SYNARTISEIS

AναλυσηΣυναρτησειςΤακης Τσακαλακος Επιμελεια: Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

AναλυσηΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ1. Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Θεωρια Μεθοδος2. Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς Θεωρια Μεθοδος Λυμενες Ασκησεις Ασκησεις Επιλογης Για ΠροπονησηΤακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Aναλυση1.1 Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι1.2 Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ςΜε πολυ μερακι H δικη μου αποψη για την βοηθεια των μαθητωνΓια τους καλους φιλους μου http://mathslibrary4.blogspot.grΤακης ΤσακαλακοςΚερκυρα 2015Τακης Τσακαλακος

Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Πραγματικοι ΑριθμοιΤακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Πραγματικοι Αριθμοι1. Β α σ ι κ η Ε π α ν α λ η ψ η▪ Υποσυνολα του ℝ ▪ Το συνολο των φυσικων αριθμων: ℕ = { 0, 1, 2, 3, . . . } ▪ Το συνολο των ακεραιων αριθμων: ℤ = { . . . , - 2, - 1, 0, 1, 2, . . . } ▪ Το συνολο των ρητων αριθμων: ℚ = { ρ | ρ = μ , με μ ∈ ℤ και ν ∈ ℤ * } ν ▪ Το συνολο των αρρητων αριθμων: { x | το x σε δεκαδικη μορφη εχει απειρα δεκαδικα σημεια με μη περιοδικο τμημα } ▪ Το συνολο των πραγματικων αριθμων: ειναι η ενωση του συνολου των ρητων και αρρητων αριθμων. ▪ Το συνολο των περιττων αριθμων: { 1, 3, 5, . . . } η { 2ν + 1 | οπου ν ∈ ℕ} ▪ Το συνολο των αρτιων αριθμων: { 0, 2, 4, . . . } η { 2ν | οπου ν ∈ ℕ}▪ Ιδιοτητες Προσθεσης - Πολλαπλασιασμου ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ Αντιμεταθετικη α+β=β+α α∙β=β∙α Προσεταιριστικη α+(β+γ)=(α+β)+γ α∙(β∙γ)=(α∙β)∙γ Επιμεριστικη α∙(β+γ)=α∙β+α∙γ Ουδετερο στοιχειο α+0=α α∙1=α Αντιθετος (προσθεση) α+(-α)=0 α ∙ 1 = 1, α ≠ 0 Αντιστροφος (πολ/σμος) α▪ Συνεπειες▪ α = β ⇔ α + γ =β+ δ ▪ α = β ⇔ α ± γ =β± γ γ = δ α ⋅γ = β⋅δ α ⋅γ = β ⋅ γ, γ≠ 0▪ α∙0=0 ▪ α∙β=0 ⇔ α=0 η β=0 ▪ α ∙ β ≠ 0 ⇔ α ≠ 0 και β ≠ 0▪ α∙(-1)=-α ▪(–α)∙β=-α∙β ▪(–α)∙(-β)=α∙β ▪-(α+β)=-α-β▪ α ± β = α ± β, γ≠0 ▪ α ± γ = α ⋅ δ±β ⋅ γ , β⋅δ ≠ 0 β δ β⋅δ γγ γ▪ 1 = 1 ⋅1 , α⋅β ≠ 0 ▪ α⋅γ = α ⋅γ , β⋅δ ≠ 0 α ⋅β αβ βδ β ⋅δ▪ Η αφαιρεση οριζεται μεσω της προσθεσης : α – β = α + ( - β )▪ Η διαιρεση οριζεται μεσω του πολλαπλασιασμου : α : β = α ∙ 1 , β ≠ 0 βΤακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Πραγματικοι Αριθμοι▪ Αναλογιες ▪ Ορισμοι Λ ο γ ο ς τ ο υ α ω ς π ρ ο ς β λεγεται το πηλικο α . β Α ν α λ ο γ ι α λεγεται ηισοτητα δυο λογων, εστω : α = γ βδ Οι αριθμοι α,β, γ,δ λεγονται ο ρ ο ι της αναλογιας. Οι αριθμοι α,δ λεγονται α κ ρ ο ι οροι της αναλογιας. Οι αριθμοι β, γ λεγονται μ ε σ ο ι οροι της αναλογιας. Στη περιπτωση που η αναλογια ειναι της μορφης α = β ο αριθμος β λεγεται βγ μ ε σ ο ς α ν α λ ο γ ο ς των α και γ .▪ Ιδιοτητες Αναλογιωνα = γ ⇔ α⋅δ = β⋅γ (β ⋅ δ ≠ 0)βδα = γ ⇔ α =β (β ⋅ γ ⋅ δ ≠ 0)βδ γδα=γ⇔δ=γ (α ⋅β ⋅ δ ≠ 0)β δ βαα = γ ⇔ α + β = γ + δ (β ⋅ δ ≠ 0)βδ β δα = γ ⇔ α = γ = α + γ [β ⋅ δ(β + δ) ≠ 0]β δ β δ β+δα = γ ⇔ α + β = α + γ (β ⋅ δ ≠ 0, α ≠ β, γ ≠ δ)β δ α-β γ-δ▪ Δυναμεις▪ Ορισμοι▪ Για καθε α ∈ ℝ και ν ∈ ℤ *+ οριζουμε ν – ο σ τ η δ υ ν α μ η τ ο υ α τον αριθμοα ν με : α ν = α⋅α⋅...⋅α, ν > 1 ν παραγοντες▪ Για καθε α ∈ ℝ * και ν ∈ ℤ * οριζουμε : α 0 = 1 και α-ν = 1 αν μ▪ Αν α ∈ ℝ *+ και μ ∈ ℤ, ν ∈ ℤ *+ οριζουμε : α ν = ν α μ▪ Αν α ∈ ℝ *+ και x πραγματικος τοτε οριζεται η δυναμη α x και ειναι α x > 0 .Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Πραγματικοι Αριθμοι▪ Ιδιοτητες Δυναμεων▪ αμ ⋅α ν = αμ+ν ▪ αμ : α ν = αμ-ν ▪ ( αμ)ν = αμ⋅ν▪ ( α ⋅ β) ν = α ν ⋅ β ν ▪ ( α )ν = αν ▪ ( α )-ν = βν β βν β αν▪ ( -α )2κ = α 2κ ▪ ( - α )2κ+1 = - α 2κ+1▪ Ταυτοτητες ▪ ( α ± β )² = α² ± 2 ∙ α ∙ β + β² ( χρησιμη : α² + β² = ( α + β )² - 2 ∙ α ∙ β ) ▪ α² - β² = ( α + β )( α – β ) ▪ ( α + β + γ )² = α² + β² + γ² + 2 ∙ α ∙ β + 2 ∙ α ∙ γ + 2 ∙ β ∙ γ ▪ α³ ± β³ = ( α + β )( α² ∓ 2 ∙ α ∙ β + β² ) = ( α ± β )³ ∓ 3 ∙ α ∙ β ∙ ( α ± β ) ▪ ( α ± β )³ = α³ ± 3 ∙ α² ∙ β + 3 ∙ α ∙ β² ± β³ ▪ ( α + β ) ⁴ = α ⁴ + 4 ∙ α³∙ β + 6 ∙ α² ∙ β² + 4 ∙ α ∙ β³ + β ⁴ ▪ ( α – β ) ⁵ = α ⁵ - 5 ∙ α ⁴ ∙ β + 10 ∙ α³ ∙ β² - 10 ∙ α² ∙ β³ + 5 ∙ α ∙ β ⁴ - β ⁵ ▪ α ν – β ν = ( α – β )( α ν – 1 + α ν – 2 ∙ β + . . . + α ∙ β ν – 2 + β ν – 1 ) ▪ α ν - β ν = ( α + β )( α ν – 1 - α ν – 2 ∙ β + . . . - α ∙ β ν – 2 + β ν – 1 ), (ν αρτιος φυσικος) ▪ α ν + β ν = ( α + β )( α ν – 1 - α ν – 2 ∙ β + . . . - α ∙ β ν – 2 + β ν – 1 ), (ν περιττος φυσικος) ▪ α² + β² + γ² - α ∙ β – α ∙ γ – β ∙ γ = 1 [ ( α – β )² + ( β – γ )² + ( γ – α )² ] 2 ▪ α² + β² + γ² - α ∙ β – α ∙ γ – β ∙ γ = 1 [ ( α – β )² + ( β – γ )² + ( γ – α )² ] 2 ▪ α³ + β³ + γ³ - 3 ∙ α ∙ β ∙ γ = ( α + β + γ )( α² + β² + γ² - α ∙ β – α ∙ γ – β ∙ γ ) = = 1 ( α + β + γ )[ ( α – β )² + ( β – γ )² + ( γ – α )² ] 2 ▪ α³ + β³ + γ³ = 3 ∙ α ∙ β ∙ γ, αν α + β + γ = 0 η α = β = γ (Euler)▪ Διαταξη Πραγματικων Αριθμων▪ Ορισμοι▪ Ο αριθμος α λεγεται μ ε γ α λ υ τ ε ρ ο ς απ’τον αριθμο β , αν και μονο η δια-φορα α - β ειναι θετικος αριθμος ( α - β > 0 ) .Συμβολιζουμε: α > βΟ αριθμος α βρισκεται δ ε ξ ι ο τ ε ρ α του β στον αξονα των πραγματικων.-∞ β α +∞▪ Ο αριθμος α λεγεται μ ι κ ρ ο τ ε ρ ο ς απ’τον αριθμο β , αν και μονο η διαφο- ρα α - β ειναι αρνητικος αριθμος ( α - β < 0 ) . Συμβολιζουμε: α < β Ο αριθμος α βρισκεται α ρ ι σ τ ε ρ ο τ ε ρ α του β στον αξονα των πραγματι- κων. -∞ α β +∞Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Πραγματικοι Αριθμοι▪ Ιδιοτητες Διαταξης▪ Αν α > β και β > γ, τοτε: α > γ.▪ Αν α > β, τοτε: α ± γ > β ± γ. α ⋅ γ > β⋅γ▪ Αν γ > 0, τοτε: α > β ⇔ α > β  γ γ▪ Αν γ < 0, τοτε: α > β ⇔ α ⋅ γ < β ⋅ γ .▪ Αν α > β και γ > δ, τοτε: α + γ > β + δ.▪ Αν α > β και γ > δ, τοτε: α ∙ γ > β ∙ δ (α, β, γ, δ θετικοι αριθμοι).▪ Αν α, β θετικοι και ν ∈ » * , τοτε: α > β ⇔ α ν > β ν▪ Διαστηματα Πρακτικα δ ι α σ τ η μ α ειναι ενα τμημα της ευθειας x’x των πραγματικων α- ριθμων δηλαδη να συμπαγες συνολο αριθμων. Τα διαστηματα οριζονται με την βοηθεια μιας ανισωσης και στον παρακατω πινακα βλεπουμε τα ειδη αυτων. ανισωση διαστημα ( ακρα α , β ) συμβολισμος α≤x≤β κλειστο διαστημα [α , β] α<x<β ανοικτο διαστημα (α , β) α<x≤β ανοικτο αριστερα, κλειστο δεξια (α , β] α≤x<β κλειστο αριστερα, ανοικτο δεξια [α , β) α≤x [α , + ∞) α<x κλειστο αριστερα, μη φραγμενο (α , + ∞) x≤β ανω (- ∞, β] ανοικτο αριστερα, μη φραγμενο ανω μη φραγμενο κατω, κλειστο δεξια x<β μη φραγμενο κατω, ανοικτο δεξια (- ∞, β) x∈ℝ το συνολο των πραγματικων (- ∞, + ∞)▪ Απολυτη Τιμη▪ ΟρισμοςΓια καθε πραγματικο αριθμο α οριζουμε την απολυτη τιμη του ως :|α| =  α, αν α ≥ 0  - α, αν α < 0▪ Συνεπειες Ορισμου ▪ | α | ≥ 0, η απολυτη τιμη του α ειναι μη αρνητικος αριθμος. ▪ -|α|≤α≤|α|Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Πραγματικοι Αριθμοι▪ α 2 = | α |, | - α | = | α |, | α ν | = |α|ν , | α | 2 = α 2▪ | α ∙ β | = | α | ∙ |β|▪ | α | = |α| με β ≠ 0 β |β|▪ ||α|-|β|| ≤ |α±β| ≤ |α|+|β|▪ | α | < | β | ⇔ α² < β²▪ | α | + | β | = 0 ⇔ α = 0 και β = 0▪ Αν θ > 0 ισχυουν:1. | x | < θ ⇔ - θ < x < θ 2. | x | > θ ⇔ x < - θ η x > θ αν θ > 0 x = ± θ αν θ = 0  αν θ < 0▪ η εξισωση | x | = θ ⇔ x = 0 αδυνατη▪ Αν Α( α, 0 ) και Β( 0, β ) σημεια του x’x τοτε d( Α, Β ) = | α – β | .▪ Περιοχη Αριθμου Για x 0 ∈ και ρ > 0, ισχυει : |x - x 0 |< ρ ⇔ x ∈ (x 0 - ρ, x0 + ρ) ⇔ x 0 - ρ < x < x 0 + ρΟι αριθμοι x που ικανοποιουν τη σχεση|x - x 0 |< ρ ειναι τα σημεια του διαστηματος(x 0 - ρ, x 0 + ρ) που εχει κεντρο το x0 και ακτινα ρ. ρ μοναδες d(x, x ο ) ρ μοναδεςx ο- ρx x οx ο- ρ→x' xΣτην περιπτωση που x 0 = 0, ειναι :|x|< ρ ⇔ x ∈ (- ρ,ρ) ⇔ - ρ < x < ρΓια x 0 ∈ » και ρ > 0,ισχυει :|x - x 0 |> ρ ⇔ x ∈ (- ∞, x 0 - ρ) ∪ (x 0 + ρ, + ∞) ⇔ x < x 0 - ρ η x > x 0 + ρΟι αριθμοι x που ικανοποιουν τη σχεση|x - x 0 |> ρ ειναι τα σημεια Μ(x) του αξοναx'x που απεχουν απ'το σημειο Κ(x 0 ) αποστασημεγαλυτερη του ρ. d(x, x ο ) ρ μοναδες ρ μοναδεςx x ο- ρx οxο-ρ → x' xΣτην περιπτωση που x 0 = 0, ειναι : |x|> ρ ⇔ x < - ρ η x > ρ▪ Ριζες▪ Ορισμος Για καθε θετικο πραγματικο αριθμο α και θετικο ακεραιο αριθμο ν, υπαρχει μο- ναδικος θετικος πραγματικος αριθμος x τετοιος ωστε x ν = α . Ο αριθμος x ονομαζεται θ ε τ ι κ η ν ι ο σ τ η ρ ι ζ α τ ο υ α και συμβολιζεταινα . Δηλαδη : xν =α⇔x= να με α, x ≥ 0 ν ∈ » * . +Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Πραγματικοι Αριθμοι▪ Ιδιοτητες μ ▪ α ν = ν αμ ▪ ν α ⋅ ν β = ν α⋅β▪ ναν = α▪ ν α ν ⋅β = α ⋅ ν β▪ ( ν α )μ = ν α μ▪ να = α ν νβ β▪ ν μ α = ν⋅μ α▪ ν α = αν ⋅μ μΤακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Πραγματικοι ΑριθμοιΜεθοδος:Ε υ θ ε ι α α π ο δ ε ι ξ η▪ Ζητουμενα: Αποδειξη σχεσης ( Σ υ μ π ε ρ α σ μ α ).▪ Δοσμενα: Σχεση που ισχυει ( Υ π ο θ ε σ η ) .▪ Τροπος Λυσης: ▪ Ξεκινουμε απ’την υποθεση . ▪ Κανουμε διαδοχικους συλλογισμους στηριζομενοι στις ιδιοτητες των πραξεων και σε κανονες λογικης . ▪ Καταληγουμε στο συμπερασμα .ΠαραδειγμαΑν α, β,γ ειναι διαδοχικοι φυσικοι να δειξετε οτι : α + β + γ ειναι πολλαπλασιο του 3. Υ ΠΟΘΕΣΗ ΣΥ Μ Π ΕΡ ΑΣΜ ΑΑπαντησηΑφου οι αριθμοι α, β, γ εναι διαδοχικοι φυσικοι τοτε:β = α + 1 και γ = α + 2Οποτε:α + β + γ = α + ( α + 1 ) + ( α + 2 ) = 3α + 3 = 3( α + 1 ) = 3κ (οπου κ = α + 1)Αρα α + β + γ ειναι πολλαπλασιο του 3.Μεθοδος:Σ ε α τ ο π ο α π ο δ ε ι ξ η▪ Ζητουμενα: Αποδειξη σχεσης ( Σ υ μ π ε ρ α σ μ α ).▪ Δ ο σ μ ε να : Σχεση που ισχυει ( Υ π ο θ ε σ η ) .▪ Τροπος Λυσης: ▪ Υποθετουμε οτι δ ε ν ισχυει το συμπερασμα . ▪ Κανουμε διαδοχικους συλλογισμους στηριζομενοι στις ιδιοτητες των πραξεων και σε κανονες λογικης . ▪ Καταληγουμε σε σχεση αντιθετη με τα δοσμενα η αδυνατη ( α τ ο π ο ) . ▪ Αρα ισχυει το συμπερασμα .Αυτη η μεθοδος χρησιμοποιειται για συμπερασματα, για τα οποια εχουμε ακριβως δυοεπιλογες π.χ. ρητος – αρρητος, αρτιος – περιττος, κλπ. .ΠαραδειγμαΑν α ακεραιος και α 2 αρτιος να δειξετε οτι : α ειναι αρτιος.Υ ΠΟΘΕ ΣΗ ΣΥ Μ Π ΕΡ ΑΣΜ ΑΑπαντησηΕστω α δ ε ν ειναι αρτιος, δηλαδη α περιττος της μορφης α = 2κ + 1 , κ∈ » .Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Πραγματικοι ΑριθμοιΕχουμε :α 2 = (2κ + 1) 2 = 2( 2κ 2 + 2κ ) + 1 = 2λ + 1, λ∈ » . λ ∈»Δηλαδή α 2 περιττος, που ειναι α τ ο π ο, αφου ο α 2 ειναι αρτιος.Οποτε ο ακεραιος α ειναι α ρ τ ι ο ς . Μεθοδος:Α ν τ ι θ ε τ ο ι - Α ν τ ι σ τ ρ ο φ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι ▪ Ζητουμενα: Αποδειξη αντιθετων - αντιστροφων αριθμων . ▪ Δοσμενα: Δυο αριθμοι . ▪ Τροπος Λυσης: Αν οι δυο αριθμοι ειναι παραστασεις, εστω Α και Β : ▪ Βρισκουμε για ποιες τιμες της παραμετρου (γραμμα της παραστασης) εχει νοημα (οριζεται) . ▪ Για τους αντιθετους δειχνουμε οτι ισχυει: Α + Β = 0 . ▪ Για τους αντιστροφους δειχνουμε οτι ισχυει: Α ∙ Β = 1 .ΠαραδειγμαΓια ποιες τιμες του x οριζονται τα κλασματα Α = x 2 - 1 και Β = x 2 - 2x ; x(x - 2) (x - 1)(x + 1)Να δειξετε οτι οι Α , Β ειναι αντιστροφοι .ΑπαντησηΠρεπει x(x - 2) ≠ 0 ≠ 0 ⇒ x ≠ 0 και x≠2 ⇒ x∈ » - { - 2, 0, 1, 2 } (x - 1)(x + 2) x ≠ 1 και x≠-2Α ⋅ Β = x 2 - 1 ⋅ x 2 - 2x = (x - 1)(x + 1) ⋅ x(x - 2) = 1 αρα Α, Β αντιστροφοι . x(x - 2) (x - 1)(x + 1) x(x - 2) (x - 1)(x + 1) Μεθοδος:Παραγοντοποιηση (Κοινος Παραγοντας) ▪ Ζητουμενα: Παραγοντοποιηση αλγεβρικου αθροισματος . ▪ Δοσμενα: Αλγεβρικο αθροισμα . ▪ Τροπος Λυσης: ▪ Βγαζουμε κοινο παραγοντα απ’ολους τους ορους του αλγεβρικου αθροισματος, δηλαδη : ▪ απο αριθμους (σ’ολους τους ορους) βγαζουμε τον μεγιστο κοινο διαιρετη ▪ απο γραμματα (σ’ολους τους ορους) βγαζουμε το κοινο γραμμα με το μικροτερο εκθετη . ▪ Με τη βοηθεια των πραξεων και των ιδιοτητων τους και των ιδιοτητων των δυνα- μεων φτιαχνουμε το γινομενο .Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Πραγματικοι ΑριθμοιΠαραδειγμαΝα παραγοντοποιηθει η παρασταση Α = 6α 2 β 5 - 2αβ 4 + 12α 3β 2 .ΑπαντησηΜ.Κ.Δ. των αριθμων σ'ολους τους ορους : 2Κοινο γραμμα με μικροτερο εκθετη σ'ολους τους ορους : α ⋅β 2ΕτσιΑ = 6 ⋅ α 2 ⋅β 5 - 2 ⋅ α ⋅β 4 + 12 ⋅ α 3 ⋅β 2 = 2 ⋅ α ⋅β 2 ⋅(3 ⋅ α ⋅β 3 - β 2 + 6 ⋅ α 2 ) . Μεθοδος:Παραγοντοποιηση (Ομαδοποιηση) ▪ Ζητουμενα: Παραγοντοποιηση αλγεβρικου αθροισματος . ▪ Δοσμενα: Αλγεβρικο αθροισμα . ▪ Τροπος Λυσης: ▪ Ομαδοποιουμε τους ορους του αλγεβρικου αθροισματος ανα δυο η ανα τρεις κλπ (αρα οι οροι του αλγεβρικου αθροισματος ειναι αρτιου πληθους) . ▪ Βγαζουμε κοινο παραγοντα απο καθε μια ομαδα και ο δευτερος ορος απο καθεμια απο αυτες τις παραγοντοποιησεις πρεπει να ειναι ο ιδιος, εστω κ . ▪ Βγαζουμε κοινο παραγοντα τον κ απ’ολο το αλγεβρικο αθροισμα . ▪ Ετσι το αλγεβρικο αθροισμα μετσχηματιζεται σε κ ∙ μ.ΠαραδειγμαΝα παραγοντοποιηθει η παρασταση Α = αx + βx - αy - βy .ΑπαντησηEιναιΑ = αx + βx - αy - βy = = (αx + βx) - (αy + βy) = = x(α + β) - y(α + β) = = (x - y)(α + β) Μεθοδος:Παραγοντοποιηση (Διαφορα τετραγωνων) ▪ Ζητουμενα: Παραγοντοποιηση αλγεβρικου αθροισματος . ▪ Δοσμενα: Αλγεβρικο αθροισμα . ▪ Τροπος Λυσης: ▪ Προσδιοριζουμε τους α, β στην παρασταση μορφης Α = α 2 - β 2 . ▪ Χρησιμοποιουμε τη ταυτοτητα : α 2 - β 2 = ( α - β )( α + β ) .Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Πραγματικοι ΑριθμοιΠαραδειγμαΝα παραγοντοποιηθει η παρασταση Α = 9κ 8x 4 - 4λ 2y 10 .ΑπαντησηΕιναιΑ = 9κ 8x 4 - 4λ 2y 10 = = (3κ 4x 2 ) 2 - (2λy 5 ) 2 = (α = 3κ 4x 2 και β = 2λy 5 ) = (3κ 4x 2 - 2λy 5 )(3κ 4x 2 - 2λy 5 ) Μεθοδος:Παραγοντοποιηση (Αθροισμα - Διαφορα Κυβων) ▪ Ζητουμενα: Παραγοντοποιηση αλγεβρικου αθροισματος . ▪ Δοσμενα: Αλγεβρικο αθροισμα . ▪ Τροπος Λυσης: ▪ Προσδιοριζουμε τους α, β στις παραστασεις μορφης Α = α 3 - β 3, Β = α 3 + β 3 . ▪ Χρησιμοποιουμε τις ταυτοτητες : α 3 - β 3 = ( α - β )( α 2 - αβ + β 2 ) α 3 - β 3 = ( α - β )( α 2 - αβ + β 2 )ΠαραδειγμαΝα παραγοντοποιηθουν οι παραστασεις :Α = 8κ 9 x 3 - λ 6y 12 , Β = 27μ 6 + ν 3ΑπαντησηΕιναιΑ = 8 ⋅ κ 9 ⋅ x 3 - λ 6 ⋅ y 12 == (2 ⋅ κ 3 ⋅ x) 3 - (λ 2 ⋅ y 4 ) 3 = ( α = 2 ⋅ κ 3 ⋅ x και β = λ 2 ⋅ y 4 )= (2 ⋅ κ 3 ⋅ x - λ 2 ⋅ y 4 )[(2 ⋅ κ 3 ⋅ x) 2 + (2 ⋅ κ 3 ⋅ x)(λ 2 ⋅ y 4 ) + (λ 2 ⋅ y 4 ) 2 ] == (2 ⋅ κ 3 ⋅ x - λ 2 ⋅ y 4 )(4 ⋅ κ 6 ⋅ x 2 + 2 ⋅ κ 3 ⋅ x ⋅ λ 2 ⋅ y 4 + λ 4 ⋅ y 8 ) =Β = 27μ 6 + ν 3 == (3μ 2 ) 3 + ν 3 = ( α = 3 ⋅μ 2 και β = ν )= (3μ 2 + ν)[(3μ 2 ) 2 - 3μ 2 ⋅ ν + ν 2 ] == (3μ 2 + ν)(9μ 4 - 3μ 2 ⋅ ν + ν 2 )Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Πραγματικοι ΑριθμοιΜεθοδος:Παραγοντοποιηση (Τεχνασμα διασπασης ορου)▪ Ζητουμενα: Παραγοντοποιηση αλγεβρικου αθροισματος .▪ Δοσμενα: Αλγεβρικο αθροισμα .▪ Τροπος Λυσης: ▪ Συνηθως χρησιμοποιουμε αυτη τη μεθοδο σε παραστασεις τριων ορων (γενικα περιττου πληθους ορων) με μορφη τριωνυμου . ▪ Κανουμε διασπαση ενος ορου σε δυο ορους (στο τριωνυμο τον μεσαιο ορο) . ▪ Χρησιμοποιουμε τη μεθοδο της ομαδοποιησης .ΠαραδειγμαΝα παραγοντοποιηθει η παρασταση Α = 3κ 2 - 5κ - 2 .ΑπαντησηΕιναιΑ = 3κ 2 - 5κ - 2 = = 3κ 2 - 6κ + κ - 2 = 3κ(κ - 2) + (κ - 2) = (3κ + 1)(κ - 2)Μεθοδος:Παραγοντοποιηση (Τ ε χ ν α σ μ α Π ρ ο σ θ α φ α ι ρ ε σ η ς ο ρ ο υ)▪ Ζητουμενα: Παραγοντοποιηση αλγεβρικου αθροισματος .▪ Δοσμενα: Αλγεβρικο αθροισμα .▪ Τροπος Λυσης: ▪ Σ’αυτη τη περιπτωση εχουμε παρασταση μορφης ταυτοτητας (της λειπει ενας ορος) ▪ Προσθετουμε και αφαιρουμε τον ορο που λειπει . ▪ Γραφουμε τη ταυτοτητα απ’το αναπτυγμα που δημιουργηθηκε . ▪ Συνεχιζουμε συμφωνα με τας προηγουμενα (συνηθως διαφορα τετραγωνων) .ΠαραδειγμαΝα παραγοντοποιηθει η παρασταση Α = κ 8x 4 + 4λ 4y 4 .ΑπαντησηΕιναιΑ = κ 8x 4 + 4λ 4y 4 = = (κ 4x 2 ) 2 + (2λ 2y 2 ) 2 = (λειπει ο ορος 2 ⋅(κ 4x 2 ) ⋅(2λ 2y 2 ) για να εχουμε ταυτοτητα)Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Πραγματικοι Αριθμοι= (κ 4x 2 ) 2 + 2 ⋅(κ 4x 2 ) ⋅(2λ 2y 2 ) + (2λ 2y 2 ) 2 - 2 ⋅(κ 4x 2 ) ⋅(2λ 2y 2 ) == (κ 4x 2 ) 2 + 2 ⋅(κ 4x 2 ) ⋅(2λ 2y 2 ) + (2λ 2y 2 ) 2 - (2κ 2xλy) 2 = (α = 3κ 4x 2 , β = 2λy) α 2 + 2αβ + β 2 = (α + β) 2= (κ 4x 2 + 2λy) 2 - (2κ 2xλy) 2 = (διαφορα τετραγωνων)= (κ 4x 2 + 2λy + 2κ 2xλy)(κ 4x 2 + 2λy - 2κ 2xλy) Μεθοδος:Πολλαπλασιο Αριθμου ▪ Ζητουμενα: Αποδειξη πολλαπλασιου αριθμου του αριθμου κ . ▪ Δοσμενα: Αλγεβρικη παρασταση . ▪ Τροπος Λυσης: ▪ Συμφωνα με τις προηγουμενες μεθοδους παραγοντοποιησης δειχνουμε οτι η ζη- τουμενη παρασταση ειναι γινομενο μορφης Α = Β ∙ κ (Β = αλγεβρικη παρασταση) .ΠαραδειγμαΑν α, β, γ ειναι διαδ. φυσικοι αριθμοι να δειξετε οτι : Α = α + β + γ ειναι πολλαπλασιο του 3 .Δειξτε οτι ο αριθμος 4 2ν + 1 - 1 ειναι πολλαπλασιο του 3, αν ν ειναι θετικος ακεραιος αριθμος .Απαντηση Αφου οι αριθμοι α, β, γ ειναι διαδοχικοι φυσικοι αριθμοι, τοτε : β = α + 1 και γ = α + 2 . Ετσι Α= α+β+γ == α+α+1+α+2 == 3α + 3 == 3 ⋅(α + 1)Αρα Α = α + β + γ ειναι πολλαπλασιο του 3 .Ισχυει : α ν - β ν = α ν - 1 + α ν - 2β + ... + αβ ν - 2 + β ν -1 (1)Οποτε (1)4 2ν + 1 - 1 = 4 2ν + 1 - 1 2ν + 1 = = (4 - 1)(4 2ν + 4 2ν -1 ⋅ 1 + ... + 4 ⋅ 1 2ν - 1 + 1 2ν ) = = 3(4 2ν + 4 2ν -1 ⋅ 1 + ... + 4 ⋅ 1 2ν -1 + 1 2ν ) = το θετουμε κ (οπου κ θετικος ακεραιος) = 3⋅κΑρα ο αριθμος 4 2ν + 1 - 1 ειναι πολλαπλασιο του 3.Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Πραγματικοι Αριθμοι Μεθοδος:Μερισμος σε μερη αναλογα ▪ Ζητουμενα: Ευρεση αριθμων πχ x, y, z . ▪ Δοσμενα: Αλγεβρικη σχεση μεταξυ των x, y, z και οι αναλογια τους με δοσμενους αριθμους, εστω α, β, γ αντιστοιχα . ▪ Τροπος Λυσης: ▪ Γραφουμε την ισοτητα κλασματων: x = y = z . αβγ ▪ Μετασχηματιζουμε τα πιο πανω κλασματα, ωστε το αθροισμα των αριθμητων τους να ειναι συμφωνο με τη δοσμενη σχεση . ▪ Παιρνουμε την ιδιοτητα αναλογιων: x = y = z = x + y + z = κ . α β γ α+β+γ ▪ Λυνουμε τις: x = κ, y = κ, z = κ αβγ ▪ Κανουμε την επαληθευση της δοσμενης σχεσης με το αποτελεσμα .ΠαραδειγμαΕστω οι αριθμοι x,y,z που ειναι αναλογοι των αριθμων 1, 2, 3 αντιστοιχα.Αν 3x + 2y - 2z = 20 (1), τοτε να βρεθουν οι αριθμοι x,y,z.ΑπαντησηΕιναι (απο τις ιδιοτητες των αναλογιων)x = y = z = 3x = 2y = - 2z = 3x = 2y = - 2z = 3x + 2y - 2z (1) 20 = 201 2 3 1⋅3 2⋅2 -2⋅3 3 4 -6 3+4-6 1 =Αρα x = 20 ⇒  x = 20 Eπαληθευση : 3x + 2y - 2z = 3 ⋅ 20 + 2 ⋅ 40 - 2 ⋅ 60 = 60 + 80 - 120 = 20. = 20  y = 40 1  y2   z = 60 z = 20 3 Μεθοδος:Ταυτοτητα Euler ▪ Ζητουμενα: Eξισωση της μορφης α3 + β3 + γ3 = 0 . ▪ Δοσμενα: Η εξισωση . ▪ Τροπος Λυσης: ▪ Δειχνουμε οτι α + β + γ = 0 . ▪ Χρησιμοποιουμε τη ταυτοτητα Euler : Αν α + β + γ = 0 τοτε: α3 + β3 + γ3 = 3αβγ . ▪ Λυνουμε τις εξισωσεις: ▪ α=0 ▪ β=0 ▪ γ=0Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Πραγματικοι ΑριθμοιΠαραδειγμαΝα λυθει η εξισωση : (x + 2) 3 + (4x - 12) 3 + (10 - 5x) 3 = 0 .ΑπαντησηEιναι(x + 2) + (4x - 12) + (10 - 5x) = x + 2 + 4x - 12 + 10 - 5x = 0Ετσι(x + 2) 3 + (4x - 12) 3 + (10 - 5x) 3 = 0 ⇒ x + 2 = 0  x = - 2 4x - 12 =  x = 33(x + 2)(4x - 12)(10 - 5x) = 0 ⇒ 0 ⇒  10 - 5x = 0   x = 2(Ισχυει : αν x + y + z = 0 τοτε x 3 + y 3 + z 3 = 3xyz) Μεθοδος:Συγκριση αριθμων ▪ Ζητουμενα: Συγκριση αριθμων . ▪ Δοσμενα: Οι δυο αριθμοι, εστω α και β . ▪ Τροπος Λυσης: ▪ Γραφουμε την διαφορα α - β . ▪ Αν α - β > 0 τοτε α > β ▪ Αν α - β < 0 τοτε α < βΠαραδειγμαΝα συγκρινεται τους αριθμους : Α = α 2 - αβ + β 2 και Β = (α - β) 2 . 2ΑπαντησηΑ - Β = α 2 - αβ + β 2 - (α - β) 2 = 2 = 2α 2 - 2αβ + 2β 2 - (α - β) 2 = 2 2α 2 -2αβ + 2β 2 - α 2 +2αβ - β 2 == 2 = α2 +β2 ≥0 2ΑραΑ-Β≥0 ⇔ Α ≥ Β Α > Β αν α ≠ β η α = β ≠ 0 Α = Β αν α = β = 0Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Πραγματικοι ΑριθμοιΜεθοδος:Αληθης η προφανης ανισοτητα▪ Ζητουμενα: Αποδειξη ανισοτητας .▪ Δοσμενα: Η ανισοτητα .▪ Τροπος Λυσης: ▪ Ξεκινουμε απ’την δοσμενη ανισοτητα . ▪ Κανουμε διαδοχικους συλλογισμους στηριζομενοι στις ιδιοτητες των πραξεων και σε κανονες λογικης . ▪ Καταληγουμε σε αληθη η προφανη ανισοτητα .ΠαραδειγμαΝα αποδειξετε οτι :α 2 + β 2  α + β  2 α β 2  2  β α ≥   α 2 + β 2 + γ 2 + 3 ≥ 2(α + β + γ) + ≥ 2, αν α > 0 και β>0ΑπαντησηΕιναια2 +β2  α + β  2 α2 +β2 α2 +β2 + 2αβ   ≥ ⇔ ≥ 4 ⇔ 4α 2 + 4β 2 ≥ 2α 2 + 2β 2 + 4αβ ⇔ 2 2 22α 2 + 2β 2 - 4αβ ≥ 0 ⇔ 2(α 2 + β 2 - 2αβ) ≥ 0 ⇔ 2(α + β) 2 ≥ 0 , που αληθευει.α 2 + β 2 + γ 2 + 3 ≥ 2(α + β + γ) ⇔ α 2 + β 2 + γ 2 + 3 ≥ 2α + 2β + 2γ ⇔(α 2 - 2α + 1) + (β 2 - 2β + 1) + (γ 2 - 2γ + 1) ≥ 0 ⇔ (α - 1) 2 + (β - 1) 2 + (γ - 1) 2 ≥ 0 , που αληθευει.α+β ≥2 α >0 αβ ⋅ α + αβ ⋅ β ≥ 2 ⋅ αβ ⇔ α 2 + β 2 ≥ 2αβ ⇔ α 2 + β 2 - 2αβ ≥ 0 ⇔ (α - β) 2 ≥ 0, αληθευει.βα β α ⇔ β >0Μεθοδος:Σε ατοπο αποδειξη▪ Ζητουμενα: Αποδειξη ανισοτητας .▪ Δοσμενα: Η ανισοτητα .▪ Τροπος Λυσης: ▪ Υποθετουμε οτι δ ε ν ειναι αληθης η δοσμενη ανισοτητα . ▪ Παιρνουμε την αντιστοιχη, που θεωρουμε αληθη της δοσμενης ανισοτητας . ▪ Κανουμε διαδοχικους συλλογισμους στηριζομενοι στις ιδιοτητες των πραξεων και σε κανονες λογικης . ▪ Καταληγουμε σε σχεση αντιθετη με τα δοσμενα η αδυνατη ( α τ ο π ο ) . ▪ Αρα ειναι αληθης η αρχικη ανισοτητα .Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Πραγματικοι ΑριθμοιΠαραδειγμαΝα δειξετε οτι : xy ≤ 4 αν x + y = 4 .ΑπαντησηEιναιx + y = 4 ⇔ x = 4 - y (1)Εστω οτι xy ≤ 4 δεν ειναι αληθης. .Ετσι x=4-yxy > 4 ⇔ (4 - y)y > 4 ⇔ 4y - y 2 > 4 ⇔ 4y - y 2 - 4 > 0 ⇔ - (y 2 - 4y + 4) > 0 ⇔ - (y - 2) 2 > 0 ατοποΑρα xy ≤ 4 ειναι αληθης.Μεθοδος:Μεθοδος Συνθεσης▪ Ζητουμενα: Αποδειξη ανισοτητας .▪ Δοσμενα: Η ανισοτητα .▪ Τροπος Λυσης: ▪ Παιρνουμε δοσμενες και προφανεις ανισοτητες . ▪ Απ’τις ιδιοτητες της διαταξης καταληγουμε στην προς αποδειξη ανισοτητα .ΠαραδειγμαΓια τους θετικους αριθμους α, β, γ ειναι α + β = γ. Να αποδειξετε οτι : α 2 + β 2 < γ 2 .ΑπαντησηΕιναια + β = γ β>0 α < γ α>0 βα⋅⋅βα<<γγ⋅⋅βα ⇒ α 2 < γ ⋅α (+) α 2 +β2 < γ⋅α + γ⋅β ⇒ α 2 +β 2 α +β = γα + β = γ β < γ β 2 < γ ⋅β ⇒ ⇒ ⇒ < γ ⋅(α + β) ⇒ α>0 β>0α2 +β2 < γ⋅γ ⇒ α2 + β2 < γ2Μεθοδος:Προσθεση–Αφαιρεση θετικων ποσοτητων▪ Ζητουμενα: Αποδειξη ανισοτητας .▪ Δοσμενα: Η ανισοτητα .▪ Τροπος Λυσης: ▪ Παιρνουμε προφανη η δοσμενη ισοτητα η ανισοτητα . ▪ Προσθετουμε η αφαιρουμε θετικη ποσοτητα στο ενα μελος της ισοτητας η ανισοτη- τας . ● Προκυπτει ανισοτητα .Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Πραγματικοι ΑριθμοιΠαραδειγμαΓια τους θετικους αριθμους α, β, γ να δειξετε οτι : α + β < α + β . 1+α+β 1+α 1+βΑν 3α < β να δειξετε οτι :α < α+β < β . 4 3ΑπαντησηΕιναι α <α 1+α+β 1+α (αφου β > 0) β <β (1)1+ α +β 1+β (αφου α > 0)Ετσι α+β = α + β (1) α+β <α+β ⇒1+α+β 1+α+β 1+α+β 1+α+ β 1+α 1+ βΕιναι3α < (+ α) 3α + α < β + α ⇒ 4α < α +β (. 1 ) 1 ⋅ 4α < 1 (α + β) ⇒ α < α +β (+ β) +β < α +β +β ⇒ β⇒ ⇒4 44 ⇒α 44α +β α + 5β (3α < β) α +β β + 5β ⇒ α +β β + 15β ⇒ α +β 16β ⇒ α +β β 3 < ⇒ < < < < 4 16 4 16 4 48 4 48 43Τελικαα < α+ β < β 4 3Μεθοδος:Ανισοτικη σχεση του Euler▪ Ζητουμενα: Αποδειξη ανισοτητας .▪ Δοσμενα: Η ανισοτητα .▪ Τροπος Λυσης: ▪ Aπ’τη ταυτοτητα Euler: α³ + β³ + γ³ - 3 ∙ α ∙ β ∙ γ = 1 ( α + β + γ )[ ( α - β )² + ( β - γ )² + ( γ - α )² ] 2 αν α + β + γ > 0 και επειδη ( α - β )² + ( β - γ )² + ( γ - α )² ≥ 0 τοτε α³ + β³ + γ³ - 3 ∙ α ∙ β ∙ γ ≥ 0 η α³ + β³ + γ³ ≥ 3 ∙ α ∙ β ∙ γ ▪ Ετσι με δοσμενο α + β + γ > 0 ισχυει α³ + β³ + γ³ ≥ 3 ∙ α ∙ β ∙ γ .ΠαραδειγμαΓια τους θετικους αριθμους α, β να δειξετε οτι : α 9 + 8α 3β 6 + 27β 3 ≥ 18α 4 β 3.Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Πραγματικοι ΑριθμοιΑπαντησηΑφου α, β ειναι θετικοι, τοτε και α 3 , 2αβ 2 , 3β ειναι θετικοι.Οποτε (Euler)α 9 + 8α 3β 6 + 27β 3 = (α 3 ) 3 + (2αβ 2 ) 3 + (3β) 3 ≥ 3 ⋅ α 3 ⋅ 2αβ 2 ⋅ 3β = 18α 4β 3Tελικαα 9 + 8α 3 β 6 + 27β 3 ≥ 18α 4 β 3Μεθοδος:Απλοποιηση παραστασης απολυτων τιμων▪ Ζητουμενα: Απλοποιηση παραστασης απολυτων τιμων .▪ Δοσμενα: Η παρασταση .▪ Τροπος Λυσης: ▪ Αν υπαρχει δοσμενη ανισοτικη σχεση, προσδιοριζουμε το προσημο καθε παραστα- σης που βρισκεται σε απολυτο . ▪ Αν δεν υπαρχει δοσμενη ανισοτικη σχεση, βρισκουμε σε καθε απολυτο τη τιμη που το μηδενιζει και επιλεγουμε περιπτωσεις για το προσημο των απολυτων . ▪ Απ’τον ορισμου απολυτου, ‘’βγαζουμε’’ τα απολυτα της παραστασης .ΠαραδειγμαΝα απλοποιηθουν οι παραστασεις : Α = 3|α - β|+ 5| β - α|-|α + 2β|+|2α - β|, αν α > β > 0. Β =|2x + 6|+ 3x - 2 .ΑπαντησηΕιναι β<α⇒β-α <0 α >β⇒ α-β > 0α > 0 ⇒ α > 0 (+) α > 0 ⇒ α > 0 (+)β > 0 2β > 0 α > β α - β > 0 ⇒ α + 2β > 0 ⇒ 2α - β > 0Ετσι, η παρασταση Α γινεται :Α = 3(α - β) + 5[- (β - α)]- (α + 2β) + (2α - β) = 3α - 3β - 5β + 5α - α - 2β + 2α - β = 9α - 11βΕιναι2x + 6 = 0 ⇒ x = - 3 Για x ≤ - 3 τοτε 2x + 6 ≤ 0 και |2x + 6|= - 2x - 6 . Ετσι Β = - 2x - 6 + 3x - 2 = x - 8 Για x > - 3 τοτε 2x + 6 > 0 και |2x + 6|= 2x + 6 . Ετσι http://mathslibrary4.blogspot.gr Β = 2x + 6 + 3x - 2 = 5x + 4Τακης Τσακαλακος

Πραγματικοι ΑριθμοιΜεθοδος:Ευρεση παραμετρου απ’τον ορισμο▪ Ζητουμενα: Ευρεση παραμετρου .▪ Δοσμενα: Ισοτητα απολυτης τιμης με παραμετρο .▪ Τροπος Λυσης: ▪ Aπ’τη δοσμενη σχεση προσδιοριζουμε το προσημο της παραστασης που βρισκεται μεσα στο απολυτο με τη βοηθεια του ορισμου απολυτης τιμης . ▪ Με γνωστο το προσημο της παραστασης που βρισκεται μεσα στο απολυτο, προσδι- οριζουμε τη παραμετρο .ΠαραδειγμαΝα υπολογιστουν οι τιμες του ακεραιου α, αν : |α - 5|= 5 - α και |2α - 3|= 2α - 3.ΑπαντησηΑφου |α - 5|= 5 - α και α ακεραιος, τοτε |2α - 3|= 2α - 3α - 5<0 ⇔ α <5 ⇔  3 ≤α<5 Αρα οι τιμες του α ειναι : 2, 3 και 4.2α -3≥0  2 ακεραιοςα ακεραιος α ≥3 α  2 α ακεραιοςΜεθοδος:Αποδειξη ανισοτικης σχεσης▪ Ζητουμενα: Αποδειξη ανισοτικης σχεσης απολυτων τιμων .▪ Δοσμενα: Ανισοτικες σχεσεις απολυτων τιμων .▪ Τροπος Λυσης: ▪ Με μεθοδο συνθεσης : ▪ Με τη βοηθεια της γνωστης ισοδυναμιας |x| < θ ⇔ - θ < x < θ μετασχηματιζουμε τις δοσμενες ανισοτητες . ▪ Με καταλληλες πραξεις μεταρεπουμε τις ανισοτητες που προεκυψαν, ωστε το αθροισμα τους α ειναι διπλη ανισοτητα με μεσαιο μελος τη παρασταση που βρι- σκεται μεσα στο απολυτο της προς αποδειξη ανισοτητας. ▪ Εφαρμοζουμε ξανα την ισοδυναμια |x| < θ ⇔ - θ < x < θ . ▪ Μεθοδος τετραγωνισμου : ▪ Τετραγωνιζουμε και τα δυο μελη των δοσμενων και προσδιοριζουμε το προσημο των παραστασεων που προκυπτουν . ▪ Τετραγωνιζουμε και τα δυο μελη της προς αποδειξη ανισοτητας . ▪ Με πραξεις και βοηθεια το προσημο των παραστασεων που βρηκαμε, καταλη- γουμε σε ανισοτητα που αληθευει .Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Πραγματικοι ΑριθμοιΠαραδειγμαΝα αποδειξετε οτι :Αν|α|< 1 και | β|< 1, τοτε :| α+β |< 1 1 + αβΑν|α - 1|< 2 και | β - 2|< 3, τοτε :|α - β|< 6ΑπαντησηΕιναι (1) |α|< 1 ⇒ |α|2 < 1 2 ⇒ α 2 < 1 ⇒ α 2 - 1 < 0 |β|< 1 |β|2 < 1 2 β 2 < 1 1 - β 2 > 0 Ετσια + β < 1 ⇔ |α + β| < 1 ⇔|α + β|<|1 + αβ|⇔|α + β|2 <|1 + αβ|2 ⇔ (α + β) 2 < (1 + αβ) 2 ⇔1 + αβ |1 + αβ|α 2 + β 2 + 2αβ < 1 + 2αβ + α 2β 2 ⇔ α 2 +β 2 - 1 - α 2β 2 < 0 ⇔ α 2(1 - β 2 ) - (1 - β 2 ) < 0 ⇔ (1 - β 2 )(α 2 - 1) < 0,που αληθευει λογω της (1).|α - 1|< 2 ⇔ - 2 < α - 1 < 2 ⇔ - 2 + 1 < α - 1 + 1 < 2 + 1 ⇔ - 1 < α < 3 ⇔ - 1 < α < 3 ⇔|β - 2|< 3 - 3 < β - 2 < 3 - 3 + 2 < β - 2 + 2 < 3 + 2 - 1 < β < 5 1 > - β > - 5- 1 < α < 3 (+) 4< 6- 5 < - β < 1 ⇔ - 6 < α - β < 4 ⇔ - 6 < α - β < 6 ⇔|α - β| < 6.Μεθοδος:Μετατροπη ανισοτικης σχεσης▪ Ζητουμενα: Ευρεση ανισοτικης σχεσης απολυτων τιμων .▪ Δοσμενα: Ανισοτικη σχεση .▪ Τροπος Λυσης: ▪ Αν η δοσμενη σχεση ειναι της μορφης α < λx < β : ▪ Διαιρουμε ολους τους ορους της με λ . ▪ Aφαιρουμε απ’ολα τα μελη της το ημιαθροισμα των ακρων της α + β . 2 ▪ Εφαρμοζουμε τη γνωστη ισοδυναμια |x| < θ ⇔ - θ < x < θ .ΠαραδειγμαΝα γραψετε την απολυτη τιμη που αντιστοιχει στην σχεση : 1 < 2x < 3 .ΑπαντησηEιναι1 < 2x < 3 ⇔ (διαιρουμε ολους τους ορους με 2)1 <x< 3⇔ 1 + 3 4 2 2 2 2 (αφαιρουμε απ'ολους τους ορους το = = = 1)22 2 22Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Πραγματικοι Αριθμοι1 -1< x-1< 3 -1⇔22- 1 < x - 1 < 1 ⇔ (- θ < x < θ ⇔|x|< θ) 22|x - 1|< 1 2Μεθοδος:Τιμη παραστασης ριζων▪ Ζητουμενα: Ευρεση τιμης παραστασης ριζων .▪ Δοσμενα: Η παρασταση .▪ Τροπος Λυσης: ▪ Μετατρεπουμε τα υπορριζα σε καταλληλα γινομενα, ωστε να προκυψουν ριζες με ιδια υπορριζα. ▪ Χρησιμοποιουμε επιμεριστικη ιδιοτητα .ΠαραδειγμαΝα βρεθει η τιμη της παραστασης : Α = 18 + 72 - 32 + 3 16 .ΑπαντησηΑ = 18 + 72 - 32 + 288 = = 9 ⋅ 2 + 36 ⋅ 2 - 16 ⋅ 2 + 144 ⋅ 2 = = 9 ⋅ 2 + 36 ⋅ 2 - 16 ⋅ 2 + 144 ⋅ 2 = = 3 ⋅ 2 + 6 ⋅ 2 - 4 ⋅ 2 + 12 ⋅ 2 = = (3 + 6 - 4 + 12) ⋅ 2 = = 17 ⋅ 2 Μεθοδος:Απλοποιηση παραστασης ριζων ▪ Ζητουμενα: Απλοποιηση παραστασης μορφης Α = α κ α λ αμ α . ▪ Δοσμενα: Η παρασταση . ▪ Τροπος Λυσης: ▪ 1ο. Μεταφερουμε τον α πριν τη ριζα μ α μεσα σ’αυτην σαν α μ και η παρασταση γινεται: Α = α κ α λ μ α ⋅ αμ . ▪ 2ο. Μετατρεπουμε τις ριζες λ μ α ⋅ αμ σε μια (πολλαπλασιαζουμε τις ταξεις τους) και η παρασταση γινετα Α = α κ αλ +μ α ⋅ α μ . ▪ Συνεχιζουμε με τον ιδιο τροπο για οσες ριζες και αν εχουμε, μεχρι να καταληξουμε σε μια ριζα .Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Πραγματικοι ΑριθμοιΠαραδειγμαNα γραψετε, με τη βοηθεια μιας ριζας, τη παρασταση : Β = 5 4 5 3 5 5 .ΑπαντησηΒ = 5 4 5 3 5 5 = 5 4 5 3 5 ⋅ 5 2 = 5 4 5 6 5 ⋅ 5 2 = 5 4 6 5 ⋅ 5 2 ⋅ 5 6 = 524 5 9 Μεθοδος:Παρασταση μορφης Α= α+β γ ▪ Ζητουμενα: Ευρεση τιμης παραστασης . ▪ Δοσμενα: Η παρασταση . ▪ Τροπος Λυσης: ▪ 1ο. Αντικαθιστουμε το β με 2δ (β = 2 ∙ δ) και η παρασταση γινεται : Α = α + 2 ⋅ δ ⋅ γ ▪ 2ο. Παρατηρουμε οτι α = δ 2 + γ = δ 2 + ( γ ) 2 και η παρασταση γινεται: A = δ2 +( γ)2 +2⋅δ⋅ γ . ▪ 3ο. Συμφωνα με : ( α + β ) 2 = α 2 + 2αβ + β 2 η παρασταση γινεται : Α = (δ + γ ) 2 ▪ 4ο. Τελικα : Α = (δ + γ ) 2 = |δ + γ |ΠαραδειγμαΝα βρειτε την τιμη της παραστασης : Α = 3 - 2 2 .Απαντηση 2 >1Α = 3 - 2 2 = 3 - 2 ⋅1⋅ 2 = 1 + 2 - 2 ⋅1⋅ 2 = 1 2 + ( 2 ) 2 - 2 ⋅1⋅ 2 = (1 - 2 ) =|1 - 2 | = 2 - 1Μεθοδος:Αρρητος παρονομαστης σε ρητο▪ Ζητουμενα: Μετατροπη αρρητου παρονομαστη σε ρητο .▪ Δοσμενα: Κλασματικη παρασταση με αρρητο παρονομαστη .▪ Τροπος Λυσης: ▪ Πολλαπλασιαζουμε αριθμητη και παρονομαστη με : ν α ν -μ αν ο παρονομαστης ειναι της μορφης ν α μ με μ < ν . (Αν μ > ν, τοτε θετουμε πρωτα α μ = α κ ∙ ν ∙ α λ και ν α μ = α κ ⋅ ν α λ , λ < ν) α - β αν ο παρονομαστης ειναι της μορφης α + β . α + β αν ο παρονομαστης ειναι της μορφης α - β . α - β αν ο παρονομαστης ειναι της μορφης α + β . α + β αν ο παρονομαστης ειναι της μορφης α - β . 3 α 2 - 3 α ×β + β 2 αν ο παρονομαστης ειναι της μορφης 3 α + β . 3 α 2 + 3 α ×β + β 2 αν ο παρονομαστης ειναι της μορφης 3 α - β .Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Πραγματικοι ΑριθμοιΠαραδειγμαNα γραψετε με ρητο παρονομαστη τις παραστασεις :Α= 1 , Β= 1 , Γ = 1 , Δ= 1 , Ε= 1 ,4 5 4 57 5-3 3+5 3+ 5Ζ= 1 , Η= 1 , Θ= 1 . 3- 2 3 5+2 3 3-1ΑπαντησηΕιναιΑ = 1 = 1⋅ 4 5 3 = 4 5 3 = 4 5 3 = 4 5 3 4 5 4 5 ⋅ 4 53 4 5⋅53 4 54 5Β= 1 = 1 = 1 = 1⋅ 4 5 = 45 = 45 = 45 = 45 4 57 4 54 ⋅53 4 54 ⋅4 53 5⋅ 4 53 ⋅ 4 5 5⋅ 4 53 ⋅5 5⋅ 4 54 5⋅5 25Γ = 1 = 1⋅( 5 + 3) = 5 + 3 = 5 + 3 = - 5 + 3 5 - 3 ( 5 - 3)( 5 + 3) ( 5) 2 - 3 2 5 - 9 4Δ = 1 = 1⋅( 3 - 5) = 3 - 5 = 3 - 5 = - 3 - 5 3 + 5 ( 3 + 5)( 3 - 5) ( 3) 2 - 5 2 3 - 25 22Ε = 1 = 1⋅( 3 - 5) = 3- 5 = 3- 5 =- 3- 5 3 + 5 ( 3 + 5)( 3 - 5) ( 3) 2 - ( 5) 2 3 - 5 2Ζ = 1 = 1⋅( 3 + 2) = 3 + 2 = 3 - 2 = - 3 - 2 = 2 - 3 3 - 2 ( 3 - 2)( 3 + 2) ( 3) 2 - ( 2) 2 3 - 2 1Η = 1 = 1⋅(3 5 2 - 3 5 ⋅2 + 2 2) = 3 5 2 - 23 5 + 4 = 3 5 2 - 23 5 + 4 = 3 5 + 2 ( 3 5 + 2)( 3 5 2 - 3 5 ⋅ 2 + 2 2 ) ( 3 5) 3 + 2 3 5 + 13= 3 5 2 - 23 5 + 4 18Θ = 1 = 1⋅(3 3 2 + 3 3 ⋅1+12) = 3 3 2 + 3 3 +1 = 3 3 2 + 3 3 +1 = 3 3 2 + 3 3 + 1 3 3 - 1 ( 3 3 - 1)( 3 3 2 + 3 3 ⋅ 1 + 1 2 ) ( 3 3) 3 - 1 3 3-1 2Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

ΣυναρτησειςΤακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Συναρτησεις2. Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς ▪ Ορισμος Εστω Α ενα μη κενο υποσυνολο του ℝ . Ονομαζουμε π ρ α γ μ α τ ι κ η σ υ ν α ρ τ η σ η με πεδιο ορισμου το Α μια διαδι- κασια (κανονα) f, με την οποια κ α θ ε στοιχειο x ∈ A αντιστοιχιζεται σ’ ε ν α μ ο - ν ο πραγματικο αριθμο y . To y ονομαζεται τ ι μ η της f στο x και συμβολιζεται με f(x) . ▪ Το γραμμα x λεγεται α ν ε ξ α ρ τ η τ η μ ε τ α β λ η τ η , ενω το γραμμα y που παριστανει την τιμη της f στο x λεγεται ε ξ α ρ τ η μ ε ν η μ ε τ α β λ η τ η . ▪ Το πεδιο ορισμου Α της f συμβολιζεται με Α f . ▪ Μια συναρτηση ειναι ορισμενη, Οταν γι’αυτην γνωριζουμε: ▪ To πεδιο ορισμου της Α ▪ Την τιμη της f(x) για καθε x ∈ ℝ, δηλαδη τον τυπο μεσω του οποιου μπορουμε να βρουμε την τιμη f(x) για καθε x ∈ ℝ . ▪ Καθε στοιχειο x του πεδιου ορισμου Α ονoμαζεται αρχετυπο της f, ενω το y ονο- μαζεται εικονα της f στο x.▪ Πεδιο Ορισμου Αν η συναρτηση δινεται μονο με τον τυπο της, πεδιο ορισμου της θα θεωρειται το ευρυτερο υποσυνολο των πραγματικων αριθμων για τους οποιους η τιμη f(x) να εχει νοημα πραγματικου αριθμου. Συμβολικα γραφουμε: Α f = { x ∈ ℝ : y = f(x) ∈ ℝ }. Συναρτησεις με γνωστο πεδιο ορισμου Α.f(x) = ημx A=ℝf(x) = συνx A=ℝf(x) = εφx A = ℝ - { x / x ∈ ℝ , x = κπ + π/2 , κ ∈ ℤ}f(x) = σφx A = ℝ - { x / x ∈ ℝ , x = κπ , κ ∈ ℤ }f(x) = α x, α > 0, α ≠ 1 A=ℝf(x) = e x A=ℝf(x) = logx A = ( 0, + ∞ )f(x) = lnx A=(0,+∞)f(x) = α g(x) , α > 0, α ≠ 1 A ειναι το πεδιο ορισμου της gf(x) = e g(x) , α > 0, α ≠ 1 A ειναι το πεδιο ορισμου της g Α ειναι η τομη του Αg και του συνολου λυσεων τηςf(x) = log g(x) ανισωσης g(x) > 0 Α ειναι η τομη του Αg και του συνολου λυσεων τηςf(x) = ln g(x) ανισωσης g(x) > 0 Α ειναι η τομη του Aφ , του Αg και οι λυσεις τηςf(x) = [φ(x)] g(x) ανισωσης φ(x) > 0 A = Agf(x) = ημ[g(x)] A = Agf(x) = συν[g(x)] A = Ag - { x / x ∈ ℝ, g(x) = κπ + π/2 , κ ∈ ℤ }f(x) = εφ[g(x)] A = Ag - { x / x ∈ ℝ, g(x) = κπ , κ ∈ ℤ }f(x) = σφ[g(x)]Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Συναρτησεις▪ Συνολο Τιμων Ειναι το συνολο που στοιχεια του ειναι οι τιμες της f για καθε x ∈ ℝ . Δηλαδη f(A) = {y ∈ ℝ / y = f(x) για τουλαχιστον ενα x ∈ Α} Το συνολο τιμων περιλαμβανει εκεινους τους πραγματικους αριθμους y για τους οποιους υπαρχει ενα τουλαχιστον x∈Α, τετοιο ωστε f(x) = y.▪ Γραφικη Παρασταση ▪ Ορισμος Γραφικη παρασταση της f με πεδιο ορισμου το Α, που συμβολιζεται με C f, ειναι το συνολο ολων των σημειων του επιπεδου που αντιστοιχουν στα ζευγη (x,f(x)), x∈ℝ. ▪ Εξισωση γραφικης παραστασης της f : Ειναι η εξισωση y = f(x), οπου f(x) ειναι ο τυπος της συναρτησης f . ▪ Χαρακτηριστικη ιδιοτητα της y = f(x) : Ενα σημειο Μ(x,y) ανηκει στην γραφικη παρασταση C f αν οι συντεταγμενες του επαληθευουν την εξισωση y = f(x) και αντιστροφως. ▪ Παρατηρησεις ▪ Η C f τεμνει τον x’x στα σημεια A₁(x₁, 0), A₂(x₂, 0),… oπου x₁, x₂, … ειναι οι ριζες της εξισωσης f(x) = 0. ▪ Η C f τεμνει τον y’y στο σημειο Β(0, f(0)), με την προυποθεση οτι το 0 ανηκει στο A f. ▪ Προκειμενου να βρουμε τις πραγματικες τιμες του x που η C f βρισκεται πανω απο τον x’x λυνουμε την f(x) > 0 και συναληθευουμε τις λυσεις με το A f, ενω λυνουμε την f(x) < 0 οταν η C f ειναι κατω απο τον x’x. ▪ Προκειμενου να βρουμε τα κοινα σημεια των γραφικων παραστασεων των f, g λυνουμε την εξισωση f(x) = g(x) και δεχομαστε οσες ριζες ανηκουν στο συνολο Af ∩Ag. ▪ Προκειμενου να βρουμε τις πραγματικες τιμες x που η C f βρισκεται πανω απο την C g λυνουμε την f(x) > g(x) και συναληθευουμε τις λυσεις στο A f ∩ A g , ενω την f(x) < g(x) αν η C g ειναι πανω απ’την C f. ▪ Οποιαδηποτε καθετη ευθεια στον αξονα x’x τεμνει τη γραφικη παρασταση μιας συναρτησης το πολυ σε ενα σημειο. ▪ Η τιμη της f : Α → ℝ στο x0 ∈ A, ειναι η τεταγμενη y0 του σημειου τομης M της ευθειας x = x0 και της γραφικης παραστασης C f. ▪ Το πεδιο ορισμου της f ειναι το συνολο Α των τετμημενων των σημειων της γρα- φικης παραστασης C f. Δηλαδη η προβολη της γραφικης παραστασης στον αξονα x’x. ▪ Το συνολο τιμων της f ειναι το συνολο f(Α) των τεταγμενων των σημειων της γραφικης παραστασης C f . Δηλαδη η προβολη της γραφικης παραστασης στον αξονα y΄y.Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Συναρτησεις▪ Χαρακτηριστικες Περιπτωσεις ▪ Aν ειναι γνωστη η γραφικη παρασταση της g τοτε : ▪ Η γραφικη παρασταση της συναρτησης f(x) = g(x) + c, με c > 0 ( αντιστοιχα c < 0), προκυπτει απ’τη κατακορυφη μετατοπιση της γραφικης παραστασης της συν- αρτησης g κατα c μοναδες προς τα πανω ( αντιστοιχα κατω). ▪ Η γραφικη παρασταση της συναρτησης f(x) = g(x + c), με c > 0 ( αντιστοιχα c < 0), προκυπτει απ’την oριζοντια μετατοπιση της γραφικης παραστασης της συναρ- τησης g κατα c μοναδες προς τα αριστερα ( αντιστοιχα δεξια). ▪ Η γραφικη παρασταση της συναρτησης f(x) = - g(x) ειναι συμμετρικη της γραφι- κης παραστασης της συναρτησης g ως προς τον αξονα x’x. ▪ Η γραφικη παρασταση της συναρτησης f(x) = |g(x)| αποτελειται ▪ απο τα τμηματα της y = g(x) που βρισκονται πανω απο τον x’x. ▪ απο τα συμμετρικα ως προς τον x’x των τμηματων της y = g(x) που βρισκον- ται κατω απο τον x’x. ▪ Η γραφικη παρασταση της συναρτησης f(x) = g(-x) ειναι συμμετρικη της γραφι- κης παραστασης της g ως προς τον αξονα y’y.▪ Ισοτητα Συναρτησεων ▪ Ορισμος Δυο συναρτησεις f και g θα λεγονται ι σ ε ς αν και μονο αν εχουν: ▪ To ιδιο πεδιο ορισμου Α και ▪ Για καθε x ∈ A ισχυει f(x) = g(x) ▪ Παρατηρησεις ▪ Για να δηλωσουμε οτι δυο συναρτησεις f και g ειναι ισες γραφουμε f = g. ▪ Αν δυο συναρτησεις f και g εχουν διαφορετικα πεδια ορισμου A f, A g και υπαρ- χει ενα κοινο υποσυνολο τους Ε, για το οποιο ισχυει f(x) = g(x) για καθε x ∈ Ε , τοτε θα λεμε οτι οι συναρτησεις f και g ειναι ισες στο συνολο Ε . ▪ Αν για τις συναρτησεις f και g δεν ισχυει μια τουλαχιστον απ’τις προυποθεσεις του ορισμου, τοτε αυτες ειναι διαφορες μεταξυ τους και γραφουμε f ≠ g.▪ Πραξεις Συναρτησεων Αν f και g ειναι δυο συναρτησεις με πεδια ορισμου Αf και Ag, οριζουμε: ▪ A θ ρ ο ι σ μ α των f και g την συναρτηση f + g με: ▪ πεδιο ορισμου το Af+g = Αf ∩ Ag ≠ ∅ και ▪ τυπο: (f + g)(x) = f(x) + g(x) ▪ Δ ι α φ ο ρ α των f και g την συναρτηση f – g με: ▪ πεδιο ορισμου το Af-g = Αf ∩ Ag ≠ ∅ και ▪ τυπο: (f - g)(x) = f(x) - g(x) ▪ Γ ι ν ο μ ε ν ο των f και g την συναρτηση f ∙ g με: ▪ πεδιο ορισμου το Af ∙ g = Αf ∩ Ag ≠ ∅ και ▪ τυπο: (f ∙ g)(x) = f(x) ∙ g(x)Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Συναρτησεις ▪ Π η λ ι κ ο των f και g την συναρτηση f με: g ▪ πεδιο ορισμου το A f = Αf ∩ Ag \ { x : g(x) = 0 } και g ▪ τυπο: ( f )(x) = f(x) g g(x) Αν f ειναι μια συναρτηση με πεδιο ορισμου Αf και λ πραγματικος αριθμος, οριζουμε: ▪ Γ ι ν ο μ ε ν ο τ ω ν f κ α ι λ την συναρτηση λ ∙ f με: ▪ πεδιο ορισμου το Αf ≠ ∅ και ▪ τυπο : (λ ∙ f)(x) = λ ∙ f(x)▪ Συνθεση Συναρτησεων ▪ Ορισμος Αν f και g ειναι δυο συναρτησεις με πεδια ορισμου Αf και Ag, οριζουμε: ▪ Σ υ ν θ ε σ η τ η ς f μ ε τ η ν g , τη συναρτηση g ∘ f με: ▪ Πεδιο ορισμου: Αgof = { x ∈ Αf / g(x) ∈ Ag } ▪ Τυπο: f ∘ g = f(g(x)) ▪ g ∘ f ≠ f ∘ g (η συνθεση δ ε ν ειναι αντιμεταθετικη) ▪ h ∘ (g ∘ f) ≠ (h ∘ g) ∘ f (η συνθεση ειναι προσεταιριστικη) ▪ Παρατηρησεις ▪ Το πεδιο ορισμου Αg o f της g ∘ f αποτελειτα απ’oλα τα στοιχεια x του Αf για τα οποια τα f(x) ανηκουν στο Ag . Δηλαδη Αg o f = { x ∈ Αf / g(x) ∈ Ag }. ▪ Aν Αg o f = Ø, τοτε δεν οριζεται η g ∘ f. ▪ Mε αναλογο τροπο οριζεται και η f ∘ g ▪ Πεδιο ορισμου: Αg o f = { x ∈ Αg / g(x) ∈ Af } ▪ Τυπος: f ∘ g = f(g(x))▪ Μονοτονια Συναρτησεων ▪ Ορισμος ▪ Μια συναρτηση f λεγεται γ ν η σ ι ω ς α υ ξ ο υ σ α σ’ενα διαστημα Δ του πε- διου ορισμου της, αν για οποιαδηποτε x₁, x₂ ∈ Δ με x₁ < x₂ ισχυει : f(x₁) < f(x₂) . ▪ Συμβολιζουμε f ↗ στο Δ. ▪ Ισχυει f(x1) - f(x2 ) > 0 x1 - x2 ▪ Μια συναρτηση f λεγεται γ ν η σ ι ω ς φ θ ι ν ο υ σ α σ’ενα διαστημα Δ του πε- διου ορισμου της, αν για οποιαδηποτε x₁, x₂ ∈ Δ με x₁ < x₂ ισχυει : f(x₁) > f(x₂) . ▪ Συμβολιζουμε f ↘ στο Δ.Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Συναρτησεις ▪ Ισχυει f(x1) - f(x2 ) < 0 x1 - x2 ▪ Μια συναρτηση f λεγεται σ τ α θ ε ρ η σ’ενα διαστημα Δ του πεδιου ορισμου της, αν για οποιαδηποτε x₁, x₂ ∈ Δ με x₁ < x₂ ισχυει : f(x₁) = f(x₂) . ▪ Ισχυει f(x1) - f(x2 ) = 0 x1 - x2▪ Παρατηρησεις ▪ Οι γνησιως αυξουσες και οι γνησιως φθινουσες συναρτησεις γενικα λεγονται γνησιως μονοτονες. ▪ Οταν μια συναρτηση ειναι γνησιως μονοτονη και δεν αναφερεται το διαστημα, θα εννοουμε οτι ειναι γνησιως μονοτονη στο πεδιο ορισμου της. ▪ Μια συναρτηση ενδεχεται να εχει διαφορετικο ειδος μονοτονιας στο πεδιο ορι- σμου της. ▪ Υπαρχουν συναρτησεις που εχουν το ιδιο ειδος μονοτονιας σε διαστηματα του πεδιου ορισμου, αλλα δεν ειναι μονοτονες σ’ολο το πεδιο ορισμου.▪ Ακροτατα Συναρτησεων ▪ Ορισμος Για μια συναρτηση f με πεδιο ορισμου Α θα λεμε οτι: ▪ Παρουσιαζει στο x₀ ∈ A (ολικο) μ ε γ ι σ τ ο , το f(x₀), αν ισχυει: f(x) ≤ f(x₀), για καθε x ∈ A . Το σημειο Μ(x0, f(x0)) ειναι το υψηλοτερο σημειο της γρ. παραστασης. ▪ Παρουσιαζει στο x₀ ∈ A (ολικο) ε λ α χ ι σ τ ο , το f(x₀), αν ισχυει: f(x) ≥ f(x₀), για καθε x ∈ A. Το σημειο Μ(x0, f(x0)) ειναι το χαμηλοτερο σημειο της γρ. παραστασης.▪ Παρατηρησεις▪ Το μεγιστο και το ελαχιστο μιας συναρτησης λεγονται α κ ρ ο τ α τ α . Ειναι φανερο οτι μια συναρτηση μπορει να μην εχει ακροτατα.▪ Αν το συνολο τιμων μιας συναρτησης ειναι κλειστο διαστημα, τα ακρα του ειναι τα ακροτατα της συναρτησης.▪ Αρτια - Περιττη - Περιοδικη Συναρτηση▪ Ορισμος▪ Mια συναρτηση λεγεται α ρ τ ι α στο πεδιο ορισμου της Α αν:για καθε x ∈ Α, τοτε – x ∈ Α και f ( - x ) = f ( x ) .▪ Mια συναρτηση λεγεται π ε ρ ι τ τ η στο πεδιο ορισμου της Α αν:για καθε x ∈ Α, τοτε - x ∈ Α και f ( - x ) = - f ( x ) .▪ Mια συναρτηση f : A → ℝ λεγεται π ε ρ ι ο δ ι κ η στο πεδιο ορισμου της Α ανυπαρχει αριθμος Τ > 0 τετοιος ωστε:• για καθε x∈A : x + Τ ∈ A και x – Τ ∈ AΤακης Τσακαλα∈κος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Συναρτησεις ▪ για καθε x ∈ A : x + Τ ∈ A και x - Τ ∈ A ▪ για καθε x ∈ A : f ( x + T ) = f ( x ) και f ( x - T ) = f ( x ) . Ο αριθμος Τ λεγεται π ε ρ ι ο δ ο ς της συναρτησης . H μικροτερη θετικη περιοδος λεγεται β α σ ι κ η π ε ρ ι ο δ ο ς της f. ▪ Παρατηρησεις ▪ Το πεδιο ορισμου αρτιας η περιττης συναρτησης ειναι σ υ μ μ ε τ ρ ι κ ο σ υ ν ο λ ο ως προς την αρχη Ο του αξονα x΄x των πραγματικων αριθμων. ▪ Η γραφικη παρασταση αρτιας συναρτησης ειναι σ υ μ μ ε τ ρ ι κ η ως προς τον αξονα y΄y. ▪ Η γραφικη παρασταση περιττης συναρτησης ειναι σ υ μ μ ε τ ρ ι κ η ως προς την αρχη Ο των αξονων. ▪ Οι τιμες μιας περιοδικης συναρτησης επαναλαμβανονται οταν το x αυξηθει κατα Τ (περιοδoς της f). ▪ Η γραφικη παρασταση περιοδικης συναρτησης εχει την ιδια μορφη σε διαδοχι- κα διαστηματα με πλατος οσο η περιοδος της.▪ Συναρτηση 1-1 ▪ Ορισμος Mια συναρτηση λεγεται 1 - 1 ( ε ν α π ρ ο ς ε ν α ) στο πεδιο ορισμου της αν για οποιoδηποτε x₁, x₂ του πεδιου ορισμου ισχυει : Aν x₁ ≠ x₂ τοτε f(x₁) ≠ f(x₂) . Συνεπεια ορισμου: Mια συναρτηση ειναι 1 - 1 αν για οποιδηποτε x₁, x₂ του πεδιου ορισμου της ισχυει : Aν x₁ = x₂ τοτε f(x₁) = f(x₂) . ▪ Παρατηρησεις ▪ Αν μια συναρτηση ειναι 1 - 1, τοτε σε καθε στοιχειο του συνολου τιμων αντι- στοιχει ενα μονο στοιχειο του πεδιου τιμων. Γραφικα αυτο σημαινει οτι καθε ευθεια της μορφης y = α, τεμνει τη γραφικη παρασταση της συναρτησης σ’ενα το πολυ σημειο. ▪ Αν μια συναρτηση ειναι γνησιως μονοτονη στο Δ, τοτε ειναι και 1 - 1 στο Δ. Το αντιστροφο δεν ισχυει. ▪ Αν μια συναρτηση ειναι 1 - 1, τοτε εχει το πολυ μια ριζα στο πεδιο ορισμου της .▪ Αντιστροφη Συναρτηση ▪ Ορισμος Εστω μια συναρτηση f με πεδιο ορισμου Α και συνολο τιμων f(A) η οποια ειναι 1 - 1 στο Α. Οριζεται η α ν τ ι σ τ ρ ο φ η σ υ ν α ρ τ η σ η τ η ς f, που συμβολιζεται με f - 1, με πεδιο ορισμου το f(A) και συνολο τιμων το Α και ισχυει η ισοδυναμια : f(x) = y ⇔ x = f - 1 (y)Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Συναρτησεις▪ Παρατηρησεις ▪ Το πεδιο ορισμου της f – 1 ειναι το συνολο τιμων της f. ▪ Το συνολο τιμων της f – 1 ειναι το πεδιο ορισμου της f. ▪ Οι συναρτησεις f - 1, f εχουν το ιδιο ειδος γνησιας μονοτονιας. ▪ Η συνθεση δυο αντιστροφων συναρτησεων ειναι η ταυτοτικη συναρτηση. f - 1 (f(x)) = x, για καθε x ∈ A και f(f - 1 (y)) = y, για καθε y ∈ f(A). ▪ Oι γραφικες παραστασεις δυο αντιστροφων συναρτησεων ειναι συμμετρικες ως προς την διχοτομο της πρωτης - τριτης γωνιας των αξονων, δηλαδη της ευ- θειας με εξισωση y = x. ▪ Για καθε x ∈ Α ισχυει: f - 1 (f(x)) = x. ▪ Για καθε y ∈ f(Α) ισχυει: f(f - 1 (y)) = y. ▪ H f – 1 ειναι και αυτη συναρτηση ‘1 - 1’. ▪ Τα κοινα σημεια των γραφικων παραστασεων των f και f - 1 προκυπτουν απο την λυση της εξισωσης f(x) = f - 1 (x).Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Συναρτησεις Μεθοδος:Ευρεση Πεδιου Ορισμου ▪ Ζητουμενα: Ευρεση πεδιου ορισμου συναρτησης . ▪ Δοσμενα: Ο τυπος της συναρτησης . ▪ Τροπος Λυσης: ▪ Χρησιμοποιουμε τον πινακα της παραγραφου 2. ▪ Γενικα το πεδιο ορισμου μιας συναρτησης ειναι ολες εκεινες οι τιμες του x , για τις οποιες εχει νοημα ο τυπος της συναρτησης f(x).ΠαραδειγμαΝα βρεθουν τα πεδια ορισμου των συναρτησεων:▪ f(x) = 3x + 4 ▪ g(x) = |x + 5|- 3 ▪ h(x) = ln 3+x |x|- 1 3-xΑπαντηση□ Πρεπει : |x| - 1 ≠ 0 ⇔ |x| ≠ 1 ⇔ x ≠ ± 1 Οποτε το πεδιο ορισμου της f ειναι: Af= » \{-1,+1}□ Πρεπει : |x + 5| - 3 ≥ 0 ⇔ |x + 5| ≥ 3 ⇔ x + 5 ≤ - 3 η x + 5 ≥ 3 ⇔ x ≤ - 8 η x ≥ - 2 Οποτε το πεδιο ορισμου της g ειναι: Ag=(-∞,-8]∪[-2 ,+∞)□ Πρεπει : 3 + x > 0 και x ≠ 3 ⇔ (3 + x)(3 - x) > 0 ⇔ - 3 < x < 3 3-x Οποτε το πεδιο ορισμου της h ειναι: Ah= ( - 3 , 3 )ΠαραδειγμαΝα βρεθουν τα πεδια ορισμου των συναρτησεων:▪ f(x) = x + 5 ▪ g(x) = 1 ▪ h(x) = 2 - ημx εφx - 3 ημxΑπαντηση□ Πρεπει : 3 δινει λυση, x = κπ + π εφx - 3 ≠ 0 και x ≠ κπ + π 3 2 Η λυση της εξισωσης εφx = Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

ΣυναρτησειςΔηλαδη τελικα πρεπει: x ≠ κπ + π και x ≠ κπ + π με κ ∈ Z . 32Οποτε το πεδιο ορισμου της f ειναι:Af= » \{x|x=κπ+ π και x = κ π + π με κ ∈ » } 3 2□ Πρεπει : ημx ≠ 0 ⇔ ημx ≠ ημ0 Η λυση της εξισωσης ημx = ημ0 δινει λυση, x = 2κπ η x = 2κπ + π και τελικα x = κπ. Οποτε το πεδιο ορισμου της g ειναι: A g = » \ { x | x = κ π με κ ∈ » }□ Πρεπει : 2 - ημx ≥ 0 ⇔ ημx ≤ 2 το οποιο αληθευει για καθε x ∈ » (αφου ημx ≤ 1) Οποτε το πεδιο ορισμου της h ειναι: Ah= »ΠαραδειγμαΝα βρεθουν τα πεδια ορισμου των συναρτησεων:▪ f(x) = ln(x 2 - 1) ▪ g(x) = 1 - x 2 ▪ h(x) = e x 2 + x - 1 x-3 x(x + 2)Απαντηση□ Πρεπει : x² - 1 > 0 και x - 3 > 0 ⇔ x² > 1 και x > 3 ⇔ (x < - 1 η x > 1) και x > 3 ⇔ x > 3 Οποτε το πεδιο ορισμου της f ειναι: A f = (3, + ∞)□ Πρεπει: 1 - x² ≥ 0 (1) και x(x + 2) ≠ 0 (2) Aπο (1) : 1 - x² ≥ 0 ⇔ x² ≤ 1 ⇔ |x| ≤ 1 ⇔ - 1 ≤ x ≤ 1 Απο (2) : προκυπτει οτι x ≠ 0 και x ≠ - 2 Οποτε το πεδιο ορισμου της g ειναι : Ag=[-1, 0)∪(0,1]□ Πρεπει: ex 2 + x - 1 ≥ 0 ⇔ ex 2 + x ≥ 1 ⇔ ex 2 + x ≥ e⁰ ⇔ x² + x ≥ 0 ⇔ x(x + 1) ≥ 0 ⇔ x≤-1 η x≥0 Οποτε το πεδιο ορισμου της h ειναι : Ah= ( - ∞ , - 1 ] ∪ [ 0 , + ∞ )Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

ΣυναρτησειςΜεθοδος:Ευρεση Παραμετρου απ'το Πεδιο Ορισμου▪ Ζητουμενα: Ευρεση παραμετρου απ'το πεδιο ορισμου συναρτησης .▪ Δοσμενα: Ο τυπος της συναρτησης .▪ Τροπος Λυσης: ▪ Χρησιμοποιουμε τον πινακα της παραγραφου 2. ▪ Απ’το περιορισμο προκυπτει σχεση που περιεχει τη παραμετρο, απ’την οποια προσδιοριζουμε τη παραμετρο.ΠαραδειγμαΔινεται η συναρτηση : f(x) = x 2 3x + 5 1 . + λx +Για ποιες τιμες του λ ∈ » , το πεδιο ορισμου της f ειναι το » .ΑπαντησηH συναρτηση f εχει πεδιο ορισμου το », αν :x 2 + λx + 1 ≠ 0 (δηλαδη x 2 + λx + 1 δεν εχει πραγματικες ριζες).που σημαινει οτι : Δ < 0 ⇒ λ2 - 4 ⋅1⋅1 < 0 ⇒ λ2 - 4 < 0 ⇒ - 2 < λ < 2Μεθοδος:Γραφικη Παρασταση▪ Ζητουμενα: Ευρεση σημειων τομης γραφικης παραστασης συναρτησης με τους αξονες x’x και y’y▪ Δοσμενα: Ο τυπος της συναρτησης .▪ Τροπος Λυσης: ▪ Για τον x’x : Θετουμε f(x) = 0 (y = 0 ) και βρισκουμε τα αντιστοιχα x. ▪ Για τον y’y : Θετουμε x = 0 και βρισκουμε τα αντιστοιχα f(x) δηλαδη y.ΠαραδειγμαΔινεται η συναρτηση : f(x) = e x 2- 3x - 1. Σε ποια σημεια τεμνει τους αξονες x'x και y'y, ηγραφικη παρασταση της συναρτησης f ;ΑπαντησηΓια τον αξονα x'x :Για f(x) = 0 ⇔ e x 2 - 3x -1 = 0 ⇔ e x 2 - 3x = e0 =1 x 2 - 3x = e 0 ⇔ x 2 - 3x = 0 ⇔ x(x - 3) = 0 ⇔ 1⇔ex = 0 (δεκτες αφου A f = »)x = 3Aρα τα σημεια τομης της Cf και του αξονα x'x ειναι :(0,0), (3,0)Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

ΣυναρτησειςΓια τον αξονα y'y :Για x = 0 ⇔ y = e x 2 - 3x -1⇔ y = e 02-3⋅0 e0 =1 y = e 0 -e0 ⇔ y = 0 -1 ⇔Aρα τα σημεια τομης της Cf και του αξονα y'y ειναι : (0,0) Μεθοδος:Γραφικη Παρασταση (θεση ως προς x’x) ▪ Ζητουμενα: Ευρεση εκεινων των x για τα οποια η γραφικη παρασταση συναρτησης βρισκεται πανω (κατω) απ’τον αξονα x’x . ▪ Δοσμενα: Ο τυπος της συναρτησης . ▪ Τροπος Λυσης: ▪ Πανω : Λυνουμε την ανισωση f(x) > 0 . ▪ Κατω : Λυνουμε την ανισωση f(x) < 0 .ΠαραδειγμαΔινεται η συναρτηση : f(x) = x 2 - 3x + 2. Για ποιες τιμες του x η γραφικη παρασταση τηςσυναρτησης f βρισκεται κατω απ'τον αξονα x'x ;ΑπαντησηΕιναιf(x) < 0 ⇔ x 2 - 3x + 2 < 0 (1) Δ = 3 2 - 4 ⋅ 2 = 9 - 8 = 1Η (1) εχει ριζες :  ± 1 = 3 ± 1 ⇔ x = 1 x1,2 = 3 2 2 x = 2 (δεκτες αφου A f = »)Η (1) αληθευει για : 1 < x < 2 Μεθοδος:Θεση Cf ως προς Cg ▪ Ζητουμενα: Ευρεση τιμων x η παραμετρου λ . ▪ Δοσμενα: Ο τυπος της συναρτησης . ▪ Τροπος Λυσης: ▪ Cf πανω απ’την Cg : Λυνουμε την ανισωση f(x) > g(x) . ▪ Cf κατω απ’την Cg : Λυνουμε την ανισωση f(x) < g(x) . ▪ Δεν ξεχνουμε το πεδιο ορισμου των συναρτησεων f, g .Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

ΣυναρτησειςΠαραδειγμαΔινoνται οι συναρτησεις : f(x) = ln(x 2 + x) και g(x) = ln(5x - 3).Να βρεθουν οι πραγματικες τιμες του x, που η γραφικη παρασταση της συναρτησης fβρισκεται κατω απ'τη γραφικη παρασταση της συναρτησης g.ΑπαντησηH f οριζεται αν : x 2 + x > 0 ⇔ x(x + 1) > 0 ⇔ x < -1 η x > 0.Οποτε : Α f = (- ∞ ,-1)∪ (0, + ∞ )H g οριζεται αν : 5x - 3 > 0 ⇔ 5x > 3 ⇔ x > 3 . 5Οποτε : Αg = ( 3 ,+∞ ) 5Eπομενως : Α f ∩Αg = (3 ,+ ∞) (1) 5Για να ειναι η Cf κατω απ'τη Cg πρεπει :f(x) < g(x) ⇔ ln(x 2 + x) < ln(5x - 3) ⇔ x 2 + x < 5x - 3 ⇔ x 2 - 4x + 3 < 0 ⇔ (x - 1)(x - 3) < 0 ⇔ 1 < x < 3Οποτε, σε συνδυασμο με την (1), η Cf ειναι κατω απ'τη Cg αν : x ∈ (1, 3) .ΠαραδειγμαΔινoνται οι συναρτησεις : f(x) = x 2 + λx και g(x) = - 5 λ + 3 . 42Να δειξετε οτι αν η γραφικη παρασταση της συναρτησης f βρισκεται πανω απ'τη γραφικηπαρασταση της συναρτησης g για καθε x ∈ » , τοτε : 2 < λ < 3.ΑπαντησηΕιναι : Α f = Α g = Α f ∩ Α g = »Για να ειναι η C f πανω απ'τη C g , για καθε x ∈ », πρεπει :f(x) > g(x) ⇔ x 2 + λx > - 5 λ + 3 ⇔ x 2 + λx + 5 λ - 3 > 0 42 42Η τελευταια ισχυει για καθε x ∈ », αν :α > 0 και Δ < 0.Ομως α = 1 > 0,οποτε :Δ < 0 ⇔ λ 2 - 4 ⋅1⋅( 5 λ - 3) < 0 ⇔ λ2 - 5λ + 6 < 0 ⇔ (λ - 2)(λ - 3) < 0 ⇔ 2 < λ < 3 42Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

ΣυναρτησειςΜεθοδος:Iσοτητα Συναρτησεων▪ Ζητουμενα: Αποδειξη οτι δυο συναρτησεις ειναι ισες .▪ Δοσμενα: Οι τυποι των συναρτησεων .▪ Τροπος Λυσης: ▪ Δειχνουμε οτι εχουν το ιδιο πεδιο ορισμου Α . ▪ Για καθε x∈A ισχυει f(x) = g(x) .ΠαραδειγμαΔινoνται οι συναρτησεις : f(x) = x 2 + λx και g(x) = λ 2x 2 + 8x . x+2-λ 4xΝα βρεθουν οι τιμες του λ ∈ » , ωστε οι συναρτησεις f και g να ειναι ισες.Απαντηση Η συναρτηση f ειναι ορισμενη αν : x + 2 - λ ≠ 0 ⇔ x ≠ λ - 2 η Α f = { x ∈ » / x ≠ λ - 2} Η συναρτηση g ειναι ορισμενη αν : 4x ≠ 0 ⇔ x ≠ 0 η Α g = { x ∈ » / x ≠ 0} Για να ειναι οι συναρτησεις f, g ισες πρεπει : Α f = Α g ⇔ { x ∈ » / x ≠ λ - 2} = { x ∈ » / x ≠ 0} ⇔ λ - 2 = 0 ⇔ λ = 2 . f(x) = g(x) για καθε Α f = Α g = { x ∈ » / x ≠ 0} Πραγματι (για λ = 2) f(x) = x 2 + λx = x 2 + 2x = x 2 + 2x x+2-λ x+2-2 x g(x) = λ 2x 2 + 8x = 4x 2 + 8x = x 2 + 2x 4x 4x xAρα f, g ειναι ισες για λ = 2 , αφου : Α f = Α g = { x ∈ » / x ≠ 0} f(x) = g(x) = x 2 + 2x xΜεθοδος:Πραξεις Συναρτησεων▪ Ζητουμενα: Πραξη μεταξυ συναρτησεων .▪ Δοσμενα: Οι τυποι των συναρτησεων .▪ Τροπος Λυσης: ▪ Προσδιορισουμε την τομη των πεδιων ορισμου των συναρτησεων και κανουμε την αναλογη πραξη στους τυπους των συναρτησεων.Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

ΣυναρτησειςΠαραδειγμα▪ Δινονται οι συναρτησεις : f(x) = lnx και g(x) = ln(x - 1) Να βρειτε τις συναρτησεις : ▪ f + g ▪ f - g▪ Δινονται οι συναρτησεις : f(x) = e 2x - 1 και g(x) = e x Να βρειτε τις συναρτησεις : ▪ f ∙ g ▪ f gΑπαντησηH f οριζεται αν : x > 0 οποτε A f = (0,+ ∞)H g οριζεται αν : x - 1 > 0 ⇔ x > 1 οποτε A g = (1, + ∞)Επειδη A f ∩ A g = (1, + ∞) ≠ ∅, οριζονται οι συναρτησεις f + g, f - g.Oριζουμε :f + g με :Πεδιο ορισμου : A f +g = A f ∩ A g = (1, + ∞ )Τυπο : (f + g)(x) = f(x) + g(x) = lnx + ln(x - 1) = ln[x(x - 1)] = ln(x 2 - x)f - g με :Πεδιο ορισμου : A f -g = A f ∩ A g = (1,+ ∞ )Τυπο : (f - g)(x) = f(x) - g(x) = lnx - ln(x - 1) = ln x x-1H f οριζεται αν : x ∈ » οποτε A f = »H g οριζεται αν : x ∈ » οποτε A g = »Επειδη Af ∩Ag = » ≠ ∅, οριζονται οι συναρτησεις f⋅g , f. gOριζουμε :f ⋅ g με :Πεδιο ορισμου : A f ⋅g = A f ∩ A g = »Τυπο : (f ⋅ g)(x) = f(x) ⋅ g(x) = e 2 x -1 × e x = e 2 x -1+ x = e 3x - 1f με :gΠεδιο ορισμου : A f = » (Αφου e x ≠ 0,δηλαδη g(x) ≠ 0, για καθε x ∈ ») gΤυπο : ( f )(x) = f(x) = e 2x-1 = e 2x-1-x = e x-1 g g(x) exΤακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

ΣυναρτησειςΜεθοδος:Συνθεση Συναρτησεων▪ Ζητουμενα: Ευρεση συνθετης συναρτησης .▪ Δοσμενα: Οι τυποι των συναρτησεων .▪ Τροπος Λυσης: ▪ Bρισκουμε το πεδιο ορισμου της συνθεσης ▪ Κατασκευαζουμε το τυπο f ⃘ g, θετοντας στη θεση του x στην f, την g(x) δηλαδη f(g(x)).ΠαραδειγμαΔινονται οι συναρτησεις : f(x) = x - 1 και g(x) = x - 2 .Να βρεθει η συναρτηση g f.ΑπαντησηH f ειναι ορισμενη αν : x - 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1, oποτε A f = [1, + ∞)H g ειναι ορισμενη αν : x - 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2, oποτε A g = [2, + ∞)Ετσι,Α gof = {x ∈ A f | f(x)∈ A g }Δηλαδηx ∈ A f  ⇔ x ∈[1, + ∞)  ⇔ x ∈[1, + ∞) ⇔ x ∈[1, + ∞) ⇔ x ∈[1, + ∞) ⇔ ≥ ⇔   x - 1 ∈[2, +   x-1 ≥  x -1≥ 4  x ≥5  x 5f(x) ∈ A   ∞)  g 2 Α gof = [ 5 , + ∞ ) ≠ ∅οποτε οριζεται η συναρτηση g f με τυπο :g f = g(f(x)) = f(x) - 2 = x - 1 - 2Αρα g f = x - 1 - 2 . Μεθοδος:Ευρεση του τυπου της συναρτησης f ▪ Ζητουμενα: Ευρεση τυπου της συναρτησης f . ▪ Δοσμενα: Οι τυποι της συνθεσης των συναρτησεων f ⃘ g και ο τυπος της συναρτησης g. ▪ Τροπος Λυσης: ▪ Λυνουμε το τυπο της g ως προς x, αφου θεσουμε g(x) = y . ▪ Θετουμε το x που βρηκαμε προηγουμενα στο τυπο της f ⃘ g και βρισκουμε τον τυπο της f .Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

ΣυναρτησειςΠαραδειγμαΓια τη συναρτηση f ισχυει : f(x - 2) = x 2 για καθε x ∈ » .Να βρειτε : f(x) f(x + 2)Απαντηση Ειναι y=x-2⇔x= y+2 Οποτε η δοσμενη σχεση γινεται : f(y + 2 - 2) = (y + 2)2 f(y) = (y + 2)2 με y ∈ » Αρα f(x) = (x + 2) 2 με x ∈ » (1) Aν θεσουμε στην (1) οπου x το x + 2, τοτε : f(x + 2) = (x + 2 + 2) 2 = (x + 4) 2 με x ∈ » Μεθοδος:Ευρεση του τυπου της συναρτησης g ▪ Ζητουμενα: Ευρεση τυπου της συναρτησης g . ▪ Δοσμενα: Οι τυποι της συνθεσης των συναρτησεων f ⃘ g και ο τυπος της συναρτησης f. ▪ Τροπος Λυσης: ▪ Στο τυπο της f θετουμε οπου x την g(x) . ▪ Εξισωνουμε τον πιο πανω τυπο τη f (ως προς g(x)) με το τυπο της f ⃘ g και βρισκου- με τον τυπο της g .ΠαραδειγμαAν f(x) = 2x 2 - 1 και (f g)(x) = συν2x,να αποδειξετε οτι ενας τυπος της g ειναι g(x) =|συνx|.ΑπαντησηΕιναιf(x) = 2x2 - 1 ⇒ f(g(x)) = 2(g(x))2 - 1 ⇒ (f g)(x) = 2(g(x))2 - 1 (1)(f g)(x) = συν2x (2)Aπο (1) και (2) προκυπτει2(g(x))2 - 1 = συν2x ⇒ (g(x))2 = 1 + συν2x συν2x = 2συν 2x-1 (g(x))2 = 1 + 2συν 2x - 1 ⇒ (g(x))2 = 2συν 2x ⇒ ⇒ 2 22(g(x))2 = συν 2x ⇒ g(x) =|συνx|Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

ΣυναρτησειςΜεθοδος:Ευρεση παραμετρων▪ Ζητουμενα: Ευρεση παραμετρου (ων) .▪ Δοσμενα: Οι τυποι των συναρτησεων f, g και της συνθεσης των f, g .▪ Τροπος Λυσης: ▪ Σχηματιζουμε ισα πολυωνυμα ως προς x . ▪ Εξισωνουμε τους αντιστοιχους συντελεστες του x . ▪ Λυνουμε το συστημα, ως προς τις παραμετρους, που προκυπτει .ΠαραδειγμαΟι συναρτησεις f και g οριζονται στο » . Να βρεθουν οι πραγματικοι α και β ωστε να ισχυειγια καθε x ∈ » : g g = f οταν f(x) = 4x - 9 και g(x) = αx + β.ΑπαντησηΕιναιg g = f ⇔ (g g)(x) = f(x) ⇔ g(g(x)) = f(x) ⇔ α(αx + β) + β = 4x - 9 ⇔ α 2x + αβ + β = 4x - 9Για να ισχυει η τελευταια σχεση για καθε x ∈ », πρεπει :α 2 = 4 ⇔ α = ± 2αβ + β = - 9 αβ + β = - 9ΟποτεΓια α = 2 τοτε 2β + β = - 9 ⇔ 3β = - 9 ⇔ β = - 3 Aρα (α, β) = (2,- 3)Για α = -2 τοτε - 2β + β = - 9 ⇔ -β = - 9 ⇔ β = 9 (- 2,9)Μεθοδος:Ευρεση Μονοτονιας Συναρτησης▪ Ζητουμενα: Ευρεση μονοτονιας συναρτησης .▪ Δοσμενα: Ο τυπος της συναρτησης .▪ Τροπος Λυσης: Για οποιαδηποτε x₁, x₂ ∈ Δ με x₁ < x₂ : ▪ Μετασχηματιζουμε την x₁ < x₂ σε σχεση αναμεσα στις f(x₁), f(x₂) . Aν ▪ f(x₁) < f(x₂) τοτε η f γν. αυξουσα ▪ f(x₁) > f(x₂) τοτε η f γν. φθινουσα ▪ f(x₁) = f(x₂) τοτε η f σταθερη ▪ Βρισκουμε τη σχεση f(x 1) - f(x 2 ) (1) . Aν x1 -x2 ▪ (1) > 0 τοτε η f γν. αυξουσα ▪ (1) < 0 τοτε η f γν. φθινουσα ▪ (1) = 0 τοτε η f σταθερηΤακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

ΣυναρτησειςΠαραδειγμαΝα δειχτει οτι η συναρτηση f με : f(x) = 5 - x + 1 ειναι γνησιως φθινουσα.ΑπαντησηΓια να ειναι ορισμενη η f πρεπει :5 - x ≥ 0 ⇔ x ≤ 5, δηλαδη A f = (- ∞,5].Aν x1 , x2 ≤ 5 με x1 < x2 τοτε : x1 < x2 ⇒ - x1 > -x2 ⇒ 5 - x1 > 5 - x2 ⇒ 5 - x1 > 5 - x2 ⇒ ⇒ 5 - x1 + 1 > 5 - x2 + 1 ⇒ f(x1 ) > f(x2 ) ⇒ f γν. φθινουσα στο (- ∞, 5].Α λ λ ι ως f(x1 ) > f(x2 ) ⇒ 5 - x1 + 1 > 5 - x2 + 1 ⇒ 5 - x1 > 5 - x2 ⇒ ⇒ 5 - x1 > 5 - x2 ⇒ - x1 > - x2 ⇒ x1 < x2 ⇒ f γν. φθινουσα στο (- ∞,5].Αλ λ ι ωςλ = f(x1) - f(x2 ) = 5 - x1 + 1 - ( 5 - x2 + 1) = 5 - x1 - 5 - x2 = x1 - x2 x1 - x2 x1 - x2= ( 5 - x1 - 5 - x2 )( 5 - x1 + 5 - x2 ) = 5 - x1 - (5 - x2 ) = (x1 - x2 )( 5 - x1 + 5 - x2 ) (x1 - x2 )( 5 - x1 + 5 - x2 )= 5 - x1 - 5 + x2 = -(x1 - x2 ) = (x1 - x2 )( 5 - x1 + 5 - x2 ) (x1 - x2 )( 5 - x1 + 5 - x2 )= -1 < 0, (αφου 5 - x1 + 5 - x2 > 0) ⇒ f γν. φθινουσα στο (- ∞, 5]. 5 - x1 + 5 - x2Μεθοδος:Λυση – Αποδειξη Ανισωσης▪ Ζητουμενα: Λυση – αποδειξη ανισωσης .▪ Δοσμενα: Ο τυπος της συναρτησης η σχεση παραμετρων .▪ Τροπος Λυσης: ▪ Βρισκουμε τη μονοτονια της συναρτησης (αν δινεται) η της συναρτησης που δημι- ουργουμε απ’την ανισοτητα προς αποδειξη . ▪ Χρησιμοποιουμε τις ισοδυναμιες της μονοτονιας συναρτησης .Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

ΣυναρτησειςΠαραδειγμαΝα λυθει η ανισωση : f(x + 1) < f(2x - 1) αν f(x) = 5 - x - lnx.Nα αποδειχτει οτι : e α - e β < ln β , αν 0 < α < β. αΑπαντησηΓια να ειναι ορισμενη ηf πρεπει : 5 - x ≥ 0 ⇒ x ≤ 5 , δηλαδη A = (0, 5]. x > 0 x > 0 fΗ συναρτηση f1(x) = 5 - x ειναι γ.φθινουσα (α = -1 < 0),αρα και η συναρτησηf 2(x) = 5 - x ειναι γ.φθινουσα στο (0, 5].Η συναρτηση f 3(x) = lnx ειναι γ.αυξουσα και η f 4(x) = - lnx, γ.φθινουσα.Οποτε η συναρτηση f(x) = 5 - x - lnx ειναι γ.φθινουσα, σαν αθροισμα γ.φθινουσωνσυναρτησεων στο (0,5].Ειναιf(x + 1) < f(2x - 1) ⇔ x + 1 < 2x - 1 ⇔ x > 2Αρα τελικα 2 < x ≤ 5e α - e β < ln β ⇔ e α - e β < lnβ - lnα ⇔ e α + lnα < e β + lnβ (1) αΘεωρουμε τη συναρτηση g(x) = e x + lnx, με A g = (0, + ∞). Η συναρτηση g 1(x) = e x ειναι γ.αυξουσα στο (0,+ ∞). Η συναρτηση g 2(x) = lnx ειναι γ.αυξουσα στο (0,+ ∞).Οποτε η συναρτηση g(x) = ex + lnx ειναι γ.αυξουσα στο (0,+ ∞) σαν αθροισμα γ.αυξουσωνσυναρτησεων.Αραα < β ⇔ g(α) < g(β) ⇔ e α + lnα < e β + lnβ ⇔ e α - e β < lnβ - lnα ⇔ e α - e β < ln β α Μεθοδος:Λυση Εξισωσης (μοναδικη ριζα) ▪ Ζητουμενα: Λυση – αποδειξη ανισωσης . ▪ Δοσμενα: Ο τυπος της συναρτησης η σχεση παραμετρων . ▪ Τροπος Λυσης: ▪ Φερνουμε ολους τους ορους της εξισωσης στο πρωτο μελος και ονομαζουμε το πρωτο μελος f(x). Δηλαδη η εξισωση γινεται της μορφης f(x) = 0 . ▪ Δειχνουμε οτι η συναρτησης f ειναι γνησια μονοτονη . ▪ Η τιμη του x που μηδενιζει την f(x) ειναι μοναδικη λυση της εξισωσης .Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

ΣυναρτησειςΠαραδειγμαΝα λυθει η εξισωση : 18 - x - 4 = ln(x - 1).ΑπαντησηΗ εξισωση 18 - x - 4 = ln(x - 1) γραφεται :18 - x - 4 - ln(x - 1) = 0Θεωρουμε τη συναρτηση : f(x) = 18 - x - 4 - ln(x - 1) (1)Για να ειναι ορισμενη η f πρεπει :18 - x ≥ 0 ⇒ x ≤ 18 = (1,18].x - 1 > 0 x > 1 , δηλαδη A fΗ συναρτηση f1(x) = 18 - x ειναι γ.φθινουσα (α = -1 < 0) στο (1,18], αρα και ηf 2(x) = 18 - x ειναι γ.φθινουσα στο (1,18].Η συναρτηση f 3(x) = ln(x - 1) ειναι γ.αυξουσα και η f 4(x) = - ln(x - 1) ειναι γ.φθινουσα στο (1,18].Οποτε η συναρτηση f(x) = 18 - x - 4 - ln(x - 1) ειναι γ.φθινουσα , σαν αθροισμαγ.φθινουσων συναρτησεων.Για x = 2 η (1) γινεταιf(2) = 18 - 2 - 4 - ln(2 - 1) = 16 - 4 - ln(1) = 4 - 4 - 0 = 0ΑραΗ x = 2 ειναι μοναδικη ριζα της εξισωσης, αφου η συναρτηση ειναι γ.φθινουσα.Μεθοδος:Ευρεση συνολου τιμων συναρτησης▪ Ζητουμενα: Συνολο τιμων συναρτησης .▪ Δοσμενα: Ο τυπος της συναρτησης και το πεδιο ορισμου της συναρτησης A = [α, β] .▪ Τροπος Λυσης: ▪ Θετουμε στο τυπο της συναρτησης οπου f(x) , το y και λυνουμε ως προς x και κατα- ληγουμε στο x = f(y). ▪ x ∈ A oποτε α ≤ x ≤ β και α ≤ f(y) ≤ β η λυση της οποιας ειναι το f(A) .▪ Δοσμενα: Ο τυπος της συναρτησης ( περιεχει x 2) και το πεδιο ορισμου της A = ℝ .▪ Τροπος Λυσης: ▪ Θετουμε στο τυπο της συναρτησης οπου f(x) , το y και λυνουμε ως προς x και κατα- ληγουμε σε δευτεροβαθμια εξισωση ως προς x . ▪ Απαιτουμε Δ ≥ 0 (αφου υπαρχει τουλαχιστον ενας x ∈ ℝ ) που δινει το f(A).Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

ΣυναρτησειςΠαραδειγμαΝα βρεθει το συνολο τιμων της συναρτησης : f(x) = 8 - 6x . x +1 2ΑπαντησηTo πεδιο ορισμου της f ειναι ολο το », αφου x 2 + 1 ≠ 0.Eιναιy = 8 - 6x ⇔ y(x 2 + 1) = 8 - 6x ⇔ yx 2 + 6x + y - 8 =0 (1) x2 +1Yπαρχει τουλαχιστον μια τιμη του x ∈ », που επαληθευει την (1) .Oποτε πρεπειΔ ≥ 0 ⇔ 6 2 - 4 ⋅ y ⋅(y - 8) ≥ 0 ⇔ 36 - 4y 2 + 32y ≥ 0 ⇔ - y 2 + 8y + 9 ≥ 0 ⇔ y2 - 8y - 9 ≤ 0 ⇔(y + 1)(y - 9) ≤ 0 ⇔ - 1 ≤ y ≤ 9Aρα, f(A) = [- 1,9] .ΠαραδειγμαΝα βρεθει το συνολο τιμων της συναρτησης : f(x) = x + 5 με A f = [0,7]. x-1ΑπαντησηEιναιy = x+5 ⇔ y(x - 1) = x+5⇔ yx - y = x+5⇔ yx - x = y + 5 ⇔ (y - 1)x = y+5 y≠1 x-1 ⇔x = y + 5 (αν y = 1 τοτε 0 ⋅ x = 6, ατοπο) y-1Aφου A f = [0,7],τοτε : y+5 ≤7  ≤ y+5 ≤ ⇔  y - 1 ⇔ (y + 5)(y - 1) ≤ 7 ⇔ y2 + 4y - 5 - 7 ≤0 ⇔ y 2 + 4y - 12 ≤ 0 ⇔  0 y-1 7  (y + 5)(y - 1) ≥ 0 (y + 5)(y - 1) ≥ 0 (y + 5)(y - 1) ≥ 0  y+ 5 y- 1 ≥ 0(y + 6)(y - 2) ≤ 0 y≠1 - 6 ≤ y ≤ 2 ⇔-6≤y≤-5 η 1< y≤2  ⇔(y + 5)(y - 1) ≥ 0 y ≤ - 5 η y > 1Aρα, f(A) = [- 6,- 5] ∪ (1, 2] .Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr