Calculus 2

ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນໍາ້ ທາ ເອກະສານປະກອບການຮຽນ - ການສອນ ວຊິ າ: ແຄນຄລູ ດັ ສ໌ 2 ເຫມຼັ້ ທີ 1 ຂຽນໂດຍ: ຈບັ ວງົ ທະວີ ຫວຼ ງນາໍ້ ທາ - 2019

ຄາໍ ນາໍ ເພ່ ອື ພດັ ທະນາສາຍຄູຄະນດິ ສາດສ່ ູຄວາມເປັນເລດີ ຄວາມຈາໍ ເປັນທ່ ສີ ຸດສໍາລບັ ວທິ ະຍາໄລ ຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາໃນຕອນນີ້ ກໍຄກື ານສາ້ ງເອກະສານປະກອບການຮຽນ ເພ່ ອື ສ່ ງົ ເສມີ ແລະ ສາ້ ງສນັ ການ ຮຽນຮູຂ້ ອງນກັ ສກຶ ສາໃຫມ້ ຄີ ຸນນະພາບ ສາມາດສອນຄະນດິ ສາດໄດແ້ ຕ່ ມ1-ມ7 ໄດ.້ ເອກສານສະບບັ ນປີ້ ະກອບມເີ ນອື້ ໃນ: ສງັ ຄະນດິ ພນຶ້ ຖານ, ຄດິ ໄລ່ ສງັ ຄະນດິ ດວ້ ຍວທິ ຕີ ວົ ປ່ ຽນແທນ, ສງັ ຄະນດິ ພາກສ່ ວນ. ແຕ່ ລະເນອື້ ໃນເນນັ້ ຕວົ ຢ່ າງ ແລະ ບດົ ເຝິກຫດັ . ດ່ ງັ ນນັ້ , ບນັ ດາຄູອາຈານ ແລະ ນກັ ສກຶ ສາ ທ່ໄີ ດນ້ ໍາໃຊເ້ ອກະສານສະບບັ ນີ້ ຫາກໄດພ້ ບົ ພໍຂ້ ໍ້ ຂາດຕກົ ບກົ ພ່ ອງທາງດາ້ ນເນອື້ ໃນ ກໍຄທື າງດາ້ ນສໍານວນຄໍາເວາົ້ ຈ່ ງົ ໄດສ້ ່ ງົ ຄໍາຄດິ ເຫນັ ອນັ ຈງິ ໃຈຂອງ ພວກທ່ ານໄປຍງັ ຂາ້ ພະເຈາົ້ ເພ່ ອື ວ່ າຂາ້ ພະເຈາົ້ ຈະໄດເ້ ກບັ ກາໍ ແລວ້ ນໍາໃຊເ້ ຂາົ້ ການປັບປຸງໃຫສ້ ມົ ບຸນ ແລະ ດຂີ ນຶ້ . ດວ້ ຍຄວາມຮກັ ແພງ ແລະ ນບັ ຖື ຈບັ ວງົ ທະວີ

ສາລະບານ 1 6 1. ສງັ ຄະນດິ ພນື້ ຖານ 20 2. ການຄດິ ໄລ່ ສງັ ຄະນດິ ດວ້ ຍການວາງຕວົ ປ່ ຽນແທນ 3. ສງັ ຄະນດິ ພາກສ່ ວນ

1. ສງັ ຄະນດິ ພນື້ ຖານ ຮູບຮ່ າງ: b f ( x ) dx = F ( x ) b = F(b) − F(a), ໃນນນັ້ f (x) ຕ່ ໍເນ່ ອື ງໃນຫວ່ າງ [a;b] ∫ a a ຄຸນລກັ ສະນະ: 1. b k f (x)dx b f (x)dx (k∈ℝ) ∫ = k∫ aa 2. a f ( x ) dx = 0 ∫ a 3. b f ( x ) dx = a f ( x ) dx ∫ −∫ ab 4. b f ( x ) ± g ( x ) dx = b f ( x ) dx ± b g ( x ) dx ∫ ∫ ∫ a aa 5. b f ( x ) dx = c f ( x ) dx + a g( x ) dx a<c<b ∫ ∫ ∫ aac ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ສງັ ຄະນດິ 2 ∫ 2x dx 1 ວທິ ແີ ກ:້ 22 ∫ 2x dx = 2∫ x dx 11 = 2. x2 2 21 = x2 2 1 = 22 −12 = 4−1 =3 ດ່ ງັ ນນັ້ : 2 = 3. ∫ 2x dx 1 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ສງັ ຄະນດິ 1 ∫ x2 dx 0 ວທິ ແີ ກ:້ ∫1 x2 dx = x3 1 30 0 = 13 − 03 33 1

=1 3 ດ່ ງັ ນນັ້ : 1 x 2 dx = 1 . ∫03 ຕວົ ຢ່ າງ 3: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ສງັ ຄະນດິ 1 (3x 2 + x ) dx ∫ 0 ບດົ ແກ:້ ( )1 =  + x2  1  2  0 ∫ 0 3x2 + x dx x3 = 13 + 12  −  03 + 02  2   2  =1+ 1 2 =3 2 ດ່ ງັ ນນັ້ : 1 (3x2 + x)dx = 3. 02 ∫ π ຕວົ ຢ່ າງ 4: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ສງັ ຄະນດິ 2 ∫ sin x dx 1 ວທິ ແີ ກ:້ π 2π ∫ = − sin x dx cos x 2 0 1 = − cos π − cos 0 2 = −(−1) =1 π ດ່ ງັ ນນັ້ : 2 ∫ sin x dx = 1. 1 ຕວົ ຢ່ າງ 5: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ສງັ ຄະນດິ e 1 dx ∫1x ວທິ ແີ ກ:້ 2

∫e 1 dx = ln x e 1x 1 = ln e − ln1 =1 ດ່ ງັ ນນັ້ : e 1 dx = 1. 1x ∫ ຕວົ ຢ່ າງ 6: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ສງັ ຄະນດິ ∫2 4 dx x2 1 ວທິ ແີ ກ:້ 2 4 dx = 2 1 dx x2 x2 ∫ 4∫ 1 1 = 4  − 1  2  x 1   = 4  − 1  −  − 1  2 1 = 4 − 1 + 1 2 = 4. 1 2 =2 ດ່ ງັ ນນັ້ : 2 4 dx = 2. x2 ∫ 1 π ຕວົ ຢ່ າງ 7: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ສງັ ຄະນດິ 4 ( x + cos x ) dx ∫ 0 ວທິ ແີ ກ:້ π ππ 4 ( x + cos x ) dx = 4 x dx + 4 cos x dx ∫ ∫ ∫ 0 00 π = x2 4 π + sin x 4 20 0 =  π 2 − 02 + sin π − sin 0 4 22 4 =π2 + 2 32 2 3

π π ດ່ ງັ ນນັ້ : 4 ( ) 2 2. ∫ x + cos x dx = + 0 32 2 ຕວົ ຢ່ າງ 8: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ສງັ ຄະນດິ 2 x −1 dx ∫ 0 ວທິ ແີ ກ:້ 2 x −1 dx = 1 (1 − x ) dx + 2 ( x − 1) dx ∫ ∫ ∫ 00 1 =  − x2 1 +  x2 − 2  x 2  0  2 x  1 =  − 12  −  − 02  +  22 −  −  12 −  1 2  1 2   2 2   2 1 = 1 −1+ 1 22 = 1 −1+ 1 22 =1−1 =0 ດ່ ງັ ນນັ້ : 2 x −1 dx = 0. ∫ 0 ບດົ ເຝິກຫດັ ສ່ ງົ ເສມີ ໃຫນ້ ກັ ສກຶ ສາຝຶກປະຕບິ ດັ ແລະ ຄນົ້ ຄດິ ເພ່ ອື ການຮຽນຮູ ້ ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາສງັ ຄະນດິ ລ່ ຸມນ:ີ້ 4

1. 5 ( 2x + 1) dx ∫ 0 2. 6 ( 3x − 1) dx ∫ 2 3. 4 1 x dx ∫12 6 4. ∫ x3 dx 2 5. 2 ( 2x − x 2 ) dx ∫ 1 π 2 6. ∫ cos x dx −π 2 π 2 7. ∫ sin x dx 0 8. (1 + 2x2 + x ) dx ∫ x3 0 9. 2 ( 2x 2 − 4x + 5) dx ∫ −3 10. 3 ( x3 − 4x + 1) dx ∫ 0 11. 1 (5x4 − 8x3 + 1) dx ∫ 0 12. 1 ( x 2 − 4x + 4) dx ∫ 0 13. 4  x + −3  dx   ∫ x2 1 14. 2 ( 4x3 − 2x + 5) dx ∫ 1 15. 2 ( x − x 3 ) dx ∫ −1 16. 3 ( 2x − 1) dx ∫ 0 ( )17.1 2 ∫ 1− x dx 0 18. 4 (1 − x ) x dx ∫ 0 5

19. 8 ( x + 1)2 dx ∫ 1 20. 8 (1 − x ) dx ∫ 4 π 21. 2 ( cos x − sin x ) dx ∫ 0 π 22. ∫ sin x dx 0 π 4 23. ∫ cos x dx 0 π 4 24. ∫ sin x dx 0 π 3 25. ∫ cos x dx 0 26. (1 − x2 + 3) dx ∫ 5x4 0 4 27. ∫ x − 2 dx 1 2. ຄດິ ໄລ່ ສງັ ຄະນດິ ດວ້ ຍວທິ ຕີ ວົ ປ່ ຽນແທນ ຮູບຮ່ າງ: b f ( x ) dx = β u (t)u′(t)dt ∫ ∫f aα ວທິ ແີ ກ:້ ບາດກາ້ ວ 1. ວາງ x = u (t ) ບາດກາ້ ວ 2. ຊອກ dx x = u (t) ⇒ dx = d u (t) ⇒ dx = u′(t)dt ບາດກາ້ ວ 3. ປ່ ຽນຂອບ: x =a⇒t =α, x =b⇒t =β ບາດກາ້ ວ 4. ສງັ ຄະນດິ b f ( x ) dx ກາຍເປັນ: ∫ a b f ( x ) dx = β f u ( t )u′( t ) dt ∫ ∫ aα ບາດກາ້ ວ 5. ສະຫຸຼບ. 6

2 ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ສງັ ຄະນດິ ∫(2x −1)5 dx 1 ວທິ ແີ ກ ້ 1: ບາດກາ້ ວ 1. ວາງ u = 2x −1 ບາດກາ້ ວ 2. ຊອກ dx u = 2x −1⇒ du = d (2x −1) ⇒ du = 2dx ⇒ dx = du 2 ບາດກາ້ ວ 3. ປ່ ຽນຂອບ: x = 1 ⇒ u = 1, x = 2 ⇒ u = 3 2 ບາດກາ້ ວ 4. ສງັ ຄະນດິ ∫(2x −1)5 dx ກາຍເປັນ: 1 ∫ ∫2 (2x −1)5 dx = 3 u5. du 1 12 ∫= 1 3 u5du = u6 3 21 12 1 = (3)6 − (1)6 12 12 = 729 −1 12 = 728 12 = 182 3 ບາດກາ້ ວ 5. ສະຫຸຼບ: ∫ດ່ ງັ ນນັ້ : 2 (2x −1)5 dx = 182 . 13 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ∫ ∫2 (2x −1)5 dx = 1 2 (2x −1)5 2dx 1 21 = 1 2 ( 2x − 1)5 d ( 2x − 1) 2 ∫ 1 7

= (2x −1)6 2 12 1 = (3)6 − (1)6 12 12 = 729 −1 12 = 728 12 = 182 3 ∫ດ່ ງັ ນນັ້ : 2 (2x −1)5 dx = 182 . 13 ∫ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ສງັ ຄະນດິ ( )2x2 +1 3 dx x 1 ວທິ ແີ ກ ້ 1: ບາດກາ້ ວ 1. ວາງ u = x2 +1 ບາດກາ້ ວ 2. ຊອກ x dx ( )u = x2 +1⇒ du = d x2 +1 ⇒ du = 2xdx ⇒ xdx = dt 2 ບາດກາ້ ວ 3. ປ່ ຽນຂອບ: x =1⇒ u = 2, x = 2 ⇒ u = 5 ∫ບາດກາ້ ວ 4. ສງັ ຄະນດິ ( )2x2 +1 3 ກາຍເປັນ: x dx 1 ∫( ) ∫2 3 5 du x2 +1 x dx = u3 . 1 22 ∫= 1 5 u3 du 22 = 1.u4 5 24 2 = u4 5 8 2 = 54 − 24 88 8

= 625 − 16 88 = 609 8 ບາດກາ້ ວ 5. ສະຫຸຼບ: ( )∫ດ່ ງັ ນນັ້ :2 3 609 x2 +1 x dx = . 18 ວທິ ແີ ກ ້ 2: (2 + 1)3 x dx = 1 2 (x2 + 1)3 2x dx ∫ x2 ∫ 21 1 = 1 (2 + 1)3 d(x2 + 1) 2 ∫ x2 1 ( )= x2 + 1 4 2 8 1 = 54 − 24 88 = 625 − 16 88 = 609 8 ( )∫ດ່ ງັ ນນັ້ :2 3 609 x2 + 1 x dx = . 18 π ຕວົ ຢ່ າງ 3: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ສງັ ຄະນດິ 2 ∫ sin25 x cos x dx 0 ວທິ ແີ ກ ້ 1: ບາດກາ້ ວ 1. ວາງ u = sin x ບາດກາ້ ວ 2. ຊອກ cos x dx u = sin x ⇒ du = d (sin x) ⇒ du = cos xdx ບາດກາ້ ວ 3. ປ່ ຽນຂອບ: x = 0 ⇒ u = 0, x = π ⇒ u =1 2 π 2 ບາດກາ້ ວ 4. ສງັ ຄະນດິ ∫ sin25 x cos x dx ກາຍເປັນ: 0 9

π 21 ∫ sin25 x cos x dx = ∫ u25 du 00 = u 26 1 26 0 = 126 − 026 26 26 =1 26 ບາດກາ້ ວ 5. ສະຫຸຼບ: π ດ່ ງັ ນນັ້ : 2 1 ∫ sin25 x cos x dx = 0 26 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ππ 2 sin 25 x cos x dx = 2 sin 25 x d (sin x ) ∫ ∫ 00 π = sin26 x 2 26 0 = sin26 π − sin26 0 2 26 26 = 126 − 026 26 26 =1 26 π ດ່ ງັ ນນັ້ : 2 1 . ∫ sin25 x cos x dx = 0 26 π ຕວົ ຢ່ າງ 4: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ສງັ ຄະນດິ I = 2 cos x dx ∫ esin x 0 ວທິ ແີ ກ ້ 1: ບາດກາ້ ວ 1. ວາງ u = sin x ບາດກາ້ ວ 2. ຊອກ cos x dx u = sin x ⇒ du = d (sin x) ⇒ du = cos xdx ບາດກາ້ ວ 3. ປ່ ຽນຂອບ: 10

x = 0 ⇒ u = 0, x = π ⇒ u =1 2 π 2 ບາດກາ້ ວ 4. ສງັ ຄະນດິ ∫ esin x cos x dx ກາຍເປັນ: 0 π 21 ∫ ∫esinx cos x dx = eu du 00 = eu 1 0 = e −1 ບາດກາ້ ວ 5. ສະຫຸຼບ: π ດ່ ງັ ນນັ້ : 2 ∫ esinx cos x dx = e −1. 0 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ππ ∫ ∫ ( )2 2 esin x cos x dx = esin x d sin x 00 π = esin x 2 0 π sin = − esin 0 e2 = e1 − e0 = e −1 π ດ່ ງັ ນນັ້ : 2 ∫ esinx cos x dx = e −1. 0 ບດົ ເຝິກຫດັ ສ່ ງົ ເສມີ ໃຫນ້ ກັ ສກຶ ສາຝຶກປະຕບິ ດັ ແລະ ຄນົ້ ຄດິ ເພ່ ອື ການຮຽນຮູ ້ 1. ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາສງັ ຄະນດິ ລ່ ຸມນດີ້ ວ້ ຍວທິ ຕີ ວົ ປ່ ຽນແທນ: 1.1. 1 (1 + 3x ) 2 dx 3 ∫ 0 11

π 2 1.2. ∫ sin3 x cos2 x dx π 3 π 2 1.3. ∫ sin2 x cos3 x dx π 3 π 1.4. 2 1 sin x x dx + 3cos ∫ 0 π 4 1.5. ∫ tgx dx 0 π 4 1.6. ∫ cot gx dx π 6 π 6 1.7. ∫ 1+ 4sin x .cos xdx 0 1 1.8. ∫ x x2 +1dx 0 1 1.9. ∫ x 1− x2 dx 0 1 1.10. ∫ x 3 x2 +1 dx 0 1.11. ∫1 x2 dx 0 x3 +1 1 1.12. ∫ x 3 1− x2 dx 0 π 2 1.13. ∫ esinx .cos x dx π 4 π 2 1.14. ∫ ecosx.sin x dx π 4 2. ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາສງັ ຄະນດິ ລ່ ຸມນດີ້ ວ້ ຍວທິ ຕີ ວົ ປ່ ຽນແທນ: 22 3 2.1. ∫ 3 3x + 5 dx 1 2.2. ∫ x3( )1 3 1+ x4 dx 0 12

1 ∫2.3. x e2 3x3 dx 0 π 2.4. 2 1 sin x x dx + cos ∫ 0 3. ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາສງັ ຄະນດິ ລ່ ຸມນດີ້ ວ້ ຍວທິ ຕີ ວົ ປ່ ຽນແທນ: 3.1. 2 (1 − x )15 dx ∫ 0 0 3.2. ∫ cos18 x sin x dx −π 2 3.3. 1 (1 − 2x )100 dx ∫ 0 3.4. 2 (1 − x )20 dx ∫ 1 ( )∫3.5.−1 x2 x 6 dx −2 +2 3.6. ∫1 x dx 0 3 1+ x2 3.7. (1 + 1)5 xdx ∫ x2 0 1 3.8. ∫ 3x +1dx 0 2 3.9. ∫ 4x +1dx 1 1 3.10. ∫ 3 7x + 1dx 0 π 2 3.11. ∫ cos12 x sin xdx 0 π 3.12. ∫ sin15 x cos xdx π 2 3.13. 4 1 4 dx 3x + ∫ 0 3.14. 3 3 1 −1 dx 3x ∫ 0 13

π 2 3.15. ∫ sin x.cos2 xdx π 4 π 3.16. 2 6 − 5 cos x sin 2 x dx sin x + ∫ 0 3.17. π sin x dx 1 + cos2 x ∫ 0 3.18. 4 x dx 1+ x2 ∫ 0 π 3.19. 2 cos x dx sin 2 x ∫ π 4 π 3.20. 2 sin x dx cos2 x ∫ π 4 4. ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາສງັ ຄະນດິ ລ່ ຸມນດີ້ ວ້ ຍວທິ ຕີ ວົ ປ່ ຽນແທນ: 4.1. 5 1 7 dx 3x − ∫ 3 4.2. 2 1 3 dx 2x + ∫ 1 4.3. 1 1 1 dx − 2x ∫ 0 4.4. π sin x dx ∫0 cos x 4.5. ∫1 5xdx −1 x2 + 1 π 4.6. 2 7cos xdx −π sin x∫ 2 4.7. 5 1 1 dx 5x + ∫ 2 4.8. 0 2 1 dx + 3x ∫ −2 ∫4.9. −2 1 1 x dx −3 − 4.10. ∫5 1 1 dx − 4x 2 14

4.11. ∫3 1 1 2x2 + 5 xdx 4.12. ∫4 2 3 dx 7x + 2 4.13. ∫1 9x dx 5 + 3x2 0 4.14. ∫2 4 x dx 1 1− x2 π 4.15. ∫2 1 sin x x dx + cos 0 4.16. ∫π cos x 0 1− 2 sin x dx 4.17. ∫2π 1 4 cos x dx − 5sin x 0 π 4.18. ∫2 3 5sin x x dx + 2 cos 0 4.19. ∫2 xdx 1 2x2 + 3 4.20. ∫5 dx 3 3x − 7 4.21. 1 ( 2x − 2)4 dx ∫ 0 2 4.22. ∫ e−x+5 dx 0 4.23. 0 3 + 1 dx −2x ∫ −1 π 8 4.24. ∫ cos2 2x dx 0 5. ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາສງັ ຄະນດິ ລ່ ຸມນດີ້ ວ້ ຍວທິ ຕີ ວົ ປ່ ຽນແທນ: 5.1. 2 5.2. 5.3. ∫ e5xdx 1 1 ∫ e2x−1 dx 0 2 ∫ ex2 +1 xdx 0 15

π 2 ∫5.4. esinx cos x dx 0 2π ∫5.5. ecosx sin xdx 0 2 ∫5.6. e1−3x2 x dx 1 2 5.7. ∫ 3e2xdx 0 2 5.8. ∫ e3xdx 1 3 ∫5.9. e1+5xdx 2 5.10. ( )1 ∫ 1− e4x dx 0 2π ∫5.11. e1+sinx cos xdx π π 2 ∫5.12. e1−2sin x cos x dx 0 π ∫5.13. e3+2cosx sin x dx 0 1 ∫5.14. e2x2+1xdx 0 2π ∫5.15. e1−cosx sin x dx 0 −1 ∫5.16. 3e1−x2 xdx −2 ∫5.17. e elnxdx 1x ∫5.18. 4 e1+ x dx 1x ( )0 ∫5.19. 1+ e2x−7 dx −1 3 ∫5.20. 5ex3−1x2dx 2 6. ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາສງັ ຄະນດິ ລ່ ຸມນດີ້ ວ້ ຍວທິ ຕີ ວົ ປ່ ຽນແທນ: 16

π 4 6.1. ∫ sin 2x dx 0 π 6.2. ∫ sin 4x dx π 2 π 3 6.3. ∫ sin 6x dx 0 π 2 6.4. ∫ 5sin12x dx 0 2π 6.5. ∫ sin 3x dx 6.6. 0 6.7. π 2 ∫ sin 8xdx π 4 π ∫ sin 5x dx 0 2π 6.8. ∫ 3sin 7x dx 0 0 6.9. ∫ (1− sin12x)dx π 3 π 6.10. 2 (1 − 2 sin 4x ) dx ∫ 0 π 6.11. ∫ (5 + 2sin10x)dx −π π 6.12. ∫ (1+ 7sin13x)dx 0 π 6.13. ∫ (sin 4x + sin 6x)dx 0 π 6.14. 3 (sin12x − sin 3x ) dx ∫ 0 π ( )2 6.15. ∫ 3 sin 2x −sin 4x dx 0 π 6.16. 2 ( sin 6x − 1) dx ∫ 0 17

2π 6.17. ∫ (1− sin 25x) dx −π π 6.18. 2 (1− sin 12x ) dx ∫ −π 2 7. ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາສງັ ຄະນດິ ລ່ ຸມນດີ້ ວ້ ຍວທິ ຕີ ວົ ປ່ ຽນແທນ: π 4 7.1. ∫ cos 2x dx 0 π 7.2. ∫ cos 4x dx π 2 π 3 7.3. ∫ cos 6x dx 0 π 2 7.4. ∫ 5cos12x dx 0 2π 7.5. ∫ cos3x dx 0 π 7.6. 2 7.7. ∫ cos8xdx π 16 π 12 ( cos 6x − 1) dx ∫ 0 π 7.8. ∫ (5 + 2 cos10x)dx −π π 7.9. 8 ( cos 4x + cos 8x ) dx ∫ 0 0 7.10. ∫ (2 − cos12x)dx π 3 ∫7.11. 2π 1 − cos x  dx −π 2  π 7.12. ∫ (1+ 7 cos13x)dx 0 π 7.13. 3 (cos12x + cos 3x) dx ∫ 0 18

π 7.14. 24 (1− cos12x ) dx ∫ −π 12 π 7.15. 2 (1 − 2 cos 4x ) dx ∫ 0 π ( )4 7.16. ∫ 3 cos 2x − cos 4x dx 0 π 14 7.17. ∫ 2cos 7x dx 0 π 10 7.18. ∫ cos 5x dx 0 8. ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາສງັ ຄະນດິ ລ່ ຸມນດີ້ ວ້ ຍວທິ ຕີ ວົ ປ່ ຽນແທນ: 1 ∫8.1. 52x+3 dx 0 2 ∫8.2. 2x2 −1 xdx 1 ∫8.3. e 31−ln x dx 1 2x 2 ∫8.4. 43x−2 dx 0 ∫8.5. 29 1−2 x dx 1x 8.6. ∫e 31+ln x dx 8.7. 8.8. 1x π 2 ∫ 91−cosx sin x dx 0 π 2 ∫ 21+sin x cos x dx 0 ∫8.9. 24 1+ x dx 1x 1 ∫8.10. 31−x2 2 xdx 0 3. ສງັ ຄະນດິ ພາກສ່ ວນ 19

b b b ເອນີ້ ວ່ າສູດຄດິ ໄລ່ ສງັ ຄະນດິ ພາກສ່ ວນ ∫ a ຮູບຮ່ າງ: udv = uv − ∫ vdu aa 3.1. ຄດິ ໄລ່ ສງັ ຄະນດິ ພາກສ່ ວນ ໃນຮູບຮ່ າງ b p ( x ) eα x dx ∫ a ວທິ ແີ ກ:້ ບາດກາ້ ວ 1. ວາງ duv==pe(αxx)dx ບາດກາ້ ວ 2. ຊອກ du ແລະ v : duv==pe(αxx)dx d∫ udv==d∫epα(xxd)x dvu==α1p∫′(exα ) dx dvu==eααpx′( x ) dx ⇒ ⇒ x d (α x ) ⇒ ບາດກາ້ ວ 3. ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫b u dv = u v b − ∫ b v du : aa a b p ( x ) eα x dx = p ( x ) . eα x b ∫−b eα x .p′ ( x )dx α a a α ∫ a ບາດກາ້ ວ 4. ສະຫຸຼບ. ln 2 ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຄດິ ໄລ່ ສງັ ຄະນດິ ພາກສ່ ວນ ∫ xe−2xdx 0 ວທິ ແີ ກ:້ ບາດກາ້ ວ 1. ວາງ u = x  dv = e−2 x dx ບາດກາ້ ວ 2. ຊອກ du ແລະ v u = x ⇒ dvu==−d12x∫ ⇒ dvu==−d12x∫ ⇒ dvu==−dex−22  x dv = e−2 −2 − e−2 ( −2 ) x dx e x . 2 dx x . d x bb ບາດກາ້ ວ ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ b − ∫ vdu : 3. udv = uv a aa ∫ ∫ln 2 =  − e −2 x  ln 2 − ln 2  − e −2 x  x. 2  0 0  2 dx xe−2xdx 0 ∫= −xe−2x ln 2 + 1 ln 2 e−2xdx 2 0 20 ln 2 ∫ ( )= − xe−2x − 1 ln 2 −2x 2 e−2 x d 0 40 20

= − xe−2x ln 2 − 1 e−2x ln 2 2 40 0 = −  ln 2.e−2ln 2 − 0.e−2.0  −  1 e−2ln 2 − 1 e−2.0  2 2   4 4  = ln 1 −  1 ln 1 − 1  4 4 4  − ln 2.e 4 e 2 = − ln 2. 1 −  1 1 − 1 4  4 4 4  . 2 = − ln 2 −  − 3  8  16  = 3 − 2ln 2 16 ບາດກາ້ ວ 4. ສະຫຸຼບ: ດ່ ງັ ນນັ້ : ∫ln 2 xe−2xdx = 3 − 2 ln 2 . 0 16 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຄດິ ໄລ່ ສງັ ຄະນດິ ພາກສ່ ວນ ( )l ∫ 2x2 + x +1 exdx 0 ວທິ ແີ ກ:້ ບາດກາ້ ວ 1. ວາງ duv==2exx2 +x + 1 dx ບາດກາ້ ວ 2. ຊອກ du ແລະ v ( )duv==2exx2 +x + 1 ⇒ d∫ udv==d∫ 2x2 + x + 1 ⇒ dvu==ex(4x +1)dx dx ex dx bb ບາດກາ້ ວ ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ udv = uv b − ∫ vdu : 3. a aa ( ) ( )l + +1 1 − 1 ( + 1) e x dx ∫ ∫ 2x2 + x +1 exdx = 2x2 x ex 0 4 x 00 ( ) ( )= 1 ( + 1) e x dx 2.12 + 1 + 1 e1 − 2.02 + 0 +1 e0 − 4 x ∫ 0 = 4e − 1 − 1 ( 4 x + 1) ex dx ∫ 0 ວາງ duv1 1==4exx +1 dx 21

ຊອກ du1 ແລະ v1 : duv1 1==4exx +1 ⇒ d∫ ud1v1==d∫( 4x +1) ⇒ dvu1 1==ex4dx dx ex dx ∫ ∫ນໍາໃຊສ້ ູດ b dv1 = u1 v1 b − b v1 du1 : a a a u1 ( )l 1 (4x + 1) ∫ ∫ 2x2 + x +1 exdx = 4e − 1 − exdx 00 = 4e −1 − ( 4x + 1) ex 1 − 1 4e x dx  0  ∫ 0 = 4e −1− (4.1+1)e1 − (4.0 +1)e0 − 4e1 + 4e0  = 4e −1− (5e −1− 4e + 4) = 4e −1− (e + 3) = 4e −1− e − 3 = 3e − 4 ບາດກາ້ ວ 4. ສະຫຸຼບ: ດ່ ງັ ນນັ້ : ( )l ∫ 2x2 + x + 1 exdx = 3e − 4. 0 3.2. ຄດິ ໄລ່ ສງັ ຄະນດິ ພາກສ່ ວນ ໃນຮູບຮ່ າງ b p ( x ) sin (α x ) dx ∫ a ວທິ ແີ ກ:້ ບາດກາ້ ວ 1. ວາງ u = p(x)  dv = sin α x dx ບາດກາ້ ວ 2. ຊອກ du ແລະ v : duv==ps(ixn)α x dx ⇒ d∫ udv==d ∫psi(nxα)x ⇒ dvu==α1p∫′(sxin) dx d (α x ) ⇒ dvu==−pc′o(αsxα) dxx αx dx bb ∫ b − ∫ vdu : ບາດກາ້ ວ 3. ນໍາໃຊສ້ ູດ udv = uv a aa b p (x ) sin α x dx = p ( x )  − cosα x  b − b  − cosα x  p′ ( x ) dx α a α ∫ ∫ a a 22

ບາດກາ້ ວ 4. ສະຫຸຼບ. π 4 ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຄດິ ໄລ່ ສງັ ຄະນດິ ພາກສ່ ວນ ∫ x sin xdx 0 ວທິ ແີ ກ:້ ບາດກາ້ ວ 1. ວາງ u = x  dv = sin x dx ບາດກາ້ ວ 2. ຊອກ du ແລະ v u = x ⇒ d∫udv==dx∫ ⇒ du = dx   dv = sin x dx sin x dx v = − cos x ບາດກາ້ ວ 3. ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫b u dv = u v b − ∫ b v du : aa a ππ 4 x sin xdx = x (− cos x) π − 4 ( − cos x ) dx 4 ∫ 0 ∫ 00 π π4 = −x + ∫ cos x 4 cos x dx 0 0 ππ = −x cos x 4 + sin x 4 00 = −π π + π + sin π − sin 0 cos 0.cos 44 44 = −π π + sin π cos 44 4 =−π . 2 + 2 42 2 = −π 2 + 2 82 = 2 1 − π  2 4 ບາດກາ້ ວ 4. ສະຫຸຼບ: π ດ່ ງັ ນນັ້ : 4 2 1 − π  . 2 4  ∫ x sin xdx = 0 π ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຄດິ ໄລ່ ສງັ ຄະນດິ ພາກສ່ ວນ 2 (1 − x ) sin x cos x dx ∫ 0 ວທິ ແີ ກ:້ 23

ππ 1 2 (1 − x ).2 sin x cos x dx = 1 2 (1 − x ) sin 2x dx 2 2 ∫ ∫ 0 0 ບາດກາ້ ວ 1. ວາງ u =1− x  dv = sin 2x dx ບາດກາ້ ວ 2. ຊອກ du ແລະ v : u = 1− x dx ⇒ d∫ udv==d∫(1si−nx2)x dx ⇒ dvu==12−∫dsxin 2xd (2x ) ⇒ dvu==−−cdoxs22x dv = sin 2x bb ບາດກາ້ ວ ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ udv uv b ∫ vdu : 3. = a − aa π  π π  2 1 2 (1 − x )sin 2x dx = 1 (1 − x ) − cos 2x  − ∫2  − cos 2x  ( −dx ) 2 2 2 0 2 ∫  0  0  x ) −  π π 1 cos 2x 2 1 2  = 2 (1 − 2 − 2 cos 2xdx  0 ∫  0   x ) −  π π 1 cos 2x  2 1 2  = 2 (1 − 2 − 4 cos 2x.2dx  0 ∫  0   x ) −  π π 1 cos 2x  2 1 2 ( ) = 2 (1 − 2 − 4 cos 2x d 2x 0 ∫  0  = 1  − (1 − x)cos 2x π − sin 2x π  2  2 4 2   2   0 0  = − (1 − x)cos 2x π − sin 2x π 2 2 2 0 40 sin  π  sin ( 2.0) 1 − π  cos  2. π  (1 − 0 ) cos ( 2.0 ) 2. 2 2 = − + − + 2 22 4 4 1 − π  1 2 = + 44 = 4−π 8 ບາດກາ້ ວ 4. ສະຫຸຼບ: 24

π ດ່ ງັ ນນັ້ : 2 (1 − x )sin x cos x dx = 4−π . 8 ∫ 0 3.3. ຄດິ ໄລ່ ສງັ ຄະນດິ ພາກສ່ ວນ ໃນຮູບຮ່ າງ b p ( x ) cos (α x ) dx ∫ a ວທິ ແີ ກ:້ ບາດກາ້ ວ 1. ວາງ u = p(x)  dv = cosα x dx ບາດກາ້ ວ 2. ຊອກ du ແລະ v : duv==pc(oxs)α d∫udv==d p (x ) dvu==α1p∫′ (cxo)sdαxx dvu==sipnα′ α( xx) dx x dx ⇒ ∫ cosα x ⇒ d (α x ) ⇒ dx bb ບາດກາ້ ວ ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ b − ∫ vdu : 3. udv = uv a aa b p ( x ) cos α x dx = p ( x ). sin α x b − b sin α x .p′ ( x ) dx α a α ∫ ∫ a a ບາດກາ້ ວ 4. ສະຫຸຼບ. ຕວົ ຢ່ າງ: ຄດິ ໄລ່ ສງັ ຄະນດິ ພາກສ່ ວນ (∫π x2 + x + 3)cos x dx 0 ວທິ ແີ ກ:້ ບາດກາ້ ວ 1. ວາງ duv==xc2o+s 2x + 3 x dx ບາດກາ້ ວ 2. ຊອກ du ແລະ v duv==xc2o+s 2x + 3 ⇒ d∫ udv==d∫( x2 + 2x + 3) ⇒ du = (2x + 2 ) dx x dx cos x dx  v = sin x bb ບາດກາ້ ວ ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ b ∫ 3. udv = uv a − vdu : aa ∫π (x2 + x + 3)cos x dx = ( x2 + 2x + 3)sin x π − 2∫π ( x +1)sin x dx 0 00 = (π 2 + 2π + 3) sin π − (02 + 2.0 + 3)sin 0 − ∫π (x + 1) sin x dx 2 0 = −2∫π ( x +1)sin x dx 0 25

ວາງ duv1 1==xs+in1x dx ຊອກ du1 ແລະ v1 duv1 1==xs+in1x dx ⇒ d∫ ud1v1==d∫( x +1) ⇒ dvu1 1==−dcxos x sin x dx ∫ ∫ນໍາໃຊສ້ ູດ b dv1 = u1 v b − b : 1a a u1 a v1 du1 ∫π (x2 + x + 3)cos x dx = −2∫π (x + 1)sin x dx 00 = −2 −( x +1)cos x π + ∫π cos x dx  0 0  = −2 −(π + 1) cos π + −(0 +1)cos 0 + sin x π  0 = −2(π +1+1+ sin π − sin 0) = −2(π + 2) ບາດກາ້ ວ 4. ສະຫຸຼບ: ດ່ ງັ ນນັ້ : ( )∫π = −2(π + 2). 0 x2 + x +3 cos x dx 3.4. ຄດິ ໄລ່ ສງັ ຄະນດິ ພາກສ່ ວນ ໃນຮູບຮ່ າງ b p ( x ) ln (α x ) dx ∫ a ວທິ ແີ ກ:້ ບາດກາ້ ວ 1. ວາງ u = lnα x dv = p(x)dx ບາດກາ້ ວ 2. ຊອກ du ແລະ v duv==lnp((αxx)d) x ⇒ d∫ udv==d∫pln((xα)xdx) ⇒ du = 1 dx x v = ∫ P (x) dx bb ບາດກາ້ ວ ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ b − ∫ vdu : 3. udv = uv a aa ບາດກາ້ ວ 4. ສະຫຸຼບ. 3 ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຄດິ ໄລ່ ສງັ ຄະນດິ ∫ 2x ln x dx 1 ວທິ ແີ ກ:້ 26

ບາດກາ້ ວ 1. ວາງ u = ln x dv = 2xdx ບາດກາ້ ວ 2. ຊອກ du ແລະ v duv==ln2xxdx ⇒ d∫ udv==d ( ln x) ⇒ du = 1 dx ∫ v = x 2xdx x 2 bb ບາດກາ້ ວ ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ b ∫ 3. udv = uv a − vdu : aa 33 ∫ 3 ∫ 2x ln x dx = x2 ln x 1 − x dx 11 = x2 ln x 3 − x2 3 12 1 = 9 ln 3 − 4 ບາດກາ້ ວ 4. ສະຫຸຼບ: ດ່ ງັ ນນັ້ : 3 = 9ln 3 − 4 . ∫ 2x ln x dx 1 e ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຄດິ ໄລ່ ສງັ ຄະນດິ ∫ x3 ln2 x dx 1 ວທິ ແີ ກ:້ ບາດກາ້ ວ 1. ວາງ duv==lnx23dxx ບາດກາ້ ວ 2. ຊອກ du ແລະ v ( )duv==lnx23dxx dvu==x424 ln x dx d∫ udv==d ∫ ln2 x x ⇒ x3dx ⇒ bb ບາດກາ້ ວ ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ b ∫ 3. udv = uv a − vdu : aa ∫ ∫e x3 ln2 x dx = x4 ln2 x e − 1 e x3 ln x dx 1 4 1 21 ∫= e4 − 1 e x3 ln x dx 4 21 27

ວາງ duv1 1==lnxx3dx ຊອກ du ແລະ v duv1 1==lnxx3dx d∫ ud1v1==d∫( ln x) dvu1 1==x4x14 dx ⇒ x3dx ⇒ ∫ ∫ນໍາໃຊສ້ ູດ b dv1 = u1 v1 b − b v1 du1 : a a a u1 ∫ ∫e x3 ln2 x dx = e4 − 1 e x3 ln x dx 1 4 21 ∫= e4 − 1  x4 ln e − 1 e x3  4 2  4 4 1 dx  x 1 = e4 − 1  e4 − x4 e  4 2  4 16 1  = e4 − 1  3e4 + 1  4 2  16  = 5e4 −1 32 ບາດກາ້ ວ 4. ສະຫຸຼບ: ດ່ ງັ ນນັ້ : e = 5e4 −1. ∫ x3 ln2 x dx 1 32 ຮູບຮ່ າງ 5: ຄດິ ໄລ່ ສງັ ຄະນດິ ພາກສ່ ວນ ໃນຮູບຮ່ າງ I = b sin (mx + n )dx ∫ eα x+β a ວທິ ແີ ກ:້ ບາດກາ້ ວ 1. ສາມາດເລອື ກວາງ duv==eαsixn β x dx ຫຼື ວາງ u = sin β x  dv = eα x dx ບາດກາ້ ວ 2. ຊອກ du ແລະ v bb ບາດກາ້ ວ ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ b ∫ 3. udv = uv a − vdu : aa ບາດກາ້ ວ 4. ສະຫຸຼບ. π 2 ຕວົ ຢ່ າງ: ຄດິ ໄລ່ ສງັ ຄະນດິ ພາກສວ່ ນ I = ∫ e2x sin 3x dx 0 28

ບາດກາ້ ວ 1. ວາງ duv==es2xin 3x dx ບາດກາ້ ວ 2. ຊອກ du ແລະ v ∫ ∫( ) ∫duv==es2xin 3x dx ⇒ dudv==d e2x ⇒ dvu==132es2ixnd3xx.d ( 3 x ) ⇒ dvu==−2ceo2s3xd3xx sin 3x dx bb ບາດກາ້ ວ ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ b − ∫ vdu : 3. udv = uv a aa ππ − e2x cos 3x 2 2 2 ∫I = + e2x cos3x dx 3 0 30 ∫π 3π 2. e2 cos π I=− 2 + e2.0 cos 0 + 2 2 e2x cos 3x dx 3 3 30 π ∫= 1 + 2 2 e2x cos 3x dx 3 30 ວາງ duv1 1==ec2xos3x dx ຊອກ du1 ແລະ v1 ∫ ∫( ) ∫duv1 1==ec2xos ⇒ du1 = d e2x ⇒ dv1u1==132ec2ox sd3xx.d ( ) ⇒ dv1u1==si2ne332xxdx 3x dx  dv = cos 3x 1 3x dx bb ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u1dv1 b − ∫ v1 du1 : = u1v1 a aa π I = 1 + 2 2 e2x cos 3x dx 3 3 ∫ 0  ππ  1 2 e2x sin 3x 2 2 2  3 3  3 0 3 0  ∫I = + − e2x sin 3x dx I= 1+ 2  − eπ − 2 I  3 3  3 3  I = 3 − 2eπ 13 ບາດກາ້ ວ 4. ສະຫຸຼບ: 29

π ດ່ ງັ ນນັ້ : I= 2 = 3 − 2eπ . 13 ∫ e2x sin 3x dx 0 ຮູບຮ່ າງ 6: ຄດິ ໄລ່ ສງັ ຄະນດິ ພາກສ່ ວນ ໃນຮູບຮ່ າງ b eα x cos ( mx + n ) dx ∫ a ວທິ ແີ ກ:້ ບາດກາ້ ວ 1. ສາມາດເລອື ກວາງ duv==eαcox s β x dx ຫຼື ວາງ u = cos β x  dv = eα x dx ບາດກາ້ ວ 2. ຊອກ du ແລະ v ບາດກາ້ ວ 3. ນໍາໃຊສ້ ູດ bb ∫ b ∫ udv = uv a − v du aa ບາດກາ້ ວ 4. ສະຫຸຼບ. ຕວົ ຢ່ າງ: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ສງັ ຄະນດິ ພາກສວ່ ນ π I = ∫ ex cos 2x dx 0 ວທິ ແີ ກ:້ ບາດກາ້ ວ 1. ວາງ duv==ecx os 2x dx ບາດກາ້ ວ 2. ຊອກ du ແລະ v ( )duv==ecx os2xdx ⇒ d∫ udv==d ∫ ex ⇒ dvu==12e∫x dx 2x.d ( 2x ) ⇒ dvu==sienx2d2xx cos cos 2 x dx ບາດກາ້ ວ ນໍາໃຊສ້ ູດ bb 3. ∫ udv uv b − ∫ v du : = a aa ∫I = ex sin 2x π − 1 π ex sin 2x dx 2 0 20 I = eπ sin 2π − e0 sin 0 − ∫1 π ex sin 2x dx 2 2 20 = − 1 π e x sin 2x dx 2 ∫ 0 ວາງ duv1 1==esxin 2x dx ຊອກ du1 ແລະ v1 ∫ ∫( ) ∫duv1 1==esxin2xdx⇒du1 = d ex ⇔ dvu1 1==12ex dx 2x d ( 2x ) ⇔ dvu1 1==−ecxods2x2x  dv1 = sin sin 2x dx 30

ນໍາໃຊສ້ ູດ bb ∫ u1dv1 b − ∫ v1 du1 : = u1v1 a aa I = − 1 π e x sin 2x dx 2 ∫ 0 I = − 1  − ex cos 2x π + 1 π  2  2 0 2 cos 2x dx  ∫ ex 0 I = − 1  1 − eπ +1I  2  2 2  I = eπ −1 5 ບາດກາ້ ວ 4. ສະຫຸຼບ: ດ່ ງັ ນນັ້ : π = eπ −1 . 5 I = ∫ ex cos 2x dx 0 ບດົ ເຝິກຫດັ ສ່ ງົ ເສມີ ໃຫນ້ ກັ ສກຶ ສາຝຶກປະຕບິ ດັ ແລະ ຄນົ້ ຄດິ ເພ່ ອື ການຮຽນຮູ ້ 1. ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາສງັ ຄະນດິ ພາກສ່ ວນລ່ ຸມນ:ີ້ π 1.1. 2 ( x + 1) sin xdx ∫ 0 e 1.2. ∫ x2 ln xdx 1 1.3. 1 ln ( x + 1)dx ∫ 0 1.4. 1 x (1 − x )5dx ∫ 0 2. ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາສງັ ຄະນດິ ພາກສ່ ວນລ່ ຸມນ:ີ້ ( )∫2.1. 1 x2 +1 e2x dx 0 ວາງ duv==xe2 + 1 dx 2x 31

2.2. ∫1(2x − 3) e−2xdx 0 ວາງ u = 2x − 3  dv = e−2 x dx 2.3. ∫3 x + 1 e x+1 dx 0 ວາງ t = x +1 2.4. ∫1 x dx 0 2 t= x 3. ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາສງັ ຄະນດິ ພາກສ່ ວນລ່ ຸມນ:ີ້ 3.1. ∫π (x2 + 2x + 3)cos x dx 0 ວາງ duv==xc2o+s 2x + 3 x dx 3.2. π ( x − 1) sin x dx ∫2 0 ວາງ u = x −1  dv = sin x dx π 3.3. ∫ 2 x cos x sin2 x dx 0 ວາງ u = x  dv = cos x sin 2 x dx 3.4. π x − sin x dx 1 + cos x ∫π2 3 π ππ 2 x − sin x dx = 2 1 + x x dx − 2 1 sin x x dx 1 + cos x cos + cos ∫ ∫ ∫ π π π 3 33 u = x dv = ວາງ  dx x  2 cos2 2 4. ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາສງັ ຄະນດິ ພາກສ່ ວນລ່ ຸມນ:ີ້ 4.1. ∫5 2x ln (x −1)dx 2 ວາງ u = ln (x −1)  dv = 2x dx ∫4.2. e x ln2 x dx 1 32

ວາງ duv==lnx2dxx ( )4.3. ∫1 x ln x + 1+ x dx 0 ( )ວາງ u = ln x + 1+ x2 dv = x dx 4.4. ∫3 ln ( x − 1) − ln ( x + 1)  dx 2 ∫3 ln ( x − 1) − ln ( x + 1) dx = ∫3 ln x − 1 dx 2 2 x + 1 u = ln x −1 x +1 ວາງ dv =dx 5. ສງັ ເກດສງັ ຄະນດິ ∫π x3 s inx dx , ວທິ ວີ າງໃດເໝາະສມົ ທ່ ສີ ຸດ: 0 ກ. u = s inx ຂ. u = x sinx   dv = x 3dx dv = x 2dx ຄ. u = x3 ງ. u = x3 s inx   dv = s inx dx dv = dx 6. ສງັ ຄະນດິ π0 ເທ່ າົ : ∫ 2 x2 s inx dx ກ. π ຂ. π − 2 ຄ. 2π ງ. 2π −1 7. ສງັ ຄະນດິ π ( 2 − x ) cos3x dx ເທ່ າົ : ∫3 0 ກ. 2 ຂ. 1 ຄ. 4 ງ. 5 9 9 9 9 8. ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາສງັ ຄະນດິ ພາກສ່ ວນລ່ ຸມນ:ີ້ e 8.1. ∫ x3 ln2 x dx 1 ວາງ duv==lnx23dxx ( )e ∫ 1 8.2. 2x ln x dx x2 +1 u = ln x dv = ວາງ 2x dx (x2 +1)2 33

8.3. 3 1 + ln (x + 1) dx ∫ x2 1 duv==1 + ln ( x + 1) ວາງ dx x2 π 8.4. 4 x (1 + sin 2x ) dx ∫ 0 ວາງ u = x  dv = sin 2x dx π 8.5. 3 1 + x sin x dx cos2 x ∫ 0 π ππ 3 1+ x sin x dx = 3 1 dx + 3 x sin x dx cos2 x cos2 cos2 x ∫ ∫ x ∫ 0 0 0 ວາງ u = x dv = sin 2x dx 9. ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາສງັ ຄະນດິ ພາກສ່ ວນລ່ ຸມນ:ີ້ π 2 9.1. ∫ x cos2 x dx 0 9.2. ∫1 x2ex 0 (x + 2)2 dx 9.3. ∫1 e−2x sin2 (π x )dx 0 π 9.4. ∫2 x2 cos x dx 0 sin3 x π 9.5. ∫ e2x sin2 x dx 0 9.6. 3 3 + ln x dx ∫ ( x +1)2 1 9.7. e  2x − 3  ln x dx x ∫ 1 34

ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນໍາ້ ທາ ເອກະສານປະກອບການຮຽນ - ການສອນ ວຊິ າ: ແຄນຄລູ ດັ ສ໌ 2 ເຫມຼັ້ ທີ 2 ຂຽນໂດຍ: ປອ ຈບັ ວງົ ທະວີ ຫວຼ ງນາໍ້ ທາ - 2019

ຄໍານໍາ ເພ່ ອື ພດັ ທະນາສາຍຄູຄະນດິ ສາດສ່ ູຄວາມເປັນເລດີ ຄວາມຈາໍ ເປັນທ່ ສີ ຸດສໍາລບັ ວທິ ະຍາໄລ ຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາໃນຕອນນີ້ ກໍຄກື ານສາ້ ງເອກະສານປະກອບການຮຽນ ເພ່ ອື ສ່ ງົ ເສມີ ແລະ ສາ້ ງສນັ ການ ຮຽນຮູຂ້ ອງນກັ ສກຶ ສາໃຫມ້ ຄີ ຸນນະພາບ ສາມາດສອນຄະນດິ ສາດໄດແ້ ຕ່ ມ1-ມ7 ໄດ.້ ເອກສານສະບບັ ນປີ້ ະກອບມເີ ນອື້ ໃນ: ການຊອກຫາຄ່ າຂອງຕໍາລາ f (x, y) ຢ່ ູເມດັ (x0, y0 ) , ຜນົ ຕໍາຊອ້ ນໃນ, ຂອບເຂດຂອງຕໍາລາສອງຕວົ ປ່ ຽນ, ການຕ່ ໍເນ່ ອື ງຂອງຕໍາລາສອງຕວົ ປ່ ຽນ, ສງັ ຄະນດິ ຊອ້ ນສອງ, ສງັ ຄະນດິ ຊອ້ ນສາມ, ຕໍາລາຮແີ ປໂບລກິ (Hyperbolic functions), ຕໍາລາປິນ້ ແລະ ສງັ ຄະນດິ . ແຕ່ ລະເນອື້ ໃນເນນັ້ ຕວົ ຢ່ າງ ແລະ ບດົ ເຝິກຫດັ . ດ່ ງັ ນນັ້ , ບນັ ດາຄູອາຈານ ແລະ ນກັ ສກຶ ສາ ທ່ໄີ ດນ້ ໍາໃຊເ້ ອກະສານສະບບັ ນີ້ ຫາກໄດພ້ ບົ ພໍຂ້ ໍ້ ຂາດຕກົ ບກົ ພ່ ອງທາງດາ້ ນເນອື້ ໃນ ກໍຄທື າງດາ້ ນສໍານວນຄໍາເວາົ້ ຈ່ ງົ ໄດສ້ ່ ງົ ຄໍາຄດິ ເຫນັ ອນັ ຈງິ ໃຈຂອງ ພວກທ່ ານໄປຍງັ ຂາ້ ພະເຈາົ້ ເພ່ ອື ວ່ າຂາ້ ພະເຈາົ້ ຈະໄດເ້ ກບັ ກາໍ ແລວ້ ນໍາໃຊເ້ ຂາົ້ ການປັບປຸງໃຫສ້ ມົ ບຸນ ແລະ ດຂີ ນຶ້ . ດວ້ ຍຄວາມຮກັ ແພງ ແລະ ນບັ ຖື ຈບັ ວງົ ທະວີ

ສາລະບານ 1 3 1. ການຊອກຫາຄ່ າຂອງຕໍາລາ f (x, y) ຢ່ ູເມດັ (x0, y0 ) 8 2. ຜນົ ຕໍາລາຊອ້ ນໃນ 13 3. ຂອບເຂດຂອງຕໍາລາສອງຕວົ ປ່ ຽນ 15 4. ການຕ່ ໍເນ່ ອື ງຂອງຕໍາລາສອງຕວົ ປ່ ຽນ 25 29 5. ສງັ ຄະນດິ ຊອ້ ນສອງ 40 6. ສງັ ຄະນດິ ຊອ້ ນສາມ 7. ຕໍາລາຮແີ ປໂບລກິ (Hyperbolic functions) 8. ຕໍາລາປິນ້ ແລະ ສງັ ຄະນດິ

1. ການຊອກຫາຄ່ າຂອງຕໍາລາ f (x, y) ຢ່ ູເມດັ (x0, y0 ) ຕວົ ຢ່ າງ: ໃຫຕ້ າໍ ລາ f (x, y) = xy +1 . ຊອກຫາ f (1,5), f (2,8), f (−1,5) ? y − x2 ບດົ ແກ:້ ເຮາົ ມີ f (x, y) = xy +1 y − x2 ສໍາລບັ : f (1,5) = ? f (1,5) = 1.5 +1 = 5+1 = 6 = 6 = 3. 5 −1 42 5 − (1)2 ສໍາລບັ : f (2,8) = ? f (2,8) = 2.8 + 1 = 16 +1 = 17 = 17 . 8 − (2)2 8 − 4 4 2 ສໍາລບັ : f (−1,5) = ? f (−1,5) = (−1)(5) +1 = −5 +1 = −4 = −4 = −2 5 − (−1)2 5 −1 4 2 ບດົ ເຝຶກຫດັ ສ່ ງົ ເສມີ ນກັ ສກຶ ສາຝຶກແກ ້ ເພ່ ອື ໃຫເ້ ກດີ ທກັ ສະ 1. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x, y) = y2 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f (1,1), f (−2,2), f (−3,−1) ? x2 + 4y2 2. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x, y) = 5x2 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f (0,1), f (1, 2), f (−1,−2) ? 4x2 + 5y2 3. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x,y) = x3 − x2y + xy2 − y3 . ຈ່ ງົ ຊອກ f (1, −2 ) , f ( −1, 7 ) ? x2 + y2 4. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x, y) = x2 − 2 . ຈ່ ງົ ຊອກ f 1, 1  , f  1 , −2  , f  − 1 , − 1  ? 3 + xy 2 2 3 5 ຈບັ ວງົ ທະວີ 1 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

5. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x, y) = x2 1 −1 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f  1 , − 1  , f  − 1 , 1  ? + y2  4 2   5 10  6. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x,y) = x2 − xy + 3y2 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f  1 , −1 , f  1 , − 1  ?  5  2 3  7. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x, y) = x+y . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f  5 , −1 , f  − 1,− 3  ? xy −1 2 2 2 8. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x, y) = xy . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f (−2,−2), f (5, −7)? x2 + y2 9. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x, y) = 2x − y . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f  − 1 , 1  , f  − 1 , − 1  ? xy +1 3 4 5 2 10. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x, y) = x+y . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f (0,1), f ( a, 2a + b) ? 1+ xy 11. ໃຫຕ້ າໍ ລາ f (x,y) = 2x + y ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f (1,−3), f (a + b,ab) ? 1 − xy 12. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x, y) = x2 − y2 + 1. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f  1 , −2  , f (a − b,a + b) ? 5 13. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x, y) = x3 + y3 + 2. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f  1 , 3  , f ( 2a + b, a − 2b) ? 2 2 14. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x, y) = x + y . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f  − 1 ,− 2  , f  1 , − 1  ? x − y 23 5 4 15. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x,y) = xy + x2 + y2 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f  −1, − 1  , f  1 ,1 ?. x+y 2 2 ຈບັ ວງົ ທະວີ 2 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

2. ຜນົ ຕໍາລາຊອ້ ນໃນ ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ x3 + y3 = 15 dx ວທິ ແີ ກ:້ ວາງ y = f (x): x3 + f 3 ( x) = 15 x3 + f 3 (x )′ = (15)′ 3x2 + 3f ′(x )f 2 (x) = 0 ຂຽນຕາມຮູບແບບຈນຸ ຄະນດິ f ′(x) = d f (x) = dy dx dx 3x2 + 3. dy .y2 = 0 dx 3. dy .y2 = −3x2 dx dy = − 3x2 dx 3 y2 dy = −x2 dx y2 dy = −  x 2 dx  y  dy  x  2 dx  y  ດ່ ງັ ນນັ້ : = − . ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ ax2 + by2 = 2aby dx ວທິ ແີ ກ:້ ວາງ y = f (x): ax2 + bf 2 (x) = 2abf (x ) ax2 + bf 2 (x )′ = 2abf (x)′ (ax2 )′ + bf 2 (x)′ = 2abf ′(x) 2ax + 2bf ′(x)f (x) = 2abf ′(x) 3 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ ຈບັ ວງົ ທະວີ

ຂຽນຕາມຮູບແບບຈນຸ ຄະນດິ f ′(x) = d f (x) = dy dx dx 2ax + 2b. dy .y = 2ab. dy dx dx 2by. dy − 2ab. dy = −2ax dx dx (2by − 2ab) dy = −2ax dx dy = −2ax dx 2by − 2ab dy = − 2ax dx 2 (by − ab) dy = −ax dx by − ab dy = b −ax ) dx (y−a ດ່ ງັ ນນັ້ : dy = −ax ) . dx b(y −a ຕວົ ຢ່ າງ 3: ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dx ຖາ້ ວ່ າ x = 5y + x3 dy ວທິ ແີ ກ:້ ວາງ x = f ( y): f (y) = 5y + f 3 (y) f ( y)′ = 5y + f 3 ( y)′ f ′( y) = (5y)′ + f 3 ( y)′ f ′( y) = 5 + 3f ′( y)f 2 ( y) ຂຽນຕາມຮູບແບບຈນຸ ຄະນດິ f ′(x) = d f (x) = dy dx dx dx = 5 + 3. dx .x2 dy dy dx − 3x2 dx = 5 dy dy 4 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ ຈບັ ວງົ ທະວີ

(1− 3x2 ) dx = 5 dy dx = 5 dy 1 − 3x2 ດ່ ງັ ນນັ້ : dx =5 . dy 1 − 3x2 ຕວົ ຢ່ າງ 4: ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ x2y3 − 6 = 5y3 + x ຕອບສະໜອງ x = 2 dx ວທິ ແີ ກ:້ ວາງ y = f (x): x2f 3 ( x) − 6 = 5f 3 ( x) + x x2f 3 ( x ) − 6′ = 5f 3 ( x ) + x′ x2f 3 (x)′ − (6)′ = 5f 3 (x)′ + (x)′ (x2 )′.f 3 (x) + f 3 (x)′ .x2 − 0 = 15f ′(x)f 2 (x) +1 2x.f 3 (x) + 3f ′(x)f 2 (x).x2 = 15f ′(x)f 2 (x) +1 ຂຽນຕາມຮູບແບບຈນຸ ຄະນດິ f ′(x) = d f (x) = dy dx dx 2xy3 + 3x2y2 dy = 15y2 dy + 1 dx dx 3x2y2 dy −15y2 dy = 1 − 2xy3 dx dx ( )3x2y2 −15y2 dy = 1− 2xy3 dx dy = 1 − 2xy3 dx 3x2y2 −15y2 ເມ່ ອື x = 2 : x2y3 − 6 = 5y3 + x 4y3 − 6 = 5y3 + 2 4y3 − 5y3 = 2 + 6 −y3 = 8 y3 = −8 ຈບັ ວງົ ທະວີ 5 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

3 y3 = 3 −8 y = −2 ຊອກຫາຄ່ າຂອງ dy ຢ່ ູເມດັ (2, −2) : dx dy = 1− 2xy3 = 1− 2(2)(−2)3 = 33 = 3 .11 = 11 = −11 . dx 3x2y2 − 15y2 3(2)2 (−2)2 −15(−2)2 −12 −4 4 3 (−4) ບດົ ເຝຶກຫດັ ສ່ ງົ ເສມີ ນກັ ສກຶ ສາຝຶກປະຕບິ ດັ ເພ່ ອື ເກດີ ທກັ ສະ 1. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ x2y2 + 2y4 = 5x + 4y dx 2. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ x4y3 −12 = 10y5 + 7x dx 3. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ x2 + y2 = 16 dx 4. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ x3 + y3 = 2xy dx 5. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ x2 + 5xy2 − x + 3 = 0 dx 6. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ y = 2x + y2 dx 7. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ y = x + ln y dx 8. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ y = x2 − ln 2y dx 9. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ x2y + 2y3 = 3x + 2y dx 10. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ x3 + y3 = xy dx 11. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ x2 + y = x3 + y2 dx 12. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ 5x − x2y3 = 2y dx 6 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ ຈບັ ວງົ ທະວີ

13. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ y2 + 2xy2 − 3x + 1 = 0 dx 14. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ 1 + 1 = 1 dx x y 15. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ (2x + y)3 = x dx 16. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ (x − 2y)2 = y dx 17. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ ( )x2 + 3y2 5 = 2xy dx 18. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ (3xy2 +1)4 = 2x − 3y dx 19. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ x2 + y3 = 12 dx 20. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ xy + 2y = x2 dx 21. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ x + 1 = 5 dx x 22. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ xy − x = y + 2 dx 23. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ x2 = y3 ຕອບສະໜອງ x = 8 dx 24. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ 1 − 1 = 2 ຕອບສະໜອງ x = 1 dx x y 4 25. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ xy = 2 ຕອບສະໜອງ x = 2 dx 26. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ x2y3 − 2xy = 6x + y + 1 ຕອບສະໜອງ x = 0 dx 27. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ (1 − x + y)3 = 2x + 7 ຕອບສະໜອງ x = 1 dx 28. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ ( )x2 + 2y 3 = 2xy2 + 64 ຕອບສະໜອງ x = 0 dx 29. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ ( )2xy3 + 1 3 = 2x − y3 ຕອບສະໜອງ x = 0 . dx ຈບັ ວງົ ທະວີ 7 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

3. ຂອບເຂດຂອງຕໍາລາສອງຕວົ ປ່ ຽນ ນຍິ າມ: ເຮາົ ເວາົ້ ວ່ າຕໍາລາ f (x, y) ມຂີ ອບເຂດແມ່ ນ L ເວລາ (x, y) → (a,b) ຖາ້ ວ່ າສໍາລບັ ທຸກໆ ε > 0 ປະກດົ ມີ δ > 0 ເຮດັ ໃຫ ້ (x − a )2 + ( y − b)2 < δ ແມ່ ນ f ( x, y) − L < ε . ໝາຍຄວາມວ່ າ: lim f (x, y) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : (x − a )2 + ( y − b)2 < δ ⇒ f (x, y) − L < ε ( x , y)→( a ,b) ຕວົ ຢ່ າງ 1: ນາໍ ໃຊນ້ ຍິ າມພສິ ູດ lim(x,y)→(0,0) 5x2 = 0 4x2 + 5y2 ວທິ ແີ ກ:້ ∀ε > 0 , ເຮາົ ມີ f (x, y) − L < ε : ⇔ 5x2 − 0 < ε 4x2 + 5y2 ⇔ 5x2 < ε 4x2 + 5y2 ⇔ 5x2 ≤ 5x2 ≤ 5x2 + 5y2 < ε 4x2 + 5y2 4x2 + 4y2 4x2 + 4y2 ( )( )⇔ 5 x2 + y2 −1 <ε x2 + y2 2 2 ( )⇔ 5 1 2 x2 + y2 2 <ε ⇔ 5 x2 + y2 < ε 2 ⇔ x2 + y2 < 2ε 5 ສະແດງວ່ າປະກດົ ມ:ີ δ = 2ε . ດ່ ງັ ນນັ້ lim 5x2 = 0 . 5 (x,y)→(0,0) 4x2 + 5y2 ຈບັ ວງົ ທະວີ 8 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

ຕວົ ຢ່ າງ 2: ນາໍ ໃຊນ້ ຍິ າມພສິ ູດ lim( x , y )→( 0,0) x 2x 3 =0 2+ y2 ວທິ ແີ ກ:້ ∀ε > 0 , ເຮາົ ມີ f (x, y) − L < ε : ⇔ 2x3 −0 <ε x2 + y2 ⇔ 2x3 < 2x3 < ε x2 + y2 x2 ⇔ 2 x < 2 x2 + y2 < ε ⇔ x2 + y2 < ε 2 ສະແດງວ່ າປະກດົ ມ:ີ δ = ε . ດ່ ງັ ນນັ້ lim 2x3 =0. 2 ( x , y )→( 0 ,0) x2 + y2 ຕວົ ຢ່ າງ 3: ນາໍ ໃຊນ້ ຍິ າມພສິ ູດ lim (x2 + y) = 2 (x ,y)→(1,1) ບດົ ແກ:້ ∀ε > 0 , ເຮາົ ມີ f (x, y) − L < ε : ⇔ x2 + y − 2 < ε ⇔ (x2 −1) + ( y −1) < ε ⇔ (x +1)(x −1) + (y −1) < ε ⇔ 2.(x −1) +1( y −1) < ε ( )( )ນໍາໃຊສ້ ູດ a1b1 + a2b2 + ... + anbn ≤ + a2 + a2 + ... + an b2 + b2 ... + bn 1 2 n 1 2 n ⇔ 2.(x −1) +1( y −1) ≤ (22 +12 ) (x −1)2 + ( y −1)2  < ε ⇔ 5 (x −1)2 + ( y −1)2 < ε ຈບັ ວງົ ທະວີ 9 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

⇔ (x −1)2 + ( y −1)2 < 5ε 5 ( )ສະແດງວ່ າປະກດົ ມ:ີ δ (ε ) = 5ε 5 . ດ່ ງັ ນນັ້ lim( x , y )→(1,1) x2 + y = 2. ຕວົ ຢ່ າງ 4: ຄດິ ໄລ່ ຂອບເຂດ {lim 2x + 3y y2 x→0 y→1 ບດົ ແກ ້ 1: {lim 2x + 3y = 2(0) + 3(1) = 3 = 3. y2 (1)2 1 x→0 y→1 ບດົ ແກ ້ 2: { }( )ນໍາໃຊສ້ ູດ lim f = lxi→ma lyi→mb { }(x,y)→(a,b) x, y limf (x, y) =L =L y→b lim f (x, y) x→a ສໍາລບັ : lim  2x + 3y  = lim 3y = lim 3 = 3 =3 lim y2  y2 yy→1 1 y→1  x→0 y→1 ສໍາລບັ : lim  2x + 3y  = lim 2x + 3 = 3 lim y2  1 x→0  y→1 x→0 ດ່ ງັ ນນັ້ : lim( x , y )→( 0,1) 2x + 3y = 3. y2 ຕວົ ຢ່ າງ 5: ຄດິ ໄລ່ ຂອບເຂດ lim( x , y )→( 0 ,0) 2x + 3y2 x2 + y2 ບດົ ແກ:້ {{ }}ນໍາໃຊສ້ ູດ: = lxi→ma ( )(x,yli)→m(a,b) f lyi→mb limf (x, y) =L x, y =L y→b lim f (x, y) x→a ຈບັ ວງົ ທະວີ 10 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ