คณิตศาสตร์ 6 _M3_v2nov_2018 - 1

3. เหตกุ ารณ (Event) คือ เหตุการณท ีเ่ ราสนใจ ซึ่งอาจจะเกิดขึน้ จากการ ทดลองสมุ หรือไมกไ็ ด เหตุการณ แทนดวย E

Ex.1 จงหาเหตกุ ารณจากการทดลองสมุ ตอไปนี้ 1) ทอดลกู เตา 1 ลกู 1 ครั้ง 1.1) E แทน เหตุการณทีไ่ ดแ ตมคู E= 1.2) E แทน เหตกุ ารณท ีไ่ ดแ ตม เปนจํานวนเฉพาะ E= 1.3) E แทน เหตุการณท ี่ไดแตมมากกวา 4 E=

2) โยนเหรียญ 3 เหรียญ 1 คร้งั 2.1) E แทน เหตุการณที่ขึ้นหวั 2 เหรียญ E= 2.2) E แทน เหตุการณที่ทงั้ สามเหรียญขึน้ หนาเดียวกนั E=

3) สุม หยิบลกู บอล 1 ลกู จากกลอ ง ซึง่ ประกอบดว ย ลูกบอลสีแดง 3 ลูก สีฟา 4 ลกู 3.1) E แทน เหตกุ ารณท ี่ไดล กู บอลสแี ดง E= 3.2) E แทน เหตกุ ารณท ี่ลกู บอลสีฟา E= 3.3) E แทน เหตกุ ารณท ี่ลกู บอลสีดาํ E=

4) สุมหยิบสลาก 1 ใบจากกลอ ง ซึง่ ประกอบดวย สลาก 20 ใบ แตละใบเขยี นหมายเลข 1 - 20 4.1) E แทน เหตกุ ารณที่ไดห มายเลขเปนจาํ นวนเฉพาะ E= 4.2) E แทน เหตุการณที่ไดห มายเลขที่ลงทา ยดว ย 0 E= 4.3) E แทน เหตุการณที่ไดห มายเลขทีห่ ารดวย 3 ลงตวั E=

ความนา จะเปน ( Probability ) P(E) แทน ความนาจะเปนของเหตุการณ n(E) แทน จํานวนเหตกุ ารณที่สนใจ n(S) แทน จาํ นวนเหตุการณท ้งั หมด

Ex.1 สุม หยิบสลาก 1 ใบจากสลาก 10 ใบ ซึ่งประกอบดวยหมายเลข 1 – 10 จงหาความนา จะเปน ที่ 1) หยิบไดสลากที่เปนจาํ นวนทลี่ งทา ยดว ย 0 2) หยิบไดสลากที่เปน จาํ นวนคู 3) หยิบไดส ลากที่เปน จาํ นวนเฉพาะ

Ex.2 สมุ หยิบลูกบอล 1 ลูกจากกลอ งซึ่งประกอบดว ย ลูกบอลสีแดง 3 ลกู และลูกบอลสีฟา 5 ลกู จงหาความนา จะเปน ทีจ่ ะหยบิ ไดล กู บอล 1) สีแดง 2) สีฟา 3) สีเขียว

Ex.3 ทอดลกู เตา 1 ลูก 1 ครัง้ จงหาความนาจะเปนทไี่ ด 1) แตม เปน จํานวนเฉพาะ 2) แตม เปนจํานวนคู 3) แตมเปนจํานวนทีห่ ารดว ย 3 ลงตวั

Ex.4 สมุ หยิบลูกบอล 2 ลูก จากกลอ งทึบซงึ่ ประกอบดว ย ลกู บอลสีแดง 2 ลูก และสีสม 3 ลูก โดยหยิบแบบทีละลกู แบบใสคืน จงหาความนาจะเปนที่ได 1) ลกู บอลสีเดียวกันทงั้ สองลูก 2) ลกู บอลท้ังสองลกู เปนสีขาว 3) ลกู บอลทั้งสองลูกไดส ีตา งกัน

Ex.5 สุมหยิบลูกบอล 2 ลูก จากกลองทึบซงึ่ ประกอบดวย ลูกบอลสีฟา 3 ลกู และสีเขียว 3 ลกู โดยหยิบแบบทีละลูกแบบไมใ สค ืน จงหาความนาจะเปน ที่ได 1) ลูกบอลสีเดียวกันท้งั สองลกู 2) ลกู บอลทง้ั สองลกู เปนสีเขียว 3) ลกู บอลทงั้ สองลกู ไดส ีตางกนั

Ex.6 สุมหยิบลูกบอล 2 ลูก จากกลอ งทึบซงึ่ ประกอบดวย ลูกบอลสีชมพู 2 ลูก และสีเขียว 3 ลกู โดยหยิบพรอ มกนั ทง้ั สองลกู จงหาความนาจะเปน ทีไ่ ด 1) ลูกบอลสีเดียวกันทัง้ สองลูก 2) ลกู บอลทั้งสองลกู เปน สีเขียว 3) ลกู บอลท้ังสองลูกไดส ีตา งกนั

แบบฝกหัด 1. สุมหยิบลกู บอล 2 ลกู จากกลอ งทึบซึ่งประกอบดว ย ลกู บอลสีฟา 2 ลกู สีแดง 2 ลูกและสีขาว 3 ลกู โดยหยิบพรอมกนั ท้งั สองลูก จงหาความนา จะเปน ทีไ่ ด 1) ลูกบอลสเี ดียวกันทั้งสองลูก 2) ลูกบอลท้ังสองลกู เปนสีฟา 3) ลูกบอลท้ังสองลูกไดสีตางกนั

2. สุมหยิบสลาก 1 ใบ จากกลอ งทึบซึ่งประกอบดว ยสลาก หมายเลข 1 – 30 จงหาความนา จะเปน ที่ไดส ลากเปน 1) หมายเลขทีห่ ารดว ย 4 ลงตัว 2) หมายเลขทีม่ ีเลข 5 ในหมายเลขนัน้ 3) หมายเลขทีเ่ ปน จาํ นวนเฉพาะ

3. สมุ หยิบลกู บอล 1 ลูก จากกลองทึบซึง่ ประกอบดวย ลกู บอล สีฟา 2 ลูก สีสม 3 ลกู สีเขียว 1 ลูก จงหาความนา จะเปน ที่ไดล กู บอล 1) สีฟา 2) สีสม 3) สีดาํ

4. ทอดลกู เตา 2 ลกู 1 ครงั้ จงหาความนาจะเปน ของ เหตุการณตอไปนี้ 1) ขึน้ แตมรวมเปน 7 2) ขึน้ แตม ตา งกัน 2 3) ขึ้นแตมรวมกันไมเ กิน 9 4) ขึ้นแตมหนา ลูกเตา ท้ังสองเหมือนกนั

คา คาดหมาย ( Expected Value) คา คาดหมาย = (ผลตอบแทนทีจ่ ะถกู รางวัล x ความนาจะเปนที่จะถกู รางวลั ) + (ผลตอบแทนทีจ่ ะไมถ กู รางวลั x ความนา จะเปน ทจี่ ะไมถ กู รางวลั )

Ex.1 ในงานเลยี้ งแหงหนึง่ อารกั ษและปกรณน่งั โตะ เดียวกัน ในระหวา งรออาหารอยนู ้ันอารักษไ ดห ยิบเหรียญบาท ออกมา 2 เหรียญ แลวทาพนนั ปกรณ โดยมีกติกาวา “ ใหป กรณโยนเหรียญ 2 เหรียญพรอมกนั 1 คร้งั ” ถา เหรียญทีโ่ ยนออกหัวท้งั คูแลวอารักษจ ะจา ยให ปกรณ 2 บาท แตถา เหรียญออกเปนอยางอนื่ ปกรณตอง จา ยเงินใหอ ารกั ษ 1 บาท

Ex.2 จากสถานการณ Ex.1 ใหป กรณโ ยนเหรียญ 2 เหรียญ พรอมกนั 1 ครั้ง ถาเหรียญทีโ่ ยนออกหวั ทง้ั คู แลวอารกั ษจะจายเงินให ปกรณ 3 บาท แตถ าเหรียญออกเปนอยา งอนื่ ปกรณต องจา ยเงนิ ให อารกั ษ 1 บาท อารักษหรือปกรณจะไดเ งินมากกวากนั

Ex.3 หยาดทิพยไ ดชวนเพือ่ นๆ มาเลนหวยทอง โดยขาย สลากแบบสองตัว หมายเลขละ 100 บาท มีรางวลั เปน สรอ ยคอทองคําหนกั หนึง่ สลึงหนึ่งเสน ราคา 2,500 บาท นิชาไดซือ้ สลากไวหนึ่งหมายเลข และหยาดทิพยข าย สลากไดหมดทุกหมายเลข โดยเฉลี่ยแลวการซือ้ หวยทองหนึง่ หมายเลข ผูซ ือ้ จะ ไดเ ปรียบหรือเสียเปรียบ เทาไร

คา คาดหมายทีน่ ิชาไดจ ากการซือ้ สลากหนึง่ หมายเลขเทากบั 25 บาท แสดงวา ในการทีน่ ิชาซื้อหวยทองหนึง่ หมายเลข ราคา 100 บาท มีคาคาดหมาย ที่จะไดเงนิ 25 บาท ซึ่งเสียเปรียบอยู 100 - 25 = 75 บาท

แบบฝกหัด 1. สธุ ี เลน เกมเสีย่ งทายกับ มานะ โดยทั้งสองคนตกลงกันวา ในการทอดลกู เตา 1 ลูก 1 ครง้ั มีเงื่อนไขวา - ถาลกู เตา ขึน้ แตม คู สุธีจะไดเงินจากมานะ 5 บาท - ถา ลกู เตา ขึน้ แตม มากกวา 4 มานะจะไดเงินจากสธุ ี 3 บาท จงหา 1) คา คาดหมายทีส่ ธุ จี ะไดเงิน 2) คา คาดหมายที่มานะจะไดเ งิน 3) “ใครจะไดเ งินมากกวา กนั ”

ถุงใบที่ 1 ถุงใบที่ 2 ถุงใบที่ 3 นิดกบั หนอยเลนเกมโดยผลัดกนั หยิบลูกแกวจากถุงใดถงุ หนึ่ง มา 1 ลกู เมื่อหยิบลูกแกวดสู ีแลว ใสคืนที่เดิม โดยมีเงื่อนไขใน การเลน เกมดังนี้ ถา นิดหยิบไดสีแดง ได 1 คะแนน หยิบไดส ีเขียวได 0 คะแนน ถา หนอยหยิบไดสีเขียวได 1 คะแนน หยิบไดส แี ดงได 0 คะแนน

จงตอบคําถามตอไปนี้ 1) นิดหยิบลูกแกว จากถงุ ใด มีโอกาสชนะมากกวากัน 2) หนอ ยหยบิ ลูกแกวจากถงุ ใด มีโอกาสชนะมากกวากนั 3) นิดหยิบลกู แกวจากถุงใดไมมีโอกาสชนะ 4) ถาตอ งการใหน ิดและหนอ ยมีโอกาสชนะเทากัน ควรหยิบลูกแกวจากถุงใด

2. ตองการสรางจํานวนคบู วก 3 หลกั จาก เลขโดด 0, 2, 5, 6, 8 และ 9 โดยที่แตล ะ หลกั ตอ งไมซ าํ้ กนั จะสรา งไดท ้งั หมดกี่จํานวน

3. จงหาจาํ นวนวิธีทั้งหมดที่ นก 6 ตัว เลือกเกาะกิง่ ไม 3 กิ่ง

54. มีขอสอบแบบเลือกตอบ 5 ตัวเลือก จํานวน 10 ขอ จะมีวิธีในการตอบไดท ง้ั หมด กีว่ ิธี

Ex. 1 มีถนน 2 สายที่เชือ่ มระหวา งบานของสมชาย กับโรงเรียนของเขา ถาความนา จะเปนที่ สมชายเดินทางไปโรงเรยี นโดยใชถนน สายที่ 1 มีคาเทา กับ 0.7 และความนาจะเปน ที่สมชายเดินทางกลับจากโรงเรยี นโดยใช ถนนสายที่ 2 มีคา เทากบั 0.6 แลว ความนา จะเปน ทีเ่ ขาจะเดินทางไปและกลับ ระหวา งบา นกับโรงเรียนโดยใชถนนสายเดียวกนั เทากับเทาใด ก. 0.46 ข. 0.40 ค. 0.28 ง. 0.18 จ. 0.12

Ex.2 ตูบรรจุลกู บอลสีเขียว สีเหลืองและสีแดง มีจาํ นวนลูกบอลเปนอตั ราสว นดงั นี้ สีเขียว:สีเหลือง เทา กบั 4:7 และสีเหลือง : สีแดง เทา กบั 3:4 ถาสมุ หยิบลูกบอลมาหนึง่ ลกู จากตนู ี้ แลว ความนาจะเปนทีจ่ ะหยิบไดลกู บอลสีเหลือง เทากบั เทาใด

Ex.3 ครอบครวั หนึง่ มีพี่นอ ง 6 คน เปนชาย 2 คน หญิง 4 คน จงหาจาํ นวนวิธีทง้ั หมดทีจ่ ะจัดใหค นท้ังหกคนยืนเรียงกนั เพือ่ ถายรูป โดยใหชายสองคนยืนอยรู ิมสองขางเสมอ

Ex.4 นกั เรียนกลมุ หนึง่ สวมเสือ้ ขนาดตา ง ๆ กัน ดงั แสดงในตาราง ขนาดของเสอื้ XS S M L XL ( เรียงลําดับจากเลก็ ไปหาใหญ ) จํานวนนักเรียน ( คน ) 4 20 30 22 4 ขอ ใด คือ ความนาจะเปน ทีน่ กั เรียนคนหนึง่ จะสวมเสือ้ ขนาดเลก็ กวา M ก. 0.05 ข. 0.20 ค. 0.25 ง. 0.30

แบบฝกหัด 1. มีถนน 2 สายที่เชือ่ มระหวา งบานของสมชายกบั โรงเรียนของเขา ถา ความนาจะเปน ที่สมชายเดินทางไปโรงเรียนโดยใชถนนสายที่ 1 มีคาเทา กับ 0.4 และความนาจะเปน ที่สมชายเดินทางกลบั จากโรงเรียน โดยใชถ นนสายที่ 2 มีคา เทา กบั 0.3 แลว ความนาจะเปน ที่เขาจะ เดินทางไปและกลบั ระหวา งบานกบั โรงเรียนโดยใชถ นนสายเดียวกัน เทา กบั เทาใด

2. A , B และ C เปน เด็ก 3 คนเขาแถว ซือ้ ไอศกรีม จงหาความนา จะเปนของเหตกุ ารณ ที่ A อยูขา ง B

4.จาํ นวนวิธีเขียนตวั เลขแสดงจํานวนที่มีสองหลกั โดยสรา งจากเลขโดด 0 - 9 โดยทีไ่ มให แตล ะหลกั ซาํ้ กัน จะสรางไดก ีจ่ ํานวน

6. ทอดลกู เตา 3 ลกู พรอ มกนั จงหาจํานวน เหตุการณทลี่ กู เตาขึ้นแตม 2 เพียงหนงึ่ ลกู

1. จงหาจํานวนวิธีทงั้ หมดในการสรา งจํานวนคสู ามหลกั ซึ่ง เกิดจากเลขโดด 0 – 7 โดยที่แตล ะหลกั ซา้ํ กนั ได 2. ตูบรรจลุ กู บอลสีเขียว สีเหลืองและสีแดง มีจาํ นวนลกู บอลเปน อัตราสวนดงั นี้ สีเขียว:สีเหลือง เทา กบั 5:2 และสีเหลือง : สีแดง เทากับ 3:4 ถาสมุ หยิบลกู บอลมาหนึ่งลูกจากตนู ี้ แลว ความนา จะเปนที่จะหยิบไดลกู บอลสีเหลืองเทากับเทา ใด 3. ทาขา มสองฝงแมนา้ํ มีเรือยนตขามฟากอยู 3 ลํา จงหาจาํ นวนวิธีทงั้ หมดทีผ่ ูโ ดยสารคนหนึง่ จะขา มฟากโดยที่เทีย่ ว ไปและเที่ยวกลบั ลงเรือไมซ ้าํ ลาํ กัน

4. นักเรียนกลุม หนึง่ สวมเสื้อขนาดตาง ๆ กัน ดงั แสดงในตาราง ขนาดของเสือ้ XS S M L XL ( เรียงลาํ ดับจากเลก็ ไปหาใหญ ) จาํ นวนนักเรียน ( คน ) 13 31 30 22 4 จงหาความนา จะเปนทีน่ ักเรียนคนหนึง่ จะสวมเสือ้ ขนาดเลก็ กวา M

2. ตบู รรจลุ ูกบอลสีเขียว สีเหลืองและสีแดง มีจาํ นวนลกู บอลเปนอัตราสวนดงั นี้ สีเขียว:สีเหลือง เทา กบั 5:2 และสีเหลือง : สีแดง เทากบั 3:4 ถาสมุ หยิบลกู บอลมาหนึ่งลูกจากตนู ี้ แลว ความนาจะเปนทีจ่ ะหยิบไดลกู บอลสีเหลืองเทากบั เทาใด

แบบฝกหัด 1. ตองการสรา งจาํ นวนคบู วก 3 หลัก จากเลขโดด 0, 2, 3, 6 และ 9 โดยทีแ่ ตละหลกั ตองไมซํ้ากนั จะสรา งไดทงั้ หมดกี่จํานวน 2. กลองทบึ ใบหนึ่งบรรจุหลอดไฟ 1 โหล มีหลอดดีอยู ของจาํ นวนหลอดไฟในกลอง ที่เหลือเปน หลอดไฟเสีย ถาสมุ หยิบหลอดไฟขึ้นมา 1 หลอด ความนาจะเปน ที่จะหยิบไดห ลอดเสียเปน เทา ใด

3. ในลนิ้ ชักมีถุงเทาอยู 4 คู เปนถุงเทาสีฟา 2 คู และถุงเทา สีขาว 2 คู ถาทําการทดลองสมุ โดยหยิบถุงเทา มา 2 คู จงหาความนา จะเปนทจี่ ะไดถุงเทาท้ังสองคูเ ปนสีเดียวกนั

4. ในการจบั สลากชื่อของนกั เรียน 30 คน ซึง่ เปนชาย 18 คน หญิง 12 คน จงหาความนาจะเปน ที่จะจบั สลากใบแรกได 1) นกั เรียนชาย 2) นักเรียนหญิง

5. ในกลอ งใบหนึง่ มีเบยี้ 6 อัน ซึ่งแตล ะอนั เขียนตวั เลข 3, 4, 7, 9, 10 และ 11 ถา สุมหยิบเบยี้ 1 อัน ออกมาจาก กลอ งใบนี้ จงหาโอกาสทีจ่ ะไดเบีย้ มตี ัวเลขเปน 1) จาํ นวนคู 3) จํานวนที่หารดวย 3 ลงตัว 2) จํานวนเฉพาะ 4) จาํ นวนที่เปนกาํ ลงั สองสมบูรณ

6. ทอดลูกเตา 3 ลูก 1 ครง้ั ความนา จะเปนทีผ่ ลรวม แตมเทากับ 4 มีคาเทา กบั ขอ ใด

แบบฝกหัด 1. มีถนน 2 สายที่เชือ่ มระหวา งบานของสมชายกับโรงเรียน ของเขา ถาความนา จะเปนที่สมชายเดินทางไปโรงเรียน โดยใชถนนสายที่ 1 มีคา เทา กับ 0.4 และความนาจะเปน ที่สมชายเดินทางกลบั จากโรงเรียนโดยใชถนนสายที่ 2 มีคา เทากบั 0.3 แลว ความนาจะเปน ที่เขาจะเดินทางไป และกลับระหวางบา นกบั โรงเรียนโดยใชถนนสาย เดียวกนั เทากับเทาใด

ลาํ ดับและอนุกรม

an 1. ลําดบั ( Sequences ) บทนยิ าม ลําดับ คือ ฟง กชันที่มีโดเมนเปนเซตของจํานวนเต็มบวก หรือ สบั เซตของจาํ นวนเตม็ บวก ในรูป {1, 2, 3, …, n} aเรียก nวา พจนท ี่ n ของลําดับ หรือ พจนทว่ั ไป ( general term ) ของลาํ ดับ

การหาพจนที่ n ของลาํ ดับ Ex.1 จงหา 4 พจนแรกของลําดบั ตอ ไปนี้ 1) 2) 3)

แบบฝกหัด 1. จงหา 3 พจนแ รกของลาํ ดบั ตอ ไปนี้ 1) 2)

Ex.2 จงหาพจนถัดไปอีกสองพจน ที่กําหนดใหต อ ไปนี้ 1. 2, 6, 10, 14, … 2. 5, 10, 30, 120, … 3. 729, 243, 81, 27, …

การหาพจนท ั่วไปของลาํ ดับ 1. การพจนท ั่วไปของลําดับทีอ่ ยูใ นรปู an  an  b Ex.1 จงหาพจนทัว่ ไปของลําดบั ตอไปนี้ 1) 4, 7, 10, … 2) -5, -2, 1, … 3) 18, 14, 10, … 4) 18, 13, 8, …