statistics I

ສາທາລະນະລດັ ປະຊາທປິ ະໄຕ ປະຊາຊນລາວ ສັນຕພິ າບ ເອກະລາດ ປະຊາທປິ ະໄຕ ເອກະພາບ ວດັ ທະນະຖາວອນ 300000 40 ຄ່າ 20 ອາຫານ 200000 28% 100000 0 ຄ່າ 0 ເກັບໄວ້ ເຄອ່ື ງນງ່ 123 4 5 6 14% ຫມ່ົ ຄາ່ ອນ່ື ໆ 22% 28% ຄ່ານ້າ, ໄຟຟ້າ 8% ສກຮຽນ 2018 - 2019

ສາທາລະນະລດັ ປະຊາທປິ ະໄຕ ປະຊາຊນົ ລາວ ສນັ ຕພິ າບ ເອກະລາດ ປະຊາທປິ ະໄຕ ເອກະພາບ ວດັ ທະນະຖາວອນ ຮຽບຮຽງໂດຍ: ປຕ ແອເລັງ ວີໄຊສຸວນັ ກວດແກໂ້ ດຍ: ປທ ຈນັ ທອນ ແກ້ວມະນີໄຊ ປທ ເມງິ ຄາ ແກວ້ ພູວົງ ປຕ ສພຸ ນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນ້າທາ ສກົ ຮຽນ 2018-2019

ຄຳນຳ ວິຊຳ ສະຖຕິ ິ 1 ເຫມັຼ້ ນ້ຼັ ໄດ້ຮຽບຮຽງຂຼ້ັນເພ່ືອຮບໃຊ້ກຳນຮຽນ - ກຳນສອນຂອງສຳຍຄູຄະນິດສຳດ ລະບົບ 12+4 ປີ 2 ທື່ວທິ ະຍຳໄລຄຫູ ວງນ້ັຼຳທຳ. ໃນເອກະສຳນເຫຼມັ້ ນັຼ້ ນກສກສຳຈະໄດຮ້ ຽນຮ້ກູ ່ຽວກບ ກຳນນຳສະເໜ, ວິເຄຳະ ແລະ ອະທິບຳຍຂ້ໍມູນຕ່ຳງໆ ທຳງດຳ້ ນສະຖຕິ ິ ໂດຍສະເພຳະແມນ່ ຄ່ຳສະເລຍ່ ແລະ ຄ່ຳຜນປຽ່ ນ, ຊ່ືງໄດ້ນຳໃຊ້ຫຳຍໃນບົດວິໃຈຕ່ຳງໆ, ທິດສະດກະ ຕວງ ແລະ ກຳນແຈກຢຳຍຄ່ຳກະຕວງ. ເນຼັ້ອໃນທື່ສະແດງອອກໃນປ້ືມຫົວນັ້ຼ ເປັນພຽງຂ້ໍມູນພຼ້ັນຖຳນເພ່ືອໃຫ້ ນກຮຽນສຳມຳດ ແລະ ຄູ-ອຳຈຳນໃຊ້ເຂົ້ຼັຳໃນກຳນຮຽນ-ກຳນສອນເທົ່ຳນັຼ້ນ, ຄູ-ອຳຈຳນ ແລະ ນກສກສຳສຳມຳດ ຊອກຂມ້ໍ ນູ ເພມື່ ເຕມຈຳກຫຳຍແຫງເອກະສຳນ ເພ່ອື ໃຫ້ແທດເໝຳະກບສະພຳບກຳນຫນປຽ່ ນຂອງປະຈບຸ ນ. ສະນນັຼ້ , ຈ່ືງຮຽກຮ້ອງມຳຍງນກສກສຳ, ຄູ-ອຳຈຳນ ແລະ ທ່ຳນຜູ້ອ່ຳນ ຊ່ວຍຕລຳຄຳ, ຖອດຖອນບົດຮຽນ ໃນກຳນນຳໃຊ້ ເອກະສຳນປະກອບກຳນສອນເຫ້ັຼມນ້ັຼ ແລ້ວສົ່ງຄຳຄິດເຫນຂອງທ່ຳນ ເພື່ອເປັນຂ້ໍມູນໃນກຳນປັບປຸງ ແກໄ້ ຂເຮດໃຫ້ກຳນຮຽບຮຽງ ແລະ ຈດພິມປື້ມໃນເທ່ອື ໜ້ຳໃຫມ້ ເນັຼ້ອໃນສົມບູນຂັນຼ້ .

ສາລະບານ ບດົ ທີ 1 ຂມ້ໍ ນູ 1.1 ຄວາມໝາຍຂອງສະຖຕິ ິ ແລະ ປະເພດຂອງຂໍ້ມູນ......................................................................... 1 1.2 ຄວາມໝາຍ ແລະ ປະເພດຂອງຕວົ ປ່ຽນ................................................................................... 3 1.3 ການແຈກຢາຍຄວາມຖ່ີ...................................................................................................... 3 1.4 ການນາສະເໜີຂ້ໍມນູ ດ້ວຍຕາຕະລາງ………………………………………………………………. 3 1.5 ການນາສະເໜີຂມໍ້ ູນດ້ວຍກຣາຟ........................................................................................... 9 ບດົ ທີ 2 ຄ່າວດັ ແທກພືນ້ ຖານຂອງຂມໍ້ ນູ 2.1 ປະຊາກອນ ແລະ ກ່ມຕວົ ຢ່າງ............................................................................................... 18 2.2 ຄ່າສະເລ່ຍ ແລະ ຄ່າວດັ ແທກພື້ນຖານອ່ນີ ໆຂອງຂມໍ້ ນູ ................................................................... 18 2.3 ຄ່າມັດທະຍາຖານ............................................................................................................. 25 2.4 ຄາ່ ຖານນຍິ ົມ.................................................................................................................. 30 2.5 ຄາ່ ຜັນປຽ່ ນ ແລະ ຄ່າຜັນປຽ່ ນມາດຖານ................................................................................... 32 2.6 ຄວາມສາພັນລະຫວາ່ ງຄ່າສະເລຍ່ , ມັດທະຍາຖານ ແລະ ຖານນິຍົມ................................................... 40 ບົດທີ 3 ທດິ ສະດກີ ະຕວງ 3.1 ນິຍາມກ່ຽວກບັ ຄ່າກະຕວງ.................................................................................................. 45 3.2 ຄນລັກສະນະ ແລະ ການຄານວນກ່ຽວກບັ ຄ່າກະຕວງ................................................................... 45 3.3 ຄ່າກະຕວງຂອງສອງເຫດການທບ່ີ ມໍ່ ີອົງປະກອບຮ່ວມ................................................................... 47 3.4 ຄາ່ ກະຕວງຂອງສອງເຫດການທມີ່ ີອົງປະກອບຮ່ວມ..................................................................... 48 3.5 ຄາ່ ກະຕວງທ່ີມີເງອີ່ ນໄຂ..................................................................................................... 50 3.6 ຄ່າກະຕວງຂອງສອງເຫດການທ່ີເອກະລາດຕກໍ່ ັນ........................................................................ 51 3.7 ຄາ່ ກະຕວງທນ່ີ າໃຊກ້ ົດກ່ຽວກບັ ການນບັ ................................................................................. 53 ບົດທີ 4 ການແຈກຢາຍຄາ່ ກະຕວງ 4.1 ຕົວປຽ່ ນບງັ ເອນີ .............................................................................................................. 56 4.2 ຕາລາການແຈກຢາຍຄ່າກະຕວງຂອງຕວົ ປຽ່ ນບັງເອນີ ................................................................... 57 4.3 ການຄາດຄະເນ (ຄ່າຄາດຫວງັ )............................................................................................ 60 4.4 ຄາ່ ຜັນປຽ່ ນມາດຖານຂອງການແຈກຢາຍຄ່າກະຕວງ................................................................... 64 4.5 ການແຈກຢາຍແບບທະວພີ ົດ.............................................................................................. 66 4.6 ການແຈກຢາຍແບບປົວຊົງ................................................................................................. 69 4.7 ການແຈກຢາຍແບບໄອເປີຢີອເມຕຣິກ.................................................................................... 71

ບດົ ທີ 1 ຂມ້ໍ ນູ 1.1 ຄວາມໝາຍຂອງສະຖຕິ ິ ແລະ ປະເພດຂອງຂມ້ໍ ນູ . 1.1.1 ຄວາມໝາຍຂອງສະຖຕິ .ິ ຄາວ່າ ສະຖິຕິ ກົງກັບພາສາອັງກິດແມ່ນ Statistics ເຊິງໄດ້ມາຈາກຄາສັບເດີມໃນພາສາເຢຍລະມັນ Statistik, ໃນພາສາອຕີ າລີ Statista ແລະ ພາສາລາຕິນ Status ມີຄວາມໝາຍວ່າ State ຫຼື ລັດ ໝາຍເຖິງຂໍ້ມູນ ຫຼື ຂາ່ ວສານທເີ່ ປນັ ປະໂຫຍດຕກ່ໍ ານບລິຫານບ້ານເມືຼອງ, ຕມ່ໍ າເມີອ່ຼື ມີການນາເອົາຂ້ໍມູນ ຫືຼ ຕົວເລກທີ່ໄດ້ເກັບກາໄວ້ ໄປໃຊ້ຫາຍຂ້ຶນ ປະກອບມີການພັດທະນາທິດສະດີ ແລະ ນາເອົາເຕັກນິກໃໝ່ໆ ເຂົຶ້າມາຊ່ວຍວິເຄາະຂໍ້ມູນ ຢ່າງ ກວາ້ ງຂວາງ ຄາວ່າ ສະຖິຕິ ຈງ່ີ ໝາຍເຖິງ:  ຕົວເລກທີ່ສະແດງຄວາມຈິງ ກ່ຽວກັບສິີ່ງທີ່ເຮົາສກສາ. ສິີ່ງທີ່ເຮົາສກສາ ມີຊືຼ່ີວ່າ: ປະຊາກອນ (Population) ເຊ່ັນ: ເມີືອຼ່ ເຮາົ ສກສາຈານວນລົດ ທີ່ຜ່ານທາງເສັ້ຶນໜີ່ງ ໃນຊ່ວງເວລາໃດໜ່ີງ, ໃນກລະນີນີຶ້ລົດທີ່ຜ່ານທາງເສັ້ຶນ ນນັຶ້ ແມ່ນປະຊາກອນທ່ີເຮົາສກສາ.  ວທິ ະຍາສາດສາຂາໜງ່ີ ທີ່ສກສາວິທກີ ານຕາ່ ງໆ ໃນການເກັບກາຂໍ້ມູນ, ການສະເໜີຂໍ້ມູນ ແລະ ໃນການວິເຄາະ ຕຄີ ວາມໝາຍກຽ່ ວກັບ ປະຊາກອນທເີ່ ຮົາສກສາ. 1.1.2. ປະເພດຂອງຂມ້ໍ ູນ. ຂມ້ໍ ູນ ແມ່ນຄວາມຈິງທເ່ີ ກດີ ຂ້ນຶ ຊ່ີງອາດຈະເປັນຕວົ ເລກ ຫືຼ ບໍເ່ ປັນຕວົ ເລກກ່ໄໍ ດ້.  ຄວາມຈິງທີ່ເປັນຕົວເລກໝາຍເຖິງ: ຄ່າ, ຈານວນ ຫຼື ປະລິມານ ຂອງສິງທີ່ເຮົາສກສາເຊັ່ນ: ຄະແນນ, ລາຍໄດ້ ລາຄາ ...  ຄວາມຈິງທບ່ີ ໍ່ເປັນຕົວເລກໝາຍເຖງິ : ລັກສະນະຂອງສງິ ທີ່ເຮົາສກສາເຊັ່ນ: ຄຸນສົມບັດ, ສາດສະໜາ, ຄວາມຄິດ ເຫນັ , ອາຊບີ ... ສາມາດຈາແນກຂ້ໍມູນໄດ້ຫາຍວິທີດ່ງັ ຕໄໍ່ ປນີຶ:້ ກ. ຈາແນກຕາມທີມ່ າຂອງຂມ້ໍ ນູ . ສາມາດແບງ່ ຂໍມ້ ູນອອກເປນັ 2 ປະເພດຄື:ຼ  ຂ້ໍມນູ ຕ້ຶົນ (Pirmary data): ໝາຍເຖງິ ຂໍມ້ ນູ ທີ່ຜ້ໃູ ຊ້ ຫືຼ ໜ່ວຍງານທີ່ໃຊ້ເປັນຜູ້ເກັບກາຂ້ໍມູນເອງ ເຊັ່ນ: ຂ້ໍມູນທ່ີ ໄດຈ້ າກດວ້ ຍການສອບຖາມ, ການສາພາດ, ການສງັ ເກດ ຫືຼ ການທດົ ລອງ ... ຂ້ມໍ ູນຕນົຶ້ ຈະເປັນຂ້ໍມູນທີ່ມີລາຍ ລະອຽດກງົ ກບັ ຄວາມຕ້ອງການຂອງຜູ້ໃຊ້ ເປັນຂ້ໍມູນທີ່ຍັງບໍທ່ ັນໄດ້ເຮັດການວເິ ຄາະ.  ຂໍ້ມູນປາຍ (Secondary data): ໝາຍເຖງິ ຂໍ້ມູນທ່ີຜໃູ້ ຊ້ບ່ໍໄດ້ເກັບກາເອງ ແຕ່ມີຜູ້ອຼື່ີນ ຫຼື ໜ່ວຍງານອືຼີ່ນ ເປັນຜູ້ ເກັບກາໄວ້ແລ້ວ ເວົ້ຶາໂດຍລວມແມ່ນຂ້ໍມູນທີ່ໄດ້ມາຈາກແຫ່ງອຼື່ີນ ຜູ້ໃຊ້ເປັນພຽງຜູ້ທີ່ນາຂ້ໍມູນມາໃຊ້ຕ່ໍເທົັ່ານັຶ້ນ ເຊ່ັນ: ເອກະສານທາງລັດຖະການ, ບດົ ລາຍງານຕາ່ ງ ... ຂມໍ້ ູນປາຍເປັນຂໍມ້ ນູ ທໄ່ີ ດ້ເຮັດການວິເຄາະເບຼື້ຶອງຕົ້ຶນມາ ແລວ້ , ການນາຂໍມ້ ູນປາຍມາໃຊ້ ບາງຄຶ້ັງຈະບໍກ່ ງົ ກັບຄວາມຕອ້ ງການຂອງຜູ້ໃຊ້ ຫືຼ ບໍມ່ ລີ າຍລະອຽດພຽງພ. ຂ. ຈາແນກຕາມລັກສະນະຄວາມຈິງ. ສາມາດແບງ່ ຂ້ມໍ ູນອອກເປນັ 2 ປະເພດຄືຼ:

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖຕີ ິ 1  ຂ້ໍມູນທາງດ້ານຄຸນນະພາບ (Qualitative data) ຫືຼ ຂ້ໍມູນຈາແນກປະເພດ (Categorical Data) ຫຼື ບາງຄັ້ຶງ ເອີຶ້ນວ່າຂໍ້ມູນແບບກຸ່ມ: ໝາຍເຖິງຂໍ້ມູນທີ່ບໍ່ສາມາດຈະສະແດງອອກມາເປັນຕົວເລກໄດ້ ແຕ່ສາມາດວັດແທກ ອອກມາໃນລັກສະນະຄວາມແຕກຕ່າງກນັ ເຊ່ັນ: ກຸ່ມຂອງເລອືຼ ດ, ຄວາມຄດິ ເຫັນ, ຄນຸ ສົມບັດ ...  ຂໍ້ມູນທາງດາ້ ນປະລມິ ານ (Quantitative data): ໝາຍເຖິງຂມໍ້ ູນທີສ່ ະແດງຕົວເລກທີ່ບົງບອກເຖິງຄວາມໜ້ອຍ ຫືຼ ຫາຍ ເຊັ່ນ: ຄະແນນ, ອາຍ,ຸ ລວງສູງ, ນາ້ ໜັກ, ຈານວນຄນົ , ຄວາມສູງ ... ຄ. ຈາແນກຕາມລກັ ສະນະການເກບັ ກາ. ສາມາດແບ່ງຂ້ໍມນູ ອອກເປນັ 2 ປະເພດຄຼື:  ຂ້ມໍ ູນທີ່ໄດ້ຈາກການສາຫວດ (Survey data): ໝາຍເຖິງຂ້ໍມູນທີ່ມີຕາມທາມະຊາດ ເມຼື່ີອຕ້ອງການກໍ່ສາມາດ ດາເນນີ ການເກັບກາເອົາໂດຍກົງ ເຊ່ນັ : ຂມ້ໍ ູນກຽ່ ວກບັ ນ້າໜກັ ຂອງນກັ ຮຽນກຸ່ມໜີ່ງ ...  ຂ້ໍມູນທີ່ໄດ້ຈາກການທົດລອງ (Experimental data): ໝາຍເຖິງຂ້ໍມູນທີ່ບໍ່ໄດ້ເກີດໂດຍທາມະຊາດ ເຊັ່ນ: ຂ້ໍ ມນູ ທາງດ້ານວິທະຍາສາດການແພດ ... ງ. ແບ່ງຕາມມາດຕາວັດຂອງຂມ້ໍ ູນ. ອີງຕາມ (Chis, S., 2008) ການແບງ່ ຂມ້ໍ ູນຕາມມາດຕາວດັ ແມ່ນ 4 ມາດຕາວັດຄ:ືຼ  ຂໍ້ມູນນາມມາດຕາ (Nominal Scale Data) ເປັນການແບ່ງຂ້ໍມູນອອກເປັນກຸ່ມໆ ເຊັ່ນ: ແບ່ງຕາມປະເພດ, ອາຊບີ , ສາສະໜາ, ທີຢ່ ູ່ອາໄສ ແລະ ອືຼ່ີນໆ. ບ່ໍສາມາດບອກໄດ້ວ່າ ກຸ່ມໃດດີກວ່າ ຫຼື ສາຄັນກວ້າກຸ່ມອືຼີ່ນໆ. ໃນ ການວໄິ ຈຂ້ໍມູນໃນລະດັບນີ້ຶ ມັກຈະມີການການົດລະຫັດ ທີ່ເປັນຕົວເລກໃຫ້ແກ່ແຕ່ລະກຸ່ມ ເພືຼ່ີອສະດວກ ແລະ ປະຢດັ ເວລາໃນການວເິ ຄາະ ເຊນັ່ : ເພດ ອາດຈະການົດໃຫ້ 1 ແທນເພດຊາຍ ແລະ 2 ແທນເພດຍິງ. ຕົວເລກທີ່ ແທນຂໍຄ້ ວາມດ່ັງກ່າວບ່ມໍ ຄີ ວາມໝາຍທາງດາ້ ນພດຊະຄະນິດ.  ຂ້ໍມູນລາດັບມາດຕາ (Ordinal Scale Data) ເປັນຂໍ້ມູນທີ່ລະບຸຕາແໜ່ງ, ທີ່ຕັຶ້ງລຽນລາດັບໜ້ອຍ ຫຼື ຫາຍ ເຊັ່ນ: ລະດບັ ຊັຶ້ນຂອງທະຫານ, ຕາຫວດ ໄດ້ແບ່ງເປນັ ນາຍສິບ, ນາຍຮ້ອຍ, ນາຍພັນ ແລະ ນາຍພົນເປັນຕົຶ້ນ ຫືຼ ລະດບັ ການສກສາແບ່ງອອກເປັນ ປະລິນຍາຕີ, ປະລິນຍາໂທ, ປະລິນຍາເອກ ເປັນຕົຶ້ນ. ຂໍ້ມູນປະເພດນີຶ້ໄດ້ແບ່ງ ເປັນກມຸ່ ຍອ່ ຍໆ ສາມາດປຽບທຽບໄດ້ວາ່ ກ່ມຸ ໃດສງູ ກວາ່ ກັນ ແຕບ່ ສ່ໍ າມາດບອກຄ່າໄດ.້  ຂ້ໍມູນຊ່ວງມາດຕາ (Interval Scale Data) ເປັນການແບ່ງຂໍ້ມູນທີ່ມີລາຍລະອຽດຫາຍກວ່າມາດຕາວັດແບບ ກມຸ່ ແລະ ມາດຕາວດັ ວດັ ລຽນລາດັບ ເປັນມາດຕາວດັ ທວ່ີ ັດຄວາມແຕກຕ່າງຂອງຄ່າຂໍ້ມູນ, ສາມາດບອກໄດ້ວ່າ ດກີ ວາ່ , ຫາຍກວ່າ, ໜ້ອຍກວ່າເທາົັ່ ໃດ ເຊນັ່ : ຄະແນນ, ອນຸ ຫະພູມ ແລະ ອນ່ືຼີ ໆ ແຕ່ຂມໍ້ ູນມາດຕາວັດນີ້ຶບໍ່ມີຄ່າ 0 ແທ້ ເຊັ່ນ:ນັກສກສາທສີ່ ອບເສັງໄດ້ 100 ຄະແນນ ບໍ່ໝາຍຄວາມວ່າຈະມີຄວາມຮູ້ເປັນສອງເທົ່ັາຂອງນັກສກສາ ທີ່ສອບເສັງໄດ້ 50 ຄະແນນ ແລະ ຜູ້ທີ່ສອບເສັງໄດ້ 0 ຄະແນນ ກ່ໍບໍ່ໄດ້ໝາຍເຖິງວ່າ ບໍ່ມີຄວາມຮູ້ໃນວິຊາທີ່ ສອບເສງັ ນຶ້ັນເລຍີ .  ຂ້ໍມນູ ມາດຕາວດັ ແບບອັດຕາສ່ວນ (Ratio Scale) ເປັນຂໍ້ມູນທີ່ສົມບູນທີ່ສຸດ ຄືຼ ເປັນຂໍ້ມູນທີ່ສາມາດບອກຂະ ໜາດໄດ,້ ສາມາດປຽບທຽບໄດ້, ບອກຄວາມແຕກຕາ່ ງໄດ້ ແລະ ມີ 0 ແທ້ ເຊັ່ນ: ລາຍໄດ້, ລວງຍາວ, ນຶ້າໜັກ ແລະ ອ່ນືຼີ ໆ ຂມໍ້ ນູ ລະດບັ ນສຶີ້ າມາດນາມາຄານວນດ້ວຍຫັກການຄານວນສີ່ປະການໄດ້ (ບວກ, ລົບ, ຄູນ, ຫານ) ເຊັນ່ : ນ້າໜັກ 0 ກິໂລກຣາມ ໝາຍຄວາມວ່າ ບ່ມໍ ີນ້າຶ ໜກັ ເລຍີ , ນກັ ສກສາທີ່ມີນຶ້າໜັກ 100 ກິໂລກຣາມ ໜັກ 2 ເທ່ັົາຂອງນກັ ສກສາທ່ີມີນ້ຶາໜັກ 50 ກິໂລກຣາມ. 2

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖຕີ ິ 1 1.2 ຄວາມໝາຍ ແລະ ປະເພດຂອງຕົວປຽ່ ນ. 1.2.1 ຄວາມໝາຍຂອງຕວົ ປ່ຽນ. ຕົວປ່ຽນແມ່ນຄຸນລັກສະນະທີ່ປ່ຽນແປງໄດ້ ຂຶ້ນຢູ່ກັບຄວາມແຕກຕ່າງສະເພາະບຸກຄົນ ຫຼື ກຸ່ມຕົວຢ່າງເຊັ່ນ: ອຸນຫະພູມຂອງຮ່າງກາຍ ຄືຼຕົວປ່ຽນທີ່ປ່ຽນແປງໄປໃນແຕ່ລະບຸກຄົນ, ການນັບຖຼືສາດສະໜາ, ລາຍໄດ້, ອາຍຸ, ຄວາມສູງ ຕວົ ປ່ຽນຄຸນລັກສະນະເຫັ່ົານຂີຶ້ ຶນ້ ຢກູ່ ບັ ແຕ່ລະບກຸ ຄົນ. 1.2.2 ປະເພດຂອງຕວົ ປ່ຽນ. ກ. ຕວົ ປຽ່ ນຄນຸ ນະພາບ ເປັນຕົວປ່ຽນທຂີ່ ໍ້ມນູ ບແໍ່ ມ່ນຕົວເລກແຕ່ເປັນຂໍ້ມູນທີ່ມີລັກສະນະເປັນການແບ່ງປະເພດໃຫ້ ເຫັນຄວາມແຕກຕ່າງຂອງກມຸ່ ຕົວຢ່າງແຕ່ລະກມຸ່ ເຊັນ່ : ສາດສະໜາ, ອາຊບີ , ຜນົ ຂອງການສກສາ….. ຂ. ຕວົ ປ່ຽນປະລິມານ ເປັນຕົວປ່ຽນທີ່ຖຼືກວັດມາເປັນຕົວເລກເຊັ່ນ: ຈານວນຄົນ, ລາຍໄດ້, ຄະແນນສອບ, ລາຄາ ສິີ່ງຂອງ. 1.3 ການແຈກຢາຍຄວາມຖີ່. ຄວາມຖີ່ (Frequency) ຂອງຂໍ້ມູນໃນຊຸດຂໍ້ມູນໜີງ່ ແມ່ນຈານວນເທອ່ີືຼ ທີ່ເຫັນຂ້ໍມູນນ້ຶນັ . ຂມ້ໍ ູນທ່ເີ ກັບຈາກປະຊາກອນ ເອຶນ້ີ ວາ່ : ຂ້ມໍ ູນດບິ (Raw data) ຊີ່ງເປັນຂມ້ໍ ູນທບີ່ ໄ່ໍ ດດ້ ດັ ແປງໃດໆ ເຊັ່ນ: ຂໍ້ມູນ ລຸ່ມນຶ້ີແມນ່ ຄະແນນສອບເສງັ ວຊິ າສະຖຕິ ເິ ບ່ືຼອີ ງຕ້ົຶນຂອງນກັ ສກສາຈານວນ 50 ຄນົ ມດີ ັ່ງນີ:້ຶ 60 61 47 75 84 87 65 59 63 86 68 63 43 76 90 79 50 89 68 57 95 55 69 48 76 60 77 49 92 83 61 78 53 52 77 58 93 85 70 62 80 74 69 40 62 84 64 36 48 72 ເຫນັ ວ່າຂມ້ໍ ນູ ຂ້າງເທິງນີຶ້ ແມ່ນຈານວນທີ່ປົນເປກັນ ບ່ໍມີການແບ່ງກຸ່ມ ຫຼື ບໍ່ຢູ່ໃນຮູບແບບທີ່ສະດວກໃນການເບິີ່ງ. ອາດຈະສະເໜີຂໍ້ມູນຂາ້ ງເທິງນ້ີຶ ເພຼີ່ືອໃຫ້ເບິ່ີງເຂົຶ້າໃຈງ່າຍດ້ວຍຕາຕະລາງຄວາມຖີ່ຂອງຂ້ໍມູນ ຫຼື ຕາຕະລາງແຈກຢາຍ ຄວາມຖີ.່ 1.4 ການນາສະເໜີຂໍມ້ ູນດວ້ ຍຕາຕະລາງ. 1.4.1 ການສາ້ ງຕາຕະລາງແຈກຢາຍຄວາມຖ່.ີ ການສາ້ ງຕາຕະລາງແຈກຢາຍຄວາມຖີ່ ຄວນຈະຈັດໃຫ້ມີຈັກຊນັ້ຶ ຫືຼ ຈັກກຸ່ມນັຶ້ນ ຈະພິຈາລະນາຈາກຈານວນຂໍ້ ມູນທ່ີມີ ຖາ້ ຈານວນຂໍມ້ ູນມີຈານວນຫາຍ ຄວນມຈີ ານວນຊນັຶ້ ຫາຍ ຢາ່ ງໃດກໍ່ຕາມ ໂດຍທົ່ັວໄປຕາຕະລາງແຈກຢາຍ ຄວາມຖຈ່ີ ະມີຢ່າງໜອ້ ຍ 5 ຊນັ ແຕບ່ ໍ່ຫາຍກວ່າ 15 ຊັຶ້ນ. ກລະນີທີ່ຂ້ໍມູນ ມີການແຈກຢາຍຫາຍ (ຄ່າສັງເກດແຕກ ຕາ່ ງກນັ ຫາຍ) ຄວນການົດໃຫມ້ ຈີ ານວນຊຶນ້ັ ໜ້ອຍໆ ເພຼ່ືີອປ້ອງກັນບ່ໍໃຫ້ມີຊັຶ້ນທີ່ມີຄວາມຖີ່ເປັນສູນ ເນືຼີ່ອງຈາກບ່ໍມີ ຂ້ມໍ ູນຄ່າໃດ ທີຕ່ ົກຢູໃ່ ນຊຶັ້ນນັຶນ້ ໆເລີຍ. ຂຶ້ນັ ຕອນໃນການສາ້ ງຕາຕະລາງແຈກຢາຍຄວາມຖ:່ີ ກ. ຊອກຄາ່ ພິໄສ (Rang = R) R  X max  X min X max ແມ່ນຄາ່ ສງູ ສດຸ ຂອງຂ້ໍມູນ 3

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖຕີ ິ 1 Xmin ແມນ່ ຄາ່ ຕ່ໍາສຸດຂອງຂ້ໍມນູ ຂ. ການດົ ຈານວນຊນ້ັຶ (K) K  1  3.3lg n (lgn ອາ່ ນວ່າໂລກາລິດພືຶ້ຼນສິບຂອງ n) n ແມ່ນຈານວນຂ້ມໍ ູນທັງໝດົ ທ່ີຕອ້ ງການສກສາ ຖາ້ K ເປັນຕົວເລກທົດສະນີຍົມຄວນປັບເປນັ ຈານວນຖວ້ ນ. ຄ. ຄິດໄລຄ່ ວາມກວ້ າງຂອງຊນ້ັຶ (Class Interval: C) C R K ຖ້າ C ເປັນຈານວນທົດສະນິຍມົ ຄວນປບັ ເປັນຈານວນຖ້ວນ (ບ່ໍວ່າເລກເສດມີຄ່າຕ່ໍາກວ່າ ຫຼື ຫາຍກວ່າ 0.5) ໂດຍທ່ວັົ ໄປມັກການົດໃຫ້ຄວາມກວ້າງຂອງແຕ່ລະຊັ້ຶນເທົັ່າກັນໝົດ ແຕ່ໃນທາງປະຕິບັດບາງຄັ້ຶງອາດຈະ ໃຫ້ຄວາມ ກວ້າງຂອງແຕລ່ ະຊຶນ້ັ ບເໍ່ ທ່ົັາກນັ ຫຼື ອາດຈະການດົ ໃຫ້ເປັນຊັຶ້ນເປດີ ກໍໄ່ ດ້ ເຊັນ່ : ຫາຍກວ່າ 48.5 ຫຼື ໜ້ອຍກວ່າ 17.5 ສ່ວນຫາຍການການດົ ຊັນຶ້ ເປດີ ມກັ ຈະໃຊ້ເປນັ ຊ້ນັຶ ທາອດິ ຫືຼ ຊັ້ຶນສຸດທາ້ ຍ. ອາດຈະການດົ ໃຫຄ້ ວາມກວ້າງຂອງຊ້ຶນັ ເປັນຄ່າທເີ່ ຮັດໃຫ້ຄ່າກາງ (Midpoint) ມຄີ າ່ ເທາັົ່ ກັບຄາ່ ຈິງຂອງຂ້ມໍ ູນ. ງ. ການົດຂີດຈາກດັ ຊັນຶ້ . ການົດໃຫຂ້ ີດຈາກດັ ລຸມ່ ຂອງຊຶັ້ນທາອິດໃຫ້ມີຄ່າໜ້ອຍກວ່າ ຫຼື ເທົ່ັາກັບຄ່າໜ້ອຍສຸດຂອງຂ້ໍມູນ ແລະ ໃຫ້ຂີດ ຈາກດັ ເທິງຂອງຊນ້ຶັ ສຸດທາ້ ຍໃຫ້ມຄີ ່າໃຫຍ່ ກວ່າ ຫືຼ ເທົັາ່ ກັບຄາ່ ໃຫຍ່ ສຸດຂອງຂ້ມໍ ູນ ຫຼື ອາດໃຊສ້ ູດລຸ່ມນ້:ຶີ ຂີດຈາກັດເບຶືຼ້ອງລມຸ່ ຂອງຊຶ້ັນທາອິດ  X min  C  K  R 2 ແລະ ປບັ ຈານວນທດົ ສະນິຍົມ ໃຫ້ມລີ ກັ ສະນະເໜືຼີ່ອນກັບຂ້ໍມູນໃຫ້ມາ ເຊັ່ນ: ຂ້ໍມູນເປັນຈານວນທົດສະນິຍົມ ທີ່ມຈີ ານວນຫງັ ຈດຸ ສອງຫັກ ຈະປັບຈານວນທົດສະນິຍົມໃຫ້ຂີດຈາກັດຊັ້ຶນ ເປັນຈານວນທົດສະນິຍົມທີ່ມີຈານວນ ຫັງຈດຸ ສອງຫັກເຊນັ່ ກັນ. ຂດີ ຈາກັດເທິງຂອງຊຶ້ັນທີ i = ຂີດຈາກດັ ລຸມ່ ຂອງຊັນ້ຶ ທີ i+C-1 (ກລະນີຂ້ໍມູນເປັນເລກຖ້ວນ), ຖ້າຂໍ້ມູນເປັນ ເລກເສດທມີ່ ຫີ ັງຈຸດ 1 ຕວົ ເລກ, 2 ຕົວເລກ, ... ໃຫ້ລົບ 0.1, 0.01, ... ຕາມລາດັບ. ຂີດຈາກັດລຸ່ມຂອງຊັຶ້ນທີ i = ຂີດຈາກັດເທິງຂອງຊັຶ້ນທີ i+1 (ກລະນີຂ້ໍມູນເປັນເລກຖ້ວນ), ຖ້າຂໍ້ມູນເປັນ ເລກເສດທີ່ມີຫັງຈດຸ 1 ຕົວເລກ, 2 ຕວົ ເລກ, ... ໃຫລ້ ົບ 0.1, 0.01, ... ຕາມລາດັບ. ຈ. ຄານວນຂອບເຂດຈາກດັ ຊ້ຶນັ (Class Boundaries) ການຊອກຫາຂອບເຂດຈາກັດຊັນ້ຶ ນ້ັນຶ ຈະການດົ ໃຫ້ຂອບເຂດຈາກັດຊັ້ຶນ ມີຈານວນເລກເສດຫັງຈຸດຫາຍກວ່າ ຄາ່ ຂອງຂໍ້ມູນຈງິ 1 ຫັກສະເໝີ ເຊັ່ນ: ຖ້າຂ້ໍມນູ ຈງິ ເປັນເລກຈານວນຖ້ວນ ຂອບເຂດຈາກັດຊັຶ້ນຈະມີເລກເສດຫັງຈຸດ 1 ຫັກ ໃນທາງປະຕິບດັ ເຮົາສາມາດຊອກຫາຄ່າຂອບເຂດຈາກັດຂອງຊຶັ້ນໄດ້ດັງ່ ນ້:ີຶ ໝາຍເຫດ: ຂອບເຂດຈາກັດເທງິ ຂອງຊັນ້ຶ ທີ i ຈະເປນັ ຂອບເຂດຈາກດັ ລມຸ່ ຂອງຊ້ັຶນທີ i+1 4

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖີຕິ 1 ສ. ນບັ ຈານວນ (ຄວາມຖີ່) ຂອງຂ້ມໍ ູນໃນແຕ່ລະຊຶ້ັນ. ຫັງຈາກສາ້ ງຂອບເຂດຈາກັດຊັຶ້ນແລ້ວ ຈີ່ງກວດສອບວ່າ ຂ້ໍມູນຄ່າໃດຢູ່ໃນຊັຶ້ນໃດແດ່ ແລ້ວນັບຈານວນຂໍ້ມູນ ໃນແຕລ່ ະຊ້ນຶັ ເອນ້ຶີ ວ່າ: ຄວາມຖີ່ຂອງຊຶັ້ນນັນຶ້ ໆ. ຕວົ ຢ່າງ 1: ຂໍ້ມູນລມຸ່ ນແີຶ້ ມນ່ ຄະແນນສອບເສັງວິຊາສະຖິຕເິ ບຶ້ອືຼ ງຕຶນ້ົ ຂອງນັກສກສາຈານວນ 50 ຄົນມີດັງ່ ນີ:້ຶ 60 61 47 75 84 87 65 59 63 86 68 63 43 76 90 79 50 89 68 95 55 69 48 76 60 77 49 92 83 61 78 56 52 77 58 93 85 70 62 80 74 69 40 62 84 36 48 72 57 64 ຈົັ່ງສາ້ ງຕາຕະລາງແຈກຢາຍຄວາມຖີ່ຂອງຄະແນນສອບເສັງດັ່ງກາ່ ວ. ວທິ ີສາ້ ງ: ກ. ຊອກຫາຄ່າພິໄສ R  X max  X min ຮູວ້ ່າ X max  95 ແລະ X min  36  95  36  59 ຂ. ການົດຈານວນຊນຶ້ັ K  1  3.3lg n ຊງ່ີ n  50 ແລະ lg 50  1.7  1  3.3(1.7)  1  5.61  6.61  7 ຄ. ຊອກຄວາມກວ້າງຂອງຊຶນ້ັ C  R K  59  8.43 9 7 ງ. ຊອກຫາຂີດຈາກັດຊັນຶ້ ຂດີ ຈາກັດເບຶື້ອຼ ງລຸມ່ ຂອງຊັຶ້ນທາອິດ  X min  C  K  R 2  36  9 7  59  34 2 ຂີດຈາກັດເທງິ ຂອງຊຶ້ນັ ທາອິດ = ຂີດຈາກດັ ລມຸ່ ຂອງຊນັຶ້ ທາອິດ + C 1 = 34+(9-1) = 42 ດັງ່ ນ້ນຶັ , ຂດີ ຈາກັດຂອງຊັນ້ຶ ທາອິດແມນ່ 34 – 42 ຂີດຈາກັດລຸ່ມຂອງຊນຶັ້ ທີ 2 = ຂດີ ຈາກດັ ເທິງຂອງຊຶັນ້ ທີ 1 +1 = 42+1 = 43 ດັ່ງນຶນ້ັ , ຂດີ ຈາກດັ ຂອງຊັຶນ້ ທີ 2 ແມນ່ 43 – 51 ຂີດຈາກັດຂອງຊນັຶ້ ຕໍ່ໆໄປ ກຄິດໄລໃ່ ນທານອງດຽວກນັ ນ.ຶີ້ ຈ. ຄານວນຂອບເຂດຈາກັດຊນັຶ້ (Class Boundaries)  42  43  42.5 2 ຂອບເຂດຈາກັດລມຸ່ ຂອງຊຶັນ້ ທີ 1 = 42.5 – C = 42.5 - 9 = 33.5 5

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖຕີ ິ 1 ດັ່ງນນ້ຶັ , ຂອບເຂດຈາກດັ ຂອງຊັຶ້ນທີ 1 ຄຼື 33.5 – 42.5 ຂອບເຂດຈາກັດລຸ່ມຂອງຂອງຊັ້ນຶ ທີ 2 ເທົັ່າຂອບເຂດຈາກັດເທງິ ຂອງຊນຶັ້ ທີ 1 ຄືຼ 42.5 ຂອບເຂດຈາກດັ ເທງິ ຂອງຂອງຊຶັ້ນທີ 2 = 42.5 + C = 42.5 + 9 = 51.5 ດງັ່ ນັຶ້ນ, ຂອບເຂດຈາກດັ ຂອງຊຶ້ັນທີ 2 ຄຼື 42.5 – 51.5 ຂອບເຂດຈາກດັ ຂອງຊັຶນ້ ຕ່ໍໆໄປ ກຄດິ ໄລໃ່ ນທານອງດຽວກັນນຶ້ີ. ສ. ນັບຈານວນ (ຄວາມຖີ່) ຂອງຂໍ້ມນູ ໃນແຕລ່ ະຊນ້ັຶ . ຊຶັນ້ ທີ ( K ) ຂດີ ຈາກັດຊຶັ້ນ ຂີດແຈ້ງນັບຄວາມຖ່ີ ຄວາມຖ່ີ ຄ່າກາງຂອງຊຶ້ັນ 50 1 34 – 42  fi  Xi  2 43 – 51 3 52 – 60 2 38 4 61 – 69 6 47 5 70 – 78 6 79 – 87 7 56 7 88 – 96 13 65 ລວມ 9 74 8 5 83 50 92 ຕວົ ຢ່າງ 2: ຈງົັ່ ສາ້ ງຕາຕະລາງແຈກຢາຍຄວາມຖີ່ ຖ້າຄະແນນສອບເສັງວິຊາສະຖິຕິ ຂອງນັກສກສາຈານວນ 80 ຄົນ ເປນັ ດັງ່ ນ້ີຶ: 68 84 75 82 68 90 62 88 76 93 ວທິ ີແກ:້ 73 79 88 73 60 93 71 59 85 75 61 65 75 87 74 62 95 78 63 72 96 78 89 61 75 95 60 79 83 71 79 62 67 97 78 85 76 65 71 75 65 80 73 57 88 78 62 76 53 74 86 67 73 81 72 63 76 75 85 77 60 64 74 70 68 96 79 76 75 86 ກ. ຊອກຄາ່ ພໄິ ສ (Rang = R) R  X max  X min  97  53  44 ຂ. ການດົ ຈານວນຊັຶ້ນ (K) K  1 3.3lg n 1 3.3lg 80  1 3.31.9  7.28  8 ຄ. ຄິດໄລຄ່ ວາມກວ້ າງຂອງຊັນຶ້ (Class Interval: C) 6

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖຕີ ິ 1 C R K  44  5.5  6 8 ງ. ການດົ ຂີດຈາກດັ ຊຶ້ນັ . ຂີດຈາກດັ ເບຼຶືອ້ ງລມຸ່ ຂອງຊຶນ້ັ ທາອິດ  X min  C  K  R 2  53  6 8  22  51 2 ຂີດຈາກັດເທິງຂອງຊຶ້ນັ ທາອດິ ຄຼື 51+C-1 = 51+6-1 = 56 ຂີດຈາກດັ ຂອງຊ້ນັຶ ທາອິດຄຼື 51 ຫາ 56 ຂດີ ຈາກັດຂອງຊນັຶ້ ທີ 2 ຄຼື 57 ຫາ 62 ຂດີ ຈາກັດຂອງຊນ້ຶັ ຕ່ໍໆໄປ ກຄດິ ໄລ່ໃນທານອງດຽວກັນນຶ້.ີ ຈ. ຄານວນຂອບເຂດຈາກດັ ຊັຶ້ນ (Class Boundaries)  56  57  53.5 2 ຂອບເຂດຈາກັດລຸມ່ ຂອງຊນັ້ຶ ທີ 1 = 56.5 – C = 56.5 - 6 = 50.5 ດງ່ັ ນ້ຶັນ, ຂອບເຂດຈາກັດຂອງຊນັ້ຶ ທີ 1 ຄືຼ 50.5 – 56.5 ຂອບເຂດຈາກັດລຸມ່ ຂອງຂອງຊຶນ້ັ ທີ 2 ເທ່ົາັ ຂອບເຂດຈາກດັ ເທງິ ຂອງຊ້ັຶນທີ 1 ຄືຼ 56.5 ຂອບເຂດຈາກັດເທງິ ຂອງຂອງຊນ້ຶັ ທີ 2 = 56.5 + C = 56.5 + 6 = 62.5 ດ່ງັ ນັນ້ຶ , ຂອບເຂດຈາກດັ ຂອງຊ້ນັຶ ທີ 2 ຄືຼ 56.5 – 62.5 ຂອບເຂດຈາກດັ ຂອງຊນ້ຶັ ຕໍ່ໆໄປ ກຄດິ ໄລໃ່ ນທານອງດຽວກັນນ້.ີຶ ສ. ນບັ ຈານວນ (ຄວາມຖ)ີ່ ຂອງຂໍມ້ ນູ ໃນແຕລ່ ະຊນັຶ້ . ຂດີ ຈາກັດຊຶັ້ນ ຂອບເຂດຈາກດັ ຂີດແຈງ້ ນັບຄວາມຖ່ີ ຄວາມຖ່ີ ຄາ່ ກາງຂອງຊ້ຶັນ 80 ຊຶັນ້  fi  Xi  51 – 56 50.5 – 56.5 1 53.5 57 – 62 56.5 – 62.5 11 59.5 63 – 68 62.5 – 68.5 11 65.5 69 – 74 68.5 – 74.5 13 71.5 75 – 80 74.5 – 80.5 22 77.5 81 – 86 80.5 – 86.5 9 83.5 87 – 92 86.5 – 92.5 6 89.5 93 – 99 92.5 – 99.5 7 95.5 80 ລວມ 7

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖີຕິ 1 1.4.2 ຕາຕະລາງແຈກຢາຍຄວາມຖ່ີສາພັດ. ຈາກຕາຕະລາງແຈກຢາຍຄວາມຖີ່ ທງັ ຂ້ໍມູນປະລິມານ ແລະ ຄຸນນະພາບຈະໄດ້ວ່າ ຄວາມຖີ່ສາພັດຂອງຊັຶ້ນໃດ ຊັຶ້ນໜີ່ງ ໝາຍເຖງິ ຄວາມຖຂ່ີ ອງຊັ້ຶນນນັຶ້ ຫານໃຫ້ຄວາມຖີ່ທັງໝົດ ສ່ວນຫາຍນິຍົມສະເໜີໃນຮູບແບບເປີເຊັນ ໂດຍ ການເອາົ ຜນົ ຫານຂາ້ ງເທິງຄູນດວ້ ຍ 100% ແລະ ຜົນບວກຄວາມຖີ່ສາພັດຂອງທຸກຊັຶນ້ ຈະເທົ່ັາກັບ 1 ຊນ້ັຶ ທີ ຂດີ ຈາກັດຊຶັ້ນ ຄວາມຖີ່ ຄວາມຖ່ີສາພັດ 1 51 – 56  fi  0.0125 2 57 – 62 1 0.1375 3 63 – 68 0.1375 4 69 – 74 11 0.1625 5 75 – 80 11 0.2750 6 81 – 86 13 0.1125 7 87 – 92 22 0.0750 8 93 – 99 9 0.0875 6 ລວມ 7 1 80 1.4.3 ຕາຕະລາງແຈກຢາຍຄວາມຖ່ີສະສົມ. (Cumulative Frequency or Ogives) ການແຈກຢາຍຄວາມຖີ່ສະສົມ ເປັນການສະເໜີຂ້ໍມູນອີກແບບໜ່ີງ ຊີ່ງສະແດງໃຫ້ຮູ້ເຖິງຄວາມຖີ່ທີ່ເກີດຂ້ຶນ ເມຼືອ່ີ ຄາ່ ຂອງຂ້ມໍ ນູ ໜ້ອຍກວ່າ ຂອບເຂດຈາກດັ ເທງິ ຂອງແຕ່ລະຊນຶ້ັ . ຄວາມຖີ່ສະສມົ ຂອງຊນັ້ຶ ທີ i ໄດຈ້ າກການບວກຄວາມຖີຂ່ ອງຊຶັ້ນທາອິດ ຫາຄວາມຖີຂ່ ອງຊຶນ້ັ ທ່ີ i ຊ້ນັຶ ທີ ຂອບເຂດຈາກດັ ຊນັ້ຶ ຄວາມຖີ່ ຄວມຖ່ີສະສົມ  fi  1 12 1 50.5 – 56.5 1 23 36 2 56.5 – 62.5 11 58 3 62.5 – 68.5 11 67 4 68.5 – 74.5 13 73 5 74.5 – 80.5 22 80 6 80.5 – 86.5 9 7 86.5 – 92.5 6 8 92.5 – 99.5 7 80 ລວມ 1.4.4 ຕາຕະລາງແຈກຢາຍຄວາມຖ່ີສະສົມສາພັດ. ຄວາມຖີ່ສະສົມສາພັດ (Relative Cumulative Frequency) ຂອງຊັ້ຶນໃດຊັ້ຶນໜ່ີງ ເທົັ່າກັບຜົນຫານ ລະຫວ່າງ ຄວາມຖ່ສີ ະສົມຂອງຊຶ້ັນນັຶ້ນໆ ກັບຄວາມຖທີ່ ັງໝດົ (ຈານວນຂໍມ້ ູນທັງໝົດ). 8

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖີຕິ 1 ຄວາມຖີ່ ຄວມຖີ່ສະສົມ ຄວາມຖີ່ສະສມົ ສາພັດ ຊັນຶ້ ທີ ຂອບເຂດຈາກັດຊັ້ນຶ  fi   fi   fi  1 n 12 1 50.5 – 56.5 1 23 0.0125 36 2 56.5 – 62.5 11 58 0.15 67 0.2875 3 62.5 – 68.5 11 73 80 0.45 4 68.5 – 74.5 13 0.725 0.8375 5 74.5 – 80.5 22 0.9125 6 80.5 – 86.5 9 1 7 86.5 – 92.5 6 8 92.5 – 99.5 7 1.5 ການນາສະເໜີຂມໍ້ ນູ ດວ້ ຍກຣາຟ ຄວາມຖຂີ ອງຂ້ໍມນູ ອາດສະແດງດວ້ ຍຮູບແທ່ງ (Histogram), ເສັຶ້ນຫັກຄວາມຖີ່ (Frequency Polygon), ເສັຶ້ນໂຄ້ງຄວາມຖີ່ (Frequency Curve) ແລະ ອຼນ່ີື ໆ. 1.5.1 ຮູບແທ່ງ (Histogram). ແມນ່ ຮູບສແີ່ ຈສາກ ທພີ່ ຶື້ນຼ ແມ່ນຂອບເຂດຈາກດັ ຂອງແຕ່ລະຊ້ັຶນ ແລະ ລວງສູງແມ່ນ ຄວາມຖີ່ຂອງຂ້ໍມູນໃນຊັຶ້ນ ນ້ນັຶ ໆ. ເຊັ່ນ: ຮບູ ແທງ່ ທ່ີສະແດງຄະແນນສອບເສັງວິຊາສະຖິຕິເບຼື້ຶອງຕົ້ຶນຂອງນັກສກສາຈານວນ 50 ຄົນຕາມຂ້ໍມູນ ຂ້າງເທງິ ນີຶ້ (ຕົວຢ່າງ 1) ຄວາມຖີ່ ຊ່ວງຄະແນນ 14 12 10 8 6 4 2 0 34 – 42 43 – 51 52 – 60 61 – 69 70 – 78 79 – 87 88 – 96 1.5.2 ເສຶັນ້ ຫັກຄວາມຖີ່ (Frequency Polygon). ເສັຶ້ນຫັກຄວາມຖີ່ ເປັນການສະເໜີຂ້ໍມູນໃຫ້ເຫັນຊັດເຈນຍິ່ີງຂຶ້ນ ເຊິີ່ງສະແດງໂດຍການຂີດເສັຶ້ນຊືຼີ່ເຊຼືີ່ອມຕໍ່ ລະຫວາ່ ງຄ່າເຄີິງ່ ກາງຂອງຊຶ້ັນຂອງຮບູ ແທ່ງ ແຕ່ຈະເພີ່ມອີກ 2 ເມັດໃນນີຶ້ຕົວປະສານຕັຶ້ງຂອງເມັດທາອິດ ແລະ ເມັດ ສຸດທ້າຍເທົັ່າສູນ. ເມັດທາອິດເທົ່ັາກັບເມັດເຄິ່ີງກາງຂອງຊັ້ຶນທີ 1 ລົບຄວາມກ້ວາງຂອງຊັ້ຶນ ເມັດສຸດທ້າຍເທົັ່າກັບ ເມັດເຄິີ່ງກາງຂອງຊັຶ້ນສຸດທ້າຍບວກຄວາມກ້ວາງຂອງຊັຶ້ນ ເຊັ່ນ: ເສັ້ຶນຫັກທີ່ສະແດງຄະແນນສອບເສັງວິຊາສະຖິຕິ ເບຼ້ືຶອງຕນົ້ຶ ຂອງນກັ ສກສາຈານວນ 50 ຄົນຕາມຂໍ້ມນູ ຂ້າງເທງິ ນ:ຶີ້ (ຕວົ ຢ່າງ 1) 9

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖີຕິ 1 ຄວາມຖີ່ 14 12 10 8 6 4 2 0 34 – 42 43 – 51 52 – 60 61 – 69 70 – 78 79 – 87 88 – 96 ຊ່ວງຄະແນນ 1.5.3 ເສັນຶ້ ໂຄງ້ ຄວາມຖີ່ (Frequency Curve). ແມ່ນເສັ້ນຶ ໂຄ້ງທໄີ່ ດ້ຈາກການດັດແປງເສ້ຶນັ ຫັກ ຫຼື ຮູບແທ່ງໂດຍພະຍາຍາມ ໃຫ້ເນືຼ້ຶອທີ່ກ້ອງເສັ້ຶນໂຄ້ງ ເທົ່ັາເນຼືຶ້ອ ທກ່ີ ້ອງເສັນຶ້ ຫັກ ຫືຼ ເນຶືຼອ້ ທຮີ່ ບູ ແທງ່ ເຊນັ່ : ເສ້ຶນັ ໂຄງ້ ທີ່ສະແດງຄະແນນສອບເສັງວິຊາສະຖິຕິເບືຼ້ຶອງຕົຶ້ນຂອງນັກສກສາ ຈານວນ 50 ຄົນຕາມຂ້ໍມູນຂາ້ ງເທິງນ:ີຶ້ (ຕວົ ຢາ່ ງ 1) ຄວາມຖີ່ ຊວ່ ງຄະແນນ 1.5.4 ການສະເໜີຂ້ໍມນູ ດ້ວຍຮູບເສົາດ່ຽວ. ແມ່ນຮູບເສາົ ທສີ່ ະແດງການປຽບທຽບລັກສະນະຂອງຂໍ້ມູນທີ່ສົນໃຈສກສາພຽງລັກສະນະດຽວເຊັ່ນ: ຈານວນ ນກັ ຮຽນ, ຈານວນເງນີ , ຈານວນມູນຄາ່ ການສງົ່ັ ອອກເປັນຕນ້ຶົ . ຕົວຢ່າງ 3: ຈ່ັົງສ້າງຮູບເສົາດ່ຽວສະແດງການປຽບທຽບຈານວນນັກສກສາຕາມຊັຶ້ນປີ ຊ່ີງມີ 4 ຊັຶ້ນປີ ດັ່ງຕາຕະລາງ ລຸມ່ ນີ:ຶ້ ຊັນ້ຶ ປີ ຈານວນ (ຄນົ ) 1 20 2 25 3 58 4 40 ລວມ 143 10

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖີຕິ 1 70 ຈານວນ 58 60 50 40 40 25 30 20 20 10 ຊ້ຶັນປີ 0 1234 1.5.5 ການສະເໜີຂມໍ້ ູນດ້ວຍຮບູ ເສົາຄູ່ປະກອບ ຮູບເສາົ ຄປູ່ ະກອບແມ່ນຮູບທີສ່ ະແດງການປຽບທຽບລັກສະນະຂອງຂໍ້ມູນທີ່ສົນໃຈສກສາຕັຶ້ງແຕ່ສອງລັກສະນະ ຫຼື ສອງຊ່ວງເວລາຂ້ຶນໄປເທິງແກ່ນດຽວກນັ . ຕວົ ຢ່າງ 4: ຈ່ງັົ ສາ້ ງຮບູ ເສົາປະກອບ ເພີ່ືອຼ ປຽບທຽບຂໍມ້ ນູ ສິນຄ້າສົ່ັງອອກຂອງເມືຼອງຕ່າງໆ ໃນແຂວງຫວງນຶ້າທາ ໃນ ປີ ຄສ 2014 ແລະ ຄສ 2015 (ຂມໍ້ ູນສມົ ມຸດ) ເມືອຼ ງ ມູນຄ່າສົັ່ງອອກ (ລ້ານກບີ ) ຫວງນ້າທາ 2014 2015 ສງິ ລອງ 50.65 70.55 ວຽງພຄູ າ 59.21 48.36 ນາແລ 33.69 45.81 56.23 43.89 21.39 44.27 80 2014 70 2015 60 50 ສິງ ລອງ ວຽງພູຄາ ນາແລ 40 30 20 10 0 ຫວງນ້າທາ 1.5.6 ການສະເໜີຂມ້ໍ ູນດວ້ ຍຮູບເສົາບວກ-ລົບ. ຄືຼຮບູ ເສົາທ່ີສະແດງການປຽບທຽບຂໍ້ມູນທີມ່ ີຄາ່ ເປັນໄປໄດ້ທງັ ຄາ່ ບວກ ແລະ ຄ່າລົບ. ຕວົ ຢາ່ ງ 5: ຈັ່ງົ ສາ້ ງຮູບເສາົ ບວກ-ລບົ ເພ່ືຼີອສະແດງເຖິງກາໄລ ແລະ ຂາດທນຂອງບລສິ ດັ ແຫ່ງໜ່ງີ ແຕ່ປີ ຄ.ສ 2010 - 2015 ເຊິງມີຂ້ມໍ ນູ ລ່ມຸ ນຶ:້ີ (ຂມໍ້ ນູ ສມົ ມດຸ ) ລາຍການ 2010 2011 2012 2013 2014 2015 ກາໄລ (ຮ້ອຍລ້ານກີບ) 0 2 4 0 3 5 ຂາດທນ (ຮ້ອຍລາ້ ນກບີ ) 1.5 0 0 1 0 0 11

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖຕີ ິ 1 6 ກາໄລ 5 4 3 2 1 0 -1 1 2 3 4 5 6 -2 1.5.7 ການສະເໜຂີ ມ້ໍ ູນດ້ວຍຮູບເສົາຊອ້ ນ (Multiple Bar Chart) ເປັນຮູບພາບທີ່ສະແດງເຖິງ ການປຽບທຽບລັກສະນະຂອງຂ້ໍມູນ ຕັຶ້ງແຕ່ສອງລັກສະນະຂຶ້ນໄປ ແລະ ປະຢັດ ເນຶືອຼ້ ທໃີ່ ນການນາສະເໜີຂໍ້ມນູ . ຕົວຢ່າງ 6: ຈົ່ັງສ້າງຮູບເສົາຊ້ອນກັນສະແດງລາຍໄດ້, ລາຍຈ່າຍ ແລະ ກາໄລຂອງຮ້ານຄ້າແຫ່ງໜ່ີງຕັຶ້ງແຕ່ ປີ ຄ.ສ 2010-2015 ມີດັ່ງລມຸ່ ນ:້ຶີ ຄ.ສ ລາຍຈ່າຍ (ລ້ານກີບ) ລາຍໄດ້ (ລາ້ ນກີບ) ກາໄລ (ລາ້ ນກີບ) 2010 71198 94177 22979 2011 83065 108898 25833 2012 108179 146161 2013 133197 193618 37982 2014 153114 218060 60421 2015 196183 243895 64946 47712 250000 ກາໄລ (ລາ້ ນກບີ ) 200000 ລາຍຈາ່ ຍ (ລ້ານກີບ) 150000 ລາຍໄດ້ (ລ້ານກີບ) 100000 6 50000 0 12 3 4 5 1.5.8 ການສະເໜີຂ້ໍມນູ ດວ້ ຍຮູບເນຶຼອື້ ທີ່ (Area Chart) ແລະ ເສຶັນ້ ສະແດງ (Line Chart) ການສະເໜຂີ ໍມ້ ນູ ດ້ວຍຮູບເນືຼ້ຶອທີ່ ຫືຼ ເສັ້ຶນສະແດງ ເປັນຮູບແບບການສະເໜີຂໍ້ມູນທີ່ນິຍົມຫາຍ ໂດຍສະເພາະ ແມ່ນຂ້ມໍ ູນທປ່ີ ່ຽນແປງຕາມເວລາ ຊີ່ງມີຮອບວຽນ ຫຼື ໄລຍະເວລາຂອງການປ່ຽນແປງທີ່ແນ່ນອນ ອາດເປັນເດຼືອນ, ປີ ກໄດ້. ຕົວຢ່າງ 7: ອັດຕາການເຕີບໂຕທາງດ້ານເສດຖະກິດຂອງໂລກນັບແຕ່ປີ 2005 ເຖິງ ປີ 2015 ແລະ ຄາດຄະ ເນ ອັດຕາການເຕບີ ໂຕທາງດ້ານເສດຖະກິດຂອງໂລກນບັ ແຕ່ປີ 2016 ເຖິງ ປີ 2020 ໂດຍອີງຕາມຂ້ໍມູນຂອງທະນາຄານ ໂລກ ດັ່ງຕາຕະລາງລຸ່ມນ້ຶີ: 12

Aeleng VIXAYSOUVANH ອັດຕາການເຕີບໂຕ ປີ ສະຖີຕິ 1 3.6 2013 ປີ 4.1 2014 ອັດຕາການເຕີບໂຕ 2005 3.9 2015 3.14 2006 1.5 2016 3.39 2007 -2.1 2017 3.45 2008 5.38 2018 3.76 2009 4.17 2019 3.85 2010 3.4 2020 3.87 2011 3.93 2012 3.97 ອດັ ຕາການເຕີບໂຕ 6 4 2 0 -2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 -4 ຕົວຢ່າງ 8: ຍອດຂາຍອາຫານຂອງຮາ້ ນອາຫານແຫ່ງໜີ່ງ ໃນຊ່ວງເດືຼອນມັງກອນ ເຖິງ ມີຖຸນາ ປີ 2017 ດັ່ງຕາຕະ ລາງລຸ່ມນ້ຶ:ີ ເດືຼອນ ຍອດຂາຍ (ຫົວໜ່ວຍ 100 000 ກບີ ) ມງັ ກອນ 30 ກມຸ ພາ 14 25 ມີນາ 23 ເມສາ 9 ພດສະພາ 16 ມີຖຸນາ 40 ຍອດຂາຍ 30 20 ມີນາ ເມສາ ພດສະພາ ມຖີ ນຸ າ 10 0 ມັງກອນ ກມຸ ພາ 1.5.9 ການສະເໜີຂ້ໍມນູ ແບບເມັດ (Scatter Diagram) ການສະເໜີຂໍມ້ ູນແບບເມັດ ເປນັ ການສະແດງການພວົ ພນັ ຂອງຂມ້ໍ ນູ ປະລິມານ 2 ຕວົ ອີກແບບໜີ່ງທີ່ນິຍົມໃຊ້ ເຊັ່ນ: ຍອດຂາຍ ກັບ ຄ່າໂຄສະນາຂອງທລຸ ະກິດໜ່ີງ. 13

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖຕີ ິ 1 ຕວົ ຢາ່ ງ 9: ພິຈາລະນາການພົວພັນລະຫວ່າງ x ຄ່າໃຊ້ຈ່າຍໃນການໂຄສະນາກັບ y ລາຍຮັບທີ່ໄດ້ຈາກການຂາຍ ສິຶ້ນຄ້າຊະນດິ ໜ່ີງ (ຫວົ ໜ່ວຍ: ພັນກບີ ) ຄາ່ ໃຊ້ຈ່າຍໃນການໂຄສະນາ x ລາຍຮບັ y 610 7825 502 4758 790 8100 350 3900 189 2125 1.5.10. ຮູບແຜ່ນມນົ . ແຜ່ນມົນ (Pie Chart) ທີໃ່ ຊສ້ ະແດງເປີເຊັນ ຫຼື ຈານວນຂອງຂ້ໍມູນທາງດ້ານຄຸນນະພາບຈະໃຊ້ຫັກເກນໂດຍ ໃຫແ້ ຜ່ນມນົ ມີ 360 ແລະ ແບງ່ ແຜ່ນມົນອອກເປັນສວ່ ນໆ ຕາມເປເີ ຊນັ ຂອງມູນແຕລ່ ະກ່ມຸ . - ເນອຶ້ືຼ ທ່ຂີ ອງແຜນ່ ມົນທັງໝດົ ແທນລວມຍອດຂອງຂ້ໍມູນທັງໝົດຄິດເປັນ 100% - ແບ່ງເນຶ້ຼືອທີຂອງແຜ່ນມນົ ອອກເປນັ ສ່ວນຕາມຂະໜາດຂອງຂ້ໍມູນ. ຕວົ ຢ່າງ 10: ຈົ່ັງສ້າງແຜນສະແດງແຜ່ນມົນ ເພືຼີ່ອການປຽບທຽບລາຍຈ່າຍດ້ານຕ່າງໆຕໍ່ເດຼືອນ ຂອງພະນັກງານຄົນ ໜ່ງີ ເຊິ່ີງມລີ າຍໄດເ້ ດືຼອນລະ 1 800 000 ກບີ . ລາຍຈາ່ ຍຕໍ່ເດືອຼ ນຂອງພະນກັ ງານຄນົ ໜງ່ີ . ລາຍຈ່າຍ ຈານວນເງີນ (ກີບ) ຄ່າອາຫານ 500 000 ຄາ່ ເຄືີ່ຼອງນງຸ່ ຫັົ່ມ ຄ່ານ້າ, ໄຟຟາ້ 400 000 ຄາ່ ອ່ີືຼນໆ ເກັບໄວ້ (ອອມສິນ) 150 000 500 000 250 000 14

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖຕີ ິ 1 ວິທີສ້າງ. ຊອກຫາເປີເຊັນຂອງເນຶືຼ້ອທີແ່ ຕລ່ ະສ່ວນ ແລະ ຊອກມມູ ໃຈກາງຂອງລາຍຈ່າຍແຕ່ລະລາຍການ. ລາຍຈ່າຍ ເປເີ ຊນັ ຂອງເນອຶືຼ້ ທີ່ ມູມໃຈກາງ ຄາ່ ອາຫານ 500 000 100%  27.777 500 000  360  100 1800 000 1800 000 ຄ່າເຄ່ືີອຼ ງນຸງ່ ຫ່ມັົ 400 000 100%  22.222 400 000  360  80 1800 000 1800 000 ຄ່ານ້າ, ໄຟຟາ້ 150 000 100%  8.333 150 000  360  30 1800 000 1800 000 ຄາ່ ອືີນ່ຼ ໆ 500 000 100%  27.777 500 000  360  100 1800 000 1800 000 ເກັບໄວ້ (ອອມສນິ ) 250 000 100%  13.888 250 000  360  50 1800 000 1800 000 ເກັບໄວ້ ຄ່າ 14% ອາຫານ 28% ຄາ່ ອ່ືນີຼ ໆ 28% ຄ່າ ເຄືີອຼ່ ງນຸ່ງ ຄາ່ ນາ້ , ໄຟຟາ້ ຫມົ່ັ 8% 22% 15

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖຕີ ິ 1 ບົດເຝກິ ຫັດ 1. ຈົັ່ງສະເໜີຂໍ້ມູນແບບເສັຶ້ນສະແດງຂອງການປຽບທຽບມູນຄ່າສິນຄ້າທີ່ ບລິສັດລາວແຫ່ງໜີ່ງສົັ່ງອອກ ຕັ້ຶງແຕ່ປີ ຄສ 2011 ເຖງິ ປີ 2020 ດັ່ງຕາຕະລາງລຸ່ມນ:ຶີ້ ຄສ ມູນຄ່າ (ລ້ານກບີ ) 2011 2908 2012 4436 2013 3594 2014 2190 2015 5858 2016 8603 2017 13832 2018 10424 2019 15025 2020 19508 2. ຈົັ່ງສະເໜີຂ້ໍມູນແບບເສົາດ່ຽວ ຂອງການປຽບທຽບຍອດຂາຍເຄືຼີ່ອງໄຟຟ້າຂອງຮ້ານຄ້າແຫ່ງໜ່ີງ ຈາແນກຕາມ ປະເພດຂອງເຄຼີ່ອື ງໄຟຟ້າ ໃນເດືຼອນ ມນີ າ ປີ 2017 ດັງ່ ຕາຕະລາງລມຸ່ ນຶີ:້ ປະເພດເຄ່ີຼືອງໄຟຟາ້ ວທິ ະຍຸ-ໂທສະສບັ ຕ້ເູ ຢນັ ພັດລມົ ຍອດຂາຍ (ກີບ) 62 285 000 35 876 000 18 765 000 3. ຈງົ່ັ ສະເໜີຂມ້ໍ ນູ ດ້ວຍຮູບເສົາຊ້ອນ ຂອງການປຽບທຽບມູນຄ່າການສົ່ັງອອກສິນຄ້າຂອງ 2 ບລິສັດ (ຫົວໜ່ວຍ: 100 000$) ດງັ່ ຕາຕະລາງລມຸ່ ນ:ີຶ້ ປີ ບລສິ ັດ ກ ບລິສດັ ຂ 2011 20 5 2012 16 10 2013 12 12 2014 15 14 2015 10 16 2016 7 19 2017 8 21 16

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖຕີ ິ 1 4. ຜນົ ຂອງການສອບເສງັ ວິຊາສະຖຕິ ິຂອງນັກຮຽນວິທະຍາໄລແຫງ່ ໜ່ີງ ຈານວນ 60 ຄນົ ມດີ ັ່ງນີ້ຶ (ຄະແນນຄິດເປັນ 50) 30 22 20 17 16 25 18 18 28 17 19 22 22 31 19 27 37 37 23 43 28 36 41 18 24 21 24 24 20 32 24 28 16 23 22 35 24 24 25 31 17 28 24 27 23 22 22 22 16 20 21 21 26 27 28 24 28 38 23 22 ຈ່ັົງສາ້ ງຕາຕາລາງແຈກຢາຍຄວາມຖີຂອງຂໍ້ມນູ ເທງິ ນີ.້ຶ 5. ລວງສງູ ຂອງນັກຮຽນຫອ້ ງໜງ່ີ (ຫວົ ໜວ່ ຍເປນັ ຊງັ ຕີແມັດ) ຈານວນ 40 ຄນົ ມີຄ່າດັງ່ ນ້:ີຶ 132 154 142 162 148 138 150 125 175 144 141 126 147 156 138 170 142 144 142 149 144 165 135 152 136 134 138 148 154 128 135 164 168 154 150 158 146 144 144 120 ຈງ່ັົ ສາ້ ງຕາຕາລາງແຈກຢາຍຄວາມຖີສາພັດຂອງຂ້ໍມນູ ເທງິ ນຶ.ີ້ 6. ຜົນຂອງການສອບເສງັ ວຊິ າຄະນດິ ສາດຂອງນກັ ຮຽນວທິ ະຍາໄລແຫງ່ ໜີງ່ ຈານວນ 50 ຄົນ ມີດັ່ງນີ້ຶ (ຄະແນນຄິດ ເປັນ100) 71 72 76 74 79 71 59 67 71 62 75 70 66 50 57 69 61 51 79 56 69 76 56 53 70 64 61 57 67 54 52 67 81 63 75 68 64 63 67 51 53 56 58 60 62 64 68 54 51 80 ຈົັ່ງສາ້ ງຕາຕາລາງແຈກຢາຍຄວາມຖີສະສົມຂອງຂ້ໍມູນເທງິ ນີຶ.້ 7. ຜນົ ຂອງການສອບເສງັ ວຊິ າຄະນດິ ສາດຂອງນກັ ຮຽນວິທະຍາໄລແຫງ່ ໜ່ີງ ຈານວນ 60 ຄນົ ມີດັ່ງນີຶ້ (ຄະແນນຄິດ ເປນັ 100) 60 90 55 40 78 89 74 56 62 70 44 63 57 73 62 81 45 68 57 42 63 56 58 67 51 61 45 63 60 52 63 50 66 61 56 60 80 60 86 80 44 54 64 74 84 94 42 58 47 78 82 92 54 45 64 75 85 93 41 92 ຈ່ງັົ ສ້າງຕາຕະລາງແຈກຢາຍຄວາມຖສີ ະສົມຂອງຂໍ້ມູນເທງິ ນ້ີຶ. 17

ບດົ ທີ 2 ຄາ່ ວດັ ແທກພ້ືນຖານຂອງຂມ້ໍ ນູ 2.1 ປະຊາກອນ ແລະ ກມ່ ຕວົ ຢ່າງ. 2.1.1 ປະຊາກອນ. ປະຊາກອນ (Population) ໝາຍເຖິງສິ່ງທີິ່ເຮົາສົນໃຈສຶກສາທັງໝົດ ອາດເປັນຄົນ, ສັດ ຫ ວັດຖຸສິ່ງ ຂອງຕ່າງໆ. ຂະໜາດຂອງປະຊາກອນສັນຍາລັກດ້ວຍ N. ຕວົ ຢ່າງ 2.1.1.1: ຖາ້ ຂອບເຂດທີິ່ການດົ ຄ ການຮຽນ - ການສອນວຊິ າສະຖິຕິຂອງນັກສຶກສາ ສາຍຄູຄະນິດສາດ ວິທະຍາໄລແຫ່ງໜງ່ຶິ ຊັ້ືນຮຽນປີທີ 2 ສົກສຶກສາ 2017-2018 ປະຊາກອນໃນທີິ່ນີ້ືກຄ ນັກສຶກສາສາຍຄູຄະນິດ ສາດ ວິທະຍາໄລແຫງ່ ນ້ືີ ທກຄນົ ທລິ່ີ ົງທະບຽນຮຽນວຊິ າສະຖຕິ ິ ໃນປີທີ 2 ສກົ ສກຶ ສາ 2017-2018 2.1.2 ກມ່ ຕວົ ຢາ່ ງ. ຕວົ ຢ່າງ (Sample) ໝາຍເຖິງ ພາກສວ່ ນໜ່ຶງິ ຂອງປະຊາກອນ ທເີິ່ ລອກມາເພ່ິອສຶກສາ. ຖ້າປະຊາກອນມີ ຂະໜາດໃຫຍຫ່ າຍ ການເກັບກາຂມ້ໍ ນູ ຈາກທກໜວ່ ຍຍ່ອມເຮດັ ໄດ້ຍາກ. ສະນືັນ້ , ເຮົາບໍ່ສາມາດຈະເກັບຂໍ້ມູນ ຂອງປະຊາກອນທກຕົວໄດ້ ເຮົາຈິ່ງມີວິທີຈະເກັບເອົາພຽງບາງຕົວ, ບາງສ່ວນ, ບາງຊ່ວງເວລາຂອງປະຊາກອນ ເພິ່ອນາມາວິເຄາະ ແລ້ວນາເອົາຜົນທີິ່ໄດ້ກັບໄປປະມານ ຫ ອະທິບາຍເຖິງປະຊາກອນ ທີ່ິກ່ມສະມາຊິກຂອງ ປະຊາກອນທເິີ່ ຮາົ ເກບັ ຄາ່ ດງ່ັ ກ່າວ. ຂະໜາດຂອງຕວົ ຢ່າງສນັ ຍາລັກດ້ວຍ n ຕົວຢ່າງ 2.1.2.1: ເມິ່ອເຮົາຕ້ອງການສຶກສາອາຍຂອງນັກຮຽນ ມ1 ໃນໂຮງຮຽນມັດທະຍົມແຫ່ງໜຶ່ິງ. ປະຊາກອນໃນທີ່ິນີື້ຈະແມ່ນນັກຮຽນ ມ1 ໝົດທກຄົນ. ແຕ່ເມ່ິອເລິ່ອກເອົານັກຮຽນ ມ1 ມາຈານວນ 10 ຄົນ, ນກັ ຮຽນກມ່ ນຖືີ້ ວ່ິ ່າເປນັ ຕວົ ຢາ່ ງ ຫ ກມ່ ຕົວຢາ່ ງ. 2.2 ຄ່າສະເລ່ຍ ແລະ ຄາ່ ວດັ ແທກພນື້ ຖານອນິ່ ໆຂອງຂ້ໍມນູ . 2.2.1 ການວດັ ແນວໂນມ້ (Tendency) ການວັດແນວໂນມ້ ສູ່ສ່ວນກາງເປັນການຄົ້ືນຫາຂໍ້ມູນ ເພ່ິອໃຊ້ເປັນສູນກາງ (center) ຂອງຂໍ້ມູນຊຸດໃດ ຊຸດໜຶ່ິງ. ກລະນີເປັນຂ້ໍມູນປະລິມານ ຈະເຮັດໃຫ້ສາມາດສະຫຸບລັກສະນະທີ່ິສາຄັນຂອງຂ້ໍມູນຊຸດນັ້ືນໄດ້ ໂດຍ ການຄານວນຄ່າສະຖິຕິ ຊຶິ່ງປະກອບດ້ວຍ: ການວັດແນວໂນ້ມ ຫ ຄ່າວັດແທກທ່າອ່ຽງຂອງຂ້ໍມູນ ແລະ ຄ່າວັດ ການແຈກຢາຍຂອງຂມ້ໍ ູນ. ການວດັ ແນວໂນມ້ ທນິ່ີ ິຍມົ ໃຊ້ໄດແ້ ກ່ ຄາ່ ສະເລຍ່ , ຖານນິຍົມ ແລະ ມດັ ທະຍາຖານ. 2.2.1.1 ຄ່າສະເລ່ຍ (Mean). ຄ່າສະເລ່ຍ ຖເປັນຄ່າກາງຂອງຂ້ໍມູນແບບໜຶ່ິງ ເຮົາຈະໃຊ້ຄ່າສະເລ່ຍເປັນຕົວຊີ້ືບອກລັກສະນະໂດຍລວມ ຂອງຂໍມ້ ູນທ່ເີິ ອາົ ມາຄານວນ. ຄ່າສະເລຍ່ ມີຫາຍຊະນດິ ເຊນ່ັ : ຄາ່ ສະເລຍ່ ເລກຄະນິດ (Arithmetic Mean) ຄ່າສະເລ່ຍຖ່ວງນ້າໜກັ (Weighted Mean) ຄ່າສະເລ່ຍເລຂາຄະນິດ (Geometric Mean)

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1 ຄາ່ ສະເລຍ່ ຮາໂມນກິ (Harmonic Mean) ກ. ຄາ່ ສະເລ່ຍເລກຄະນດິ (Arithmetic Mean) ຄາ່ ສະເລຍ່ ເລກຄະນດິ ເປັນຄ່າກາງທິ່ຄີ ານວນໄດ້ງ່າຍ ບໍ່ຊັບຊ້ອນ ແລະ ນິຍົມໃຊ້ຫາຍທີິ່ສດ. ເພີ່ິນສັນຍາ ລັກຄາ່ ສະເລຍ່ ເລກຄະນິດດ່ງັ ລ່ມນື:້ີ  ແທນຄາ່ ສະເລ່ຍຂອງປະຊາກອນ. X ແທນຄ່າສະເລ່ຍຂອງຕວົ ຢ່າງ. ໂດຍທວ່ັົ ໄປ ມກັ ຈະເອື້ີນຄາ່ ສະເລຍ່ ເລກຄະນດິ ວ່າ ຄາ່ ສະເລຍ່ ການຄານວນຄ່າສະເລຍ່ ມີ 2 ກລະນີຄ:  ຄາ່ ສະເລ່ຍສາລບັ ຂໍ້ມນູ ດບິ . n   X1  X2  X3  ... Xn  Xi i1 NN n X  X1  X 2  X 3  ...  X n  i1 X i NN N ແມນ່ ຂະໜາດຂອງປະຊາກອນ n ແມ່ນຂະໜາດຂອງຕົວຢາ່ ງ Xi ແມ່ນຄ່າຂອງຂມ້ໍ ນູ ຕວົ ທີ i ຫ ເອີນ້ື ວ່າ ຄ່າສງັ ເກດຕົວທີ i ຕວົ ຢ່າງ 2.2.1.1.1: ຈາກການວັດແທກລວງສູງຕົວຈິງ ເປັນຊັງຕີແມັດຂອງນັກຮຽນຈານວນ 6 ຄົນໄດ້ດັ່ງນີື້: 156 , 152 , 157 , 150 , 156 ແລະ 159 ຈັງົ່ ຄດິ ໄລ່ຄ່າສະເລຍ່ ລວງສູງຂອງນກັ ຮຽນທັງໝົດ. ບົດແກ້: ຈາກສູດຄດິ ໄລ່ X  X1  X 2  X3  X 4  X5  X6 N X  156 152 157 150 156 159  930  155 cm 66 ດງັ່ ນນ້ືັ , ຄ່າສະເລຍ່ ລວງສູງຂອງນກັ ຮຽນເທັົ່າກບັ 155 cm ຕົວຢາ່ ງ 2.2.1.1.2. ຈາກການຊ່ັງນາໜກັ ນກັ ຮຽນຈານວນ 10 ຄນົ ປະກດົ ຜົນດ່ງັ ນ້ີື (ຫວົ ໜ່ວຍ: ກິ ໂລກຣາມ) 50 , 51 , 55 , 61 55 , 58 , 60 , 52 , 56 , 62 ຈັງ່ົ ຊອກຫານາ້ ໜັກສະເລ່ຍຂອງ ນັກຮຽນທງັ ໝດົ 10 ຄນົ ນືີ້. ບດົ ແກ້: ຈາກສູດຄດິ ໄລ່ X  X1  X 2  X3  ... X10 N X  50  51  55  61  55  58  60  52  56  62  560  56 kg 10 10 ດງ່ັ ນື້ນັ , ນາ້ ໜັກສະເລຍ່ ຂອງນັກຮຽນທງັ ໝົດ 10 ຄົນແມ່ນ 56kg 19

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1  ຄາ່ ສະເລ່ຍສາລັບຂ້ໍມູນໃນຮູບແບບຕາຕະລາງຄວາມຖ.ີ 172 2 k   f1 X1  f2 X 2  f3 X 3  ...  fi X i  i1 fi X i NN k X  f1 X1  f2 X 2  f3 X 3  ...  fi X i  i1 fi X i NN ໂດຍທີິ່ k ແມນ່ ຈານວນຊື້ັນຂອງຕາຕາລາງແຈກຢາຍຄວາມຖີິ່ Xi ແມນ່ ຄາ່ ເຄິ່ງກາງຊັ້ນື ທີ່ິ i fi ແມນ່ ຄວາມຖຂິີ່ ອງຊືນ້ັ ທິ່ີ i N ແມນ່ ຂະໜາດຂອງປະຊາກອນ n ແມ່ນຂະໜາດຂອງຕວົ ຢ່າງ. ຕົວຢ່າງ 2.2.1.1.3: ໃຫຕ້ າຕາລາງສະແດງລວງສງູ ຂອງນກັ ຮຽນ ແລະ ຈານວນນັກຮຽນ. ລວງສູງ cm 152 156 160 164 168 ຈານວນນກັ ຮຽນ (ຄົນ) 3 9 12 10 4 ຈົ່ັງຄິດໄລ່ຄາ່ ສະເລຍ່ ລວງສູງຂອງຂໍ້ມູນນັກຮຽນ. ວທິ ີແກ້: ຈາກສູດຄດິ ໄລ່ X  f1X1  f2 X 2  f3 X3  f4 X 4  f5 X5  f6 X 6 N X  3152  9156 12160 10164  4168  2172 40  456  1404  1920  1640  672  344 40  6436  160.9 cm 40 ດ່ັງນືນັ້ , ຄາ່ ສະເລຍ່ ລວງສງູ ຂອງຂ້ໍມນູ ນກັ ຮຽນແມນ່ 160.9 cm ຕົວຢາ່ ງ 2.2.1.1.4: ຈາກຜົນການສອບເສັງວິຊາ ຄະນດິ ສາດ ຂອງນກັ ສຶກສາຈານວນ 11 ຄົນ ມດີ ັ່ງນ.້ີື ຄະແນນ ຄວາມຖີິ່ 2–4 1 5–7 2 8 – 10 4 11 – 13 3 14 – 16 1 20

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1 ຈັງ່ົ ຊອກຫາຄາ່ ສະເລ່ຍຂອງຜົນການສອບເສງັ ມີເທົັ່າໃດ? Xi fi ບດົ ແກ້: ສ້າງຕາຕະລາງເພອິ່ ຫາຄາ່ ທຕິ່ີ ້ອງໃຊ້ເຂົື້າໃນສດູ 3 12 ຄະແນນ ເມດັ ກາງ Xi ຄວາມຖີິ່ fi 36 2–4 36 5–7 3 1 15 8 – 10 6 2 11 – 13 9 4 5 14 – 16 12 3 15 1  X i fi  102 N  11 i1 n ຈາກສດູ X  i1 fi X i  102  9.2727 N 11 ດັ່ງນັນ້ື , ຄາ່ ສະເລຍ່ ຂອງຜນົ ການສອບເສັງແມ່ນ 9.2727 ຂ. ຄ່າສະເລຍ່ ຖ່ວງນາ້ ໜກັ (Weighted Mean) ຖ້າໃຫ້ X1 , X2 , X3 ,..., Xn ມີນ້າໜັກບໍ່ເທົ່ັາກັນ ຫ ມີຄວາມສາຄັນບ່ໍເທົັ່າກັນ ຕ້ອງໃຫ້ນ້າໜັກ ຂອງຂ້ໍມູນ X1 , X2 , X3 ,..., Xn ເປັນ W1 , W2 , W3 ,..., Wn ຕາມລາດັບ. n X  W1 X1  W2 X 2  W3 X 3  ...  Wn X n  Wi X i W1  W2  W3  ..... Wn i1 n Wi i1 ໝາຍເຫດ: ຖ້າປຽບທຽບການຊອກຫາຄ່າສະເລ່ຍສາລັບຂໍ້ມູນ ທີິ່ຈັດເປັນກ່ມກັບຄ່າສະເລ່ຍແບບຖ່ວງນ້າໜັກ ຈະເຫັນວາ່ ຄ່າຄວາມຖິ່ີ  fi  ປຽບເໝອນຄາ່ ຖ່ວງນາ້ ໝກັ Wi  ຕວົ ຢ່າງ 2.2.1.1.5: ການສອບເສງັ ວິຊາ ຄະນິດສາດ ທາ້ ວ ຄາຜອງໄດເ້ ຂ້ົາື ສອບເສັງ 3 ຄັ້ືງໄດ້ຄະແນນ 76 , 67 88 ຕາມລາດັບ ຖ້າຄໃູ ຫອ້ ດັ ຕາສວ່ ນຂອງຄະແນນທີິ່ສອບເສງັ ເປນັ 3 , 3 , 4 ຈະມີຄະແນນສະເລ່ຍເທາ່ົັ ໃດ? ບົດແກ້: ຈາກບດົ ເລກ X1  76 ນ້າໜກັ ຂອງຄະແນນ W1  3 X2  67 ນາ້ ໜັກຂອງຄະແນນ W1  3 X3  88 ນາ້ ໜກັ ຂອງຄະແນນ W1  4 ຈາກສດູ ຄິດໄລ່ X  W1X1  W2 X 2  W3 X 3 W1  W2  W3 21

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1 X  376 367 488  228  201  352  781  78.1 334 10 10 ດ່ັງນ້ນືັ , ຄະແນນສະເລຍ່ ຂອງນັກສຶກສາຄນົ ນແ້ືີ ມ່ນ 78.1 ຕົວຢ່າງ 2.2.1.1.6: ນັກສຶກສາຄົນໜຶ່ິງມີຄະແນນກວດກາວິຊາສະຖິຕິ 3 ຄັື້ງ ໄດ້ 85 , 76 ແລະ 82 ຕາມລາ ດັບ. ຄະແນນສອບເສັງກາງພາກໄດ້ 79 ແລະ ຄະແນນສອບເສັງທາ້ ຍພາກໄດ້ 87 ຖ້າອາຈານສອນໃຫ້ນ້າໜັກຄະ ແນນສອບເສງັ ທ້າຍພາກເປນັ 63 ເທົ່າັ ຂອງຄະແນນກວດກາ ແລະ ໃຫ້ນ້າໜັກຄະແນນສອບເສັງກາງພາກເປັນ 2 ເທ່າັົ ຂອງຄະແນນກວດກາ. ຈງ່ົັ ຊອກຫາຄະແນນສະເລຍ່ ຂອງການສອບເສງັ . ບົດແກ້: ວາງໃຫ້ X1 ແທນຄະແນນກວດກາຄືງັ້ ທ່ິີ 1 X 2 ແທນຄະແນນກວດກາຄງ້ືັ ທີິ່ 2 X 3 ແທນຄະແນນກວດກາຄື້ງັ ທີ່ິ 3 X 4 ແທນຄະແນນສອບເສງັ ກາງພາກ X 5 ແທນຄະແນນສອບເສັງທາ້ ຍພາກ ເຊງິ່ W1  W2  W3  1 ແທນນາ້ ໜັກຂອງຄະແນນກວດກາ 3 ຄງ້ືັ ຕາມລາດບັ W4 ແທນນາ້ ໜັກຂອງຄະແນນສອບເສງັ ກາງພາກ ເຊ່ິງ W4  2W1 W5 ແທນນາ້ ໜກັ ຂອງຄະແນນສອບເສງັ ທ້າຍພາກ ເຊິ່ງ W5  3W1 ຈາກສູດຄດິ ໄລ່ X  W1X1  W2 X 2  W3 X 3  W4 X 4  W5 X 5 W1  W2  W3  W4  W5 X  185176182 279 387  662  82.75 111 23 8 ດັ່ງນັ້ືນ, ຄະແນນສະເລຍ່ ຂອງນກັ ສກຶ ສາຄົນນເີື້ ທາົ່ັ 82.75 ຄ. ຄາ່ ສະເລຍ່ ເລຂາຄະນດິ (Geometric Mean) ຄ່າສະເລ່ຍເລຂາຄະນິດຂຽນຫຍ້ໍວ່າ GM ຄານວນໄດ້ຈາກການຖອນຮາກຂັື້ນ N ຂອງຜົນຄູນຂ້ໍມູນທັງ ໝົດ N ຄ່າທເິີ່ ປນັ ຄາ່ ບວກ. ສາລບັ ປະຊາກອນ GM  N X1X 2 ... X n ແຕ່ຖ້າຂ້ມໍ ູນຕວົ ຢາ່ ງພຽງ n ຄ່າ ຄ່າສະເລ່ຍເລຂາຄະນິດຈະເປັນຄ່າກາງທີ່ິເກີດຈາກການຖອນຮາກຂັ້ືນ n ຂອງຜົນຄູນຄາ່ ສງັ ເກດທງັ ໝດົ n ຄາ່ ທເີິ່ ປນັ ຄ່າບວກ. ສາລັບຕົວຢ່າງ GM  n X1X 2 ... X n ກ ລະນີທີ່ິມີຄ່າຂ ໍ້ມູນຊ ້າກັນ ເຊັ່ນ: ຖ້າຄ່າຂອງຂ ້ໍມູນ X1 , X 2 ,... , X k ເກີດຂຶ້ືນດ້ວຍ ຄວາມຖິ່ີ f1 , f2 ,..., fk ຕາມລ າດັບ ໂດຍທີິ່ fi  n ແລະ ຂ ້ໍມູນທ ກຄ່າຕ້ອງເປັນບວກ ເວລານັື້ນ GM n X f1 X f2 ... X fn 1 2 n ໂດຍທົັ່ວໄປແລ້ວ ຈະໃຊ້ຄ່າສະເລ່ຍເລຂາຄະນິດ ເມິ່ອຕ້ອງການຊອກຫາຄ່າສະເລ່ຍຂອງເປີເຊັນ, ອັດຕາ ສ່ວນ, ເລກດັດສະນີ ຫ ອັດຕາການເຕີບໂຕ ຊ່ິງເວົື້າໄດ້ວ່າ ຄ່າສະເລ່ຍເລຂາຄະນິດສ່ວນຫາຍຈະຖກນາໃຊ້ໃນ 22

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1 ດາ້ ນທລະກິດ ແລະ ເສດຖະສາດ ເນິອ່ ງຈາກວ່າ ໃນທາງທລະກິດມັກຈະສົນໃຈເປີເຊັນການປ່ຽນແປງຂອງຍອດ ຂາຍ, ລາຍໄດ້ ຫ GNP (Gross National Product) ຕົວຢາ່ ງ 2.2.1.1.7: ຖາ້ ທາ້ ວ ເພັດ ໄດ້ຮັບເງີນເດອນເພີິ່ມຂຶື້ນໃນປີ 2017 ແມ່ນ 5% ແລະ ປີ 2018 ນີື້ເພີ່ິມ ຂ້ນຶື 15% ຈົ່ັງຊອກຫາເປີເຊນັ ສະເລ່ຍຂອງການເພີ່ິມຂນ້ືຶ ຂອງເງິນເດອນ ທາ້ ວ ເພັດ. ບົດແກ້:  ກລະນີທໃິີ່ ຊຄ້ ່າສະເລ່ຍ. X  0.05  0.15  0.10 ຫ ເງີນເດອນຂອງ ທ້າວ ເພດັ ເພ່ີມິ ຂຶືນ້ ໂດຍສະເລຍ່ 10% 2  ກລະນີທີິ່ໃຊຄ້ າ່ ສະເລຍ່ ເລຂາຄະນດິ . ປີ 2017 ເງີນເດອນຂອງທ້າວ ເພັດ ເພີິ່ມຂຶື້ນ 5% ດັ່ງນັື້ນ, ເງິນເດອນປີ 2017 ເທົ່ັາ 1.05 ຂອງເງິນ ເດອນປີ 2012; ປີ 2018 ເງນິ ເດອນເພີມ່ິ ຂນຶ້ື ອີກ 15% ເງນິ ເດອນຂອງ ທ້າວ ເພດັ ປີ 2018 ເທົັ່າ 1.15 ຂອງປີ 2017 ດັງ່ ນັນ້ື . GM  X1X 2  1.051.15  1.09886 ໝາຍຄວາມວາ່ ເງນິ ເດອນຂອງທາ້ ວ ເພດັ ເພມີ່ິ ຂນ້ືຶ ໂດຍສະເລຍ່ ເທັ່ົາ 9.886%  ການພຈິ າລະນາວາ່ ຄວນໃຊ້ຄ່າສະເລ່ຍ ຫ ຄ່າສະເລ່ຍເລຂາຄະນດິ ສມົ ມດວ່າ ເງິນເດອນຂອງ ທ້າວ ເພດັ ກອ່ ນຈະມີການເພິ່ີມຂ້ນື ແມນ່ 3 000 000 ກບີ ການເພີິ່ມຂຶ້ນື ເງິນເດອນຄັງື້ ທໜີ ິຶງ່ 5% ເຮດັ ໄດ້ ທາ້ ວ ເພັດ ໄດເ້ ງນິ ເພີິ່ມຂນ້ືຶ = 3 000 000(0.05) = 150 000 ກີບ ການເພິມ່ີ ຂືນ້ຶ ເງນິ ເດອນ ຄືັງ້ ທສີ ອງ 15% ເຮດັ ໄດ້ ທ້າວ ເພັດ ໄດເ້ ງິນເພມ່ີິ ຂຶື້ນ = 3 150 000(0.15) = 472 500 ກບີ ລວມເງິນທເ່ິີ ພມ່ິີ ຂນ້ືຶ ທັງ 2 ຄືັງ້ = 150 000 + 472 500 = 622 500 ກີບ  ຖ້າໃຊຄ້ າ່ ສະເລຍ່ ເລຂາຄະນິດ ຄື້ັງທີ 1: ເງນິ ເດອນເພີມ່ິ ຂນ້ືຶ = 3 000 000 (0.09886) = 296 580 ກບີ ຄືັງ້ ທີ 2: ເງິນເດອນເພິ່ີມຂືຶ້ນ = 3 296 580 (0.09886) = 325 900 ກີບ ລວມເງນິ ທ່ີິເພີິ່ມຂຶື້ນທັງໝົດ = 296 580 + 325 900 = 622 480 ກີບ  ຖ້າໃຊຄ້ າ່ ສະເລ່ຍ. ຄງັ້ື ທີ 1: ເງນິ ເດອນເພ່ມີິ ຂືຶນ້ = 3 000 000 (0.1) = 300 000 ກບີ ຄັງ້ື ທີ 2: ເງິນເດອນເພີິມ່ ຂຶ້ືນ = 3 300 000 (0.1) = 330 000 ກີບ ລວມເງິນທີິ່ເພມ່ິີ ຂ້ືຶນ 2 ຄ້ງືັ = 300 000 + 330 000 = 630 000 ກີບ ດັ່ງນັື້ນ, ຈຶິ່ງຄວນໃຊ້ຄ່າສະເລ່ຍເລຂາຄະນິດ ຍ້ອນວ່າ ຄ່າສະເລ່ຍເລຂາຄະນິດໃກ້ຄຽງກັບຄ່າ 622 500 ຫາຍກວ່າ ຄາ່ ສະເລ່ຍ. ໃນທາງປະຕິບັດ ໄດ້ນາໃຊ້ຄ່າສະເລ່ຍເລຂາຄະນິດ ເພ່ິອຊອກຫາຄ່າສະເລ່ຍເປີເຊັນທີ່ິເພີິ່ມຂຶ້ືນໃນຊ່ວງ ໄລຍະເວລາໃດໜ່ຶິງ. ສດູ ທນິ່ີ າໃຊ້ເພ່ິອຊອກຫາເປເີ ຊັນເພ່ິີມຂ້ນືຶ ຕ່ປໍ ີແມນ່ : 23

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1 GM  n X n 1 X1 X n ແມນ່ ຄ່າຂໍ້ມນູ ຕອນທາ້ ຍຊ່ວງເວລາ X1 ແມນ່ ຄາ່ ຂໍມ້ ູນຕອນຕນື້ົ ຊ່ວງເວລາ ຕວົ ຢາ່ ງ 2.2.1.1.8: ຖາ້ ຈານວນຄນົ ໃນບ້ານໜ່ິຶງໃນປີ 2008 ມພີ ຽງແຕ່ 200 ຄົນ ແລະ ໃນປີ 2018 ມີ 2200 ຄົນ. ຈງັົ່ ຊອກຫາອດັ ຕາສວ່ ນເພິ່ີມຂ້ືຶນໂດຍສະເລ່ຍຕປໍ່ .ີ ວທິ ີແກ:້ ຊ່ວງໄລຍະເວລາທີິ່ສນົ ໃຈເທ່ັົາ 10 ປີ ຄ: ປີ 2008-2018 ຈະໄດ້ n 10 , X1  200 , X2  2200 GM  n X n 1  10 2200 1  1.271 1  0.271 X1 200 ດັງ່ ນັືນ້ , ອດັ ຕາການເພິ່ີມຂຶື້ນຂອງຈານວນຄົນ ໂດຍສະເລ່ຍ 27.1% ຕໍ່ປີ ງ. ຄ່າສະເລຍ່ ຮາໂມນິກ (Harmonic Mean) ຄ່າສະເລ່ຍຮາໂມນິກ ຂຽນຫຍໍ້ດ້ວຍ HM ເຮົາໃຊ້ຄ່າສະເລ່ຍຮາໂມນິກ ເພ່ິອແກ້ບັນຫາກ່ຽວກັບເວລາ, ອັດຕາຄວາມໄວ, ຄາ່ ໃຊຈ້ າ່ ຍຂອງການຜະລິດ ເມ່ອິ ຕົວປຽ່ ນໜຶິງ່ ຄງົ ທີິ່ ເຊິງ່ ຄານວນໄດ້ຈາກສດູ : HM  1 1 n 1  n 1 n1  ... X1 X2 X3 X n i1 X i ຕວົ ຢ່າງ 2.2.1.1.9: ຈງ່ົັ ຄານວນຄາ່ ສະເລ່ຍຮາໂມນກິ ຂອງຄ່າສງັ ເກດຕໄ່ໍ ປນືີ:້ 2 6 8 ວິທີແກ້: HM  1 3  3.789 11 268 ຕົວຢ່າງ 2.2.1.1.10: ຊາຍຄົນໜຶິ່ງຂັບລົດໃນໄລຍະທາງ 480 ກິໂລແມັດ ທກວັນ ເປັນເວລາ 3 ວັນ ດ້ວຍ ຄວາມໄວ ແລະ ຈານວນຊວົັ່ ໂມງທ່ແິີ ຕກຕາ່ ງກັນໃນແຕລ່ ະວນັ ດັ່ງນີ້ື: ວັນທີໜ່ິງຶ 10 ຊ່ັົວໂມງ ດວ້ ຍຄວາມໄວ 48 ກມ/ຊມ ວັນທີສອງ 12 ຊັວ່ົ ໂມງ ດວ້ ຍຄວາມໄວ 40 ກມ/ຊມ ວນັ ທສີ າມ 15 ຊົວ່ັ ໂມງ ດ້ວຍຄວາມໄວ 32 ກມ/ຊມ ຖາມວາ່ ຄວາມໄວສະເລຍ່ ເທັ່າົ ກັບເທ່ັົາໃດ? ບດົ ແກ:້ ໃນທີນ່ິ ໄີື້ ລຍະທາງໃນການເດີນທາງແຕລ່ ະວັນຄົງທີ່ິເທົັ່າກັບ 480 ກິໂລແມັດ ຈຶ່ິງຊອກຫາຄ່າສະເລ່ຍຮາ ໂມນິກດງັ່ ນ:້ືີ HM  1 3 1  39 1   48 40 32 ດັ່ງນືນ້ັ , ຄວາມໄວສະເລຍ່ ແມ່ນ 39 ກມ/ຊມ 24

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1 ກດິ ຈະກາ: 1. ຈາກການເກບັ ກາຂ້ໍມູນຢຮູ່ ້ານຄ້າແຫ່ງໜຶິງ່ , ມຈີ ານວນສນິ ຄາ້ ຊະນດິ ໜິຶ່ງທີ່ິໄດ້ຂາຍແຕ່ລະມື້ດ່ັງນ້ືີ: 80 65 90 74 84 ແລະ 37 ຈງົ່ັ ຊອກຫາຈານວນຂອງສິນຄາ້ ດ່ງັ ກາ່ ວໂດຍສະເລ່ຍທີິ່ໄດ້ຂາຍໃນແຕລ່ ະມ້ື? 2. ຂ້ມໍ ູນກ່ຽວກບັ ການແລ່ນຂອງນັກກິລາກ່ມໜິ່ງຶ 7 ຄນົ : ນັກກລິ າທໝີ າຍເລກ: 1 2 3 4 5 6 7 ເວລາທໃິ່ີ ຊ້ (ວິນາທີ): 4.2 4.7 4.8 5.1 9.0 4.3 5.0 ຈົັ່ງຊອກຫາຄ່າສະເລຍ່ ຂອງເວລາທີ່ິໃຊ້ໃນການແລນ່ ຂອງນັກກລິ າກ່ມນ້ືີ. 3. ໃຫ້ຕາຕະລາງຄາ່ ແຮງງານຕໍ່ຊົັ່ວໂມງ ແລະ ຈານວນຊວົ່ັ ໂມງຕາ່ ງໆທດິ່ີ າເນີນກດິ ຈະກາໜິ່ງຶ ດັ່ງນື:ີ້ ຄາ່ ແຮງງານຕຊໍ່ ົັວ່ ໂມງ Xi  ຈານວນຊັວ່ົ ໂມງ wi  $ 5.50 340 $ 6.25 280 $ 7.00 200 $ 8.50 140 $ 12.50 40 ຈົັ່ງຊອກຫາຄາ່ ແຮງງານທງັ ໝດົ ແລະ ຄາ່ ແຮງງານສະເລຍ່ 4. ໃຫ້ຂໍ້ມູນກຽ່ ວກັບການທາສີອ້ອມກາແພງໂຮງຮຽນຂອງນກັ ຮຽນຢູ່ໂຮງຮຽນແຫງ່ ໜິງ່ຶ ໄດ້ຂມ້ໍ ູນດັງ່ ນືີ້:  ຈານວນກາແພງທີິ່ທາສີໄດ້ m2 ຈານວນນກັ ຮຽນ 18 3.6 5.4 14 7.2 8 95 ກາແພງທັງໝົດທີິ່ນັກຮຽນທາສີແລ້ວມີເທົ່ັາໃດ ແລະ ສະເລ່ຍແລ້ວນັກຮຽນຄົນໜຶ່ິງທາສີກາແພງໄດ້ ເທັາົ່ ໃດ? 2.3 ຄາ່ ມດັ ທະຍາຖານ. Median ຄ່າມດັ ທະຍາຖານຂອງຂໍ້ມນູ ຊດຸ ໜງ່ິຶ ແມນ່ ຄ່າທິຢີ່ ຕູ່ າແໜງ່ ເຄ່ິງກາງຂອງຂ້ໍມູນຊຸດນັ້ືນ ໂດຍການເອົາຂໍ້ມູນ ມາລຽງລາດັບແຕ່ນອ້ ຍໄປຫາໃຫ່ຍ ຫ ແຕໃ່ ຫຍ່ມາຫານອ້ ຍແລວ້ ເອາົ ຄ່າທີິຢ່ ຕູ່ າແໜງ່ ເຄິ່ງກາງ. ສ່ວນຄ່າທີິ່ໄດ້ແບ່ງ 25

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1 ຂມໍ້ ູນອອກເປັນສ່ວນຄ: ສ່ວນທີ່ິນ້ອຍກວ່າຄ່າມັດທະຍາຖານ ແລະ ສ່ວນທີ່ິໃຫຍ່ກວ່າຄ່າມັດທະຍາຖານ. ການ ຊອກຫາຄ່າມັດທະຍາຖານມີ 2 ກລະນຄ້ືີ : 2.3.1 ການຊອກຄ່າມດັ ທະຍາຖານສາລັບຂໍ້ມນູ ດບິ . - ຖ້າຈານວນຂໍ້ມູນເປັນຈານວນຄີກ ( N ເປັນເລກຄິກ) ຂ້ືັນຕອນທີິ່ 1 ລຽງລາດັບແຕ່ນ້ອຍໄປຫາໃຫ່ຍ ຫ ແຕ່ໃຫຍມ່ າຫານ້ອຍ ຂນັື້ ຕອນທິ່ີ 2 ຄ່າມັດທະຍາຖານແມ່ນຄ່າຂອງຂ້ໍມູນທີ່ິຢູ່ຕາແໜງ່ N  1 ຫ ຕາແໜງ່ ເຄິ່ງກາງ. 2 - ຖ້າຈານວນຂໍ້ມູນເປັນຈານວນຄູ່ ( N ເປນັ ເລກຄ)ູ່ ຂນ້ືັ ຕອນທີິ່ 1 ລຽງລາດບັ ແຕ່ນ້ອຍໄປຫາໃຫ່ຍ ຫ ແຕ່ໃຫຍມ່ າຫານອ້ ຍ ຂນ້ືັ ຕອນທິ່ີ 2 ຄາ່ ມດັ ທະຍາຖານແມ່ນຄ່າຂອງຂໍ້ມູນທິ່ີຢູ່ຕາແໜງ່ N ແລະ N  2 ຫ ເປັນການນາເອົາຄາ່ ທ່ຢິີ ູ່ 22 ລະຫວ່າງຕາແໜງ່ ເຄິ່ງກາງທັງສອງຕວົ ມາບວກກນັ ແລວ້ ຫານໃຫ້ 2. ຕົວຢ່າງ 2.3.1.1. ຮາ້ ນອາຫານແຫງ່ ໜ່ຶິງໄດ້ບັນທກຶ ຈານວນລູກຄາ້ ທເ່ິີ ຂືາົ້ ມາຮັບປະທານອາຫານຄ່າເປນັ ຈານວນ 15 ວັນດັ່ງນີ້ື: 40 , 52 , 55 , 38 , 40 , 48 , 56 , 56 , 60 , 37 , 58 , 63 , 46 , 50 , 61 ຈົັ່ງຫາຄ່າມັດທະ ຍາຖານຂອງຈານວນລກູ ຄ້າທເີ່ິ ຂືົ້າມາຮັບປະທານອາຫານຄ່າຢູ່ຮ້ານດັ່ງກ່າວ. ວທິ ີແກ້: ລຽງຂໍ້ມນູ ຈາກນ້ອຍຫາໃຫ່ຍໄດ້ດງັ່ ນ.້ືີ ຕາແໜ່ງ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ຂ້ໍມນູ 37 38 40 40 46 48 50 52 55 56 56 58 60 61 63 ເນິ່ອງຈາກ N  15 ເປນັ ເລກຄິກ ຈະໄດ້ຕາແໜງ່ ຂອງມັດທະຍາຖານແມ່ນ N 1  15 1  16  8 2 22 ດງ່ັ ນັນ້ື , ຄ່າມດັ ທະຍາຖານຂອງຈານວນລູກຄ້າທເິ່ີ ຂ້ົືາມາຮັບປະທານອາຫານຄ່າແມ່ນ 52 ຄນົ . ຕວົ ຢ່າງ 2.3.1.2. ຄະແນນສອບເສັງຂອງນກັ ສຶກສາ 6 ຄນົ ມີຄ: 56 , 72 , 84 , 96 , 48 ແລະ 58 ຈງ່ັົ ຫາຄາ່ ມັດ ທະຍາຖານຂອງຄະແນນສອບເສັງຂອງນກັ ສກຶ ສາດ່ງັ ກ່າວ. ວທິ ີແກ້: ລຽງຂ້ໍມນູ ຈາກນອ້ ຍຫາໃຫ່ຍໄດ້ດັ່ງນ.້ືີ ຕາແໜ່ງ 1 2 3 45 6 ຂໍ້ມູນ 48 56 58 72 84 96 ເນ່ອິ ງຈາກ N  6 ເປນັ ເລກຄູ່ 26

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1 ຈະໄດ້ຕາແໜງ່ ຂອງມັດທະຍາຖານແມ່ນ N  6  3 ແລະ N  2  6  2  8  4 22 2 22 ດັງ່ ນື້ນັ , ຄ່າມັດທະຍາຖານຂອງຄະແນນສອບເສັງຂອງນັກສກຶ ສາແມນ່ 58  72  130  65 22 2.3.2 ການຊອກຫາຄ່າມດັ ທະຍາຖານສາລັບຂ້ໍມູນໃນຮູບແບບຕາຕະລາງຄວາມຖ.ີ່ິ  N  F  ການຊອກຫາຄ່າມັດທະຍາຖານມີສດູ ຄດິ ໄລ່ດງັ່ ນີື້ Med  L  I  2 f  L ແມນ່ ຂອບເຂດຈາກດັ ເບ່ິອງລ່ມຂອງຊ້ນັື ທມິີ່ ີມັດທະຍາຖານ F ແມນ່ ຄ່າຄວາມຖສີິ່ ະສົມຊະນິດນ້ອຍກອ່ ນຊ້ັນື ທິີ່ມີມັດທະຍາຖານ 1 ຊັນື້ f ແມນ່ ຄວາມຖີຂິ່ ອງຊືັນ້ ທມີ່ິ ີມດັ ທະຍາຖານ I ແມ່ນຄວາມກວ້ າງຂອງຊັືນ້ ທມ່ິີ ີຄ່າມັດທະຍາຖານ ຕວົ ຢາ່ ງ 2.3.2.1. ຂ້ໍມູນໃນຕາຕະລາງລມ່ ນແືີ້ ມນ່ ຄະແນນສອບເສັງກາງພາກວິຊາສະຖຕິ ິຂອງນັກສຶກສາ ໃນວິທະ ຍາໄລແຫງ່ ໜິງ່ຶ ຈານວນ 65 ຄນົ . (ຄະແນນ25%) ຕາຕະລາງ: ສະແດງຄະແນນສອບເສງັ ກາງພາກຂອງນກັ ສກຶ ສາ. ຊ່ວງຄະແນນ ຈານວນນກັ ສຶກສາ ໜ້ອຍກວ່າ 5 4 5–7 5 8 – 10 9 11 – 13 12 14 – 16 18 17 – 19 13 3 20 - 22 1 ຫາຍກວ່າ 22 ຈງັົ່ ຊອກຫາຄ່າມັດທະຍາຖານຂອງຂໍ້ມນູ ດັ່ງກ່າວ ບົດແກ້: ຊນັ້ື ຊ່ວງຄະແນນ ຈານວນນັກສກຶ ສາ ຄວາມຖສີ່ິ ະສມົ ຊະນດິ ນອ້ ຍກວ່າ K  (ຂດີ ຈາກັດ) f  F  1 ໜ້ອຍກວ່າ 5 4 4 9 2 5–7 5 18 30 3 8 – 10 9 4 11 – 13 12 27

Aeleng VIXAYSOUVANH 18 ສະຖິຕິ 1 13 5 14 – 16 3 48 6 17 – 19 1 61 7 20 - 22 64 8 ຫາຍກວ່າ 22 65 ຊອກຄ່າ N  65  32.5 ແລ້ວສັງເກດເບິ່ງວ່າຊັ້ືນໃດແມ່ນຊັ້ືນທາອິດທີິ່ມີຄວາມຖີ່ິສະສົມຫາຍກວ່າ 22 32.5 ຈະແມ່ນຊນ້ືັ ທມິ່ີ ມີ ັດທະຍາຖານ, ເຊິ່ງໃນນແ້ືີ ມ່ນຊ້ນັື ທ່ີິ 5 ມີຄວາມຖີ່ິສະສົມແມນ່ 48 ໃນນນັ້ື L  13 14  27  13.5 ແມ່ນຂອບເຂດຈາກັດເບິ່ອງລ່ມຂອງຊນ້ືັ ທິີ່ມມີ ັດທະຍາຖານ 22 ສ່ວນຂອບເຂດຈາກັດເບ່ິອງເທິງຂອງຊືັ້ນທິີ່ມມີ ັດທະຍາຖານເທ່ົັາ 16 17  33  16.5 22 I  ຂອບເຂດຈາກດັ ເບອິ່ ງເທງິ ຂອງຊັື້ນທີິ່ມີ Med - ຂອບເຂດຈາກດັ ເບິ່ອງລ່ມຂອງຊັ້ືນທິ່ີມີ Med I  16.5  13.5  3 F  30 f  18 ຈາກສູດ Med  L  I  N  F   13.5  3 32.5  30 2  f 18 Med 13.5  3 32.5  30 18  13.5  3 2.5 18  13.5  7.5 18  243  7.5 18  13.916 ດັ່ງນື້ນັ , ຄະແນນມດັ ທະຍາຖານຂອງນັກສຶກສາຈານວນ 65 ຄນົ ນແ້ີື ມ່ນ 13.916 ຕວົ ຢາ່ ງ 2.3.2.2. ຈົັງ່ ຊອກຫາ Med ຈາກຂ້ໍມູນລ່ມນື້ີ: ຂດີ ຈາກັດຂອງຊັື້ນ ຄວາມຖີ່ິ 3–5 7 8 6–8 9 9 – 11 18 12 – 14 8 15 – 17 28

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1 ບດົ ແກ:້  ຊອກຫາ Med N  50  25 22 L  11 12  11.5 2  14  15 2  14.5 I  14.5 11.5  3 F  24 f  18 N F Med  L  I 2 f  11.5  3 25  24 18 11.5  3 18  207  3 18 Med  11.66 ກິດຈະກາ: 1. ຈົັ່ງຊອກມັດທະຍາຖານຂອງຂໍ້ມູນຕ່ໍໄປນີ.ື້  ຂມໍ້ ູນ A: 3 , 4 , 7 , 5 , 3 , 6 , 2 , 1 , 1  ຂມ້ໍ ນູ B: 4 , 5 , 2 , 6 , 1 , 7 2. ຈົງັ່ ຄິດໄລ່ ມດັ ທະຍາຖານຂອງຂ້ໍມູນຈາກຕາຕະລາງຄວາມຖີຕິ່ ່ໍໄປນື້.ີ ຂດີ ຈາກັດຂອງຊ້ືັນ ຄວາມຖີ່ິ 34 – 41 3 42 – 49 4 50 – 57 8 58 – 65 10 66 – 73 8 74 – 81 4 82 – 89 3 ລວມ 40 29

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1 2.4 ຄ່າຖານນຍິ ົມ. Mode ຄາ່ ຖານນິຍມົ ຂອງຂ້ໍມູນຊຸດໜຶິ່ງແມ່ນ ຄ່າຂ້ໍມູນທີິ່ມີຄວາມຖີິ່ສູງສດໃນຊຸດຂ້ໍມູນຊຸດນັື້ນໆ ການຊອກຫາ ຄາ່ ຖານນຍິ ົມແມ່ນມີວິທີການຊອກຢູ່ 2 ວິທີຕາມແຕ່ລະກລະນີດັງ່ ນີ້ື: 2.4.1. ການຊອກຄ່າຖານນິຍົມສາລບັ ຂ້ໍມູນດິບ. ຄາ່ ຖານນຍິ ົມຂອງຂໍ້ມູນຊຸດໜຶ່ິງແມ່ນ ຄ່າທີິ່ເກີດຂຶ້ືນຊ້າກັນຫາຍກວ່າໝູ່ໃນຂ້ໍມູນຊຸດນັື້ນ. ເຊິ່ງຂໍ້ມູນຊຸດ ໜຶ່ິງອາດຈະມຄີ ່າຖານນິຍົມ 1 ຄາ່ ຫ ຫາຍກວ່າ 1 ຄ່າ ຫ ອາດຈະບມ່ໍ ີຄາ່ ຖານນິຍົມກໄດ້. ຖ້າຂໍ້ມູນຊຸດໜຶ່ິງບໍ່ມີຄ່າຊ້າກັນ ຫ ມີຄ່າຊ້າກັນແຕ່ວ່າມີຈານວນຊ້າກັນເທົ່ັາກັນໝົດທັງຊຸດຈະບໍ່ມີຖານ ນິຍົມ. ຕົວຢ່າງ 2.4.1.1. ຈງັົ່ ຊອກຫາຖານນຍິ ົມ ຈາກຊຸດຂມໍ້ ູນລ່ມນີ:້ື  ຊດຸ ຂ້ໍມນູ A: 2 , 3 , 1 , 6 , 1 , 5 , 4 , 1 , 4 , 1 , 4 , 3 , 2  ຂ້ໍມູນຊດຸ B: 5 , 6 , 9 , 3 , 1  ຂ້ໍມນູ ຊຸດ C: 4 , 7 , 2 , 8 , 4 , 2 , 8 , 7  ຂໍ້ມນູ ຊດຸ D: 0 , 5 , 1 , 0 , 4 , 5 , 3 ບົດແກ້:  ຊດຸ ຂໍ້ມູນ A: ຄ່າຖານນິຍົມຂອງຂ້ໍມູນນີ້ື ແມ່ນ 1 ຍ້ອນວ່າ 1 ເປັນຕົວເລກທີິ່ເກີດຊ້າກັນຫາຍທີ່ິສດຄ ປະກົດມີ 4 ຄງືັ້ Mode  1  ຂໍ້ມນູ ຊຸດ B , C: ຂໍ້ມູນທງັ ສອງຊດຸ ນື້ີແມ່ນບມໍ່ ີຖານນິຍມົ .  ຂ້ໍມູນຊຸດ D: ຄ່າຖານນິຍົມຂອງຂ້ໍມູນນີ້ື ແມ່ນ 0 ແລະ 5 ຍ້ອນວ່າ 0 ກັບ 5 ເປັນຕົວເລກທີິ່ເກີດຊ້າ ກັນຫາຍທສິ່ີ ດ. 2.4.2. ການຊອກຫາຄ່າຖານນຍິ ົມສາລັບຂ້ໍມນູ ໃນຮູບແບບຕາຕະລາງຄວາມຖ.ີິ່ ຊັ້ືນທີ່ິມີຖານນິຍົມແມ່ນຊັື້ນທີິ່ມີຄວາມຖີິ່ສູງກວ່າໝູ່ ການຊອກຫາຄ່າຖານນິຍົມສາມາດຄິດໄລ່ໄດ້ຈາກ ສດູ . Mode  L  I 1 1  2 L ແມ່ນຂອບເຂດຈາກັດເບ່ອິ ງລມ່ ຂອງຊືນ້ັ ທມີິ່ ີຖານນິຍົມ 1 ແມນ່ ຜນົ ລົບລະຫວ່າງຄວາມຖີຂິ່ ອງຊືນ້ັ ທີ່ິມີຖານນິຍມົ ກບັ ຄວາມຖີິ່ຂອງຊັນື້ ກ່ອນຊືນັ້ ທີ່ິມີຖານນຍິ ົມໜ່ງຶິ ຊັນ້ື 2 ແມນ່ ຜນົ ລບົ ລະຫວາ່ ງຄວາມຖຂີ່ິ ອງຊ້ືັນທມີິ່ ີຖານນິຍົມກັບຄວາມຖີ່ິຂອງຊັນ້ື ຫງັ ຊນັ້ື ທ່ີິມຖີ ານນິຍົມໜິ່ງຶ ຊນືັ້ . I ແມນ່ ຄວາມກວ້ າງຂອງຊນ້ືັ ທມ່ິີ ຖີ ານນຍິ ົມ ຕົວຢ່າງ 2.4.2.1 ຈາກການວດັ ແທກລວງສູງຂອງນັກສຶກສາຈານວນ 50 ຄນົ ແລະ ໄດ້ຂ້ໍມູນດັ່ງຕາຕະລາງລ່ມນ້ືີ (ຫັວໜ່ວຍ: ຊງັ ຕີແມດັ ) 30

Aeleng VIXAYSOUVANH ລວງສງູ (ຊງັ ຕີແມດັ ) ສະຖິຕິ 1 140 – 144 ຊື້ນັ ທີ 145 – 149 ຄວາມຖີິ່ 1 150 – 154 3 2 155 – 159 6 3 160 – 164 10 4 165 – 169 12 5 170 – 174 8 6 7 7 ລວມ 4 N  50 ບົດແກ້: ຈາກຕາຕະລາງ ຊນັື້ ທມີ່ິ ຄີ ວາມຖສີິ່ ງູ ສດແມນ່ ຊນັ້ື ທ່ີິ 4 ຈາກສດູ Mode  L  I 1 1  2 ຂອບເຂດເບິ່ອງລູ່ມຂອງຊືັ້ນທິ່ີມີຖານນິຍົມ L  154 155  309  154.5 22 ຂອບເຂດເບິອ່ ງເທິງຂອງຊື້ນັ ທ່ີິມີຖານນິຍົມ L  159 160  319  159.5 22 I  159.5 154.5  5 1  12 10  2 2  12  8  4 ແທນຄ່າເຂົາ້ື Mode 154.5  5 2 24  154.5  10 6  927 10 6  937 6  156.166 ດັ່ງນນ້ືັ , ຄ່າຖານນິຍມົ ຂອງລວງສູງນັກສກຶ ສາຈານວນ 50 ຄົນ ແມ່ນ 156.166 cm ຕວົ ຢາ່ ງ 2.4.2.2 ຈງ່ົັ ຊອກຫາ Mode ຈາກຂໍ້ມູນລ່ມນ້:ີື ຂດີ ຈາກັດຂອງຊັ້ືນ ຄວາມຖ່ິີ 5–7 5 8 – 10 10 31

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1 11 – 13 18 14 – 16 13 17 – 19 4 ບດົ ແກ:້  ຊອກຫາ Mode L  10  11  10.5 2  13  14  13.5 2 I  13.5  10.5  3 1  18  10  8 2  18  13  5 Mode  L  I 1 1  2  10.5  3 8 85  10.5  24 13 Mode 12.346 ກິດຈະກາ: 1. ຈ່ງົັ ຊອກຫາຖານນຍິ ມົ ຈາກຊດຸ ຂໍມ້ ູນລ່ມນື້ີ:  ຊຸດຂ້ໍມນູ A: 3 , 3 , 7 , 2 , 3 , 4 , 8 , 9  ຂໍ້ມູນຊດຸ B: 4 , 1 , 8 , 2 , 6 , 5 , 10 , 11  ຂໍ້ມນູ ຊຸດ C: 3 , 7 , 4 , 8 , 4 , 7 , 2 , 1 , 4 , 7 2. ຈ່ງັົ ຄິດໄລ່ ຖານນິຍມົ ຈາກຕາຕະລາງຄວາມຖີິ່ຂອງຂໍ້ມນູ ຕໄ່ໍ ປນ.ີື້ ຂດິ ຈາກັດຂອງຊື້ັນ ຄວາມຖິີ່ 34 – 41 3 42 – 49 4 50 – 57 8 58 – 65 10 66 – 73 8 74 – 81 4 82 – 89 3 2.5. ຄ່າຜນັ ປຽ່ ນ ແລະ ຄ່າຜັນປຽ່ ນມາດຖານ. 32

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1 2.5.1 ຄ່າຜນັ ປ່ຽນ. Variance ຄ່າຜັນປ່ຽນເປັນຄ່າທີິ່ໃຊ້ວັດການແຈກຢາຍຂອງຂ້ໍມູນທີິ່ນິຍົມໃຊ້ຫາຍທີ່ິສດ ໂດຍທີິ່ຄ່າຜັນປ່ຽນຈະ ພຈິ າລະນາຈາກ ຜນົ ລວມຂອງຄ່າແຕກຕ່າງລະຫວາ່ ງຄ່າຂອງຂໍ້ມູນແຕ່ລະຄ່າກັບຄ່າສະເລ່ຍ, ຖ້າຄ່າແຕກຕ່າງນັ້ືນ ຫາຍສະແດງວ່າຂໍ້ມູນມກີ ານແຈກຢາຍຫາຍ. ຄາ່ ແຕກຕ່າງລະຫວ່າງຄ່າຂອງຂ້ໍມູນກັບຄ່າສະເລ່ຍອາດ ຈະເປັນຄ່າ ບວກ ຫ ຄ່າລບົ ກ່ໍໄດ້ແລ້ວແຕ່ຄາ່ ສະເລ່ຍຈະຫາຍກວາ່ ຫ ນ້ອຍກວ່າຄ່າຂອງຂ້ໍມູນ ຜົນລວມຂອງຄາ່ ແຕກຕ່າງທ່ິີ ເປນັ ບວກ ແລະ ລບົ ອາດຈະກາຍເປນັ ສູນ ເຮັດໃຫ້ຜູ້ວິເຄາະຄາດວ່າ ຂໍມ້ ູນບມ່ໍ ີການແຈກຢາຍເລີຍ. ໝາຍເຫດ: ຄາ່ ຜັນປ່ຽນຂອງປະຊາກອນ ເພີ່ນິ ສນັ ຍາລັກດວ້ ຍ  2 ແລະ ຕວົ ຢາ່ ງແມ່ນ S 2 ກ. ຄາ່ ຜັນປ່ຽນສາລບັ ຂ້ໍມູນດິບ.  N  2  i1  N N X i     2  i1 i1 Xi   2 X 2  N  i NN ຂ. ຄ່າຜນັ ປຽ່ ນຂອງຕວົ ຢາ່ ງ N   N  2 i1  i1  N Xi  X 2 ສາລບັ ຂ້ໍມນູ ດບິ S 2  i1 N 1      N X 2 X i i ຫ S2  N N 1 N N  N 2  i1  fi Xi  X 2 N ສາລບັ ຂໍ້ມນູ ແບບຕາຕະລາງຄວາມຖີ່ິ S 2  i1 i1 N 1       fi X 2  f i X i i ຫ S2  N N 1 ຕວົ ຢ່າງ 2.5.1.1 ຈ່ງົັ ຊອກຫາຄາ່ ຜັນປ່ຽນຂອງຂ້ໍມູນຕ່ໍໄປນ:ີ້ື 5 , 4 , 3 , 1 , 3 ວິທີແກ້: N  X i   2 ນາໃຊ້ສດູ  2  i1 N N - ຊອກ  Xi  5  4  3 1  3  3.2 i1 N5  2  5  3.22  4  3.22  3  3.22  1  3.22  3  3.22 5  25 10.24  16 10.24  9 10.24  1 10.24  9 10.24 5  14.76  5.76 1.24  9.24 1.24 5  8.8 5  1.76 33

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1  ຫ N X 2   N 2 i1 i   Xi ນາໃຊສ້ ດູ 2  i1 N N 25 16  9 1 9 5  4  3 1 32 5 2  5 60  162 60  256 60  5  256 300  256 44  44  1.76 5 5 5  5 5 5  55 5 5 5 25 ດງ່ັ ນືັ້ນ, ຄາ່ ຜນັ ປຽ່ ນຂອງຂໍ້ມນູ ດັງ່ ກວາ່ ແມນ່ 1.76 ຕວົ ຢ່າງ 2.5.1.2. ຂ້ໍມູນຕໍ່ໄປນີື້ແມ່ນຂໍ້ມູນຕົວຢ່າງ 12 , 6 , 15 , 3 , 12 , 6 , 21 , 15 , 18 , 12 ຈົ່ັງຊອກຫາ ຄາ່ ຜນັ ປ່ຽນຂອງຂໍ້ມູນຊຸດນ.ືີ້ ວທິ ີແກ້. N X i  X 2  ນາໃຊ້ສດູ S 2  i1 N 1 - ຊອກ X  12  6 15  3 12  6  21 15 18 12  120  12 10 10 Xi Xi  X (Xi  X )2 12 0 0 6 -6 36 15 3 9 3 -9 81 12 0 0 6 -6 36 21 9 81 15 3 9 18 6 36 12 0 0  10 2 Xi  X  288 i1 S 2  288  288  32 10 1 9 ດ່ັງນັື້ນ, ຄ່າຜນັ ປ່ຽນຂອງຂ້ໍມນູ ຊຸດນແື້ີ ມນ່ 32 34

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1   ຫ N N X 2   N Xi 2 i1 i  i1  ນາໃຊສ້ ູດ S2  N N 1  S2  10 122  62  152  ....  182  122  12  6 15 ... 122 1010  9  10144  36  225  9 144  36  441  225  324 144  1202 10  9  10 1728 14400 90  2880 90  32 ດັ່ງນນ້ືັ , ຄາ່ ຜັນປຽ່ ນຂອງຂໍ້ມູນຊຸດນແີື້ ມນ່ 32 ຕວົ ຢາ່ ງ 2.5.1.3. ເມ່ິອເລ່ິອກເອົານັກສກຶ ສາຊາຍຈານວນ 100 ຄົນ ເພ່ິອສອບຖາມລວງສູງແລ້ວຈັດເປັນຕາຕະ ລາງຄວາມຖໄີິ່ ດ້ດ່ັງນ:ືີ້ ລວງສງູ ຂອງສຶກສາຊາຍ (ຊັງຕີແມດັ ) ຈານວນ 135 - 144 5 145 - 154 18 155 - 164 42 165 - 174 27 175 - 184 8 ລວມ 100 ເມ່ອິ ຮວູ້ າ່ ລວງສູງສະເລຍ່ ຂອງນກັ ສຶກສາຊາຍເຫົ່ັານັ້ືນເທົ່ັາ 161 ຊັງຕີແມັດ. ຈົັ່ງຊອກຫາຄ່າຜັນປ່ຽນຂອງ ນກັ ສຶກສາຊາຍເຫ່ົັານືັນ້ .   N fi Xi  X 2 ວທິ ີແກ້: ເຮາົ ມີ X  161 cm ແລະ ນາໃຊ້ສດູ S 2  i1 N 1 ຂອບເຂດຈາກດັ ເມດັ ກາງ ຄວາມຖີິ່ Xi  X (Xi  X )2 fi(Xi  X )2 134.5 – 144.5 Xi fi -21.5 462.25 2311.25 2380.5 139.5 5 94.5 1950.75 144.5 – 154.5 149.5 18 -11.5 132.25 154.5 – 164.5 159.5 42 -1.5 2.25 164.5 – 174.5 169.5 27 8.5 72.25 35

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1 174.5 – 184.5 179.5 8 18.5 342.25 2738   5 fi X i  X 2  9475 i1 S 2  9475  9475  95.707 100 1 99 ດງ່ັ ນ້ືັນ, ຄາ່ ຜັນປຽ່ ນຂອງນັກສກຶ ສາຊາຍແມ່ນ 95.707 (ຊງັ ຕແີ ມັດ) N  N  2  i1    ຫ N fi X 2  f i X i i i1 ນາໃຊ້ສດູ S2  N N 1 ຂອບເຂດຈາກດັ ເມັດກາງ ຄວາມຖີ່ິ Xi2 fi Xi2 fi Xi 134.5 – 144.5 Xi fi 19460.25 97301.25 697.5 2691 139.5 5 6699 4576.5 144.5 – 154.5 149.5 18 22350.25 402304.5 1436 154.5 – 164.5 159.5 42 25440.25 1068491 n 164.5 – 174.5 169.5 27 28730.25 775716.8  fi Xi 16100 174.5 – 184.5 179.5 8 32220.25 257762 i1 n  fi Xi2  2601575 i1 S2  1002601575   16100 2 100100 1  260157500  259210000 9900  947500 9900  95.707 ດັ່ງນ້ືັນ, ຄາ່ ຜັນປຽ່ ນຂອງນັກສຶກສາຊາຍແມ່ນ 95.707 (ຊັງຕີແມດັ ) ກິດຈະກາ. 1. ຈົງັ່ ຊອກຫາຄາ່ ຜັນປ່ຽນຂອງຂໍມ້ ູນລູ່ມນ້ີື:  ຊຸດທີ 1: 9 , 10 , 9 , 11 , 10 , 11 , 10  ຊດຸ ທີ 2: 9 , 9 , 10 , 8 , 11 , 12 , 11 2. ເລອິ່ ກຕົວຢາ່ ງນັກສຶກສາຈານວນ 5 ຄົນ ຈາກສະຖາບັນການສຶກສາແຫ່ງໜຶ່ິງ ມາຊັ່ງນື້າໜັກໄດ້ຂ້ໍມູນດັ່ງນີ້ື: 50 60 45 70 40 ກິໂລກຣາມ. ຈົັງ່ ຊອກຫາຄ່າຜນັ ປ່ຽນນ້າື ໜັກຂອງນກັ ສຶກສາ 5 ຄນົ ນີື້. 2.5.2 ຄາ່ ຜນັ ປ່ຽນມາດຖານ ( Standard Deviation ) 36

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1 ການວດັ ແທກການແຈກຢາຍຂ້ໍມູນທີິ່ຖວ່າດີທີິ່ສດແມ່ນຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຖານ ການຄິດໄລ່ບໍ່ຫຍ້ງຍາກ, ໃຊຂ້ ໍ້ມນູ ທກຕວົ . ສະນື້ນັ , ໃນການວັດແທກການແຈກຢາຍຂ້ໍມູນດ້ວຍຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານຈິ່ງຖກນິຍົມໃຊ້ ຫາຍທ່ີິສດ. ຄາ່ ຜັນປຽ່ ນມາດຖານຊອກໄດ້ຈາກການຖອນຮາກຂັ້ນື ສອງຂອງຄາ່ ຜນັ ປ່ຽນ. ຖ້າແມນ່ ຄາ່ ຜັນປຽ່ ນມາດ ຖານຂອງປະຊາກອນສນັ ຍາລກັ ດວ້ ຍ  (ອ່ານວາ່ ຊິກມາ) ແຕ່ຖ້າແມ່ນຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຖານຂອງຕົວຢ່າງສັນຍາ ລັກດ້ວຍ S ຫ S. D ກ. ໃນກລະນີຂ້ໍມນູ ດິບ. N N   N 2 i1  i1  X i   2 i1 N   - ສາລບັ ປະຊາກອນ SD    N X 2 Xi i ຫ SD    N2 N N   N 2 i1  i1  Xi  X 2 i1 N 1     - ສາລບັ ຕວົ ຢ່າງ SD  S  N X 2 Xi i ຫ SD  S  N N 1 ສູດການຊອກຫາຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຖານຂອງຕົວຢ່າງຈະແຕກຕ່າງ ຈາກສູດການຊອກຫາຄ່າຜັນປ່ຽນ ມາດຖານຂອງປະຊາກອນທໃິີ່ ຊ້ N 1 ຫານກໍ່ຍ້ອນວ່າ ການຊອກຫາຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຖານຈາກຕົວຢ່າງແມ່ນ ເພິ່ອສະຫບຸ ອ້າງອີງເຖງິ ປະຊາກອນເຊ່ງິ ມີຄວາມຄາດເຄິ່ອນຢເູ່ ລັກນ້ອຍ. ດັ່ງນືນັ້ , ຈາເປັນຕອ້ ງແກ້ໄຂຄວາມຄາດ ເຄອິ່ ນນໂີື້ ດຍໃຊ້ມິຕເິ ອກະລາດ N 1 ແທນ. ຂ. ກລະນີຂ້ໍມູນແບບຕາຕະລາງຄວາມຖ.ີິ່ k  k fi X 2   k fi X i 2 i  i1   fi X i   2 N - ສາລບັ ປະຊາກອນ SD    i1 ຫ SD    i1 N N2   k  k fi X 2   k fi X i 2 fi Xi  X 2 i  i1  N - ສາລບັ ຕວົ ຢາ່ ງ SD  S  i1 ຫ SD  S  i1 N 1 N N 1 Xi ແມ່ນເມດັ ກາງຂອງຊ້ັືນທີ i fi ແມນ່ ຄວາມຖ່ີິຂອງຊັື້ນທີ i N ແມນ່ ຈານວນຂ້ໍມູນ k ແມ່ນຈານວນຊ້ນັື ຕົວຢ່າງ 2.5.2.1. ຈົ່ັງຊອກຫາຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຖານລວງສູງຂອງນັກສຶກສາຈານວນ 5 ຄົນດັ່ງຕ່ໍໄປນີື້. (ຫົວ ໜ່ວຍ: ຊັງຕເີ ມັດ) 162 , 170 , 173 , 158 , 164 ບົດແກ້: 37

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1 N X i  X 2  ນາໃຊສ້ ດູ S  i1 N 1 N - ກ່ອນອິ່ນຊອກ X  Xi  162  170  173  158  164  827  165.4 i1 N 55 S  162 165.42  170 165.42  173 165.42  158 165.42  164 165.42 5 1  113.16  1542 .84  2571.84   2393.16   461.16 4  147 .2 4  6.0663 ສະນັື້ນ, ຄ່າຜັນປຽ່ ນມາດຖານຂອງລວງສງູ ນັກສກຶ ສາ 5 ຄົນດງ່ັ ກາ່ ວເທັົ່າກັບ 6.0663 ຊງັ ຕີແມັດ. N   N  2 i1  i1   ຫ N X 2 X i i ນາໃຊສ້ ດູ SD  S  N N 1  S  5 1622  1702  1732  1582  1642  162 170 173 158 1642 55 1 S  526244  28900  29929  24964  26896  8272 54  5136933  683929 20  36.8  6.0663 ສະນນັື້ , ຄາ່ ຜັນປ່ຽນມາດຖານຂອງລວງສງູ ນກັ ສກຶ ສາ 5 ຄນົ ດັ່ງກວາ່ ເທົາ່ັ ກັບ 6.0663 ຊັງຕີແມດັ . ຕວົ ຢາ່ ງ 2.5.2.2. ຈົັງ່ ຊອກຫາຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຖານຈາກຕາຕະລາງຕໍ່ໄປນ.້ືີ ຂດີ ຈາກັດ ຄວາມຖີ່ິ 60 – 64 4 55 – 59 6 7 50 – 54 5 45 – 49 ວິທີແກ້:   k fi Xi  X 2 ສາ້ ງຕາຕະລາງຄາ່ ຕາ່ ງໆທິ່ີຈະໃຊເ້ ຂ້ົືາໃນສດູ . S  i1 N 1 38

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1 ຄວາມຖີ່ິ ເມັດກາງ    fi Xi  fi X i  X 2 ຂດີ ຈາກັດ X Xi  X Xi  X 2 60 – 64  fi  Xi  253.0992 248 54.0454 7.9545 63.2748 4 62 55 – 59 6 57 342 54.0454 2.9545 8.7293 52.37603 50 – 54 7 52 364 54.0454 -2.0455 4.1839 29.28719 45 – 49 5 47 235 54.0454 -7.0455 49.6384 248.1921   k fi X i  X 2  582.9545 i1 k  fi Xi - ຊອກຫາ X  i1 N X  4 62 6 57 7  52 5  47  248  342  364  235  1189  54.0454 4675 22 22 ຈາກສດູ S  582.9545  5.2687 21 ດ່ງັ ນືັ້ນ, ຄາ່ ຜັນປ່ຽນມາດຖານແມນ່ 5.2687  kfiX 2   k fi X i 2 i  i1  N ຫ ສ້າງຕາຕະລາງຄ່າຕາ່ ງໆທ່ີິຈະໃຊເ້ ຂ້ົືາໃນສູດ SD  S  i1 Xi2 N N 1 3844 ຂອບເຂດຈາກັດ ຄວາມຖີິ່ ເມດັ ກາງ fi Xi2 fi Xi 60 – 64 248 fi Xi 15376 4 62 55 – 59 6 57 3249 19494 342 50 – 54 45 – 49 7 52 2704 18928 364 5 47 2209 11045 235 k k  fi X i  64843  fi X i  1189 i1 i1 S 22  64843  11892 2222 1  1426546 1413721 462  5.2687 ດັ່ງນືັ້ນ, ຄາ່ ຜນັ ປ່ຽນມາດຖານແມນ່ 5.2687 39

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1 ກດິ ຈະກາ. 1. ຈົັ່ງຊອກຫາຄາ່ ຜນັ ປ່ຽນມາດຖານຂອງຂ້ໍມນູ ແຕ່ລະຊດຸ ລ່ມນື້ີ:  ຊດຸ ຂໍ້ມູນ A: 2 , 4 , 7 , 8 , 7 , 2  ຊຸດຂໍ້ມນູ B: 128 , 123 , 127 , 124 , 130 2. ຈັົ່ງຊອກຫາຄາ່ ຜນັ ປ່ຽນມາດຖານຂອງຄະແນນສອບເສັງຂອງນກັ ສກຶ ສາປສີ ດທ້າຍຈານວນ 20 ຄົນ ເຊິງໄດ້ ຄະແນນດງ່ັ ນືີ້: ຄະແນນ ຄວາມຖີ່ິ 0-2 2 3-5 5 6-8 4 9 - 11 7 12 - 15 2 2.6. ຄວາມສາພັນລະຫວ່າງຄ່າສະເລຍ່ , ມດັ ທະຍະຖານ ແລະ ຖານນຍິ ມົ . ຄວາມສາພັນລະຫວາ່ ງຄ່າສະເລ່ຍ, ມັດທະຍະຖານ ແລະ ຖານນິຍົມ ຈະມີປະໂຫຍດຫາຍໃນການໃຊ້ວັດ ຄວາມເບ້ (skewness) ເຊິງ່ ເປນັ ຕວົ ເລກທິີບ່ ົ່ັງບອກເຖິ່ງລະດັບຂັ້ືນຂອງ (degree of asymmetry) ຂອງໂຄ້ງ ທໄີິ່ ດ້ຈາກການແຈກຢາຍຄວາມຖ່ີິຂອງຂມ້ໍ ູນຊຸດໃດຊຸດໜ່ງິຶ ຂໃຫ້ພຈິ າລະນາເສື້ັນສະແດງຕ່ໍໄປນ:້ືີ ເສືັນ້ ສະແດງການແຈກຢາຍຂອງຂໍ້ມູນທິມ່ີ ີລກັ ສະນະເຄງິ່ ຄ ເສັື້ນສະແດງການແຈກຢາຍຂອງຂ້ມໍ ູນທ່ີິມີລັກສະນະເບຂ້ ວາ 40

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1 ເສນັື້ ສະແດງການແຈກຢາຍຂອງຂໍມ້ ູນທ່ີິມີລກັ ສະນະເບຊ້ າຍ ທາງສະຖຕິ ິ ຄວາມສາພນັ ລະຫວ່າງຄາ່ ສະເລ່ຍ, ມດັ ທະຍະຖານ ແລະ ຖານນຍິ ົມ ຄ: X  Mode 3X  Med ແລະ ຄວາມເບ້  X  Mode ຫ ຄວາມເບ້  3X  Med SS ເມອ່ິ S ໝາຍເຖິງຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຖານ ຈາກສູດຂອງຄວາມເບ້ຂ້າງຕົື້ນສະແດງວ່າ ຄວາມເບ້ກໍ່ຄ ຄ່າທ່ິີ ບອກເຖິງຜົນຕາ່ ງລະຫວາ່ ງຄ່າສະເລ່ຍ ແລະ ຖານນິຍົມ ວ່າເປັນຈັກເທົັ່າຂອງຄ່າສະເລ່ຍມາດຖານຂອງຂໍ້ມູນຊຸດ ໃດຊຸດໜງຶິ່ ນ້ືັນເອງ. 1. ຖາ້ X  Med  Mode ຈະໄດຄ້ ່າຄວາມເບເ້ ທົັ່າກັບ 0 ແລະ ໂຄ້ງການແຈກຢາຍຄວາມຖີ່ິມີລັກສະນະເຄິ່ງ ຄ. 2. ຖ້າ X  Med  Mode ຈະໄດ້ຄ່າຄວາມເບເ້ ປນັ ບວກ (+) ສະແດງວ່າໂຄ້ງການແຈກຢາຍຄວາມຖີິ່ເບ້ທາງ ຂວາ. 3. ຖ້າ X  Med  Mode ຈະໄດ້ຄ່າຄວາມເບ້ເປັນລົບ (-) ສະແດງວ່າໂຄ້ງການແຈກຢາຍຄວາມຖີ່ິເບ້ທາງ ຊ້າຍ. ອີກຢ່າງໜຶິ່ງຍັງມີການວັດຄວາມເບ້ໂດຍວິທີອ່ິນອີກ ແຕ່ຈະບ່ໍຂແນະນາໃນທີ່ິນີ້ື ຈາກທີ່ິໄດ້ສຶກສາເລ່ິອງ ການວັດແນວໂນມເຂ້ືົາສສູ່ ່ວນກາງ ທັງຄ່າສະເລ່ຍ, ມັດທະຍະຖານ ແລະ ຖານນິຍົມ ໃນການວິໄຈມັກຈະພົບຂ້ໍ ຄາຖາມສະເໝວີ ່າເຮາົ ຈະໃຊ້ການວັດແບບໃດຈຶິ່ງຈະເໝາະສົມ ຂໍ້ສະເໜີແນະຄຜູ້ວິໄຈຕ້ອງຮູ້ເຖິ່ງລະດັບການວັດ ຂອງຄ່າຜັນປ່ຽນນັື້ນກ່ອນ ວ່າເປັນການວັດໃນໝວດໃດຄ: ໝວດພາກສ່ວນ ຫ ໝວດລຽນລາດັບ ຫ ໝວດ ຫວ່າງ ຫ ໝວດອດັ ຕາສ່ວນ ແລວ້ ຈິ່ງເລອກສະຖຕິ ິທີິ່ຖກຕ້ອງຕາມຂ້ໍຕົກລົງເບິ່ອງຕົື້ນທີິ່ກ່າວໄວ້ແລ້ວ ກ່າວເຖິ່ງ ການທີ່ເິ ຮາົ ຈະໃຊ້ຄ່າສະເລ່ຍໄດ້ຂໍ້ມູນຢູ່ໃນໝວດຫວ່າງຂື້ນໄປ ສ່ວນມັດທະຍະຖານຂໍ້ມູນຕ້ອງຢູ່ໃນໝວດລຽນ ລາດັບຂ້ືນໄປ ສາເລັບຖານນິຍົມໃຊ້ໄດ້ກັບຂໍ້ມູນໃນທກໝວດ ສ່ວນຫາຍແລ້ວການວິໄຈຈະໃຊ້ຄ່າສະເລ່ຍໃນ ການວິເຄາະຂມ້ໍ ນູ ຢູ່ສະເໝີ. 41

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1 ບົດເຝກິ ຫັດ 1. ນກັ ສຶກສາວິທະຍາໄລແຫງ່ ໜິ່ງຶ ອອກແຮງງານເກັບຂືເີ້ ຫຍ້ືອໄດ້ຂ້ໍມູນດ່ງັ ນ້ີື ປີ 4 ໄດ້ 35kg , ປີ 3 ໄດ້ 32 kg ປີ 2 ໄດ້ 30 kg , ປີ 1 ໄດ້ 35 kg ຈງັົ່ ຊອກຫາຈານວນຂີື້ເຫຍ້ືອທິີເ່ ກັບໄດ້ທັງໝົດ ແລະ ຂີື້ເຫຍ້ືອສະເລ່ຍຕໍ່ປີ ຮຽນ. 2. ໃຫຕ້ າຕະລາງຂ້ມໍ ູນລ່ມນີ້ື: ຄ່າແຮງງານຕໍຊ່ ັົວ່ ໂມງ ຈານວນຊົ່ວັ ໂມງ 25 000 ກີບ 40 30 000 ກບີ 30 40 000 ກບີ 15 50 000 ກບີ 10 80 000 ກີບ 5 ຈັົງ່ ຊອກຫາຄ່າແຮງງານທັງໝົດ ແລະ ຄາ່ ແຮງງານສະເລຍ່ . 3. ຖ້າອາຈານຜທູ້ ່ີິສອນວິຊາສະຖຕິ ິ ໃຫນ້ ້າໜັກຄະແນນສອບເສັງເປນັ 3, ຄະແນນກວດກາແຕ່ລະຄືັ້ງເປັນ 1 ຖ້າ ນັກສຶກສາຄົນໜງິຶ່ ສອບເສງັ ໄດ້ຄະແນນ 85 ຄະແນນ ແລະ ກວດກາ 2 ຄ້ງັື ໄດ້ຄະແນນ 70 ແລະ 90 ຄະແນນ ຕາມລາດບັ . ຈັົງ່ ຊອກຫາຄະແນນສະເລຍ່ . 4. ຈາກການສາຫວດລາຍໄດ້ຂອງຄນົ ທມ່ີິ ີອາຊບີ ຕາ່ ງໆ ໄດ້ຂໍ້ມູນລາຍໄດ້ສະເລ່ຍຕເ່ໍ ດອນ ຂອງບກຄນົ ໃນອາຊີບ ຕາ່ ງໆດງ່ັ ຕາຕະລາງລ່ມນີ:້ື ອາຊີບ ຈານວນຕົວຢ່າງ (ຄົນ) ລາຍໄດ້ສະເລ່ຍຕ່ເໍ ດອນ (1000 ກີບ) ຄາ້ ຂາຍ 60 12 000 ພະນກັ ງານລັດ / ລັດວິຊາຫະກດິ 50 7 500 ພະນັກງານທລະກິດເອກະຊົນ 40 9 200 ກາມະກອນໃນໂຮງງານ 30 2 600 ພະນກັ ງານບລິຫານ 40 8 500 ນກັ ວິຊາການ 30 23 000 ຈັ່ງົ ຊອກຫາລາຍໄດ້ສະເລ່ຍຕ່ໍຄົນຕ່ໍເດອນ. 5. ຖາ້ ລາຍໄດ້ຂອງພະນກັ ງານ 5 ຄົນ, ຊ່ິຶງເຮັດວຽກຢ່ບູ ລິສດັ ໜຶ່ິງເປນັ 252 396 328 920 ແລະ 375 ໂດລາ. ຈງ່ັົ ຊອກຫາມັດທະຍາຖານຂອງລາຍໄດ້ພະນັກງານ 5 ຄົນດັ່ງກາ່ ວ. 42

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1 6. ຖາ້ ສອບຖາມລາຍໄດ້ຕໍເ່ ດອນຂອງຄນົ 14 ຄົນ (ຫົວໜວ່ ຍ: 1 000 ກີບ) ໄດ້ຂມ້ໍ ູນດັງ່ ນີື:້ 735 1730 1162 2610 2169 2117 1407 1409 2401 2034 1826 3761 1860 1695 ຈງັ່ົ ຊອກຫາມັດທະຍາຖານຂອງລາຍໄດ້ຂອງຄົນກ່ມນ.ີ້ື 7. ວິທະຍາໄລແຫ່ງໜຶງິ່ ເປີດສອນທັງພາກປົກກະຕິ ແລະ ພາກພເິ ສດ ໃນວຊິ າ ຄະນິດສາດ ອາຈານໃຫນ້ ັກສຶກ ສາຜະລດິ ສ່ກິ ານສອນ ໂດຍໃຫເ້ ວລາຄນົ ລະ 4 ຊ່ັົວໂມງ ຈານວນສກ່ິ ານສອນທິ່ໄີ ດຮ້ ັບຈາກການສູ່ມນັກສຶກສາ ປະເພດລະ 9 ຄົນ ມີດງ່ັ ນ:້ືີ ພາກປົກກະຕິ ພາກພເິ ສດ 6 2 4 4 5 6 8 10 5 9 7 6 6 4 8 3 3 4 ຈ່ົັງຫາມັດທະຍາຖານຂອງຂມ້ໍ ູນແຕ່ລະປະເພດ ແລະ ມດັ ທະຍາຖານຂອງຂ້ໍມູນທັງໝດົ . 8. ຖ້າເລ່ິອກນກັ ສຶກສາມາ 100 ຄົນ ເພອ່ິ ວັດແທກລວງສງູ ຈັົ່ງຄິດໄລ່ ມັດທະຍາຖານລວງສູງຂອງນັກສຶກສາ ຕ່ໍ ໄປນື.ີ້ ລວງສງູ ຂອງນກັ ສກຶ ສາ (ຊງັ ຕແີ ມັດ) ຈານວນນັກສຶກສາ (ຄນົ ) 135 – 144 5 145 – 154 18 155 – 164 42 165 – 174 27 175 – 184 8 100 ລວມ 9. ໃນການສັງເກດລົດແລ່ນຜ່ານຂວົ ໃນເວລາ 7 ໂມງ 00 ນາທີ ຫາ 7 ໂມງ 30 ນາທີ ພາຍໃນ 10 ມ້ືໄດ້ຂໍ້ມູນ ດ່ັງນ້ືີ: 15 ; 18 ; 16 ; 12 ; 15 ; x ; 12 ; 16 ; 20 ; 18 ຈັ່ງົ ຊອກຫາ x ເມອິ່ ຮູ້ ຖານນຍິ ົມຂອງຂມ້ໍ ູນຊຸດນ້ບືີ ່ໍມີ. 10. ໃຫ້ຂໍ້ມນູ ດງັ່ ຕາຕະລາງລ່ມນ້ືີ: 43

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1 ໃຊ້ເວລາ ຈານວນນກັ ຮຽນ 6 00 – 30 ນາທີ 8 10 30 – 60 ນາທີ 7 60 – 90 ນາທີ 6 90 – 120 ນາທີ 5 120 – 150 ນາທີ 150 – 180 ນາທີ ຈງົັ່ ຊອກຫາຖານນິຍມົ ຂອງຂ້ໍມນູ ຊຸດນີ້ື. 11. ການຊອກຫາຄາ່ ຜັນປ່ຽນຂອງຂມ້ໍ ນູ . ກ. ຊຸດຂ້ໍມນູ 12 , 9 , 8 , 6 , 5 ແລະ X  8 ຈ່ົັງຊອກຫາ S 2 ຂ. ຊຸດຂ້ໍມນູ ຕົວງຢາ່ ງ 3 , 6 , 2 , 5 , 3 , 8 , 6 , 7 , 5 ຈົ່ງັ ຊອກຫາ S 2 12. ຕາຕະລາງລ່ມນ້ແືີ ມ່ນຕາຕະລາງແຈກຢາຍຄະແນນຂອງນກັ ຮຽນຈານວນ 50 ຄນົ . ຄະແນນ 15 - 19 10 - 14 5-9 ຄວາມຖີິ່ 10 25 15 ຈົັງ່ ຊອກຫາຄ່າຜັນປຽ່ ນ. 13. ໃຫ້ຕາຕະລາງແຈກຢາຍຄວາມຖີິ່ດັງ່ ນື້ີ: Xi 0 1 2 3 4 5 6 7 fi 15 22 29 37 34 27 19 9 ຈັງົ່ ຊອກຫາຄ່າຜັນປຽ່ ນມາດຕະຖານຂອງຂ້ໍມນູ ດ່ັງກ່າວ 14. ຈງົ່ັ ຊອກຄ່າຂອງ ຄ່າຜັນປ່ຽນ ແລະ ຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຖານ ຈາກຂໍ້ມູນຕົວຢ່າງທີິ່ການົດໃຫ້ດ່ັງນ້ື:ີ Xi 5 4 3 2 1 fi 9 30 10 25 5 15. ຈາກຂ້ໍມນູ ຕ່ໄໍ ປນ້ືີ: 86 89 92 83 84 81 87 82 86 ຈ່ັົງຊອກຫາ: ກ. ຄາ່ ສະເລ່ຍ. ຂ. ຄ່າສະເລ່ຍເລຂາຄະນດິ . ຄ. ຄາ່ ສະເລ່ຍຮາໂມນິກ. ງ. ຄາ່ ມັດທະຍະຖານ. ຈ. ຄ່າຖານນຍິ ົມ. 44

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1 ສ. ຄ່າຜັນປ່ຽນ. ຊ. ຄ່າຜນັ ປຽ່ ນມາດຖານ. 45

ບດົ ທີ 3 ທດິ ສະດກີ ະຕວງ ໃນຊີວິດປະຈຳວັນ ມີເຫດກຳນຕ່ຳງໆເກີດຂື້ນ ບຳງເຫດກຳນກ່ໍສຳມຳດບອກໄດ້ລວງໜ້ຳວ່ຳຈະເກີດຂ້ືນ ເວລຳໃດ ແລະ ມີຫຼຳຍເຫດກຳນ ທີ່ບ່ໍສຳມຳດບອກໄດ້ລວງໜ້ຳວ່ຳຈະເກີດຂ້ືນຕຳມຊ່ວງເວລຳທີ່ກຳນົດໃຫ້ ຫຼ ບໍ່ເກີດຂ້ືນເລີຍ ເຊັນ: ມ້ືອີ່ນຝົນອຳດຈະຕົກ ຫຼ ບໍ່ຕົກກໍ່ໄດ້ ດັ່ງນັື້ນ, ຈີ່ງສົນໃຈວ່ຳ ເຫດກຳນໃນທຳນອງນີື້ມີ ໂອກຳດຈະເກດີ ຂນ້ື ຫຼຳຍ ໜ້ອຍປຳນໃດ ຄ່ຳທີສະແດງໂອກຳດທີ່ຈະເກີດຂື້ນຂອງເຫດກຳນໃດໜີ່ງ ເອີື້ນວ່ຳ: ຄ່ຳ ກະຕວງ (Probability) ຂອງເຫດກຳນນັື້ນໆ. ທິດສະດີທີ່ກ່ຽວຂ້ອງກັບຄ່ຳກະຕວງນັ້ືນ ເອີື້ນວ່ຳ: ທິດສະດີກະ ຕວງ. 3.1 ນິຍຳມກ່ຽວກັບຄຳ່ ກະຕວງ. ຄຳ່ ກະຕວງ ຂອງເຫດກຳນໃດໜ່ີງ ໝຳຍເຖິງໂອກຳດທີ່ເຫດກຳນນັ້ືນອຳດເກີດຂື້ນ. ກຳນຄຳນວນຫຳຄ່ຳ ກະຕວງທີ່ແຕ່ລະເຫດກຳນຈະເກີດຂນື້ ຈະຕອ້ ງມີຂ້ມໍ ູນກຽ່ ວກັບເຫດກຳນນັນ້ື ໆ. ເມ່ີອ E ແມ່ນເຫດກຳນໃດໜີ່ງໃນຈັກກະວຳນຕົວຢ່ຳງ S ຊີ່ງເມັດຕົວຢ່ຳງແຕ່ລະເມັດມີໂອກຳດເກີດຂື້ນ ເທ່ັຳົ ໆກນັ ຄຳ່ ກະຕວງຂອງເຫດກຳນ E ສນັ ຍຳລກັ ດວ້ ຍ PE ແມນ່ ໂອກຳດເກດີ ຂ້ືນຂອງເຫດກຳນ E ມີໜ້ອຍ ຫຼຳຍເທົ່ັຳໃດ ເຊິີ່ງເຮົຳສຳມຳດຊອກຄ່ຳກະຕວງໄດ້ສອງວິທີຄ ວິທີໃຊ້ແບບຕັື້ງໃນກຳນຄິດໄລ່ ແລະ ວິທີສັງເກດ ຈຳກກຳນທົດລອງ. 3.2 ຄນຸ ລັກສະນະ ແລະ ກຳນຄຳນວນກຽ່ ວກບັ ຄຳ່ ກະຕວງ. 3.2.1 ວທິ ີໃຊ້ແບບຕັ້ງື ໃນກຳນຄິດໄລ່. ມີສູດຄດິ ໄລ່ດັງ່ ນືີ້ PE   nE  nS  nE ແມນ່ ຈຳນວນເມດັ ຕົວຢຳ່ ງຢູ່ໃນເຫດກຳນ E nS ແມ່ນຈຳນວນເມດັ ຕົວຢຳ່ ງຢູ່ໃນຈກັ ກະວຳນ S ຕົວຢ່ຳງ 3.2.1.1 ໃນກຳນໂຍນເງິນຫຼຽນ 1 ຫຼຽນ 2 ເທີ່ອ. ຈົັ່ງຊອກຫຳຄ່ຳກະຕວງຂອງເຫດກຳນ E ເຊິ່ີງເປັນ ເຫດກຳນທວີ່ ່ຳ ຕ້ອງອອກກ້ອຍ 1 ເທອ່ີ . ບົດແກ້: ຮວູ້ ຳ່ S  HH, HT,TH,TT E  HT,TH ດັ່ງນືນັ້ , PE   nE  2  0.5 nS  4 ຕົວຢ່ຳງ 3.2.1.2 ມີຕົວອັກສອນ 5 ຕົວຄ: A, B, C, D, E ຢູ່ໃນກັບໜ່ີງກັບ, ຖ້ຳຈັບຕົວອັກສອນດັ່ງກ່ຳວ ຂນ້ື ມຳ 3 ຕົວໂດຍບັງເອີນ 1 ເທ່ີອ ຈົ່ັງຊອກຫຳຄ່ຳກະຕວງຂອງເຫດກຳນທີ່ວ່ຳຈະໄດ້ຕົວອັກສອນຂື້ນຕົື້ນດ້ວຍ A ແລະ E .