Elementary Geometry

ບດົ ທີ 6 ການຜນັ ປ່ື ຽນຮູບ 1. ການຍາ້ ນຂະໜານ  ນຍິ າມ: ການຍາ້ ຍຂະໜານເທງິ ແຜື່ ນພຽງແມ່ື ນການຜນັ ປ່ື ຽນທາງເລຂາຄະນດິ ທື່ ມີ ກີ ານຍາ້ ຍເມດັ ທຸກເມດັ ໄປເທງິ ແຜື່ ນພຽງຕາມເວກັ ເຕີ ແລະ ເປັນໄລຍະທາງເທ່ື າົ ກນັ ຕາມທ່ື ກີ ານດົ .  ຄຸນລກັ ສະນະທ່ື ສີ າຄນັ ຂອງການຍາ້ ຍຂະໜານມດີ ື່ ງັ ນ:ີ້ - ສາມາດຍາ້ ຍຮູບຕນົ້ ແບບເຕງັ ຮູບທື່ໄີ ດຈ້ າກການຍາ້ ຍຂະໜານໄດພ້ ກ.ີ - ທື່ ອນຊ່ື ທື່ ຂີ ດີ ຕ່ື ລະຫວື່ າງເມດັ ທື່ ີກງົ ກນັ ຂອງຮູບຕນົ້ ແບບ ແລະ ຮູບທ່ື ີໄດຈ້ າກການຍາ້ ຍຂະໜານແຕື່ ລະຄື່ ູຈະຂະ ໜານກນັ ແລະ ຍາວເທື່ ກົ ນັ ທຸກໆເສນັ້ . - ທ່ື ອນຊ່ື ເທງິ ຮູບຕນົ້ ແບບ ແລະ ຮູບທ່ື ໄີ ດຈ້ າກການຍາ້ ນຂະໜານທ່ື ອນຊ່ື ນນັ້ ຈະຂະໜານກນັ ແລະ ຍາວເທ່ື າົ ກນັ . ຕວົ ຢ່ື າງ: ການດົ ໃຫ້ABCເປັນຮູບທ່ື ໄີ ດຈ້ າກການຍາ້ ຍຂະໜານ ABC ດວ້ ຍ AA ວທິ ແີ ກ:້ 42

- ເສນັ້ ຊ່ື AA, BB ແລະ CC ຂະໜານກນັ ແລະ ຍາວເທ່ື າົ ກນັ - ສາມມາດຍາ້ ຍ ABC ໄປເຕງັ (ທບັ )ໄດພ້ ່ື ດີ ABC - ເສນັ້ ຊ່ື  AB ແລະ  AB ຂະໜານກນັ ແລະຍາວເທ່ື າົ ກນັ ເສນັ້ ຊ່ື  BC ແລະ  BC ຂະໜານກນັ ແລະຍາວເທື່ າົ ກນັ ເສນັ້ ຊ່ື  AC ແລະ  AC ຂະໜານກນັ ແລະຍາວເທ່ື າົ ກນັ ໃນການບອກທດິ , ລວງ ແລະ ໄລຍະທາງຂອງການຍາ້ ຍຂະໜານ ຈະໃຊເ້ ວກັ ເຕເີ ປັນໂຕການດົ ເຊ່ື ງິ ການການດົ ເວກັ ເຕີ ຂອງການຍາ້ ຍຂະໜານ ຈະໃຫເ້ ມດັ ເລ່ື ມີ ຕນົ້ ຢ່ື ູໃນ ຫຼ ຢ່ື ູນອກຮູບຕນົ້ ແບບກໄດ.້ ກດິ ຈະກາ 1: ໃຫ້ PQRN ແລະ ໃຫ້ AB ເປັນເວກັ ເຕີ ຂອງການຍາ້ ຍຂະໜານ ຈະໄດ້ PQRN  ເປັນຮູບ ຂອງການຍາ້ ຍຂະໜານ PQRN . 2. ການເຄື່ ງິ ຄ 2.1. ການເຄ່ື ງິ ຄທຽບໃສື່ ເມດັ ນຍິ າມ: ສອງຮູບເຄ່ື ງິ ຄກນັ ທຽບໃສ່ື ເມດັ ໜ່ື ງຶ ຈະເຕງັ ກນັ ພດີ ຖາ້ ເຮາົ ໝນູ ຮູບໜື່ ງຶ ອອ້ ມສູນກາງເຄື່ ງຶ ຄໄດ້ 180 ຕວົ ຢ່ື າງ: ຈ່ື ງົ ສາ້ ງເມດັ ເຄື່ ງິ ຄຂອງເມດັ P ຖາ້ ທຽບໃສື່ ເມດັ O ວທິ ແີ ກ:້ - Pແມື່ ນເມດັ ເຄື່ ງິ ຄຂອງ P ທຽບໃສື່ O ເຮາົ ຈະໄດ:້ P , O , P ແມື່ ນຢື່ ູເສນັ້ ຊ່ື ດຽວກນັ ແລະPO  OP, O ເອນີ້ ວ່ື າ: ສູນກາງເຄ່ື ງິ ຄ ແລະ ເມດັ ເຄື່ ງິ ຄຂອງ O ແມ່ື ນຕວົ ມນັ ເອງ. - ເມ່ື ອເຮາົ ໝນູ ເມດັ P ອອ້ ມເມດັ O ໄດ1້ 80 ພດເີ ມດັ P ເຕງັ (ທບັ )ເມດັ P ກດິ ຈະກາ 2: ຈ່ື ງົ ສາ້ ງຮູບເຄ່ື ງິ ຄຂອງຮູບ ABCDຖາ້ ທຽບໃສື່ ເມດັ O 2.2. ການເຄ່ື ງິ ຄທຽບໃສ່ື ແກນ ນຍິ າມ: ສອງຮູບເຄ່ື ງິ ຄກນັ ທຽບໃສື່ ແກນໜ່ື ງຶ ຈະເຕງັ (ທບັ )ກນັ ພດີ ຖາ້ ເຮາົ ພບັ ໄປຕາມແກນ. ຕວົ ຢື່ າງ: ໃຫ້ ABCD ຈື່ ງົ ສາ້ ງຮູບທເີ ຄື່ ງິ ຄຮູບດ່ື ງັ ກ່ື າວທຽບໃສ່ື ເສນັ້ ຊ່ື d ຕາມ ແກນຕງັ້ , ແກນນອນ ແລະ ແກນເນງີ້ . 43

ວທິ ແີ ກ:້  ເສນັ້ ຊື່ d ແມື່ ນແກນຕງັ້  ເສນັ້ ຊ່ື d ແມ່ື ນແກນນອນ  ເສນັ້ ຊື່ d ແມື່ ນແກນເນງີ້ 3. ການໝນູ ນກັ ຮຽນເຄຍີ ເຫນັ ການໝນູ ຂອງສ່ື ງິ ຕື່ າງໆເເຊື່ ນັ : ການໜນູ ຂອງເຂມັ ໂມງ, ກງົ ກວຽນ, ກງົ ລ,້ ກງົ ລດົ , ກງົ ພດັ , ພດັ ລມົ , ເຄ່ື ອງຈກັ ຕື່ າງໆ ເປັນຕນົ້ . ຈະເຫນັ ວ່ື າ ການໝນູ ດ່ື ງັ ກ່ື າວເປັນການເຄື່ ອນໝນູ ຈດຸ ໆໜ່ື ງຶ ທ່ື ອີ າດຈະມທີ ດິ ການໝນູ ຕາມເຂມັ ໂມງ ຫຼ ປີນ້ ເຂມັ ໂມງ. 44

ການໝນູ ເທງິ ແຜ່ື ນພຽງແມ່ື ນການຜນັ ປື່ ຽນທາງເລຂາຄະນດິ ທື່ ມີ ເີ ມດັ O ຄງົ ທ່ື ເີ ປັນຈດຸ ໝນູ ແຕ່ື ລະເມດັ P ເທງິ ແຜ່ື ນ ພຽງ, ມເີ ມດັ P ເປັນຮູບທື່ ໄີ ດຈ້ າກການໝນູ ເມດັ P ຮອບເມດັ O ຕາມທດິ ທາງທື່ ກີ ານດົ ດວ້ ຍມຸມ K ໂດຍທ່ື ວີ ື່ າ: 1. ຖາ້ ວ່ື າ P ບ່ື ແມື່ ນເມດັ O ແລວ້ OP  OPແລະ ຂະໜານຂອງ POP ເທ່ື າົ ກບັ K . 2. ຖາ້ ວ່ື າ P ເປັນເມດັ ດຽວກນັ ກບັ ເມດັ O ແລວ້ P ເປັນຈດຸ ໝນູ . ຕວົ ຢ່ື າງ1: ໃຫເ້ ມດັ P ໝນູ ອອ້ ມເມດັ O ທດິ ລາວງົ ລາວ ໄດ້ 45 ຢ່ື ູຈດຸ P ຕວົ ຢ່ື າງ 2: ໃຫ້OAB ຈ່ື ງົ ໝນູ ປ່ື ິນອອ້ ມຈດຸ O ຢື່ ູຮູບຕນົ້ ແບບ ໄດ້80 ຕາມທດິ ກງົ ກນັ ຂາ້ ມເຂມັ ໂມງ ແລວ້ ຈະໄດ້ OAB ວທິ ແີ ກ:້ ຕວົ ຢື່ າງ 3: ໃຫ້ABC ຈ່ື ງົ ໝນູ ປ່ື ິນອອ້ ມຈດຸ O ໄດ້70 ຢື່ ູນອກຮູບຕນົ້ ແບບຕາມທດິ ເຂມັ ໂມງ ແລວ້ ຈະໄດ້ ABC 45

AOA  BOB  COC  70 4. ໂອໂມເຕຊີ ໃຫເ້ ມດັ  ແລະ ຈານວນຕື່ າງສູນ K , ເມດັ M ປື່ ຽນເປັນເມດັ M  ໂດຍໃຊໂ້ ອໂມເຕຊທີ ່ື ມີ ີ  ເປັນສູນກາງ ແລະ ມີ K ເປັນຕດັ ຕາສື່ ວນ ໂດຍວື່ າ: M   K  M . M  ເປັນໂອໂມເຕຊຂີ ອງເມດັ M ;  ເປັນໂອໂມເຕຊຂີ ອງເມດັ  .  ເງາົ ຂອງທື່ ອນຊື່ ໂດຍໂອໂມເຕຊີ ການຍາ້ ຍຂະໜານ K  1 ການຫຍ້ K  1 0 K 1 K 1 ອດັ ຕາສື່ ວນຫຼາຍ ກວື່ າສູນ K  1 1  K  1 ອດັ ຕາສ່ື ວນຫຼາຍ ກວ່ື າສູນ AB  K  AB AB  K  AB 46

ບດົ ເຝິກຫດັ 1. ການດົ ໃຫຮ້ ູບສື່ ແີ ຈ ABCD ເປັນຮູບທື່ ໄີ ດຈ້ າກການຍາ້ ຍຂະໜານຮູບສ່ື ີ ABCD ດວ້ ຍ AA ດື່ ງັ ຮູບແຕມ້ ລ່ື ຸມນີ້ a. b. c. 2. ຈື່ ງົ ຊອກຫາຮູບທ່ື ໄີ ດຈ້ າກການໝນູ ຮູບຕື່ ໄປນຮີ້ ອບເມດັ P ຕາມທດິ ແລະ ຂະໜານຂອງມຸມທື່ ກີ ານດົ ໃຫ.້ ກ. ທດິ ລາວງົ ລາວ 75 47

ຂ. ຕາມທດິ ເຂມັ ໂມງ 180 ຄ. ໝນູ ຕາມທດິ ເຂມັ ໂມງ 45 ງ. ໝນູ ຕາມທລິ າວງົ ລາວ 90 48

3. ຈື່ ງົ ສາ້ ງຮູບທເີ ຄ່ື ງິ ຄຮູບນທີ້ ຽບໃສ່ື ເສນັ້ ຊ່ື d ຕາມ ແກນຕງັ້ , ແກນນອນ ແລະ ແກນເນງີ້ . a. b. c. ບດົ ທີ 7 ການພວົ ພນັ ໄຕມມູ ມຕິ ໃິ ນຮູບສາມແຈ, ຮູບສ່ື ແີ ຈ ແລະ ຮູບວງົ ມນົ 1. ການພວົ ພນັ ໄຕມມູ ມຕິ ໃິ ນຮູບສາມແຈ 1.1. ການພວົ ພນັ ໄຕມມູ ມຕິ ໃິ ນຮູບສາມແຈສາກ ໃນຮູບສາມແຈ ABC ເຊ່ື ງິ ໃນນນັ້ ມມູ Aˆ  90 , Bˆ  Aˆ  90 ແລະ a2  b 2 c2 ຫກຼັ ເກນ - ຊນິ ຂອງມມູ ເທ່ື າົ ກບັ ຂາ້ ງເຊ່ື ງິ ໜາ້ ຫານໃຫຂ້ າ້ ງກງົ ສາກ. - ໂກຊນິ ຂອງມູມເທື່ າົ ກບັ ຂາ້ ງຕດິ ແປະຫານໃຫຂ້ າ້ ງກງົ ສາກ. 49

- ຕງັ ຂອງມູມເທື່ າົ ກບັ ຂາ້ ງເຊ່ື ງິ ໜາ້ ຫານໃຫຂ້ າ້ ງຕດິ ແປະ. - ຕງັ ຂອງມມູ ເທ່ື າົ ກບັ ຂາ້ ງຕດິ ແປະໃຫຂ້ າ້ ງເຊ່ື ງິ ໜາ້ . - ເຊກັ ຂອງມມູ ເທື່ າົ ກບັ ຂາ້ ງກງົ ສາກຫານໃຫຂ້ າ້ ງເຊ່ື ງິ ໜາ້ . - ໂກເຊກັ ຂອງມມູ ເທ່ື າົ ກບັ ຂາ້ ງກງົ ສາກຫານໃຫຂ້ າ້ ງຕດິ ແປະ. ດ່ື ງັ ນນັ້ ຈາກຮູບຂາ້ ງເທື່ ງິ ເຮາົ ສາມາດຂຽນໄດດ້ ື່ ງັ ນີ້ sin   c , cos  b , tg  c , tg  b a abc sec  1 a ແລະ co sec  1 a sin  c cos ec b ກດິ ຈະກາ 1 : 1. ຈ່ື ງົ ພສິ ູດ sin  c ເຊ່ື ງິ ວ່ື າ c ແມື່ ນຂາ້ ງເຊ່ື ງິ ໜາ້ ແລະ a ແມື່ ນຂາ້ ງກງົ ສາກ a 2. ຈ່ື ງົ ພສິ ູດ cos  b ເຊື່ ງິ ວ່ື າ b ແມື່ ນຂາ້ ງຕດິ ແປະ ແລະ a ແມື່ ນຂາ້ ງກງົ ສາກ a 3. ຈື່ ງົ ພສິ ູດ tg  c ເຊ່ື ງິ ວື່ າ c ແມ່ື ນຂາ້ ງເຊ່ື ງິ ໜາ້ ແລະ b ແມ່ື ນຂາ້ ງຕດິ ແປະ b 4. ຈື່ ງົ ພສິ ູດ tg  b ເຊື່ ງິ ວ່ື າ c ແມ່ື ນຂາ້ ງເຊ່ື ງິ ໜາ້ ແລະ b ແມ່ື ນຂາ້ ງຕດິ ແປະ c ຕວົ ຢື່ າງ1 : ໃຫຮ້ ູບສາມແຈ ABC ສາກຢ່ື ູ A , AB  4cm ແລະ AC  3cm ຈື່ ງົ ຊອກຫາ sin , cos , tg , cotg , sec , cosec , sin  , cos  , tg , cotg , sec  , co sec  ຮູວ້ ່ື າ Cˆ   , Bˆ   ວທິ ແີ ກ ້ ຂສ້ ມົ ມຸດ ໃຫ້ ABC , ສາກຢ່ື ູ A ຮູວ້ ື່ າ AB  4cm , AC  3cm , Cˆ   , Bˆ   ຂສ້ ະຫຸບຼ ຈ່ື ງົ ຊອກຫາ: sin  ?, cos  ? , tg  ? , cotg  ? , sec  ? , cosec  ? , sin   ? , cos   ? , tg  ? , cotg  ? , sec   ? ແລະ co sec  50

ຊອກ BC ອງິ ຕາມ BC 2  AB2  AC2 BC  4cm2  3cm2 BC  16cm2  9cm2 BC  25cm2 BC  5cm ຈະໄດ້ : sin  AB  4cm  4 BC 5cm 5 cos  AC  3cm  3 BC 5cm 5 sec  BC  5cm  5 AC 3cm 3 co sec  BC  5cm  5 AB 4cm 4 tg  AB  4cm AC 3cm cotg  AC  3cm  3 AB 4cm 4 sin   AC  3cm  3 , BC 5cm 5 cos   AB  4cm  4 BC 5cm 5 tg  AC  3cm  3 AB 4cm 4 51

cotg  AB  4cm  4 , AC 3cm 3 sec   BC  5cm  5 AB 4cm 4 co sec   BC  5cm  5 AC 3cm 3 ກດິ ຈະກາ 2 ໃຫຮ້ ູບສາມແຈ MNP ສາກຢ່ື ູ M , MP  6cm ແລະ NM  7cm ຈ່ື ງົ ຊອກຫາ sin , cos , tg , cotg , sec , cosec , sin  , cos  , tg , cotg , sec  , co sec  ຮູວ້ ື່ າ Pˆ   , Nˆ   ກດິ ຈະກາ 3 ຈື່ າົ ງຊອກຂາ້ ງ b , C , Cˆ , sinCˆ , cosCˆ , tgCˆ , cot gCˆ , secCˆ , cosecCˆ ໃນຮູບສາມແຈສາກ ABC . ເມື່ ອຮູວ້ ື່ າຂາ້ ງກງົ ສາກ a  8cmແລະ ມມູ ແຫຼມ Bˆ  30 1.2. ການພວົ ພນັ ໄຕມມູ ມຕິ ໃິ ນຮູບສາມແຈທ່ື ວົ ໄປ 1.2.1 ຫກຼັ ເກນຕາລາຊນິ ໃນຮູບສາມແຈທ່ື ວົ ໄປ ABC ໃຫບ້ ນັ ດາຂາ້ ງທກີ ງົ ກບັ ມມູ Aˆ , Bˆ , Cˆ ແມ່ື ນ a , b , c ຕາມລາດບັ ແລະ ຮູ ້ ວື່ າ Aˆ  Bˆ  Cˆ 180 ຫກຼັ ເກນ ໃນຮູບສາມແຈທື່ ວົ ໄປ, ແຕ່ື ລະຂາ້ ງ ແລະ ຊນິ ຂອງມມູ ທື່ ກີ ງົ ໜາ້ ກບັ ມນັ ປະກອບເປັນອດັ ຕາສ່ື ວນພວົ ພນັ ນາກນັ a  b  c sin Aˆ sin Bˆ sin Cˆ ກດິ ຈະກາ 4 ຈ່ື ງົ ພສິ ູດວ່ື າ a Aˆ  b  c sin sin Bˆ sin Cˆ ຕວົ ຢື່ າງ 2 ໃຫຮ້ ູບສາມແຈ ABC ຮູວ້ ່ື າ b  5cm , Bˆ  30 , Aˆ  45 ຈ່ື ງົ ຊອກຫາ a ແລະ ມູມ Cˆ ຂສ້ ມົ ມຸດ ໃຫ ້  ABC ຮູວ້ ່ື າ b  5cm , Bˆ  30 , Aˆ  45 52

ຂສ້ ະຫຸບຼ ຊອກຫາ a  ? , c  ? ອງິ ຕາມສູດ Aˆ  Bˆ  Cˆ 180  Cˆ  180  Aˆ  Bˆ Cˆ  180  45  30  Cˆ  180  75 Cˆ  105 ດ່ື ງັ ນນັ້ Cˆ 105 ອງິ ຕາມສູດ a Aˆ  b  c sin sin Bˆ sin Cˆ a Aˆ  b sin sin Bˆ ab sin 45 sin 30 a  b 2 1 22 2a  2b 2 2a  2 2b a  2 5cm a  5 2cm ດື່ ງັ ນນັ້ a  5 2cm ແລະ Cˆ 105 ກດິ ຈະກາ 5 ໃຫຮ້ ູບສາມແຈ ABC ຮູວ້ ່ື າ c  4cm, Cˆ  45 , Bˆ  30 ຈື່ ງົ ຊອກຫາ b , a ແລະ ມູມ Aˆ 53

1.2.2 ຫກຼັ ເກນຕາລາໂກຊນິ ໃນຮູບສາມແຈ ABC ເຮາົ ມີ a , b , c ແມື່ ນຂາ້ ງຂອງຮູບສາມແຈ ແລະ ມີ Aˆ , Bˆ , Cˆ ເຊື່ ງິ ວ່ື າ Aˆ  Bˆ  Cˆ  180 ຫກຼັ ເກນ ໃນຮູບສາມແຈໜ່ື ງຶ ກາລງັ ສອງຂອງຂາ້ ງໜ່ື ງຶ ເທື່ າົ ກບັ ຜນົ ບວກລະຫວ່ື າງກາລງັ ສອງຂອງສອງຂາ້ ງອື່ ນລບົ ອອກ ສອງເທ່ື ອຜນົ ຄູນຂອງສອງຂາ້ ງນນັ້ ກບັ ໂກຊນິ ຂອງມູມທື່ ປີ ະກອບດວ້ ຍສອງຂາ້ ງດງັ ື່ກື່ າວ. a2  b2  c2  2bc cos Aˆ b2  a2  c2  2ac cosBˆ c2  a2  b2  2abcosCˆ ກດິ ຈະກາ 6 : ຈື່ ງົ ພສິ ູດວື່ າ: a2  b2  c2  2bc cos Aˆ b2  a2  c2  2ac cosBˆ c2  a2  b2  2ab cosCˆ ຕວົ ຢ່ື າງ 3 : ໃຫຮ້ ູບສາມແຈ ABC ມຂີ າ້ ງ a  2 , c  3cm ແລະ ມມູ Bˆ  30 ຈ່ື ງົ ຊອກຫາຂາ້ ງຂອງ b  ? ຂສ້ ມົ ມຸດ ໃຫ ້  ABC ຮູວ້ ື່ າ a  2cm, c  3 , Bˆ  30 ຂສ້ ະຫຸບຼ ຊອກຫາ b  ? 54

ອງິ ຕາມສູດ b2  a2  c2  2ac cosBˆ 2 2 2 3  2 2  3 cos30    b2  b2  2  3 2 2  3  3 2 b2  5  3 2 b 53 2 ດ່ື ງັ ນນັ້ b  5  3 2 2. ການພວົ ພນັ ໄຕມມູ ຢ່ື ູໃນຮູບສ່ື ແີ ຈ ເຮາົ ມ:ີ h  ADsin 3. ການພວົ ພນັ ໄຕມມູ ມຕິ ໃິ ນຮູບວງົ ມນົ 55

ເຮາົ ມ:ີ tg  sin  cos cot g  cos sin  ກດິ ຈະກາ 7: ຈ່ື ງົ ພສິ ູດວ່ື າ: tg  sin cos cot g  cos sin  1. ເຄື່ ອງໝາຍຂອງໄຕມມູ ມຕິ ິ ເຄ່ື ອງໝາຍຂອງຕາລາຊນິ ( sin ) II I III IV ເຄື່ ອງໝາຍຂອງຕາລາໂກຊນິ ( cos ) II I III IV 56

ເຄື່ ອງໝາຍຂອງຕາລາຕງັ ( tg ) II I III IV ເຄື່ ອງໝາຍຂອງຕາລາໂກຕງັ ( cot g ) III IV ກດິ ຈະກາ 8: 1. ຈ່ື ງົ ຊອກຫາ cos , tg , cotg , sec , cosec ຖາ້ ວ່ື າ sin   5 ຢື່ ູສື່ ວນທີ III 3 2. ຈື່ ງົ ຊອກຫາ sin , cos , tg , cotg , cosec ຖາ້ ວ່ື າ sec   5 ຢື່ ູສື່ ວນທີ II 3 ບດົ ເຝິກຫດັ 1. ໃຫຮ້ ູບສາມແຈ ABC ສາກຢ່ື ູ A , AB  4cm ແລະ BC  5cm ຈ່ື ງົ ຊອກຫາ sin , cos , tg , cotg , sec , cosec , sin  , cos  , tg , cotg , sec  , co sec  ຮູວ້ ື່ າ Cˆ   , Aˆ   2. ໃຫຮ້ ູບສາມແຈ MNP ສາກຢື່ ູ P , MP  7cm ແລະ NP  9cm ຈ່ື ງົ ຊອກຫາ sin , cos , tg , cotg , sec , cosec , sin  , cos  , tg , cotg , sec  , co sec  ຮູວ້ ື່ າ Mˆ   , Nˆ   57

3. ຈ່ື າົ ງຊອກຂາ້ ງ b , C , Cˆ , sinCˆ , cosCˆ , tgCˆ , cot gCˆ , secCˆ , cosecCˆ ໃນຮູບສາມແຈສາກ ABC . ເມື່ ອຮູວ້ ່ື າຂາ້ ງກງົ ສາກ a  5cm ແລະ ມູມແຫຼມ Bˆ  45 4. ຈ່ື າົ ງຊອກຂາ້ ງ a , b , Cˆ , sinCˆ , cosCˆ , tgCˆ , cot gCˆ , secCˆ , cosecCˆ ໃນຮູບສາມແຈສາກ ABC . ເມື່ ອຮູວ້ ື່ າຂາ້ ງກງົ ສາກ c  4cmແລະ ມມູ ແຫມຼ Aˆ  60 5. ຈື່ າົ ງຊອກຂາ້ ງ c , a , Cˆ , sinAˆ , cosAˆ , tgAˆ , cot gAˆ , secAˆ , cosecAˆ ໃນຮູບສາມແຈສາກ ABC . ເມ່ື ອຮູວ້ ່ື າຂາ້ ງກງົ ສາກ b  2cm ແລະ ມມູ ແຫຼມ Bˆ  30 6. ໃຫຮ້ ູບສາມແຈ ABC ຮູວ້ ່ື າ a  3 , Cˆ  60 , Aˆ  45 ຈ່ື ງົ ຊອກຫາ c ແລະ ມູມ Bˆ 7. ໃຫຮ້ ູບສາມແຈ ABC ຮູວ້ ື່ າ b  5cm , Cˆ  60 , Bˆ  30 ຈ່ື ງົ ຊອກຫາ c , a ແລະ ມມູ Aˆ 8. ໃຫຮ້ ູບສາມແຈ ABC ຮູວ້ ່ື າ a  5cm , Aˆ  60 , Bˆ  30 ຈ່ື ງົ ຊອກຫາ c , b ແລະ ມູມ Cˆ 9. ໃຫຮ້ ູບສາມແຈ ABC ຮູວ້ ່ື າ b 10 2cm , Aˆ  30 , Cˆ 105 ຈື່ ງົ ຊອກຫາ a ແລະ ມມູ Bˆ 10. ໃຫຮ້ ູບສາມແຈ ABC ມຂີ າ້ ງ b  3cm , c  5cm ແລະ ມມູ Aˆ  30 ຈ່ື ງົ ຊອກຫາຂາ້ ງຂອງ a  ? 11. ໃຫຮ້ ູບສາມແຈ ABC ມຂີ າ້ ງ c  3 , a  5cm ແລະ ມູມ Bˆ  45 ຈື່ ງົ ຊອກຫາຂາ້ ງຂອງ b  ? 12. ໃຫຮ້ ູບສາມແຈ ABC ມຂີ າ້ ງ b  3 , a  12cm ແລະ ມມູ Cˆ  60 ຈື່ ງົ ຊອກຫາຂາ້ ງຂອງ c  ? 13. ໃຫຮ້ ູບສາມແຈ ABC ມຂີ າ້ ງ c  3 , b  12cm ແລະ a  2 3 ຈ່ື ງົ ຊອກຫາ Aˆ , Bˆ ແລະ Cˆ 14. ໃຫຮ້ ູບສາມແຈ ABC ມຂີ າ້ ງ a  2 , C  8cm ແລະ b  8 ຈ່ື ງົ ຊອກຫາ Bˆ , Aˆ ແລະ Cˆ 15. ຈື່ ງົ ຊອກຫາ sin , tg , cotg , sec , cosec ຖາ້ ວ່ື າ cos   1 2 16. ຈ່ື ງົ ຊອກຫາ sin , cos , tg , cotg , sec ຖາ້ ວ່ື າ co sec 3 ແລະ    3 2 2 17. ຈ່ື ງົ ຊອກຫາ sin , cos , tg , cotg , cosec ຖາ້ ວ່ື າ sec  4 ແລະ 0  3 2 18. ຈື່ ງົ ຊອກຫາ sec 2 , cos 2 , tg2 , cotg 2 , cosec 2 ຖາ້ ວ່ື າ sin  8 ແລະ 0  3 2 19. ຈື່ ງົ ຊອກຫາ sin 2 , cos 2 , tg2 , cotg 2 , cosec 2 ຖາ້ ວ່ື າ sec 4 ແລະ     3 3 2 20. ຈື່ ງົ ຄດິ ໄລື່ ຄື່ າໄຕມມູ ລ່ື ຸມນີ້ 58

a. sin 7 4 b. cos 11 6 c. tg 9 4 d. cot g 13 6 e. cos 21 6 f. sin 25 4 g. sin15 h. cos 75 i. sin105 ບດົ ທີ 8 ເນອ້ ທ່ື ີ ແລະ ບລມິ າດຂອງຮູບເລຂາຄະນດິ ໃນກາງຫາວ 1. ຮູບກອ້ ນສາກ 1.1. ນຍິ າມ ແລະ ຄຸນລກັ ສະນະ ຮູບກອ້ ນສາກແມື່ ນຮູບທ່ື ມີ ີ 6 ໜາ້ ເປັນຮູບຈະຕຸລດັ ມຂີ ະໜານເທື່ າົ ກນັ , ມີ 8 ຈອມ ແລະ 12 ລື່ ຽມມລີ ວງ ຍາວເທື່ າົ ກນັ 59

1.2. ຫກຼັ ເກນ - ບລມິ າດຂອງຮູບກອ້ ນສາກເທື່ າົ ເນອ້ ທື່ ພີ ນ້ ຄູນກບັ ລວງສູງ - ເນອ້ ທ່ື ທີ ງັ ໝດົ ຂອງຮູບກອ້ ນສາກເທ່ື າົ ຜນົ ບວກລະຫວື່ າງສອງເນອ້ ທື່ ພີ ນ້ ກບັ ເນອ້ ທ່ື ອີ ອ້ ມຂາ້ ງ 1.3. ເນອ້ ທື່ ີ ແລະ ບລມິ າດຂອງຮູບກອ້ ນສາກ. -ສູດເນອ້ ທ່ື ທີ ງັ ໝດົ ຂອງຮູບ S ພພ a a  a2 ຈະໄດ:້ S  6(AB)2  6 a2 . S  6a2 - ສູດບລມິ າດຂອງຮູບ: V = ພ V  AB BC  BB '  a a a  a3 V  a3 ຕວົ ຢ່ື າງ 1 ຈ່ື ງົ ຊອກຫາເນອ້ ທື່ ທີ ງັ ໝດົ ແລະ ບລມິ າດຂອງຮູບກອ້ ນສາກໜື່ ງຶ ເຊ່ື ງິ ມລີ ວງຍາວລ່ື ຽມຂາ້ ງເທື່ າົ 5cm . ຂສ້ ມົ ມຸດ ໃຫຮ້ ູບກອ້ ນສາກໜ່ື ງຶ ຮູວ້ ່ື າ a  5cm ຂສ້ ະຫຸບຼ ຈື່ ງົ ຊອກຫາ: S  ? V ? ວທິ ແີ ກ:້ ອງິ ຕາມ S  6a2  S  6 5cm2  S  6  25cm2  S  150cm2 ດ່ື ງັ ນນັ້ S  150cm2 ອງິ ຕາມສູດ V  a3  V  5cm3  V  125cm3 ດ່ື ງັ ນນັ້ V  125cm3 ຕວົ ຢ່ື າງ2: ອ່ື າງແກວ້ ໜ່ື ວຍໜ່ື ງຶ ເປັນຮູບກອ້ ນສາກ ເຊື່ ງິ ມເີ ນອ້ ທ່ື ທີ ງັ ໝດົ ເທ່ື າົ 54m2 ຈ່ື ງົ ຊອກຫາບລມິ າດຂອງຮູບກອ້ ນ ສາກດ່ື ງັ ກ່ື າວ ວທິ ແີ ກ:້ ຂສ້ ມົ ມຸດ ໃຫອ້ ່ື າງແກວ້ ໜື່ ງຶ ເປັນຮູບກອ້ ນສາກ ຮູວ້ ່ື າ S  54m2 ຂສ້ ະຫຸຼບ ຈື່ ງົ ຊອກຫາ: V  ? 60

ອງິ ຕາມສູດ V  a3 1 ກ່ື ອນອື່ ນເຮາົ ຊອກ a ຈາກ S  6a2  54m2  6a2  a  54m2  a  9m2 6  a  9m2  a  3m  a  9m2  a  3m a  3m ແທື່ ນໃສື່ 1 ຈະໄດ້ V  3m3  27m3 ດ່ື ງັ ນນັ້ V  27m3 2. ຮູບກບັ ສາກ. 2.1. ນຍິ າມ ແລະ ຄຸນລກັ ສະນະ ຮູບກບັ ສາກແມື່ ນຮູບກອ້ ນທື່ ມີ ີ 6 ໜາ້ ເຊື່ ງິ ເປັນຮູບສື່ ແີ ຈສາກ, ສອງໜາ້ ທື່ ຢີ ື່ ູເຊື່ ງິ ໜາ້ ກນັ ຂະໜານກນັ , ມຂີ ະໜານ ເທື່ າົ ກນັ , ມີ 8 ຈອມ, 12 ລ່ື ຽມ 4ລື່ ຽມ ຕື່ 4ລື່ ຽມ ຂະໜານກນັ ແລະ ມລີ ວງຍາວເທ່ື າົ ກນັ . 2.2. ຫກຼັ ເກນ - ບລມິ າດຂອງຮູບກບັ ສາກເທື່ າົ ເນອ້ ທື່ ພີ ນ້ ຄນູ ກບັ ລວງສູງ - ເນອ້ ທື່ ທີ ງັ ໝດົ ຂອງຮູບກບັ ສາກເທື່ າົ ຜນົ ບວກລະຫວື່ າງສອງເນອ້ ທື່ ພີ ນ້ ກບັ ເນອ້ ທ່ື ອີ ອ້ ມຂາ້ ງ 2.3. ເນອ້ ທື່ ີ ແລະ ບລມິ າດຂອງຮູບກກບັ ສາກ. - ສູດເນອ້ ທ່ື ທີ ງັ ໝດົ ຂອງຮູບ: S ພ ອຂ 61

ຈະໄດ້ S  2ab  2a  bc - ສູດບລມິ າດຂອງຮູບ: V = ພ ຈະໄດ້ V  abc abc . V  abc ຕວົ ຢ່ື າງ 3: ຫອ້ ງຮຽນໜື່ ງຶ ເປັນຮູບກບັ ສາກເຊ່ື ງິ ມລີ ່ື ຽມຂາ້ ງ 9m , 6m , 3m ຕາມລາດບັ ຈື່ ງົ ຊອກຫາເນອ້ ທື່ື່ ທີ ງັ ໝດົ ແລະ ບລມິ າດ. ວທິ ແີ ກ ້ ຂສ້ ມົ ມຸດ ຫອ້ ງຮຽນໜ່ື ງຶ ເປັນຮູບກບັ ສາກ ຮູວ້ ່ື າ a  9m , b  6m ແລະ c  3m ຂສ້ ະຫຸບຼ ຈ່ື ງົ ຊອກຫາ: S  ? V ? ອງິ ຕາມ S  2ab  2a  bc S  29m6m  29m  6m3m S 108m2  215m3m S  108m2  90m2 S  198m2 62

ອງິ ຕາມ V  abc  9m  6m  3m  162m3 V  162m3 3. ຮູບທ່ື 3.1. ຮູບທ່ື ກມົ 3.1.1 ນຍິ າມ ແລະ ຄຸນລກັ ສະນະ ຮູບທ່ື ກມົ ແມ່ື ນຮູບທ່ື ທ່ື ມີ ທີ ງັ ສອງພນ້ ເປັນຮູບແຜ່ື ນມນົ ມລີ ດັ ສະໝເີ ທ່ື າົ ກນັ ແລະ ຢື່ ູໜາ້ ພຽງທ່ື ຂີ ະໜານກນັ , ເສນັ້ ກາເນດີ ຕງັ້ ສາກກບັ ພນ້ ລວງຍາວຂອງເສນັ້ ກາເນດີ ແມື່ ນລວງສູງຂອງຮູບທ່ື . 3.1.2 ຫຼກັ ເກນ - ບລມິ າດຂອງຮູບທື່ ກມົ ເທ່ື າົ ເນອ້ ທ່ື ພີ ນ້ ຄນູ ກບັ ລວງສູງ - ເນອ້ ທ່ື ທີ ງັ ໝດົ ຂອງຮູບທ່ື ກມົ ເທ່ື າົ ຜນົ ບວກລະຫວ່ື າງສອງເນອ້ ທື່ ພີ ນ້ ກບັ ເນອ້ ທ່ື ອີ ອ້ ມຂາ້ ງ 3.1.3 ເນອ້ ທ່ື ີ ແລະ ບລມິ າດຂອງຮູບທ່ື ກມົ ສູດເນອ້ ທື່ ທີ ງັ ໝດົ ຂອງຮູບ S ພ ອຂ / ພ R 2 ອຂ 2Rh ຈະໄດ:້ S  2 R2  2 Rh . - ສູດຄດິ ໄລ່ື ບລມິ າດຂອງຮູບທ່ື ກມົ V = ພ ຈະໄດ ້ V  R 2h . - ສນັ ຍາລກັ R ເປັນລດັ ສະໝຂີ ອງຮູບ. - ສນັ ຍາລກັ h ເປັນລວງສູງຂອງຮູບ. ຕວົ ຢ່ື າງ4: ຈື່ ງົ ຊອກຫາເນອ້ ທື່ ີ ແລະ ບລມິ າດຂອງຮູບທ່ື ກມົ ດ່ື ງັ ຮູບແຕມ້ . 63

ວທິ ແີ ກ:້ ຂສ້ ມົ ມຸດ ໃຫຮ້ ູບທ່ື ກມົ ໜື່ ງຶ ຮູວ້ ື່ າ R  2cm ແລະ h  3cm ຂສ້ ະຫຸຼບ ຈ່ື ງົ ຊອກຫາ: S  ? V ? ອງິ ຕາມສູດ S  2 R2  2 Rh S  23.142cm2  23,142cm3cm S  25,12cm2  37,68cm2 S  62,8cm2 ອງິ ຕາມ V   R2h V  3,142cm2 3cm V 12cm3 3,14 V  37,68cm3 ຕວົ ຢ່ື າງ5: ຖງັ ໜື່ ວຍໜື່ ງຶ ເປັນຮູບທື່ ກມົ ທມີ ເີ ສນັ້ ຜ່ື າໃຈກາງ1m ແລະ ມລີ ວງສູງ 1, 4m ຮູວ້ ື່ າປາກເບອ້ ງເທງິ ບ່ື ມຜີ າອດັ ຈ່ື ງົ ຊອກຫາ ເນອ້ ທທີ ງັ ໝດົ ແລະ ບລມິ າດຂອງຮູບທື່ ດື່ ງັ ກ່ື າວ ວທິ ແີ ກ:້ ຂສ້ ມົ ມຸດ ໃຫຖ້ ງັ ໜື່ ວຍໜ່ື ງຶ ເປັນຮູບທ່ື ກມົ ຮູວ້ ່ື າ: ປາກເບອ້ ງເທງິ ບື່ ມຜີ າອດັ , d 1m ແລະ h  1, 4m ຂສ້ ະຫຸບຼ ຈື່ ງົ ຊອກຫາ: S  ? V ? 64

ອງິ ຕາມສູດ S   R2  2 dh S  3,140,5m2  23,141m1, 4m  S  3,14 0, 25m2  8, 792m2 S  0,785m2  8,792m2 S  9,577m2 ອງິ ຕາມສູດ V   R2h V  3,141, 4m0,5m2 V  4,396m 0, 25m2  V  1,099m3 3.2. ຮູບທ່ື ລຽມ 3.2.1 ນຍິ າມ ແລະ ຄຸນລກັ ສະນະ ຮູບທ່ື ລື່ ຽມແມື່ ນຮູບກອ້ ນທ່ື ມີ ສີ ອງໜາ້ ເປັນຮູບຫຼາຍແຈເທ່ື າົ ກນັ ແລະ ຢື່ ູໃນໜາ້ ພຽງທ່ື ຂີ ະໜານກນັ ເອນີ້ ວື່ າພນ້ , ໜາ້ ຂາ້ ງເປັນຮູບສື່ ແີ ຈສາກ ທ່ື ມີ ຈີ ານວນເທື່ າົ ກນັ ກບັ ຈານວນຂາ້ ງຂອງ ແລະ ທຸກລື່ ຽມຂາ້ ງລວ້ ນແຕື່ ມລີ ວງຍາວເທື່ າົ ກນັ ຕງັ້ ສາກກບັ ພນ້ ເອນີ້ ວ່ື າລວງສູງຂອງຮູບທື່ ລ່ື ຽມ. 3.2.2 ຫກຼັ ເກນ - ບລມິ າດຂອງຮູບທ່ື ລື່ ຽມເທື່ າົ ເນອ້ ທື່ ພີ ນ້ ຄູນກບັ ລວງສູງ - ເນອ້ ທ່ື ທີ ງັ ໝດົ ຂອງຮູບທ່ື ລ່ື ຽມເທ່ື າົ ຜນົ ບວກລະຫວ່ື າງສອງເນອ້ ທື່ ພີ ນ້ ກບັ ເນອ້ ທ່ື ອີ ອ້ ມຂາ້ ງ 65

3.2.3 ເນອ້ ທ່ື ີ ແລະ ບລມິ າດຂອງຮູບທື່ ລື່ ຽມ - ສູດຄດິ ໄລ່ື ເນອ້ ທື່ ທີ ງັ ໝດົ ຂອງຮູບທ່ື ສາມລື່ ຽມ S ພ ອຂ ເຊື່ ງິ ວື່ າ ອຂ ( AB  AC  BC ).h ຈະໄດ້ ������ທໝ   AB  AC  BC h  2 ພ - ສູດຄດິ ໄລື່ ບລມິ າດຂອງຮູບທ່ື ສາມລື່ ຽມ V = ພ ດ່ື ງັ ນນັ້ V = ພ ກດິ ຈະກາ 1: ຈື່ ງົ ຊອກຫາເນອ້ ທ່ື ີ ແລະ ບລມິ າດຂອງຮູບທື່ ລື່ ຽມ, ພນ້ ເປັນຮູບສາມແຈສະເໝຂີ າ້ ງເທື່ າົ ກບັ 3cm , ແລະ ລວງສູງແມື່ ນ 7 cm . 4. ເນອ້ ທ່ື ີ ແລະ ບລມິ າດຂອງຮູບຈວຍ 4.1. ນຍິ າມ ແລະ ຄຸນລກັ ສະນະ ຮູບຈວຍແມື່ ນຮູບທ່ື ມີ ພີ ນ້ ເປັນຮູບແຜ່ື ນມນົ , ຈອມຢ່ື ູທ່ື ແີ ກນຂອງພນ້ , ໜາ້ ອອ້ ມຂາ້ ງຢ່ື ູລະຫວ່ື າງພນ້ ກບັ ຈອມ, ໄລຍະຫ່ື າງລະຫວື່ າງຈອມຫາພນ້ ເອນີ້ ວື່ າລວງສູງ ແລະ ລວງຍາວຂອງແຕື່ ລະເສນັ້ ໃຫກ້ າເນດີ ເທື່ າົ ກນັ . 4.2. ຫກຼັ ເກນ - ບລມິ າດຂອງຮູບຈວຍເທ່ື າົ 1 ຂອງຜນົ ຄນູ ລະຫວື່ າງເນອ້ ທື່ ພີ ນ້ ກບັ ລວງສູງ 3 - ເນອ້ ທ່ື ທີ ງັ ໝດົ ຂອງຮູບຈວຍເທ່ື າົ ຜນົ ບວກລະຫວ່ື າງເນອ້ ທ່ື ພີ ນ້ ກບັ ເນອ້ ທ່ື ອີ ອ້ ມຂາ້ ງ - ເນອ້ ທື່ ຂີ ອ້ ມຂາ້ ງຂອງຮູບຈວຍເທ່ື າົ ເຄ່ື ງິ ລວງຮອບພນ້ ຄູນເສນັ້ ກາເນນີ 4.3. ເນອ້ ທື່ ີ ແລະ ບລມິ າດຂອງຮູບຈວຍ. - ສູດຄດິ ໄລເນອ້ ທື່ ທີ ງັ ໝດົ ຂອງຮູບຈວຍ ������ທໝ ພ ອຂ / ພ R2 ອຂ R  ( AS) h ຈະໄດ:້ ������ທໝ  R  (AS) R2 . -ຊອກຫາ AS  h2  R2 - ສູດຄດິ ໄລື່ ບລມິ າດ V = ພ 66

V  1 R 2 .h 3 ກດິ ຈະກາ 2: ຈື່ ງົ ຊອກຫາເນອ້ ທ່ື ີ ແລະ ບລມິ າດຂອງຮູບຈວຍທື່ ມີ ລີ ວງສູງແມື່ ນ h  3cm ແລະ ລດັ ສະໝີ R  2 cm . 5. ເນອ້ ທ່ື ີ ແລະ ບລມິ າດຂອງຮູບທາດລ່ື ຽມ 5.1. ນຍິ າມ ແລະ ຄຸນລກັ ສະນະ ຮູບທາດລື່ ຽມແມ່ື ນຮູບກອ້ ນເຊ່ື ງິ ມທີ ຸກໆ ໜາ້ ຂາ້ ງເປັນຮູບສາມແຈທື່ ມີ ຈີ ອມຮ່ື ວມກນັ ເອນີ້ ວ່ື າຈອມຂອງຮູບທາດ ລ່ື ຽມ, ໜາ້ ໜ່ື ງຶ ເປັນຮູບຫຼາຍແຈເອນີ້ ວື່ າພນ້ ຂອງຮູບທາດລື່ ຽມ ແລະ ໄລຍະຫື່ າງແຕື່ ຈອມຫາພນ້ ເອນີ້ ວື່ າ ລວງສູງ . 5.2. ຫກຼັ ເກນ - ບລມິ າດຂອງຮູບທາດລື່ ຽມເທື່ າົ 1 ຂອງຜນົ ຄູນລະຫວ່ື າງເນອ້ ທ່ື ພີ ນ້ ກບັ ລວງສູງ 3 - ເນອ້ ທ່ື ທີ ງັ ໝດົ ຂອງຮູບທາດລ່ື ຽມເທ່ື າົ ຜນົ ບວກລະຫວ່ື າງເນອ້ ທື່ ພີ ນ້ ກບັ ເນອ້ ທື່ ອີ ອ້ ມຂາ້ ງ 5.3. ເນອ້ ທ່ື ີ ແລະ ບລມິ າດຂອງຮູບທາດລື່ ຽມສະເໝ.ີ ຮູບທາດລື່ ຽມສະເໝແີ ມື່ ນຮູບທື່ ມີ ພີ ນ້ ຂອງມນັ ເປັນຮູບຫຼາຍແຈສະເໝ,ີ ບນັ ດາລ່ື ຽມຂາ້ ງຂອງມນັ ມຄີ ວາມຍາວ ເທ່ື າົ ກນັ , ທຸກໆໜາ້ ເປັນຮູບສາມແຈທ່ື ຽງເທ່ື າົ ກນັ ແລະ ລວງສູງຂອງຮູບທາດລື່ ຽມສະເໝຜີ ່ື ານເມດັ ໃຈກາງຂອງພນ້ - ສູດຄດິ ໄລື່ ເນອ້ ທ່ື ທີ ງັ ໝດົ ������ທໝ  Sº/¢  S² . - ສູດຄດິ ໄລ່ື ເນອ້ ທ່ື ອີ ອ້ ມຂາ້ ງ Sº/¢  1 ( AB  AC  BC )  d / d ທ່ື ອນສູນສາກ 2 - ສູດຄດິ ໄລື່ ບລມິ າດ V  1 S ² h. 3 - ສນັ ຍາລກັ d ເປັນເສນັ້ ທ່ື ອນສາກຂອງຮູບ . - ສນັ ຍາລກັ h ເປັນລວງສູງ ກດິ ຈະກດິ 3: ຈ່ື ງົ ຊອກຫາເນອ້ ທື່ ີ ແລະ ບລມິ າດຂອງຮູບທ່ື ຫ່ື ຼຽມ, ພນ້ ເປັນຮູບສາມແຈສະເໝຂີ າ້ ງເທື່ າົ ກບັ 4cm , ລວງ ສູງແມື່ ນ h  6 cm ແລະ ເສນັ້ ທື່ ອນສາກແມ່ື ນ8cm . 6. ຮູບໜ່ື ວຍມນົ 6.1. ນຍິ າມ ແລະ ຄຸນລກັ ສະນະ 67

ຮູບໜ່ື ວຍມນົ ທ່ື ມີ ເີ ມດັ ໃຈກາງ O ແລະ ລດັ ສະໝີ R ແມື່ ນກື່ ຸມຂອງບນັ ດາເມດັ ຢື່ ູໃນກາງຫາວເຊື່ ງິ ໄລຍະຫື່ າງຈາກ ເມດັ O ເທື່ າົ ກບັ R 6.2. ຫກຼັ ເກນ - ບລມິ າດຂອງຮູບໜ່ື ວຍມນົ ເທ່ື າົ 2 ຂອງຜນົ ຄູນລະຫວື່ າງເນອ້ ທ່ື ວີ ງົ ມນົ ກບັ ເສນັ້ ຜື່ ານໃຈກາງ 3 - ເນອ້ ທ່ື ທີ ງັ ໝດົ ຂອບຮູບໜ່ື ວຍມນົ ເທື່ າົ ລວງຮອບຂອງວງົ ມນົ ໃຫຍ່ື ຄູນກບັ ເສນັ້ ຜື່ ານໃຈກາງ ຫຼ ເທ່ື າົ ສື່ ເີ ທື່ ອຂອງເນອ້ ທື່ ີ ວງົ ມນົ . 6.3. ເນອ້ ທ່ື ີ ແລະ ບລມິ າດຂອງໜ່ື ວຍມນົ . - ສູດຄດິ ໄລື່ ເນອ້ ທ່ື ທີ ງັ ໝດົ ຂອງຮູບໜື່ ວຍກມົ S  4R2 . - ສູດຄດິ ໄລ່ື ບລມິ າດຂອງຮູບໜື່ ວຍກມົ V  4R3 . 3 - ສນັ ຍາລກັ R ເປັນລດັ ສະໝຂີ ອງຮູບໜ່ື ວຍມນົ . ກດິ ຈະກາ 4: ຈ່ື ງົ ຊອກຫາເນອ້ ທ່ື ີ ແລະ ບລມິ າດຂອງຮູບໜື່ ວຍມນົ ເມ່ື ອຮູລ້ ດັ ສະໝແີ ມ່ື ນ R  5cm . ບດົ ເຝິກຫດັ 1. ຊອກຫາເນອ້ ທ່ື ີ ແລະ ບລມິ າດຂອງຮູບກອ້ ນສາກທື່ ມີ ຂີ າ້ ງເທື່ າົ ກບັ 4cm . 2. ຊອກຫາເນອ້ ທ່ື ີ ແລະ ບລມິ າດຂອງຮູບກບັ ສາກທ່ື ມີ ຂີ ະໜາດເທ່ື າົ ກບັ 4 cm , 6 cm , 7 cm ຕາມລາ ດບັ . 3. ຊອກຫາເນອ້ ທື່ ີ ແລະ ບລມິ າດຂອງຮູບທ່ື ທື່ ມີ ລີ ດັ ສະມເີ ທ່ື າົ ກບັ 4 cm ແລະ ລວງສູງເທ່ື າົ ກບັ 3cm 4. ອື່ າງເກບັ ນາ້ ອນັ ໜື່ ງຶ ເປັນຮູບກບັ ສາກເຊ່ື ງິ ວ່ື າລວງກວ້ າງເທ່ື າົ ກບັ 2m , ລວງຍາວເທື່ າົ 3 ເທ່ື ອຂອງລວງ ກວ້ າງ ແລະ ລວງສູງເທື່ າົ ກບັ ເຄ່ື ງິ ໜື່ ງຶ ຂອງລວງຍາວ ຈື່ ງົ ຊອກຫາເນອ້ ທື່ ທີ ງັ ໝດົ ແລະ ບລມິ າດຂອງອື່ າງດ່ື ງັ ກື່ າວ. 5. ສາມໜາ້ ຮ່ື ວມຈອມດຽວຂອງຮູບກບສາກໜ່ື ງຶ ມເີ ນອ້ ທ່ື ີ ເທື່ າົ 20cm2 , 28cm2 ແລະ 35cm2 ຈື່ ງົ ຊອກຫາບລມິ າດຂອງຮູບກບັ ສາກນນັ້ 6. ຊອກຫາເນອ້ ທ່ື ີ ແລະ ບລມິ າດຂອງຮູບທ່ື ທື່ ມີ ລີ ດັ ສະມເີ ທ່ື າົ ກບັ 6 cm ແລະ ລວງສູງເທື່ າົ ກບັ 10cm. 7. ຊອກຫາເນອ້ ທ່ື ີ ແລະ ບລມິ າດຂອງຮູບທ່ື ລື່ ຽມທື່ ມີ ຂີ າ້ ງພນ້ ເທ່ື າົ ກບັ 4 cm , 6 cm , 7 cm ແລະ ລວງສູງເທື່ າົ ກບັ 3cm . 68

8. ຊອກຫາເນອ້ ທື່ ີ ແລະ ບລມິ າດຂອງຮູບຈວຍທື່ ມີ ລີ ດັ ສະໝພີ ນ້ ເທ່ື າົ ກບັ 2cm ແລະ ລວງສູງເທື່ າົ ກບັ 3cm 9. ຊອກຫາເນອ້ ທື່ ີ ແລະ ບລມິ າດຂອງຮູບສລີ ່ື ຽມສະເໝທີ ື່ ມີ ຂີ າ້ ງເທ່ື າົ ກບັ 7 cm ແລະ ລວງສູງເທ່ື າົ ກບັ 9cm . 10. ຊອກຫາເນອ້ ທື່ ີ ແລະ ບລມິ າດຂອງຮູບຈວຍທ່ື ມີ ລີ ດັ ສະໝພີ ນ້ ເທ່ື າົ ກບັ 2cm ແລະ ລວງສູງເທ່ື າົ ກບັ 3cm . 11. ຊອກຫາເນອ້ ທື່ ີ ແລະ ບລມິ າດຂອງຮູບໜື່ ວຍມນົ ທ່ື ມີ ລີ ດັ ສະໝພີ ນ້ ເທ່ື າົ ກບັ 8cm . 12. ໃຫຮ້ ູບຈວຍກຸດໜື່ ງຶ ທມີ ລີ ດັ ສະໝີ 5cm ແລະ 4cm ລວງສູງ 3cm ຈື່ ງົ ຊອກຫາບລມິ າດລມິ າດ ແລະ ເນອ້ ທື່ ທີ ງັ ໝົ 69

ບດົ ທີ 9 ເລຂາສະຖານ 1. ມະໂນພາບກ່ື ຽວກບັ ເລຂາສະຖານ ໃນຊວີ ດິ ປະຈາວນັ ເຮາົ ເຄຍີ ພນົ ເຫນັ ລກັ ສະນະເລຂາສະຖານຢ່ື າງຫວຼ ງຫາຼ ຍເຊື່ ນັ ເສນັ້ ເນ່ື ງັ ຈອມ, ໜາ້ ບຽງ, ເສນັ້ ເນ່ື ງັ ຊື່ ຕື່ າງໆ ແລະ ໜາ້ ຕດັ ຕື່ າງໆ ຂອງຫອ້ ງຮຽນ, ເຮອນ, ອ່ື າງນາ້ ... ຕວົ ຢ່ື າງ 1: ຈື່ ງົ ນບັ ຈານວນໜາ້ m , ຈານວນຈອມ d ແລະ ຈານວນລື່ ຽມ c ຂອງບນັ ດາຮູບກອ້ ນຫຼາຍໜາ້ ລື່ ຸມນພີ້ ອ້ ມ ທງັ ຂຽນໃສື່ ຕາຕາລາງລ່ື ຸມນ:ີ້ ຊື່ ຮູບກອ້ ນຫາຼ ຍໜາ້ m d c M+d-c 1 ຮູບທາດສາມລື່ ຽມ 446 2 2 ຮູບທາດສ່ື ລີ ່ື ຽມ 558 2 3 ຮູບທື່ ສາມລື່ ຽມ 4 ຮູບທ່ື ສ່ື ລີ ່ື ຽມ 569 2 5 ຮູບທາດສ່ື ລີ ື່ ຽມກຸດ 6 8 12 2 6 8 12 2 6 ຮູບທາດຫກົ ລ່ື ຽມ 7 7 12 2 ຕວົ ຢ່ື າງ 2: ໃນຮູບທ່ື ລຽມເຊື່ ງິ ພນ້ ເປັນຮູບ 4ແຈ, 5ແຈ, 6ແຈ,...,nແຈ ເຮາົ ອາດແຕມ້ ໄດເ້ ທ່ື າົ ໃດເສນັ້ ເນ່ື ງັ ຈອມ? ຖາ້ ບ ຈາກດັ ຈອມໜ່ື ງຶ ແຕມ້ ເສນັ້ ເນ່ື ງັ ຈອມທງັ ໝດົ ຈກັ ເສນັ້ ? ວທິ ແີ ກ:້ ໃນຮູບທ່ື ລຽມເຊື່ ງິ ພນ້ ເປັນຮູບ 4ແຈ ສາມາດແຕມ້ ໄດທ້ ງັ ໝດົ 4 ເສນັ້ ເນ່ື ງັ ຈອມທ່ື ສີ າມາດຄດິ ໄລື່ ໄດດ້ ່ື ງັ ນ:ີ້ 4(4  3)  4.1  4 ເສນັ້ - ວທິ ສີ າ້ ງແຕມ້ ຮູບ 70

ໃນຮູບທ່ື ລຽມເຊື່ ງິ ພນ້ ເປັນຮູບ 5 ແຈ ສາມາດແຕມ້ ໄດທ້ ງັ ໝດົ 10 ເສນັ້ ເນື່ ງັ ຈອມທື່ ສີ າມາດຄດິ ໄລື່ ໄດດ້ ່ື ງັ ນ:ີ້ 5(5  3)  5.2  10 ເສນັ້ - ວທິ ສີ າ້ ງແຕມ້ ຮູບ ໃນຮູບທ່ື ລຽມເຊ່ື ງິ ພນ້ ເປັນຮູບ 6 ແຈ ສາມາດແຕມ້ ໄດທ້ ງັ ໝດົ 18 ເສນັ້ ເນື່ ງັ ຈອມທື່ ສີ າມາດຄດິ ໄລ່ື ໄດດ້ ື່ ງັ ນ:ີ້ 6(6  3)  6.3  18 ເສນັ້ - ວທິ ສີ າ້ ງແຕມ້ ຮູບ ຜ່ື ານການຄດິ ໄລື່ ເສນັ້ ເນື່ ງັ ຈອມຂອງຮູບທື່ 4ລ່ື ຽມ, 5ລື່ ຽມ ແລະ 6ລື່ ຽມ ຂາ້ ງເທງິ ເຮາົ ສາມຄດິ ໄລື່ ໄປຕາມຈານວນແຈ ຂອງຮູບ ແລະ ໄດສ້ ູດຄດິ ໄລ່ື ເສນັ້ ເນ່ື ງັ ຈອມຂອງຮູບທື່ n ລ່ື ຽມແມື່ ນ: n(n  3), n ເປັນຈານວນຖວ້ ນບວກ, ເຊ່ື ງິ n  4 . ຕວົ ຢ່ື າງ 3: ໃນຮູບທ່ື ລຽມເຊື່ ງິ ພນ້ ເປັນ ຮູບສ່ື ແີ ຈ, ຫາ້ ແຈ, ຫກົ ແຈ,..., n ແຈ ເຮາົ ແຕມ້ ໄດຈ້ ກັ ໜາ້ ບ່ື ຽງ? ຖາ້ ບ່ື ຈາກດັ ຢ່ື ູ ລື່ ຽມຂາ້ ງໜ່ື ງຶ ແຕມ້ ໜາ້ ບ່ື ຽງທງັ ໝດົ ຈກັ ໜາ້ ບື່ ຽງ? ວທິ ແີ ກ:້ ໃນຮູບທື່ 4ລ່ື ຽມ ເຊ່ື ງິ ສາມາດແຕມ້ ໄດທ້ ງັ ໝດົ 2 ໜາ້ ບຽງ ທ່ື ສີ າມາດຄດິ ໄລື່ ໄດດ້ ື່ ງັ ນ:ີ້ 44  3 2  2 ໜາ້ ບ່ື ຽງ 71

- ວທິ ສີ າ້ ງແຕມ້ ຮູບ ໃນຮູບທ່ື 5ລື່ ຽມ ເຊື່ ງິ ສາມາດແຕມ້ ໄດທ້ ງັ ໝດົ 5 ໜາ້ ບຽງ ທື່ ສີ າມາດຄດິ ໄລື່ ໄດນ້ :ີ້ 55  3  5 ໜາ້ ບ່ື ຽງ 2 - ວທິ ສີ າ້ ງແຕມ້ ຮູບ ໃນຮູບທ່ື 6ລື່ ຽມ ເຊື່ ງິ ສາມາດແຕມ້ ໄດທ້ ງັ ໝດົ 9 ໜາ້ ບຽງ ທ່ື ສີ າມາດຄດິ ໄລື່ ໄດນ້ :ີ້ 6 6  3  9 ໜາ້ ບ່ື ຽງ 2 - ວທິ ສີ າ້ ງແຕມ້ ຮູບ ຜ່ື ານການຄດິ ໄລື່ ໜາ້ ຂອງຮູບທ່ື 4ລ່ື ຽມ, 5ລື່ ຽມ ແລະ 6ລື່ ຽມ ຂາ້ ງເທງິ ເຮາົ ສາມາດຂຽນສູດຄດິ ໄລ່ື ໜາ້ ບຽງຂອງຮູບທື່ n ລ່ື ຽມແມ່ື ນ: nn 3 n ເປັນຈານວນຖວ້ ນບວກ, ເຊ່ື ງິ n  4 . 2, 72

2. ການນາໃຊເ້ ລຂາສະຖານເຂາົ້ ໃນການສາ້ ງແຕມ້ ຮູບ ຕວົ ຢື່ າງ: ພນ້ ຂອງຮູບທ່ື ລື່ ຽມເປັນຮູບດອກຈນັ ບນັ ດາເສນັ້ ເນ່ື ງັ ຈອມຂອງຮູບທທື່ ລ່ື ຽມນນັ້ ຍາວ 9cm ແລະ 15cm ລວງສູງເທ່ື າົ 5cm ຈື່ ງົ ສາ້ ງແຕມ້ ຮູບດື່ ງັ ກື່ າວ ວທິ ແີ ກ ້ - ການສາ້ ງແຕມ້ ຮູບ D' C' ຂສ້ ມົ ມຸມ ໃຫຮ້ ູບທ່ື 4ລ່ື ຽມທ່ື ຽງ ABCD . A'B'C'D' ທື່ ມີ ຂີ າ້ ງ A' B' AC' 15cm, BD'  9cm,C'B'  5cm D C ຂສ້ ະຫຸຼບ ຈື່ ງົ ສາ້ ງແຕມ້ ຮູບ A B ຕວົ ຢ່ື າງ 2: ໃຫທ້ ື່ ກມົ ໜ່ື ງຶ ມລີ ດັ ສະໝພີ ນ້ ເທ່ື າົ ກບັ 30cm ລວງສູງເທື່ າົ 70cm ແລະ ໜາ້ ຕດັ ຂະໜານກບັ ແກນຫື່ າງຈາກ ແກນ10cm. ຈື່ ງົ ຈື່ ງົ ສາ້ ງແຕມ້ ຮູບດ່ື ງັ ກ່ື າວ  ວທິ ແີ ກ ້ - ການສາ້ ງແຕມ້ ຮູບ ຂສ້ ມົ ມຸດ ໃຫຮ້ ູ ້ r  30cm, h  70cm ໜາ້ ຕດັ ຂະໜານກບັ ແກນຫ່ື າງຈາກແກນ10cm. ຂສ້ ະຫຸຼບ ຈ່ື ງົ ສາ້ ງແຕມ້ ຮູບ ຕວົ ຢ່ື າງ3: ຮູບທາດສື່ ລີ ື່ ຽມສະເໝມີ ຂີ າ້ ງພນ້ ເທື່ າົ a , ບນັ ດາລ່ື ຽມຂາ້ ງກ່ື ເທື່ າົ a , ໜາ້ ບ່ື ຽງ S ຈື່ ງົ ສາ້ ງແຕມ້ ຮູບດື່ ງັ ກ່ື າວ ວທິ ແີ ກ:້ - ການສາ້ ງແຕມ້ ຮູບ 73

ຂສ້ ມົ ມຸດ ໃຫ ້ ຮູບທາດສື່ ລີ ຽມສະເໝຂີ າ້ ງພນ້ a , ຂສ້ ະຫຸຼບ ລື່ ຽມຂາ້ ງ a ແລະ ໜາ້ ບື່ ຽງ S ຈື່ ງົ ສາ້ ງແຕມ້ ຮູບ 3. ບດົ ເລກສາ້ ງແຕມ້ ຮູບ ແລະ ການຄດິ ໄລື່ ເລຂາສະຖານ ຕວົ ຢື່ າງ1 ໃນຮູບກບັ ທື່ ຽງລື່ ຽມຂາ້ ງຂອງມນັ ຍາວ 9cm ບນັ ດາຂາ້ ງຂອງພນ້ ຍາວ 7cm ແລະ 11cm ເສນັ້ ເນ່ື ງັ ຈອມຂອງ ພນ້ ເສນັ້ ໜື່ ງຶ ຍາວ 14cm. ຈ່ື ງົ ຊອກລວງຍາວຂອງບນັ ດາເສນັ້ ເນ່ື ງັ ຈອມຂອງຮູບດື່ ງັ ກ່ື າວ? ວທິ ແີ ກ:້ C' ຂສ້ ມົ ມຸດ ໃຫຮ້ ູບກບັ ທ່ື ຽງ ABCD, A'B'C'D' - ການສາ້ ງແຕມ້ ຮູບ B' 9cm AA '  9cm, AB  11cm, BC  7cm, BD  14cm D' A' D 14cm C ຂສ້ ະຫຸບຼ ຊອກຫາ A'C  ?, BD'  ? A 11cm 7cm B ຊອກເສນັ້ ເນື່ ງັ ຈອມ AC ຂອງພນ້ ABCD, A'B'C'D' ເຮາົ ມ:ີ AC 2  AB2  BC 2  112  72  121 49  170  AC  170  13, 03cm ຊອກຫາລວງຍາວຂອງເສນັ້ ເນື່ ງັ ຈອມ A'C ໃນຮູບສາມແຈສາກ A' AC ເຮາົ ມ:ີ AC2  AA2  AC2 74

A'C 2  A ' A2  AC 2  92  ( 170)2  81170  251  A'C  251cm ຊອກລວງຍາວເສນັ້ ເນ່ື ງັ ຈອມ B'D ໃນຮູບສາມແຈ BDD' ເຮາົ ມ:ີ BD'2  BD2  DD'2  142  92  196  81  277  BD'  277cm ດື່ ງັ ນນັ້ ລວງຍາວຂອງບນັ ດາເສນັ້ ເນື່ ງັ ຈອມຮູບກບັ ແມ່ື ນ 251 ແລະ 277 ຕວົ ຢ່ື າງ 2: ໃຫຮ້ ູບທ່ື ກມົ ໜ່ື ງຶ ມເີ ສນັ້ ຜື່ າໃຈກາງພນ້ ເທື່ າົ ກບັ 30cm ລວງສູງເທື່ າົ 70cm ແລະ ໜາ້ ຕດັ ຂະໜານກບັ ແກນ ຫ່ື າງຈາກແກນ10cm. ຈ່ື ງົ ຊອກບລມິ າດຂອງທ່ື ກມົ ແລະ ເນອ້ ທື່ ໜີ າ້ ຕດັ ນນັ້ ?  ວທິ ແີ ກ ້ ຂສ້ ມົ ມຸດ ໃຫຮ້ ູ ້ d  30cm , h  70cm ແລະ ໜາ້ ຕດັ ຂະໜານກບັ ແກນຫ່ື າງຈາກແກນ h 10cm ຂສ້ ະຫຸຼບ ຊອກຫາ V  ? ������ໜຕ ຊອກຫາ: V  ? ຈາກສູດເຮາົ ມ:ີ V  r 2h ເຮາົ ໄດ:້ V  3.14302.70  197820cm3 ດ່ື ງັ ນນັ້ , ບລມິ າດຂອງຮູບທື່ ກມົ ເທ່ື າົ ກບັ 197820cm3 ຊອກຫາ: ������ໜຕ ຈາກສູດເຮາົ ມ:ີ ������ໜຕ h.AD / AD  2ND  2ND.h - ຊອກຫາ: ND  ? ຈາກສູດເຮາົ ມ:ີ ND2  OD2  ON 2  ND2  302 102  900  100  800  ND  800  400.2  20 2cm ຈະໄດ້ ������ໜຕ 2  20 2  70  2800cm2 ດື່ ງັ ນນັ້ ເນອ້ ທ່ື ໜີ າ້ ຕດັ ຂອງຮູບທ່ື ເທ່ື າົ 2800cm 75

ຕວົ ຢື່ າງ 3 ຮູບຈວຍໜື່ ງຶ ມລີ ວງສູງ h  20cm , ລດັ ສະໝຂີ ອງພນ້ ເທ່ື າົ r  25cm .ເພື່ ນິ ສາ້ ງໜາ້ ຕດັ ຜື່ ານຈອມຂອງຮູບ ຈວຍໂດຍທ່ື ວີ ື່ າໄລຍະຫ່ື າງແຕື່ ໃຈກາງຂອງພນ້ ເຖງິ ໜາ້ ຕດັ d  12cm.ຈື່ ງົ ຄດິ ໄລ່ື ເນອ້ ທ່ື ຂີ ອງໜາ້ ຕດັ ນນັ້ ແລະ ບລມິ າດ ຂອງຮູບຈວຍ?  ວທິ ແີ ກ ້ ຂສ້ ມົ ມຸດ ໃຫຮ້ ູວ້ ່ື າ h  20cm; r  25cm ຂສ້ ະຫຸຼບ d  12cm ໄລຍະຫ່ື າງຈດຸ O ຫາໜາ້ ຕດັ ຊອກຫາ: ������ໜຕ ������  ຊອກ: V  ?ແລະ V  1 B.h  1 r 2h 3 3  V  1  3.14 252  20 3  1  3.14 625 20 3  39250  V  13083.33cm3 3  ຊອກ: ������ໜຕ ຈາກສູດ: ������ໜຕ PP  ABP  ACP  BC ຊອກ AB  ? ຮູວ້ ື່ າ AB  AC  AH  AB2  AH 2  AO2  r 2  AB2  202  252  400  625  1025  AB  1025  32.01  AB  32.01cm  IC 2  CO2  d 2  252 122  625 144  481  IC  481  21.93  IC  21.93cm  BC  2IC  2 21.93  43.86  BC  43.86cm ຈາກ p  AB  BC  AC  32.01 43.86  32.01  85.41 22  p  85.41cm 76

ຈະໄດ້ ������ໜຕ 85,9585,95 32,0185,95 32,0185,95  43,86 ������ໜຕ 85,9585,95  32,012 85,95  43,86 ������ໜຕ 85, 95  2909, 52  42, 09 ������ໜຕ 10525582,83 ດ່ື ງັ ນນັ້ ������ໜຕ 3244, 31cm2 ບດົ ເຝິກຫດັ 1. ພນ້ ຂອງຮູບທ່ື ລ່ື ຽມເປັນຮູບດອກຈນັ . ບນັ ດາເສນັ້ ເນື່ ງັ ຈອມຂອງຮູບທທ່ື ລ່ື ຽມນນັ້ ຍາວ 9cm ແລະ 15cm ລວງສູງ ເທື່ າົ 5cm ຈ່ື ງົ ຊອກຫາຂາ້ ງຂອງພນ້ ? 2. ໃຫຮ້ ູແ້ ຕ່ື ລະໜາ້ ຂາ້ ງຂອງຮູບຫກົ ລ່ື ຽມສະເໝເີ ປັນຮູບຈະຕຸລດັ ມຂີ າ້ ງເທື່ າົ a . ຈ່ື ງົ ຊອກເນອ້ ທ່ື ໜີ າ້ ບ່ື ຽງນອ້ ຍສູດ? 3. ໃນຮູບກບັ ທື່ ຽງລ່ື ຽມຂາ້ ງຂອງມນັ ຍາວ 9cm ບນັ ດາຂາ້ ງຂອງພນ້ ຍາວ 7cm ແລະ 11cm ເສນັ້ ເນື່ ງັ ຈອມຂອງພນ້ ເສນັ້ ໜ່ື ງຶ ຍາວ 14cm. ຈື່ ງົ ຊອກລວງຍາວຂອງບນັ ດາເສນັ້ ເນື່ ງັ ຈອມຂອງຮູບດື່ ງັ ກື່ າວ? 4. ໃຫຮ້ ູບກອ້ ນສາກໜ່ື ງຶ ມລີ ່ື ຽມຂາ້ ງເທ່ື າົ ກບັ 6cm . ຈື່ ງົ ຊອກເສນັ້ ເນ່ື ງັ ຈອມຂອງຮູບກອ້ ນສາກນນັ້ ? 5. ໃຫຮ້ ູບກອ້ ນສາກໜ່ື ງຶ ມເີ ສນັ້ ເນື່ ງັ ຈອມເທ່ື າົ 15cm . ຈື່ ງົ ຊອກລ່ື ຽມຂອງຮູບກອ້ ນສາກນນັ້ ? 6. ຜ່ື ານສາມສນົ້ ຕື່ າງກນັ ຂອງສາມລ່ື ຽມທື່ ຮີ ື່ ວມຈອມດຽວຂອງຮູບກອ້ ນສາກ, ເພ່ື ນິ ສາ້ ງໜາ້ ພຽງໜ່ື ງຶ ຕດັ ຮູບກອ້ ນສາກ ນນັ້ . ຈ່ື ງົ ຄດິ ໄລ່ື ມຸມແຫຼມນນັ້ ?ເຊື່ ງິ ໜາ້ ຕດັ ປະກອບກບັ ພນ້ ຂອງຮູບກອ້ ນສາກນນັ້ ? 7. ໃຫຮ້ ູບທ່ື ສາມລ່ື ຽມສະເໝຂີ າ້ ງຂອງພນ້ ເທ່ື າົ 3cm , ເສນັ້ ເນື່ ງັ ຈອມຂອງໜາ້ ຂາ້ ງເທື່ າົ 5cm ຈ່ື ງົ ຊອກລວງສູງຂອງຮູບທ່ື ລື່ ຽມສະເໝນີ ນັ້ ? 8. ຮູບທາດສ່ື ລີ ່ື ຽມສະເໝມີ ຂີ າ້ ງພນ້ ເທື່ າົ a , ບນັ ດາລ່ື ຽມຂາ້ ງກື່ ເທື່ າົ a . ຈ່ື ງົ ຊອກເນອ້ ທື່ ຂີ ອງໜາ້ ບ່ື ຽງ? 9. ໃຫຮ້ ູລ້ ວງສູງຮູບທາດດຫກົ ລື່ ຽມສະເໝເີ ທ່ື າົ h , ແຕື່ ລະຂາ້ ງຂອງພນ້ ເທ່ື າົ a . ຈ່ື ງົ ຊອກລື່ ຽມຂາ້ ງ ແລະ ທ່ື ອນສູນສາກ ຂອງຮູບທາດລ່ື ຽມດ່ື ງັ ກື່ າວ? 10. ເພ່ື ນິ ຕດັ ສອງຮູບທາດລ່ື ຽມທື່ ມີ ລີ ວງສູງເທື່ າົ ກນັ ດວ້ ຍໜາ້ ພຽງຂະໜານກບັ ພນ້ ແລະ ຫື່ າງຈາກຈອມດວ້ ຍໄລຍະເທ່ື າົ ກນັ . ໃນຮູບທາດລ່ື ຽມທໜີ ື່ ງຶ ມເີ ນອ້ ທ່ື ພີ ນ້ ເທື່ າົ 8960cm2 ແລະ ເນອ້ ທື່ ໜີ າ້ ຕດັ ເທ່ື າົ 3500cm2 ຮູບທາດລ່ື ຽມທສີ ອງ ເປັນຮູບທາດລື່ ຽມສະເໝມີ ຂີ າ້ ງພນ້ ເທ່ື າົ 12cm. ຈື່ ງົ ຊອກຂາ້ ງຂອງໜາ້ ຕດັ ໃນຮູບທາດລື່ ຽມທສີ ອງ? 11. ລວງສູງຂອງຮູບທາດສື່ ລີ ່ື ຽມກຸດສະເໝເີ ທ່ື າົ 63cm, ທ່ື ອນສູນສາກເທື່ າົ 65cm ແລະ ອດັ ຕາສື່ ວນຂອງສອງຂາ້ ງພນ້ ເທື່ າົ 3 . ຈື່ ງົ ຊອກລວງຍາວຂອງຂາ້ ງພນ້ ດື່ ງັ ຕ່ື າງໆ 7 77

12. ເນອ້ ທື່ ຂີ ອງພນ້ ໃຫຍື່ ແລະ ພນ້ ນອ້ ຍຂອງຮູບທາດລື່ ຽມກຸດເທື່ າົ B ແລະ B . ຈື່ ງົ ພສິ ູດວ່ື າ: ອດັ ຕາສື່ ວນລະຫວື່ າງ ລວງສູງຂອງຮູບທາດລື່ ຽມກຸດ ແລະ ລວງສູງຂອງຮູບທາດລ່ື ຽມທ່ື ໃີ ຫກ້ າເນດີ ຮູບທາດລ່ື ຽມກຸດນນັ້ ເທ່ື າົ B  BB B 13. ຈື່ ງົ ຊອກລວງສູງ ແລະ ທ່ື ອນສູນສາກຂອງຮູບທາດລື່ ຽມ? ຕາມຮູບແຕມ້ ລ່ື ຸມນີ້ ຮູບທາດລື່ ຽມສະເໝີ SABCD ມີ AB  BC  CD  DA  40cm ແລະ ມຸມ���̂��������������� 14. ໃຫຮ້ ູໄ້ ລ່ື ຍະຫື່ າງລະຫວ່ື າງສອງລື່ ຽມຂາ້ ງຖດັ ກນັ ຂອງຮູບທ່ື ລ່ື ຽມເນງີ້ ເທື່ າົ 3cm, 4cm,5cm ແລະ 6cm . ເນອ້ ທື່ ີ ອອ້ ມຂາ້ ງເທື່ າົ 216cm2 . ຈື່ ງົ ຄດິ ໄລ່ື ລວງສູງຂອງຮູບທື່ ລື່ ຽມນນັ້ ? 15. ໃຫຮ້ ູວ້ ື່ າເນອ້ ທ່ື ອີ ອ້ ມຂາ້ ງ, ເນອ້ ທ່ື ທີ ງັ ໝດົ ແລະ ລວງສູງຂອງຮູບກບັ ໜື່ ງເທື່ າົ 198cm2, 238cm2 ແລະ 11cm ຕາມລາດບັ . ຈ່ື ງົ ຊອກ 2 ຂະໜາດຂອງພນ້ ? 16. ເນອ້ ທ່ື ອີ ອ້ ມຂາ້ ງຂອງຮູບທື່ ລ່ື ຽມທື່ ຽງໜ່ື ງແມື່ ນ 3,90dm2 ,ສອງຂາ້ ງຕດິ ຕື່ ກນັ ຂອງພນ້ ແມື່ ນ 0,5dm, 0,80dm ແລະ ມຸມລະຫວື່ າງສອງຂາ້ ງນນັ້ ແມື່ ນ 60 . ຈ່ື ງົ ຄດິ ໄລ່ື ເນອ້ ທ່ື ທີ ງັ ໝດົ ຂອງຮູບກບັ ນນັ້ ? 17. ສາມຂະໜາດຂອງຮູບກບັ ສາກໜ່ື ງປະກອບເປັນອນັ ດບັ ທະວບີ ບວກ. ຜນົ ບວກເທື່ າົ 21dm , ເນອ້ ທື່ ທີ ງັ ໝດົ ເທື່ າົ 286dm2 . ຈ່ື ງົ ຄດິ ໄລື່ ຂໜາດເຫ່ື ຼາົ ນນັ້ ? 18. ຮູບທາດສ່ື ລີ ື່ ຽມສະເໝໜີ ື່ ງມລີ ່ື ຽມເທື່ າົ ຂາ້ ງພນ້ a . ຈ່ື ງົ ຊອກເນອ້ ທ່ື ທີ ງັ ໝດົ ຂອງຮູບທາດດື່ ງັ ກ່ື າວ? 19. ຮູບທາດສື່ ລີ ່ື ຽມສະເໝໜີ ື່ ງມທີ ່ື ອນສູນສາກເທື່ າົ 13cm ແລະ ລວງສູງເທື່ າົ 12cm. ຈື່ ງົ ຊອກເນອ້ ທ່ື ທີ ງັ ໝດົ ຂອງຮູບ ດ່ື ງັ ກື່ າວ? 20. ຮູວ້ ື່ າຂາ້ ງພນ້ ຂອງຮູບທາດ 6 ລື່ ຽມສະເໝແີ ມ່ື ນ a . ໜາ້ ຂາ້ ງປະກອບກບັ ພນ້ ເປັນມຸມ 60 . ຈ່ື ງົ ຄດິ ໄລ່ື ເນອ້ ທ່ື ທີ ງັ ໝດົ ຂອງຮູບທາດດ່ື ງັ ກ່ື າວ? 21. ໃຫຮ້ ູບ້ ນັ ດາສອງຂາ້ ງຂອງສອງພນ້ ຂອງຮູບທາດສາມລ່ື ຽມກຸດສະເໝເີ ທ່ື າົ 6cm ແລະ 18cm , ລື່ ຽມຂາ້ ງຂອງມນັ ຍາວ 10cm. ຈ່ື ງົ ຄດິ ໄລື່ ເນອ້ ທ່ື ອີ ອ້ ມຂາ້ ງຂອງມນັ ? 22. ຈະຕອ້ ງຕດັ ຮູບທາດສາມລ່ື ຽມສະເໝທີ ື່ ມີ ລີ ວງສູງ 28cm , ດວ້ ຍໜາ້ ພຽງຂະໜານກບັ ພນ້ ແລະ ຫື່ າງຈາກພນ້ ເທື່ າົ ໃດເພ່ື ອໃຫເ້ ນອ້ ທ່ື ອີ ອ້ ມຂາ້ ງຂອງຮູບທາດລ່ື ຽມໃໝື່ ເທື່ າົ 25 ຂອງເນອ້ ທ່ື ອີ ອ້ ມຂາ້ ງຂອງຮູບທາດລື່ ຽມເດມີ ? 49 23. ສມົ ມຸດວ່ື າຮູບທາດສ່ື ລີ ່ື ຽມກຸດສະເໝໜີ ່ື ງມລີ ວງສູງ 12cm, ສອງພນ້ ຂອງມນັ ຂາ້ ງຫຸຼດລ່ື ນກນັ 10cm,ເນອ້ ທ່ື ທີ ງັ ໝດົ ເທື່ າົ 512cm2 . ຈ່ື ງົ ຊອກລວງຍາວຂອງບນັ ດາຂາ້ ງພນ້ ຂອງຮູບທາດສື່ ລີ ່ື ຽມກຸດນນັ້ ? 24. ສາມຂະໜາດຂອງຮູບກບັ ສາກໜື່ ງປະກອບເປັນອນັ ດບັ ທະວຄີ ຸນເຊ່ື ງິ ມຕີ ວົ ທະວເີ ທ່ື າົ 2 ,ບລມິ າດຂອງຮູບກບັ ນນັ້ ເທ່ື າົ 1728 cm3. ຈື່ ງົ ຄດິ ໄລື່ ສາມຂະໜາດຂອງຮູບກບັ ນນັ້ . 78

25. ໃຫຮ້ ູບກບັ ທຽ່ງື ໜື່ ງເຊ່ື ງິ ມຸມແຫມຼ ຂອງພນ້ ແມ່ື ນ ,ບນັ ດາຂາ້ ງຂອງພນ້ ແມື່ ນ a ແລະ b,ເສນັ້ ເນື່ ງັ ຈອມສນັ້ ຂອງຮູບ ກບັ ເທ່ື າົ ເສນັ້ ເນື່ ງັ ຈອມຍາວຂອງພນ້ . ຈື່ ງົ ຄດິ ໄລື່ ບລມິ າດຂອງຮູບກບັ ນນັ້ ? 26. ສມົ ໝຸດວ່ື າພນ້ ຂອງຮູບກບັ ໜ່ື ງຶ ເປັນຮູບດອກຈນັ ໜາ້ ບ່ື ຽງທງັ ສອງຕງັ້ ສາກກບັ ພນ້ ແລະມເີ ນອ້ ທ່ື ເີ ທ່ື າົ 100cm2 ແລະ 105cm2.ສອງໜາ້ ບ່ື ຽງນນັ້ ຕດັ ກນັ ເປັນທ່ື ອນຊ່ື ທ່ື ມີ ລີ ວງຍາວ 10 cm.ຈ່ື ງົ ຄດິ ໄລ່ື ບລມິ າດ ແລະ ເນອ້ ທ່ື ອີ ອ້ ມຂາ້ ງຂອງຮູບ ກບັ ? 27. ໃຫພ້ ນ້ ຂອງຮູບກບັ ທື່ ຽງໜ່ື ງຶ ເປັນຮູບດອກຈນັ ເຊ່ື ງິ ມເີ ນອ້ ທ່ື ແີ ມື່ ນ B ,ສອງໜາ້ ບື່ ຽງມເີ ນອ້ ທ່ື ເີ ທື່ າົ s ແລະ s’.ຈ່ື ງົ ຄດິ ໄລ່ື ບລມິ າດຂອງຮູບກບັ ນນັ້ ຕາມ B,s,s’? 28. ໃຫບ້ ລມິ າດຂອງຮູບກບັ ສາກໜື່ ງຶ ແມ່ື ນ V ,ພນ້ ຂອງມນັ ເປັນຮູບຈະຕຸລດັ ເຊ່ື ງິ ມຂີ າ້ ງເທ່ື າົ x ,ຈື່ ງົ ສະແດງເນອ້ ທ່ື ທີ ງັ ໝດົ s ຂອງຮູບກບັ ນນັ້ ດວ້ ຍຕາລາໜ່ື ງຶ ຂອງ x .ຈື່ ງົ ຄດິ ໄລື່ ເນອ້ ທື່ ດີ ື່ ງັ ກື່ າວເມື່ ອ x 25 , v  1000, ເມື່ ອ 3 x  125, v  1000, ເມ່ື ອ x  10, v  1000. ໃນກລະນສີ ຸດທາ້ ຍຮູບຮື່ າງຂອງຮູບກບັ ມອີ ນັ ໃດພເິ ສດບ? 29. ສາມຂະໜາດຂອງຮູບກບັ ສາກໜ່ື ງ(ເພື່ ນິ ແທກທາງໃນ)ແມື່ ນ a  76mm,b  266mm, c  304mm. ເພື່ ນີ ເຮດັ ກອ້ ນສາກນອ້ ຍດວ້ ຍໄມເ້ ພ່ື ອຊອ້ ນໃສື່ ທາງໃນຂອງກບັ ສາກນນັ້ ຈະໃດຈ້ າກກອ້ ນ?(ດວ້ ຍຈານວນໜອ້ ຍກື່ ວາໝ່ື )ູ ແລະບລິ ມາດກອ້ ນສາກນອ້ ຍນນັ້ ເທື່ າົ ໃດ? 30. ສມົ ໝຸດວື່ າຕື່ ແຕ່ື ລະລື່ ຽມຂາ້ ງຂອງຮູບກອ້ ນສາກໜື່ ງອອກຕ່ື ມ 2cm ,ບລມິ າດຂອງມນັ ຈະເພື່ ມີ ຂນ້ 98cm3 .ຈື່ ງົ ຄດິ ໄລ່ື ລື່ ຽມຂອງຮູບກອ້ ນສາກເດມີ ? 31. ຄດິ ໄລື່ ບລມິ າດຂອງຮູບທາດສາມລື່ ຽມຊ່ື ງມລີ ວງສູງ100cm, ຂາ້ ງຕ່ື າງໆຂອງພນ້ ເທື່ າົ 20cm, 21cm, ແລະ 29cm. 32. ຂາ້ ງພນ້ ຂອງຮູບທາດສື່ ລີ ່ື ຽມສະເໝອີ ນັ ໜ່ື ງຶ ເທື່ າົ a, ໜາ້ ຂາ້ ງປະກອບກບັ ພນ້ ເປັນມມູ 45 . ຈື່ ງົ ຄດິ ໄລບລມິ າດ ແລະ ເນອ້ ທື່ ທີ ງັ ໝດົ ຂອງຮູບທາດນນັ້ . 33. ຈ່ື ງົ ຄດິ ໄລື່ ບລມິ າດຂອງຮູບທາດສ່ື ລີ ່ື ຽມສະເໝອີ ນັ ໜ່ື ງຶ ຂາ້ ງພນ້ ເທື່ າົ a. ແລະ ເນອ້ ທ່ື ອີ ອ້ ມຂາ້ ງເທ່ື າົ ສອງເທ່ື ອເນອ້ ທ່ື ີ ພນ້ . 34. ລວງສູງຂອງຮູບທາດຫກົ ລ່ື ຽມສະເໝເີ ທ່ື າົ h, ຂາ້ ງພນ້ a . ທ່ື ອນສູນສາກປະກອບກບັ ລວງສູງເປັນມູມ 30 . ຈື່ ງົ ຊອກຫາເນອ້ ທື່ ອີ ອ້ ມຂາ້ ງ ແລະ ບລມິ າດຂອງຮູບທາດລື່ ຽມນນັ້ . 35. ບລມິ າດຂອງຮູບທາດສ່ື ລີ ່ື ຽມສະເໝໜີ ື່ ງຶ ຈະປື່ ຽນແປງແນວໃດ? ກ. ເມື່ ອລວງສູງ ແລະ ແຕ່ື ລະຂາ້ ງຂອງພນ້ ເພ່ື ມີ ຂນ້ n ເທື່ ອ? ຂ. ເມ່ື ອລວງສູງເພື່ ມີ ຂນ້ n ເທ່ື ອ ແຕ່ື ວື່ າແຕ່ື ລະຂາ້ ງຫຸຼດລງົ n ເທ່ື ອ 36. ບລມິ າດຂອງຮູບທາດລື່ ຽມກຸດໜ່ື ງຶ ເທ່ື າົ 18135cm3 . ພນ້ ເປັນຮູບຫກົ ແຈສະເໝເີ ຊ່ື ງິ ຂາ້ ງເທື່ າົ 17cm ແລະ 23cm. ຈ່ື ງົ ຄດິ ໄລື່ ລວງສູງຂອງຮູບທາດລື່ ຽມກຸດນນັ້ . 37. ໃຫຮ້ ູເ້ ນອ້ ທື່ ຂີ ອງສອງພນ້ ຂອງຮູບທາດລ່ື ຽມກຸດໜ່ື ງຶ ເທ່ື າົ 254cm2 ແລະ 80cm2 . ຮູບທາດລື່ ຽມທ່ື ໃີ ຫກ້ າເນດີ ຮູບ ທາດລ່ື ຽມກຸດນນັ້ ມລີ ວງສູງ 35cm. ຈ່ື ງົ ຄດິ ໄລື່ ບລມິ າດຂອງຮູບທາດລື່ ຽມກຸດດື່ ງັ ກື່ າວ. 38. ໃຫທ້ ື່ ກມົ ໜື່ ງຶ ມລີ ດັ ສະໝພີ ນ້ ເທື່ າົ ກບັ 20cm , ລວງສູງເທ່ື າົ 50cm ແລະ ໜາ້ ຕດັ ຂະໜານກບັ ແກນຫື່ າງຈາກແກນ 10cm. ຈ່ື ງົ ຊອກບລມິ າດຂອງທ່ື ກມົ ແລະ ເນອ້ ທື່ ໜີ າ້ ຕດັ ນນັ້ ? 39. ລດັ ສະໝພີ ນ້ ຂອງຮູບທ່ື ກມົ ຮູບໜື່ ງຶ ເທ່ື າົ 40mm,ລວງສູງຂອງມນັ ເທື່ າົ 39mm.ຈ່ື ງົ ຊອກລວງຍາວຂອງເສນັ້ ເນື່ ງັ ຈອມຂອງໜາ້ ຕດັ ທ່ື ຜີ ່ື ານແກນ,ບລມິ າດ ແລະ ເນອ້ ທື່ ທີ ງັ ໝດົ ? 79

40. ສດາເປັນຮູບທື່ 6 ລື່ ຽມສະເໝຍີ າວ18mm,ໜາ້ ກວ້ າງ 4mm,ໄສສ້ ມເີ ສນັ້ ຜື່ ານກາງ 3,5mm ,ມວນສານຈາເພາະ ຂອງໄມ ້ 700kg / m3 .ຖາມວື່ າ:ມວນສານຂອງໄມຂ້ ອງສດາ 12 ໂຫມຼ ເີ ທ່ື າົ ໃດ? 41. ໝຕ້ ມົ້ ນາ້ ໜື່ ວຍໜື່ ງຶ ເປັນຮູບທື່ ກມົ ທ່ື ມີ ລີ ວງສູງເທື່ າົ 3.84m ເສນັ້ ຜ່ື ານກາງຂອງພນ້ ເທື່ າົ 0.72m , ຖາ້ ຮູວ້ ື່ າໜາ້ ຂອງໝ້ ຖກຄວາມດນັ ຂອງອາຍນາ້ p  113104 N / m2 . ຖາມວ່ື າແຮງດນັ ຂອງນາ້ ທງັ ໝດົ ເທ່ື າົ ໃດ? 42. ຖາ້ ເອາົ ແຜື່ ນເຫກຼັ ເຮດັ ທື່ ຄວັ ນໜື່ ງຶ ເປັນຮູບທື່ ກມົ ສູງເທື່ າົ 18m ເສນັ້ ຜື່ ານກາງຂອງພນ້ ເທ່ື າົ 65cm .ຖາມວ່ື າເຮາົ ໃຊເ້ ຫກຼັ ທງັ ໝດົ ເທ່ື າົ ໃດ m 2 ເພ່ື ອເຮດັ ທື່ ຄວັ ນນນັ້ ເມື່ ອຮູວ້ ື່ າເຮາົ ຕອ້ ງຕື່ ມເຫຼກັ 10% 43. ມນີ າ້ 3.6 ລດິ ເອາົ ໄປແບື່ ງໃສ່ື ຖງັ ສອງໜ່ື ວຍເປັນຮູບທ່ື ກມົ ຮູວ້ ື່ າຖງັ ທສີ ອງໃສື່ ຫາຼ ຍກວ່ື າຖງັ ທໜີ ື່ ງຶ 0.36 ລດິ .ຖາມວ່ື າ ຖງັ ທໜີ ່ື ງຶ ຈກັ ລດິ ແລະ ຖງັ ທສີ ອງຈກັ ລດິ ? 44. ຮູບຈວຍໜ່ື ງຶ ມລີ ວງສູງ h  20cm , ລດັ ສະໝຂີ ອງພນ້ ເທື່ າົ r  25cm . ເພື່ ນິ ສາ້ ງໜາ້ ຕດັ ຜື່ ານຈອມຂອງຮູບຈວຍ ໂດຍທື່ ວີ ື່ າໄລຍະຫ່ື າງແຕ່ື ໃຈກາງຂອງພນ້ ເຖງິ ຂາ້ ງໜ່ື ງຶ ຂອງໜາ້ ຕດັ ຢື່ ູພນ້ d  12cm.ຈື່ ງົ ຄດິ ໄລື່ ເນອ້ ທື່ ຂີ ອງໜາ້ ຕດັ ນນັ້ ແລະ ບລມິ າດຂອງຮູບຈວຍ? 45. ຮູບຈວຍໜ່ື ງຶ ມເີ ສນັ້ ໃຫກ້ າເນດີ , ເນອ້ ທ່ື ອີ ອ້ ມຂາ້ ງເທື່ າົ M . ຈ່ື ງົ ຊອກບລມິ າດຂອງຮູບຈວຍນນັ້ ? 46. ຮູບຈວຍໜື່ ງຶ ມເີ ສນັ້ ໃຫກ້ າເນດີ , ມຸມປະກອບດວ້ ຍເສນັ້ ໃຫກ້ າເນດີ ແລະ ພນ້ ແມື່ ນ  . ຈື່ ງົ ພສິ ູດວ່ື າເນອ້ ທ່ື ທີ ງັ ໝດົ ຂອງຮູຈວຍເທື່ າົ S  2 2 cos cos2  2 47. ຮູບຈວຍກຸດໜ່ື ງຶ ສູງ10cm , ລດັ ສະໝຂີ ອງພນ້ ເທື່ າົ 8cm ແລະ 10cm.ເນອ້ ທື່ ໜີ າ້ ຕດັ ໜ່ື ງຶ ຂະໜານກບັ ພນ້ ເທື່ າົ ຄື່ າ ສະເລື່ ຍລະຫວ່ື າງເນອ້ ທ່ື ພີ ນ້ ຂອງຮູບຈວຍກຸດ. ຈື່ ງົ ຊອກໄລຍະຫ່ື າງແຕື່ ໜາ້ ຕດັ ເຖງິ ພນ້ ນອ້ ຍຂອງຮູບຈວຍກຸດນນັ້ ? 48. ເມື່ ອຮູວ້ ື່ າລວງສູງໜ່ື ງຶ ຂອງຮູບຈວຍກຸດໜື່ ງຶ ເທ່ື າົ 3dm , ລດັ ສະໝພີ ນ້ ລື່ ຸມເທ່ື າົ ສອງເທ່ື ອຂອງລດັ ສະໝພີ ນ້ ເທງິ , ເສນັ້ ໃຫກ້ າເນດີ ແລະ ພນ້ ລ່ື ຸມປະກອບເປັນມຸມ 45 . ຈື່ ງົ ຊອກບລມິ າດຂອງຮູບຈວຍກຸດ? 49. ຈ່ື ງົ ຊອກບລມິ າດ ແລະ ເນອ້ ທ່ື ຂີ ອງໜ່ື ວຍມນົ ? ເຊ່ື ງິ ຮູວ້ ່ື າເສນັ້ ຜື່ ານໃຈກາງແມ່ື ນ14cm 50. ໃຫບ້ ລມິ າດໜ່ື ວຍມນົ ເທ່ື າົ 800cm3. ຈ່ື ງົ ຊອກລດັ ສະໝີ ແລະ ເນອ້ ທື່ ຂີ ອງໜື່ ວຍມນົ ນນັ້ ? 80

ບດົ ທີ 10 ຄວາມຮູເ້ ບອ້ ງຕນົ້ ກ່ື ຽວກບັ ເວກັ ເຕີ 1. ຄວາມສານກຶ ກື່ ຽວກບັ ເວກັ ເຕີ ບນັ ດາອາການທື່ ີເຄີຍພົບເຫນັ ຢື່ າງຫຼວງຫຼາຍໃນຊີວິດປະຈາວນັ ຂອງພວກເຮົາ ຕາມທດັ ສະນະທາງດາ້ ນ ຄະນດິ ສາດ ແລວ້ ຖກແບື່ ງອອກເປັນສອງປະເພດຄ: ປະເພດທີ 1 ແມື່ ນບນັ ດາອາການທສີ າມາດການດົ ເປັນຕວົ ເລກໄດໂ້ ລດ ຖາ້ ວື່ າຮູຂ້ ະໜານຂອງມນັ ເຊ່ື ນັ : ລວງຍາວຂອງ ໂຕະເທ່ື າົ 1,8m , ບລມິ າດຂອງວດັ ຖຸໜ່ື ງຶ ເທື່ າົ 5cm3 , ອຸນຫະພູມສະເລື່ ຍຂອງຕອນທື່ ຽງມນ້ ເ້ ທ່ື າົ ກບັ 31 , ... ເພ່ື ນິ ເອນີ້ ອາການປະເພດນວີ້ ື່ າ: ອາການສະກາແລ ຫຼ ອາການບ່ື ມທີ ດິ . ປະເພດທີ 2 ແມື່ ນບນັ ດາອາການຊື່ ງຶ ພວກເຮາົ ຈະການດົ ເປັນຕວົ ເລກໄດ,້ ຖາ້ ວ່ື າຮູທ້ ດິ ທາງ ແລະ ຂະໜາດຂອງມນັ ເຊ່ື ນັ : ຄວາມໄວຂອງການເຄື່ ອນທໜີ ື່ ງຶ , ຄວາມແຮງ, ອດັ ຕາເລ່ື ງັ , ... ເພ່ື ນິ ເອນີ້ ອາກາດປະເພດນວີ້ ື່ າແມ່ື ນອາການເວກັ ເຕີ ຫຼ ອາການມທີ ດິ 2. ນຍິ າມເວກັ ເຕີ ເວກັ ເຕແີ ມ່ື ນທ່ື ອນຊື່ ທື່ໄີ ດກ້ ານດົ ເມດັ ຕນົ້ ເມດັ ປາຍ, ມຂີ ະໜາດ, ມລີ ວງ ແລະ ມທີ ດິ ໃນທື່ ອນຊ່ື OA ການດົ ເອາົ ເມດັ O ເປັນເມດັ ຕນົ້ ແລະ A ເປັນເມດັ ປາຍ ດວ້ ຍການໃຊເ້ ຄ່ື ອງໝາຍລູກສອນ ‘’  ‘’ ເພື່ ອຊບີ້ ອກວື່ າ: ເວກັ ເຕີ OA ມີ O ເປັນເມດັ ຕນົ້ ແລະ A ເປັນເມດັ ປາຍ, ສນັ ຍາລກັ ດວ້ ຍ OA . ເສນັ້ ຊ່ື OA ເອນີ້ ວື່ າເສນັ້ ຊື່ ໃຫກ້ າເນດີ ຫຼ ເສນັ້ ກາເນດີ ຂອງ OA ເພ່ື ນິ ສນັ ຍາລກັ a , b , e ເພື່ ນິ ຊບີ້ ອກເຖງິ ເວກັ ເຕີ a , ເວກັ ເຕີ b , ເວກັ ເຕີ e ສອງເວກັ ເຕຂີ ະໜານກນັ ແມ່ື ນສອງເວກັ ເຕຮີ ່ື ວມລວງກນັ 81

ເວກັ ເຕເີ ທ່ື າົ ກນັ ແມື່ ນສອງເວກັ ເຕມີ ຂີ ະໜາດເທ່ື າົ ກນັ ມລີ ວງດຽວກນັ ແລະ ມທີ ດິ ດຽວກນັ ສອງເວກັ ເຕຕີ ດັ ກນັ ແມື່ ນສອງເວກັ ເຕບີ ື່ ຮ່ື ວມລວງກນັ ເວກັ ເຕກີ ງົ ກນັ ຂາ້ ມເຊື່ ງິ ກນັ ແລະກນັ ແມື່ ນສອງເວກັ ເຕມີ ຂີ ະໜານເທ່ື າົ ກນັ , ມລີ ວງດຽວກນັ ແລະ ມທີ ດິ ຕ່ື າງກນັ ເຮາົ ໄດ:້ n  m ເຮາົ ໄດ:້ AB  BA ເວກັ ເຕເີ ທື່ າົ ສູນແມື່ ນເວກັ ເຕທີ ່ື ມີ ເີ ມດັ ຕນົ້ ແລະ ເມດັ ປາຍເຕງັ ກນັ . O ຂະໜາດ ຫຼ ໂມດູນຂອງເວກັ ເຕແີ ມ່ື ນລວງຍາວຂອງທື່ ອນຊແຕື່ ເມດັ ຕນົ້ ຫາເມດັ ປາຍ. ໃຫເ້ ວກັ ເຕີ AB ລວງຍາວຂອງທ່ື ອນຊ່ື AB ເອນີ້ ວ່ື າໂມດູນຂອງ AB ສນັ ຍາລກັ ດວ້ ຍ AB ເວກັ ເຕຫີ ວົ ໜື່ ວຍແມ່ື ນເວກັ ເຕທີ ມີ ໂີ ມດູນເທ່ື າົ 1 ຫວົ ໜື່ ວຍວດັ ແທກ ເອນີ້ ວ່ື າເວກັ ເຕຫີ ວົ ໜ່ື ວຍ AB ເອນີ້ ວ່ື າເວກັ ເຕຫີ ວົ ໜື່ ວຍ, ຍອ້ ນວ່ື າ AB  1 82

3. ການບວກ ແລະ ການລບົ ເວກັ ເຕີ 3.1 ການບວກເວກັ ເຕີ ກລະນີ 1 ຈະໄດ:້ BC  BA  AC a bc ກລະນີ 2 AC  AD  AB ຫຼ AC  AB  BC ຫຼ AC  AD  DC ຫຼ AC  DC  BC ກລະນີ 3 83

abcd e f 3.2 ການລບົ ເວກັ ເຕີ ຈະໄດ:້ c  a  b ຈະໄດ:້ c  b  c ຕວົ ຢື່ າງ1:  ຈື່ ງົ ຊອກຫາ a  b  c  ? a b  c  ? d ae  ? c ba  ? a ed  ?  ວທິ ແີ ກ:້ a  b  c  d  c  m 84

 a  b  c  a  e  m  d  a  e  b  e  c  c  b  a  e  a  m a ed  md  c 4. ການຄນູ ຈານວນຈງິ ກບັ ເວກັ ເຕີ 1. Pa ຮ່ື ວມທດິ ດຽວກບັ a ຖາ້ ວ່ື າ P  0 2. Pa ປ່ື ິນທດິ ທາງກງົ ກນັ ຂາ້ ມ a ຖາ້ ວ່ື າ P  0 3. P  a  0 ຖາ້ ວ່ື າ P  0 ຕວົ ຢື່ າງ2: ໃຫ້ a ຈ່ື ງົ ສະແດງບນັ ດາເວກັ ເຕລີ ່ື ຸມນຕີ້ າມ a a , 3a , 4a , 1 a 3 ວທິ ແີ ກ:້ a 3a 4a 1a 3 85

ກດິ ຈະກາ 1 : ໃຫ້ a ຈື່ ງົ ສະແດງບນັ ດາເວກັ ເຕລີ ່ື ຸມນຕີ້ າມ a 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 2a 23 2 33 3  ການພວົ ພນັ  GA   GB  0 , ,   ເຊ່ື ງິ ວື່ າ G, A, B ນອນໃນທື່ ອນຊ່ື ດຽວກນັ G ເອນີ້ ວ່ື າເມດັ ວ່ື າລຊີ ງັ - ກລະນ:ີ ຖາ້ ສອງເວກັ ເຕທີ ື່ ມີ ີ ແລະ  ມເີ ຄ່ື ອງໝາຍຄກນັ ເມດັ ບາລຊີ ງັ ຈະຢື່ ູໃນທື່ ອນຊື່ - ກລະນ:ີ ຖາ້ ສອງເວກັ ເຕທີ ື່ ມີ ີ ແລະ  ມເີ ຄ່ື ອງໝາຍຕື່ າງກນັ ເມດັ ບາລຊີ ງັ ຈະຢ່ື ູນອກທື່ ອນຊ່ື ຕວົ ຢື່ າງ 3: ຈື່ ງົ ສະແດງເວກັ ເຕລີ ່ື ຸມນຕີ້ າມການພວົ ພນັ 1. AB   1 BC 2 2. NM  1 MP 3 ວທິ ແີ ກ:້ 1. AB   1 BC 2 2AB  BC 2AB  BC  0 BC  2AB  0 2. NM  1 MP 3 3NM  MP 3MN  MP  0 3MN  MP  0 86

ກດິ ຈະກາ 2 : ຈ່ື ງົ ສະແດງເວກັ ເຕລີ ື່ ຸມນຕີ້ າມການພວົ ພນັ 1. AB  5 AC 2 2. PM  1 MQ 3 3. AB   4 BC 3 4. PM  2 MQ 3 5. AB   3 AC 4 ກດິ ຈະກາ 3: ຈ່ື ງົ ຊອກຕວົ ປະສານຕາມບດົ ເລກລື່ ຸມນ:ີ້ 1. ໃຫເ້ ມດັ P 1 , Q 9 ຈ່ື ງົ ຊອກຕວົ ປະສານ M ຮູວ້ ່ື າ PM  3 MQ 5 2. ໃຫເ້ ມດັ C 2, A1 ຈື່ ງົ ຊອກຕວົ ປະສານເມດັ B ຮູວ້ ່ື າ AB   2 BC 5 3.ໃຫເ້ ມດັ M 3 , N 5 ຈ່ື ງົ ຊອກຕວົ ປະສານເມດັ I ຮູວ້ ່ື າ IM   4 IN 3 5. ຜນົ ຄູນສະກາແລຂອງເວກັ ເຕີ 1. a  b  1  ab 2 ab 2 ເຊ່ື ງິ ວື່ າ a ແລະ b ຮ່ື ວມລວງດຽວກນັ 4    2. a.b  a  b ເຊ່ື ງິ ວ່ື າ a ແລະ b ຮື່ ວມລວງດຽວກນັ 3. a b  0 ເຊື່ ງິ ວ່ື າ a ແລະ b ຕງັ້ ສາກກນັ 4. a  a  a2  a 2 5. a b  b  a 6. k a b   ka b  7. a b  c  ab  ac  8. a  b 2  a2  2ab  b2 9. a  b 2  a 2  b 2  2 a b 87

  10. a  b a  b  a2  b 2 11. u v  u  v cos ຫຼ AB  AC  AB AC cos ກດິ ຈະກາ 4: 1. ໃຫຮ້ ູບສາມແຈ ABC , AB  9cm, BC  4cm , AC  7cm ຈື່ ງົ ຄດິ ໄລ່ື ຜນົ ຄູນສະກາແລ AB AC ແລະ ມມູ ປະກອບລະຫວື່ າງ AB ແລະ AC . 2. ໃຫຮ້ ູບສາມແຈ ABC , AB  9cm, BC  7cm ແລະ ມມູ ປະກອບລະຫວື່ າງ BA ແລະ BC ເທ່ື າົ   60 ຈ່ື ງົ ຊອກຫາ AC . ບດົ ເຝິກຫດັ 1.    ຈື່ ງົ ຊອກຫາ: a.cdea   b. a  e  m  c.  n  a  d c d.  p  d  c  e.  m  a  b a  f.     a b e  c   g.nb  e   m cd   88

2. ໃຫ້ a ຈື່ ງົ ສະແດງບນັ ດາເວກັ ເຕລີ ື່ ຸມນຕີ້ າມ a 2a , 4a , 3a , 1 a ,  1 a , 3 a , 5 a ,  5 a , 6 a ,  4 a 4 35 4 35 5 3. ຈ່ື ງົ ສະແດງເວກັ ເຕລີ ່ື ຸມນຕີ້ າມການພວົ ພນັ a. AB   1 BC 3 b. NM  1 MP 4 c. AB  5 AC 3 d. PM  2 MQ 5 e. AB   5 BC 4 f. PM  5 MQ 6 g. AB   5 AC 6 4. ໃຫເ້ ມດັ P2 , Q 8ຈ່ື ງົ ຊອກຕວົ ປະສານ M ຮູວ້ ື່ າ PM  2 MQ 3 5. ໃຫເ້ ມດັ C 1 , A9 ຈື່ ງົ ຊອກຕວົ ປະສານເມດັ B ຮູວ້ ່ື າ AB   3 BC 5 6.ໃຫເ້ ມດັ M 4 , N 6 ຈ່ື ງົ ຊອກຕວົ ປະສານເມດັ I ຮູວ້ ່ື າ IM   5 IN 3 7.ໃຫເ້ ມດັ N 4 , M 14 ຈ່ື ງົ ຊອກຕວົ ປະສານ O ຮູວ້ ່ື າ OM   3 NO 7 8. ໃຫເ້ ມດັ C 3 , A16 ຈື່ ງົ ຊອກຕວົ ປະສານເມດັ I ຮູວ້ ື່ າ IA   4 IC 7 9.ໃຫເ້ ມດັ M 5 , N 14 ຈ່ື ງົ ຊອກຕວົ ປະສານເມດັ P ຮູວ້ ່ື າ PM   7 PN 5 10. ໃຫເ້ ມດັ P 3 , Q10 ຈ່ື ງົ ຊອກຕວົ ປະສານ M ຮູວ້ ື່ າ Mp  5 MQ 8 11. ໃຫເ້ ມດັ C 2, A12 ຈ່ື ງົ ຊອກຕວົ ປະສານເມດັ B ຮູວ້ ່ື າ AB   2 BC 7 12. ໃຫເ້ ມດັ P5 , Q16 ຈື່ ງົ ຊອກຕວົ ປະສານ M ຮູວ້ ື່ າ PM  8 MQ 3 89

13. ໃຫຮ້ ູບສາມແຈ ABC , AB  8cm , BC  6cm , AC  7cm ຈ່ື ງົ ຄດິ ໄລ່ື ຜນົ ຄູນສະກາແລ BA BC ແລະ ມູມປະກອບລະຫວ່ື າງ BA ແລະ BC . 14. ໃຫຮ້ ູບສາມແຈ ABC , BC 10cm , AC  5cm ແລະ ມູມປະກອບລະຫວື່ າງ CB ແລະ CA ເທ່ື າົ   45 ຈື່ ງົ ຊອກຫາ AB . 15. ໃຫຮ້ ູບສາມແຈ MNP , PM  5cm , NP  7cm , MN 10cm ຈື່ ງົ ຄດິ ໄລື່ ຜນົ ຄູນສະກາແລ PM  PN ແລະ ມມູ ປະກອບລະຫວ່ື າງ PN ແລະ PM . 16. ໃຫຮ້ ູບສາມແຈ SUY , YU  5cm, US  7cm ແລະ ມມູ ປະກອບລະຫວື່ າງ US ແລະ UP ເທ່ື າົ   60 ຈື່ ງົ ຊອກຫາ YS . 17. ໃຫຮ້ ູບສາມແຈ ORQ , OR 10cm, QO  11cm , RQ  8cm ຈ່ື ງົ ຄດິ ໄລື່ ຜນົ ຄູນສະກາແລ QR QO ແລະ ມູມປະກອບລະຫວື່ າງ QR ແລະ QO . 18. ໃຫຮ້ ູບສາມແຈ VKH , VK  2cm, HK  7cm ແລະ ມມູ ປະກອບລະຫວ່ື າງ KH ແລະ KV ເທ່ື າົ   60 ຈ່ື ງົ ຊອກຫາ VH . 19. ຈ່ື ງົ ສາ້ ງແຕມ້ ເວກັ ເຕຕີ ່ືໄປນ:ີ້ u  v , u  v , v  u , u  v 20.ຈ່ື ງົ ສາ້ ງແຕມ້ ເວກັ ເຕຕີ ່ື ໄປນ:ີ້ 1 u  v , u  1 v , 1 u  1 v , 2u  v , u  2v , 2u  v , 2u  3v , 2 222  3 u  v , 3 u  2v , 1 u  1 v ,  1 u  1 v 22 42 32 21. ໃຫສ້ າມເມດັ O, A ແລະ B ຈ່ື ງົ ສາ້ ງເມດັ M , N ໂດຍວ່ື າ: OM  ON  OA ແລະ OM  ON  OB 22.ໃຫເ້ ມດັ A, B ແລະ C ຈ່ື ງົ ຊແີ້ ຈງ້ ວ່ື າ u  MA  MB  2MC ທ່ື ບີ ື່ ຂນ້ ກບັ ເມດັ M . ຈ່ື ງົ ວາງເມດັ P,Q ແລະ R ໂດຍວື່ າ AP  BQ  CR  u 23. ໃຫ ້ BC  1 ຮູວ້ ່ື າ AB  u , AC  v ໂດຍວ່ື າ A ບ່ື ຢື່ ູທື່ ອນຊ BC ຈື່ ງົ ຊອກຫາ AD ຕາມ u ແລະ V BD 4 24.ໃຫຮ້ ູບຈະຕຸລດັ ABCD , M ເປັນເມດັ ເຄງິ ກາງ CD , N ເປັນເມດັ ເຄງິ ກາງ BC ເຊ່ື ງິ ວ່ື າ AM  u , AN  v ຈື່ ງົ ຊອກຫາ AB ຕາມ u ແລະ v 90

ບດົ ທີ 11 ເລຂາຄະນດິ ໜາ້ ພຽງທື່ ສີ ະເໜດີ ວ້ ຍຮູບເລຂາຄະນດິ ເວກັ ເຕີ 1. ນຍິ າມຂອງເວກັ ເຕີ ເວກັ ເຕແີ ມ່ື ນທື່ ອນຊ່ື ທ່ື ໄີ ດກ້ ານດົ ເມດັ ຕນົ້ ເມດັ ປາຍ, ມຂີ ະໜາດ, ມລີ ວງ ແລະ ມທີ ດິ - O ເອນີ້ ວື່ າເມດັ ຕນົ້ - A ເອນີ້ ວ່ື າເມດັ ປາຍ - ເສນັ້ ຊ່ື ຜື່ ານ OA ເອນີ້ ວື່ າເສນັ້ ຊື່ ໃຫກ້ າເນດີ OA ຫຼ ເສນັ້ ກາເນດີ ຂອງ OA - ລວງຍາວຂອງ OA ເອນີ້ ວື່ າໂມດູນ OA ສນັ ຍາລກັ ດວ້ ຍ OA ສອງເວກັ ເຕຂີ ະໜານກນັ ແມ່ື ນສອງເວກັ ເຕຮີ ່ື ວມລວງກນັ ເວກັ ເຕເີ ທ່ື າົ ກນັ ແມື່ ນສອງເວກັ ເຕມີ ຂີ ະໜາດເທ່ື າົ ກນັ ມລີ ວງດຽວກນັ ແລະ ມທີ ດິ ດຽວກນັ ສອງເວກັ ເຕຕີ ດັ ກນັ ແມື່ ນສອງເວກັ ເຕບີ ່ື ຮ່ື ວມລວງກນັ ເວກັ ເຕກີ ງົ ກນັ ຂາ້ ມເຊ່ື ງິ ກນັ ແລະກນັ ແມ່ື ນສອງເວກັ ເຕມີ ຂີ ະໜານເທື່ າົ ກນັ , ມລີ ວງດຽວກນັ ແລະ ມທີ ດິ ຕ່ື າງກນັ 91