых идей и вдохновения для упоминавшейся статье С.Гиндикина. будущих поколений математиков. 12 Эжен Шарль Каталан (1814–1894) – бель- гийский математик.

Поэзия и законы физики А.СТАСЕНКО Зачем от гор и мимо башен нагрева земной поверхности, и заставляет Летит орел, тяжел и страшен, реки течь по ее наклону. На чахлый пень? Спроси его. Зачем арапа своего А вращение Земли привело к формули- Младая любит Дездемона, ровке еще одного закона. Двигаясь, напри- Как месяц любит ночи мглу? мер, вдоль меридиана по направлению к Затем, что ветру и орлу экватору (vT), воздух атмосферы и вода в И сердцу девы нет закона. реке попадают на все более южные парал- лели (рис.1), где линейная скорость по- А.С.Пушкин Рис. 1. Элемент массы воды при переходе на ЭТИСЛОВА,ВЛОЖЕННЫЕПОЭТОМ более южную параллель испытывает толчок в уста итальянского импровизатора, справа; аналогично, воздух отклоняется вправо не оставили равнодушным Законопослуш- верхности (vM) все больше и больше; таким образом, правый берег реки набегает на ного ученика. Да неужто так можно? текущую с севера массу воды, имевшую меньшую переносную скорость. И тут воз- Он прежде всего вспомнил закон Дани- никает закон очень наблюдательного Кар- ла Бэра (1792–1876): в северном полуша- ила Бернулли (1700–1782), открытый не рии у всех рек правые берега крутые. Но, по-видимому, еще раньше люди заметили, одну сотню лет назад. Для текущей жидко- что города и крепости лучше строить на высоком берегу, а на противоположном – сти или газа плотностью U он выглядит гулять по заливным лугам. И мореходы знали, что если стать лицом к ветру, то совсем просто: глаз тайфуна окажется справа. U v2  p  Ugh const. Физики описывают движение тел силой 2 Густава Кориолиса (1792–1843), действу- ющей на движущееся тело во вращающей- Первое слагаемое – объемная плотность ся системе координат, и силой Генриха Магнуса (1802–1870), действующей на кинетической энергии, второе – давление вращающееся тело, поступательно движу- Дж щееся в газообразной или жидкой среде. p, его размерность Н м3 , т.е. это тоже м2 плотность энергии (потенциальной), так же как и последнее слагаемое. Если это уравнение продифференцировать в направ- лении движения x, да еще учесть, что скорость v dx , то получим dt Uv dv U dv  dp  Ug dh , ( ) dx dt dx dx где все слагаемые имеют размерность объем- ной плотности силы, т.е. Н . м3 Но это же второй закон Исаака Ньютона (1643–1727) для единицы объема движу- щейся среды! Он повелевает газу или жидкости ускоряться в направлении паде- ния давления. Он-то и вызывает и легкие бризы, и ураганы – из-за неравномерного DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210802

ПОЭЗИЯ И ЗАКОНЫ ФИЗИКИ 11 Однако, сколько законов и сил вспомни- Как известно, сила со- лось нашему герою! противления, действую- Для тех, кто не боится страшных слов, добавим еще кое-что об уравнении ( ). Оно щая на тело при его дви- записано для частного случая одномерного потока. В общем случае, конечно, в него жении со скоростью v в должны войти изменения давления по трем среде плотностью U, рав- v на Uv2sAc, где sA – пло- координатным осям x, y, z. Тогда вместо щадь поперечного сече- ния, а с – безразмерный dp пишут ’p, где ’ i w  j w  k w – коэффициент, завися- dx wx wy wz щий от аэродинамиче- ского совершенства тела. дифференциальный оператор, называемый При падении с большой также «оператор набла» (i , j, k – единич- высоты установившаяся Рис. 2. Эволюция ные векторы по осям х, у, z соответствен- формы орла, из- но). Вспоминается физтеховская сказка скорость падения опре- бравшего цель «Как три вектора детерминант в ноль деляется равенством выше упомянутых сил: обратили», в которой фигурирует ужас- ная Набла-Яга. mg Uv2sAc. Принимая для оценки, что орел превра- Если этот оператор применить к скаляр- тился в шар, найдем ной функции, он называется градиентом sA Sr2, m 4 SUor 3. этой функции, если к вектору – он превра- 3 щается в дивергенцию этого вектора. А что такое давление? О нем закон статики Бле- Последнее соотношение есть закон сохра- за Паскаля (1623–1662) гласит: давление, нения массы, здесь Uo – среднеобъемная оказываемое на жидкость или газ, переда- плотность орла (не путать с плотностью ется в любую точку без изменений во всех воздуха U!). В результате для скорости v получим направлениях. Такого не скажешь ни о скаляре (например, о температуре, плот- 1 ности), ни о векторе (например, о скоро- § ·2 сти, ускорении), который по определению ¨¸ имеет четкое направление. Значит, давле- ¨ ¸ v ¨ mg ¸ . ние – не скаляр и не вектор, а (страшно ¸ сказать!) – тензор. А тогда ’p есть дивер- ¨ cUS § 3 m 2 ¸ генция тензора давления. Если вы объяви- ¨ ¨ 4S Uo ¸¹ те это в автобусе, вам уступят место. ¨© © ·3 ¸ А что же орел, упомянутый в эпиграфе? ¹ Неужто он не подчиняется никаким зако- нам? Увы, чтобы держаться в воздухе, он Для безразмерного коэффициента с мож- должен любым способом направлять по- но принять значение 1, близкое к тому, ток импульса воздуха, равный весу его тела, вниз. А для того чтобы как можно 4 которое получил еще Исаак Ньютон. Оце- скорее добраться до конечной цели на земле (конечно, «чахлый пень» может нив численно величину этой скорости, орел может рассчитать и время t h, за подождать, но если это юркий заяц?), орел должен в свободном падении обеспе- v чить минимум сопротивления воздуха. Для которое он достигнет земли, падая с высо- этого он складывает крылья и старается ты h, например в километр. придать своему телу обтекаемую форму Принимая для оценок массу «тяжелого и (рис.2). страшного» орла равной m 10 кг, сред- нюю плотность его тела Uo 103 кг м3, плотность воздуха U 1 кг м3, найдем объем орла равным 10 л (типа хозяй- ственного ведра), радиус r 0,134 м и,

12 К В А Н T $ 2 0 2 1 / № 8 наконец, установившую- ны волны света O к диаметру зрачка d O. ся скорость падения (рис.3): sin T d Принимая среднюю v 85 м с. (В литерату- ∼ ре даны значения длину волны видимого света равной 240–360 км ч, т.е. O 0,5 мкм 5 ˜ 107 м, а диаметр зрачка орла d 1 см 102 м, получим sin T | T | 67–100 м c.) Но с какой высоты орел | 5 ˜ 105. Если размер предмета, который может заметить желан- заинтересовал орла, равен l 0,5 м, то ную цель? На этот воп- l 104 м T рос отвечают законы вол- искомая высота составит h∼ новой оптики. Для того 10 км. Большой зрачок орла обеспечива- чтобы с расстояния h ет орлиное зрение. (Согласно опублико- ванным данным, беркут идентифицирует различить (или «разре- зайца на расстоянии до 2 км.) Конечно, нужно еще, чтобы эти два дифракционных шить», как говорят фи- пятна попали не на одну и ту же клетку сетчатки глаза, а, по крайней мере, на две Рис. 3. Дифрак- зики) две точки предме- соседние. ция на входном та как раздельные, нуж- И, наконец, «сердце девы»… Тут наш зрачке глаза но учесть дифракцию законолюбивый герой задумался, но знаю- волн, идущих щие люди подсказали, что в этом случае от двух точек света, поступающего от физика бессильна и следует обратиться к объекта и по- этих точек, на входном психофизиотерапии. павших на сет- зрачке глаза. Этот диф- ракционный угол оцени- чатку глаза вается отношением дли- НАМ ПИШУТ В этом номере в рубрике «Нам пишут» мы Чтобы доказать это, снова преобразуем сумму публикуем интересный результат Рауфа Рагимо- в произведение. Далее, используя неравенства на ва, учителя математического лицея №1 города квадраты сторон, справедливые для нетупоуголь- Зардоб (Азербайджан). «Я уже 40 лет как ваш ного треугольника: читатель. Каждый ваш номер жду с большим нетерпением», – добавляет теплые слова в адрес a2 d b2  c2, b2 d c2  a2, c2 d a2  b2, «Кванта» автор. запишем Вокруг задачи М852 ab ˜ bc ˜ сa ab bc ca В «Задачнике «Кванта» в номере 3 за 1984 год была опубликована следующая задача. a2  b2 b2  c2 c2  a2 М852. Пусть x, y, z – длины сторон треуголь- a  b 2 ˜ b  c 2 ˜ c  a 2 d ника. Докажите, что величина c2a2b2 xy yz zx xy yz zx d a  b 2 b  c 2 c  a 2 d меньше а) 1; б*) 1 8 . a2b2c2 1    d 2 2 2 . В решении использовались следующие сообра- 2 ab 2 bc 2 ca 64 жения. Во-первых, доказывалось, что сумма дан- ных дробей равна их произведению. Далее, мо- В последнем неравенстве мы использовали нера- дуль разности двух сторон треугольника оцени- венство между средним арифметическим и сред- вался сверху третьей стороной, после чего приме- ним геометрическим. нялось неравенство Коши. Из решения видно, что все неравенства одно- Зададимся вопросом, можно ли улучшить пред- временно не могут обращаться в равенства, поэто- ложенную оценку, если известно, что данный му интересно отыскать еще более точную оценку. треугольник остроугольный или прямоугольный? Р. Рагимов Оказывается, можно получить оценку сверху 1 16.

ЗАДАЧНИК «КВАНТА» Задачи по математике и физике Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электрон- ным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задача М2663 предлагалась на XX Математической олимпиаде «Шелковый путь». Задачи М2662–М2665, Ф2669–Ф2672 пень хотя бы одного из многочленов f и g не меньше чем n  1. M2662. В параллелограмме ABCD из его вершин внутрь него выпущены лучи (рис.1). В.Брагин Лучи, выходя- щие из вершин A Ф2669. Девятиклассник Вася – большой и D, пересекают- любитель автогонок. В прошлом году Вася ся в точке E, а построил график зависимости средних лучи, выходящие скоростей автомоби- из вершин B и лей от времени про- C, – в точке F. хождения дистан- Известно, что ции s1 (рис.2). В ‘BAE ‘BCF Рис. 1 этом году соревно- и ‘CDE ‘CBF. Докажите, что AB EF. вания проходили в другом городе, где В.Айзенштадт длина трассы была s2. Построив второй Рис. 2 M2663. Для каждого натурального m до- график в тех же координатах, Вася, от нечего делать, провел прямую через нача- 1 1. ло координат, которая пересекла графики 2 m 1 в точках A1 и A2. У Васи возник вопрос: m^ `  кажите неравенство!8 какой должна быть длина дистанции в следующем году, чтобы третий график А.Голованов прошел через точку A3, находящуюся на середине отрезка A1A2? Попробуйте и вы M2664. На плоскости дана точка O. Най- ответить на этот вопрос. дите все натуральные n, для которых мож- но покрасить n точек плоскости в красных В.Гребень цвет так, чтобы для любых двух красных точек A, B нашлась третья красная точка Ф2670. Сплошной однородный диск, ко- C такая, что O лежит строго внутри треу- торый лежит на гладкой поверхности, гольника ABC. может вращаться вокруг неподвижной вер- тикальной оси, проходящей через его центр, Фольклор без трения. На краю диска стоит спорт- смен. Система находится в покое. Спорт- M2665. Даны многочлены f x и g x . На смен делает один прыжок по направлению против часовой стрелки, чтобы попасть на координатной плоскости отметили точки A1 f 1 ;g 1 , A2 f 2 ;g 2 , …, An f n ; g n . Оказалось, что A1A2 … An – пра- вильный n-угольник. Докажите, что сте-

14 К В А Н T $ 2 0 2 1 / № 8 другой край диска. Когда спортсмен при- ме (может быть, других) n последова- землится на вращающийся диск, то ока- тельных натуральных чисел? жется в той точке, где он прыгнул. При этом диск не успеет совершить полный Ответ: при нечетных n. оборот. Найдите отношение массы спорт- Рассмотрим сумму n последовательных смена к массе диска. натуральных чисел: Б.Мукушев S k  k  1  k  2  …  k  n  1 Ф2671. К уединенному незаряженному nk  1  2  …  n  1 nk  n n  1 . плоскому конденсатору емкостью С снару- жи подносят точечный заряд q, располагая 2 его рядом с центром ближайшей пластины вдали от ее краев. Найдите напряжение на Произведение n последовательных целых конденсаторе. Какую внешнюю силу и в какую сторону нужно прикладывать к чисел делится на n, значит, и S должно точечному заряду, чтобы удерживать его в покое относительно неподвижного конден- делиться на n, что неверно при четном n. сатора, если дополнительно известны рас- стояние d между пластинами и расстояние Для нечетного n 2m  1 можно, напри- a между точечным зарядом и ближайшей к мер, представить произведение нему пластиной? 1 ˜ 2 ˜… ˜ 2m  1 2m  1 ! в виде суммы n С.Крюков последовательных натуральных чисел. Ф2672. Если по обе стороны тонкой линзы находятся вещества с различными опти- Действительно, приравнивая S 2m  1 !, ческими плотностями, причем меньшими, чем у материала, из которого изготовлена находим k  m 2m !, откуда линза, то фокусные расстояния не будут равными. Например, линзу можно вмон- k 2m ! m. В итоге 2m ! m  2m ! тировать в боковую стенку аквариума с  m  1  …  2m ! m 2m  1 !. водой. При этом собирающая линза оста- Б.Френкин нется собирающей, а рассеивающая – рас- M2651. В комнате находятся несколько Рис. 3 детей и куча из 1000 конфет. Дети по очереди подходят к куче. Каждый подо- сеивающей. Определите, с какой стороны шедший делит количество конфет в куче линзы, показанной на рисунке 3, находит- на количество детей в комнате, округля- ся оптически более плотная среда. ет (если получилось нецелое), забирает полученное число конфет и выходит из В.Гребень комнаты. При этом мальчики округляют вверх, а девочки – вниз. Докажите, что Решения задач М2650–М2653, суммарное количество конфет у мальчи- Ф2657–Ф2660 ков, когда все выйдут из комнаты, не зависит от порядка детей в очереди. M2650. При каких натуральных n най- дутся n последовательных натуральных Деление с остатком кучи конфет на k детей чисел, произведение которых равно сум- можно представлять себе так: мы раскла- дываем конфеты на k кучек, которые либо одинаковы (если остаток 0), либо в части кучек конфет на 1 больше, чем в остальных (количество таких куч равно остатку). Пусть первый ребенок разложит так кон- феты на кучки, расположив кучи слева направо по возрастанию числа конфет в них. Можно считать, что он возьмет себе правую кучку, если он мальчик, или ле- вую, если он девочка. Когда зайдет следующий ребенок, конфе- ты уже будут разложены на кучки, как если бы он сам делил с остатком (ведь и

ЗАДАЧНИК «КВАНТА» 15 число детей, и число куч уменьшилось на после посещения 2 m  1 ! k номеров, на- 1), и снова мальчик возьмет правую кучу, а девочка – левую и т.д. В итоге мальчики ходящихся на ремонте, – противоречие). возьмут все правые кучки в количестве, Оценка. Для того чтобы каждый из 100 равном числу мальчиков, что не зависит от туристов мог гарантированно заселиться в порядка детей в очереди. номер не на ремонте, он должен с самого начала иметь список из k  1 различных М.Дидин номеров, в которые будет заходить. Мож- но считать, что списки не меняются по M2652. В отель ночью приехали 100 ходу заселения других туристов (посколь- туристов. Они знают, что в отеле есть ку никакой информации о них мы не одноместные номера 1, 2, …, n, из кото- узнаем). рых k на ремонте (но неизвестно какие), Подчеркнем в списке каждого туриста пер- а остальные свободны. Туристы могут заранее договориться о своих действи- вые m  1 номеров. Все эти 100 m  1 под- ях, после чего по очереди уходят засе- ляться: каждый проверяет номера в черкнутых номеров различны. Дей- любом порядке, находит первый свобод- ствительно, в случае совпадения подчерк- ный номер не на ремонте и остается нутых номеров у двух туристов есть слу- там ночевать. Но туристы не хотят чай, в котором алгоритм не сработает – беспокоить друг друга: нельзя прове- если все номера в их списках, предшеству- рять номер, куда уже кто-то заселился. ющие совпадающему (а таких номеров не Для каждого k укажите наименьшее n, больше m  m 2m k), находятся на ре- при котором туристы гарантированно смогут заселиться, не потревожив друг монте. Следовательно, n t 100 m  1 . При друга. четном k этой оценки достаточно. Ответ: n 100 m  1 при k 2m и В случае нечетного k поступим почти так n 100 m  1  1 при k 2m  1. же – подчеркнем в списке каждого туриста первые m  1 номеров, а кроме того, у Пусть k 2m или k 2m  1. Алгоритм. Пусть k четно. Мысленно раз- одного из туристов подчеркнем m  2 -й делим номера на 100 участков по m  1 номеров. Пусть i-й турист сначала прове- номер в его списке. Утверждаем, что все ряет все номера i-го участка, двигаясь слева направо, а потом проверяет номера 100 m  1  1 подчеркнутых номеров раз- i  1 -го участка, но справа налево (если личны. Действительно, в случае совпаде- ния подчеркнутых номеров у двух турис- i 100, проверяет 1-й участок). Никакие тов есть случай, в котором алгоритм не два туриста не попадут при этом в один сработает – если все номера в их списках, номер, так как суммарно на двух их учас- предшествующие совпадающему (таких тках всего k  2 номера. номеров не больше m  1  m k), нахо- В случае нечетного k разделим номера на дятся на ремонте. Следовательно, 100 участков по m  1 номеров, а еще один последний номер объявим запасным. Пусть n t 100 m  1  1. i-й турист сначала проверяет все номера i-го участка, двигаясь слева направо, по- Ф.Ивлев том идет в запасной номер, а затем прове- M2653*. Пусть p и q – взаимно простые ряет номера i  1 -го участка, но справа натуральные числа. Лягушка прыгает по числовой прямой, начиная в точке 0. Каж- налево. Снова никакие два туриста не дый раз она прыгает либо на p вправо, попадут при этом в один номер, так как в либо на q влево. Однажды лягушка верну- объединении двух их участков и запасно- лась в 0. Докажите, что для любого го номера всего k  2 номеров, а в запас- натурального d  p  q найдутся два чис- ном номере двое туристов также не встре- ла, посещенные лягушкой и отличающие- тятся (они могли бы оказаться только ся ровно на d. Случай p q 1 очевиден. Пусть p и q различны, и пусть p  q. Когда лягушка вернулась в 0, ее суммарное перемещение вправо равно суммарному перемещению

16 К В А Н T $ 2 0 2 1 / № 8 влево. Поэтому, так как р и q взаимно что больше a  1 и меньше a. Значит, нужные нам окна с t t 1 и t d a найдутся. просты, лягушка сделала kq «коротких» Н.Белухов прыжков вправо и kp «длинных» прыж- ков влево. Ф2657. Наблюдениям за планетой Вене- Известно, что при взаимно простых p и q ра с Земли мешает ее близость на небе к можно представить d в виде d ap  bq с Солнцу. Угол M (рис.1) между направле- целыми a и b. Это равенство, очевидно, ниями с Земли (Е) на сохранится, если одновременно увеличить планету, в данном слу- (или уменьшить) a на q и b на p. Поэтому чае на Венеру (V), и можно выбрать a натуральным и не пре- на Солнце (S) называ- восходящим q. При этом b будет неотрица- ется элонгацией. Она тельным (иначе d t p  q), и так как a d q, бывает восточной и то b  p (ведь d ! 0). Поэтому a  b  западной в зависимос-  p  q d k p  q . Назовем каждую серию из a  b последо- ти от расположения Рис. 1 планеты на небесной вательных прыжков лягушки окном. Ус- сфере относительно Солнца. Венеру в ловно считаем, что за последним прыжком наибольшей западной элонгации можно лягушки идет ее первый прыжок (как при наблюдать перед рассветом, а в наиболь- движении по кругу), поэтому окно может шей восточной – сразу после заката Сол- состоять и из нескольких последних и нца. Считается, что планета располага- первых прыжков. Тогда всего окон ровно ется западнее Солнца, если она появля- k p  q штук. ется на небе раньше него. Наибольшее Окно назовем t-окном, если за это окно значение элонгации составляет около лягушка сделала ровно t коротких прыж- 46,5q, последний раз близкие значения ков (и a  b  t длинных). Нам достаточно наблюдались с 11 по 14 августа 2020 года, найти a-окно – тогда перемещение лягуш- причем Венера была видна на рассвете. ки за a  b прыжков такого окна составит Орбиты Земли и Венеры можно считать d, а следовательно, тогда расстояние меж- круговыми и лежащими в одной плоско- ду числами, в которых лягушка находи- сти. Все планеты вращаются вокруг лась перед первым прыжком a-окна и Солнца в одном направлении, Земля вра- после последнего прыжка a-окна, будет щается вокруг своей оси в ту же сторону. равно d. Отклонение земной оси от перпендикуля- Искомое a-окно найдется, если найдется t- ра к плоскости вращения планет в данной окно для некоторого t t a, а также найдет- задаче несущественно. ся t-окно для некоторого t d a. Действи- 1) Найдите расстояние от Венеры до тельно, можно сдвигать на одну позицию Солнца, если рассто- первое окно по кругу, пока не дойдем до яние от Земли до второго. За каждый сдвиг число коротких Солнца равно прыжков t в окне каждый раз меняется не 150 млн км. более чем на 1, поэтому будет момент, 2) Когда примерно когда t a. можно ожидать сле- Сложим число коротких прыжков во всех дующий наиболее окнах – получим kq a  b , ведь каждый подходящий для на- прыжок учли a  b раз. Окон k p  q , и в блюдения Венеры среднем на окно придется kq a  b корот- момент? kp  q ких прыжков. Это число равно 1) Рассмотрим дви- жение Венеры в сис- kqa  b qa  qb pa  qa  d a d , Рис. 2 теме отсчета, в кото- kp  q p  bq pq pq рой неподвижными являются Солнце и

ЗАДАЧНИК «КВАНТА» 17 Земля (рисунок 2 не соблюдает масштаб 2) Для определения периода обращения орбит и размеров планет и Солнца). Вене- ра движется по прежней орбите. Точками Венеры, его еще называют сидерическим S, E и V (с разными индексами) обозна- чим положения Солнца, Земли и Венеры периодом, можно воспользоваться треть- соответственно. Если северный полюс Зем- ли (без учета того факта, что земная ось не им законом Кеплера или же самостоятель- перпендикулярна плоскости рисунка) об- ращен к нам, то вращение Земли происхо- но получить его для случая круговых дит против часовой стрелки. Ближайшее положение планеты к Земле обозначено орбит. Движение планеты вокруг Солнца точкой V1, а наиболее удаленное – точкой V2, эти точки называются нижним и верх- происходит под действием взаимного тяго- ним соединением соответственно. Наиболь- шая элонгация достигается, когда прямая тения планеты и Солнца. Сила притяже- EV оказывается касательной к орбите Ве- неры, что дает две точки максимального ния планеты к Солнцу F GMm сообщает угла отклонения – V3 и V4. Выясним, какая R2 из них соответствует восточной, а какая ей центростремительное ускорение западной элонгации. Как следует из направления вращения a GM , где G – гравитационная постоян- Земли, наблюдатель, располагающийся в R2 точке А поверхности Земли, видит восход ная, M – масса Солнца, m – масса плане- Солнца, поэтому направление из этой точ- ки на Солнце задает направление на вос- ты, R – радиус круговой орбиты. Отсюда ток (отмечено стрелкой). Тогда можно можно определить скорость движения установить направление на восток и в точке Ac (также отмечено стрелкой). Если планеты по орбите: v aR GM и наблюдатель в точке Ac поднимет голову и R обнаружит Венеру в точке V4, то планета окажется расположенной к западу от Сол- период обращения вокруг Солнца: нца, поэтому эта точка соответствует за- падной элонгации. Правда, наблюдать T 2SR 4S2R3 , откуда следует, что Венеру в точке V4 лучше из точки А, когда v GM Солнце еще только восходит и не засвечи- вает небо; при этом планета в точке макси- величина T2 определяется только массой мальной западной элонгации оказывается R3 на востоке для земного наблюдателя. Точ- Солнца и одинакова для всех планет. Ос- ка V3 является точкой максимальной вос- точной элонгации. Таким образом, в пери- тается воспользоваться известным значе- од с 11 по 14 августа 2020 года Венера находилась вблизи точки V4. нием периода обращения для Земли и получить продолжительность венерианс- кого года: ·3 2 ¸ TV TE § RV ¹ | 226 земных суток. ¨ RE © Он меньше периода обращения Земли, поэтому в рассмотренной ранее системе отсчета Венера движется в прежнем на- правлении (против часовой стрелки). Определим теперь синодический период обращения Венеры, это будет интервал времени между, например, двумя последо- вательными точками VE. Пусть он равен Т. Тогда в инерциальной системе отсчета, Как следует из прямоугольного треугольни- связанной с Солнцем, за время Т Венера повернется вокруг Солнца на угол 2S T , а RV упгоовлт2оSриTTлEа.сЧь,тоВбеынекроанфдиолгTуVжрнаа- ка SEV3, sin Mmax RE , где RE и RV – радиу- Земля – на ция планет сы орбит Земли и Венеры соответственно. Зная значение максимальной элонгации сделать на 1 полный оборот больше, откуда Mmax, находим радиус орбиты Венеры: TVTE RV | 109 млн км. T TE  TV | 593 земных суток.

18 К В А Н T $ 2 0 2 1 / № 8 В течение синодического периода Венера Рис. 2 движется равномерно в рассмотренной ранее системе отсчета. Значит, время дви- М остальной конструкции (безмена без жения от точки V4 до точки V3 пропорцио- гири и взвешиваемого груза). нально длине большей дуги между ними, которая составляет примерно180q  2 ˜ 46,5q. Из второго рисунка видно, что центр тяже- Таким образом, промежуток времени меж- сти безмена без гири и груза совпадает (по ду точками максимального угла M состав- горизонтали) с осью, на которую подвеши- ляет вается крючок с грузом. Из первого рисун- ка следует, что расстояние между точками 'T 180q  2 ˜ 46,5q | 450 земных суток. подвеса безмена и крючка 1,5 см, а рас- 360q стояние между точкой подвеса безмена и центром тяжести гири 14,5 см. Отсчитав полученное значение от указан- Запишем правило моментов относительно ной в условии даты, получим ближайшую оси подвеса: дату максимального значения угла (а зна- чит, и наиболее подходящую для наблюде- M  4 кг g ˜ 1,5 см mg ˜ 14,5 см. ния дату) – 5 ноября 2021 года. Заменим груз массой 4 кг на груз массой А.Дергачев 6 кг и уравновесим безмен, сдвинув гирю по горизонтали на 6 см вправо. Снова Ф2658. Безмен – это ручные весы для запишем уравнение моментов относитель- взвешивания грузов небольшой массы. но оси подвеса: Один из вариантов конструкции безмена можно видеть на рисунке 1. Безмен со- M  6 кг g ˜ 1,5 см mg ˜ 20,5 см. стоит из металлического коромысла, зак- репленного на коромысле противовеса (на Отсюда находим левом конце коромысла), и подвижной гири (справа). На крючок подвешивается m 0,5 кг, M 0,83 кг. груз, массу которого надо узнать, а поло- жение гири подбирается таким образом, М.Ромашка чтобы в равновесии коромысло распола- галось горизонтально. Показание безме- Ф2659. На столе стоит цилиндрический на, изображенного на рисунке 1, равно сосуд с вертикальными стенками, запол- 4 кг. Рядом с безменом находится санти- ненный водой примерно наполовину. Пло- метровая линейка. Известно, что если с щадь сечения сосуда равна S 400 см2, этого безмена снять гирю и подвесить его внизу сосуда имеется штуцер, к которо- за ось, к которой был привязан крючок, му присоединен горизонтально располо- иначе говоря перевернуть (рис.2), то в женный шланг. Другой конец шланга со- положении равновесия коромысло будет единен со штуцером «черного ящика», в располагаться горизонтально. Определи- те по этим данным массу гири m и массу Рис. 1 Рис. 1

ЗАДАЧНИК «КВАНТА» 19 котором находится неизвестное устрой- небольшую порцию воды, то часть воды из ство (рис.1). него перетечет в «черный ящик», пружина Неизвестное устройство действует сле- при этом растянется сильнее и второй дующим образом. Если в сосуд доливают сосуд опустится ниже. При определенных немного воды ('m порядка 100 г), уро- значениях жесткости пружины уровень вень жидкости в сосуде опускается (!) по воды во втором сосуде будет опускаться сравнению с первоначальным. Если же относительно пола. Так как сосуды сооб- после этого из сосуда зачерпывают та- щаются, уровень воды в первом сосуде кую же порцию воды, то уровень подни- тоже опустится. мается до первоначальной высоты. Пред- Проверим, подходит ли пружина из пред- ложите конструкцию устройства, кото- ложенного оборудования для нашего уст- рое может находится внутри черного ройства. Найдем, при каком коэффициен- ящика. Изобразите схему устройства и те жесткости пружины уровень воды в коротко объясните принцип его работы. сосудах не поменяется: Известно, что в конструкции устрой- ства используется некоторое оборудова- UgS'x k1'x, k1 400 Н м, ние из следующего списка: цилиндриче- ский сосуд – такой же, как на столе, где 'x – увеличение деформации пружи- нерастяжимые нити, пружина жесткос- ны. Если жесткость пружины будет мень- тью k 300 Н м, набор грузов разных ше k1, то уровень воды в сосудах опустится масс, резиновый шланг с внутренним относительно пола. диаметром, соответствующим диамет- При маленьких значениях коэффициента ру штуцера на стенке ящика. Все грузы жесткости пружины может происходить и сосуд снабжены крючками, которые «срыв» системы – понижение уровня в могут быть использованы для крепления первом сосуде приводит к тому, что пру- нитей и пружины. Крепления для нитей жина сильно растягивается и уровень воды и пружины имеются также на потолке и в сосуде, находящемся в ящике, оказыва- стенах ящика. Плотность воды и уско- ется ниже, чем в сосуде на столе. В этом рение свободного падения равны случае вся вода перетечет в ящик. Следо- U 1000 кг м3 и g 10 Н кг соответ- вательно, чтобы не происходило «срыва» ственно. системы, при понижении уровня воды в первом сосуде на 'x должно выполняться В черном ящике может находиться, напри- условие мер, устройство, схема конструкции кото- рого изображена на рисунке 2. Устройство UgS'x  k ˜ 2'x. предварительно настроено таким образом, что шланги заполнены водой (нет воздуш- Отсюда получаем нижнюю границу значе- ных пробок). Если в первый сосуд налить ния жесткости пружины: Рис. 2 k ! UgS 200 Н м. 2 Таким образом, пружина из предоставлен- ного оборудования подходит для нашего устройства. Процесс является обратимым – если за- черпнуть немного воды из первого сосуда, то уровень воды в сосудах поднимется относительно пола. Замечание. Можно предложить похожее по смыслу устройство – поставить второй сосуд на пружину сверху, но с техничес- кой точки зрения при помощи предложен-

20 К В А Н T $ 2 0 2 1 / № 8 ного оборудования этот вариант реализо- вать проблематичнее. А.Бычков Ф2660. Правильный тетраэдр сделан из непроводящего материала. Его поверх- ность покрыта тонкой фольгой толщи- ной h, много меньшей размеров ребер. Рис. 3 Удельное сопротивление материала полого цилиндра (как показано на рисун- ке 3) с толщиной стенок h, высотой Н и фольги равно U. К длиной окружности основания 2а. Со- противление такого цилиндра легко на- двум не соприкасаю- ходится: щимся ребрам вдоль всей их длины припа- яли медные проволоч- ки пренебрежимо R U H U 3. 2ha 4h малого сопротивле- Рис. 1 ния (линии увеличен- С.Варламов ной толщины на ри- сунке 1), к которым подключили ом- метр. Какую величину сопротивления показывает прибор? Грань правильного тетраэдра – правиль- ный треугольник. Обозначим длину сто- роны этого треугольника а, тогда его высота равна H a 3 . У тетраэдра четы- 2 ре грани. К одной медной проволочке припаяны стороны двух граней и верши- ны двух оставшихся. Легко видеть, что эквивалентная схема тетраэдра может выглядеть, например, так, как показано на рисунке 2. Тонкие линии показывают, что самый левый треугольник соединяет- ся по стороне с самым правым. Длина стороны параллелограмма, изображенная линией увеличенной толщины, равна 2а, а высота, опущенная на эту сторону, равна Н. Для расчета удобнее представ- лять себе эквивалентную схему в виде Рис. 2

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ Задачи 1. В гирлянде 5 лампочек горят, а щит, на котором написаны расстояния остальные – перегорели (см. рису- до пяти автозаправок: 35 км, 45 км, нок). Какое наименьшее число лампо- 55 км, 75 км и 95 км. Лука хочет оста- новиться для заправки только один раз. На каком расстоянии от щита ему нужно заправиться? 3. Вертя кубик в руках, можно видеть одновременно не более трех его гра- ней. Можно ли на гранях кубика распо- ложить числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6 так, чтобы чек нужно заменить, чтобы среди лю- для любых трех видимых граней напи- бых трех подряд идущих лампочек санные на них числа шли по часовой хотя бы две горели? стрелке в порядке возрастания: a < b <c? 2. Лука собирается проехать на ма- 4. С.Дворянинов Запишите тремя символами сле- шине 520 км. Емкость бензобака его дующее выражение: машины равна 40 литрам, а расход топлива составляет 1 литр бензина на 10 км пути. Когда он выехал, в бензо- баке было 14 литров бензина. Проехав 55 км, он увидел информационный 28 . 34 . 52 . 71. Г.Левитас Задачи 1 и 2 предлагались на Международ- ном математическом конкурсе-игре «Кенгу- ру».

22 К В А Н T $ 2 0 2 1 / № 8 Таинственная шкала, или Небольшое расследование С.ДВОРЯНИНОВ Рис. 1 нения». В механике такой измерительный CКАЖИТЕ, ВЫ ДАВНО ЗАГЛЯДЫ- прибор называется динамометром. вали на чердак вашего дома? А ведь чердак – это место, где начинаются при- Обратим внимание на две шкалы безме- ключения многих литературных героев. на. Выясним, как связаны соответствую- Вспомним строки из повести А.Гайдара щие им единицы массы. Справа – масса в «Тимур и его команда»: «Женя обошла килограммах, для левой шкалы единицу сарай… Она подтащила к окну трухлявую массы назовем фунтом. Вначале может лестницу и, взобравшись по ней, спрыгну- показаться, что ла на пол чердака. Очень странно! Этот чердак был обитаем. На стене висели мот- 2 фунта 1 кг, 1 фунт = 0,5 кг. ки веревок, фонарь, два скрещенных сиг- нальных флага и карта поселка, вся исчер- По мере движения вниз по шкале это ченная непонятными знаками… Возле соотношение меняется: дырявой замшелой крыши торчало боль- шое, похожее на штурвальное, колесо. 6 фунтов | 3,25 кг, 1 фунт | 0,542 кг, Над колесом висел самодельный телефон». 7 фунтов | 3,75 кг, 1 фунт | 0,536 кг, Мальчик Лешка, главный герой книги С,Алексеева «Сын великана», попадает на 10 фунтов | 5,5 кг, 1 фунт | 0,550 кг, чердак в самом начале повести: «Когда Лешка толкнул чердачную дверь, та не 12 фунтов | 6,5 кг, 1 фунт | 0,542 кг, поддалась. Дверь оказалась запертой». 13 фунтов | 7 кг, 1 фунт | 0,538 кг, Порой старую вещь не хочется выбрасы- вать – вдруг еще пригодится? И оказыва- ется она на чердаке или в дальнем углу кладовой либо сарая. И даже хозяин по- том забывает, где и что лежит. А чердак превращается в музей антиквариата. Вот и автору недавно попалась на глаза старая вещица (рис.1). Ясно, что это без- мен – пружинные весы. Как утверждает Википедия, это слово заимствовано из тюркских языков, где везне имеет значе- ние «весы». Тюркское везне получило звучание «безмен» под влиянием народ- ной этимологии: в народном сознании оно осмысливалось как безмены – «без изме- DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210803

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ 23 18 фунтов | 9,75 кг, 1 фунт | 0,542 кг, Лицом к лицу Лица не увидать. 21 фунт | 11,5 кг, 1 фунт | 0,548 кг, Большое видится на расстояньи. 22 фунта | 12,25 кг, 1 фунт | 0,557 кг. Так и нам для достижения большей точно- сти следует пройти как можно больше по Так сколько же килограммов в одном шкале вниз. фунте? Какой это фунт? Есть и механический аналог этого обсто- Снова из интернета узнаем, что Krups – ятельства. Пусть на стене надо двумя немецкая торговая марка, под которой гвоздями горизонтально закрепить метро- сейчас производятся, например, кофевар- вую деревянную рейку. Рассмотрим три ки и кофемашины, а также различная варианта расстояний гвоздей от одного из малая бытовая техника. С 2001 года вхо- ее концов: 10 см и 90 см; 45 см и 55см; 1см дит во французский консорциум Groupe и 99 см. Оказывается, предпочтительнее SEB. А появилась фирма Krups в 1846 первый вариант. Во втором случае рейка году в Германии, в баварском городе Вальд, будет «крутиться» (предельный случай – где Роберт Крупс на основе кузницы со- закрепление рейки одним гвоздем). В тре- здал промышленное предприятие по изго- тьем случае рейка может треснуть. товлению пружинных весов. Но надписи на безмене – на английском языке. Vienna – Обычно в повседневной жизни мы ис- так по-английски пишется название авст- пользуем одну систему единиц и соответ- рийской столицы. Википедия говорит, что ственно одну шкалу. Так, сейчас на термо- австрийский фунт равен 0,56001 кг (он метре за окном у нас используется шкала использовался также в Баварии). Обра- Цельсия, а раньше можно было встретить тим внимание на то, что из найденных термометры со шкалой Фаренгейта. В нами отношений ближе всего к истинному России фирма HUGHES выпускала весы значение 0,557. Мы его установили, в со шкалой в фунтах. максимальной степени используя обе шка- лы. И неслучайно. Связано это с абсолют- А сейчас вспомним, когда две разные ной и относительной погрешностями изме- шкалы оказываются полезнее одной. Вооб- рений. разим, что на обычной клетчатой бумаге из школьной тетради нарисованы две линей- Пусть есть некоторая рациональная ве- ки – черная и красная (рис. 2). На какой личина V m . Конечно, можно записать из них цена деления равна 1 см? Ясно, что на черной линейке, ибо в школьной тетрад- n ке длина стороны квадратной клетки равна 5 мм. А цена деления на красной линейке V m 2m 3m km равна 0,9 см. Можно сказать, что черная n 2n 3n … kn линейка настоящая и служит для измере- ния длин отрезков в сантиметрах. А крас- при любом натуральном k. Пусть числи- ная линейка – фальшивая. Ею тоже можно тель и знаменатель последней дроби мы измерять длину, то при этом помнить, что единица на ней – это 9 мм. знаем с точностью до r1. Тогда мы имеем такое приближенное значение нашей ве- млиежчиднуыэ:тиVм|прkkиmnбrлrи11ж. еРнансысммоитртиомчнрыамзнзинцау- чением: ' km r1  m rn ∓m . kn r1 n kn r 1 n Ясно, что эта разница становится сколь Рис. 2 угодно малой с ростом k. Приходят на память слова поэта:

24 К В А Н T $ 2 0 2 1 / № 8 Теперь предположим, что мы измеряем Португалии – одной из крупнейших морс- ких держав XV–XVI веков. Он также изоб- длину L зеленого отрезка черной линейкой. рел несколько измерительных приборов. В частности, создал нониус, чтобы улучшить Ясно, что L – число не целое, чуть меньшее точность измерений. 5, то ли 4,8, то ли 4,9... Какому значению Современная конструкция шкалы с но- ниусом была предложена в 1631 году фран- отдать предпочтение? Черная линейка ни- цузским математиком Пьером Вернье (1580–1637), в честь которого ее называют чего об этом сказать не может. Но давайте также «верньер». В наше время верньером называют приспособление для точной на- продолжим зеленый отрезок красной шка- стройки радиоаппаратуры. Сейчас нашим юным читателям не приходится крутить лой и посмотрим, какие риски на двух ручку настройки, чтобы поймать нужную радиоволну. Для этого достаточно нажать линейках совпадают. Да, совпадение име- соответствующую кнопку. Но чтобы мож- но было ощутить чувство радости от дости- ется, и зеленому отрезку соответствует та- жения цели, рассмотрим простую задачу. кое равенство: L  9 u. 0,9 см 13 см, от- На горизонтальном столе лежит круг- куда находим L 4,9 см. лый карандаш. Поверх него требуется рас- положить линейку так, чтобы она находи- Получается, что комбинация двух линеек лась в равновесии и чтобы ее концы не касались стола (рис.4). Какой эффектив- с разными шкалами позволяет измерять Рис. 4 длины с точностью до 0,1 см. Красная ный способ позволит это делать быстрее всего? Оказывается, чтобы добиться рав- шкала играет при этом вспомогательную новесия, надо совместить середину линей- ки с карандашом, а затем очень медленно роль. Ее научное название – шкала Нониуса катить карандаш по столу в сторону того конца линейки, который не касается сто- или просто нониус. Нониус устанавливают ла, – сила трения будет надвигать линейку на карандаш. При этом малое перемеще- на измерительных инструментах и прибо- ние карандаша (т.е. его малое вращение) удается осуществить намного легче, чем рах и используют для более точного нахож- малое перемещение линейки по неподвиж- ному карандашу! дения количества долей деления основной шкалы. Принцип нониуса впервые применил в своем инструменте для наблюдения за звез- дами средневековый персидский ученый, философ и врач Абу Али Хусейн ибн Абдуллах ибн аль-Хасан ибн Али ибн Сина (980–1037). В Европе он изве- стен под именем Авиценна. На- звание «нони- ус» дано в честь португальского математика Педру Нуниша (1502–1578). Скульптура Педру Нунеша на памятнике первооткрыва- телям в Лисса- боне изображе- на на рисунке 3. Наиболее из- вестен его вклад в навигацию, которая бурно Рис. 3 развивалась в

ШКОЛА В «КВАНТЕ» «Не забудьте про часы!» С.ПАРНОВСКИЙ ошибкой в пять минут задолго до того, как актриса Людмила Гурченко спела одноимен- Так утверждают поэт Андрей Вознесенс- ную песню в фильме «Карнавальная ночь»? кий, певец Максим Леонидов и театр клоу- Это были астрономы и мореплаватели. Они нады «Лицедеи» в старом фильме «Как фиксировали время, когда происходят раз- стать звездой». А насколько будет плохо, ные астрономические события, начиная от если забыть? Спросим у ученых. банальных восхода или захода солнца и кончая затмениями на Земле или на спутни- Сейчас нашу жизнь просто пронизывает ках Юпитера. И началось это в очень давние информация о том, где именно мы находим- времена.2 ся в потоке времени. Включив смартфон или компьютер, мы немедленно узнаем точное Мореплаватели использовали астрономи- время, и каждую минуту часы меняют свои ческие наблюдения для того, чтобы опреде- показания, синхронизированные с сигнала- лить положение своего корабля, т.е. для ми точного времени, с данными навигацион- навигации. Для определения долготы им ных спутников, с эталонами... Короче, с надо было иметь еще и надежный хроно- особо точными часами. Японские ученые метр, выставленный по времени какой-то сравнили ход подобных суперхронометров у реперной точки, например Гринвичской об- подножия и на вершине токийской телебашни серватории возле Лондона. Просто для того, и в очередной раз подтвердили предсказание чтобы было с чем сравнить определенное из Альберта Эйнштейна о том, что скорости астрономических наблюдений местное вре- течения времени у этих часов различаются.1 На вершине время течет немного быстрей. 2 Про так называемый антикитерский меха- низм, нечто вроде древнего прообраза прими- Но было время, когда никто не считал тивного компьютера для предсказания астроно- минуты, не говоря уже о наносекундах. мических событий, написано в замечательной Было нечем и, вообще говоря, особо незачем. книге Джо Мерчант «Антикитерский механизм. Вспомним классику: «Когда д’Артаньян под- Самое загадочное изобретение Античности». ходил к пустырю, находившемуся подле монастыря, пробило полдень. Атос ожидал его всего пять минут – следовательно, д’Ар- таньян был безукоризненно точен и самый строгий судья в законах дуэли не имел бы повода упрекнуть его». А кого перестала устраивать «безукоризненная точность» с 1 Группа ученых во главе с профессором Токийского университета Хидетоси Катори в 2020 году сравнила ход компактных сверхточ- ных атомных часов, помещенных у подножия телевышки «Небесное дерево» и на смотровой площадке на высоте 450 метров. Часы на высо- те шли примерно на пять стотрилионных быс- трее, чем часы внизу. За сутки они убегали вперед примерно на 4,3 наносекунды. За год разница составила бы 1,6 микросекунды. DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210804

26 К В А Н T $ 2 0 2 1 / № 8 мя. Как из этих данных можно получить митивными механическими часами с маятни- долготу, прекрасно объясняется, например, в ком. И ключевыми здесь являются слова «с книге Жюля Верна «Таинственный остров». маятником». Предположим, что корабельный хроно- Просто механические часы могли иметь метр ошибается на пять минут. Тогда долго- неплохую точность, но она существенно улуч- та будет определена с ошибкой в 5 ˜ 15c. Для шилась после того, как в Европе в XIII веке корабля, плывущего возле экватора, это придумали первый, еще примитивный ан- соответствует 75 морским милям, приблизи- керный (он же спусковой) механизм, более тельно 140 километрам. В другой океан не надежно обеспечивающий постоянство сред- заплывем, но мимо небольшого острова с ней скорости хода. Затем девятнадцатилет- пиратским кладом промажем. Да и на рифы ний Галилео Галилей в 1583 году во время или мель сесть можно. Откуда появились 15c службы в Пизанском соборе обратил внима- при расчете? За 24 часа Земля делает один ние на раскачивание люстры. Используя оборот, т.е. поворачивается на 360q. Тогда за собственный пульс в качестве прибора для час она повернется на 15q, или на 15c за отсчета времени, он обнаружил, что период минуту. На самом деле на корабле в идеале колебаний маятника почти не зависит от должно быть не менее трех хронометров. амплитуды этих колебаний. Применив новое Почему? Попробуйте догадаться сами. Если знание к практике, известный ученый Хри- не хотите, то посмотрите примечание.3 стиан Гюйгенс усовершенствовал часы – в 1657 году он получил голландский патент на Сейчас есть и более надежные средства конструкцию маятниковых часов. Более того, узнать свое положение на нашей планете. Но часы реально работали и обеспечивали пре- точный эталон времени пригодится и в кос- восходную для того времени точность хода. мосе на борту спутника. Так, два американ- Это открыло дорогу их массовому производ- ских спутника, получившие название Gravity ству и применению. Probe, использовали его для проверки общей теории относительности (ОТО), а российс- Заметим, что Гюйгенс не ограничился ма- кий Радиоастрон – для того, чтобы в связке ятником, в котором точка перемещается по с наземными антеннами образовать косми- окружности. Существует кривая, описываю- ческий радиоинтерферометр с беспрецедент- щая профиль углубления, в котором период ным разрешением до миллионных долей колебаний материальной точки никак не угловой секунды. зависит от амплитуды. Она называется цик- лоидой, а за это свое свойство получила В древности самые надежные и бесплат- дополнительное прозвище «таутохрона» – ные часы были основаны на движении Сол- от переведенного на греческий язык слова нца и звезд по небосводу, т.е. с видимым «равновременная». Название «циклоида» проявлением вращения Земли. Пусть небо придумал Галилей (во Франции эту кривую иногда и покрыто тучами, все равно никакие сначала называли рулеттой). Гюйгенс не периодические явления, вроде пения петуха только установил таутохронность циклои- или желания выпить у корабельного боцма- ды, но и придумал, как заставить подвешен- на, не могли конкурировать с такими часами ный на нитке груз колебаться именно по по точности определения времени. А если циклоиде. Об этом и многом другом он рядом нет, к примеру, регулярного гейзера с написал в своей книге «Маятниковые часы» постоянным интервалом времени между выб- (точнее, «Horologium oscillatorium, sive de росами струй, то можно организовать что-то motu pendulorum an horologia aptato с постоянным периодом или изменяющееся с demonstrationes geometrica», короткие на- приблизительно постоянной скоростью. звания тогда были не в моде), вышедшей в 1673 году. Мы знаем водяные часы, свечи и лампы, используемые для отсчета времени. Но ни Можно долго рассказывать, как постепен- один из этих методов не может даже отдален- но усовершенствовали часы, добиваясь того, но сравниться по точности с самыми при- чтобы их показания были надежными, не подверженными внешним воздействиям. 3 Если на корабле два хронометра и их Достаточно упомянуть, что точный и надеж- показания отличаются, то не ясно, какой из ный морской хронометр был придуман в них врет. Если их три, то два из них покажут Великобритании только в 1735 году. Было приблизительно одинаковое время.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК 27 еще одно дополнительное требование – о чающаяся в разных обсерваториях, и т.д. том, чтобы хронометр не требовал частых Вдобавок точность хода регулярно проверя- сверок с более точным прибором. Некогда лось при астрономических наблюдениях. штурман корабля, прибывшего в порт, где Если возникали рассогласования, то причи- была астрономическая обсерватория (а они ну искали в часах, а не в движениях небес- часто располагались в приморских городах ных светил. именно по этой причине), собирал все кора- бельные хронометры, которых, как вы уже Любопытно, что в Великобритании в XIX знаете, было не менее трех, и вез или нес их веке некоторые люди зарабатывали себе на в обсерваторию для того, чтобы выставить на жизнь, продавая информацию о точном вре- них время, основываясь на показаниях более мени. Они имели личный хронометр, кото- точных астрономических часов. рый регулярно выставляли по часам обсер- ватории (для Лондона – Гринвичской), и Я работаю в астрономической обсервато- периодически обходили своих клиентов и рии с 175-летней историей. Под историчес- выставляли их часы, домашние и персональ- ким зданием находится сложная система ные. Естественно, за некоторую плату. Дру- подвалов, из менее глубоких надо спускать- гие по утрам обходили клиентов и в заданное ся в более глубокие. Один из таких глубоких время стучали в окна длинными шестами, подвалов называется часовым. Именно в нем чтобы разбудить их. Сейчас с этим успешно в давние времена хранились астрономичес- справляется программа-будильник на на- кие часы. Подвал обеспечивал постоянство ших смартфонах, не говоря уже про специ- температуры, а это было залогом постоян- альные устройства. ства скорости хода часов. В старых кинофильмах вы можете встре- Конечно, изобретатели придумали массу тить и сигналы точного времени – «начало способов компенсации влияния температур- сигнала соответствует...», и забытую фразу: ного расширения на период колебаний маят- «Товарищи/господа офицеры, сверим часы». ника, но лучше не компенсировать что-то, а просто исключить или свести к минимуму. Так что увидев точное время на экране И, естественно, учитывается различие в ве- компьютера, оцените, как просто нам доста- личине ускорения свободного падения в раз- ется то, что казалось бы чудом всего пару ных точках, температура в подвалах, разли- столетий назад. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК Построение Решение этой задачи можно посмотреть на средней линии сайте https:olympiads.mccme.ruustn. Воз- трапеции никает естественный вопрос: а возможно ли А.ГРИБАЛКО построение средней линии трапеции с помо- щью одной линейки при каком-нибудь дру- На прошедшей недавно XVIII Устной олим- гом отношении оснований? Давайте посмот- пиаде по геометрии предлагалась следую- рим, какие еще построения, кроме приведен- щая задача (автор – Ю.Блинков): ных в решении, можно сделать. Дана трапеция, в которой одно основа- Пусть дана трапеция ABCD, в которой ние в два раза больше другого. С помощью основание AD в k раз больше основания BC одной линейки (без делений) постройте (рис.1). Сначала, кроме точки пересечения среднюю линию этой трапеции. диагоналей, которую мы обозначим O, и точки пересечения прямых, содержащих бо- DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210805 ковые стороны трапеции, особо строить и нечего. Через них мы можем провести пря- мую, которая пересечет основания в их сере- динах (по замечательному свойству трапе- ции). Пусть точка M – середина основания AD. Теперь уже становится больше воз- можностей, какие линии можно строить.

28 К В А Н T $ 2 0 2 1 / № 8 k  1 ˜ k k 1 k k 2 . k  2   Уже можно заметить некоторую закономер- ность и понять, что если мы продолжим такие построения дальше, то будем получать похожие соотношения. Давайте в этом убе- димся. Сделаем все те же самые построения в треугольнике AB2D, в результате получим Рис. 1 на стороне AB2 такую точку B3, что Рассмотрим, например, треугольник ABD. В AB3 k  2 B3B2 = k + 2. Значит, AB3 k  3 ˜ AB2 нем точка O делит сторону BD в отношении k  2 ˜ k k 2 k . Для следующих точек k  3  k3 1, считая от вершины B (это следует из k мы будем получать такие длины отрезков: подобия треугольников BOC и DOA), а AB4 k, AB5 k, …, ABn k. точка M делит сторону AD пополам. Значит, k4 k5 kn если мы проведем в этом треугольнике чеви- Отсюда можно сделать вывод, что если k n, аны AO (она является частью диагонали AC, поэтому уже построена) и BM, возьмем т.е. отношение оснований трапеции равно точку их пересечения O1 и проведем прямую через точки D и O1, то по теореме Чевы она натуральному числу, то точка Bn будет яв- пересечет сторону AB в такой точке B1, что ляться серединой боковой стороны AB. При AB1 k. Примем длину боковой стороны AB B1B этом прямая BnOn1 параллельна AD, поэто- за единицу, тогда из полученного соотноше- му, построив ее, мы получим среднюю ли- нию трапеции (или можно аналогичным спо- собом построить середину стороны CD, а k. затем и среднюю линию). k1 ния следует, что AB1 Давайте внимательно посмотрим на рису- нок и подумаем, что еще мы можем постро- Теперь рассмотрим треугольник AB1D. Так ить. Возьмем, например, точку пересечения как точки M, O1 и B лежат на одной прямой и при этом принадлежат прямым, содержа- прямых DB1 и BC, обозначим ее E1 (рис.3). Треугольники E1B1B и DB1A подобны, при- щим стороны этого треугольника (рис.2), то чем коэффициент их подобия мы уже знаем: по теореме Менелая можно найти отношение B1B 1. Следовательно, BE1 1 ˜ AD BC. B1A k k B1O1 MA ˜ BB1 1 . Аналогично тому, O1D DM AB k  1 Появляется желание проверить, а какие отрез- как мы делали с треугольником ABD, постро- ки будут высекать прямые DB2, DB3 и так далее на прямой BC. Пусть прямые DB2 и им точку O2 – пересечение отрезков AO1 и BC пересекаются в точке E2, тогда мы можем B1M, а затем точку B2 – пересечение прямой рассмотреть подобные треугольники E2B2B DO2 и отрезка AB1. Опять же по теореме и DB2 A. Так как длина отрезка B2 A равна k  1 Чевы можно доказать, что AB2 k  2 ˜ AB1 Рис. 2 Рис. 3

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК 29 k , то B2B 2 , поэтому коэффициент не строить середину стороны CD, а взять k2 k2 2, откуда по- точку пересечения диагоналей параллелог- подобия рамма и провести через полученные две треугольников равен точки среднюю линию. k лучаем, что BE2 2 ˜ AD 2BC. Но нам уже Итак, мы уже научились строить с помо- k щью одной линейки среднюю линию трапе- ции (и параллелограмма) с любым рацио- известно, что BE1 BC, поэтому и E1E2 BC. нальным отношением оснований. Но заме- тим, что мы заранее знали, чему равно это Аналогично можно доказать, что если пря- отношение. А что будет, если нам просто сообщат, что отношение оснований трапеции мые AB3, AB4,…, ABn пересекают прямую является рациональным числом, но само число будет неизвестно? Давайте договорим- BC в точках E3,E4,…,En соответственно, то ся, хоть это и является спорным вопросом, что с помощью линейки мы всегда можем E2E3 E3E4 … En1En BC. найти точку пересечения двух прямых, если Таким образом, мы можем увеличить осно- она существует. Это, по сути, позволяет нам узнать, параллельны прямые или нет. Тогда вание трапеции в любое натуральное число оказывается, что приведенные выше рассуж- дения можно продолжить и получить реше- раз. Это наталкивает на мысль, что, раз мы ние даже в этом случае. Пусть, как и ранее, отношение оснований трапеции равно не- уже умеем строить среднюю линию трапеции которому числу k p , где p и q – натураль- с любым целочисленным отношением осно- q ваний, то сможем построить ее и для любого ные числа. Когда нам были известны p и q, рационального отношения. Действительно, мы просто увеличили основание BC в p раз и получили трапецию с целочисленным от- если k p, где p и q – натуральные числа, ношением оснований. Но ведь можно анало- q гично и основание AD увеличить в q раз. Для этого будем последовательно строить на пря- причем k не является целым числом, то мой AD такие точки F1,F2,…,Fq1, что AF1 можно увеличить основание BC в p раз (для F1F2 … Fq2Fq1 AD. Тогда Fq1D этого достаточно построить точку Ep1). При q ˜ AD p ˜ BC Ep1C, т.е. четырехуголь- этом мы получим трапецию AEp1CD, в кото- рой основание Ep1C в q ! 1 раз больше ник Fq1Ep1CD является параллелограммом. основания AD, а для нее мы уже знаем, как Теперь становится понятно, что если при пост- построить среднюю линию. Поскольку сред- роении таких точек на прямых AD и BC мы в ние линии новой трапеции и исходной лежат какой-то момент получим такие две точки, на одной прямой, средняя линия трапеции что прямая, проходящая через них, не пере- ABCD будет построена. секает прямую CD, то сможем найти p и q. Добавим еще, что если k 1, то ABCD Чтобы получить две такие точки, можно будет являться не трапецией, а параллелог- воспользоваться простым алгоритмом. До- раммом (рис.4). Для него прямые, содержа- пустим, точка пересечения прямых AB и CD щие боковые стороны, не пересекаются, по- лежит в той же полуплоскости от прямой этому мы не сможем сделать все описанные AD, что и прямая BC (будем говорить, что выше построения. Но, тем не менее, сред- она выше AD). Тогда мы знаем, что k ! 1, нюю линию в нем построить довольно легко. откуда следует, что p ! q. В этом случае Возьмем на стороне CD произвольную точку будем строить точки поочередно на прямых Cc и получим трапецию ABCcD, в которой AB BC и AD, т.е. в таком порядке: E1, F1, E2, F2 будет являться основанием. А для любой и так далее. Проводя прямые через все трапеции мы уже умеем находить середины построенные точки на прямой AD (в том оснований, поэтому можем построить сере- числе через точку A) и каждую новую точку дину стороны AB. После этого можно даже на прямой BC, мы рано или поздно дойдем Рис. 4

30 К В А Н T $ 2 0 2 1 / № 8 до точки Ep1, а точка Fq1 к этому времени следующую точку E2 на прямой BC. В тра- уже будет построена (если q 1, то это будет пеции AE2CD отношение оснований AD и точка A). В этот момент мы и получим E2C равно 7. 9 прямую, параллельную CD. Этот алгоритм можно немного усовершен- 3) Прямые AE2 и CD пересекутся ниже ствовать, чтобы не строить на прямой AD AD, поэтому теперь строим на прямой AD лишние точки и не проводить лишние пря- такую точку F1, что AF1 AD. В трапеции F1E2CD отношение оснований F1D и E2C мые. Начнем строить на прямой BC точки E1, равно 14 . E2 и так далее и будем проводить прямые через точку A и каждую новую точку. Если 9 4) Строим точку E3. В трапеции F1E3CD одна из этих прямых окажется параллельна прямой CD, то цель достигнута. Иначе в отношение оснований F1D и E3C равно 14 . 12 какой-то момент эти прямые пересекутся ниже AD. Это будет означать, что отношение 5) Строим точку E4. В трапеции F1E4CD оснований очередной трапеции впервые ста- ло меньше 1. Теперь построим точку F1 и отношение оснований F1D и E4C равно 14 . продолжим строить точки на прямой BC, 15 проводя прямые уже через них и F1. Опять 6) Строим точку F2. В трапеции F2E4CD же будем делать это до тех пор, пока очеред- 21. ная прямая не станет параллельна прямой отношение оснований F2D и E4C равно 15 CD или не пересечется с ней ниже AD. Далее при необходимости построим точку F2 и 7) Строим точку E5. В трапеции F2E5CD будем действовать аналогично, затем F3 и так далее, пока не дойдем до точки Fq1. После отношение оснований F2D и E5C равно 21. этого через несколько шагов будет построена 18 8) Строим точку E6. Отношение отрезков и точка Ep1. Для реализации такого алго- F2D и E6C равно 1, поэтому прямые F2E6 и ритма потребуется ровно p  q  2 итерации. CD не будут иметь пересечения. Давайте разберем на примере, как работа- Таким образом, за восемь шагов мы полу- ет этот алгоритм. Пусть дана трапеция ABCD, чили прямую F2E6, которая параллельна CD, а это означает, что p 7 и q 3, т.е. мы в которой отношение оснований AD и BC равно 7 (хотя пока мы не знаем, чему оно с помощью одной линейки смогли узнать, 3 чему равно отношение оснований исходной равно на самом деле). Тогда построение трапеции. А дальше мы уже можем восполь- будет состоять из следующих шагов (рис.5). зоваться либо построением средней линии 1) На прямой BC строим такую точку E1, трапеции с известным отношением основа- что BE1 BC. В полученной трапеции AE1CD ний, либо построением средней линии па- отношение оснований AD и E1C равно 7. раллелограмма F2E6CD. 6 В заключение хотелось бы разобраться с 2) Отношение, полученное на предыду- рассмотренными вопросами для трапеций с щем шаге, больше 1 (в этом мы убеждаемся, иррациональным отношением оснований. построив точку пересечения прямых AE1 и Понятно, что можно использовать описан- CD, – она будет выше AD), поэтому строим ные выше построения и получить прямую, сколь угодно близкую к средней линии, однако предложенный метод не позволит построить ее точно. Предлагаем читателям подумать, возможно ли построение в этом случае, и если да, то как именно это сделать. Рис. 5

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ Энергия ионизации Однако, это еще не все. Согласно реляти- водородоподобных вистской теории (специальной теории отно- сительности) движущаяся частица имеет и ионов энергию и импульс, которые определенным образом связаны друг с другом. Собственная С.ВАРЛАМОВ энергия электрона в общей теории относи- тельности равна массе электрона, умножен- В предлагаемой вниманию читателей ста- ной на квадрат скорости света, и эта энергия, тье рассматривается явление ионизации во- выраженная в МэВ, равна Ec 0,511 МэВ. дородоподобных ионов различных атомов. Иными словами, собственная энергия соот- При сравнении энергий ионизации разных ветствует энергии частицы в той системе ионов учитываются поправки, которые при- отсчета, в которой ее импульс равен нулю. водят к уточнению формул для вычисления Связь между полной энергией соответствующих энергий. E mc2 , В 11 классе в школе изучается атомная физика и, в частности, разбирается теория 1  v c 2 Бора, которая хорошо описывает свойства простейшего из атомов – атома водорода. В собственной энергией учебниках по физике приводятся формулы для уровней энергии атома водорода при Ec mc2 различных значениях главного квантового и импульсом частицы числа n. Из этих формул можно получить энергию ионизации атома водорода, т.е. p mv вычислить энергию, которую необходимо сообщить атому водорода, находящемуся в 1  v c 2 основном энергетическом состоянии, чтобы ядро и электрон перестали быть связанными устанавливается релятивистским соотноше- друг с другом и могли разлететься на боль- нием шое расстояние друг от друга. E2 pc 2  Ec2. В предположении, что ядро не движется, При этом величина т.е. что масса ядра во много раз больше Eк E  Ec массы электрона, эта энергия вычисляется называется кинетической энергией. Учет того, по формуле что наш мир не классический, а релятивис- тский, приводит к появлению дополнитель- ного множителя, увеличивающего энергию ионизации и примерно равного E0 mee4 . 1. 8h2H02 1  Eк Ec Если учесть, что у ядра имеется масса Mя и При движении электрона в центральном что движение ядра и электрона в атоме кулоновском поле ядра выполняется инте- происходит вокруг общего центра масс, то ресное соотношение между потенциальной энергией электрического взаимодействия ядра энергия ионизации уменьшается и коэффи- и электрона и кинетической энергией движе- циентом уменьшения является величина ния электрона Mя Mя  me . С учетом того, что ядро имеет Eк  Eп Eион. 2 заряд Q, равный заряду протона, умножен- ному на номер атома в таблице Менделеева: Можно сказать, что энергия ионизации во- Q eN, появляется множитель, увеличива- дородоподобного иона численно равна кине- ющий энергию ионизации водородоподобно- тической энергии электрона в то время, го иона, равный N2. когда он двигался возле ядра, находясь в самом низком энергетическом состоянии (в DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210806 основном состоянии).

Ты размеры-то на глаз поставь, да полдюйма Если математика – это искусство избегать на прочность прибавь. вычислений, то теоретическая физика – это искусство вычислять без математики. Эмпирическое правило кораблестроителей Аркадий Мигдал Математические расчеты нужны нам для … в точном значении любая теоретическая сличения результатов применения идей с из- схема обязательно должна быть доведена до мерениями тех величин, с которыми мы опери- числа, по крайней мере такая возможность руем в наших опытах. обязательно должна быть предусмотрена. Джеймс Клерк Максвелл Борис Болотовский Никогда не начинай вычислений, пока не П.Л.Капица показал нам… всю мощь метода знаешь ответа. Каждому вычислению предпо- оценок порядка величин, исходя из здравого сылай оценочный расчет… смысла и простых физических соображений… Джон Арчибальд Уилер Николай Карлов А так ли хорошо знакомы вам ?вычисления и оценки Уж коли в условии физической задачи Вопросы и задачи приведены численные данные, извольте ее решение довести до числа! А для этого 1. На приемных экзаменах в аспиранту- придется как следует «порыться» в вашем ру академик Ландау предлагал поступаю- математическом арсенале, так как могут щим продолжить последовательность букв потребоваться умения оперировать с обык- «p», «д», «т», «ч», «п»… Что она может новенными и десятичными дробями, про- означать? центами, пропорциями, квадратными кор- нями и прочими, вроде бы нехитрыми, 2. Международная космическая станция вычислительными премудростями. Затем летает на высоте 300 км над поверхностью надо не забыть, в каких единицах должен Земли. Хватит ли количества кубиков объе- быть представлен численный ответ, и про- мом в 1 мм3, содержащихся в 1 м3, чтобы верить его разумность. сложить из них башню такой высоты? Не передоверяйте все подобные дей- 3. Сможете ли вы оценить, на каком ствия калькулятору, ведь самим повозить- расстоянии от вас ударила молния? ся с расчетами – отнюдь не избыточная нагрузка. Зачастую эта работа даже позво- 4. К оси правильно идущих часов приде- ляет найти рациональное решение «в об- лали третью стрелку, которая в каждый щем виде» или подсказывает новый, соб- момент времени делит пополам угол меж- ственный способ продраться сквозь число- ду часовой и минутной стрелками. Сколь- вые джунгли. Если же вы увлечетесь и ко оборотов сделает третья стрелка за набьете руку на задачах-оценках, то цены сутки, если в полночь все три стрелки вам не будет, и это непременно скажется совпадают? на ваших учебных и олимпиадных дости- жениях. 5. Оцените минимальную допустимую продолжительность суток для планеты Попробуйте свои вычислительные силы массой М и радиусом R. на нескольких, надеемся вполне доступ- ных вам, примерах. 6. Как бы вы оценили давление шарико- вой ручки на бумагу при письме? 7. Знаете ли вы, как Архимед придумал «взвесить» число S ?

8. В озере плавает яблоко: 2 его под … заслуга введения в европейскую прак- 3 тику десятичных дробей и алгоритмов дей- водой и 1 над водой. К яблоку подплывает ствий с ними принадлежит нидерландскому ученому и инженеру Симону Стевину. Это 3 было составной частью проекта унификации рыбка и подлетает птичка, которые одно- всей системы мер на десятичной основе. временно начинают его есть, причем птич- … усовершенствование техники записи чисел потребовало тысячелетия. Так, для ка в два раза быстрее, чем рыбка. Какую обозначения нуля в древности вводились специальные знаки либо прибегали к сло- часть яблока съест птичка и какую рыбка? весной формулировке, например – «зерно 9 (физмат-ребус). Замените буквы циф- кончилось». Само понятие числа претер- певало существенные изменения – еще в рами так, чтобы выполнялись приведен- 1585 году тот же Стевин был вынужден бороться за признание единицы числом. ные равенства: Дж ͘м к㠘 м2 . Оди- с2 … вершиной вычислительного искусства наковым буквам соответствуют одинако- было открытие «на кончике пера» планеты Нептун, совершенное в 1846 году француз- вые цифры, разным – разные. ским астрономом Урбеном Леверье. Пред- 10. Оцените скорость, с которой должна сказанное им положение неизвестного не- бесного тела было подтверждено буквально лететь муха, чтобы после удара о стену от через несколько недель наблюдений. нее не осталось и «мокрого места». … еще столетие назад миг – длитель- 11. Кусок металлической проволоки раз- ность мигания глаза («мгновение ока») – считался неимоверно быстрым и трудно резали на две равные части и скрутили поддающимся расчету. Однако современ- ные оценки мига дают не такую уж малую вместе по всей длине. Как изменилось величину: 0,2–0,4 секунды. сопротивление проволоки? … признанным мастером оценок был 12. Электрическая мощность вычисляет- выдающийся физик Энрико Ферми. На испытаниях первой атомной бомбы он с ся, в том числе, по формуле P U2 . помощью отброшенных ударной волной Значит ли это, что если лампу накалиRва- клочков бумаги смог рассчитать мощность взрыва. Проведенный позднее анализ по- ния, рассчитанную на 220 В, включить в казаний многочисленных приборов под- твердил оценку Ферми. сеть напряжением 127 В, то мощность Что читать в «Кванте» лампы уменьшится в 3 раза? о вычислениях и оценках 13. Оцените расстояние между центрами (публикации последних лет) 1. «Одинокая капля в далекой вселенной» – ближайших светочувствительных элемен- 2017, №8, с.31; 2. ««Квант» для младших школьников», тов глаза человека. задача 3 – 2018, №12, с.31; 3. «Объять необъятное, или Ее преПодобие Микроопыт Размерность» – 2019, №2, с.2; Рассчитайте выталкивающую силу, дей- 4. «Численные значения: зачем и почему они ствующую на вас со стороны воздуха в нужны» – 2019, №4, с.2; комнате. Что вам для этого потребуется? 5. «Вычисления без вычислений» – 2020, №1, с.21; Любопытно, что… 6. «Не чихать: пандемия!» – 2020, №4, с.28. ... арифметика – искусство счета – возникла в связи с простыми практичес- Материал подготовил А.Леонович кими потребностями, прежде всего с тор- говлей и измерениями, у самых разных народов. Таблица названий первых деся- ти чисел на двух десятках индоевропейс- ких языков выдает их явное сходство происхождения. … в развиваемой пифагорейцами систе- ме мира арифметика играла первостепен- ную роль. Сам Пифагор стремился упоря- дочить физические явления на основе гар- монических соотношений между целыми числами.

34 К В А Н T $ 2 0 2 1 / № 8 В физических справочниках можно найти ны  Aмакс  Aмин 2 составляют всего потенциалы ионизации атомов и ионов вплоть до полной ионизации атома для различных 2  Aмакс  Aмин ˜ 100% 0,08%. элементов таблицы Менделеева. Нас будут интересовать значения энергий ионизации, Aмакс  Aмин когда от ядра удаляется самый последний электрон. Учитывая описанные ранее по- Или примерно 0,04% на изменение заряда на правки, приходим к выводу, что если экспе- 18 36 2 единиц. Если считать, что тенден- риментальное значение энергии ионизации ция к уменьшению вычисленной величины с водородоподобного иона умножить на ко- ростом заряда сохранится, то даже для изме- эффициент нения заряда от 18 до 92 ее уменьшение Mя  me 1  Eион Ec , составит всего 0,04% ˜ 92  18 18 | 0,16%. N2Mя С учетом этой тенденции оценим энергию ионизации, например, водородоподобного иона ртути (N 80): то должна получиться одинаковая для всех Aрт § Aмакс  Aмин · ©¨§1  0,0004 ˜ 80  18 · | ¨© 2 ¹¸ 18 ¹¸ водородоподобных атомов величина. Обозна- чим эту величину А, ее размерность есть эВ. | 13,58 эВ. Для каждого значения энергии ионизации водородоподобного иона с помощью про- Вычисления по «обратной» процедуре дают значение Eион рт | 95,4 кэВ. Такая энергия, граммы Excel были проведены вычисления в можно считать, уже сопоставима по величи- соответствии с предложенной процедурой. не с собственной энергией электрона, равной Результаты вычислений для 38 ионов при- ведены в таблице: Значения вычисленной величины А лежат Eс 511 кэВ, и составляет от нее примерно в диапазоне от Aмин 13,59454 для водородо- 19%. подобного иона с ядром криптона (N 36) до Aмакс 13,60602 эВ для атома с ядром Ну и для успокоения совести оценим число дейтерия (N 1). Отличия максимального и N, при котором выведенная формула для минимального значений от средней величи- энергии ионизации водородоподобного иона даст значение Ec 2 (понятно, что вычисле-

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ 35 ния по предложенной процедуре в этом Для точечного ядра потенциал в центре (в точке) бесконечно большой, а для ядра ко- случае уже будут неверными). Итак, нечного размера он имеет некое максималь- ное значение, не бесконечно большое. Рас- E0N2 Ec . пределение заряда ядра по пространству, 2 которое «чувствует» электрон, создается дву-  1  E0N2 Ec мя разными факторами: 1) собственно гео- метрическим размером ядра, 2) движением Численное решение этого уравнения (с по- ядра в электрическом поле, созданном элек- троном. мощью программы Excel) дает для числа N В первом случае соответствующий вклад в величину 122. Известно, что самый большой радиус шарика-ядра пропорционален куби- ческому корню из массового числа ядра. номер элемента (в таблице Менделеева), Если считать, что массовое число ядра при- мерно вдвое больше его зарядового числа, то обнаруженного экспериментально, равен 118 вклад первого фактора в размер области распределения заряда ядра пропорционален (это оганесон, названный в честь научного 'R1 ∼ DZ1 3, т.е. он растет с ростом заряда ядра (D-постоянная величина). руководителя Лаборатории ядерных реак- Во втором случае соответствующий вклад ций имени Г.Н.Флёрова в Объединенном в радиус шарика-ядра определяется соотно- шением неопределенностей (вот такая, по- институте ядерных исследований в Дубне чти шуточная комбинация слов получилась) 'p'R t h, где 'p – это неопределенность Юрия Цолаковича Оганесяна). Следователь- импульса, 'R – неопределенность соответ- ствующей координаты, h – постоянная План- но, можно предположить, что найденная ка. Таким образом, связь между физическими величинами, от- носящимися к водородоподобным ионам, справедлива для всех элементов таблицы Менделеева с номерами, меньшими 80. На этом можно было бы и закончить рас- сказ, но не дает покоя тот факт, что наблюда- ется явная тенденция к уменьшению величи- ны, вычисленной с помощью описанной про- цедуры, с ростом заряда и массы (массового числа) ядра. Каким может быть объяснение этой тенденции? Возможно, это связано с тем, что ядро, вокруг которого движется элект- p2 p2 2Mя 4ZMp рон, не является точечным. Заряд ядра рас- | Z2 ˜ const, пределен в некоторой области пространства, и для электрона, находящегося возле этого следовательно, 'R2 ∼ E ˜ Z3 2, т.е. этот вклад в размер ядра убывает с ростом Z (E – ядра, такое распределение заряда ядра при- постоянная величина). водит к уменьшению энергии связи. Действи- В итоге получается, что нужно вычислить поправки к энергии взаимодействия, связан- тельно, функция распределения плотности ные с тем, что заряд ядра распределен в области с радиусом примерно равным вероятности обнаружения электрона в про- DZ1 3  EZ3 2. Чтобы учесть действие этих странстве вблизи ядра для основного самого «новых» двух факторов, надо будет к уже вычисленной величине A (которая приведе- низкоэнергетического состояния этого иона на в четвертом столбце таблицы) добавить поправки, связанные с изменением энергии имеет максимум и убывает с расстоянием х от взаимодействия, которое обусловлено «не- точечностью» ядра, поделенным на квадрат центра распределения (закон убывания – это числа Z. экспонента ex a, где a – константа). И если Проверку правильности дополнительных бы ядро было точечным, то рост потенциала соображений, возможность вычисления ве- личин D, E и изменений энергии взаимодей- электрического поля, созданного ядром, при ствия предоставляем читателям, заинтересо- вавшимся проблемой. приближении к этой точке описывался бы зависимостью 1. R U ∼ А если ядро имеет размер и внутри этого (предположим) шарика с радиусом R0 заряд распределен равномерно, то при приближении к центру этого шарика (внутри шарика), потенциал описывается другой зависимостью: U 1 1 R R0 2  1 1 § 3  R R0 2 ¸¹¸·. R0 R0 R0 ¨¨© 2 2 ∼ 2

ОЛИМПИАДЫ LXII туллин (КазаньМосква, 11 класс), Максим Международная математическая Туревский (Санкт-Петербург, 10 класс). Результаты команды России подтвердили олимпиада высокий уровень образования и подготовки команды: наши ребята завоевали пять золо- тых медалей и одну серебряную и заняли второе место в общекомандном зачете. Первое место – у сборной Китая. В таблице приведе- В июле происходило главное математичес- ны результаты наших участников по задачам. кое соревнование школьников в году – меж- Отметим успешное выступления Максима дународная математическая олимпиада Туревского, у которого абсолютное второе школьников. Из-за продолжающейся панде- место в общем индивидуальном рейтинге. мии, как и в прошлом году, олимпиада прошла раздельно в более 140 специальных Подробная информация и статистика ре- экзаменационных центрах, оборудованных зультатов IMO представлена на официаль- видеонаблюдением, где 19 и 20 июля прово- дились два тура олимпиады. Как и в 2020 ном сайте http:imo-official.com олимпиады. году, страной-организатором IMO выступа- ла Россия, центральный оргкомитет олимпи- ады работал в Санкт-Петербурге на базе РГПУ им. А.И.Герцена. В олимпиаде приня- ли участие 619 юных математиков из 107 стран. Нашу страну на олимпиаде представляли: Иван Бахарев (Санкт-Петербург, 10 класс), Айдар Ибрагимов (Казань/Москва, 11 класс), Матвей Исупов (Ижевск, 11 класс), Андрей Шевцов (Москва, 11 класс), Данил Сибга-

ОЛИМПИАДЫ 37 Большой вклад в подготовку сборной сво- Докажите, что прямые BC, EF и O1O2 пере- им участием в различных мероприятиях по секаются в одной точке. работе с командой внесли математики и педагоги: К. Сухов (руководил процессом Украина подготовки), В.Брагин, Б.Баев, А.Кушнир, В.Кузнецов, П.Козлов, Н.Власова, М.Пра- 4. Дана окружность * с центром I. Выпук- тусевич, К.Кноп и многие другие. Отметим лый четырехугольник ABCD таков, что каж- с благодарностью большую помощь и под- дый из отрезков AB, BC, CD и DA касается держку в организационных и содержатель- *. Пусть : – описанная окружность треу- ных вопросах подготовки команды, которую гольника AIC. Продолжение отрезка BA за оказали Образовательный центр «Сириус» точку A пересекает : в точке X, продолже- (Сочи), Центр педагогического мастерства ние отрезка BC за точку C пересекает : в (Москва), Президентский физико-матема- точке Z. Продолжения отрезков AD и CD за тический лицей № 239 (Санкт-Петербург), точку D пересекают : в точках Y и T Математический институт РАН (Москва, соответственно. Докажите, что Санкт-Петербург). AD  DT  TX  XA CD  DY  YZ  ZC. Задачи олимпиады Польша 1. Дано целое число n t 100. Ваня написал числа n, n  1, …, 2n на n  1 карточке, 5. Чип и Дейл собрали на зиму 2021 каждое по одному разу. Затем он перемешал орешек. Чип пронумеровал орешки числами колоду из этих карточек и разделил ее на две от 1 до 2021 и вырыл 2021 маленькую ямку стопки. Докажите, что хотя бы одна из двух вокруг их любимого дерева. На следующее стопок содержит две карточки, сумма чисел утро он обнаружил, что Дейл положил в на которых – точный квадрат. каждую ямку по орешку, ничуть не беспоко- ясь о порядке. Расстроившись, Чип решил Австралия переупорядочить орешки при помощи следу- ющей последовательности из 2021 действия: 2. Докажите, что для любых веществен- во время k-го действия он меняет местами орешки, соседние с орешком под номером k. ных чисел x1, …, xn выполняется неравен- Докажите, что найдется такое число k, что во ство время k-го действия поменялись местами орешки с номерами a и b такими, что a  k  b. nn nn xi  xj . Канада Испания ¦¦ xi  xj d ¦ ¦ i 1j 1 6. Дано целое число m t 2. В конечном i 1j 1 множестве A, состоящем из (не обязательно положительных) целых чисел, нашлись та- 3. Точка D внутри остроугольного треу- кие подмножества B1, B2, …, Bm, что при каждом k 1, 2, …, m сумма элементов гольника ABC, в котором AB ! AC, такова, множества Bk равна mk. Докажите, что А что ‘DAB ‘CAD. Точка E на отрезке AC содержит хотя бы m 2 элементов. такова, что ‘ADE ‘BCD; точка F на от- резке AB такова, что ‘FDA ‘DBC; точка Австрия X на прямой AC такова, что CX BX. Точки Публикацию подготовили К. Сухов, O1 и O2 – центры описанных окружностей В. Брагин, А. Кушнир, П.Кожевников треугольников ADC и EXD соответственно.

38 К В А Н T $ 2 0 2 1 / № 8 тур. Методическое пособие / под ред. А.В.Чудновского – М.-Якутск, 2021. Ниже представлены теоретические задачи для старшей лиги и список победителей олимпиады. XXVIII Теоретический тур Международная Старшая лига олимпиада школьников Задача 1. Прыгучая кошка «Туймаада» 1) Кошка хочет перепрыгнуть с одной полки на другую, а затем обратно. Известны Физика минимальные начальные скорости v1 и v2 кошки, при которых она сможет осуще- В июле этого года в Якутске прошла ствить эти прыжки. Найдите модуль разно- XXVIII Международная олимпиада «Туй- сти высот Н и расстояние R между полками. маада» по физике, математике, информати- 2) Кошка массой m прыгает по полкам A1, ке и химии. Особенностью олимпиады в этом A2 , ..., An в указанном порядке году стала очно-дистанционная форма (без (A1 o A2 o … o An), останавливаясь после привычного экспериментального тура): каждого прыжка. Разность высот между школьники из Якутска участвовали очно, а последней и первой полками равна 'H, а из других регионов и стран – дистанционно. длина ломаной A1A2 … An равна L. Чему равна минимальная энергия, необходимая Участники олимпиады по физике соревно- кошке для всей серии прыжков? Считайте, вались, как обычно, в двух лигах: старшей и что при прыжке КПД кошки равен 100%, а младшей (жюри распределяет участников по при приземлении она энергию не затрачива- лигам в зависимости от их возраста и клас- ет. Кошку и все полки считайте материаль- са). Согласно программе олимпиады по ными точками, сопротивление воздуха не физике участникам могут быть предложены учитывайте, ускорение свободного падения задачи на любые темы, содержащиеся в уг- g известно. лубленной школьной программе (в младшей лиге – за исключением тем, относящихся к М.Ермилов выпускному и предвыпускному классам). Задача 2. Рычаги на  рычаге Авторы оригинальных задач (как теорети- На горизонтальной плоскости стоит ку- ческих, так и экспериментальных) могут бик, на котором лежит невесомый рычаг, на присылать их методической комиссии котором стоят два невесомых кубика, на ([email protected]) – лучшие задачи войдут в которых лежат невесомые рычаги, на концах итоговый комплект и будут опубликованы в которых закреплены маленькие грузики образовательных журналах. массами М, m1, m2 и m (рис.1). Все три рычага расположены в одной вертикальной Статья подготовлена на основании методи- плоскости, параллельной паре граней каж- ческого пособия: А.В.Чудновский, Р.Е.Ава- дого кубика и совпадающей с плоскостью несян, А.Б.Акимов, А.И.Бычков, С.Д.Вар- рисунка. Для отсчета длин по рисунку все ламов, М.М.Ермилов, С.И.Кошоридзе, С.П.Крюков. XXVIII Международная олим- пиада «Туймаада». Физика. Теоретический

ОЛИМПИАДЫ 39 Рис. 1 мальном давлении и температуре ниже t0 0 qC. В систему внесли очень маленький три рычага разделены поперечными метка- кусочек льда, ставший центром кристалли- ми на равные отрезки. При каких значениях зации. При какой наибольшей начальной массы m возможно равновесие, если M 40 г, температуре tmax замерзнет вся вода? Найди- а массы m1 и m2 можно брать любые? В те массу m образовавшегося льда, если на- качестве ответа укажите, сколько среди най- денных вами значений массы m выражаются чальная температура t выше tmax. Удельную целым числом граммов. теплоемкость воды c 4200 Дж к㠘 Сq А.Чудновский считайте не зависящей от температуры, удель- Задача 3. Осцилляторы В этой задаче рассматриваются осциллято- ная теплота кристаллизации воды при нор- ры без диссипации энергии (сил сопротивле- мальном давлении и температуре t0 равна ния нет, все удары абсолютно упругие). O 330 кДж кг. Считайте потенциальную энергию равной нулю в нижней точке траектории. С.Кошоридзе 1) Вертикальный осциллятор Винтика представляет собой шарик, подпрыгиваю- Задача 5. Тройная смесь щий над упругой горизонтальной плоско- стью. Найдите отношение k1 средней за пери- В процессе изотермического сжатия смеси од колебаний кинетической энергии такого осциллятора к полной энергии колебаний. трех идеальных газов, взятых в равных 2) Параболический осциллятор Шпунтика представляет собой шарик, движущийся туда- количествах, давление смеси зависело от сюда по одной и той же параболе между двумя симметричными упругими опорами, накло- объема так, как схе- ненными под углом M к горизонту (рис.2). Най- матически (без со- дите отношение k2 сред- ней за период колебаний Рис. 2 блюдения масштаба) кинетической энергии такого осциллятора к полной энергии колебаний при M 45q. показано на рисунке 3) Незнайка решил сделать осциллятор Шпунтика «гармоническим», выбрав угол 3. Используя указан- M таким, чтобы средние за период колеба- ний кинетическая и потенциальная энергии ные на графике чис- шарика были одинаковы (как это было бы при настоящих гармонических колебаниях). ленные значения, При каком M Незнайка сможет достичь цели? найдите отношение Рис. 3 А.Акимов p1  p3 p2. В каче- Задача 4. Переохлажденная вода В теплоизолированном сосуде находилась стве ответа укажите переохлажденная вода массой М при нор- искомую величину, округленую до трех цифр после запятой. А.Чудновский Задача 6. Заряд около конденсатора К уединенному незаряженному плоскому конденсатору емкостью C снаружи подносят точечный заряд q, располагая его рядом с центром ближайшей пластины вдали от ее краев. 1) Найдите напряжение U на конденсаторе. 2) Какую внешнюю силу F и в какую сто- рону нужно прикладывать к точечному заря- ду, чтобы удерживать его в покое относи- тельно неподвижного конденсатора, если до- полнительно известны расстояние d между пластинами и расстояние a между точечным зарядом и ближайшей к нему пластиной? С.Крюков, С.Варламов Задача 7. Переменный накал Вольт-амперная характеристика (ВАХ) некоторой лампы накаливания описывается формулой I § U · 15 B и a ¨©¨ b  1  1¸¸¹, где b

40 К В А Н T $ 2 0 2 1 / № 8 a – константы, причем отличие данной ВАХ Ярослав Шастин, Россия – диплом III степени, от прямой пропорциональности связано толь- ко с зависимостью сопротивления от тем- Arsenii Samoilenko, Казахстан – диплом пературы. Лампу подключают к источнику III степени, переменного напряжения U U0 sin Zt с ам- плитудойU0 115 B и такой большой цикли- Степан Ефимов, Россия – диплом III ческой частотой Z, что изменением темпера- степени и спецприз, туры нити накаливания лампы за один пери- од колебаний напряжения можно пренеб- Андрей Хритов, Россия – диплом III сте- речь. Найдите отношение амплитуды коле- пени, баний силы тока в ходе нескольких первых периодов к амплитуде колебаний силы тока Данил Елисеев, Россия – диплом III степе- через продолжительное время. В качестве ни и спецприз, ответа укажите искомую величину, округ- ленную до трех цифр после запятой. Алина Мочалова, Россия – диплом III степени. А.Чудновский Старшая лига Задача 8. Зеркальная Земля В начальный момент времени МКС (меж- Vladimir Lim, Казахстан – диплом I степени, дународная космическая станция), летящая Иван Пыльцин, Россия – диплом I степени, по круговой орбите вокруг Земли на высоте Daniil Shatokhin, Казахстан – диплом II H 400 км над ее поверхностью, пересекала степени, отрезок, соединяющий центры Земли и Сол- Святослав Красин, Россия – диплом II нца, а непосредственно под МКС космонав- степени, ты могли сквозь чистое небо наблюдать Кирилл Чиветьев, Россия – диплом II полный штиль на большой области Тихого степени, океана. Через какое время Т изображение Станислав Новиков, Россия – диплом II Солнца в океане будет приближаться к МКС степени и спецприз, со скоростью u 0,4 км с? На каком рассто- Nurdaulet Nazarbay, Казахстан – диплом янии L от МКС будет изображение в этот II степени, момент времени? Землю считайте шаром Alisher Yerkebayev, Казахстан – диплом радиусом R 6400 км, ускорение свободно- III степени, го падения на поверхности Земли g 10 м с2. Кирилл Лавыгин, Россия – диплом III степени, С.Варламов Михаил Дьячковский, Россия – диплом III степени и спецприз, Победители олимпиады Yavor Miroslavov Yordanov, Болгария – диплом III степени, Младшая лига Horia Mercan, Румыния – диплом III степени. Егор Потапов, Россия – диплом I степени, Alexandru Strambei, Румыния – диплом II Публикацию подготовили степени, А.Чудновский, Ю.Григорьев Akezhan Shahabdin, Казахстан – диплом II степени, Максим Наумов, Россия – диплом II сте- пени, Никита Стефанов, Россия – диплом II степени, Erdaulet Nakhip, Казахстан – диплом III степени, Amirgali Malikov, Казахстан – диплом III степени, Arthur Nikolaenko, Казахстан – диплом III степени,

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ МАТЕРИАЛЫ Национальный чивается со временем по линейному закону исследовательский v at, где a 1 м с2. Проскальзывание шай- бы начинается в момент, когда цилиндр университет повернулся на угол M S 6 относительно «МИЭТ» первоначального положения. Определите коэффициент трения между цилиндром и Национальный исследовательский универ- шайбой. Ускорение свободного падения ситет «МИЭТ» на протяжении многих лет g 10 м с2. проводит для старшеклассников олимпиады по математике, физике и информатике, кото- 3. В теплоизолированном цилиндрическом рые пользуются большой популярностью сосуде объемом V0 1 л под поршнем нахо- среди школьников страны. С 2015 года в дятся небольшой электронагреватель и од- заочной (дистанционной) форме проводится ноатомный идеальный газ при давлении олимпиада школьников «РИТМ МИЭТ». p0 100 кПа . Поршень начинают переме- Ежегодно в 9 секциях олимпиады принима- щать с постоянной скоростью, включив при ют участие более 2000 человек. В 2018 году этом электронагреватель и регулируя его университет организовал очную Физико- мощность так, что давление в сосуде изменя- математическую олимпиаду МИЭТ, которая ется пропорционально объему газа. Опреде- проходит в нескольких десятках городов лите минимальную и максимальную мощно- России и стран СНГ. С 2019 года также сти нагревателя при увеличении объема газа проводится олимпиада школьников «Элект- в 2 раза за время t0 400 с. ронный наномир». 4. Состояние двухатомного идеального газа Ниже приводятся задачи по физике зак- изменяется по циклу Карно. Минимальный лючительного этапа олимпиады «РИТМ объем газа в цикле V 1 л, максимальное МИЭТ», варианты Физико-математической давление p 200 кПа. При адиабатическом олимпиады МИЭТ и избранные задачи олим- расширении газ совершает за цикл работу пиады «Электронный наномир». A 150 Дж. Определите КПД цикла. Интернет-олимпиада «РИТМ МИЭТ» 5. Три одинаковых шарика соединены дву- мя легкими нерастяжимыми нитями одина- Заключительный этап ковой длины (рис.2). Крайние шарики поло- 1. В момент отправления поезда с ускоре- Рис. 2 нием a 1 м с2 пассажир находился на рас- стоянии r 15 м от открытой двери своего жительно заряжены. В начальный момент вагона и на 10 м позади нее (рис.1). С какой шарики находятся на одной прямой, скоро- сти крайних равны нулю, а средний шарик Рис. 1 движется в направлении, перпендикуляр- минимальной скоростью и в каком направле- ном нитям, с кинетической энергией, равной нии должен бежать пассажир, чтобы заско- потенциальной энергии электрического вза- чить в свой вагон? имодействия крайних шариков. Определи- те: а) минимальный угол между нитями при 2. Ось полого цилиндра горизонтальна. движении шариков; б) угол E между нитями Небольшая шайба находится внутри цилин- в момент времени, когда скорость среднего дра в нижней точке. Цилиндр начинают шарика равна нулю. Силой тяжести пренеб- вращать вокруг его оси так, что скорость речь. шайбы до начала ее проскальзывания увели- 6. К двум медным стержням прижали П- образный медный проводник (рис.3). Со- противления четырех контактов П-образно- го проводника со стержнями равны R1 R2 R3 1 Ом и R4 3 Ом. Эти сопро- тивления значительно превышают сопро- тивления самих стержней и П-проводника.

42 К В А Н T $ 2 0 2 1 / № 8 Рис. 3 Рис. 4 щать вокруг вертикальной оси, проходящей через ее левый конец. При этом модуль Определите сопротивление между стержня- скорости бусинки растет пропорционально ми 1 и 2. времени: v at. Коэффициент трения между бусинкой и спицей равен P 0,2, сила тяже- 7. Неподвижный П-образный проводник и сти пренебрежимо мала. Найдите: а) угловое подвижная перемычка, находящаяся в элек- ускорение спицы E, если a 2 м с2; б) длину трическом контакте с ним, расположены в дуги s, которую бусинка опишет при поворо- постоянном однородном магнитном поле. В те спицы, прежде чем начнется скольжение контур включен источник ЭДС и резистор бусинки по спице. (рис.4). Чтобы перемещать перемычку по П- 3. Тело массой m 0,5 кг бросили с балко- образному проводнику с постоянной скорос- на под некоторым углом к горизонту. Когда потенциальная энергия тела уменьшилась на тью v, к ней следует приложить силу F, а 'Eп 16 Дж, его кинетическая энергия ста- ла равной Eк 25 Дж. С какой начальной чтобы перемещать перемычку в том же на- скоростью v0 брошено тело? Сопротивлени- правлении с постоянной скоростью 2v, не- ем воздуха пренебречь. обходимо приложить силу 3F. Определите 4. Средняя квадратичная скорость молекул силу F0, необходимую для удерживания пе- азота, который содержится в воздухе комна- ремычки в неподвижном состоянии. Все при- ты объемом V 75 м3, равна vкв 500 м с. кладываемые силы лежат в плоскости П- Считайте, что воздух состоит из азота и проводника и перпендикулярны перемычке. кислорода. Концентрация молекул азота в Силами трения и тяжести пренебречь. Со- E 4 раза больше концентрации молекул противление проводящего контура считать кислорода. Атмосферное давление p0 105 Па, постоянным. молярная масса азота 0 28 ˜ 103 кг моль, универсальная газовая постоянная R Физико-математическая олимпиада МИЭТ 8,3 Дж К ˜ моль . а) Какова температура 10 класс T воздуха в комнате? б) Чему равна масса m Вариант 1 азота в комнате? 1. Тело брошено вертикально вверх с на- чальной скоростью v0 с некоторой высоты. 5. Четыре одинаковых медных шарика при- Путь, пройденный телом вверх, оказался в жаты друг к другу (рис.6). Считая, что n 4 раза меньше пути, пройденного вниз. а) Во сколько раз максимальная скорость Рис. 6 тела больше его начальной скорости? б) Че- сопротивления всех контактов между шари- ками одинаковые, определите, во сколько раз му равна начальная скорость тела v0, если увеличится электрическое сопротивление меж- тело находилось в полете время t 3 с? ду шариками A и B, если шарик D убрать. Ускорение свободного падения g 10 м с2. Вариант 2 Сопротивлением воздуха пренебречь. 1. Тело брошено с некоторой высоты гори- 2. Бусинка надета на шероховатую гори- зонтально. Высоту увеличивают в 9 раз. Во сколько раз надо увеличить начальную ско- зонтальную спицу на расстоянии r 1 м от рость тела, чтобы отношение высоты к гори- левого конца (рис.5). Спицу начинают вра- зонтальной дальности полета осталось пре- жним? Сопротивлением воздуха пренебречь. Рис. 5 2. На горизонтальном полу стоит тележка, на тележке покоится ящик (рис.7). Если

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ МАТЕРИАЛЫ 43 Рис. 7 11 класс Вариант 1 тележку разгонять, действуя на ящик с го- 1. Шарик брошен вертикально вверх. Че- рез промежуток времени, равный 1 3 време- ризонтальной силой F, то тележка движется ни подъема на максимальную высоту, шарик относительно пола с ускорением a1 1,2 м с2, оказался на высоте h 5 м над точкой бро- если эту силу увеличить в 3 раза, то ускоре- сания. На какую максимальную высоту Н ние тележки становится равным a2 2,5 м с2. поднялся шарик? Сопротивлением воздуха Определите: а) коэффициент трения между пренебречь. ящиком и тележкой; б) ускорение тележки, 2. На горизонтальной поверхности стола если на ящик действует сила 2F. Трением стоит тележка, на тележке покоится шайба качения пренебречь. Ускорение свободного (рис.9). Если тележку разгонять, действуя падения g 10 м с2. Масса тележки в 2 раза больше массы ящика Рис. 9 3. Шар массой M падает без начальной на нее с горизонтальной силой F, то шайба скорости с некоторой высоты. Когда высота движется относительно стола с ускорением шара над землей уменьшилась в 2 раза, в a1 1 м с2; если эту силу увеличить в 4 раза, шар попала горизонтально летящая пуля то ускорение шайбы становится равным массой m и застряла в нем. За время удара a2 2 м с2. Определите: а) коэффициент трения между шайбой и тележкой; б) уско- скорость шара увеличилась от v1 4 м с до рение шайбы при действующей на тележку v2 1,5v1, а вектор скорости шара повернул- силе 3F. Трением качения пренебречь. Уско- ся на угол M 60q. Высота шара над землей рение свободного падения g 10 м с2. за это время практически не изменилась. 3. В баллон объемом V 300 л, содержа- щий m 0,35 кг газообразного метана, зака- Пренебрегая сопротивлением воздуха и вра- чали пропан, в результате чего концентра- щением шара, определите: а) скорость v3 ция молекул газа в баллоне увеличилась в 3 шара перед ударом о землю; б) отношение раза и установилось давление p 600 кПа. масс M m. Определите: а) парциальное давление мета- на pм в баллоне; б) среднюю квадратичную 4. В баллон объемом V 100 л, содержа- скорость vкв молекул метана. Газы считайте щий m 0,35 кг газообразного пропана, за- идеальными, температуру постоянной. качали метан, в результате чего концентра- ция молекул газа в баллоне увеличилась в 3 4. Заряд q однородно распределен по раза и установилось давление р 600 кПа. одной из сторон правильного треугольника, Определите: а) парциальное давление про- при этом напряженность электрического поля пана pп; б) среднюю квадратичную скорость в центре треугольника равна E. Определите vкв молекул пропана. Газы считайте идеаль- напряженность электрического поля в цент- ными, температуру постоянной. ре того же треугольника в случае, когда стороны треугольника имеют заряды q, q и 5. Четыре медных стержня прижаты друг 3q (рис.10), каждый из которых однородно к другу (рис.8). Определите электрическое распределен по соответствующей стороне. Рис. 8 Рис. 10 сопротивление: а) R34 между стержнями 3 и 4; б) R13 между стержнями 1 и 3. Сопротив- ление каждого контакта между двумя стерж- нями равно R 0,8 Ом и значительно пре- вышает сопротивление самого стержня.

44 К В А Н T $ 2 0 2 1 / № 8 5. Вольтметр, подключенный к клеммам 5. Вольтметр, подключенный к клеммам батареи с ЭДС E 12 В, показывает напря- батареи, показывает напряжение U1 5 В. жение U1 9 В. К клеммам батареи подклю- Когда к клеммам батареи подключили вто- чают второй такой же вольтметр. Найдите рой такой же вольтметр, вольтметры показа- показание U2 вольтметров. ли U2 3 В. Определите ЭДС E батареи. Вариант 2 Олимпиада «Электронный наномир» 1. Тело брошено с некоторой высоты гори- Избранные задачи зонтально. Высоту увеличивают в 4 раза. Во сколько раз надо увеличить начальную ско- 10 класс рость тела, чтобы отношение высоты к гори- 1. С гладкой крыши, имеющей внизу гори- зонтальной дальности полета осталось пре- зонтальный участок, соскальзывает каму- жним? Сопротивлением воздуха пренебречь. шек. а) Определите горизонтальную даль- 2. На горизонтальном полу стоит тележка, ность полета l камушка, если точка А, из на тележке покоится ящик (см. рис.7). Если которой он начал скольжение, расположена тележку разгонять, действуя на ящик с гори- на высоте H 8 м, а нижний край крыши зонтальной силой F, то тележка движется находится на высоте h 6 м над поверхнос- относительно пола с ускорением a1 1 м с2; тью земли (рис.12). б) Под каким углом D если эту силу увеличить в 4 раза, то ускоре- ние тележки становится равным a2 1,5 м с2. Рис. 12 Определите: а) коэффициент трения между к горизонту нужно бросить с земли камушек ящиком и тележкой; б) ускорение тележки, с минимально возможной начальной скорос- если на ящик действует сила 3F. Трением тью, чтобы он достиг точки А? качения пренебречь. Ускорение свободного падения g 10 м с2. Масса тележки в 3 раза 2. Шайба после толчка скользит по непод- больше массы ящика. вижной горизонтальной платформе с уско- 3. В баллон объемом V 150 л, содержа- рением a1 5 м с2 и останавливается. После щий m 0,35 кг газообразного пропана, за- этого платформу начинают поворачивать качали метан, в результате чего масса газа в вокруг вертикальной оси так, что скорость баллоне увеличилась в 3 раза и установилось шайбы увеличивается со временем по закону давление р 780 кПа. Определите: а) пар- v a2t, где a2 4 м с2. Определите: а) уско- циальное давление пропана pп в баллоне; б) рение a3 шайбы в момент времени, когда она среднюю квадратичную скорость vкв моле- начнет скользить по платформе; б) угол, на кул пропана. Газы считайте идеальными, который повернется платформа к этому мо- температуру постоянной, молярные массы менту времени. пропана и метана относятся как 11:4. 4. Заряд q однородно распределен по одной 3. В результате абсолютно упругого стол- из сторон квадрата, при этом напряженность кновения частицы массой m с покоившейся электрического поля в его центре равна E. частицей массой m 2 они разлетелись сим- Определите напряженность электрического метрично относительно первоначального поля в центре того же квадрата в случае, направления движения налетающей части- когда три его стороны имеют заряды q, 2q и цы. Определите угол между направлениями 3q (рис.11), каждый из которых однородно разлета частиц. распределен по соответствующей стороне, а заряд четвертой стороны квадрата равен нулю. 4. В теплоизолированном цилиндрическом сосуде объемом V0 1 л под поршнем нахо- Рис. 11 дятся небольшой электронагреватель и од- ноатомный идеальный газ при давлении p0 100 кПа. Поршень начинают переме- щать с постоянной скоростью, включив при этом электронагреватель и регулируя его

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ МАТЕРИАЛЫ 45 мощность так, что температура в сосуде Рис. 14 остается постоянной. За время t0 500 с объем газа в сосуде увеличился в 2 раза. полусферы, имела скорость 5v. а) Опреде- Определите минимальную и максимальную лите разность потенциалов M1  M2 электро- мощности нагревателя в этом процессе. статического поля полусферы в точках 1 и 2. б) С какой скоростью бусинка ударилась о 5. Три одинаковых шарика соединены дву- внутреннюю поверхность полусферы? мя легкими нерастяжимыми нитями одина- ковой длины (рис.13). Крайние шарики за- 4. Наночастицей принято называть изоли- рованный твердофазный объект, имеющий Рис. 13 отчетливо выраженную границу с окружаю- щей средой, максимальный размер которого ряжены положительно. Сначала шарики в любом направлении составляет от 1 до удерживают в вершинах равнобедренного 100 нм. Какое количество электронов можно треугольника при натянутых нитях, а затем удержать на сферической проводящей нано- одновременно отпускают. В системе возни- частице радиусом R 50 нм, если предель- кают колебания с максимальной кинетичес- ная напряженность электрического поля кой энергией Emax 0,1 Дж и максимальной окружающей среды Emax 2 ˜ 106 В м, а ди- потенциальной энергией электрического вза- электрическая проницаемость окружающей имодействия Umax 2Emax. Определите: частицу среды H 11,7? Коэффициент про- а) максимальную кинетическую энергию E1 порциональности в законе Кулона среднего шарика; б) минимальный угол Dmin k 9 ˜ 109 Н ˜ м2 Кл2. между нитями. Силой тяжести пренебречь. 5. На диэлектрической подложке сформи- 11 класс рована двухуровневая металлизация, фраг- 1. На горизонтальной поверхности земли мент которой показан на рисунке 15. Алю- находится гладкая полусфера радиусом R. Из ее верхней точки А начинает скользить Рис. 15 небольшой камушек. а) С какой скоростью v миниевые проводники 1 и 2 лежат в нижнем он упадет на землю? б) Под каким углом D слое металлизации, а проводники 3 и 4 – в к горизонту будет направлена эта скорость? верхнем, отделенном от нижнего слоя диэ- в) Под каким углом E к горизонту нужно лектриком. Каждый проводник подсоединен бросить камушек с поверхности земли с к изолированной от других проводников минимально возможной начальной скорос- контактной площадке. Потенциалы провод- тью, чтобы он достиг точки А? ников равны M1 4 В, M2 3 В, M3 2 В, 2. Цилиндрический сосуд с водой находит- M4 1 В соответственно. Сопротивление меж- ся в помещении, в котором поддерживается ду проводниками в местах их перекрытия влажность воздуха M1 70% при неизменной R 100 МОм значительно больше сопро- температуре. Уровень воды в сосуде пони- тивления самих проводников. Определите жается со скоростью v1 0,2 см сутки. Оп- ток I, втекающий в рассматриваемый фраг- ределите, с какой скоростью v2 будет пони- мент по проводнику 1. жаться уровень воды в сосуде, если влаж- ность воздуха в комнате станет M2 50% при Публикацию подготовили Г.Гайдуков, той же температуре. И.Горбатый, А.Спиридонов, И.Федоренко 3. Заряженная бусинка массой m и заря- дом q скользит без трения по нити, натяну- той вдоль оси симметрии однородно заря- женной неподвижной диэлектрической по- лусферы, приближаясь к ее внутренней по- верхности (рис.14). Воображаемую границу сферы бусинка пересекла в точке 1 со скоро- стью v, а в точке 2, совпадающей с центром

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ «Квант» для младших школьников 2. Да, хватит. (см. «Квант» №7)  Так как 1 м3 103 мм 3 109 мм3, то миллиард 1. Когда поезд начинает тормозить, мы по инер- кубиков, положенных друг на друга, образуют ции движемся вперед с прежней скоростью и потому наклоняемся вперед. Чтобы не упасть, башню высотой 109 мм 106 м 103 км 1000 км. мы напрягаем мышцы, сопротивляясь наклону. 3. Скорость света – это 300 тысяч километров в Это напряжение сохраняется все время, пока секунду, т.е. свет от молнии дойдет до вас прак- поезд тормозит, и в момент остановки дергает тически мгновенно. Скорость же звука в возду- нас немного назад. хе – примерно 330 метров в секунду, т.е. звук 2. 5. проходит один километр примерно за 3 секунды. Пронумеруем гостей и их пары калош числами Поэтому если, увидев молнию, вы начнете мед- от 1 до 10 в порядке возрастания размера калош. ленно считать секунды до прихода звука, то Предположим, что осталось 6 гостей (и, соответ- умножив их число на три, оцените и расстояние ственно, 6 пар калош). Тогда наименьший номер до нее в километрах. оставшегося гостя не больше 5, а наибольший номер оставшихся пар калош не меньше 6, по- 4.Минутная стрелка впервые «догонит» часовую этому гость с наименьшим номером сможет на- деть калоши с наибольшим номером. Противоре- в 12 ч пополуночи, когда дополнительная стрел- чие. С другой стороны, если последовательно 11 уходили гости с номерами 1, 2, 3, 4, 5 и надева- ли, соответственно, калоши с номерами 10, 9, 8, ка будет продолжением первых двух. Еще через 7, 6, то ни один из оставшихся пяти гостей не 12 ч все три стрелки снова совпадут, т.е. от сможет надеть ни одну пару оставшихся калош. 11 3. Не следует. первого совпадения всех трех стрелок до следу- ющего проходит 24 ч. В сутках укладывается в Пусть пешеход идет полчаса со скоростью 10 кмч, точности одиннад1ц1ать таких промежутков. За каждый из них дополнительная стрелка повора- затем полчаса отдыхает и т.д. Тогда за каждый час он будет проходить ровно 5 км, а всего чивается на один полный оборот плюс еще 2 пройдет 20 км (поскольку идти он будет четыре 11 получасовых интервала). Средняя скорость при полного оборота. Таким образом, всего за сутки этом равна 20 км : 3,5 ч ! 5 кмч. она сделает 13 оборотов. 4. Пусть сначала Коля взвесит по две монеты. Рассмотрим два случая. 5. Чтобы тело с поверхности планеты не улетело 1) Весы в равновесии. Коля может сравнить веса двух монет, лежащих (при первом взвешивании) в космос, нужно, чтобы скорости всех его точек на одной чашке. Если их веса равны, то равны веса всех монет, т.е. фальшивых либо 0, либо 4. были меньше первой космической скорости vI . Если же веса не равны, то ровно одна из монет фальшивая. Но тогда и на другой чашке ровно На экваторе v  vI и 2SR  gR G M R, от- одна фальшивая, т.е. фальшивых монет ровно T R2 две. 2) Веса чашек не равны. Тогда фальшивых монет куда T ! 2S R3 . Для Земли расчет дает либо одна, либо две (в этом случае они лежат на GM одной чашке), либо три. Коля может взять по монете с каждой чашки и поменять их местами. Tmin | 5040 c | 1,4 ч. Если фальшивых монет две, весы уравновесятся, 6. Ширина следа, оставляемого шариковой руч- в противном случае – не уравновесятся. В любом случае проверка Коле удастся. кой, порядка 0,2мм. Она примерно равна диа- Калейдоскоп «Кванта» метру шарика, на который давит неподвижная Вопросы и задачи ручка. Прикладываемое к ней усилие порядка 1. Это – первые буквы слов «раз», «два», «три» веса кисти руки, т.е. около 1Н. Тогда и т.д. Говорят, правда, что решивших эту задачу академик в аспирантуру не принимал, считая, p F 4F | 3 ˜ 107 Па. что на это способен либо гений, либо идиот. S Sd2 7. Необходимо перевести на поверхность одно- родной пластины контур круга и контур квадра- та со стороной, равной радиусу круга. Затем надо вырезать из пластины обе фигуры и взве- сить их. Отношение весов фигур, равное отно- шению их площадей, и дает нам искомое число: Pкруга SR2 S. Pквадрата R2

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ 47 8. Птичка съест 2 яблока, рыбка 1. Поскольку b  c 2t  1 2, п3оедают 3 птичка и рыбка яблоко с постоянными c  a 2t 2, скоростями, положение яблока не имеет значения. a  b 2t  1 , 9. 21 7˜3 84 ˜ 32 . где t — некоторое натуральное число, которое 62 мы подберем позднее. Решая эту систему, мы 10. Можно считать, что муха состоит в основном получим, что она имеет такие целочисленные корни: из воды, а вся ее кинетическая энергия идет на a 2t2  4t, нагревание до кипения и на полное испарение. Тогда v 2 c tк  t0  L , где c и L – таблич- b 2t2  1, ные значения удельной теплоемкости и удельной c 2t2  4t. теплоты парообразования воды, tк – температура Осталось лишь проверить, что можно подобрать кипения, t0 – комнатная температура. Расчет такое t, чтобы a, b и c попали в отрезок >n;2n@, дает v | 2300 м с! 11. Сопротивление уменьшилось в 4 раза (вос- что равносильно неравенствам n d a,c d 2n или двойному неравенству пользуйтесь для расчета формулой R Ul). S t2  2t d n d 2t2  4t. 12. При напряжении 127 В нить электрической лампы будет накалена меньше, т.е. будет иметь Рассмотрим на прямой отрезки вида [k2 + 2k; более низкую температуру, а значит, и меньшее 2k2 – 4k]. Девятый отрезок начинается в 99, а сопротивление. Поэтому мощность лампы долж- на уменьшиться менее чем в 3 раза. каждый отрезок, начиная с 10-го, пересекает 13. До проверочной таблицы, на которой глаз здорового человека еще различает миллиметро- предыдущий (для доказательства этого нужно вые детали (размером h), расстояние (L) равно нескольким метрам. Следовательно, минималь- проверить неравенство 2k2  4k t k  1 2  ный угловой размер, еще воспринимаемый гла-  2 k  1 для k t 9, что остается в качестве уп- ражнения читателю), поэтому в объединении они покрывают весь луч >99;f , в том числе наше n d 100. Номер покрывающего отрезка и подой- зом, равен D h | x , где х – искомое расстоя- LF дет в качестве искомого t. ние, а F – фокусное расстояние глаза, равное 2 (М. Туревский). примерно 2 см. Итак, Лемма. Пусть у нас есть числа u1, u2,..., un и n x | F ˜ D | 2 ˜ 105 м. пусть f c ¦ | ui  c |. Тогда у f c есть мини- Микроопыт мум (на ℝ ),i 1 он достигается при c ui при и Потребуется взвеситься и вычислить свой объем: каком-то i. V m , поскольку средняя плотность человека Доказательство. Достаточно доказать, что лю- Uв бое число c  ℝ можно (непрерывно) сдвинуть в близка к плотности воды Uв. Найдя в таблице, ui так, чтобы значение f c уменьшилось. например школьного задачника, плотность воз- Пусть a1, a2, ..., ak – это те числа вида ui  c, духа U0 , все подставить в формулу которые больше 0, а b1, b2, ..., bl (l n  k) – это 1U0Hg.VВыmоgщUUу0вщ. аПетреи модули тех чисел вида ui  c, которые меньше 0 FA массе m 75 кг получим FA такую силу? (если есть ui  c 0, то c ui, и мы уже доби- | лись требуемого). LXII Международная Рассмотрим два случая. математическая олимпиада 1) Пусть Публикуем решения наших участников олимпиа- ¦ 2 1 d ¦ 2 1 . ды. ai bi 1 (Д. Сибгатуллин). Покажем, что на отрезке от n до 2n всегда найдутся такие числа a  b  c, Тогда будем непрерывно увеличивать c, при этом что сумма любых двух из них является точным числа ui  c будут увеличиваться, а значит, чис- квадратом. Это, конечно, окончит доказатель- ла ai будут увеличиваться, а bi будут уменьшать- ство, ведь тогда две карточки с какими-то из этих чисел попадут в одну стопку. Для этого ся. Будем так двигать значение c, пока какое-то решим следующую систему уравнений: bi не станет равно 0 (заметим, что l ! 0, так как иначе условие случая не может выполняться). Так как ai увеличиваются, а bi уменьшаются, то

48 К В А Н T $ 2 0 2 1 / № 8 на протяжении всего маршрута изменения c вы- поэтому мы можем выкинуть xi и применить предположение индукции для оставшихся иксов. полнено неравенство ¦ 2 1 d ¦ 2 1 . Но 2) Пусть i z j, т.е. xi  xj 0. Тогда ai bi n | ui  c | c n ¦ | xi  xk |  2  fcc ¦ ¦§ n | xj  xk | ·  i1 ¸ ¨2 © k1 k1 ¹ ¦ ¦ ¦n 1 1 d 0. sign ui  c  i1 2 1 2 ai 2 bi – | xi  xi |  2 | xi  xj |  | xj  xj | | ui  c | n n | xj  xk |  2 Видим, что на протяжении всего маршрута вы- ¦ ¦§2 | xi  xk | ·  ¸ полнено f c c d 0, значит, f не увеличилась, и в ¨ © k1 k1 ¹ конечном итоге мы пришли к значению c ui. 2) Пусть теперь – | xi  xi |  2 | xi  xj |  | xj  xj | . ¦ 2 1 ! ¦ 2 1 . Теперь мы можем выкинуть xi и xj и применить ai bi предположение индукции для оставшихся иксов. (В обоих случаях слева написано то, что выч- Аналогично первому случаю, мы будем умень- лось из левой части, а справа то, что из правой.) шать c, пока какое-то ai не станет равно 0. Мы выполнили переход к меньшему n, тем са- Итак, мы поняли, что для любого c  ℝ есть ui , мым, задача решена по индукции. 3 (А. Шевцов). Сделаем инверсию с центром в для которого f ui d f(c). Тогда f достигает D и радиусом R. Далее мы будем неоднократно пользоваться тем, что своего минимального значения в точке вида ui. Лемма доказана. Будем решать задачу по индукции по n. 'DPQ ∼ 'DQcPc, (1) База: при n = 0: 0 t 0, при n = 1: 2x1 t 0. где Pc и Qc – образы некоторых точек P и Q при Переход: 0,...,n  1 o n. Если мы ко всем xi прибавим одно и то же c  ℝ, то nn инверсии. Из указанного подобия также следу- ¦ ¦ xi  xj ет, что i 1j 1 PcQc PQ ˜ R2 . (2) DP ˜ DQ не изменится, а Образы всех точек исходной конфигурации (кро- nn ме D) будем обозначать теми же буквами (если ¦ ¦ xi  xj речь будет идти о точках исходной конфигура- i 1j 1 ции, будем оговаривать это отдельно). станет равной В исходной конфигурации точка X лежала на nn xi  xj (для прямой AC и удовлетворяла условию BX CX, ¦ ¦ xi  xj  2c . поэтому теперь (рис.1) X лежит на окружности i 1j 1 (ADC) и удовлетворяет условию Тогда по доказанной лемме для uij всех xi  xj) nn BX ˜ R2 CX ˜ R2 , DB ˜ DX DC ˜ DX ¦ ¦ xi  xj  2c i 1j 1 минимизируется при каком-то c  , для которо- т.е. ℝ BX BD. го xi  xj  2c 0 (для некоторых индексов i, j). CX CD (3) Добавим ко всем xi это значение c (т.е. выпол- ним замену xi ֏ xi  c), тогда левая часть нера- Так как в исходной конфигурации E и F лежали венства не увеличится, а правая останется такой на прямых AC и AB соответственно, теперь точ- ки E и F лежат на окружностях (ADC) и (ADВ) же, как и была (неравенство только усилится). соответственно. При помощи (1) равенства уг- лов из условия теперь переписываются как Далее можно считать,что для каких-то i, j вы- ‘ABD ‘ACD, ‘ADE ‘DBC, ‘ADF ‘DCB. полнено xi  xj 0. Поскольку в исходной конфигурации 'AO1D был 1) Пусть i j, т.е. xi 0, тогда равнобедренным с основанием AD, из (1) следу- ет, что теперь 'AO1D равнобедренный с основа- nn нием O1D, т.е. AO1 AD. Аналогично, CO1 CD, ¦ ¦2 | xi  xj |  | 2xi | откуда O1 – отражение D относительно AC. Ана- | xj | логично, O2 – отражение D относительно EX. j1 j1 n ¦ | xi  xj |  | xi  xi |, j1