01.1_Απροσδιόριστες Μορφές_Κανόνες De L Hospital

1.1ΑΠΡΟ΢ΔΙΟΡΙ΢ΣΕ΢ ΜΟΡΥΕ΢ – ΚΑΝΟΝΕ΢ DE L’ HOSPITAL ΦΡΗ΢ΙΜΑ ΟΡΙΑ 1 1 1 1 lim   lim   lim  0 lim  0   x 0 x x 0 x x x x x Τα αποτελέσματα των πιο πάνω ορίων φαίνονται στη γραφική παράσταση της 1    f x x : 1 1 1 ΢ημείωση: Το lim δεν υπάρχει διότι lim  lim .  x x  0 x x   x 0 0 x 1 1 1 Το lim υπάρχει διότι lim  lim   .   x  0 x 2 x  0 x 2 x  0 x 2 lim e x  0 lim e x   x x Τα αποτελέσματα των πιο πάνω ορίων φαίνονται στη γραφική παράσταση της f x e x :    © Χρίστος Λευκονοιτζιάτης 3

1.1. Απροσδιόριστες Μορφές – Κανόνες De L’ Hospital lim ln x   lim ln x   x 0  x Τα αποτελέσματα των πιο πάνω ορίων φαίνονται στη γραφική παράσταση της    f x ln x : ΕΠΙΣΡΕΠΣΕ΢ ΠΡΑΞΕΙ΢ 1. α    , α  7.         2. α    , α  8.          3. α      , αν α  0 9.      , αν α  0      4. α      , αν α  0 10.        , αν α  0 α   , αν α  1 5.   0 , α 11. α     0 , αν  0  α 1 6.      12.    α  , αν α  0 ΑΠΡΟ΢ΔΙΟΡΙ΢ΣΕ΢ ΜΟΡΥΕ΢ 1.    5. 1  0  2. 0    6.        3. , , , 7. 0 0     0 4. 0 © Χρίστος Λευκονοιτζιάτης 4

1.1 Απροσδιόριστες Μορφές – Κανόνες De L’ Hospital ΚΑΝΟΝΕ΢ DE L’ HOSPITAL 0 AΠΡΟ΢ΔΙΟΡΙ΢ΣΙΕ΢ ΣΗ΢ ΜΟΡΥΗ΢ 0 ΘΕΩΡΗΜΑ 1 Αν f και g είναι δύο συναρτήσεις παραγωγίσιμες με  g   x 0 σε μια περιοχή του x , εκτός ίσως από το x , με lim f   x 0 και lim g   x 0 , όπου 0 0 x x x  0 x  0 f    x  ,  χ 0    και υπάρχει το όριο lim (πεπερασμένο ή άπειρο),    xχ 0 g x τότε   x f x  f   lim  lim .     x  g x x  0 χ χ 0  g x ΢ημείωση  Το θεώρημα ισχύει και για πλευρικά όρια νοουμένου ότι πληρούνται οι προϋποθέσεις Παράδειγμα 1 ln x Να βρεθεί το lim . x 1 e x 1 1 Λύση MΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ   f x Για να βρούμε ένα όριο της μορφής lim ,   x  0 g x χ      Βρίσκουμε ξεχωριστά τα όρια lim f x και lim g x x  0 χ x  0 χ   f x  Αν και τα δύο όρια είναι 0, δηλαδή το lim οδηγεί σε   x  0 x g x 0 απροσδιοριστία της μορφής τότε εφαρμόζουμε τον κανόνα 0 De L’ Hospital.  Αν και το νέο όριο οδηγεί σε απροσδιοριστία, τότε επαναλαμβάνουμε την προηγούμενη διαδικασία. lim ln x  ln1  0 x 1 0 lim  e x 1  1   e  1  1 1  0 , x 1 0 Άρα έχουμε απροσδιοριστία της μορφής . 0 ln x   1 1 1 x  lim  lim    1 x 1 x 1  x 1 e x 1 e 0 1  e  1  Επομένως, σύμφωνα με τον κανόνα De L’ Hospital ln x lim  1 x  1 e x 1  1 © Χρίστος Λευκονοιτζιάτης 5

1.1. Απροσδιόριστες Μορφές – Κανόνες De L’ Hospital Παράδειγμα 2 x  e x  e 2 Να βρεθεί το lim . x 0 1  συνx Λύση 0 x 0 lim  e  e  x  2   e  e  2  0 x 0 lim 1  συν x   1  συν 0  1 1  0 x 0 , 0 Άρα έχουμε απροσδιοριστία της μορφής . 0  e x  e  x  2   e x  e  x  lim  lim x  0 1  συν x   x  0 ημ x lim  e  x e  x   0 x 0 lim ημ x   0 x 0 0 Πάλι παρουσιάζεται απροσδιοριστία της μορφής . 0   e x  e  x  e x  e  x e  e 0 1 1 0  lim  lim    2 x  0  ημ x   x  0 συν x συν 0 1 Επομένως, σύμφωνα με τον κανόνα De L’ Hospital e  x e  x  2 lim  2 x 0 1  συν x  AΠΡΟ΢ΔΙΟΡΙ΢ΣΙΕ΢ ΣΗ΢ ΜΟΡΥΗ΢  ΘΕΩΡΗΜΑ 2 Αν f και g είναι δύο συναρτήσεις παραγωγίσιμες με  g   x 0 σε μια περιοχή του x , εκτός ίσως από το x , με lim f    x και lim g    x , όπου 0 0 x x  0 x  0 x  f   x  ,  χ 0    και υπάρχει το όριο lim (πεπερασμένο ή άπειρο),   x  0 χ  g x τότε   x f x  f   lim  lim .     x  g x x  0 χ χ 0  g x ΢ημείωση :   f x Το Θεώρημα 2 εφαρμόζεται και όταν το όριο lim οδηγεί σε   x  0 x g x    απροσδιοριστία της μορφής ή ή .    © Χρίστος Λευκονοιτζιάτης 6

1.1 Απροσδιόριστες Μορφές – Κανόνες De L’ Hospital Παράδειγμα 3 ln 1  x   x Να βρεθεί το lim . x x  e  x Λύση MΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ   f x Για να βρούμε ένα όριο της μορφής lim ,   χ x  0 g x      Βρίσκουμε ξεχωριστά τα όρια lim f x και lim g x x  0 χ x  0 χ   f x  Αν και τα δύο όρια είναι ίσα με  ή  , δηλαδή το lim οδηγεί   x 0 x g x  σε απροσδιοριστία της μορφής τότε εφαρμόζουμε τον κανόνα De L’  Hospital.  Αν και το νέο όριο οδηγεί σε απροσδιοριστία, τότε επαναλαμβάνουμε την προηγούμενη διαδικασία. lim ln 1  x   x    x lim  x  e  x    x  Άρα έχουμε απροσδιοριστία της μορφής .   1 ln 1  x   x   1  x  1  lim  lim  0 x  x  x 1  e  x  x  e  Επομένως, σύμφωνα με τον κανόνα De L’ Hospital ln 1  x   x lim  0 x x  e  x AΠΡΟ΢ΔΙΟΡΙ΢ΣΙΕ΢ ΣΗ΢ ΜΟΡΥΗ΢   0 Παράδειγμα 4 Να βρεθεί το lim x e x . x Λύση MΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ     Για να βρούμε ένα όριο της μορφής lim f x g x , x  0 χ      Βρίσκουμε ξεχωριστά τα όρια lim f x και lim g x x  0 χ x  0 χ  Αν το ένα όριο είναι  ή  και το άλλο είναι 0, δηλαδή το lim f x g x 0     οδηγεί σε απροσδιοριστία   , τότε μετατρέπουμε τ x  0 χ     f x g x f x g x γινόμενο     σε πηλίκο της μορφής ή ώστε να 1 1     g x f x © Χρίστος Λευκονοιτζιάτης 7

1.1. Απροσδιόριστες Μορφές – Κανόνες De L’ Hospital 0   μετατραπεί η απροσδιοριστία στη μορφή ή για να μπορέσουμε να 0  εφαρμόζουμε τον κανόνα De L’ Hospital.  Αν και το νέο όριο οδηγήσει σε απροσδιοριστία, τότε επαναλαμβάνουμε την διαδικασία. lim x   x lim e x  0 x Άρα έχουμε απροσδιοριστία της μορφής   0 και δεν μπορεί να εφαρμοστεί ο κανόνας De L’ Hospital. Όμως  lim x e x  lim x x x e  x lim x   x lim e  x   x  Δηλαδή έχουμε απροσδιοριστία της μορφής .     1 x  lim   lim 0 x  x   x -  e  x  e  Επομένως, σύμφωνα με τον κανόνα De L’ Hospital lim x e x  0 x AΠΡΟ΢ΔΙΟΡΙ΢ΣΙΕ΢ ΣΗ΢ ΜΟΡΥΗ΢    Παράδειγμα 5  1  1 Να βρεθεί το lim    .  x 0  x e x 1  Λύση ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ     f x h x  Οι συναρτήσεις της μορφής  που οδηγούν σε     g x k x απροσδιοριστίες της μορφής    πρέπει να μετατρέπονται πρώτα σε 0  ένα κλάσμα ώστε να οδηγήσουν σε απροσδιοριστίες της μορφής ή 0  και να εφαρμόσουμε στη συνέχεια τους κανόνες De L’ Hospital.  1  lim     x 0   x   1  lim     x x 0   e  1  Άρα έχουμε απροσδιοριστία της μορφής    και δεν μπορεί να εφαρμοστεί ο κανόνας De L’ Hospital. Όμως © Χρίστος Λευκονοιτζιάτης 8

1.1 Απροσδιόριστες Μορφές – Κανόνες De L’ Hospital  1  1 x  e 1 x   lim   lim  x x    e x 1  x 0 0 x  e x 1  lim  e x  1  x   0 x 0  lim x  e x  1   0 x 0  0 Δηλαδή έχουμε απροσδιοριστία της μορφής . 0  e x  1  x   e x  1  lim  lim  x 0   x x  1    x 0 e x  1  xe x   e  lim  e x  1   0 x 0  lim  e x  1  xe x   0 x 0  0 Δηλαδή έχουμε απροσδιοριστία της μορφής . 0 x  e  1   e x e x  lim   lim lim  x x 0  x x  x 0 + e  x xe  x e x x 0 e 2  x   e  1  xe  1 1  lim   x 0 2  x 2 Σύμφωνα με τον κανόνα De L’ Hospital  1 1  1 lim     x x 0   x e  1  2 Παράδειγμα 6 Να βρεθεί το lim  χ 2  e  x  . x Λύση ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ f x   που οδηγούν σε απροσδιοριστίες  Οι συναρτήσεις της μορφής    g x της μορφής    πρέπει να μετατρέπονται πρώτα σε γινόμενο της    f x     μορφής   1  g x  ή      g x  1 ώστε να οδηγήσουν σε g x f x     f x      0  απροσδιοριστίες της μορφής ή και να εφαρμόσουμε στη συνέχεια 0  τους κανόνες De L’ Hospital. lim χ 2   x lim e  x   x Άρα έχουμε απροσδιοριστία της μορφής    και δεν μπορεί να εφαρμοστεί ο κανόνας De L’ Hospital. Όμως  e  x   lim  χ 2  e  x   lim x 2  1   x x  x 2  © Χρίστος Λευκονοιτζιάτης 9

1.1. Απροσδιόριστες Μορφές – Κανόνες De L’ Hospital lim χ 2   x  e  x  e  x lim  1    1  lim x  x 2  x x 2 e  x  To lim οδηγεί σε απροσδιοριστία της μορφής x x 2    e  x   e  x  lim  lim 2  x   x 2x x lim  e  x    x lim 2χ   x  Δηλαδή έχουμε απροσδιοριστία της μορφής .    e  x  e  x  lim  lim   x  2x   x 2 Επομένως, σύμφωνα με τον κανόνα De L’ Hospital e  x lim   x x 2 Άρα lim  χ 2  e  x    x 0 0 AΠΡΟ΢ΔΙΟΡΙ΢ΣΙΕ΢ ΣΗ΢ ΜΟΡΥΗ΢ 1  , 0 ,  Παράδειγμα 6 Να βρεθεί το lim x ημx . x 0  Λύση ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ   f x  Οι συναρτήσεις της μορφής   g x που οδηγούν σε απροσδιοριστίες της μορφής 1  ,1  , 0 0 ,    0 ,    0 πρέπει να μετατρέπονται πρώτα      ln f x στη μορφή e ln f x g x  e g x   ώστε να εμφανιστεί στον εκθέτη απροσδιοριστία της μορφής  0 ή  0 και να την αντιμετωπίσουμε όπως το παράδειγμα 4. lim x  0 x  0  lim ημx  0 x 0  0 Άρα έχουμε απροσδιοριστία της μορφής 0 και δεν μπορεί να εφαρμοστεί o κανόνας De L’ Hospital. Όμως lim ημx ln x  ημx  lim x ημx  lim e ln x  lim e ημx ln x  e x 0  x 0  x 0  x 0  © Χρίστος Λευκονοιτζιάτης 10

1.1 Απροσδιόριστες Μορφές – Κανόνες De L’ Hospital Πρέπει να βρούμε το lim ημx ln x  x  0  lim (ημx)  0 x  0  lim (ln x)   x  0   Δηλαδή έχουμε απροσδιοριστία της μορφής   και δεν μπορεί να 0 εφαρμοστεί ο κανόνας De L’ Hospital. Όμως ln x  lim (ημx ln x)  lim x  0  x  0 + 1 ημ x lim ln x   x  0 + lim 1   x 0 + ημ x  Δηλαδή έχουμε απροσδιοριστία της μορφής  2 ln x   1  ημ x x  lim  lim  lim  x 0 +  ημ x   x 0 + συν x ημ x x  0 x συνx 1 2 lim  ημ x 2   0 x 0   lim  x συνx  0 x  0  0 Δηλαδή έχουμε απροσδιοριστία της μορφής 0  ημ 2 x    2 ημ συν x  ημ2 x x  lim   lim lim   x 0   x συν x   x  0 συν x  x ημ x x  0 συν x  x ημ x ημ0 0  = = 0 συν0  0 1 Σύμφωνα με τον κανόνα De L’ Hospital lim ημx ln x   0 x  0  Άρα lim x ημx  e 0  1 x 0  Παράδειγμα 7  e x  1, αν χ  0  f x Δίνεται η συνάρτηση     1   x ln    1  2 , αν 0  x  1    x  Να δείξετε ότι είναι συνεχής στη θέση χ 0  0 . © Χρίστος Λευκονοιτζιάτης 11

1.1. Απροσδιόριστες Μορφές – Κανόνες De L’ Hospital Λύση ΤΠΕΝΘΤΜΙ΢Η  Για να είναι συνεχής μια συνάρτηση   στη θέση χ  χ 0 , πρέπει να f x   υπάρχει το όριο lim f x και να ισχύει x  0 x lim f   x f x   0 x  0 x    Για να υπάρχει το όριο lim f x , πρέπει να υπάρχουν τα πλευρικά όρια x x  0   και lim f x και να ισχύει lim f x   x x  0  x  0  χ lim f   x lim f x   x  x  x  0 x 0     lim f x lim  e x  1   2 x 0  x 0    1    1  lim f x lim x ln   1  2  lim x ln   1  lim 2        x 0  x 0   x    x 0   x  x 0   1  lim x ln   1  Πρέπει να βρούμε το x 0   x  lim x  0 x 0   1  lim ln   1    x 0   x  Δηλαδή έχουμε απροσδιοριστία της μορφής 0    και δεν μπορεί να εφαρμοστεί o κανόνας De L’ Hospital. Όμως ln     1  1   1   x  lim x ln    1 lim x     x x 0 0  1 x  1  lim ln   1    x 0   x  1 lim    x  0 x  Δηλαδή έχουμε απροσδιοριστία της μορφής   1 2  ln  1   1   χ     x   1 1 1  lim  lim χ   lim 0 x     1  x 0 0   1 x 0  1 1   χ 2 x   x Σύμφωνα με τον κανόνα De L’ Hospital  1  lim x ln   1   0 x 0   x  Επομένως lim f x 0  2  2    x 0  © Χρίστος Λευκονοιτζιάτης 12

1.1 Απροσδιόριστες Μορφές – Κανόνες De L’ Hospital    Αφού lim f x    lim f x 2 τότε lim f   x 2 x   x 0 0  x 0 f 0 2      Επομένως lim f   x f 0 x 0 Άρα η συνάρτηση f είναι συνεχής στο χ 0 . Παράδειγμα 8  ημ x , αν χ  0  f x Δίνεται η συνάρτηση     x  αν χ  0  1 , Να δείξετε ότι είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο χ 0  0 . Λύση ΤΠΕΝΘΤΜΙ΢Η Για να είναι παραγωγίσιμη μια συνάρτηση   στη θέση χ  χ 0 , πρέπει : f x  να είναι συνεχής στη θέση αυτή και επιπλέον f   x f x   0  να υπάρχει το lim και να είναι πραγματικός αριθμός. χ x  0 x  x 0 ημ x    lim f x lim  1 x 0 x 0 x    f 0 1   Δηλαδή, lim f x  f 0   x 0 Επομένως η συνάρτηση είναι συνεχής στο χ 0  0 . ημ x      f x f 0 x  1 ημ x  x lim  lim  lim x  0 x  0 x  0 x x  0 x 2 lim ημ x  x   0 x 0 lim χ 2  0 x 0 0 Δηλαδή έχουμε απροσδιοριστία της μορφής 0 ημ x  x   συν x  1  lim  lim 2  x 0   x 0 2x x lim συν x  1   0 x 0 lim 2χ   0 x 0 0 Δηλαδή έχουμε απροσδιοριστία της μορφής 0 συν x  1    ημ x  lim  lim  0  x 0 2x   x 0 2 Σύμφωνα με τον κανόνα De L’ Hospital      f x f 0 lim  0  x 0 x  0 Επομένως η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο χ 0  0 © Χρίστος Λευκονοιτζιάτης 13

1.1. Απροσδιόριστες Μορφές – Κανόνες De L’ Hospital ΕΤΡΕ΢Η ΠΑΡΑΜΕΣΡΩΝ Παράδειγμα 9 x αe x  e β Αν lim   2 να βρεθούν οι τιμές των α και β, όπου α , β  . x 0 βx  ημ x Λύση lim  αe x  e x  β   α  1 β x 0  βx  lim   ημ x 0 x 0 x αe x  e β Αν α   β  0 , τότε το lim δεν μπορεί να είναι 2 . 1 x 0 βx  ημ x 1 Άρα θα πρέπει α  1 β  0  α  β  1   0 0 Δηλαδή έχουμε απροσδιοριστία της μορφής  αe x  e  x  β   αe x  e  x α  1  lim  lim  x  0  βx  ημ x   x  0 β  συν x β  1 Σύμφωνα με τον κανόνα De L’ Hospital x αe  e  x  β α  1 lim  x 0 βx  ημ x β  1 Επομένως α 1  2  α  1  2 β  2  α  2 β  1 β 1   2   α   β 1 1   α  2 β  1  2  β  0  β  0  α  0  1  α  1 Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ ΟΡΙΩΝ ΠΟΤ ΠΕΡΙΕΦΟΤΝ ΑΓΝΩ΢ΣΕ΢ ΢ΤΝΑΡΣΗ΢ΕΙ΢   f x Παράδειγμα 10 Αν f είναι μια συνάρτηση με συνεχή πρώτη και δεύτερη παράγωγο, η οποία εφάπτεται του άξονα των x στην αρχή των αξόνων και  f   0 2015 , να βρείτε το   ημ 2 x  f x lim    x 0 f x ln  x  1   x . Λύση  Αφού περνά από την αρχή των αξόνων, τότε   f 0 0 .   Αφού εφάπτεται του άξονα των x στο 0 ,0 , τότε σ’ αυτό το σημείο η κλίση της εφαπτομένης είναι 0. Άρα  f   0 0 . lim  2 x  f x  ημ 2 0  f 0 0      ημ x 0     ln1 0    lim  f x ln  x  1   x   f 0   0 x 0 © Χρίστος Λευκονοιτζιάτης 14

1.1 Απροσδιόριστες Μορφές – Κανόνες De L’ Hospital 0 Δηλαδή έχουμε απροσδιοριστία της μορφής 0   2  ημ x  f x  2 ημ συνx x     ημ2x  f  f   x x  lim   lim lim x 0  f   x  x 1   x   x 0  ln   x 1 1 x 0 f  f   x 1 1  1 x  x 1     x lim ημ 2x  f     ημ 0  f 0 0 x 0  1  lim  f      1  f    1 1   0 x 0  x  0 x  1  0 Δηλαδή έχουμε απροσδιοριστία της μορφής 0 x ημ 2x  f     2 συν 2x  f    2 συν 0  f    2  2015 0 x  lim  lim   x 0  f  1   x 0 f     1 f    1 0 2015 1 x      x x 1  1    x 1  2 2017  2014 Σύμφωνα με τον κανόνα De L’ Hospital   ημ 2 x  f x 2017 lim    ln x x 0 f x   1   x 2014 Παράδειγμα 11 Δίνεται η συνάρτηση f η οποία έχει συνεχή πρώτη και δεύτερη παράγωγο και x    x ικανοποιεί τη σχέση f 5    f x e  e  x  2  x  . Να δείξετε ότι   f x lim  1. x 0 x ημ x  Λύση    lim f x f 0   x 0 x    1 Αφού f 5    f x e  e  x  2  x    x   f  0 0    f 5    f 0 e  e  2  f 0  4   1 0    0 0 0  f 0 0 ή f 4     1 αδ ύνατο    Επομένως lim f x    f 0 0    x 0 lim  x  x   ημ 0 x 0 0 Δηλαδή έχουμε απροσδιοριστία της μορφής 0    f x  f    x  lim  lim x 0  x ημ x   x 0 x συν x  ημ x lim f     f 0  x   x 0 © Χρίστος Λευκονοιτζιάτης 15

1.1. Απροσδιόριστες Μορφές – Κανόνες De L’ Hospital   1  5 f 4   f  x    f     e x  e  x   x x 2 0  5 f 4   f  0    f     e  e 0 0 0  f     0 0 Επομένως lim f     0 x x 0 lim  x  συν x  ημ x   0 x 0 0 Δηλαδή έχουμε απροσδιοριστία της μορφής 0  f     f    x x  lim  lim x x 0  x συν x  ημ x   x 0  ημ x  συν x  συν x lim f     f    x 0 x 0   2 2 x  20 f 3   f     5 f 4   f     f     e  e  x x x x x x 2 0  20 f 3   f     5 f 4   f     f     e  e 0 0 0 0 0 0  f     0 2 Σύμφωνα με τον κανόνα De L’ Hosital   f x 2 Επομένως lim   1 x 0 x ημ x 2  Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ 1.1Α Να βρεθούν τα όρια 1 – 46 : ln  x  1  x 1. lim 2. lim x 2  x  2  x 0  1  x  2 1 ln x 1  x  ln x 3. lim 4. lim x 1 x 2  1 x  1 x 3  3x  2 2 ημ x  x  συν x x( συν x  1) 5. lim 6. lim x 0 ημ 2x x 0 x 2  ημ 2 x 1  συν x 1  εφ x 7. lim 8. lim x 0 x ημ x x π 1  σφ x 4 x 2 e  e  x  x  2 ln  x  1   ημ x 9. lim 10. lim x 0 ημ 2 x  x 2 x 0 x 2 e  x x  ημ 1 x 11. lim 12. lim x 0  ln  x  1  x  0 e x  1 x ln x  2 ln  2e x  1  13. lim 14. lim x x 2  1 x 3x  2 2 ln 1 συν x  ln x 15. lim 16. lim x 0  ln x x e 2x  1 © Χρίστος Λευκονοιτζιάτης 16

1.1 Απροσδιόριστες Μορφές – Κανόνες De L’ Hospital x  ln x 4 ln  e 2x  e  2x  17. lim 18. lim x e  x x  x e  x x 2  2x  ημθ 19. lim 20. lim x  1 x  e 2x 3χ  1  x  ημ x 2 x 21. lim x e 22. lim  x 2  3  e  x x x 1 1 2 23. lim x e 24. lim xe x x x 0  x 0   1  2  25. lim x e x  1 26. lim x ln x x   x  0     2 27. lim  x ln 2x 28. lim   x ημ α   x 0  x   x  1 3 ν 29. lim  x ln  xν  , ν  30. lim x e x 2 x 0  x 0   31. lim e  x ln x 32. lim  x  1 ln x  1  ln x  x x  1 x   1 1  33. lim    34. lim    x  0   x 1  συν x  x 0   x ημx   1 x   1 1  35. lim    36. lim    x  1  ln x x   1 x 0   x  ημx x  2 37. lim  e 3x  x  38. lim  x 2  ln x  x x x 39. lim  e  ln 2x  40. lim  e 2x  x  ln x  x x 41. lim   1  1   x 42. lim   1  α   x x  x  x  x   1  ax 43. lim  1   44. lim x εφ x x 0   x  x 0  x 45. lim ημ x  46. lim ημ x  εφ x x 0   π   x    2  1   π  π σφx 47. lim   συν x    x  2 48. lim συν x    π    2  x 0 x     2    1   x 49. lim x  x 1  50. lim x x 1  x  0   e 3x 3χ  1   2 , αν χ  0  f x 51. Δίνεται η συνάρτηση     x  3χ 2  χ  9 , αν χ  0  χ 2  2 Να δείξετε ότι είναι συνεχής στο x 0  0 . © Χρίστος Λευκονοιτζιάτης 17

1.1. Απροσδιόριστες Μορφές – Κανόνες De L’ Hospital  x  ημ χ , αν χ  0  52. Δίνεται η συνάρτηση     xημχ f x  2  ln 1  x   x , αν χ  0 Να δείξετε ότι είναι συνεχής στο χ 0  0 . 53. Να δείξετε ότι η συνάρτηση  x 3  2 , αν χ  0  f x x  x  1      2x  2ημ χ , αν χ  0  x 2  είναι συνεχής στο χ 0  0 . 54. Να δείξετε ότι η συνάρτηση  1 συν 2χ  , αν χ  π f x  χ 2  π 2      ημ  χ  π , αν χ  π  είναι συνεχής στο χ 0  π . 55. Δίνεται η συνάρτηση  e 2x  1 f x  x , αν χ  0       2 , αν χ  0 Να δείξετε ότι είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο χ 0  0 . 56. Δίνεται η συνάρτηση  x ln x , αν x  0 ,1  1,   f x  x  1       1 , αν χ  1 Να δείξετε ότι είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο χ 0  . 1 57. Δίνεται η συνάρτηση    e x 1 . f x Να ελέγξετε αν η συνάρτηση είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο χ 0  . 1 58. Δίνεται η συνάρτηση  e χ 1   1, αν x  1  f x      3x  x 2 , αν χ  1  1 Να δείξετε ότι είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο χ 0  . x e ημ  x α  x 59. Να βρεθεί η τιμή της σταθεράς α αν lim  2 . x  συν  x α  2x  1 0 x e x  ημ  xκ  60. Να βρεθεί η τιμή της σταθεράς κ αν lim  1 . x 01  3x  συν  xκ  e α x  2 x  1 ημ 61. Να βρεθεί η τιμή της σταθεράς α αν lim  3 . x  0 ημ x  x ln x  α e  x ex 62. Να βρεθεί η τιμή της σταθεράς α αν lim  1. 3 x 1 x  1 © Χρίστος Λευκονοιτζιάτης 18

1.1 Απροσδιόριστες Μορφές – Κανόνες De L’ Hospital x  ασυν x  2   βημ x 63. Αν lim   1 να βρεθούν οι τιμές των σταθερών α x 0 x 3 και β, όπου α , β  . x  ασυν x ημ x  β e x 2 5 64. Αν lim  να βρεθούν οι τιμές των σταθερών α x 0 x 2 2 και β, όπου α , β  . α e συν x  x  β α e 65. Αν lim  e να βρεθούν οι τιμές των σταθερών α 0 x ημ 2x   x  2 2x και β . α  β x  ln( x 1) 66. Αν lim   1 να βρεθούν οι τιμές των σταθερών α x 2 ημ  x  2  και β, όπου α , β  . 67. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης y  f x   εφάπτεται με τον  άξονα χ χ στο 0 ,0 , f     0 , f     3 και η f    είναι συνεχής x 0 0    f x x  ημ x  στο 0 ,0 , να βρεθεί το lim . x 0 x 3 68. Αν f είναι συνάρτηση με συνεχή πρώτη, δεύτερη και τρίτη παράγωγο και για την οποία ισχύουν :    0 f 0 f     0 , f     και f     . 1 0 x   x f x Να βρεθεί το lim . x 0 ημ x  x  69. Αν f μια συνάρτηση με συνεχή πρώτη και δεύτερη παράγωγο και για την οποία ισχύουν:    0 0 f 0 f     0 , f     4 , να βρεθεί το . 70. Αν f μια συνάρτηση με συνεχή πρώτη και δεύτερη παράγωγο και για την οποία ισχύουν:    f 0 f     f     1 , 0 0 f 2    x e  x χ lim ημ x 2 να βρεθεί το x 0 e  x  x  1 . 71. Αν η f έχει συνεχή πρώτη και δεύτερη παράγωγο στο χ 0  και   ημ f x 2 2x  x  συν 1 lim  2 , να βρεθεί η τιμή   . f 0 x 0 1  x 2  1 72. Θεωρούμε τη συνάρτηση f με συνεχή πρώτη και δεύτερη παράγωγο στη π x      x  2 f x συν θέση x  2 και τέτοια ώστε να είναι lim 4  3 . x  2  x  2  2 2 f 2 Να προσδιοριστούν οι τιμές   και f    . © Χρίστος Λευκονοιτζιάτης 19

1.1. Απροσδιόριστες Μορφές – Κανόνες De L’ Hospital 73. Δίνεται η συνάρτηση f η οποία έχει συνεχή πρώτη και δεύτερη παράγωγο και ικανοποιεί τη σχέση    x f 3    2 f x x  x  ημ x   x  .    f x x 2 1 Να δείξετε ότι lim  .    x 0 e 2x  f x 2x  1 2 74. Δίνεται η συνάρτηση f η οποία έχει συνεχή πρώτη και δεύτερη παράγωγο και ικανοποιεί τη σχέση    x  f x 3 f 5    x e 2x  x  . x x 2  x  συν 1 1 Να δείξετε ότι lim  .   x  0 f x 4 75. Δίνεται η συνάρτηση f η οποία έχει συνεχή πρώτη και δεύτερη παράγωγο και η οποία έχει την ιδιότητα    x f 3    2 f x 2χ συν χ  1   χ  . x f 2   Να δειχθεί ότι lim  0 . x 0 x 2 76. Δίνεται η συνάρτηση f η οποία έχει συνεχή πρώτη και δεύτερη παράγωγο και η οποία έχει την ιδιότητα x    x f 5    3 f x  x  1 e  1  χ  .   ημ f x Να δειχθεί ότι lim  1 . x 0 x 2 77. Η συγκέντρωση ενός φαρμάκου στον οργανισμό ενός ασθενή t ώρες μετά τη λήψη του φαρμάκου δίδεται από τη συνάρτηση t  σ   t  1000t e 100 . Να αποδείξετε ότι μετά από πολλές ώρες η συγκέντρωση του φαρμάκου γίνεται αμελητέα. 78. Η θερμοκρασία σε  C ενός ασθενούς σε συνάρτηση με τον χρόνο που μεσολαβεί από την χορήγηση σε αυτόν ενός αντιπυρετικού δίδεται από τη σχέση θ   t  2e  2t 3t  1   37 . Να δείξετε ότι με την πάροδο του χρόνου η θερμοκρασία του ασθενούς θα γίνει περίπου 37 C . ΑΠΑΝΣΗ΢ΕΙ΢ Α΢ΚΗ΢ΕΩΝ 1.1A 1 1 1. 1 2.  3. 4.  2 6 1 1 5. 6. 0 7. 8.  1 2 2 © Χρίστος Λευκονοιτζιάτης 20

1.1 Απροσδιόριστες Μορφές – Κανόνες De L’ Hospital 1 1 9.  10.  11. 2 12. 1 4 2 1 13. 0 14. 15. 2 16. 0 3 17. 0 18. 2 19.  20. 0 21. 0 22. 0 23.  24.  25. 1 26. 0 27. 0 28. α 29. 0 30.  31. 0 32. 1 1 33.  34. 0 35.  36.  2 37.  38.  39.  40.  α 41. e 42. e 43. 1 44. 1 45. 1 46. 1 47. 1 48. 1 49. e 50. 1 57. Συνεχής αλλά όχι παραγωγίσιμη 59. 3 60. 2 61. 4 62. 3 63. α  2, β  0 64. α   1, β  1 65. α  2, β  0 66. α  4, β   2 1 67. 68. 3 69. 1 70.  3 3 3 π        71. 72. f 2 , f 2 3 8 4 © Χρίστος Λευκονοιτζιάτης 21