Elementary Geometry

ເຮາົ ໄດ:້ n  m ເຮາົ ໄດ:້ AB  BA ເວກັ ເຕເີ ທື່ າົ ສູນແມື່ ນເວກັ ເຕທີ ່ື ມີ ເີ ມດັ ຕນົ້ ແລະ ເມດັ ປາຍເຕງັ ກນັ . O ຂະໜາດ ຫຼ ໂມດູນຂອງເວກັ ເຕແີ ມ່ື ນລວງຍາວຂອງທ່ື ອນຊແຕ່ື ເມດັ ຕນົ້ ຫາເມດັ ປາຍ. ໃຫເ້ ວກັ ເຕີ AB ລວງຍາວຂອງທື່ ອນຊ່ື AB ເອນີ້ ວ່ື າໂມດູນຂອງ AB ສນັ ຍາລກັ ດວ້ ຍ AB ເວກັ ເຕຫີ ວົ ໜ່ື ວຍແມື່ ນເວກັ ເຕທີ ມີ ໂີ ມດູນເທ່ື າົ 1 ຫວົ ໜ່ື ວຍວດັ ແທກ ເອນີ້ ວື່ າເວກັ ເຕຫີ ວົ ໜ່ື ວຍ AB ເອນີ້ ວ່ື າເວກັ ເຕຫີ ວົ ໜື່ ວຍ, ຍອ້ ນວ່ື າ AB  1 2. ຄຸນລກັ ສະນະຂອງຮູບເລຂາໜາ້ ພຽງທື່ ສີ ະເໜແີ ບບເວກັ ເຕີ ກດິ ຈະກາ 1 : ຈື່ ງົ ຂຽນຕວົ ປະສານຂອງເວກັ ເຕຕີ າມຮູບແຕມ້ ລື່ ຸມນີ້ a. 92

b. C. 93

 ສູດການຊອກຫາຕວົ ປະສານຂອງເວກັ ເຕີ ໃຫ້ A xA, yA  ແລະ B xB, yB  yB  yA xB  xA ດ່ື ງັ ນນັ້ AB  xB  xA, yB  yA ກດິ ຈະກາ 2 : ຈື່ ງົ ຊອກຕວົ ປະສານຂອງເວກັ ເຕລີ ື່ ຸມນີ້ a. A3,6 ແລະ B8,2 ຈື່ ງົ ຊອກຫາ AB    b. N 72, 75 ແລະ M 98, 108 ຈ່ື ງົ ຊອກຫາ MN c. Qlog3 243,log4 256 ແລະ  ຈ່ື ງົ ຊອກຫາ RQ R  log8 128, log1 652  5 d. Plog2 27,log316 ແລະ U log2 81,log3128 ຈື່ ງົ ຊອກຫາ PU 3. ຂະໜາດຂອງເວກັ ໃຫ້ A xA, yA  ແລະ B xB, yB  yB  yA xB  xA 94

ອງິ ຕາມຫກຼັ ເກນປີຕາກ ເຮາົ ມ:ີ 2 2 BC 2 AB  AC  AB 2   xB  xA 2   yB  yA 2 AB   xB  xA 2   yB  yA 2 ດື່ ງັ ນນັ້ AB   xB  xA 2   yB  yA 2 ຕວົ ຢື່ າງ 1 ຈ່ື ງົ ຊອກຂະໜານຂອງເວກັ ເຕີ MN ຕາມເງອນໄຂລື່ ຸມນີ້ a. M 4, 3 ແລະ N 5, 6    b. N  3, 2 ແລະ M  12,  18 ວທິ ແີ ກ:້ a. M 4, 3 ແລະ N 5, 6 ອງິ ຕາມສູດ MN   xN  xM 2   yN  yM 2 MN  5  42  6  32 MN  92  32 MN  81 9 MN  99 ດ່ື ງັ ນນັ້ MN  9,94    b. N  3, 2 ແລະ M  12,  18 ອງິ ຕາມສູດ MN   xN  xM 2   yN  yM 2    2 2 MN   3  12  2  18    2 2 MN   3  2 3  2  3 2    2 2 MN  3  4 2 MN  3  32 95

MN  62 ດື່ ງັ ນນັ້ MN  7,8 4.ຜນົ ຄູນສະກາແລ 1. u v  v u 2. u v  w  u v  u  w 3. mu v  muv  u mv 4. u  v  x1x2  y1 y2 5. u u  u 2 6. u  v  x1x2  y1 y2  0 ຈະໄດ້ u ຕງັ້ ສາກ v ເຊ່ື ງິ ວື່ າ u  0 , v  0 7. ຖາ້ ວື່ າ x1y2  x2 y1  0 ຈະໄດ້ u ຂະໜານ v 8. i  i  i2  1, j  j  j2 1, i  j  0 ແລະ j i  0 9. u  v  u  v cos ຫຼ AB  AC  AB AC cos ກດິ ຈະກາ 3 : 1. ຈ່ື ງົ ຄດິ ໄລ່ື u v ຖາ້ u  4i  4 j , v  5i ແລະ ມມູ ປະກອບສາ້ ງລະຫວື່ າງເວກັ ເຕີ u ແລະ v ເທື່ າົ 45 2. ການດົ ໃຫ້ u v  4 ແລະ u  2 , v  4 ຈື່ ງົ ຊອກຫາມູມປະກອບສາ້ ງລະຫວ່ື າງເວກັ ເຕີ u ແລະ v 3. ໃຫ້ A1,1 , B5,1 ແລະ C 5, 4 ຈ່ື ງົ ຊອກ ມມູ ປະກອບລະຫວື່ າງເວກັ ເຕີ BA ແລະ BC , ມມູ ປະກອບ ລະຫວື່ າງເວກັ ເຕີ AB ແລະ AC ແລະ ມມູ ປະກອບລະຫວ່ື າງເວກັ ເຕີ CA ແລະ CB ບດົ ເຝິກຫດັ 1. A10,5 ແລະ B6, 1 ຈ່ື ງົ ຊອກຫາ AB    2. N 48, 80 ແລະ M 147, 125 ຈ່ື ງົ ຊອກຫາ MN    3. S 144, 121 ແລະ O 225, 196 ຈ່ື ງົ ຊອກຫາ SO 4. Qlog4 1024,log5 3125 ແລະ  ຈ່ື ງົ ຊອກຫາ MN R  log4 256, log1 1024  4 96

5. Plog3 256,log4 3125 ແລະ  ຈ່ື ງົ ຊອກຫາ PU U  log1 243, log64 625 3  6. ຈື່ ງົ ຂຽນຕວົ ປະສານຂອງເວກັ ເຕຕີ າມຮູບແຕມ້ ລື່ ຸມນີ້ a. b. c. 97

d. e. f. 98

7. ຈື່ ງົ ຊອກຂະໜານຂອງເວກັ ເຕີ MN ຕາມເງອນໄຂລື່ ຸມນີ້ a. M 2, 1 ແລະ N 3, 4    b. N 3 2, 2 3 ແລະ M  50, 48 c. M 2, 5 ແລະ N 5, 7    d. Q  log1 1024, log1 729 ແລະ R  log5 625, log1 216 4 3  6    e. N 4 5, 5 6 ແລະ M  180,  150 8. ຈ່ື ງົ ຊອກຂະໜານຂອງເວກັ ເຕລີ ່ື ຸມນີ້ a. MN 2, 3  b. AB  9, 8 c. AB  3i  2 2 j d. u  log100i  log2 8 j e. v   log3 27i  log4 64 j  f. v  15, 34 g. u log8 512, log7 2401 9. ຈ່ື ງົ ຄດິ ໄລ່ື u v ຖາ້ u  2i  3 j , v  4i  4 j 10. 2. ການດົ ໃຫ້ u v  3 2 ແລະ u  3, v  2 ຈ່ື ງົ ຊອກຫາມູມປະກອບສາ້ ງລະຫວ່ື າງເວກັ ເຕີ u ແລະ v 11. ຈ່ື ງົ ຄດິ ໄລື່ u v ຖາ້ u  5 , v  3 ແລະ ມູມປະກອບສາ້ ງລະຫວື່ າງເວກັ ເຕີ u ແລະ v ເທື່ າົ 30 12. ຮູວ້ ່ື າ u v 10 ຖາ້ u  2x, v 1 ແລະ ມມູ ປະກອບສາ້ ງລະຫວ່ື າງເວກັ ເຕີ u ແລະ v ເທ່ື າົ 60 ຈ່ື ງົ 3 ຊອກຫາຄ່ື າຂອງ x 13. ຖາ້ ວ່ື າ u v  3 , u  2i  3 j , v  3i  yj ຈ່ື ງົ ຊອກຄ່ື າຂອງ y 14. ໃຫ້ A1,1 , B4,1 ແລະ C 4,5 ຈື່ ງົ ຊອກ ມູມປະກອບລະຫວ່ື າງເວກັ ເຕີ BA ແລະ BC , ມມູ ປະກອບ ລະຫວ່ື າງເວກັ ເຕີ AB ແລະ AC ແລະ ມມູ ປະກອບລະຫວື່ າງເວກັ ເຕີ CA ແລະ CB 15. ໃຫ້ A1, 2, B1, 4 ແລະ C 4,1 ຈື່ ງົ ຊອກ ລວງຮອບຂອງຮູບສາມແຈ ABC ແລະ ຜນົ ບວກມູມໃນຂອງ 99

ຮູບສາມແຈ 16. ໃຫ້ A1,1 , B4, 4 ແລະ C 4,1 ຈ່ື ງົ ຊອກ ລວງຮອບຂອງຮູບສາມແຈ ABC ແລະ ຜນົ ບວກມມູ ໃນຂອງ ຮູບສາມແຈ 17. ໃຫ້ A2, 2 , B3, 4 ແລະ C 1,5 ຈື່ ງົ ຊອກ ລວງຮອບຂອງຮູບສາມແຈ ABC ແລະ ຜນົ ບວກມູມໃນ ຂອງຮູບສາມແຈ 18. ຈື່ ງົ ກວດເບ່ື ງິ ວ່ື າເວກັ ເຕລີ ່ື ຸມນີ້ ຄື່ ໃູ ດຂະໜານກນັ ແລະ ຄ່ື ູໃດຕງັ້ ສາກກນັ ພອ້ ມທງັ ໃຫເ້ ຫດຜນົ a. u  2i  4 j ແລະ v  8i  4 j b. AB 3, 5 ແລະ CD6,10 c. u  2i  3 j ແລະ v  2i  6 j    d. AB 5, 3 ແລະ AC 6,  10 e. u  3i  4 j ແລະ v   3i  3 j 4 100

ບດົ ທີ 12 ການພວົ ພນັ ລະຫວື່ າງເລຂາຄະນດິ ໜາ້ ພຽງກບັ ເລຂາຄະນດິ ແບບເວກັ ເຕີ 1. ໄລຍະຫ່ື າງລະຫວ່ື າງສອງເມດັ ໃຫ້ A xA, yA  ແລະ B xB, yB  yB  yA xB  xA ເຮາົ ມີ AB2  AC2  BC2 AB2   xB  xA 2   yB  yA 2 AB   xB  xA 2   yB  yA 2 ກດິ ຈະກາ 1: ຈ່ື ງົ ຊອກຫາໄລຍະຫື່ າງລະຫວື່ າງສອງເມດັ ລ່ື ຸມນ:ີ້ 1. A  2 ,  1  ແລະ O  4 ,  3  5 4   5 4  2. M   3 ,  1  ແລະ N   1 ,  5   2 3   4 6     3. Q  180, 216 ແລະ S  125, 150 2. ໄລຍະຫ່ື າງລະຫວ່ື າງເມດັ ໜື່ ງຶ ຫາເສນັ້ ຊ ນຍິ າມ ໄລຍະຫ່ື າງຈາກເມດັ ໜື່ ງຶ ຫາເສນັ້ ຊື່ ໜ່ື ງຶ ໃນແຜ່ື ນພຽງແມ່ື ນຄວາມຍາວຈາກເມດັ ດື່ ງັ ກື່ າວຫາເສນັ້ ຊ່ື , ເຊື່ ງິ ຄວາມ ຍາວດ່ື ງັ ກື່ າວຈະຕອ້ ງຕງັ້ ສາກກບັ ເສນັ້ ຊື່ ນນັ້ . 101

ໃນແຜ່ື ນພຽງ oxy ສມົ ມຸດວື່ າໃນເມດັ M1 ແມື່ ນເມດັ ຕາມໃຈ ຢື່ ູນອກເສນັ້ ຊ່ື L ແມ່ື ນເສນັ້ ຊ່ື ທື່ ໃີ ຫກ້ ່ື ອນ ແລະ ເວກັ ເຕີ PQ ແມື່ ນເວກັ ເຕຕີ ງັ້ ສາກເສນັ້ ຊ່ື L ເຊື່ ງິ ວື່ າ PQ  A, B ໝາຍ r ແມື່ ນລວງຍາວຂອງເວກັ ເຕີ PQ ສະນນັ້ r  A2  B 2 . ຈາກນນັ້ ເຮາົ ສາມາດຊອກຫາໄລຍະຫື່ າງລະຫວ່ື າງເມດັ M1  x1, y1  ຫາເສນັ້ ຊື່ L : Ax  By  C  0 ໄດດ້ ່ື ງັ ລ່ື ຸມນ:ີ້ ສມົ ມຸດວື່ າເມດັ M1  x1, y1  ຢ່ື ູນອກເສນັ້ ຊ່ື L : Ax  By  C  0 ເຮາົ ຂດີ ເສນັ້ ຊື່ ແຕ່ື ເມດັ M1 ຫາ M ແລະ ຕງັ້ ສາກກບັ ເສນັ້ ຊ່ື L , ເຮາົ ໄດ້ MM1 ຕງັ້ ສາກ L ໄລ່ື ຍະຫື່ າງແຕ່ື ເມດັ M1 ຫາ L ແມ່ື ນລວງຍາວຂອງ MM1 ແລະ MM1 ຂະໜານ PQ ເຊື່ ງິ PQ ແມື່ ນເວກັ ເຕຕີ ງັ້ ສາກກບັ L ເວກັ ເຕີ MM1 ອາດຈະມທີ ດິ ດຽວ ຫຼ ຕື່ າງທດິ PQ ສະນນັ້ :  ເຮາົ ມີ PQ  MM1  rd ເຊ່ື ງິ ວ່ື າ MM1  d PQ  MM1   A, B  x1  x, y1  y PQ  MM1  A x1  x  B y1  y PQ MM1  Ax1  Ax  By1  By  C  C PQ  MM1  Ax1  By1  C   Ax  By  C  ເຊ່ື ງິ ວ່ື າ Ax  By  C  0 ເພາະວື່ າ M  L  PQ MM1  Ax1  By1  C ແຕື່ ວື່ າ PQ  MM1  rd rd  Ax1  By1  C rd  Ax1  By1  C ເຊື່ ງິ ວື່ າ r  A2  B 2 ດື່ ງັ ນນັ້ d  Ax1  By1  C A2  B2 102

ກດິ ຈະກາ 2: 1. ຈ່ື ງົ ຄດິ ໄລ່ື ໄລຍະຫ່ື າງແຕ່ື ເມດັ N 2,3 ຫາເສນັ້ ຊື່ L : 3x  5y  4  0 2. ຈື່ ງົ ຄດິ ໄລື່ ໄລຍະຫ່ື າງແຕ່ື ເມດັ ເຄາົ້ ຫາເສນັ້ ຊື່ L : 4x  3y  5  0 3. ໄລຍະຫື່ າງລະຫວ່ື າງສອງເສນັ້ ຊື່ ຂະໜານກນັ ນຍິ າມ 1: ສອງເສນັ້ ຊ່ື ຂະໜານກນັ ແມື່ ນສອງເສນັ້ ຊື່ ທື່ ມີ ສີ າປະສດິ ຂອງ x ແລະ ສາປະສດິ ຂອງ y ອນັ ດຽວກນັ . ນຍິ າມ 2: ໄລ່ື ຍະຫ່ື າງລະຫວ່ື າງສອງເສນັ້ ຊື່ ຂະໜານກນັ ເທ່ື າົ ກບັ ລວງຍາວ ຂອງເສນັ້ ຊື່ ຕງັ້ ສາກລະຫວ່ື າງສອງເສນັ້ ຊ່ື ດື່ ງັ ກ່ື າວ. ໃຫສ້ ອງເສນັ້ ຊ່ື ຂະໜານກນັ L1 // L2 L1 : Ax  By  C  0 L2 : Ax  By  D  0 ສມົ ມຸດໃຫເ້ ມດັ M1  x1, y1  ຕາມໃຈຢື່ ູເສນັ້ ຊ່ື L1 , ຖາ້ ຢາກຊອກໄລຍະຫື່ າງລະຫວ່ື າງເສນັ້ ຊ່ື L1 ຫາ L2 ແມ່ື ນ ພວກເຮາົ ຊອກຫາ ໄລຍະຫ່ື າງແຕື່ ເມດັ M1 ຫາ L2 ໂດຍທວີ ື່ າຈາກເມດັ M1 ຢ່ື ູເສນັ້ ຊື່ L1 ເຮາົ ຂດີ ເສນັ້ ຊື່ ໜື່ ງຶ ຜື່ ານ M1 ແລວ້ ຕງັ້ ສາກກບັ ເສນັ້ ຊ່ື L2 . ເຮາົ ມ:ີ d L1, L2   d M1, L2  M1  L1 ອງິ ຕາມສູດ d M1, L2   Ax1  By1  D 1 A2  B2 ແຕ່ື ຍອ້ ນວ່ື າ M1  x1, y1  L1 ດ່ື ງັ ນນັ້ ຕວົ ປະສານຂອງມນັ ຕອ້ ງຕອບສະໜອງສມົ ຜນົ ຂອງເສນັ້ ຊື່ L1 ໝາຍ ຄວາມວື່ າ: Ax1  By1  C  0  Ax1  By1  C ແທ່ື ນໃສື່ 1 103

ຈະໄດ:້ d M1, L2   C  D A2  B2 d  M1, L2   CD ແຕ່ື ວ່ື າ d L1, L2   d M1, L2  A2  B2 ດ່ື ງັ ນນັ້ d M1, L2   CD A2  B2 ກດິ ຈະກາ 3: 1. ຈື່ ງົ ຊອກຫາໄລຍະຫ່ື າງລະຫວ່ື າງສອງເສນັ້ ຊື່ ທ່ື ຂີ ະໜານກນັ L1 : 2x  3y  4  0 L2 : 4x  6 y 12  0 2. ຈື່ ງົ ຊອກຫາສມົ ຜນົ ຂອງເສນັ້ ຊ່ື L ທ່ື ຢີ ່ື ູລະຫວື່ າງສອງເສນັ້ ຊ່ື ຂະໜານກນັ L1 : 2x  3y  2  0 ແລະ L2 : 6x  9y  30  0 ດວ້ ຍໄລຍະຫື່ າງຈາກ L ຫາ L1 ເທື່ າົ ສາມເທື່ ອໄລຍະຫື່ າງຈາກ L ຫາ L2 4. ການພວົ ພນັ ລະຫວື່ າງເສນັ້ ຊື່ ແລະ ວງົ ມນົ ນຍິ າມ: ວງົ ມນົ ແມ່ື ນກື່ ຸມບນັ ດາເມດັ ທມີ ໄີ ລຍະຫ່ື າງສະເໝີ ຈາກເມດັ ໜ່ື ງຶ ທ່ື ໃີ ຫມ້ າກ່ື ອນເຊ່ື ງິ ເມດັ ດງັ ກື່ າວເອນີ້ ວື່ າເມດັ ໃຈກາງຂອງວງົ ມນົ , ສ່ື ວນໄລຍະຫ່ື າງດ່ື ງັ ກື່ າວເອນີ້ ວື່ າລດັ ສະໝີ ຂອງວງົ ມນົ . ໃຫວ້ ງົ ມນົ ຕາມໃຈທ່ື ມີ ເີ ມດັ C a,b ຄງົ ທ່ື ີ ( C ແມື່ ນເມດັ ໃຈກາງ) ແລະ ລດັ ສະໝີ R , ເມດັ M  x, y ເຄ່ື ອນ ທ່ື ເີ ວລາໃດກ່ື ຫື່ າງຈາກເມດັ C ດວ້ ຍໄລຍະ R ບື່ ປ່ື ຽນແປງ. ອງິ ຕາມຫກຼັ ເກນປີຕາກ AC2  AM 2  MC2 ຈະໄດ້  x  a2   y  b2  R2 ດື່ ງັ ນນັ້ ສມົ ຜນົ ວງົ ມນົ ແມ່ື ນ  x  a2   y  b2  R2 104

ເຮາົ ມສີ ມົ ຜນົ ເສນັ້ ຊ່ື ແມ່ື ນ L : Ax  By  C  0 ກດິ ຈະກາ4 : 1. ໃຫສ້ ມົ ຜນົ ວງົ ມນົ ທື່ ມີ ເີ ມກັ ໃຈກາງ C 1, 1 ແລະ ມສີ ມົ ຜນົ ເສນັ ຊ່ື ຕດິ ກບັ ວງົ ມນົ ແມ່ື ນ L : x  y  2  0 ຈື່ ງົ ຂຽນສມົ ຜນົ ຂອງວງົ ມນົ ດ່ື ງັ ກື່ າວ 1. ໃຫສ້ ມົ ຜນົ ວງົ ມນົ ທມີ ເີ ມດັ ໃຈກາງ I 1, 2 ແລະ ສມົ ຜນົ ເສນັ້ ຊ່ື 4x  3y  24  0 ຫື່ າງຈາກວງົ ມນົ ເທ່ື າົ 9 ຈ່ື ງົ 5 ຂຽນສມົ ຜນົ ຂອງວງົ ມນົ ດ່ື ງັ ກື່ າວ ບດົ ເຝິກຫດັ 1. ຈື່ ງົ ຊອກຫາໄລຍະຫື່ າງລະຫວື່ າງສອງເມດັ ລ່ື ຸມນ:ີ້ a. A   1 ,  1  ແລະ B  3 ,  2   2 3   2 3  b. M   1 ,  2  ແລະ P  3 ,  1   2 3   4 6     c. Q 147, 162 ແລະ R 147, 200    d. A log5 3125, ln 3 e ແລະ B ln 4 e, log4 4096 e. Y log4 6400,log5 7500ແລະ Blog4 100,log5 60 f. M log7 3430, log6 20 ແລະ Olog7 10, log6 5220 2. ໃຫເ້ ມດັ A6, y ແລະ B1, 4 ຈ່ື ງົ ຊອກຄື່ າຂອງ y ໄລຍະຫື່ າງແຕື່ A ຫາ B ເທ່ື າົ 74 3. ໃຫເ້ ມດັ A2, 4 ແລະ B  x,3 ຈື່ ງົ ຊອກຄ່ື າຂອງ x ໄລຍະຫ່ື າງແຕ່ື A ຫາ B ເທື່ າົ 13 4. ຈ່ື ງົ ສະແດງວ່ື າຮູບສາມແຈ ABC ເຊ່ື ງິ ມຈີ ອມຕາມທ່ື ກີ ານດົ ໃຫໃ້ ນແຕື່ ລະຂລ້ ່ື ຸມນແີ້ ມ່ື ນຮູບສາມແຈທຽງ a. A2, 2, B6,6 ແລະ C 2, 2 b. A2, 4, B5,1 ແລະ C 6,5 c. A2,1, B2,3 ແລະ C 6,5 5. ຈື່ ງົ ຊອກຫາເນອ້ ທື່ ີ ແລະ ລວງຮອບຂອງຮູບສາມແຈ ABC ທື່ ມີ ຕີ ວົ ປະສານຕາມຈອມຕື່ ໄປນີ້ 105

a. A0,9, B4,1 ແລະ C 3, 2 b. A3,2, B2,3 ແລະ C 0, 4 c. A10,5, B3, 2 ແລະ C 0, 5 d. A1,2, B4, 2 ແລະ C 3,5 e. A0,1, B3, 2 ແລະ C 4,3 f. A3,3, B1,3 ແລະ C 2, 2 6. ຈື່ ງົ ຊອກຫາເນອ້ ທື່ ຂີ ອງຮູບຫາຼ ຍແຈທື່ ມີ ເີ ມດັ ຈອມຕື່ໄປນີ້ a. A2,0, B0,1 , C 2, 2 ແລະ D3,4 b. A2,0, B0,1 , C 2, 2 ແລະ D3,4 c. A1,1, B3,2, C 2, 2 ແລະ D5,0 d. A1,3, B4,1 , C 2,3 , D2, 4 ແລະ E 4,1 e. A2, 3, B3, 4 , C 3,5 , D2,2 ແລະ E 5, 4 7. ຈ່ື ງົ ຊອກຫາໄລຍະຫ່ື າງຈາກເມດັ ຫາເສນັ້ ຊ່ື ທກີ ານດົ ດວ້ ຍສມົ ຜນົ ລ່ື ຸມນ:ີ້ a. ເມດັ N 3,1 ຫາເສນັ້ ຊ່ື L : 2x  4 y  3  0 b. ເມດັ ເຄາົ້ ຫາເສນັ້ ຊື່ L : 3x  7 y  2  0 c. ເມດັ A5,1 ຫາເສນັ້ ຊື່ L : 3x  2 y  5  0 d. ເມດັ B2,3 ຫາເສນັ້ ຊ່ື L : 3x  4 y  2  0 e. ເມດັ O4, 2 ຫາເສນັ້ ຊ່ື L :11x  6 y  5  0 f. ເມດັ U 6,0ຫາເສນັ້ ຊື່ L : 9x 12 y  7  0 8. ຈື່ ງົ ຊອກຫາໄລຍະຫ່ື າງລະຫວ່ື າງສອງເສນັ້ ຊື່ ຂະໜານກນັ ລ່ື ຸມນ:ີ້ a. L1 : 3 2x  2y  5  0 ແລະ L2 : 3 2x  2y  3  0 b. L1 : 7x  2y  3  0 ແລະ L2 : 7x  2y  4  0 c. L1 : 3x  5y  5  0 ແລະ L2 : 9x 15y  8  0 106

d. L1 : 2x  4y  6  0 ແລະ L2 : 6x 12y 10  0 e. L1 : 1 x  1 y  9  0 ແລະ L2 : 1 x  1 y 3  0 2 3 4 6 9. ໃຫສ້ ມົ ຜນົ ວງົ ມນົ ທ່ື ມີ ເີ ມກັ ໃຈກາງ C 2,1 ແລະ ມສີ ມົ ຜນົ ເສນັ ຊ່ື ຕດິ ກບັ ວງົ ມນົ ແມ່ື ນ L : 2x  3y 12  0 ຈ່ື ງົ ຂຽນສມົ ຜນົ ຂອງວງົ ມນົ ດື່ ງັ ກື່ າວ 10. ໃຫສ້ ມົ ຜນົ ວງົ ມນົ ທມີ ເີ ມດັ ໃຈກາງ I 2, 1 ແລະ ສມົ ຜນົ ເສນັ້ ຊື່ 4x  3y 12  0 ຫ່ື າງຈາກວງົ ມນົ ເທື່ າົ 7 ຈ່ື ງົ ຂຽນສມົ ຜນົ ຂອງວງົ ມນົ ດື່ ງັ ກ່ື າວ 5 10. ໃຫສ້ ມົ ຜນົ ວງົ ມນົ ທມີ ເີ ມດັ ໃຈກາງ I 2, 1 ແລະ ສມົ ຜນົ ເສນັ້ ຊ່ື 2x  3y  9  0 ຈ່ື ງົ ຊອກຫາໄລຍະຫື່ າງ ລະຫວື່ າງເມດັ ໃຈກາງຂອງວງົ ມນົ ຫາເສນັ້ ຊື່ 11. ໃຫສ້ ມົ ຜນົ ວງົ ມນົ ທື່ ມີ ເີ ມດັ ໃຈກາງ I 3, 2 , ລດັ ສະໝເີ ທ່ື າົ 3 ແລະ ສມົ ຜນົ ເສນັ້ ຊ່ື 4x  3y 12  0 ຈ່ື ງົ ຊອກ ຫາໄລຍະຫື່ າງລະຫວື່ າງວງົ ມນົ ຫາເສນັ້ ຊ່ື 12. ໃຫສ້ ມົ ຜນົ ວງົ ມນົ  x 12   y 12  4 ແລະ ສມົ ຜນົ ເສນັ້ ຊ່ື 4x  3y  24  0 ຈື່ ງົ ຊອກຫາໄລຍະຫື່ າງ ລະຫວື່ າງວງົ ມນົ ຫາເສນັ້ ຊື່ ເອກະສານອາ້ ງອງີ 107

1. ປມ້ ເລຂາຄະນດິ ພນ້ ຖານ ພະແນກ ວທິ ະຍາສາດພນ້ ຖານ ປີ 1994. 2. ປມ້ ເລຂາວເິ ຄາະ1 ສາຍສາ້ ງຄມູ ດັ ທະຍມົ ຕນົ້ ລະບບົ 11+3 ປີ 2009. 3. ປມ້ ແບບຮຽນເລຂາຄະນດິ ຊນັ້ ມດັ ທະຍມົ ປີທີ 4 , ກະຊວງສກຶ ສາທກິ ານ, ສະຖາບນັ ຄນົ້ ຄວ້ າ ວທິ ະຍາສາດການສກຶ ສາ ປີ 2009. 4. ປມ້ ວທິ ສີ ອນຄະນດິ ສາດ2, ກະຊວງສກຶ ສາທກິ ານ ສູນພດັ ທະນາຄູ ປີ 1998. 5. . ປມ້ ແບບຮຽນຄະນດິ ສາດ ຊນັ້ ມດັ ທະຍມົ ສກຶ ສາ ປີທ1ີ ກະຊວງສກຶ ສາທກິ ານ , ສະຖາບນັ ຄນົ້ ຄວ້ າ ວທິ ະຍາສາດ ການສກຶ ສາ ປີ 2011. 6. ປມ້ ແບບຮຽນຄະນດິ ສາດ ຊນັ້ ມດັ ທະຍມົ ສກຶ ສາ ປີທີ 2 ກະຊວງສກຶ ສາທກິ ານ, ສະຖາບນັ ຄນົ້ ຄວ້ າ ວທິ ະຍາສາດ ການສກຶ ສາ ປີ 2011. 7. ປມ້ ແບບຮຽນຄະນດິ ສາດ ຊນັ້ ມດັ ທະຍມົ ສກຶ ສາ ປີທີ 3 ກະຊວງສກຶ ສາທກິ ານ ແລະ ກລິ າ, ສະຖາບນັ ຄນົ້ ຄວ້ າ ວທິ ະຍາສາດການສກຶ ສາ ປີ 2012. 8. ປມ້ ແບບຮຽນຄະນດິ ສາດ ຊນັ້ ມດັ ທະຍມົ ສກຶ ສາ ປີທີ 4 ກະຊວງສກຶ ສາທກິ ານ, ສະຖາບນັ ຄນົ້ ຄວ້ າ ວທິ ະຍາສາດ ການສກຶ ສາ. 108