Calculus 1-4

ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນໍາ້ ທາ ເອກະສານປະກອບການຮຽນ - ການສອນ ແຄນຄລູ ດັ ສ໌ 1 ເຫມຼັ້ 4 ຂຽນໂດຍ: ປອ ຈບັ ວງົ ທະວີ ຫວຼ ງນາໍ້ ທາ - 2019

ຄໍານາໍ ເພ່ ອື ພດັ ທະນາສາຍຄູຄະນດິ ສາດສ່ ູຄວາມເປັນເລດີ ຄວາມຈາໍ ເປັນທ່ ສີ ຸດສໍາລບັ ວທິ ະຍາໄລ ຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາໃນຕອນນີ້ ກໍຄກື ານສາ້ ງເອກະສານປະກອບການຮຽນ ເພ່ ອື ສ່ ງົ ເສມີ ແລະ ສາ້ ງສນັ ການ ຮຽນຮູຂ້ ອງນກັ ສກຶ ສາໃຫມ້ ຄີ ຸນນະພາບ ສາມາດສອນຄະນດິ ສາດໄດແ້ ຕ່ ມ1-ມ7 ໄດ.້ ເອກສານສະບບັ ນປີ້ ະກອບມເີ ນອື້ ໃນ: ເຄາົ້ ຕໍາລາພນຶ້ ຖານ; ເຄາົ້ ຕໍາລາປົກກະຕ;ິ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ອະປົກກະຕິ ແລະ ເຄາົ້ ຕໍາລາຂອງຕໍາໄຕມູມມຕິ .ິ ແຕ່ ລະເນອື້ ໃນເນນັ້ ຕວົ ຢ່ າງ ແລະ ບດົ ເຝິກຫດັ . ດ່ ງັ ນນັ້ , ບນັ ດາຄູອາຈານ ແລະ ນກັ ສກຶ ສາ ທ່ໄີ ດນ້ ໍາໃຊເ້ ອກະສານສະບບັ ນີ້ ຫາກໄດພ້ ບົ ພໍຂ້ ໍ້ ຂາດຕກົ ບກົ ພ່ ອງທາງດາ້ ນເນອື້ ໃນ ກໍຄທື າງດາ້ ນສໍານວນຄໍາເວາົ້ ຈ່ ງົ ໄດສ້ ່ ງົ ຄໍາຄດິ ເຫນັ ອນັ ຈງິ ໃຈຂອງ ພວກທ່ ານໄປຍງັ ຂາ້ ພະເຈາົ້ ເພ່ ອື ວ່ າຂາ້ ພະເຈາົ້ ຈະໄດເ້ ກບັ ກາໍ ແລວ້ ນໍາໃຊເ້ ຂາົ້ ການປັບປຸງໃຫສ້ ມົ ບຸນ ແລະ ດຂີ ນຶ້ . ດວ້ ຍຄວາມຮກັ ແພງ ແລະ ນບັ ຖື ຈບັ ວງົ ທະວີ

ສາລະບານ ບດົ ທີ 1 - ເຄາົ້ ຕໍາລາພນື້ ຖານ 1 1 ຮູບຮ່ າງ 1.1: ∫ xm dx 2 ຮູບຮ່ າງ 1.2: ∫ a xm dx 3 ຮູບຮ່ າງ 1.3: ∫ 1 dx 4 x 5 ຮູບຮ່ າງ 1.4: ∫ a dx 9 x 16 ຄຸນລກັ ສະນະ 1.5: ∫ f (x) ± g (x) dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g (x)dx 19 20 ຮູບຮ່ າງ 1.6: ∫ u (x )m dx 21 22 ຮູບຮ່ າງ 1.7: ∫ 1 dx 24 24 u(x) 26 27 ຮູບຮ່ າງ 1.8: ∫ ax dx 28 29 ຮູບຮ່ າງ 1.9: ∫ au(x) dx 31 32 ຮູບຮ່ າງ 1.10: ∫ ex dx 34 ຮູບຮ່ າງ 1.11: ∫ eu(x)dx 34 ຮູບຮ່ າງ 1.12: ∫ sin x dx ຮູບຮ່ າງ 1.3: ∫ sin u (x) dx ຮູບຮ່ າງ 1.4: ∫ cos x dx ຮູບຮ່ າງ 1.5: ∫ cos u ( x) dx ຮູບຮ່ າງ 1.16: ∫ tan x dx ຮູບຮ່ າງ 1.7: ∫ tan u (x) dx ຮູບຮ່ າງ 1.18: ∫ co t x dx ຮູບຮ່ າງ 1.19: ∫ co t u (x ) dx ບດົ ທີ 2 - ເຄາົ້ ຕໍາລາປົກກະຕິ ຮູບຮ່ າງ 2.1: ∫ ax 2+ bx + c dx dx +e

ຮູບຮ່ າງ 2.2: ∫ ax3 + bx2 + cx + d dx 35 nx + m 37 ຮູບຮ່ າງ 2.3: ∫ ax2 dx +c + bx 49 ຮູບຮ່ າງ 2.4: ∫ (mx + n)dx 53 ax2 + bx + c 54 ( )ຮູບຮ່ າງ 2.5: + + ... + 58 ∫ anxn a x n−1 a0 dx 62 n −1 62 ax + b 66 74 ຮູບຮ່ າງ 2.6: ∫ ( x − m ) ( x P ( x ) dx k )( x − r) 76 − n)(x − 80 80 ຮູບຮ່ າງ 2.7: ∫ ( x − k P (x ) dx + c ) 84 + bx 85 )( ax 2 87 89 ບດົ ທີ 3 - ເຄາົ້ ຕໍາລາອະປົກກະຕິ 94 ຮູບຮ່ າງ 3.1: ∫ dx ax2 + bx + c ຮູບຮ່ າງ 3.2: ∫ (mx + n)dx ax2 + bx + c ( )∫ຮູບຮ່ າງ 3.3: p xm a + bxn dx ∫ ∫ ∫ຮູບຮ່ າງ 3.4: a2 − b2x2 dx ; a2 + b2x2 dx ; b2x2 − a2 dx ບດົ ທີ 4 - ເຄາົ້ ຕໍາລາຂອງຕາໍ ລາໄຕມມູ ມຕິ ິ ຮູບຮ່ າງ 4.1: ∫ R (sin x,cos x)dx ຮູບຮ່ າງ 4.2: ∫ sin Ax.sin Bx dx ຮູບຮ່ າງ 4.3: ∫ cos Ax.cos Bx dx ຮູບຮ່ າງ 4.4: ∫ sin Ax.cos Bx dx ຮູບຮ່ າງ 4.5: ∫ sinn xdx ; ∫ cosn x dx ຮູບຮ່ າງ 4.6: ∫ sinm x cosn x dx

1 ບດົ ທີ 1- ເຄາົ້ ຕາໍ ພນຶ້ ຖານ ຮູບຮ່ າງ 1.1: ∫ xm dx ສູດຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ຕວົ ຢ່ າງ ∫1 x2009 dx = x 2009+1 + C = x 2010 + C 2009 +1 2010 2 ∫ x12 dx = x12+1 + C = x13 + C 12 +1 13 3 ∫ x dx = x1+1 + C = x2 + C 1+1 2 x m+1 (m ≠ −1) ∫ xm dx = m +1 + C ∫ ∫4 = x 0+1 dx = x0dx 0+1 + C = x + C 5 ∫ dy = y + C 6 ∫ dz = z + C 7 ∫ dt = t + C 8 ∫ ds = s + C ບດົ ເຝຶກຫດັ ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ x78dx 1 2. ∫ x 4dx 3. ∫ 5 x dx 4. ∫ 7 x4 dx ∫5. 11 x −5 dx 6. ∫ x3dx 7. ∫ x dx 8. ∫  x 1 3 dx 2

2 ຮູບຮ່ າງ 1.2: ∫ a xm dx ສູດຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ຕວົ ຢ່ າງ 5x9 dx = 5 x9 dx = 5. x10 + C = x10 + C 10 2 ∫ ∫1 2 ∫ ∫2x7 dx = 2 x7 dx = 2. x8 + C = x8 + C ∫ a xm dx = a∫ x m dx = a. x m+1 + C (m ≠ −1) 3 84 m +1 ∫ ∫8x5 dx = 8 x5 dx = 8. x6 + C = 4x6 + C 4 63 ∫ ∫7x3 dx = 7 x3 dx = 7. x4 + C = 7x4 + C 44 5 ∫ 3x dx = 3∫ x dx = 3. x2 +C = 3x 2 +C 2 2 ບດົ ເຝິກຫດັ ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ 2x78dx 1 2. ∫ 5x 4dx 3. ∫ 7 5 x dx 4. ∫12 7 x4 dx 5. ∫1511 x−5 dx 6. ∫ 3x3dx 7. ∫ 6 x dx 8. ∫ 9  x 1 3 dx 2 ຮູບຮ່ າງ 1.3: ∫ 1 dx x

3 ສູດຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ຕວົ ຢ່ າງ 1 ∫ 1 dy = ln y + C y 2 ∫ 1 dz = ln z + C z ∫ 1 dx = ln x + C 3 ∫ 1dt = ln t + C x t 4 ∫ ds = ln s + C s 5 ∫ dα = ln α +C α ບດົ ເຝິກຫດັ ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫  7x4 + 1  dx x 2. ∫  1 − 6 x3  dx x 3. ∫  1 + 25 t  dt t 4. ∫  z −7 + 1  dz z 5. ∫  8 t −5 − 1  dt t 6. ∫  2 x3 − 1  dx x 7. ∫  5 3 x2 + 1  dx x 8. ∫  y 1 −5 + 1  dy 3 y  ຮູບຮ່ າງ 1.4: ∫ a dx x

4 ສູດຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ຕວົ ຢ່ າງ ∫ a dx = a.ln x + C 1 ∫ 2 dy = 2∫ 1 dy =2 ln y + C x yy 2 ∫ 5 dz = 5∫ 1 dz = 5ln z + C zz 3 ∫ 1 dt = 1 ∫ 1dt = 1 ln t + C 2t 2 t 2 4 ∫ ds = 1 ∫ ds = 1 ln s + C 3s 3 s 3 5 ∫ 7dα = 7∫ dα = 7 ln α +C α α ບດົ ເຝິກຫດັ ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫  2x5 + 4  dx x 2. ∫  3 − 7 x4  dx 2x 3. ∫  1 + 5 2   t t −2  dt 4. ∫  5 + 3  dz z −2 7z 5. ∫  12 1 − 3  dt  t −6 7t  6. ∫  x5 − 1  dx 2x 7. ∫  1 + 1   x3 5x  dx 8. ∫  y 1 −3 + 2  dy 2 5y 

5 ຄຸນລກັ ສະນະ 1.5: ∫ f (x) ± g(x) dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ (x2 + 3x + 7) dx ບດົ ແກ:້ ∫ (x2 + 3x + 7)dx = ∫ x2dx + 3∫ x dx + 7∫ dx = 1 x3 + 3 x2 +7x +C. 32 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫  x+ 1 − 3 dx  5x ບດົ ແກ:້ ∫  x+ 1 − 3  dx = ∫  x 1 +1   5x   2 1 −3 dx x5 = ∫  x 1 + x − 1 − 3 dx 2 5 = ∫ x 1 dx + ∫ −1 dx − 3∫ dx 2 x5 1 +1 −1 + 1 = x2 x5 1 +1 + −1 − 3x + C 25 + 1 34 = x 2 + x5 −3x + C 34 25 = 2 x 3 + 5 x 4 − 3x + C. 2 5 34 ຕວົ ຢ່ າງ 3: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ (2x3 −5x2 + 7x + 3) dx ບດົ ແກ:້ ∫ (2x3 −5x2 + 7x + 3) dx = 2∫ x3dx −5∫ x2dx + 7∫ x dx + 3∫ dx = 2. x4 − 5. x3 + 7 x2 + 3x + C 4 32

6 = 1 x4 − 5 x3 + 7 x2 + 3x + C. 232 ຕວົ ຢ່ າງ 4: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫  x + 1 2 dx  3x  ບດົ ແກ:້ ( )∫x + 1 2 dx = ∫  x 2 + 2. x. 1 +  1 2  dx  3x   3x  3x      x2 + 1 1 + 1  x3 2  dx = ∫  2.x 2 . 1 x3 = ∫  x + 1−1 + −2  dx 2.x 2 3 x3 = ∫  x + 1 + x − 2  dx 3 2.x 6 1 + ∫ −2 dx = ∫ x dx + 2∫ x6 dx x3 = x2 1 +1 −2 +1 2 x3 + 2. x 6 + −2 + C 1 +1 63 + 1 71 = 1 x2 + 2. x 6 + x3 + C 2 71 63 = 1 x2 + 12 x 7 + 1 6 3x 3 + C. 27 ຕວົ ຢ່ າງ 5: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ (5x2 + 7x −1)dx ບດົ ແກ:້ ∫ (5x2 + 7x −1)dx =5∫ x2 dx + 7∫ x dx − ∫ dx = 5. x3 + 7. x2 − x + C 32

7 = 5 x3 + 7 x2 − x +C. 32 ( )ຕວົ ຢ່ າງ 6: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ 5 3 x + 1 dx ບດົ ແກ:້ () 1 ∫ 5 3 x + 1 dx = 5∫ x3 dx + 5∫ dx 1 +1 = 5. x3 + 5x + C 1 +1 3 4 = 5x3 + 5x + C 4 3 = 15 4 + 5x + C. x3 4 ຕວົ ຢ່ າງ 7: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ (5x2 + 7x −1)dx ບດົ ແກ:້ ∫ (x3 − 2x2 − x + 5)dx = ∫ x3dx − 2∫ x2dx − ∫ x dx + 5∫ dx = x4 − 2. x3 − x2 + 5x + C 4 32 = 1 x4 − 2 x3 − 1 x2 + 5x + C. 432 ( )ຕວົ ຢ່ າງ 8: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ 3 x + 2 x dx ບດົ ແກ:້ ( )1 1 ∫ 3 x + 2 x dx = ∫ x3 dx + 2∫ x 2 dx 1 +1 1 +1 = x 3 + 2. x 2 + C 1 +1 1 +1 32

8 43 = x3 + x2 +C 43 32 = 3 x 4 + 2 3 + C . 3 x2 43 ຕວົ ຢ່ າງ 9: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ x4 + 2x3 − x2 + 2x − 1 dx x2 ບດົ ແກ:້ ∫ x4 + 2x3 − x2 + 2x − 1 dx = ∫  x4 + 2x3 − x2 + 2x − 1 dx x2  x2 x2 x2 x2 x2 = ∫  x2 + 2x −1 + 2 − x −2 dx x = ∫ x2dx + 2∫ x dx − ∫ dx + 2∫ 1dx − ∫ x−2dx x = x3 + 2x2 −x + 2 ln x − x −1 +C 3 2 −1 = x3 + x2 − x + 2 ln x + 1 + C. 3x ຕວົ ຢ່ າງ 10: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ x2 + 3x + 2 dx x ບດົ ແກ:້ ∫ x2 + 3x + 2 dx = ∫  x2 + 3x + 2  x  x x x dx = ∫  x + 3 + 2 dx x = x2 + 3x + 2ln x + C. 2 ບດົ ເຝິກຫດັ

9 ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລຸມນ:ີ້ 1. ∫ (2x3 + 4x2 + x − 2) dx 2. ∫ (x3 + x2 + 5)dx ( )3. ∫ x − 1 2 dx ( )4. 2 ∫ 2+ 3 x dx 5. ∫ (x3 + 5x2 +1) dx 6. ∫  1 x2 − 5x + 1  dx 2 3 7. ∫ (3x2 + 5x + 7) dx 8. ∫  3 x − 1  7 x  dx 9. ∫  3 x + 2  dx  x  10. ∫ (x2 − 3x + 2) dx ຮູບຮ່ າງ 1.6: ∫ u ( x )m dx ແນະນາໍ : - ປ່ ຽນຮູບຮ່ າງ ∫ u ( x )m dx ເປັນຮູບຮ່ າງ ∫ u (x )m d u ( x ) - ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u (x)m d u (x) = u ( x )m+1 +C m +1 ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາຂອງ ∫ (2x )+1 15 dx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = 2x +1 du = (2x +1)′ dx

10 du = 2 dx du = 2dx dx = du 2 ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫(2x )+ 1 15 dx = ∫ u15. du = 1 ∫ u15du = 1 ∫ u15du = 1 u16 + C = u16 + C = (2x )+ 1 16 + C. . 2 2 2 2 16 32 32 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມ:ີ d (2x +1) = 2dx ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ (2x )+1 15 dx = 1 ∫ (2x )+1 15 2dx = 1 ∫ (2x )+1 15 d (2x +1) = (2x )+1 16 + C. 22 32 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາຂອງ ( )∫ 2x2 −1 100 x dx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = 2x2 −1 du = (2x2 −1)′ dx du = 4x dx du = 4xdx xdx = du 4 ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ( ) ( )∫ 2x2 −1 100 x dx = ∫ u100 . du = 1 ∫ u100du = 1 . u101 + C = 2x2 −1 101 + C. 44 4 101 404 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມ:ີ d (2x2 −1) = 4xdx ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້

11 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ 2x2 −1 100 x dx = 1 ∫ 2x2 −1 100 4x dx = 1 ∫ 2x2 −1 100 d 2x2 −1 = 2x2 −1 101 + C. 44 404 ຕວົ ຢ່ າງ 3: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາຂອງ ∫ (1− )2x 50 dx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = 1− 2x du = d (1− 2x) du = −2dx dx = du −2 ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ (1 − )2x 50 dx = ∫ u 50 . du = − 1 ∫ u50du = − 1. u 51 + C = − (1− 2x )51 + C. −2 2 2 51 102 ວທິ ແີ ກ ້ 2:. ເຮາົ ມ:ີ d (1− 2x) = −2dx ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ (1− )2x 50 dx = −1 ∫ (1− )2x 50 (−2dx) = −1 ∫ (1− 2x)50d (1− 2x) 22 = −1 . (1 − 2x )50+1 + C = −1. (1− 2x )51 + C = − (1− 2x )51 + C . 2 50 + 1 2 51 102 ຕວົ ຢ່ າງ 4: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາຂອງ ∫ 3 3x + 2 dx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = 3x + 2 du = d (3x + 2) du = 3dx dx = du 3 ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້

12 1 +1 4 1 du 1 1 1. u3 +C 1. u3 +C ∫ 3 3x + 2 dx = ∫ ( 3x + 2 )1 dx = ∫ u 3 . = .∫ u 3 du = 3 1 +1 = 3 1 .4 3 3 3 3 3 = 4 +C = (3x )+ 2 4 + C. 3 u3 44 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມ:ີ d (3x + 2) = 3dx ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ + = 1 ∫ + = 1 ∫ (3x + )1 d (3x + 2) = 1 ( )3x + 2 1 +1 + 3 3 3 23 3 3x 2 dx 3 3x 2 .3dx . C 3 1 +1 3 = 1 . ( 3x )+ 2 4 +C = 1 .(3x + )4 +C = (3x + )4 + C. 3 23 23 34 3 1 .4 4 3 3 ຕວົ ຢ່ າງ 5: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາຂອງ ∫ 1+ x2 x dx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = 1+ x2 du =d(1+ x2 ) du = 2xdx xdx = du 2 ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ 1 +1 3 3 ∫ 1+ x2 x dx = ∫ u . du = 1 ∫ u 1 du = 1. u2 +C = 1.u2 +C= 1. u2 +C 2 2 2 1 +1 23 2 1 .3 2 2 2 2 3 x2 +1 2 + C. ( )3 = u2 +C = 33 ວທິ ແີ ກ ້ 2:

13 ເຮາົ ມ:ີ d (1+ x2 ) = 2xdx ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ( ) ( )d 1+ x2 1 +1 1+ x2 x dx = 1 ∫ 1 (1 ) 1 =1. x +12 2 2 ∫ 2 1+ x2 .2x dx = ∫ + x 2 +C 2 2 1 +1 2 = 1 (x2 )3 +C= 1 (x2 )3 + C = (x2 )3 + C. . +1 2 . +1 2 +1 2 23 2 1 .3 3 2 2 ຕວົ ຢ່ າງ 6: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາຂອງ ∫ 3(4x − )1 20 dx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = 4x −1 du =d (4x −1) du = 4dx dx = du 4 ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ 3(4x )−1 20 dx = 3∫ u20. du = 3 ∫ u20du = 3 . u21 + C = 3 . u21 + C = 1 . u21 + C 44 4 21 4 3.7 47 = u21 + C = (4x )−1 21 + C. 20 28 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມ:ີ d (4x −1) = 4dx ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ 3(4x )−1 20 dx = 3 ∫ (4x )−1 20 4dx = 3 ∫ (4x )−1 20 d (4x −1) = 3 . (4x )−1 21 + C 44 4 21 = 3 (4x −1)21 +C= 1 (4x −1)21 +C= (4x − )1 21 + C. . . 28 4 3.7 47 ຕວົ ຢ່ າງ 7: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາຂອງ ∫ 2(5x2 )−1 12 x dx

14 ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = 5x2 −1 du =d(5x2 −1) du = 10x dx xdx = du 10 ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ 2(5x2 )−1 12 x dx = 2∫ u12. du = 2 ∫ u12du = 1 . u13 + C = (5x2 )−1 13 + C. 10 10 5 13 65 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມ:ີ d (5x2 −1) = 10xdx ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ 2(5x2 )−1 12 x dx = 2 ∫ (5x2 )−1 12 10x dx = 2 ∫ (5x2 )−1 12 d (5x2 −1) 10 10 = 1 . (5x2 )−1 13 + C = (5x2 )−1 13 + C. 5 13 65 ຕວົ ຢ່ າງ 8: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາຂອງ ∫ (x2 + 2x + )5 10 (2x + 2) dx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = x2 + 2x + 5 du = d ( x2 + 2x + 5) du = (2x + 2)d x ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ ( x2 + 2x + )5 10 (2x + 2) dx = ∫ u10du = u11 + C = ( x2 + 2x + )5 11 + C. 11 11 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມ:ີ d ( x2 + 2x + 5) = (2x + 2)dx

15 ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫(x2 + 2x + )10 (2x + 2 ) dx = ∫(x2 + 2x + )10 d(x2 + 2x + 5 ) dx = (x2 + 2x + )11 + C. 5 5 5 11 ບດົ ເຝິກຫດັ ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລຸມນ:ີ້ 1. ∫ (x + )1 25 dx 2. ∫ (1− 2x )45 dx 3. ∫ (1+ 3x)16 dx 4. ∫ (7x2 )−1 14 3xdx 5. ∫ (x2 +1)7 5xdx 6. ∫ (x2 + x + )1 18 (2x +1)dx 7. ∫ (1− x )100 dx 8. ∫ (5x + )1 18 dx 9. ∫ (2x2 + )1 12 xdx 10. ∫ (4x2 + )7 12 5xdx ຮູບຮ່ າງ 1.7: ∫ 1 dx u(x) ແນະນາໍ : - ປ່ ຽນຮູບຮ່ າງ ∫ u 1 ) dx ເປັນຮູບຮ່ າງ ∫ u 1 ) d u ( x ) (x (x - ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u 1 ) d u ( x ) = ln u(x) +C (x ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາຂອງ ∫ 1 dx 2x + 5 ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = 2x + 5

16 du = d (2x + 5) du = 2dx dx = du 2 ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ 1 dx = ∫ 1 . du = 1 ∫ 1 du = 1 ln u +C = 1 ln 2x +5 + C. 2x + 5 u2 2 u 2 2 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມ:ີ d (2x + 5) = 2dx ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ 1 5 dx = 1 ∫ 1 5 2dx = 1 ∫ 1 5 d ( 2x + 5) = 1 ln 2x + 5 + C. 2x + 2 2x + 2 2x + 2 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາຂອງ ∫ x 7 dx +1 ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = x +1 du = d (x +1) du = dx ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ 7 dx = 7∫ 1 du = 7 ln u + C = 7 ln x +1 + C. x +1 u ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມ:ີ d ( x +1) = dx ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ x 7 dx = 7∫ 1 d(x + 1) = 7 ln x +1 + C. +1 x +1 ຕວົ ຢ່ າງ 3: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາຂອງ ∫ 3x 1 2 x dx 2+ ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = 3x2 + 2

17 du = d(3x2 + 2) du = 6xdx xdx = du 6 ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ 1 2 x dx = ∫ 1 . du = 1 ∫ 1 du = 1 ln u + C = 1 ln 3x 2 + 2 + C. 3x2 + u6 6 u 6 6 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມ:ີ d (3x2 + 2) = 6xdx ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ 1 2 x dx = 1 ∫ 1 2 .6x dx = 1 ∫ 1 2 d (3x2 + 2) = 1 ln (3x2 + 2) + C. 3x2 + 6 3x2 + 6 3x2 + 6 ຕວົ ຢ່ າງ 4: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາຂອງ ∫ 1 1 2 5x dx −x ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = 1− x2 du = d (1− x2 ) du = −2xdx xdx = du −2 ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ 1 1 2 5x dx = 5∫ 1 . du = 5 ∫ 1 du = − 5 ln u + C = − 5 ln 1− x2 + C. −x u −2 −2 u 2 2 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມ:ີ d (1− x2 ) = −2xdx ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ 1 5x dx = 5 ∫ 1 (−2xdx) = 5 ∫ 1 d(1− x2 ) = 5 ln 1 − x 2 + C. −x −2 −x −2 −x −2 1 2 1 2 1 2 ບດົ ເຝິກຫດັ

ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 18 1. ∫ 1 2 dx ຕວົ ຢ່ າງ 3x − ∫1 2x dx = 2x + C 2. ∫ x 1 1 3x dx 2+ ln 2 3. ∫ 9 5 dx ∫2 3x dx = 3x + C 7x + ln 3 4. ∫ 5x 1 1 xdx 2+ 5. ∫ x3 1 2 x 2dx + 6. ∫ 15 dx 1− 4x 7. ∫ 1 2x 2 dx −x 8. ∫ 5 x dx 1− 9. ∫ 1 1 2 x dx − 2x 10. ∫ 5x 1 1 xdx 2+ 11. ∫ 5 dx 1− 3x 12. ∫ 12 dx 1− 5x ຮູບຮ່ າງ 1.8: ∫ ax dx ສູດຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ ax dx = ax + C ln a

19 ∫3 5x dx = 5x + C ln 5 ∫4 7x dx = 7x + C ln 7 ∫5 6x dx = 6x + C ln 6 ບດົ ເຝິກຫດັ ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫15x dx 2. ∫  1 x − 3x  dx 2 3. ∫ (7x − 3x2 )dx 4. ∫ (9x + 5x ) dx 5. ∫ (12x − 6x ) dx 6. ∫  1 + 4x  dx 2x ຮູບຮ່ າງ 1.9: ∫ au(x) dx ແນະນາໍ : - ປ່ ຽນຮູບຮ່ າງ ∫ au dx ເປັນຮູບຮ່ າງ ∫ au(x) d u ( x ) - ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ au(x) d u (x) = a u(x) +C ln a ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາຂອງ ∫ 2x2 +1 x dx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = x2 +1 du =d( x2 +1) du = 2xdx xdx = du 2 ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້

20 ∫ 2x2 +1 xdx = ∫ 2t. du = 1 ∫ 2udu = 1 . 2u + C = 2x2 +1 + C. 22 2 ln 2 ln 4 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມ:ີ d ( x2 +1) = 2xdx ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ( )∫ ∫ ∫2x2 +1 xdx = 1 1 2x2 +1 2x2 +1 2x2 +1.2 xdx = 1 2 dx2 +1 x2 +1 = . + C = + C. 22 2 ln 2 ln 4 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາຂອງ ∫ 51−2x dx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = 1− 2x du = d(1− 2x) du = −2dx dx = du −2 ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ 51−2x dx = ∫ 5u . du = 1 ∫ 5u du = 1 5u + C = −5u + C = − 51−2 x + C. −2 −2 −2 . ln 5 ln 25 ln 25 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມ:ີ d (1− 2x) = −2dx ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ 51−2x dx = 1 ∫ 51−2x ( −2dx ) = 1 ∫ 51−2x d (1− 2x) = 1 51−2x + C = − 51− 2 x + C. −2 −2 −2 . ln 5 ln 25 ບດົ ເຝິກຫດັ ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລຸມນ:ີ້ 1. ∫14x+1 dx 2. ∫121−x dx ∫3. 82x2 +1 3xdx 4. ∫164x + 3 dx

21 ∫5. 191−5x2 xdx 6. ∫151−x2 xdx ຮູບຮ່ າງ 1.10: ∫ ex dx ສູດຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ຕວົ ຢ່ າງ 1 ∫ 5ex dx = 5∫ ex dx = 5ex + C 2 ∫ eu du = eu + C ∫ ex dx = ex + C 3 ∫ 2eu du = 2∫ eu du = 2eu + C 4 ∫ et dt = et + C 5 ∫ 3et dt = 3∫ et dt = 3et + C ບດົ ເຝິກຫດັ ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລຸມນ:ີ້ 1. ∫12ex dx 2. ∫ (x − ex )dx 3. ∫ (2ex +1)dx 4. ∫ (1−3ex )dx 5. ∫ (x4 + 2ex )dx ( )6. ∫ 2ex + 3ex dx ຮູບຮ່ າງ 1.11: ∫ eu(x)dx ແນະນາໍ : - ປ່ ຽນຮູບຮ່ າງ ∫ eu(x)dx ເປັນຮູບຮ່ າງ ∫ eu(x) d u ( x ) - ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ eu(x) d u ( x ) = eu(x) + C ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາຂອງ ∫ e12x+1 dx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = 12x +1

22 du = d (12x +1) du = 2d x dx = du 12 ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ e12x+1 dx = ∫ eu . du = 1 ∫ eudu = 1 eu + C = 1 e12x+1 + C. 12 12 12 12 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມ:ີ d (12x +1) = 12dx ( )∫ ∫ ∫e12x+1 dx = 1 e12x+1 .12dx = 1 e d12x+1 12x +1 = 1 e12x+1 + C. 12 12 12 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາຂອງ ∫ e3x2 −2 5xdx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = 3x2 − 2 du = d(3x2 − 2) du = 6xdx xdx = du 6 ສະນນັ້ ,ເຮາົ ໄດ:້ ∫ e3x2 −2 5xdx = ∫ eu 5. du = 5 ∫ eudu = 5 eu + C = 5 e3x2−2 + C. 66 6 6 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມ:ີ d (3x2 − 2) = 6xdx ເມ່ ອື ນນັ້ , ເຮາົ ມ:ີ ∫ ∫ ∫ ( )e3x2 −2 5xdx = 5 e3x2 −2 6xdx = 5 e d3x2 −2 3x2 − 2 = 5 e3x2−2 + C. 66 6 ບດົ ເຝິກຫດັ ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລຸມນ:ີ້

23 ∫1. e1 −15x dx ∫2. 2e1−x3 x2dx ∫3. e4x+3dx ∫4. e1−2x2 xdx ∫5. 4e4−5x3 x2dx 6. ∫ e1−x 2dx ຮູບຮ່ າງ 1.12: ∫ sin x dx ສູດຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ຕວົ ຢ່ າງ 1 ∫ 2sin x dx = 2 ∫ sin x dx = 2(− cos x) + C = − 2cos x + C 2 ∫ sin t dt = − cos t + C ∫ sin x dx = − cos x + C 3 ∫ 3sin t dt =3∫ sin t dt =3(− cos t) + C = − 3cos t + C 4 ∫ sin u du = − cos u + C 5 ∫ 7sin u du = 7 ∫ sin u du = 7(− cos u) + C = − 7 cos u + C ບດົ ເຝິກຫດັ ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ 4sin x dx 2. ∫ (1− 2sin x)dx 3. ∫ (x + 3sin x)dx 4. ∫ (sin x − 2x)dx

24 5. ∫ (2 + 5sin x)dx 6. ∫ (1− sin x)dx ຮູບຮ່ າງ 1.13: ∫ sin u ( x) dx ແນະນາໍ : - ປ່ ຽນຮູບຮ່ າງ ∫ sin u ( x) dx ເປັນຮູບຮ່ າງ ∫ sin u (x) d u (x) - ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ sin u (x) d u (x) = −cos u ( x) + C ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາຂອງ ∫ sin (2x) dx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = 2x du =d(2x) du = 2dx dx = du 2 ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ sin (2x)dx = ∫ sin u. du = 1 ∫ sin u du = − 1 cos u + C = − 1 cos(2x) + C. 22 2 2 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມ:ີ d (2x) = 2dx ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ sin ( 2x ) dx = 1 ∫ sin ( 2x ) 2dx = 1 ∫ sin ( 2x ) d (2x ) = − 1 sin ( 2x ) + C. 2 2 2 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາຂອງ ∫ 3sin ( x2 +1) xdx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = x2 +1 du = d( x2 +1) du = 2xdx xdx = du 2

25 ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫3sin (x2 +1) xdx = 3∫sin u. du = 3 ∫sin udu = − 3 cos u + C = − 3 cos(x2 +1) + C. 22 2 2 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມ:ີ d (x2 +1) = 2xdx ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ 3sin (x2 +1) xdx = 3 ∫ (sin x2 +1) 2xdx = 3 ∫ sin (x2 +1)d (x2 + 1) = − 3 (cos x2 + 1) + C. 2 2 2 ບດົ ເຝິກຫດັ ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ sin 5x dx 2. ∫ 5sin (1− 2x)dx 3. ∫ sin (4x +1)dx 4. ∫ sin (2x2 + 3) xdx 5. ∫ 2sin (3x2 − 7) xdx 6. ∫ sin 5x dx ຮູບຮ່ າງ 1.14: ∫ cos x dx ສູດຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ຕວົ ຢ່ າງ 1 ∫ 2cos x dx = 2 ∫ cos x dx = 2sin x + C 2 ∫ cos t dt = sin t + C ∫ cos x dx =sin x + C 3 ∫ 3cos t dt =3∫ cos t dt =3sin t + C 4 ∫ cos u du = sin u + C 5 ∫ 5cos u du =5∫ cos u du = 5sin u + C ບດົ ເຝິກຫດັ ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້

26 1. ∫ 3cos x dx 2. ∫ (2cos x + 1)dx 3. ∫ (3cos x − x)dx 4. ∫  x2 − 1 cos x  xdx 2 5. ∫ (9cos x − 1) dx 6. ∫ (1− cos x)dx ຮູບຮ່ າງ 1.15: ∫ cos u (x) dx ແນະນາໍ : - ປ່ ຽນຮູບຮ່ າງ ∫ cos u ( x) dx ເປັນຮູບຮ່ າງ ∫ cos u (x) d u (x) - ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ cos u (x) d u (x) = sin u (x) + C ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາຂອງ ∫ cos8x dx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = 8x du = d(8x) du = 8dx dx = du 8 ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ cos 8x dx = ∫ cos u. du = 1 ∫ cos u du = 1 sin u + C = 1 sin 8x + C. 8 8 8 8 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມ:ີ d (8x) = 8dx ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້

27 ∫ cos 8x dx = 1 ∫ cos 8x.8dx = 1 ∫ cos 8xd (8x ) = 1 sin (8x ) + C. 8 8 8 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາຂອງ ∫ 5cos(2x2 + 3) xdx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = 2x2 + 3 d (2x2 + 3) = 4xdx xdx = du 4 ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫5cos(2x2 + 3) xdx = 5∫ cos u du = 5 ∫ cos u du = 5 sin u + C = 5 sin (2x2 + 3) + C. 44 4 4 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມ:ີ d (2x2 + 3) = 6xdx ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ 5cos(2x2 + 3) xdx = 5 ∫ cos(2x2 + 3) .4xdx = 5 ∫ cos(2x2 + 3)d (2x2 + 3) 44 = 5 sin (2x2 + 3) + C. 4 ບດົ ເຝິກຫດັ ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ cos5x dx 2. ∫ 2cos(1− x)dx 3. ∫ 1 cos ( x + 1) dx 2 4. ∫ cos  1 x2 − 3  xdx 2 5. ∫ cos(2x3 + 7) x2dx 6. ∫ cos(1− 5x2 ) xdx

28 ຮູບຮ່ າງ 1.16: ∫ tan x dx ສູດຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ຕວົ ຢ່ າງ 1 ∫ 2 tan x dx = 2 ∫ tan x dx = − 2ln cos x + C 2 ∫ tan u du = − ln cos u + C ∫ tan x dx = − ln cos x + C 3 ∫ 3tan u du =3∫ tan u du = − 3ln cos u + C 4 ∫ tan y dy = − ln cos y + C 5 ∫ 5 tan y dy =5∫ tan y dy = −5ln cos y + C ບດົ ເຝິກຫດັ ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ (2sin x − cos x + 5 tan x)dx 2. ∫ (2cos x − 3tan x)dx 3. ∫  3 + 3sin x − 5 tan x  dx 2x7 4. ∫  tan y − y2 + 2 − 1  dy  y  5. ∫  9 tan t + 1 t  dt  2  6. ( )∫ 2ex + e2x+3 − 3 tan x dx ຮູບຮ່ າງ 1.17: ∫ tan u (x) dx ແນະນາໍ : - ປ່ ຽນຮູບຮ່ າງ ∫ tan u (x) dx ເປັນຮູບຮ່ າງ ∫ tan u (x) d u (x) - ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ tan u (x) d u (x) = − ln cos u (x) + C ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາຂອງ ∫ tan 5x dx ວທິ ແີ ກ ້ 1:

29 ວາງ u = 5x du = d(5x) du = 5dx dx = du 5 ສະນນັ້ ,ເຮາົ ໄດ:້ ∫ tan 5x dx = ∫ tan u. du = 1 ∫ tan u du = − 1 ln cos u + C = − 1 ln cos 5x + C. 5 5 5 5 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມີ d (5x) = 5dx ສະນນັ້ ,ເຮາົ ໄດ:້ ∫ tan 5x dx = 1 ∫ tan 5x.5dx = 1 ∫ tan 5x d (5x ) = − 1 ln cos 5x + C. 5 5 5 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາຂອງ ∫ 2x tan (2x2 +1)dx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = 2x2 +1 du = d (2x2 +1) du = 4xdx xdx = du 4 ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ 2x tan (2x2 +1)dx = 2∫ tan u. du = 1 ∫ tan u.du = − 1 ln cos u + C 42 2 = − 1 ln cos (2x2 +1) + C. 2 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມີ d (2x2 +1) = 4xdx ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ 2x tan (2x2 +1) dx = 1 ∫ 4x tan (2x2 +1)dx = 1 ∫ tan (2x2 +1)d (2x2 +1) 22

30 = − 1 ln cos (2x2 +1) + C . 2 ບດົ ຝິກຫດັ ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ tan (2x − 3)dx 2. ∫ 5 tan (1− 2x)dx 3. ∫ x tan (1− 2x2 ) dx 4. ∫ 3x tan (12 − 5x2 )dx 5. ∫ 2 tan y + tan (3y + 2) dy 6. ∫[3cos 2t − sin 3t + 5 tan 5t]dt 7. ∫  1 − e2x−3 + 5x tan ( x2 −1) dx  x  ( 5) 3 x2 −1 dx 2 x 8. ∫ tan 7x + − ຮູບຮ່ າງ 1.18: ∫ cot x dx ສູດຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ຕວົ ຢ່ າງ 1 ∫ 2cot x dx = 2 ∫ cot x dx = 2ln sin x + C 2 ∫ cot u du = ln sin u + C ∫ cot x dx = ln sin x + C 3 ∫ 3cot u du =3∫ cot u du =3ln sin u + C 4 ∫ cot y dy = ln sin y + C 5 ∫ 5cot y dy =5∫ cot y dy = 5ln sin y + C ບດົ ເຝິກຫດັ ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ (cos x − 3sin x + 5cot x)dx 2. ∫ (sin x − 3cot x)dx

31  x − 5 cot x  dx  3. ∫   3 x5  4. ∫  cot x − 1  dy x −7 5. ∫ (e5u−4 − 7 cot u ) du ( )6. ∫ 2x − 3ex + x − 2cot x dx ຮູບຮ່ າງ 1.19: ∫ co t u (x) dx ແນະນາໍ : - ປ່ ຽນຮູບຮ່ າງ ∫ co t u (x) dx ເປັນຮູບຮ່ າງ ∫ co t u (x) d u (x) - ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ cot u (x) d u (x) = ln sin u (x) + C ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາຂອງ ∫ cot 5x dx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = 5x du = d(5x) du = 5dx dx = du 5 ສະນນັ້ ,ເຮາົ ໄດ:້ ∫ cot 5x dx = ∫ cot u. du = 1 ∫ cot u du = 1 ln sin u + C = 1 ln sin 5x + C. 5 5 5 5 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມີ d (5x) = 5dx ສະນນັ້ ,ເຮາົ ໄດ:້ ∫ cot 5x dx = 1 ∫ cot 5x.5dx = 1 ∫ cot 5x d (5x) = 1 ln sin 5x + C 55 5 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາຂອງ ∫ 2x cot (2x2 +1) dx

32 ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ u = 2x2 +1 du = d (2x2 +1) du = 4xdx xdx = du 4 ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ 2x cot (2x2 +1)dx = 2∫ cot u. du = 1 ∫ cot u.du = 1 ln sin u + C 42 2 = 1 ln sin (2x2 +1) + C. 2 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມີ d (2x2 +1) = 4xdx ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ 2x cot (2x2 +1)dx = 1 ∫ 4x cot (2x2 +1)dx = 1 ∫ cot (2x2 +1)d (2x2 +1) 22 = 1 ln sin (2x2 +1) + C . 2 ບດົ ຝິກຫດັ ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ cot (5x + 3)dx 2. ∫ 2cot (2 − 5x)dx 3. ∫ 5x cot (1− x2 )dx 4. ∫ 7x cot (1− 2x2 )dx 5. ∫ cot y − y cot (3y2 + 2) dy 6. ∫[cos3t − sin 2t + 5cot 5t]dt ( )7.  1 −1  ∫  x −5 − xe2x2−3 − 2x cot x2  dx

33  ( 5) 3 x2 2  3cot  8. ∫ 7x + − −x+ dx  x5 x  ບດົ ທີ 2- ເຄາົ້ ຕາໍ ລາປົກກະຕິ ຮູບຮ່ າງ 2.1: ∫ ax2 + bx + c dx dx +e ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ x2 + 4x + 5 dx x −1 ບດົ ແກ:້ ∫ x2 + 4x + 5 dx = ∫  x + 5 + 10  dx x −1 x −1 = ∫ x 2 dx + 5∫ dx + ∫ 10 dx x −1 = x3 + 5x +10∫ 1 dx 3 x −1 = x3 + 5x +10∫ 1 d(x −1) 3 x −1 = 1 x3 + 5x +10ln x −1 + C . 3 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ 4x2 − x + 3 dx x +1 ບດົ ແກ:້ ∫ 4x2 − x + 3 dx = ∫  4x − 5 + 8  dx x +1 + x 1

34 = ∫ 4x dx − 5∫ dx + ∫ x 8 dx + 1 = 4. 1 x2 − 5x + 8∫ x 1 1 dx 2 + = 2x2 − 5x + 8∫ x 1 d (x +1) +1 = 2x2 − 5x + 8ln x +1 + C . ບດົ ເຝຶກຫດັ ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ x2 + 2x + 3 dx x −1 2. ∫ x2 − 4x + 5 dx x +1 3. ∫ 2x2 − x + 1 dx x+4 4. ∫ x2 + 2x +1 dx x +1 5. ∫ x2 +1 dx x+2 6. ∫ 3x 2 + 2x dx x +3 7. ∫ x2 + 3x + 5 dx 2x + 3 8. ∫ 5x2 − x + 5 dx 3x − 2 9. ∫ 3x2 − 2x + 7 dx −x + 5 10. ∫ 4x2 − 7x − 5 dx −2x +1

35 ຮູບຮ່ າງ 2.2: ∫ ax3 + bx2 + cx + d dx nx + m ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ 2x3 − 5x2 + 3x + 1 dx x+ 2 ບດົ ແກ:້ ∫ 2x3 − 5x2 + 3x + 1 dx = ∫  2x2 − 9x + 21 + −41  dx x+ 2 x+2 = 2∫ x 2 dx − 9∫ x dx + ∫ −41 dx x+2 = x3 − 9. x2 − 41∫ x 1 2 dx 2. 2 + 3 = 2 x3 − 9 x2 − 41∫ x 1 d(x + 2) 3 2 + 2 = 2 x3 − 9 x2 − 41ln x + 2 + C . 32 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ x3 − x2 + 2x + 3 dx x −2 ∫ x3 − x2 + 2x + 3 dx = ∫  x2 + x + 4 + 11  dx x −2 x−2 = ∫ x 2 dx + ∫ x dx + ∫ 11 dx x−2 = 1 x3 + 1 x2 + 11∫ x 1 2 dx 3 2 − = 1 x3 + 1 x2 + 11∫ x 1 2 d ( x − 2) 3 2 − = 1 x3 + 1 x2 + 11ln x − 2 + C . 32 ບດົ ເຝິກຫດັ ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ x3 −3 dx x−2

36 2. ∫ 2x4 + 5x3 − x2 + 2x +1 dx x+2 3. ∫ x2 −1 dx x −1 4. ∫ x3 +8 dx x+2 x 3 − x2 + 5x + 1 x +4 5. ∫ dx 6. ∫ 2x32 + 3x2 − x −4 dx x−5 x 3 + 5x2 + x − 4 x+3 7. ∫ dx 8. ∫ 2x5 + 4x4 + x2 − x + 1 dx x − 2 9. ∫ x3 + 2x2 − x − 2 dx x −1 10. ∫ x3 + x2 − 4x + 2 dx x +2 11. ∫ 2x3 + 5x2 − x + 1 dx 2x − 3 12. ∫ −x3 + x2 − 3x − 2 dx 5x + 2 ຮູບຮ່ າງ 2.3: ∫ ax 2 dx + + bx c ແນະນາໍ ສູດນາໍ ໃຊຈ້ າໍ ນວນໜ່ ງຶ : x2 + bx =  x + b 2 −  b 2 x2 − bx =  x − b 2 −  b 2 2  2  2  2  ∫ 1 dx = 1 arct an x + C ∫ 1 d u ( x ) = 1 arct an u (x ) + C + a a a x2 a2 u ( x ) 2 + a 2 a ∫ a2 1 dx = 1 ln a+x +C ∫ − 1 d u (x) = 1 ln a + u(x) + C − x2 2a a−x 2a a − u(x) a2 u (x)2

37 ∫ x 2 1 a 2 dx = 1 ln x−a +C ∫ u ( 1 2 − a2 d u (x) = 1 ln u(x) − a +C − 2a x+a 2a u(x) + a x ) ແນະນາໍ ການຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ: ∫ ax 2 dx +c + bx ຖາ້ ວ່ າ ∆ > 0 ແມ່ ນ: ∫ ax 2 1 + c dx = ∫ a ( x − 1 x − x ) dx + bx x1 ) ( 2 = 1 ∫ ( x − x1 1 x − x ) dx a )( 2 = 1 x2 ) ∫  x 1 − x 1   − x1 − x2  dx a (x1 − = a ( 1 x )  ∫ x dx − ∫ x dx  x1 −  − x1 −x  2 2 = 1  ∫ d (x − x1 ) − ∫ d (x − x2 )  x1 −   a ( x2 ) x − x1 x − x2 ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ d u (x) = ln u(x) + C u(x) = 1 x2 ) (ln x − x1 − ln x − x2 ) a (x1 − = a ( 1 x2 ) ln x − x1 + C. x1 − x − x2 ຖາ້ ວ່ າ ∆ = 0 ແມ່ ນ: ∫ ax 2 dx + c = ∫ a ( x 1 x0 )2 dx + bx − = 1 ∫ ( x 1 )2 dx a − x0 = 1 ∫ ( x − x0 )−2 d( x − x0 ) a ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ u (x)α d u (x) = u ( x )α+1 + C α +1

38 = 1 . ( x − x0 )−2+1 + C a −2 + 1 = a ( −1 ) + C . x − x0 ຖາ້ ວ່ າ ∆ < 0 ແມ່ ນ: ∫ ax 2 dx + c = ∫ a  dx c  + bx + bx a x2 + a = 1 ∫ dx c a bx x2 + + aa =  x b 2  b  2 2  2 ນໍາໃຊສ້ ູດ x2 + bx + − = 1 ∫  dx a b 2  b 2     x + a  −  a  +c  2   2  a    = 1 ∫  b dx b 2 c a 2a 2 −  2a a x + + = 1 ∫  x b dx b2 c a 2a 2 − 4a 2 a + + = 1 ∫  x dx a + b 2 + −b2 + 4c 2a 4a 2 4a 2 = 1 ∫ dx a  x + b 2 + −b2 + 4ac 2a  4a 2

39 = 1 ∫ d x + b  a 2a  x + b 2 +  −b2 + 4ac 2 2a   4a 2 ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ d u (x) = 1 arct an u(x) +C u ( x )2 + a2 a a 1  x + b  2a = arct an +C −b2 + 4ac −b2 + 4ac 4a2 4a2 2ax + b = 1 arct an 2a + C −b2 + 4ac −b2 + 4ac 2a 2a = 2a arct an 2ax + b + C . −b2 + 4ac −b2 + 4ac ຕວົ ຢ່ າງ 1. ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາປົກກະຕິ ∫ x2 dx + 2 − 3x ບດົ ແກ:້ ∫ x2 dx + 2 = ∫ ( x − dx x − 1) − 3x 2)( = ∫  x 1 2 − x 1  dx  − − 1  = ∫ dx − ∫ dx x−2 x −1 (x − 2) (x −1) = ∫ d − ∫ d x−2 x −1 ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ d u (x) = ln u(x) + C u(x) = ln x − 2 − ln x −1 + C = ln x−2 + C. x −1

40 ຕວົ ຢ່ າງ 2. ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາປົກກະຕິ ∫ x2 dx + − 6x 9 ບດົ ແກ:້ ∫ x2 dx + 9 = ∫ ( x dx − 6x − 3)2 = ∫ (x − )3 −2 d(x − 3) = ( x − 3)−2+1 + C −2 +1 = −1 + C . x−3 ຕວົ ຢ່ າງ 3. ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາປົກກະຕິ ∫ x 2 dx + 1 +x ບດົ ແກ:້ ∫ x 2 dx + 1 = ∫  1 dx 1 +x 2 2 − 4 x + + 1 = ∫  dx 3 1 2 4 x + 2  + d  x + 1  2 ∫=  1 2  3 2 x + 2  +    2 d  x + 1  2 ∫=  1 2  3 2 x + 2 +    2 ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ d u (x) = 1 arct an u(x) +C u ( x )2 + a2 a a

= 1 x+1 41 arctan 2 + C 33 ບດົ ເຝຶກຫດັ 22 = 2 arctan 2x +1 + C . 33 ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ (x − dx − 4) 6)(x 2. ∫ (x + dx − 2) 2)(x 3. ∫ (x − dx + 7) 4)(x 4. ∫ x dx 7) (x − 5. ∫ (x − dx − 2) 5)(x 6. ∫ x dx 5) (x + 7. ∫ (x − dx + 6) 8)(x 8. ∫ (x + dx − 4) 4)(x 9. ∫ (x dx + 8) − 1) ( x 10. ∫ (x − dx − 1) 2)(2x 11. ∫ (3x − dx + 3) 2)(x

42 12. ∫ (x + dx − 1) 5)(4x 13. ∫ (2x dx + 1) − 1) ( 3x 14. ∫ dx 3) 4x(2x − 15. ∫ x2 dx + 12 + 7x 16. ∫ x2 dx + 8x + 7 17. ∫ x2 dx + 40 + 13x 18. ∫ x2 dx + 21 + 10x 19. ∫ x2 dx + 42 + 13x 20. ∫ x2 dx + 10 − 7x 21. ∫ x2 dx 2 + 3x + 22. ∫ x2 dx +9 + 6x 23. ∫ x2 dx + 24 − 10x 24. ∫ x2 dx +7 − 8x 25. ∫ x2 dx + 25 − 10x 26. ∫ x2 dx + 36 + 15x 27. ∫ x2 dx + 36 − 13x 28. ∫ x2 dx +8 − 9x

43 29. ∫ x2 dx − x − 72 30. ∫ x2 dx − 35 − 2x 31. ∫ x2 dx −8 − 2x 32. ∫ x2 dx − 11 − 10x 33. ∫ x2 dx + 28 − 16x 34. ∫ x2 dx +4 − 4x 35. ∫ x2 dx +5 − 4x 36. ∫ x2 dx − 24 − 10x 37. ∫ x2 dx −3 − 2x 38. ∫ x2 dx − 15 − 14x 39. ∫ x2 dx − 15 + 2x 40. ∫ x2 dx + 35 − 12x 41. ∫ x2 dx − 63 − 2x 42. ∫ x2 dx +5 + 6x 43. ∫ x2 dx − 63 − 2x 44. ∫ x2 dx +5 + 6x 45. ∫ x2 dx − x − 42

44 46. ∫ x2 dx − x − 42 47. ∫ x2 dx −6 +x 48. ∫ x2 dx +1 + 2x 49. ∫ x2 dx + 45 + 14x 50. ∫ x2 dx + 100 − 29x 51. ∫ x2 + dx − 77 4x 52. ∫ x2 dx − 5x − 24 53. ∫ 5x2 dx −1 − 4x 54. ∫ (6x − dx + 5) 2)(2x 55. ∫ x2 dx + 36 − 13x 56. ∫ (2x dx − 36 − 1)2 57. ∫ x2 dx +3 − 7x 58. ∫ dx x2 − 4x 59. ∫ 4x 2 dx − 36x 60. ∫ 3x2 dx −1 +x 61. ∫ 4x 2 dx − 36x 62. ∫ 3x2 dx −1 +x

45 63. ∫ 2x2 dx − 12 − 5x 64. ∫ x2 dx −1 −x 65. ∫ 2x2 dx +5 − 11x 66. ∫ 2x2 dx + 12 + 20x 67. ∫ (5x − dx + 4) 2)(x 68. ∫ x2 dx −2 − 6x 69. ∫ 4x2 dx +9 − 12x 70. ∫(x dx −9 − 3)2 71. ∫ 2x2 dx −5 + 3x 72. ∫ x2 dx −2 − 5x 73. ∫ x2 dx − 75 − 10x 74. ∫ 5x2 dx +2 − 9x 75. ∫ x2 dx − 48 − 2x 76. ∫ x2 dx +5 − 7x 77. ∫ 3x2 dx + 25 − 20x 78. ∫ 5x2 dx − 21 − 8x 79. ∫ dx x x2 +

46 80. ∫ 2x dx 3x 2− 81. ∫ dx x2 + 4x 82. ∫ dx x2 − 2x 83. ∫ 5x dx 2x 2+ 84. ∫ dx 3 2x2 + 85. ∫ 16 dx 49 x2 − 86. ∫ dx x2 −1 87. ∫ 9x dx 16 2− 88. ∫ x2 dx +4 + 6x 89. ∫ x2 dx −7 + 6x 90. ∫ x2 dx − 91 + 6x 91. ∫ x2 dx +9 + 8x 92. ∫ x2 dx −9 − 2x 93. ∫ x2 dx −1 − 10x 94. ∫ x2 dx −6 + 10x 95. ∫ x2 dx −6 + 2x 96. ∫ x2 dx −3 − 4x