Θεωρία Γ΄Λυκείου Ο.Π

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟ΢ΑΝΑΣΟΛΙ΢ΜΟΤ Γ΄ ΛΤΚΕΙΟΤ Blog: https://papageorgiouxristoforos.blogspot.gr/ Email: [email protected]

ΘΕΩΡΙΑ – Γ΄ ΛΤΚΕΙΟΤ - ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟ΢ΑΝΑΣΟΛΙ΢ΜΟΤ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο – ΟΡΙΟ ΢ΤΝΕΥΕΙΑ ΢ΤΝΑΡΣΗ΢Η΢1. Ση νλνκάδνπκε πξαγκαηηθή ζπλάξηεζε ;Απάντηση :Ολνκάδνπκε πξαγκαηηθή ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α , ππνζύλνιν ηνπ , κηα δηαδηθαζία( θαλόλα ) , κε ηελ νπνία θάζε ζηνηρεηό , αληηζηνηρίδεηαη ζε έλα κόλν πξαγκαηηθό αξηζκό .Σν νλνκάδεηαη ηηκή ηεο ζην θαη ζπκβνιίδεηαη κε .2. Ση νλνκάδνπκε ζύλνιν ηηκώλ ηεο κε πεδίν νξηζκνύ ην Α ;Απάντηση :΢ύλνιν ηηκώλ ηεο , νλνκάδνπκε ην ζύλνιν πνπ έρεη γηα ζηνηρεηά ηνπ ηηο ηηκέο ηεο ζε όια ηαθαη ζπκβνιίδεηαη κε . Δίλαη δειαδή : {}3. Ση ιέγεηαη γξαθηθή παξάζηαζε , κε πεδίν νξηζκνύ ην ζύλνιν Α ;Απάντηση :Γξαθηθή παξάζηαζε ηεο , νλνκάδνπκε ην ζύλνιν ηωλ ζεκείωλ γηα ηα νπνία ηζρύεη, δειαδή ην ζύλνιν ηωλ ζεκείωλ θαη ζπκβνιίδεηαη ζπλήζωο κε4. Πόηε 2 ζπλαξηήζεηο ιέγνληαη ίζεο ;Απάντηση :Γπν ζπλαξηήζεηο ιέγνληαη ίζεο όηαλ έρνπλ ην ίδην πεδίν νξηζκνύ Α θαη γηα θάζε ηζρύεηόηηΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 1

ΘΕΩΡΙΑ – Γ΄ ΛΤΚΕΙΟΤ - ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟ΢ΑΝΑΣΟΛΙ΢ΜΟΤ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -5. Ση νλνκάδνπκε ζύλζεζε ηεο ζπλάξηεζεο κε ηελ ;Απάντηση :Αλ θαη είλαη δπν ζπλαξηήζεηο κε πεδίν νξηζκνύ αληηζηνίρωο , ηόηε νλνκάδνπκε ζύλζεζε ηεοκε ηελ , θαη ηελ ζπκβνιίδνπκε , ηε ζπλάξηεζε κε ηύπν : ()*΢ρόιηα : Σν πεδίν νξηζκνύ ηεο απνηειείηαη απ’ όια ηα ζηνηρεηά ηνπ πεδίν νξηζκνύ ηεο γηα ηανπνία ην αλήθεη ζην πεδίν νξηζκνύ ηεο . Γειαδή είλαη ην ζύλνιν : {}Δίλαη θαλεξό όηη ε νξίδεηαη όηαλ , δειαδή αλ Γεληθά αλ θαη είλαη δπν ζπλαξηήζεηο θαη νξίδνληαη νη θαη , ηόηε απηέο δελ είλαηππνρξεωηηθά ίζεο .6. Πόηε κηα ζπλάξηεζε ιέγεηαη γλεζίσο αύμνπζα θαη πόηε ιέγεηαη γλεζίσο θζίλνπζα ζε έλα δηάζηεκα Δ ;Απάντηση :Μηα ζπλάξηεζε ιέγεηαη γλεζίσο αύμνπζα ζε έλα δηάζηεκα Γ ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο , όηαλ γηανπνηαδήπνηε .Μηα ζπλάξηεζε ιέγεηαη γλεζίσο θζίλνπζα ζε έλα δηάζηεκα Γ ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο , όηαλ γηανπνηαδήπνηε .ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 2

ΘΕΩΡΙΑ – Γ΄ ΛΤΚΕΙΟΤ - ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟ΢ΑΝΑΣΟΛΙ΢ΜΟΤ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -7. Πόηε κηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ παξνπζηάδεη νιηθό κέγηζην θαη πόηε παξνπζηάδεη νιηθό ειάρηζην ζην ;Απάντηση :Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ζην (νιηθό) κέγηζην , ην (νιηθό) ειάρηζην , ην, όηαλ γηα θάζε . (΢ρήκα (α) )Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ζην, όηαλ γηα θάζε . (΢ρήκα (β) )8. Πόηε κηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ νλνκάδεηαη 1-1 ;Απάντηση :Μηα ζπλάξηεζε νλνκάδεηαη ζπλάξηεζε 1-1 , όηαλ γηα νπνηαδήπνηε ηζρύεη εζπλεπαγωγή : Αλ*΢ρόιηα : Μηα ζπλάξηεζε είλαη ζπλάξηεζε 1-1 , αλ θαη κόλν αλ γηα νπνηαδήπνηε ηζρύεηε ζπλεπαγωγή : Αλ Γηα θάζε ζηνηρεηό ηνπ ηνπ ζπλόινπ ηηκώλ ηεο ε εμίζωζε έρεη αθξηβώο κηα ιύζε ωοπξνο Γελ ππάξρνπλ ζεκεία ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο κε ηελ ίδηα ηεηαγκέλε . Απηό ζεκαίλεη όηη θάζενξηδόληηα επζεία ηέκλεη ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ην πνιύ ζε έλα ζεκείν .ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 3

ΘΕΩΡΙΑ – Γ΄ ΛΤΚΕΙΟΤ - ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟ΢ΑΝΑΣΟΛΙ΢ΜΟΤ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ - Αλ κηα ζπλάξηεζε είλαη γλεζίωο κνλόηνλε , ηόηε πξνθαλώο είλαη 1-1 , ην αληίζηξνθν γεληθά δελ ηζρύεη . Παξάδεηγκα :9. Πόηε κηα ζπλάξηεζε αληηζηξέθεηαη ;Απάντηση :Μηα ζπλάξηεζε , αληηζηξέθεηαη αλ θαη κόλν αλ είλαη 1-1 , ε αληίζηξνθε ζπλάξηεζε ηεοζπκβνιίδεηαη κε θαη δίλεηαη από ηνλ ηύπν :*΢ρόιηα : () θαη ( ) Η αληίζηξνθε ηεο έρεη πεδίν νξηζκνύ ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο θαη ζύλνιν ηηκώλ , ην πεδίννξηζκνύ ηεο . Οη γξαθηθέο παξαζηάζεηο θαη ηωλ ζπλαξηήζεωλ θαη είλαη ζπκκεηξηθέο ωο πξνο ηελεπζεία πνπ δηρνηνκεί ηηο γωλίεο10. Να γξάςεηε ηηο ηδηόηεηεο ησλ νξίσλΑπάντηση : , ηόηε θνληά ζην (΢ρήκα Α) Αν , ηόηε θνληά ζην (΢ρήκα Β) ΑνΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 4

ΘΕΩΡΙΑ – Γ΄ ΛΤΚΕΙΟΤ - ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟ΢ΑΝΑΣΟΛΙ΢ΜΟΤ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ - Αλ νη ζπλαξηήζεηο έρνπλ όξην ζην θαη ηζρύεη θνληά ζην ηόηε Αλ ππάξρνπλ ηα όξηα ηωλ ζπλαξηήζεωλ ζην ηόηε :1. ( )2. ( ) , γηα θάζε ζηαζεξά3. ( )4. , εθόζνλ5. | | | | θνληά ζην6. √ √ , εθόζνλ7. [ ] [ ]11. Να απνδείμεηε όηηΑπόδειξη :Έζηω ην πνιπώλπκν :Έρνπκε :ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 5

ΘΕΩΡΙΑ – Γ΄ ΛΤΚΕΙΟΤ - ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟ΢ΑΝΑΣΟΛΙ΢ΜΟΤ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -12. Να δηαηππώζεηε ην θξηηήξην παξεκβνιήοΑπάντηση :Έζηω νη ζπλαξηήζεηο . Αλ θνληά ζην θαη , ηόηε13. Να αλαθέξεηε ηα ηξηγσλνκεηξηθά όξηαΑπάντηση : | | | | , γηα θάζε , ε ηζόηεηα ηζρύεη κόλν γηα14. Πσο ππνινγίδνπκε ην όξην ηεο ζύλζεηεο ζπλάξηεζεο ;Απάντηση :Όηαλ ζέινπκε λα ππνινγίζνπκε ην ( ) , ηόηε εξγαδόκαζηε ωο εμήο :1) Θέηνπκε θαη2) Τπνινγίδνπκε (αλ ππάξρεη) ηνΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 6

ΘΕΩΡΙΑ – Γ΄ ΛΤΚΕΙΟΤ - ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟ΢ΑΝΑΣΟΛΙ΢ΜΟΤ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -3) Τπνινγίδνπκε (αλ ππάξρεη ) ηνΑπνδεηθλύεηαη όηη , αλ θνληά ζην ηόηε ην δεηνύκελν όξην είλαη ίζν κε δειαδή ηζρύεη : ()15. Να αλαθέξεηε ηηο ηδηόηεηεο ηνπ άπεηξνπ νξίνπ ζηνΑπάντηση :Όπωο ζηελ πεξίπηωζε ηωλ πεπεξαζκέλωλ νξίωλ έηζη θαη γηα ηα άπεηξα όξηα ζπλαξηήζεωλ , πνπνξίδνληαη ζε έλα ζύλνιν ηεο κνξθήο , ηζρύνπλ νη παξαθάηω ηζνδπλακίεο :α)β)γ) Αλ , ηόηε θνληά ζην ελώαλ , ηόηε θνληά ζηνδ) Αλ , ηόηε [] ελώαλ , ηόηε []ε) Αλ , ηόηεζη) Αλ θαη θνληά ζην , ηόηε ελώαλ θαη θνληά ζην , ηόηεδ) Αλ , ηόηε ||ε) Αλ , ηόηε √΢ύκθωλα κε ηηο ηδηόηεηεο απηέο έρνπκε : θαη γεληθά (΢ρήκα α)ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 7

ΘΕΩΡΙΑ – Γ΄ ΛΤΚΕΙΟΤ - ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟ΢ΑΝΑΣΟΛΙ΢ΜΟΤ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ - θαη γεληθάελώ θαη γεληθά (΢ρήκα β)Δπνκέλωο δελ ππάξρεη ζην κεδέλ ην όξην ηεο16. Να αλαθέξεηε ηα όξηα αζξνίζκαηνο θαη γηλνκέλνπ δπν ζπλαξηήζεσλΑπάντηση :΢ηνπο παξαπάλω πίλαθεο όπνπ ππάξρεη εξωηεκαηηθό , ζεκαίλεη όηη ην όξην ( αλ ππάξρεη ) εμαξηάηαηθάζε θνξά από ηηο ζπλαξηήζεηο πνπ παίξλνπκε .΢ηηο πεξηπηώζεηο απηέο ιέκε όηη έρνπκεαπροσδιόριστη μορυή . Γειαδή απξνζδηόξηζηεο κνξθέο γηα ηα όξηα αζξνίζκαηνο θαη γηλνκέλνπ είλαηαπξνζδηόξηζηεο κνξθέο γηα ηα όξηα δηαθνξάο θαη πειίθνπ είλαηΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 8

ΘΕΩΡΙΑ – Γ΄ ΛΤΚΕΙΟΤ - ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟ΢ΑΝΑΣΟΛΙ΢ΜΟΤ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -17. Να αλαθέξεηε ηηο ηδηόηεηεο γηα ην όξην ζην άπεηξνΑπάντηση : Γηα ηνλ ππνινγηζκνύ ηνπ νξίνπ ζην ελόο κεγάινπ κέξνο ζπλαξηήζεωλ ρξεηαδόκαζηε ηα παξαθάηω βαζηθά όξηα : { ηζρπεη : Γηα ηελ πνιπσλπκηθή ζπλάξηεζε Γηα ηελ ξεηή ζπλάξηεζε () () Γηα ην όξην εθζεηηθήο ινγαξηζκηθήο ζπλάξηεζεο : Αλ ηνηε:ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 9

ΘΕΩΡΙΑ – Γ΄ ΛΤΚΕΙΟΤ - ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟ΢ΑΝΑΣΟΛΙ΢ΜΟΤ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -18. Πόηε ιέκε όηη κηα ζπλάξηεζε ιέγεηαη ζπλερήο ζην ;Απάντηση :Έζηω κηα ζπλάξηεζε θαη έλα ζεκείν ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο . Θα ιέκε όηη ε είλαη ζπλερήοζην όηαλ :19. Πόηε κηα ζπλάξηεζε δελ είλαη ζπλερήο ζην ;Απάντηση :Μηα ζπλάξηεζε δελ είλαη ζπλερήο ζε έλα ζεκείν ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο όηαλ :α) Γελ ππάξρεη ην όξην ηεο ζην ήβ) Τπάξρεη ην όξην ηεο ζην , αιιά είλαη δηαθνξεηηθό από ηελ ηηκή ηεο , , ζην ζεκείν20. Πόηε κηα ζπλάξηεζε ιέγεηαη απιώο ζπλερήο ;Απάντηση :Μηα ζπλάξηεζε πνπ είλαη ζπλερήο ζε όια ηα πεδία νξηζκνύ ηεο ζα ιέγεηαη απιά ζπλερήο ζπλάξηεζε21. Πξάμεηο κε ζπλερήο ζπλαξηήζεηοΑπάντηση :Αλ νη ζπλαξηήζεηο θαη είλαη ζπλερήο ζην , ηόηε είλαη ζπλερήο ζην θαη νη ζπλαξηήζεηο : || √Με ηελ πξνϋπόζεζε όηη νξίδνληαη ζε έλα δηάζηεκα πνπ πεξηέρεη ην . , ηόηε ε ζύλζεζεΑλ ε ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο ζην θαη ε ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο ζηνηνπο είλαη ζπλερήο ζηνΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 10

ΘΕΩΡΙΑ – Γ΄ ΛΤΚΕΙΟΤ - ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟ΢ΑΝΑΣΟΛΙ΢ΜΟΤ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -22. Πόηε κηα ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο ζε έλα αλνηθηό δηάζηεκα ;Απάντηση :Μηα ζπλάξηεζε ζα ιέκε όηη είλαη ζπλερήο ζε έλα αλνηθηό δηάζηεκα όηαλ είλαη ζπλερήο ζεθάζε ζεκείν ηνπ (΢ρήκα (α) )23. Πόηε κηα ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο ζε έλα θιεηζηό δηάζηεκα [ ];Απάντηση :Μηα ζπλάξηεζε ζα ιέκε όηη είλαη ζπλερήο ζε έλα θιεηζηό δηάζηεκα [ ] όηαλ είλαη ζπλερήο ζεθάζε ζεκείν ηνπ θαη επηπιένλ24. Να αλαθέξεηε ην Θεώξεκα BolzanoΑπάντηση : ] . Αλ :Έζηω κηα ζπλάξηεζε , νξηζκέλε ζε έλα θιεηζηό δηάζηεκα [ ζην αλνηθηό δηάζηεκα Η είλαη ζπλερήο ζην [ ] θαη , επηπιένλ , ηζρύεηΣόηε ππάξρεη έλα , ηνπιάρηζηνλ ηέηνην ώζηεΓειαδή , ππάξρεη κηα , ηνπιάρηζηνλ , ξίδα ηεο εμίζωζεοΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 11

ΘΕΩΡΙΑ – Γ΄ ΛΤΚΕΙΟΤ - ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟ΢ΑΝΑΣΟΛΙ΢ΜΟΤ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -*΢ρόιηα :Από ην ζεώξεκα Bolzano πξνθύπηεη όηη : Αλ κηα ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο ζε έλα δηάζηεκα θαη δε κεδελίδεηαη ζε απηό , ηόηε απηή ήείλαη ζεηηθή γηα θάζε ή είλαη αξλεηηθή γηα θάζε , δειαδή δηαηεξεί ζηαζεξό πξόζεκνζην δηάζηεκα . Μηα ζπλερήο ζπλάξηεζε δηαηεξεί πξόζεκν ζε θάζε έλα από ηα δηαζηήκαηα ζηα νπνία νη δηαδνρηθέο ξίδεο ηεο ρωξίδνπλ ην πεδίν νξηζκνύ ηεο25. Να αλαθέξεηε ην Θεώξεκα ελδηάκεζσλ ηηκώλΑπάντηση :Έζηω κηα ζπλάξηεζε , ε νπνηα είλαη νξηζκέλε ζε έλα θιεηζηό δηάζηεκα [ ] . Αλ : ηέηνηνο , Η είλαη ζπλερήο ζην [ ] θαηΣόηε , γηα θάζε αξηζκό ε κεηαμύ ηωλ θαη ππάξρεη έλαο , ηνπιάρηζηνλώζηε*΢ρόιην :Αλ κηα ζπλάξηεζε f δελ είλαη ζπλερήο ζην δηάζηεκα [ ] , ηόηε όπωοθαίλεηαη θαη ζην δηπιαλό ζρήκα , δελ παίξλεη ππνρξεωηηθά όιεο ηηοελδηάκεζεο ηηκέοΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 12

ΘΕΩΡΙΑ – Γ΄ ΛΤΚΕΙΟΤ - ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟ΢ΑΝΑΣΟΛΙ΢ΜΟΤ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -26 . Έζησ κηα ζπλάξηεζε , ε νπνηα είλαη νξηζκέλε ζε έλα θιεηζηό δηάζηεκα [ ] . Αλ : Η είλαη ζπλερήο ζην [ ] θαηηόηε λα απνδείμεηε όηη γηα θάζε αξηζκό ε κεηαμύ ησλ θαη ππάξρεη έλαο , ηνπιάρηζηνλ ηέηνηνο , ώζηεΑπόδειξη :Αο ππνζέζνπκε όηη . Σόηε ζα ηζρύεη . Αλ ζεωξήζνπκε ηε ζπλάξηεζε [ ] , παξαηεξνπκε όηη : . Δπνκέλωο ζύκθωλα κε ην ζεώξεκα ηνπ , νπόηε ε είλαη ζπλερήο ζην [ ] θαηαθνύ ηέηνην , ώζηεBolzano , ππάξρεη*΢ρόιην : ελόο δηαζηήκαηνο Γ κέζω κηαο ζπλερνύο θαη κε ζηαζεξήο ζπλάξηεζεο είλαηΗ εηθόλαδηάζηεκαΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 13

ΘΕΩΡΙΑ – Γ΄ ΛΤΚΕΙΟΤ - ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟ΢ΑΝΑΣΟΛΙ΢ΜΟΤ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -27. Να αλαθέξεηε ην Θεώξεκα Μέγηζηεο θαη ειαρίζηεο ηηκήοΑπάντηση : ] , ηνηε ε παηξλεη ζην [ ] κηα κεγηζηε ηηκε θαη κηαΑλ είλαη ζπλερεο ζπλαξηεζε ζην [ειαρηζηε ηηκε *Γειαδή , ππάξρνπλ [ ] ηέηνηα ώζηε αλ θαη , λα ηζρύεη : []*΢ρόιην :Από ην παξαπάλω ζεώξεκα θαη ην ζεώξεκα ηωλ ελδηάκεζωλ ηηκώλ πξνθύπηεη όηη ην ζύλνιν ηηκώλκηαο ζπλερνύο ζπλάξηεζεο κε πεδίν νξηζκνύ ην [ ] είλαη ην θιεηζηό δηάζηεκα [ ] , όπνπ εειάρηζηε ηηκή θαη ε κέγηζηε ηηκή ηεο .Γηα παξάδεηγκα ε ζπλάξηεζε [ ] έρεη ζύλνιν ηηκώλ ην [ ]αθνπ είλαη ζπλερήοζην [ ]κε θαη28. Πσο ππνινγίδνπκε ην ζύλνιν ηηκώλ ;Απάντηση :Αλ κηα ζπλάξηεζε είλαη γλεζίωο αύμνπζα θαη ζπλερήο ζε έλα αλνηθηό δηάζηεκα , ηόηε ηνζύλνιν ηηκώλ ηεο ζην δηάζηεκα απηό είλαη ην δηάζηεκα , νπνπΑλ όκωο , ε είλαη γλεζίωο θζίλνπζα θαη ζπλερήο ζην , ηόηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο ζηνδηάζηεκα απηό είλαη είλαη ην δηάζηεκαΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 14

ΘΕΩΡΙΑ – Γ΄ ΛΤΚΕΙΟΤ - ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟ΢ΑΝΑΣΟΛΙ΢ΜΟΤ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο - ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ΢ ΛΟΓΙ΢ΜΟ΢29. Πόηε κηα ζπλάξηεζε ιέγεηαη παξαγσγίζηκε ζε έλα ζεκείν ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο ;Απάντηση :Μηα ζπλάξηεζε , ιέκε όηη είλαη παξαγωγίζηκε ζε έλα ζεκείν ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο , αλ ππάξρεηθαη είλαη πξαγκαηηθόο αξηζκόο . θαη ζπκβνιίδεηαη κε . Γειαδή :Σν όξην απηό νλνκάδεηαη παξάγωγνο ηεο ζην*΢ρόιηα : Αλ ηώξα ζηελ ηζόηεηαΘέζνπκε , ηόηε έρνπκε : Αλ ην είλαη εζωηεξηθό ζεκείν ελόο δηαζηήκαηνο ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο ηόηε :Η είλαη παξαγωγίζηκε ζην , αλ θαη κόλν αλ ππάξρνπλ ζην ηα όξηα :30. Να νξίζεηε ηελ εθαπηνκέλε ηεο ζην ζεκείν ηεο ( ) θαη λα δηαηππώζεηε ηνλ ηύπν ηεο .Απάντηση : ) έλα ζεκείν ηεο . Αλ ππάξρεη ην θαη είλαηΈζηω κηα ζπλάξηεζε θαη (έλαο πξαγκαηηθόο αξηζκόο , ηόηε νξίδνπκε ωο εθαπηνκέλε ηεο ζην ζεκείν ηεο , ηελ επζεία ε πνπδηέξρεηαη από ην θαη έρεη ζπληειεζηή δηεύζπλζεο .Η εμίζωζε ηεο είλαη :ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 15

ΘΕΩΡΙΑ – Γ΄ ΛΤΚΕΙΟΤ - ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟ΢ΑΝΑΣΟΛΙ΢ΜΟΤ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -*΢ρόιηα : Ο ζπληειεζηήο δηεύζπλζεο ηεο εθαπηνκέλεο ε ηεο , κηαο παξαγωγίζηκεο ζπλάξηεζεο , ζηνζεκείν ( ) είλαη ε παξάγωγνο ηεο ζην . Γειαδή είλαη : Σελ θιίζε ηεο εθαπηνκέλεο ε ζην ( ) ζα ηε ιέκε θιίζε ηεο ζην Α ή θιίζε ηεο ζην .31. Αλ κηα ζπλάξηεζε είλαη παξαγσγίζηκε ζ’ έλα ζεκείν ,ηόηε είλαη θαη ζπλερήο ζην ζεκείν απηόΑπόδειξη :Γηα έρνπκε :νπόηε [ ][ ]αθνύ ε είλαη παξαγωγίζηκε ζην . Δπνκέλωο :Γειαδή ε είλαη ζπλερήο ζην . , ηόηε ζύκθωλα κε ην πξνεγνύκελν ζεώξεκα ,*΢ρόιηα :Αλ κηα ζπλάξηεζε δελ είλαη ζπλερήο ζ’ έλα ζεκείνδελ κπνξεί λα είλαη παξαγωγίζηκε ζην .ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 16

ΘΕΩΡΙΑ – Γ΄ ΛΤΚΕΙΟΤ - ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟ΢ΑΝΑΣΟΛΙ΢ΜΟΤ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -32. Πόηε κηα ζπλάξηεζε είλαη παξαγσγίζηκε ζην Α ;Απάντηση :Η είλαη παξαγωγίζηκε ζην Α , ή απιά , παξαγωγίζηκε ,όηαλ είλαη παξαγωγίζηκε ζε θάζε ζεκείν .33. Πόηε κηα ζπλάξηεζε είλαη παξαγσγίζηκε ζε έλα αλνηθηό δηάζηεκα θαη πόηε ζε έλα θιεηζηό δηάζηεκα [ ];Απάντηση : ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο , όηαλ είλαηΗ είλαη παξαγωγίζηκε ζε έλα αλνηθηό δηάζηεκα ] ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο , όηαλ είλαηπαξαγωγίζηκε ζε θάζε ζεκείνΗ είλαη παξαγωγίζηκε ζε έλα θιεηζηό δηάζηεκα [παξαγωγίζηκε ζην θαη επηπιένλ ηζρύεη :34. Να απνδείμεηε όηη αλ ηόηε ηζρύεη : , ηόηε γηαΑπόδειξη :Αλ είλαη έλα ζεκείν ηνπΔπνκέλωο :Γειαδή .35. Να απνδείμεηε όηη αλ ηόηε ηζρύεη : , ηόηε γηαΑπόδειξη :Αλ είλαη έλα ζεκείν ηνπΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 17

ΘΕΩΡΙΑ – Γ΄ ΛΤΚΕΙΟΤ - ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟ΢ΑΝΑΣΟΛΙ΢ΜΟΤ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -Δπνκέλωο :Γειαδή .36. Να απνδείμεηε όηη αλ , ηόηε γηα { } ηόηε ηζρύεη :Απόδειξη :Αλ είλαη έλα ζεκείν ηνπνπόηεΓειαδή .37. Να απνδείμεηε όηη αλ √ ηόηε √Απόδειξη : , ηόηε γηα ηζρύεη :Αλ είλαη έλα ζεκείν ηνπ √√ (√ √ ) (√ √ ) (√ √ ) (√ √ ) √ √νπόηε √√ √Γειαδή (√ ) √*΢ρόιηα : Έζηω ζπλάξηεζε , ε ζπλάξηεζε είλαη παξαγωγίζηκε ζην θαη ηζρύεη Έζηω ζπλάξηεζε ε ζπλάξηεζε είλαη παξαγωγίζηκε ζην θαη ηζρύεη Έζηω ζπλάξηεζε ε ζπλάξηεζε είλαη παξαγωγίζηκε ζην θαη ηζρύεη Έζηω ζπλάξηεζε ε ζπλάξηεζε είλαη παξαγωγίζηκε ζην θαη ηζρύεηΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 18

ΘΕΩΡΙΑ – Γ΄ ΛΤΚΕΙΟΤ - ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟ΢ΑΝΑΣΟΛΙ΢ΜΟΤ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -38. Να απνδείμεηε όηη αλ νη ζπλαξηήζεηο είλαη παξαγσγίζηκεο ζην , ηόηε ε ζπλάξηεζε είλαη παξαγσγίζηκε ζην θαη ηζρύεη :Απόδειξη :γηα ηζρύεη :Δπεηδή νη ζπλαξηήζεηο είλαη παξαγωγίζηκεο ζην , έρνπκε :Γειαδή*΢ρόιηα : Αλ νη ζπλαξηήζεηο είλαη παξαγωγίζηκεο ζην , ηόηε θαη ε ζπλάξηεζε είλαη ζύκθωλαπαξαγωγίζηκε ζην θαη ηζρύεη : Αλ ε είλαη παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε ζε έλα δηάζηεκα Γ θαη , επεηδήκε ην ζεώξεκα (2) έρνπκε : ( ) Αλ νη ζπλαξηήζεηο είλαη παξαγωγίζηκεο ζην θαη ηόηε θαη ε ζπλάξηεζε είλαηπαξαγωγίζηκε ζην θαη ηζρύεη : () [ ]39. Να απνδείμεηε όηη έρνπκε :Απόδειξη :Πξάγκαηη γηα θάζε ()ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 19

ΘΕΩΡΙΑ – Γ΄ ΛΤΚΕΙΟΤ - ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟ΢ΑΝΑΣΟΛΙ΢ΜΟΤ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -40. Να απνδείμεηε όηηΑπόδειξη : { } έρνπκε:Πξάγκαηη γηα θάζε()*΢ρόιηα : . Η ζπλάξηεζε είλαη παξαγωγίζηκε ζην Έζηω ε ζπλάξηεζε } θαη ηζρύεη όηη δειαδή : {41. Να αλαθέξεηε ηνλ θαλόλα αιπζίδαο ηόηε εΑπάντηση :Αλ ε ζπλάξηεζε είλαη παξαγωγίζηκε ζην θαη ε είλαη παξαγωγίζηκε ζηνζπλάξηεζε είλαη παξαγωγίζηκε ζην θαη ηζρύεη : ()42. Να απνδείμεηε όηη θαη ζέζνπκε , ηόηε έρνπκε . ΔπνκέλωοΑπόδειξη :Πξάγκαηη , αλ43. Να απνδείμεηε όηη θαη ζέζνπκε , ηόηε έρνπκε . ΔπνκέλωοΑπόδειξη :Πξάγκαηη , αλ*΢ρόιηα : , ηόηε | | , ελώ αλ , ηόηε | | , νπόηε αλ θαη , έρνπκε Πξάγκαηη , αλ . Δπνκέλωο : ζέζνπκεΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 20

ΘΕΩΡΙΑ – Γ΄ ΛΤΚΕΙΟΤ - ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟ΢ΑΝΑΣΟΛΙ΢ΜΟΤ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -44. Ση ιέκε ξπζκό κεηαβνιήο ηνπ σο πξνο ζην ζεκεηνΑπάντηση : , όηαλ είλαη κηα ζπλάξηεζεΑλ δπν κεηαβιεηά κεγέζε ζπλδένληαη κε ηελ ζρέζε ωο πξνο ζην ζεκείν ηελπαξαγωγίζηκε ζην , ηόηε νλνκάδνπκε ξπζκό κεηαβνιήο ηνππαξάγωγν45. Να αλαθέξεηε ην ζεώξεκα Rolle θαη ηελ γεσκεηξηθή ηνπ εξκελείαΑπάντηση :Αλ κηα ζπλάξηεζε είλαη : ΢πλερήο ζην θιεηζηό δηάζηεκα [ ] Παξαγωγίζηκε ζην αλνηθηό δηάζηεκαηόηε ππάξρεη έλα , ηνπιάρηζηνλ ) ηέηνην , ώζηε :Γεσκεηξηθά , απηό ζεκαίλεη όηη ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ ) ηέηνην ώζηε ε εθαπηνκέλε ηεοζην λα είλαη παξάιιειε ζηνλ άμνλα46. Να αλαθέξεηε ην ζεώξεκα κέζεο ηηκήο ηνπ δηαθνξηθνύ ινγηζκνύ Θ.Μ.Σ θαη ηελ γεσκεηξηθή ηνπ εξκελείαΑπάντηση :Αλ κηα ζπλάξηεζε είλαη : ζπλερήο ζην θιεηζηό δηάζηεκα [ ] θαη παξαγωγίζηκε ζην αλνηθηό δηάζηεκαΣόηε ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ ) ηέηνην ώζηε :ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 21

ΘΕΩΡΙΑ – Γ΄ ΛΤΚΕΙΟΤ - ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟ΢ΑΝΑΣΟΛΙ΢ΜΟΤ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -Γεσκεηξηθά , απηό ζεκαίλεη όηη ππάξρεη έλα ,ηνπιάρηζηνλ , ) , ηέηνην ώζηε ε εθαπηνκέλε ηεογξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο ζην ζεκείν λα είλαη παξάιιειε ηεο επζείαο ΑΒ47. Έζησ κηα ζπλάξηεζε νξηζκέλε ζε έλα δηάζηεκα Δ .Αλ ε είλαη ζπλερήο ζην Δ θαη γηα θάζε εζσηεξηθό ζεκείν ηνπ Δ , ηόηε λα απνδείμεηε όηη ε είλαη ζηαζεξή .Απόδειξη : ηζρύεη . ΠξάγκαηηΑξθεί λα απνδείμνπκε όηη γηα νπνηαδήπνηε Αλ , ηόηε πξνθαλώο Αλ ,ηόηε ην δηάζηεκα [ ] ε ηθαλνπνηεί ηηο ππνζέζεηο ηνπ ζεωξήκαηνο κέζεο ηηκήο .Δπνκέλωο , ππάξρεη ηέηνην ώζηεΔπεηδή ην είλαη εζωηεξηθό ζεκείν ηνπ Γ , ηζρύεη , νπόηε ιόγω ηεο , είλαη . Αλ , ηόηε νκνίωο απνδεηθλύεηαη όηη . ΢ε όιεο ηηοπεξηπηώζεηο είλαη48. Έζησ δπν ζπλαξηήζεηο νξηζκέλεο ζε έλα δηάζηεκα Δ. Αλ νη είλαη ζπλερείο ζην Δ θαη γηα θάζε εζσηεξηθό ζεκείν ηνπ Δ, ηόηε λα απνδείμεηε όηη ππάξρεη ζηαζεξάηέηνηα ώζηε γηα θάζε ,Απόδειξη : είλαη ζπλερήο ζην δηάζηεκα Γ θαη γηα θάζε εζωηεξηθό ζεκείν ηζρύεηΗ ζπλάξηεζε . Δπνκέλωο ζπκθώλα κε ην παξαπάλω ζεώξεκα ε ζπλάξηεζε είλαη ζηαζεξή ζην Γ. Άξα ππάξρεη ζηαζεξά ηέηνηα , ώζηε γηα θάζε λα ηζρύεη , νπνηε .ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 22

ΘΕΩΡΙΑ – Γ΄ ΛΤΚΕΙΟΤ - ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟ΢ΑΝΑΣΟΛΙ΢ΜΟΤ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -*΢ρόιηα : Σα δπν παξαπάλω ζεωξήκαηα ηζρύνπλ ζε δηάζηεκα θαη όρη ζε έλωζε δηαζηεκάηωλ .49. Έζησ κηα ζπλάξηεζε , ε νπνία είλαη ζπλερήο ζε έλα δηάζηεκα . Αλ ζε θάζε εζσηεξηθό ζεκείν ηνπ λα απνδείμεηε όηη ε είλαη γλεζίσο αύμνπζα είλαη γλεζίσο θζίλνπζαζε όιν ην . Αλ ζε θάζε εζσηεξηθό ζεκείν ηνπ λα απνδείμεηε όηη εζε όιν ην .Απόδειξη : Απνδεηθλύνπκε ην ζεώξεκα ζηελ πεξίπηωζε πνπ είλαη .Έζηω κε . Θα δείμνπκε όηη . Πξάγκαηη , ζην δηάζηεκα [ ]εηθαλνπνηεί ηηο πξνϋπνζέζεηο ηνπ Θ.Μ.Σ . Δπνκέλωο , ππάξρεη , ηέηνην ώζηεΟπόηε έρνπκε . Δπεηδή θαη , έρνπκε . , νπόηε εξγαδόκαζηε αλαιόγωο . ΢ηελ πεξίπηωζε πνπ είλαη*΢ρόιηα : Σν αληίζηξνθν ηνπ παξαπάλω ζεωξήκαηνο δελ ηζρύεη .Γειαδή αλ ε είλαη γλεζίωο αύμνπζα(αληηζηνίρωο γλεζίωο θζίλνπζα ) ζην Γ ,ε παξάγωγνο ηεο δελ είλαη ππνρξεσηηθά ζεηηθή( αληηζηνίρωο αξλεηηθή ) ζην εζωηεξηθό ηνπ Γ.Γηα παξάδεηγκα ε ζπλάξηεζε αλ θαη είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην , ελ ηνύηνηο έρεηπαξάγωγν , ε νπνία δελ είλαη ζεηηθή ζε όιν ην , αθνύ . Ιζρύεη όκωο ,γηα θάζεΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 23

ΘΕΩΡΙΑ – Γ΄ ΛΤΚΕΙΟΤ - ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟ΢ΑΝΑΣΟΛΙ΢ΜΟΤ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -50. Πόηε κηα ζπλάξηεζε , κε πεδίν νξηζκνύ , παξνπζηάδεη ζην ηνπηθό κέγηζην θαη πόηε ηνπηθό ειάρηζην ;Απάντηση : ηνπηθό κέγηζην , όηαλ ππάξρεη Μηα ζπλάξηεζε , κε πεδίν νξηζκνύ Α , παξνπζηάδεη ζην , ηέηνην ώζηε : Σν ιέγεηαη ζέζε ή ζεκείν ηνπηθνύ κέγηζηνπ, ελώ ην ηνπηθό κέγηζην ηεο Μηα ζπλάξηεζε , κε πεδίν νξηζκνύ Α , παξνπζηάδεη ζην ηνπηθό ειάρηζην , όηαλ ππάξρεη , ηέηνην ώζηε : Σν ιέγεηαη ζέζε ή ζεκείν ηνπηθνύ ειαρίζηνπ, ελώ ην ηνπηθό ειάρηζην ηεο*΢ρόιηα : Έλα ηνπηθό κέγηζην κπνξεί λα είλαη κηθξόηεξν από έλα ηνπηθό ειάρηζην Αλ κηα ζπλάξηεζε παξνπζηάδεη κέγηζην , ηόηε απηό ζα είλαη κεγαιύηεξν από ηα ηνπηθά κέγηζηα , ελώ αλ παξνπζηάδεη ειάρηζην , ηόηε απηό ζα είλαη ην κηθξόηεξν από ηα ηνπηθά ειάρηζηαΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 24

ΘΕΩΡΙΑ – Γ΄ ΛΤΚΕΙΟΤ - ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟ΢ΑΝΑΣΟΛΙ΢ΜΟΤ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -51. Έζησ κηα ζπλάξηεζε νξηζκέλε ζ’ έλα δηάζηεκα θαη έλα εζσηεξηθό ζεκείν ηνπ . Αλ ε παξνπζηάδεη ηνπηθό αθξόηαην ζην θαη είλαη παξαγσγίζηκε ζην ζεκείν απηό, λα απνδείμεηε όηη :Απόδειξη :Αο ππνζέζνπκε όηη ε ζην παξνπζηάδεη ηνπηθό κέγηζην . Δπεηδή ην είλαη εζωηεξηθό ζεκείν ηνπΓ θαη ε παξνπζηάδεη ζε απηό ηνπηθό κέγηζην , ππάξρεη ηέηνην , ώζηε :θαη , γηα θάζε .Δπεηδή επηπιένλ , ε είλαη παξαγωγίζηκε ζην , ηζρύεη :Δπνκέλωο , ηόηε ιόγν ηεο , ζα είλαη- Αλ , ηόηε ιόγν ηεο , ζα είλαη- ΑλΈηζη από ηηο θαη έρνπκεΗ απόδεημε γηα ηνπηθό ειάρηζην είλαη αλάινγε .52. Πνηα ιέγνληαη θξίζηκα ζεκεία ηεο ζην δηάζηεκα ;Απάντηση : δελΚξίζηκα ζεκεία ηεο ζην δηάζηεκα Γ ιέγνληαη ηα εζωηεξηθά ζεκεία ηνπ Γ ζηα νπνία επαξαγωγίδεηαη ή ε παξάγωγνο είλαη ίζε κε ην κεδέλ .53. Πνηεο είλαη νη πηζαλέο ζέζεηο ησλ ηνπηθώλ αθξόηαησλ κηαο ζπλάξηεζεο ζ’ έλα δηάζηεκα ;Απάντηση :Οη πηζαλέο ζέζεηο ηνπηθώλ αθξνηάηωλ κηαο ζπλάξηεζεο ζ’ έλα δηάζηεκα είλαη : Σα εζωηεξηθά ζεκεία ηνπ ζηα νπνία ε παξάγωγνο ηεο κεδελίδεηαη Σα εζωηεξηθά ζεκεία ηνπ ζηα νπνία ε δελ παξαγωγίδεηαη Σα άθξα ηνπ ( αλ αλήθνπλ ζην πεδίν νξηζκνύ ηεο )ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 25

ΘΕΩΡΙΑ – Γ΄ ΛΤΚΕΙΟΤ - ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟ΢ΑΝΑΣΟΛΙ΢ΜΟΤ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -54. Να απνδείμεηε όηη αλ κηα ζπλάξηεζε παξαγσγίζηκε ζε έλα δηάζηεκα , κε εμαίξεζείζσο έλα ζεκείν ηνπ ,ζην νπνίν όκσο ε είλαη ζπλερήο . Αλ ζην θαη ζην ηόηε ην είλαη ηνπηθό κέγηζην ηεο Αλ ζην θαη ζην ηόηε ην είλαη ηνπηθό ειάρηζην ηεο Αλ δηαηεξεί ζηαζεξό πξόζεκν ζην ηόηε ην δελ είλαη ηνπηθόαθξόηαην θαη ε f είλαη γλεζίσο κνλόηνλε .Απόδειξη : Δπεηδή γηα θάζε θαη ε ζπλερήο ζην , ε είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην ] . Έηζη έρνπκε : , γηα θάζε ]Δπεηδή γηα θάζε θαη ε ζπλερήο ζην , ε είλαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην[ . Έηζη έρνπκε : , γηα θάζε [Δπνκέλωο ιόγν ηεο θαη ηζρύεη : , γηα θάζεπνπ ζεκαίλεη όηη ην είλαη κέγηζην ηεο ζην θαη άξα ηνπηθό κέγηζην ηεο . Δξγαδόκαζηε αλαιόγωο , γηα θάζεΔπεηδή ε είλαη ζπλερήο ζην ζα είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζε θάζε έλα από ηα δηαζηήκαηα ]θαη [ . Δπνκέλωο , γηα ηζρύεη . Άξα ην δελ είλαηηνπηθό αθξόηαην ηεο . Θα δείμνπκε ηώξα , όηη ε είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην . Πξάγκαηη ,έζηω κε Αλ ] , επεηδή ε είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην ] , ζα ηζρύεηΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 26

ΘΕΩΡΙΑ – Γ΄ ΛΤΚΕΙΟΤ - ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟ΢ΑΝΑΣΟΛΙ΢ΜΟΤ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ - Αλ [ , επεηδή ε είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην [ , ζα ηζρύεη , ηόηε όπωο είδακε Σέινο , αλΔπνκέλωο ζε όιεο ηηο πεξηπηώζεηο ηζρύεη , νπόηε ε είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην . . Οκνίωο αλ γηα θάζε*΢ρόιηα : Αλ κηα ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο ζ’ έλα θιεηζηό δηάζηεκα [ ] ε παξνπζηάδεη κέγηζην θαη ειάρηζην . Γηα ηελ εύξεζε ηνπ κεγίζηνπ θαη ειάρηζηνπ εξγαδόκαζηε ωο εμήο : 1) Βξίζθνπκε ηα θξίζηκα ζεκεία ηεο 2) Τπνινγίδνπκε ηηο ηηκέο ηεο ζηα ζεκεία απηά θαη ζηα άθξα ηωλ δηαζηεκάηωλ 3) Από απηέο ηηο ηηκέο ε κεγαιύηεξε είλαη ην κέγηζην θαη ε κηθξόηεξε ην ειάρηζην ηεο55. Πόηε κηα ζπλάξηεζε ιέγεηαη θπξηή θαη πόηε θνίιε ;Απάντηση :Έζηω ζπλερήο ζε έλα δηάζηεκα θαη παξαγωγίζηκε ζην εζωηεξηθό ηνπ . Θα ιέκε όηη : Η ζπλάξηεζε ζηξέθεη ηα θνίια πξνο ηα άλσ ή είλαη θπξηή ζην , αλ ε είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην εζωηεξηθό ηνπ . Η ζπλάξηεζε ζηξέθεη ηα θνίια πξνο ηα θάησ ή είλαη θνίιε ζην , αλ ε είλαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην εζωηεξηθό ηνπ .56. Να αλαθέξεηε ην ζεώξεκα πνπ αθνξά ηελ θπξηόηεηα & ην πξόζεκν ηεο 2εο παξαγώγνπΑπάντηση :Έζηω κηα ζπλάξηεζε ζπλερήο ζε έλα δηάζηεκα Γ θαη δπν θνξέο παξαγωγίζηκε ζην εζωηεξηθό ηνπ Γ Αλ γηα θάζε εζωηεξηθό ζεκείν ηνπ Γ , ηόηε ε είλαη θπξηή ζην Γ. Αλ γηα θάζε εζωηεξηθό ζεκείν ηνπ Γ , ηόηε ε είλαη θνίιε ζην Γ.*΢ρόιηα :Σν αληίζηξνθν ηνπ ζεωξήκαηνο δελ ηζρύεη γηα παξάδεηγκα έζηω εζπλάξηεζε , επεηδή ε , είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην,ε είλαη θπξηή ζην , εληνύηνηο ε δελ είλαη ζεηηθή ζηναθνύΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 27

ΘΕΩΡΙΑ – Γ΄ ΛΤΚΕΙΟΤ - ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟ΢ΑΝΑΣΟΛΙ΢ΜΟΤ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -57. Πόηε ην ζεκείν ( ) νλνκάδεηαη ζεκείν θακπήο ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο ;Απάντηση : ) νλνκάδεηαη ζεκείν θακπήο ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο όηαλ :Σν ζεκείν ( Η είλαη θπξηή ζην θαη θνίιε ζην ή αληηζηξόθωο θαη ) Η έρεη εθαπηνκέλε ζην ζεκείν (*΢ρόιηα :Όηαλ ην ( ) είλαη ζεκείν θακπήο ηεο , ηόηε ιέκε όηη ε παξνπζηάδεη ζην θακπή θαη ηνιέγεηαη ζέζε ζεκείνπ θακπήο .58. Ση ηζρύεη αλ ην ( ) θαη ε είλαη δπν θνξέο παξαγσγίζηκε ;Απάντηση :Αλ ην ( ) είλαη ζεκείν θακπήο ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο θαη ε είλαη δπν θνξέοπαξαγωγίζηκε , ηόηε ην59. Πνηεο είλαη νη πηζαλέο ζέζεηο ζεκείσλ θακπήο κηαο ζπλάξηεζεο ζ’ έλα δηάζηεκα Δ;Απάντηση :Οη πηζαλέο ζέζεηο ζεκείωλ θακπήο κηαο ζπλάξηεζεο ζε έλα δηάζηεκα Γ είλαη : i. Σα εζωηεξηθά ζεκεία ηνπ Γ ζηα νπνία ε κεδελίδεηαη ( ) είλαη ζεκείν ii. Σα εζωηεξηθά ζεκεία ηνπ Γ ζηα νπνία δελ ππάξρεη ε60. Πνηα είλαη ε κέζνδνο – ην θξηηήξην γηα λα βξνύκε όηη έλα ζεκείν θακπήο ;Απάντηση : θαη . ΑλΈζηω κηα ζπλάξηεζε νξηζκέλε ζ’ έλα δηάζηεκαi. ε αιιάδεη πξόζεκν εθαηέξωζελ ηνπ θαηii. νξίδεηαη εθαπηνκέλε ηεο ζην ( )ηόηε ην ( ) είλαη ζεκείν θακπήο .61. Πόηε ιέκε όηη ε επζεία ιέγεηαη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηεο ; , ηόηε ε επζείαΑπάντηση :Αλ έλα ηνπιάρηζηνλ από ηα όξηα είλαη, ιέγεηαη θαηαθόξπθε αζύκπηωηε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεοΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 28

ΘΕΩΡΙΑ – Γ΄ ΛΤΚΕΙΟΤ - ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟ΢ΑΝΑΣΟΛΙ΢ΜΟΤ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -62. Πόηε ιέκε όηη ε επζεία ιέγεηαη νξηδόληηα αζύκπησηε ηεο ;Απάντηση : ζην ) ηόηε ε επζεία ιέγεηαη νξηδόληηαΑλ (αληηζηνίρωο (αληηζηνίρωο ζην )αζύκπηωηε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο63. Πόηε ε επζεία ιέγεηαη αζύκπησηε ηεο ζην αληηζηνίρσο ζην ;Απάντηση : ιεγεηαη αζπκπηωηε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο ζην αληηζηνίρωο ζηνΗ επζεία αλ: []αληηζηνίρωο []64. Να αλαθέξεηαη ηνπο ηύπνπο κε ηνπο νπνίνπο βξίζθνπκε ηηο αζύκπησηεο ηεο κνξθήο ;Απάντηση : είλαη αζύκπηωηε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο ζην , αληηζηνίρωο ζηνΗ επζείααλ θαη κόλν αλ: []Αληηζηνίρωο []*΢ρόιηα : Απνδεηθλύεηαη όηη :  Οη πνιπωλπκηθέο ζπλαξηήζεηο βαζκνύ κεγαιπηέξνπ ή ίζνπ ηνπ 2 δελ έρνπλ αζπκπηωηεο Οη ξεηέο ζπλαξηήζεηο , κε βαζκό ηνπ αξηζκεηή κεγαιύηεξν ηνπιάρηζηνλ θαηά δπν ηνπ βαζκνύ ηνπ παξνλνκαζηή ,δελ έρνπλ πιάγηεο αζύκπηωηεο ΢ύκθωλα κε ηνπο παξαπάλω νξηζκνύο , αζύκπηωηεο ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο κηαο ζπλάξηεζεο αλαδεηνπκε :  ΢ηα άθξα ηωλ δηαζηεκάηωλ ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο ζηα νπνία ε δελ νξίδεηαη  ΢ηα ζεκεία ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο , ζηα νπνία ε , δελ είλαη ζπλερήοΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 29

ΘΕΩΡΙΑ – Γ΄ ΛΤΚΕΙΟΤ - ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟ΢ΑΝΑΣΟΛΙ΢ΜΟΤ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ - ΢ην , εθόζνλ ε ζπλάξηεζε είλαη νξηζκέλε ζε δηάζηεκα ηεο κνξθήο ,αληηζηνίρωο65. Να δηαηππώζεηε ηνπο θαλόλεο de L’HospitalΑπάντηση :1νο θαλόλαο ( κνξθή )Αλ , { } θαη ππάξρεη ην( πεπεξαζκέλν ή άπεηξν ) , ηόηε :2νο θαλόλαο ( κνξθή ) { } θαη ππάξρεη ηνΑλ ,( πεπεξαζκέλν ή άπεηξν ) , ηόηε :*΢ρόιηα : Ο 2νο θαλόλαο ηζρύεη θαη γηα ηηο κνξθέο : Οη δπν παξαπάλω θαλόλεο ηζρύνπλ θαη γηα πιεπξηθά όξηα θαη κπνξνύκε αλ ρξεηάδεηαη , λα ηα εθαξκόζνπκε πεξηζζόηεξεο θνξέο , αξθεί λα πιεξνύληαη νη πξνϋπνζέζεηο .ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 30

ΘΕΩΡΙΑ – Γ΄ ΛΤΚΕΙΟΤ - ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟ΢ΑΝΑΣΟΛΙ΢ΜΟΤ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ - 3ν ΚΕΦΑΛΑΙΟ – ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΙΚΟ΢ ΛΟΓΙ΢ΜΟ΢66. Ση νλνκάδεηαη αξρηθή ζπλάξηεζε ή παξάγνπζα ηεο ζην Δ ;Απάντηση :Έζηω κηα ζπλάξηεζε νξηζκέλε ζε έλα δηάζηεκα . Αξρηθή ζπλάξηεζε ή παξάγνπζα ζε έλαδηάζηεκα νλνκάδεηαη θάζε ζπλάξηεζε πνπ είλαη παξαγωγίζηκε ζην Γ θαη ηζρύεη :67. Έζησ κηα ζπλάξηεζε νξηζκέλε ζε έλα δηάζηεκα Δ . Αλ ε είλαη κηα παξάγνπζα ηεο ζην Δλα απνδείμεηε όηη : Όιεο νη ζπλαξηήζεηο ηεο κνξθήο : είλαη παξάγνπζεο ηεο ζην Δ Κάζε άιιε παξάγνπζα ηεο ζην Δ παίξλεη ηελ κνξθή :Απόδειξη : Κάζε ζπλάξηεζε ηεο κνξθήο , όπνπ είλαη κηα παξάγνπζα ηεο ζην Γ , θαηαθνύ : , γηα θάζε Έζηω κηα άιιε παξάγνπζα ηεο ζην Γ . Σόηε γηα θάζε ηζρύνπλ : , νπόηε , γηα θάζεΆξα ππάξρεη ζηαζεξά ηέηνηα , ώζηε , γηα θάζε68. Να γξάςεηε ηηο ηδηόηεηεο ηνπ νξηζκέλνπ νινθιεξώκαηνο ;Απάντηση : ∫ 1. ∫2. ∫3. ∫ Έζηω ζπλερείο ζπλαξηήζεηο ζην [ ] θαη . Σόηε ηζρύνπλ :4. ∫ ∫ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 31

ΘΕΩΡΙΑ – Γ΄ ΛΤΚΕΙΟΤ - ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟ΢ΑΝΑΣΟΛΙ΢ΜΟΤ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -5. ] ∫ ∫ ∫[ θαη γεληθά :6. ]∫ ∫ ∫[ Αλ ε είλαη ζπλερήο ζε δηάζηεκα Γ θαη ηόηε ηζρύεη :7. ∫ ∫∫8. Έζηω κηα ζπλαξηεζε ζε έλα δηάζηεκα [ ] . Αλ γηα θάζε [ ] θαη ε ζπλάξηεζε δελ είλαη παληνύ κεδέλ ζην δηάζηεκα απηό , ηόηε : ∫69. Έζησ κηα ζπλερεο ζπλάξηεζε ζε έλα δηάζηεκα [ ] . Αλ εηλαη κηα παξάγνπζα ηεο ζην [ ] λα απνδείμεηε όηη : ∫Απόδειξη :΢ύκθωλα κε ην γλωζηό ζεώξεκα ε ζπλάξηεζε ∫ είλαη κηα παξάγνπζα ηεο ζην ζην δηάζηεκα [ ] , ζα ππάξρεηδηάζηεκα [ ] . Δπεηδή θαη ε είλαη κηα παξάγνπζα ηεοηέηνην ώζηε :Από ηελ γηα , έρνπκε ∫ , επνκέλωοΟπόηε γηα , έρνπκε ∫Καη άξα ∫ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 32

ΘΕΩΡΙΑ – Γ΄ ΛΤΚΕΙΟΤ - ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟ΢ΑΝΑΣΟΛΙ΢ΜΟΤ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -70. Να αλαθέξεηε ηνπο ηύπνπο ηεο παξαγνληηθήο νινθιήξσζεο θαη ηεο αληηθαηάζηαζεο γηα ην νξηζκέλν νινθιήξσκα .Απάντηση : ∫ [ ]∫Όπνπ είλαη ζπλερείο ζπλαξηήζεηο ζην [ ] ∫( ) ∫Όπνπ είλαη ζπλερείο ζπλαξηήζεηο ,71. Να αλαθέξεηε ηνλ ηύπν ηνπ εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ Ω πνπ νξίδεηαη από ηελ γξαθηθή παξάζηαζεηεο , ηηο επζείεο θαη ηνλ άμνλα .Απάντηση :Αλ κηα ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο ζε έλα δηάζηεκα [ ] θαη γηα θάζε [ ] , ηόηε ηνεκβαδόλ ηνπ ρωξίνπ Ω πνπ νξίδεηαη από ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο , ηηο επζείεο θαηηνλ άμνλα είλαη : ∫ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 33

ΘΕΩΡΙΑ – Γ΄ ΛΤΚΕΙΟΤ - ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟ΢ΑΝΑΣΟΛΙ΢ΜΟΤ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -72. Να απνδείμεηε όηη γηα ηηο ζπλαξηήζεηο γηα θάζε [ ] ην εκβαδόλ θαη ηηο επζείεοηνπ ρσξίνπ Ω πνπ πεξηθιείεηαη από ηηο γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ δίλεηαη από ηoλ ηύπν : ∫Απόδειξη : είλαη ζπλερείο ζην [ ] , ζα ππάξρεη αξηζκόο ηέηνηνο ώζηεΔπεηδή νη ζπλαξηήζεηο , γηα θάζε [ ] . Δίλαη θαλεξό όηη ην ρωξίν Ω έρεη ην ίδην εκβαδόλ κεην ρωξίν Ω΄Δπνκέλωο κε ηνλ ηύπν έρνπκε : ∫[ ] ∫( )Άξα ∫( )*΢ρόιηα : Όηαλ ε δηαθνξά δελ δηαηεξεί ζηαζεξό πξόζεκν ζην [ ] ηόηε ην εκβαδόλ δίλεηαη από ηνλ ηύπν : ∫| | Σν εκβαδόλ ηνπ ρωξίνπ Ω πνπ πεξηθιείεηαη από ηνλ άμνλα ηε γξαθηθή παξάζηαζε κηαοζπλάξηεζεο , κε γηα θάζε [ ] δίλεηαη από ηνλ ηύπν : ∫ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 34